Bakal´ aˇ rsk´ a pr´ ace ´mu Mathematica pr ˇi hodnocen´ı Uˇ zit´ı syste ˇ ´ ´ financnıch derivat˚ u Jan Han´ak
Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace Doc. RNDr. Jan Hurt, CSc.
Praha 2004
Obsah ´ 1 Uvod
3
2 Finanˇ cn´ı deriv´ aty 2.1 Definice . . . . . . . . 2.2 Pouˇzit´ı deriv´at˚ u . . . . 2.3 Klasifikace deriv´at˚ u . . 2.3.1 Forwardy . . . 2.3.2 Futures . . . . 2.3.3 Swapy . . . . . 2.3.4 Opˇcn´ı deriv´aty
. . . . . . .
4 4 4 5 5 6 6 6
. . . . . . . . .
8 8 8 8 9 9 9 12 13 14
. . . . . .
15 15 15 16 17 18 18
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
3 Hodnocen´ı opˇ cn´ıch deriv´ at˚ u 3.1 Cena opce pˇri splatnosti . . . . . . . . 3.2 Evropsk´e opce . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Put–call parita . . . . . . . . . 3.2.2 Black–Scholesova formule . . . . 3.3 Americk´e opce . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Binomick´e stromy . . . . . . . . 3.3.2 Cox–Ross–Rubinstein˚ uv model 3.3.3 Jarrow–Rudd˚ uv model . . . . . 3.4 Greeks–m´ıry citlivosti . . . . . . . . . . 4 Uˇ zit´ı syst´ emu Mathematica 4.1 V´ ypoˇcet ceny evropsk´e opce . . . . . . 4.2 V´ ypoˇcet ceny americk´e opce . . . . . . 4.2.1 Cox–Ross–Rubinstein˚ uv model 4.2.2 Jarrow–Rudd˚ uv model . . . . . 4.3 Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Konvergence numerick´ ych procedur . . 5 Z´ avˇ er
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1
´ Uvod
Syst´em Mathematica je komerˇcn´ı technick´ y v´ ypoˇcetn´ı syst´em vyvinut´ y spoleˇcnost´ı Wolfram Research. Prvn´ı verze tohoto softwaru byla uvedena v roce 1988 a hlavn´ım inici´atorem byl Stephen Wolfram. Jak se d´a syst´em Mathematica vyuˇz´ıt pro hodnocen´ı finanˇcn´ıch deriv´at˚ u? Nejjednoduˇsˇs´ı by samozˇrejmˇe bylo nat´ahnout si rozˇsiˇruj´ıc´ı bal´ık funkc´ı Derivatives Expert, jeˇz nab´ız´ı ˇsirokou paletu n´astroj˚ u pro pr´aci s finanˇcn´ımi deriv´aty. Tento bal´ık vˇsak nen´ı standartn´ı souˇc´ast´ı syst´emu, a tak n´am zb´ yv´a moˇznost vyuˇz´ıt programov´e prostˇred´ı syst´emu Mathematica, s jehoˇz pomoc´ı m˚ uˇzeme naprogramovat vlastn´ı procedury pro hodnocen´ı finanˇcn´ıch deriv´at˚ u. Vu ´vodn´ı kapitole nejprve vyloˇz´ım definici, pouˇzit´ı a klasifikaci finanˇcn´ıch deriv´at˚ u z obecn´eho hlediska. V teoretick´e ˇca´sti se omez´ım pouze na opˇcn´ı deriv´aty s podkladov´ ym aktivem akci´ı nevypl´acej´ıc´ı dividendy. Pro jejich ocenˇen´ı pouˇziji Black–Schlolesovu formuli pro evropsk´e opce a metodu binomick´ ych strom˚ u pro opce americk´e. V dalˇs´ı kapitole oceˇ novac´ı modely popsan´e v teoretick´e ˇca´sti budu algoritmizovat pomoc´ı syst´emu Mathematica a jednotliv´e modely porovn´am mezi sebou. Hlavn´ım c´ılem m´e pr´ace je tedy vyuˇzit´ı syst´emu Mathematica a s jeho pomoc´ı naprogramovat numerick´e procedury pro v´ ypoˇcet opˇcn´ı pr´emie evropsk´ ych a americk´ ych opc´ı. Dalˇs´ım c´ılem je tak´e anal´ yza probl´emu konvergence jednotliv´ ych numerick´ ych procedur a jejich vz´ajemn´e porovn´an´ı.
2
Finanˇ cn´ı deriv´ aty
2.1
Definice
Finanˇcn´ı deriv´aty (derivative securities) jsou definov´any1 jako finanˇcn´ı n´astroje splˇ nuj´ıc´ı n´asleduj´ıc´ı krit´eria: – jejich hodnota z´avis´ı na zmˇenˇe ceny jin´ ych instrument˚ u (tzv. bazick´ ych nebo podkladov´ ych instrument˚ u) – pˇri jejich poˇr´ızen´ı nen´ı tˇreba vydat ˇz´adn´e finanˇcn´ı prostˇredky nebo je mnoˇzstv´ı potˇrebn´ ych prostˇredk˚ u znaˇcnˇe niˇzˇs´ı neˇz cena podkladov´eho aktiva – splatnost deriv´atov´eho kontraktu je delˇs´ı neˇz splatnost odpov´ıdaj´ıc´ıch spotov´ ych obchod˚ u.2
2.2
Pouˇ zit´ı deriv´ at˚ u
Deriv´aty slouˇz´ı r˚ uzn´ ym segment˚ um spoleˇcnosti a uspokojuj´ı potˇreby v z´avislosti na skupinˇe uˇzivatel˚ u: – generov´an´ı zisku tv˚ urc˚ u trhu – zat´ımco pro skupinu tv˚ urc˚ u trhu jsou deriv´aty jako celek ziskov´e, skupina koneˇcn´ ych uˇzivatel˚ u je v souhrnu ztr´atov´a – zajiˇst’ov´an´ı (hedging) – jedn´a se o ochranu hodnoty urˇcit´eho n´astroje ˇci portfolia n´astroj˚ u proti nepˇr´ızniv´emu v´ yvoji u ´rokov´ ych mˇer, akciov´eho trhu, mˇenov´eho kurzu, cen komodit ˇci rizikovosti urˇcit´eho subjektu. Pˇr´ıkladem zajiˇstˇen´ı je pokryt´ı, kdy se sjedn´a operace pˇresnˇe opaˇcn´a v˚ uˇci zajiˇst’ovan´e operaci. Opakem zajiˇst’ov´an´ı je spekulace – spekulace (trading) – jedn´a se pˇrevzet´ı rizik v´ yvoje u ´rokov´ ych mˇer, akciov´eho trhu, mˇenov´eho kurzu, cen komodit ˇci rizikovosti urˇcit´eho subjektu. Spekulant vstupuje na deriv´atov´ y trh ve snaze profitovat na cenov´em v´ yvoji, kter´ y pˇredpokl´ad´a t´ım, ˇze akceptuje riziko – arbitr´aˇz, tj. vyuˇzit´ı cenov´ ych rozd´ıl˚ u vznikaj´ıc´ıch z teritori´aln´ıho nebo ˇcasov´eho hlediska 1
Nejpodrobnˇejˇs´ı definici finanˇcn´ıch deriv´at˚ u najdeme ve standardu FAS 133 (v´ ytah je uveden v [11]) obecnˇe pˇrij´ıman´ ych u ´ˇcetn´ıch z´asad USA (US generally accepted accounting principles, US GAAP). 2 Kromˇe v´ yˇse uveden´e definice, kter´a vych´az´ı z mezin´arodn´ıch u ´ˇcetn´ıch standard˚ u (international accounting standards, IAS) a plat´ı pro banky a nˇekter´e finanˇcn´ı instituce, existuj´ı v ˇcesk´e legislativˇe dvˇe dalˇs´ı definice, a to v z´akonu o cenn´ ych pap´ırech a v devizov´em z´akonu. V praxi to znamen´a, ˇze tyto tˇri (bohuˇzel velmi rozd´ıln´e) definice deriv´at˚ u v ˇcesk´e legislativˇe vymezuj´ı rozd´ılnou mnoˇzinu n´astroj˚ u.
