Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta Katedra pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky
Modelov´ an´ı rent z pojiˇstˇ en´ı odpovˇ ednosti Autor: Bc. Ag´ata Eˇst´okov´a Vedouc´ı projektu: RNDr. Martin Branda, Ph.D. Vedouc´ı pr´ace: Mgr. Karol´ına Koˇcov´a
Projekt modelace rent v povinn´em ruˇcen´ı v r´amci grantu Fondu pro podporu vzdˇel´av´an´ı v pojiˇst’ovnictv´ı Praha 2011
Obsah 1 Z´ akladn´ı kategorie pojiˇ stˇ en´ı odpovˇ ednosti 1.1 Odliˇsnosti jednotliv´ych st´at˚ u Evropsk´e unie 1.1.1 Francie . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 1.1.2 Spanˇ elsko . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Nˇemecko . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ edsko . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Sv´ 1.2 Pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody na zdrav´ı .
. . . . . .
3 5 5 6 6 7 7
2 Tvorba rezerv 2.1 Tvorba rezerv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Numerick´a studie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 9 12
Literatura
14
2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Kapitola 1 Z´ akladn´ı kategorie pojiˇ stˇ en´ı odpovˇ ednosti Postupujeme podle knihy [2]. Pojiˇst’ovnictv´ı je finanˇcn´ı sluˇzba, kter´a m´a r˚ uzn´e u ´ koly. Pˇredevˇs´ım poskytuje pojistnou ochranu (ve formˇe pojiˇstˇen´ı) osoby nebo jin´eho individu´aln´ıho subjektu, podporuje chod ekonomiky st´atu a spolupracuje s bankovn´ım sektorem nebo mu konkuruje. Pojiˇstˇen´ı se vztahuje na pˇredem stanoven´e nodil´e ud´alosti (pojistn´a ud´alost), kter´a je bl´ıˇze specifikovan´a ve pojistn´e smlouvˇe. Pojistn´a smlouva je uzavˇren´a mezi pojiˇst’ovnou (pojistitelem) a pojiˇst’ˇen´ım. Podle obsahu pojiˇstˇen´ı se rozliˇsujsleduj´ıc´ı z´akladn´ı druhy: 1. Soukromn´e pojiˇstˇen´ı • pojiˇstˇen´ı osob
• pojiˇstˇen´ı majetku
• pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti • u ´ razov´e pojiˇstˇen´ı
• soukromn´e zdravotn´ı a nemocensk´e pojiˇstˇen´ı 2. Soci´aln´ı pojiˇstˇen´ı 3. Zdravotn´ı pojiˇstˇen´ı D´ale podle u ´ˇcasti se pojiˇstˇen´ı dˇel´ı na dobrovoln´e a povinn´e. Pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti je typ pojiˇstˇen´ı, kter´a n´am poskytuje ochranu pro pˇr´ıpad, kdyˇz jin´emu subjektu zp˚ usob´ıme ˇskodu, za kterou zodpov´ıd´ame 3
a kterou jsme povinn´ı nahradit. Toto pojiˇstˇen´ı poskytuje ochranu pˇri ˇskodˇe, kter´a vzniknˇe pˇri plnˇen´ı povol´an´ı, v zamˇestn´an´ı nebo v bˇeˇzn´em obˇcansk´em ˇzivotˇe. Pojistnou ud´alost´ı m˚ uˇze b´yt ˇskoda na majetku, zdrav´ı nebo na ˇzivotˇe. Pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody slouˇz´ı k finanˇcn´ımu kryt´ı ˇskod, kter´e vznikly tˇret´ı poˇskozen´e osobˇe, kter´a vˇsak v okamˇziku uzavˇren´ı pojistn´e smlouvy jeˇstˇe ˇ nen´ı zn´ama. Skoda, na kterou se pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti vztahuje, obvykle neni u ´ myslnˇe zp˚ usoben´a. Odpovˇednostn´ı pojiˇstˇen´ı se dˇel´ı na: 1. Smluvn´ı pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti • Pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody obˇcana v bˇeˇzn´em obˇcansk´em ˇzivotˇe • Speci´aln´ı pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody obˇcana
– pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody obˇcana - vlastn´ıka, drˇzitele, n´ajemce nebo spr´avce nemovitosti – pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody obˇcana - vlastn´ıka budovy ve stavbˇe nebo demolici – pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody obˇcana - vlastn´ıka nebo opatrovatele psa – pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti obˇcana za ˇskody zp˚ usoben´e pˇri v´ykonu povol´an´ı
• Pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody podnikatele
– pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti podnikatele za ˇskody zp˚ usoben´e pˇri v´ykonu povol´an´ı – pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti podnikatele za v´yrobek – pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti zamˇestnavatele za ˇskody zp˚ usoben´e zamˇestnancem – pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody zp˚ usoben´e podnik´an´ım v zemˇedelstv´ı
2. Povinn´e smluvn´ı pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti – povinn´e smluvn´ı pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti provozovatel˚ u civiln´ıch letadel – povinn´e smluvn´ı pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody vznikl´e pˇri v´ykon˚ u pr´ava myslivosti 4
– povinn´e smluvn´ı pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody vznikl´e pˇri v´ykon˚ u povol´an´ı 3. Z´akonn´e pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti – z´akonn´e pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskodu zp˚ usobenou provozem motorov´eho vozidla – z´akonn´e pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti organizace za ˇskodu pˇri pracovn´ım u ´ razu a nemoci z povol´an´ı
1.1
Odliˇsnosti jednotliv´ ych st´ at˚ u Evropsk´ e unie
V t´eto ˇc´asti pouˇz´ıv´ame zdroj [1].
