TSO)

DIDACTISCHE TIPS BIJ HET LEERPLANONDERDEEL REELE FUNCTIES & ALGEBRA (leerplan C derde graad KSO/TSO)

Dirk Taecke

1

INLEIDING Het leerplan C is opgemaakt voor de studierichtingen met twee wekelijkse lestijden wiskunde in de derde graad TSO/KSO.

Welk type leerling mag je verwachten?



Ze zijn minimaal gemotiveerd voor wiskunde, door o

weinig aanleg;

o

geringe interesse;

o

gebrek aan successen in het vak. → sommige leerlingen zijn nog nooit geslaagd voor wiskunde, maar zijn door een opeenvolging van B-attesten in de derde graad geraakt.



De leerlingen zien wiskunde als een grote drempel waar ze nooit over geraken en niet als een nuttig instrument. Ze merken tevens in de derde graad dat daardoor hun slaagkansen in het hoger onderwijs voor bepaalde richtingen heel beperkt zijn.



Ze hebben soms al een ganse watervalgeschiedenis met de bijhorende ontgoochelingen achter de rug.

Didactische tips RF&A

D.Taecke

2

Wat is de taak van de wiskundeleerkracht?



Motivatie door succeservaringen. o Begin altijd met heel eenvoudige voorbeelden. o Vervang ‘theoretische’ opbouw door zelfontdekking : 

realistische voorbeelden maken nieuwsgierig;



ICT maakt het initieel eenvoudiger.

o Herhaal veel; zelf zullen ze het meestal niet doen. o Vermijd lastig rekenwerk. De leerlingen verkiezen meestal decimale getallen boven breuken. Wortels vereenvoudigen is helemaal not done. o Bouw elke paragraaf op dezelfde manier op : inleidend voorbeeld → veralgemening (definitie, formules) → driloefeningen → realistische toepassingen. o Remediëring is geen straf. o Maak veel werk van foutenanalyse na huiswerken, opdrachten, toetsen. o Stel korte vragen met een duidelijke taal. o Meng geen verschillende leerplanonderdelen in één vraag. 

Probeer de interesse op te wekken. o Gebruik voorbeelden en toepassingen die niet ver van hun leefwereld en de gevolgde richting staan. o Schenk aandacht aan de geschiedenis van de wiskunde: waarom is iets ontwikkeld, waarvoor heb je die wiskunde nodig. o Iets wat leerlingen zelf ontdekken, onthouden ze langer. o Leg hen uit waarom ze wiskunde krijgen. o Sta open voor vragen. Neem ze ernstig. Laat nooit blijken dat je ze ‘dom’ vindt.


D.Taecke

3

De beginsituatie: wat zijn de moeilijkheden voor de leerlingen?



Werken met procenten. → Schep een kader dat ze altijd kunnen gebruiken.



Regel van drie: lineaire interpolatie/extrapolatie is lastig. → Werk schematisch.



Omvormen van formules. Schenk er voldoende aandacht aan, maar ga er niet te ver in. → Leg de ‘omgekeerde volgorde van bewerkingen uit’.



Aflezen en interpreteren van grafieken en tabellen. → Begin heel eenvoudig en ga stap voor stap.



Gebruik van ICT. De voorkennis kan ook heel verscheiden zijn. → Een handleiding basiskennis GRM, Excel, Graphmatica, Graph, … is noodzakelijk.



Inzicht in getallen en schatten van grootteorde. → Regelmatige controle van de oplossingen.


D.Taecke

4

HET LEERPLAN Het basispakket voor alle richtingen bevat vier onderwerpen.    

reële functies en algebra statistiek financiële algebra mathematiseren en oplossen van problemen.

Inhoud van het onderdeel ‘Reële functies en algebra’

1) Grafieken en tabellen aflezen en interpreteren. 2) Grafieken tekenen en interpreteren. LEERPLAN 

Manueel tekenen van eenvoudige functies (y = ax, y =

a , y = ax + b, y = ax2) x



Met ICT: grafiek van tweedegraadsfuncties en van de exp. functie y = b.ax



Enkel voor nijverheidstechnische: goniometrische functies y = a.sinb.(x+c)



Elementaire karakteristieken van een tweedegraadsfunctie + grafieken construeren.



Manueel tekenen: lineaire groei, tweedegraadsfuncties, exp. groei.



Problemen oplossen en de oplossing interpreteren (vraagstukken die aanleiding geven tot gelijkheden of ongelijkheden).



UITBREIDING: o

Goniometrische functies

o

Functies met meervoudig voorschrift

o

Exp. functies y = b.ax


MOGELIJKE OPLOSSING A) VERBANDEN Recht evenredig verband, lineair verband (+ lineaire modellen en lineaire interpolatie), omgekeerd evenredig verband, kwadratisch verband, exponentieel verband, machtsfuncties. B) TWEEDEGRAADSFUNCTIES C) EXPONENTIELE FUNCTIES (modellen) D) GONIOMETRISCHE FUNCTIES E) FUNCTIES MET MEERVOUDIG VOORSCHRIFT. Deze laatste twee hoofdstukken zijn in principe uitbreiding, maar basis voor sommige richtingen.