– deriv´aty jako forma odmˇeny (remuneration derivative) zamˇestnance ˇci ˇclena statut´arn´ıho org´anu. Od v´ yˇse uveden´ ych deriv´at˚ u se liˇs´ı zejm´ena t´ım, ˇze nejsou sjedn´any za trˇzn´ıch podm´ınek – podvody – mnoho deriv´at˚ u nesleduje kter´ ykoli z v´ yˇse uveden´ ych c´ıl˚ u, ale slouˇz´ı k finanˇcn´ım podvod˚ um spoˇc´ıvaj´ıc´ım v pˇrevodu penˇez mezi r˚ uzn´ ymi subjekty. Motivem takov´ ych pˇrevod˚ u je kr´acen´ı dan´ı (zejm´ena danˇe z pˇr´ıjmu) a tunelov´an´ı nˇekter´eho subjektu jin´ ym subjektem – poskytuj´ı informace o cen´ach podkladov´ ych n´astroj˚ u v budoucnosti (price discovery).
2.3
Klasifikace deriv´ at˚ u
Klasifikace deriv´at˚ u je moˇzn´a z nˇekolika hledisek: – podle typu bazick´eho instrumentu (podl´ehaj´ıc´ıho aktiva) se rozliˇsuj´ı komoditn´ı deriv´aty, u ´rokov´e deriv´aty (kontrakty na budouc´ı n´akup ˇci prodej u ´rokov´ ych instrument˚ u jako je depozitum, u ´vˇer, kr´atkodob´ y ˇci dlouhodob´ y dluhopis), mˇenov´e deriv´aty, akciov´e deriv´aty a deriv´aty na akciov´ y index – podle zp˚ usobu jejich obchodov´an´ı se hovoˇr´ı o burzovn´ıch a OTC (over– the–counter) deriv´atech – podle pr´av, kter´a z deriv´atov´eho kontraktu vypl´ yvaj´ı pro jednotliv´e strany, se rozliˇsuj´ı pevn´e a opˇcn´ı kontrakty. Pevn´e (ˇci nepodm´ınˇen´e) deriv´aty pˇredstavuj´ı term´ınov´ y obchod, kter´ y jsou oba (nevyv´azan´ı) u ´ˇcastn´ıci povinni k datu splatnosti uskuteˇcnit bez ohledu na to, jak´a je k tomuto datu skuteˇcn´a cena bazick´eho instrumentu. Pevn´e deriv´aty se vyznaˇcuj´ı t´ım, ˇze vstup do takov´eho term´ınov´eho kontraktu je obvykle pro obˇe strany bezplatn´ y. Mezi pevn´e deriv´aty ˇrad´ıme forwardy, futures a swapy. 2.3.1
Forwardy
Forwardy jsou individu´alnˇe sjednan´e term´ınov´e obchody (vˇetˇsinou se tedy jedn´a o OTC deriv´aty) na budouc´ı z´avazn´ y n´akup ˇci prodej urˇcit´eho mnoˇzstv´ı podkladov´eho instrumentu za pˇredem dohodnutou forwardovou cenu.
2.3.2
Futures
Futures jsou standardizovan´e (standardizovan´ y typ podkladov´eho aktiva, mnoˇzstv´ı, datum splatnosti aj.) forwardov´e kontrakty obchodovan´e na deriv´atov´e burze. Ceny futures jsou k´otov´any dennˇe a ˇr´ıd´ı se nab´ıdkou a popt´avkou. Narozd´ıl od forward˚ u existuje u futures kaˇzdodenn´ı trˇzn´ı pˇreceˇ nov´an´ı (marking–to–market), kaˇzdodenn´ı vypoˇr´ad´an´ı a moˇznost odstoupen´ı od sjednan´eho kontratku v libovoln´em ˇcase jeho odprodejem na likvidn´ım sekund´arn´ım trhu. 2.3.3
Swapy
Swapy jsou OTC deriv´aty s vypoˇra´d´an´ım (v´ ymˇenou, dod´an´ım) podkladov´ ych n´astroj˚ u ve v´ıce okamˇzic´ıch v budoucnosti, tj. pˇredstavuje nˇekolik forward˚ u s postupnou v´ ymˇenou podkladov´ ych aktiv. M˚ uˇze se jednat o dohodu o budouc´ı smˇenˇe u ´rokov´ ych plateb odvozen´e od stejn´e nomin´aln´ı hodnoty, ale definovan´ ych odliˇsn´ ym zp˚ usobem (tzv. u ´rokov´ y swap), pˇr´ıpadnˇe dohodu o smˇenˇe u ´rokov´ ych plateb vztahuj´ıc´ıch se ke kapit´alov´ ym ˇca´stk´am denominovan´ ym v r˚ uzn´ ych mˇen´ach, kdy nav´ıc doch´az´ı tak´e ke smˇenˇe pˇr´ısluˇsn´ ych kapit´alov´ ych ˇca´stek (tzv. mˇenov´ y swap). 2.3.4
Opˇ cn´ı deriv´ aty
Opˇcn´ı (ˇci podm´ınˇen´e) deriv´aty pˇredstavuj´ı term´ınov´ y obchod, pˇri nˇemˇz jeden z u ´ˇcastn´ık˚ u (kupuj´ıc´ı, drˇzitel opce, holder) z´ısk´av´a pr´avo (nikoli povinnost) uskuteˇcnit tento obchod k datu splatnosti (evropsk´a opce, European option) nebo kdykoli do splatnosti (americk´a opce, American option). Postaven´ı druh´eho u ´ˇcastn´ıka (prod´avaj´ıc´ı, upisovatel, writer) je pasivn´ı, nebot’ je z´avisl´ y na rozhodnut´ı u ´ˇcastn´ıka v aktivn´ım postaven´ı. Kupuj´ıc´ı mus´ı pˇri vstupu do opˇcn´ıho kontraktu za svou v´ yhodu (pr´avo) zaplatit prod´avaj´ıc´ımu urˇcitou opˇcn´ı pr´emii (cenu opce, option premium). Opce jsou obchodov´any jak jako standardizovan´e burzovn´ı, tak jako OTC deriv´aty. Existuj´ı kupn´ı opce (call options, calls), jejichˇz drˇzitel m´a pr´avo koupit a upisovatel povinnost prodat podkladov´e aktivum za pˇredem sjednan´ ych podm´ınek (datum splatnosti opce, mnoˇzstv´ı a realizaˇcn´ı cena bazick´eho instrumentu), a prodejn´ı opce (put options, puts), jejichˇz drˇzitel m´a pr´avo prodat a upisovatel povinnost koupit podkladov´e aktivum za pˇredem sjednan´ ych podm´ınek.