1.1.1
Francie
Kompenzace ˇskody na zdrav´ı se ve Francii prov´ad´ı jednor´azov´ym odˇskodn´ym nebo ve formˇe renty. Jednor´azov´e odˇskodn´e: Speci´aln´ı ˇskody, neschopnost nebo ekonomick´e ztr´aty, k nimˇz doˇslo pˇred dnem vypoˇr´ad´an´ı, jsou vˇetˇsinou vyplacen´e formou jednor´azov´eho odˇskodn´eho. Tato forma odˇskodnˇen´ı je v´yhodn´a, kdyˇz je dostateˇcnˇe velk´a na to, aby j´ı bylo moˇzn´e investovat. Renty: Pokud obˇet’ nen´ı schopna vyuˇz´ıt jednor´azovou v´yplatu na pokryt´ı budouc´ıch ekonomick´ych ztr´at, preferuje se v´yplata ve formˇe indexovan´ych rent˚ u. Kv˚ uli daˇ nov´ym nev´yhod´am nebo podle pˇr´an´ı obmyˇslen´e osoby je nˇekdy nahrazen´a frekvenˇcn´ı v´yplata jednor´azovou hodnotou, kter´a je osvobozen´a od zdanˇen´ı. Strukturovan´y syst´em, kter´y je pouˇz´ıv´an ve Francii, je proto vˇetˇsinou kombinac´ı jednor´azov´e v´yplaty a rent. Financov´an´ı indexovan´ych rent z´avis´ı na typu pojistn´e ud´alosti. V pˇr´ıpadˇe dopravn´ı nehody jsou u ´ pravy k rent˚ um ’ vyplacen´e st´atem. To znamen´a, ˇze pojiˇst ovna plat´ı pouze stabiln´ı rentu a celkov´e n´aklady na indexace nese st´at. Z hlediska dopravn´ıch nehod je pojiˇst’ovna zabezpeˇcen´a, ale cena nastal´ych ˇskod kv˚ uli poklesu technick´e u ´ rokov´e m´ıry u kalukaci rezerv je poˇr´ad rostouc´ı. Pokud se zdravotn´ı stav obˇet´ı zhorˇsuje, je moˇznost u ´ pravit v´yˇsi rent. Za ostatn´ı nehody mus´ı stanovit ’ n´aklady na indexaci pojiˇst ovna. Hodnota n´aklad˚ u je d´ıky zvl´aˇsn´ım pravidl˚ um 5
tvorby rezervy velmi odliˇsn´a. Vypoˇr´ad´an´ı ve formˇe strukturovan´ych rent jsou v´ıce rozˇs´ıˇren´e, protoˇze jsou pˇr´ıznivejˇs´ı pro pojistitele i pro pojiˇst’ovnu. Tento syst´em je pouˇz´ıv´an i ve Velk´e Brit´ani´ı.
