shodu momentů Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikáln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

Hana Koláˇcková Generov´ an´ı sc´ en´ aˇ r˚ u pˇ ri poˇ zadavku na shodu moment˚ u Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky

Vedouc´ı bakaláˇrské práce:

prof. RNDr. Jitka Dupaˇcová, DrSc.

Studijn´ı program: Matematika Studijn´ı obor: Finanˇcn´ı matematika

Praha 2015

Ráda bych podˇekovala své vedouc´ı prof. RNDr. Jitce Dupaˇcové, DrSc. a konzultantovi RNDr. Václavu Kozm´ıkovi, Ph.D. za odbornou konzultaci a poskytnut´ı cenných rad v pr˚ ubˇehu psan´ı práce.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem tuto bakaláˇrskou práci vypracoval(a) samostatnˇe a výhradnˇe s pouˇzit´ım citovaných pramen˚ u, literatury a dalˇs´ıch odborných zdroj˚ u. Beru na vˇedom´ı, ˇze se na moji práci vztahuj´ı práva a povinnosti vyplývaj´ıc´ı ze zákona ˇc. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znˇen´ı, zejména skuteˇcnost, ˇze Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavˇren´ı licenˇcn´ı smlouvy o uˇzit´ı této práce jako ˇskoln´ıho d´ıla podle §60 odst. 1 autorského zákona.

V

Praze

dne

19. 5. 2015

Název práce: Generován´ı scénáˇr˚ u pˇri poˇzadavku na shodu moment˚ u Autor: Hana Koláˇcková Katedra: Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky Vedouc´ı bakaláˇrské práce: prof. RNDr. Jitka Dupaˇcová, DrSc. Abstrakt: V práci jsou uvedeny ˇctyˇri zp˚ usoby generován´ı scénáˇr˚ u tak, aby výsledné diskrétn´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti replikovalo pˇredepsané hodnoty moment˚ u. Prvn´ım z nich je heuristický algoritmus, druhým ze zp˚ usob˚ u je symetrické rozloˇzen´ı okolo stˇredn´ı hodnoty, dalˇs´ı je systém nelineárn´ıch rovnic a posledn´ı zp˚ usob je ˇreˇsen´ı pomoc´ı c´ılového programován´ı. V dalˇs´ı ˇcásti je pˇribl´ıˇzen charakter této u ´ lohy c´ılového programován´ı a jsou uvedeny konkrétn´ı moˇznosti specifikac´ı parametr˚ u u ´ lohy s následným ovlivnˇen´ım nároˇcnosti ˇreˇsen´ı. V posledn´ı ˇcásti práce jsou porovnány výsledky nˇekolika moˇzných zp˚ usob˚ u ˇreˇsen´ı vybraných typ˚ uu ´ lohy. Kl´ıˇcová slova: C´ılové programován´ı, scénáˇre, shoda moment˚ u, heuristický algoritmus, rovnomˇerné rozloˇzen´ı okolo stˇredn´ı hodnoty

Title: Scenario generation by the moment fitting method Author: Hana Koláˇcková Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: prof. RNDr. Jitka Dupaˇcová, DrSc. Abstract: The thesis presents four methods for scenario generating leading to the resulting discrete probability distribution that replicates given values of the moments. The first method uses heuristic algorithm, the second method generates by symmetrically distributing values around the mean value, the third one is based on solving the system of nonlinear equations and finally the last method is based on goal programming. Next section describes the nature of problems solved by the goal programming. It also details possible ways of parameter specification to allow control of the computational complexity. In the last part of the thesis the results of several suitable methods for chosen types of problem are compared. Keywords: Goal programming, heuristic algorithm, scenarios, fitting moments

Obsah 1 Nastolen´ı probl´ emu ´ 1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Základn´ı definice, vˇety a vlastnosti 1.2.1 Náhodné veliˇciny a vektory 1.2.2 Matice . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Konvexn´ı funkce . . . . . . 1.3 Problém . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2 Metody ˇ reˇ sen´ı 2.1 Heuristický algoritmus . . . . . . . . . . . 2.2 Pravidelné rozloˇzen´ı scénáˇr˚ u . . . . . . . . 2.2.1 Shoda prvn´ıch moment˚ u . . . . . . 2.2.2 Shoda prvn´ıch moment˚ u a rozptyl˚ u 2.3 Soustava nelineárn´ıch rovnic . . . . . . . . ˇ sen´ı pomoc´ı c´ılového programován´ı . . . 2.4 Reˇ 3 Charakter u ´ lohy (2.9) 3.1 Speciáln´ı volba rozmˇer˚ uu ´ lohy 3.2 Volba metriky . . . . . . . . . 3.2.1 L1 norma . . . . . . . 3.2.2 L2 norma . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

4 Praktick´ aˇ c´ ast 4.1 Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Shoda prvn´ıch moment˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Lineárn´ı programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Výbˇer z reálných dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Scénáˇre nalezené pro shodu prvn´ıch moment˚ u . . . . . . 4.3 Shoda druhých moment˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Nelineárn´ı programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Výbˇer z reálných dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Scénáˇre nalezené pro shodu druhých moment˚ u . . . . . . 4.4 Shoda stˇredn´ıch hodnot a rozptyl˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Pravidelné rozloˇzen´ı scénáˇr˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Nelineárn´ı programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Výbˇer z reálných dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Scénáˇre nalezené pro shodu prvn´ıch moment˚ u a rozptyl˚ u 4.5 Shoda stˇredn´ıch hodnot, rozptyl˚ u a korelac´ı . . . . . . . . . . . ˇ 4.6 Casov´ a nároˇcnost výpoˇct˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

. . . . . .

3 3 4 4 5 6 8

. . . . . .

10 10 11 11 12 13 13

. . . .

15 16 17 17 20

. . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 24 24 26 27 29 29 30 31 33 33 34 35 36 37 39

4.7 Závˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Literatura

41

Seznam obr´ azk˚ u

42

Seznam tabulek

43

2

Kapitola 1 Nastolen´ı probl´ emu 1.1

´ Uvod

V dneˇsn´ı dobˇe je investován´ı velmi rozˇs´ıˇrenou aktivitou jak mezi bˇeˇznými lidmi tak mezi odborn´ıky, kteˇr´ı se j´ım pˇr´ımo ˇziv´ı. Hlavn´ım problémem této oblasti je ale rozhodnout se, kam investovat a kam naopak neinvestovat. Toto rozhodnut´ı je nároˇcné pˇredevˇs´ım kv˚ uli nejistotˇe ohlednˇe budouc´ıho vývoje komodity, do které chceme investovat. Nav´ıc bývá nutné se rozhodnout nejen na jedno ale i na v´ıce ˇcasových obdob´ı, ˇc´ımˇz se rozhodnut´ı stává jeˇstˇe komplikovanˇejˇs´ım. Typickými pˇr´ıklady d˚ uvod˚ u znemoˇzn ˇ uj´ıc´ıch jednoduché rozhodován´ı jsou promˇenlivé u ´ rokové m´ıry, inflace nebo kurzy mˇen. Proto byly vytvoˇreny stochastické modely, které maj´ı za c´ıl vysvˇetlit nebo popsat náhodné parametry pouˇz´ıvané pˇri vstupu do model˚ u, které tato rozhodnut´ı ovlivˇ nuj´ı. Velmi d˚ uleˇzitou sloˇzkou práce s takovými modely je reprezentovat parametry ve formˇe vhodné pro výpoˇcty. Pˇredstavme si napˇr´ıklad, ˇze máme velký soubor dat ze stejného rozdˇelen´ı, at’ uˇz je spojité nebo diskrétn´ı. Pro výpoˇcet stˇredn´ı hodnoty nebo i jakéhokoliv dalˇs´ıho statistického parametru potˇrebujeme vypoˇc´ıtat mnohorozmˇerný integrál v pˇr´ıpadˇe spojitého rozdˇelen´ı a nˇekolikanásobnou sumu v pˇr´ıpadˇe diskrétn´ıho rozdˇelen´ı a ty ani nemusej´ı být explicitnˇe definovány. Takovéto výpoˇcty jsou nároˇcné a z numerického hlediska nesch˚ udné. Z tohoto d˚ uvodu bychom rádi nahradili takto výpoˇcetnˇe nároˇcné rozdˇelen´ı nˇejakým jiným, pro výpoˇcty vhodnˇejˇs´ım rozdˇelen´ım. To znamená rozdˇelen´ım, které bude reprezentováno ménˇe hodnotami, aby byly výpoˇcty jednoduˇsˇs´ı, ale zároveˇ n takovým, které bude m´ıt stejné alespoˇ n nˇekteré statistické vlastnosti jako napˇr´ıklad margináln´ı momenty nebo kovariance. Jednotlivé body tohoto nového rozdˇelen´ı nazveme scénáˇre, pˇriˇcemˇz kaˇzdému pˇr´ısluˇs´ı jeho pravdˇepodobnost. Na jednotlivé scénáˇre m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na jednotlivé atomy diskrétn´ıho rozdˇelen´ı. Jeden scénáˇr je jedn´ım atomem, bodem daného diskrétn´ıho rozdˇelen´ı. Jejich poˇcet sice nen´ı v podstatˇe niˇc´ım omezen, ale my se snaˇz´ıme o co nejmenˇs´ı poˇcet, aby byly výpoˇcty co nejjednoduˇsˇs´ı a nejrychlejˇs´ı, ale zároveˇ n jich potˇrebujeme dostateˇcné mnoˇzstv´ı, aby dobˇre reprezentovaly dané rozdˇelen´ı. Pojmem dobˇre“ ” zde rozum´ıme tak, aby z˚ ustaly zachovány námi zvolené statistické vlastnosti jako napˇr´ıklad stˇredn´ı hodnota, rozptyl nebo i vyˇsˇs´ı momenty.

3

1.2 1.2.1

Z´ akladn´ı definice, vˇ ety a vlastnosti N´ ahodn´ e veliˇ ciny a vektory

Definice 1. [2, Kapitola 2.2] Necht’ Ω je nˇejaká mnoˇzina a A je σ-algebra jej´ıch podmnoˇzin. Funkci P : A → h0, 1i nazveme pravdˇepodobnost´ı, právˇe kdyˇz splˇ nuje následuj´ıc´ı podm´ınky: (a) P (A) ≥ 0, P (Ω) = 1, ∀ AT∈ A; P∞ S (b) A1 ,A2 ,A3 , · · · ∈ A a Ai Aj = ∅∀i 6= j ⇒ P ( ∞ i=1 P (Ai ). i=1 Ai ) =

Definice 2. [1, Kapitola 1.1] Rozdˇelen´ım náhodné veliˇciny X : (Ω,A) → (X ,B), kde X je nˇejaká mnoˇzina a B je nˇejaká σ-algebra na X , rozum´ıme indukovanou pravdˇepodobnostn´ı m´ıru PX na (X , B) definovanou vztahem PX (B) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}), B ∈ B. Definice 3. [1, Kapitola 1.1] Stˇredn´ı hodnotou (reálné) náhodné veliˇciny X rozum´ıme ˇc´ıslo E X dané výrazem Z EX= X(ω)dP (ω), Ω

pokud integrál na pravé stranˇe existuje. Hodnota µk = E X k se nazývá k-tý moment náhodné veliˇciny X. Hodnota µ∗k = E (X − E X)k se nazývá k-tý centráln´ı moment náhodné veliˇciny X. Druhý centráln´ı moment náhodné veliˇciny X se nazývá rozptyl a znaˇc´ı se var X. Definice 4. [1, Kapitola 2.1] Necht’ X, Y jsou náhodné veliˇciny s koneˇcnými druhými momenty. Kovarianci veliˇcin X a Y definujeme jako cov(X, Y ) = E (X − E X)(Y − E Y ). Definice 5. [1, Kapitola 2.6] Necht’ X, Y jsou náhodné veliˇciny s koneˇcnými druhými momenty a s kladnými rozptyly. Korelaˇcn´ı koeficient veliˇcin X a Y je cov(X, Y ) ̺(X, Y ) = √ . varXvarY Definice 6. [1, Kapitola 2.1] Necht’ náhodné veliˇciny X1 , . . . ,Xn jsou definovány na témˇz pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P). Pak vektor X = (X1 , . . . ,Xn )⊤ nazveme náhodným vektorem. Definice 7. [1, Kapitola 2.1] Mˇejme pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω, A, P ) a náhodný vektor X : Ω → Rn v (Ω, A, P ). Pak se pravdˇepodobnostn´ı m´ıra PX : Bn → R na σ-algebˇre n-rozmˇerných Borelovských mnoˇzin Bn definovaná PX (B) = P ({X ∈ B}), pro kaˇzdou B ∈ Bn , nazývá rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodného vektoru X. • Rozdˇelen´ı celého náhodného vektoru X = (X1 , . . . , Xn )⊤ se nazývá sdruˇzené rozdˇelen´ı. 4

• Necht’ ki , . . . , kr jsou r˚ uzná celá ˇc´ısla, 1 ≤ ki ≤ n pro i = 1, 2, . . . , r, pˇriˇcemˇz a 1 ≤ r < n. Rozdˇelen´ı náhodných veliˇcin (Xk1 , . . . , Xkr )⊤ se pak nazýv´ margináln´ı. Definice 8. [1, Kapitola 2.1] Mˇejme náhodný vektor X = (X1 , . . . ,Xn )⊤ a necht’ existuj´ı stˇredn´ı hodnoty E X1 , E X2 , . . . , E Xn . Pak E X = (E X1 , . . . , E Xn )⊤ nazveme stˇredn´ı hodnota náhodného vektoru X = (X1 , . . . ,Xn )⊤ . Hodnota µk = ⊤ E X k = E (X1 )k , . . . , E (Xn )k se nazývá k-tý moment náhodného vektoru X.

