Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta
´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A
Tom´aˇs Marada
Nashovo ekvilibrium Katedra pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky
ˇ Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Mgr. Michal Cervinka Studijn´ı program: Matematika Studijn´ı obor: Obecn´a matematika
2006
ˇ Chtˇel bych podˇekovat sv´emu vedouc´ımu Mgr. Michalu Cervinkovi, kter´ y mˇe po cel´ y ˇcas psan´ı pr´ace poskytoval velice cenn´e konstruktivn´ı rady a hledal chyby nejen matematick´e, ale i stylistick´e a gramatick´e.
Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakal´aˇrskou pr´aci napsal samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcov´an´ım pr´ace a jej´ım zveˇrejˇ nov´an´ım.
V Praze dne 13. ˇcervence 2006
Tom´aˇs Marada
Obsah 1 Definice z´ akladn´ıch pojm˚ u 1.1 Z´akladn´ı definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nashovo ekvilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 10
2 Diskr´ etn´ı hry 2.1 Diskr´etn´ı hry dvou hr´aˇc˚ u. . . . . 2.1.1 Vˇezˇ novo dilema . . . . . . 2.1.2 Kˇriˇzovatka . . . . . . . . . 2.1.3 Bitva pohlav´ı . . . . . . . 2.1.4 Probl´em kooperace . . . . 2.1.5 Hra bez Nashova ekvilibria 2.2 Diskr´etn´ı hry n hr´aˇc˚ u. . . . . . . 2.2.1 Ekologick´a hra . . . . . .
13 13 13 14 16 18 18 20 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v ˇcist´ ych strategi´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
3 Spojit´ e hry 23 3.1 Cournot˚ uv model duopolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Cournot˚ uv model oligopolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Stackelberg˚ uv model oligopolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
N´ azev pr´ ace: Nashovo ekvilibrium Autor: Tom´aˇs Marada Katedra: Katedra pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky ˇ Vedouc´ı bakal´ aˇ rsk´ e pr´ ace: Mgr. Michal Cervinka e-mail vedouc´ıho:
[email protected] Abstrakt: V pˇredloˇzen´e pr´aci studujeme koncept Nashova ekvilibria. Popisujeme z´akladn´ı principy nekooperativn´ıch her a hled´an´ı rovnov´aˇzn´ ych bod˚ u na z´akladˇe preferenˇcn´ıch relac´ı. Bez d˚ ukaz˚ u zde uv´ad´ıme z´akladn´ı d˚ uleˇzit´e vˇety. Na d˚ ukazy odkazujeme do literatury. Jako pˇr´ıklady diskr´etn´ıch her dvou aˇz tˇr´ı hr´aˇc˚ u uv´ad´ıme zn´am´e u ´lohy jako Vˇezˇ novo dilema, Kˇriˇzovatka, Bitva pohlav´ı, Probl´em kooperace a Ekologick´a hra. V posledn´ı kapitole pˇredstavujeme Cournot˚ uv a Stackelberg˚ uv model oligopolu jako pˇr´ıklady spojit´ ych her. Kl´ıˇ cov´ a slova: Nashovo ekvilibrium, nekooperativn´ı hry, vˇezˇ novo dilema, kˇriˇzovatka, bitva pohlav´ı, probl´em kooperace, ekologick´a hra, Cournot˚ uv model, Stackelberg˚ uv model
Title: Nash equilibrium Author: Tom´aˇs Marada Department: Department of Probability and Mathematical Statistics ˇ Supervisor: Mgr. Michal Cervinka Supervisor’s e-mail address:
[email protected] Abstract: In the presented work we study Nash Equilibrium and some parts of the Game theory that are based on it. We describe fundamentals of the noncooperative games and finding Nash Equilibrium in them according to player’s preferences. We present some important lemmas without proving them. The proofs can be found in literature. We describe some discrete games such as Prisoner’s Dilemma, Crossroads Game, Battle of the Sexes, Coordination Game and Ecology Game. In the last chapter we explain Cournot’s and Stackelberg’s model of oligopoly as examples of continuous games. Keywords: Nash Equilibrium, Non-cooperative Games, Prisoner’s Dilemma, Crossroads Game, Battle of the Sexes, Coordination Game, Ecology Game, Cournot’s Model, Stackelberg’s Model
´ Uvod Jak jiˇz n´azev napov´ıd´a, ekvilibrium, neboli rovnov´aˇzn´ y bod, je stav vz´ajemn´e rovnov´ahy vˇsech ˇc´ast´ı nˇejak´eho celku. V t´eto pr´aci se budeme zab´ yvat statick´ ymi ekvilibrii. Dynamick´a ekvilibria jsou nad r´amec t´eto pr´ace. Jak hledat rovnov´aˇzn´ y bod uk´azal jako prvn´ı jiˇz v roce 1838 francouzsk´ y matematik Antoine Augustin Cournot. Cournot hledal ekvilibrium v u ´loze, kter´a je nyn´ı zn´am´a jako Cournot˚ uv model duopolu. Nashovo ekvilibrium se naz´ yv´a po americk´em matematikovi Johnu Forbes Nashovi. Nash nav´azal na pr´aci matematika Johna Von Neumanna, kter´ y st´al u zrodu teorie her, a ekonoma Oskara Morgensterna. Tito dva ameriˇcan´e jiˇz pˇred Nashem dok´azali existenci rovnov´aˇzn´eho bodu v kaˇzd´e koneˇcn´e hˇre pro dva hr´aˇce. Nash v roce 1950 v pouh´ ych jedenadvaceti letech sepsal svou disertaˇcn´ı pr´aci Nekooperativn´ı hry“ [4]. V t´eto pr´aci dok´azal existenci rovnov´aˇzn´eho ” bodu v nekooperativn´ıch hr´ach n hr´aˇc˚ u a jeho nalezen´ı na z´akladˇe preferenc´ı hr´aˇc˚ u. Pozdˇeji uplatnil tyto v´ ysledky v kooperativn´ıch hr´ach. Za zaveden´ı rozliˇsen´ı mezi kooperativn´ımi a nekooperativn´ımi hrami dostal v roce 1994 Nobelovu cenu. O teorii her m˚ uˇzeme mluvit od 40. let minul´eho stolet´ı. Pod pojmem hr´aˇci m˚ uˇzeme uvaˇzovat lidi, firmy, zv´ıˇrata, st´aty, t´emˇeˇr jak´ ykoliv subjekt, kter´ y o nˇeˇcem rozhoduje. Pod pojmem hra si m˚ uˇzeme pˇredstavit hru pockeru, obchodn´ı jedn´an´ı, studenou v´alku, nebo tˇreba namlouv´an´ı samiˇcek mezi zv´ıˇraty. Teorie her se snaˇz´ı analyzovat a pˇredpov´ıdat racion´aln´ı chov´an´ı hr´aˇc˚ u. Pˇrestoˇze pˇredpoklad ryz´ı racionality nen´ı v bˇeˇzn´em ˇzivotˇe vˇzdy splnˇen, z dlouhodob´eho hlediska se ve hˇre udrˇz´ı pr´avˇe racion´alnˇe se chovaj´ıc´ı hr´aˇci. Nashovo ekvilibrium mˇelo velk´ y v´ yznam pro rozvoj ekonomie a proto je nejˇcastˇeji s ekonomi´ı spojov´ano. M´a vˇsak mnohem ˇsirˇs´ı vyuˇzit´ı, napˇr´ıklad v jiˇz zmiˇ novan´e biologii nebo politice. ˇ a Toto t´ema jsem si pro svou bakal´aˇrskou pr´aci vybral m´ırnˇe ovlivnˇen filmem Cist´ ” duˇse“, kde jsem o Nashovi slyˇsel poprv´e. V z´akladn´ım kurzu ekonomie mˇe velice zaujala u ´loha Vˇezˇ novo dilema. Pˇrekvapilo mˇe jak na prvn´ı pohled sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohu lze tak jednoduˇse analyzovat a ˇreˇsit. Dle m´eho n´azoru je teorie nekooperativn´ıch her velice uˇziteˇcn´a v kaˇzdodenn´ım ˇzivotˇe, nejen v teoretick´e rovinˇe. Proto, kdyˇz jsem vidˇel t´emata bakal´aˇrsk´ ych prac´ı, m´a volba byla jednoznaˇcn´a. Tato pr´ace by mˇela poskytnout lehk´ yu ´vod do problematiky nekooperativn´ıch her a nast´ınit postup pˇri jejich ˇreˇsen´ı. Zamˇeˇr´ıme se na z´akladn´ı popis a hled´an´ı Nashova ekvilibria. Tento bod budeme hledat na z´akladˇe preferenc´ı jednotliv´ ych hr´aˇc˚ u. Pr´ace
6 je ˇclenˇena do tˇr´ı kapitol. V prvn´ı kapitole si zavedeme z´akladn´ı pojmy a definice. Kapitolu zakonˇc´ıme nˇekolika d˚ uleˇzit´ ymi vˇetami, kter´e uvedeme bez d˚ ukazu. Na d˚ ukazy odk´aˇzeme do literatury. V druh´e kapitole se pod´ıv´ame na diskr´etn´ı hry, kde hr´aˇci maj´ı pouze dvˇe moˇznosti jak se rozhodnout. Z´akladn´ı principy hled´an´ı rovnov´ahy budeme ilustrovat nejprve na hr´ach dvou hr´aˇc˚ u. Pˇredstav´ıme si u ´lohy Vˇezˇ novo dilema, Kˇriˇzovatka, Bitva pohlav´ı a Probl´em spolupr´ace. Na konci kapitoly uvedeme pˇr´ıklad hry tˇr´ı hr´aˇc˚ u s n´azvem Ekologick´a hra. Ve tˇret´ı kapitole se zamˇeˇr´ıme na spojit´e hry. Zaˇcneme Cournotov´ ym modelem duopolu, kter´ y pot´e zobecn´ıme na oligopol. Pokraˇcovat budeme Stackelbergov´ ym modelem oligopolu. Dalˇs´ı ekonomick´e modely zm´ın´ıme pouze okrajovˇe.
