MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT – MATEMATIKA
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.
Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D.
[email protected]
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
2
Monotónnost funkce. Lokální extrémy Vztah mezi směrnicí tečny v bodě (f ′ (x0 )) a monotónností funkce v bodě x0 Jestliže tečna funkce f (x) v bodě x0 roste (f ′ (x0 ) > 0), pak roste v bodě x0 i funkce f (x). Jestliže tečna funkce f (x) v bodě x0 klesá (f ′ (x0 ) < 0), pak klesá v bodě x0 i funkce f (x). Jestliže je tečna funkce f (x) v bodě x0 konstantní (f ′ (x0 ) = 0), pak se v bodě x0 mění nebo nemění monotónnost funkce f (x). y
y
y
y
f (x) x0
2
1
x0
1 0
f (x)
f (x)
x0
1 1
01
x
0
x
x
f (x)
−4
x0
01
x
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
3
Změna monotónnosti v bodech, kde funkce f (x) není definovaná V bodech, kde funkce f (x) není definovaná, se mění nebo nemění monotónnost funkce f (x). y
y
y y = x−2 = 1/x2
y = x−1 = 1/x
y
y = tan x
y = cot x
x 0
x
0
x
−π
0
VĚTA (Vztah mezi monotónností v bodě a monotónností na intervalu). Funkce je rostoucí na otevřeném intervalu právě tehdy, když je rostoucí v každém bodě x0 tohoto intervalu. Funkce je klesající na otevřeném intervalu právě tehdy, když je klesající v každém bodě x0 tohoto intervalu. VĚTA (Vztah mezi derivací funkce na intervalu a monotónností na intervalu). Nechť má funkce f (x) derivaci na otevřeném intervalu (má derivaci v každém bodě x0 intervalu). Pak • jestliže f ′ (x) > 0 pro každé x z intervalu, pak je f (x) na intervalu rostoucí • jestliže f ′ (x) < 0 pro každé x z intervalu, pak je f (x) na intervalu klesající DEFINICE (Lokální extrémy - lokální maximum a minimum). Nechť je funkce f (x) v bodě x0 definovaná. Řekneme, že funkce má v tomto bodě • lokální maximum, jestliže pro každé x z ryzího okolí bodu x0 platí f (x0 ) ≥ f (x) • lokální minimum, jestliže pro každé x z ryzího okolí bodu x0 platí f (x0 ) ≤ f (x)
π
x −π
0
π
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
4
VĚTA (Vztah mezi lokálními extrémy v bodě x0 a derivací v bodě x0 ). Nechť má funkce f (x) v bodě lokální extrém a nechť existuje derivace funkce v bodě f ′ (x0 ). Pak f ′ (x0 ) = 0. DEFINICE (Stacionární bod). Bod x0 , pro který platí, že f ′ (x0 ) = 0, se nazývá stacionární bod. (Je to tzv. podezřelý bod z extrému - bude nebo nebude zde lokální extrém.) Postup při zjišťování monotónnosti funkce y = f (x) a extrémů funkce b Vypočítáme derivaci funkce y ′ = f ′ (x) b Vypočítáme, v jakých bodech je derivace rovna nule - stacionární body. (Jsou to body, kde se může měnit monotónnost, tedy zde funkce může mít lokální extrém.) y′ = 0 Pokud je y ′ = zlomek, vypočítáme i nulové body jmenovatele, jelikož znaménko zlomku závisí i na znaménku jmenovatele!!! b Vypočítáme, v jakých bodech funkce není definovaná. (Jsou to body, kde se může měnit monotónnost.) b Nalezené body vyznačíme na číselné ose. (Body, kde f (x) není definovaná budou v prázdném kolečku.) Získáme tak několik intervalů. Z každého intervalu si zvolíme libovolný bod a dosadíme do derivace. Když vyjde kladné číslo, v celém intervalu funkce roste, když vyjde záporné číslo, v celém intervalu funkce klesá. b V bodech, kde je funkce definovaná a mění se zde monotónnost, má funkce lokální extrém. Změna + na − je maximum. Změna − na + je minimum. b Když má funkce v bodě x0 extrém, jeho souřadnice na funkci jsou [x0 , f (x0 )]. Tedy y-ovou souřadnici vypočítáme dosazením x0 do předpisu funkce, čímž vypočítáme funkční hodnotu v bodě x0 .
