Asymptotické testy. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikáln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

Jakub Peˇcánka

Asymptotick´ e testy Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky Vedouc´ı bakaláˇrské práce: Prof. RNDr. Marie Huˇsková, DrSc. Studijn´ı program: Matematika Studijn´ı obor: Obecná matematika 2006

Na tomto m´ıstˇe bych rád podˇekoval prof. Huˇskové za jej´ı laskavé veden´ı, pomoc a rady, které mi poskytla pˇri vytváˇren´ı této práce. Ke studiu jsem vyuˇzil v´ıcero literárn´ıch pramen˚ u, které jsou uvedeny na konci práce v seznamu literatury. Zvláˇstˇe rád bych chtˇel podˇekovat autor˚ um publikac´ı [1] a [2], jejichˇz d´ıla jsem pˇri psan´ı této práce pouˇz´ıval nejv´ıce.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakaláˇrskou práci napsal samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcován´ım práce.

V Praze dne 29. kvˇetna 2006

Jakub Peˇcánka

N´ azev pr´ ace: Asymptotické testy Autor: Jakub Peˇcánka Katedra: Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky Vedouc´ı bakal´ aˇ rsk´ e pr´ ace: Prof. RNDr. Marie Huˇsková, DrSc. e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: Tato práce se zamˇeˇruje na problematiku intervalov´ ych odhad˚ u a test˚ u hypotéz zaloˇzen´ ych na centráln´ı limitn´ı vˇetˇe (CLV). V´ ysledky z této oblasti se témˇeˇr v´ yhradnˇe zamˇeˇruj´ı na intervalové odhadován´ı a testován´ı stˇredn´ı hodnoty a rozptylu náhodného v´ ybˇeru. Konstrukce intervalov´ ych odhad˚ u na základˇe CLV umoˇzn ˇuje uˇz´ıt tyto odhady na ˇsiroké mnoˇzstv´ı náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u. V prvn´ı a druhé kapitole práce jsou formulovány základn´ı teoretické poznatky, které jsou pozdˇeji vyuˇzity pˇri konstrukci CLV intervalov´ ych odhad˚ u a CLV testov´ ych kriteri´ı. Jsou uvedeny v´ ysledky jako Ljapunova a Lindebergova centráln´ı limitn´ı vˇeta nebo zákon velk´ ych ˇc´ısel pro stejnˇe rozdˇelené náhodné veliˇciny. Tˇret´ı kapitola se soustˇred´ı na vlastn´ı sestrojen´ı CLV intervalov´ ych odhad˚ u a z nich plynouc´ıch CLV testov´ ych kritéri´ı. V závˇeru práce pak ilustrujeme uˇzit´ı z´ıskan´ ych v´ ysledk˚ u na ˇctyˇrech r˚ uzn´ ych souborech dat. Nejprve na tˇrech generovan´ ych datov´ ych souborech pocházej´ıc´ıch jednou z normáln´ıho a dvakrát z Laplaceova rozdˇelen´ı porovnáme CLV intervalové odhady a intervalové odhady pro náhodné v´ ybˇery z normáln´ıho rozdˇelen´ı. Na ˇctvrtém souboru reáln´ ych dat jsou pak testovány hypotézy o stˇredn´ı hodnotˇe a rozptylu na základˇe CLV testov´ ych kritéri´ı. Kl´ıˇ cov´ a slova: asymptotické testy hypotéz, asymptotické intervalové odhady, normáln´ı rozdˇelen´ı, centráln´ı limitn´ı vˇety Title: Asymptotic Tests Author: Jakub Peˇcánka Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Prof. RNDr. Marie Huˇsková, DrSc. Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: Presented thesis deals with problems concerning confidence intervals and test of significance criteria that are based on central limit theorems (CLV). The results almost exclusively regard confidence intervals and test criteria for mean and variance of random samples. The use of CLV when deriving confidence intervals assures large number of applications for the gained results. First two chapters concentrate on formulating theoretical tools that are later used for constructing the CLV confidence intervals and CLV test criteria, which are presented in the third chapter. The last chapter of this paper illustrates the use of the gained results on four particular sets of data. On first three sets of data, one of which is generated from normal distribution and two of which are generated from Laplace distribution, the difference between confidence intervals for normally distributed random samples and CLV confidence intervals is discussed. Then the use of CLV test criteria for tests of mean and variance is demonstrated on the fourth real-life set of data. Keywords: Asymptotic Tests of Significance, Asymptotic Confidence Intervals, Central Limit Theorems, Normal Distribution

Obsah ´ Uvod 1 Teoretick´ e z´ aklady 1.1 Pojmy a znaˇcen´ı . . . 1.2 Normáln´ı rozdˇelen´ı . 1.3 Kvantily . . . . . . . 1.4 Zákon velk´ ych ˇc´ısel . 1.5 Centráln´ı limitn´ı vˇety

4

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

2 Testov´ an´ı hypot´ ez a statistick´ e odhady 2.1 Náhodn´ y v´ ybˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Pojmy testován´ı hypotéz . . . . . . . . . . . . . 2.3 V´ ybˇerové charakteristiky pˇri rozdˇelen´ı N(µ, σ 2 ) . 2.4 Bodov´ y odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Intervalov´ y odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Intervalové odhady parametr˚ u N(µ, σ 2 ) . . . . . 2.6.1 Intervalov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty . . . 2.6.2 Intervalov´ y odhad rozptylu . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5 5 5 6 7 8

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

11 11 11 12 12 12 13 13 14

3 Intervalov´ e odhady a testy hypot´ ez zaloˇ zen´ e na CLV 3.1 CLV intervalové odhady . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 CLV intervalov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty . . . . . 3.1.2 CLV intervalov´ y odhad rozptylu . . . . . . . . . 3.2 CLV testován´ı hypotéz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 CLV testy o stˇredn´ı hodnotˇe . . . . . . . . . . . 3.2.2 CLV testy o rozptylu . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

15 15 15 17 20 21 22

. . . .

23 23 24 26 26

. . . . . . . .

. . . . . . . .

4 Uˇ zit´ı CLV intervalov´ ych odhad˚ u a CLV test˚ u 4.1 Data z normáln´ıho rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . √ . . . 4.2 Data z Laplaceova rozdˇelen´ı s parametry 0 a 1/ 2 . 4.3 Data z Laplaceova rozdˇelen´ı s parametry 0 a 1 . . . 4.4 Reálná data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Z´ avˇ er

28

Pˇ r´ılohy

29

Literatura

32

´ Uvod Pˇredloˇzená práce se zab´ yvá problematikou testován´ı hypotéz s d˚ urazem poloˇzen´ ym na asymptotické chován´ı posloupnost´ı náhodn´ ych veliˇcin a na tzv. asymptotické testy. V´ ysledky zde uvedené se t´ ykaj´ı pˇredevˇs´ım intervalov´ ych odhad˚ u a test˚ u hypotéz o stˇredn´ı hodnotˇe a rozptylu veliˇcin náhodného v´ ybˇeru. Prvn´ı kapitola je vˇenována základn´ım pojm˚ um, uˇzitému znaˇcen´ı a vybran´ ym tvrzen´ım teorie pravdˇepodobnosti a matematické statistiky, které jsou v dalˇs´ım textu uˇz´ıvány. Protoˇze v problematice asymptotického chován´ı náhodného v´ ybˇeru hraje velkou d˚ uleˇzitost normáln´ı rozdˇelen´ı, je uvedena jeho definice a základn´ı vztah k dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym statistick´ ym rozdˇelen´ım. Asymptotické chován´ı posloupnosti náhodn´ ych veliˇcin stoj´ı na dvou základn´ıch pil´ıˇr´ıch - zákonech velk´ ych ˇc´ısel a centráln´ıch limitn´ıch vˇetách. Tato základn´ı tvrzen´ı jsou v u ´vodn´ı kapitole uvedena v nˇekolika formulac´ıch, na nichˇz se stav´ı v tˇret´ı kapitole. Druhá kapitola uvád´ı pˇrehled nˇekter´ ych d˚ uleˇzit´ ych pojm˚ u z oblasti intervalov´ ych odhad˚ u a testován´ı hypotéz. Jsou zde uvedeny také poznatky o tˇechto pojmech, které jsou podstatné z hlediska dalˇs´ıho textu. Ve tˇret´ı kapitole se zamˇeˇr´ıme na problematiku asymptotick´ ych test˚ u vycházej´ıc´ıch z poznatk˚ u o asymptotickém chován´ı posloupnost´ı náhodn´ ych veliˇcin. Jsou v n´ı zkonstruována testová kritéria a asymptotické intervalové odhady veliˇcin náhodného v´ ybˇeru, kter´ y nen´ı nutnˇe v´ ybˇerem z normáln´ıho rozdˇelen´ı, avˇsak pro rostouc´ı rozsah v´ ybˇeru se mu sv´ ym chován´ı pˇribliˇzuje. ˇ Ctvrtá kapitola ilustruje pouˇzit´ı sestrojen´ ych asymptotick´ ych intervalov´ ych odhad˚ u a testov´ ych kritéri´ı na konkrétn´ıch datech. Na generovan´ ych datech, u kter´ ych známe stˇredn´ı hodnotu a rozptyl, jsou studovány odliˇsnosti CLV intervalov´ ych odhad˚ u a odhad˚ u pˇri normáln´ım rozdˇelen´ı. Na reáln´ ych datech pak aplikujeme asymptotická testová kritéria. V této práci jsem vˇetˇsinu tradiˇcn´ıch vˇet matematické statistiky a teorie pravdˇepodobnosti uveden´ ych v prvn´ıch dvou kapitolách nedokazoval. M´ısto d˚ ukaz˚ u tˇechto tvrzen´ı jsou uvedeny odkazy na literaturu, kde lze pˇr´ısluˇsné d˚ ukazy nalézt. Dokázány jsou vˇsak tvrzen´ı uvedená v kapitole o asymptotick´ ych testech, která je pro tuto práci u ´stˇredn´ı.

1 Teoretick´ e z´ aklady V této kapitole zavedeme základn´ı pojmy teorie pravdˇepodobnosti a matematické statistiky, které v dalˇs´ım textu pouˇzijeme. Uvedeme základn´ı teoretické poznatky, jako jsou zákony velk´ ych ˇc´ısel a centráln´ı limitn´ı vˇety. Mnoho d˚ uleˇzit´ ych pojm˚ u a poznatk˚ u z teorie pravdˇepodobnosti a statistiky, které v dalˇs´ıch textu pouˇzijeme, vˇsak nebudeme uvádˇet. Jsou obecnˇe známé a v literatuˇre snadno dohledatelné.