1 Definice z´ akladn´ıch pojm˚ u 1.1
Z´ akladn´ı definice
Definice 1.1. Hru v norm´ aln´ım tvaru definujeme jako trojici (P ; S; f ), kde P je n-prvkov´a mnoˇzina hr´aˇc˚ u, S = S1 × S2 × . . . × Sn je n-rozmˇern´y prostor strategi´ı (rozhodnut´ı) a f je vektorov´ a funkce f : S → Rn . Oznaˇc´ıme i-t´eho hr´ aˇce pi ∈ H, mnoˇzinu vˇsech jeho moˇzn´ych strategi´ı Si a konkr´etn´ı strategii v dan´e hˇre si ∈ Si . Funkci fi : S → R, kter´a bodu z S pˇriˇrad´ı v´yplatu i-t´eho hr´ aˇce, nazveme u ´ˇ celov´ a funkce i-t´eho hr´aˇce. Definice 1.2. Nekooperativn´ı hra je takov´ a hra, kde se hr´ aˇci mezi sebou nedomlouvaj´ı. Kaˇzd´y hr´aˇc sleduje pouze sv˚ uj vlastn´ı z´ ajem, kter´y m˚ uˇze kolidovat se z´ajmy ostatn´ıch hr´aˇc˚ u. Kaˇzd´ y z hr´aˇc˚ u si zvol´ı strategii, kterou bude hr´at, a pot´e ji v jednom momentˇe vˇsichni hr´aˇci zahraj´ı. Podle charakteru mnoˇzin Si mluv´ıme o koneˇ cn´ ych (diskr´ etn´ıch) nebo o spojit´ ych hr´ach. Definice 1.3. Sm´ıˇ senou strategii i-t´eho hr´ aˇce µi definujeme, jako pravdˇepodob´ celovou funkci i-t´eho hr´ nostn´ı m´ıru na Si . Uˇ aˇce f˜i ve sm´ıˇsen´ych strategi´ıch lze vyj´adˇrit ve tvaru Z f˜i (µ1 , . . . , µn ) = fi (s1 , . . . , sn ) dµ1 (s1 ) . . . dµn (sn ). S
V pˇr´ıpadˇe, ˇze mnoˇziny strategi´ı Si jsou nejv´yˇse spoˇcetn´e (speci´ alnˇe koneˇcnˇe prvkov´e), ˜ je u ´ˇcelov´a funkce i-t´eho hr´aˇce fi rovna n XY ˜ fi (µ1 , . . . , µn ) = µj (sj ) fi (s1 , . . . , sn ). s∈S
j=1
Pozn´amka 1.4. Sm´ıˇsenou strategii i-t´eho hr´aˇce lze tak´e definovat jako pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı na Si pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce. Jelikoˇz pravdˇepodobnostn´ı m´ıra jednoznaˇcnˇe urˇcuje distribuˇcn´ı funkci a naopak, jsou tyto definice ekvivalentn´ı. My pouˇz´ıv´ame definici s pravdˇepodobnostn´ı m´ırou pro jej´ı vˇetˇs´ı intuitivnost. Definice 1.5. Pokud µi (si ) je Diracova m´ıra, potom ˇr´ık´ ame, ˇze i-t´y hr´ aˇc hraje ˇ cistou strategii.
1.1 Z´ akladn´ı definice
8
2. hr´aˇc
1. hr´aˇc 1 2 (−1, 3) (5, 0) (2, 5) (1, 1)
I II
Tabulka 1.1: Bimaticov´a hra.
Pozn´amka 1.6. Je zˇrejm´e, ˇze hra v ˇcist´ ych strategi´ıch je speci´aln´ı pˇr´ıpad hry ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch, kdy hr´aˇci vol´ı jednu strategii z mnoˇziny Si s pravdˇepodobnost´ı 1 a ostatn´ı s pravdˇepodobnost´ı 0. Pokud nebude uvedeno jinak, budeme v n´asleduj´ıc´ım mluvit o strategi´ıch ve smyslu sm´ıˇsen´ ych strategi´ı. Dopust´ıme se urˇcit´e nepˇresnosti a budeme znaˇcit strategie pouze (s1 , . . . , sn ) ∈ S nam´ısto (µ1 (s1 ), . . . , µn (sn )) pro s ∈ S a u ´ˇcelovou funkci znaˇcme pouze fi nam´ısto f˜i . Pro zjednoduˇsen´ı z´apisu pouˇzijeme znaˇcen´ı s−i pro vektor strategi´ı s vynechanou i-tou sloˇzkou. Po pˇreznaˇcen´ı budeme pouˇz´ıvat zkr´acen´ y ˜ z´apis u ´ˇcelov´e funkce fi (si , s−i ) na m´ısto fi (µ1 (s1 ), . . . , µn (sn )). V pˇr´ıpadˇe diskr´etn´ıch her budeme v´ yplaty hr´aˇc˚ u zapisovat do tabulky. Kaˇzd´ y z hr´aˇc˚ u m´a svou v´ yplatu zaps´anu v matici. Pokud budeme uvaˇzovat hru dvou hr´aˇc˚ u, budeme zapisovat obˇe dvˇe matice do jedn´e tabulky. Tˇemto hr´am se ˇr´ık´a bimaticov´ e hry. Do bunˇek tabulky budeme zapisovat uspoˇr´adan´e dvojice, kde na prvn´ım m´ıstˇe bude v´ yplata prvn´ıho hr´aˇce a na druh´em m´ıstˇe v´ yplata druh´eho hr´aˇce, jak vid´ıme v tabulce 1.1. Pokud prvn´ı hr´aˇc zahraje strategii 1 a druh´ y hr´aˇc strategii II, prvn´ı hr´aˇc obdrˇz´ı v´ yplatu ve v´ yˇsi 2 a druh´ y hr´aˇc v´ yplatu ve v´ yˇsi 5. Definice 1.7. Definujeme funkci fiM : S−i → R a funkci fiN : Si → R pro vˇsechna i = 1, . . . , n n´asledovnˇe fiM (s−i ) = sup fi (si , s−i ), si ∈Si
fiN (si )
=
inf
s−i ∈S−i
fi (si , s−i ).
D´ ale si oznaˇcme pro vˇsechna i = 1, . . . , n viM = sup fi (si , s−i ), s∈S
viN
= sup
inf
si ∈Si s−i ∈S−i
fi (si , s−i ).
Funkce fiM ud´av´a, jak´e nejvˇetˇs´ı v´ yplaty m˚ uˇze dos´ahnout i-t´ y hr´aˇc, jestliˇze ostatn´ı hr´aˇci zvol´ı strategie s−i . Maxim´aln´ı moˇznou v´ yplatu i-t´eho hr´aˇce jsme oznaˇcili jako
1.1 Z´ akladn´ı definice
9
viN . Funkce fiN naopak ud´av´a jak´e nejmenˇs´ı v´ yplaty m˚ uˇze i-t´ y hr´aˇc dos´ahnout, pokud zvol´ı strategii si . Nejlepˇs´ı z tˇechto nejhorˇs´ıch pˇr´ıpad˚ u jsme oznaˇcili viN . Pozn´amka 1.8. V´ yplaty ze zahran´ ych strategi´ı mezi sebou budeme porovn´avat. Z´apisem f (s1 , . . . , sn ) ≥ f (t1 , . . . , tn ) mysl´ıme ∀i = 1, . . . , n,
fi (s1 , . . . , sn ) ≥ fi (t1 , . . . , tn ).
Obdobnˇe f (s1 , . . . , sn ) > f (t1 , . . . , tn ) ∀i = 1, . . . , n, ∃j ∈ {1, . . . , n},
fi (s1 , . . . , sn ) ≥ fi (t1 , . . . , tn ), fj (s1 , . . . , sn ) > fj (t1 , . . . , tn )
Definice 1.9. Strategii (t1 , . . . , tn ) preferujeme pˇred strategi´ı (s1 , . . . , sn ) pokud f (t1 , . . . , tn ) > f (s1 , . . . , sn ). Definice 1.10. Vektor vM = (v1M , . . . , vnM ) nazveme virtu´ aln´ı maximum hry. Definice 1.11. Vektor vN = (v1N , . . . , vnN ) nazveme konzervativn´ı vektor hry, a strategii, kter´ a pˇrin´ aˇs´ı tuto v´yplatu, nazvˇeme konzervativn´ı strategie. Pozn´amka 1.12. V cel´e pr´aci pˇredpokl´ad´ame, ˇze hr´aˇci se chovaj´ı racion´alnˇe a snaˇz´ı se maximalizovat svou v´ yplatu. Kaˇzd´ y optim´alnˇe se chovaj´ıc´ı hr´aˇc dos´ahne miN nim´alnˇe v´ yplaty vi a maxim´alnˇe v´ yplaty viM , tud´ıˇz se zaj´ım´ame jen o n-tice strategi´ı, kter´e splˇ nuj´ı vN ≤ f (s1 , . . . , sn ) ≤ vM , pˇriˇcemˇz druh´a nerovnost je pouze form´aln´ı a je splnˇena vˇzdy. Definice 1.13. Zobrazen´ı Ri : S−i → Si , takov´e, ˇze Ri (s−i ) = {si ∈ Si |fi (si , s−i ) = fiM (s−i )}
(1.1)
nazveme optim´ aln´ı odpovˇ ed’ i-t´eho hr´ aˇce na s−i (strategie ostatn´ıch hr´ aˇc˚ u). Pokud toto zobrazen´ı bude jednoznaˇcn´e a spojit´e, nazveme ho reakˇ cn´ı kˇ rivka i-t´eho hr´aˇce. Pozn´amka 1.14. Optim´aln´ı odpovˇed’ (1.1) popisuje racion´aln´ı chov´an´ı i-t´eho hr´aˇce, za pˇredpokladu, ˇze v´ı, jak´e strategie zvol´ı ostatn´ı hr´aˇci. Optim´aln´ı odpovˇed’ pˇriˇrazuje k v´ ybˇeru strategi´ı ostatn´ıch hr´aˇc˚ u mnoˇzinu nejlepˇs´ıch moˇzn´ ych odpovˇed´ı i-t´eho hr´aˇce.