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
5
Konvexnost, konkávnost. Inflexní body DEFINICE (Konvexnost ∪, konkávnost ∩). Funkce f (x) má v bodě x0 derivaci. Pak je • konvexní v bodě x0 , jestliže pro všechna x z ryzího okolí bodu x0 leží graf funkce f (x) nad tečnou sestrojenou ke grafu funkce f (x) v bodě x0 . Tedy f (x) > f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 ) • konkávní v bodě x0 , jestliže pro všechna x z ryzího okolí bodu x0 leží graf funkce f (x) pod tečnou sestrojenou ke grafu funkce f (x) v bodě x0 . Tedy f (x) < f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 )
x0
y
y
y
y
f (x)
f (x)
f (x) x0
x0
x0 f (x)
0
x
0
x
0
• konvexní (konkávní) na otevřeném intervalu, jestliže je konvexní (konkávní) v každém jeho bodě VĚTA (Vztah konvexnosti a konkávnosti s druhou derivací v bodě x0 ) Nechť má funkce f (x) druhou derivaci v bodě x0 . Je-li • f ′′ (x0 ) > 0, pak je funkce f (x) konvexní v bodě x0 • f ′′ (x0 ) < 0, pak je funkce f (x) konkávní v bodě x0 VĚTA (Vztah konvexnosti a konkávnosti s druhou derivací na intervalu) Nechť má funkce f (x) druhou derivaci na otevřeném intervalu. Je-li • f ′′ (x) > 0 pro každé x z intervalu, pak je funkce f (x) konvexní na intervalu • f ′′ (x) < 0 pro každé x z intervalu, pak je funkce f (x) konkávní na intervalu
x
0
x
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
6
DEFINICE (Inflexní bod) Bod x0 na funkci, ve kterém existuje ke grafu funkce právě jedna tečna a graf funkce v něm přechází z konvexity do konkávity (nebo naopak), tj. z jedné strany tečny na druhou, se nazývá inflexní bod. Funkce f (x) může mít inflexní bod v takovém bodě x0 , kde ※ f ′′ (x0 ) = 0 y
y f (x) x0
x0
f (x)
0
0
x
※ f ′′ (x0 ) neexistuje y
f (x) x0 0
x
x
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
7
Postup při zjišťování konvexnosti, konkávnosti a inflexních bodů funkce f (x) b Vypočítáme druhou derivaci funkce y ′′ = f ′′ (x) b Vypočítáme, v jakých bodech je druhá derivace rovna nule. (Jsou to body, kde se může měnit konvexnost na konkávnost (nebo naopak), tedy zde funkce může mít inflexní bod.) y ′′ = 0 Pokud je y ′′ = zlomek, vypočítáme i nulové body jmenovatele, jelikož znaménko zlomku závisí i na znaménku jmenovatele!!! b Vypočítáme, v jakých bodech funkce není definovaná. (Jsou to body, kde se může měnit konvexnost na konkávnost (nebo naopak).) b Nalezené body vyznačíme na číselné ose. (Body, kde f (x) není definovaná budou v prázdném kolečku.) Získáme tak několik intervalů. Z každého intervalu si zvolíme libovolný bod a dosadíme do druhé derivace. Když vyjde kladné číslo, v celém intervalu je funkce konvexní, když vyjde záporné číslo, v celém intervalu je funkce konkávní. b V bodech, kde je funkce definovaná a mění se zde konvexnost na konkávnost (nebo naopak), má funkce inflexní bod. b Když je x0 inflexní bod funkce, jeho souřadnice na funkci jsou [x0 , f (x0 )]. Tedy y-ovou souřadnici vypočítáme dosazením x0 do předpisu funkce, čímž vypočítáme funkční hodnotu v bodě x0 .
