Stochastické hry. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

Kl´ara Holkov´a Stochastick´ e hry Katedra pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky

Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Studijn´ı program: Studijn´ı obor:

Mgr. Petr Dost´al, Ph.D. Matematika Obecn´a matematika

Praha 2013

Na tomto m´ıstˇe bych r´ada podˇekovala sv´emu vedouc´ımu pr´ace panu Mgr. Petru Dost´alovi, Ph.D. za cenn´e rady a n´apady pˇri veden´ı m´e pr´ace. Z´aroveˇ n bych chtˇela podˇekovat sv´e rodinˇe za podporu a trpˇelivost bˇehem cel´eho m´eho studia. V neposledn´ı ˇradˇe patˇr´ı podˇekov´an´ı m´emu pˇr´ıteli za neust´al´ y optimismus, kter´ ym mne pˇri pr´aci povzbuzoval.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem tuto bakal´aˇrskou pr´aci vypracovala samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u, literatury a dalˇs´ıch odborn´ ych zdroj˚ u. Beru na vˇedom´ı, ˇze se na moji pr´aci vztahuj´ı pr´ava a povinnosti vypl´ yvaj´ıc´ı ze z´akona ˇc. 121/2000 Sb., autorsk´eho z´akona v platn´em znˇen´ı, zejm´ena skuteˇcnost, ˇze Univerzita Karlova v Praze m´a pr´avo na uzavˇren´ı licenˇcn´ı smlouvy o uˇzit´ı t´eto pr´ace jako ˇskoln´ıho d´ıla podle §60 odst. 1 autorsk´eho z´akona.

V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dne . . . . . . . . . . . . .

Kl´ara Holkov´a

N´azev pr´ace: Stochastick´e hry Autor: Kl´ara Holkov´a Katedra: Katedra pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Mgr. Petr Dost´al, Ph.D., Katedra pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky Abstrakt: V textu pˇredloˇzen´e pr´ace se zab´ yv´ame klasifikac´ı stochastick´ ych her, kter´e u ´zce souvis´ı i s investov´an´ım do r˚ uzn´ ych finanˇcn´ıch instrument˚ u. Za pomoci uˇzitkov´ ych funkc´ı hled´ame optim´aln´ı a relativnˇe bezpeˇcnou s´azku na matematicky v´ yhodnou hru. U spravedliv´ ych a hazardn´ıch her uk´aˇzeme, proˇc se z dlouhodob´eho hlediska nevypl´ac´ı u ´ˇcastnit se jich a jak s t´ım souvis´ı mor´aln´ı hazard. Pr´ace je ps´ana tak, aby byla pˇr´ıstupn´a co nejˇsirˇs´ımu publiku, proto v pr´aci nalezneme ˇcetn´e pˇr´ıklady a interpretace usnadˇ nuj´ıc´ı pochopen´ı matematick´e teorie. Nˇekter´e mohou uˇcitel´e pˇr´ımo vyuˇz´ıt pˇri v´ yuce finanˇcn´ı gramotnosti na z´akladn´ıch a stˇredn´ıch ˇskol´ach. Kl´ıˇcov´a slova: Optim´aln´ı a relativnˇe bezpeˇcn´a s´azka, CARA a HARA uˇzitkov´e funkce, mor´aln´ı hazard, finanˇcn´ı gramotnost

Title: Stochastic games Author: Kl´ara Holkov´a Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Petr Dost´al, Ph.D., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: In the text of this thesis we deal with the classification of stochastic games, which is closely related to investing in various financial instruments. With the help of utility functions, we are looking for the optimal and relatively safe bet on a mathematically convenient game. It will be demonstrated, why it does not pay off to take part in fair games and games of chance in the long run, as well as how such games relate to moral hazard. The thesis is written in a way that should make it accessible to the wide public, therefore there are numerous examples and interpretations in order to facilitate the understanding of the mathematical theory. Some parts can also be used by teachers as a direct source for teaching financial literacy in primary and secondary schools. Keywords: Optimal and relatively safe bet, CARA a HARA utility functions, moral hazard, financial literacy

Obsah Seznam pouˇ zit´ ych zkratek

2

´ Uvod

4

1 Optim´ aln´ı s´ azen´ı na losy 1.1 Aditivn´ı hra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Multiplikativn´ı hra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 9

2 Uˇ zitkov´ a funkce a jistotn´ı ekvivalent 2.1 Jistotn´ı ekvivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tˇr´ıda uˇzitkov´ ych funkc´ı CARA a HARA . . . . . . . . . . . . . .

14 14 16

3 S´ azen´ı na stochastick´ e hry 3.1 Dˇelen´ı stochastick´ ych her . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Neperspektivn´ı proces a mor´aln´ı hazard . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Matematicky v´ yhodn´a hra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20 21 25

4 Investov´ an´ı do akcie a odvozen´ eho deriv´ atu 4.1 Jedno obdob´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Dvˇe a v´ıce obdob´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 37

5 Pˇ r´ıklady nejen pro z´ akladn´ı a stˇ redn´ı ˇ skolu 5.1 Rozd´ıly v investov´an´ı do akci´ı a do futures . 5.2 Rizikov´ y dluhopis . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Pojiˇstˇen´ı zmˇeny kurzu . . . . . . . . . . . . 5.4 Ruinov´an´ı hr´aˇce . . . . . . . . . . . . . . . .

43 43 47 48 50

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Z´ avˇ er

52

Literatura

53

A Siln´ y z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel

54

1

Seznam pouˇ zit´ ych zkratek

N R x T x ei I[A] arg max f (x)

mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel mnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel sloupcov´ y vektor transponovan´ y vektor, ˇra´dkov´ y i-t´ y kanonick´ y vektor identifik´ator mnoˇziny A mnoˇzina vˇsech hodnot x z X, pro kter´e je funkce f (x) maxim´aln´ı

x∈X

sgn(x) rng(f ) C 2 ((a,b))

funkce signum obor hodnot funkce f mnoˇzina funkc´ı dvakr´at spojitˇe diferencovateln´ ych na otevˇren´em intervalu (a,b) xրa x jdouc´ı zdola k a xցa x jdouc´ı shora k a B(X) borelovsk´a σ-algebra metrick´eho prostoru X σ(X1 , . . . ,Xn ) σ-algebra generovan´a n´ahodn´ ymi veliˇcinami X1 , . . . ,Xn L = L(Ω,A) prostor re´aln´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin L(X) = L(σ(X)) prostor re´aln´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin, kter´e jsou mˇeˇritelnou funkc´ı n´ahodn´e veliˇciny X L1 prostor re´aln´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin s koneˇcn´ ym prvn´ım momentem EX stˇredn´ı hodnota n´ahodn´e veliˇciny X E[X|F] stˇredn´ı hodnota n´ahodn´e veliˇciny X za podm´ınky F E[X; M ] stˇredn´ı hodnota n´ahodn´e veliˇciny X na mnoˇzinˇe M , definujeme ji E[X; M ] := E[X · I[M ]] cov(X,Y ) kovariance n´ahodn´ ych veliˇcin X a Y var X rozptyl n´ahodn´e veliˇciny X CEu (Z) jistotn´ı ekvivalent n´ahodn´e veliˇciny Z vzhledem k uˇzitkov´e funkci u R{a1 , . . . ,ak } rovnomˇern´e rozdˇelen´ı na hodnot´ach a1 , . . . ,ak Alt{p} alternativn´ı rozdˇelen´ı s parametrem p Geo{p} geometrick´e rozdˇelen´ı s parametrem p

2

CARA eγ HARA uγ

tˇr´ıda uˇzitkov´ ych funkc´ı s konstantn´ı averz´ı v˚ uˇci riziku uˇzitkov´a funkce tˇr´ıdy CARA s parametrem γ tˇr´ıda uˇzitkov´ ych funkc´ı s konstantn´ı relativn´ı averz´ı v˚ uˇci riziku uˇzitkov´a funkce tˇr´ıdy HARA s parametrem γ

3

´ Uvod Pr´ace zkoum´a pomoc´ı teorie pravdˇepodobnosti a uˇzitku stochastick´e hry. Jedn´a se o hry, jejichˇz v´ ysledek je ovlivnˇen n´ahodou. Lze za nˇe povaˇzovat napˇr´ıklad i investov´an´ı na burze cenn´ ych pap´ır˚ u. Proto uv´ad´ıme p´ar jednoduch´ ych ˇ pˇr´ıklad˚ u z t´eto oblasti, viz. kapitola 4. Reˇs´ıme, kdy je pro n´as hra matematicky v´ yhodn´a a kdy naopak neperspektivn´ı a jak se v tˇechto pˇr´ıpadech zachovat. Prvn´ı kapitola slouˇz´ı jako motivaˇcn´ı a pojedn´av´a o hled´an´ı optim´aln´ı strategie pˇri s´azen´ı na losy, jejichˇz nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıkladem je hod minc´ı ˇci kostkou. Probl´em ˇreˇs´ıme z pohledu aditivn´ıho modelu, kdy s´azka v kaˇzd´em kole je omezena pevnˇe danou hranic´ı, a multiplikativn´ıho modelu, kdy s´azka omezena nen´ı a hr´aˇc m˚ uˇze vˇzdy reinvestovat vˇsechen sv˚ uj kapit´al. V obou pˇr´ıpadech nejdˇr´ıve zvol´ıme s´azku deterministicky pro vˇsechna kola stejnou. Za pomoci siln´eho z´akona velk´ ych ˇc´ısel urˇc´ıme tu s´azku, kter´a n´am v dlouhodob´em horizontu zajist´ı nejvˇetˇs´ı kapit´al. N´aslednˇe uk´aˇzeme, ˇze ˇza´dnou jinou volbou s´azky nelze dos´ahnout lepˇs´ıho v´ ysledku. Ve druh´e kapitole se seznamujeme se z´aklady teorie uˇzitku jako je uˇzitkov´a funkce a jistotn´ı ekvivalent. Kromˇe element´arn´ıch poznatk˚ u jsou zde uvedeny dvˇe v´ yznamn´e tˇr´ıdy uˇzitkov´ ych funkc´ı. Prvn´ı jsou funkce s konstantn´ı averz´ı v˚ uˇci riziku (CARA). Druhou tvoˇr´ı funkce s konstantn´ı relativn´ı averz´ı v˚ uˇci riziku (HARA), se kter´ ymi v dalˇs´ıch kapitol´ach pracujeme. Tˇr´ıdˇen´ım her podle oˇcek´avan´eho ˇcist´eho zisku se zab´ yv´a tˇret´ı kapitola. Zav´ad´ıme pojem neperspektivn´ı hry, u kter´e dok´aˇzeme, ˇze na n´ı nelze v dlouhodob´em horizontu vydˇel´avat. Nˇekolika pˇr´ıklady ilustrujeme nˇekter´e moˇzn´e motivace hr´aˇc˚ u, proˇc se hry z´ uˇcastnit. V souvislosti s t´ımto chov´an´ım zmiˇ nujeme psychologick´ y jev mor´aln´ıho hazardu. U matematicky v´ yhodn´e hry dokazujeme, ˇze pro kaˇzdou uˇzitkovou funkci HARA existuje pr´avˇe jedna γ-optim´aln´ı velikost s´azky a ˇze toto pˇriˇrazen´ı je prost´e. Ve ˇctvrt´e kapitole se zab´ yv´ame probl´emem investov´an´ı do akcie a od n´ı odvozen´eho deriv´atu. Struˇcnˇe vysvˇetlujeme, co je arbitr´aˇzn´ı pˇr´ıleˇzitost. Pot´e hled´ame, jak bezarbitr´aˇznˇe ocenit deriv´at a jak´a je pak γ-optim´aln´ı investice pro jedno obdob´ı. Takto z´ıskan´e poznatky vyuˇzijeme pro tut´eˇz u ´lohu, ale uˇz pro dvˇe obdob´ı. Dok´aˇzeme na n´ı, ˇze pro bezarbitr´aˇzn´ı cenu deriv´atu a log-optim´aln´ı investici lze pˇri hled´an´ı ˇreˇsen´ı postupovat zpˇetnˇe vˇzdy po jednom obdob´ı od konce. U ostatn´ıch uˇzitkov´ ych funkc´ı HARA uk´aˇzeme, ˇze pro vyuˇzit´ı tohoto postupu potˇrebujeme dodateˇcn´e pˇredpoklady, kter´e nemus´ı b´ yt vˇzdy splnˇeny. Posledn´ı kapitola obsahuje ˇctyˇri kratˇs´ı u ´lohy, kter´e do jist´e m´ıry vyuˇz´ıvaj´ı poznatky cel´e pr´ace, a daj´ı se prezentovat na z´akladn´ıch a stˇredn´ıch ˇskol´ach. Napˇr´ıklad druh´a u ´loha ukazuje, ˇze i koupˇe dluhopisu ˇci poskytnut´ı p˚ ujˇcky je stochastick´a hra, u kter´e si mus´ıme hl´ıdat, kdy je pro n´as v´ yhodn´a. Za pomoci tˇret´ı u ´lohy ilustrujeme poznatky o matematicky v´ yhodn´e hˇre ze tˇret´ı kapitoly, 4

kter´e d´ıky tomu z´ısk´avaj´ı pro ˇcten´aˇre konkr´etnˇejˇs´ı obrysy. ˇ anky Algoet a Cover (1988), Bell a Cover (1988) a Janeˇcek (1999) byly Cl´ ´ stˇeˇzejn´ı pro ˇca´st kapitoly 1 a kapitoly 2 a 3. Uloha o ruinov´an´ı hr´aˇce v podkapitole 5.4 ˇcerp´a z knihy Andˇel (2000). Ostatn´ı literatura byla ve vˇetˇs´ı ˇci menˇs´ı m´ıˇre doplˇ nkov´a.

5

Kapitola 1 Optim´ aln´ı s´ azen´ı na losy Definice 1.1. Mˇejme (Ω,A, P) pravdˇepodobnostn´ı prostor. Nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇciny Lk ∈ L(Ω,A), k ∈ N s moˇzn´ ymi v´ ysledky s ∈ {1, . . . ,d}, pro kter´e plat´ı, ˇze P(Lk = s) = ps , k ∈ N, kde

d P

ps = 1, budeme naz´ yvat losy prob´ıhaj´ıc´ı v ˇcasov´em intervalu (k − 1,k).

s=1

Pozn´ amka 1.1. Budeme pˇredpokl´adat, ˇze vˇsechny hodnoty j ∈ {1, . . . ,d} jsou pravdˇepodobn´e, tedy ˇze pro kaˇzdou hodnotu s plat´ı ps = P(L1 = s) > 0. Pokud tomu tak nen´ı, hodnotu s ≤ d ze seznamu pravdˇepodobn´ ych hodnot vyˇrad´ıme s t´ım, ˇze v´ ysledek s pro n´as nehraje ˇza´dnou roli (pen´ıze na nˇej vsazen´e by byly skoro jistˇe ztracen´e). Pˇ r´ıklad 1.1. Pro d = 6 a pro pj = 1/6, j = 1, . . . ,6 m˚ uˇze b´ yt losem napˇr´ıklad hod klasickou ˇsestistˇennou kostkou. Pokud by byly ps r˚ uzn´e, odpov´ıdal by los hodu nevyv´aˇzenou (faleˇsnou) kostkou. Pro d = 2 a p1 = p2 = 1/2 m˚ uˇze b´ yt losem napˇr´ıklad hod minc´ı. Pokud by p1 a p2 byly r˚ uzn´e, odpov´ıdal by los hodu nevyv´aˇzenou minc´ı. Pozn´ amka 1.2. Posloupnost σ-algeber Fk , k = 0,1, . . . definovan´a F0 = {∅,Ω} a Fk = σ(L1 , . . . , Lk ), k ∈ N, je filtrac´ı na mnoˇzinˇe v´ ysledk˚ u los˚ u (Ω,A), protoˇze plat´ı Fk−1 ⊆ Fk . Filtrace Fk reprezentuje informaci o v´ ysledc´ıch los˚ u L1 , . . . ,Lk v ˇcase k. Mˇejme hru, kde m´a hr´aˇc v kaˇzd´em ˇcase k ∈ N moˇznost si vsadit na v´ ysledek ne-nutnˇe spravedliv´eho losu Lk . Jeho v´ yhrou je d-n´asobek ˇca´stky vsazen´e na spr´avn´ y v´ ysledek, kter´ ym je pr´avˇe jedna z hodnot 1, . . . ,d. Pak v´ynosem z jednotkov´e s´ azky na s-t´y v´ysledek losu Lk rozum´ıme n´ahodnou veliˇcinu (s)

Xk := d · I[Lk = s].

1.1

(1.1)

Aditivn´ı hra

Kdyˇz v kaˇzd´em ˇcasov´em intervalu (k−1,k), k ∈ N dost´av´ame ˇca´stku c a souˇcet s´azek na jednotliv´e v´ ysledky losu Lk m˚ uˇze b´ yt maxim´alnˇe roven hodnotˇe c, tak o s´azen´ı na losy Lk ˇrekneme, ˇze je aditivn´ı hrou. 6

(s)

N´ahodn´e veliˇciny Hk splˇ nuj´ıc´ı (s)

(s)

Hk ∈ L(L1 , . . . , Lk−1 ), Hk ≥ 0, s ∈ {1, . . . ,d}, k ∈ N budou reprezentovat velikost s´azky na s-tou hodnotu losu Lk v ˇcase k − 1. Rozloˇzen´ım s´ azek v ˇcase k − 1 pak budeme rozumˇet vektor Hk , jehoˇz s-t´a sloˇzka (s) je rovna Hk . Pokud v´ ynosy aditivn´ı hry z jednotkov´e s´azky jsou n´ahodn´e veliˇciny (1.1), pak v pˇr´ıpadˇe uhodnut´ı v´ ysledku losu inkasujeme d-n´asobek vsazen´e ˇca´stky a nevsazen´ı maxim´aln´ı moˇzn´e v´ yˇse s´azky c je plnˇe ekvivalentn´ı rovnomˇern´emu rozprostˇren´ı nevsazen´e ˇca´stky na vˇsechny moˇzn´e v´ ysledky 1, . . . ,d. Proto m˚ uˇzeme bez u ´jmy na obecnosti pˇredpokl´adat, ˇze d X

(s)

Hk = c.

(1.2)

s=1

Pro jednoduchost uvaˇzujeme pro naˇsi s´azku v ˇcase k − 1 s rozloˇzen´ım Hk deterministickou volbu Hk = H1 =: h, k ∈ N, kde h ∈ Rd a splˇ nuje (1.2). Vyhran´e pen´ıze nelze volnˇe reinvestovat do hry, takˇze n´aˇs kumulativn´ı v´ ynos v ˇcase n je tvaru d n n X X X T (s) (s) h Xk = h Xk . Vn = k=1 s=1

k=1

Protoˇze koneˇcn´e diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny Lk jsou nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e, pak tak´e d X T T (s) H k Xk = h Xk = h(s) Xk s=1

jsou nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e koneˇcn´e diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny, tud´ıˇz maj´ı koneˇcn´e druh´e momenty a podle vˇety A.1 pro nˇe plat´ı siln´ y z´akon velk´ ych ˇc´ısel n

1 1X T s.j. T h Xk → E[h X1 ], n → ∞. Vn = n n k=1

Hodnota T

E[h X1 ] =

d d h i X X T (s) E h(s) X1 = d h(s) ps = dh p s=1

s=1

˜ takov´e, ˇze je maxim´aln´ı pro h

˜ (s) = c · I[s = i], kde i ∈ arg max ps , h

(1.3)

s=1,...,d

˜ = c · ei , kde ei je i-t´ tedy h y kanonick´ y vektor. ˜ odpov´ıd´a strategii vsadit vˇse na jeden nejperspektivnˇejˇs´ı v´ Vektor h ysledek. Ukazuje se, ˇze tato strategie je optim´aln´ı strategi´ı pro aditivn´ı hru. ˜ k ∈ N, ˜k = h, Vˇ eta 1.1. Ve v´yˇse uveden´e aditivn´ı hˇre uvaˇzujme strategii s´ azen´ı H ˜ poch´ kde h az´ı z (1.3). Necht’ Hk je jin´e rozloˇzen´ı s´ azek v ˇcase k−1, k ∈ N splˇ nuj´ıc´ı (1.2). Pak pro kumulativn´ı v´ynosy n X T Vn = H k Xk

a V˜n =

k=1

n X k=1

7

˜ T Xk h

plat´ı

1 1 ˜ T X1 = d h ˜ T p. lim sup Vn ≤ lim V˜n = E h n→∞ n n n→∞

D˚ ukaz. Nejdˇr´ıve zavedeme pomocn´e n´ahodn´e veliˇciny ˜ T Xn − E[(Hn − h) ˜ T Xn | Fn−1 ], Yn := (Hn − h) ˜ T Xn ≤ cd, tak jsou kde Fn je filtrace z pozn´amky 1.2. Protoˇze plat´ı (Hn − h) n´ahodn´e veliˇciny Yn omezen´e a dobˇre definovan´e. Pak s.j.