D.Taecke

5

3) Functies concretiseren uit een probleemomschrijving. Lineaire en exponentiële verbanden. Zie voorgestelde oplossing bij nummer 2.

4) Veranderingen en hellingen. 

Gemiddelde verandering + grafische betekenis.



Verandering in een punt met een tabel van differentiequotiënten (ICT).



Problemen oplossen.



UITBREIDING: afgeleiden + problemen oplossen.

Inhoud van het onderdeel ‘Mathematiseren en oplossen van problemen’

1) Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van wiskundekennis. 2) Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken. Vertaling: het volgen van een niet-formele methode om volgens een bepaald criterium een niet precies bekend doel te bereiken op een onderzoekende en voortdurend evaluerende wijze. 3) Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem. 4) Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terugkijken op de oplossingsweg en de uitgevoerde berekeningen. 5) Vertrouwen verwerven door de wiskundekennis zinvol in te schakelen.

Nadenken over werkvormen en evalueren

Individueel Driloefeningen (klassieke toetsen en proeven)

Groepswerk BZL en groepsopdrachten (assessment/peer-assessment)

Gewicht van attitudes

ICT-vaardigheid van de leerlingen en ondersteuning door de school VOETEN


D.Taecke

6

LESTHEMA 1: grafieken en tabellen aflezen en interpreteren Modeloefening 1 Bekijk het volgende staafdiagram.

BEVOLKING IN WEST-VLAANDEREN OP 1 JANUARI 2013 300000 0-17 jaar 250000

18-64 jaar

65 jaar en ouder

56430

62911

200000

150000

172536

168723 100000

37622

29626

90697

89267

21196

50000

9906

9910

0

Arr. Diksmuide

55693 54773

30755

47856 Arr. Brugge

63972

17652 17050 34940

28664

21057

24884

Arr. Ieper

Arr. Kortrijk Arr. OostendeArr. Roeselare

17991

8908

Arr. Tielt

Arr. Veurne

Je stelt best lijsten voor de GRM of een Excelbestand ter beschikking. 1) Omschrijf wat er voorgesteld wordt. 2) Welk arrondissement kent het meeste inwoners? Hoeveel mensen wonen er? 3) Welke arrondissementen hebben minder dan 100 000 inwoners? 4) Welke arrondissementen tellen tussen 150 000 en 300 000 inwoners?


D.Taecke

7

Verhoudingen uitdrukken met procenten 



“procent” = “per honderd” 15 → 15%   0,15 100 12 →  0,48  48% 100 25 Hoeveel procent is 43 van 98?

43  0,4388  43,88% 100 98 5) Hoeveel procent van de West-Vlamingen woont in het arrondissement Oostende? 6) Welk arrondissement telt relatief het meeste jongeren? 7) De vergrijzing van de bevolking is het percentage ouderen (gepensioneerden). In welk arrondissement is dit probleem het grootst? Er kan hier eventueel dieper ingegaan worden op de oorzaken en de socio-economische gevolgen van de vergrijzing.


D.Taecke

8

Modeloefening 2 Inflatie is een algemene toename van de prijzen en dus een afname van de koopkracht. Inflatie wordt uitgedrukt in procent (de inflatievoet) en wordt gemeten aan de hand van het indexcijfer van de consumptieprijzen. Dit indexcijfer wordt maandelijks bepaald aan de hand van de waarde van een 'korf' met de belangrijkste consumptiegoederen en diensten. Negatieve inflatie (een algemene prijsdaling) noemt men deflatie.

1) Wanneer nam de inflatievoet af? 2) Wanneer was er een toename van de inflatievoet? relatief minimum en relatief maximum Een relatief minimum van een grafiek is een punt waarin de grafiek overgaat van dalen naar stijgen. Een relatief maximum van een grafiek is een punt waarin de grafiek overgaat van stijgen naar dalen. 3) Vul het volgende schema voor het verloop van de grafiek aan. maand infl.voet

okt 13

↘

0,7 MIN


D.Taecke

9 4) In welke maand zakte de inflatievoet voor het eerst onder 0,5%? 5) In welke maand steeg de inflatievoet daarna terug boven 0,5%? 6) Gedurende hoeveel maanden bedroeg de inflatievoet meer dan 1%? 7) Wanneer was er sprake van deflatie? 8) Hoe zie je dat aan de grafiek? afhankelijke en onafhankelijke veranderlijken Het verband tussen twee grootheden kan weergegeven worden in een tabel, een grafiek of in formulevorm (zie verder). Een onafhankelijke veranderlijke is een gegeven of vrij te kiezen grootheid. Een afhankelijke veranderlijke is een gemeten of voorspelde grootheid. 9) Wat is de onafhankelijke veranderlijke? Deze vinden we bij de grafische voorstelling op de ……………………………………………………………….as. Wat is de onafhankelijke veranderlijke? Deze vinden we bij de grafische voorstelling op de ……………………………………………………………….as. 10) Vul de volgende tabel aan. ligging van de grafiek t.o.v. de horizontale as

teken van de afhankelijke veranderlijke

boven 0 onder

Met de begrippen “nulwaarde” en “tekenschema” wordt best gewacht tot bij de functies. Het zou in dit verband wellicht voor verwarring zorgen omdat de gemeenschappelijke punten met de x-as niet exact samenvallen met het maandnummer. 11) Wanneer is de inflatievoet het snelst gedaald? 12) In welke maand is de inflatievoet gelijk gebleven t.o.v. de vorige maand?