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
8
Asymptoty funkce DEFINICE (Asymptota funkce). Asymptota funkce je přímka, ke které se funkce f (x) nekonečně blíží. y
y
x=0
x=0
x
−∞ : y = 0 0
y
y
x=0
x
−∞ : y = 0
∞: y=0
0
∞: y=0
−∞ : y = 0 0 1
x
1 0
x
• se směrnicí - přímka, která je lineární funkce y = ax + b. Může být pouze v nevlastních bodech ±∞. • bez směrnice - přímka kolmá na osu x, tedy to není funkce. Může být pouze v bodech nespojitosti - většinou v bodech, kde funkce není definovaná. VĚTA (Asymptota se směrnicí). Přímka, která je lineární funkce y = ax + b, je asymptota se směrnicí grafu funkce f (x) v ∞ nebo v −∞, právě když f (x) ∈ R, x→∞ x
a = lim
b = lim (f (x) − a · x) ∈ R x→∞
nebo f (x) ∈ R, x→−∞ x
a = lim
b = lim (f (x) − a · x) ∈ R x→−∞
VĚTA (Asymptota bez směrnice). Přímka x = x0 , která je kolmá na osu x, je asymptota bez směrnice grafu funkce f (x), právě když v bodě x0 , ve kterém f (x) není definovaná, nastane alespoň jeden z případů: lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞ x→x− 0
x→x− 0
x→x+ 0
x→x+ 0
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
Průběh funkce Ze zadaného předpisu funkce y = f (x) postupně počítáme různé vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme její graf. Postup při vyšetřování průběhu funkce y = f (x) b Definiční obor b Znaménko funkce, neboli kde je funkce nad osou x a kde je pod osou x, neboli kde je funkce kladná a kde záporná. Průsečíky s osou x a osou y b Parita - sudá, lichá, ani jedno, obojí b Monotónnost a lokální extrémy - pomocí první derivace b Konvexnost, konkávnost a inflexní body - pomocí druhé derivace b Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit b Graf Příklad . Vyšetřete průběh funkce: 1. y = 3x − x3 Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf. b Definiční obor: D(f ) = R b Znaménko funkce (f (x) > 0 ⇒ kladná, f (x) < 0 ⇒ záporná): 3x − x3 > 0
Nulové body: 0,
√
√ 3, − 3
3x − x3 < 0
x(3 − x2 ) > 0 √ √ x( 3 − x)( 3 + x) > 0
+ √
− 3
x(3 − x2 ) < 0 √ √ x( 3 − x)( 3 + x) < 0
+
− 0
√
− 3
9
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
√ √ Kladná: (−∞, − 3) ∪ (0, 3) √ √ Záporná: (− 3, 0) ∪ ( 3, ∞) Průsečíky s osou x (y = 0), průsečík s osou y (x = 0): y=0
x=0
0 = 3x − x
3
y = 3 · 0 − 03
0 = x(3 − x2 ) √ √ 0 = x( 3 − x)( 3 + x)
√ √ S osou x: [0, 0], [ 3, 0], [− 3, 0] S osou y: [0, 0]
y=0
b Parita - sudá (f (x) = f (−x)), lichá (f (x) = −f (−x)), ani jedno, obojí f (x) = 3x − x3 − [f (−x)] = − −3x + x3
f (x) = 3x − x3
f (−x) = 3(−x) − (−x)3
f (−x) = −3x − (−x3 ) = −3x + x3
−f (−x) = 3x − x3
f (x) 6= f (−x)
f (x) = −f (−x)
Není sudá, je lichá. b Monotónnost a lokální extrémy - pomocí první derivace y ′ = (3x − x3 )′ = (3x)′ − (x3 )′ = 3(x)′ − 3x2 = 3 − 3x2 y′ = 0 3 − 3x2 = 0
3(1 − x2 ) = 0
3(1 − x)(1 + x) = 0 Nulové body: 1, −1 ց
ր
−
−1 +
ց 1
−
10
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
11
Roste: (−1, 1) Klesá: (−∞, −1) ∪ (1, ∞) V bodě x = −1 je lokální minimum a v bodě x = 1 je lokální maximum. Lokální minimim: f (−1) = 3 · (−1) − (−1)3 = −2. Souřadnice [−1, −2]. Lokální maximum: f (1) = 3 · 1 − 13 = 2. Souřadnice [1, 2].
b Konvexnost, konkávnost a inflexní body - pomocí druhé derivace
y ′′ = (3 − 3x2 )′ = (3)′ − (3x2 )′ = 0 − 3(x2 )′ = −3 · 2x = −6x y ′′ = 0 −6x = 0 x=0
Nulové body: 0 ∪ +
∩ 0
−
Konvexní: (−∞, 0) Konkávní: (0, ∞) Inflexní bod je x = 0. Inflexní bod: f (0) = 3 · 0 − 03 = 0. Souřadnice [0, 0].
b Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit • se směrnicí y = ax + b
f (x) = x 3x − x3 = lim = x→∞ x −x3 = = lim x→∞ x = lim −x2 = −∞
∞ : a = lim
x→∞
x→∞
a∈ /R
f (x) = x 3x − x3 = lim = x→−∞ x −x3 = lim = x→−∞ x = lim −x2 = −∞
− ∞ : a = lim
x→−∞
x→−∞
a∈ /R
MT – MATEMATIKA
Užití derivací, průběh funkce
Asymptota v ∞ neexistuje.
12
Asymptota v −∞ neexistuje.
Ani v jednom případě nemá smysl počítat b. • bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f (x) není definovaná Definiční obor funkce D(f ) = R. Nejsou body, kde bychom hledali asymptotu. Asymptoty bez směrnice neexistují. b Graf
y 2
√
− 3
−1
01 −2
Cvičení 1 . 1. y = x3 − 2x2 + x 2. y =
x2 +1 x
3. y =
x2 x2 −1
√
3
x
