Úlohy MO z let 1994–2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem
1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A 6= T 6= B), aby platilo PBCS = 2PDAT , kde PXY Z značí obsah trojúhelníku XY Z a kde body D, C jsou po řadě paty kolmic spuštěných z bodů A, B na přímku t. [44–C–I–2] 2. Určete všechny trojice celých nezáporných čísel a, b, c, které vyhovují soustavě rovnic a + bc = 3c, b + ca = 3a, c + ab = 3b. [44–C–S–1]
3. Určete počet všech čtyřmístných čísel n s vlastností: Jestliže k číslu n přičteme čtyřmístné číslo n0 , jehož zápis v desítkové soustavě má opačné pořadí číslic než číslo n, dostaneme číslo, které je dělitelné 70. [44–C–II–1] 4. V rovině je dán rovnostranný trojúhelník ABC a přímky pA , pB , které jsou kolmé k AB a procházejí po řadě body A, B. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník KLC s přeponou KL, který má stejný obsah jako trojúhelník ABC a přitom jeho vrcholy K, L leží po řadě na přímkách pA , pB . [44–C–II–3] 5. Určete všechna reálná čísla a, pro něž existuje právě jedna uspořádaná dvojice [x, y] reálných čísel takových, že x+
1 y 1 x − = y + − = a. y x x y [44–B–II–1]
6. Sestrojte lichoběžník ABCD (AB k CD) s pravým úhlem při vrcholu A, je-li |AC| = 5 cm, |BD| = 7 cm a úhlopříčka AC dělí obsah lichoběžníku na dvě části v poměru 2 : 1. [45–C–I–3] 7. V polorovině ABM sestrojte kružnice k1 a k2 , které se dotýkají přímky AB po řadě v daných bodech A a B, dotýkají se vně v nějakém bodě T a jejich společná tečna v tomto bodě prochází daným bodem M . [45–C–II–4] 8. Body dotyku tečen vedených z bodu V ke kružnici k označme A, B. Sestrojte sečnu kružnice k tak, aby procházela bodem V a kružnici k protínala v bodech C, D, kde |AC| = |BD|. [45–B–II–2] 9. Ve čtverci ABCD je R střed strany CD a Q průsečík úhlopříčky BD s přímkou AR. Na straně BC zvolte bod P tak, aby úsečka P Q rozdělila lichoběžník ABCR na dva čtyřúhelníky stejného obsahu. [46–C–II-4] 10. Nechť ABCD je lichoběžník (AB k CD), jehož úhlopříčky jsou navzájem kolmé. Dokažte nerovnost |AB| + |CD| < |BC| + |DA|. [46–B–II–3] 11. Pro každé přirozené číslo n = 2 určete největší hodnotu výrazu Vn = sin x1 cos x2 + sin x2 cos x3 + . . . + sin xn−1 cos xn + sin xn cos x1 , kde x1 , x2 , . . . , xn jsou libovolná reálná čísla. 1
[46–A–III–5]
12. Dokažte, že pro každou trojici x, y, z kladných čísel platí nerovnost √ √ 2 2 2 √ √ xyz + + 5 x + y + z. x+y y+z z+x Zjistěte, kdy nastane rovnost.
[47–B–I–3]
13. Určete všechny trojice (a, b, c) reálných čísel, pro které platí a + b + c = 1, ab + bc + ca = abc. [47–B–S–1]
14. Je dán pravoúhlý lichoběžník se základnami a, c (a > c) a delším ramenem b. Sestrojte přímku, která daný lichoběžník rozdělí na dva navzájem podobné čtyřúhelníky. Proveďte diskusi o počtu řešení vzhledem k délkám a, b, c. [47–A–I–6] 15. V obdélníku ABCD platí |AB| > |BC|. Oblouk AC kružnice, jejíž střed leží na straně AB, protíná stranu CD v bodě M . Dokažte, že přímky AM a BD jsou navzájem kolmé. [48–C–I–2] 16. Pro libovolnou dvojici reálných čísel a, b splňující vztah a + b = 1 platí p p a2 + a + 1 + b2 + b + 1 > 2. Jsou-li navíc čísla a, b nezáporná, platí také p p a2 + a + 1 + b2 + b + 1 < 3. Obě tvrzení dokažte.
