Untai Elektrik I. Untai Orde Tinggi & Frekuensi Kompleks. Dr. Iwan Setyawan. Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana. Untai 1. I

Untai 1 I. Setyawan Pendahuluan RLC seri RLC paralel Exercises

Untai Elektrik I Untai Orde Tinggi & Frekuensi Kompleks

Dr. Iwan Setyawan Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana

Untai 1

Pendahuluan

I. Setyawan Pendahuluan RLC seri RLC paralel Exercises

• Pada bagian sebelumnya, dibahas untai RC dan RL dengan

hanya satu elemen penyimpan energi. Untai seperti ini diselesaikan dengan persamaan diferensial orde 1. • Jika terdapat 2 elemen penyimpan energi, persamaan

diferensial yang dihasilkan adalah persamaan orde 2. • Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh untai orde 2.

Untai 1

Untai RLC seri (1)


• Suatu persamaan diferensial orde 2 memiliki solusi yang

dapat memiliki 3 bentuk, masing-masing bergantung pada elemen-elemen untai. • Perilaku ini dapat dianalogikan dengan perilaku sistem

mekanik berikut:

Untai 1

Untai RLC seri (2)


• Sistem diatas terdiri atas sebuah pegas dengan konstanta

k, sebuah damper dengan konstanta D dan sebuah massa M. • Jika massa dipindahkan dari posisi diamnya pada t = 0,

terdapat 3 kemungkinan gerakan yang terjadi: overdamped, critically damped atau underdamped (oscillatory ). • Perilaku diatas bergantung pada M, k dan D.

Untai 1

Untai RLC seri (3)


• Bentuk gerakan yang mungkin terjadi ditunjukkan pada

gambar berikut:

Untai 1

Untai RLC seri (4)

I. Setyawan Pendahuluan RLC seri

• Untai RLC pada gambar berikut tidak memiliki sumber

tegangan.

RLC paralel Exercises

• KVL untuk untai ini setelah switch ditutup adalah:

vR + vL + vC = 0 Z 1 di Ri + L + idt = 0 dt C

Untai 1

Untai RLC seri (5)


• Dengan menurunkan persamaan terakhir, dan membagi

dengan L, kita peroleh d 2i R di 1 + + i =0 dt 2 L dt LC • Solusi persamaan ini memiliki bentuk i = A1 e s1 t + A2 e s2 t . • Dengan memasukkan bentuk ini ke persamaan diferensial,

kita peroleh: 1 1 R R +A2 e s2 t s22 + s2 + =0 A1 e s1 t s12 + s1 + L LC L LC

Untai 1

Untai RLC seri (6)


• Dengan kata lain, jika s1 dan s2 merupakan akar-akar

persamaan s 2 + (R/L)s + (1/LC ) = 0, maka s 1 R R 2 − ≡ −α + β s1 = − + 2L 2L LC s R R 2 1 s2 = − − ≡ −α − β − 2L 2L LC • Pada persamaan diatas, α ≡ R/2L, β ≡

√ ω0 ≡ 1/ LC .

q

α2 − ω02 dan

Untai 1

Untai RLC seri (7)


• Jika α > ω0 , sistem disebut overdamped. • Dalam kasus ini, α dan β keduanya merupakan bilangan

real positif. • Dengan kata lain diperoleh

i = A1 e (−α+β)t + A2 e (−α−β)t = e −αt (A1 e βt + A2 e −βt )

Untai 1

Untai RLC seri (8)


Contoh soal 1: Sebuah untai RLC seri dengan R = 200 Ω, L = 0.10 H dan C = 13.33 µF, memiliki muatan kapasitor awal sebesar Q0 = 2.67 × 10−3 C. Sebuah switch ditutup pada t = 0 sehingga kapasitor dapat mengosongkan diri. Carilah arus transien.

