Jurnal Kompetensi Teknik Vol. 2, No. 2, Mei 2011
137
Aplikasi Karnough Map untuk Penyelesaian Desain Untai Logika Model Moore Rafael Sri Wiyardi Jurusan Teknik Elektro, FT, Universitas Negeri Semarang
[email protected]
Abstrak: Aplikasi Karnough map didalam penyelesaian desain teknik digital sangat bermanfaat. Pemakaian Karnough map dapat dikembangkan sesuai dengan jumlah variabel. Desain teknik digital memerlukan keahlian dan pengalaman seseorang untuk mengoptimalkan. Desain untai logika model Moore dengan menggunakan combinational logic dan flip flop. Penyusunan ini dilakukan dengan menggunakan: tabel kebenaran, State assignments ( keadaan yang harus dipilih/digunakan), contoh desain, Karnough map. Analisis yang digunakan adalah metode normatip. Tabel desain dapat deselesaikan dengan combinational logic dan flip flop. Flip flop dapat dipilih dengan flip flop data (flip flop-D) atau flip flop J-K. Hasil desain dengan metode normatip yang diperoleh menunjukkan sama dengan menggunakan metode cepat. Karnough map dapat digunakan untuk penyelesaian desain model Moore, baik dengan metode normatip maupun dengan menggunakan metode cepat. Hasil desain ditunjukkan dalam bentuk untai digital (mesin) model Moore. Kata kunci: Karnough map, Desain, Untai logika, Model Moore.
1. Pendahuluan Karnough map adalah metode untuk penye-derhanaan persamaan Boolean. Karnough map atau peta Karnough merupakan alternatip untuk penyelesaian didalam teknik digital. Susunan Karnough map terdiri dari beberapa sel (kotak). Jumlah sel (kotak) tergantung dari variabel masukan (input) yang dinyatakan dengan n. Jumlah sel pada Karnough map sama dengan 2n. Untuk 3 variabel, jumlah kotak ada 23 = 8 kotak, untuk 4 variabel, jumlah kotak ada 24 berarti ada 16 kotak. Model Moore didalam teknik digital memiliki keluaran (output) yang hanya tergantung dari adanya state (keadaan) atau keluaran dari mesin menyatakan satu kolom saja. Mesin atau untai logik model Moore terdiri dari combinational logic dan flip flop. Flip flop yang diterapkan bisa menggunakan flip flop-D atau flip flop- JK. Karnough map digunakan untuk penyelesaian desain untai logika model Moore. Untuk memperoleh hasil yang maximal guna mendukung perkuliahan yang telah dikembangkan sesuai dengan
langkah-langkah instruksional dan satuan acara perkuliahan (SAP). Karnough map digunakan untuk penyelesaian desain untai logika model Moore. Model Moore dalam untai logika keluaran (output) menyatakan satu kolom saja. Desain logika dan untai digital mengalami perubahan sangat cepat. Dalam bidang desain logika dan untai digital diperlukan pedoman praktis dan teori dasar maupun contoh-contoh rancangan logika. Disamping itu juga diperlukan bahasa matematis yang sederhana. Salah satu cara di dalam teknik digital adalah cara penyerderhanaan dan cepat serta tepat penyelesaian desain. Cara penyerderhanaan adalah dengan menggunakan Karnough. Metode Karnough merupakan metode yang tepat untuk menyatakan fungsi penyambungan secara grafik, dan disebut: peta Karnough (Karnough map). Susunan Karnough map minimal memiliki 2 (dua) sel (kotak) yang saling menempel sel yang satu dengan sel yang lain. Dalam teknik digital untuk penyelesaian dengan Karnough map
Jurnal Kompetensi Teknik Vol. 2, No. 2, Mei 2011
138
menggunakan sistem bilangan biner yang memiliki dasar 2 (dua) dengan simbol 0 dan 1. Jumlah sel (kotak) pada Karnough map sama dengan 2n, n adalah jumlah variabel masukan (input).