[48–C–I–6] 19
17. Určete největší čtyřmístné číslo n, pro něž je součet n
n
+ 99 dělitelný deseti. [48–C–S–2]
18. V rovině je dán obdélník ABCD, nad jehož stranami AB a BC (jako nad průměry) jsou vně obdélníku sestrojeny po řadě polokružnice k a l. Najděte úsečku XY co největší délky d tak, aby platilo X ∈ k a Y ∈ l. Délku d pak vyjádřete pomocí délek a = |AB| a b = |BC|. [48–C–S–3] 19. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC. Na straně BC najděte bod P tak, aby kružnice vepsaná trojúhelníku ABP a kružnice připsaná straně P C trojúhelníku AP C byly shodné. [48–B–I–4] 20. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, nad jehož odvěsnami AB a BC (jako nad průměry) jsou vně trojúhelníku sestrojeny po řadě polokružnice k a l. Vrcholem B veďte přímku p, která protíná polokružnice k a l po řadě v bodech X a Y tak, aby čtyřúhelník AXY C měl co největší obvod. [48–B–II–2] 21. Je dán čtverec ABCD. Dokažte, že pro všechny body P toho oblouku AB kružnice čtverci opsané, který neobsahuje body C a D, má výraz |AP | + |BP | |CP | + |DP | stejnou hodnotu. Určete ji.
[48–A–II–2]
22. Označme S střed kružnice vepsané libovolnému trojúhelníku ABC. Dokažte, že rovnost |AS| · |BS| = |CS| · |AB| platí, právě když je úhel ACB pravý. [49–B–I–2] 2
23. Nechť K, L, M jsou po řadě vnitřní body stran BC, CA, AB daného trojúhelníku ABC takové, že kružnice vepsané dvojicím trojúhelníků ABK a CAK, BCL a ABL, CAM a BCM mají vnější dotyk. Pak platí |BK| · |CL| · |AM | = |CK| · |AL| · |BM |. 24.
25.
26.
27.
28.
Dokažte. [49–A–I–2] Je dán trojúhelník ABC. Uvnitř jeho stran BC, CA, AB uvažujme po řadě body K, L, M takové, že úsečky AK, BL, CM se protínají v bodě U . Jestliže trojúhelníky AM U a KCU mají obsah P a trojúhelníky M BU a CLU obsah Q, pak P = Q. Dokažte. [49–A–S–2] Určete všechny konvexní čtyřúhelníky ABCD s následující vlastností: Uvnitř čtyřúhelníku ABCD existuje bod E takový, že každá přímka, která prochází tímto bodem a protíná strany AB a CD ve vnitřních bodech, dělí čtyřúhelník ABCD na dvě části o stejném obsahu. Svou odpověď zdůvodněte. [49–A–II–4] V rovině je dán čtverec ABCD. Kružnice k prochází body A, B a dotýká se přímky CD. Označme M (M 6= B) průsečík kružnice k a strany BC. Určete poměr |CM | : |BM |. [50–C–S–2] V rovině je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Paty výšek z vrcholů A, B označme po řadě A1 , B1 . Tečny kružnice opsané trojúhelníku CA1 B1 sestrojené v bodech A1 , B1 se protínají v bodě M . Dokažte, že kružnice opsané trojúhelníkům AM B1 , BM A1 , CA1 B1 procházejí jedním bodem. [50–A–I–3] V oboru reálných čísel řešte soustavu nerovnic √ sin x + cos y = 2, √ sin y + cos z = 2, √ sin z + cos x = 2. [50–A–I–4]
29. Najděte všechna reálná čísla p, pro která má soustava nerovnic 25 + 2x2 5 13y + 10z − p, 25 + 3y 2 5 6z + 10x, 25 + 4z 2 5 6x + 5y + p s neznámými x, y, z řešení v oboru reálných čísel. [50–A–S–1] 30. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou BC dané délky a, je-li dán střed P strany AB a bod Q (Q 6= P ), který je patou výšky z vrcholu B. [51–C–I–5]
31. V rovině je dán pravoúhlý trojúhelník ABC takový, že kružnice k(A; |AC|) protíná přeponu AB v jejím středu S. Dokažte, že kružnice opsaná trojúhelníku BCS je shodná s kružnicí k. [51–C–S–2] 32. Nechť kružnice sestrojené nad rameny lichoběžníku jako nad průměry mají vnější dotyk. Dokažte, že dotykový bod těchto kružnic leží na ose úhlu, který obě ramena lichoběžníku svírají. [51–C–II–2] 33. Nechť k je polokružnice sestrojená nad průměrem AB, která leží ve čtverci ABCD. Uvažujme její tečnu t1 z bodu C (různou od BC) a označme P její 3
34.