Untai 1

Untai RLC seri (9)


Jawab: Pada untai ini diperoleh R = 103 s−1 2L 1 ω02 = = 7.5 × 105 s−2 LC p β = α2 − ω 2 = 500 s−1 α=

Jadi i = e −1000t A1 e 500t + A2 e −500t

Untai 1

Untai RLC seri (10)

I. Setyawan Pendahuluan RLC seri RLC paralel

Jawab (cont.):

Exercises

Nilai A1 dan A2 ditentukan kondisi awal untai. Elemen induktor mengharuskan i(0− ) = i(0+ ). Muatan dan tegangan kapasitor pada t = 0+ harus sama dengan pada t = 0− dan vC (0− ) = Q0 /C = 200 V. Dari sini diperoleh 0 = A1 + A2

± 2000 = −500A1 − 1500A2

sehingga A1 = ±2 dan A2 = ∓2. Jika diambil A1 positif, diperoleh i = 2e −500t − 2e −1500t

Untai 1

Untai RLC seri (11)


Jawab (cont.): Plot arus transien ditunjukkan gambar berikut:

Tanda A1 dan A2 ditentukan oleh asumsi polaritas muatan kapasitor dan arah arus.

Untai 1

Untai RLC seri (12)


• Jika α = ω0 , sistem disebut critically damped. • Dalam kasus ini, bentuk persamaan diferensial berubah,

dan solusi yang sudah diturunkan diatas tidak berlaku. • Persamaan diferensial menjadi berbentuk

di d 2i + 2α + α2 i = 0 dt dt • Solusi persamaan ini berbentuk i = e −αt (A1 + A2 t).

Untai 1

Untai RLC seri (13)


Contoh soal 2: Ulangi Contoh soal 1 dengan C = 10 µF, yang akan menghasilkan α = ω0 .

Untai 1

Untai RLC seri (14)


Jawab: Sama seperti sebelumnya, kita gunakan kondisi awal untuk mencari A1 dan A2 . Karena i(0− ) = i(0+ ) maka 0 = A1 + (A2 × 0) dan A1 = 0. Jadi di d = A2 te −αt = A2 −αte −αt + e −αt dt dt dari sini dapat diperoleh A2 = (di/dt)|t=0+ = ±2000 sehingga 3 i = ±2000te −10 t .

Untai 1

Untai RLC seri (15)


Jawab (cont.):


Sama seperti sebelumnya, polaritas ditentukan asumsi arah arus yang disebabkan polaritas tegangan awal kapasitor. Plot arus transien ditunjukkan pada gambar berikut.

Untai 1

Untai RLC seri (16)


• Jika α < ω0 , sistem disebut oscillatory atau

underdamped. • Dalam kasus ini, s1 dan s2 adalah pasangan kompleks

konjugat, atau s1 = α + jβ dan s2 = α − jβ. q • Dalam kasus ini, β ≡ ω02 − α2 • Solusi persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk

i = e −αt A1 e jβt + A2 e −jβt atau i = e −αt (A3 cos βt + A4 sin βt)

Untai 1

Untai RLC seri (17)


Contoh soal 3: Ulangi Contoh soal 1 dengan C = 1 µF, yang akan menghasilkan α < ω0 .

Untai 1

Untai RLC seri (18)


Jawab:

Exercises

Pada untai ini diperoleh R = 103 s−1 2L 1 ω02 = = 107 s−2 LC p β = 107 − 106 = 3000 rad/s−1 α=

Jadi i = e −1000t (A3 cos 3000t + A4 sin 3000t)

Untai 1

Untai RLC seri (19)


Jawab (cont.): Nilai A3 dan A4 diperoleh dengan memperhatikan syarat awal i(0+ ) = 0 dan vC (0+ ) = 0. Dari sini diperoleh A3 = 0 dan A4 = ±0.667. Sama seperti sebelumnya, polaritas ditentukan asumsi arah arus yang disebabkan polaritas tegangan awal kapasitor.

Untai 1

Untai RLC seri (20)


Jawab (cont.): Plot arus transien ditunjukkan pada gambar berikut.

Untai 1

Untai RLC paralel (1)


• Misalkan sebuah untai RLC paralel sebagai berikut:

Exercises

• Respon untai ini akan mirip dengan respon untai RLC seri,

yaitu berupa persamaan diferensial orde 2.

Untai 1



• Menggunakan metode tegangan node diperoleh:

v 1 + R L

Z

t

vdt + C 0

dv =0 dt

(1)

• Dengan menurunkan persamaan diatas dan membagi

dengan C , akan diperoleh d 2v 1 dv v + + =0 2 dt RC dt LC • Solusi persamaan ini akan memiliki bentuk:

v = A1 e s1 t + A2 e s2 t

(2)

Untai 1



• Pada Persamaan (2),

Exercises

1 s1 = − + 2RC 1 s2 = − − 2RC

s s

1 2RC

2

1 2RC

2

1 − = −α + LC

q α2 − ω02

1 = −α − LC

q α2 − ω02

−

√ dengan α = 1/2RC dan ω0 = 1/ LC . • Perhatikan bahwa α disini berbeda dari α pada rangkaian

RLC seri.