Definice 9. [1, Kapitola 2.1] Necht’ náhodné vektory X = (X1 , . . . ,Xn )⊤ a Y = (Y1 , . . . ,Yn )⊤ maj´ı koneˇcné druhé momenty. Kovarianci náhodného vektoru X náhodných veliˇcin Xi a Xj (1 ≤ i,j ≤ n) definujeme vztahem cov(Xi ,Xj ) = E (Xi − E Xi )(Xj − E Xj ). Kovarianˇcn´ı matice cov(X, Y ) vektor˚ u X a Y je definovaná vzorcem cov(X, Y ) = E (X − E X)(Y − E Y )⊤ Definice 10. [1, Kapitola 2.6] Necht’ X = (X1 , . . . , Xn )⊤ a Y = (Y1 , . . . , Ym )⊤ jsou dva náhodné vektory se sloˇzkami, jeˇz maj´ı koneˇcné a kladné rozptyly. Korelaˇcn´ı matic´ı ̺(X, Y ) vektor˚ u X a Y rozum´ıme matici typu n × m se sloˇzkami ̺(Xi , Yj ) na m´ıstˇe (i, j).

1.2.2

Matice

ˇ Definice 11. [4, Kapitola 1.1] Ctvercov´ a matice A stupnˇe n se nazývá symetrick´ a, ⊤ jestliˇze A = A , tj. aij = aji , i, j = 1, 2, . . . , n. ˇ Definice 12. [4, Kapitola 1.1] Ctvercovou matici A nazveme regulárn´ı, pokud existuje matice B taková, ˇze AB = BA = I, kde I je jednotková matice. Matici ˇ B nazveme inverzn´ı matic´ı k matici A. Ctvercovou matici, která nen´ı regulárn´ı, nazveme singul´ arn´ı matic´ı. Definice 13. [10, Definice 9.10] Je-li A symetrická matice typu n × n, pak funkci φ : Rn → R, definovanou pˇredpisem φ(h) = (Ah, h) =

n X

aij hi hj

i,j=1

nazýváme kvadratickou formou danou matic´ı A. Tato kvadratická forma se nazýv´ a • pozitivnˇe definitn´ı, je-li φ(h) > 0 ∀ h ∈ Rn , h 6= 0, • pozitivnˇe semidefinitn´ı, je-li φ(h) ≥ 0 ∀ h ∈ Rn , • indefinitn´ı, nabývá-li jak kladných tak záporných hodnot. Vˇ eta 1. [4, Vˇeta 4.8] Necht’ je A pozitivnˇe definitn´ı symetrická reálná ˇctvercov´ a matice. Pak existuje jednoznaˇcný rozklad A = LL⊤ , kde L je doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice s kladnými prvky na diagonále. Tento jednoznaˇcnˇe urˇcený rozklad nazveme Choleského rozklad. 5

1.2.3

Konvexn´ı funkce

Definice 14. [10, Definice 8.22] Necht’ X je libovolná neprázdná mnoˇzina a d je funkce pˇriˇrazuj´ıc´ı kaˇzdé dvojici (x,y) z X nezáporné reálné ˇc´ıslo d(x,y)s vlastnostmi: a) pro x,y ∈ X je d(x,y) = 0 právˇe kdyˇz x = y; b) d(x,y) = d(y,x) pro kaˇzdé x,y ∈ X; c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) pro kaˇzdé x,y,z ∈ X. Funkce d se pak nazývá metrika na X a dvojice (X,d) se nazývá metrický prostor. Definice 15. [12, Kapitola 1.3] Necht’ x = (x1 , . . . , xn )⊤ a p > 1 je reálné ˇc´ıslo, pak p-normu vektoru x definujeme vztahem kxkp := (

n X i=1

1

|xi |p ) p

Definice 16. [13, 10.1] Necht’ p < ∞. Mnoˇzinu vˇsech µ-mˇeˇritelných funkc´ı na X takových, ˇze Z |f |p dµ < ∞, X

oznaˇcme Lp = Lp (X, ϕ, µ), kde ϕ je σ-algebra. Pak hodnota Z 1 kf kp := ( |f |p dµ) p X

se nazývá Lp -norma funkce f ∈ Lp . Definice 17. [6, Definice 2.2] Mnoˇzina D ⊂ Rn se nazývá konvexn´ı, jestliˇze s kaˇzdými dvˇema body obsahuje také vˇsechny jejich konvexn´ı lineárn´ı kombinace, tj. ∀ x,y ∈ D a λ ∈ (0,1) je také λx + (1 − λ)y ∈ D. Definice 18. [6, Definice 2.11] Necht’ D ⊂ Rn je konvexn´ı mnoˇzina, funkce f : D → R se nazývá konvexn´ı na D, jestliˇze ∀x, y ∈ D a ∀λ ∈ [0,1] plat´ı: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). Vˇ eta 2. Necht’ D ⊂ Rn je konvexn´ı mnoˇzina a f1 : D → R, f2 : D → R, . . . , fk : D → R jsou konvexn´ı funkce. Pak pro kaˇzdé váhy a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, . . . , ak ≥ 0 je P k et konvexn´ı funkc´ı. i=1 ai fi opˇ P D˚ ukaz. D˚ ukaz provedeme sporem. Necht’ tedy ki=1 ai fi nen´ı konvexn´ı, pak ∃ x, y ∈ D a α ∈ (0,1) tak, ˇze α

k X i=1

ai fi (x) + (1 − α)

k X

ai fi (y) <

i=1

k X i=1

ai fi (αx + (1 − α)y.

To u ´ pravou pˇrevedeme na tvar k X i=1

ai αfi (x) + (1 − α)fi (y) < 6

k X i=1

ai fi αx + (1 − α)y .

Pak alespoˇ n pro jedno i ∈ {1, . . . , k} plat´ı ai αfi (x) + (1 − α)fi (y) < ai fi αx + (1 − α)y . Vydˇelen´ım ai > 0 z´ıskáme

αfi (x) + (1 − α)fi (y) < fi αx + (1 − α)y . P To je spor s pˇredpokladem konvexity vˇsech funkc´ı fi , tedy ki=1 ai fi je konvexn´ı funkce na D. Vˇ eta 3. [6, Lemma 2.38] Necht’ je D ⊂ Rn konvexn´ı mnoˇzina, h : D → R je afinnˇe lineárn´ı funkce a g : R → R je konvexn´ı funkce. Pak f : D → R : x → g h(x) je konvexn´ı funkce.

Vˇ eta 4. [6, Lemma 2.39] Necht’ je D ⊂ Rn konvexn´ı mnoˇzina, h : D → R je konvexn´ı funkcefunkce a g : R → R je neklesaj´ıc´ı konvexn´ı funkce. Pak f : D → R : x → g h(x) je konvexn´ı funkce.

Definice 19. [10, Definice 9.7] Necht’ funkce f : Rn → R je definovaná na ˇ nˇejakém okol´ı bodu a ∈ Rn na mnoˇzinˇe M ∈ Rn , a ∈ M. Rekneme, ˇze funkce f má v a: • lokáln´ı minimum vzhledem k M, jestliˇze existuje takové okol´ı U(a), ˇze f (a) ≤ f (x) pro x ∈ U(a) ∩ M,

• ostré lokáln´ı minimum vzhledem k M, jestliˇze existuje takové okol´ı U(a), ˇze f (a) < f (x) pro x ∈ U(a) ∩ M, • globáln´ı minimum vzhledem k M, jestliˇze f (a) ≤ f (x) ∀ x ∈ M, x 6= a, • ostré globáln´ı minimum vzhledem k M, jestliˇze f (a) < f (x) ∀ x ∈ M, x 6= a. Definice 20. [10, Definice 9.1] Necht’ funkce f : Rn → R je definovaná na nˇejakém okol´ı bodu a ∈ Rn , a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn . Potom parciáln´ı derivac´ı funkce f podle i-té promˇenné v bodˇe a nazýváme vlastn´ı limitu (pokud existuje) f (a1 ,a2 , . . . , ai−1 ,ai + h, ai+1 , . . . , an ) − f (a) . h→0 h Oznaˇcujeme ji fxi (a). lim =

Vˇ eta 5. [10, Vˇeta 9.22] Necht’ funkce f : Rn → R je definovaná na U( a), kde a je nˇejaký bod z Rn a U( a) je okol´ı bodu a. Má-li f v bodˇe a lokáln´ı extrém a má v nˇem derivaci fxi (a) podle i-té promˇenné, pak je tato derivace rovna nule. Vˇ eta 6. Necht’ f je nekonstantn´ı funkce a má ve vnitˇrn´ım bodˇe c svého definiˇcn´ıho oboru lokáln´ı extrém. Je-li f v okol´ı bodu c konvexn´ı, má v c minimum. D˚ ukaz. D˚ ukaz provedeme sporem. Necht’ ∀ y ∈ Ux ∃ z ∈ Ux : x = αy + (1 − α)z, kde Ux je okol´ı bodu x a α ∈ (0, 1). Necht’ jeˇstˇe nen´ı v x lokáln´ı minimum (tj. je v nˇem lokáln´ı maximum), pak plat´ı ∀ y ∈ Ux , f (y) ≤ f (x). f je konvexn´ı na Ux , to znamená, ˇze αf (y) + (1 − α)f (z) ≥ f (αy + (1 − α)z) = f (x) tj. alespoˇ n jedna z f (y), f (z) > f (αy + (1 − α)z) = f (x) a to je spor s pˇredpokladem, ˇze v x je lokáln´ı maximum. Tedy je v nˇem lokáln´ı minimum. 7

Vˇ eta 7. [6, Lemma 2.33] Necht’ X ⊂ Rn je otevˇrená konvexn´ı mnoˇzina a funkce f : X → R má druhé parciáln´ı derivace v kaˇzdém bodˇe X . Pak f je konvexn´ı funkce tehdy a jen tehdy, kdyˇz jej´ı matice druhých parci´ aln´ıch derivac´ı je pozitivnˇe semidefinitn´ı v kaˇzdém bodˇe x ∈ X . Vˇ eta 8. [6, Vˇeta 2.37] Necht’ X ⊂ Rn konvexn´ı a necht’ f : X → R je konvexn´ı funkce. Pak kaˇzdé jej´ı lokáln´ı minimum je minimem globáln´ım.

1.3

Probl´ em

Pˇredpokládejme, ˇze o p˚ uvodn´ım rozdˇelen´ı máme u ´ plnou znalost, aˇc to nen´ı u ´ plnˇe realistický pˇredpoklad. Pokud je toto rozdˇelen´ı diskrétn´ı, m˚ uˇzeme rovnou pˇrej´ıt k výbˇeru vhodných scénáˇr˚ u. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je toto známé rozdˇelen´ı spojité, nahrad´ıme jej rozdˇelen´ım diskrétn´ım. To je moˇzné provést napˇr´ıklad simulac´ı z p˚ uvodn´ıho rozdˇelen´ı. Tak budeme opˇet v situaci, kdy pracujeme s diskrétn´ım rozdˇelen´ım, které je ale stále nepˇr´ıjemné pro výpoˇcty, a proto jej chceme nahradit rozdˇelen´ım s menˇs´ım poˇctem scénáˇr˚ u ω 1 , . . . , ω S , S < ∞ s pˇr´ısluˇsnými pravdˇepodobnostmi p1 , . . . , pS . Dalˇs´ı moˇznost´ı je, ˇze nemáme u ´ plnou znalost daného pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı. Napˇr´ıklad známe jen nˇekteré momenty. V takovémto pˇr´ıpadˇe je nutné vhodnˇe a dobˇre zvolit pˇribliˇzné rozdˇelen´ı pˇri dané informaci. Otázka moˇzné reprezentace pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı pomoc´ı nekoneˇcné sekvence moment˚ u a jej´ı aproximace uˇzit´ım pouze nˇekolika z tˇechto moment˚ u je spojena s momentovým problémem. Nav´ıc je moˇzné dokázat, ˇze vzhledem k m pˇr´ıpustným hodnotám moment˚ u existuje diskrétn´ı pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı s tˇemito momenty a nosiˇcem maj´ıc´ım nanejvýˇs m + 2 bod˚ u. Vˇ eta 9. [14, Theorém 5.1.4] Necht’ σ-algebra na Ω existuje, pravdˇepodobnostn´ı m´ıra P je na n´ı definovaná a u0 (z), . . . , um (z), z ∈ Ω jsou mˇeˇritelné a integrovatelné funkce vzhledem k σ-algebˇre a m´ıˇre P , pak existuje pravdˇepodobnostn´ı m´ıra P ′ na koneˇcném nosiˇci Ω′ taková, ˇze Z ′ uk (z)dP ′ = µk , k = 0, . . . , m, µk = Ω