1.2 Nashovo ekvilibrium
10
2. hr´aˇc
I II
1. hr´aˇc 1 2 (2, 3) (5, 4) (8, 5) (−3, −2)
Tabulka 1.2: Hra s v´ıce rovnov´aˇzn´ ymi body.
1.2
Nashovo ekvilibrium
Definice 1.15 (Nashovo ekvilibrium). Vektor (¯ s1 , . . . , s¯n ) je Nashovo ekvilibrium (rovnov´aˇzn´y bod), pokud plat´ı fi (¯ si , s¯−i ) = fiM (¯ s−i ) = sup fi (si , s¯−i )
∀i = 1, . . . , n.
si ∈Si
Nashovo ekvilibrium je bod, ve kter´em vˇsichni hr´aˇci optimalizuj´ı svoji v´ yplatu za pˇredpokladu, ˇze volba ostatn´ıch hr´aˇc˚ u je pevnˇe dan´a a zn´am´a. Jak´akoliv zmˇena strategie i-t´eho hr´aˇce, by mu pˇrinesla menˇs´ı v´ yplatu. Hr´aˇci jsou ve vz´ajemn´e statick´e rovnov´aze. Pozn´amka 1.16. Z definice 1.13 a 1.15 je zˇrejm´e, ˇze Nashovo ekvilibrium lze hledat jako pr˚ useˇc´ık reakˇcn´ıch kˇrivek hr´aˇc˚ u. Tento pr˚ useˇc´ık reakˇcn´ıch kˇrivek m˚ uˇze b´ yt jeden (pak ˇr´ık´ame, ˇze Nashovo ekvilibrium je jednoznaˇcn´e), koneˇcnˇe mnoho, nekoneˇcnˇe mnoho, nebo ˇz´adn´ y (pouze v pˇr´ıpadˇe ˇcist´ ych strategi´ı). V pˇr´ıpadˇe existence v´ıce pr˚ useˇc´ık˚ u m˚ uˇze nastat situace, kdy se hr´aˇci budou snaˇzit hr´at strategie vedouc´ı k r˚ uzn´ ym Nashov´ ym ekvilibri´ım a v´ ysledn´ y bod nebude Nashovo ekvilibrium, jak vid´ıme v pˇr´ıkladu 1.17. Pˇr´ıklad 1.17. M´ame hru dvou hr´aˇc˚ u, kde v´ yplaty hr´aˇc˚ u jsou zaps´any v tabulce 1.2. Optim´aln´ı odpovˇedi hr´aˇc˚ u jsou R1 (I) R1 (II) R2 (1) R2 (2)
= = = =
{2}, {1}, {II}, {I}.
Optim´aln´ı odpovˇedi si odpov´ıdaj´ı v bodech (1, II) a (2, I). Tyto body jsou Nashova ekvilibria v t´eto hˇre. Pokud vˇsak prvn´ı hr´aˇc bude cht´ıt zahr´at strategii 2 vedouc´ı k jednomu Nashovu ekvilibriu a druh´ y hr´aˇc strategii II vedouc´ı k druh´emu Nashovu ekvilibriu, v´ ysledn´a dvojice (2, II) vede k nejhorˇs´ı moˇzn´e v´ yplatˇe u obou hr´aˇc˚ u. Lemma 1.18 (Browerovo lemma o pevn´ em bodˇ e). Necht’ S je kompaktn´ı, konvexn´ı podmnoˇzina koneˇcnˇedimenzion´ aln´ıho prostoru a zobrazen´ı R : S → S je spojit´e, potom R m´a pevn´y bod, tj. existuje s ∈ S, pro kter´e plat´ı R(s) = s.
1.2 Nashovo ekvilibrium
11
Vˇ eta 1.19 (Nash). V kaˇzd´e koneˇcn´e hˇre existuje Nashovo ekvilibrium ve sm´ıˇsen´ych strategi´ıch. D˚ ukaz. Dok´azal Nash ve sv´e pr´aci z Browerova lemmatu o pevn´em bodˇe, viz [4]. Vˇ eta 1.20. Necht’ mnoˇziny strategi´ı vˇsech hr´ aˇc˚ u jsou kompaktn´ı a v´yplatn´ı funkce jsou spojit´e, potom v kaˇzd´e hˇre existuje Nashovo ekvilibrium. D˚ ukaz. D˚ ukaz plyne z Helliov´ ych lemmat, viz [5]. Vˇ eta 1.21. Necht’ mnoˇziny strategi´ı vˇsech hr´ aˇc˚ u jsou kompaktn´ı, konvexn´ı podmnoˇziny koneˇcnˇedimenzion´aln´ıho vektorov´eho prostoru a reakˇcn´ı kˇrivky vˇsech hr´ aˇc˚ u jsou prost´e spojit´e zobrazen´ı, potom existuje alespoˇ n jedno Nashovo ekvilibrium v ˇcist´ych strategi´ıch. D˚ ukaz. D˚ usledek Browerova lemmatu o pevn´em bodˇe, viz [1]. Pozn´amka 1.22. Uvˇedomme si, ˇze pˇri hled´an´ı Nashova ekvilibria hled´ame lok´aln´ı maximum u ´ˇcelov´e funkce i-t´eho hr´aˇce, jako funkci promˇenn´e si . Ostatn´ı promˇenn´e s−i do u ´lohy vstupuj´ı jako parametry. Nehled´ame maximum u ´ˇcelov´e funkce jako funkce n promˇenn´ ych! Toto maximum hled´ame pro vˇsechny i = 1, . . . , n. Pokud jsou u ´ˇcelov´e funkce spojit´e na otevˇren´e mnoˇzinˇe ω, S ⊂ ω, a S je kompaktn´ı, potom existuje maximum na S. Jestliˇze na otevˇren´em okol´ı bodu Nashova ekvilibria existuj´ı 2 (s ,¯ i s−i ) , m˚ uˇzeme pouˇz´ıt z´akladn´ı parci´aln´ı derivace u ´ˇcelov´ ych funkc´ı druh´eho ˇr´adu ∂ fi∂s 2 i prostˇredky matematick´e anal´ yzy pro hled´an´ı extr´em˚ u ∂fi (si , s¯−i ) = 0, ∂si ∂ 2 fi (si , s¯−i ) ≤ 0, ∂s2i
(1.2) ∀i = 1, . . . , n.
(1.3)
V´ yraz na lev´e stranˇe (1.2) obecnˇe z´avis´ı na si a s−i . Vyj´adˇren´ım si z´ısk´av´ame reakˇcn´ı kˇrivku i-t´eho hr´aˇce. Pokud nenajdeme maximum touto cestou, budeme muset pouˇz´ıt jin´e techniky matematick´e anal´ yzy. Nashovo ekvilibrium nemus´ı v´est k nejlepˇs´ımu v´ ysledku pro vˇsechny hr´aˇce, kter´ y lze zahr´at. Pokud hr´aˇc˚ um dovol´ıme se mezi sebou domlouvat (hraj´ı tzv. kooperativn´ı hru), lze nal´ezt n-tici strategi´ı, kter´a m˚ uˇze pˇrin´est vˇsem hr´aˇc˚ um vˇetˇs´ı v´ yplatu. Pˇr´ıklad 1.23. V´ yplaty hr´aˇc˚ u vid´ıme na tabulce 1.3. Dvojice (2, II) vede k jedin´emu Nashovu ekvilibrium v t´eto hˇre. V pˇr´ıpadˇe kooperativn´ı hry se vˇsak hr´aˇci mohou domluvit a zahr´at dvojici (1, I) a v´ yplata bude pro oba dva hr´aˇce vˇetˇs´ı.
1.2 Nashovo ekvilibrium
12
2. hr´aˇc
I II
1. hr´aˇc 1 2 (3, 3) (0, 5) (5, 0) (1, 1)
Tabulka 1.3: Pˇr´ıklad kooperativn´ı hry.
Definice 1.24 (Optimalita v Paretovˇ e smyslu). Necht’ neexistuje ˇz´ adn´ a n-tice (s1 , . . . , sn ) r˚ uzn´a od (ˆ s1 , . . . , sˆn ), pro kterou by platilo f (s1 , . . . , sn ) > f (ˆ s1 , . . . , sˆn ), potom n-tice (ˆ s1 , . . . , sˆn ) je optim´ aln´ı v Paretovˇ e smyslu. Optimalita v Paretovˇe smyslu je d˚ uleˇzit´a v kooperativn´ıch hr´ach. V´ıce m˚ uˇzeme nal´ezt v [1], [2] nebo [6].
