Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as I. Kombinatorikus val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as
1. (BKSS 14.2.2.) Egy szab´alyos dob´okock´at feldobva mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy (a) 6-ost dobunk;
Mo.:
1 6
(b) legal´ abb 5-¨ ot dobunk;
≈ 0.167
Mo.:
(c) nem az 1-est dobjuk;
Mo.:
(d) pr´ımsz´ amot dobunk?
Mo.:
2 6 ≈ 0, 33 5 6 ≈ 0, 83 3 6 = 0, 5
2. (BKSS 14.2.3.) K´et szab´alyos dob´okock´at feldobva mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy (a) legal´ abb az egyiken 6-os ´ all;
11 36
Mo.:
(b) a dobott sz´ amok minimuma 3;
Mo.:
(c) a dobott sz´ amok maximuma 3;
Mo.:
≈ 0, 3
7 36 ≈ 0, 19 5 36 ≈ 0, 14
(d) a dobott sz´ amok ¨ osszege kisebb, mint 5;
Mo.:
(e) a dobott sz´ amok legnagyobb k¨ oz¨ os oszt´ oja 2?
6 36
≈ 0, 167
Mo.:
7 36
≈ 0, 19
3. (BKSS 14.2.4.) Egy szab´alyos p´enzdarabot ¨otsz¨or feldobunk. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy (a) dobunk fejet is ´es ´ır´ ast is;
Mo.:
(b) legal´ abb k´et fejet dobunk;
Mo.:
(c) t¨ obb ´ır´ ast dobunk, mint fejet;
30 32 26 32
= 0, 9375 = 0, 8125 1 2
Mo.:
(d) nem dobunk k´et fejet egym´ as ut´ an;
= 0, 5
Mo.:
(e) dobunk h´ arom fejet egym´ as ut´ an?
Mo.:
13 32 = 0, 40625 8 32 = 0, 25
4. A 32 lapos magyar k´arty´ab´ol 4 lapot tal´alomra kih´uzunk. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy a piros ´asz is a n´egy lap k¨ oz¨ ott lesz?
Mo.:
(31 3) = 0, 125 (32 4)
5. Egy kock´at hatszor egym´as ut´an feldobunk. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy (a) az 1,2,3,4,5,6 sz´ amok mindegyike szerepelni fog;
Mo.:
6! 66
(b) az els˝ o dob´ as eredm´enye 6-os, a t¨ obbi pedig ett˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o;
≈ 0, 0154 Mo.:
55 66
≈ 0, 067
(c) az els˝ o k´et dob´ as eredm´enye 6-os, a t¨ obbi pedig a 6-t´ ol is ´es egym´ ast´ol is k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o; Mo.:
5·4·3·2 66
≈ 0, 00257
(d) k´et dob´ as eredm´enye 6-os, a t¨ obbi pedig ett˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o?
Mo.:
(62)·54 66
≈ 0, 2
6. (BKSS 14.2.5.) Egy dobozban 20 c´edula van 1-t˝ol 20-ig megsz´amozva. Tal´alomra kivesz¨unk 5 c´edul´at. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a kih´ uzott sz´ amok mindegyike 8-n´ al nagyobb?
Mo.:
(12 5) ≈ 0, 051 (20 5)
7. (BKSS 14.2.7.a) 32 lapos magyar k´arty´ab´ol 3 lapot tal´alomra kih´uzva mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy a kih´ uzott lapok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ın˝ uek?
Mo.:
4·83
(32 3)
≈ 0, 413
8. (BKSS 14.2.8.) Egy szab´alyos dob´okock´at n´egyszer feldobunk. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy (a) k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ amokat dobunk;
Mo.:
6·5·4·3 64
(b) a harmadik dob´ asn´ al dobunk el˝osz¨ or 6-ost;
5·5·1·6 ≈ 0, 116 64 96 64 ≈ 0, 926
Mo.:
(c) nem dobunk k´et hatost egym´ as ut´ an; (d) a dobott sz´ amok maximuma 4?