R kde µk = Ω uk (z)dP, k = 0, . . . , m a nosiˇc pravdˇepodobnostn´ı m´ıry P ′ má nejv´ıce m + 2 bod˚ u. To tedy znamená, ˇze pro dané hodnoty konkr´ etn´ıch moment˚ u, napˇr´ıklad R stˇredn´ıch hodnot, funkce oznaˇcené jako µk = Ω uk (z)dP (z), k = 1, . . . , m existuje nevelk´ y poˇcet scénáˇr˚ u ω s , s = 1, . . . , S a jejich pravdˇepodobnost´ı ps , s = P S s 1, . . . , S : s=1 p = 1 tak, ˇze hodnoty tˇechto moment˚ u jsou zachovány, to jest PS s s p u (ω ) = µ , k = 1, . . . , m. k k s=1 Abychom z´ıskali tyto scénáˇre a jejich pravdˇepodobnosti, potˇrebujeme naj´ıt ˇreˇsen´ı ω s a ps , s = 1, . . . , S systému S X

ps uk (ω s ) = µk , k = 1, . . . , m

s=1

8

(1.1)

P rozˇs´ıˇreného o podm´ınky ps ≥ 0 ∀ s = 1, . . . , S a Ss=1 ps = 1, kde lze systém rovnic dále rozˇs´ıˇrit o dalˇs´ı omezen´ı. Obecnˇe je tento problém nelineárn´ı. Pˇredpokládejme, ˇze ω = (ω1 , . . . , ωn ) je n-rozmˇerný náhodný vektor s margináln´ımi rozdˇelen´ımi s prvn´ımi m momenty µk (1), µk (2), . . . , µk (n), k = 1, . . . , m a kovariancemi ρij , i 6= j, i = 1, . . . , n − 1, j = i + 1, . . . , n sdruˇzeného rozdˇelen´ı. Abychom pokryli extremáln´ı pˇr´ıpady, pˇridáme podm´ınku ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 , . . . , ωns ≥ cn , pˇriˇcemˇz nemus´ı nutnˇe platit vˇsechny podm´ınky. Necht’ máme jeˇstˇe n-rozmˇerné pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı, které se shoduje s p˚ uvodn´ım v S atomech ω s = (ω1s , P . . . , ωns ), s = 1, . . . , S s pravdˇepodobnostmi ps splˇ nuj´ıc´ımi ps ≥ 0 ∀ s = 1, . . . , S, Ss=1 ps = 1 a má pˇredepsané hodnoty moP ment˚ u tj. Ss=1 ps uk (ω s ) = µk , k = 1, . . . , m. Hledán´ı ˇreˇsen´ı tohoto systému tedy znamená hledán´ı hodnot vektorových n-tic (ω1s , . . . ,ωns ), s = 1, . . . ,S a skalár˚ u ps , s = 1, . . . ,S tak, aby S X

ps uk (ωis ) = µk (i), k = 1, . . . ,m, i = 1, . . . ,n

s=1

a pˇr´ıpadnˇe také S X s=1

ps ωis − µ1 (i) ωjs − µ1 (j) = covij , i = 1, . . . ,n − 1, j = i + 1, . . . ,n,

pokud chceme zachovat hodnoty ı, pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 , . . . , Pkovarianc´ S s s s ωn ≥ cn , p ≥ 0, s = 1, . . . , S, s=1 p = 1. Oznaˇcme (ω1s )k := uk (ω s ). Pˇredchoz´ı rovnosti pak m˚ uˇzeme rozepsat jako S X

s=1 S X

ps (ω1s )k = µk (1), k = 1, . . . ,m ps (ω2s )k = µk (2), k = 1, . . . ,m

s=1

.. . S X

ps (ωns )k = µk (n), k = 1, . . . ,m

s=1 S X

ps ω1s − µ1 (1) ωjs − µ1 (j) = cov1,j , j = 2, . . . ,n

s=1

ps ω2s − µ1 (2) ωjs − µ1 (j) = cov2,j , j = 3, . . . ,n

s=1 S X

.. . S X s=1

s − µ1 (n − 1) ωns − µ1 (n) = covn−1,n ps ωn−1

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 , . . . , ωns ≥ cn , ps ≥ 0, s = 1, . . . , S, 9

(1.2) PS

s=1 p

s

= 1.

Kapitola 2 Metody ˇ reˇ sen´ı 2.1

Heuristick´ y algoritmus

Jako moˇzné ˇreˇsen´ı problému (1.2) navrhli K. Hoyland, M. Kaut a S. W. Wallace efektivn´ı, rychlý a lehce uˇzivatelný heuristický algoritmus zaloˇzený na transformac´ıch [8, 9], jehoˇz c´ılem je vygenerovat scénáˇre a jejich pravdˇepodobnosti tak, aby mˇely poˇzadované prvn´ı ˇctyˇri margináln´ı momenty a korelace. Algoritmus má dvˇe základn´ı ˇcásti, inicializaˇcn´ı a transformaˇcn´ı. V prvn´ı ˇcásti je potˇreba specifikovat poˇzadované momenty a korelaˇcn´ı matici. Ta mus´ı být symetrická pozitivnˇe semi-definitn´ı s jedniˇckami na hlavn´ı diagonále a také chceme, aby nebyla singulárn´ı. K nesplnˇen´ı tˇechto podm´ınek docház´ı nejˇcastˇeji v pˇr´ıpadˇe vnitˇrn´ı inkonzistence v datech nebo v pˇr´ıpadˇe kolinearity náhodných promˇenných. Dále je potˇreba vygenerovat n realizac´ı jednorozmˇerných náhodných veliˇcin, které obvykle maj´ı standardizované normáln´ı rozdˇelen´ı, a z nich vytvoˇrit v´ıcerozmˇernou diskrétn´ı náhodnou veliˇcinu kombinován´ım tˇechto jednorozmˇerných realizac´ı následuj´ıc´ım zp˚ usobem: • vˇsechna margináln´ı rozdˇelen´ı jsou generována se stejným poˇctem realizac´ı • pravdˇepodobnost i-té realizace je stejná pro vˇsechna margináln´ı rozdˇelen´ı • i-tý scénáˇr, tedy i-tou realizaci sdruˇzeného rozdˇelen´ı, z´ıskáme pouˇzit´ım i-té realizace kaˇzdého margináln´ıho rozdˇelen´ı a pˇriˇrazen´ım pˇr´ısluˇsné pravdˇepodobnosti. Protoˇze jsou vˇsechny tyto veliˇciny generovány náhodnˇe, ale jejich poˇcet je koneˇcný, maj´ı témˇeˇr nulové korelace, nulové stˇredn´ı hodnoty a jednotkové rozptyly. Dále je zapotˇreb´ı pro korelaˇcn´ı matici R urˇcit jej´ı Choleského rozklad R = LL⊤ . Posledn´ım krokem prvn´ı fáze je výpoˇcet parametr˚ u pozdˇeji vstupuj´ıc´ıch do kubické transformace. To provedeme pomoc´ı konkrétn´ıho systému rovnic pro pˇr´ıpad prvn´ıch ˇctyˇr moment˚ u. Ve druhé, transformaˇcn´ı, fázi aplikujeme na veliˇciny x vygenerované v pˇredchoz´ı fázi transformaci y = Lx, ˇc´ımˇz z´ıskáme poˇzadované korelace. A jako posledn´ı transformaci provedeme dosazen´ı z´ıskaných veliˇcin do konkrétn´ıho systému rovnic jehoˇz parametry jsme spoˇc´ıtali v pˇredchoz´ı fázi. Touto u ´ pravou z´ıskáme poˇzadované margináln´ı momenty, ale m´ırnˇe se pozmˇen´ı korelace. T´ım z´ıskáme nˇejakou aproximaˇcn´ı chybu, kterou je moˇzné zmenˇsovat iterován´ım lehce pozmˇenˇené druhé fáze. 10

Nejvˇetˇs´ı výhodou tohoto algoritmu je jeho rychlost. Na rozd´ıl od ostatn´ıch algoritm˚ u se generuje pouze jedno margináln´ı rozdˇelen´ı v daném okamˇziku a sdruˇzené rozdˇelen´ı je následnˇe vytvoˇreno z tˇechto margináln´ıch. Druhým rozd´ılem je zp˚ usob, kterým se tento algoritmus vyrovnává se zmˇenami v zadaných statistických vlastnostech v pr˚ ubˇehu transformac´ı, které je mohou mˇenit. Jiný podobný algoritmus pˇrepoˇc´ıtává korelaˇcn´ı matici, aby byl dosaˇzený výsledek co nejlepˇs´ı, kdeˇzto tento algoritmus pˇrepoˇc´ıtává poˇcáteˇcn´ı momenty. Tv˚ urci vˇeˇr´ı, ˇze je tento pˇr´ıstup flexibilnˇejˇs´ı neˇz v pˇr´ıpadˇe, kdy se upravuj´ı korelace. Tento algoritmus je pro u ´ˇcely práce, kde se zabýváme jen pˇredepsanými prvn´ımi a druhými momenty, pˇr´ıliˇs sloˇzitý.

2.2

Pravideln´ e rozloˇ zen´ı sc´ en´ aˇ r˚ u

2.2.1

Shoda prvn´ıch moment˚ u

Nejprve se omezme na nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad u ´ lohy (1.2), kdy ps = S1 ∀s = 1, . . . ,S a kdy nás zaj´ımaj´ı pouze prvn´ı momenty. To znamená ˇreˇsit u ´ lohu S X 1 s ωi = µ1 (i), i = 1, . . . , n. S s=1

(2.1)

V takovémto pˇr´ıpadˇe jsou ωis vzájemnˇe nezávislé pro ∀i = 1, . . . , n a je moˇzné ˇreˇsit u ´ lohu pro kaˇzdé i = 1, . . . , n zvláˇst’. Jednou z moˇznost´ı, jak u ´ lohu (2.1) ˇreˇsit, je rozloˇzit ωi1 , . . . , ωiS pravidelnˇe a symetricky okolo µ1 (i). Nav´ıc bez u ´ jmy na obecnosti pˇredpokládejme, ˇze 1 2 S ωi < ωi < · · · < ωi , S > 1. (Pokud S = 1, pak ωi1 = µ1 (i).) To znamená, ˇze chceme, aby platilo následuj´ıc´ı: ωiS − ωi1 , j = 1, . . . , S − 1 S−1 ωik − µ1 (i) = −(ωiS−k+1 − µ1 (i)), k = 1, . . . , S ωij+1 − ωij =

Oznaˇcme si

ωij 6= ωik , ∀ j,k = 1, . . . , S, j 6= k.

(2.2)

asi := ωis − µ1 (i),

(2.3)

asi = −aS−s+1 i S + 1 − 2s asi = a1i S−1

(2.4)

pak, aby byly splnˇeny podm´ınky (2.2) plat´ı, ˇze

Pak plat´ı, ˇze

(2.5)

S S S S X 1 X 1 S + 1 − 2s 1X s 1X 1 s (a + µ1 (i)) = (a µ1 (i) = µ1 (i) = ω = )+ S i S s=1 i S s=1 i S − 1 S s=1 s=1 S

X Sµ1(i) 2a1i a1 S(S + 1) s+ − = = i S(S − 1) S(S − 1) s=1 S =

a1i S(S + 1) 2a1i S(S + 1) − + µ1 (i) = µ1 (i) S(S − 1) 2S(S − 1) 11

To znamená, ˇze pro vˇsechna i = 1, . . . ,n a námi zvolená ωi1 < µ1 (i) nalezneme vhodné ωis , s = 2, . . . , S tak, aby splˇ novaly (2.1). Metodu je moˇzné uplatnit i v pˇr´ıpadˇe, pokud jako inicializaˇcn´ı scénáˇr pouˇzijeme jiný, neˇz ten nejmenˇs´ı a budeme vˇedˇet kolikátý z nich to je. Výjimku tvoˇr´ı pouze pˇr´ıpad, kdy S je liché ˇc´ıslo ⌈S⌉ a zvolený by byl scénáˇr ωi 2 jehoˇz hodnota je rovna hodnotˇe µ1 (i). Výsledné scénáˇre pak tvoˇr´ı matice velikosti S ∗ i, kterých je (S!)i . Jednou takovou matic´ı je napˇr´ıklad matice M s prvky ωis , s = 1, . . . , S, i = 1, . . . ,n, kde s odpov´ıdá ˇrádku a i odpov´ıdá sloupci. Ostatn´ı matice z´ıskáme permutován´ım prvk˚ u uvnitˇr sloupc˚ u matice M. Pokud bychom povaˇzovali matici M za jediné ˇreˇsen´ı ˇreˇsen´ı, pˇridali bychom závislost mezi jednotlivé s-té sloˇzky.