Opˇcn´ı listy (warranty) jsou v podstatˇe kupn´ı opce, kter´e emitent vyd´av´a k n´akupu urˇcit´eho poˇctu sv´ ych akci´ı nebo dluhopis˚ u. Opˇcn´ı list b´ yv´a ˇcasto p˚ uvodnˇe souˇca´st´ı dluhopisu, po oddˇelen´ı je s n´ım vˇsak moˇzn´e obchodovat jako se samostatn´ ym cenn´ ym pap´ırem. Stropy (caps) zaruˇcuj´ı kupuj´ıc´ımu pr´avo na pr˚ ubˇeˇzn´e plnˇen´ı od jejich prodejce ve formˇe u ´rokov´eho rozd´ılu, pokud pˇr´ısluˇsn´a u ´rokov´a sazba stoupne nad sjednanou mez. Podobnˇe dna (floors) zaruˇcuj´ı drˇziteli pr´avo na pr˚ ubˇeˇzn´e plnˇen´ı od jejich prodejce ve formˇe u ´rokov´eho rozd´ılu, pokud pˇr´ısluˇsn´a u ´rokov´a sazba klesne pod sjednanou mez. Koneˇcnˇe kupuj´ıc´ı obojk˚ u (colars) dost´av´a pr˚ ubˇeˇznˇe plnˇen´ı od jejich prodejce, pokud pˇr´ısluˇsn´a u ´rokov´a sazba stoupne nad sjednanou mez a poskytuje pr˚ ubˇeˇznˇe plnˇen´ı jejich prodejci, pokud pˇr´ısluˇsn´a u ´rokov´a sazba klesne pod sjednanou mez. Exotick´e opce (exotic options) jsou velice r˚ uznorod´e opce, vˇetˇsinou nestandardn´ıho mimoburzovn´ıho typu se sloˇzitˇejˇs´ım syst´emem plnˇen´ı, kter´e jsou ˇcasto navrhov´any finanˇcn´ımi institucemi dle okamˇzit´ ych potˇreb trhu (jsou ˇcasto ˇsit´e na m´ıru klient˚ um). Pˇr´ıkladem jsou sloˇzen´e opce (compound options, tj. opce na opce), ”as-you-like-it” options (u tˇechto obc´ı se m˚ uˇze kupuj´ıc´ı po urˇcit´e dobˇe rozhodnout, zda to budou kupn´ı nebo prodejn´ı opce), bin´arn´ı opce (binary options, tj. opce z nichˇz plyne v pˇr´ıpadˇe ziskovosti konstantn´ı ˇca´stka, at’ je v´ yˇse zisku, kter´a by plynula z klasick´e opce jak´akoliv). Dalˇs´ı typy opˇcn´ıch deriv´at˚ u jsou napˇr. opce na futures, swapce (swaptions, tj. opce na swapy), kapce (captions, tj. opce na stropy) aj.
3 3.1
Hodnocen´ı opˇ cn´ıch deriv´ at˚ u Cena opce pˇ ri splatnosti
V pˇr´ıpadˇe obyˇcejn´ ych (plain vanilla) opc´ı je cena call opce, resp. put opce, pˇri splatnosti d´ana jako CT = max(ST − X; 0), resp. PT = max(X − ST ; 0),
(1)
kde ST je cena podkladov´eho aktiva v ˇcase T (pˇri splatnosti opce) a X je sjednan´a realizaˇcn´ı cena (strike price). Ceny opc´ı (opˇcn´ı pr´emie) v ˇcasech t < T jsou v pˇr´ıpadˇe opc´ı obchodovateln´ ych na burze urˇceny nab´ıdkou a popt´avkou. Ceny OTC opc´ı se pak odhaduj´ı na z´akladˇe vhodn´eho matematick´eho modelu nebo na z´akladˇe numerick´e simulace.
3.2
Evropsk´ e opce
3.2.1
Put–call parita
Term´ınem put–call parita se oznaˇcuje vztah mezi opˇcn´ımi pr´emiemi navz´ajem si odpov´ıdaj´ıc´ıch opc´ı call a put (tj. se stejn´ ym podkladov´ ym aktivem, stejnou realizaˇcn´ı cenou a stejnou dobou do splatnosti). Pouˇz´ıv´a se napˇr´ıklad pro v´ ypoˇcet opˇcn´ı pr´emie nebo odvozen´ı vlastnost´ı opce put na z´akladˇe vypoˇcten´e opˇcn´ı pr´emie nebo odvozen´ ych vlastnost´ı opce call. Put–call parita m´a tvar Pt = Ct + Xe−r(T −t) − St , kde Pt . . . opˇcn´ı pr´emie opce put v ˇcase t Ct . . . opˇcn´ı pr´emie opce call v ˇcase t St . . . cena podkladov´eho aktiva v ˇcase t X . . . realizaˇcn´ı cena opce (strike price) T − t . . . doba do splatnosti opce r . . . bezrizikov´a u ´rokov´a m´ıra.
(2)
3.2.2
Black–Scholesova formule
Pro urˇcen´ı opˇcn´ı pr´emie evropsk´e opce se pouˇz´ıv´a zn´am´ y Black–Scholes˚ uv vzorec (Black–Scholesova formule), kter´ y se pro call opce obvykle zapisuje ve tvaru (pˇri zachov´an´ı stejn´eho znaˇcen´ı) Ct = St N (d1 ) − Xe−r(T −t) N (d2 ),
(3)
kde N (.) je distribuˇcn´ı funkce standardizovan´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı N(0,1) a ln(St /X) + (r + σ 2 /2)(T − t) √ d1 = (4) σ T −t √ ln(St /X) + (r − σ 2 /2)(T − t) √ = d1 − σ T − t, (5) σ T −t kde σ je tzv. volatilita ceny podkladov´e akcie (volatilita se zpravidla stanovuje na z´akladˇe historick´ ych u ´daj˚ u ceny akcie). Black–Scholes˚ uv vzorec pro opˇcn´ı pr´emii evropsk´e put opce dostaneme ze vzorce (3) snadno pomoc´ı put–call parity (2) ve tvaru d2 =
Pt = Xe−r(T −t) N (−d2 ) − St N (−d1 ).
(6)
Pro odvozen´ı3 Black–Schlolesovy formule se mus´ıme omezit tˇemito pˇredpoklady: neexistence arbitr´aˇze (pˇredpoklad u ´plnosti trhu), hodnot´ıc´ı u ´rokov´a m´ıra r je bezrizikov´a (pˇredpoklad rizikovˇe neutr´aln´ıho svˇeta) a konstantn´ı bˇehem sledovan´eho obdob´ı, volatilita σ je konstantn´ı pro r˚ uzn´e realizaˇcn´ı ceny a model akciov´ ych cen vych´az´ı z Wienerova procesu (v´ıce v [2]).