D.Taecke

10

Modeloefening 3 De levensverwachting bij de geboorte is het gemiddelde aantal jaren dat een pasgeborene verwacht wordt te leven. Men berekent de levensverwachting vanuit een zogenaamde sterftetabel. Deze tabel geeft voor elke leeftijd de overlevingskans (bijvoorbeeld hoeveel procent overleven hun 65ste levensjaar). De sterftetabellen worden elk jaar opnieuw herzien.

De tabel geeft de levensverwachting in het Vlaams Gewest van 1991 tot 2014.

Levensverwachting mannen Levensverwachting vrouwen

1991 73,84 79,98

1999 75,36 81,34

2003 76,42 81,82

2009 78,14 83,13

2012 78,68 83,47

2014 79,40 84,03

1) Stel de tabel grafisch voor met ICT. Hiervoor kan je een GRM of de computer (Excel, Graph, Graphmatica) gebruiken. De vragen 2, 3 en 4 los je op m.b.v. de grafische voorstelling. 2) Schat de levensverwachting bij de vrouwen in 2005. 3) In welk jaar steeg de levensverwachting bij de mannen boven 76 jaar? 4) Toon aan dat de mannen de vrouwen aan het inhalen zijn. Ga uit van de gegevens van 2012 en 2014 om de vragen 5 en 6 te beantwoorden. 5) Schat de levensverwachting bij de mannen in 2030. 6) In welk jaar zal de levensverwachting bij de vrouwen 87 jaar zijn? 7) Je ziet dat de verschillen tussen de jaartallen niet gelijk zijn. Bedenk een methode om te weten te komen in welke periode de levensverwachting bij de mannen en bij de vrouwen het snelst is gestegen.


D.Taecke

11

Modeloefening 4 De London Eye (of Millennium Wheel) is een reuzenrad, gelegen langs de Thames in Londen, tegenover het Westminsterpaleis. Het is gebouwd in 1998 en weegt 1 700 ton. Er zijn 32 gesloten capsules met een maximum capaciteit van 25 personen.

De grafiek toont de hoogte van een passagier. De tijd wordt gemeten vanaf het instappen.

136 132 128 124 120 116 112 108 104 100 96 92 88 84 80 76 72 68 64 60 56 52 48 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4

hoogte in meter

tijd in minuten 5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

periodiek verband Een verband tussen twee grootheden waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt, is een periodiek verband. De lengte van het interval waarin het patroon zich één keer voordoet, is de periode. 1) Wat is de periode? Geef de fysische betekenis: 2) Op welke hoogte stap je in? 3) Op welke hoogte bevind je je na 10 minuten?


D.Taecke

12

4) Na hoeveel tijd bereik je het hoogste punt? Hoe hoog ben je dan boven de grond? 5) Bepaal de diameter van het reuzenrad. 6) De London Eye staat nooit stil. Bereken hoeveel omwentelingen het doet per jaar. Stel dat je 3 uren hebt doorgebracht op het reuzenrad. 7) Hoe lang ben je dan op meer dan 100 m hoogte geweest? 8) Bepaal je hoogte na 1 uur en 55 minuten.


D.Taecke

13

LESTHEMA 2: HET LINEAIR VERBAND

Voorafgaande leerstof







Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules. → Omvormen van formules → Invloed van de onafhankelijke veranderlijke(n) op de afhankelijke veranderlijke. Verbanden tussen grootheden beschrijven met functies. → Wat is een functie. → Domein, bereik, praktisch domein en bereik (werk zoveel mogelijk vanuit een grafiek; ICT!) → Nulwaarden en tekenschema (vanuit een grafiek). → Verloop (vanuit een grafiek). Het recht evenredig verband.

Modeloefening 1 Als er geen temperatuursinversie optreedt (dit wil zeggen dat een warme luchtlaag over een koude laag schuift), neemt de temperatuur af met de hoogte. De volgende tabel toont de temperatuur T op een hoogte h. h (in m)

0

150

500

700

1200

T (in °C)

15

14,1

12

10,8

7,8

……..

……..

……..

……..

T h

1) Bereken telkens het quotiënt

T . Wat merk je? h lineair verband

Een verband tussen de afhankelijke grootheid y en de onafhankelijke grootheid x is lineair als het differentiequotiënt

y constant is. Deze verhouding noemen we de richtingscoëfficiënt. x

Deze richtingscoëfficiënt is de constante verandering per eenheid.