35.
36.
37. 38.
39.
průsečík se stranou AD. Nechť t2 je společná vnější tečna polokružnice k a kružnice vepsané trojúhelníku CDP (různá od AD). Dokažte, že přímky t1 a t2 jsou navzájem kolmé. [51–B–I–3] Nechť n = 2 je dané přirozené číslo. Pro které hodnoty reálného parametru p má soustava rovnic 2 x41 + 2 = px2 , x1 2 x42 + 2 = px3 , x2 .................... 2 x4n−1 + 2 = pxn , xn−1 2 x4n + 2 = px1 xn alespoň dvě řešení v oboru reálných čísel? [51–A–I–4] Označme S střed kružnice vepsané danému trojúhelníku ABC a P , Q paty kolmic z vrcholu C k přímkám, na kterých leží osy vnitřních úhlů BAC a ABC. Dokažte, že přímky AB a P Q jsou rovnoběžné. [51–A–S–2] Je dán trojúhelník ABC s ostrými vnitřními úhly při vrcholech A a B. Označme Q průsečík těžnice AD s výškou CP a E patu kolmice z bodu D na stranu AB. Dále nechť R je bod na polopřímce opačné k P C takový, že |P R| = |CQ|. Dokažte, že přímky AD a RE jsou různoběžné a že jejich průsečík leží na kolmici k přímce AB procházející bodem B. [52–C–I–2] V rovině je dána úsečka AP . Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF tak, aby bod P byl středem jeho strany DE. [52–C–II–2] V rovině je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD s delší základnou AB a pravým úhlem při vrcholu A. Kružnice k1 sestrojená nad stranou AD jako průměrem a kružnice k2 , která prochází vrcholy B, C a dotýká se přímky AB, mají vnější dotyk v bodě P . Dokažte, že úhly CP D a ABC jsou shodné. [52–B–I–5] V rovině je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, na jehož přeponě AB uvažujeme libovolný bod K. Kružnice sestrojená nad úsečkou CK jako nad průměrem protne odvěsny BC a CA ve vnitřních bodech, které označíme po řadě L a M . Rozhodněte, pro který bod K má čtyřúhelník ABLM nejmenší možný obsah. [52–B–II–2]
40. V rovině je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD s delší základnou AB a pravým úhlem při vrcholu A. Označme k1 kružnici sestrojenou nad stranou AD jako nad průměrem a k2 kružnici procházející vrcholy B, C a dotýkající se přímky AB. Mají-li kružnice k1 , k2 vnější dotyk v bodě P , je přímka BC tečnou kružnice opsané trojúhelníku CDP . Dokažte. [52–B–II–4] 41. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic logx (y + z) = p, logy (z + x) = p, logz (x + y) = p s neznámými x, y, z a nezáporným celočíselným parametrem p. 4
[52–A–II–3]