3.3 3.3.1
Americk´ e opce Binomick´ e stromy
Pro urˇcen´ı opˇcn´ı pr´emie americk´ ych opc´ı jiˇz Black–Scholesova formule (3) 4 nestaˇc´ı a je nutn´e pˇristoupit k nˇekter´emu numerick´emu modelu. Ve sv´e pr´aci jsem zvolil binomick´ y model oceˇ nov´an´ı opc´ı. 3
Odvozen´ı Black–Schlolesovy formule najdeme napˇr´ıklad v [1], [2] a [7]. Zde je nutn´e poznamenat, ˇze cena opˇcn´ı pr´emie pro americkou opci call je shodn´a s opˇcn´ı pr´emi´ı odpov´ıdaj´ıc´ı evropsk´e opce, nebot’ pˇredˇcasn´e uplatnˇen´ı americk´e opce nepˇredstavuje pro jej´ıho drˇzitele ˇz´adnou v´ yhodu. Tvrzen´ı vypl´ yv´a z n´asleduj´ıc´ı nerovnosti: CtA ≥ CtE ≥ St − Xe−r(T −t) > St − X, kde CtA je cena americk´e opce, CtE je cena evropsk´e opce a St − X je zisk z pˇredˇcasn´eho uplatnˇen´ı opce. Z tohoto d˚ uvodu by bylo moˇzn´e pro v´ ypoˇcet opˇcn´ı pr´emie americk´e opce call pouˇz´ıt Black–Scholesovu formuli (3). 4
Model binomick´eho stromu se pouˇz´ıv´a jako diskr´etn´ı aproximace model˚ u ve spojit´em ˇcase, kter´a pˇri infinitezim´aln´ım zkracov´an´ı pˇr´ısluˇsn´ ych diskr´etn´ıch ˇcasov´ ych interval˚ u konverguje k pˇr´ısluˇsn´emu spojit´emu modelu. Aproximace binomick´ ym modelem je zaloˇzena na pˇredstavˇe, ˇze pro zmˇenu hodnoty S0 (cena podkladov´e akcie v ˇcase 0) bˇehem kr´atk´eho ˇcasov´eho intervalu ∆t jsou jen dvˇe moˇznosti: hodnota podkladov´e akcie S0 bud’ vzroste na hodnotu S0 u (u > 1) s pravdˇepodobnost´ı p (0 < p < 1), nebo klesne na hodnotu S0 d (d < 1) s pravdˇepodobnost´ı (1 − p). Parametry p, u a d mus´ı d´avat korektn´ı hodnotu pr˚ umˇeru a rozptylu ceny akcie bˇehem ˇcasov´eho intervalu d´elky ∆t. Oˇcek´avan´a hodnota akcie na konci tohoto intervalu je Ser∆t , kde S je hodnota na zaˇc´atku ˇcasov´eho intervalu r je bezrizikov´a u ´rokov´a m´ıra (opˇet pˇredpokl´ad´ame rizikovˇe neutr´aln´ı svˇet). Oˇcek´avan´a hodnota akcie se rovn´a jej´ı stˇredn´ı hodnotˇe, tj. pSu + (1 − p)Sd = Ser∆t , neboli pu + (1 − p)d = er∆t .
(7)
Pro rozptyl obdobnˇe plat´ı pu2 + (1 − p)d2 − [pu + (1 − p)d]2 = e2r∆t (eσ
2 ∆t
− 1),
(8)
kde na lev´e stranˇe rovnice je rozptyl stanoven´ y pomoc´ı binomick´eho modelu po uplynut´ı ˇcasu ∆t a v´ yraz na prav´e stranˇe je tent´ yˇz rozptyl stanoven´ y pomoc´ı spojit´eho modelu, tzv. difuzn´ıho procesu, kter´ y vych´az´ı ze zobecnˇen´eho Wienerova procesu, coˇz je nejˇcastˇeji vyuˇz´ıvan´ y markovsk´ y proces (v´ıce v [2]). Rovnice (8) se obvykle zapisuje ve tvaru p(1 − p)(u − d)2 = e2r∆t (eσ
2 ∆t
− 1), nebo
pu2 + (1 − p)d2 = e(2r+σ
2 )∆t
(9)
2
Pro mal´a ∆t je moˇzn´e v´ yraz eσ ∆t rozv´est v Taylorovu ˇradu 1+σ 2 ∆t+O[∆t]2 a t´ım rovnici (8), resp. (9) aproximovat5 na tvar: pu2 + (1 − p)d2 − e2r∆t = σ 2 ∆t.
(10)
Dosazen´ım p z (7) a u ´pravˇe dostaneme er∆t (u + d) − ud − e2r∆t = σ 2 ∆t. 5
(11)
Porovn´an´ım rozd´ılu pˇresn´ ych a pˇribliˇzn´ ych hodnot se zab´ yv´a odstavec (4.4) Konvergence numerick´ ych procedur.
Rovnice (7) a (9), resp. (7) a aproximuj´ıc´ı (11) n´am d´avaj´ı dvˇe podm´ınky na parametry p, u a d. Podle urˇcen´ı tˇret´ı doplˇ nuj´ıc´ı podm´ınky z´ısk´ame rozd´ıln´e modely binomick´ ych strom˚ u. Cox, Ross a Rubinstein pouˇzili v [4] podm´ınku u = 1/d a p = 1/2 poprv´e pouˇzili Jarrow a Rudd v [10]. Pomoc´ı binomick´eho modelu urˇc´ıme cenu americk´e opce v ˇcase t = 0. V´ yvoj budeme modelovat v n kroc´ıch, tj. ∆t = T /n. (i, j) znamen´a j–t´ y uzel binomick´eho stromu v ˇcase i∆t, i = 0, 1, . . . , n, j = 0, 1, . . . , i. Cenu opce v uzlu (i, j) oznaˇc´ıme jako fij . Cena podkladov´e akcie v uzlu (i, j) je rovna S0 uj di−j
(12)
a pomoc´ı n´ı budeme simulovat budouc´ı ceny podkladov´e akcie. Pˇredpokl´adejme, ˇze americkou put opci budeme realizovat v okamˇziku T , tj. po n kroc´ıch. Podle (1) a (12) je jej´ı cena v ˇcase T : fnj = max(X − S0 uj dn−j , 0), j = 0, 1, . . . , n.
(13)
Pro zjiˇstˇen´ı opˇcn´ı pr´emie budeme postupovat zpˇetn´ ym algoritmem skrz vytvoˇren´ y binomick´ y strom: cenu opce v uzlu (i, j) urˇc´ıme pomoc´ı stˇredn´ı diskontovan´e ceny opce v uzlech (i + 1, j + 1) a (i + 1, j), pˇriˇcemˇz v´ıme, ˇze pˇrechod mezi dan´ ymi uzly je uskuteˇcnˇen s danou pravdˇepodobnost´ı p, resp. (1 − p). Bez uvaˇzov´an´ı pˇredˇcasn´e realizace je cena opce v uzlu (i, j) rovna fij = e−r∆t (pfi+1,j+1 + (1 − p)fi+1,j ) , i = 0, . . . , n − 1, j = 0, . . . , i. (14) Pro pˇr´ıpad moˇzn´e pˇredˇcasn´e realizace mus´ıme t´eˇz uvaˇzovat vnitˇrn´ı cenu americk´e put opce v uzlu (i, j) max(X − S0 uj di−j , 0).
(15)
Opci uplatn´ım pokud (15) > (14), ale mus´ım se pod´ıvat do minulosti, jestli jsem ji neuplatnil nˇekdy dˇr´ıve. Neboli pro cenu opce v uzlu (i, j) plat´ı ³
´
fij = max X − S0 uj di−j , e−r∆t (pfi+1,j+1 + (1 − p)fi+1,j ) ,
(16)
i = 0, 1, . . . , n − 1, j = 0, 1, . . . , i. Postupujeme tedy rekurentnˇe skrz vytvoˇren´ y binomick´ y strom aˇz do f00 , ˇc´ımˇz obdrˇz´ıme odhad hodnoty opˇcn´ı pr´emie americk´e put opce v ˇcase t = 0. Obdobnˇe pro cenu americk´e call opce v uzlu (i, j) dostaneme ³
´
fij = max S0 uj di−j − X, e−r∆t (pfi+1,j+1 + (1 − p)fi+1,j ) , i = 0, 1, . . . , n − 1, j = 0, 1, . . . , i.