2 Diskr´ etn´ı hry V t´eto kapitole se zamˇeˇr´ıme na situaci, kdy prostor strategi´ı je koneˇcn´a mnoˇzina. Speci´alnˇe hr´aˇci maj´ı na v´ ybˇer ze dvou strategi´ı. V cel´e kapitole budeme ke kaˇzd´e u ´loze hledat nejprve ekvilibria v ˇcist´ ych a pot´e ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch. Protoˇze uvaˇzujeme, ˇze kaˇzd´ y hr´aˇc m´a na v´ ybˇer dvˇe strategie, tak m´ame pravdˇepodobnostn´ı m´ıru rozdˇelenou mezi tyto dvˇe strategie jako p a 1 − p. Pokud p ∈ {0, 1}, tak jde o ˇcistou strategii. Proto budeme napˇred vyˇsetˇrovat ˇcist´e strategie a pot´e pˇri hled´an´ı dalˇs´ıch sm´ıˇsen´ ych strategi´ı se m˚ uˇzeme zamˇeˇrit pouze na vnitˇrek intervalu [0,1]. V cel´e kapitole budeme vyˇsetˇrovat symetrick´e u ´lohy, proto nenastane situace, kdy jeden hr´aˇc hraje sm´ıˇsenou strategii, druh´ y hr´aˇc ˇcistou strategi´ı a v´ ysledn´ y bod je rovnov´aˇzn´ y bod. V pˇr´ıpadˇe nesymetrick´ ych her by se musela prov´est podrobnˇejˇs´ı anal´ yza krajn´ıch bod˚ u mnoˇziny strategi´ı.
2.1
Diskr´ etn´ı hry dvou hr´ aˇ c˚ u
M´ame situaci, kde proti sobˇe hraj´ı dva hr´aˇci. Tyto dva hr´aˇce si pro pˇrehlednost pojmenujeme Karla a Lenku. Mnoˇzinu strategi´ı Karla budeme znaˇcit K, mnoˇzinu strategii Lenky L. Strategie Karla oznaˇc´ıme x, strategie Lenky y. Uspoˇr´adanou dvojici (x, y) ∈ K × L ch´apeme jako situaci, kdy Karel vybral strategii x a Lenka strategii y. ´ celov´e funkce znaˇc´ıme Uˇ fK : (x, y) → R fL : (x, y) → R f : (x, y) → (fK (x, y), fL (x, y)) Uk´aˇzeme si nyn´ı ˇctyˇri z´akladn´ı u ´lohy, kde najdeme Nashovo ekvilibrium v ˇcist´ ych i sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch. Tyto u ´lohy jsou zn´am´e a v´ıce o nich m˚ uˇzeme naj´ıt napˇr´ıklad v [1] nebo [6]. Pot´e si uk´aˇzeme hru, kde neexistuje Nashovo ekvilibrium v ˇcist´ ych strategi´ıch.
2.1.1
Vˇ ezˇ novo dilema
Tato z´akladn´ı u ´loha je velice zn´am´a a m´a mnoho podob. Uved’me si napˇr´ıklad n´asleduj´ıc´ı. Dva zlodˇeji (Karel s Lenkou) vyloupili banku, ale protoˇze po sobˇe zanechali stopy, policie je naˇsla a zatkla. Policie vˇsak proti nim nem´a dostatek d˚ ukaz˚ u a v´ı, ˇze pokud
2.1 Diskr´ etn´ı hry dvou hr´ aˇ c˚ u
14 Karel
I Lenka II
1 2 (−a, −a) (−c, 0) (0, −c) (−b, −b)
Tabulka 2.1: Vˇezˇ novo dilema.
se ani jeden z nich nepˇrizn´a, bude je moˇzno odsoudit do vˇezen´ı jen na velmi kr´atkou dobu (a let). Pokud by se vˇsak oba pˇriznali, p˚ ujdou do vˇezen´ı na delˇs´ı dobu (b let, b > a). Jestliˇze se pˇrizn´a jeden a ud´a toho druh´eho, pˇriznaj´ı mu polehˇcuj´ıc´ı okolnost a bude propuˇstˇen na svobodu, zat´ımco druh´ y p˚ ujde do vˇezen´ı na delˇs´ı dobu (c let, c > b). Tuto situaci m˚ uˇzeme zapsat pomoc´ı tabulky 2.1, kde strategie mlˇcet“ znaˇc´ıme ” 1, I a strategie pˇriznat se“ znaˇc´ıme 2, II. Dvojice v buˇ nce (1, II) ud´avaj´ı, ˇze pokud ” Karel zvol´ı strategii 1 a Lenka strategii II, Karlova v´ yplata bude 0 a v´ yplata Lenky bude −c. Vyj´adˇreme si optim´aln´ı odpovˇedi hr´aˇc˚ u RK (I) RK (II) RL (1) RL (2)
= = = =
{2}, {2}, {II}, {II}.
At’ zahraje Lenka cokoliv, pro Karla je optim´aln´ı odpovˇed’ zahr´at strategii 2. Obdobnˇe pro Lenku je vˇzdy optim´aln´ı zahr´at II. Optim´aln´ı odpovˇedi si odpov´ıdaj´ı v jedin´em bodˇe (2, II), kter´ y je jedin´ ym Nashov´ ym ekvilibriem (dokonce v ˇcist´ ych strategi´ıch) a z´aroveˇ n konzervativn´ı strategi´ı t´eto hry. Dvojice (1, I), (1, II) a (2, I) jsou optim´aln´ı v Paretovˇe smyslu. Pokud by se mezi sebou Karel s Lenkou domluvili a ani jeden z nich se nepˇriznal, utrp´ı oba minim´aln´ı ztr´atu a. Avˇsak kdyˇz se domluv´ı a budou zap´ırat, st´ale je zde pokuˇsen´ı toho druh´eho podv´est a t´ım vyv´aznout beztrestnˇe, proto je tento bod nestabiln´ı.
2.1.2
Kˇ riˇ zovatka
N´asleduj´ıc´ı u ´loha popisuje situaci, kdy Karel s Lenkou pˇrij´ıˇzdˇej´ı na kˇriˇzovatku bez oznaˇcen´ı pˇrednosti v j´ızdˇe. Kaˇzd´ y pˇrij´ıˇzd´ı v jin´em autˇe a m´a na v´ ybˇer bud’ zastavit a d´at pˇrednost v j´ızdˇe (strategie 1, I), nebo projet kˇriˇzovatkou (strategie 2, II). Kdyˇz oba pojedou, sraz´ı se a utrp´ı velkou ztr´atu (c). Pokud jeden zastav´ı a druh´ y projede, ten kdo zastavil utrp´ı ztr´atu (b, b < c) a druh´ y projede s nulovou ztr´atou. Kdyˇz oba zastav´ı, tak utrp´ı ztr´atu (a, a < b). Situaci popisuje tabulka 2.2.
2.1 Diskr´ etn´ı hry dvou hr´ aˇ c˚ u
15 Karel
I Lenka II
1 2 (−a, −a) (−b, 0) q (0, −b) (−c, −c) 1-q p 1-p
Tabulka 2.2: Kˇriˇzovatka.
V ˇcist´ ych strategi´ıch m´ame optim´aln´ı odpovˇedi hr´aˇc˚ u ve tvaru RK (I) RK (II) RL (1) RL (2)
= = = =
{2}, {1}, {II}, {I}.
Optim´aln´ı odpovˇed’ na strategii I je zahr´at strategii 2 a naopak. Obdobnˇe pro strategie II a 1. Dvojice (1, II) a (2, I) jsou Nashova ekvilibria (v ˇcist´ ych strategi´ıch). Dvojice (1, I) je konzervativn´ı strategie hry a dvojice (1, I), (1, II), (2, I) jsou optim´aln´ı v Paretovˇe smyslu. Tato u ´loha je obecn´ y pˇr´ıklad hry 1.17, kde Karel a Lenka mohou m´ıt v u ´myslu zahr´at strategie vedouc´ı k jin´emu Nashovu ekvilibriu a v´ ysledn´ y bod Nashov´ ym ekvilibriem b´ yt nemus´ı. Napˇr´ıklad Karlova volba 2 a Lenˇcina II vede k nejhorˇs´ı moˇzn´e v´ yplatˇe. Zjist´ıme jeˇstˇe, zda neexistuje dalˇs´ı Nashovo ekvilibrium ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch. Uvaˇzujme sm´ıˇsen´e strategii sK , kde Karel zahraje strategii 1 s pravdˇepodobnost´ı p a strategii 2 s pravdˇepodobnost´ı 1 − p, a strategii sL , kde Lenka zahraje strategii I s pravdˇepodobnost´ı q a strategii II s pravdˇepodobnost´ı 1 − q. ´ celov´e funkce Karla a Lenky budou ve tvaru Uˇ fK (sK (p), sL (q)) = −apq − bp(1 − q) − c(1 − p)(1 − q), fL (sK (p), sL (q)) = −apq − b(1 − p)q − c(1 − q)(1 − p). Z definice Nashova ekvilibria hled´ame takov´e p∗ , q ∗ ∈ [0, 1], pro kter´e plat´ı fK (sK (p∗ ), sL (q ∗ )) ≥ fK (sK (p), sL (q ∗ )), fL (sK (p∗ ), sL (q ∗ )) ≥ fL (sK (p∗ ), sL (q)). Jak jsme jiˇz v u ´vodu kapitoly naznaˇcili, Nashovo ekvilibrium v ˇcist´ ych strategi´ıch je pˇr´ıpad, kdy p, q nab´ yvaj´ı pouze hodnoty 0 nebo 1 (jsou z hranice intervalu [0,1]). Nashova ekvilibria v ˇcist´ ych strategi´ıch m´ame jiˇz urˇcena a proto se nyn´ı m˚ uˇzeme z´ uˇzit na otevˇren´ y interval (0, 1). Funkce fK i fL jsou dvakr´at spojitˇe diferencovateln´e na intervalu (0, 1), proto maxima tˇechto funkc´ı hled´ame standardn´ı metodou matematick´e anal´ yzy.