42. Je dán obdélník ABCD. Nechť přímky p a q, které procházejí vrcholem A, protínají polokružnice vně připsané stranám BC a CD daného obdélníku po řadě v bodech K a L (B 6= K 6= C 6= L 6= D) a rovněž strany BC a CD po řadě v bodech P a Q tak, že trojúhelník ABP má stejný obsah jako trojúhelník KCP a zároveň trojúhelník AQD má stejný obsah jako trojúhelník CLQ. Dokažte, že body K, L, C leží na téže přímce. [53–C–I–2] 43. V rovině je dán obdélník ABCD, kde |AB| = a < b = |BC|. Na jeho straně BC existuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři navzájem podobné trojúhelníky. Určete hodnotu poměru a : b. [53–C–II–1] 44. V rovině daného čtverce KLM N určete množinu všech bodů P , pro něž jsou úhly N P K, KP L a LP M shodné. [53–A–I–2] 45. Nechť K, L, M jsou po řadě průsečíky os vnitřních úhlů α, β, γ při vrcholech A, B, C daného trojúhelníku ABC s protějšími stranami BC, CA, AB. Dokažte, že platí nerovnost α |CA| β |AB| γ |BC| cos + cos + cos = 3. |AK| 2 |BL| 2 |CM | 2 [53–A–II–4]
46. Určete všechny trojice (x, y, z) reálných čísel, pro něž platí n 8 8o 8 x2 + y 2 + z 2 5 6 + min x2 − 4 , y 2 − 4 , z 2 − 4 . x y z [53–A–III–1]
47. Nechť L je libovolný vnitřní bod kratšího oblouku CD kružnice opsané čtverci ABCD. Označme K průsečík přímek AL a CD, M průsečík přímek AD a CL a N průsečík přímek M K a BC. Dokažte, že body B, L, M , N leží na téže kružnici. [53–A–III–5] 48. Libovolným vnitřním bodem P úhlopříčky AC daného obdélníku ABCD jsou vedeny rovnoběžky s jeho stranami, které protínají úsečky AB, BC, CD a DA po řadě v bodech K, L, M a N . Dokažte, že a) přímky LM a KN jsou rovnoběžky, b) vzdálenost rovnoběžek LM a KN je konstantní (nezávisí na volbě bodu P ), c) pro obvod o čtyřúhelníku KLM N platí nerovnost o = 2|AC|. [54–C–II–3] 49. Nechť ABC je pravoúhlý trojúhelník se stranami a < b < c. Označme Q střed odvěsny BC a S střed přepony AB. Průsečík osy úsečky AB s odvěsnou CA označme R. Dokažte, že |RQ| = |RS|, právě když a2 : b2 : c2 = 1 : 2 : 3. [54–B–S–2]
50. Nechť ABC je ostroúhlý trojúhelník. Označme K a L paty výšek z vrcholů A a B, M střed strany AB a V průsečík výšek trojúhelníku ABC. Dokažte, že osa úhlu KM L prochází středem úsečky V C. [54–B–II–3] 51. Nechť M je libovolný vnitřní bod kratšího oblouku CD kružnice opsané čtverci ABCD. Označme P , R průsečíky přímky AM po řadě s úsečkami BD, CD 5
a podobně Q, S průsečíky přímky BM s úsečkami AC, DC. Dokažte, že přímky P S a QR jsou navzájem kolmé. [54–A–I–2] 52. V rovině je dán rovnoramenný trojúhelník KLM se základnou KL. Uvažujme libovolné dvě kružnice k a l, které mají vnější dotyk a které se dotýkají přímek KM a LM po řadě v bodech K a L. Určete množinu dotykových bodů T všech takových kružnic k a l. [54–A–II–3] 53. Je dáno přirozené číslo n (n = 2) a reálná čísla x1 , x2 , . . . , xn , pro která platí x1 x2 = x2 x3 = . . . = xn−1 xn = xn x1 = 1. Dokažte, že x21 + x22 + . . . + x2n = n. [55–C–I–4]
54. Splňují-li reálná čísla a, b, c, d rovnosti a2 + b2 = b2 + c2 = c2 + d2 = 1, platí nerovnost ab + ac + ad + bc + bd + cd 5 3. Dokažte a zjistěte, kdy přitom nastane rovnost.