2.2.2

Shoda prvn´ıch moment˚ u a rozptyl˚ u

Nyn´ı se zabývejme u ´ lohou (1.2) tak, ˇze nás budou zaj´ımat prvn´ı momenty, rozptyly a ps = S1 ∀s = 1, . . . ,S. T´ım z´ıskáme u ´ lohu S X 1 s ω = µ1 (i), i = 1, . . . , n S i s=1 S X 1 s (ωi − µ1 (i))2 = var(i), i = 1, . . . , n. S s=1

(2.6)

Tuto u ´ lohu m˚ uˇzeme opˇet ˇreˇsit pomoc´ı pravidelného a symetrického rozloˇzen´ı scénáˇr˚ u okolo µ1 (i), to znamená poˇzadovat stejné podm´ınky jako (2.2) a definovat (2.3). Shody prvn´ıch moment˚ u dosáhneme pro kaˇzdé ωi1 < µ1 (i) jako v pˇredchoz´ım odstavci. Pro shodu rozptyl˚ u plat´ı, ˇze var(i) =

S S X 1X s 1 s (ai + µ1 (i) − µ1 (i))2 = (ωi − µ1 (i))2 = S S s=1 s=1

S S S 1X s 2 1 X 1 S + 1 − 2s 2 (a1i )2 X = (ai ) = (ai ) = (S + 1 − 2s)2 = 2 S s=1 S s=1 S−1 S(S − 1) s=1 S (a1i )2 X 2 2 (S + 2S + 1) + (4s − 4sS − 4s) = = S(S − 1)2 s=1 S

S

S

X X (a1i )2 X 2 2 = (S + 2S + 1) + (4s ) + −4s(S + 1) = S(S − 1)2 s=1 s=1 s=1

S(S + 1)(2S + 1) S(S + 1) (a1i )2 2 S(S + 2S + 1) + 4 − 4 (S + 1) S(S − 1)2 6 2 1S +1 1 2 = (a ) . 3S −1 i =

To znamená, ˇze

a1i

=

r

3(S − 1) var(i) , S+1 12

(2.7)

a dosazen´ım do (2.5) a (2.3) urˇc´ıme vˇsechny scénáˇre ωi1, . . . , ωiS tak, aby splˇ novaly (2.6).

2.3

Soustava neline´ arn´ıch rovnic

Dalˇs´ı ze zp˚ usob˚ u ˇreˇsen´ı u ´ lohy (1.2) zmiˇ nuje R. Kouwenber v práci [11], kde se ps = S1 ∀s = 1, . . . , S a se zabývá shodou pouze stˇredn´ıch hodnot a kovarianc´ı. To znamená, ˇze ˇreˇs´ı soustavu nelineárn´ıch rovnic o n ∗ S neznámých následuj´ıc´ıho tvaru S 1X s ω = µ1 (i), ∀i = 1, . . . ,n S s=1 i S 1X s ωi − µ1 (i) ωjs − µ1 (j) = covi,j , ∀i = 1, . . . , n − 1, j = i + 1, . . . ,n, S s=1

kterou lze za pouˇzit´ı oznaˇcen´ı (2.3) pˇrevést na tvar S 1X s a = 0, ∀i = 1, . . . ,n S s=1 i S 1X s s a a = covi,j , ∀i = 1, . . . , n − 1, j = i + 1, . . . ,n. S s=1 i j

Nyn´ı si rozmysleme kolik scénáˇr˚ u S m˚ uˇzeme hledat pro n-sloˇzkový vektor, ’ ω s = (ω1s , . . . , ωns ), kde abychom z´ıskali jednoznaˇcné neparametrick´ PS es ˇreˇsen´ı. Necht P 1 n! 1 n je známé, pak z´ıskáme n rovnic S s=1 ai = 0 a 2 (n−2)! rovnic S1 Ss=1 asi asj = covi,j . Tento poˇcet rovnic je zapotˇreb´ı jeˇstˇe vydˇelit hodnotou n, protoˇze kaˇzdý ω s má n sloˇzek. T´ım zjist´ıme, ˇze S = ⌊1 +

n−1 ⌋, 2

coˇz zároveˇ n znamená, ˇze n=

2.4

2S 2S − 1

pro n sudé pro n liché.

ˇ sen´ı pomoc´ı c´ılov´ Reˇ eho programov´ an´ı

ˇ sen´ı x Definice 21. (V´ıcekriteriáln´ı programován´ı) [5, 3.1.1] Reˇ ˆ ∈ X je eficientn´ı ˇreˇsen´ı u ´lohy minimalizujte“ funkci f = (f1 , . . . , fK ), K ≥ 2, fk : Rn → R1 na ” uzavˇrené mnoˇzinˇe X (zkrácenˇe ” min ”f (x) na X ), pokud neexistuje ˇzádné x ∈ X , pro které f (x) ≤ f (ˆ x) a f (x) 6= f (ˆ x). Jednou z metod nalezen´ı eficientn´ıho ˇreˇsen´ı je c´ılové programován´ı. Jeho hlavn´ı ideou je z´ıskat ˇreˇsen´ı z X , pro které výstup zmˇeˇrený jako f (x) = f1 (x), . . . ,fK (x) 13

⊤

je co nejbl´ıˇze k vektoru délky K sloˇzenému z nejlepˇs´ıch dosaˇzitelných ˇreˇsen´ı pro jednotlivé funkce fk∗ = min fk (x), k = 1, . . . ,K. x∈X

Vzdálenosti jsou definovány v prostoru hodnot funkce f a podmnoˇziny RK , kde m˚ uˇzeme pouˇz´ıt kteroukoli z Lp vzdálenost´ı, 1 ≤ p < ∞. Jedná se tedy o minimalizaˇcn´ı problém min k T (f ∗ − f (x)) kp

(2.8)

x∈X

s diagonáln´ı matic´ı T = diag{t1 , . . . ,tK }, tk > 0 ∀k. Sjednocen´ım obecné u ´ lohy c´ılového programován´ı (2.8) s u ´ lohou (1.2) zjist´ıme, ˇze ⊤ f ∗ = µk (1), . . . ,µk (n), cov1,j1 , . . . , covn−1,jn−1 , S S S X X X ps ω1s − µ1 (1) ωjs1 − µ1 (j1 ) , . . . , ps (ωns )k , f (ω) = ps (ω1s )k , . . . , s=1 S X

p

s=1

s=1

s

s ωn−1

s=1

− µ1 (n − 1)

ωjsn−1

− µ1 (jn−1 )

⊤

,

T = diag{α1,k , . . . ,αn,k ,β1,j1 , . . . ,βn−1,jn−1 } pro k = 1, . . . ,m, ji = i + 1, . . . ,n. To tedy znamená, ˇze ˇreˇsen´ı bude nalezeno jako ˇreˇsen´ı u ´ lohy ⊤ min kdiag{αlk , βij } µk (l), covi,j − ω

−

S X s=1

p

s

(ωls )k ,

S X

p

s=1

s

ωis

− µ1 (i)

ωjs

− µ1 (j)

⊤

kp ,

k = 1, . . . , m, l = 1, . . . ,n, i = 1, . . . , n − 1, j = i + 1, . . . ,n (2.9) P pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 , . . . , ωns ≥ cn , ps ≥ 0, s = 1, . . . , S, Ss=1 ps = 1, kde váhy α∗ , β∗ odpov´ıdaj´ı kvalitˇe a d˚ uleˇzitosti dat a volba S závis´ı na uˇzivateli.

14

Kapitola 3 Charakter u ´lohy (2.9) Hlavn´ı výhodou této formulace u ´ lohy je, ˇze optimáln´ı hodnota je 0, pokud jsou data konzistentn´ı a S je dostateˇcnˇe velké, avˇsak ˇreˇsen´ı je rovnˇeˇz dobrou reprezentac´ı dat, pokud jsou nekonzistentn´ı. Nekonzistentnost se m˚ uˇze objevit napˇr´ıklad, pokud informace o hodnotách moment˚ u z´ıskáme z r˚ uzných zdroj˚ u nebo pokud jsou implicitn´ı specifika nekonˇ zistentn´ı s explicitn´ımi. Casto je racionáln´ı urˇcit hodnotu nˇekterých statistických vlastnost´ı na základˇe u ´ sudku experta a jiné na základˇe empirické analýzy. Jako pˇr´ıklad si pˇredstavme, ˇze si zadavatel pˇreje odhad kovariance a stˇredn´ıch kvadratických odchylek urˇcit z empirických dat, ale pro stˇredn´ı hodnotu se rozhodne vyuˇz´ıt svého u ´ sudku o jej´ı hodnotˇe. Stˇredn´ı kvadratická odchylka a kovariance jsou tedy zaloˇzeny na empirické stˇredn´ı hodnotˇe, která je nejsp´ıˇse jiná neˇz jakou odhaduje zadavatel. Z tohoto d˚ uvodu specifikované statistické vlastnosti daného rozdˇelen´ı nemus´ı být vnitˇrnˇe konzistentn´ı. Dokonce se m˚ uˇze stát, ˇze takovéto rozdˇelen´ı ani nemus´ı existovat. Jako druhý pˇr´ıklad uvaˇzme problém, který pokrývá dvˇe ˇcasová obdob´ı. Specifikujme stˇredn´ı kvadratickou odchylku ω1 a stˇredn´ı kvadratickou odchylku souˇctu ω1 + ω2 . Specifikován´ım tˇechto dvou kvadratických odchylek jsme ale zároveˇ n ˇrekli nˇeco o korelaci v pr˚ ubˇehu ˇcasu. Pokud bychom ted’ explicitnˇe specifikovali korelaci v pr˚ ubˇehu ˇcasu, nejsp´ıˇse bychom tak z´ıskali dvˇe odliˇsné informace. A jako posledn´ı pˇr´ıpad si uved’me situaci, kdy je kovariance specifikována podle u ´ sudku manaˇzera a druhý obecný moment je vypoˇc´ıtán z dat. V takovém pˇr´ıpadˇe opˇet z´ıskáváme nekonzistentnost, jelikoˇz kovariance je druhým centráln´ım momentem. V tomto pˇr´ıpadˇe je vˇsak moˇzné relativnˇe jednoduˇse zjistit, jestli se nekonzistentnost objevila nebo ne, i kdyˇz je jen málo pravdˇepodobné, ˇze tyto dva u ´ daje jsou konzistentn´ı. Z definic druhého obecného a centráln´ıho momentu a za pˇredpokladu var X < ∞ lze jednoduˇse odvodit vztah var X = E X 2 − (E X)2 neboli rozptyl je druhý obecný moment sn´ıˇzený o druhou mocninu stˇredn´ı hodnoty. Algoritmická metoda ˇreˇsen´ı naˇs´ı optimalizaˇcn´ı u ´ lohy zvládne nekonzistentnost statistických vlastnost´ı, ale nedosáhne nulové výsledné hodnoty. V takovém pˇr´ıpadˇe se mus´ı manaˇzer rozhodnout, zda se spokoj´ı s ˇreˇsen´ım, které se ohlednˇe statistických vlastnost´ı shoduje s p˚ uvodn´ım pouze pˇribliˇznˇe, nebo pˇrehodnot´ı zadané specifikace a zmˇen´ı je. Manaˇzer m˚ uˇze dát kaˇzdé specifikaci takovou váhu α∗ ,β∗ , aby dosáhl korektn´ıho kompromisu mezi dˇr´ıve diskutovanými moˇznostmi. Nároˇcnost numerického ˇreˇsen´ı tohoto problému roste jak se zvˇetˇsuj´ıc´ım se

15

poˇctem dat, tak se zvˇetˇsuj´ıc´ı se dimenz´ı vektoru. Nároˇcnost rovnˇeˇz roste s mnoˇzstv´ım moment˚ u, na které máme poˇzadavek shody.