(17)
3.3.2
Cox–Ross–Rubinstein˚ uv model
ˇ sen´ım syst´emu rovnic (7) a (9) s dodateˇcnou podm´ınkou u = 1/d (napˇr. Reˇ pomoc´ı syst´emu Mathematica) obdrˇz´ıme hodnoty pro parametry p, u a d: µ
uCRR
q 1 2 = e−r∆t 1 + e(2r+σ )∆t + −4e2r∆t + (1 + e(2r+σ2 )∆t )2 2 µ
dCRR = ·
q 1 −r∆t 2 e 1 + e(2r+σ )∆t − −4e2r∆t + (1 + e(2r+σ2 )∆t )2 2
pCRR = 1 − 4e2r∆t + 2e(2r+σ q
2 )∆t
+ e2(2r+σ
2 )∆t
¶
(18)
− (1 + e2r∆t (−2 + eσ
¸ h
−4e2r∆t + (1 + e(2r+σ2 )∆t )2 / 2(1 + e2r∆t (−4 + 2eσ
2 ∆t
¶
+ e2(r+σ
2 ∆t
2 )∆t
. )) . . i
)) .
2
Oznaˇcme f = e−r∆t a g = e(r+σ )∆t . Rovnice (18) pak po u ´pravˇe m˚ uˇzeme napsat v pˇrehlednˇejˇs´ım tvaru jako: uCRR = dCRR
µ
¶
µ
¶
q 1 f + g + (f + g)2 − 4 2
q 1 = f + g − (f + g)2 − 4 2
pCRR
(19)
1 f + g − 2/f = 1 − q . 2 (f + g)2 − 4
ˇ sen´ım rovnice (7) a aproximuj´ıc´ı rovnice (11) s dodateˇcnou podm´ınkou Reˇ u = 1/d dostaneme dvˇe ˇreˇsen´ı (jedno s + a druh´e s −) pro pˇribliˇzn´e hodnoty parametr˚ u p, u a d: uCRRAp1 =
1 + e2r∆t + σ 2 ∆t ±
2er∆t
q
−4e2r∆t + (1 + e2r∆t + σ 2 ∆t)2
µ
dCRRAp1
q 1 = e−r∆t 1 + e2r∆t + σ 2 ∆t ± −4e2r∆t + (1 + e2r∆t + σ 2 ∆t)2 2
pCRRAp1
¶
−1 + e2r∆t − σ 2 ∆t er∆t − d 1 = . = 1 + q 2 u−d −4e2r∆t + (1 + e2r∆t + σ 2 ∆t)2
(20)
Rovnice (20) je opˇet moˇzno pro mal´e ∆t zjednoduˇsit6 rozvinut´ım exponenci´aln´ıch funkc´ı v Taylorovy ˇrady. Po u ´pravˇe dostaneme: uCRRAp2 = eσ 3.3.3
√ ∆t
dCRRAp2 = e−σ
,
√ ∆t
,
pCRRAp2 =
er∆t − d . u−d
(21)
Jarrow–Rudd˚ uv model
ˇ sen´ım syst´emu rovnic (7) a (9) s dodateˇcnou podm´ınkou p = 1/2 obdrˇz´ıme Reˇ pˇresn´e hodnoty parametr˚ u u a d: µ
uJR = er∆t 1 +
¶
q
eσ2 ∆t − 1
µ
¶
q
dJR = er∆t 1 −
,
eσ2 ∆t − 1
.
(22)
Pokud opˇet vyuˇzijeme Taylor˚ uv rozvoj pro exponenci´aln´ı funkci dostaneme v praxi ˇcasto pouˇz´ıvanou aproximaci7 : √ √ uJRAp1 = 1 + r∆t + σ ∆t, dJRAp1 = 1 + r∆t − σ ∆t. (23) ˇ sen´ım soustavy rovnic (7) a aproximuj´ıc´ı (11) s dodateˇcnou podm´ınkou Reˇ p = 1/2 z´ısk´ame odhady u a d: √ √ uJRAp2 = er∆t + σ ∆t, dJRAp2 = er∆t − σ ∆t (24) a aplikac´ı Taylorova rozvoje dospˇejeme ke stejn´emu v´ ysledku (23) jako pˇri aproximaci pˇresn´ ych hodnot u a d.
6 7
Tyto zjednoduˇsuj´ıc´ı aproximace najdeme napˇr. v [2] a [6]. Jarrow a Rudd v [10] pro sv˚ uj v´ ypoˇcet pouˇzili odliˇsn´e odhady od v´ yˇse uveden´ ych: uJR = e(r−σ
2
√ /2)∆t σ ∆t
e
,
dJR = e(r−σ
2
√ /2)∆t −σ ∆t
e
.
3.4
Greeks–m´ıry citlivosti
Greeks rozum´ıme m´ıry gamma, delta, rho, theta a vega. Tyto m´ıry mˇeˇr´ı citlivost plynouc´ı ze zmˇeny faktor˚ u, kter´e ovlivˇ nuj´ı v´ yˇsi opˇcn´ı pr´emie. Podle Black–Scholesovy formule (3) je cena evropsk´e opce funkc´ı pˇeti promˇenn´ ych, coˇz lze symbolicky zapsat jako V = V (St , X, r, T −t, σ). Greeks mˇeˇr´ı citlivost zmˇeny funkce V na jej´ı jednotliv´e parametry, neboli se jedn´a o parci´aln´ı derivace funkce V podle pˇr´ısluˇsn´e promˇenn´e (v´ıce v [2]). Dalˇs´ım zp˚ usobem jak zmˇeˇrit nˇekter´e ”ˇreck´e” m´ıry je odhad pomoc´ı binomick´eho stromu. Pro jejich v´ ypoˇcet nebudeme pouˇz´ıvat funkci V pro v´ ypoˇcet teoretick´e opˇcn´ı pr´emie, ale funkci fij (16) pro v´ ypoˇcet ceny opce v uzlu (i, j). M´ıra delta popisuje citlivost opˇcn´ı pr´emie na zmˇenu ceny bazick´e akcie a m˚ uˇze b´ yt odhadnuta jako ∆f /∆S, kde ∆S je mal´a zmˇena ceny podkladov´e akcie a ∆f je odpov´ıdaj´ıc´ı zmˇena opˇcn´ı pr´emie. V ˇcase ∆t m´ame dva odhady pro cenu opce: f11 pro cenu akcie S0 u a f10 pro cenu akcie S0 d. Delta pak tedy spoˇcteme jako f11 − f10 ∆= . (25) S0 u − S0 d Pro urˇcen´ı m´ıry gamma, kter´a popisuje citlivost m´ıry delta na zmˇenu ceny bazick´e akcie, vezmeme dva odhady ∆ v ˇcase 2∆t. Prvn´ı je (f22 −f21 )/(S0 u2 − S0 ) a druh´ y (f21 − f20 )/(S0 − S0 d2 ). Gamma je pak zmˇena v delta odhadech vydˇelen´a polovinou rozd´ılu krajn´ıch hodnot ceny akcie v ˇcase 2∆t: Γ=
(f22 − f21 )/(S0 u2 − S0 ) − (f21 − f20 )/(S0 − S0 d2 ) . 1/2(S0 u2 − S0 d2 )
(26)
Dalˇs´ı m´ırou, kterou m˚ uˇzeme z´ıskat pˇr´ımo z binomick´eho stromu, je theta. Theta popisuje citlivost opˇcn´ı pr´emie na zmˇenu doby do splatnosti. Odhadem je f21 − f00 Θ= . (27) 2∆t
4
Uˇ zit´ı syst´ emu Mathematica
V n´asleduj´ıc´ı kapitole jsou algoritmizov´any procedury pro v´ ypoˇcet opˇcn´ı pr´emie evropsk´ ych a americk´ ych opc´ı teoreticky popsan´ ych v pˇredchoz´ı kapitole a jsou naprogramovan´e a odladˇen´e v syst´emu Mathematica.