≈ 0, 277
Mo.: 1 − Mo.:
44 −34 64
≈ 0, 135
Visszatev´ eses ´ es visszatev´ es n´ elk¨ uli mintav´ etel
1. (BKSS 14.3.1.) 100 alkatr´esz k¨oz¨ul 5 selejtes. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy 10 alkatr´eszt tal´alomra kiv´alasztva azok k¨ oz¨ ott 3 selejtes lesz?
Mo.:
(53)(95 7) ≈ 0, 00638 (100 10 )
2. (BKSS 14.3.2.) 32 lapos magyar k´arty´ab´ol 4 lapot tal´alomra kiv´alasztva mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy a kih´ uzott lapok k¨ oz¨ ott (a) pontosan k´et piros lesz;
Mo.:
(b) legal´ abb egy ´ asz lesz;
(82)(24 2) ≈ 0, 215 (32 4)
Mo.: 1 −
(c) legfeljebb egy z¨ old lesz?
Mo.:
(28 4) ≈ 0, 43 (32 4)
8 24 (24 4 )+(1)( 3 ) ≈ 0, 746 32 (4)
3. (BKSS 14.3.3.) Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy az ¨ot¨os lott´on egy tal´alomra kit¨olt¨ott lott´oszelv´ennyel pontosan k tal´ alatot ´er¨ unk el? (k=0,1,2,3,4,5)
Mo.:
85 (k5)(5−k ) 90 (5)
4. (BKSS 14.3.4.) Egy urn´aban 5 piros ´es 3 feh´er goly´o van. Az urn´ab´ol 10-szer h´uzunk u´gy, hogy a kih´uzott goly´ot mindig visszatessz¨ uk. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy (a) pontosan 3 piros goly´ ot h´ uzunk;
Mo.:
(b) legal´ abb egy feh´er goly´ ot h´ uzunk
10 3
Mo.: 1 −
5 3 3 7 ≈ 0, 03 8 8 5 10 ( 8 ) ≈ 0, 9909
5. (BKSS 14.3.5.) Bizonyos t´ıpus´u tranzisztorok 3 %-a selejt. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy 10 db tranzisztort v´ as´ arolva azok k¨ oz¨ ott (a) 3 selejt lesz? (b) lesz selejt?
Mo.:
10 3
(0, 03)3 (0, 97)7 ≈ 0, 0026
Mo.: 1 − (0, 97)10 ≈ 0, 26
6. (BKSS 14.5.3.) Mennyi a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy t´ızgyermekes csal´adban pontosan 4 l´any van, ha egy fi´ugyermek sz¨ ulet´es´enek val´ osz´ın˝ us´ege 0,51 ´es egy le´anygyermek sz¨ ulet´es´enek val´ osz´ın˝ us´ege 0,49 ? 4 6 Mo.: 10 4 (0, 49) (0, 51) ≈ 0, 213
7. (BKSS 14.5.5.) Egy dobozban 60 k´artya van. H´usz k´arty´an van A bet˝u, t´ız k´arty´an B bet˝u ´es harmincon C bet˝ u. Egym´ as ut´ an kih´ uzunk 5 k´ arty´ at visszatev´essel. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy 3 2 40 20 ≈ 0, 1646 ≈ (a) pontosan 3-szor h´ uzunk A bet˝ ut; Mo.: 53 60 60 4 5 (b) legal´ abb k´etszer h´ uzunk B bet˝ ut; Mo.: 1 − 56 + 51 16 56 ≈ 0, 196 (c) p´ aros sokszor h´ uzunk C bet˝ ut?
Mo.: 0, 5
8. (BKSS 14.5.6.) Egy c´elt´abl´ara 15 fi´u ad le egy-egy l¨ov´est. Mindenki 0,6 val´osz´ın˝us´eggel tal´al bele a 10-es k¨orbe. Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy 15 5
(0, 6)5 (0, 4)10 ≈ 0, 024
(a) pontosan 5 tal´ alat lesz a 10-es k¨ orbe;
Mo.:
(b) legfeljebb 4 tal´ alat lesz a 10-es k¨ orbe;
Mo.: ≈ 0, 00934
(c) legal´ abb k´et tal´ alat lesz a 10-es k¨ orbe?