E[Yn |Fn−1 ] = 0, n ∈ N

(1.4)

a E Yn = 0, tud´ıˇz jsou n´ahodn´e veliˇciny Yn centrovan´e. Za pomoci rovnosti (1.4) pro cov(Ym ,Yn ), m > n dost´av´ame cov(Ym ,Yn ) = E Yn Ym = E[E[Yn Ym |Fm−1 ]] = E[Yn E[Ym |Fm−1 ]] = 0, a tedy n´ahodn´e veliˇciny Yn jsou nekorelovan´e. Jelikoˇz Yn jsou omezen´e centrovan´e nekorelovan´e n´ahodn´e veliˇciny, tak pro nˇe plat´ı podle pozn´amky A.1 siln´ y z´akon velk´ ych ˇc´ısel n

1 X s.j. Yk → 0, n → ∞. n k=1

(1.5)

˜ T Xn jsou nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e koneˇcn´e diskr´etn´ı Podobnˇe n´ahodn´e veliˇciny h n´ahodn´e veliˇciny, tud´ıˇz maj´ı koneˇcn´e druh´e momenty, a podle vˇety A.1 pro nˇe plat´ı siln´ y z´akon velk´ ych ˇc´ısel n

1 X˜ T 1˜ s.j. ˜ T X1 ] = d h ˜ T p, n → ∞. h Xk → E[h Vn = n n k=1

(1.6)

˜ z´ısk´av´ame Z vˇety o vyt´ yk´an´ı z podm´ınˇen´e stˇredn´ı hodnoty a definice h ˜ T Xn |Fn−1 ] = (Hn − h) ˜ T E[Xn |Fn−1 ] = (Hn − h) ˜ T E[Xn ] E[(Hn − h) ˜ Tp = d = d(Hn − h) =d

d X

(Hn(s) ps )

d X s=1

+

˜ (s) )ps (Hn(s) − h

(Hn(i)

s=1,s6=i

≤ d(pi

d X s=1

− c)pi

!

(Hn(s) ) − cpi ) = d(cpi − cpi ) = 0.

(1.7)

D´ıky nerovnosti (1.7) a limitn´ım pˇrechod˚ um (1.5) a (1.6) m´ame n

n

1 1X 1 1 1 1X ˜ T Xk |Fk−1 ] Yk + E[(Hk − h) Vn = V˜n + (Vn − V˜n ) = V˜n + n n n n n k=1 n k=1 n

1 1 X s.j. ˜ T ˜ T p, n → ∞. ≤ V˜n + Yk → E[h X1 ] = dh n n k=1



8

1.2

Multiplikativn´ı hra

Pokud v ˇcase k = 0 m´ame ˇca´stku C0 , kterou chceme investovat do hry, a s´azky na jednotliv´e v´ ysledky losu Lk , k ∈ N nejsou omezeny, tak se jedn´a o multiplikativn´ı hru. Pro jednoduchost pˇredpokl´adejme C0 = 1. Pˇripouˇstˇet budeme pouze s´azky Hk splˇ nuj´ıc´ı (1.1), kter´e plnˇe vyˇcerpaj´ı hr´aˇc˚ uv kapit´al v ˇcase k, nebot’ hr´aˇci opˇet nic nebr´an´ı v tom, aby pˇr´ıpadnou ˇca´st kapit´alu, kterou nechce na hru vsadit, rovnomˇernˇe rozdˇelil na vˇsechny s´azkov´e pˇr´ıleˇzitosti, ˇc´ımˇz si zajist´ı naprosto stejn´ y v´ ynos jako v pˇr´ıpadˇe ˇsetˇren´ı. Hr´aˇc˚ uv kapit´al v ˇcase k pak nab´ yv´a hodnoty Ck =

d X

(j) (Hk (d

j=1

d X T (j) (j) · I[Lk = j])) = (Hk · Xk ) = Hk Xk . j=1

Vˇ eta 1.2. Mˇejme multiplikativn´ı hru. Pak rozloˇzen´ı s´ azek v ˇcase k − 1 Hk = Ck−1 · ei , i ∈ arg max ps , k ∈ N

(1.8)

s=1,...,d

vede k bankrotu a ˇcas T , kdy bankrot nastane, m´a posunut´e geometrick´e rozdˇelen´ı T − 1 ∼ Ge(1 − pi ). D˚ ukaz. Strategie Hk , vsadit vˇse na jeden nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı v´ ysledek, vede k bankrotu, protoˇze pˇri prvn´ım ne´ uspˇechu pˇrijdeme o vˇsechno. Pro i z (1.8) v ˇcase k = 1 dojde k bankrotu s pravdˇepodobnost´ı 1 − pi , tj. P(T = 1) = 1 − pi . Pravdˇepodobnost bankrotu ve druh´em kole je P(T = 2) = pi · (1 − pi ) (v prvn´ım kole padne n´ami vsazen´ y v´ ysledek, ve druh´em uˇz ne). Podobnˇe v k-t´em kole pro bankrot plat´ı P(T = k) = pik−1 · (1 − pi ), tud´ıˇz ˇcas bankrotu m´a posunut´e geometrick´e rozdˇelen´ı s parametrem 1 − pi , tedy T − 1 ∼ Ge(1 − pi ).  Definice 1.2. Pro Ck−1 > 0 definujeme n´ahodn´e veliˇciny (s)

(s)

Gk = Hk /Ck−1 , kter´e ud´avaj´ı procentu´aln´ı ˇca´st hr´aˇcova kapit´alu Ck−1 v ˇcase k − 1 investovan´eho (s) do losu Lk , kterou s´az´ıme na v´ ysledek s ∈ {1, . . . ,d}. N´ahodn´e veliˇciny Gk naz´ yv´ame pomˇernou s´ azkou na v´ysledek s v ˇcase k a n´ahodn´ y vektor Gk se (s) azkami v ˇcase k. sloˇzkami Gk nazveme pomˇern´ymi s´ Plat´ı, ˇze d X s=1

(s) Gk

=

d X

(s)

Hk /Ck−1 = 1,

s=1

(s) nebot’ vˇsechen kapit´al Ck−1 je rozdˇelen do s´azek Hk .

Definice 1.3. Mnoˇzina G = {g, g ∈

Rd+ ,

d X s=1

je mnoˇzinou vˇsech moˇzn´ych pomˇern´ych s´ azek. 9

g (s) = 1}

Pozn´ amka 1.3. Pro Gk ∈ L(Fn−1 )d , Gk (ω) ∈ G, ω ∈ Ω

(1.9)

a pro Ck−1 > 0 plat´ı, ˇze hr´aˇc˚ uv kapit´al v ˇcase k je Ck =

d X s=1

(s) (Hk

·

(s) Xk )

= Ck−1

d X s=1

(s)

(s)

T

(Gk · Xk ) = Ck−1 Gk Xk .

(1.10)

Pozn´ amka 1.4. Pro kapit´al Ck−1 = 0 a pro libovoln´ y vektor g ∈ G plat´ı, ˇze Ck = Ck−1 g T Xk = 0. Pomˇern´e s´azky Gk lze tedy pro Ck−1 = 0 dodefinovat tak, aby platila rovnost (1.10). Pokud nen´ı ˇreˇceno jinak, budeme pro Ck−1 = 0 (s) definovat Gk := d1 , s = 1, . . . ,d. Po dodefinov´an´ı pomˇern´ ych s´azek ve smyslu pozn´amky 1.4 dost´av´ame indukc´ı vyj´adˇren´ı naˇseho kapit´alu v ˇcase n ∈ N ve tvaru Cn = C0

n Y

T

G k Xk .

k=1

Definice 1.4. Maxim´aln´ım oˇcek´avan´ym logaritmick´ym v´ynosem nazveme supremum vˇsech oˇcek´avan´ ych logaritmick´ ych v´ ynos˚ u E[ln(g T X1 )] pˇres g ∈ G. Pomˇern´e s´azky g ˜ budeme naz´ yvat log-optim´ aln´ı, pokud plat´ı    T g X1 ≤ 0 pro kaˇzd´e g ∈ G. E ln g ˜T X1 V n´asleduj´ıc´ı vˇetˇe budeme v´ yjimeˇcnˇe pomoc´ı Xn oznaˇcovat obecn´ y n´ahodn´ y vektor modeluj´ıc´ı v´ yhry z jednotkov´ ych s´azek, nikoliv pouze n´ahodn´ y vektor se sloˇzkami (1.1). Vˇ eta 1.3. Necht’ Xn ∈ L(Fn )d , n ∈ N jsou d-dimenzion´aln´ı n´ ahodn´e vektory ˜ reprezentuj´ıc´ı v´ynosy ze hry s hodnotami v [0,∞). Necht’ Gn , Gn splˇ nuj´ıc´ı (1.9) pro n ∈ N jsou pomˇern´e s´ azky vsazen´e na v´ysledky hry s, s = 1, . . . ,d v ˇcase n. Pokud pro kaˇzd´e n ∈ N plat´ı podm´ınka  T  s.j. G n Xn ˜ Tn Xn > 0, E F ≤ 1 s.j., G (1.11) n−1 ˜ Tn Xn G pak pro odpov´ıdaj´ıc´ı hr´ aˇcsk´e kapit´ aly Cn = C0

n Y

C˜n = C˜0

T

G k Xk ,

k=1

n Y

˜ Tk Xk G

k=1

plat´ı s

lim sup n n→∞

tedy ˇze

Cn ≤ 1, C˜n

1 lim sup (ln Cn − ln C˜n ) ≤ 0. n→∞ n 10

(1.12)

D˚ ukaz. Indukc´ı dok´aˇzeme, ˇze E

h

Cn ˜n C

i

≤ 1. Protoˇze pro n = 0 plat´ı

C0 ˜0 C

= 1, tak

 C0 = E[1] = 1. E C˜0 h i n−1 Pro n n´am indukˇcn´ı pˇredpoklad E C ≤ 1 zaruˇcuje, ˇze ˜ C 

n−1

Cn−1 ∈ L1 (Fn−1 ). Cˆn−1

V podm´ınce (1.11) je skryt pˇredpoklad GTn Xn ∈ L1 (Fn−1 ) ˜ Tn Xn G a t´ım p´adem plat´ı i I

h

Cn−1 ˜n−1 C

≤k

i GT X n

n

˜ n Xn G T

∈ L1 (Fn−1 ).

Nejprve odhadneme     Cn Cn−1 Cn Cn−1 ; ≤ k = EE ; ≤ k Fn−1 E C˜n C˜n−1 C˜n C˜n−1   Cn−1 GTn Xn Cn−1 ≤ k Fn−1 ; = EE ˜ Tn Xn C˜n−1 C˜n−1 G    T  Cn−1 Cn−1 G n Xn F ; =E E ≤k ˜ Tn Xn n−1 C˜n−1 C˜n−1 G     Cn−1 Cn−1 Cn−1 ; ≤k ≤E ≤ 1. (1.13) ≤E C˜n−1 C˜n−1 C˜n−1 h i n Pro k → ∞ z´ısk´ame z nerovnosti (1.13) odhad E C zd´e u ∈ (0,1) ˆn ≤ 1. Pro kaˇ C pak dost´av´ame nerovnost # "∞   ∞ X X Cn 1 Cn n u = · un ≤ < ∞. E E ˜ ˜ 1−u C Cn n=1 n=1 n Pak tedy skoro jistˇe plat´ı ∞ X Cn

ˆ n=1 Cn

un < ∞,

u ∈ (0,1)

(1.14)

a tedy skoro jistˇe je polomˇer konvergence ˇrady (1.14) alespoˇ n 1. Dle Hadamardova vzorce pro v´ ypoˇcet polomˇeru konvergence mocninn´e ˇrady √ 1 = lim sup n an R n→∞ plat´ı nerovnost (1.12). 

11

Pozn´ amka 1.5. Podm´ınce (1.11) se ˇr´ık´a Kuhnova-Tuckerova podm´ınka optimality a plat´ı, ˇze pomˇern´e s´azky jsou log-optim´aln´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz je tato podm´ınka splnˇena. Pro jednoduchost v ˇcase k −1 uvaˇzujme deterministickou volbu naˇsich pomˇern´ ych s´azek Gk = G1 =: g, g ∈ G. Protoˇze koneˇcn´e diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny Lk jsou nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e, tak tak´e d d X X (j) ln(g Xk ) = ln gj Xk = ln gj (d · I[Lk = j]) = ln(d · gLk ) T

j=1

j=1

jsou nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e koneˇcn´e diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny, tud´ıˇz maj´ı koneˇcn´e druh´e momenty a podle vˇety A.1 pro nˇe plat´ı siln´ y z´akon velk´ ych ˇc´ısel: n

1 1X s.j. T T ln(Cn /C0 ) = ln(g Xk ) −→ E[ln(g X1 )]. n n k=1 Pokud chceme maximalizovat hodnotu T

E[ln(g X1 )] = E[ln(d · gL1 )] = ln d + E[ln(gL1 )] = ln d + je tˇreba m´ıt na pamˇeti omezen´ı tr´emu. Plat´ı, ˇze

Pd

s=1

d X

ps ln gs ,

s=1

gs = 1, coˇz vede na u ´lohu o v´azan´em ex-

d X gs ≥ 0, s = 1, . . . ,d, M := {g ∈ R , gs = 1}. d

s=1

Pd Funkce f (g T ) := a spojit´e parci´aln´ı derivace na (0,∞)d , coˇz je s=1 ps ln gs m´ P otevˇren´a mnoˇzina obsahuj´ıc´ı M = h−1 (0), kde h(g T ) := ds=1 ps ln gs − 1. Funkce h m´a spojit´e parci´aln´ı derivace na (0,∞)d . Tedy m˚ uˇzeme pouˇz´ıt Langrangeovy T T T multiplik´atory. Protoˇze ▽h (g ) = 1d 6= 0d , maximum m˚ uˇze b´ yt pouze v bodech g ∈ M , ve kter´ ych existuje jedin´e λ ∈ R takov´e, ˇze funkce f + λh m´a v bodˇe g nulov´e parci´aln´ı derivace, tj. ps ·

1 + λ = 0, s = 1, . . . ,d, gs

a z´aroveˇ n d X s=1

gs − 1 = 0.

(1.15)

Pro λ = 0 P nejsou rovnice splnˇeny, protoˇze by muselo platit ps = 0, s = 1, . . . ,d a z´aroveˇ n ds=1 ps = 1. Pro λ 6= 0 dostaneme, ˇze gs = − pλs , s = 1, . . . ,d. Po doPd sazen´ı do (1.15) a d´ıky ısk´av´ame, ˇze λ = −1 a tedy v bodˇe s=1 ps = 1 z´ T T 1 T g = − λ p = p m´a funkce f stacion´arn´ı bod. Protoˇze funkce f je konk´avn´ı, v bodˇe p nab´ yv´a maxima na mnoˇzinˇe M . D´ıky siln´emu z´akonu velk´ ych ˇc´ısel jsme naˇsli strategii g ˜ = Gk = p, k ∈ N. Tato strategie se opˇet ukazuje jako optim´aln´ı. 12

˜k = g Vˇ eta 1.4. Necht’ G ˜ = p, k ∈ N, kde p je z definice 1.1, jsou pomˇern´e s´ azky v ˇcase k − 1 a necht’ Gk , k ∈ N splˇ nuj´ıc´ı (1.9) jsou jin´e pomˇern´e s´ azky v ˇcase k − 1. Pak pro odpov´ıdaj´ıc´ı hr´ aˇcsk´e kapit´ aly Cn = C0

n Y

C˜n = C˜0

T

G k Xk ,

n Y

ˆ Tk Xk G

k=1

k=1

v multiplikativn´ı hˇre plat´ı s

lim sup n n→∞

Cn ≤ 1. C˜n

(1.16)

D˚ ukaz. Protoˇze Xk = d · I[Lk = s] ∈ L(Fk−1 )d , k ∈ N, GTk Xk ≤ d < ∞ a T ˜ Tk Xk = g G ˜ Xk = d

d X s=1

tak n´ahodn´a veliˇcina

GTk Xk g T Xk

ps I[Lk = s] ≥ d · min pj > 0, j≤d

je omezen´a a staˇc´ı ovˇeˇrit, ˇze pro k ∈ N plat´ı 

 GTk Xk E Fk−1 ≤ 1 s.j., g T Xk

(1.17)

nebot’ pak tvrzen´ı plyne z vˇety 1.3. Pro k ∈ N plat´ı " P # " #  T  (s) (L ) d ds=1 Gk I[Lk = s] G k Xk Gk k E Fk−1 = E Fk−1 = E Fk−1 P g T Xk pLk d ds=1 ps I[Lk = s] =

d (s) X G k

s=1

ps

P(Lk = s|Fk−1 ) =

d (s) X G k

s=1

ps

ps =

d X

(s)

Gk = 1.

s=1



13

Kapitola 2 Uˇ zitkov´ a funkce a jistotn´ı ekvivalent V prvn´ı kapitole jsme se setkali se dvˇema strategiemi vych´azej´ıc´ımi ze siln´eho z´akona velk´ ych ˇc´ısel. Prvn´ı maximalizovala stˇredn´ı hodnotu v´ yhry, druh´a maximalizovala stˇredn´ı hodnotu logaritmu vyhran´e ˇca´stky. Funkce logaritmus zde mˇela roli uˇzitkov´e funkce. ˇ Definice 2.1. Rekneme, ˇze funkce u ∈ C 2 (σ,∞), σ ∈ [−∞,∞) je uˇzitkov´a funkce, pokud je rostouc´ı a konk´avn´ı, tj. plat´ı u′ > 0 a u′′ ≤ 0. Pokud pro funkci u plat´ı pouze u′ > 0, budeme o n´ı mluvit jako o pseudouˇzitkov´e funkci. Pozn´ amka 2.1. Uˇzitkov´a funkce je jedn´ım ze z´akladn´ıch pojm˚ u teorie uˇzitku, kter´a se ˇrad´ı mezi ekonomick´e vˇedn´ı discipl´ıny. Je to funkce, kter´a pˇriˇrazuje kaˇzd´emu mnoˇzstv´ı jedincova majetku re´aln´e ˇc´ıslo znamenaj´ıc´ı uˇzitek, kter´ y pro nˇeho pˇredstavuje. Pˇredpokl´ad´ame-li o jedinci, ˇze nikdy nem´a tolik bohatstv´ı, aby v´ıce nebylo alespoˇ n trochu ˇza´douc´ı, tak jeho uˇzitkov´a funkce u bude rostouc´ı. Konk´avnost uˇzitkov´e funkce zohledˇ nuje naˇsi averzi v˚ uˇci riziku.

2.1

Jistotn´ı ekvivalent

Definice 2.2. Bud’ Z : (Ω,A) 7→ ((σ,∞), B(σ,∞)) n´ahodn´a veliˇcina a u uˇzitkov´a funkce na (σ,∞) takov´a, ˇze u(Z) ∈ L1 . Jistotn´ım ekvivalentem (Certainty Equivalent) n´ahodn´e veliˇciny Z vzhledem k uˇzitkov´e funkci u rozum´ıme hodnotu CEu (Z) ∈ (σ,∞) takovou, ˇze u(CEu (Z)) = E u(Z).

(2.1)

Pozn´ amka 2.2. Jistotn´ı ekvivalent CEu (Z) je dobˇre definovan´ y. D˚ ukaz. Funkce u je podle definice spojit´a a rostouc´ı, proto u(Z) ∈ (a,b) = rng(u) pro − ∞ ≤ a < b ≤ ∞. Protoˇze stˇredn´ı hodnota kladn´e n´ahodn´e veliˇciny je kladn´a, z´ısk´av´ame E[b − u(Z)] = b − E[u(Z)] > 0,

E[u(Z) − a] = E[u(Z)] − a > 0,

neboli E u(Z) ∈ (a,b), a tedy CEu (Z) ∈ (σ,∞) ˇreˇs´ıc´ı (2.1) existuje. Takov´e CEu (Z) je jedin´e d´ıky tomu, ˇze funkce u je rostouc´ı.  14

Pozn´ amka 2.3. Jistotn´ı ekvivalent CEu (Z) d´av´a stejn´ y oˇcek´avan´ y uˇzitek jako n´ahodn´a veliˇcina Z. Z hlediska rozhodov´an´ı na z´akladˇe stˇredn´ıho uˇzitku jsou tedy deterministick´e hodnoty CEu (Z) a n´ahodn´a veliˇcina Z nerozliˇsiteln´e. Vˇ eta 2.1 (Transformace uˇzitkov´e funkce). Necht’ u ∈ C 2 (σ,∞) je uˇzitkov´a funkce. Pak funkce v : (σ,∞) → R definovan´ a pˇredpisem v(z) := a · u(z) + b, kde a > 0, b ∈ R, z ∈ (σ,∞), je tak´e uˇzitkov´a funkce. Nav´ıc pro investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitost s v´ynosy dan´ymi n´ ahodnou veliˇcinou Z plat´ı, ˇze jistotn´ı ekvivalenty pˇri uˇzitkov´ych funkc´ıch u a v se rovnaj´ı. D˚ ukaz. Pro v(z) = a · u(z) + b plat´ı: v ′ (z) = a · u′ (z) > 0, protoˇze a > 0 a u′ (z) > 0, v ′′ (z) = a · u′′ (z)< 0, protoˇze a> 0 a u′′ (z) < 0, tedy v je uˇzitkov´a funkce. Plat´ı CEu (Z) = CEv (Z), protoˇze v je rostouc´ı funkce a v(CEv (Z)) = E[v(Z)] = E[a · u(Z) + b] = a · E[u(Z)] + b = a · u(CEu (Z)) + b = v(CEu (Z)), kde prvn´ı a ˇctvrt´a rovnost plyne z definice jistotn´ıho ekvivalentu 2.1.  Pozn´ amka 2.4. Mluv´ıme-li o uˇzitkov´ ych funkc´ıch, ˇr´ık´ame, ˇze jsou ekvivalentn´ı, pokud jedna z druh´e vznikly transformac´ı z vˇety 2.1. Vˇ eta 2.2. Pro kaˇzdou n´ ahodnou veliˇcinu Z a striktnˇe konk´avn´ı uˇzitkovou funkci u plat´ı, ˇze jistotn´ı ekvivalent CEu (Z) ≤ E Z, pˇriˇcemˇz rovnost nast´ av´ a pr´ avˇe tehdy, s.j. kdyˇz Z = E Z. D˚ ukaz. Z konk´avnosti funkce u a z Jensenovy nerovnosti plat´ı E [u(Z)] ≤ u(E Z). Jelikoˇz u je ostˇre rostouc´ı, tak i u−1 je ostˇre rostouc´ı. Tud´ıˇz plat´ı CEu (Z) = u−1 (E [u(Z)]) ≤ u−1 (u(E Z)) = E Z, pˇriˇcemˇz rovnost vzhledem ke striktn´ı konk´avnosti u nastane pr´avˇe tehdy, kdyˇz s.j. Z = E Z.  Pozn´ amka 2.5. Protoˇze (σ,∞) je polsk´ y prostor (´ uplnˇe metrizovateln´ y separabiln´ı topologick´ y prostor, tj. je homeomorfn´ı u ´pln´emu metrick´emu prostoru s hustou spoˇcetnou podmnoˇzinou), existuje podm´ınˇen´e rozdˇelen´ı PZ|F n´ahodn´e veliˇciny Z za podm´ınky F, ˇc´ımˇz rozum´ıme PZ|F : (B,ω) ∈ B(σ,∞) × Ω 7→ PZ|F (B,ω) ∈ [0,1] splˇ nuj´ıc´ı:

15

1. ∀ω ∈ Ω je funkce B ∈ B(σ,∞) 7→ PZ|F (B,ω) pravdˇepodobnost na B(σ,∞), 2. ∀B ∈ B(σ,∞) je funkce ω ∈ Ω 7→ PZ|F (B,ω) F-mˇeˇriteln´a, 3. ∀B ∈ B(σ,∞) a F ∈ F plat´ı, P(Z ∈ B; F ) =

Z

PZ|F (B,ω) d P(ω). F

s.j.