2) Teken met ICT de punten (h,T) in een assenstelsel. Gebruik hiervoor een spreidingsdiagram (puntenwolk) Wat merk je?


D.Taecke

14

grafiek van een lineair verband De grafiek van een lineair verband is een (deel van een) rechte. De vergelijking van een rechte is y = mx + q. Hierbij is m de richtingscoëfficiënt en q de y-coördinaat van het snijpunt van de rechte met de y-as. 3) Stel de vergelijking op van het verband tussen de temperatuur T, in °C, en de hoogte h, in m. 4) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt. 5) Wat is de betekenis van q? 6) Bereken de temperatuur op een hoogte van 1 800 m. 7) Op welke hoogte is de temperatuur 0 °C?

Modeloefening 2 In de Verenigde Staten gebruiken ze graden Fahrenheit om de temperatuur te meten. Wij gebruiken graden Celsius. Het verband tussen beide temperatuurschalen is lineair. In de tabel vind je voor twee temperaturen in °F de temperatuur in °C. x (°F)

40

70

y (°C)

4,4

21,1

Er kan hier eventueel ingegaan worden op het ontwerp van beide schalen. 1) Stel de formule op om x °F om te zetten in y °C. vergelijking van een rechte door twee punten De vergelijking van de rechte door de punten A(x1,y1) en B(x2,y2), met x1 ≠ x2, bepaal je als volgt:

y 2  y1 x 2  x1



Bereken de richtingscoëfficiënt: m 



De vergelijking van de rechte AB is: y  y1  m   x  x1 

2) Je kijkt op TV naar de US Open en ziet een temperatuur van 95 °F. Hoe warm is het in °C? 3) President Obama komt Brussel bezoeken. Het is er 10 °C. Hij wil weten hoeveel °F dat is. Bereken dit even voor hem!


D.Taecke

15

Modeloefening 3 De volgende tabel bevat gegevens over de massa van een foetus na een aantal weken zwangerschap. aantal weken zwanger

20

23

29

34

40

massa foetus, in g

530

910

1640

2320

?

1) Schat de massa van de foetus na 25 weken zwangerschap. lineaire interpolatie en extrapolatie Lineaire interpolatie is het schatten van een tussenliggende waarde door uit te gaan van een rechte tussen twee gegeven punten. Lineaire extrapolatie is het schatten van een waarde die buiten een rij waargenomen waarden ligt, door gebruik te maken van een rechte door de twee laatste punten.

2) Schat de massa van het kindje bij de geboorte (ongeveer 40 weken).


D.Taecke

16

Modeloefening 4 De tabel geeft de levensverwachting in het Vlaams Gewest van 1991 tot 2014.

Levensverwachting mannen Levensverwachting vrouwen

1991

1999

2003

2009

2012

2014

73,84 79,98

75,36 81,34

76,42 81,82

78,14 83,13

78,68 83,47

79,40 84,03

1) Teken een spreidingsdiagram zowel voor de mannen als voor de vrouwen. Stel hierbij: x = het aantal jaren na 1991 en y = de levensverwachting. 2) Pas lineaire regressie toe om een model te vinden dat past bij de puntenwolken. (lineaire) regressie Bij regressie probeert men vanuit een waarde van de onafhankelijke veranderlijke een waarde van de afhankelijke veranderlijke te schatten door gebruik te maken van een “best passende” grafiek. Als die grafiek een rechte is, spreekt men van lineaire regressie.

3) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënten van beide rechten. 4) Voorspel de levensverwachting bij de vrouwen in 2050. 5) In welk jaar zullen de mannen een levensverwachting van 85 jaar hebben? 6) Wanneer zullen de mannen een even hoge levensverwachting hebben als de vrouwen? 7) Waarom beperken we de gevonden lineaire modellen beter in de tijd?

Hier kan zeker uitgeweid worden over het begrip “logistisch model”.

Volgende leerstof

  

Het omgekeerd evenredig verband. Het kwadratisch evenredig verband. → Je wacht beter met het kwadratisch verband y = ax² + bx + c. Verbanden uitdrukken met machtsfuncties.


D.Taecke

17

LESTHEMA 3: HET EXPONENTIEEL VERBAND

REKENEN MET PROCENTEN BOVEN 100 %

Voorbeeld 1 De prijs van een scooter, zonder BTW, is 2900 euro. Bereken de prijs BTW (21 %) inbegrepen. Oplossing Stap 1: de prijs zonder BTW noemen we de beginwaarde b. Dus: b = 2900 Stap 2: 100 % + 21 % = 121 % = 121  1,21. Deze waarde noemen we de groeifactor a. 100

Stap 3: de prijs BTW inbegrepen is de eindwaarde y. Stap 4: y = 2900  1,21 = 3509 Besluit: de prijs BTW inbegrepen is 3 509 euro.

groeifactor > 1 De groeifactor bij een eenmalige toename met p %, is gelijk aan a  100  p . 100