2.1 Diskr´ etn´ı hry dvou hr´ aˇ c˚ u
16
Po derivov´an´ı dost´av´ame ∂fK (sK , sL ) ∂p ∂fL (sK , sL ) ∂q ∂ 2 fK (sK , sL ) ∂p2 ∂ 2 fL (sK , sL ) ∂q 2
= −aq − b(1 − q) + c(1 − q) = 0,
(2.1)
= −ap − b(1 − p) + c(1 − p) = 0,
(2.2)
= 0, = 0.
ˇ sen´ım rovnic (2.1) a (2.2) dost´av´ame Reˇ p=q=
−b + c a−b+c
∈ [0, 1].
Reakˇcn´ı kˇrivky v t´eto u ´loze zn´azorˇ nuje obr´azek 2.1. Dvojice strategii sK (Karel −b+c a zahraje 1 s pravdˇepodobnost´ı a−b+c a 2 s pravdˇepodobnost´ı a−b+c ) a sL (Lenka −b+c a zahraje I s pravdˇepodobnost´ı a−b+c a II s pravdˇepodobnost´ı a−b+c ) je Nashovo ekvilibrium ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch v t´eto u ´loze.
2.1.3
Bitva pohlav´ı
Karel s Lenkou pl´anuj´ı jak str´av´ı odpoledne. Karel by chtˇel zaj´ıt na fotbalov´ y z´apas (strategie 1, I), Lenka by zase r´ada ˇsla nakupovat (strategie 2, II). Oba by vˇsak chtˇeli 1
RL
L
q
0
RK
p
1 K
Obr´azek 2.1: Reakˇcn´ı kˇrivky v u ´loze Kˇriˇzovatka
2.1 Diskr´ etn´ı hry dvou hr´ aˇ c˚ u
17 Karel
I Lenka II
1 2 (−a, 0) (−b, −b) q (−b, −b) (0, −a) 1-q p 1-p
Tabulka 2.3: Bitva pohlav´ı.
str´avit odpoledne spolu. Kdyˇz jeden str´av´ı odpoledne jak nechce, ale s t´ım druh´ ym, ´ utrp´ı malou ztr´atu a. Pokud str´av´ı odpoledne oddˇelenˇe, utrp´ı ztr´atu (b, b > a). Ulohu m´ame zapsanou v tabulce 2.3. V ˇcist´ ych strategi´ıch m´ame optim´aln´ı odpovˇedi ve tvaru RK (I) RK (II) RL (1) RL (2)
= = = =
{1}, {2}, {I}, {II}.
Dvojice (1, I) a (2, II) jsou Nashova ekvilibria v ˇcist´ ych strategi´ıch a jsou optim´aln´ı v Paretovˇe smyslu. Dvojice (1, II) a (2, I) jsou konzervativn´ı strategie hry. Reakˇcn´ı kˇrivky ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch ukazuje obr´azek 2.2. Ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch existuje jeˇstˇe jedno Nashovo ekvilibrium, kde Karel hraje strategii 1 s prab−a b a strategii 2 s pravdˇepodobnost´ı 2b−a a Lenka hraje strategii I vdˇepodobnost´ı 2b−a 1
RL
L
RK
q
0
p
1 K
Obr´azek 2.2: Reakˇcn´ı kˇrivky v u ´loze Bitva Pohlav´ı
2.1 Diskr´ etn´ı hry dvou hr´ aˇ c˚ u
18 Karel
I Lenka II
1 2 (−b, −b) (−a, 0) (0, −a) (−c, −c)
Tabulka 2.4: Probl´em kooperace.
s pravdˇepodobnost´ı
2.1.4
b−a 2b−a
a strategii II s pravdˇepodobnost´ı
b . 2b−a
Probl´ em kooperace
Karel a Lenka se ocitli uprostˇred pokoje, kde vypukl poˇz´ar. Oba se snaˇz´ı ut´eci dveˇrmi. Kaˇzd´ y z nich m´a dvˇe moˇznosti. Otevˇr´ıt dveˇre, kter´e jsou v dan´ y moment zavˇren´e (strategie 1, I), nebo se snaˇzit proj´ıt (strategie 2, II). Kdyˇz jeden otevˇre dveˇre a druh´ y projde, ten kdo otv´ıral, utrp´ı ztr´atu (a) zp˚ usobenou mal´ ym pop´alen´ım a druh´ y projde dveˇrmi beze ztr´aty. Pokud se oba budou snaˇzit otevˇr´ıt dveˇre, tak se sraz´ı a oba utrp´ı vˇetˇs´ı ztr´atu (b, b > a), ale nakonec dveˇre otevˇrou a dostanou se pryˇc. Jestliˇze vˇsak oba budou cht´ıt proj´ıt a nikdo neotevˇre dveˇre, oba uhoˇr´ı, coˇz ´ znamen´a ztr´atu (c, c > b). Ulohu popisuje tabulka 2.4. Optim´aln´ı odpovˇedi v ˇcist´ ych strategi´ıch jsou ve tvaru RK (I) RK (II) RL (1) RL (2)
= = = =
{2}, {1}, {II}, {I}.
(2.3) (2.4) (2.5) (2.6)
Dvojice (2, I) a (1, I) jsou Nashova ekvilibria t´eto u ´lohy v ˇcist´ ych strategi´ıch. Obr´azek 2.3 ukazuje reakˇcn´ı kˇrivky v t´eto u ´loze. Ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch existuje jeˇstˇe a−c dvojice strategii, kde Karel hraje strategii 1 s pravdˇepodobnost´ı a−b−c a strategii 2 −b a−c s pravdˇepodobnost´ı a−b−c a Lenka hraje strategii I s pravdˇepodobnost´ı a−b−c a stra−b tegii II s pravdˇepodobnost´ı a−b−c . Dvojice (2, I) a (1, I) jsou optim´aln´ı v Paretovˇe smyslu a (1, I) je konzervativn´ı strategie hry.
2.1.5
Hra bez Nashova ekvilibria v ˇ cist´ ych strategi´ıch
Uvedeme si pro zaj´ımavost hru dvou hr´aˇc˚ u, ve kter´e neexistuje Nashovo ekvilibrium v ˇcist´ ych strategi´ıch. V´ yplaty v t´eto hˇre m´ame zaps´any v tabulce 2.5, kde a > 0, b > 0. Optim´aln´ı odpovˇedi hr´aˇc˚ u t´eto hry v ˇcist´ ych strategi´ıch jsou ve tvaru
2.1 Diskr´ etn´ı hry dvou hr´ aˇ c˚ u
1
19
RL
L
q
0
RK
p
1 K
Obr´azek 2.3: Reakˇcn´ı kˇrivky v u ´loze Probl´em kooperace
Karel I Lenka II
1 2 (−a, b) (a, −b) q (a, −b) (−a, b) 1-q p 1-p
Tabulka 2.5: Hra bez Nashova ekvilibria v ˇcist´ ych strategi´ıch.
2.2 Diskr´ etn´ı hry n hr´ aˇ c˚ u
20
RK (I) RK (II) RL (1) RL (2)
= = = =
{1}, {2}, {II}, {I}.
Vid´ıme, ˇze neexistuje ˇz´adn´a dvojice strategi´ı, kter´e by byly vz´ajemnˇe nejlepˇs´ı odpovˇed´ı a tud´ıˇz neexistuje ˇz´adn´e Nashovo ekvilibrium v ˇcist´ ych strategi´ıch. Vˇsechny dvojice jsou optim´aln´ı v Paretovˇe smyslu. Reakˇcn´ı kˇrivky ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch n´am ukazuje obr´azek 2.4. Jedin´e Nashovo ekvilibrium t´eto hry je tedy dvojice strategi´ı, kdy Karel vybere strategii 1 nebo 2 (Lenka I nebo II) s pravdˇepodobnost´ı 12 .
2.2
Diskr´ etn´ı hry n hr´ aˇ c˚ u
Diskr´etn´ı hry n hr´aˇc˚ u se principem nijak neliˇs´ı od her dvou hr´aˇc˚ u, pouze je obt´ıˇznˇejˇs´ı je zapsat a ˇreˇsit. Proto pˇr´ıklady budeme demonstrovat pro pˇr´ıpad n = 3, kde hr´aˇci maj´ı na v´ ybˇer ze dvou strategi´ı a zapisovat budeme do trojrozmˇern´e matice, kterou rozdˇel´ıme do dvou tabulek podle volby strategie tˇret´ıho hr´aˇce.