3.1

Speci´ aln´ı volba rozmˇ er˚ uu ´ lohy

1 Nyn´ı se budeme vˇenovat problému, kdy n = 2, ps = ∀s, p = 1, 2 a k = S 1, 2. To tedy znamená, ˇze budeme m´ıt dvourozmˇerná data, vˇsechny scénáˇre budou stejnˇe pravdˇepodobné, normu zvol´ıme L1 a L2 a budeme poˇzadovat pouze shodu stˇredn´ıch hodnot, druhých moment˚ u a pˇr´ıpadnˇe kovariance. V dalˇs´ı ˇcásti si ukáˇzeme i u ´ lohu, ve které budeme poˇzadovat shodu rozptyl˚ u. Omezen´ım pravdˇepodobnost´ı na stejné hodnoty, tedy konstanty, se problém velmi zjednoduˇs´ı. Pokud bychom to neudˇelali, mˇeli bychom dvakrát v´ıce promˇenných a tedy podstatnˇe sloˇzitˇejˇs´ı a výpoˇcetnˇe daleko nároˇcnˇejˇs´ı problém. Nav´ıc by ani nebylo moˇzné udˇelat nˇekteré dalˇs´ı výhodné u ´ pravy a pˇreformulován´ı, která umoˇzn ˇ uj´ı jednoduˇsˇs´ı výpoˇcty. Volbou tˇechto výchoz´ıch podm´ınek lze náˇs problém pˇreformulovat na hledán´ı hodnot vektorových dvojic (ω1s ,ω2s ), s = 1, . . . ,S tak, ˇze S X 1 s k (ω ) = µk (1) pro k = 1, 2 S 1 s=1 S X 1 s k (ω2 ) = µk (2) pro k = 1,2 S s=1 S X 1 s (ω1 − µ1 (1))(ω2s − µ1 (2)) = cov1,2 S s=1

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . ´ Uloha (2.9) se tak redukuje na takto:  α1,1 0 0 0

 0

 0 α2,1 0

0 0 α 0 min  1,2

  0 0 0 α2,2 0 0 0 0

u ´ lohu, kterou lze v maticové formˇe napsat  P  µ1 (1) − Ss=1 S1 (ω1s ) 0 PS 1 s   0  µ (2) − (ω )  1  PSs=1 1S s2 2   0  µ2 (1) − s=1 S (ω1 )   P   0  µ2 (2) − Ss=1 1 (ω2s )2  p S β1,2 COV

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 , kde S S S X 1 s X1 s s X1 s COV = cov1,2 − ω1 − (ω1 ) ω2 − (ω2 ) . S S S s=1 s=1 s=1

16

(3.1)

3.2 3.2.1

Volba metriky L1 norma

Shoda stˇ redn´ıch hodnot V nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadˇe budeme poˇzadovat pouze shodu stˇredn´ıch hodnot (tedy k = 1). T´ım se u ´ loha (3.1) mˇen´ı na u ´ lohu následuj´ıc´ıho tvaru: PS 1 s

α1,1 0 (ω1 ) µ (1) − 1 S

Ps=1 min (3.2) S 1 0 α2,1 µ1 (2) − s=1 S (ω2s ) p pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . Metriku zvol´ıme L1 , t´ım se u ´ loha (3.2) mˇen´ı na

S S X X 1 s 1 s ω1 + α2,1 µ1 (2) − ω = min α1,1 µ1 (1) − S S 2 s=1 s=1

S S 1 X 1 X s = min α1,1 ω1 − µ1 (1) + α2,1 ω2s − µ1 (2) S s=1 S s=1

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . Absolutn´ı hodnota je na R konvexn´ı funkce, 

PS 1 S  s=1 ωi1

(3.3)

ωis − µ1 (i) pro i = 1,2

  je afinn´ı zobrazen´ı dané pˇredpisem ( S1 , . . . , S1 )  ...  − µ1 (i) a podle Vˇety 4 je ωiS tato funkce konvexn´ı. Také váˇzený souˇcet konvexn´ıch funkc´ı je konvexn´ı pˇri libovolných nezáporných vahách, jak ˇr´ıká Vˇeta 2, proto je minimalizaˇcn´ı u ´ loha (3.3) u ´ lohou konvexn´ı. ´ Ulohu (3.3) lze pˇretransformovat na u ´ lohu lineárn´ıho programován´ı.

´ Definice 22. [7, Kapitola 1.1] Uloha lineárn´ıho programován´ı je u ´loha minimalizovat f (x) na mnoˇzinˇe ˇreˇsen´ı soustavy rovnic a nerovnic gk (x) ≤ 0, k = 1, 2, . . . , m hj (x) = 0, j = 1, 2, . . . , p x ∈ Rn pˇriˇcemˇz vˇsechny funkce f, gk , hj jsou lineárn´ı. Oznaˇcme si S 1X s ω − µ1 (1)| γ1 := | S s=1 1 S 1X s γ2 := | ω − µ1 (2)|. S s=1 2

17

C´ılem je minimalizovat α1,1 γ1 + α2,1 γ2 S 1X s ω − µ1 (1) ≤ γ1 za podm´ınek −γ1 ≤ S s=1 1 S 1X s −γ2 ≤ ω − µ1 (2) ≤ γ2 S s=1 2

ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . To znamená ˇreˇsit u ´ lohu lineárn´ıho programován´ı ve tvaru: min α1,1 γ1 + α2,1 γ2 S 1X s za podm´ınek γ1 + ω ≥ µ1 (1) S s=1 1 S 1X s ω ≥ −µ1 (1) γ1 − S s=1 1

γ2 +

S 1X s ω ≥ µ1 (2) S s=1 2

γ2 −

S 1X s ω ≥ −µ1 (2) S s=1 2

ω1s ≥ c1 ω2s ≥ c2 .

(3.4)

Jak bylo zm´ınˇeno na zaˇcátku kapitoly (3.1), u ´ lohu (3.3) by nebylo moˇzné pˇreformulovat na u ´ lohu lineárn´ıho programován´ı (3.4), pokud by pravdˇepodobnosti byly optimalizované promˇenné. Shoda vyˇ sˇ s´ıch moment˚ u Ve druhém pˇr´ıpadˇe ponecháme metriku L1 , ale tentokrát budeme poˇzadovat shodu rozptyl˚ u. T´ım z´ıskáme optimalizaˇcn´ı u ´ lohu následuj´ıc´ıho tvaru: S S X X 1 s 2 1 s 2 min α1,2 var(1) − (ω ) − ω + S 1 S 1 s=1 s=1 S S X X 1 s 2 1 s 2 + α2,2 var(2) − (ω2 ) − ω2 S S s=1 s=1

(3.5)

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . Tato u ´ loha nen´ı konvexn´ı. Uvaˇzujme, ˇze hledáme pouze dva scénáˇre (S = 2). Po jednoduchých u ´ pravách z´ıskáme u ´ lohu min α1,2 | var(1) − 14 (ω11 − ω12 )2 | + α2,2 | var(2) − 41 (ω21 − ω22)2 | pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 , kde var(i) > 0 je konstanta. Pˇri zafixovaném ωi1 funkce | var(i) − 14 (ωi1 − ωi2 )2 | nen´ı konvexn´ı, proto ani u ´ loha (3.5) nen´ı konvexn´ı.

18

Rovnˇeˇz m˚ uˇzeme formulovat u ´ lohu na shodu druhých moment˚ u. Ta bude m´ıt následuj´ıc´ı tvar: min α1,2 |µ2(1) −

S S X X 1 s 2 1 s 2 (ω1 ) | + α2,2 |µ2 − (ω2 ) )| S S s=1 s=1

(3.6)

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . Pokud bychom z pozorovaných dat znali pouze stˇredn´ı hodnotu a rozptyl byla by u ´ loha na shodu druhých moment˚ u pˇreformulována za pomoc´ı vzorce var X = E X 2 − (E X)2 do tvaru S 2 X 1 s 2 − min α1,2 var(1) + µ1 (1) (ω ) + S 1 s=1 S 2 X 1 s 2 (ω ) ) − +α2,2 var(2) + µ1 (2) S 2 s=1

(3.7)

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . Tyto u ´ lohy rovnˇeˇz nejsou konvexn´ı. Jako jednoduchý pˇr´ıklad si pˇredstavme situaci, kdy S = 1. V takovém pˇr´ıpadˇe z´ıskáme u ´ lohu min α1,2 |a1 − (ω11 )2 | + 2 α2,2 |a2 − (ω21)2 |, kde ai = µ2 (i) pro (3.6) a ai = var(i) + µ1 (i) . Nav´ıc v obou u ´ lohách plat´ı, ˇze ai > 0 je konstanta. Funkce |ai − (ωi1 )2 | nen´ı konvexn´ı, proto ani u ´ lohy (3.6) a (3.7) nejsou konvexn´ı. ˇ sen´ım u Reˇ ´ lohy (3.5) a (3.6) potaˇzmo (3.7) z´ıskáme data, která budou m´ıt poˇzadovaný druhý centráln´ı nebo obecný moment. M˚ uˇze se vˇsak stát, ˇze vygenerované scénáˇre nebudou p˚ uvodn´ı data dobˇre reprezentovat, protoˇze nepoˇzadujeme shodu stˇredn´ıch hodnot, d´ıky které by byly ukotveny v prostoru na správném m´ıstˇe. Proto, pokud chceme z´ıskat scénáˇre reprezentuj´ıc´ı data, je zapotˇreb´ı ˇreˇsit následuj´ıc´ı funkci: S S 1 X 1 X s min α1,1 ω1 − µ1 (1) + α2,1 ω2s − µ1 (2) + S s=1 S s=1 S S X X 1 s 2 1 s 2 +α1,2 var(1) − (ω1 ) − ( ω ) + S S 1 s=1 s=1 S S X X 1 s 2 1 s 2 (ω2 ) − ( ω2 ) +α2,2 var(2) − S S s=1 s=1

(3.8)

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . Takto formulovaná funkce zohledˇ nuje prvn´ı moment a rozptyl. ´ Uloha (3.8) nen´ı konvexn´ı ze stejného d˚ uvodu jako (3.5), kterou obsahuje. Nav´ıc je moˇzné (3.8) pˇreformulovat obdobnˇe jako u ´ lohu (3.4). T´ım z´ıskáme

19

následuj´ıc´ı tvar: min α1,1 γ1,1 + α2,1 γ2,1 + α1,2 γ1,2 + α2,2 γ2,2 S 1X s za podm´ınekγ1,1 + ω ≥ µ1 (1) S s=1 1 S 1X s ω ≥ −µ1 (1) γ1,1 − S s=1 1 S 1X s γ2,1 + ω ≥ µ1 (2) S s=1 2 S 1X s ω ≥ −µ1 (2) γ2,1 − S s=1 2 S S X X 1 s 2 1 s 2 γ1,2 + (ω1 ) − ( ω1 ) ≥ var(1) S S s=1 s=1 S S X X 1 s 2 1 s 2 (ω1 ) − ( ω1 ) ≥ − var(1) γ1,2 − S S s=1 s=1

γ2,2 +

S S X X 1 s 2 1 s 2 (ω2 ) − ( ω2 ) ≥ var(2) S S s=1 s=1

γ2,2 −

S S X X 1 s 2 1 s 2 (ω2 ) − ( ω2 ) ≥ − var(2) S S s=1 s=1

ω1s ≥ c1 ω2s ≥ c2 .

(3.9)

´ Uloha (4.1) uˇz ale nen´ı u ´ lohou lineárn´ıho programován´ı, protoˇze nˇekteré z funkc´ı v podm´ınkách nejsou lineárn´ı, a je výpoˇcetnˇe i ˇcasovˇe nároˇcnˇejˇs´ı.

3.2.2

L2 norma

Nyn´ı zvolme p = 2. V tomto pˇr´ıpadˇe si ukáˇzeme, jakou u ´ lohu z´ıskáme, pokud budeme poˇzadovat shodu stˇredn´ıch hodnot, rozptyl˚ u i kovarianc´ı, coˇz znamená

20

´ aplikovat normu p = 2 na u ´ lohu (3.1). Uloha (3.1) má tedy následuj´ıc´ı tvar: S 1 X s 2 min α1,1 µ1 (1) − ω + S s=1 1 S 1 X s 2 ω + + α2,1 µ1 (2) − S s=1 2

S S X X 1 s 2 1 s 2 2 + α1,2 var(1) − (ω1 ) − ( ω1 ) + S S s=1 s=1 S S X X 1 s 2 2 1 s 2 (ω2 ) − ( ω2 ) + + α2,2 var(2) − S S s=1 s=1

1 S S S X 1 s 1 X s s 1 X s 2 2 + β1,2 cov1,2 − ω1 )(ω2 − ω2 ) (ω1 − S S S s=1 s=1 s=1

(3.10)

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . Nás ale nezaj´ımá pˇresná výsledná hodnota minimalizaˇcn´ı u ´ lohy, ale pouze body minima, proto nen´ı nutné a z d˚ uvodu vˇetˇs´ı výpoˇcetn´ı nároˇcnosti problému ani vhodné v u ´ loze ponechávat druhé odmocniny, které tam maj´ı podle definice Lp -normy být. Rovnˇeˇz nen´ı nutné vzhledem ke druhé mocninˇe ponechávat ve formulaci absolutn´ı hodnoty. Tedy m˚ uˇzeme ˇreˇsen´ı u ´ lohy (3.9) hledat ekvivalentnˇe pomoc´ı metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u jako ˇreˇsen´ı u ´ lohy: 2 min α1,1 µ1 (1) −

S 1 X s 2 ω + S s=1 1

2 µ1 (2) − +α2,1

S 1 X s 2 ω + S s=1 2

2 +α1,2

S S X X 1 s 2 1 s 2 2 var(1) − (ω ) − ( ω ) + S 1 S 1 s=1 s=1

2 +α2,2

S S X X 1 s 2 2 1 s 2 (ω ) − ( ω ) + var(2) − S 2 S 2 s=1 s=1

2 +β1,2

S S S X 1 s 1 X s s 1 X s 2 cov1,2 − ω )(ω − ω ) (ω − S 1 S s=1 1 2 S s=1 2 s=1

(3.11)

pˇri podm´ınkách ω1s ≥ c1 , ω2s ≥ c2 . Tato u ´ loha opˇet nen´ı konvexn´ı. Znovu si jako pˇr´ıklad uved’me situaci, kdy S = 2. T´ımto omezen´ım z´ıskáme u ´ lohu, která bude obsahovat funkci var(i) − 1 1 2 2 2 (ωi + ωi ) , kde var(i) je nezáporná konstanta. Tato funkce nen´ı konvexn´ı, 4 proto ani u ´ loha (3.9) nen´ı konvexn´ı. Pouˇzit´ım této transformace náˇs problém pˇrecház´ı na u ´ lohu kvadratického programován´ı. ´ Definice 23. [7, Kapitola 4.1] Uloha kvadratického programován´ı je u ´loha mini-

21

malizovat f (x) na mnoˇzinˇe ˇreˇsen´ı soustavy nerovnic a rovnic gk (x) ≤ 0, k = 1, 2, . . . , m, hj (x) = 0, j = 1, 2, . . . , p x ∈ Rn , pokud f je kvadratická a gk , hj jsou lineárn´ı.