1.1.2
ˇ Spanˇ elsko
ˇ V Spanˇ elsku je kompenzace za ˇskodu na zdrav´ı zpravidla uskuteˇcnˇena jednor´azovou v´yplatou. Opakovan´e v´yplaty jsou praktizovan´e vˇetˇsinou u v´aˇznˇe zranˇen´ych osob (osoba, kter´a utrpˇela trval´e zranˇen´ı a potˇrebuje pomoc jin´e osoby v kaˇzdodenn´ım ˇzivotˇe), ale jsou m´alo aplikovan´e. Oproti Francii jsou renty v praxi pˇridˇelovan´e vˇzdy soudem bez ohledu na typ nehody. Renty jsou vˇetˇsinou indexovan´e a pojistitel nese celkov´e n´aklady na indexaci bez finanˇcn´ı uˇcasti st´atu. V pˇr´ıpadˇe zmˇen ve zdravotn´ım stavu obˇeti nen´ı moˇznost revalorizace renty. U dopravn´ıch nehod jsou renty indexovan´e. Pˇri zhodnocen´ı se pouˇz´ıv´a jako mˇeˇr´ıtko z´avaˇznost zranˇen´ı, kv˚ uli ˇcemu pojiˇst’ovny maj´ı vyhodnocovat pˇresnˇe jejich technick´e rezervy. ˇ Stejne jako ve Francii, se i ve Spanˇ elsku zaˇc´ın´a rozˇsiˇrovat strukturovan´y syst´em rent. Velk´e obt´ıˇze jsou spojen´e s nedostateˇcnost´ı kapitalizaˇcn´ıch faktor˚ u, coˇz zhorˇsuje u ´ˇcast zajistitele v pojiˇstˇen´ı. Rostouc´ı povˇedom´ı mezi obˇet’mi a obmyˇslen´ymi osobami m˚ uˇze v´yhodnˇe ovlivnit v´yvoj odˇskodnˇen´ı ve formˇe rent˚ u, stejnˇe jako ve Francii a ve Velk´e Brit´anii.
1.1.3
Nˇ emecko
V Nˇemecku je princip v´yplaty rent, kter´e maj´ı kompeznovat budouc´ı potˇreby obˇeti, ustanoveny z´akonem, ale jednor´azov´e odˇskodn´e jsou ˇcastˇejˇs´ı. Tento zp˚ usob odˇskodnˇen´ı je preferov´an obˇetmi. Vypoˇr´ad´an´ı ve formˇe rent˚ u je zvolen´e vˇetˇsinou v pˇr´ıpadˇe dopravn´ıch nehod. U ˇskody na zdrav´ı se kompenzace obvykle ˇreˇs´ı pomoc´ı rent. Tento zp˚ usob nicm´enˇe v budoucnosti pravdˇepodobne nebude dominantn´ı, a to kv˚ uli pojistn´ım ud´alostem bez soudn´ıho sporu. D˚ uvodem je, ˇze pojiˇst’ovna preferuje nab´ıdnout jednor´azovou sumu o m´ırnˇe nav´yˇsenou ˇc´astkou. Renty nejsou indexovan´e. Pojiˇst’ovna pˇri stanoven´ı rezerv pouˇz´ıv´a zcela odliˇsn´e metody pro tvorbu rent, kter´e jsou vzhledem ke stabilitˇe Nˇemeck´e ekonomiky adekv´atn´ı.
6
1.1.4
ˇ edsko Sv´
V jednotliv´ych skandin´avsk´ych zem´ıch se kompenzace ˇskody na zdrav´ı liˇs´ı. Napˇr´ıklad v D´ansku a Norsku je preferovan´e jednor´azov´e vypoˇr´ad´an´ı. Ve ˇ edsku je u Sv´ ´ roveˇ n kompenzace velmi vysok´a, n´aklady na ˇskody pokr´yvan´e ’ pojiˇst ovnou jsou niˇzˇs´ı kv˚ uli u ´ˇcasti tˇret´ı strany na kompenzaci. Prostˇredky kompenzace podl´ehaj´ı jist´ym pr´avn´ım pˇredpis˚ um. Kompenzace ztr´aty budouc´ıch zisk˚ u nebo ztr´aty podpory jsou pokryt´e doˇzivotn´ımi rentami, jednor´azov´ym odˇskodn´ym nebo jejich kombinacemi. Nejˇcastˇejˇs´ı formou jsou renty, kter´e balancovat ekonomickou situaci obˇeti a jeho opr´avnˇen´ym pˇr´ıjemc˚ um. U tvorbˇe rezerv je zˇrejm´e, ˇze hodnota rezervy zejm´ena v pˇr´ıpadˇe mlad´ych obˇet´ı je pˇr´ıliˇs vysok´a.