1.1

Pojmy a znaˇ cen´ı

V celém textu pracujeme pouze s reáln´ ymi náhodn´ ymi veliˇcinami a reáln´ ymi náhodn´ ymi vektory, které jsou definovány na klasickém pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P). Náhodné veliˇciny znaˇc´ıme X, Y, . . . zat´ımco pro náhodné vektory pouˇz´ıváme tuˇcné p´ısmo X, Y , . . . Necht’ X je náhodná veliˇcina. Pak symbolem PX oznaˇcujeme rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny X, tj. pravdˇepodobnostn´ı m´ıru indukovanou náhodnou veliˇcinou X definovanou vztahem PX (B) = P(X −1 (B)) pro vˇsechny B ⊂ R. Skuteˇcnost, ˇze náhodná veliˇcina má rozdˇelen´ı PX znaˇc´ıme X ∼ PX , kde PX vˇetˇsinou nahrazujeme symbolem pro konkrétn´ı rozdˇelen´ı. Distribuˇcn´ı funkci náhodné veliˇciny X rozum´ıme funkci FX : R → [0, 1], která je definována vztahem FX (x) = P(X ≤ x), x ∈ R. Symbolem EX (nebo také µ) oznaˇcujeme stˇredn´ı hodnotu náhodné veliˇciny √ X a varX znaˇc´ı jej´ı rozptyl. Rozptyl 2 ˇcasto znaˇc´ıme také σ a smˇerodatnou odchylku varX znaˇc´ıme σ.

1.2

Norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı

Tématem práce jsou asymptotické testy a s tˇemi se u ´zce váˇze normáln´ı rozdˇelen´ı. ’ Uved me jeho definici pomoc´ı hustoty: (x − µ)2 1 exp − , x ∈ R. f (x) = √ 2σ 2 2πσ 2 Skuteˇcnost, ˇze náhodná veliˇcina má normáln´ı rozdˇelen´ı s parametry µ a σ 2 znaˇc´ıme X ∼ N(µ, σ 2 ). Pokud je µ = 0 a σ 2 = 1, mluv´ıme o normovaném normáln´ım rozdˇelen´ı N(0, 1) a jeho hustotu znaˇc´ıme ϕ(x) a distribuˇcn´ı funkci Φ(x). Lze ukázat, ˇze náhodná veliˇcina X ∼ N(µ, σ 2 ) má stˇredn´ı hodnotu µ a rozptyl σ 2 . Pro u ´ˇcely testován´ı hypotéz a intervalové odhady jsou velmi d˚ uleˇzitá i nˇekterá dalˇs´ı rozdˇelen´ı. Jedná se pˇredevˇs´ım o χ2 -rozdˇelen´ı a Studentovo t-rozdˇelen´ı. Zaved’me znaˇcen´ı

1.3. KVANTILY

6

Gn (x) pro distribuˇcn´ı funkci χ2n -rozdˇelen´ı o n stupn´ıch volnosti a Hn (x) pro distribuˇcn´ı funkci tn -rozdˇelen´ı o n stupn´ıch volnosti. Mezi normáln´ım rozdˇelen´ım a χ2n resp. tn rozdˇelen´ımi plat´ı d˚ uleˇzité vztahy popsané v následuj´ıc´ıch dvou vˇetách. Vˇ eta 1.1. Necht’ X1 , .P . . , Xn jsou nez´ avislé n´ ahodné veliˇciny s normovaným normáln´ım n 2 2 a χn -rozdˇelen´ı. rozdˇelen´ım. Pak Z = k=1 Xk m´ D˚ ukaz. Viz [1], str. 67, vˇeta 4.13. Vˇ eta 1.2. avislé n´ ahodné veliˇciny, X ∼ N(0, 1), Z ∼ χ2k . Pak √ Necht’ X a Z jsou nez´ X Y = √Z k má tk -rozdˇelen´ı. D˚ ukaz. Viz [1], str. 74, vˇeta 4.22.

1.3

Kvantily

Necht’ F je distribuˇcn´ı funkce nˇejaké náhodné veliˇciny. Zaved’me na otevˇreném intervalu (0, 1) funkci F −1 pˇredpisem F −1 (u) = inf{x : F (x) ≥ u}. Tuto funkci budeme naz´ yvat kvantilov´ a funkce odpov´ıdaj´ıc´ı distribuˇcn´ı funkci F . Hodnotám F −1 (u) se ˇr´ıká kvantily. Je-li F rostouc´ı funkce, je F −1 obyˇcejná inverzn´ı funkce. Zaved’me nyn´ı symboliku pro oznaˇcen´ı kvantil˚ u nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch rozdˇelen´ı. Budeme se 2 zab´ yvat normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım, χn -rozdˇelen´ım a tn -rozdˇelen´ım. Normáln´ı a tn rozdˇelen´ı maj´ı nenulové a spojité hustoty na celé reálné ose a proto jsou distribuˇcn´ı funkce Φ(x) a Hn (x) spojité a ryze monotónn´ı funkce. Distribuˇcn´ı funkce Gn (x) je ryze monotónn´ı na [0, ∞). Budeme pouˇz´ıvat následuj´ıc´ı znaˇcen´ı: uα := Φ−1 (α)

pro α-kvantil normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı

χα,n := G−1 n (α)

pro α-kvantil χ2n -rozdˇelen´ı

tα,n := Hn−1 (α)

pro α-kvantil tn -rozdˇelen´ı

Protoˇze hustoty normáln´ıho a tn rozdˇelen´ı jsou sudé funkce, dostáváme pro jejich kvantily vztahy uα = −u1−α , tα,n = −t1−α,n ,

α ∈ (0, 1), α ∈ (0, 1).

Pro normáln´ı, tn a χ2n rozdˇelen´ı nav´ıc plat´ı následuj´ıc´ı vˇeta, která nám dává moˇznost aproximovat distribuˇcn´ı funkce Gn (x) a Hn (x) pomoc´ı Φ(x).

´ ´ ˇ ÍSEL 1.4. ZAKON VELKYCH C

7

Vˇ eta 1.3. Pro distribuˇcn´ı funkce χ2n a tn rozdˇelen´ı plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vztahy. √ lim Gn (n + x 2n) = Φ(x), x∈R n→∞

lim Hn (x) = Φ(x),

n→∞

x ∈ R.

D˚ ukaz. Viz [2], str. 108, vˇeta 5.5. . D˚ usledkem√vˇety 1.3 je, ˇze pro kvantily pˇri velk´ ych n plat´ı aproximace tα,n = uα a . χ2α,n = n + uα 2n.

1.4

Z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel

ˇ jsou d˚ uleˇzit´ ym teoretick´ ym nástrojem a my je uˇzijeme Tzv. zákony velk´ ych ˇc´ısel (ZVC) pˇri odvozován´ı asymptotick´ ych intervalov´ ych odhad˚ u. Uved’me nejprve definici konvergence skoro jistˇe a konvergenci v pravdˇepodobnosti posloupnosti náhodn´ ych veliˇcin. Definice 1.4. Necht’ je dán pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω, A, P) a necht’ posloupnost ahodná veliˇcina X jsou definovany na (Ω, A, P). náhodn´ ych veliˇcin {Xn }∞ n=1 a n´ ˇ i) Rekneme, ˇze Xn konverguj´ı skoro jistˇ e (s.j.) k X, jestliˇze lim Xn (ω) = X(ω) n→∞

s.j.

pro vˇsechna ω ∈ A, kde A ∈ A taková, ˇze P (A) = 1. Znaˇc´ıme Xn −−−→ X. n→∞

ˇ ii) Rekneme, ˇze Xn konverguj´ı k X v pravdˇ epodobnosti, jestliˇze pro kaˇzdé P > 0 plat´ı lim P(|Xn − X| > ) = 0. Znaˇc´ıme Xn −−−→ X. n→∞

n→∞

Vˇ eta 1.5. Jsou-li X a Xn , n ∈ N n´ ahodné veliˇciny, pak plat´ı s.j.

P

n→∞

n→∞

Xn −−−→ X ⇒ Xn −−−→ X. D˚ ukaz. Viz [3], str. 34, vˇeta 6.7. Plat´ı následuj´ıc´ı vˇety, které ˇr´ıkaj´ı, ˇze spojité transformace náhodn´ ych veliˇcin zachovávaj´ı konvergenci v pravdˇepodobnosti a konvergenci skoro jistˇe. Analogické vˇety lze formulovat i pro náhodné vektory. Vˇ eta 1.6. Necht’ Tn , n ∈ N je posloupnost n´ ahodných veliˇcin a necht’ tato posloupnost konverguje v pravdˇepodobnosti k η. Necht’ h : R → R je spojit´ a funkce. Pak plat´ı P

h(Tn ) −−−→ h(η). n→∞

D˚ ukaz. Viz [4], str. 433, lemma 1.9.

´ Í LIMITNÍ VETY ˇ 1.5. CENTRALN

8

D˚ usledek 1.7. Necht’ Un , n ∈ N je posloupnost n´ ahodných veliˇcin a necht’ Un konverguje skoro jistˇe k η. Necht’ h : R → R je spojit´ a funkce. Pak plat´ı s.j.

h(Tn ) −−−→ h(η).

(1.1)

n→∞

D˚ ukaz. Protoˇze podle vˇety 1.5 kaˇzdá posloupnost náhodn´ ych veliˇcin, která konverguje skoro jistˇe, konverguje i v pravdˇepodobnosti, plyne tvrzen´ı (1.1) z vˇety 1.6. Vˇ eta 1.8 (Siln´ y z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel). Necht’ Xn , n ∈ N je posloupnost nezávislých n´ ahodných veliˇcin s koneˇcným rozptylem. Necht’ jsou d´ ana ˇc´ısla 0 < b1 ≤ b2 ≤ . . ., pro n→∞ která plat´ı bn −−−→ ∞ a ∞ X varXk k=1

b2k

< ∞.

Potom n 1 X s.j. (Xk − EXk ) −−−→ 0. n→∞ bn k=1

D˚ ukaz. Viz [3], str. 70, vˇeta 12.1 Vˇ eta 1.9 (Siln´ y z´ akon pro stejnˇ e rozdˇ elen´ e n´ ahodn´ e veliˇ ciny). Necht’ {Xn }∞ n=1 je posloupnost nezávislých stejnˇe rozdˇelených n´ ahodných veliˇcin. Pak s.j. ¯ n −− X −→ µ n→∞

pro nˇejaké µ ∈ R, právˇe tehdy, kdyˇz E|X1 | < ∞. Potom také plat´ı µ = EX1 . D˚ ukaz. Viz [5], str. 336, vˇeta 3.

