UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT – MATEMATIKA

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.

Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D.

[email protected]

MT – MATEMATIKA

Užití derivací, průběh funkce

2

Monotónnost funkce. Lokální extrémy Vztah mezi směrnicí tečny v bodě (f ′(x0)) a monotónností funkce v bodě x0 Jestliže tečna funkce f (x) v bodě x0 roste (f ′(x0) > 0), pak roste v bodě x0 i funkce f (x). Jestliže tečna funkce f (x) v bodě x0 klesá (f ′(x0) < 0), pak klesá v bodě x0 i funkce f (x). Jestliže je tečna funkce f (x) v bodě x0 konstantní (f ′(x0) = 0), pak se v bodě x0 mění nebo nemění monotónnost funkce f (x). y

y

y

y

f (x) x0

2

1

x0

1 0

f (x)

f (x)

x0

1 1

01

x

0

x

x

f (x)

−4

x0

01

x

MT – MATEMATIKA


3

Změna monotónnosti v bodech, kde funkce f (x) není definovaná V bodech, kde funkce f (x) není definovaná, se mění nebo nemění monotónnost funkce f (x). y

y

y y = x−2 = 1/x2

y = x−1 = 1/x

y

y = tan x

y = cot x

x 0

x

0

x

−π

0

π

x −π

0

π

VĚTA (Vztah mezi monotónností v bodě a monotónností na intervalu). Funkce je rostoucí na otevřeném intervalu právě tehdy, když je rostoucí v každém bodě x0 tohoto intervalu. Funkce je klesající na otevřeném intervalu právě tehdy, když je klesající v každém bodě x0 tohoto intervalu.

MT – MATEMATIKA


4

VĚTA (Vztah mezi derivací funkce na intervalu a monotónností na intervalu). Nechť má funkce f (x) derivaci na otevřeném intervalu (má derivaci v každém bodě x0 intervalu). Pak • jestliže f ′(x) > 0 pro každé x z intervalu, pak je f (x) na intervalu rostoucí • jestliže f ′(x) < 0 pro každé x z intervalu, pak je f (x) na intervalu klesající DEFINICE (Lokální extrémy - lokální maximum a minimum). Nechť je funkce f (x) v bodě x0 definovaná. Řekneme, že funkce má v tomto bodě • lokální maximum, jestliže pro každé x z ryzího okolí bodu x0 platí f (x0) ≥ f (x) • lokální minimum, jestliže pro každé x z ryzího okolí bodu x0 platí f (x0) ≤ f (x)

MT – MATEMATIKA


5

VĚTA (Vztah mezi lokálními extrémy v bodě x0 a derivací v bodě x0). Nechť má funkce f (x) v bodě lokální extrém a nechť existuje derivace funkce v bodě f ′(x0). Pak f ′(x0) = 0. DEFINICE (Stacionární bod). Bod x0, pro který platí, že f ′(x0) = 0, se nazývá stacionární bod. (Je to tzv. podezřelý bod z extrému - bude nebo nebude zde lokální extrém.)

MT – MATEMATIKA


6

Postup při zjišťování monotónnosti funkce y = f (x) a extrémů funkce b Vypočítáme derivaci funkce

y ′ = f ′(x)

b Vypočítáme, v jakých bodech je derivace rovna nule - stacionární body. (Jsou to body, kde se může měnit monotónnost, tedy zde funkce může mít lokální extrém.) y′ = 0 Pokud je y ′ = zlomek, vypočítáme i nulové body jmenovatele, jelikož znaménko zlomku závisí i na znaménku jmenovatele!!! b Vypočítáme, v jakých bodech funkce není definovaná. (Jsou to body, kde se může měnit monotónnost.)

MT – MATEMATIKA


7

b Nalezené body vyznačíme na číselné ose. (Body, kde f (x) není definovaná budou v prázdném kolečku.) Získáme tak několik intervalů. Z každého intervalu si zvolíme libovolný bod a dosadíme do derivace. Když vyjde kladné číslo, v celém intervalu funkce roste, když vyjde záporné číslo, v celém intervalu funkce klesá. b V bodech, kde je funkce definovaná a mění se zde monotónnost, má funkce lokální extrém. Změna + na − je maximum. Změna − na + je minimum.

b Když má funkce v bodě x0 extrém, jeho souřadnice na funkci jsou [x0, f (x0)]. Tedy y-ovou souřadnici vypočítáme dosazením x0 do předpisu funkce, čímž vypočítáme funkční hodnotu v bodě x0.

