Transien 1. Solusi umum persamaan gelombang. Contoh contoh Switch on kondisi unmatched. Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 Presentasi 9 1

Transien 1 Solusi umum persamaan gelombang Contoh‐contoh Contoh contoh Switch on kondisi unmatched percabangan

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008

Presentasi 9

1

Pada pembahasan sebelumnya : pengandaikan sinyal yang harmonis, atau pengandaikan sinyal yang harmonis, atau kondisi sinyal pada saat kondisi stabil (steady state steady state) Maka fungsi waktu bisa digambarkan dengan fungsi sinus (konsep phasor)

Tetapi ada suatu kondisi lain, yang disebut kondisi transien transien. Keadaan yang diamati seketika setelah adanya suatu aksi, tanpa menunggu kondisinya stabil.


Presentasi 9

2

Pada teknik tenaga listrik : Pada teknik tenaga listrik : proses penyalahan, proses hubungan singkat, proses induksi tegangan pengganggu akibat kejadian di atmosfir, dll Di teknik telekomunikasi : selalu digunakan sinyal yang tak periodis. Pada komunikasi data dipergunakan impuls‐impuls Pada komunikasi data dipergunakan impuls‐impuls.

Bagaimana semua ini akan berjalan di saluran transmisi ? hanya bisa dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial yang pertama kali kita temui di bab pertama, dan kita solusikan tanpa mengubahnya ke bentuk phasor. kita solusikan tanpa mengubahnya ke bentuk phasor.


Presentasi 9

3

Solusi Persamaan Gelombang Secara Umum kasus tak mengandung kerugian (R’ (R = 0 0, dan G’ G = 0)

∂v ∂i = − L' ∂z ∂t

(a)

∂i ∂v = −C ' ∂z ∂t

(b)

Turunan (a) terhadap z :

∂ 2v ∂ 2i = − L' 2 ∂z ∂z∂t

( ’) (a’)

Turunan (b) terhadap t :

∂ 2i ∂ 2v = −C ' 2 ∂t∂z ∂t

(b’)


Presentasi 9

4

dengan

∂ 2i ∂ 2i = ∂t∂z ∂z∂t

Memasukkan b’ ke a’

⎛ ∂ 2v ∂ 2v ⎞ = − L'⋅⎜⎜ − C ' 2 ⎟⎟ 2 ∂z ∂t ⎠ ⎝ ∂ 2v ∂ 2v = L' C ' 2 2 ∂z ∂t

Persamaan gelombang secara umum yang berlaku untuk saluran transmisi tak mengandung kerugian.


Presentasi 9

5

Solusi persamaan itu pertama kali didapatkan oleh D’Alembert (1717‐1783).

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ z z ⎟ + fr ⎜ t + ⎟ v = fh ⎜ t − ⎜ v ⎟ ⎜ v ⎟ ph ph ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ fh dan fr fungsi bebas tetapi memiliki argumen

t−

z v ph

dan

z t+ v ph

Bagaimana bentuk kedua fungsi yang sebenarnya, ditentukan oleh nilai awal dan nilai batas, seperti akan ditunjukkan di contoh. Bukti persamaan di atas adalah solusi dari persamaan gelombang bisa Didapat dengan memasukkannya ke persamaan gelombang


Presentasi 9

6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ z z 2 ⎟ ⎟ 2 ∂ fh ⎜t − 2 ∂ fr ⎜ t + ⎜ v ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎜ v ⎟ ∂ 2 v ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ph ph ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎟ = − + 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎜v ⎟ ∂z ∂ v z ∂ z ⎝ ph ⎠ ⎝ ph ⎠ 2

⎛ 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ z z 2 ⎜ ∂ fh ⎜ t − ⎟⎟ ⎟ ∂ fr ⎜ t + ⎜ v ⎟ ⎜ v ⎟⎟ ∂ 2v 1 ⎜ ph ph ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = 2⎜ + ⎟ 2 2 2 ∂z ∂z ∂z v ph ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ z z 2 ⎟ ∂ fr ⎜ t + ⎟ ∂ fh ⎜ t − ⎜ v ⎟ ⎜ v ⎟ ∂ 2v ph ph ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = + 2 2 ∂t ∂t ∂t 2 2


Presentasi 9

7

Supaya persamaan‐persamaan di atas menjadi solusi ada syarat berikut:

1 L' C '

v ph =

Persamaan untuk arus pada saluran transmisi diturunkan dengan persamaan (b)

∂i ∂v = −C ' ∂z ∂t didapatkan

1 ⎛⎜ z ⎞⎟ 1 ⎛⎜ z ⎟⎞ i = fh t − − fr t + + Io ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ Z ⎝ v ph ⎠ Z ⎝ v ph ⎠