V takov´em pˇr´ıpadˇe PZ|F (B) = P(Z ∈ B|F) a PZ|F tak m´a roli regul´arn´ı verze podm´ınˇen´e pravdˇepodobnosti P(Z ∈ B|F) za podm´ınky F. Vˇ eta 2.3. Necht’ u je uˇzitkov´a funkce na (σ,∞) a Z : (Ω,A) 7→ ((σ,∞),B(σ,∞)) je n´ ahodn´a veliˇcina a F ⊆ A je σ-algebra. Pokud u(Z) ∈ L1 , pak CEu (Z) = CEu [CEu (Z|F)], kde CEu (Z|F) := u−1 E[u(Z)|F]. D˚ ukaz. Podobnˇe jako pro CEu , plat´ı i pro podm´ınˇenou verzi, ˇze Z s.j. E[u(Z)|F] = u(ω) d PZ|F (ω) ∈ rng(u) s.j. a rng(u−1 ) ⊆ (σ,∞). Potom u−1 (E[u(Z)|F]) ∈ (σ,∞) s.j. a rozeps´an´ım prav´e s.j. strany za pomoci rovnosti u(CEu (Z|F)) = E[u(Z)|F] dostaneme CEu [CEu (Z|F)] = u−1 E[u(CEu (Z|F))] = u−1 (E[E[u(z)|F]]) = u−1 (E[u(Z)]) = CEu (Z). 

2.2

Tˇ r´ıda uˇ zitkov´ ych funkc´ı CARA a HARA

Definice 2.3. Uˇzitkov´ymi funkcemi tˇr´ıdy CARA na (−∞,∞) rozum´ıme funkce 1 γx · e , γ < 0, γ eγ (x) := x, γ = 0.

eγ (x) :=

Pozn´ amka 2.6. Jedn´a se o uˇzitkov´e funkce z definice 2.1, protoˇze ∀γ < 0 pro prvn´ı a druhou derivaci plat´ı e′γ (x) = eγx > 0, protoˇze exponenciela je kladn´a, e′′γ (x) = γeγx < 0, protoˇze exponenciela je kladn´a a γ je z´aporn´a. Pro singul´arn´ı pˇr´ıpad γ = 0 dostaneme e0 (x) jako limitu e˜γ (x) := eγ (x) − γ1 , kter´e jsou ekvivalentn´ı s eγ (x) ve smyslu pozn´amky 2.4: eγx − 1 = x, γ→0 γ

e0 (x) := lim

16

x ∈ R.

Definice 2.4. M´ırou averze v˚ uˇci riziku rozum´ıme r(x) :=

e′′γ (x) − ′ = −γ, eγ (x)

γ ∈ (−∞,0].

Pozn´ amka 2.7. Oznaˇcen´ı CARA znamen´a Constant Absolute Risk Aversion, neboli se jedn´a o tˇr´ıdu uˇzitkov´ ych funkc´ı s konstantn´ı averz´ı v˚ uˇci riziku, jej´ıˇz velikost vyjadˇruje parametr γ. V singul´arn´ım pˇr´ıpadu e0 je investorova averze v˚ uˇci riziku nulov´a a s klesaj´ıc´ım γ investor˚ uv odpor k riziku stoup´a. Vˇ eta 2.4. Necht’ γ < δ < 0 a V ∈ L(R,B(R), P) je nedegenerovan´ a n´ ahodn´a ’ veliˇcina. Necht Z := eγ (V ) ∈ L1 a tak´e eδ (V ) ∈ L1 . Pak −1 CEeδ (V ) = e−1 δ (E[eδ (V )]) > eγ (E[eγ (V )]) = CEeγ (V ). 1 δ/γ D˚ ukaz. Funkce eδ ◦ e−1 , z < 0 je ryze konvexn´ı, protoˇze pro z < 0 γ (z) = δ (γz) −1 ′′ δ/γ−2 plat´ı, ˇze (eδ ◦ eγ ) (z) = (δ − γ)(γz) > 0. Jelikoˇz funkce eγ (z) je prost´a, tak Z = eγ (V ) je nedegenerovan´a n´ahodn´a veliˇcina a V = e−1 γ (Z). Dle Jensenovy nerovnosti potom dost´av´ame −1 eδ ◦ e−1 γ (E Z) < E[eδ ◦ eγ (Z)] = E[eδ (V )].

Protoˇze e−1 ı funkce, plat´ı δ (z) je ryze rostouc´ −1 −1 CEeδ (V ) = e−1 δ (E[eδ (V )]) > eγ (E Z) = eγ (E[eγ (V )]) = CEeγ (V ).

 Pozn´ amka 2.8. Z vˇety 2.2 nav´ıc z´ısk´av´ame CEe0 (Z) = E Z ≥ CEeγ (Z) = −γ ln(E[e−γZ ]),

γ < 0.

Definice 2.5. Uˇzitkov´ymi funkcemi tˇr´ıdy HARA na (0,∞) rozum´ıme funkce 1 γ x , γ < 0, γ uγ (x) := ln x, γ = 0, 1 uγ (x) := xγ , γ ∈ (0,1]. γ

uγ (x) :=

Pozn´ amka 2.9. Jedn´a se o uˇzitkov´e funkce z definice 2.1, protoˇze ∀γ ∈ (−∞,1] pro prvn´ı a druhou derivaci plat´ı u′γ (x) = xγ−1

> 0, protoˇze x > 0,

u′′γ (x) = (γ − 1) · xγ−2 ≤ 0, protoˇze x > 0 a γ − 1 ≤ 0. Singul´arn´ı pˇr´ıpad u0 dost´av´ame jako limitu u˜γ (x) := uγ (x) −

1 γ

pro γ → 0:

xγ − 1 = ln x, x > 0, γ→0 γ

u0 (x) := lim

pˇriˇcemˇz u˜γ (x) jsou ekvivalentn´ı s uγ (x) ve smyslu pozn´amky 2.4. 17

Pozn´ amka 2.10. Pokud bychom brali uˇzitkov´e funkce HARA na intervalu (σ,∞), pak v jejich argumentu bude m´ısto x v´ yraz x − σ. Hodnota σ potom pˇredstavuje psychologicky nepodkroˇcitelnou mez, zohledˇ nuj´ıc´ı napˇr´ıklad mnoˇzstv´ı z´avazk˚ u, kter´e mus´ıme b´ yt schopni spl´acet, abychom nemuseli mˇenit n´aˇs ˇzivot. Pozn´ amka 2.11. Nˇekdy se uˇzitkov´e funkce typu HARA ud´avaj´ı ve tvaru 1 1 γ x = x1−a , a > 0, a 6= 1, γ 1−a ln x = ln x, a = 1, x = x, a = 0. Pozn´ amka 2.12. Pro γ ∈ (−∞,0] jsou funkce uγ zdola neomezen´e, coˇz znamen´a, ˇze investor s touto funkc´ı nikdy neriskuje u ´pln´e zruinov´an´ı. Naopak pro γ ∈ (0,1] jsou uγ zdola omezen´e, a tud´ıˇz je investor ochoten pˇr´ıpadnˇe riskovat bankrot. Definice 2.6. Relativn´ı m´ırou averze v˚ uˇci riziku rozum´ıme r∗ (x) := −x

u′′γ (x) = (1 − γ), γ ∈ (−∞,1]. u′γ (x)

Pozn´ amka 2.13. Oznaˇcen´ı HARA znamen´a Hyperbolic Absolute Risk Aversion, neboli m´ame investora s konstantn´ı relativn´ı averz´ı v˚ uˇci riziku. Pro γ = 1 dost´av´ame relativn´ı averzi v˚ uˇci riziku 0 a s klesaj´ıc´ı hodnotou γ tato averze roste. Z vˇety 2.2 plat´ı, ˇze CEu1 (Z) = E Z ≥ CEuγ (Z), γ ∈ (−∞,1]. Vˇ eta 2.5. Necht’ γ < δ ≤ 1 a V ∈ L((0,∞),B(0,∞), P) je nedegenerovan´ a ’ n´ ahodn´a veliˇcina. Necht Z := uγ (V ) ∈ L1 a tak´e uδ (V ) ∈ L1 . Pak −1 CEuδ (V ) = u−1 δ (E[uδ (V )]) > uγ (E[uγ (V )]) = CEuγ (V ).

D˚ ukaz. Protoˇze 1 δ/γ uδ ◦ u−1 , 0 < γ < δ ≤ 1; γ < 0 < δ ≤ 1; γ< δ < 0, γ (x) = (γx) δ 1 δx 0 = γ < δ ≤ 1, uδ ◦ u−1 γ (x) = e , δ 1 uδ ◦ u−1 ln(γx), γ < δ = 0, γ (x) = γ tak je funkce uδ ◦ u−1 ı pro γ < δ ≤ 1. D´ıky prostotˇe funkce uγ (x) γ ryze konvexn´ je Z = uγ (V ) nedegenerovan´a n´ahodn´a veliˇcina a V = u−1 γ (Z). Z Jensenovy nerovnosti pak dost´av´ame −1 uδ ◦ u−1 γ (E Z) < E[uδ ◦ uγ (Z)] = E[uδ (V )].

Jelikoˇz u−1 ı funkce, plat´ı γ je ryze rostouc´ −1 −1 CEuδ (V ) = u−1 δ (E[uδ (V )]) > uγ (E Z) = uγ (E[uγ (V )]) = CEuγ (V ).



18

Pozn´ amka 2.14. Pro funkce CARA a HARA plat´ı n´asleduj´ıc´ı pˇrevodn´ı vztahy: 1 1 γ x = eγ ln x = eγ (ln x), x > 0, γ γ uγ (x) = ln x = eγ (ln x), x > 0, 1 1 eγ (x) = · eγx = · (ex )γ = uγ (ex ), x ∈ R, γ γ x eγ (x) = x = ln(e ) = uγ (ex ), x ∈ R, uγ (x) =

19

γ < 0, γ = 0, γ < 0, γ = 0.

Kapitola 3 S´ azen´ı na stochastick´ e hry Definice 3.1. Stochastick´y proces S = {St ; t ∈ T } je soubor n´ahodn´ ych veliˇcin na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P). Pokud je indexov´a mnoˇzina T koneˇcn´a nebo spoˇcetn´a, ˇr´ık´ame, ˇze se jedn´a o stochastick´y proces v diskr´etn´ım ˇcase. V pˇr´ıpadˇe, ˇze T je interval, ˇr´ık´ame, ˇze jde o stochastick´y proces ve spojit´em ˇcase. Podle hodnot, kter´ ych n´ahodn´e veliˇciny St nab´ yvaj´ı, dˇel´ıme stochastick´e procesy na stochastick´e procesy s diskr´etn´ımi hodnotami a stochastick´e procesy se spojit´ymi hodnotami. Uvaˇzujme stochastick´ y proces v diskr´etn´ım ˇcase S = {Sn ; n ∈ N} na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P). Necht’ S0 = 1 a n´ahodn´e veliˇciny Sn nab´ yvaj´ı koneˇcnˇe mnoha re´aln´ ych hodnot, potom proces interpretujeme jako nekonˇc´ıc´ı stochastickou hru, u kter´e m˚ uˇzeme s´azet na jej´ı pˇr´ır˚ ustky △Sn = Sn − Sn−1 . Potom n´ahodn´a veliˇcina △Sn na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P) je re´aln´a a nab´ yv´a koneˇcnˇe mnoha hodnot. Jej´ı pomoc´ı budeme modelovat jedno kolo nekonˇc´ıc´ı stochastick´e hry a budeme o n´ı mluvit jako o hˇre. Pozn´ amka 3.1. Na hry, u kter´ ych lze ˇcist´e zisky modelovat koneˇcnou re´alnou diskr´etn´ı n´ahodnou veliˇcinou, se omezujeme pro jednoduchost. Usnadn´ı se t´ım v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty, kter´a v takov´em pˇr´ıpadˇe vˇzdy existuje a je koneˇcn´a, tak´e nebude probl´em se z´amˇenou stˇredn´ı hodnoty a limitn´ıch operac´ı vˇcetnˇe derivace. Pro takov´e n´ahodn´e veliˇciny m´ame siln´ y z´akon velk´ ych ˇc´ısel (pˇr´ıloha A). Z podobn´ ych d˚ uvod˚ u bychom se mohli zab´ yvat omezen´ ymi n´ahodn´ ymi veliˇcinami, ale koneˇcn´e diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny maj´ı nav´ıc velkou v´ yhodu v tom, ˇze jejich stˇredn´ı hodnota je v´aˇzen´ y pr˚ umˇer, a ten by mˇeli b´ yt schopni spoˇc´ıtat i ˇza´ci na z´akladn´ı ˇskole.

3.1

Dˇ elen´ı stochastick´ ych her

Definice 3.2. Mˇejme hru △S, tj. re´alnou n´ahodnou veliˇcinu na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω,A, P) nab´ yvaj´ıc´ı koneˇcnˇe mnoha re´aln´ ych hodnot. Pak ˇrekneme, ˇze hra △S je matematicky v´yhodn´a, pokud oˇcek´avan´ y ˇcist´ y zisk E[△S] > 0, spravedliv´ a, pokud oˇcek´avan´ y ˇcist´ y zisk E[△S] = 0, hazardn´ı, pokud oˇcek´avan´ y ˇcist´ y zisk E[△S] < 0. 20

Bud’ F ⊆ A σ-algebra, pak ˇrekneme, ˇze △S je s.j.

F−nezaj´ımav´a, pokud E[△S|F] ≤ 0. Pˇ r´ıklad 3.1. Mˇejme moˇznost vsadit si na hru △S. Poˇca´teˇcn´ı cena, kterou mus´ıme zaplatit v ˇcase 0 za u ´ˇcast v n´ı, je S0 = 1. V okamˇziku 1 m˚ uˇzou nastat dva v´ ysledky X = 1 (v´ yhra) a X = 0 (prohra), potom naˇse v´ yhra bude ( 2, pokud X = 1, P(X = 1) = p S1 = , 0, pokud X = 0, P(X = 0) = 1 − p kde pravdˇepodobnost v´ yhry p ∈ (0,1). Pro n´aˇs ˇcist´ y zisk bude platit ( 1, pokud X = 1, P(X = 1) = p . △S1 = S1 − S0 = −1, pokud X = 0, P(X = 0) = 1 − p Potom n´aˇs oˇcek´avan´ y ˇcist´ y zisk je E[△S] = 1 · p + (−1) · (1 − p) = 2p − 1.

(3.1)

Z rovnosti (3.1) je snadno vidˇet, ˇze hra △S je spravedliv´a, pokud p = 21 . Kdyˇz p ∈ ( 21 ,1), pak dostaneme matematicky v´ yhodnou hru. Ve zbyl´em pˇr´ıpadˇe, kdyˇz p ∈ (0, 21 ), se jedn´a o hazardn´ı hru. Pˇ r´ıklad 3.2. Mˇejme hru, kde h´az´ıme spravedlivou minc´ı. M˚ uˇzeme vsadit 1 na to, zda padne rub nebo l´ıc. Pokud uhodneme, z´ısk´ame 2, pˇri prohˇre nez´ısk´ame nic. M´ame dvˇe d´ılˇc´ı pˇr´ıleˇzitosti, vsadit na padnut´ı rubu nebo l´ıce, kaˇzd´a z nich odpov´ıd´a hˇre △S z pˇr´ıkladu 3.1. Protoˇze h´az´ıme spravedlivou minc´ı, tak p = 21 a obˇe pˇr´ıleˇzitosti jsou spravedliv´ ymi hrami. N´aˇs oˇcek´avan´ y ˇcist´ y zisk je nulov´ y, stejnˇe jako bychom se hry v˚ ubec nez´ uˇcastnili. Kdyˇz by mince byla faleˇsn´a a rub by padal s pravdˇepodobnost´ı r ∈ ( 12 ,1) (tj. l´ıc by padal s pravdˇepodobnost´ı 1−r), pak opˇet m´ame dvˇe d´ılˇc´ı hry odpov´ıdaj´ıc´ı hˇre △S z pˇr´ıkladu 3.1. Pro rub m´ame p = r ∈ ( 21 ,1), a tedy se jedn´a o matematicky v´ yhodnou hru a n´aˇs oˇcek´avan´ y ˇcist´ y zisk bude kladn´ y. Naopak v pˇr´ıpadˇe vsazen´ı 1 na l´ıc bude p = 1 − r ∈ (0, 2 ) a hra △S hazardn´ı. N´aˇs oˇcek´avan´ y ˇcist´ y zisk bude z´aporn´ y.

3.2

Neperspektivn´ı proces a mor´ aln´ı hazard

ˇ Definice 3.3. Rekneme, ˇze re´aln´ y integrovateln´ y proces Sn na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω,A, P) je neperspektivn´ı v˚ uˇci filtraci (Fn )∞ n=0 na (Ω,A, P) nebo tak´e Fn -neperspektivn´ı, pokud pro kaˇzd´e n ∈ N je Sn ∈ L(Fn ) a △Sn = Sn −Sn−1 je Fn−1 -nezaj´ımav´a hra. Pozn´ amka 3.2. N´ahodn´a veliˇcina mˇeˇriteln´a v˚ uˇci koneˇcn´e σ-algebˇre nab´ yv´a pouze koneˇcnˇe mnoha hodnot. Pozn´ amka 3.3. Necht’ Cn je neperspektivn´ı proces pro jednoduchost startuj´ıc´ı z deterministick´e poˇca´teˇcn´ı hodnoty C0 ∈ [0,∞), pak stˇredn´ı hodnota takov´eho procesu je nerostouc´ı. 21

Vˇ eta 3.1. Necht’ je Sn neperspektivn´ı proces v˚ uˇci filtraci Fn tvoˇren´e koneˇcn´ymi σ-algebrami a Hn ≥ 0, Hn ∈ L(Fn−1 ), n ∈ N syst´em s´ azek. Pak kumulativn´ı proces n X Cn = C0 + Hk (Sk − Sk−1 ) ∈ L(Fn ) = L1 (Fn ) (3.2) k=1

startuj´ıc´ı z C0 ∈ (0,∞) je tak´e Fn -neperspektivn´ı proces.

D˚ ukaz. Z (3.2) okamˇzitˇe vid´ıme, ˇze Cn je integrovateln´ y proces. D´ale △Cn = Cn − Cn−1 = Hn (Sn − Sn−1 ) splˇ nuje pˇredpoklady vˇety o vyt´ yk´an´ı z podm´ınˇen´e stˇredn´ı hodnoty a dost´av´ame s.j.

E[△Cn |Fn−1 ] = E[Hn (Sn − Sn−1 )|Fn−1 ] = Hn E[Sn − Sn−1 |Fn−1 ] ≤ 0, nebot’ △S = Sn − Sn−1 ∈ L(Fn ) = L1 (Fn ).