AB C
00
01
11
0
2
6
4
1
3
7
5
0
2. Susunan Karnough map
1
Susunan Karnough map tergantung jumlah variabel masukan.
10
b. Gambar 2.
2.1. Karnough map 2 variabel atau n = 2. n
Jumlah sel (kotak) Karnough map = 2 sel = 4 sel. Karnough map dengan 2 variabel ditunjukkan gambar 1.
Untuk susunan Karnough map 3 variabel vertikal ditunjukkan gambar 3. A
A' 0
BC
A B
A'
A
0
1
A
B'C' 00
A'B'C'
AB'C'
B'C 01
A'B'C
AB'C
A'BC
ABC
A'BC'
A'BC'
B
0
1
BC 11
B' 0 A'B' AB' atau
B' 0
0
2
BC' 10
B 1 A'B
B 1
1
3
AB
A 1
a.
Gambar 1 atau 2.2. Karnough map dengan 3 variabel. Susunan Karnough map 3 variabel bisa vertikal atau horisontal. Gambar 2 adalah susunan Karnough map horisontal.
AB
A'B 01
AB 11
AB' 10
C' 0 A'B' C'
A'BC'
ABC'
AB'C'
C 1 A'B'C
A'BC
ABC
AB'C
C
A'B' 00
0
1
00
0
4
01
1
5
11
3
7
10
2
6
b. Gambar 3
a. atau
A BC
2.3. Karnough map 4 variabel. Susunan Karnough map dengan 4 variabel terlihat pada gambar 4.
Jurnal Kompetensi Teknik Vol. 2, No. 2, Mei 2011
139
Tabel 1. Masukan flip flop AB
A'B'
A'B
AB
C'D'
A'B'C'D' 00
A'BC'D'
ABC'D'
AB'C'D'
C'D
A'B'C'D
A'BC'D
ABC'D
AB'C'D
CD
A'B'CD
A'BCD
ABCD
AB'CD
CD'
A'B'CD'
A'BCD'
ABCD'
AB'CD'
CD
A A* input
AB'
a.
0
0
0
1
1
0
1
1
A = input flip flop A* = flip flop A.
Desain dengan menggunakan flip flop bersama tabel kebenaran seperti tabel 2, dapat dikembangkan dan harus mengikuti salah satu dari tabel keadaan (State assignments).
atau
Tabel 2. Tabel keadaan
AB CD
00
01
11
10
00
0
4
12
8
01
1
5
13
9
11
3
7
15
11
2 10
6
14
10
10
b.
Q* Q A B C D
x–1 B C D D
x=0 A A A A
z 0 0 0 1
Menurut Alan B Marcovitz ada 3 state assignments pilihan dari tabel 2. (2005 : 412) Adapun tiga state assignments seperti ditunjukkan pada tebel 3.
Gambar 4. Tabel 3. State assignments.
3. Teknik desain model Moore Dalam model Moore untai logika sangat berhubungan dengan combinational logic dan suatu flip flop. Jenis jenis flip flop adalah flip flop D, flip flop T, flip flop SR, flip flop-JK Desain tabel kebenaran dikembangkan untuk keadaan selanjutnya yang akan digunakan dalam hubungan dengan masukan flip flop. Tabel desain yang berhubungan dengan menggunakan flip flop secara umum ditunjukkan pada Tabel 1.
Q A B C D
Q1 0 0 1 1
Q2 0 1 0 1 a.
Q A B C D
Q1 Q2 0 0 1 1 1 0 0 1 b.
Q A B C D
Q1 0 0 1 1
Q2 0 1 1 0 c.
Dari Tabel 3 state assignments ada 3 pilihan yang dapat digunakan untuk menyusun desain tabel kebenaran. Dalam menyusun desain dengan menggunakan flip flop selanjutnya dapat memilih salah satu dari tabel 3 tersebut.