L' Z= C'

Impedansi karakteristik dan Io adalah arus konstant


Presentasi 9

8

vh = fh(-z/v) ih = fh(-z/v)/Z

z

t=0 vh = fh(t1-z/v) ih = fh(t1-z/v)/Z

z

t = t1 vt1


Presentasi 9

9

vr = fr(+z/v)

t=0

z ir =- fr(+z/v)/Z

vr = fr(t1+z/v)

z t = t1 ir =- fr(t1+z/v)/Z


vt1

Presentasi 9

10

Batas Awal dan Syarat Batasan Pada Transien (Contoh‐contoh) Distribusi tegangan dan arus pada proses transien ditentukan oleh syarat awal dan syarat batas dari problem yang diberikan.

Syarat awal : misal pada saat t = 0 diberikan suatu distribusi tegangan dan arus awal di sepanjang saluran transmisi, dan arus awal di sepanjang saluran transmisi, kemudian akan diperhatikan apa yang terjadi pada lanjutannya ini.

SSyarat batas: kondisi batas yang padanya diberikan nilai tegangan t b t k di i b t d dib ik il i t atau arus sebagai fungsi waktu. Misalnya sebuah open pada ujung saluran transmisi adalah sebuah syarat batas, yang di sana berlaku i = 0 untuk semua waktu. y y g


Presentasi 9

11

Contoh 1: Syarat Awal : Distibusi Muatan pada Saluran Transmisi A d ik pada d suatu posisi i i sekitar ki z = 0 pada 0 d sebuah b h saluran l ii Andaikan transmisi yang tak terhingga panjangnya, mendadak muncul suatu distribusi muatan tertentu. Hal ini bisa disebabkan oleh p proses ionisasi di atmosfir atau sambaran p petir.


Presentasi 9

12

Muatan listrik terinduksi itu akan menghasilkan medan listrik, sehingga akan terjadi beda potensial atau suatu distribusi tegangan di lokasi tersebut misalnya bisa di tuliskan sebagai fungsi f(z). f(z) muatan tersebut, v (z, t=0) = f(z) adalah syarat awal dari masalah transien ini. Pada momen pertama t = 0, tak ada arus yang mengalir, atau i (t=0) = 0.

Sehingga dengan solusi persamaan diferensial (persamaan (9 4) dan (9 6)): Sehingga dengan solusi persamaan diferensial (persamaan (9.4) dan (9.6)):

⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ ⎟ + fr ⎜ ⎟ f ( z) = fh ⎜ − ⎜ v ⎟ ⎜v ⎟ ⎝ ph ⎠ ⎝ ph ⎠ 1 ⎛⎜ z ⎟⎞ 1 ⎛⎜ z ⎞⎟ 0 = fh − − fr Z ⎜⎝ v ph ⎟⎠ Z ⎜⎝ v ph ⎟⎠ (I0 juga nol, karena memang tak ada arus di awal) Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008

Presentasi 9

13

Dari dua persamaan di atas kita dapatkan

⎛ z ⎞ 1 ⎟ = f ( z) fh ⎜ − ⎜ v ⎟ 2 ⎝ ph ⎠ ⎛ z ⎞ 1 ⎟ = f ( z) fr ⎜ ⎜v ⎟ 2 ⎝ ph ⎠ Terbentuk dua gelombang bagian, yang akan merambat ke kanan (ke arah z positif), dan dengan besar dan bentuk yang sama akan merambat ke kiri ((z negatif). g ) Sehingga gg total didapatkan p tegangan g g dan arus

1 1 v = f (z − v pht ) + f (z + v pht ) 2 2 1 1 i= f (z − v pht ) − f (z + v pht ) 2Z 2Z Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008

Presentasi 9

14


Presentasi 9

15

Contoh 2: Syarat Batas : Switch-On pada Sebuah Saluran Transmisi panjang tak hingga

Yang diketahui adalah, karena saluran transmisi panjangnya tak hingga, maka hanya akan terdapat gelombang datang vh. Gelombang datang ini akan merambat ke arah z positif dengan G l b d t i i k b tk h itif d kecepatan vph, sehingga berlaku


Presentasi 9

16

z ⎧ ⎪ 0 untuk t < v ⎪ ph V =⎨ z ⎪vh untuk t > v ph ⎪⎩

dan

z ⎧ ⎪ 0 untuk t < v ⎪ pph i=⎨ v z ⎪ h untuk t > v ph ⎪⎩ Z

Pada saat t = 0 berlaku hukum Kirchhoff dan hukum Ohm :