Mo.: ≈ 0, 99997
9. (BKSS 14.5.12.) Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy szab´alyos dob´okock´aval dobva a hatodik dob´asn´al dobunk (a) el˝osz¨ or 6-ost; (b) m´ asodszor 6-os; (c) harmadszor 6-ost?
5 5 6
1 6
≈ 0, 067 4 Mo.: 5 · · 65 · 16 ≈ 0, 067 2 5 3 1 Mo.: 52 16 · 6 ≈ 0, 0268 6
Mo.:
·
1 6
Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as II. Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ´ es nevezetes eloszl´ asok V´ arhat´ o´ ert´ ek - Sz´ or´ as - Eloszl´ asf¨ uggv´ eny
1. (BKSS 14.5.8.) Egy telefonk¨ozpontba 1 perc alatt ´atlagosan 5 h´ıv´as ´erkezik be. Ha adott id˝otartam alatt be´erkez˝ o h´ıv´ asok sz´ ama Poisson-eloszl´ as´ u, mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy 1 perc alatt 52 −5 2! e
(a) pontosan 2 h´ıv´ as ´erkezik be;
Mo.:
(b) legfeljebb 3 h´ıv´ as ´erkezik be;
Mo.: ≈ 0, 265
(c) legal´ abb 1 h´ıv´ as ´erkezik be? (d) a v´ arhat´ on´ al t¨ obb h´ıv´ as ´erkezik be?
≈ 0, 084
Mo.: ≈ 0, 993
Mo.: ≈ 0, 384
2. (BKSS 14.5.9.) Egy 400 oldalas k¨onyvben 100 sajt´ohiba van. Mennyi annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy 20 v´eletlenszer˝uen kiv´alasztott oldalon nem lesz sajt´ ohiba, ha feltessz¨ uk, hogy a sajt´ ohib´ ak sz´ ama Poisson-eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o? Mo.: ≈ 0, 0067
3. Sz´amolja ki az al´abbi val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ok v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´as´at! (a) ξ (b) ξ
1
2
7
10
1 8
2 8
3 8
2 8
−2 −1
0
1 10
1 10
5 10
1
2
3
1 10
1 10
1 10
Mo.:
M (ξ) = 5, 75 Mo.:
D (ξ) ≈ 3, 382 M (ξ) = 0, 3
D (ξ) ≈ 1, 345
4. Egy csomag magyar k´arty´ab´ol tal´alomra kih´uzunk egy lapot. Jel¨olje ξ a kih´uzott lap szok´asos pont´ert´ek´et. (als´ o: 2 , fels˝o: 3 , kir´ aly: 4 , ´ asz: 11 , hetes: 7 , nyolcas: 8 , kilences: 9 , tizes: 10) Adja meg ξ eloszl´ as´ at, v´ arhat´ o ´ert´ek´et, sz´ or´ as´ at! 2 3 4 7 8 9 10 11 M (ξ) = 6, 75 D (ξ) ≈ 3, 15 Mo.: ξ 1 1 1 1 1 1 1 1 8
8
8
8
8
8
8
8
5. Vari´aci´ok egy dobozra, h´arom piros ´es n´egy feh´er goly´ora Egy dobozban 3 piros ´es 4 feh´er goly´ o van. Adjuk meg az al´ abb defini´ alt val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ as´ at, v´ arhat´ o ´ert´ek´et, sz´ or´ as´ at, eloszl´ asf¨ uggv´eny´et! (a) Addig h´ uzunk (visszatev´es n´elk¨ ul), am´ıg piros nem lesz. Jel¨ olje ξ a h´ uzott goly´ ok sz´ am´at! q 1 2 3 4 5 M (ξ) = 2 D(ξ) = 65 ≈ 1, 1 Mo.: ξ 15 10 6 3 1 35