Jurnal Kompetensi Teknik Vol. 2, No. 2, Mei 2011
140
4. Desain dengan menggunakan flip flop JK Dalam menyusun desain yang menggunakan flip flop diawali dengan menggunakan Tabel 1. Dengan menggunakan tabel 1 untuk desain model Moore yang menggunakan flip flop JK dapat dikembangkan menjadi tabel desain seperti ditunjukkan Tabel 4.
Tabel 4. Flip flop JK A 0 0 1 1
A* 0 1 0 1
J 0 1 x x
K x x 1 0
Dengan memilih salah satu dari tabel 3, (tabel 3 a, tabel 3 b, atau tabel 3 c), maka desain flip flop dari tabel 4 dapat disusun menjadi tabel masukan flip flop. Untuk selanjutnya tabel 4 dapat dikembangkan dengan menggunakan 2 flip flop. Apabila memilih atau menggunakan state assignments tabel 3 a, maka dapat disusun desain tabel kebenaran seperti dinyatakan pada tabel 5.
Tabel 6. Tabel masukan flip flop
x 0 0 0 0 1 1 1 1
Q2 0 1 0 1 0 1 0 1
Q1* Q2* 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
Q1* Q2* 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
J1 0 0 x x 0 1 x x
K1 x x 1 1 x x 0 0
J2 0 x 0 x 1 x 1 x
K2 x 1 x 1 x 1 x 0
menggunakan flip flop JK dapat diselesaikan dengan Karnough map.
5. Aplikasi Karnoug map. Secara umum table 5 dapat disele-saikan dengan menggunakan flip flop D, atau menggunakan flip flop JK. Dari table 5, bila diterapkan dengan menggunakan flip flop D, maka dapat disusun dengan Karnough map seperti pada gambar 5 berikut.
x Q1Q2
Q1 0 0 1 1 0 0 1 1
Q2 0 1 0 1 0 1 0 1
Dengan diperoleh tabel masukan flip flop seperti table 6, maka desain perencanaan teknik digital dengan
Tabel 5. Desain tabel kebenaran
x 0 0 0 0 1 1 1 1
Q1 0 0 1 1 0 0 1 1
x 0
1
Q1Q2
1 1 11
1
1
1
a. Q1*.
b. Q2* Gambar 5.
Dari table 4 dan table 5 maka desain menggunakan 2 buah flip flop JK dan untuk keluaran (out put) z = Q1.Q2, dapat diawali dengan menyusun tabel input flip flop yang lengkap seperti dinyatakan dalam table 6.
Gambar 5-a menyatakan hasil untuk D1 pada Flip flop 1 (Q1*). D1 = x.Q1 + x. Q2 Gambar 5-b menyatakan hasil untuk D2 pada Flip flop 2 (Q2*). D2 = x.Q1 + x.Q2' dan z = Q1.Q2.
Jurnal Kompetensi Teknik Vol. 2, No. 2, Mei 2011
Setelah didapatkan persamaan flip flop D1 dan D2, untai logika flip flop D dapat disusun seperti terlihat pada gambar 6.
141
x Q1Q2
x 0
1
Q1Q2
1
x
1
x
x
x
x 1
x
x
1
Q2'
1 x
x
1 x
x' c. J2 = x
Gambar 7.
Gambar 6.