MT – MATEMATIKA


8

Konvexnost, konkávnost. Inflexní body DEFINICE (Konvexnost ∪, konkávnost ∩). Funkce f (x) má v bodě x0 derivaci. Pak je • konvexní v bodě x0, jestliže pro všechna x z ryzího okolí bodu x0 leží graf funkce f (x) nad tečnou sestrojenou ke grafu funkce f (x) v bodě x0. Tedy f (x) > f ′(x0) · (x − x0) + f (x0)

• konkávní v bodě x0, jestliže pro všechna x z ryzího okolí bodu x0 leží graf funkce f (x) pod tečnou sestrojenou ke grafu funkce f (x) v bodě x0. Tedy f (x) < f ′(x0) · (x − x0) + f (x0) x0

y

y

y

y

f (x)

f (x)

f (x) x0

x0

x0 f (x)

0

x

0

x

0

x

0

x

MT – MATEMATIKA


9

• konvexní (konkávní) na otevřeném intervalu, jestliže je konvexní (konkávní) v každém jeho bodě VĚTA (Vztah konvexnosti a konkávnosti s druhou derivací v bodě x0) Nechť má funkce f (x) druhou derivaci v bodě x0. Je-li • f ′′(x0) > 0, pak je funkce f (x) konvexní v bodě x0 • f ′′(x0) < 0, pak je funkce f (x) konkávní v bodě x0 VĚTA (Vztah konvexnosti a konkávnosti s druhou derivací na intervalu) Nechť má funkce f (x) druhou derivaci na otevřeném intervalu. Je-li • f ′′(x) > 0 pro každé x z intervalu, pak je funkce f (x) konvexní na intervalu • f ′′(x) < 0 pro každé x z intervalu, pak je funkce f (x) konkávní na intervalu

MT – MATEMATIKA


10

DEFINICE (Inflexní bod) Bod x0 na funkci, ve kterém existuje ke grafu funkce právě jedna tečna a graf funkce v něm přechází z konvexity do konkávity (nebo naopak), tj. z jedné strany tečny na druhou, se nazývá inflexní bod. Funkce f (x) může mít inflexní bod v takovém bodě x0, kde ※ f ′′(x0) = 0 y

y f (x) x0

x0

f (x)

0

0

x

※ f ′′(x0) neexistuje y

f (x) x0 0

x

x

MT – MATEMATIKA


11

Postup při zjišťování konvexnosti, konkávnosti a inflexních bodů funkce f (x) b Vypočítáme druhou derivaci funkce y ′′ = f ′′(x) b Vypočítáme, v jakých bodech je druhá derivace rovna nule. (Jsou to body, kde se může měnit konvexnost na konkávnost (nebo naopak), tedy zde funkce může mít inflexní bod.) y ′′ = 0 Pokud je

y ′′ = zlomek, vypočítáme i nulové body jmenovatele, jelikož znaménko zlomku závisí i na znaménku jmenovatele!!! b Vypočítáme, v jakých bodech funkce není definovaná. (Jsou to body, kde se může měnit konvexnost na konkávnost (nebo naopak).)

MT – MATEMATIKA


12

b Nalezené body vyznačíme na číselné ose. (Body, kde f (x) není definovaná budou v prázdném kolečku.) Získáme tak několik intervalů. Z každého intervalu si zvolíme libovolný bod a dosadíme do druhé derivace. Když vyjde kladné číslo, v celém intervalu je funkce konvexní, když vyjde záporné číslo, v celém intervalu je funkce konkávní. b V bodech, kde je funkce definovaná a mění se zde konvexnost na konkávnost (nebo naopak), má funkce inflexní bod. b Když je x0 inflexní bod funkce, jeho souřadnice na funkci jsou [x0, f (x0)]. Tedy y-ovou souřadnici vypočítáme dosazením x0 do předpisu funkce, čímž vypočítáme funkční hodnotu v bodě x0.

MT – MATEMATIKA


13

Asymptoty funkce DEFINICE (Asymptota funkce). Asymptota funkce je přímka, ke které se funkce f (x) nekonečně blíží. y

y

y

x=0

x=0

x

−∞ : y = 0 0

∞: y=0

y

x=0

x

−∞ : y = 0 0

∞: y=0

−∞ : y = 0 0 1

x

1 0

• se směrnicí - přímka, která je lineární funkce y = ax+b. Může být pouze v nevlastních bodech ±∞.

• bez směrnice - přímka kolmá na osu x, tedy to není funkce. Může být pouze v bodech nespojitosti - většinou v bodech, kde funkce není definovaná.