22

Kapitola 4 Praktick´ aˇ c´ ast 4.1

Data

Pro potˇreby praktické ˇcásti je vyuˇzito mˇes´ıˇcn´ıch dat Conseq Invest akciový dluhopis A a Conseq Invest akciový fond A z obdob´ı od 29. záˇr´ı 2000 do 1. dubna 2014, kdy byla data staˇzena, pocházej´ıc´ıch z webové stránky [3]. Jednotlivé poˇzadované statistické vlastnosti dat vstupuj´ıc´ı do výpoˇct˚ u jako konstanty jsou urˇcené pomoc´ı statistického softwaru R.

Obrázek 4.1: Pouˇzitá data

Minimum Stˇredn´ı hodnota Rozptyl Maximum

Fond Dluhopis 71,74 100,06 152,53 152,30 2573,0369 781,0882 276,64 203,28

Tabulka 4.1: Popisné statistiky sledovaných veliˇcin Jeˇstˇe poznamenejme, ˇze vˇsechny pˇr´ıklady jsou poˇc´ıtány pro αn,k = 1, βn,k = 1 a ve vˇsech grafech (s výjimkou kapitol 4.2.2, 4.3.2 a 4.4.3, kde jsou data um´ıstˇena na svých pozic´ıch v reálných datech) jsou scénáˇre ωis pˇresunuty z p˚ uvodn´ı pozice 162 ∗ s na pozici s = S+1 s, kde 162 je poˇcet p˚ uvodn´ıch pozorován´ı pro jednu sloˇzku. 23

4.2

Shoda prvn´ıch moment˚ u

V této ˇcásti si uvedeme dva moˇzné pˇr´ıstupy k ˇreˇsen´ı u ´ lohy (3.3). Prvn´ım z nich je jiˇz dˇr´ıve zm´ınˇené pˇreveden´ı u ´ lohy na u ´ lohu lineárn´ıho programován´ı (3.4) a generován´ı nových scénáˇr˚ u tak, jako se ˇreˇs´ı v celé práci, a druhým z nich je výbˇer z reálných dat.

4.2.1

Line´ arn´ı programov´ an´ı

K ˇreˇsen´ı jsou pouˇzity dva výpoˇcetn´ı softwary. Prvn´ım z nich je Wolfram Mathematica (dále jen Mathematica), kde je k výpoˇctu pouˇzita zabudovaná funkce lineárn´ıho programován´ı. Druhým z nich je GAMS, ve které je potˇreba u ´ lohu lineárn´ıho programován´ı programovat a je pouˇzit solver CPLEX. Okrajov´ e podm´ınky pro prvn´ı sc´ en´ aˇ r Nejprve okrajovými podm´ınkami omez´ıme pouze prvn´ı scénáˇr, tzn. c1 ≤ ω11, c2 ≤ ω21 , ωis ≥ 0, s = 2, . . . , S.

Obrázek 4.2: Nevhodnˇe spoˇc´ıtané 3 scénáˇre fond˚ u

Obrázek 4.3: Nevhodnˇe spoˇc´ıtaných 6 scénáˇr˚ u dluhopis˚ u Jak m˚ uˇzeme vidˇet na obrázc´ıch (4.2) a (4.3), pokud poˇc´ıtáme u ´ lohu (3.4) s omezuj´ıc´ımi podm´ınkami pouze pro prvn´ı scénáˇr a podm´ınkou nezápornosti pro zbývaj´ıc´ı scénáˇre, tak dostaneme správné, ale nevhodné scénáˇre.

24

Software Mathematica hodnotu scénáˇr˚ u urˇc´ı tak, ˇze vˇsechny scénáˇre kromˇe jednoho urˇc´ı nulové a posledn´ımu scénáˇri urˇc´ı vhodnou hodnotu. To je v poˇrádku pro S = 1, 2, ale pro S > 2 tak z´ıskáme nˇekolik shodných nulových scénáˇr˚ u, coˇz nechceme. Software GAMS prvn´ımu scénáˇri urˇc´ı minimáln´ı moˇznou hodnotu a ostatn´ı kromˇe jednoho vypoˇc´ıtá jako nulové a hodnotu posledn´ıho scénáˇre urˇc´ı vhodnˇe. Slovem vhodnˇe rozumˇejme tak, aby scénáˇre dosáhly poˇzadované stˇredn´ı hodnoty. Takovéto ˇreˇsen´ı je vhodné pouze pro S = 1, 2, 3, ale pro S > 3 opˇet z´ıskáme nˇekolik nechtˇených shodných nulových scénáˇr˚ u. Proto je nutné u ´ lohu doplnit o extremáln´ı podm´ınky pro vˇsechny scénáˇre, ˇc´ımˇz zabrán´ıme nulovým scénáˇr˚ um. Okrajov´ e podm´ınky pro vˇ sechny sc´ en´ aˇ re Pˇridán´ım okrajových podm´ınek pro vˇsechny scénáˇre, tzn. c1 ≤ ω1s , c2 ≤ ω2s , k pˇredchoz´ı u ´ loze z´ıskáme následuj´ıc´ı scénáˇre:

Obrázek 4.4: Proloˇzen´ı fond˚ u 3 scénáˇri

Obrázek 4.5: Proloˇzen´ı dluhopis˚ u 6 scénáˇri V obrázc´ıch (4.4) a (4.5) m˚ uˇzeme nahlédnout, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe, jiˇz máme S scénáˇr˚ u, které jsou nenulové, ale i pˇresto jsme z´ıskali v pˇr´ıpadech, kdy S > 3, opˇet shodné scénáˇre. Proto je zapotˇreb´ı pˇridat dalˇs´ı podm´ınky zajiˇst’uj´ıc´ı, aby ˇzádné dva scénáˇre nemohly být stejné.

25

Okrajov´ e a nerovnostn´ı podm´ınky pro vˇ sechny sc´ en´ aˇ re Pˇridán´ım dalˇs´ıch podm´ınek ω1s 6= ω1k , ω2s 6= ω2k , ∀s, k = 1, . . . , S, s 6= k k jiˇz platným podm´ınkám c1 ≤ ω1s , c2 ≤ ω2s z´ıskáme následuj´ıc´ı scénáˇre:

Obrázek 4.6: Proloˇzen´ı fond˚ u scénáˇri

Obrázek 4.7: Proloˇzen´ı dluhopis˚ u scénáˇri Na obrázc´ıch (4.6) a (4.7) lze vidˇet, jiˇz vhodnˇe spoˇc´ıtané scénáˇre z hlediska jejich r˚ uznosti. Rovnˇeˇz m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze software Mathematica jednotlivé scénáˇre rozloˇzil ve vˇsech pˇr´ıpadech bl´ızko stˇredn´ı hodnoty tak, aby nebyly shodné, ale jejich rozd´ıl je témˇeˇr nepatrný. Podle obrázku (4.6) i software GAMS urˇcil jednotlivé scénáˇre obdobným zp˚ usobem, pˇriˇcemˇz velikost odchylky jednotlivých scénáˇr˚ u je nutno nastavovat v kódu. V obrázku (4.7) ale m˚ uˇzeme pozorovat jeho nekontrolovatelnost a nepˇredv´ıdatelnost. 3 scénáˇre pro dluhopisy jeˇstˇe urˇcil obdobným zp˚ usobem. Avˇsak pˇri dalˇs´ıch výpoˇctech se zachoval jinak. Pˇri výpoˇctu 6-ti scénáˇr˚ u 5 z nich um´ıstil k minimáln´ı moˇzné hodnotˇe a 6-tý vhodnˇe dopoˇc´ıtal, kdeˇzto pˇri výpoˇctu 10-ti scénáˇr˚ u urˇcil pouze 1 scénáˇr k minimáln´ı povolené hodnotˇe a zbylých 9 vypoˇc´ıtal vhodnˇe pobl´ıˇz stˇredn´ı hodnoty.

4.2.2

V´ ybˇ er z re´ aln´ ych dat

K ˇreˇsen´ı pomoc´ı vyhledáván´ı v datech je zapotˇreb´ı m´ıt data, pro která dané scénáˇre hledáme. Jakmile data máme je zapotˇreb´ı pro vˇsechny moˇzné S-tice 26

vyˇc´ıslit funkci S S 1X s 1X s ω − µ1 (1)| + α2,1 | ω − µ1 (2)| α1,1 | S s=1 1 S s=1 2

a nalézt minimum. Z´ıskáme tak tyto scénáˇre (jejich pozice odpov´ıdá pozici v p˚ uvodn´ıch datech):

Obrázek 4.8: Nalezené scénáˇre fondu

Obrázek 4.9: Nalezené scénáˇre dluhopisu

4.2.3

Sc´ en´ aˇ re nalezen´ e pro shodu prvn´ıch moment˚ u

V následuj´ıc´ı tabulce (4.2) m˚ uˇzeme vidˇet, jak spolehlivé jednotlivé metody jsou. Generován´ım novýchP scénáˇr˚ u jsme dosáhli absolutn´ı shody s poˇzadavky, coˇz S 1 znamená, ˇze hodnota | S s=1 ωis − µ1 (i)| = 0 pro vˇsechna i = 1,2, proto hodnoty jednotlivých vah α∗ nemaj´ı na ˇreˇsen´ı vliv. Jediný zp˚ usob ˇreˇsen´ı, kde váhy mohou ˇreˇsen´ı ovlivnit, je výbˇer z reálných dat. Avˇsak kvalita takového ˇreˇsen´ı je vˇzdy pˇr´ımo závislá na tvaru dat. Rovnˇeˇz lze nahlédnout, jak se projev´ı r˚ uzné pˇr´ıstupy k rozmist’ován´ı scénáˇr˚ u na hodnotˇe rozptylu. Pomoc´ı softwaru Mathematica jsme z´ıskali scénáˇre, které jsou vˇzdy bl´ızko stˇredn´ı hodnoty a rozptyly jsou malé. 27

Tohoto jsme dosáhli i pomoc´ı softwaru GAMS v pˇr´ıpadech, kdy generoval obdobnˇe. Avˇsak v pˇr´ıpadech generován´ı 6-ti a 10-ti scénáˇr˚ u pro dluhopisové sloˇzky uˇz jsou rozptyly podstatnˇe vˇetˇs´ı, pˇriˇcemˇz pro 10 scénáˇr˚ u je hodnota rozptylu relativnˇe n´ızká, protoˇze pouze jedna hodnota nen´ı vhodnˇe okolo stˇredn´ı hodnoty. Naopak pˇri generován´ı 6-ti scénáˇr˚ u je dosaˇzeno relativnˇe velkého rozptylu, protoˇze ˇzádná z vygenerovaných hodnot nen´ı v bl´ızkosti stˇredn´ı hodnoty. I. 3

II. M

III. F D F+D G F D F+D RD F D F+D 6 M F D F+D G F D F+D RD F D F+D 10 M F D F+D G F D F+D

IV. 152,53 152,3 152,53 152,3 152,52 152,34 152,53 152,3 152,53 152,3 152,53 152,31 152,53 152,3 152,53 152,3

V. VI. VII. 0 1 -2572,04 0 1 -780,088 0 -3352,128 0 0,1 -2573,03 0 0,1 -781,078 0 -3354,108 -0,02 4328 1754,97 0,04 1936,93 1155,84 0,02 2910,81 0 3,5 -2569,54 0 3,5 -777,588 0 -3347,128 0 0,035 -2573 0 16249 -15467,9 0 -18040,9 -0,01 3887,1 1314,06 -0,99 1669,7 888,611 -1 2202,671 0 9,167 -2563,87 0 9,167 -771,922 0 -3335,792 0 0,092 -2572,95 0 336,977 -444,111 0 -6352,853

Tabulka 4.2: Popisné statistiky nalezených scénáˇr˚ u pro shodu prvn´ıch moment˚ u

28

Znak I. II. III. IV. V. VI. VII. M G RD F D

1 S

Vysvˇetlivka S Zp˚ usob ˇreˇsen´ı u ´ lohy Sloˇzka PS 1 s s=1 ω S P S 1 s µ1 s=1 ω −P S P S 1 1 s 2 ( S Ss=1 ω s )2 s=1 (ω ) − P S P S S 1 s 2 s 2 s=1 (ω ) − ( S s=1 ω ) − var Mathematica GAMS Výbˇer z reálných dat Fond Dluhopis

Tabulka 4.3: Vysvˇetlivky

4.3

Shoda druh´ ych moment˚ u

V této ˇcásti si ukáˇzeme moˇznosti ˇreˇsen´ı u ´ lohy (3.6). Tentokrát máme opˇet dvˇe moˇznosti. Prvn´ı je nelineárn´ı programován´ı v softwarech Mathematica a GAMS a druhou je výbˇer z reálných dat.