Pozn´ amka 3.4. Vˇeta 3.1 n´am ˇr´ık´a, ˇze s´azen´ım jen na nezaj´ımav´e hry zp˚ usob´ıme akor´at to, ˇze proces naˇseho bohatstv´ı bude neperspektivn´ı a ve stˇredn´ı hodnotˇe neporoste. Tedy ani ve stˇredn´ı hodnotˇe si nepolepˇs´ıme. Ke zkoum´an´ı limitn´ıho chov´an´ı neperspektivn´ıho procesu je potˇreba n´asleduj´ıc´ı vˇety, kter´a vych´az´ı z vˇety 4.1 v elektronick´ ych skriptech Lachout (2007). Vˇ eta 3.2. Je-li Cn neperspektivn´ı proces takov´y, ˇze startuje z deterministick´e s.j.

poˇc´ateˇcn´ı hodnoty C0 ∈ [0,∞) a Cn ≥ 0 pro kaˇzd´e n ∈ N, pak je konvergentn´ı s.j. skoro jistˇe a tedy existuje n´ ahodn´a veliˇcina C∞ takov´ a, ˇze Cn → C∞ pro n → ∞. Pozn´ amka 3.5. Z Fatouova lematu okamˇzitˇe plyne, ˇze n´ahodn´a veliˇcina C∞ z vˇety 3.2 je integrovateln´a a plat´ı 0 ≤ E C∞ ≤ lim inf E Cn = inf ECn ≤ EC0 = C0 . n→∞

n∈N

Pozn´ amka 3.6. Pokud je C0 > 0 n´aˇs poˇca´teˇcn´ı kapit´al, Sn neperspektivn´ı proces, na kter´ y budeme s´azet, potom neexistuje strategie investov´an´ı splˇ nuj´ıc´ı Cn ≥ 0 pro kaˇzd´e n ∈ N, kter´a by n´am umoˇznila pˇres´ahnout skoro jistˇe p˚ uvodn´ı kapit´al C0 , a to jak v koneˇcn´em, tak nekoneˇcn´em ˇcasov´em horizontu. Pokud by existovala strategie takov´a, ˇze Ct ≥ C0 a P(Ct > C0 ) > 0, tak potom E[Ct ] > E[C0 ], coˇz pro t ∈ N je ve sporu s pozn´amkou 3.3 a pro t = ∞ s pozn´amkou 3.5. Ukazuje se, ˇze se najdou lid´e, pro kter´e se m˚ uˇze zd´at v´ yhodn´e z´ uˇcastnit dlouhodobˇe neperspektivn´ı hry, pˇr´ıpadnˇe maj´ı neodolateln´e nutk´an´ı hr´at. Pˇ r´ıklad 3.3. Mˇejme proces, kde S0 = 1 a pro n ∈ N plat´ı, ˇze Sn jsou nez´avisl´e a ( 1, P(△Sn = 1) = 31 △Sn = . −1, P(△Sn = −1) = 23 22

Bud’ Fn filtrace generovan´a v´ ysledky hry Sn . Potom se jedn´a o Fn -neperspektivn´ı proces, protoˇze 2 1 1 E[E[△Sn |Fn ]] = E[△Sn ] = 1 − 1 = − . 3 3 3 Pˇri poˇca´teˇcn´ım kapit´alu C0 = 1 a s´azce Hn = 1 podle vˇety 3.1 je tak´e proces Cn reprezentuj´ıc´ı n´aˇs kapit´al Fn -neperspektivn´ı. Kdyˇz ale budeme m´ıt hr´aˇce, jehoˇz pseudouˇzitkov´a funkce je u(x) = ex , x ≥ 0, tak proces u(Cn ), kter´ y reprezentuje hr´aˇc˚ uv uˇzitek z kapit´alu Cn v ˇcase n, jiˇz Fn -neperspektivn´ı nen´ı, protoˇze E[△u(Cn )] = E[u(Cn ) − u(Cn−1 )] = E[u(Cn−1 + △Sn ) − u(Cn−1 )]  2  1 Cn−1 +1 2 Cn−1 −1 e + 2 − 3e Cn−1 Cn−1 =e + e −e = e 3 3 3e Cn−1 > 0, ≈ 0,15e a hr´aˇc s touto strategi´ı se do hry zapoj´ı.  Pˇ r´ıklad 3.4. Mˇejme proces, kde S0 = 1 a △Sn ∼ R −1, 34 , n ∈ N, a filtraci Fn generovanou v´ ysledky hry Sn . Potom se jedn´a o Fn -neperspektivn´ı proces, protoˇze   1 3 1 E[E[△Sn |Fn ]] = E[△Sn ] = −1 =− . 2 4 8 Pˇri poˇca´teˇcn´ım kapit´alu C0 = 1 a s´azce Hn = Cn−1 /2 podle vˇety 3.1 je tak´e proces Cn reprezentuj´ıc´ı n´aˇs kapit´al Fn -neperspektivn´ı. Ovˇsem pro hr´aˇce, jehoˇz pseudouˇzitkov´a funkce je u(x) = x2 , x ≥ 0, proces u(Cn ), kter´ y reprezentuje hr´aˇc˚ uv uˇzitek z kapit´alu Cn v ˇcase n, Fn -neperspektivn´ı nen´ı, protoˇze     △Sn E[△u(Cn )] = E[u(Cn ) − u(Cn−1 )] = E u(Cn−1 1 + − u(Cn−1 ) 2 2 2   1 2 3 −1 9 1 2 2 2 = Cn−1 1 + + Cn−1 1 + − Cn−1 = Cn−1 2 8 2 2 128 2 ≈ 0,07Cn−1 > 0, a hr´aˇc s touto strategi´ı se do hry zapoj´ı. Pˇ r´ıklad 3.5. Mˇejme d´ıtˇe, kter´e m´a 3 Kˇc, a necht’ kopeˇcek zmrzliny, po kter´em nezmˇernˇe touˇz´ı, stoj´ı 5 Kˇc. Vychytral´ y kamar´ad mu nab´ıdne, ˇze si hod´ı minc´ı, a pokud padne panna, tak mu d´a potˇrebn´e 2 Kˇc, pokud padne orel, tak pˇrijde o sv´e 3 Kˇc. Pro d´ıtˇe to je hra △S ∼ R{−3,2}, kter´a je hazardn´ı, protoˇze 1 1 E[△S] = (2 − 3) = − , 2 2 a oˇcek´avan´ y kapit´al je E[C1 ] = E[3 + △S] = 52 . D´ıtˇe vn´ım´a jen dvˇe moˇznosti, zda m´a nebo nem´a zmrzlinu, proto jeho pseudouˇzitkov´a funkce je ( 0, 0 ≤ x < 5 . u(x) = 1, x ≥ 5 23

a oˇcek´avan´ y uˇzitek ze hry 1 1 1 E[u(C1 )] = (u(5) + u(0)) = (1 + 0) = . 2 2 2 Uˇzitek d´ıtˇete, pokud se hry nez´ uˇcastn´ı, je u(3) = 0 a to je m´enˇe neˇz oˇcek´avan´ y uˇzitek ze hry. Pˇrestoˇze je hra hazardn´ı, zd´a se pro nˇej v´ yhodn´a, a tud´ıˇz se j´ı z´ uˇcastn´ı. Pozn´ amka 3.7. Je-li u : (0,∞) 7→ R uˇzitkov´a funkce, C ∈ (0,∞) hr´aˇc˚ uv kapit´al s.j.

a △S hazardn´ı nebo spravedliv´a hra, pak pro kaˇzd´e h ≥ 0 splˇ nuj´ıc´ı C + h△S > 0 plat´ı E u(C + h△S) ≤ u(C). D˚ ukaz. Protoˇze funkce u je konk´avn´ı, tak plat´ı u(C + h△S) ≤ u(C) + u′ (C)h△S. Jelikoˇz je stˇredn´ı hodnota monotonn´ı a podle pˇredpokladu u rostouc´ı, h ≥ 0 a E △S ≤ 0, dost´av´ame E u(C + h△S) ≤ E[u(C) + u′ (C)h△S] = u(C) + u′ (C)h E △S ≤ u(C).  Pozn´ amka 3.8. V pˇr´ıkladech 3.3-3.5 mˇeli hr´aˇci pseudouˇzitkovou funkci, kter´a nebyla konk´avn´ı, coˇz z matematick´eho hlediska mohlo za jejich rozhodnut´ı. Pod´ıv´ame-li se na to pomoc´ı psychologie, tak v prvn´ıch dvou pˇr´ıkladech byla funkce dokonce konvexn´ı, coˇz odpov´ıd´a ˇclovˇeku s chov´an´ım vyhled´avaj´ıc´ım riziko i za vˇedom´ı, ˇze za to bude muset zaplatit. V posledn´ım pˇr´ıpadˇe bylo kl´ıˇcov´ ym momentem, ˇze mal´e mnoˇzstv´ı penˇez pro n´as nic neznamenalo, a aˇz nad urˇcitou hranic´ı pro n´as pen´ıze zaˇcaly m´ıt smysl. Pozn´ amka 3.9. Ani jeden z pˇredchoz´ıch pˇr´ıstup˚ u nen´ı zdrav´ y, ale bohuˇzel se ˇ s nimi setk´av´ame. Casto je pˇr´ıˇcinou takzvan´ y mor´ aln´ı hazard, kter´ ym oznaˇcujeme situace, kdy se jedinec nebo spoleˇcnost chov´a jinak v pˇr´ıpadˇe, ˇze nese pln´e riziko, a jinak, kdyˇz je riziko nˇejak´ ym zp˚ usobem umenˇseno. Pˇr´ıklad 3.5 je do jist´e m´ıry podobn´ y situaci, kdy manaˇzeˇri v bank´ach dost´avaj´ı pr´emie aˇz z kontrakt˚ u s v´ ynosem pˇresahuj´ıc´ım urˇcitou mez. Pokud nejsou dostateˇcnˇe nastaveny postihy za ztr´atov´e obchody, potom mohou vyhled´avat rizikovˇejˇs´ı investice s vyˇsˇs´ım v´ ynosem, neˇz by bylo matematicky rozumn´e, protoˇze mal´ y zisk je pro nˇe bezv´ yznamn´ y a protoˇze postih za pˇr´ıpadnou ztr´atu daleko pˇrev´aˇz´ı vidina odmˇeny za velk´ y zisk. Pozn´ amka 3.10. Mohou nastat situace, kdy mor´aln´ı hazard m˚ uˇze ˇclovˇeka dov´est aˇz k u ´vˇerov´emu podvodu. Ilustrac´ı n´am bud’ n´asleduj´ıc´ı smyˇslen´ y pˇr´ıbˇeh. Mlad´ y muˇz s perspektivn´ı kari´erou, kter´ y uˇz nem´a ˇza´dn´e pˇr´ıbuzn´e, se dozv´ı, ˇze mu zb´ yv´a mˇes´ıc ˇzivota. Rozhodne se, ˇze uskuteˇcn´ı sv˚ uj sen a procestuje USA. Bohuˇzel ale zjist´ı, ˇze m´a dost penˇez jen na letenku do Las Vegas. Proto se vyd´a do banky, kde zataj´ı sv˚ uj zdravotn´ı stav, a z´ısk´a u ´vˇer. Odlet´ı za sv´ ym snem s t´ım, ˇze pokud 24

bude m´ıt ˇstˇest´ı, tak v kasinech v Las Vegas bude vyhr´avat, pen´ıze zn´asob´ı a bude moct poznat i jin´a mˇesta a pˇr´ıpadnˇe i splatit u ´vˇer. Pokud ho ˇstˇestˇena nenavˇst´ıv´ı a vˇsechno prohraje, tak uvid´ı aspoˇ n Las Vegas. Banka uˇz sv´e pen´ıze neuvid´ı, coˇz je mu jedno, protoˇze jeho uˇz to tr´apit nebude. Mor´aln´ı hazard tu zap˚ usob´ı pr´avˇe proto, ˇze mlad´ık neponese pln´e n´asledky. I v pˇr´ıpadˇe, ˇze by mu banka u ´vˇer neposkytla, protoˇze by na jeho zdravotn´ı stav pˇriˇsla, jedn´a se o trestn´ y ˇcin u ´vˇerov´eho podvodu. Uˇz pokus o z´ısk´an´ı u ´vˇeru pˇri uveden´ı zkreslen´ ych ˇci nepravdiv´ ych u ´daj˚ u je klasifikov´an jako u ´vˇerov´ y podvod. Pozn´ amka 3.11. Tak´e pojistn´ y podvod souvis´ı s mor´aln´ım hazardem. Pokud majitel nemovitosti na ni uzavˇre se dvˇema r˚ uzn´ ymi pojiˇst’ovnami pojistn´e smlouvy se 40% u ´ˇcast´ı, potom ho jeho spolu´ uˇcast pˇri pojistn´e ud´alosti nebude nic st´at a ˇ jeˇstˇe vydˇel´a. Skodu z 60% zapalt´ı prvn´ı pojiˇst’ovna, on zaplat´ı 40% a od druh´e pojiˇst’ovny dostane 60%, coˇz n´am d´av´a celkovou spolu´ uˇcast −20%. V tomto pˇr´ıpadˇe je pojistn´a ud´alost ˇza´danou nebo se j´ı aspoˇ n nesnaˇz´ı zabr´anit a doch´az´ı k mor´aln´ımu hazardu. K trestn´ehu ˇcinu pojistn´eho podvodu doch´az´ı pˇri ˇcerp´an´ı druh´e pojistky, protoˇze u ˇskodov´eho pojiˇstˇen´ı, narozd´ıl tˇreba od ˇzivotn´ıho, nelze dostat pen´ıze za jednu pojistnou ud´alost dvakr´at, byt’ bychom ud´alost hl´asili pokaˇzd´e jin´e pojiˇst’ovnˇe.

3.3

Matematicky v´ yhodn´ a hra

Ve sv´ ych u ´vah´ach se budeme d´ale omezovat na hry, kde jsou pˇri s´azen´ı ˇcist´e zisky s kladnou pravdˇepodobnost´ı jak kladn´e tak i z´aporn´e. D´ıky tomu bude pro hr´aˇce s´azen´ı rizikov´e, i kdyˇz by vsadil proti hˇre. Necht’ koneˇcn´a re´aln´a diskr´etn´ı n´ahodn´a veliˇcina △S ∈ L(Ω,A, P) modeluje ˇcist´e zisky ze hry. Mnoˇzinou vˇsech pravdˇepodobn´ ych hodnot k ∈ R n´ahodn´e veliˇciny △S budeme rozumˇet mnoˇzinu K takovou, ˇze X pk = 1. (3.3) P(△S = k) = pk > 0 pro kaˇzd´e k ∈ K a k∈K

Oznaˇcme α := min{k ∈ K}, β := max{k ∈ K}.

(3.4)

Poˇzadujeme aby pro n´ahodnou veliˇcinu △S platilo α < 0 < β.

(3.5)

Mˇejme poˇca´teˇcn´ı kapit´al C0 = C > 0. Velikost s´ azky na hru budeme znaˇcit h. Protoˇze pro n´aˇs kapit´al mus´ı platit s.j.

C1 = C + h△S > 0,

(3.6)

omez´ıme se na h splˇ nuj´ıc´ı C1 = C + hα > 0,

C1 = C + hβ > 0.

25

(3.7)

Pozici g pˇr´ısluˇsnou velikosti s´azky h definujeme jako g := Ch a pˇredstavuje mnoˇzstv´ı vsazen´e z jednotky naˇseho kapit´alu. Podm´ınky (3.6) a (3.7) na velikost h lze pro g pˇrepsat jako s.j.

1 + g△S > 0,

(3.8)

1 + gα > 0, 1 + gβ > 0, tedy, ˇze g ∈ G := (−1/β, − 1/α).

(3.9)

Pozn´ amka 3.12. Pro velikost s´azky h a od n´ı odvozenou pozice g plat´ı, jestliˇze • g = 0 ⇔ h = 0, hry se ne´ uˇcastn´ıme, • g = 1 ⇔ h = C0 , veˇsker´ y kapit´al vsad´ıme do hry, • g ∈ (0,1) ⇔ h ∈ (0,C), vsad´ıme hodnotu h a ˇca´stku C − h si ponech´ame, • g > 1 ⇔ h > C, vsad´ıme v´ıc, neˇz m´ame, tud´ıˇz si p˚ ujˇc´ıme se z´avazkem, ˇze pozdˇeji vˇse splat´ıme, pokud si p˚ ujˇcit nelze, tak vsad´ıme h = C, • g < 0 ⇔ h < 0, pokud to lze, s´az´ıme proti hˇre, pokud to nejde, hry se ne´ uˇcastn´ıme. Pro γ ∈ (−∞,1) zavedeme pro lepˇs´ı pˇrehlednost n´asleduj´ıc´ı znaˇcen´ı ηγ (g) := E[uγ (1 + g△S)], g ∈ (−1/β, − 1/α),   ∂ ηγ (g) = E △S(1 + g△S)γ−1 , g ∈ (−1/β, − 1/α). εγ (g) := ∂g

Vˇ eta 3.3. Necht’ △S ∈ L(Ω,A, P) je koneˇcn´ a re´aln´ a diskr´etn´ı n´ ahodn´a veliˇcina splˇ nuj´ıc´ı (3.4-3.5). Pak ke kaˇzd´emu γ ∈ (−∞,1) existuje pr´ avˇe jedno gγ ∈ G z (3.9) takov´e, ˇze   (3.10) εγ (gγ ) = E △S(1 + gγ △S)γ−1 = 0 a nav´ıc gγ maximalizuje ηγ (g) = E[uγ (1 + g△S)] na G.

D˚ ukaz. Hled´ame gγ ∈ G takov´e, ˇze εγ (gγ ) = 0. Chceme, aby existovalo pr´avˇe jedno. Pro γ < 1 dostaneme rozpisem stˇredn´ı hodnoty na sumu, ˇze X εγ (g) = E[△S(1 + g△S)γ−1 ] = pk k(1 + gk)γ−1 , k∈K

kde K je mnoˇzina vˇsech pravdˇepodobn´ ych hodnot (3.3). Pro g ց − β1 plat´ı, ˇze εγ (g) →

X k∈K

pk k(1 −

1 γ−1 k) , β

kde ˇclen pβ β0γ−1 = ∞, protoˇze pβ β0γ−1 jsme z´ıskali jako lim

g→(−1/β)+

pβ β(1 + gβ)γ−1 = pβ β 26

lim

g→(−1/β)+

(1 + gβ)γ−1 .

(3.11)

Jelikoˇz 1 + gβ > 0, g ց −1/β a γ − 1 < 0, dostaneme lim

g→(−1/β)+

(1 + gβ)γ−1 = ∞,

coˇz dohromady s pβ > 0 a β > 0 d´av´a pβ β0γ−1 = ∞. Potom i cel´a suma (3.11) je rovna ∞, protoˇze vˇsechny ostatn´ı ˇcleny jsou koneˇcn´e. Podobnˇe pro limitn´ı pˇrechod g ր − α1 z´ısk´ame 1 + gα > 0, γ − 1 < 0, tedy lim

g→(−1/α)−

(1 + gα)γ−1 = ∞.

Opˇet pα > 0, ale α < 0, proto celkem dostaneme, ˇze εγ (g) →

X

k∈K

pk k(1 −

1 γ−1 k) = −∞. α

Funkce εγ (g) je zˇrejmˇe spojit´a v g na intervalu G, a tak nab´ yv´a mezihodnot, tud´ıˇz podle pˇredchoz´ıho nab´ yv´a vˇsech re´aln´ ych hodnot, neboli rng(εγ ) = R. D´ale pro derivaci funkce εγ (g) plat´ı ∂ ∂ ∂ εγ (g) = E[△S(1 + g△S)γ−1 ] = E[△S (1 + g△S)γ−1 ] = ∂g ∂g ∂g = (γ − 1) E[(△S)2 (1 + g△S)γ−2 ] < 0, kdykoli γ < 1 a g ∈ G, protoˇze plat´ı (3.8) a P((△S)2 6= 0) > 0. Celkem tedy funkce εγ (g) je ostˇre klesaj´ıc´ı a rng(εγ ) = R na intervalu G, proto existuje pr´avˇe jedno gγ ∈ G takov´e, ˇze εγ (gγ ) = 0. Protoˇze funkce εγ (g) je derivac´ı funkce ηγ (g) podle g, tak funkce ηγ (g) je konk´avn´ı na intervalu G, a proto v bodˇe gγ nab´ yv´a sv´eho jedin´eho maxima na G.  Pozn´ amka 3.13. Vˇeta 3.3 n´am ˇr´ık´a, ˇze pro hru △S splˇ nuj´ıc´ı (3.4-3.5) lze pro hr´aˇce s uˇzitkovou funkc´ı uγ , γ ∈ (−∞,1) z definice 2.5 nal´ezt pozici gγ maximalizuj´ıc´ı oˇcek´avan´ y uˇzitek hr´aˇcova kapit´alu. Nav´ıc pˇri n´ı d´ıky podm´ınce gγ ∈ G neriskuje bankrot. Pozn´ amka 3.14. Pokud m´ame C > 0, pak hγ := Cgγ za podm´ınky (3.6) maximalizuje E[uγ (C + hγ △S)]. Definice 3.4. Pˇri multiplikativn´ım modelu u matematicky v´ yhodn´e hry naz´ yv´a−1 me pozici g ∈ [0,ε−1 (0)] γ-relativnˇ e bezpeˇ c nou. Hraniˇ c n´ ı pozici g = ε (0), pak γ γ γ nazveme γ-optim´ aln´ı pozic´ı. Pro C > 0 naz´ yv´ame hγ := Cgγ γ-optim´ aln´ı velikost´ı s´ azky a s´azku h ∈ [0,hγ ] oznaˇcujeme jako γ-relativnˇe bezpeˇcnou velikost s´ azky. Pozn´ amka 3.15. Pro γ = 0 naz´ yv´ame γ-optim´aln´ı s´azku hγ s´azkou log-optim´ aln´ı.

27

Pozn´ amka 3.16. Pro matematicky v´ yhodnou hru (E[△S] > 0) je gγ = ε−1 γ (0) > 0, a protoˇze je funkce εγ (g) klesaj´ıc´ı, tak plat´ı   εγ (g) = E △S(1 + g△S)γ−1 > 0 pro kaˇzd´e g ∈ (0,gγ ).