1.5

Centr´ aln´ı limitn´ı vˇ ety

Centráln´ı limitn´ı vˇety (CLV) formulujeme pomoc´ı konvergence posloupnosti náhodn´ ych vektor˚ u (veliˇcin) v distribuci. Definice 1.10. Oznaˇcme Fn , n ∈ N distribuˇcn´ı funkce náhodn´ ych veliˇcin Xn , n ∈ N. ˇ Rekneme, ˇze náhodné veliˇciny Xn , n ∈ N konverguj´ı v distribuci k náhodné veliˇcinˇe X s distribuˇcn´ı funkc´ı F , jestliˇze Fn (x) konverguj´ı k F (x) bodovˇe v kaˇzdém bodˇe D spojitosti funkce F . Tuto skuteˇcnost pak znaˇc´ıme Xn −−−→ X. n→∞

CLV se t´ ykaj´ı konvergence v distribuci k náhodné veliˇcinˇe s normáln´ım rozdˇelen´ım. Protoˇze distribuˇcn´ı funkce normáln´ıho rozdˇelen´ı Φ(x) je spojitá v kaˇzdém bodˇe x ∈ R,


9

jedná se o konvergenci distribuˇcn´ıch funkc´ı bodovˇe na celém R. Pokud posloupnost náhodn´ ych veliˇcin {Xn }∞ ahodné veliˇcinˇe s normáln´ım rozdˇelen´ım o n=1 konverguje k n´ 2 parametrech µ a σ , pak ˇr´ıkáme, ˇze má asymptotické normáln´ı rozdˇelen´ı a budeme pouˇz´ıvat znaˇcen´ı D Xn −−−→ N(µ, σ 2 ). n→∞

Uved’me nejprve obecnou verzi CLV. Vˇ eta 1.11 (Ljapunovova CLV). Necht’ Xn1 ,. . . ,Xnkn jsou nez´ avislé n´ ahodné veliˇciny, n ∈ N; oznaˇcme EXni = µni ,

2 varXni = σni ,

E|Xni − EXni |3 = ρ3ni , i = 1, ..., kn

Pkn (Xni − µni ) qP Zn = i=1 kn 2 i=1 σni Necht’ je splnˇeno P n 3 1/3 ρ ) ( ki=1 = 0. lim Pkn ni 2 1/2 n→∞ ( i=1 σni ) Potom plat´ı D

Zn −−−→ N(0, 1). n→∞

D˚ ukaz. Viz [2], str. 81, vˇeta 4.9. Následuj´ıc´ı vˇetu pouˇzijeme pˇri konstrukci intervalového odhadu stˇredn´ı hodnoty. D Vˇ eta 1.12. Necht’ Zn −−−→ N(0, 1) a necht’ je d´ ana posloupnost n´ ahodných veliˇcin n→∞

{Yn }n∈N , pro niˇz existuje a ∈ R takové, ˇze plat´ı P

Yn −−−→ a. n→∞

(1.2)

Pak plat´ı D

Zn + Yn −−−→ N(a, 1). n→∞

(1.3)

Je-li nav´ıc a > 0, pak D

Zn Yn −−−→ N(0, a2 ). n→∞

(1.4)


10

D˚ ukaz. Viz [2], str. 87-88, vˇeta 4.14. Uved’me jeˇstˇe jednu verzi CLV. Tato formulace pocházej´ıc´ı od finského matematika J.W. Lindeberga se uplatˇ nuje pˇredevˇs´ım ve statistice pˇri práci s posloupnost´ı stejnˇe rozdˇelen´ ych nezávisl´ ych veliˇcin. Vˇ eta 1.13 (Lindebergova CLV). Necht’ Xn , n ∈ N jsou nez´ avislé stejnˇe rozdˇelené n´ ahodné veliˇciny se stˇredn´ı hodnotou µ a s koneˇcným rozptylem σ 2 . Oznaˇcme Pn (Xk − µ) . Zn = k=1 √ σ n Potom plat´ı D

Zn −−−→ N(0, 1). n→∞

D˚ ukaz. Viz [3], str. 101, vˇeta 17.4.

2 Testov´ an´ı hypot´ ez a statistick´ e odhady 2.1

N´ ahodn´ y v´ ybˇ er

Pˇri testován´ı hypotéz o parametrech rozdˇelen´ı pracujeme se souborem dat. Tato data se nejˇcastˇeji reprezentuj´ı pomoc´ı náhodn´ ych veliˇcin respektive náhodn´ ych vektor˚ u, u nichˇz pˇredpokládáme stejné rozdˇelen´ı a nezávislost. Definice 2.1. N´ ahodn´ y v´ ybˇ er je n-tice nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin (resp. vektor˚ u) ˇ X1 , . . . , Xn se stejn´ ym rozdˇelen´ım a tedy se stejnou distribuˇcn´ı funkc´ı F . C´ıslo n se naz´ yvá rozsah v´ ybˇ eru. Dále definujme veliˇciny v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer a v´ ybˇerov´ y rozptyl, které nám poslouˇz´ı pˇri odhadován´ı stˇredn´ı hodnoty a rozptylu veliˇcin náhodného v´ ybˇeru. Definice 2.2. Necht’ je dán náhodn´ y v´ ybˇer X1 , . . . , Xn . Poloˇzme n

X ¯n = 1 Xk , X n k=1

n

1 X ¯ n )2 . S = (Xk − X n − 1 k=1 2

¯ n naz´ Veliˇcinu X yváme v´ ybˇ erov´ y pr˚ umˇ er a S 2 naz´ yváme v´ ybˇ erov´ y rozptyl.

2.2

Pojmy testov´ an´ı hypot´ ez

Pˇredpokládejme, ˇze X1 , . . . , Xn je náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı, které je prvkem rodiny k {Fθ ; θ ∈ Θ}, kde Θ ∈ B(R ). Dále pˇredpokládejme, ˇze o parametru θ tohoto rozdˇelen´ı existuj´ı dvˇe konkuruj´ıc´ı si hypotézy. Nulov´ a hypot´ eza H0 ˇr´ıká, ˇze θ ∈ Θ0 (Θ0 ⊂ Θ), a podle alternativn´ı hypot´ ezy H1 plat´ı θ ∈ Θ1 (Θ1 = Θ − Θ0 ). Testem nulové hypotézy H0 proti alternativn´ı hypotéze H1 rozum´ıme rozhodovac´ı postup zaloˇzen´ y na náhodném v´ ybˇeru X = (X1 , . . . , Xn )T , na jehoˇz základˇe zam´ıtneme nebo nezam´ıtneme platnost hypotézy H0 . Kritick´ ych oborem testu je mnoˇzina W ⊂ n R , kterou vol´ıme tak, aby pro pˇredem zvolené α ∈ (0, 1) platilo Pθ (X ∈ W ) ≤ α pro vˇsechna θ ∈ Θ0 . Hypotézu H0 zam´ıtáme plat´ı-li X ∈ W . Jinak hypotézu H0 nezam´ıtáme. Hodnota supθ∈Θ0 P(X ∈ W ) se naz´ yvá hladina testu.

´ EROV ˇ ´ CHARAKTERISTIKY PRI ˇ ROZDELEN ˇ Í N(µ, σ 2 ) 2.3. VYB E

2.3

12

V´ ybˇ erov´ e charakteristiky pˇ ri rozdˇ elen´ı N(µ, σ 2)

Vlastnosti plynouc´ı z následuj´ıc´ı vˇety maj´ı zásadn´ı v´ yznam pro testován´ı hypotéz o stˇredn´ı hodnotˇe a rozptylu rozdˇelen´ı veliˇcin náhodného v´ ybˇeru z normáln´ıho rozdˇelen´ı. Vˇ eta 2.3. Necht’ X1 , . . . , Xn je n´ ahodný výbˇer z N(µ, σ 2 ). Potom plat´ı: ¯ n ∼ N(µ, σ2 ); i) X n

ii) je-li n > 1 a σ 2 > 0, pak (n − 1)S 2 /σ 2 ∼ χ2n−1 ; √ ¯ iii) je-li n > 2 a σ 2 > 0, pak XSnn−µ n ∼ tn−1 . D˚ ukaz. Viz [1], tvrzen´ı i), ii) viz str. 70, vˇeta 4.21 a tvrzen´ı iii) viz str. 74, vˇeta 4.23.

2.4

Bodov´ y odhad

Pˇredpokládáme, ˇze X = X1 , . . . , Xn je náhodn´ y vektor, jehoˇz sloˇzky tvoˇr´ı náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı, které závis´ı na parametru θ. Parametrickou funkc´ı nazveme kaˇzdou borelovsky mˇeˇritelnou funkci g : Θ → R. Bodov´ y odhad parametrické funkce g(θ) je jakákoliv borelovská funkce φ(X), jej´ıˇz funkˇcn´ı pˇredpis nezávis´ı na parametru θ. Definice 2.4. Odhad φ(X1 , . . . , Xn ) parametrické funkce g(θ) nazveme nestrann´ ym, jestliˇze Eθ φ(X1 , . . . , Xn ) = g(θ) pro vˇsechna θ. Odhad φn (X1 , . . . , Xn ) parametrické funkce g(θ) nazveme konzistentn´ım odhadem, jestliˇze pro vˇsechna θ ∈ Θ plat´ı Pθ ( lim φn (X1 , . . . , Xn ) = g(θ)) = 1.

(2.1)

n→∞

Konzistence bodového odhadu znamená, ˇze odhad φn s rostouc´ım n konverguje k odhadovanému parametru. Konzistence odhadu zaruˇcuje, ˇze jsme schopni zvˇetˇsován´ım poˇctu mˇeˇren´ı zpˇresˇ novat naˇse znalosti o odhadovaném parametru θ a ˇze jsme schopni dalˇs´ımi mˇeˇren´ımi sn´ıˇzit chybu odhadu pod libovolnˇe malou pˇredem stanovenou mez. ¯ n a S 2 . Je-li X1 , . . . , Xn náhodn´ Pro nás jsou d˚ uleˇzité pˇredevˇs´ım odhady X y v´ ybˇer n ¯ n je nestranným a konzisz rozdˇelen´ı s koneˇcn´ ym rozptylem, pak v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer X tentn´ım odhadem stˇredn´ı hodnoty náhodného v´ ybˇeru a v´ ybˇerov´ y rozptyl Sn2 je nestranným a konzistentn´ım odhadem rozptylu náhodného v´ ybˇeru. (Viz [2], str. 95, vˇeta 5.1)

2.5

Intervalov´ y odhad

Mˇejme náhodn´ y v´ ybˇer X1 , . . . , Xn , jehoˇz rozdˇelen´ı závis´ı na parametru θ a necht’ je ˇ dáno α ∈ (0, 1). Rekneme, ˇze (φL , φU ) je intervalov´ y odhad g(θ) o spolehlivosti 1 − α, jestliˇze plat´ı Pθ (φL (X1 , . . . , Xn ) < g(θ) < φU (X1 , . . . , Xn )) = 1 − α,

θ ∈ Θ.

´ ODHADY PARAMETRU ˚ N(µ, σ 2 ) 2.6. INTERVALOVE

13

Intervalové odhady parametr˚ u náhodného v´ ybˇeru m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pˇri konstruován´ı testov´ ych kritéri´ı pro testy hypotéz o tˇechto parametrech. Necht’ X = (X1 , . . . , Xn ) je náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı, které závis´ı na parametru θ ∈ Θ ⊂ Rk a necht’ g(θ) je parametrická funkce. Necht’ jsou dále dány hypotézy H0 : g(θ) = γ0 a H1 : g(θ) 6= γ0 . Je-li (φL (X), φU (X)) intervalov´ y odhad parametrické funkce g(θ) o spolehlivosti 1 − α, n pak pro W := {X ∈ R ; γ0 ∈ / (φL (X), φU (X))} plat´ı Pθ (X ∈ W ) = α a W je tedy kritick´ y obor testu hypotézy H0 proti H1 na hladinˇe α. Hypotézu H0 proto zam´ıtáme, pokud plat´ı γ0 ∈ / (φL (X), φU (X)).