1.2
Pojiˇstˇ en´ı odpovˇ ednosti za ˇskody na zdrav´ı
Postupujeme podle dokumentu [4] a podle [3]. Jedna z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch typ˚ u mezi pojiˇstˇen´ımi odpovˇednosti v dneˇsn´ı dobˇe je pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti za ˇskody na zdrav´ı, kter´a je definovan´a jako zhorˇsen´ı tˇelesn´eho nebo psychick´eho stavu. V d˚ usledku r˚ uzn´ıch ˇcinitel˚ u se d´a pozorovat rostouc´ı trend n´aklad˚ u za ˇskody na zdrav´ı. V´yznamnou pˇr´ıˇcinou tohoto r˚ ustu tvoˇr´ı dopravn´ı nehody, u kter´ych je v posledn´ı dobˇe pozorov´an jasn´y posun od nehod se smrteln´ymi n´asledky k nehod´am konˇc´ıc´ım ˇskodami na zdrav´ı. D˚ uvodem posunu je zdokonalov´an´ı bezpeˇcnostn´ıch prvk˚ u ve vozidlech a zlepˇsov´an´ı z´achrann´ych sluˇzeb. Kv˚ uli tˇemto zlepˇsen´ı obˇeti nehod s vˇetˇs´ı pravdˇepodobnost´ı preˇzij´ı nehody, utrp´ı ale v´aˇzn´e a ˇcasto trval´e zranˇen´ı. V takov´ych pˇr´ıpadech vznik´a n´arok na odˇskodnˇen´ı, kter´y m˚ uˇze b´yt vyplacen jednor´azovˇe nebo formou d˚ uchodu po dobu urˇcenou v pojistn´e smlouvˇe. Proto je velmi d˚ uleˇzit´ym u ´ kolem pojiˇstovny odhadnout a stanovit ˇskodn´ı rezervu (rezerva na pojistn´a plnˇenen´ı). Pojiˇst’ovna mus´ı co nejrychleji a pokud moˇzno pˇresnˇe ohodnotit pojistn´e ud´alosti, aby t´ım zabezpeˇcila rychlou a spravedlivou n´ahradu ˇskod nebo vytvorila dosteteˇcn´e rezervy na pojistn´e ud´alosti, jejichˇz vyˇrizov´an´ı je pravdˇepodobnˇe zdlouhav´e a nebudou uhrazeny pˇred koncem u ´ˇcetn´ıho obdob´ı. Kaˇzd´a pojiˇstovna podle sv´ych kapit´alov´ych moˇznost´ı dˇel´ı ˇskody podle z´avaˇznosti na mal´e a velk´e. Mal´e ˇskody, jin´ymi slovy frekvenˇcn´ı ˇskody, maj´ı ˇcast´y v´yskyt a tvoˇr´ı homogenn´ı profil ˇskod. Velk´y poˇcet takov´ych ˇskod umoˇzn ˇ uje statistickou anal´yzu. 7
Z´akon velk´ych ˇc´ısel pro dostateˇcn´ı velk´y poˇcet dat ˇr´ık´a, ˇze pokud se mnoˇzstv´ı ud´alost´ı zvyˇsuje, pr˚ umˇern´a v´yˇse pojistn´eho plnˇen´ı na jednu pojistnou ud´alost se st´ale vˇetˇs´ı pravdˇepodobnost´ı bl´ıˇz´ı k urˇcit´e konkr´etn´ı hodnotˇe. Proto nen´ı nutn´e odhadovat kaˇzdou malou ˇskodu ale staˇc´ı rezervovat ˇc´astku odpov´ıdaj´ıc´ı v´aˇzen´emu pr˚ umˇeru. Odchylky od v´aˇzen´eho pr˚ umˇeru se pochybujou uvnitˇr u ´ zk´eho intervalu a maj´ı tendenci ke vz´ajemn´emu vyrovn´an´ı bˇehem delˇs´ıho obdob´ı. Velk´e ˇskody se vyskytuj´ı ve v´yraznˇe menˇs´ım poˇctu a tvoˇr´ı nehomogenn´ı profil ˇskod. Nedostateˇcn´ı poˇcet v´yskyt˚ u neumoˇzn ˇ uje pouˇzit´ı z´akonu velk´ych ˇc´ısel. Velk´e ˇskody je nezbytn´e odhadovat jednotlivˇe. Takto se eliminuje moˇznost velk´eho rozd´ılu mezi stanovenou rezervou a koneˇcnou ˇc´astkou, kter´a bude vyplacena jako pojistn´e plnˇen´ı.