2.2.1
Ekologick´ a hra
Tato asi nejzn´amˇejˇs´ı hra v´ıce hr´aˇc˚ u popisuje situaci tˇr´ı firem, kter´e maj´ı tov´arny u jezera. Z tohoto jezera berou vodu a po pouˇzit´ı ji zpˇet vypouˇst´ı. Kaˇzd´a z tˇechto firem se rozhoduje, zda vodu pˇred zpˇetn´ ym vypuˇstˇen´ım ˇcistit (strategie C, n´aklady 1
RL
L
RK
1 2
0
1 2
1 K
Obr´azek 2.4: Reakˇcn´ı kˇrivky ve hˇre bez Nashova ekvilibria v ˇcist´ ych strategi´ıch
2.2 Diskr´ etn´ı hry n hr´ aˇ c˚ u
21 I
II
C N
C (−a, −a, −a) (−a, 0, −a) x
N (0, −a, −a) y (−b, −b, −a − b) 1-y 1-x
Tabulka 2.6: Ekologick´a hra - firma III vybere C s pravdˇepodobnost´ı z. I C N C (−a, −a, 0) (−b, −a − b, −b) y II N (−a − b, −b, −b) (−b, −b, −b) 1-y x 1-x Tabulka 2.7: Ekologick´a hra - firma III vybere N s pravdˇepodobnost´ı 1 − z.
a > 0) nebo neˇcistit (strategie N). Pokud nejv´ yˇse jedna firma neˇcist´ı, voda v jezeˇre je dostateˇcnˇe kvalitn´ı a m˚ uˇze se pouˇz´ıvat pro v´ yrobu. Pokud neˇcist´ı dvˇe nebo tˇri firmy, voda z jezera se ned´a pouˇz´ıt a mus´ı se dov´aˇzet s n´aklady b > a. Situaci popisuj´ı tabulky 2.6 a 2.7. Optim´aln´ı odpovˇedi hr´aˇc˚ u v t´eto u ´loze jsou ve tvaru R1 (C, C) = {N }, R1 (C, N ) = {C}, R1 (N, C) = {C}, R1 (N, N ) = {N },
R2 (C, C) = {N }, R2 (C, N ) = {C}, R2 (N, C) = {C}, R2 (N, N ) = {N },
R3 (C, C) = {N }, R3 (C, N ) = {C}, R3 (N, C) = {C}, R3 (N, N ) = {N }.
Trojice (C,C,N),(C,N,C),(N,C,C),(N,N,N) jsou Nashova ekvilibria t´eto hry v ˇcist´ ych ´ strategi´ıch. Hledejme jeˇstˇe ekvilibrium ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch. Uˇcelov´e funkce hr´aˇc˚ u jsou po u ´pravˇe ve tvaru f1 (s1 (x), s2 (y), s3 (z)) = −2bxyz + bxy + bxz − b + byz − ax, f2 (s1 (x), s2 (y), s3 (z)) = −2bxyz + bxy + bxz − b + byz − ay, f3 (s1 (x), s2 (y), s3 (z)) = −2bxyz + bxy + bxz − b + byz − az. Protoˇze m´ame jiˇz vˇsechny ˇcist´e strategie v t´eto u ´loze, m˚ uˇzeme se zamˇeˇrit pouze ´ celov´e funkce jsou hladk´e na tomto na otevˇren´ y interval (0, 1) × (0, 1) × (0, 1). Uˇ intervalu. Jejich derivov´an´ım dost´av´ame soustavu rovnic ∂f1 = −2byz + by + bz − a = 0, ∂x ∂f2 = −2bxz + bx + bz − a = 0, ∂y ∂f3 = −2bxy + bx + by − a = 0. ∂z
2.2 Diskr´ etn´ı hry n hr´ aˇ c˚ u
Pokud
a b
22
∈ (0, 12 ), potom existuj´ı dvˇe ˇreˇsen´ı p 1 − 2 ab , x=y=z= p2 1 + 1 − 2 ab x=y=z= . 2 1−
Pokud
a b
= 21 , potom existuje jedno ˇreˇsen´ı 1 x=y=z= . 2
Pro
a b
>
1 2
neexistuje dalˇs´ı Nashovo ekvilibrium ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch v t´eto hˇre.
Dalˇs´ı zaj´ımav´e a sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıklady her n hr´aˇc˚ u m˚ uˇzeme nal´ezt v [6].
3 Spojit´ e hry V t´eto kapitole se zamˇeˇr´ıme na ekonomick´e modely, kde jsou na trhu hr´aˇci (firmy), vyr´abˇej´ıc´ı stejn´ y v´ yrobek a rozhoduj´ıc´ı se, kolik kus˚ u maj´ı vyrobit. Budeme hledat pouze ˇcist´e strategie. Budeme tak´e pˇredpokl´adat, ˇze firmy sv´ ym chov´an´ım na trhu ovlivˇ nuj´ı cenu v´ yrobku. Pop´ıˇseme si Cournot˚ uv a Stackelberg˚ uv model, kde firmy mezi sebou soupeˇr´ı pomoc´ı objemu v´ yroby a prod´avaj´ı za stejnou cenu. Cournot˚ uv model se jmenuje po francouzsk´em matematikovi A. A. Cournotovi, kter´ y jako prvn´ı ˇreˇsil u ´lohu dvou hr´aˇc˚ u hraj´ıc´ıch hru nyn´ı zn´amou jako Cournot˚ uv model duopolu. Stackelberg˚ uv model se naz´ yv´a podle nˇemeck´eho ekonoma H. F. von Stackelberga, kter´ y vyˇsel s Cournotova modelu. Existuj´ı i dalˇs´ı modely, kter´e jsou vˇsak nad r´amec t´eto pr´ace. Napˇr´ıklad Bertrand˚ uv model podle francouzsk´eho matematika J. L. F. Bertranda, kter´ y povaˇzoval Cournot˚ uv model za nere´aln´ y a navrhl model, kde mezi sebou firmy nesoupeˇr´ı objemem produkce, kter´ y je dan´ y popt´avkovou funkc´ı, ale cenou. Dalˇs´ı zn´am´ y model je Edgeworth˚ uv model po irsk´em matematikovi F. Y. Edgeworthovi. Tento model je zn´am tak´e pod pojmem Edgeworthova kostka. Firmy si mezi sebou dˇel´ı pˇredem dan´ y objem vstupn´ıch komodit. V´ıce o tˇechto modelech lze nal´ezt v [3]. Nejprve si pˇredstav´ıme Cournot˚ uv model duopolu, kter´ y pot´e zobecn´ıme.
3.1
Cournot˚ uv model duopolu
Uvaˇzujeme znovu Karla a Lenku. Opˇet budeme indexovat K, L stejnˇe, jako v pˇredchoz´ı kapitole. Snaˇz´ıme se maximalizovat zisk, tedy maximalizujeme u ´ˇcelov´e funkce fK (x, y) = xp(x, y) − CK (x), fL (x, y) = yp(x, y) − CL (y), kde x ≥ 0, y ≥ 0 jsou objemy produkce, p(x, y) je inverzn´ı popt´avkov´a funkce, kter´a objemu produkce, kter´ y se dostane na trh, pˇriˇrazuje cenu, ze kterou je na trhu popt´av´an. CK (x) a CL (y) jsou n´akladov´e funkce. Pro snadnˇejˇs´ı ilustraci probl´emu se dopust´ıme zjednoduˇsen´ı a budeme pˇredpokl´adat, ˇze n´akladov´e funkce hr´aˇc˚ u jsou line´arnˇe z´avisl´e na vyroben´em mnoˇzstv´ı a inverzn´ı popt´avkov´a funkce je line´arnˇe z´avisl´a na celkov´e produkci. Inverzn´ı popt´avkov´a funkce bude ve tvaru α − β(x + y) pro x + y < αβ , p(x, y) = 0 pro x + y ≥ αβ ,
3.1 Cournot˚ uv model duopolu
24
kde α, β jsou kladn´e konstanty, x ∈ K = [0, αβ ) je Karl˚ uv objem produkce a y ∈ α L = [0, β ) je Lenˇcin objem produkce. V dalˇs´ım budeme uvaˇzovat x + y < αβ , protoˇze firmy nebudou ochotn´e vyr´abˇet bez kladn´eho zisku. N´akladov´e funkce Karla a Lenky uvaˇzujeme CK (x) = γK x + δK , CL (y) = γL x + δL , kde γK > 0, γL > 0 jsou variabiln´ı a δK ≥ 0, δL ≥ 0 jsou fixn´ı n´aklady. Zisk Karla a Lenky urˇcuj´ı u ´ˇcelov´e funkce fK (x, y) = xp(x, y) − CK (x) = αx − βx2 − βxy − γK x − δK , fL (x, y) = yp(x, y) − CL (y) = αy − βy 2 − βxy − γL y − δL . Hled´ame dvojici strategi´ı (x∗ , y ∗ ), x∗ ≥ 0, y ∗ ≥ 0, x∗ + y ∗ < αβ , pro kterou plat´ı fK (x∗ , y ∗ ) ≥ fK (x, y ∗ ), fL (x∗ , y ∗ ) ≥ fL (x∗ , y),
α x ∈ [0, ) β α y ∈ [0, ). β
´ celov´e funkce jsou dvakr´at spojitˇe diferencovateln´e, proto je zderivujeme a budeme Uˇ hledat maxima ∂fK (x, y) = α − 2βx − βy − γK = 0, (3.1) ∂x ∂fL (x, y) = α − 2βy − βx − γL = 0, (3.2) ∂y ∂ 2 fK (x, y) = −2β ≤ 0, ∂x2 ∂ 2 fL (x, y) = −2β ≤ 0. ∂y 2 Ze spojitosti a ryz´ı konk´avnosti funkc´ı fK i fL plyne, ˇze pokud najdeme maximum uvnitˇr intervalu (0, αβ ) × (0, αβ ), jin´e lok´aln´ı maximum neexistuje. Pokud by u ´ˇcelov´e funkce Karel nebo Lenka mˇeli maximum v 0, musela by m´ıt derivaci v 0 nekladnou. V pˇr´ıpadˇe, ˇze α ≤ γK , optim´aln´ı odpovˇed’ Karla na jak´ekoliv mnoˇzstv´ı Lenky bude nevyr´abˇet. Obdobnˇe pro Lenku, pokud plat´ı α ≤ γL , nevyplat´ı se j´ı vyr´abˇet. V dalˇs´ım budeme pˇredpokl´adat, ˇze α > γK , α > γL . Vyj´adˇren´ım nezn´am´ ych x z (3.1) a y z (3.2) dost´av´ame reakˇcn´ı kˇrivky hr´aˇc˚ u α − βy − γ + K R(y) = x = , 2β α − βx − γ + L R(x) = y = , 2β
3.1 Cournot˚ uv model duopolu
25
kde (·)+ znaˇc´ı kladnou ˇc´ast. Po vz´ajemn´em dosazen´ı m´ame x =
y =
α−β
α−βx−γL + 2β
− γK
!+
− γL
!+
,
2β α−β
α−βy−γK + 2β 2β
.