2.6

Intervalov´ e odhady parametr˚ u N(µ, σ 2)

Pˇredpokládejme, ˇze X1 , . . . , Xn je náhodn´ y v´ ybˇer z normáln´ıho rozdˇelen´ı N(µ, σ 2 ). V definici normáln´ıho rozdˇelen´ı vystupuj´ı dva parametry: µ (stˇredn´ı hodnota) a σ 2 (rozptyl). Nyn´ı uvedeme intervalové odhady pro parametry µ a σ 2 .

2.6.1

Intervalov´ y odhad stˇ redn´ı hodnoty

Intervalov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty µ konstruujeme bud’ za pˇredpokládané znalosti parametru σ 2 , nebo v situaci, kdy σ 2 je neznámá veliˇcina. Intervalov´ y odhad µ pˇ ri zn´ am´ em σ 2 Pokud známe parametr σ 2 , pak aplikac´ı vˇety 2.3, tvrzen´ı i) sestroj´ıme intervalov´ y odhad parametru µ o spolehlivosti 1 − α ve tvaru: σ σ ¯ ¯ (2.2) Xn − u1−α/2 √ , Xn + u1−α/2 √ n n ¯ n − u1−α σ/√n a horn´ı intervalov´ ¯n + Doln´ ı intervalov´ y odhad µ je X y odhad je X √ u1−α σ/ n. Spolehlivost obou tˇechto jednostrann´ ych intervalov´ ych odhad˚ u je 1 − α.

Intervalov´ y odhad µ pˇ ri nezn´ am´ em σ 2 Pˇredpokládáme-li, ˇze je σ 2 neznámá veliˇcina, pouˇzijeme jako jej´ı odhad v´ ybˇerov´ y roz2 ptyl Sn a na základˇe bodu iii) vˇety 2.3 sestav´ıme intervalov´ y odhad parametru µ o spolehlivosti 1 − α ve tvaru: Sn ¯ Sn ¯ Xn − t1−α/2,n−1 √ , Xn + t1−α/2,n−1 √ . (2.3) n n Doln´ı intervalov´ y odhad a horn´ı intervalov´ y odhad se z (2.3) lehce odvod´ı a nebudeme je proto uvádˇet.

´ ODHADY PARAMETRU ˚ N(µ, σ 2 ) 2.6. INTERVALOVE

2.6.2

14

Intervalov´ y odhad rozptylu

Máme-li sestrojit intervalov´ y odhad rozptylu náhodného v´ ybˇeru z normáln´ıho rozdˇelen´ı, podobnˇe jako u intervalov´ ych odhad˚ u stˇredn´ı hodnoty, i zde pracujeme se dvˇema r˚ uzn´ ymi situacemi - bud’ µ známe nebo µ neznáme. Intervalov´ y odhad σ 2 pˇ ri nezn´ am´ em µ Pˇredpokládáme-li neznalost parametru µ, uˇzit´ım bodu ii) vˇety 2.3 dostáváme pro σ 2 intervalov´ y odhad o spolehlivosti 1 − α ve tvaru ! (n − 1)Sn2 (n − 1)Sn2 , . (2.4) χ21−α/2,n−1 χ2α/2,n−1 Intervalov´ y odhad σ 2 pˇ ri zn´ am´ em µ V pˇr´ıpadˇe, ˇze parametr µ známe, m˚ uˇzeme pˇri odhadov´ an´ı σ 2 nam´ısto statistiky Sn2 P vyuˇz´ıt pˇresnˇejˇs´ı odhad rozptylu ve tvaru Kn2 = n1 nk=1 (Xk − µ)2 a dostáváme pro σ 2 intervalov´ y odhad o spolehlivosti 1 − α ve tvaru ! nKn2 nKn2 , . (2.5) χ21−α/2,n χ2α/2,n

3 Intervalov´ e odhady a testy hypot´ ez zaloˇ zen´ e na CLV V pˇredcházej´ıc´ı kapitole jsme uvedli intervalové odhady stˇredn´ı hodnoty a rozptylu veliˇcin náhodného v´ ybˇeru z normáln´ıho rozdˇelen´ı. V této kapitole sestav´ıme intervalové odhady pro stˇredn´ı hodnoty a rozptyl obecnˇejˇs´ıch náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u, u nichˇz vypust´ıme pˇredpoklad normality jejich rozdˇelen´ı. Pˇri sestavován´ı tˇechto intervalov´ ych odhad˚ u vyuˇzijeme limitn´ıho chován´ı náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u, které plyne z CLV, a proto jim budeme ˇr´ıkat CLV intervalové odhady.

3.1

CLV intervalov´ e odhady

Mˇejme dán náhodn´ y v´ ybˇer X = (X1 , . . . , Xn ) z rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı Fµ,σ2 , která závis´ı na parametrech µ a σ 2 , kde µ je stˇredn´ı hodnota a σ 2 je rozptyl. Necht’ nav´ıc σ 2 ∈ (0, ∞). Poznamenejme, ˇze toto rozdˇelen´ı nemus´ı splˇ novat ani poˇzadavek spojitosti a ryz´ı monotonie distribuˇcn´ı funkce, m˚ uˇze b´ yt i diskrétn´ı. Stejnˇe jako u intervalov´ ych odhad˚ u pro parametry normáln´ıho rozdˇelen´ı, i v pˇr´ıpadˇe CLV intervalov´ ych odhad˚ u parametr˚ u µ a σ 2 budeme rozliˇsovat mezi situac´ı, kdy pˇri odhadován´ı jednoho z parametr˚ u pˇredpokládáme znalost druhého z nich, a situac´ı, kdy tuto znalost nepˇredpokládáme. CLV intervalové odhady, které v této kapitole uvedeme, budou m´ıt na rozd´ıl od intervalov´ ych odhad˚ u z´ıskan´ ych za pˇredpokladu normality hladinu spolehlivosti rovnou ˇ y 1 − α pouze pˇribliˇznˇe. Rekneme, ˇze (φLn (X1 , . . . , Xn ), φUn (X1 , . . . , Xn )) je intervalov´ odhad parametrické funkce g(θ) o asymptotick´ e spolehlivosti 1 − α, jestliˇze plat´ı n→∞ Pθ φLn (X1 , . . . , Xn ) < g(θ) < φUn (X1 , . . . , Xn ) −−−→ 1 − α, θ ∈ Θ.

3.1.1

CLV intervalov´ y odhad stˇ redn´ı hodnoty

Uved’me nejprve CLV intervalov´ y odhad pro parametr µ. CLV intervalov´ y odhad µ pˇ ri zn´ am´ em σ 2 Pˇredpokládáme-li, ˇze rozptyl náhodného v´ ybˇeru je známá konstanta, m˚ uˇzeme na základˇe vˇety 1.13 pro v´ ybˇery velkého rozsahu pouˇz´ıt pˇr´ımo intervalov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty normáln´ıho rozdˇelen´ı (2.2) a dostáváme pro parametr µ CLV intervalov´ y odhad o asymptotické spolehlivosti 1 − α ve tvaru √ √ ¯ n + u1−α/2 σ/ n . ¯ n − u1−α/2 σ/ n, X (3.1) X

´ ODHADY 3.1. CLV INTERVALOVE

16

CLV intervalov´ y odhad µ pˇ ri nezn´ am´ em σ 2 Necht’ je nyn´ı σ 2 neznámá konstanta. Na základˇe následuj´ıc´ı vˇety m˚ uˇzeme v pintervalovém odhadu (3.1) nahradit parametr σ jeho konzistentn´ım odhadem Sn = Sn2 . Vˇ eta 3.1. Necht’ X1 , X2 , X3 , . . . je n´ ahodný výbˇer se stˇredn´ı hodnotou EX1 = µ a 2 koneˇcným rozptylem varX1 = σ . Pak Zn =

¯n − µ √ X D n −−−→ N(0, 1). n→∞ Sn

(3.2)

√ ¯ D˚ ukaz. Oznaˇcme θ = (µ, σ 2 ) a definujme náhodné veliˇciny Wn = Xnσ−µ n, n ∈ N. Podle vˇety 1.13 maj´ı Wn asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı. V´ ybˇerov´ y rozptyl Sn2 je 2 konzistentn´ım odhadem parametru σ a proto podle (2.1) plat´ı n→∞

Yn = σ/Sn −−−→ 1

Pθ − s.j.

Tvrzen´ı (1.4) vˇety 1.12 dává platnost Z n = W n Yn =

¯n − µ √ X D n −−−→ N(0, 1). n→∞ Sn

Na základˇe vˇety 3.1 a intervalového odhadu (2.2) dostáváme CLV intervalov´ y odhad pro µ o asymptotické spolehlivosti 1 − α ve tvaru √ √ ¯ n − u1−α/2 Sn / n, X ¯ n + u1−α/2 Sn / n . X (3.3) Pokud by nás zaj´ımaly jednostranné intervalové odhady pro parametr µ (o asympto¯n − tické spolehlivosti 1 − α), lehce se odvod´ı doln´ı intervalov´ y √odhad ve tvaru X √ ¯ y odhad ve tvaru Xn + u1−α Sn / n. u1−α Sn / n a horn´ı intervalov´ Z naˇseho postupu odvozen´ı intervalového odhadu (3.3) je jasné, ˇze obecnˇe bychom mohli za odhad parametru σ 2 vz´ıt jak´ ykoliv konzistentn´ı odhad, nikoliv pouze Sn2 . Toho vyuˇzijeme v následuj´ıc´ıch odstavc´ıch, v kter´ ych uvedeme dva d˚ uleˇzité speciáln´ı pˇr´ıpady uˇzit´ı asymptotického chován´ı posloupnosti náhodn´ ych veliˇcin k odhadován´ı parametr˚ u alternativn´ıho a Poissonova rozdˇelen´ı. Alternativn´ı rozdˇ elen´ı Mˇejme náhodn´ y v´ ybˇer X1 , . . . , Xn z alternativn´ıho rozdˇelen´ı A(p). Pro X ∼ A(p) plat´ı ¯ n je konzistentn´ım odhadem parametru EX = p a varX = p(1 − p). V´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer X ¯ n (1 − X ¯ n ) konzistentn´ı odhad rozptylu p(1 − p) a m˚ p. Proto je X uˇzeme jej pouˇz´ıt v CLV intervalovém odhadu (3.3) m´ısto Sn a dostaneme intervalov´ y odhad parametr p o asymptotické spolehlivosti 1 − α ve tvaru ! r r ¯ n (1 − X ¯n) ¯ n (1 − X ¯n) X X ¯ n − u1−α/2 ¯ n + u1−α/2 X ,X . (3.4) n n