8
Kapitola 2 Tvorba rezerv 2.1
Tvorba rezerv
V mnoha pˇr´ıpadech je registrace ˇskody na zdrav´ı nebo za usmrcen´ı hl´aˇsen s ˇcasov´ym odstupem a z dostupn´ıch podklad˚ u pˇresnˇe nevypl´yv´a, jak´a zranˇen´ı poˇskozen´y utrpˇel. Zdravotn´ı stav zranˇen´e osoby mus´ı b´yt nejprve stabilizov´an. D´elka stabilizace v pˇr´ıpadˇe tˇeˇzk´eho zranˇen´ı m˚ uˇze trvat i nˇekolik let. Teprve potom se d´a pˇresne stanovit ztr´atu, kterou pro poˇskozen´eho p˚ usobila tˇeˇzk´a ˇskoda na zdrav´ı a vyplatit pojistn´e plnˇen´ı. Pro kaˇzdou ohl´aˇsenou pojistnou ud´alost, kter´a nebyla ke konci roku u ´ plnˇe vyˇr´ızen´a mus´ı pojiˇstovna vytvoˇrit postaˇcuj´ıc´ı rezervu na nevyplacenou ˇc´ast. Existuj´ı r˚ uzn´e postupy pˇri stanoven´ı ˇskodn´ı rezervy: – je-li zn´ama koneˇcn´a v´yˇse ˇskod, stanov´ı se ˇskodn´ı rezerva v t´eto v´yˇsi. – nen´ı-li zn´ama koneˇcn´a v´yˇse ˇskod a nen´ı-li k dispozici dostatek podklad˚ u nebo informac´ı ani pro kvalifikovan´y odhad pˇredpokl´adan´eho plnˇen´ı, stanov´ı se ˇskodn´ı rezerva pomoc´ı pauˇs´alu. Pauˇs´aln´ı ˇc´astky jsou urˇceny anal´yzou historick´ych dat pomoc´ı matematicko-statistick´ych metod pˇri zohlednˇen´ı inflace n´aklad˚ u na pojistn´a plnˇen´ı – nen´ı-li zn´ama koneˇcn´a v´yˇse ˇskod, ale z dostupn´ych podklad˚ u lze zjistit charakter zranˇen´ı (lehk´e, tˇeˇzk´e, smrteln´e) - stanov´ı se ˇskodn´ı rezerva na z´akladˇe minul´ych zkuˇsenost´ı. Druhy n´arok˚ u, z nichˇz m˚ uˇze vziknout renta: • ztr´ata na v´ydˇelku po skonˇcen´ı l´eˇcen´ı 9
• ztr´ata na d˚ uchodu • n´aklady spojen´e s l´eˇcen´ım • v´yˇziva poz˚ ustal´ym Nejˇcastˇejˇs´ım pˇr´ıpadem je ztr´ata na v´ydˇelku. Renta v tomto pˇr´ıpadˇe kompenzuje hodnotu v´ydˇelka vinou poˇskozen´ı zdrav´ı do v´yˇse v´ydˇelku pˇred poˇskozen´ım zdrav´ı. Hodnota renty (R) v tomto pˇripadˇe se vypoˇc´ıt´av´a n´aslednˇe: R = V − (D + M)
(2.1.1)
kde V znaˇc´ı v´ydˇelek pˇred poˇskozen´ım (za posledn´ı ˇctvrtlet´ı pˇred poˇskozen´ım, pˇr´ıpadnˇe za cel´y rok, pokud to je v´yhodnˇejˇs´ı pro klienta), D znaˇc´ı invalidn´ı d˚ uchod, M je mzda (v´ydˇelek po poˇskozen´ı). Celkov´y pˇr´ıjem po poˇskozen´ı tedy tvoˇr´ı D + M. V´ydˇelek, d˚ uchod, mzda se podstoup´ı roˇcn´ımu u ´ roˇcen´ı (valorizaci), ozn. iV , iD , iM . Budouc´ı platby renty diskontujeme pomoc´ı diskontn´ıho faktoru vR . Pro stanoven´ı rezervy na renty uvaˇzujeme n´asleduj´ıc´ı