[55–C–II–2]
55. Kružnice k, l s vnějším dotykem leží obě v obdélníku ABCD, jehož obsah je 72 cm2 . Kružnice k se přitom dotýká stran CD, DA a AB, zatímco kružnice l se dotýká stran AB a BC. Určete poloměry kružnic k a l, jestliže poloměr kružnice k je v centimetrech vyjádřen celým číslem. [55–C–II–3] 56. Na přeponě AB pravoúhlého trojúhelníku ABC uvažujme body P a Q takové, že |AP | = |AC| a |BQ| = |BC|. Označme M průsečík kolmice z vrcholu A na přímku CP a kolmice z vrcholu B na přímku CQ. Dokažte, že přímky P M a QM jsou navzájem kolmé. [55–B–S–2] 57. Určete všechny dvojice prvočísel p a q, pro něž platí p + q 2 = q + p3 . [55–B–II–1]
58. V oboru reálných čísel řešte rovnici √ 2(sin t + cos t) = tg3 t + cotg3 t. [55–A–I–1]
59. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M . Označme po řadě A1 , B1 , C1 ty body stran BC, CA a AB, pro něž platí M A1 k AB, M B1 k BC a M C1 k CA. Průsečíky os úseček M A1 , M B1 a M C1 tvoří vrcholy trojúhelníku o obsahu T . Dokažte, že platí S = 3T . [55–A–S–2] 60. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic sin2 x + cos2 y = y 2 , sin2 y + cos2 x = x2 . [55–A–II–4]
6
61. V rovině je dána úsečka AB. Sestrojte množinu těžišť všech ostroúhlých trojúhelníků ABC, pro něž platí: Vrcholy A a B, průsečík výšek V a střed S kružnice vepsané trojúhelníku ABC leží na jedné kružnici. [55–A–III–4] 62. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic tg2 x + 2 cotg2 2y = 1, tg2 y + 2 cotg2 2z = 1, tg2 z + 2 cotg2 2x = 1. [55–A–III–6]
63. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí √ √ a + 5 b = b + 5 a. [56–C–I–1]
64. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, √ jejichž rozdíl √ a − b je pátou mocninou některého prvočísla a pro něž platí a − 4 b = b + 4 a. [56–C–S–3] √ 65. Nechť p, q, r jsou přirozená čísla, pro něž platí p + r p + q + q = 2 007. a) Určete, jakých hodnot může nabývat součet p + q + r. b) Určete počet všech trojic (p, q, r) přirozených čísel, které vyhovují dané rovnici. [56–C–II–2] 66. Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Pro libovolný bod L jeho strany AB označme K, M paty kolmic z bodu L na strany AC, BC. Zjistěte, pro kterou polohu bodu L je úsečka KM nejkratší. [56–B–II–4] 67. Jsou-li x, y, z reálná čísla z intervalu h−1, 1i splňující podmínku xy +yz +zx = 1, pak platí p 6 3 (1 − x2 )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) 5 1 + (x + y + z)2 . Dokažte a zjistěte, kdy nastane rovnost. [56–A–I–3] 68. Je dán lichoběžník ABCD s pravým úhlem při vrcholu A a základnou AB, v němž platí |AB| > |CD| = |DA|. Označme S průsečík os jeho vnitřních úhlů při vrcholech A, B a T průsečík os vnitřních úhlů při vrcholech C, D. Podobně označme U , V průsečíky os vnitřních úhlů při vrcholech A, D, resp. B, C. a) Ukažte, že přímky U V a AB jsou rovnoběžné. b) Dokažte, že průsečík E polopřímky DT s přímkou AB a body S, T , B leží na téže kružnici. [56–A–S–3] 69. Nechť M je libovolný vnitřní bod přepony AB pravoúhlého trojúhelníku ABC. Označme S, S1 , S2 středy kružnic opsaných po řadě trojúhelníkům ABC, AM C, BM C. a) Dokažte, že body M , C, S1 , S2 a S leží na téže kružnici. b) Pro kterou polohu bodu M má tato kružnice nejmenší poloměr? [56–A–II–3] √ √ √ 70. Určete nejmenší přirozené číslo n, pro něž i čísla 2n, 3 3n, 5 5n jsou přirozená. [57–C–I–1]
71. Trojúhelník ABC splňuje při obvyklém značení délek stran podmínku a 5 b 5 c. Vepsaná kružnice se dotýká stran AB, BC a AC po řadě v bodech K, L a M . Dokažte, že z úseček AK, BL a CM lze sestrojit trojúhelník, právě když platí b + c < 3a. [57–C–II–1] 7
72. Určete všechny dvojice a, b reálných čísel, pro něž má každá z kvadratických rovnic ax2 + 2bx + 1 = 0, bx2 + 2ax + 1 = 0 dva různé reálné kořeny, přičemž právě jeden z nich je oběma rovnicím společný. [57–B–I–5]
73. Určete všechny dvojice (a, b) reálných čísel, pro něž mají rovnice x2 + (3a + b)x + 4a = 0,
x2 + (3b + a)x + 4b = 0
společný reálný kořen.