x

MT – MATEMATIKA


14

VĚTA (Asymptota se směrnicí). Přímka, která je lineární funkce y = ax + b, je asymptota se směrnicí grafu funkce f (x) v ∞ nebo v −∞, právě když f (x) ∈ R, b = lim (f (x) − a · x) ∈ R a = lim x→∞ x→∞ x nebo f (x) a = lim ∈ R, b = lim (f (x) − a · x) ∈ R x→−∞ x x→−∞ VĚTA (Asymptota bez směrnice). Přímka x = x0, která je kolmá na osu x, je asymptota bez směrnice grafu funkce f (x), právě když v bodě x0, ve kterém f (x) není definovaná, nastane alespoň jeden z případů: lim f (x) = −∞,

x→x− 0

lim f (x) = ∞,

x→x− 0

lim f (x) = −∞,

x→x+ 0

lim f (x) = ∞

x→x+ 0

MT – MATEMATIKA


15

Průběh funkce Ze zadaného předpisu funkce y = f (x) postupně počítáme různé vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme její graf. Postup při vyšetřování průběhu funkce y = f (x) b Definiční obor b Znaménko funkce, neboli kde je funkce nad osou x a kde je pod osou x, neboli kde je funkce kladná a kde záporná. Průsečíky s osou x a osou y b Parita - sudá, lichá, ani jedno, obojí b Monotónnost a lokální extrémy - pomocí první derivace b Konvexnost, konkávnost a inflexní body - pomocí druhé derivace b Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit b Graf

MT – MATEMATIKA


16

Příklad . Vyšetřete průběh funkce: 1. y = 3x − x3 Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf. b Definiční obor: D(f ) = R b Znaménko funkce (f (x) > 0 ⇒ kladná, f (x) < 0 ⇒ záporná): 3x − x3 > 0 x(3 − x2) > 0 √ √ x( 3 − x)( 3 + x) > 0 √ √ Nulové body: 0, 3, − 3 +

√

− 3

√ √ Kladná: (−∞, √ − 3) ∪√(0, 3) Záporná: (− 3, 0) ∪ ( 3, ∞)

3x − x3 < 0 x(3 − x2) < 0 √ √ x( 3 − x)( 3 + x) < 0 +

− 0

√

− 3

MT – MATEMATIKA


17

Průsečíky s osou x (y = 0), průsečík s osou y (x = 0): y=0 0 = 3x − x3 0 = x(3 − x2) √ √ 0 = x( 3 − x)( 3 + x) √ √ S osou x: [0, 0], [ 3, 0], [− 3, 0] S osou y: [0, 0]

x=0 y = 3 · 0 − 03 y=0

b Parita - sudá (f (x) = f (−x)), lichá (f (x) = −f (−x)), ani jedno, obojí f (x) = 3x − x3

f (−x) = 3(−x) − (−x)3

f (−x) = −3x − (−x3) = −3x + x3 f (x) 6= f (−x)

Není sudá, je lichá.

f (x) = 3x − x3 h i − [f (−x)] = − −3x + x3 −f (−x) = 3x − x3 f (x) = −f (−x)

MT – MATEMATIKA


18

b Monotónnost a lokální extrémy - pomocí první derivace y ′ = (3x − x3)′ = (3x)′ − (x3)′ = 3(x)′ − 3x2 = 3 − 3x2

Nulové body: 1, −1

y′ = 0 3 − 3x2 = 0 3(1 − x2) = 0 3(1 − x)(1 + x) = 0

ց

ր

−

−1 +

ց 1

−

Roste: (−1, 1) Klesá: (−∞, −1) ∪ (1, ∞) V bodě x = −1 je lokální minimum a v bodě x = 1 je lokální maximum. Lokální minimim: f (−1) = 3 · (−1) − (−1)3 = −2. Souřadnice [−1, −2]. Lokální maximum: f (1) = 3 · 1 − 13 = 2. Souřadnice [1, 2].

MT – MATEMATIKA


19

b Konvexnost, konkávnost a inflexní body - pomocí druhé derivace y ′′ = (3 − 3x2)′ = (3)′ − (3x2)′ = 0 − 3(x2)′ = −3 · 2x = −6x y ′′ = 0 −6x = 0 x=0 Nulové body: 0 ∪ +

∩ 0

−

Konvexní: (−∞, 0) Konkávní: (0, ∞) Inflexní bod je x = 0. Inflexní bod: f (0) = 3 · 0 − 03 = 0. Souřadnice [0, 0].

MT – MATEMATIKA


20

b Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit • se směrnicí y = ax + b f (x) ∞ : a = lim = x→∞ x 3x − x3 = = lim x→∞ x −x3 = = lim x→∞ x = lim −x2 = −∞ x→∞

a∈ /R

Asymptota v ∞ neexistuje.

f (x) − ∞ : a = lim = x→−∞ x 3x − x3 = lim = x→−∞ x −x3 = lim = x→−∞ x = lim −x2 = −∞ x→−∞

a∈ /R

Asymptota v −∞ neexistuje.

Ani v jednom případě nemá smysl počítat b.

MT – MATEMATIKA


21

• bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f (x) není definovaná Definiční obor funkce D(f ) = R. Nejsou body, kde bychom hledali asymptotu. Asymptoty bez směrnice neexistují. b Graf y 2

√

− 3

−1

01 −2

√

3

x

MT – MATEMATIKA


Cvičení 1 . 2+1 2 x x 3 2 1. y = x − 2x + x 2. y = x 3. y = x2−1

22

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

Recommend Documents