klasifikace: Z - zdrav´y CI - ˇc´asteˇcnˇe invalidn´ı P I - plnˇe invalidn´ı NI - neinvalidn´ı, tj. poˇskozen´y m´a n´arok na invalidn´ı d˚ uchod, ale nepob´ır´a jej M - mrtv´y Necht’ A ∈ {P I, CI, NI} a S ∈ {ˇ z ena, muˇ z }, potom qxA,S znaˇc´ı pravdˇepodobnost toho, ˇze osoba ve vˇeku x opust´ı stav {P I, CI, NI} a pˇrejde do stavu Z nebo M, a t pA,S je pravdˇepodobnost setrv´an´ı osoby ve vˇeku x ve stavu x A ∈ {P I, CI, NI} v ˇcase x + t. Rezervu na renty m˚ uˇzenme urˇcit n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: – Doˇcasn´a renta: RRx,n =
n−1 X t=0
A,S t t px vR [V
(1 + iV )t − D(1 + iD )t − M(1 + iM )t ]+ . (2.1.2)
10
– Doˇzivotn´ı renta: RRx =
ω A,S X−x
A,S t t px vR [V
t=0
(1 + iV )t − D(1 + iD )t − M(1 + iM )t ]+ . (2.1.3)
Pokud iC = iV = iD = iM : – Doˇcasn´a renta: RRx,n =
n−1 X
A,S t t px vR (1
t=0
+ iC )t (V − D − M).
(2.1.4)
– Doˇzivotn´ı renta: RRx =
ω A,S X−x
A,S t t px vR (1
t=0
+ iC )t (V − D − M).
(2.1.5)
Dalˇs´ı v´yznamnou rentou jsou poz˚ ustalostn´ı renty, kter´e patˇr´ı rodinn´ym pˇr´ısluˇsn´ık˚ um zemˇrel´eho. Poz˚ ustalostn´ı renta se dˇel´ı na vdovskou a sirotˇc´ı rentu a na ˇskoln´e. Pro urˇcen´ı hodnoty toho typu renta je nutn´e zn´at v´ydej (V P N=v´ydej po nehodˇe) a pˇr´ıjem (P P N=pˇr´ıjem po nehodˇe) poz˚ ustal´ych po nehodˇe. Kdyˇz nezn´ame v´yˇse d˚ uchodu, postupujeme podle n´asleduj´ıc´ıho modelu: R = V P N − P P N, (2.1.6) kde V P N = V · (r + m(1 − r)),
(2.1.7)
r jsou nemˇenn´e v´ydaje a m je pod´ıl poˇctu ˇclenu dom´acnosti po nehodˇe a pˇred nehodou a k X PPN = M + V R + SRi , (2.1.8) i=0
kde k je poˇcet sirotk˚ u v dom´acnosti. Parametry V R a SR se urˇcuj´ı n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: V R = ZV + 0, 5P V
(2.1.9)
SR = ZV + 0, 5P V
(2.1.10)
a
11
kde ZV je z´akladn´ı v´ymˇera v hodnotˇe 2230 a P V = 0, 015 · n · [min(OV Z, DH + 0, 1 · min(max(OV Z − DH, 0), HH − DH) + 0, 1 · max(OV Z − HH, 0)],
(2.1.11)
pˇriˇcemˇz DH= doln´ı hranice redukˇcn´ıch tˇr´ıd a HH= horn´ı hranice redukˇcn´ıch tˇr´ıd, X OV Z = (12 · 30, 4167 · V )/365, 25 · j, (2.1.12) j
j je poˇcet let, ve kter´ych mˇela zemˇrel´a osoba kladn´y v´ydˇelek. Rezerva na renty se poˇc´ıt´a podobnˇe jako rezerva na renty v pˇr´ıpadˇe ztr´aty na v´ydˇelku: max{α,β} X A,S t t RRx = (2.1.13) t px vR (1 + iC ) R. t=0
α=do 65 let vˇeku mrtv´eho, β = do doby nezaopatˇrenosti d´ıtˇete.