Po u ´prav´ach z´ısk´av´ame podm´ınky pro kladnost x a y. α > 2γK − γL α > 2γL − γK
⇒ ⇒
x > 0, y > 0.
Nyn´ı vˇse shrneme. M´ame ˇctyˇri pˇr´ıpady v z´avislosti na α, γK a γL . Analyzujeme kaˇzd´ y zvl´aˇst’. 1) Pokud α ≤ min{γK , γL }, potom x = 0, y = 0. 2) Pokud γK < γL a γK < α ≤ 2γL − γK , potom α − γK , 2β y = 0.
x =
3) Pokud γL < γK a γL < α ≤ 2γK − γL , potom x = 0, α − γL y = . 2β 4) Pokud α > max{2γK − γL , 2γL − γK }, potom α − 2γK + γL , 3β α − 2γL + γK y = . 3β
x =
Ve vˇsech ˇctyˇrech pˇr´ıpadech vyrob´ı dohromady m´enˇe neˇz αβ , proto cena, za kterou se bude v´ ysledn´ y objem produkce prod´avat na trhu, bude kladn´a.
3.2 Cournot˚ uv model oligopolu
3.2
26
Cournot˚ uv model oligopolu
Pokusme se nyn´ı rozˇs´ıˇrit a zobecnit Cournot˚ uv model duopolu na oligopol. Uvaˇzujeme n firem na trhu. Poˇcet firem vˇsak mus´ı b´ yt dostateˇcnˇe mal´ y, aby hr´aˇci sv´ ym chov´an´ım st´ale ovlivˇ novali cenu na trhu. V literatuˇre se obecnˇe ud´av´a, ˇze pˇri n > 5 lze jiˇz chov´an´ı firem popsat jako dokonalou konkurenci, viz [3]. Objem v´ yroby (strategii) i-t´eho hr´aˇce oznaˇc´ıme si ≥ 0. Kaˇzd´a firma maximalizuje svou u ´ˇcelovou funkci fi (si , s−i ) = si p(si , s−i ) − Ci (si ),
i = 1, . . . , n.
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze u ´ˇcelov´e funkce jsou dvakr´at spojitˇe diferencovateln´e na cel´em intervalu, kde jsou nenulov´e. Po zderivov´an´ı poloˇz´ıme derivace prvn´ıho ˇr´adu rovny 0 a derivace druh´eho ˇr´adu poloˇz´ıme menˇs´ı nebo rovny 0. Pro i-t´eho hr´aˇce dost´av´ame ∂Ci ∂fi ∂p (si , s−i ) = p(si , s−i ) + si (si , s−i ) − (si ) = 0, ∂si ∂si ∂si ∂ 2 fi ∂p ∂2p ∂ 2 Ci (s , s ) = 2 (s , s ) + s (s , s ) − (si ) ≤ 0. i −i i −i i i −i ∂s2i ∂si ∂s2i ∂s2i
(3.3) (3.4)
M´ame n rovnic (3.3) a n podm´ınek (3.4), kter´e ˇreˇsen´ı mus´ı splˇ novat. Obecnˇe ˇ sen´ım t´eto soustavy vyj´adˇren´ım si z (3.3) dostaneme reakˇcn´ı kˇrivku i-t´eho hr´aˇce. Reˇ dost´av´ame Nashova ekvilibria na otevˇren´em intervalu. Zvl´aˇst’ budeme muset analyzovat kraj tohoto intervalu, tedy pˇr´ıpad, kdy bude m´ıt nˇekter´a firma lok´aln´ı maximum v 0. Tento pˇr´ıpad nastane pr´avˇe tehdy, kdyˇz bude derivace u ´ˇcelov´e funkce v 0 nekladn´a. Uvedeme si pˇr´ıklad. Opˇet se omez´ıme pro snadnˇejˇs´ı ilustraci na line´arn´ı inverzn´ı popt´avkovou funkci a line´arn´ı n´akladov´e funkce. Budeme vych´azet z modelu duopolu. Inverzn´ı popt´avkov´a funkce bude ve tvaru P α − β ni=1 si p(si , s−i ) = 0
pro pro
Pn si < αβ , Pi=1 n α i=1 si ≥ β ,
kde α, β jsou kladn´e konstanty a si ∈ Si = [0, αβ ) objem produkce i-t´eho hr´aˇce. P Uvaˇzujeme ni=1 si < αβ , protoˇze opˇet firmy nebudou vyr´abˇet bez zisku. N´akladovou funkci i-t´eho hr´aˇce uvaˇzujeme Ci (si ) = γi si + δi , au ´ˇcelovou funkci fi (si , s−i ) = si p(si , s−i ) − Ci (si ) = αsi − βsi
n X j=1
sj − γi si − δi .
3.2 Cournot˚ uv model oligopolu
27
Po zderivov´an´ı dost´av´ame pro i = 1, . . . , n n
X ∂fi (si , s−i ) = α − β sj − βsi − γi = 0 ∂si j=1
(3.5)
∂ 2 fi (si , s−i ) = −2β ≤ 0 ∂s2i Vyj´adˇren´ım si z (3.5) dost´av´ame reakˇcn´ı kˇrivku i-t´eho hr´aˇce. !+ X α − γi 1 − sj Ri (s−i ) = si = 2β 2 1≤j≤n
(3.6)
j6=i
Z ryz´ı konk´avnosti u ´ˇcelov´e funkce plyne, ˇze existuje pouze jedno lok´aln´ı maximum. Pokud toto maximum leˇz´ı uvnitˇr n-rozmˇern´eho intervalu (0, αβ ) × . . . × (0, αβ ), nemus´ıme jiˇz nic dalˇs´ıho ˇreˇsit. Pokud t´ımto postupem nedostaneme rovnov´aˇzn´ y bod, budeme muset samostatnˇe vyˇsetˇrit derivace u ´ˇcelov´ ych funkc´ı v 0. Pokud α ≤ γi , nejlepˇs´ı moˇzn´a odpovˇed’ i-t´eho hr´aˇce v jak´ekoliv situaci je nevyr´abˇet nic. Proto v dalˇs´ım pˇredpokl´ad´ame α > γi pro vˇsechna i = 1, . . . , n. D´ale budeme pˇredpokl´adat, ˇze soustava n rovnic (3.6) m´a ˇreˇsen´ı si > 0 pro vˇsechna i = 1, . . . , n. Pˇr´ıpad, kdy toto nebude splnˇeno vyˇreˇs´ıme pozdˇeji. 2s1 + s2 + · · · + sn = s1 + 2s2 + · · · + sn = .. .. .. ... . . . s1 + s2 + · · · + 2sn = ˇ sen´ım soustavy (3.7) je n-tice strategi´ı, kde Reˇ P α − (n + 1)γi + nj=1 γj si = , (n + 1)β
α−γ1 β α−γ2 β
.. .
(3.7)
α−γn β
i = 1, . . . , n,
(3.8)
a firmy spoleˇcnˇe vyrob´ı produkci o objemu P P n X α − (n + 1)γi + nj=1 γj nα − ni=1 γi α = < . (n + 1)β (n + 1)β β i=1 Proto cena, za kterou se v´ ysledn´ y objem produkce prod´a na trhu, bude kladn´a. Je zˇrejm´e, ˇze kladn´e ˇreˇsen´ı (3.8) bude existovat pr´avˇe tehdy, kdyˇz bude platit α > (n + 1)γi −
n X j=1
γj ,
∀i = 1, . . . , n.
(3.9)
3.2 Cournot˚ uv model oligopolu
28
Zamˇeˇr´ıme se nyn´ı na pˇr´ıpad, kdy bude existovat pr´avˇe jedno i ∈ {1, . . . , n}, pro kter´e nebude splnˇeno (3.9). Neplatnost podm´ınky pouze pro tohoto hr´aˇce m˚ uˇzeme interpretovat jako fakt, ˇze m´a nejvˇetˇs´ı variabiln´ı n´aklady. Bez u ´honu na obecnosti pˇredpokl´ad´ame i = 1. Zamysleme se nad t´ım, zda neplatnost podm´ınky (3.9) pro prvn´ıho hr´aˇce implikuje nulovost jeho produkce. Reakˇcn´ı kˇrivka prvn´ıho hr´aˇce je !+ n α − γ1 1 X − sj , R1 (s−1 ) = s1 = 2β 2 j=2 kde pˇredpokl´ad´ame si > 0 pro i = 2, . . . , n. Pokud by s1 bylo nenulov´e, muselo by b´ yt ˇreˇsen´ım (3.7) a muselo by splˇ novat podm´ınku (3.9). Proto si je rovno 0 a reakˇcn´ı kˇrivky ostatn´ıch hr´aˇc˚ u se zmˇen´ı n´asledovnˇe !+ α − γi 1 X − sj Ri (s−i ) = si = 2β 2 2≤j≤n j6=i
Soustava rovnic s1 sn .. .