17

Pouˇzijme v´ ysledek (3.4) k intervalovému odhadnut´ı hodnoty P(Y > t0 ), t0 ∈ R, kde Y je nˇejaká náhodná veliˇcina. Necht’ Y1 , . . . , Yn je náhodn´ y v´ ybˇer ze stejného rozdˇelen´ı jako má náhodná veliˇcina Y . Definujme náhodné veliˇciny Xi , i = 1, . . . , n vztahem 1, kdyˇz Yi > t0 Xi = 0, kdyˇz Yi ≤ t0 . Z nezávislosti veliˇcin náhodného v´ ybˇeru Y1 , . . . , Yn plyne, ˇze náhodné veliˇciny X1 , . . . , Xn jsou také nezávislé a vˇsechny maj´ı alternativn´ı rozdˇelen´ı se stejn´ ym parametrem p, kde p = P(Y1 > t0 ) = . . . = P(Yn > t0 ) = P(Y > t0 ). Jako intervalov´ y odhad o asymptotické spolehlivosti 1 − α pro hodnotu P(Y > t0 ) m˚ uˇzeme pro velká n pouˇz´ıt intervalov´ y odhad pro parametr p alternativn´ıho rozdˇelen´ı náhodného v´ ybˇeru X1 , . . . , Xn ve tvaru (3.4). Poissonovo rozdˇ elen´ı Necht’ je nyn´ı X1 , . . . , Xn náhodn´ y v´ ybˇer z Poissonova rozdˇelen´ı Po(λ). Pro X ∼ Po(λ) ¯ n je konzistentn´ım odhadem stˇredn´ı hodnoty náhodného plat´ı EX = λ a varX = λ. X v´ ybˇeru i rozptylu λ. Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım odstavci dostáváme pro λ CLV intervalov´ y odhad o asymptotické spolehlivosti 1 − α ve tvaru r ! r ¯ ¯ ¯ n + u1−α/2 Xn . ¯ n − u1−α/2 Xn , X (3.5) X n n

3.1.2

CLV intervalov´ y odhad rozptylu

Budeme pˇredpokládat, ˇze X1 , . . . , Xn je náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı o neznám´ ych parametrech µ a σ 2 > 0, kde µ je stˇredn´ı hodnota a σ 2 je rozptyl. Necht’ dále plat´ı EX 4 < ∞. Oznaˇcme ν := var(X1 − µ)2 , τ 4 := E(X1 − µ)4 a Sn4 = (Sn2 )2 . Veliˇciny X1 , . . . , Xn jsou nezávislé a stejnˇe rozdˇelené a tedy i ([X1 −µ]2 , . . . , [Xk −µ]2 ) jsou nezávislé a stejnˇe rozdˇelené se stˇredn´ı hodnotou σ 2 a rozptylem ν. Pouˇzijeme-li znám´ y vzorec varX = EX 2 − (EX)2 , dostaneme ν = τ 4 − σ4. Z pˇredpokladu EX 4 < ∞ plyne koneˇcnost τ 4 , tedy i rozptylu ν. M˚ uˇzeme aplikovat vˇetu 1.13 a dostaneme Pn 2 2 D k=1 (Xk − µ) − nσ √ −−−→ N(0, 1). (3.6) n→∞ nν Vztah (3.6) nám poslouˇz´ı jako v´ ychoz´ı bod naˇsich snah odvodit CLV intervalové odhady rozptylu. Budeme postupovat tak, ˇze v (3.6) nahrad´ıme neznámé veliˇciny jejich vhodn´ ymi odhady.


18

CLV intervalov´ y odhad σ 2 pˇ ri zn´ am´ em µ Nejprve pˇri intervalovém odhadován´ı σ 2 pˇredpokládejme znalost parametru µ. Abychom z´ıskali CLV intervalov´ y odhad σ 2 , pozmˇen´ıme levou stanu (3.6) tak, aby neobsahovala neznámou veliˇcinu ν. Jako odhad momentu ν pouˇzijeme statistiku n

1X νˆn = (Xk − µ)4 − Sn4 . n k=1 s.j.

s.j.

Z konvergence Sn2 −−−→ σ 2 dostaneme uˇzit´ım d˚ usledku 1.7 platnost Sn4 −−−→ σ 4 . n→∞ n→∞ Pn s.j. 1 4 4 Protoˇze také plat´ı n k=1 (Xk − µ) −−−→ τ , plyne z vˇety 1.9, ˇze n→∞

s.j.

νˆn −−−→ ν. n→∞

(3.7)

Na levé stranˇe (3.6) m˚ uˇzeme podle vˇety 1.12 nahradit ν odhadem νˆn a konvergence levé ´ strany v distribuci k normáln´ımu rozdˇelen´ı bude zachována. Upravou (3.6) dostaneme 2 CLV intervalov´ y odhad σ o asymptotické spolehlivosti 1 − α pˇri známém µ ve tvaru ! n n X p p 1X 1 (Xk − µ)2 − u1−α/2 νˆn /n, (Xk − µ)2 + u1−α/2 νˆn /n . (3.8) n k=1 n k=1 CLV intervalov´ y odhad σ 2 pˇ ri nezn´ am´ em µ Pokud pˇredpokládáme, ˇze µ je neznám´ y parametr, mus´ıme v intervalovém odhadu (3.6) P kromˇe ν nahradit vhodnou statistikou také nk=1 (Xk − µ)2 . Vˇ eta 3.2. Necht’ je dáno m ∈ N a X1 , . . . , Xn je n´ ahodný výbˇer, kde EX1m < ∞. Potom plat´ı n

1X s.j. ¯ n )m −− (Xk − X −→ E(X1 − µ)m . n→∞ n k=1 D˚ ukaz. Plat´ı n n X 1X ¯ n )m = 1 ¯ n − µ)]m (Xk − X [(Xk − µ) − (X n k=1 n k=1 n m 1 XX j m ¯ n − µ)j = (−1) (Xk − µ)m−j (X n k=1 j=0 j n m n 1X 1 XX m j m ¯ n − µ)j = (Xk − µ) + (−1) (Xk − µ)m−j (X n k=1 n j=1 k=1 j m X j m = An + (−1) Bjn Cjn , j j=1


19

kde n

n

1X An = (Xk − µ)m , n k=1

¯ n − µ)j , = (X

Bjn

Cjn

1X = (Xk − µ)m−j n k=1

Protoˇze X1 , . . . , Xn jsou nezávislé a stejnˇe rozdˇelené, jsou nezávislé a stejnˇe rozdˇelené také ([X1 − µ]m , . . . , [Xk − µ]m ) a podle zákona velk´ ych ˇc´ısel (vˇeta 1.9) dostáváme, ˇze s.j. s.j. m m−j An −−−→ E(X1 − µ) ∈ R, Cjn −−−→ E(X1 − µ) ∈ R, pro vˇsechna j = 1, . . . , m a n→∞

n→∞

Bjn

X j n 1 s.j. (Xk − µ) −−−→ 0, pro vˇsechna j = 1, . . . , m. = k=1 n→∞ n

Zbytek je d˚ usledkem zachován´ı konvergence skoro jistˇe pˇri spojité transformaci. Jako odhad ν pouˇzijeme statistiku n

1X ¯ n )4 − S 4 . ω ˆn = (Xk − X n n k=1 Abychom tak mohli uˇcinit, mus´ıme ukázat, ˇze plat´ı s.j.

ω ˆ n −−−→ ν.

(3.9)

n→∞

s.j.

Protoˇze jiˇz v´ıme, ˇze Sn4 −−−→ σ 4 , bude staˇcit, kdyˇz ukáˇzeme, ˇze plat´ı n→∞

n

1X s.j. ¯ n )4 − τ 4 −− (Xk − X −→ 0. n→∞ n k=1

(3.10)

P ¯ n )4 Z vˇety 3.2 dostáváme, ˇze ˇctvrt´ y centráln´ı empirick´ y moment n1 nk=1 (Xk − X 4 konverguje skoro jistˇe k ˇctvrtému centráln´ımu momentu τ , z ˇcehoˇz plyne platnost (3.10) a tedy také (3.9). Z platnosti (3.9) a tvrzen´ı vˇety 1.12 plyne, ˇze na levé stranˇe (3.6) m˚ uˇzeme nahradit moment ν jeho odhadem ω ˆ n a konvergence levé strany v distribuci k normáln´ımu rozdˇelen´ı bude zachována. P Nyn´ı se zamˇeˇrme na nk=1 (Xk − µ)2 . Jednoduchou u ´pravou v´ ybˇerového rozptylu Sn2 dostaneme n X 2 ¯ n − µ)2 . (n − 1)Sn = (Xk − µ)2 − n(X Vezmˇeme v´ yraz

√

k=1

n−

1Sn2

=

√1 n−1

ζn = √

Pn

k=1 (Xk

− µ)2 −

¯n √ n (X n−1

n s.j. ¯ n − µ)2 −− (X −→ 0. n→∞ n−1

− µ)2 a ukaˇzme, ˇze (3.11)

´ Í HYPOTEZ ´ 3.2. CLV TESTOVAN

20

Podle vˇety 1.7 staˇc´ı, kdyˇz ukáˇzeme, ˇze plat´ı √ n X p n s.j. ¯ n − µ) = p 1 ( X ζn = √ (X − µ) − − −→ 0. k 4 4 n→∞ n−1 n2 (n − 1) k=1 Definujme bk =

(3.12)

p 4 k 2 (k − 1), k ∈ N. Pak plat´ı ∞ X varXk k=1

b2k

=σ

2

∞ X k=1

1 <∞ k k−1 √

a z vˇety 1.8 plyne platnost (3.12) a tedy i (3.11). s.j. n ¯ n − µ)2 −− −→ 0, z ˇcehoˇz plyne T´ım jsme ukázali, ˇze √n−1 (X n→∞ n

(n −

1)Sn2

X 1 s.j. −√ (Xk − µ)2 −−−→ 0. n→∞ n − 1 k=1 2

n→∞

nSn −−→ 1, m˚ uˇzeme na levé stranˇe (3.6) nahradit Protoˇze dále (triviálnˇe) plat´ı (n−1)S 2 − n Pn 2 2 yrazem nSn a spoleˇcnˇe s (3.9) dostáváme platnost k=1 (Xk − µ) v´

Sn2 − σ 2 √ D √ n −−−→ N(0, 1). n→∞ ω ˆn p Protoˇze veliˇcina (Sn2 − σ 2 ) n/ˆ ωn má asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı, m˚ uˇzeme 2 zkonstruovat CLV intervalov´ y odhad pro parametr σ o asymptotické spolehlivost 1 − α ve tvaru p p 2 2 ˆ n /n, Sn + u1−α/2 ω ˆ n /n . (3.13) Sn − u1−α/2 ω

3.2

CLV testov´ an´ı hypot´ ez

Bud’ Xn = (X1 , . . . , Xn ) náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı, které závis´ı na parametru θ. Máme-li na základˇe Xn testovat hypotézu H0 : θ ∈ Θ0 ⊂ Θ o parametru θ ∈ Θ a je-li dán kritick´ y obor testu Wn ⊂ Rn a α ∈ (0, 1), ˇrekneme, ˇze hladina testu je asymptoticky rovna α, jestliˇze n→∞

sup Pθ (Xn ∈ Wn ) −−−→ α. θ∈Θ0

V´ ysledky, které jsme z´ıskali v odd´ılu 3.1, m˚ uˇzeme aplikovat na CLV testován´ı hypotéz o stˇredn´ı hodnotˇe µ a rozptylu σ 2 náhodného v´ ybˇeru. Podle principu popsaného v odd´ılu 2.5 m˚ uˇzeme definovat kritické obory jednotliv´ ych test˚ u pomoc´ı doplˇ nk˚ u intervalov´ ych odhad˚ u (3.1), (3.3), (3.8) a (3.13). S takto definovan´ ymi kritick´ ymi obory dospˇejeme jednoduch´ ymi u ´pravami k CLV testov´ ym kritéri´ım, která nyn´ı uvedeme.