[57–B–S–2]
74. Uvažujme dvě kvadratické rovnice x2 − ax − b = 0,
x2 − bx − a = 0
s reálnými parametry a, b. Zjistěte, jaké nejmenší a jaké největší hodnoty může nabývat součet a+b, existuje-li právě jedno reálné číslo x, které současně vyhovuje oběma rovnicím. Určete dále všechny dvojice (a, b) reálných parametrů, pro něž uvažovaný součet těchto hodnot nabývá. [57–B–II–1] 75. V rovině je dán rovnoběžník ABCD, jehož úhlopříčka BD je kolmá ke straně AD. Označme M (M 6= A) průsečík přímky AC s kružnicí o průměru AD. Dokažte, že osa úsečky BM prochází středem strany CD. [57–B–II–3] 76. Množinu M tvoří 2n různých kladných reálných čísel, kde n = 2. Uvažujme n obdélníků, jejichž rozměry jsou čísla z M, přičemž každý prvek z M je použit právě jednou. Určete, jaké rozměry mají tyto obdélníky, je-li součet jejich obsahů a) největší možný; b) nejmenší možný. [57–A–I–3] 77. Nechť M je libovolný vnitřní bod polokružnice k se středem S a průměrem AB. Označme kA kružnici vepsanou kruhové výseči ASM a kB kružnici vepsanou kruhové výseči BSM . Dokažte, že kružnice kA a kB leží v opačných polorovinách vyťatých některou přímkou kolmou k úsečce AB. (Kružnice vepsaná kruhové výseči se dotýká obou ramen i hraničního oblouku.) [57–A–II–4] 78. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x + y2 = y3 , y + x2 = x3 . [57–A–III–1]
79. Určete všechny trojice (x, y, z) reálných čísel, pro které platí x2 + xy = y 2 + z 2 , z 2 + zy = y 2 + x2 . [58–B–I–2]
80. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic ax + y = 2, x − y = 2a, x+y =1 o neznámých x a y a reálném parametru a. 8
[58–B–S–1]
81. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x + y = 1, x − y = a, −4ax + 4y = z 2 + 4 o neznámých x, y, z a reálném parametru a.
[58–B–II–1]
82. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic 2 sin x cos(x + y) + sin y = 1, 2 sin y cos(y + x) + sin x = 1. [58–A–I–1]
83. Nechť ABC je ostroúhlý trojúhelník, v němž vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 45◦ . Označme D patu výšky z vrcholu C. Uvažujme dále libovolný vnitřní bod P výšky CD. Dokažte tvrzení: Přímky AP a BC jsou navzájem kolmé, právě když úsečky AP a BC jsou shodné. [58–A–S–2] 84. Na odvěsnách délek a, b pravoúhlého trojúhelníku leží po řadě středy dvou kružnic ka , kb . Obě kružnice se dotýkají přepony a procházejí vrcholem proti přeponě. Poloměry uvedených kružnic označme %a , %b . Určete největší kladné reálné číslo p takové, že nerovnost 1 1 1 1 + =p + %a %b a b platí pro všechny pravoúhlé trojúhelníky.