Pro C > 0 potom z´ısk´av´ame, ˇze   Cεγ (g) = E △S(C + h△S)γ−1 > 0 pro kaˇzd´e g ∈ (0,gγ ),

coˇz je znak toho, ˇze v´ yˇse s´azky h nen´ı z hlediska uγ pˇrestˇrelen´a“. ” Vˇ eta 3.4. Pro △S splˇ nuj´ıc´ı (3.4-3.5) a E[△S] > 0 a hr´ aˇce, kter´y m´a uˇzitkovou funkci u0 (x) = ln(x), plat´ı, ˇze pozice g je relativnˇe bezpeˇcn´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz 0≤E

X kpk △S = , 1 + g△S 1 + kg k∈K

(3.12)

kde K je mnoˇzina (3.3). D˚ ukaz. Mˇejme poˇca´teˇcn´ı kapit´al C > 0, pak v ˇcase 1 m´ame C1 = C + h△S. Investice h0 m´a log-optim´aln´ı velikost pr´avˇe tehdy, kdyˇz   X kpk △S ∂ E[ln(C + h△S)] = E = 0. = ∂h C + h△S C + kh k∈K Necht’ h je relativnˇe bezpeˇcn´a velikost s´azky, pak h0 ≥ h ≥ 0 a z´ısk´av´ame 0=E

△S △S ≤E . C + h0 △S C + h△S

Po pˇreveden´ı do ˇreˇci pozice dost´av´ame podm´ınku na relativnˇe bezpeˇcnou velikost pozice (3.12).  Pozn´ amka 3.17. Pro hr´aˇce s uˇzitkovou funkc´ı uγ , γ ∈ (−∞,0) ∪ (0,1) lze analogicky dok´azat obdobu vˇety 3.4. Podm´ınka pro relativn´ı bezpeˇcnost pozice g pak je tvaru △S 0≤E . (1 + g△S)γ−1 Vˇ eta 3.5. Necht’ △S ∈ L(Ω,A, P) je koneˇcn´ a re´aln´ a diskr´etn´ı n´ ahodn´a veliˇcina splˇ nuj´ıc´ı (3.4-3.5) a nav´ıc E △S > 0. Pak pro kaˇzd´e g ∈ (0, − 1/α) existuje pr´ avˇe jedno γ ∈ (−∞,1) takov´e, ˇze g = gγ . Nav´ıc plat´ı gγ < gδ

pro − ∞ < γ < δ < 1.

28

(3.13)

D˚ ukaz. Nejprve dok´aˇzeme existenci γ. Pro γ → 1− m´ame X pk k(1 + gk)γ−1 lim εγ (g) = lim E[(1 + g△S)γ−1 △S] = lim γ→1−

γ→1−

=

X

k∈K

γ→1−

k∈K

pk k = E △S > 0.

Podobnˇe pro γ → −∞ dostaneme X X pk k(1 + gk)γ−1 = pk k lim (1 + gk)γ−1 . lim εγ (g) = lim γ→−∞

γ→−∞

k∈K

k∈K

γ→−∞

Podle pˇredpokladu je g > 0 a 1 + gk > 0 pro kaˇzd´e k ∈ K, tedy plat´ı  k<0  1−γ   ∞, 1 1, k=0 . lim (1 + gk)γ−1 = lim = γ→−∞ γ→−∞  1 + gk  0, k>0 Celkem z´ısk´av´ame

lim εγ (g) =

γ→−∞

X

k∈K

pk k(I[k=0] + ∞ · I[k<0] ) = −∞.

Funkce εγ (g) je zˇrejmˇe pro γ ∈ (−∞,1) spojit´a, a tak nab´ yv´a vˇsech mezihodnot, tud´ıˇz existuje γ˜ ∈ (−∞,1) takov´e, ˇze εγ˜ (g) = 0. Pro jednoznaˇcnost γ˜ postaˇc´ı dok´azat, ˇze funkce t(γ), kter´a γ ∈ (−∞,1) pˇriˇrazuje γ-optim´aln´ı s´azku gγ , je prost´a. Z´aroveˇ n pˇritom dok´aˇzeme i druhou ˇca´st vˇety. Necht’ gγ ∈ (0,∞) a necht’ −∞ < γ < δ < 1. Potom E[(1 + gγ △S)γ−1 △S] = 0,

E[(1 + gγ △S)δ−1 △S] = E[(1 + gγ △S)δ−1 △S] − E[(1 + gγ △S)γ−1 △S]

= E[△S(1 + gγ △S)γ−1 {(1 + gγ △S)δ−γ − 1}]. Pak v´ yraz (1 + gγ △S)δ−γ − 1 = (1 + gγ △S)δ−γ − 1 · sgn(△S), nebot’  △S > 0   > 0, = 0, △S = 0 . (1 + gγ △S)δ−γ − 1   < 0, △S < 0 Potom

E[(1 + gγ △S)δ−1 △S] = E[|△S|(1 + gγ △S)γ−1 |(1 + gγ △S)δ−γ − 1|] = E[|△S| · (1 + gγ △S)δ−1 − (1 + gγ △S)γ−1 ] > 0,

protoˇze v´ yraz (1 + gγ △S)δ−1 − (1 + gγ △S)γ−1 > 0 a P(△S 6= 0) > 0, coˇz je zaruˇceno podm´ınkou (3.5), jelikoˇz P(△S = α), P(△S = β) > 0. S´azka gγ nen´ı δ-optim´aln´ı, ale je δ-relativnˇe bezpeˇcnou s´azkou, a tedy funkce t(γ) je prost´a a plat´ı gγ < gδ . 

29

Pozn´ amka 3.18. Vˇeta 3.5 n´am ˇr´ık´a, ˇze u matematicky v´ yhodn´e hry △S splˇ nuj´ıc´ı (3.4-3.5) lze jednoznaˇcnˇe pˇriˇradit hr´aˇci jeho averzi v˚ uˇci riziku, pokud pˇredpokl´ad´ame, ˇze m´a uˇzitkovou funkci uγ a pro jeho pozici plat´ı g = gγ , tedy ˇze investuje γ-optim´alnˇe. Nerovnost (3.13) odpov´ıd´a tomu, ˇze hr´aˇc s vˇetˇs´ı averz´ı v˚ uˇci riziku zaujme menˇs´ı pozici. Pozn´ amka 3.19. D´ıky vˇetˇe 3.5 jde testovat hr´aˇce z hlediska averze v˚ uˇci riziku s t´ım, ˇze γ = 1 je naprost´a absence averze v˚ uˇci riziku. Pokud by nˇekdo dokonce s´azel z´apornou hodnotu na matematicky v´ yhodnou hru ˇci naopak s´azel na hazardn´ı hru, povaˇzujeme jej za hazard´era a naˇse stupnice pro nˇej nen´ı dostateˇcn´a. Pokud γ ∈ (0,1), hr´aˇc m´a averzi v˚ uˇci riziku, ale m˚ uˇze riskovat bankrot, protoˇze je jeho uˇzitkov´a funkce zdola omezen´a, tud´ıˇz je u nˇej pˇr´ıpadn´a n´achylnost k mor´aln´ımu hazardu. Pˇr´ıpad γ = 0 je nejracion´alnˇejˇs´ı pˇr´ıstup zaloˇzen´ y na siln´em z´akonu velk´ ych ˇc´ısel. Interpretujeme to jako absenci strachu. D´ale pak γ < 0 v absolutn´ı hodnotˇe interpretujeme jako m´ıru strachu ˇci ne´ uplnˇe nutnou racion´aln´ı opatrnost pˇri dan´ ych okolnostech (u hry multiplikativn´ıho charakteru s moˇznost´ı reinvestovat veˇsker´ y kapit´al a bankrotem pˇri nulov´em kapit´alu). ˇ Z´aci mohou soutˇeˇzit a kaˇzd´ y hr´at s´erii hry △S d´elky n a porovn´avat navz´ajem v´ ysledky. M˚ uˇze se st´at, ˇze pro mal´a n dojde k tomu, ˇze se ˇza´ci budou projevovat mor´aln´ım hazardem (γ ∈ (0,1)). K odfiltrov´an´ı tohoto jevu by mˇelo staˇcit nerestartov´an´ı her po n kolech, ale plynul´e navazov´an´ı. M˚ uˇze se st´at, ˇze nˇekdo zbankrotuje, pak by mˇel j´ıt z kola ven. Bude-li mu umoˇznˇen n´avrat do hry, opˇet to povede k mor´aln´ımu hazardu.

30

Kapitola 4 Investov´ an´ı do akcie a odvozen´ eho deriv´ atu 4.1

Jedno obdob´ı

Uvaˇzujme investora s n´asleduj´ıc´ımi dvˇema investiˇcn´ımi pˇr´ıleˇzitostmi na intervalu (0,1). Prvn´ı investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitost´ı je moˇznost investov´an´ı do procesu Sn modeluj´ıc´ıho cenu akcie. V pˇr´ıpadˇe, ˇze investor v ˇcase 0 investuje H jednotek, v ˇcase 1 si na sv˚ uj u ´ˇcet pˇrip´ıˇse hodnotu H · △S, kde △S := S1 − S0 , kde S0 ∈ R. Druhou investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitost´ı je deriv´at Sˆn s ˇcasem terminace t = 1. V pˇr´ıpadˇe, ˇze investor v ˇcase 0 investuje K jednotek do deriv´atu, v ˇcase 1 bude na jeho u ´ˇcet ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ pˇrips´ana ˇca´stka K · △S, kde △S := S1 − S0 a S0 ∈ R. To, ˇze druh´a investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitost je deriv´at, rozvineme matematick´ ym pˇredpokladem Sˆ1 ∈ L(S1 ), tedy Sˆ1 je mˇeˇritelnou funkc´ı S1 a existuje funkce f takov´a, ˇze Sˆ1 = f (S1 ). Pak plat´ı △Sˆ = Sˆ1 − Sˆ0 = f (△S + S0 ) − Sˆ0 . Je-li C0 > 0 poˇca´teˇcn´ı kapit´al investora, pak jeho kapit´al v ˇcase t = 1 m´a hodnotu ˆ C1 = C0 + H · △S + K · △S. Omez´ıme se na H, K ∈ R takov´e, ˇze C1 > 0, a mezi nimi hled´ame pro investora s uˇzitkovou funkc´ı uγ γ-optim´aln´ı investice. Pozn´ amka 4.1. Pro lepˇs´ı pˇrehlednost budeme pro uγ ve vzorc´ıch uˇz´ıvat substituci a = 1 − γ z pozn´amky 2.11.

D´ale budeme stanovovat bezarbitr´aˇzn´ı cenu deriv´atu Sˆ0 a podm´ınku zabraˇ nuˇ j´ıc´ı arbitr´aˇzn´ı pˇr´ıleˇzitosti. Casov´ a arbitr´aˇz je investiˇcn´ı strategie, kter´a vyuˇz´ıv´a cenov´ ych rozd´ıl˚ u stejn´eho zboˇz´ı na spotov´em a term´ınov´em trhu tak, aby investor dos´ahl bezrizikov´eho zisku. D´ıky globalizaci se na vyspˇel´ ych trz´ıch prakticky ned´a vyuˇz´ıt. Vˇ eta 4.1. Mˇejme proces Sn , modeluj´ıc´ı cenu akcie, takov´y, ˇze P(△S = s+ ) = p+ a P(△S = s− ) = p− , kde s− < 0 < s+ a p− + p+ = 1, a deriv´ at Sˆn s ˇcasem terminace t = 1. Necht’ investor m´a uˇzitkovou funkci uγ , γ ∈ (−∞, 1). Pak bezarbitr´aˇzn´ı podm´ınka m´a tvar △Sˆ+ s− − △Sˆ− s+ = (f (s+ + S0 ) − Sˆ0 )s− + (f (s− + S0 ) − Sˆ0 )s+ = 0 31

(4.1)

a bezarbitr´aˇzn´ı cena deriv´ atu v ˇcase 0 je f (s− + S0 )s+ − f (s+ + S0 )s− . Sˆ0 = s+ − s−

(4.2)

Pokud plat´ı (4.1-4.2), potom γ-optim´ aln´ı investice v ˇcasov´em intervalu (0,1) jsou K = 0,

H = C0

(p+ s+ )1/a − (−p− s− )1/a s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

a oˇcek´avan´y stˇredn´ı uˇzitek kapit´ alu C1 je E[uγ (C1 )] = p+ uγ



 C0 (s+ − s− )(p+ s+ )1/a + s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a   C0 (s+ − s− )(−p− s− )1/a + p − uγ . s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

D˚ ukaz. Spoˇcteme E uγ (C1 ) = p+ uγ (C0 + s+ H + K · △Sˆ+ ) + p− uγ (C0 + s− H + K · △Sˆ− ). Jedn´a se o funkci hladkou a konk´avn´ı v promˇenn´ ych H, K, proto budeme hledat stacion´arn´ı bod uvnitˇr mnoˇziny vymezen´e podm´ınkou C1 > 0, coˇz je podm´ınka na H a K. Protoˇze u′γ = x−a pro kaˇzd´e γ ∈ (−∞, 1), dost´av´ame ∂ E[uγ (C1 )] = ∂H = p+ s+ (C0 + s+ H + K△Sˆ+ )−a + p− s− (C0 + s− H + K△Sˆ− )−a = 0 ⇔ (p+ s+ )−1/a (C0 + s+ H + K△Sˆ+ ) = (−p− s− )−1/a (C0 + s− H + K△Sˆ− )

⇔ H[s+ (p+ s+ )−1/a − s− (−p− s− )−1/a ] + C0 [(p+ s+ )−1/a − (−p− s− )−1/a ]+ + K[△Sˆ+ (p+ s+ )−1/a − △Sˆ− (−p− s− )−1/a ] = 0.

Tedy

∂ ∂H

E[uγ (C1 )] = 0 pro

C0 [(−p− s− )−1/a − (p+ s+ )−1/a ] + K[△Sˆ− (−p− s− )−1/a − △Sˆ+ (p+ s+ )−1/a ] s+ (p+ s+ )−1/a − s− (−p− s− )−1/a C0 [(p+ s+ )1/a − (−p− s− )1/a ] + K[△Sˆ− (p+ s+ )1/a − △Sˆ+ (−p− s− )1/a ] = . (4.3) s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

H=

D´ale m´ame ∂ E[uγ (C1 )] = ∂K = p+ △Sˆ+ (C0 + s+ H + K△Sˆ+ )−a + p− △Sˆ− (C0 + s− H + K△Sˆ− )−a = 0 −p− s− p+ s+ △Sˆ+ s−1 △Sˆ− s−1 ⇔ + − − = 0 a a ˆ ˆ (C0 + s+ H + K△S+ ) (C0 + s− H + K△S− ) a a   1/a (−p s ) (p+ s+ )1/a − − −1 △Sˆ+ s+ − △Sˆ− s−1 ⇔ − = 0. ˆ ˆ C0 + s+ H + K△S+ C0 + s− H + K△S− 32

Za vyuˇzit´ı podm´ınky (4.3) a d´ıky poˇzadavku C1 > 0 z´ısk´ame C0 + s− H + K△Sˆ− C0 + s+ H + K△Sˆ+ = = (p+ s+ )1/a (−p− s− )1/a = Potom

∂ ∂K

C0 (s+ − s− ) + K(s+ △Sˆ− − s− △Sˆ+ ) > 0. s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

E[uγ (C1 )] = 0 pr´avˇe tehdy, kdyˇz

s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a C0 (s+ − s− ) + K(s+ △Sˆ− − s− △Sˆ+ )

!a

  ˆ− s−1 = 0. △Sˆ+ s−1 − △ S + −

Nelze, aby s+ (−p− s− )1/a = s− (p+ s+ )1/a , nebot’ s− < 0 < s+ . Proto mus´ı platit ˆ −1 △Sˆ+ s−1 + − △ S− s − = 0 ⇔ △Sˆ+ s− − △Sˆ− s+ = 0.

(4.4)

Stacion´arn´ı bod tedy existuje pr´avˇe tehdy, kdyˇz jsou splnˇeny rovnosti (4.3) a (4.4), pˇriˇcemˇz (4.4) nez´avis´ı na volbˇe H a K, ale je podm´ınkou na deriv´at Sˆn . Kdyˇz bod (H, K) je stacion´arn´ım bodem funkce E uγ (C1 ), pak pro investor˚ uv kapit´al v ˇcase 1 plat´ı, ˇze nez´avis´ı na volbˇe K, protoˇze C1+ = C0 + Hs+ + K△Sˆ+ K(p+ s+ )1/a (△Sˆ− s+ − △Sˆ+ s− ) C0 (p+ s+ )1/a (s+ − s− ) + s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a C0 (p+ s+ )1/a (s+ − s− ) = , s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

=

pokud △S = s+ , a C1− = C0 + Hs− + K△Sˆ−

K(−p− s− )1/a (△Sˆ− s+ − △Sˆ+ s− ) C0 (−p− s− )1/a (s+ − s− ) + s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a C0 (−p− s− )1/a (s+ − s− ) = , s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

=

pokud △S = s− , pˇriˇcemˇz v prvn´ım kroku jsme vˇzdy dosadili podm´ınku na tvar investice H (4.3) a v druh´em kroku jsme vyuˇzili podm´ınky na deriv´at Sˆn (4.4). D´ale plat´ı, ˇze P(C1 = C1+ ) = p+ , P(C1 = C1− ) = p− , proto stˇredn´ı uˇzitek kapit´alu C1 nez´avis´ı na volbˇe K a je roven E[uγ (C1 )] = p+ uγ



 C0 (s+ − s− )(p+ s+ )1/a + s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a   C0 (s+ − s− )(−p− s− )1/a . + p − uγ s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a 33

Proto jedna z γ-optim´aln´ıch strategi´ı je K = 0 a H = C0

(p+ s+ )1/a − (−p− s− )1/a . s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

Pokud by podm´ınka (4.4) neplatila, pak △Sˆ+ s− − △Sˆ− s+ 6= 0. Potom pˇri ˆ −△Sˆ+ pro kapit´al C1 plat´ı volbˇe H = K △Ss−+ −s − C1+ = C0 + s+ H + K△Sˆ+ = C0 + K

△Sˆ− s+ − △Sˆ+ s+ + △Sˆ+ s+ − △Sˆ+ s− , s+ − s−

pokud △S = s+ , a C1− = C0 + s− H + K△Sˆ− = C0 + K

△Sˆ− s− − △Sˆ+ s− + △Sˆ− s+ − △Sˆ− s− , s+ − s−

pokud △S = s− , tedy △Sˆ− s+ − △Sˆ+ s− C1 = C0 + K s+ − s−

(

> C0 < C0

pro △Sˆ+ s− − △Sˆ− s+ > 0 pro △Sˆ+ s− − △Sˆ− s+ < 0

.

V tom pˇr´ıpadˇe jsme volbou K → ∞ nebo K → −∞ schopni dos´ahnout v ˇcase 1 jakkoli vysok´e pˇredepsan´e hranice kapit´alu a doch´az´ı k arbitr´aˇzi. Proto podm´ınka (4.4) je podm´ınkou neexistence arbitr´aˇze. Jestliˇze podm´ınka (4.4) plat´ı, pak △Sˆ+ s− − △Sˆ− s+ = (f (s+ + S0 ) − Sˆ0 )s− + (f (s− + S0 ) − Sˆ0 )s+ = 0 a pro bezarbitr´aˇzn´ı cenu deriv´atu v ˇcase 0 z´ısk´av´ame f (s− + S0 )s+ − f (s+ + S0 )s− Sˆ1− s+ − Sˆ1+ s− Sˆ0 = = . s+ − s− s+ − s−  Pozn´ amka 4.2. Z vˇety 4.1 je vidˇet, ˇze bezarbitr´aˇzn´ı cena deriv´atu Sˆ0 nez´avis´ı ani na uˇzitkov´e funkci investora uγ ani na pravdˇepodobnostech p+ ,p− , s jak´ ymi nastane zisk s+ nebo ztr´ata s− , ale pouze na velikosti s+ a s− pˇri jednotkov´e investici. ˇ Definice 4.1. Rekneme, ˇze pravdˇepodobnostn´ı m´ıra Q vyvaˇzuje n´ ahodnou veliˆ ˆ ˇcinu S1 na hodnotu S0 , pokud Sˆ0 = EQ Sˆ1 . Pozn´ amka 4.3. Vyvaˇzuj´ıc´ı m´ıra z vˇety 4.1 je Q(Sˆ1 = Sˆ1+ ) = q+ =

s+ −s− , Q(Sˆ1 = Sˆ1− ) = q− = . s+ − s− s+ − s−

Pro Q(△S = s+ ) = q+ , Q(△S = s− ) = q− plat´ı EQ △S = s+

s+ −s− + s− = 0. s+ − s− s+ − s− 34

Pˇ r´ıklad 4.1. Mˇejme dvˇe investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitosti na intervalu (0,1). Prvn´ı je akcie s cenou odpov´ıdaj´ıc´ı procesu Sn , kde △S ∼ R{−1,1}. Druhou je deriv´at na tuto akcii Sˆn s ˇcasem terminace t = 1. Za vyuˇzit´ı vˇety 4.1, z´ısk´av´ame n´asleduj´ıc´ı: bezarbitr´aˇzn´ı cena deriv´atu je f (−1 + S0 ) + f (1 + S0 ) = EQ Sˆ1 , Sˆ0 = 2

kde Q je vyvaˇzuj´ıc´ı m´ıra.