Untai 1



• Jika α2 > ω02 maka untai RLC paralel memiliki respon

overdamped. • Dalam kasus ini, solusi seperti pada Persamaan (2)

berlaku.

Untai 1



Contoh soal 4: Misalkan sebuah untai RLC paralel dengan R = 1000 Ω, C = 0.167 µF dan L = 1.0 H, memiliki tegangan awal pada kapasitor sebesar V0 = 50 V. Carilah v (t) jika switch ditutup pada waktu t = 0.

Untai 1



Jawab:

Exercises

Dalam kasus ini kita peroleh α=

1 = 2994 α2 = 8.96 × 106 2RC

ω02 =

1 = 5.99 × 106 LC

Untai ini overdamped. Dari Persamaan (2) kita peroleh q s1 = −α + α2 − ω02 = −1271 q s2 = −α − α2 − ω02 = −4717

Untai 1



Jawab (cont.):

Exercises

Pada waktu t = 0, V0 = A1 + A2

dan

dv = s1 A1 + s2 A2 dt t=0

Dari Persamaan (1), pada saat t = 0 dan tidak ada arus awal pada induktor, kita peroleh: V0 dv dv V0 +C = 0 atau =− R dt dt t=0 RC

Untai 1



Jawab (cont.): Dari sini dapat diperoleh A1 =

V0 (s2 + 1/RC ) = 155.3 s2 − s1

dan A2 = V0 − A1 = 50 − 155.3 = −105.3 Dengan memasukkan hasil ini ke Persamaan (2) kita peroleh v = 155.3e −1271t − 105.3e −4717t V

Untai 1



Jawab (cont.): Plot tegangan ditunjukkan pada gambar berikut:

Untai 1



• Jika ω02 > α2 , untai disebut underdamped atau

oscillatory. • Keadaan ini menghasilkan persamaan yang sama dengan

kondisi underdamped pada untai RLC seri, atau v = e −αt (A1 cos ωd t + A2 sin ωd t) q dengan α = 1/2RC dan ωd = ω02 − α2 . • Frekuensi ωd sering disebut dengan damped (radian)

frequency.

(3)

Untai 1



Contoh soal 5: Sebuah untai RLC paralel memiliki R = 200 Ω, L = 0.28 H dan C = 3.57 µF. Kapasitor memiliki tegangan awal V0 = 50 V. Carilah fungsi tegangan jika switch ditutup pada t = 0.

Untai 1



Jawab: Untuk untai ini, diperoleh: 1 1 = = 700 RC 2 × 200 × 3.57 × 10−6 α2 = 4.9 × 105 1 1 = = 106 ω02 = LC 0.28 × 3.57 × 10−6 α=

Karena ω02 > α2 , untai akan menunjukkan respon underdamped. Kita peroleh juga q q 2 2 ωd = ω0 − α = 106 − (4.9 × 105 ) = 714

Untai 1



Jawab (cont.): Pada t = 0, V0 = 50. Oleh karena itu, pada Persamaan (3) diperoleh A1 = V0 = 50. Dari persamaan tegangan node diperoleh: Z V0 1 t dv + =0 vdt + C R L 0 dt dv V0 =− dt t=0 RC

Untai 1



Jawab (cont.):


Dengan menurunkan Persamaan (3) dan membuat t = 0 kita peroleh: V0 dv = ωd A2 − αA1 = − dt t=0 RC Karena A1 = 50, maka A2 =

−(V0 /RC ) + V0 α = −49 ωd

sehingga v = e −700t (50 cos 714t − 49 sin 714t) V

Untai 1



• Kasus critically damped tidak akan dibahas disini, karena

tidak banyak berguna dalam desain untai. • Hal ini disebabkan karena respon untai dalam kasus ini,

meskipun teredam, mendekati respon yang berosilasi.

Untai 1

Contoh soal tambahan (1)


Contoh soal 6: Sebuah untai RLC seri dengan R = 3 kΩ, L = 10 Hdan C = 200 µF. Sebuah sumber tegangan konstan sebesar 50 V dipasang pada saat t = 0. a. Carilah arus transien, jika kapasitor tidak memiliki muatan awal. b. Cari nilai maksimum arus dan waktu t saat nilai ini dicapai.