[58–A–II–2]
85. Určete velikosti vnitřních úhlů α, β, γ trojúhelníku, pro něž platí 2 sin β sin(α + β) − cos α = 1, 2 sin γ sin(β + γ) − cos β = 0. [58–A–II–3]
86. Určete všechna reálná čísla x, která vyhovují rovnici 4x − 2bxc = 5. (Symbol bxc značí největší celé číslo, které není větší než číslo x, tzv. dolní celou část reálného čísla x.) [59–C–I–3] 87. Určete všechny dvojice reálných čísel x, y, které vyhovují soustavě rovnic bx + yc = 2 010, bxc − y = p, jestliže a) p = 2, b) p = 3. (Symbol bxc značí největší celé číslo, které není větší než dané reálné číslo x, tzv. dolní celá část reálného čísla x.) [59–C–II–4] 88. V rovině je dána úsečka AB. Sestrojte rovnoběžník ABCD, pro jehož středy stran AB, CD, DA označené po řadě K, L, M platí: body A, B, L, D leží na jedné kružnici a rovněž body K, L, D, M leží na jedné kružnici. [59–B–I–3] 89. V rovině je dán rovnoběžník ABCD. Označme K, L, M po řadě středy stran AB, CD, AD. Předpokládejme, že body A, B, L, D leží na jedné kružnici a zároveň i body K, L, D, M leží na jedné kružnici. Dokažte, že |AC| = 2·|AD|. [59–B–II–3] 9
90. Je dán rovnoběžník ABCD s tupým úhlem ABC. Na jeho úhlopříčce AC v polorovině BDC zvolme bod P tak, aby platilo |BP D| = |ABC|. Dokažte, že přímka CD je tečnou ke kružnici opsané trojúhelníku BCP , právě když úsečky AB a BD jsou shodné. [59–A–II–2] 91. Uvažujme vnitřní bod P daného obdélníku ABCD a označme po řadě Q, R obrazy bodu P v souměrnostech podle středů A, C. Předpokládejme, že přímka QR protne strany AB a BC ve vnitřních bodech M a N . Sestrojte množinu všech bodů P , pro něž platí |M N | = |AB|. [60–B–I–2] 92. Nechť M , N jsou po řadě vnitřní body stran AB, BC rovnostranného trojúhelníku ABC, pro něž platí |AM | : |M B| = |BN | : |N C| = 2 : 1. Označme P průsečík přímek AN a CM . Dokažte, že přímky BP a AN jsou navzájem kolmé. [60–B–II–3]
93. Jsou dány kružnice k, l, které se protínají v bodech A, B. Označme K, L po řadě dotykové body jejich společné tečny zvolené tak, že bod B je vnitřním bodem trojúhelníku AKL. Na kružnicích k a l zvolme po řadě body N a M tak, aby bod A byl vnitřním bodem úsečky M N . Dokažte, že čtyřúhelník KLM N je tětivový, právě když přímka M N je tečnou kružnice opsané trojúhelníku AKL. [60–A–I–3]
94. Určete všechna reálná čísla c, která lze s oběma kořeny kvadratické rovnice 5 x2 + x + c = 0 2 uspořádat do tříčlenné aritmetické posloupnosti.