3.2.1

21

CLV testy o stˇ redn´ı hodnotˇ e

Pˇredpokládejme, ˇze X1 , . . . , Xn je náhodn´ y v´ ybˇer s koneˇcn´ ym a nenulov´ ym rozptylem 2 σ . Je-li u ´kolem testovat H0 : µ = µ0 oproti H1 : µ 6= µ0 , z CLV intervalov´ ych odhad˚ u (3.1) a (3.3) z´ıskáme následuj´ıc´ı v´ ysledky. Zn´ am´ e σ2 Známe-li parametr σ 2 , vyjdeme z intervalového odhadu (3.1) a hypot´ ame √ ezu H0 zam´ıt´ ¯ ¯ na asymptotick´ e hladinˇ e α, pokud plat´ ı µ ≤ X − u σ n nebo µ ≥ X 0 n 0 n + 1−α/2 √ u1−α/2 σ n. To je ekvivalentn´ı platnosti ¯ n − µ0 | √ |X n ≥ u1−α/2 , σ

(3.14)

coˇz je CLV testové kritérium daného testu. Nezn´ am´ e σ2 Je-li σ 2 neznámé, uˇzijeme intervalového odhadu (3.3) a H0 zam´ıtneme na asymptotické hladinˇe α, pokud je splnˇeno CLV kritérium ¯ n − µ0 | √ |X n ≥ u1−α/2 . Sn

(3.15)

Kromˇe tˇechto pomˇernˇe obecn´ ych závˇer˚ u m˚ uˇzeme z v´ ysledk˚ u uveden´ ych v 3.1 z´ıskat následuj´ıc´ı závˇery o alternativn´ım rozdˇelen´ı a Poissonovˇe rozdˇelen´ı. Alternativn´ı rozdˇ elen´ı Necht’ je dán náhodn´ y v´ ybˇer z alternativn´ıho rozdˇelen´ı s parametrem p. Pˇri testu o stˇredn´ı hodnotˇe p, kter´ y testuje hypotézu H0 : p = p0 oproti H1 : p 6= p0 , zam´ıtáme hypotézu H0 na hladinˇe α, jestliˇze plat´ı ¯ n − p0 | √ |X n ≥ u1−α . ¯ n (1 − X ¯n) X

p

(3.16)

Poissonovo rozdˇ elen´ı Nyn´ı bud’ X1 , . . . , Xn náhodn´ y v´ ybˇer z Poissonova rozdˇelen´ı s parametrem λ. Jak v´ıme, λ je zároveˇ n stˇredn´ı hodnotou i rozptylem tohoto v´ ybˇeru. Pˇri testu H0 : λ = λ0 oproti H1 : λ 6= λ0 hypotézu H0 zam´ıtáme na hladinˇe α, jestliˇze plat´ı ¯ n − λ0 | √ |X p n ≥ u1−α . ¯n X

(3.17)


3.2.2

22

CLV testy o rozptylu

Máme-li dán náhodn´ y v´ ybˇer X1 , . . . , Xn se stˇredn´ı hodnotou µ a s koneˇcn´ ym ˇctvrt´ ym 4 absolutn´ım momentem E|X1 | , m˚ uˇzeme z CLV intervalov´ ych odhad˚ u (3.8) a (3.13) odvodit následuj´ıc´ı v´ ysledky. Zn´ am´ eµ Testujeme-li H0 : σ 2 = σ02 oproti H1 : σ 2 6= σ02 a známe-li µ, pak na základˇe CLV intervalového odhadu (3.8) hypotézu H0 zam´ıtáme na asymptotické hladinˇe α, jestliˇze plat´ı P | n1 nk=1 (Xk − µ)2 − σ02 | √ q P n ≥ u1−α . n 1 4 − S4 (X − µ) k n k=1 n

(3.18)

Nezn´ am´ eµ Testujeme-li opˇet H0 : σ 2 = σ02 oproti H1 : σ 2 6= σ02 a µ neznáme, pak uˇzijeme CLV intervalov´ y odhad (3.13) a hypotézu H0 zam´ıtáme na asymptotické hladinˇe α, jestliˇze plat´ı |Sn2 − σ02 | q P n 1 n

4 ¯ 4 k=1 (Xk − Xn ) − Sn

√

n ≥ u1−α .

(3.19)

4 Uˇ zit´ı CLV intervalov´ ych odhad˚ u a CLV test˚ u V této ˇcásti budeme na konkrétn´ıch v´ ybˇerech ilustrovat uˇzit´ı uveden´ ych CLV intervalov´ ych odhad˚ u. Porovnáme také intervalové odhady z´ıskané za pˇredpokladu normality náhodného v´ ybˇeru s CLV intervalov´ ymi odhady.

4.1

Data z norm´ aln´ıho rozdˇ elen´ı

Pomoc´ı statistického software R jsme nagenerovali tˇri náhodné v´ ybˇery z normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı. Prvn´ı v´ ybˇer o rozsahu 10 oznaˇcme X, druh´ y v´ ybˇer, jehoˇz rozsah je 30, oznaˇcme Y a tˇret´ı v´ ybˇer s rozsahem 80 oznaˇcme Z. V´ ybˇery jsme generovali pomoc´ı pˇr´ıkaz˚ u: X<-rnorm(10,mean=0,sd=1); Y<-rnorm(30,mean=0,sd=1); Z<-rnorm(80,mean=0,sd=1); T´ımto postupem jsme z´ıskali tˇri soubory dat, které pocházej´ı z rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou 0 a rozptylem 1 (data viz Pˇr´ılohy). Spoˇc´ıtali jsme pro nˇe následuj´ıc´ı statistiky: ¯ 10 = −0, 191 X 2 = S10,X

0, 610

Y¯30 = −0, 052 2 S30,Y =

1, 360

Z¯80 = −0, 100 2 S80,Z =

1, 056,

2 2 2 ¯ 10 , Y¯30 , Z¯80 jsou pˇr´ısluˇsné v´ kde X ybˇerové pr˚ umˇery a S10,X , S30,Y , S80,Z jsou odpov´ıdaj´ıc´ı v´ ybˇerové rozptyly. Spoˇctˇeme nyn´ı intervalové odhady za pˇredpokladu normality a CLV intervalové odhady pro parametry náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u X, Y , Z a vzájemnˇe je porovnejme. Obdrˇzené v´ ysledky shrnuje Tabulka 1. Odhady jsou poˇc´ıtány pˇri standardn´ı spolehlivosti 95 % a µ znaˇc´ı stˇredn´ı hodnoty a σ 2 znaˇc´ı rozptyly náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u. ˇ Ctvrt´ y sloupec tabulky obsahuje pˇr´ısluˇsné intervalové odhady (2.2)-(2.5) a v pátém sloupci jsou uvedeny odpov´ıdaj´ıc´ı CLV intervalové odhady (3.1), (3.3), (3.8) a (3.13). Sloupce RL a RP uvádˇej´ı vzájemné porovnán´ı intervalov´ ych odhad˚ u na daném ˇrádku tabulky pomoc´ı absolutn´ı hodnoty rozd´ılu krajn´ıch hodnot jednotliv´ ych intervalov´ ych odhad˚ u. RL je absolutn´ı hodnota rozd´ılu lev´ ych mez´ı interval˚ u a RP je absolutn´ı hodnota rozd´ılu prav´ ych mez´ı interval˚ u.

√ ˇ Í S PARAMETRY 0 A 1/ 2 4.2. DATA Z LAPLACEOVA ROZDELEN V´ ybˇer Param. Znalosti Norm. odhad CLV odhad RL 2 X (n = 10) µ σ =1 (-0,810 ; 0,429) (-0,810 ; 0,429) 0,000 µ σ 2 nezn. (-0,749 ; 0,368) (-0,675 ; 0,294) 0,074 σ2 µ =0 ( 0,286 ; 1,803) ( 0,243 ; 0,928) 0,043 2 σ µ nezn. ( 0,289 ; 0,679) ( 0,333 ; 0,887) 0,044 Y (n = 30) µ σ2 = 1 (-0,306 ; 0,409) (-0,306 ; 0,409) 0,000 2 µ σ nezn. (-0,384 ; 0,487) (-0,366 ; 0,469) 0,018 σ2 µ =0 ( 0,841 ; 2,354) ( 0,622 ; 2,013) 0,219 2 σ µ nezn. ( 0,863 ; 1,415) ( 0,643 ; 2,077) 0,220 Z (n = 80) µ σ2 = 1 (-0,319 ; 0,119) (-0,319 ; 0,119) 0,000 2 µ σ nezn. (-0,329 ; 0,129) (-0,325 ; 0,125) 0,004 2 σ µ =0 ( 0,790 ; 1,474) ( 0,742 ; 1,364) 0,048 σ2 µ nezn. ( 0,791 ; 1,076) ( 0,755 ; 1,358) 0,036 Tabulka 1: Intervalové odhady parametr˚ u v´ ybˇer˚ u X,Y ,Z

24 RP 0,000 0,074 0,875 0,208 0,000 0,018 0,341 0,662 0,000 0,004 0,110 0,282

Z uveden´ ych dat vid´ıme, ˇze s rostouc´ım rozsahem v´ ybˇeru se odpov´ıdaj´ıc´ı intervalové odhady obou parametr˚ u k sobˇe dobˇre pˇribliˇzuj´ı. Klesaj´ıc´ı rozd´ıl krajn´ıch bod˚ u intervalov´ ych odhad˚ u (2.3) a (3.3) nen´ı pˇrekvapuj´ıc´ı, protoˇze oba intervalové odhady stˇredn´ı hodnoty se liˇs´ı pouze v uˇzit´ı kvantil˚ u (u1−α/2 v (2.3) oproti t1−α/2,n−1 v (3.3)), které se k sobˇe pro velká n pˇribliˇzuj´ı, jak plyne z vˇety 1.3. Oproti tomu odliˇsnost konstrukce intervalov´ ych odhad˚ u rozptylu (2.4) a (3.8) resp. (2.5) a (3.13) je mnohem v´ yraznˇejˇs´ı, neˇz je tomu v pˇr´ıpadˇe intervalov´ ych odhad˚ u stˇredn´ı hodnoty. I u nich je vˇsak patrn´ y pokles odchylek odpov´ıdaj´ıc´ıch krajn´ıch hodnot interval˚ u. Dodejme, ˇze pouˇzijeme-li na v´ ybˇery X, Y , Z Shapir˚ uv-Wilk˚ uv test normality, dostaneme pro X p-value rovnou 0,84, pro Y p-value 0,01 a pro Z p-value 0,56. Vid´ıme, ˇze v´ ybˇer Y testem normality na hladinˇe 5 % neprojde (narozd´ıl od zbyl´ ych dvou v´ ybˇer˚ u), a proto se spoˇctené CLV intervalové odhady pˇredevˇs´ım rozptylu, liˇs´ı od odpov´ıdaj´ıc´ıch intervalov´ ych odhad˚ u pˇri normáln´ım rozdˇelen´ı v´ yraznˇeji, neˇz je tomu v pˇr´ıpadˇe v´ ybˇer˚ u X a Z.