F (x) =
0 15 35 25
35
35
35
35
x≤1
1<x≤2
35
2<x≤3
31 35
3<x≤4
34 35
4<x≤5
1
5<x
(b) K´et goly´ ot h´ uzunk visszatev´es n´elk¨ ul. Jel¨ olje ξ a pirosak sz´ am´at a kih´ uzott goly´ ok k¨ oz¨ ott. (Hipergeometrikus eloszl´ as) 0 1 2 M (ξ) = 76 Mo.: ξ 6 12 3 D(ξ) ≈ 0, 63 21
F (x) =
0 6 21
21
21
x≤0 0<x≤1
18 21
1<x≤2
1
2<x
(c) K´et goly´ ot h´ uzunk visszatev´essel. Jel¨ olje ξ a pirosak sz´ am´at. (Binomi´ alis eloszl´ as) q 0 1 2 Mo.: ξ 16 24 9 D(ξ) = 24 M (ξ) = 76 49 ≈ 0, 7 49
F (x) =
49
0 16 49
49
x≤0
0<x≤1
40 49
1<x≤2
1
2<x
(d) Addig h´ uzunk (visszatev´es n´elk¨ ul), am´ıg k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ın˝ u goly´ o nem lesz a kih´ uzottak k¨ oz¨ ott. Jel¨ olje ξ a h´ uzott goly´ ok sz´ am´ at! q 2 3 4 5 16 M (ξ) = 13 Mo.: ξ 20 10 4 = 2, 6 D(ξ) = 1 5 25 = 0, 8 35
F (x) =
35
0 20 35
35
35
x≤2
2<x≤3
30 35
3<x≤4
34 35
4<x≤5
1
5<x
(e) Addig h´ uzunk (visszatev´es n´elk¨ ul), am´ıg k´et azonos sz´ın˝ u goly´ o nem lesz a kih´ uzottak k¨ oz¨ ott. Jel¨ olje ξ a h´ uzott goly´ ok sz´ am´ at! q 2 3 M (ξ) = 18 Mo.: ξ 3 4 D(ξ) = 12 7 ≈ 2, 57 49 ≈ 0, 49 7
F (x) =
0
7
x≤2
3 7
2<x≤3
1
3<x
(f) K´et goly´ ot h´ uzunk visszatev´essel. Legyen ξ ´ert´eke 0, ha a k´et kih´ uzott goly´ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ın˝ u, ´es legyen ez az ´ert´ek 1, ha a kih´ uzott goly´ ok azonos sz´ın˝ uek. (Indik´ ator-v´ altoz´ o eloszl´ asa) q 0 1 Mo.: ξ 4 3 D(ξ) = 12 M (ξ) = 37 ≈ 0, 43 49 ≈ 0, 49 7
F (x) =
0
7
x≤0
4 7
0<x≤1
1
1<x
6. Egy szab´alyos dob´okock´aval ¨otsz¨or dobunk egym´as ut´an. Jel¨olje ξ val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o azt, hogy h´anyszor dobtunk 6-ost. Sz´ amolja ki ξ v´ arhat´ o ´ert´ek´et ´es sz´ or´ as´ at!
Mo.:
M (ξ) =
5 6
≈ 0, 83
D (ξ) =
5 6
≈ 0, 83
7. Egy ξ valv´altoz´o Poisson-eloszl´as´u λ = 2, 5 param´eterrel. Hat´arozza meg ξ eloszl´as´at, v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´as´at. Milyen val´ osz´ın˝ us´eggel vesz fel ξ a v´ arhat´ o ´ert´ek´en´el kisebb ´ert´eket?