Als b de beginwaarde is en y de eindwaarde, dan is y  b  a

Voorbeeld 2 In onze gemeente is er ieder jaar in de zomer een grote rommelmarkt. Dit jaar waren er 168 standhouders. Volgens de organisatoren is dat een stijging met 5 % t.o.v. het jaar ervoor. Hoeveel standhouders waren er vorig jaar? Oplossing Het aantal standhouders vorig jaar is de beginwaarde b. Het aantal dit jaar is de eindwaarde y. a= Los de vergelijking y  b  a op naar b:

Besluit:


D.Taecke

18

Voorbeeld 3 Op 1 januari 2014 telde Brugge 117 377 inwoners. Op 1 januari 2015 waren er dat 117 797. Met hoeveel procent is de bevolking in Brugge in één jaar gestegen? Bepaal het antwoord op 0,01 %. Oplossing Het aantal inwoners in Brugge op 1 januari 2014 is de beginwaarde b. Het aantal op 1 januari 2015 is de eindwaarde y. Los de vergelijking y  b  a op naar a en rond af op vier cijfers na de komma:

Bepaling van het groeipercentage uit a: Besluit:

REKENEN MET PROCENTEN ONDER 100 %

Voorbeeld 1 Op intresten van kasbons moet 25 % roerende voorheffing betaald worden. Hoeveel hou je netto nog over als de bruto intrest 110 euro bedraagt? Oplossing Stap 1: de bruto intrest is de beginwaarde. Dus: b = 110 Stap 2: 100 % - 25 % = 75 % = 75  0,75  a 100

Stap 3: de netto intrest is de eindwaarde y. Stap 4: y = 110  0,75 = 82,50 Besluit: de netto intrest is 82,50 euro.

groeifactor < 1 De groeifactor bij een eenmalige afname met p %, is gelijk aan a  100  p . 100

Als b de beginwaarde is en y de eindwaarde, dan is y  b  a


D.Taecke

19

Voorbeeld 2 Je kocht een broek in de solden voor 99 euro. Je hebt 40 % korting gekregen. Hoeveel kostte de broek oorspronkelijk? Oplossing De oorspronkelijke prijs is de beginwaarde b. De prijs in de solden is de eindwaarde y. a= Los de vergelijking y  b  a op naar b:

Besluit:

Voorbeeld 3 In onze school waren er 605 leerlingen ingeschreven op 1 september 2014. Op 1 september 2015 waren er dat 583. Met hoeveel procent is het leerlingenaantal gedaald? Bepaal het antwoord op 0,1 %. Oplossing Het aantal leerlingen op 1 september 2014 is de beginwaarde b. Het aantal op 1 september 2015 is de eindwaarde y. Los de vergelijking y  b  a op naar a en rond af op drie cijfers na de komma:

Bepaling van het groeipercentage uit a:

Besluit:


D.Taecke

20

EXPONENTIELE VERBANDEN

Voorbeeld 1 In 2014 zijn in België 436 549 fietsen verkocht. Dat is een stijging met 7,5 % t.o.v. 2013. Als die stijging zich blijft verder zetten, voorspel dan het aantal verkochte fietsen in 2020. Oplossing Het aantal verkochte fietsen in 2014 is de beginwaarde: b = 436 549. De groeifactor is a = 100 % + 7,5 % = 107,5 % = 107,5  1,075 . 100

Het aantal verkochte fietsen over 

1 jaar: y = 436 549  1,075



2 jaar: y = 436 549  1,075  1,075 = 436 549  1,0752



3 jaar: y = 436 549  1,0752  1,075 = 436 549  1,0753



x jaar: y = 436 549  1,075x

x = 6  y = 436 549  1,0756 = 673 727 Besluit: in 2020 zouden er 673 727 fietsen verkocht worden.

exponentieel verband Er is een exponentieel verband als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke x, de waarde van de afhankelijke veranderlijke y steeds met eenzelfde factor (de groeifactor a) wordt vermenigvuldigd. Bij een toename is a > 1, bij een afname is 0 < a < 1. Er geldt: y  b  ax . Hierbij is b de beginwaarde.

Voorbeeld 2 De waarde van een auto neemt elk jaar met 20 % af. Je koopt vandaag een nieuwe auto voor 33 000 euro. Bepaal de waarde over 8 jaar. Oplossing b= a= De formule voor de waardedaling is: x=8  y= Besluit:


D.Taecke

21

Voorbeeld 3 Mensen worden steeds groter. De tabel toont de evolutie van de lengte, in cm, van de gemiddelde Belgische man tussen 1950 en 2010.

jaar

1950

1980

2010

aantal cm

170,3

175,3

180,4

……….

……….

1) Toon aan dat het verband tussen de gemiddelde lengte en de tijd na 1950 exponentieel is. Rond je berekeningen af op 3 cijfers na de komma. 2) Hoeveel procent wordt de gemiddelde Belgische man groter in een periode van 30 jaar? 3) Voorspel hoe groot de gemiddelde Belgische man zal worden in 2050. → Je hoeft hier zeker niet dieper te gaan op het begrip rationale exponent. Je kan er wel eventjes op duiden, zonder er de definitie van te geven. 4) Gebruik ICT om te voorspellen in welk jaar de gemiddelde Belgische man 2 meter zal worden.