4.1
V´ ypoˇ cet ceny evropsk´ e opce
Procedura pro v´ ypoˇcet opˇcn´ı pr´emie evropsk´e opce call pomoc´ı Black–Scholesovy formule (3) vypad´a takto (nen´ı to vˇsak jedin´ y zp˚ usob): Needs[”Statistics‘NormalDistribution‘”] No[x ] := CDF[NormalDistribution[0, 1], x] call[S , X , σ , r , T , t ] := Module[{d1, √d2}, 2 d1 = (Log [S/X] + (r + σ /2) ∗ (T − t))/(σ ∗ √T − t ); d2 = (Log [S/X] + (r − σ 2 /2) ∗ (T − t))/(σ ∗ T − t ); S ∗ No[d1] − X ∗ Exp[−r ∗ (T − t)] ∗ No[d2] ] Obdobnˇe pro evropskou put: put[S , X , σ , r , T , t ] := Module[{d1, d2}, √ d1 = (Log [S/X] + (r + σ 2 /2) ∗ (T − t))/(σ ∗ √T − t ); d2 = (Log [S/X] + (r − σ 2 /2) ∗ (T − t))/(σ ∗ T − t ); X ∗ Exp[−r ∗ (T − t)] ∗ No[−d2] − S ∗ No[−d1] ] Pozn´amka: Vzhledem k tomu, ˇze jsem si definoval vlastn´ı funkci pro v´ ypoˇcet hodnoty distribuˇcn´ı funkce standardizovan´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı N(0,1) No[x], kter´a pouˇz´ıv´a funkci NormalDistribution, kter´a je obsaˇzena ve standartn´ım statistick´em bal´ıku ”Statistics‘NormalDistribution‘”, je nutn´e tento bal´ık nejprve nat´ahnout pomoc´ı pˇr´ıkazu Needs.
4.2
V´ ypoˇ cet ceny americk´ e opce
Procedury pro v´ ypoˇcet opˇcn´ıch pr´emi´ı americk´ ych opc´ı vych´az´ı z algoritmu popsan´em v odstavci (3.3.1). Jedn´a se zejm´ena o vzorec (16) pro opce put, resp. (17) pro call. Tento vzorec vyuˇz´ıv´a rekurzivn´ı funkce BinStrom, kter´a vytvoˇr´ı binomick´ y strom na z´akladˇe urˇcen´ ych parametr˚ u p, u a d.
4.2.1
Cox–Ross–Rubinstein˚ uv model
Pro urˇcen´ı opˇcn´ı pr´emie na z´akladˇe Cox–Ross–Rubinsteinova modelu pouˇzijeme pro parametry p, u, d rovnice (19). Procedura pro v´ ypoˇcet ceny americk´e call opce pak vypad´a takto: CRRcall[S , X , σ , r , T , n ] := Module[{f, g, u, d, p, OpcniPremie, BinStrom}, q 2 f = Exp[−r ∗ T/n]; g = Exp[(r + σ ) ∗ T/n]; u = 1/2(f + g + (f + g)2 − 4 ); q
d = 1/2(f + g − (f + g)2 − 4 ); p = (1/f − d)/(u − d); BinStrom[i , j ] := BinStrom[i, j] = If[i == n, Max[S ∗ uj ∗ dn−j − X, 0], Max[S ∗ uj ∗ di−j − X, Exp[−r ∗ T/n] ∗ (p ∗ BinStrom[i + 1, j + 1] + (1 − p) ∗ BinStrom[i + 1, j])]]; OpcniPremie = BinStrom[0, 0]; Clear[BinStrom]; OpcniPremie] Obdobnˇe pro americkou put8 : CRRput[S , X , σ , r , T , n ] := Module[{f, g, u, d, p, OpcniPremie, BinStrom}, q 2 f = Exp[−r ∗ T/n]; g = Exp[(r + σ ) ∗ T/n]; u = 1/2(f + g + (f + g)2 − 4 ); q
d = 1/2(f + g − (f + g)2 − 4 ); p = (1/f − d)/(u − d); BinStrom[i , j ] := BinStrom[i, j] = If[i == n, Max[X − S ∗ uj ∗ dn−j , 0], Max[X − S ∗ uj ∗ di−j , Exp[−r ∗ T/n] ∗ (p ∗ BinStrom[i + 1, j + 1] + (1 − p) ∗ BinStrom[i + 1, j])]]; OpcniPremie = BinStrom[0, 0]; Clear[BinStrom]; OpcniPremie] Pˇri pouˇzit´ı aproximuj´ıc´ıch rovnic (20) dostaneme: CRRcallAp1[S , X , σ , r , T , n ] := Module[{u, d, p, OpcniPremie, BinStrom}, u = 2 ∗ Exp[r ∗ T/n] / (1 + Exp[2 ∗ r ∗ T/n] + σ 2 ∗ T/n ± Sqrt(−4 ∗ Exp[2 ∗ r ∗ T/n] + (1 + Exp[2 ∗ r ∗ T/n] + σ 2 ∗ T/n)2 )); d = 1/2 ∗ Exp[(r ∗ T/n] ∗ (1 + Exp[2 ∗ r ∗ T/n] + σ 2 ∗ T/n ± Sqrt(−4 ∗ Exp[2 ∗ r ∗ T/n] + (1 + Exp[2 ∗ r ∗ T/n] + σ 2 ∗ T/n)2 )); p = (Exp[r ∗ T/n] − d)/(u − d); BinStrom[i , j ] := BinStrom[i, j] = If[i == n, Max[S ∗ uj ∗ dn−j − X, 0], Max[S ∗ uj ∗ di−j − X, Exp[−r ∗ T/n] ∗ (p ∗ BinStrom[i + 1, j + 1] + (1 − p) ∗ BinStrom[i + 1, j])]]; OpcniPremie = BinStrom[0, 0]; Clear[BinStrom]; OpcniPremie]
8
V dalˇs´ım textu se omez´ım pouze na americk´e opce call, nebot’ procedury pro v´ ypoˇcet opˇcn´ı pr´emie americk´e put jsou t´emˇeˇr totoˇzn´e: put vyuˇz´ıv´a vzorec (16) a call (17).