2.2
Numerick´ a studie
V t´eto kapitole uvedeme v´ysledky v´ypoˇctu na rozs´ahl´em souboru tis´ıce rent vygenerovan´em na z´akladˇe re´aln´ych charakteristik rent za ztr´aty na v´ydˇelku. Pro ohodnocen´ı rent vyuˇzijeme sc´en´aˇre roˇcn´ı u ´ rokov´e m´ıry simulovan´e za pomoc´ı metodologie pˇredstaven´e v [7]. Pouˇzijeme Cox, Ingersoll a Ross (CIR) proces, jehoˇz diskretizaci m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru √ rt = rt−1 + α(µ − rt−1 ) + σ rt−1 ǫ,
(2.2.1)
kde α, µ, σ jsou parametry procesu a ǫ je n´ahodn´a veliˇcina se standardn´ım norm´aln´ım rozdˇelen´ım. Pro u ´ˇcely numerick´e studie byly parametry vybr´any ze s´ıtˇe: parametr n´avratu ke stˇredn´ı hodnotˇe α ∈ {0.1, 0.5, 1.0}, a parametr variability σ ∈ {0.01, 0.03, 0.05}, stˇredn´ı hodnota byla ponech´ana na konstantn´ı u ´ rovni µ = 0.045. V´yjimkou je kombinace α = 0.1 a σ = 0.05, kde je ˇcasto nasimulovan´a m´ıra z´aporn´a, nebot’ jsme bl´ızko poruˇsen´ı podm´ınky αµ > σ 2 , viz [7]. Na z´akladˇe tis´ıce trajektori´ı CIR procesu jsou spoˇcteny
12
charakteristiky rezerv uvaˇzovan´eho souboru rent: pr˚ umˇer, smˇerodatn´a odchylka a odhad rezervy s bezpeˇcnostn´ı pˇrir´aˇzkou na hladinˇe 95 % za pˇredpokladu normality, viz tabulka 2.1. Pro u ´ plnost je uveden odhad rezervy pˇri konstantn´ı roˇcn´ı u ´ rokov´e m´ıˇre. Je zˇrejm´e, ˇze spr´avn´y odhad parametr˚ u CIR procesu, j´ımˇz se zab´yvala pr´ace [7], m´a z´asadn´ı vliv na v´yˇsi v´ysledn´ych rezerv na renty. Tabulka 2.1: Rezervy rent (µ = 4.5%) α 0.1 0.1 0.5 0.5 0.5 1 1 1 -
σ 0.01 0.03 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05 -
Odhad 4 104 4 155 3 794 3 812 3 848 3 777 3 791 3 823 3 776
(pr˚ umˇer) 070 234 291 381 853 968 341 390 949 994 185 071 519 687 295 521 295 000
Smˇer. odch. Odhad + bezp. pˇrir´aˇzka 129 210 653 4 317 267 811 385 716 392 4 791 723 428 35 513 737 3 853 451 633 101 883 990 3 980 449 973 172 758 040 4 134 000 760 17 620 508 3 806 258 909 54 576 681 3 881 571 210 89 439 502 3 970 870 699 -
13
Literatura [1] Compensation for bodily injury by annuity settlements in Europe, SCOR, 1999. [2] T. Cipra: Pojistn´a matematika - teorie a praxe, Ekopress, 1999. ˇ [3] CKP: Metodika tvorby technick´ych rezerv v pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti z ˇ a kancel´aˇr pojistitel˚ provozu vozidla, Cesk´ u, 2001. [4] S. Fisnar: Tvorba rezervy na tˇeˇzk´e ˇskody na zdrav´ı - Metody a praxe v pojiˇstˇen´ı odpovˇednosti, Corporate Communications Reinsurance and Risk, 1999. [5] K. Imai, T. Kadowaki, Y. Aizawa: Standardized Indices of Mortality among Persons with Spinal Cord Injury: Acclerated Aging Process, 2004. [6] J.S. Krause, R.E. Carter, E.E. Piskelsimer, D. Wilson: A prospective Study of Health and Risk of Mortality After Spinal Cord Injury, Arch. Phys. Med. Rehabil. Vol. 98 , 2008. [7] D. Kr´ycha. Ekonomick´e sc´en´aˇre v pojiˇst’ovnictv´ı. Pr´ace s podporou Fondu pro podporu vzdˇel´av´an´ı v pojiˇst’ovnictv´ı v r´amci Projektu modelace rent v povinn´em ruˇcen´ı, 2011. ˇ ’´astkov´a: Semin´aˇr z aktu´arsk´ych vˇed 2002/03, MAT[8] P. Mandl, M. St FYZPRESS, 2003. ˇ a asociace pojiˇst’oven, 1998. [9] E. Trojanov´a: Pojistn´e rozpravy 3, Cesk´ [10] G.G. Venter, B. Schill, J. Barnett: Review of report of committee on mortality for disabled lives, 1991.
14