Mo.: P (ξ < 2, 5) ≈ 0, 543
8. Bizonyos t´ıpus´u k´av´ef˝oz˝ok 5%-a selejt. 3-at vesz¨unk. Jel¨olje ξ a megv´as´arolt k´av´ef˝oz˝ok k¨oz¨ott a selejtesek sz´ am´at. Adja meg ξ eloszl´ as´ at, v´ arhat´ o ´ert´ek´et, sz´ or´ as´ at. Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy (a) lesz selejtes a v´ as´ aroltak k¨ oz¨ ott; (b) 2-n´el kevesebb selejt lesz a v´ as´ aroltak k¨ oz¨ ott? 0 1 2 3 Mo.: ξ 3 3 3 3 3 0 2 1 1 2 0 3 3 (0, 05) (0, 95) 2 (0, 05) (0, 95) 1 (0, 05) (0, 95) 0 (0, 05) (0, 95) 0 1 2 3 Kisz´ amolt ´ert´ekekkel: ξ 0, 857375 0, 135375 0, 007125 0, 000125
M (ξ) = n · p = 3 · 0, 05 = 0, 15 P (lesz selejtes) ≈ 0, 14
D(ξ) =
√
n·p·q =
p
3 · (0, 05) · (0, 95) ≈ 0, 377
P (2-n´el kevesebb selejtes) ≈ 0, 99275
Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as III. Folytonos val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok eloszl´ asf¨ uggv´ enye, s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ enye
1. (BKSS 14.6.1.) Igazolja, hogy F (x) eloszl´asf¨uggv´eny. ´Irja fel az F (x) eloszl´asf¨uggv´eny˝u ξ val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et ´es sz´ amolja ki a fel´ırt val´ osz´ın˝ us´egeket! megj.: F eloszl´ asfv, ha a k¨ ov. tulajdons´ agok mindegyike teljes¨ ul: DF = R , 0 ≤ F (x) ≤ 1 , F monoton n¨ ov˝ o, F minden pontban balr´ ol folytonos , lim F (x) = 0 , lim F (x) = 1 x→−∞
x→∞
x
(a) F (x) =
e 1 + ex
(−∞ < x < ∞) , P (ξ > 0) , P (ln 2 ≤ ξ ≤ ln 3)
Mo.: DF = R F (x) =
1 + ex − 1 1 ex = =1− x x 1+e 1+e 1 + ex | {z }
⇒
0 < F (x) < 1
0< <1
x
F ′ (x) =
e >0 (1 + ex )2
⇒
F szigor´ uan monoton n¨ ov˝ o (teh´ at monoton n¨ ov˝ o is).
F folytonos f¨ uggv´eny, ez´ert F balr´ ol folytonos minden pontban. 0 ex = =0 x→−∞ 1 + ex 1
lim F (x) = lim
x→−∞
F s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: f (x) = F ′ (x) =
lim F (x) = lim
x→∞
ex (1 + ex )2
x→∞
0 ha 1 (b) F (x) = 1 − arccos x ha π 1 ha
1 1 + ex
=1−0=1
1 e0 = 1 − = 0, 5 1 + e0 2
eln 3 eln 2 3 2 1 − = − = ≈ 0, 083 ln 3 ln 2 1+e 1+e 1+3 1+2 12
x ≤ −1 −1 < x ≤ 1
1−
(−∞ < x < ∞)
P (ξ > 0) = 1 − P (ξ ≤ 0) = 1 − P (ξ < 0) = 1 − F (0) = 1 − P (ln 2 ≤ ξ ≤ ln 3) = F (ln 3) − F (ln 2) =
P
1 |ξ| < 2
,P
! √ 3 ≤ ξ , P (−2 < ξ ≤ 0) 2
1<x
Mo.:
DF = R 1 1 arccos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1 − arccos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ F (x) ≤ 1 π π Az el˝oz˝ o pont miatt F monotonit´ as´ ahoz el´eg azt bel´atni, hogy F monoton n¨ ov˝ o a ] − 1, 1[ intervallumon: 0 ≤ arccos x ≤ π
⇒
0≤
okken˝ o I. mo. arccos x szig. mon. cs¨ okken˝ o ⇒ π1 arccos x szig. mon. cs¨ 1 mon. n¨ ov˝ o ⇒ 1 − π arccos x szig. mon. n¨ ov˝ o. II. mo.
1−
1 π
′ 1 1 > 0 , ha −1 < x < 1. arccos x = √ π 1 − x2
⇒
− π1 arccos x szig.