= =
0 α−γ2 β
2s2 + · · · + .. ... . s2 + · · · + 2sn =
.. .
α−γn β
bude m´ıt ˇreˇsen´ı s1 = 0, P α − nγi + nj=2 γj si = , nβ
i = 2, . . . , n.
(3.10)
Firmy spoleˇcnˇe vyrob´ı produkci o objemu n X i=1
(n − 1)α − si = nβ
Pn
i=2
γi
<
α , β
kter´a bude na trhu prod´ana za kladnou cenu. Kladn´e ˇreˇsen´ı (3.10) bude existovat, pr´avˇe kdyˇz α > nγi −
n X
γj ,
∀i = 2, . . . , n,
j=2
coˇz je vˇsak slabˇs´ı podm´ınka neˇz (3.9). Zbyl´ ych n−1 hr´aˇc˚ u splˇ nuj´ı (3.9), proto kladn´e ˇreˇsen´ı (3.10) existuje.
3.3 Stackelberg˚ uv model oligopolu
29
Pod´ıvejme se na pˇr´ıpad, kdy p (1 < p < n) hr´aˇc˚ u nesplˇ nuje (3.9). Pˇrerovn´ame si hr´aˇce podle v´ yˇse variabiln´ıch n´aklad˚ u od nejvˇetˇs´ıch po nejmenˇs´ı. M´ame situaci, kdy prvn´ıch p hr´aˇc˚ u nesplˇ nuje (3.9). Jdeme nyn´ı po ˇradˇe. Hr´aˇc s nejvˇetˇs´ımi variabiln´ımi n´aklady bude m´ıt produkci nulovou. Pokud hr´aˇc˚ u s nejvˇetˇs´ımi variabiln´ımi n´aklady bude v´ıc, vˇsichni budou m´ıt nulovou produkci. Poˇcet hr´aˇc˚ u s nejvˇetˇs´ımi variabiln´ımi n´aklady oznaˇc´ıme t. si = 0, i = 1, . . . , t Pro zbyl´ ych n − t hr´aˇc˚ u s niˇzˇs´ımi variabiln´ımi n´aklady ˇreˇs´ıme probl´em podobnˇe jako pˇri nesplnˇen´ı podm´ınky (3.9) jedn´ım hr´aˇcem. Vyjde n´am P α − (n − t + 1)γi + nj=t+1 γj si = , i = t + 1, . . . , n. (3.11) (n − t + 1)β Spoleˇcn´a produkce firem n X i=1
P (n − t)α − ni=t+1 γi α si = < (n − t + 1)β β
bude na trhu prod´ana za kladnou cenu. Kladn´e ˇreˇsen´ı (3.11) existuje pokud α > (n − t + 1)γi −
n X
γj ,
i = t + 1, . . . , n.
(3.12)
j=t+1
Podm´ınka (3.12) je jiˇz slabˇs´ı neˇz podm´ınka (3.9). Pokud ji st´ale nˇekteˇr´ı hr´aˇci nesplˇ nuj´ı, aplikujeme stejn´ y postup znovu. V´ ysledn´a podm´ınka bude opˇet slabˇs´ı. Protoˇze je hr´aˇc˚ u koneˇcn´ y poˇcet, tak po koneˇcnˇe mnoha opakov´an´ı tohoto postupu nalezneme ˇreˇsen´ı. Jeˇstˇe dodejme, ˇze pokud (3.9) nesplˇ nuje ani jeden hr´aˇc, plat´ı α < min
i=1,...,n
(n + 1)γi −
n X
γj
⇒
α < min γi ,
j=1
i=1,...,n
coˇz je pˇr´ıpad, kter´ y jsme jiˇz vyˇreˇsili na zaˇc´atku. si = 0,
3.3
i = 1, . . . , n.
Stackelberg˚ uv model oligopolu
Stackelberg˚ uv model oligopolu popisuje situaci, kdy na trhu je jeden hr´aˇc s urˇcitou doˇcasnou v´ yhodou. Tento hr´aˇc jako prvn´ı zveˇrejn´ı v´ yˇsi sv´e produkce. Ostatn´ı hr´aˇci
3.3 Stackelberg˚ uv model oligopolu
30
zareaguj´ı tak, ˇze mezi sebou zahraj´ı Cournot˚ uv model. Prvn´ı hr´aˇc v´ı, ˇze se tak zachovaj´ı. Za tˇechto pˇredpoklad˚ u se firmy snaˇz´ı maximalizovat svou u ´ˇcelovou funkci fi (si , s−i ) = si p(si , s−i ) − Ci (si ) ≥ 0. Rozd´ıl oproti Cournotovu modelu je ten, ˇze pro i = 2, . . . , n jsou si ≥ 0 z´avisl´e na parametru s1 ≥ 0. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze u ´ˇcelov´e funkce jsou dvakr´at spojitˇe diferencovateln´e na cel´em definiˇcn´ım oboru. Derivujeme a pokl´ad´ame rovno 0 zvl´aˇst’ pro i = 2, . . . , n ∂fi ∂p ∂Ci (si , s−i ) = p(si , s−i ) + si (si , s−i ) − (si ) = 0, ∂si ∂si ∂si ∂ 2 fi ∂p ∂2p ∂ 2 Ci (s , s ) = 2 (s , s ) + s (s , s ) − (si ) ≤ 0, i −i i −i i i −i ∂s2i ∂si ∂s2i ∂s2i
(3.13) (3.14)
a speci´alnˇe pro i = 1 n
X ∂p ∂sj ∂f1 ∂C1 (s1 , s−1 ) = p(s1 , s−1 ) + s1 (s1 , s−1 ) − (s1 ) = 0, (3.15) ∂s1 ∂sj ∂s1 ∂s1 j=1 n
X ∂p ∂sj ∂ 2 f1 (s , s ) = 2 (s1 , s−1 ) + 1 −1 ∂s21 ∂sj ∂s1 j=1 n X n X ∂p ∂ 2 sj ∂ 2 p ∂sk ∂sj + (s1 , s−1 ) − + s1 ∂sk ∂sj ∂s1 ∂s1 ∂sj ∂s21 j=1 k=1 −
∂ 2 C1 (s1 ) ≤ 0. ∂s21
(3.16)
Nyn´ı m´ame opˇet n rovnic (3.13) a (3.15) a n nerovnic (3.14) a (3.16), jejichˇz ˇreˇsen´ım (pokud existuje) je Nashovo ekvilibrium. Zvl´aˇst’ budeme muset vyˇsetˇrit pˇr´ıpad, kdy u ´ˇcelov´e funkce nˇekter´ ych firem nab´ yvaj´ı maxima v 0 jakoˇzto krajn´ım bodˇe definiˇcn´ıho oboru. Tento pˇr´ıpad nastane pravˇe tehdy, kdyˇz bude derivace u ´ˇcelov´e funkce v 0 nekladn´a. Obecnˇe se v pˇr´ıpadˇe trhu, kter´ y lze popsat Stackelbergov´ ym modelem, dostane na trh menˇs´ı objem produkce, kter´ y se prod´a za vyˇsˇs´ı cenu, viz [3].
Z´ avˇ er V t´eto pr´aci jsme se pokusili ˇcten´aˇre zasvˇetit do z´akladn´ı problematiky nekooperativn´ıch her. Pˇredstavili jsme koncept Nashova ekvilibria a jeho hled´an´ı na z´akladˇe preferenc´ı jednotliv´ ych hr´aˇc˚ u. Hled´an´ı rovnov´aˇzn´ ych bod˚ u bylo bohatˇe demonstrov´ano na konkr´etn´ıch pˇr´ıkladech. Nˇekter´e pˇr´ıklady byly ilustrov´any obr´azky. Uvedli jsme si nˇekolik zn´am´ ych diskr´etn´ıch her, ve kter´ ych jsme naˇsli Nashova ekvilibria v ˇcist´ ych i ve sm´ıˇsen´ ych strategi´ıch. Popsali jsme si i z´akladn´ı ekonomick´e oligopolistick´e modely. Cournot˚ uv model jsme podrobnˇe ilustrovali na pˇr´ıkladu line´arn´ı inverzn´ı popt´avkov´e funkce a line´arn´ıch n´akladov´ ych funkc´ı. Na tomto pˇr´ıkladu jsme provedli podrobnou anal´ yzu krajn´ıch ˇreˇsen´ı a nast´ınili obecn´ y postup. ˇ aˇr by nyn´ı mˇel rozumˇet z´akladn´ım princip˚ Cten´ um a mˇel by b´ yt schopen hledat rovnov´aˇzn´e body v nˇekter´ ych jednoduch´ ych u ´loh´ach. Z´ajemce o hlubˇs´ı porozumˇen´ı problematiky teorie her odkazujeme na literaturu.
Literatura [1] Aubin, J. P.: Optima and Equilibria, Springer-Verlag, Berlin, 1993. [2] Ba¸sar, T., Olsder, G. J.: Dynamic Noncooperative Game Theory, Academic Press, New York, 1982. [3] Gravelle, H., Rees, R.: Microeconomics, 2nd edition, Longman, New York, 1992. [4] Nash, J.: Non-cooperative games, Annals of Mathematics, vol. 54, no. 2, 1951, str. 286–295. [5] Owen, G.: Existence of equilibrium pairs in continuous games, International Journal of Game Theory, vol. 5, no. 2–3, 1976, str. 97–105. [6] Vorobjev, N. N.: Game theory, Lectures for economists and System Scientists, Springer-Verlag, New York, 1985.