Apabila menggunakan Flip flop JK, selanjutnya diselesaikan dengan Karnough map. Karena variabel input flip flop ada 3, maka jumlah kotak (sel) pada Karnough map ada 23 kotak = 8 kotak. Susunan Karnough map bisa dipilih arah vertikal atau horisontal. Untuk penyelesaian desain dengan menggunakan flip flop JK dari tabel 6, dan dengan menggunakan susunan Karnough map arah vertikal dapat dilakukan. Data dari tabel 6 dimasukkan dalam Karnough map sesuai dengan setiap flip flop (J1, K1, J2 dan K2). Hasil atau gambar peta (map) seperti ditunjukkan gambar 7.
x Q1Q2
d. K2 = x' + Q1'
Dari: gambar 7a didapatkan J1 = x.Q2 gambar 7b didapatkan K1= x' J1 dan K1 pada flip flop FF-1. gambar 7c didapatkan J2 = x gambar 7d didapatkan K2 = x'+ Q1' J2 dan K2 pada flip flop FF-2 Dengan demikian untai logika dapat disusun dengan gerbang (gate). Karena out put atau keluaran telah dinyatakan yaitu z = Q1.Q2, maka untai logikanya seperti dinyatakan gambar 8.
x 0
1
1 x
x
x
x
a. J1 = x.Q2
Q 1Q 2
x' xQ2
x
x
x
x
1 1 b. K1 = x'
Gambar 8.
Desain dengan menggunakan flip flop JK dapat diselesaikan dengan menggunakan metode cepat. Desain pada tabel kebenaran Tabel 5 dapat langsung digunakan. Untuk menyelesaikan desain dengan flip flop JK digunakan Karnough map. Data dari Tabel 5. dimasukkan dalam Karnough map seperti ditunjukkan pada gambar 9.
Jurnal Kompetensi Teknik Vol. 2, No. 2, Mei 2011
142
x
x x'
Q1Q2
x
1
Q2
a-1
1
Q2 1
x Q2
1
1
a-2
1
9-a. Map Q1*
Q1
1
b-1
Q1Q2
1
1 x
1
Q1
1 b-2
Hasil penyelesaian desain dari gambar 7 dan gambar 9 adalah sama. Dengan demikian untai logika atau susunan mesin model Moore juga sama yaitu seperti dinyatakan pada gambar 8.
6. Penutup
x x
Pada : gambar 9b-1 untuk J2 dan J2 = x. gambar 9b-2 untuk K2'. K2 menempati atau mengisi sel kosong pada K2', sehingga sel kosong pada K2' milik K2, dan K2 = x' + Q1'.
1
9-b. Map Q2* Gambar 9.
Karnough map gambar 9a diurai menjadi gambar 9a-1 dan gambar 9a-2. Demikian juga gambar 9b, diuraikan menjadi gambar 9b-1 dan gambar 9b-2. Hal tersebut diselesaikan sesuai dengan masing-masing flip flop. Untuk Q1* maka sel Q1 pada Karnough map dihilangkan, seperti ditunjukkan gambar : 9a-1dan gambar 9a-2. Pada : gambar 9a-1 untuk J1 dan J1 = x.Q2. gambar 9a-2 untuk K1'= x. K1 kebalikan dari K1' atau menempati sel kosong pada map K1' . dan K1 = x'. Untuk Q2* maka sel Q2 pada Karnough map dihilangkan, seperti ditunjukkan gambar : 9b-1 dan gambar 9b-2.
Data desain model Moore yang telah ditentukan, selanjutnya disusun menjadi data masukan. Karnough map merupakan dasar untuk menentukan penyederhanaan jumlah gerbang combinational logic maupun tipe flip flop yang dipilih. Untai logika model Moore dapat diselesaikan dengan Karnough map. Penyelesaian desain untai model Moore dapat memilih salah satu dari state assignments. Model mesin Moore atau untai logika dapat menerapkan dengan meng-gunakan flip flop data atau flip flop JK. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode normatip dan metode cepat adalah sama.
7. Daftar Pustaka Alan, B M, 2005. Introdction To Logic design , Mc Graw-Hill Comp. Inc, New York Jain, R P, 2004. Modern Digital Elektronic. Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited. Singapure John F W, 2000. Digital Design Principles and Practices. Prentice-Hall, Inc. USA Thomas L F, 2003. Digital Fundamentals. Pearson Education, Inc., New Jersey. USA