F folytonos a ] − ∞, −1[ , ] − 1, 1[ , ]1, ∞[ intervallumokon, teh´ at itt balr´ ol is folytonos. Bel´ atjuk, hogy F balr´ ol folytonos tov´ abb´ a az x = −1 ill. x = 1 helyeken.
is (teh´ at, hogy ezeken a helyeken a baloldali hat´ar´ert´ek megegyezik a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel): 1 lim F (x) = lim 0 = 0 = F (−1) lim F (x) = lim 1 − arccos x = 1 = F (1) π x→−1− x→−1− x→1− x→1− lim F (x) = lim 0 = 0
x→−∞
lim F (x) = lim 1 = 1
x→−∞
x→∞
x→∞
0 1 1 √ F s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: f (x) = F ′ (x) = π 1 − x2 0
ha x < −1 ha −1 < x < 1 ha 1 < x
megj.: −1 ∈ / Df , 1 ∈ / Df
1 1 P |ξ| < = P 2 3 x 3 0 1− ha x0 < x x (c) F (x) = 0 ha x ≤ x0
! √ 3 1 ≤ξ = 2 6
P (−2 < ξ ≤ 0) =
P (ξ < 2x0 ) , P 0 < ξ < x20
1 2
(x0 > 0 val´ os ´ alland´ o)
Mo.: F eloszl´ asfv: bizony´ıt´ as, mint fent. (HF) 3 · x30 · ′ F s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: f (x) = F (x) = 0 P (ξ < 2x0 ) =
(d) F (x) =
0
x−1 x+1
7 = 0, 875 8
ha
x<1
ha
1≤x
ha x > x0 ha x ≤ x0
1 P 0 < ξ < x20 = 1 − 3 x0
P (2 < ξ) , P (0 < ξ < 3)
Mo.: F eloszl´ asfv: bizony´ıt´ as, mint fent. (HF) 0 F s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: f (x) = F ′ (x) =
ha x < 1
2 (x+1)2
P (2 < ξ) =
1 x4
2 3
P (0 < ξ < 3) =
ha 1 < x
1 2
2. (BKSS 14.6.2.) Hat´arozza meg az A ´es B a´lland´okat u´gy, hogy F (x) eloszl´asf¨uggv´eny legyen! (a) F (x) = A + B arctg x (−∞ < x < ∞) ha x < 0 0 (b) F (x) = A + Be−x ha 0 ≤ x
Mo.: A =
1 1 ,B= 2 π
Mo.: A = 1 , B = −1
V´ arhat´ o´ ert´ ek ´ es sz´ or´ as
3. (BKSS 14.7.7.) Egy ξ valv´altoz´o s˝ur˝us´egf¨uggv´enye f (x). Sz´amolja ki ξ v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´as´at! 3 4 x (a) f (x) = 0
ha ha
1≤x x<1
M (ξ) =
3 2
D(ξ) =
√ 3 2
(b) f (x) =
−x e
ha 0 ≤ x
M (ξ) = 1
0 ha x < 0 1 x+ ha 0 ≤ x ≤ 1 2 (c) f (x) = 0 m´ ashol
D(ξ) = 1 √ 11 D(ξ) = 12
7 M (ξ) = 12
Nevezetes folytonos val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok
4. (BKSS 14.8.1.) Legyen ξ norm´alis eloszl´as´u val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, amelynek v´arhat´o ´ert´eke m ´es sz´or´asa σ! (a) Sz´ amolja ki a P (|ξ| > 0, 2) val´ osz´ın˝ us´eget, ha m = 0 ´es σ = 0, 1! Milyen x ´ert´ekre teljes¨ ul a P (x ≤ ξ) = 0, 0668 egyenl˝ os´eg?
Mo.: ≈ 0, 0456 Mo.: x = 0, 15
(b) Sz´ amolja ki a P (|ξ| ≤ 2) val´ osz´ın˝ us´eget, ha m = −1 ´es P (ξ > 1) = 0, 1587! (c) Sz´ amolja ki az m ´es σ ´ert´eket, ha m = 4σ ´es P (ξ < 12) = 0, 0228!
(d) Sz´ amolja ki a P (|ξ| > 1) val´ osz´ın˝ us´eget, ha σ = 2 ´es P (ξ ≤ 2) = 0, 8413!