A nakonec pˇri pouˇzit´ı rovnic (21): CRRcallAp2[S q , X , σ , r , T , n ]q:= Module[{u, d, p, OpcniPremie, BinStrom}, u = Exp[σ ∗ T/n]; d = Exp[−σ ∗ T/n]; p = (Exp[r ∗ T/n] − d)/(u − d); BinStrom[i , j ] := BinStrom[i, j] = If[i == n, Max[S ∗ uj ∗ dn−j − X, 0], Max[S ∗ uj ∗ di−j − X, Exp[−r ∗ T/n] ∗ (p ∗ BinStrom[i + 1, j + 1] + (1 − p) ∗ BinStrom[i + 1, j])]]; OpcniPremie = BinStrom[0, 0]; Clear[BinStrom]; OpcniPremie] 4.2.2
Jarrow–Rudd˚ uv model
Pro urˇcen´ı opˇcn´ı pr´emie na z´akladˇe Jarrow–Ruddova modelu pouˇzijeme pro parametry p, u, d rovnice (22): JRcall[S , X , σ , r , T , n ] := q Module[{u, d, p, OpcniPremie, BinStrom}, p = 1/2; u = Exp[r ∗ T/n] ∗ (1 + Exp[σ 2 ∗ T/n] − 1); q
d = Exp[r ∗ T/n] ∗ (1 − Exp[σ 2 ∗ T/n] − 1); BinStrom[i , j ] := BinStrom[i, j] = If[i == n, Max[S ∗ uj ∗ dn−j − X, 0], Max[S ∗ uj ∗ di−j − X, Exp[−r ∗ T/n] ∗ (p ∗ BinStrom[i + 1, j + 1] + (1 − p) ∗ BinStrom[i + 1, j])]]; OpcniPremie = BinStrom[0, 0]; Clear[BinStrom]; OpcniPremie] Pˇri pouˇzit´ı aproximuj´ıc´ıch rovnic (23) a (24) dostaneme: JRcallAp1[S , X , σ , r , T , n q ] := Module[{u, d, p, OpcniPremie, BinStrom}, q p = 1/2; u = Exp[r ∗ T/n] + σ ∗ T/n; d = Exp[r ∗ T/n] − σ ∗ T/n; BinStrom[i , j ] := BinStrom[i, j] = If[i == n, Max[S ∗ uj ∗ dn−j − X, 0], Max[S ∗ uj ∗ di−j − X, Exp[−r ∗ T/n] ∗ (p ∗ BinStrom[i + 1, j + 1] + (1 − p) ∗ BinStrom[i + 1, j])]]; OpcniPremie = BinStrom[0, 0]; Clear[BinStrom]; OpcniPremie] JRcallAp2[S , X , σ , r , T , n q] := Module[{u, d, p, OpcniPremie, BinStrom}, q p = 1/2; u = 1 + r ∗ T/n + σ ∗ T/n; d = 1 + r ∗ T/n − σ ∗ T/n; BinStrom[i , j ] := BinStrom[i, j] = If[i == n, Max[S ∗ uj ∗ dn−j − X, 0], Max[S ∗ uj ∗ di−j − X, Exp[−r ∗ T/n] ∗ (p ∗ BinStrom[i + 1, j + 1] + (1 − p) ∗ BinStrom[i + 1, j])]]; OpcniPremie = BinStrom[0, 0]; Clear[BinStrom]; OpcniPremie]
4.3
Greeks
Pro v´ ypoˇcet Greeks popsan´ ych v odstavci (3.4) m˚ uˇzeme pouˇz´ıt kter´ ykoli v´ yˇse zm´ınˇen´ y model binomick´eho stromu. Zde uvedu pouze proceduru vych´azej´ıc´ı z Cox–Ross–Rubinsteinova modelu americk´e opce call: Greeks[S , X , σ , r , T , n ] := Module[{f,g,u,d,p,Delta,Gamma,Theta,BinStrom}, q f = Exp[−r ∗ T/n]; g = Exp[(r + σ 2 ) ∗ T/n]; u = 1/2(f + g + (f + g)2 − 4 ); q
d = 1/2(f + g − (f + g)2 − 4 ); p = (1/f − d)/(u − d); BinStrom[i , j ] := BinStrom[i, j] = If[i == n, Max[S ∗ uj ∗ dn−j − X, 0], Max[S ∗ uj ∗ di−j − X, Exp[−r ∗ T/n] ∗ (p ∗ BinStrom[i + 1, j + 1] + (1 − p) ∗ BinStrom[i + 1, j])]]; Delta = (BinStrom[1, 0] − BinStrom[1, 1])/(u − d) ∗ S; Gamma = 2 ∗ ((BinStrom[2, 2] − BinStrom[2, 1])/(u2 − 1) ∗ S− (BinStrom[2, 1] − BinStrom[2, 0])/(1 − d2 ) ∗ S)/(u2 − d2 ) ∗ S; Theta = (BinStrom[2, 1] − BinStrom[0, 0])/(2 ∗ T/n); Clear[BinStrom]; {Delta, Gamma, Theta}]
4.4
Konvergence numerick´ ych procedur
Nejprve provedu srovn´an´ı9 opˇcn´ı pr´emie americk´e call opce vypoˇcten´e pomoc´ı Black–Scholesovy formule (3) a ceny opce vypoˇcten´e pomoc´ı binomick´eho modelu (uv´ad´ım srovn´an´ı pouze pro Cox–Ross–Rubinstein˚ uv model). Podle pozn´amky 4 by opˇcn´ı pr´emie mˇely b´ yt shodn´e. 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 50
100
150
200
250
300
9 Pˇri srovn´av´an´ı se v cel´em odstavci omez´ım na tyto opce: call na podkladovou akcii v hodnotˇe 9, realizaˇcn´ı cenou 10, volatilitou 20%, bezrizikovou u ´rokovou m´ırou 10%, splatnost´ı za 1 rok a put na podkladovou akcii v hodnotˇe 45, realizaˇcn´ı cenou 50, volatilitou 40%, bezrizikovou u ´rokovou m´ırou 10%, splatnost´ı za 5 mˇes´ıc˚ u.
Z grafu je vidˇet, ˇze rozd´ıl mezi cenou opce vypoˇcten´e pomoc´ı Black–Scholesovy formule (3) a cenou opce vypoˇcten´e pomoc´ı Cox–Ross–Rubinsteinova modelu pro vzr˚ ustaj´ıc´ı n (tj. poˇcet krok˚ u v binomick´em stromu) konverguje k nule, neboli opˇcn´ı pr´emie americk´e call opce vych´azej´ıc´ı z binomick´eho modelu konverguje pro n bl´ıˇz´ıc´ı se nekoneˇcnu k opˇcn´ı pr´emii z´ıskan´e pomoc´ı Black– Scholesova vzorce. Z odstavce (3.3.1) vypl´ yv´a, ˇze pˇri ∆t bl´ıˇz´ıc´ı se nule, resp. pˇri n bl´ıˇz´ıc´ı se nekoneˇcnu (∆t = T /n, limn→∞ T /n = 0), aproximace binomick´ ym modelem konverguje k pˇr´ısluˇsn´emu modelu spojit´emu. Poloˇzme si ot´azku, pro jak velk´e n lze z´ıskat rozumn´e v´ ysledky? Pod´ıvejme se nejprve na grafy zn´azorˇ nuj´ıc´ı cenu opˇcn´ı pr´emie z´ıskanou pomoc´ı binomick´eho modelu v z´avislosti na n. Cox–Ross–Rubinstein˚ uv model (prvn´ı graf je pro opci call, druh´ y pro put): 0.702 50
100
50
100
150
200
0.698 0.696 0.694 0.692 0.69
6.84 6.83 6.82 6.81
6.79
150
200
Jarrow–Rudd˚ uv model (prvn´ı graf je pro opci call, druh´ y pro put): 0.702 50
100
150
100
150
200
0.698 0.696 0.694 0.692
6.84 6.83 6.82 6.81 50
200
6.79 6.78
Jak´e n n´am tedy zaruˇc´ı, ˇze dostaneme rozumn´e v´ ysledky? Hull ve sv´e knize [6] uv´ad´ı, ˇze jiˇz pro n=30. Vzhledem k tomu, ˇze konvergence uveden´ ych procedur nen´ı monot´onn´ı a opˇcn´ı pr´emie v z´avislosti na n silnˇe osciluje (viz. grafy), nen´ı to tak jednoznaˇcn´e tvrzen´ı. Pokud vyberu ”neˇst’astn´e” n, m˚ uˇze se mi dan´ y v´ ysledek od pˇresn´eho v´ yraznˇe odliˇsovat. Z´avˇer je tedy takov´ y, ˇze konvergence nen´ı pˇresvˇedˇciv´a a n=30 nen´ı dostaˇcuj´ıc´ı. Jak se liˇs´ı konvergence jednotliv´ ych binomick´ ych model˚ u algoritmizovan´ ych v odstavci (4.2) ? Zejm´ena se zamˇeˇr´ım na porovn´an´ı Cox–Ross–Rubinsteinova a Jarrow–Ruddova modelu a na porovn´an´ı tˇechto model˚ u oproti jejich aproximac´ım v z´avislosti na poˇctu uskuteˇcnˇen´ ych krok˚ u v binomick´em stromu.
