06. seminář množiny (úlohy s diagramy).notebook
October 25, 2011
Úlohy o počtech prvků Následující úloh můžeme řešit jednak pomocí soustav lineárních rovnic, jednak pomocí doplňování Vennových diagramů: Ráno bylo na letišti 17 letadel, z nichž během dne odletělo 15 z toho se 3 letadla vrátila. Toho dne přiletělo na letiště celkem 32 letadel a odletělo jich 28. Každé z uvedených letadel startovalo toho dne na letišti nejvýše jednou. Kolik letadel bylo na letišti na konci dne?
Řešení pomocí rovnic: Označíme si všechny oblasti ve Vennově diagramu proměnnými a sestavíme rovnice:
A...letadla, která přiletěla B...letadla, která na letišti byla C...letadla, která odletěla
a
b
d
g e
f c
příklady
1
06. seminář množiny (úlohy s diagramy).notebook
Úlohy o počtech prvků
October 25, 2011
Zdroj úloh: ŠMM, svazek 30
Úloha 1: Snadná úloha: Ve třídě je 18 žáků, kteří mají alespoň jednoho bratra, 12 žáků, kteří mají aspoň jednu sestru a 23 žáci, kteří mají aspoň jednoho sourozence. Kolik žáků má sestru i bratra?
příklad 2
2
06. seminář množiny (úlohy s diagramy).notebook
Úlohy o počtech prvků
October 25, 2011
Zdroj úloh: ŠMM, svazek 30
Úloha 2: Ve zprávě o průzkumu se píše __ Ze zkoumané skupiny 150 osob navštívilo 101 osob alespoň jednou nějaký kulturní podnik, z toho: kino 77 kino i divadlo 36 divadlo 63 kino i koncert 21 koncert 32 divadlo i koncert 29 kino, divadlo i koncert 15. Ve zprávě je chyba. Ukažte to. Řešení pomocí rovnic: Označíme si všechny oblasti ve Vennově diagramu proměnnými a sestavíme rovnice. Ukážeme, že vedou ke sporu s podmínkou nezápornosti: A...lidé, kteří navštívíli kino B...lidé, kteří navštívíli divadlo C...lidé, kteří navštívíli koncert a b d a + d + f + g = 77 b + d + e g = 63 g c + e + f + g = 32 e f d + g = 36 f + g = 21 c e + g = 29 g = 15 Z posledních čtyř rovnic přímo určíme f = 6, e = 14, po dosazení do třetí rovnice: c + 14 + 6 + 15 = 32, tedz c = 3. Dostáváme nesmyslný počet prvků.
příklad 2
3
06. seminář množiny (úlohy s diagramy).notebook
October 25, 2011
Ve zprávě o průzkumu se píše __ Ze zkoumané skupiny 150 osob navštívilo 101 osob alespoň jednou nějaký kulturní podnik, z toho: kino 77 kino i divadlo 36 divadlo 63 kino i koncert 21 koncert 32 divadlo i koncert 29 kino, divadlo i koncert 15. Ve zprávě je chyba. Ukažte to.
X 218:27
4
06. seminář množiny (úlohy s diagramy).notebook
October 25, 2011
X 218:39
5
06. seminář množiny (úlohy s diagramy).notebook
October 25, 2011
Úlohy o počtech prvků
Zdroj úloh: ŠMM, svazek 30
Úloha 3: V rodinném albu je 74 fotografií, na nichž je aspoň jeden člen rodiny (otec, matka, syn). Na 7 fotografiích jsou oba rodiče, na 53 fotografiích aspoň jeden z rodičů, na 17 oba muži a na 65 alespoň jeden z mužů. Na 5 fotografiích je jen otec a na 25 je matka se synem. Určete přesně, na kolika fotografiích jsou kteří členové rodiny či které dvojice či trojice.
Řešení pomocí rovnic:
A...fotografie, kde je matka B...fotografie, kde je otec C...fotografie, kde je syn
a a + b + c + d + e + f + g = 74 d + g = 7 b + d + e + f + g = 53 e + g = 17 b + c + d + e + f + g = 65 b = 5 f + g = 25
g
7x
= 16+x
c
5
4
5 Teď již dopočteme vše potřebné z podmínky: 53+11+2x = 74, odtud x = 5.
x 25x
e
f
Řešení přímo pomocí diagramů není bez výpočtů snadné: Přímo můžeme vyplnit jediné pole, všechny ostatní údaje vyplývají z výpočtů. Zkusme pokračovat po označení pole g = x.
5357(25x)
b
d
17x
= 11+2x 21
2
65(25x)(17x)75
5 20
5 12
21
příklad 3
6
06. seminář množiny (úlohy s diagramy).notebook
October 25, 2011
V rodinném albu je 74 fotografií, na nichž je aspoň jeden člen rodiny (otec, matka, syn). Na 7 fotografiích jsou oba rodiče, na 53 fotografiích aspoň jeden z rodičů, na 17 oba muži a na 65 alespoň jeden z mužů. Na 5 fotografiích je jen otec a na 25 je matka se synem. Určete přesně, na kolika fotografiích jsou kteří členové rodiny či které dvojice či trojice.
X 218:48
7
06. seminář množiny (úlohy s diagramy).notebook
Úlohy o počtech prvků
October 25, 2011
Zdroj úloh: ŠMM, svazek 30
Úloha 4: Na palubě výletní lodi cestuje: 9 kluků, 5 dětí z Prahy, 9 dospělých mužů, 7 kluků z venkova, 14 Pražanů, 6 Pražáků mužského rodu, 7 venkovanek. Kolik bylo na lodi celkem cestujících? Kolik z nich bylo mužského pohlaví, kolik dospělých? Kolik bylo mezi cestujícími venkovských děvčat a kolik pražských kluků? Lze na všechny otázky jednoznačně odpovědět? A...všichni cestující z Prahy B...všichni dospělí C...všichni muži U...všichni cestující
příklad 4
8