OMZETTEN VAN PERCENTAGES

Voorbeeld 1 Een aandeel op de beurs is na 1 maand met 2 % gedaald. Bereken de procentuele daling op jaarbasis. Oplossing De groeifactor per maand is Als a de groeifactor is per jaar, dan geldt: a =

=

 p=

Besluit:

Voorbeeld 2 In België voorspelt men een bevolkingstoename met 6 % per 10 jaar. Hoeveel is dat per jaar? Oplossing De groeifactor per 10 jaar is 1,06 Als a de groeifactor is per jaar, dan geldt: a10 = a is een getal waarvan de 10-de macht 1,06 is. We noemen a een 10-de machtswortel van 1,06. Je kan deze gemakkelijke berekenen met je rekenmachine. Rond af op vier cijfers na de komma. a=

 p=

Besluit:


D.Taecke

22

METHODIEK TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN VRAAGSTUK 1 Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 147 m² groter. Bereken de oorspronkelijke zijde van het vierkant.

Vergelijkingen oplossen met een term in x² en een constante term (dus van de vorm ax² + c = 0), zonder deze expliciet te benoemen. Enkel gehele exponenten. De resultaten mogen irrationaal zijn.

VRAAGSTUK 2 Een projectiel wordt van op de grond, verticaal omhoog geschoten. De hoogte, in m, die het bereikt wordt gegeven door de formule h = 90t – 5t². Hierbij is t de tijd in seconden. Na hoeveel tijd, op 0,01 seconden, zal het projectiel terug op de grond vallen? → h(t)  v 0  t  1  g  t 2 (voor g nemen we voor de eenvoud 10 m/s²) 2

Vergelijkingen oplossen met een term in x² en een term in x (dus van de vorm ax² + bx = 0), zonder deze expliciet te benoemen. Enkel gehele exponenten.

VRAAGSTUK 3 Stefaan en Stefanie hebben een rechthoekige tuin van 50 m lang en 20 m breed. Ze willen die tuin afboorden met een pad in betonklinkers. In het tuincenter krijgen ze een aanbod: er ligt een voorraad betonklinkers, goed voor 264 m², tegen de helft van de prijs. Hoe breed kunnen ze hun tuinpad maken als ze op dit aanbod ingaan?

Vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 opstellen → oplossen met ICT


D.Taecke

23

Definitie van tweedegraadsvergelijkingen.

Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen

STAP 1: het bewijs van de wortelformules wordt getoond, met een gepast voorbeeld ernaast om de kwadraatafsplitsing te illustreren. Het bewijs hoeft vanzelfsprekend niet gekend te zijn. De formules staan in het begin op bord. Vanaf de tweede les niet meer. STAP 2: voorbeelden; de leerlingen worden op weg geholpen: a = … , b = … , c = …, D = … ; volgorde van voorbeelden: zie de volgende stappen (oefeningen). STAP 3: eerste serie oefeningen: a = 1 of a = -1; gehele oplossingen → rationale oplossingen. STAP 4: tweede serie oefeningen: a  1; eenvoudige rationale oplossingen. STAP 5: derde serie oefeningen: rationale (eenvoudige breuken laat je vereenvoudigen, bij de moeilijkere laat je de rekenmachine gebruiken) en irrationale oplossingen (werk hierbij met de rekenmachine; wortels vereenvoudigen laat je zeker niet doen). Opmerking: in deze vijfde stap kunnen eventueel ook oefeningen zitten met breuken bij de coëfficiënten (noemers verdrijven), maar zeker niet met irrationale coëfficiënten. Het vereenvoudigen van tweedegraadsvergelijkingen (bvb. 4x² + 12x + 28 = 0) hoeft eigenlijk niet in deze tijden van rekenmachines. STAP 6: gemengde oefeningen (dus ook onvolledige tweedegraadsvergelijkingen).

Oplossen van vraagstukken van de tweede graad.

STAP 1: de vergelijking wordt gegeven. STAP 2: de vergelijking moet zelf worden opgesteld; de eerste serie met begeleidende vragen. Opmerking: zorg ook voor vraagstukken die leiden tot onvolledige tweedegraadsvergelijkingen.


D.Taecke

24

LESTHEMA 4: HET KWADRATISCH VERBAND Modeloefening 1 Het vruchtbaarheidscijfer per leeftijd is de verhouding van het aantal levendgeborenen bij vrouwen van een bepaalde leeftijd tot het totaal aantal vrouwen van die leeftijd.