Pokud Q = P, pak pro investora s uˇzitkovou funkc´ı uγ (x), γ ∈ (−∞,1) jsou γ-optim´aln´ı investice H = K = 0. Pˇ r´ıklad 4.2. Pokud v pˇr´ıkladu 4.1 zmˇen´ıme rozdˇelen´ı △S na P(△S = −1) = q = 1 − q,

P(△S = 1) = p,

p ∈ (0,1),

tak se bezarbitr´aˇzn´ı cena deriv´atu nemˇen´ı, a pokud Q = P, pak pro investora s uˇzitkovou funkc´ı uγ (x) = ln(x), tj. a = 1 − γ = 1, jsou K = 0,

H = C0

p − (1 − p) = C0 (2p − 1) p + (1 − p)

log-optim´aln´ı investice a E ln(C1 ) = p ln(2C0 p) + (1 − p) ln(2C0 (1 − p)) = = ln 2 + ln C0 + p ln p + (1 − p) ln(1 − p) oˇcek´avan´ y uˇzitek. V pˇr´ıpadˇe uˇzitkov´e funkce uγ (x), γ ∈ (−∞,0) ∪ (0,1) jsou γ-optim´aln´ı investice K = 0,

H = C0

p1/a − (1 − p)1/a , p1/a + (1 − p)1/a

kde a = 1 − γ, a oˇcek´avan´ y uˇzitek 1−a 1−a   1−p 2C0 p1/a 2C0 (1 − p)1/a p + . E[uγ (C1 )] = 1 − a (1 − p)1/a + p1/a 1 − a (1 − p)1/a + p1/a Pˇ r´ıklad 4.3. Mˇejme investora s uˇzitkovou funkc´ı uγ (x) = ln(x), kter´ y m´a dvˇe investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitosti na intervalu (0,1). Prvn´ı je akcie s cenou odpov´ıdaj´ıc´ı procesu Sn , kde △S ∼ R{a,b}, a < 0 < b. Druhou je deriv´at na tuto akcii Sˆn s ˇcasem terminace t = 1. Opˇet vyuˇzijeme vˇetu 4.1 a dostaneme, ˇze bezarbitr´aˇzn´ı cena deriv´atu je b△Sˆ− − a△Sˆ+ Sˆ0 = = EQ Sˆ1 , b−a −a kde Q(Sˆ1 = △Sˆ+ + Sˆ0 = Sˆ1+ ) = b−a a Q(Sˆ1 = △Sˆ− + Sˆ0 = Sˆ1− ) = vyvaˇzuj´ıc´ı m´ıra. Log-optim´aln´ı investice jsou napˇr´ıklad

K = 0,

H = C0

+ 21 a a+b = C0 . −ab −2ab

1 b 2

35

b b−a

je

Oˇcek´avan´ y uˇzitek potom je     1 1 C0 (b + a)b C0 (b + a)(−a) E ln(C1 ) = ln + ln = 2 −2ab 2 −2ab 1 1 = ln(b + a) + ln C0 − ln(−2ab) + ln(−a) + ln(b). 2 2 Pˇ r´ıklad 4.4. Mˇejme investora s uˇzitkovou funkc´ı ua (x) = ln(x) a dvˇe investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitosti na intervalu (0,1). Prvn´ı je akcie s cenou odpov´ıdaj´ıc´ı procesu Sn , kde △S ∼ R{−1,0,1}. Druhou je deriv´at na tuto akcii Sˆn s ˇcasem terminace t = 1, pro kter´ y plat´ı   △Sˆ+ , △S = 1   △Sˆ △Sˆo , △S = 0 .    △Sˆ− , △S = −1 Zaj´ım´a n´as, za jak´ ych podm´ınek um´ıme urˇcit bezarbitr´aˇzn´ı cenu deriv´atu a jak m´a investor log-optim´alnˇe investovat. Oˇcek´avan´ y uˇzitek je hladk´a konk´avn´ı funkce v promˇenn´ ych H, K a m´a tvar

E ln C1 =

1 1 1 ln(C0 + H + K · △Sˆ+ ) + ln(C0 + K · △Sˆo ) + ln(C0 − H + K · △Sˆ− ). 3 3 3

Hled´ame jeho stacion´arn´ı bod. Odpov´ıdaj´ıc´ı podm´ınky jsou ∂ 1 1 E ln C1 = − ˆ ∂H 3(C0 + H + K · △S+ ) 3(C0 − H + K · △Sˆ− ) −2H + K(△Sˆ− − △Sˆ+ ) = 0, = 3(C0 + H + K · △Sˆ+ )(C0 − H + K · △Sˆ− ) ∂ △Sˆ+ △Sˆo △Sˆ− E ln C1 = + + = 0. ∂K 3(C0 + H + K△Sˆ+ ) 3(C0 + K△Sˆo ) 3(C0 − H + K△Sˆ− ) Plat´ı

K ∂ E ln C1 = 0 ⇔ H = (△Sˆ− − △Sˆ+ ). ∂H 2

(4.5)

Za t´eto podm´ınky △Sˆ− + △Sˆ+ C0 + H + K△Sˆ+ = C0 − H + K△Sˆ− = C0 + K 2 a (△Sˆ+ + △Sˆ− )(C0 + K△Sˆo ) + △Sˆo (C0 + K2 (△Sˆ− + △Sˆ+ )) ∂ , E ln C1 = ∂K 3(C0 + K2 (△Sˆ− + △Sˆ+ ))(C0 + K△Sˆo ) tud´ıˇz 3 ∂ E ln C1 = 0 ⇔ K△Sˆo (△Sˆ− + △Sˆ+ ) + C0 (△Sˆ+ + △Sˆ− + △Sˆo ) = 0. (4.6) ∂K 2 Pokud △Sˆo = 0, pak se jedn´a o analogii pˇr´ıkladu 4.1 a △Sˆ− + △Sˆ+ = 0 d´av´a spravedlivou cenu. Pokud △Sˆ+ + △Sˆ− = 0, pak (4.6) m´a tvar C0 △Sˆo = 0 a bezarbitr´aˇzn´ı cenu 36

m´ame jen tehdy, pokud △Sˆo = 0. V ostatn´ıch pˇr´ıpadech △Sˆo (△Sˆ+ +△Sˆ− ) 6= 0 nem´ame zp˚ usob, jak deriv´at ocenit, pouze jej vyuˇz´ıv´ame jako investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitost. Potom lze podm´ınku (4.6) pˇrepsat jako △Sˆ+ + △Sˆ− + △Sˆo K = −2C0 (4.7) 3△Sˆo (△Sˆ+ + △Sˆ− ) a log-optim´aln´ı investice jsou tvaru (4.7) pro K a (4.5) pro H. ˆ+ +△Sˆ− ˆ Sˆ+ = 23 C0 (1 − △S2△ ) a pro kapit´al C1 plat´ı Pak C0 + K △S− +△ 2 Sˆ o

  2 ˆ  C 1− C + H + K△ S = 0 +  3 0    C1 = C0 − H + K△Sˆ− = 23 C0 1 −      1 ˆ C0 + K△So = 3 C0 1 −

4.2

△Sˆ+ +△Sˆ− 2△Sˆo

 

, pokud △S = 1

△Sˆ+ +△Sˆ− , 2△Sˆo  2△Sˆo , △Sˆ+ +△Sˆ−

pokud △S = −1 . pokud △S = 0

Dvˇ e a v´ıce obdob´ı

Nyn´ı budeme uvaˇzovat investora, kter´ y bude investovat do pˇredchoz´ıch stoˆ chastick´ ych proces˚ u Sn a Sn v ˇcasov´em obdob´ı (0,2). Potom v pˇr´ıpadˇe, ˇze investor v ˇcase 0 investuje H1 jednotek do akcie, pˇrip´ıˇse si v ˇcase 1 si na sv˚ uj u ´ˇcet H1 ·△S1 , kde △S1 = S1 − S0 . Podobnˇe investuje-li v ˇcase 1 H2 jednotek, pak v ˇcase 2 inkasuje H2 · △S2 , kde △S2 = S2 − S1 . Pro deriv´at modelovan´ y procesem Sˆn plat´ı, ˇze pokud investor v ˇcase 0 investuje K1 jednotek do deriv´atu, v ˇcase 1 bude na jeho u ´ˇcet pˇrips´ana ˇca´stka K1 · △Sˆ1 , kde △Sˆ1 = Sˆ1 − Sˆ0 , a pokud investuje v ˇcase 1 ˇca´stku K2 , potom obdrˇz´ı v ˇcase 2 ˇca´stku K2 · △Sˆ2 , kde △Sˆ2 = Sˆ2 − Sˆ1 . Nav´ıc plat´ı Sˆ1 ∈ L(S1 ), Sˆ2 ∈ L(S1 ,S2 ) a H2 , K2 ∈ L(S1 ). Investor˚ uv kapit´al v ˇcase 2 m´a tvar C2 = C0 + H1 △S1 + H2 △S2 + K1 △Sˆ1 + K2 △Sˆ2 = C1 + H2 △S2 + K2 △Sˆ2 . Mˇejme proces Sn modeluj´ıc´ı cenu akcie takov´ y, ˇze P(△S1 = s+ ) = p+ ,

P(△S1 = s− ) = p− ,

kde s− < 0 < s+ a p− + p+ = 1, P(△S2 = s++ |△S1 = s+ ) = p++ ,

P(△S2 = s+− |△S1 = s+ ) = p+− ,

kde s+− < 0 < s++ a p++ + p+− = 1, P(△S2 = s−+ |△S1 = s− ) = p−+ ,

P(△S2 = s−− |△S1 = s− ) = p−− ,

kde s−− < 0 < s−+ a p−+ + p−− = 1, a deriv´at Sˆn s ˇcasem terminace t = 2. Nejdˇr´ıve urˇc´ıme, jak vypad´a vyvaˇzuj´ıc´ı m´ıra pro dvˇe obdob´ı a zda je urˇcena jednoznaˇcnˇe.

37

Definice 4.2. M´ame-li posloupnost re´aln´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin (Mk )n0 na (Ω,A), kde M0 ∈ R, a pravdˇepodobnostn´ı m´ıru Q takovou, ˇze (Mk )n0 jsou Q-integrovateln´e, pak ˇrekneme, ˇze m´ıra Q vyvaˇzuje tuto posloupnost, pokud pro 0 ≤ k ≤ n plat´ı Z Z Mk dQ = Mn dQ kdykoli F ∈ Fk , (4.8) F

F

kde Fk je filtrace definovan´a jako F0 = {∅,Ω} a Fk = σ(M1 , . . . , Mk ), 1 ≤ k ≤ n. Jinak ˇreˇceno Q je vyvaˇzovac´ı m´ıra, jestliˇze n´ahodn´e veliˇciny Mk , . . . ,Mn na mnoˇzinˇe F ∈ Fk d´avaj´ı v˚ uˇci Q stejnou stˇredn´ı hodnotu. Podm´ınku (4.8) lze ekvivalentnˇe ps´at EQ [Mk ; M1 < c1 , . . . ,Mk < ck ] = EQ [Mn ; M1 < c1 , . . . ,Mk < ck ] kdykoli k ≤ n a (c1 , . . . ,ck ) ∈ Rk .

Pozn´ amka 4.4. Pro stˇredn´ı hodnotu plat´ı EQ Mk = M0 pro 0 ≤ k ≤ n.

Vˇ eta 4.2. Pro deriv´ at Sˆn odvozen´y od procesu Sn uveden´eho v´yˇse existuje na intervalu (0,2) pr´ avˇe jedna vyvaˇzuj´ıc´ı m´ıra Q na σ(S1 ,S2 ). Plat´ı pro ni s− s+− Q(△Sˆ2 = Sˆ2++ ) = , (s+ − s− )(s++ − s+− ) −s− s++ , Q(△Sˆ2 = Sˆ2+− ) = (s+ − s− )(s++ − s+− ) s− s−− Q(△Sˆ2 = Sˆ2−+ ) = , (s+ − s− )(s−+ − s−− ) −s− s−+ Q(△Sˆ2 = Sˆ2−− ) = . (s+ − s− )(s−+ − s−− )

D˚ ukaz. V ˇcasov´em intervalu (1,2) m´ame jednostupˇ nov´ y model, proto podle ˆ pozn´amky 4.3 dostaneme, ˇze pokud S1 = s+ (tedy S1 = Sˆ1+ ), tak vyvaˇzovac´ı m´ıra mus´ı splˇ novat s++ −s+− , Q(Sˆ2 = Sˆ2+− |Sˆ1 = Sˆ1+ ) = , Q(Sˆ2 = Sˆ2++ |Sˆ1 = Sˆ1+ ) = s++ − s+− s++ − s+− a jestli S1 = s− (tedy Sˆ1 = Sˆ1− ), tak −s−− Q(Sˆ2 = Sˆ2−+ |Sˆ1 = Sˆ1− ) = , s−+ − s−−

Q(Sˆ2 = Sˆ2−− |Sˆ1 = Sˆ1− ) =

s−+ . s−+ − s−−

Nav´ıc pro ˇcasov´ y interval (0,1) v´ıme, ˇze vyvaˇzovac´ı m´ıra mus´ı splˇ novat Q(Sˆ1 = Sˆ1+ ) =

−s− , s+ − s−

Q(Sˆ1 = Sˆ1− ) =

s+ . s+ − s−

Celkem za pomoci vˇety o u ´pln´e pravdˇepodobnosti z´ısk´ame

Q(△Sˆ2 = Sˆ2++ ) = Q(Sˆ1 = Sˆ1+ )Q(Sˆ2 = Sˆ2++ |Sˆ1 Q(△Sˆ2 = Sˆ2+− ) = Q(Sˆ1 = Sˆ1+ )Q(Sˆ2 = Sˆ2+− |Sˆ1 Q(△Sˆ2 = Sˆ2−+ ) = Q(Sˆ1 = Sˆ1− )Q(Sˆ2 = Sˆ2−+ |Sˆ1 Q(△Sˆ2 = Sˆ2−− ) = Q(Sˆ1 = Sˆ1− )Q(Sˆ2 = Sˆ2−− |Sˆ1

= Sˆ1+ ), = Sˆ1+ ), = Sˆ1− ), = Sˆ1− ),

coˇz n´am d´av´a jedinou vyvaˇzovac´ı m´ıru Q. 

38

Pozn´ amka 4.5. Z vˇety 4.2 je opˇet vidˇet, ˇze vyvaˇzovac´ı m´ıra Q nez´avis´ı ani na uˇzitkov´e funkci investora uγ ani na pravdˇepodobnostech p+ , p− , p++ , p+− , p−+ , p−− , ale jen na hodnot´ach s+ , s− , s++ , s+− , s−+ , s−− . Pozn´ amka 4.6. Kdyˇz jsou u ´lohy max v(x), max w(x) ekvivalentn´ı, tj. x∈X

x∈X

max v(x) = max w(x) a arg max v(x) = arg max w(x), x∈X

x∈X

x∈X

x∈X

budeme ps´at max v(x) ∼ max w(x). x∈X

x∈X

Vˇ eta 4.3. Mˇejme investora s uˇzitkovou funkc´ı u0 (x) = ln(x), kter´y m˚ uˇze na intervalu (0,2) investovat do procesu Sn uveden´eho v´yˇse a do bezarbitr´aˇznˇe ocenˇen´eho deriv´ atu Sˆn od nˇej odvozen´eho. Potom log-optim´ aln´ı investice v ˇcase 0 je K1 = 0,

H1 = C 0

p+ s+ + p− s− −s+ s−

a v ˇcase 1 p++ s++ + p+− s+− , −s++ s+− p−+ s−+ + p−− s−− = C0 , −s−+ s−−

K2+ = 0,

H2+ = C0

pokud △S1 = s+ ,

K2− = 0,

H2−

pokud △S1 = s− .

ˇ s´ıme u D˚ ukaz. Reˇ ´lohu max

H1 ,H2 ,K1 ,K2

E ln C2 .

(4.9)

Plat´ı, ˇze E ln C2 = E ln C1 + E ln(C2 /C1 ) = E ln C1 + E[E[ln(C2 /C1 )|△S1 ]]. Pˇri maximalizaci pˇres H2 , K2 u E[E[ln(C2 /C1 )|△S1 ]] (postupem z d˚ ukazu vˇety 4.1) z´ısk´ame stejn´e K2+ , H2+ , K2− , H2− jako pro E[E[ln C2 |△S1 ]] u jednostupˇ nov´eho modelu pro obdob´ı (1,2) podle vˇety 4.1. Tedy E[E[ln(C2 /C1 )|△S1 ]] je maxim´aln´ı pro p++ s++ + p+− s+− , −s++ s+− p−+ s−+ + p−− s−− = C1− , −s−+ s−−

K2+ = 0,

H2+ = C1+

pokud △S1 = s+ ,

K2− = 0,

H2−

pokud △S1 = s− .

Potom C2 = C1+

(

p++ (s++ −s+− ) , −s+− p+− (s++ −s+− ) , s++

C2 = C1−

(

p−+ (s−+ −s−− ) , −s−− p−− (s−+ −s−− ) , s−+

pokud △S1 = s+ a △S2 = s++ pokud △S1 = s+ a △S2 = s+− pokud △S1 = s− a △S2 = s−+ pokud △S1 = s− a △S2 = s−−

,

,

tud´ıˇz E[E[ln C2 /C1 |△S1 ]] nez´avis´ı na C1 a tedy ani na volbˇe H1 , K1 . Proto se u ´loha (4.9) rozpad´a na u ´lohy max E ln C1 ,

H1 ,K1

max E[E[ln(C2 /C1 )|△S1 ]] ∼ max E[E[ln C2 |△S1 ]]. H2 ,K2

H2 ,K2

39

Druhou z nich jsme pr´avˇe vyˇreˇsili a log-optim´aln´ı s´azku pro E ln C1 n´am d´av´a opˇet vˇeta 4.1.  Pozn´ amka 4.7. Dvoustupˇ nov´ y model pro uˇzitkovou funkci u0 (x) = ln(x) ilustruje princip zpˇetn´e indukce logaritmick´e uˇzitkov´e funkce, kde u hled´an´ı log-optim´aln´ı investice pro n obdob´ı postupujeme odzadu po jednom obdob´ı. Odpov´ıd´a to urˇcit´emu procesu pˇrizp˚ usobov´an´ı se. Zpˇetn´ y postup se vyuˇz´ıv´a napˇr´ıklad i pˇri oceˇ nov´an´ı finanˇcn´ıch deriv´at˚ u. Vˇ eta 4.4. Mˇejme investora s uˇzitkovou funkc´ı uγ (x), γ < 0, kter´y m˚ uˇze na intervalu (0,2) investovat do procesu Sn a do bezarbitr´aˇznˇe ocenˇen´eho deriv´ atu ˆ Sn od nˇej odvozen´eho. Necht’ △S1 a △S2 jsou nez´ avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e n´ ahodn´e veliˇciny s rozdˇelen´ım P(△Si = s+ ) = p+ a P(△Si = s− ) = p− , kde s− < 0 < s+ a p− + p+ = 1. Pak γ-optim´ aln´ı investice jsou: K1 = 0, K2 = 0,

C0 [(p+ s+ )1/a − (−p− s− )1/a ] , s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a C1 [(p+ s+ )1/a − (−p− s− )1/a ] H2 = . s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a H1 =

D˚ ukaz. Postupem z d˚ ukazu vˇety 4.1 lze ovˇeˇrit, ˇze u ´loha max E[E[uγ (C2 /C1 )|△S1 ]]

H2 ,K2

je ekvivalentn´ı u ´loze max E[E[uγ (C2 )|△S1 ]],

H2 ,K2

kdyˇz C1 = 1, pro kterou plat´ı jednostupˇ nov´ y model. Proto K2 = 0,

H2 =

C1 [(p+ s+ )1/a − (−p− s− )1/a ] . s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

Potom C2 /C1 nez´avis´ı na volbˇe K1 , H1 , protoˇze  (s+ −s− )(p+ s+ )1/a C2  s+ (−p− s− )1/a −s− (p+ s+ )1/a pro △S2 = s+ , = (s+ −s− )(−p− s− )1/a C1  pro △S = s 2 − s+ (−p− s− )1/a −s− (p+ s+ )1/a

Tedy

1−a   1 1−a  1 1−a a a a a (s+ − s− )  1  p+ s+ + p− (−s− ) E[E[uγ (C2 /C1 )|△S1 ]] =   1−a s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

nez´avis´ı na volbˇe K1 , H1 a je maxim´aln´ı pro K2 , H2 . (1−a) Jelikoˇz uγ (C2 ) = C1 uγ (C2 /C1 ), tak (1−a)

E uγ (C2 ) = E[E[uγ (C2 )|△S1 ]] = E[E[C1

uγ (C2 /C1 )|△S1 ]] = (1−a)

= E[C1 40

E[uγ (C2 /C1 )|△S1 ]].