4.3.1

Neline´ arn´ı programov´ an´ı

V pˇr´ıpadˇe nelineárn´ıho programován´ı v softwaru Mathematica je ˇreˇsena u ´ loha (3.7) pomoc´ı zabudované funkce Minimize. Zároveˇ n je u ´ loha ˇreˇsena pro kaˇzdé i = 1, 2 zvláˇst’, coˇz je moˇzné d´ıky nezávislosti ˇreˇsen´ı. Tento pˇr´ıstup se ukázal jako ˇcasovˇe výraznˇe výhodnˇejˇs´ı. V softwaru GAMS je pouˇzito solveru CONOPT a je ˇreˇsena následuj´ıc´ı u ´ loha: min α1,2 γ1,2 + α2,2 γ2,2 S 2 1X s 2 za podm´ınekγ1,2 + (ω1 ) ≥ var(1) + µ1 (1) S s=1 S 2 1X s 2 γ1,2 − (ω1 ) ≥ − var(1) + µ1 (1) S s=1

γ2,2 +

S 2 1X s 2 (ω2 ) ≥ var(2) + µ1 (2) S s=1

γ2,2 −

S 2 1X s 2 (ω2 ) ≥ − var(2) + µ1 (1) S s=1

ω1s ≥ c1 ω2s ≥ c2

ω1s 6= ω1k , ∀s, k = 1, . . . , S, s 6= k

ω2s 6= ω2k , ∀s, k = 1, . . . , S, s 6= k. Opˇet je potˇreba si dát pozor na dostateˇcné znˇen´ı vˇsech okrajových podm´ınek, 29

tak jako bylo demonstrováno v kapitole (4.2.1), abychom nez´ıskali nˇekolik nevhodných shodných scénáˇr˚ u. Z´ıskáme tak následuj´ıc´ı scénáˇre:



4.3.2


Opˇet je zapotˇreb´ı m´ıt reálná dat, pro vˇsechny S-tice vyˇc´ıslit funkci S 1 X 2 α1,2 (ω1s )2 − (µ1 (1) + var(1) + S s=1

S 1 X 2 s 2 +α2,2 (ω2 ) − (µ1 (2) + var(2) S s=1

a nalézt minimum. T´ımto postupem pro shodu druhých moment˚ u nalezneme následuj´ıc´ı scénáˇre:

30



4.3.3

Sc´ en´ aˇ re nalezen´ e pro shodu druh´ ych moment˚ u

Jak m˚ uˇzeme v tabulce (4.4) vidˇet, nalezené scénáˇre jiˇz nemaj´ı správné stˇredn´ı hodnoty, coˇz jsme ani nepoˇzadovali. Poˇzadovaných druhých moment˚ u a tedy pˇresné shody bylo dosaˇzeno pˇri generován´ı nových scénáˇr˚ u, coˇz opˇet znamená, ˇze hodnoty vah α∗ nemaj´ı na ˇreˇsen´ı vliv. Opˇet pouze u výbˇeru z reálných dat mohou váhy ovlivnit kvalitu ˇreˇsen´ı, ale v pˇr´ımé závislosti na tvaru dat.

31

I. 3

6

II. M

III. IV. V. VI. VII. F 160,2 7,67 25838,4 0 D 154,6 2,3 23976,4 0 F+D 9,97 0 G F 160,7 8,17 25838,3 0 D 154,8 2,5 23976,4 0 F+D 10,67 0 RD F 156,8 4,27 25836,9 -1,5 D 154,6 2,3 23976,7 0,3 F+D 6,57 -1,2 M F 157,166 -41,03 25838,4 0 D 152,124 -43,1 23976,4 0 F+D -84,13 0 G F 160,7 8,17 25838,3 0 D 134,5 -17,8 23976,4 0 F+D -9,63 0 RD F 153,8 1,27 25838,5 0,1 D 153,8 1,5 23976,4 0 F+D 2,77 0,1

VIII. 259,484 101,172 0,01 0,01 1866,6 109,714 1364,58 1001,67 0,035 7050,59 2609,13 386,331

Tabulka 4.4: Popisné statistiky nalezených scénáˇr˚ u pro shodu druhých moment˚ u

Znak I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. M G RD F D

Vysvˇetlivka S Zp˚ usob ˇreˇsen´ı u ´ lohy Sloˇzka PS 1 s s=1 ω S P S 1 s s=1 ω − µ1 S P S 1 s 2 s=1 (ω ) S P S 1 (ω s )2 − ((µ1 )2 + var) S P s=1 PS S 1 1 s 2 s 2 s=1 (ω ) − ( S s=1 ω ) S Mathematica GAMS Výbˇer z reálných dat Fond Dluhopis Tabulka 4.5: Vysvˇetlivky

32

4.4

Shoda stˇ redn´ıch hodnot a rozptyl˚ u

Pˇri ˇreˇsen´ı u ´ lohy s podm´ınkou shody stˇredn´ıch hodnot a rozptyl˚ u máme opˇet nˇekolik moˇznost´ı. M˚ uˇzeme generovat scénáˇre v softwarech GAMS a Mathematica, hledat nové scénáˇre metodou pravidelného a symetrického rozloˇzen´ı okolo stˇredn´ı hodnoty nebo opˇet vyb´ırat z reálných dat.

4.4.1

Pravideln´ e rozloˇ zen´ı sc´ en´ aˇ r˚ u

Nyn´ı si numericky demonstrujme zp˚ usob ˇreˇsen´ı u ´ lohy (1.2) pro shodu prvn´ıch moment˚ u a rozptyl˚ u pomoc´ı metody pravidelného rozloˇzen´ı scénáˇr˚ u okolo stˇredn´ı hodnoty pro hledán´ı 3, 6 a 10 scénáˇr˚ u. Postup výpoˇctu je následuj´ıc´ı: • zvolit poˇcet hledaných scénáˇr˚ u, tzn. S • urˇcit hodnoty a1i z rovnice (2.7) • vypoˇc´ıtat hodnoty asi pomoc´ı vzorce (2.5).


Obrázek 4.15: Proloˇzen´ı dluhopis˚ u scénáˇri Na obrázc´ıch (4.2) a (4.3) m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze tento pˇr´ıstup zajiˇst’uje pravidelné rozloˇzen´ı scénáˇr˚ u, které jsou symetricky rozloˇzené okolo stˇredn´ı hodnoty, a i minimáln´ı a maximáln´ı hodnoty dat nejsou pˇrekroˇceny. 33

4.4.2

Neline´ arn´ı programov´ an´ı

V softwaru Mathematica budeme scénáˇre generovat pomoc´ı funkce Minimize jako ˇreˇsen´ı u ´ lohy (3.8) a opˇet pro kaˇzdé i = 1,2 zvláˇst’ a pomoc´ı softwaru GAMS budeme ˇreˇsit u ´ lohu nelineárn´ıho programován´ı (3.9) za pouˇzit´ı solveru CONOPT. I v tˇechto pˇr´ıkladech generován´ı scénáˇr˚ u mus´ıme oˇsetˇrit vˇsechny minimáln´ı a nerovnostn´ı podm´ınky a výsledky tohoto pˇr´ıstupu jsou následuj´ıc´ı:


Obrázek 4.17: Proloˇzen´ı dluhopis˚ u scénáˇri

34

4.4.3


Iu ´ lohu na shodu prvn´ıch moment˚ u a rozptyl˚ u je moˇzné ˇreˇsit pomoc´ı výbˇeru z reálných dat. Znamená to vyˇc´ıslit funkci S 1 X α1,1 ω1s − µ1 (1) + S s=1

S 1 X ω2s − µ1 (2) + +α2,1 S s=1

S S 1X 1 X s 2 s 2 α1,2 (ω1 ) − ( ω1 ) − var(1) + S s=1 S s=1

S S 1X 1 X s 2 +α2,2 (ω2s )2 − ( ω2 ) − var(2) S s=1 S s=1

pro vˇsechny S-tice a nalézt minimum a jemu odpov´ıdaj´ıc´ı scénáˇre. Z´ıskáme tak následuj´ıc´ı scénáˇre:


Obrázek 4.19: Proloˇzen´ı dluhopis˚ u scénáˇri

35

4.4.4

Sc´ en´ aˇ re nalezen´ e pro shodu prvn´ıch moment˚ u a rozptyl˚ u

V následuj´ıc´ı tabulce (4.6) m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze vˇsechny metody kromˇe výbˇeru z reálných dat, pˇresnˇe splnily poˇzadavky. To znamená, ˇze pˇri generován´ı nových scénáˇr˚ u pomoc´ı minimalizace dané u ´ lohy váhy α∗ opˇet nemaj´ı vliv na ˇreˇsen´ı. Opˇet mohou ˇreˇsen´ı ovlivnit pouze v pˇr´ıpadˇe výbˇeru z reálných dat. I. 3

II. PR

III. F D F+D M F D F+D G F D F+D RD F D F+D 6 PR F D F+D G F D F+D RD F D F+D 10 PR F D F+D G F D F+D

IV. 152,53 152,3 152,53 152,3 152,53 152,3 164,6 142,58 152,53 152,3 152,53 152,3 141,34 152,5 152,53 152,3 152,53 152,3

V. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12,07 -9,72 2,35 0 0 0 0 0 0 -11,19 0,3 -10,89 0 0 0 0 0 0

VI. 2573,03 781,09 2573,03 781,09 2573,03 781,09 3586,66 1170,76 2573,03 781,09 2573,03 781,09 3671,05 937,337 2573,03 781,09 2573,03 781,09

VII. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1286,62 389,67 1676,29 0 0 0 0 0 0 1098,01 156,25 1254,26 0 0 0 0 0 0

Tabulka 4.6: Popisné statistiky nalezených scénáˇr˚ u pro shodu rozptyl˚ u

36

Znak Vysvˇetlivka I. S II. Zp˚ usob ˇreˇsen´ı u ´ lohy III. Sloˇzka PS 1 s IV. s=1 ω S P S 1 s V. µ1 s=1 ω −P S P S 1 1 s 2 ( S Ss=1 ω s )2 VI. s=1 (ω ) − P S P S S 1 1 s 2 s 2 VII. s=1 (ω ) − ( S s=1 ω ) − var S PR Pravidelné a symetrické rozloˇzen´ı okolo stˇredn´ı hodnoty M Mathematica G GAMS RD Výbˇer z reálných dat F Fond D Dluhopis Tabulka 4.7: Vysvˇetlivky

4.5

Shoda stˇ redn´ıch hodnot, rozptyl˚ u a korelac´ı

Jeˇstˇe si ilustrujme pˇr´ıklad, kdy bychom poˇzadovali shodu nejen prvn´ıch moment˚ u a rozptyl˚ u ale i korelac´ı. V takovém pˇr´ıpadˇe je moˇzné u ´ lohu ˇreˇsit pomoc´ı nelineárn´ıho programován´ı nebo metodou výbˇeru z reálných dat.

37

Jako u ´ loha nelineárn´ıho programován´ı bude m´ıt problém následuj´ıc´ı formulaci: min α1,1 γ1,1 + α2,1 γ2,1 + α1,2 γ1,2 + α2,2 γ2,2 + β1,2 γ S 1X s za podm´ınekγ1,1 + ω ≥ µ1 (1) S s=1 1 S 1X s ω ≥ −µ1 (1) γ1,1 − S s=1 1 S 1X s γ2,1 + ω ≥ µ1 (2) S s=1 2 S 1X s ω ≥ −µ1 (2) γ2,1 − S s=1 2 S S X X 1 s 2 1 s 2 γ1,2 + (ω1 ) − ( ω1 ) ≥ var(1) S S s=1 s=1 S S X X 1 s 2 1 s 2 (ω1 ) − ( ω1 ) ≥ − var(1) γ1,2 − S S s=1 s=1

γ2,2 +

S S X X 1 s 2 1 s 2 (ω2 ) − ( ω2 ) ≥ var(2) S S s=1 s=1

S S X X 1 s 2 1 s 2 (ω2 ) − ( ω2 ) ≥ − var(2) S S s=1 s=1 PS PS PS 1 1 s s s (ω − S s=1 ω1 )(ω2 − S s=1 ω2s ) ≥ ρ1,2 γ + qP s=1 1 P PS PS S S 1 1 s 2 s s 2 s s=1 ω1 ) s=1 (ω2 − S s=1 ω2 ) s=1 (ω1 − S PS P P (ω s − S1 Ss=1 ω1s )(ω2s − S1 Ss=1 ω2s ) γ − qP s=1 1 P ≥ −ρ1,2 PS PS S S 1 1 s 2 s s 2 s s=1 ω1 ) s=1 (ω2 − S s=1 ω2 ) s=1 (ω1 − S

γ2,2 −

ω1s ≥ c1 ω2s ≥ c2 .