4.2

Data elen´ı s parametry 0 a √ z Laplaceova rozdˇ 1/ 2

Nyn´ı budeme pracovat s v´ ybˇery, které nepocház´ı z normáln´ıho rozdˇelen´ı, ale z Laplaceova rozdˇelen´ı o stˇredn´ı hodnotˇe 0 a rozptylu 1. Sestavme stejn´ ym zp˚ usobem jako v pˇredchoz´ım odstavci tabulku intervalov´ ych odhad˚ u pˇri normáln´ım rozdˇelen´ı a CLV intervalov´ ych odhad˚ u pro 3 náhodné v´ ybˇery, které jsme nagenerovali v R pomoc´ı pˇr´ıkaz˚ u: T<-rnormp(10,mu=0,sigmap=1/sqrt(2),p=1); U<-rnormp(30,mu=0,sigmap=1/sqrt(2),p=1); V<-rnormp(80,mu=0,sigmap=1/sqrt(2),p=1);

√ ˇ Í S PARAMETRY 0 A 1/ 2 4.2. DATA Z LAPLACEOVA ROZDELEN

25

V´ ybˇery oznaˇc´ıme postupnˇe T , U , V (data viz Pˇr´ılohy). Jejich v´ ybˇerové pr˚ umˇery a v´ ybˇerové rozptyly jsou následuj´ıc´ı: T¯10 = −0, 367 2 = S10,T

0, 802

U¯30 = 0, 052 2 = 1, 258 S30,U

V¯80 = −0, 148 2 = S80,V

1, 062

Tabulka intervalov´ ych odhad˚ u o (asymptotické) spolehlivosti 5 % vypadá takto: V´ ybˇer T (n = 10)

Param. µ µ σ2 σ2 U (n = 30) µ µ σ2 σ2 V (n = 80) µ µ σ2 σ2 Tabulka 2:

Znalosti Norm. odhad CLV odhad RL σ2 = 1 (-0,987 ; 0,253) (-0,987 ; 0,253) 0,000 σ 2 nezn. (-1,008 ; 0,274) (-0,922 ; 0,188) 0,086 µ =0 ( 0,418 ; 2,637) ( 0,040 ; 1,672) 0,378 µ nezn. ( 0,379 ; 0,892) ( 0,329 ; 1,274) 0,050 σ2 = 1 (-0,306 ; 0,410) (-0,306 ; 0,410) 0,000 2 σ nezn. (-0,367 ; 0,471) (-0,349 ; 0,453) 0,035 µ =0 ( 0,778 ; 2,177) ( 0,383 ; 2,054) 0,395 µ nezn. ( 0,798 ; 1,309) ( 0,410 ; 2,106) 0,388 σ2 = 1 (-0,367 ; 0,071) (-0,367 ; 0,071) 0,000 2 σ nezn. (-0,377 ; 0,082) (-0,374 ; 0,079) 0,003 µ =0 ( 0,803 ; 1,499) ( 0,505 ; 1,636) 0,298 µ nezn. ( 0,796 ; 1,082) ( 0,526 ; 1,598) 0,270 Intervalové odhady parametr˚ u v´ ybˇer˚ u T ,U ,V

RP 0,000 0,086 0,965 0,382 0,000 0,035 0,123 0,797 0,000 0,003 0,137 0,516

Testujeme-li normalitu v´ ybˇer˚ u T , U , V , Shapir˚ uv-Wilk˚ uv test normality vrát´ı pro T p-value rovnou 0,362, pro U p-value 0,044 a pro V p-value 0,0003. Testem normality na hladinˇe 5 % projde pouze v´ ybˇer T , zat´ımco v´ ybˇery U a V normalitu nesplˇ nuj´ı, pˇriˇcemˇz zvláˇstˇe v´ ybˇer V má dosaˇzenou hladinu testu velmi n´ızkou. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe generovan´ ych v´ ybˇer˚ u z normáln´ıho rozdˇelen´ı, i zde se v pˇr´ıpadˇe stˇredn´ı hodnoty s rostouc´ım rozsahem v´ ybˇeru rychle zmenˇsuj´ı rozd´ıly mezi intervalov´ ymi odhady pro normáln´ı rozdˇelen´ı a CLV intervalov´ ymi odhady (coˇz je opˇet dáno sbliˇzován´ım hodnot kvantil˚ u normáln´ıho a t rozdˇelen´ı). V pˇr´ıpadˇe rozptylu je vˇsak odliˇsnost intervalov´ ych odhad˚ u pro normáln´ı rozdˇelen´ı a CLV intervalov´ ych odhad˚ u v´ yraznˇejˇs´ı. Ani v pˇr´ıpadˇe v´ ybˇeru V , jehoˇz rozsah 80 je jiˇz pomˇernˇe velk´ y, nen´ı rozd´ıl v mez´ıch odpov´ıdaj´ıc´ıch si intervalov´ ych odhad˚ u zanedbaˇ asteˇcnˇe lze moˇzná teln´ y, coˇz je patrné zvláˇstˇe pˇri neznalosti stˇredn´ı hodnoty v´ ybˇeru. C´ tuto skuteˇcnost vysvˇetlit slabou normalitou v´ ybˇeru V . Uvˇedom´ıme-li si, ˇze skuteˇcná stˇredn´ı hodnota v´ ybˇer˚ u T , U , V je 0, a budeme-li cht´ıt pro jednotlivé v´ ybˇery tuto nulovost na základˇe uveden´ ych intervalov´ ych odhad˚ u stˇredn´ı hodnoty otestovat, pak podle ˇzádného z nich hypotézu H0 : µ = 0 nezam´ıtáme. Stejnˇe tak testujeme-li pro jednotlivé v´ ybˇery hypotézu H0 : σ 2 = 1, podle vˇsech uveden´ ych intervalov´ ych odhad˚ u rozptylu ji nezam´ıtáme.

ˇ Í S PARAMETRY 0 A 1 4.3. DATA Z LAPLACEOVA ROZDELEN

4.3

26

Data z Laplaceova rozdˇ elen´ı s parametry 0 a 1

Nagenerovali jsme v´ ybˇery z Laplaceova rozdˇelen´ı o stˇredn´ı hodnotˇe 0 a rozptylu 2 pomoc´ı pˇr´ıkaz˚ u: K<-rnormp(10,mu=0,sigmap=1,p=1); L<-rnormp(30,mu=0,sigmap=1,p=1); M<-rnormp(80,mu=0,sigmap=1,p=1); Z´ıskané v´ ybˇery oznaˇc´ıme postupnˇe K, L, M (data viz Pˇr´ılohy). Jejich v´ ybˇerové pr˚ umˇery a v´ ybˇerové rozptyly jsou následuj´ıc´ı: ¯ 10 = 0, 513 ¯ 30 = 0, 271 ¯ 80 = −0, 263 K L M 2 S10,K = 2, 944

2 S30,L = 2, 292

2 S80,m =

1, 688

Tabulka intervalov´ ych odhad˚ u o (asymptotické) spolehlivosti 5 % vypadá takto: V´ ybˇer K (n = 10)

Param. µ µ σ2 σ2 L (n = 30) µ µ σ2 σ2 M (n = 80) µ µ σ2 σ2 Tabulka 3:

Znalosti Norm. odhad CLV odhad RL 2 σ =1 (-0,107 ; 1,133) (-0,107 ; 1,133) 0,000 2 σ nezn. (-0,714 ; 1,741) (-0,550 ; 1,577) 0,164 µ =0 ( 1,422 ; 8,972) ( 0,682 ; 5,144) 0,740 µ nezn. ( 1,391 ; 3,275) ( 1,792 ; 4,096) 0,399 σ2 = 1 (-0,087 ; 0,629) (-0,087 ; 0,629) 0,000 σ 2 nezn. (-0,294 ; 0,836) (-0,271 ; 0,813) 0,023 µ =0 ( 1,462 ; 4,089) ( 0,120 ; 4,458) 1,342 µ nezn. ( 1,454 ; 2,385) ( 0,313 ; 4,271) 1,141 σ2 = 1 (-0,482 ; 0,044) (-0,482 ; 0,044) 0,000 2 σ nezn. (-0,552 ; 0,026) (-0,547 ; 0,022) 0,004 µ =0 ( 1,302 ; 2,430) ( 1,034 ; 2,437) 0,268 µ nezn. ( 1,264 ; 1,719) ( 1,076 ; 2,299) 0,188 Intervalové odhady parametr˚ u v´ ybˇer˚ u K,L,M

RP 0,000 0,164 3,828 0,821 0,000 0,023 0,369 1,866 0,000 0,004 0,007 0,580

Zamˇeˇrme se nyn´ı na náhodn´ y v´ ybˇer M . Dosaˇzená hladina Shapirova-Wilkova testu normality je 0,0099 a testem normality rozdˇelen´ı na hladinˇe 5 % neprojde. Testujme nyn´ı pro M hypotézu H0 : σ 2 = 2 za pˇredpokladu neznalosti parametru µ. Protoˇze v´ ybˇer M pocház´ı z Laplaceova rozdˇelen´ı s rozptylem 2, v´ıme, ˇze hypotéza H0 je správná. Avˇsak v pˇr´ıpadˇe intervalového odhadu rozptylu pro normáln´ı rozdˇelen´ı ve tvaru (2.5) hypotézu H0 zam´ıtáme. Naopak na základˇe CLV intervalového odhadu (3.13) stejnou hypotézu nezam´ıtáme. To nás varuje pˇred pouˇz´ıván´ım intervalov´ ych odhad˚ u pro parametry normáln´ıho rozdˇelen´ı na v´ ybˇery, které nesplˇ nuj´ı pˇredpoklad normality.

4.4

Re´ aln´ a data

Nyn´ı ilustrujme uˇzit´ı CLV intervalov´ ych odhad˚ u a CLV test˚ u na reáln´ ych datech. Byly namˇeˇreny následuj´ıc´ı hodnoty, které popisuj´ı porodn´ı délku novorozenc˚ u ve sledovaném obdob´ı.