Protoˇze H2 , K2 ∈ L(H1 ,K1 ), tak m´ame max ( max E uγ (C2 )) ∼ 

H1 ,K1 H2 ,K2



1 a

1−a a

1 a

1−a a



1−a 

(1−a) (s+ − s− )  C  p+ s+ + p− (−s− ) ∼ max E  1   H1 ,K1 1−a s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

 

1−a    1 1−a  1 1−a a a a a (s+ − s− )     p+ s+ + p− (−s− ) ∼ max E uγ (C1 )   , H1 ,K1 s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a 

coˇz odpov´ıd´a u ´loze max E uγ (C1 ), kter´a m´a podle jednostupˇ nov´eho modelu ˇreˇsen´ı H1 ,K1

C0 [(p+ s+ )1/a − (−p− s− )1/a ] . H1 = s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a

K1 = 0,

 Pokud △S1 a △S2 nejsou nez´avisl´e, tak k urˇcen´ı γ-optim´aln´ıch investic nelze doj´ıt pouze pomoc´ı vzorce pro jednostupˇ nov´ y model, jak ilustruje n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 4.5. Mˇejme investora s uˇzitkovou funkc´ı u−1 (x), a = 1 − γ = 2, kter´ y m˚ uˇze na intervalu (0,2) investovat do procesu Sn . Necht’ △S1 ∼ R{−2,1}, (△S2 |△S1 = −1) ∼ R{−2,1}, (△S2 |△S1 = 2) ∼ R{−1,1}. Potom C1+ = C0 + H, C1− = C0 − 2H. Pokud △S1 = s+ , pak na intervalu (1,2) dostaneme velikost γ-optim´aln´ı investice podle jednostupˇ nov´eho modelu tvaru √ √ 0,5 − 0,5 √ = C1+ =0 1 = C1+ √ 1 0,5 + 0,5 s++ (−p+− s+− ) a − s+− − (p++ s++ ) a 1

H2+

1

(p++ s++ ) a − (−p+− s+− ) a

a pˇri △S1 = s− je

√ 0,5 − 1 1− 2 √ = C1− √ . = C1− 1 1 = C1− 1 + 2 0,5 2+2 s−+ (−p−− s−− ) a − s−− − (p−+ s−+ ) a 1

1

H2−

(p−+ s−+ ) a − (−p−− s−− ) a

√

Po dosazen´ı z´ısk´ame pro v´ yˇsi investorova kapit´alu v ˇcase 2, ˇze kdyˇz △S1 = s+ , pak C2++ = C1+ + H2+ = C1+ , C2+− = C1+ − H2+ = C1+ , 41

a kdyˇz △S1 = s− , pak C2−+ C2−−

√ 2+2+1− 2 3 √ = C1− √ , = C1− + H2− = C1− 2+2 2+2 √ √ 2+2−2+2 2 3 √ = C1− − 2H2− = C1− = C1− √ . 2+2 2+1 √

Spoˇcteme podm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotu oˇcek´avan´eho uˇzitku v ˇcase 2:   1 −1 1 −1 −1 1 + = = u2 (C1+ ), E[u2 (C2 )|△S1 = s+ ] = E − |△S1 = 1 = C2 2 C1+ 2 C1+ C1+ √ √   1 11+ 2 1 2+2 E[u2 (C2 )|△S1 = s− ] = E − |△S1 = −1 = − − = C2 2 3C1− 2 3C1− √ √ (1 + 2)2 −1 (1 + 2)2 = u2 (C1− ) . = C1− 6 6 Potom tedy √ 1 1 (1 + 2)2 E u2 (C2 ) = E[E[u2 (C2 )|△S1 ]] = u2 (C1+ ) + u2 (C1− ) 2 2 6 a plat´ı 1 max(max E u2 (C2 )) ∼ max H1 ,K1 2 H2 H1

√ ! (1 + 2)2 u2 (C1+ ) + u2 (C1− ) . 6

Hled´ame stacion´arn´ı bod. Odpov´ıdaj´ıc´ı podm´ınka je √ (1 + 2)2 1 ∂ − =0 E u2 (C2 ) = ∂H1 2(C0 + H1 )2 6(C0 − 2H1 )2 √ √ 6 ⇔ 2(C0 + H1 ) = √ (C0 − 2H1 ) 2+1 √ √ 3− 2−1 √ . ⇔ H1 = C 0 √ 2 3+ 2+1

(4.10)

Pokud spoˇcteme γ-optim´aln´ı v´ yˇsi s´azky H1 v ˇcasov´em intervalu (0,1) podle jednostupˇ nov´eho modelu, dostaneme √ √ 1− 2 C0 [(p+ s+ )1/a − (−p− s− )1/a ] 0,5 − 1 √ √ . = C0 H1 = (4.11) = C0 s+ (−p− s− )1/a − s− (p+ s+ )1/a 1 + 2 0,5 2+ 2 Volba (4.10) vypoˇcten´a pˇres dvˇe obdob´ı n´am d´av´a vˇetˇs´ı oˇcek´avan´ y uˇzitek v ˇcase 2 neˇz volba (4.11) vypoˇcten´a pouze pˇres jedno obdob´ı. Pozn´ amka 4.8. Pˇr´ıklad 4.5 vyluˇcuje platnost obdoby vˇety 4.4 v pˇr´ıpadˇe, kdyˇz △S1 a △S2 nejsou nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny.

42

Kapitola 5 Pˇ r´ıklady nejen pro z´ akladn´ı a stˇ redn´ı ˇ skolu 5.1

Rozd´ıly v investov´ an´ı do akci´ı a do futures

Existuj´ı dva druhy nepodm´ınˇen´ ych term´ınovan´ ych kontrakt˚ u forward a futures. Forward je cenn´ y pap´ır zavazuj´ıc´ı prodat (kr´atk´a pozice) nebo koupit (dlouh´a pozice) podkladov´e aktivum v dohodnut´em ˇcase za pˇredem danou cenu. Cena kontraktu je stanovena tak, aby v dobˇe uzavˇren´ı byla nulov´a. Tyto obchody se prov´adˇej´ı na mimoburzovn´ıch trz´ıch a nemaj´ı standardizovan´e podm´ınky. Oproti tomu futures je burzovn´ı ekvivalent forwardu, kter´ y m´a standardizovan´ y ˇcas, mnoˇzstv´ı a cenu. Odliˇsnost´ı je denn´ı z´ uˇctov´an´ı zisk˚ u a ztr´at. U futures kontraktu vˇse prob´ıh´a ve virtu´aln´ı rovinˇe a m´ısto toho, abychom se dohodli, ˇze v ˇcase T nakoup´ıme jednotkov´e mnoˇzstv´ı podkladov´eho aktiva za cenu K, vˇse probˇehne v ˇcistˇe finanˇcn´ı u ´ˇcetn´ı rovinˇe a my v ˇcase T inkasujeme rozd´ıl KT − K, kde KT je trˇzn´ı cena jednotkov´eho mnoˇzstv´ı podkladov´eho aktiva v ˇcase T . Pˇri u ´ˇctov´an´ı kontraktu po jednotliv´ ych dnech si po n-t´em dni pˇrip´ıˇseme hodnotu Kn − Kn−1 s t´ım, ˇze na poˇca´tku za kontrakt zaplat´ıme hodnotu K − K0 = 0. Pro souˇcet tˇechto denn´ıch zisk˚ u a ztr´at plat´ı KT − K =

T X n=1

(Kn − Kn−1 ).

Mechanismus futures lze zcela abstrahovat od podkladov´eho aktiva a stejnˇe tak od ˇcasu terminace T . Potom necht’ F = {Fn , n ∈ N} je stochastick´ y proces, jehoˇz pˇr´ır˚ ustky Fn − Fn−1 interpretujeme jako zisk hr´aˇce v ˇcase n, kter´ y vsadil jednotkov´e finanˇcn´ı mnoˇzstv´ı na danou prob´ıhaj´ıc´ı hru v ˇcase n − 1. Re´aln´a posloupnost (Hn )∞ ı s´azek hr´aˇce na uvaˇzovanou hru, jej´ı hodn=0 pak je posloupnost´ notu Hn interpretujeme jako mnoˇzstv´ı finanˇcn´ıch jednotek vsazen´ ych v ˇcasov´em intervalu (n − 1,n). Zisk hr´aˇce ze hry za obdob´ı (n − 1,n) m´a tvar Hn (Fn − Fn−1 ). Celkov´ y zisk hr´aˇce v ˇcase n ze hry za obdob´ı (0,n) je tvaru n X k=1

Hk (Fk − Fk−1 ). 43

Znaˇcen´ı Fn zde souvis´ı s moˇznost´ı pouˇz´ıt tento model tˇreba pr´avˇe pro investov´an´ı do futures. V koneˇcn´em d˚ usledku tedy m˚ uˇzeme s´azet na libovoln´ y stochastick´ y proces. Speci´aln´ım pˇr´ıpadem je investov´an´ı do akci´ı jedn´e spoleˇcnosti s t´ım, ˇze voln´e prostˇredky z˚ ust´avaj´ı nevyuˇzity. Pokud Sn je cena akcie v ˇcase n a Hn poˇcet akci´ı, kter´e drˇz´ıme v ˇcasov´em intervalu (n − 1,n), pak pˇr´ır˚ ustek trˇzn´ı hodnoty naˇseho portfolia Cn na ˇcasov´em intervalu (n − 1,n) je rovna hodnotˇe Cn − Cn−1 = Hn (Sn − Sn−1 ). Pˇri nasˇc´ıt´an´ı pak dostaneme vyj´adˇren´ı n X Cn = C0 + Hk (Sk − Sk−1 ). k=1

Plnˇe to odpov´ıd´a tomu, kdyˇz bychom s´azeli na pˇr´ır˚ ustky ceny akcie v intervalu (k − 1,k) vˇzdy hodnotu Hk . Jin´ ym pˇr´ıkladem je term´ınovan´ y vklad s roˇcn´ım sloˇzen´ ym u ´roˇcen´ım. Roˇcn´ı u ´rokovou m´ıru v roce k oznaˇc´ıme ik a necht’ je jej´ı v´ yˇse odvozov´ana napˇr´ıklad od PX indexu. Potom v´ yvoj term´ınovan´eho vkladu popisuje stochastick´ y proces C = {Ck ,k ∈ N}, kde Ck = Ck−1 (1 + ik ) a C0 je poˇca´teˇcn´ı vklad. Potom plat´ı Cn = C0

n Y

(1 + ik ).

k=1

Hlavn´ı rozd´ıl mezi investov´an´ım do akci´ı a do futures tedy je, ˇze pˇri investov´an´ı do akci´ı jsou naˇse prostˇredky v´azan´e a nen´ı moˇzn´e je volnˇe investovat, pˇri uzavˇren´ı futures kontraktu je v´azan´a jen ˇca´st naˇseho kapit´alu a zbyl´ y m˚ uˇzeme investovat napˇr´ıklad do term´ınovan´ ych vklad˚ u. Tato ˇci jak´akoliv jin´a investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitost vytv´aˇr´ı rozd´ıl mezi investov´an´ım do akci´ı a do futures. Pro jednoduchost budeme d´ale pˇredpokl´adat, ˇze pˇri investov´an´ı do futures z˚ ust´av´a vˇsechen n´aˇs kapit´al voln´ y. Mˇejme poˇca´teˇcn´ı kapit´al C0 > 0. Budeme hledat log-optim´aln´ı velikost investice H nejdˇr´ıve do futures a potom do akcie v ˇcasov´em intervalu (0,1) za pˇredpokladu, ˇze voln´ y kapit´al lze po danou dobu bezrizikovˇe u ´roˇcit u ´rokovou sazbou r a se stejnou sazbou si m˚ uˇzeme p˚ ujˇcovat. Pˇ r´ıklad 5.1. Necht’ △F = F1 − F0 je pˇr´ır˚ ustek ceny futures na intervalu (0,1) a H poˇcet uzavˇren´ ych kontrakt˚ u. Potom zisk z t´eto investice bude △F · H. Cel´ y poˇca´teˇcn´ı kapit´al C0 lze bezrizikovˇe u ´roˇcit sazbou r, proto je pˇr´ısluˇsn´ y zisk C0 · r. Celkov´ y ˇcist´ y zisk pak bude tvaru C1 − C0 = C0 · r + △F · H a kapit´al v ˇcase 1 bude C1 = C0 (1 + r) + △F · H.

44

Necht’ F0 = 1, F1 ∼ R

1 ,2 , pak 2

 1 △F ∼ R − ,1 . 2 

Hled´ame log-optim´aln´ı velikost investice H. Protoˇze E ln C1 je konk´avn´ı v promˇenn´e H, tak hodnota   1 1 1 E ln C1 = ln(C0 (1 + r) + H) + ln C0 (1 + r) − H = 2 2 2     1 H 1 H 1 2 = ln(C0 (1 + r)) + ln 1 + + ln 1 − 2 C0 (1 + r) 2 C0 (1 + r) nab´ yv´a sv´eho maxima pro H splˇ nuj´ıc´ı 1 ∂ E ln C1 = ∂H 2

1 1+

H C0 (1+r)

−

1 2−

H C0 (1+r)

!

= 0,

coˇz odpov´ıd´a 1+

H H =2− . C0 (1 + r) C0 (1 + r)

Log-optim´aln´ı velikost investice tedy vych´az´ı H=

C0 (1 + r) . 2

Pˇ r´ıklad 5.2. Necht’ △S = S1 − S0 je pˇr´ır˚ ustek ceny akcie na intervalu (0,1) a H je poˇcet akci´ı v portfoliu. Potom zisk z t´eto investice bude △S · H. Zbyl´ y voln´ y kapit´al C0 − H · S0 lze bezrizikovˇe u ´roˇcit sazbou r, pˇr´ısluˇsn´ y zisk je (C0 − H · S0 )r. Celkov´ y zisk pak bude tvaru C1 − C0 = (C0 − H · S0 )r + △S · H a kapit´al v ˇcase 1 bude C1 = (C0 − HS0 )r + △S · H − C0 = C0 (1 + r) + H[△S − rS0 ].  Necht’ S0 = 1, S1 ∼ R 12 ,2 , pak   1 △S ∼ R − ,1 . 2 Opˇet budeme hledat log-optim´aln´ı velikost investice H. Oˇcek´avan´ y uˇzitek je    1 1 1 E ln C1 = ln(C0 (1 + r) + H(1 − r)) + ln C0 (1 + r) + H − − r . 2 2 2 Protoˇze se jedn´a o funkci konk´avn´ı v promˇenn´e H, tak je maxim´aln´ı pro H splˇ nuj´ıc´ı − 12 − r 1 1−r 1 ∂ E ln C1 = · + · = 0, ∂H 2 C0 (1 + r) + H(1 − r) 2 C0 (1 + r) + H(− 21 − r) 45

coˇz lze vyj´adˇrit jako C0 (1 + r) + H(− 12 − r) C0 (1 + r) + H(1 − r) . = 1 1−r +r 2 Log-optim´aln´ı velikost investice tud´ıˇz je   1 1 1 − . H = C0 (1 + r) 1 2 +r 1−r 2 Pozn´ amka 5.1. Pozic´ı naz´ yv´ame relativn´ı velikost investice do rizikov´e investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitosti vzhledem k velikosti souˇcasn´eho kapit´alu. Pozice ve futures kontraktu je tvaru G = H/C0 . Pozice u akcie je tvaru G = H · S0 /C0 . Pozn´ amka 5.2 (Interpretace chov´an´ı pˇri investov´an´ı do akci´ı). Mˇejme akcii S, pro kterou je relativnˇe bezpeˇcn´a s´azka rovna H a od n´ı odvozen´a relativnˇe bezpeˇcn´a pozice rovna G. Potom pokud • G = 0 ⇔ H = 0, tak neinvestujeme, veˇsker´e prostˇredky z˚ ustanou voln´e nebo bezrizikovˇe u ´roˇceny, • G = 1 ⇔ H = C0 , tak veˇsker´ y kapit´al investujme, • G ∈ (0,1) ⇔ H ∈ (0,C0 ), investujeme hodnotu H a budeme m´ıt voln´ y kapit´al C0 − H, • G > 1 ⇔ H > C0 , investujeme v´ıce, neˇz je n´aˇs kapit´al, p˚ ujˇcujeme si prostˇredky se z´avazkem, ˇze pozdˇeji vˇse splat´ıme, • G < 0 ⇔ H < 0, p˚ ujˇcujeme si akcie, kter´e prod´ame, s pˇr´ıslibem, ˇze je pozdˇeji nakoup´ıme zpˇet za trˇzn´ı cenu, tzv. prodej nakr´atko (prodej toho, co nem´ame), obˇcas je zak´azan´ y. Pozn´ amka 5.3. V praxi k prodeji nakr´atko doch´az´ı napˇr´ıklad, kdyˇz makl´eˇr prod´a akcie sv´eho klienta s t´ım, ˇze je pozdˇeji koup´ı zpˇet. Pozn´ amka 5.4 (Interpretace chov´an´ı pˇri investov´an´ı do futures kontraktu). Mˇejme futures kontrakt F , pro kter´ y je relativnˇe bezpeˇcn´a s´azka rovna H a od n´ı odvozen´a relativnˇe bezpeˇcn´a pozice rovna G. Potom pokud • G = 0 ⇔ H = 0, neinvestujeme do rizikov´eho aktiva, • G > 0 ⇔ H > 0, vstupujeme do dlouh´e pozice (kupujeme futures kontrakt) v dan´em mnoˇzstv´ı, • G < 0 ⇔ H < 0, vstupujeme do kr´atk´e pozice (prod´av´ame futures kontrakt) v dan´em mnoˇzstv´ı.

46

5.2

Rizikov´ y dluhopis

Dalˇs´ımi z bˇeˇzn´ ych cenn´ ych pap´ır˚ u, do kter´ ych lze investovat, jsou obligace. K obligaci se v´aˇze pr´avo majitele poˇzadovat splacen´ı dluˇzn´e ˇca´stky v uveden´e hodnotˇe (nomin´aln´ı hodnota), vypl´acen´ı stanoven´ ych v´ ynos˚ u a povinnost osoby, kter´a tento dluhopis vydala, splnit veˇsker´e z´avazky z n´ı vypl´ yvaj´ıc´ı. Uvaˇzujme rizikov´ y dluhopis s nomin´aln´ı hodnotou 1 a dobou do splatnosti 1. Jde o investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitost na intervalu (0,1). Pˇredpokl´adejme, ˇze dluhopis m´a v ˇcase 1 v´ yplatu W , kter´a nab´ yv´a pouze dvou moˇzn´ ych hodnot s t´ım, ˇze bud’ bude dluhopis proplacen i za cenu dalˇs´ı emise dluhopis˚ u, nebo emitent zkrachuje a v tom pˇr´ıpadˇe nevyplat´ı nic. Pokud p je pravdˇepodobnost splacen´ı dluhopisu, pak W m´a alternativn´ı rozdˇelen´ı s parametrem p. Vˇ eta 5.1. Mˇejme rizikov´y dluhopis, kter´y se prod´av´ a v ˇcase 0 za w ∈ (0,1) a kter´y je splatn´y v ˇcase 1 s v´yplatou W ∼ Alt{p}. Potom jednotkov´ a investice do tohoto dluhopisu je: • hazardn´ı hra ⇔ w > p, • spravedliv´ a hra ⇔ w = p, • matematicky v´yhodn´a hra ⇔ w ∈ (0,p). Kdyˇz je hra matematicky v´yhodn´a a n´ aˇs kapit´ al C0 > 0, pak hodnoty H = G · C0 ,

G=

(p − w) w(1 − w)

jsou postupnˇe log-optim´ aln´ı velikost investice a odpov´ıdaj´ıc´ı pozice. D˚ ukaz. Jednotkov´a investice do dluhopisu pˇredstavuje ˇcist´ y zisk ve v´ yˇsi W − w, jeho stˇredn´ı hodnota je E[W − w] = p − w. Prvn´ı ˇca´st vˇety pak z´ısk´av´ame pˇr´ımo z definice a z podm´ınky w > 0. V pˇr´ıpadˇe matematicky v´ yhodn´e hry urˇc´ıme log-optim´aln´ı velikost s´azky. Kapit´al v ˇcase 0 je roven C0 a velikost naˇs´ı investice do dluhopisu je rovna H. Pak kapit´al v ˇcase 1 m´a hodnotu ( C0 + H(1 − w) s pravdˇepodobnost´ı p . C1 = C0 − Hw s pravdˇepodobnost´ı 1 − p Pak E ln C1 = p ln(C0 + H(1 − w)) + (1 − p) ln(C0 − Hw)

a odpov´ıdaj´ıc´ı derivace

∂ p(1 − w) (1 − p)w E ln C1 = − =0 ∂H C0 + H(1 − w) C0 − Hw pr´avˇe tehdy, kdyˇz p(1 − w)(C0 − Hw) = (1 − p)w(C0 + H(1 − w)). (p−w) a odpov´ıdaj´ıc´ı pozice je G = Tud´ıˇz H = C0 w(1−w)

(p−w) . w(1−w)



47

Pozn´ amka 5.5. Rozd´ıl v kupn´ı cenˇe dluhopisu w a hodnotˇe v´ yplaty W = 1 v ˇcase 1 pˇredstavuje u ´rok z naˇs´ı p˚ ujˇcky st´atu, tedy iw = W − w = 1 − w. Naˇse u ´rokov´a m´ıra pˇri t´eto p˚ ujˇcce je i = 1−w . Kdyˇz i = 1−p , tak w = p a podle w p vˇety 5.1 je koupˇe dluhopisu (poskytnut´ı p˚ ujˇcky) spravedlivou hrou. Takov´e i , tak potom povaˇzujeme za minim´ aln´ı bezpeˇcnou u ´rokovou m´ıru. Jestliˇze i > 1−p p w ∈ (0,p) a koupˇe dluhopisu je matematicky v´ yhodn´a hra. Pak o i mluv´ıme jako o relativnˇe bezpeˇcn´e u ´rokov´e m´ıˇre.