Mo.: ≈ 0, 6247
Mo.: m = 24 , σ = 6 Mo.: ≈ 0, 617
(e) Sz´ amolja ki a P (|ξ| < 0, 5) val´ osz´ın˝ us´eget, ha P (ξ < 1) = 0, 8413 ´es P (2 < ξ) = 0, 0227! 0, 383
Mo.: ≈
5. (BKSS 14.8.4.) Egy rep¨ul˝og´ep egy 100 m magass´ag´u l´egifolyos´oban rep¨ul. A rep¨ul˝og´ep rep¨ul´esi magass´ag´anak a l´egifolyos´ o k¨ ozep´et˝ ol val´ o elt´er´ese 20 m v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es 50 m sz´ or´ as´ u norm´alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a rep¨ ul˝ og´ep a l´egifolyos´ oban halad? Mo.: ≈ 0, 645
6. (BKSS 14.8.5) Egy gy´artm´any m´erethib´aja - azaz a n´evleges m´erett˝ol val´o elt´er´ese - 0 v´arhat´o ´ert´ek˝u, norm´alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a m´erethiba abszol´ ut´ert´eke meghaladja a 12 mm-t: 0,1336. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a m´erethiba abszol´ ut´ert´eke 10 mm-n´el kisebb? Mo.: ≈ 0, 7888
7. (BKSS 14.8.8.) Legyen ξ egyenletes eloszl´as´u val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o az ]1; 4[ intervallumon. ´Irja fel ξ s˝ur˝us´egf¨uggv´eny´et, eloszl´ asf¨ uggv´eny´et, v´ arhat´ o ´ert´ek´et ´es sz´ or´ as´ at! Mo.: 0 1 f (x) = 3 0
ha
x≤1
ha
1<x≤4
ha
0 1 1 F (x) = x− 3 3 1
4<x
ha
x≤1
ha
1<x≤4
ha
4<x
M (ξ) =
D(ξ) =
5 2
√
3 2
8. (BKSS 14.8.12.) Egy benzink´utn´al a tapasztalatok alapj´an annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy a tankol´asra 3 percn´el tov´ abb kell v´ arni, 0,1. Ha a v´ arakoz´ asi id˝ o exponenci´alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a benzink´ uthoz ´erkezve 1 percen bel¨ ul elkezdhet¨ unk tankolni? Mo.: ≈ 0, 53
9. Egy ξ valv´altoz´o jelentse annak az u´tnak a hossz´at, amelyet egy g´epkocsi az els˝o m˝uszaki hib´aig megtesz (km-
ben). Tegy¨ uk fel, hogy ξ exponenci´alis eloszl´ as´ u ´es v´ arhat´ o ´ert´eke: 500km. ´Irja fel ξ s˝ ur˝ us´eg- ´es eloszl´ asf¨ uggv´eny´et! Mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy ξ a v´ arhat´ o ´ert´ek´en´el kisebb ´ert´eket vesz fel? Mo.:
f (x) =
0
ha x ≤ 0
1 1 − 500 x 500 e
F (x) =
ha 0 < x
0
1
1 − e− 500 x
ha x ≤ 0
M (ξ) = 500
ha 0 < x
P (ξ < M (ξ)) = 1 −
1 e
≈ 0, 63
10. Bizonyos t´ıpus´u izz´ol´amp´ak t¨onkremenetel´eig eltelt ´eg´esi id˝otartam hossza (´or´aban) exponenci´alis eloszl´as´u, 1000 o´ra sz´ or´ as´ u ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. M (ξ) =? f (x) =? F (x) =? Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy kiszemelt izz´ ol´ ampa 3000 ´or´ an bel¨ ul m´eg nem megy t¨ onkre? Mo.: M (ξ) = 1000
f (x) =
0
1 1 − 1000 x 1000 e
ha x ≤ 0 ha 0 < x
F (x) =
0
ha x ≤ 0 1
1 − e− 1000 x
ha 0 < x
P (ξ ≥ 3000) = 1 − (1 − e−3 ) ≈ 0, 05