Tuto u ´ lohu bude z hlediska ˇcasové nároˇcnosti (viz tabulka 4.8) vhodnˇejˇs´ı ˇreˇsit pomoc´ı softwaru GAMS neˇz pomoc´ı softwaru Mathematica. Pokud bychom u ´ lohu chtˇeli ˇreˇsit pomoc´ı metody výbˇeru z reálných dat, zna-

38

menalo by to pro vˇsechny S-tice vyˇc´ıslit funkci S 1 X α1,1 ω1s − µ1 (1) + S s=1

S 1 X ω2s − µ1 (2) + +α2,1 S s=1

S S 1X 1 X s 2 s 2 +α1,2 (ω1 ) − ( ω1 ) − var(1) + S s=1 S s=1

S S 1X 1 X s 2 s 2 +α2,2 (ω2 ) − ( ω2 ) − var(2) + S s=1 S s=1 PS PS P S 1 1 s s s s ω )(ω − (ω − 1 2 1 s=1 s=1 ω2 ) s=1 S S +β1,2 ρ1,2 − qP PS PS PS S 1 1 s s 2 s 2 s s=1 (ω2 − S s=1 ω1 ) s=1 ω2 ) s=1 (ω1 − S

a nalézt minimum.

4.6

ˇ Casov´ a n´ aroˇ cnost v´ ypoˇ ct˚ u

D˚ uleˇzitou souˇcást´ı výpoˇct˚ u je bezesporu jejich ˇcasová nároˇcnost. Nˇekteré výpoˇcty, které daj´ı pˇresnˇejˇs´ı výsledek, mohou trvat nˇekolikanásobnˇe déle neˇz jiné, ménˇe pˇresné. V takovém pˇr´ıpadˇe je na zadavateli u ´ lohy, aby se rozmyslel ˇcemu dát pˇrednost. Jeˇstˇe poznamenejme, ˇze ˇcasy uvedené u ˇreˇsen´ı u ´ loh ˇreˇsených funkc´ı Minimize v softwaru Mathematica odpov´ıdaj´ı souˇctu ˇcas˚ u výpoˇct˚ u pro i = 1, 2. ´ Uloha 4.2.1

Podm´ınky I. II. III.

4.2.2 4.3.1

III.

4.3.2 4.4.1 4.4.2

III.

4.4.3

Software M G M G M G C++ M G C++ M M G C++

3 scénáˇre 0. 0. 0. 0. 0. 0. < min < min 0. < min 0. < min < min < min

6 scénáˇr˚ u 10 scénáˇr˚ u 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. < 21 hod < min < 5 min 0. 0. < 21 hod 0. 0. < 12 hod < min < min < hod

ˇ Tabulka 4.8: Casov´ a nároˇcnost výpoˇct˚ u

39

Znak Vysvˇetlivka I. Okrajové podm´ınky pro prvn´ı scénáˇr II. Okrajové podm´ınky pro vˇsechny scénáˇre III. Okrajové a nerovnostn´ı podm´ınky pro vˇsechny scénáˇre M Mathematica G GAMS Tabulka 4.9: Vysvˇetlivky

4.7

Z´ avˇ er

Z numerických výsledk˚ u m˚ uˇzeme vyvodit nˇekolik závˇer˚ u. Prvn´ım je, ˇze generován´ım nových scénáˇr˚ u pomoc´ı softwaru GAMS a Mathematica z´ıskáváme pˇri ˇreˇsen´ı stejných u ´ loh jiné scénáˇre. Vˇsechny tyto výsledky jsou ale správné (lze nahlédnout v tabulkách 4.2, 4.4 a 4.6), protoˇze dané u ´ lohy obecnˇe nemaj´ı jednoznaˇcné ˇreˇsen´ı a záleˇz´ı na jednotlivých algoritmech, které z v´ıce moˇzných ˇreˇsen´ı vyberou. Druhým z nich je, ˇze, aˇc jsou u ´ lohy na generován´ı scénáˇr˚ u pˇri podm´ınce shody stˇredn´ıch hodnot ˇcasovˇe výpoˇcetnˇe nenároˇcné, nemaj´ı pˇr´ıliˇs velký smysl, protoˇze výsledky data nijak nereprezentuj´ı, jde pouze o nˇekolik bod˚ u rozm´ıstˇených v bl´ızkosti stˇredn´ı hodnoty. Naproti tomu scénáˇre z´ıskané výbˇerem z dat podstatnˇe lépe data reprezentuj´ı, i kdyˇz nemus´ı vˇzdy dosáhnout pˇresné ani pˇribliˇzné shody se stˇredn´ı hodnotou, avˇsak je to za cenu podstatnˇe vyˇsˇs´ı ˇcasové nároˇcnosti. Dalˇs´ım závˇerem je, ˇze u ´ lohy na shodu druhých moment˚ u data reprezentuj´ı lépe neˇz pˇri shodˇe prvn´ıch moment˚ u a i ˇcasová nároˇcnost výpoˇctu je velmi dobrá. Jiˇz pˇri ˇreˇsen´ı této u ´ lohy je patrný rozd´ıl mezi rychlost´ı softwaru Mathematica a GAMS. Prvn´ı software je pro uˇzivatele pˇr´ıznivˇejˇs´ı a ménˇe nároˇcný na porozumˇen´ı. Druhý software poˇc´ıtá mnohokrát rychleji a veˇskerý ˇcas vloˇzený do nároˇcnˇejˇs´ıho implementován´ı u ´ lohy se vyplat´ı. Pro takovouto u ´ lohu jiˇz výbˇer z reálných dat velmi ztrác´ı svou ˇcasovou nároˇcnost´ı. Aˇc data reprezentuje vcelku dobˇre, protoˇze se samovolnˇe pohybuj´ı bl´ıˇze stˇredn´ı hodnotˇe neˇz v pˇr´ıpadˇe generován´ı nových scénáˇr˚ u, nen´ı vhodné jej pouˇz´ıvat, protoˇze poˇcet n-tic, pro které mus´ı vyˇc´ıslit funkci, roste pˇr´ıliˇs rychle se zvyˇsuj´ıc´ım se n a poˇctu dat. Nejlepˇs´ı na reprezentaci dat je generován´ı nových scénáˇr˚ u pˇri podm´ınce prvn´ıch moment˚ u i rozptyl˚ u. Na obrázc´ıch (4.14)-(4.17) m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze pokud bychom scénáˇre pˇreskládali do vhodnˇejˇs´ıho poˇrad´ı, velmi dobˇre by reprezentovaly reálná data. Z hlediska ˇcasové nároˇcnosti je nejvhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt pˇr´ıstup generován´ım scénáˇr˚ u pomoc´ı metody pravidelného a symetrického rozloˇzen´ı okolo stˇredn´ı hodnoty. Ovˇsem i metoda nelineárn´ıho programován´ı v softwaru GAMS dob´ıhá za dobu kratˇs´ı neˇz jedna minuta, coˇz je sice trochu déle neˇz pomoc´ı prvn´ı metody, ale stále je to velmi dobrý ˇcas. Naproti tomu výpoˇcet pomoc´ı softwaru Mathematica je z hlediska ˇcasové nároˇcnosti velmi nevhodný, i kdyˇz scénáˇre z´ıskané touto metodou jsou rovnˇeˇz v poˇrádku. Zároveˇ n jsme mohli vypozorovat, ˇze pˇri generován´ı nových scénáˇr˚ u pomoc´ı softwar˚ u GAMS a Mathematica nemaj´ı váhy vliv na jednotlivá ˇreˇsen´ı uvedených pˇr´ıklad˚ u, kdeˇzto v pˇr´ıpadˇe výbˇeru z reálných dat váhy vliv mohou m´ıt, ale je to pˇr´ımo závislé na tvaru dat.

40

Literatura ˇl, J. (2007). Základy matematické statistiky. Druhé vydán´ı. Matfy[1] Ande zpress, Praha. ISBN 80-7378-001-1. ˇ a Osecky ´ , M., Mikola ´ˇ ´ , P. (1996). [2] Bud´ıkova s, S. Teorie pravdˇepodobnosti a matematická statistika: sb´ırka pˇr´ıklad˚ u. Masarykova univerzita, Praha. ISBN 80-210-1329-X. [3] Conseq (2014). Data. [4] Duintjer Tebbens, E. J. (2012). Analýza metod pro maticové výpoˇcty: základn´ı metody. Matfyzpress, Praha. ISBN 978-80-7378-201-6. ˇ e ˇova ´ , J., Hurt, J. a St ˇ pa ´ n, J. (2002). Stochastic Modelling in [5] Dupac Economics and Finance. Applied optimization; 75. Kluwer Academic Publishers, Dodrecht. ISBN 1-4020-0840-6. ´ ˇova ´ , J. a Lachout, P. (2011). Uvod [6] Dupac do optimalizace. Prvn´ı vydán´ı. Matfyzpress, Praha. ISBN 978-80-7378-176-7. [7] Hamala, M. (1972). Nelineárné programovanie. Prvn´ı vydán´ı. Alfa, Bratislava. [8] Hoyland, K., Kaut, M. a Wallace, S. W. (2003). A heuristic for moment-matching scenarion generation. Computional Optimization and Applications, 24, 169–185. [9] Hoyland, K. a Wallace, S. W. (2001). Generatiing scenario trees for multistage decision problems. Management Science, 47(2), 295–307. ć ˇek, J. (2003). Matematická analýza pro fyziky II. Matfyzpress, [10] Kopa Praha. ISBN 80-86732-10-X. [11] Kouwenberg, R. (2001). Scenario generation and stochastic programming models for asset liability management. European Journal of Operational Research, 134, 279–292. [12] Lukˇ san, L. (1990). Metody s promˇennou metrikou. Prvn´ı vydán´ı. Academia Praha, Praha. ISBN 80-200-0211-1. ´ , J. (2005). Measure and Integral. Druhé vydán´ı. Mat[13] Lukeˇ s, J. a Maly fyzpress, Praha. ISBN 80-86732-68-1. [14] Pr´ ekopa, A. (1995). Stochastic programming. Akedémiai Kiadó, Budapest. ISBN 963-05-6872-1. 41

Seznam obr´ azk˚ u 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19

Pouˇzitá data . . . . . . . . . . . . . . . . . Nevhodnˇe spoˇc´ıtané 3 scénáˇre fond˚ u . . . Nevhodnˇe spoˇc´ıtaných 6 scénáˇr˚ u dluhopis˚ u Proloˇzen´ı fond˚ u 3 scénáˇri . . . . . . . . . . Proloˇzen´ı dluhopis˚ u 6 scénáˇri . . . . . . . Proloˇzen´ı fond˚ u scénáˇri . . . . . . . . . . . Proloˇzen´ı dluhopis˚ u scénáˇri . . . . . . . . Nalezené scénáˇre fondu . . . . . . . . . . . Nalezené scénáˇre dluhopisu . . . . . . . . . Nalezené scénáˇre fondu . . . . . . . . . . . Nalezené scénáˇre dluhopisu . . . . . . . . . Nalezené scénáˇre fondu . . . . . . . . . . . Nalezené scénáˇre dluhopisu . . . . . . . . . Proloˇzen´ı fond˚ u scénáˇri . . . . . . . . . . . Proloˇzen´ı dluhopis˚ u scénáˇri . . . . . . . . Proloˇzen´ı fond˚ u scénáˇri . . . . . . . . . . . Proloˇzen´ı dluhopis˚ u scénáˇri . . . . . . . . Proloˇzen´ı fond˚ u scénáˇri . . . . . . . . . . . Proloˇzen´ı dluhopis˚ u scénáˇri . . . . . . . .

42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 24 24 25 25 26 26 27 27 30 30 31 31 33 33 34 34 35 35

Seznam tabulek 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Popisné statistiky sledovaných veliˇcin . . Popisné statistiky nalezených scénáˇr˚ u pro Vysvˇetlivky . . . . . . . . . . . . . . . . Popisné statistiky nalezených scénáˇr˚ u pro Vysvˇetlivky . . . . . . . . . . . . . . . . Popisné statistiky nalezených scénáˇr˚ u pro Vysvˇetlivky . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ Casov´ a nároˇcnost výpoˇct˚ u . . . . . . . . Vysvˇetlivky . . . . . . . . . . . . . . . .

43

. . . . shodu . . . . shodu . . . . shodu . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . prvn´ıch moment˚ u . . . . . . . . . . druhých moment˚ u . . . . . . . . . . rozptyl˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 28 29 32 32 36 37 39 40

shodu momentů Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Recommend Documents