[60–A–S–1]
95. Určete velikosti vnitřních úhlů všech trojúhelníků ABC s vlastností: Uvnitř stran AB, AC existují po řadě body K, M , které s průsečíkem L přímek M B a KC tvoří tětivové čtyřúhelníky AKLM a KBCM se shodnými opsanými kružnicemi. [60–A–III–1]
96. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, jehož obsah označme P . Nechť F je pata výšky z vrcholu C na přeponu AB. Na kolmicích k přímce AB, které procházejí vrcholy A a B, v polorovině opačné k polorovině ABC uvažujme po řadě body D a E, pro něž platí |AF | = |AD| a |BF | = |BE|. Obsah trojúhelníku DEF označme Q. Dokažte, že platí P = Q, a zjistěte, kdy nastane rovnost. [61–B–I–2] 97. V oboru celých čísel řešte rovnici x2 + y 2 + x + y = 4. [61–B–S–1]
98. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Nechť F je pata výšky z vrcholu C na přeponu AB. Na kolmicích k přímce AB, které procházejí vrcholy A a B, jsou v polorovině opačné k polorovině ABC zvoleny po řadě body D a E, pro něž platí |AF | = |AD| a |BF | = |BE|. Označme dále R střed úsečky DE. Dokažte, že platí nerovnost |RF | = |CF |, a zjistěte, kdy nastane rovnost. [61–B–S–2] 99. Určete, kolika způsoby lze vrcholům pravidelného devítiúhelníku ABCDEF GHI přiřadit čísla z množiny {17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97} tak, aby každé z nich bylo 10
přiřazeno jinému vrcholu a aby součet čísel přiřazených každým třem sousedním vrcholům byl dělitelný třemi. [61–B–II–2] 100. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami AB a CD a označme M střed jeho úhlopříčky AC. Dokažte, že platí: Mají-li trojúhelníky ABM a ACD stejné obsahy, jsou přímky DM a BC rovnoběžné. [61–A–S–2] 101. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x4 + y 2 + 4 = 5yz, y 4 + z 2 + 4 = 5zx, z 4 + x2 + 4 = 5xy. [61–A–III–6]
11
Pan doktor Jaroslav Švrček se ve druhém poločase dosavadní šedesátileté historie MO v našich zemích vypracoval v jednu z jejích výrazných osobností, které věnují této soutěži neutuchající organizátorskou energii i stálé úsilí při tvorbě nových soutěžních úloh. Tento rodák z Přerova se jako vítěz celostátního kola 21. ročníku MO rozhodl pro studium matematiky na Přírodovědecké fakultě Univerzity Palackého v Olomouci, která se posléze stala jeho celoživotním pracovištěm, na němž předával a dosud předává své znalosti a bohaté praktické zkušenosti mladým adeptům učitelství matematiky na středních školách. Sám se kromě výuky na fakultě již po tři desítky let stále intenzívně věnuje výchově středoškolských matematických talentů. Znají ho a vděčí mu za mnohé dnes již nejen stovky studentů matematických tříd bíloveckého gymnázia, ale i celé generace účastníků různých krajských a zejména celostátních soustředění MO, na jejichž přípravě a organizačním zajištění mívá pan doktor ve funkci místopředsedy ústřední komise MO rozhodující zásluhu. V tomto směru přes zamýšlenou stručnost tohoto textu nelze opomenout jeden jeho významný počin, či spíše mnohaměsíční vytrvalé úsilí při nesnadných jednáních, bez kterých by bylo nemyslitelné, aby akademická Olomouc po jeden zářijový týden roku 2008 úspěšně hostila půlstovku soutěžících z devíti okolních zemí, kteří tehdy přijeli do České republiky právě na Hanou, aby změřili své síly na Středoevropské matematické olympiádě. V lednu 2013 se pan doktor Švrček dožije 60 let. K tomuto jeho životnímu jubileu jsme připravili stávající přehled zadání více než stovky úloh, které pan doktor pro naši matematickou olympiádu sestavil a které byly v soutěžních kolech MO v období 1994–2012 uplatněny. Věříme, že touto kolekcí pěkných matematických problémů a poučných postupů jejich řešení, která lze podle uvedených odkazů vyhledat v ročenkách MO nebo na internetu, přesvědčíme čtenáře o bohatosti nápadů a šíři zájmů autora napříč celou oblastí elementární matematiky. Neobvyklým užitím sportovní terminologie úvodem prvního odstavce jsme chtěli naznačit, že pan doktor Švrček kromě matematických zápolení miluje i souboje dvou jedenáctičlenných týmů při hře, pro kterou má naše bohatá mateřština kouzelný termín kopaná. Ani jako matematik nemá pan doktor patrně spočítáno, kolik kilometrů se již najezdil po zejména moravských silnicích za zápasy družstva svého rodného města. Přejeme mu, aby těch tažení s vítězným koncem bylo i v budoucnu co nejvíce. Prosinec 2012
Členové ústřední komise MO
12