De tabel toont het vruchtbaarheidscijfer voor enkele leeftijden in België. leeftijd vruchtbaarheidscijfer

18 0,0589

23 0,1302

27 0,1458

32 0,1433

37 0,0973

1) Stel de gegevens voor met een spreidingsdiagram. 2) Je ziet dat het vruchtbaarheidscijfer stijgt naar een maximale waarde en daarna weer daalt. Om het verband tussen het vruchtbaarheidscijfer en de leeftijd te vinden, zoek je met ICT een regressielijn die zo goed mogelijk past bij de punten van het spreidingsdiagram. Hiervoor pas je kwadratische regressie toe. De vergelijking van de regressielijn is …………………………………………………………………………………… kwadratisch verband Een verband tussen de afhankelijke grootheid y en de onafhankelijke grootheid x is kwadratisch als het bepaald wordt door een vergelijking van de vorm y = ax² + bx + c. Hierbij zijn a, b en c constanten en a  0. De grafiek van een kwadratisch verband is een (deel van een) parabool.

3) Wat is het vruchtbaarheidscijfer op de leeftijd van 30 jaar? 4) Op welke leeftijd is het vruchtbaarheidscijfer het hoogst? Bepaal dat maximum. 5) Hoe oud zijn, volgens het model, de jongste moeders in België? 6) Tot op welke leeftijd krijgen vrouwen, volgens dit model, kinderen? 7) Tussen welke leeftijden is het vruchtbaarheidscijfer in België hoger dan 12%?


D.Taecke

25

Modeloefening 2 Het totale vruchtbaarheidscijfer (TVC) is de som van de vruchtbaarheidscijfers per leeftijd. Het TVC is dus, simpel gesteld, gelijk aan het gemiddeld aantal kinderen per vrouw.

Het verband tussen het totale vruchtbaarheidscijfer y en het aantal jaren x na 1960, kan benaderd worden door de vergelijking y  0,001  x  33 2  1,54 . 1) Teken, met ICT, de grafiek van deze functie. 2) De grafiek is een ……………………………………. 3) Voor welke x-waarde is y minimaal? Wat is die minimale waarde? In welk jaar was het TVC minimaal? 4) Wat merk je op i.v.m. de waarde van x en y bij vraag 3? 5) Voorspel het totale vruchtbaarheidscijfer in 2025. 6) Ga na of dit cijfer klopt met de voorspellingen van bevolkingsexperts. 7) Wat kan je hier uit besluiten? kwadratisch verband (2) Een kwadratisch verband tussen de afhankelijke grootheid y en de onafhankelijke grootheid x kan ook bepaald worden door een vergelijking van de vorm y  a   x   2   Hierbij zijn a, α en β constanten en a  0.


D.Taecke

26

Methodiek vervolg tweedegraadsfuncties

Stap 1: grafiek van y = x² (manueel)  y  ax 2  y   x     y  x 2    y  a   x      2

2

Voor de transformaties: gebruik ICT (GRM, Graph, Graphmatica of applets). Je kan dit bijvoorbeeld ook door parameters te definiëren of via de Transfrm-toepassing op de GRM (TI84). Stap 2: oplossen van de vergelijking a   x   2    0 (zonder D) Stap 3: manueel tekenen van de grafiek met vergelijking y  a   x   2   Stap 4: opstellen van de vergelijking van een parabool met gegeven top en één punt (start vanuit heel eenvoudige wiskundige oefeningen en ga geleidelijk over naar toepassingen). Stap 5: definitie van tweedegraadsfuncties met voorschrift f(x) = ax² + bx + c. Stap 6: grafiek van de functie met voorschrift f(x) = ax² + bx + c. Hierbij wordt de theorie getoond met een voorbeeld ernaast (cfr. de wortelformules). Stap 7: nulwaarden van tweedegraadsfuncties met voorschrift f(x) = ax² + bx + c. Stap 8: manueel tekenen van de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = ax² + bx + c. Stap 9: verloop van tweedegraadsfuncties → extremumvraagstukken → toepassingen waarbij zowel het extremum als de nulwaarden van belang zijn. Stap 10: kwadratische ongelijkheiden oplossen met ICT → toepassingen.

Volgende leerstof



Grafiek van de functie met vergelijking y  b  ax (exponentiële functies).

 

Goniometrische functies (U). Functies met meervoudig voorschrift (U).


D.Taecke

27

LESTHEMA 5: GEMIDDELDE VERANDERING

Facultatieve voorafgaande leerstof Toenamediagrammen.

Modeloefening 1 De tabel toont de evolutie van de Belgische bevolking van 1 januari 1846 tot 1 januari 2015. jaartal aantal duizenden toename

1846 1880 1905 1920 1930 1947 1960 1980 1987

2000

2010

2015

4337 5520 7059 7406 8092 8512 9190 9855 9920 10239 10840 11209

gem. toen./j 1) Bereken voor elk jaartal de toename ten opzichte van het vorige jaartal. 2) Waarom kan je hieruit geen besluiten trekken over de periode met de sterkste groei? 3) Bereken voor elke periode de gemiddelde toename van de bevolking per jaar. 4) In welke periode was de groei het sterkst? 5) In welke periode was de groei het traagst? Kan je dit verklaren? 6) Schat met lineaire interpolatie het bevolkingsaantal in België in 1938. 7) Voorspel door lineaire extrapolatie de grootte van de Belgische bevolking in 2022.