Untai 1



Jawab (a.): Untuk untai ini kita peroleh: α=

R 1 = 150 s−1 ω02 = = 500 s−1 2L LC p β = α2 − ω 2 = 148.3 s−1

Karena α > ω0 , untai ini termasuk jenis over-damped. Jadi, s1 = −α + β = −1.7 s−1

s2 = −α − β = −298.3 s−1

dan i = A1 e −1.7t + A2 e −298.3t

Untai 1



Jawab (a., cont.): Untai mengandung induktor, sehingga i(0− ) = i(0+ ) = 0. Juga, karena Q(0− ) = Q(0+ ) = 0, maka pada waktu t = 0+ kita peroleh di 0+0+ L =V dt 0+ di V = dt 0+ L = 5 A/s

Untai 1



Jawab (a., cont.): Dengan memasukkan syarat-syarat ini ke persamaan i, diperoleh: 0 = A1 (1) + A2 (1) 5 = −1.7A1 (1) − 298.3A2 (1) Sehingga diperoleh A1 = −A2 = 16.9 mA. Jadi persamaan fungsi transien adalah i = 16.9 e −1.7t − e −298.3t mA

Untai 1



Contoh soal 7: Sebuah untai RLC seri dengan R = 50 Ω, L = 0.1 Hdan C = 50 µF. Suatu tegangan konstan V = 100 V dipasang pada t = 0. Carilah arus transien, jika: a. Diasumsikan kapasitor awalnya kosong. b. Diasumsikan kapasitor memiliki muatan awal Q0 = 2500 µC.

Untai 1



Jawab (a.): Pada untai ini kita peroleh α=

R 1 = 250 s−1 ω02 = = 2 × 105 s2 2L LC q β = α2 − ω02 = j370.8 rad/s

Untai ini underdamped, sehingga diperoleh i = e −250t (A1 cos 370.8t + A2 sin 370.8t)

Untai 1



Jawab (a., cont.): Dengan analisis yang sama seperti soal sebelumnya, kita peroleh kondisi awal di + = 1000 A/s i(0 ) = 0 dt 0+ Dari sini dapat ditentukan nilai A1 = 0 dan A2 = 2.7 A. Jadi kita peroleh: i = e −250t (2.7 sin 370.8t) A

Untai 1



Jawab (b.):


Jika kapasitor memiliki muatan awal, syarat awal kedua menjadi Q0 di =V 0 + L + dt 0+ C 100 − (2500/50) di = dt 0+ 0.1 = 500 A/s Karena nilai ini setengah dari nilai pada soal (a), maka dengan menggunakan prinsip linearitas kita peroleh: i = e −250t (1.35 sin 370.8t) A

Untai 1



Contoh soal 8: Suatu untai RLC paralel memiliki R = 50 Ω, C = 200 µF dan L = 55.6 mH. Kapasitor memiliki muatan awal Q0 = 5 mC. Carilah tegangan pada untai tersebut.

Untai 1



Jawab: Untuk untai ini diperoleh α=

1 = 50 s−1 2RC

ω02 =

1 = 8.99 × 104 s−2 LC

Untai q ini underdamped, dengan frekuensi osilasi ωd =

ω02 − α2 = 296 rad/s. Fungsi tegangan berbentuk v = e −50t (A1 cos 296t + A2 sin 296t)

Untai 1



Jawab (cont.): Karena Q0 = 5 × 10−3 C, diperoleh V0 = 25 V. Jadi pada saat t = 0, v = 25 V. Dari sini dapat diperoleh A1 = 25. Kita peroleh juga dv d = e −αt (A1 cos ωd t + A2 sin ωd t) dt dt = −αe −αt (A1 cos ωd t + A2 sin ωd t) + e −αt (−ωd A1 sin ωd t + ωd A2 cos ωd t)

Untai 1



Jawab (cont.): Pada saat t = 0, dv /dt = −V0 /RC . Jadi untuk t = 0 diperoleh −V0 = ωd A2 − αA1 RC Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui, dapat diperoleh A2 = −4.22. Jadi fungsi tegangan adalah v = e −50t (25 cos 296t − 4.22 sin 296t) V

Untai Elektrik I. Untai Orde Tinggi & Frekuensi Kompleks. Dr. Iwan Setyawan. Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana. Untai 1. I

Recommend Documents