´ A ´ DATA 4.4. REALN 50 50 52 51

52 50 53 51

53 51 52 52

53 52 50 52

52 51 48 50

51 50 51 50

27

50 51 52 50 52 51 49 51 51 50 48 51 51 52 53 49 49 50 50 49 53 51 50 49 50 52 50 49 54 51 49 48 51 50 50 49 52 52 52 52 49 49 49 52 47 49 51 49 50 51 51 50 52 52 50 53 52 53 50 48 53 50 50 51 49 51 51 47 52 53 50 46 52 48 49 Tabulka 4: Porodn´ı délka novorozenc˚ u (v cm)

Uvedená data reprezentujeme jako náhodn´ y vektor W , u kterého neznáme ani stˇredn´ı hodnotu, ani rozptyl. Nejprve testujme hypotézu, ˇze pr˚ umˇerná délka novorozenc˚ u je 50 cm, oproti oboustranné hypotéze. Je tedy H0 : EW = 50, H1 : EW 6= 50. Poté testujme hypotézu H0 : var W = 2 oproti H1 : var W 6= 2. Hladinu obou test˚ u zvolme 5 %. Pokud aplikujeme na v´ ybˇer W Shapir˚ uv-Wilk˚ uv test normality, dosaˇzená hladina testu je 0,002. Na hladinˇe 5 % proto zam´ıtáme normalitu v´ ybˇeru W a nem˚ uˇzeme pro porodn´ı délku novorozenc˚ u pouˇz´ıt odhady (2.3) a (2.5). Mus´ıme se spolehnout na odhady (3.3) a (3.13). Vzhledem k rozsahu v´ ybˇeru W (n = 99) a skuteˇcnosti, ˇze lze 4 pˇredpokládat koneˇcnost EW , m˚ uˇzeme uˇz´ıt CLV intervalového odhady pro testy obou nulov´ ych hypotéz. Spoˇctené CLV intervalové odhady jsou uvedeny v následuj´ıc´ı tabulce. Parametr µ σ2 Tabulka 5: CLV

Znalosti CLV intervalov´ y odhad 2 σ nezn. (50,290 ; 50,902) µ nezn. (1,764 ; 3,049) intervalové odhady parametr˚ u v´ ybˇeru W

Hodnota 50 neleˇz´ı v intervalu (50,290; 50,902), proto hypotézu H0 : EW = 50 na asymptotické hladinˇe 5 % zam´ıtáme. Naopak protoˇze plat´ı 2 ∈ (1, 764; 3, 049), hypotézu H0 : varW = 2 na asymptotické hladinˇe 5 % nezam´ıtáme.

Z´ avˇ er Vyuˇzit´ı asymptotick´ ych test˚ u zaloˇzen´ ych na CLV je ve statistice velmi rozsáhlé a problematika je stále ˇzivá. Tato práce se vˇenovala pˇredevˇs´ım CLV intervalov´ ym odhad˚ um stˇredn´ı hodnoty a rozptylu a CLV testován´ı hypotéz o tˇechto veliˇcinách. Z´ıskali jsme nástroje, které m˚ uˇzeme uˇz´ıt pro ˇsirokou ˇskálu náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u pocházej´ıc´ıch z r˚ uzn´ ych rozdˇelen´ı. Uˇzit´ı CLV intervalov´ ych odhad˚ u je v podstatˇe omezeno pouze rozsahem naˇsich náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u (samozˇrejmˇe za pˇredpokladu koneˇcnosti pˇr´ısluˇsn´ ych moment˚ u). Asymptotické testy hypotéz o stˇredn´ı hodnotˇe jsou v literatuˇre ˇreˇseny pomˇernˇe ˇcasto, avˇsak mnohem ménˇe hojnˇe jsou v literatuˇre uvedeny v´ ysledky t´ ykaj´ıc´ı se CLV test˚ u rozptylu náhodného v´ ybˇeru. Pˇredloˇzená práce pomáhá tuto mezeru ˇcásteˇcnˇe zaplnit.

Pˇ r´ılohy Data k sekci 4.1 Pˇr´ıkaz: X<-rnorm(10,0,1); Data v´ ybˇeru X: 0,6772675; -0,1500226; -0,6318324; -0,5315834; -1,111143; 0,3496565;

-0,5108342; 0,3424792;

1,034077;

-1,373475;

Pˇr´ıkaz: Y<-rnorm(30,0,1); Data v´ ybˇeru Y : -0,0422204; -2,816289; 2,351662; -0,0593411; 1,065834 0,0827437; 0,1173825; -0,071946; 0,7863872; 0,1134969; 0,6402017; 0,0654511; -2,297145; 1,078493; 0,8058515; 0,3632986; 1,276802; 1,14395; -2,039793; 0,7241108 -0,2695339; -0,0104448; -1,286931; 0,498902; 1,104748; -2,011512; 0,6638219; -0,9841063; -0,0382727; 0,5908407; Pˇr´ıkaz: Z<-rnorm(80,0,1); Data v´ ybˇeru Z: 0,2274909; 0,6886953; -2,318912; -0,8232506; 0,7621366; -1,997424; 0,5684341; 1,186631; -2,332936 0,2402859; 0,2809435 0,5075744; 0,2212953; -1,04662; 0,3268839; 1,696478; -0,4767; 0,0969903; -0,8322568; -1,722207; -0,733607; 0,54954; -1,423439; 1,194445 -1,444182; -0,545271; 1,302936; -0,364043; -0,509919; 0,4675782; -1,173061; -1,740122; 0,4901296; 1,96563; -1,476945; 0,5982397; -0,4791608; 0,348879; -0,4970615 0,6643338; 0,040096;

0,6447167; -0,7201942; -0,2092552; 1,103182; -0,3848365; 0,6612358; 0,4238404; 1,390103; 2,222901; 0,0663946; 0,0036153; -0,1838034; 0,1909111;

-0,1180256; -2,207608; -0,2906491; 0,36979; -0,3986125; -0,0414723 -1,088002; -0,1990618; -1,93181; -0,9361978; -1,185667 -0,1425038; 1,966011;

0,9226968; 0,0687449; 1,362335; -0,802466; 0,3157266 0,1095766; 1,595272; -0,620827; -0,622174; -1,773387; -0,381621; 0,1091556; 0,2185288;

Data k sekci 4.2 Pˇr´ıkaz: T<-rnormp(10,mu=0,sigmap=1/sqrt(2),p=1); Data v´ ybˇeru T : 0,8625695; 0,2440958; -0,0941655; -0,2724753; -0,2809389; -1,7264034; -0,0817396; -0,8385712; 0,4421498;

-1,9265272;

Pˇr´ıkaz: U<-rnormp(30,mu=0,sigmap=1/sqrt(2),p=1); Data v´ ybˇeru U : 0,0992597; -0,4707544; 1,1246037; -0,5034563; 1,938774; -3,514119 -0,4489532; 1,9152585; -0,3642512; -0,0345644; 0,3901734; 0,5467108 -0,7172301; 0,3997976; -0,7929113; 1,5662748; -1,4479735; 0,1750013 0,2651935; 1,8407888; 0,7216074; -0,2740358; -0,3558281; 0,1744732 -0,775239; 0,2969779; -1,1836571; -0,2410211; -0,1783686; 1,4038337 Pˇr´ıkaz: V<-rnormp(80,mu=0,sigmap=1/sqrt(2),p=1); Data v´ ybˇeru V : -0,8534196; -0,0501713; -0,3328916; 1,3404887; -1,0619133; 0,4047573 0,440094; 0,0723957; 1,2109716; -0,3447313; -0,260059; -4,2647766 -0,3487439; -1,0202951; -0,826683; 0,1697885; 0,1662418; -0,7666918 -0,130073; 0,8130462; 1,1343764; -0,6112253; 0,458085; -0,3384861 -0,1128435; -0,2159987; 0,1485386; -0,4084364; 2,2736227; -0,3518093 0,4018781; 1,3054757; -0,2150044; 0,4671909; 0,5797628; -0,784891 -1,0080019; -1,7513288; 0,0305027; 0,4255604; 0,3577869; -0,2038555 -0,4573332; 2,6539124; 0,4731536; 0,7726096; -1,9582831; 0,8249812 0,1009882; 1,5037024; -0,4551862; -0,459273; -0,064241; 0,4412939 -0,6671226; -1,3562594; 0,7491618; -1,2053627; -0,8013582; -0,1073079 -0,2158937; -1,2640345; 0,2084772; -0,3609246; 0,3852504; -0,1113866; -3,4065179; -0,3651708; -0,4632871; -0,1711982; -0,4303966; 0,8890708; -2,1685798; 0,5842328; -0,1932715; -1,2672448; 0,5953047; 0,7095606; 0,0449217; -0,7528558;

Data k sekci 4.3 Pˇr´ıkaz: K<-rnormp(10,mu=0,sigmap=1,p=1); Data v´ ybˇeru K: -0,6340333; -1,1634331; -0,7509482; 3,2541529; 3,0120811; 1,3171373; -0,382179; 1,9589284; -1,1502962;

-0,3286225;

Pˇr´ıkaz: L<-rnormp(30,mu=0,sigmap=1,p=1); Data v´ ybˇeru L: 1,9881672; -4,2004929; -0,6226944; -0,1402815; 0,8244623; -0,992741 0,2477631; -1,6557546; 0,7255584; -0,3882922; 0,2117307; -0,3261224 0,7879505; -1,4524719; 2,689944; -0,8173642; -2,6741911; 0,5906371 0,046505; -0,3481485; -1,1064559; 0,8282267; -0,5044199; 0,2435418 7,1084903; 0,4155041; 1,1185465; 0,1357358; 1,0408964; -6,9875958 Pˇr´ıkaz: M<-rnormp(80,mu=0,sigmap=1,p=1); Data v´ ybˇeru M : -1,8716025; 1,1998874; 0,3172305; -3,4291951; 1,2330859; -0,4192109; -0,2923513; 0,4590955; 0,271991; -1,2102347; -2,219047; 0,0510831; -2,8622178; 0,1873772; -1,2614273; 0,068451; 0,144782; -1,3600026; 1,1265153; 0,5477727; -0,1010653; -0,5275317; 0,2980163; 0,9244962; -1,871898; 0,0921959; 1,052518; 0,2351729; 1,8710732; 1,7763493; 0,0561519; -0,1618023; -1,481541; 0,6738211; 0,5529218; -0,9552595; -0,2972253; -0,5052415; -1,0228801; 0,3802638; 1,3548522; -2,3448673; 0,6116297; -0,5352399; 0,0866905; -1,6143833; 0,1496561; 1,3986638; 0,6280385; 0,670738; -0,0017894; -1,2759388; 1,395953; 0,6030904; -2,2899057; -0,986708; 0,2446604; 0,3992568; -2,0908675; -0,9145437; -0,5466947; 0,144749; -1,4047746; 1,8665759; 2,3209917; -0,7252739; -0,0743012;

-2,4810156; 0,5579932; -2,6442384; 1,1573483; 0,4770112; -0,4692119; -0,9029138; 0,2822609; 0,1604044; -4,7417348; 0,2365599; -1,6877134; 0,2726318;

Literatura [1] Andˇel J. Základy matematické statistiky. matfyzpress, Praha, 2005. [2] Dupaˇc V., Huˇsková M. Pravdˇepodobnost matematick´ a statistika. Karolinum, Praha, 2003. [3] Lachout P. Teorie pravdˇepodobnosti. Karolinum, Praha, 2004. [4] Lehmann E. L., Castella G. Theory of Point Estimation, Second Edition. Springer, New York, 1998. [5] Rényi A. Teorie pravdˇepodobnosti. Academia, Praha, 1972.

Asymptotické testy. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Recommend Documents