D.Taecke

28

Modeloefening 2 Bij een bezoek aan de Eiffeltoren ben je onvoorzichtig en laat je je gsm vallen van op de derde verdieping. De hoogte h, in m, van de gsm wordt gegeven door de functie h(t) = 276 – 4,9t². Hierbij is t de tijd in seconden. 1) Van op welke hoogte valt je gsm? 2) Na hoeveel tijd, op 0,01 seconde, valt de gsm op de grond? 3) Bereken de gemiddelde snelheid van de gsm gedurende de eerste seconde van de val. 4) Bereken de gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [2,5]. 5) Bereken de gemiddelde snelheid gedurende de volledige valtijd. 6) Teken, met ICT, de grafiek van de functie h. 7) Wat is de grafische betekenis van de berekende gemiddelde snelheden?

Modeloefening 3 Neem de functie met voorschrift f(x) = x² - 4. 1) Bereken de gemiddelde helling van de grafiek in [1,3]. 2) Wat is de grafische betekenis van je uitkomst? 3) Bereken de gemiddelde helling in [-2,1]

Differentiequotiënt Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a,b] is het getal f(b)  f(a) (a ≠ b) ba

Het differentiequotiënt van een functie in [a,b] bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a,b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a,b]. f(b)  f(a) y is de richtingscoëfficiënt van de  ba x

koorde door de punten P(a,f(a)) en Q(b,f(b)) van de grafiek van f.


D.Taecke

29

LESTHEMA 6: OGENBLIKKELIJKE VERANDERING Modeloefening 1 Op een zonnige dag besluit Yelena een flinke wandeling te doen. De grafiek toont de afgelegde weg s, in km, na een tijd t, in uren. s

1) Hoelang wandelt ze?

11

10

9

2) Welke afstand heeft ze in totaal afgelegd?

8

7

6

3) Wat is haar gemiddelde snelheid van de gehele wandeling?

5

4

3

2

4) Bepaal de gemiddelde snelheid tijdens het eerste uur van de wandeling.

1

t 0.5

1

1.5

2

5) Bepaal de gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [1;1,25] 6) Exact één uur na haar vertrek zien we haar. Aan welke snelheid is ze aan het wandelen? 7) Welke redenering heb je gevolgd om het antwoord op vraag 6 te vinden?

Modeloefening 2 Bij een bezoek aan de Eiffeltoren ben je onvoorzichtig en laat je je gsm vallen van op de derde verdieping. De hoogte h, in m, van de gsm wordt gegeven door de functie h(t) = 276 – 4,9t². Hierbij is t de tijd in seconden. h

1) Van op welke hoogte valt de gsm?

280 260 240 220

2) Hoe zie je aan de grafiek dat de gsm steeds sneller valt?

200 180 160 140 120

3) Bereken de gemiddelde snelheid van de gsm tijdens de eerste 3 seconden.

100 80 60 40 20

t 1

2

3

4

5

6

7

8

4) Verklaar het teken van je uitkomst.

5) Betekent dit dat de gsm exact 3 seconden nadat je hem hebt laten vallen, tegen die snelheid naar beneden valt? 6) Waarom (niet)?


D.Taecke

30 7) Bereken de ogenblikkelijke snelheid v van de gsm na 3 seconden. Bereken de gemiddelde snelheid in een interval [3,3+∆t], waarbij ∆t steeds kleiner wordt. ∆t

0,25

0,1

[3,3+∆t],

[3;3,25]

0,01

0,001

vgem (m/s) Als de toename ∆t van de tijd kleiner wordt, zal de gemiddelde snelheid in het interval [3,3+∆t] een steeds betere benadering worden voor de gevraagde ogenblikkelijke snelheid. Gebruik ICT om te bepalen naar welke waarde v nadert als ∆t tot 0 nadert. Besluit: v(3) = 8) Bereken op dezelfde manier de ogenblikkelijke snelheid na 5 seconden en na 7 seconden. 9) Tegen snelheid valt de gsm op de grond? 10) Gebruik lineaire regressie om het verband tussen v en t te bepalen. 11) Wat merk je? Ogenblikkelijke verandering De ogenblikkelijke verandering van een functie f in een getal a van het domein is de waarde van het getal f(a  x)  f(a) als ∆x naar 0 nadert. x

Notatie: lim f(a  x)  f(a) x 0

x

Lees: de limiet van f(a  x)  f(a) als ∆x naar 0 nadert. x

Er zijn voldoende applets te vinden op het internet om de grafische betekenis te illustreren. Geogebra is een nuttig alternatief. Grafische betekenis van het begrip ogenblikkelijke verandering De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van een functie f in het punt P(a,f(a)) is lim

x 0

f(a  x)  f(a) . x

Deze richtingscoëfficiënt is een maatgetal voor de ogenblikkelijke helling van de grafiek in P.

Volgende leerstof    

Definitie van het begrip “afgeleide van een functie in een getal”. Afgeleiden in de fysica en de economie. Afgeleide functie + rekenregels (U). Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie (U).


D.Taecke

TSO)

Recommend Documents