5.3

Pojiˇ stˇ en´ı zmˇ eny kurzu

Necht’ cena 1 USD v EUR se bˇehem intervalu (k−1,k) nez´avisle na pˇredchoz´ım v´ yvoji vˇzdy se stejnou pravdˇepodobnost´ı bud’ zdvojn´asob´ı, nebo bude poloviˇcn´ı. Bez u ´jmy na obecnosti pˇredpokl´adejme, ˇze cena v ˇcase 0 je S0 = 1. Pak stochastick´ y proces n Y Sn = Xk , k=1

kde Xk jsou stejnˇe rozdˇelen´e nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny s rozdˇelen´ım R{ 12 ,2}, modeluje v´ yvoj ceny 1 USD v EUR. D´ıky symetrii modeluje i v´ yvoj ceny 1 EUR v USD. Necht’ investor m´a v USD obnos C0 > 0. Zaj´ım´a ho uγ -optim´aln´ı investice pro Sn−1 γ < 1, kter´a je konzistentn´ı, tj. g = Gn = HCnn−1 , a pˇri kter´e po sobˇe nezanech´a dluhy. Pak    Sn Cn = Cn−1 + Hn (Sn − Sn−1 ) = Cn−1 1 + g −1 . Sn−1 ˇ s´ıme u Reˇ ´lohu max E uγ (1 + g( g

g 1 1 Sn − 1)) = max( uγ (1 − ) + uγ (1 + g)). g Sn−1 2 2 2

´ celov´a funkce je konk´avn´ı. Hled´ame stacion´arn´ı bod, odpov´ıdaj´ıc´ı podm´ınka je Uˇ tvaru   1 g γ−1 1 γ−1 =0 (1 + g) − 1− 2 2 2 1 g γ−1 γ−1 (1 + g) = 1− 2 2  1/(γ−1)   1 g 1+g = 1− 2 2 g(1 + 2γ/(1−γ) ) = 21/(1−γ) − 1 g= Dost´av´ame tak



(2)1/(1−γ) − 1 1 (2 + 21/(1−γ) ) 2

3 gγ = 2 1 − 2 + 21/(1−γ) 48



.

(5.1)

Investor tedy nakupuje a prod´av´a EUR tak, aby v kaˇzd´em ˇcasov´em intervalu (k − 1,k) byl objem jeho penˇez v USD roven (1 − gγ )Ck−1 a v EUR gγ Ck−1 , kde gγ je z (5.1). N´ahodn´a veliˇcina modeluj´ıc´ı investor˚ uv ˇcist´ y zisk z ˇca´stky 1 EUR za jedno 1 obdob´ı m´a rozdˇelen´ı R{− 2 ,1} a splˇ nuje pˇredpoklady vˇety 3.5. Potom k pozici gγ ∈ (0,2) jsme schopni pˇriˇradit averzi v˚ uˇci riziku γ < 1. Ze vzorce (5.1) vyj´adˇr´ıme   γ −1 log2 2+2g 2−gγ   . γ= γ log2 2+2g 2−gγ

Vzorec m´a smysl pro gγ ∈ (0,2), d´av´a n´am hodnoty γ < 1 a s jeho pomoc´ı lze uk´azat, ˇze pro pro pro pro pro

gγ gγ gγ gγ gγ

∈ (0, 12 ) = 21 ∈ ( 21 ,1) =1 ∈ (1,2)

je je je je je

γ γ γ γ γ

∈ (−∞,0), = 0, ∈ (0, 12 ), = 12 , ∈ ( 12 ,1).

Pozn´ amka 5.6. Pokud se na situaci pod´ıv´ame jako investor s opaˇcn´ ym pohledem, tj. kupuj´ıc´ı a prod´avaj´ıc´ı USD, tak d´ıky symetrii kurzu plat´ı, ˇze jeho pozice v EUR je g˜γ = 1 − gγ a v USD 1 − g˜γ = gγ , pokud gγ ∈ (0,1), neboli γ ∈ (−∞, 21 ). Pˇr´ıpad γ = 0 d´av´a gγ = g˜γ = 12 , tedy log-optim´aln´ı investor s kapit´alem v USD i log-optim´aln´ı investor EUR dospˇej´ı ke stejn´e strategii. Vˇzdy budou m´ıt polovinu kapit´alu v EUR a druhou v USD, tedy pˇri kaˇzd´em kroku nastavuj´ı pomˇer USD:EUR na 1 : 1. D´a se ˇr´ıct, ˇze log-optim´aln´ı strategie je nejagresivnˇejˇs´ı strategie, kter´a m´a jeˇstˇe opodstatnˇen´ı. Oba investoˇri ˇreˇs´ıc´ı stejnou u ´lohu zmˇeny kurzu, ale kaˇzd´ y z pohledu jin´e mˇeny, totiˇz dospˇej´ı ke stejn´emu z´avˇeru. Z psychologick´eho hlediska se d´a ˇr´ıct, ˇze investor s γ ∈ (−∞,0) se boj´ı zmˇeny kurzu v neprospˇech ciz´ı mˇeny. Jestliˇze γ ∈ (0, 12 ), tak vˇeˇr´ı ciz´ı mˇenˇe v´ıce neˇz vlastn´ı a neopodstatnˇenˇe riskuje. Pro γ ∈ ( 12 ,1) by v´ ypoˇctem g˜γ = 1 − gγ bylo g˜γ z´aporn´e, coˇz u matematicky v´ yhodn´e investice nem´a nastat. Odpov´ıd´a to tomu, ˇze hr´aˇc s touto uˇzitkovou funkc´ı uˇz naprosto nepochopitelnˇe riskuje. Pozn´ amka 5.7. Pro investora s nulovou averz´ı v˚ uˇci riziku, tj. γ = 1, plat´ı, ˇze   1 ∂ ∂ 1 1 − + 1 = > 0, E u1 (Cn ) = E Cn = ∂g ∂g 2 2 4 tud´ıˇz investiˇcn´ı pˇr´ıleˇzitost je matematicky v´ yhodn´a hra pro libovoln´e g ≥ 0 a E Cn je rostouc´ı funkc´ı g. Investor je d´ıky sv´e uˇzitkov´e funkci neopatrn´ y v EUR a vˇsechny sv´e USD na nˇe pˇrevede, nav´ıc si jeˇstˇe jednou tolik v USD p˚ ujˇc´ı a takto z´ıskan´e pen´ıze tak´e pˇrevede na EUR, tj. g = 2. Podobnˇe pokud by byl investorem s EUR, tak d´ıky symetrii kurzu bude neopatrn´ y v USD. O neopatrnosti mluv´ıme proto, ˇze pˇri prvn´ı zmˇenˇe kurzu v neprospˇech USD (respektive EUR), investor pˇrijde o veˇsker´ y sv˚ uj kapit´al.

49

5.4

Ruinov´ an´ı hr´ aˇ ce

Jedn´ım z nejjednoduˇsˇs´ıch pˇr´ıklad˚ u stochastick´eho procesu je n´ahodn´a proch´azka. Definice 5.1. Necht’ X = {Xn ; n ∈ N} je stochastick´ y proces, kde n´ahodn´e veliˇciny X1 , X2 , . . . jsou nez´avisl´e a nab´ yvaj´ı hodnot −1, 1 s pravdˇepodobnostmi P(Xn = 1) = p,

P(Xn = −1) = q = 1 − p.

D´ale mˇejme F0 ∈ Z. Pak posloupnost {Fn }∞ n=0 definovanou jako Fn = F0 +

n X

Xi = Fn−1 + Xn

i=1

naz´ yv´ame jednoduchou n´ ahodnou proch´ azkou. Pokud p = q = 21 , mluv´ıme o jednoduch´e symetrick´e n´ ahodn´e proch´ azce. Pˇ r´ıklad 5.3 (Ruinov´an´ı hr´aˇce). Mˇejme dva hr´aˇce A a B. Hr´aˇc A m´a 3 Kˇc, hr´aˇc B m´a 2 Kˇc a rozhodli se hr´at hru, kde v kaˇzd´em kole vyhraje bud’ hr´aˇc A 1 Kˇc od hr´aˇce B, nebo naopak a pravdˇepodobnost v´ yhry kaˇzd´eho z nich je stejn´a. Hru budou hr´at aˇz do okamˇziku, kdy jeden z nich pˇrijde o posledn´ı korunu a bude zruinov´an. Jak´e jsou pravdˇepodobnosti v´ yhry hr´aˇce A a v´ yhry hr´aˇce B? Jak se tyto pravdˇepodobnosti zmˇen´ı, kdyˇz se pravdˇepodobnost v´ yhry hr´aˇce A sn´ıˇz´ı na p = 1/3? ´ Ulohu lze modelovat napˇr´ıklad pro kapit´al hr´aˇce A, a to tak, ˇze v ˇcase t = 0 se nach´az´ı na ˇc´ıseln´e ose v bodˇe 3. V ˇcasech t = 1,2, . . . se posune bud’ o 1 doprava, nebo doleva, pˇriˇcemˇz oba pohyby jsou stejnˇe pravdˇepodobn´e. V bodech 0 a 3+2 = 5 hra skonˇc´ı a uˇz nepokraˇcuje, proto je naz´ yv´ame absorpˇcn´ımi bari´erami. Hr´aˇc˚ uv kapit´al tedy vykon´av´a jednoduchou symetrickou n´ahodnou proch´azku, dokud nedoraz´ı do bod˚ u 0 nebo 5. Oznaˇcme pi , i = 0, . . . ,5 pravdˇepodobnost v´ yhry hr´aˇce A, kdyˇz jeho kapit´al je roven i Kˇc. (Na hodnoty pi lze tak´e nahl´ıˇzet, ˇze ud´avaj´ı pravdˇepodobnost zruinov´an´ı hr´aˇce B, kdyˇz jeho kapit´al je 5 − i Kˇc.) Podle vˇety o u ´pln´e pravdˇepodobnosti plat´ı, ˇze 1 1 pi = pi+1 + pi−1 , 2 2

i = 1, . . . ,4.

(5.2)

Pomoc´ı okrajov´ ych podm´ınek p0 = 0 a p5 = 1

(5.3)

tuto soustavu rovnic vyˇreˇs´ıme a z´ısk´ame, ˇze p1 = 0,2;

p2 = 0,4;

p3 = 0,6;

p4 = 0,8.

Hr´aˇc A tud´ıˇz vyhraje hru, pˇri poˇca´teˇcn´ım kapit´alu 3 Kˇc, s pravdˇepodobnost´ı p3 = 0,6 a hr´aˇc B bude zruinov´an. Protoˇze v´ yhra hr´aˇce B je opaˇcn´ ym jevem k v´ yhˇre hr´aˇce A, tak pravdˇepodobnost v´ yhry hr´aˇce B, pˇri poˇca´teˇcn´ım kapit´alu 2 Kˇc, je 1 − p3 = 0,4. Pokud se pravdˇepodobnost v´ yhry hr´aˇce A sn´ıˇz´ı na p = 1/3, tak se soustava (5.2) zmˇen´ı na 1 2 pi = pi+1 + pi−1 , i = 1, . . . ,4. 3 3 50

Okrajov´e podm´ınky (5.3) z˚ ustanou zachov´any a jejich pomoc´ı z´ısk´ame nov´e ˇreˇsen´ı p1 =

3 7 15 1 , p2 = , p3 = a p4 = . 31 31 31 31

Pravdˇepodobnost v´ yhry hr´aˇce A tak klesne na p3 = . hr´aˇce B stoupne na 1 − p3 = 24 31

7 31

a pravdˇepodobnost v´ yhry

Pokud pˇredchoz´ı u ´lohu zobecn´ıme, tak dostaneme n´asleduj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 5.2 (Ruinov´an´ı hr´aˇce). Mˇejme dva hr´ aˇce A a B s poˇc´ateˇcn´ımi kapit´ aly a Kˇc a b = z − a Kˇc, a,b ∈ N, hraj´ıc´ı hru, kde v kaˇzd´em kole z´ısk´ a bud’ hr´ aˇc A 1 Kˇc od B s pravdˇepodobnost´ı p ∈ (0,1), nebo hr´ aˇc B od A s pravdˇepodobnost´ı q = 1 − p. Hra konˇc´ı v okamˇziku, kdy kapit´ al jednoho z hr´ aˇc˚ u klesne na 0, tj. je zruinov´an. Pokud p 6= q, pak pravdˇepodobnost zruinov´an´ı hr´ aˇce A je rovna qa =

( pq )z − ( pq )a ( pq )z − 1

.

(5.4)

Pokud p = q = 12 , pak pravdˇepodobnost zruinov´an´ı hr´ aˇce A je rovna a qa = 1 − . z

(5.5)

D˚ ukaz. Oznaˇc´ıme-li qi pravdˇepodobnost, ˇze hr´aˇc A bude zruinov´an, kdyˇz m´a kapit´al i Kˇc, tak plat´ı, ˇze qi = pqi+1 + qqi−1 ,

i = 1, . . . ,z − 1.

(5.6)

Okamˇzik ukonˇcen´ı hry n´am d´av´a okrajov´e podm´ınky p0 = 0 a pz = 1.

(5.7)

Potom pro p 6= q m´a diferenˇcn´ı rovnice (5.6) obecn´e ˇreˇsen´ı q qa = C 1 + C 2 ( ) a . p

Konstanty C1 , C2 dopoˇcteme za pomoci okrajov´ ych podm´ınek (5.7), pro kter´e obecn´e ˇreˇsen´ı tak´e mus´ı platit:  z q = 0. C1 + C2 = 1, C1 + C2 p Celkem dostaneme rovnici (5.4). Pokud p = q = 21 , obecn´e ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ı rovnice (5.6) m´a tvar qa = C1 + C2 a. Jestliˇze maj´ı b´ yt splnˇeny okrajov´e podm´ınky (5.7), z´ısk´ame rovnice C1 = 1,

C1 + C2 a = 0

a celkovˇe m´ame rovnici (5.5). 

51

Z´ avˇ er V pr´aci jsme definovali pojem neperspektivn´ı hry a uk´azali jsme, ˇze racion´alnˇe uvaˇzuj´ıc´ı ˇclovˇek, pokud nepodlehne mor´aln´ımu hazardu, se takov´e hry ne´ uˇcastn´ı. Podobnˇe jsme vymezili matematicky v´ yhodnou hru, u kter´e jsme vˇenovali pozornost hled´an´ı γ-optim´aln´ı s´azky pro hr´aˇce s uˇzitkovou funkc´ı uγ , s jej´ıˇz pomoc´ı jsme zavedli dalˇs´ı pojmy jako γ-relativnˇe bezpeˇcn´a velikost s´azky nebo relativnˇe bezpeˇcn´a u ´rokov´a m´ıra pˇri p˚ ujˇcce. Pr´ace obsahuje mnoho pozn´amek, kter´e danou problematiku vysvˇetluj´ı jak z matematick´eho tak z psychologick´eho hlediska, ˇc´ımˇz se st´av´a pˇr´ıstupnˇejˇs´ı ˇsirˇs´ımu publiku, coˇz bylo jedn´ım z c´ıl˚ u pr´ace. Na pr´aci by se dalo nav´azat v teoretick´e rovinˇe, protoˇze t´ema rozhodnˇe nebylo zcela vyˇcerp´ano. Pˇr´ınosn´e by bylo i rozvinut´ı a doplnˇen´ı pˇredloˇzen´eho t´ematu po didaktick´e str´ance tak, aby vznikl ucelen´ y text, kter´ y by mohl slouˇzit jako pomocn´a literatura pˇri v´ yuce finanˇcn´ı gramotnosti na z´akladn´ıch a stˇredn´ıch ˇskol´ach.

52

Literatura Algoet, P. a Cover, T. (1988). Asymptotic optimality and asymptotic equipartition properties of log-optimum investment. The Annals of Pobability, Vol. 16(No. 2), 876–898. ˇl, J. (2000). Matematika n´ Ande ahody. Matfyzpress, Praha. ISBN 80-85863-52-9. Bell, R. a Cover, T. M. (1988). Game-theoretic optimal portfolios. Management Science, Vol. 34(No. 6), 724–733. ˇek, K. (1999). Optimal growth in gambling and investing. Ms.C. Thesis, Janec Charles University, Praha. Lachout, P. (2007). Diskr´etn´ı martingaly, pracovn´ı text k pˇredn´aˇsce. Dostupn´e z http://www.karlin.mff.cuni.cz/~lachout/Vyuka/tp2/TP2.html. [citov´ano 30.7.2013]. ˇ e ˇ pa ´ n, J. (1987). Teorie pravdˇepodobnosti : matematick´e z´ St aklady. Academia, Praha. Treˇ sl, J. (2010). Stochastic processes and risk in finance and insurance. Oeconomica, Praha. ISBN 978-80-245-1725-4. ˇ e ´ ra, K. a St ˇ pa ´ n, J. (2006). Pravdˇepodobnost a matematick´ Zva a statistika. Matfyzpress, Praha. ISBN 80-867-3271-1.

53

Pˇ r´ıloha A Siln´ y z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel Vˇ eta A.1 (Siln´ y z´akon velk´ ych ˇc´ısel pro n´ahodn´e veliˇciny s koneˇcn´ ymi druh´ ymi momenty). Necht’ Xn , n ∈ N jsou nez´ avisl´e (nekorelovan´e), stejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇciny s koneˇcn´ymi druh´ymi momenty. Pak pro n → ∞: n

Yn =

1X s.j. Xj → E X1 . n j=1

D˚ ukaz. Bez u ´jmy na obecnosti pˇredpokl´adejme E X1 = 0 a var(X1 ) = 1. Zˇrejmˇe E Yn2 = var(Yn ) =

n n n X 1 1 X 1 1 X var(X ) = var(X ) = var( , X ) = j 1 j 2 2 n2 n n n j=1 j=1 j=1

a proto E

∞ X

Yn22 =

n=1

∞ X

E Yn22 =

n=1

∞ X n=1

n−2 < ∞. s.j.

Neboli n Yn22 < ∞ plat´ı skoro jistˇe, a tud´ıˇz Yn2 → 0 pro n → ∞. Pro n,k ∈ N takov´a, ˇze (n − 1)2 < k ≤ n2 , plat´ı P

!2 !2 k n2 n2 k X X X X
1 1 1 1 Xj − 2 − n12 =E Xj Xj Xj − 2 E(Yk − Yn2 )2 = E k k j=1 n j=1 n j=1 j=k+1 ! ! 2 2  n k X X 1 1 1 = − 2 var Xj + 4 var Xj k n n j=1 j=k+1 ! ! 2  k n2 X X 1 1 1 X1 + 4 var X1 var − = k n2 n j=1 j=k+1  2 1 1 1 1 1 = − 2 k + 4 (n2 − k) = − 2 . k n n k n Pak E

∞ X k=1

(Yk − Y⌈

√

k⌉2 )

2

=

∞ X k=1

E(Yk − Y⌈

√

k⌉2 )

2

=

∞  X 1 k=1

54

1 − √ k ⌈ k⌉2



< ∞,

(A.1)

√ nebot’ po substituci m = ⌊ k⌋ pro m2 < k < (m + 1)2 dostaneme ∞  X 1 k=1

1 − √ k ⌈ k⌉2



∞  X

 1 1 √ ≤ − √ 2 ⌊ k⌋ ⌈ k⌉2 k=1  ∞ ∞  X X 1 2m(2m + 1) 1 2m = − < ∞. ≤ 2 2 2 (m + 1)2 m (m + 1) m m=1 m=1

s.j.

s.j.

Protoˇze Yn2 → 0 pro n → ∞, plat´ı tak´e, ˇze Y⌈√k⌉2 → 0 pro k → ∞. Z nerovnosti s.j.

(A.1) plyne podobnˇe jako v prvn´ı ˇca´sti d˚ ukazu, ˇze Yk − Y⌈√k⌉2 → 0 pro k → ∞, s.j.

a my tak dost´av´ame, ˇze Yk → 0 pro k → ∞.



Pozn´ amka A.1. Obdobnˇe prob´ıh´a d˚ ukaz, kdyˇz Xn , n ∈ N jsou nez´avisl´e (nekorelovan´e) n´ahodn´e veliˇciny s var(Xn ) ≤ σ 2 < ∞. Plat´ı i obecnˇejˇs´ı znˇen´ı siln´eho z´akonu velk´ ych ˇc´ısel, kter´a uv´ad´ım bez d˚ ukaz˚ u, ty lze naj´ıt napˇr´ıklad v zde odkaz na literaturu. Vˇ eta A.2. Necht’ Xn ,n ∈ N jsou nekorelovan´e n´ ahodn´e veliˇciny. Pokud ∞ X var(Xn ) n=1

n3/2

< ∞,

pak n

1X s.j. (Xj − E Xj ) → 0 Yn = n j=1

pro

n → ∞.

Vˇ eta A.3 (Siln´ y z´akon velk´ ych ˇc´ısel pro stejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇciny). Necht’ Xn ,n ∈ N jsou nez´ avisl´e, integrovateln´e, stejnˇe rozdˇelen´e veliˇciny. Pak pro n→∞ n 1X s.j. Yn = Xj → E X1 . n j=1 Vˇ eta A.4 (Siln´ y z´akon velk´ ych ˇc´ısel pro nestejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇciny). ’ Necht Xn ,n ∈ N jsou nez´ avisl´e, integrovateln´e, re´aln´e n´ ahodn´e veliˇciny. Pokud ∞ X var(Xn ) n=1

pak plat´ı

n2

< ∞,

n

1X s.j. (Xj − E Xj ) → 0 Yn = n j=1

55

pro

n → ∞.