Porovn´an´ı Cox–Ross–Rubinsteinova (19) a Jarrow–Ruddova (22) modelu je zn´azornˇeno na n´asleduj´ıch grafech10 : 0.03
0.015 0.01 0.005
0.02 0.01 20
40
60
80
100 20
-0.005 -0.01 -0.015
40
60
80
100
-0.01 -0.02
Rozd´ıl mezi pˇresn´ ym Cox–Ross–Rubinsteinov´ ym modelem (19) a jeho aproximac´ı (20) (ˇreˇsen´ı s −) ukazuj´ı tyto grafy: 0.25
0.5
0.2
0.4
0.15
0.3
0.1
0.2
0.05
0.1 20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
Rozd´ıl mezi pˇresn´ ym Cox–Ross–Rubinsteinov´ ym modelem (19) a jeho aproximac´ı (21) je zn´azornˇen n´asleduj´ıc´ımi grafy: 0.05 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0.04 0.03 0.02 0.01 20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
Snadno nahl´edneme, ˇze rozd´ıl mezi pouˇzit´ ymi aproximacemi je znaˇcn´ y: pˇribl´ıˇzen´ı vych´azej´ıc´ı z (20) je o mnoho nepˇresnˇejˇs´ı (zejm´ena pro mal´e n) a jej´ı 10
V cel´em odstavci plat´ı, ˇze grafy zobrazen´e vlevo zn´azorˇ nuj´ı opce call a grafy zobrazen´e vpravo zn´azorˇ nuj´ı opce put.
pouˇzit´ı pro praktick´ y v´ ypoˇcet je nasnadˇe. Zde se m˚ uˇzeme pod´ıvat na rozd´ıly mezi jednotliv´ ymi aproximacemi (20) a (21) vynesen´e do grafu: 0.2 0.175 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
Rozd´ıl mezi pouˇzit´ ymi aproximacemi (23) a (24) Jarrow–Ruddova modelu jiˇz nen´ı zdaleka tak dramatick´ y jako v pˇr´ıpadˇe Cox–Ross–Rubinsteinova modelu: 0.008 20 0.006
-0.001
0.004
-0.002
40
60
80
100
-0.003
0.002
-0.004 20
40
60
80
100
Z grafick´eho zn´azornˇen´ı vypl´ yv´a, ˇze rozd´ıl mezi pouˇzit´ ymi aproximacemi je v ˇr´adu tis´ıcin jiˇz pro mal´e n. Rozd´ıly mezi pˇresn´ ym Jarrow–Ruddov´ ym modelem (22) a jeho aproximac´ı (23) nebo (24) ilustruj´ı n´asleduj´ıc´ı grafy: 0.08 0.025 0.02
0.06
0.015
0.04
0.01 0.02
0.005 20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
5
Z´ avˇ er
Hlavn´ım c´ılem m´e pr´ace bylo vyuˇzit´ı syst´emu Mathematica a s jeho pomoc´ı naprogramovat numerick´e procedury pro v´ ypoˇcet opˇcn´ı pr´emie evropsk´ ych a americk´ ych opc´ı. S vyuˇzit´ım Black–Scholesovy formule a model˚ u binomick´ ych strom˚ u, kter´e poprv´e pouˇzili Cox, Ross, Rubinstein a Jarrow, Rudd jsem dospˇel k procedur´am, kter´e jsou uvedeny v odstavc´ıch (4.1) a (4.2). Vˇsechny procedury jsou odladˇen´e, funkˇcn´ı a pouˇziteln´e v syst´emu Mathematica verze 4. Jejich aplikac´ı na opci s dan´ ymi parametry z´ısk´ame odhad opˇcn´ı pr´emie. Dalˇs´ım c´ılem byla tak´e anal´ yza probl´emu konvergence jednotliv´ ych numerick´ ych procedur a jejich vz´ajemn´e porovn´an´ı. To bylo prov´adˇeno na z´akladˇe grafick´ ych rozbor˚ u opˇet s vyuˇzit´ım programu Mathematica 4 a z´ıskan´e v´ ysledky jsou pˇredmˇetem odstavce (4.4). Tato anal´ yza je pouze ilustraˇcn´ı a neklade si za c´ıl vyvozovat obecnˇe platn´e z´avˇery. Pro kvalifikovanou anal´ yzu by bylo potˇreba vych´azet z vˇetˇs´ıho souboru dat americk´ ych opc´ı a porovnat modely pro r˚ uzn´e ceny podkladov´e akcie, r˚ uzn´e realizaˇcn´ı ceny a r˚ uzn´e doby splatnosti. To je vˇsak nad r´amec t´eto pr´ace.
Reference [1] Black, F., Scholes, M.: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81, 1973 [2] Cipra, T.: Matematika cenn´ych pap´ır˚ u, HZ, Praha 2000 uvodce finanˇcn´ı a pojistnou matematikou, HZ, [3] Cipra, T.: Praktick´y pr˚ Praha 1995 [4] Cox, J., Ross, S., Rubinstein, M.: Option Pricing: a Simplified Approach, Journal of Financial Economics, 1979 [5] Franˇek, P., Janeˇckov´a, H.: Finanˇcn´ı matematika, Semin´aˇr pro praˇ covn´ıky BD CNB, Praha 2003 [6] Hull, J.C.: Options, Futures, and other Derivative Securities, 4th ed., Prentice Hall, Upper Saddle River 2000 [7] Hurt, J.: Chov´ an´ı portf´oli´ı finanˇcn´ıch deriv´at˚ u za nejistoty, Semin´aˇr z ˇ aktu´arsk´ ych vˇed (Mandl, P., St’´astkov´a, M., ed.), pp. 37-42, Matfyzpress, Praha 2002 [8] Hurt, J.: Computational Aspects of Financial Mathematics, Summer School in Financial Mathematics, Warsaw 2002 [9] Jarrow, R.A., Rudd, A.: Option Pricing, Irwin 1983 [10] J´ılek, J.: Finanˇcn´ı a komoditn´ı deriv´aty, Grada Publishing, Praha 2002 [11] Shaw, W.: Modeling Financial Derivatives with Mathematica, Cambridge University Press, Cambridge 1998