V0 = i h ⋅ R + v h dan dengan impedansi karakteristik saluran transmisi di atas:

vh V0 = ⋅ R + v h Z

Z ⇒ vh = Vo Z+R

vh ih z


Presentasi 9

17

Refleksi dan Pembelokan (Reflection and Refraction)

Bentuk gelombang tergantung dari kondisi awal. Gelombang ini akan merambat tanpa gangguan (tanpa perubahan bentuk) di sepanjang saluran transmisi j l t i i yang homogen. h

Bahkan, jika , j saluran transmisinya y tak mengandung g g kerugian, gelombang g ,g g ini juga memiliki besar yang tak berubah.

Tetapi jika ada gangguan, misalnya pada beban, yang tak matching, atau sambungan saluran transmisi lain, yang memiliki impedansi gelombang yang berbeda, maka akan terbentuk kejadian tambahan.


Presentasi 9

18

Z1 , v1

Z2 , v2 z=L

Sebuah g gelombang, g dengan g tegangan g g

dan arus

z

⎛ z⎞ ⎜ Vh = f h ⎜ t − ⎟⎟ ⎝ v1 ⎠

1 ⎛ z⎞ Ih = f h ⎜⎜ t − ⎟⎟ Z 1 ⎝ v1 ⎠

merambat di saluran transmisi 1 menuju sambungan yang terletak di posisi z = L.


Presentasi 9

19

Pada sambungan akan terjadi refleksi gelombang datang ini, sehingga akan terbentuk gelombang refleksi yang merambat di saluran 1 menuju arah negatif z, z, transmisi 1 menuju dan gelombang transmisi yang merambat di saluran transmisi 2 menuju positif z. Sehingga secara keseluruhan, di sambungan (z ≤ L) terdapat S hi k l h di depan d b ( ≤ L) t d t gelombang datang dan pantul, dengan

⎛ ⎛ z⎞ z⎞ V1 = f h ⎜⎜ t − ⎟⎟ + f r ⎜⎜ t + ⎟⎟ ⎝ v1 ⎠ ⎝ v1 ⎠

1 ⎛ z⎞ 1 ⎛ z⎞ Ih = f h ⎜⎜ t − ⎟⎟ − f h ⎜⎜ t + ⎟⎟ Z 1 ⎝ v1 ⎠ Z 1 ⎝ v1 ⎠

dan

Dan sesudah sambungan (z ≥ L) hanya ada gelombang transmisi

⎛ z ⎜ V2 = f t ⎜ t − ⎝ v2

⎞ ⎟⎟ ⎠


dan

1 ⎛ z Ih = f t ⎜⎜ t − Z 2 ⎝ v2 Presentasi 9

⎞ ⎟⎟ ⎠ 20

Pada sambungan z = L, harus berlaku V1(z=L) = V2(z=L) dan I1(z=L) = I2(z=L), sehingga persamaan dengan eliminasi akan didapatkan Dua variabel dan dua persamaan,

⎛ L ⎞ Z 2 − Z1 ⎛ L⎞ ⎜ ⎟ ⎜ fr ⎜t + ⎟ = f h ⎜ t − ⎟⎟ ⎝ v1 ⎠ Z 2 + Z 1 ⎝ v1 ⎠ ⎛ ⎛ 2Z 2 L⎞ L⎞ f t ⎜⎜ t − ⎟⎟ = f h ⎜⎜ t − ⎟⎟ ⎝ v 2 ⎠ Z 2 + Z 1 ⎝ v1 ⎠ Gelombang pantul didapatkan melalui mengalikan gelombang datang dengan konstanta refleksi

Z 2 − Z1 r= Z 2 + Z1

dan gelombang transmisi didapat dari hasil kali gelombang datang dengan faktor transmisi

2Z 2 t= Z 2 + Z1


Presentasi 9

21

v1 v1

v2

v2

v2


Presentasi 9

22

Contoh Perhitungan

Sumber tegangan DC Vo= 2 V, dengan impedansi dalam Zi=20 Ω, dihubungkan ke beban ZL = 200 Ω dengan melalui saluran transmisi dengan panjang L dan memiliki impedansi gelombang Zo= 100 Ω. Lukiskanlah proses transien di sepanjang saluran transmisi tersebut jika pada t = 0 rangkaian t = 0 rangkaian ‘switch switch on on’ dengan dengan menentukan tegangan pada z = 0 dan z = L sebagai fungsi waktu.


Presentasi 9

23

Pada saat t = 0, generator akan melihat Z = Zo sebagai bebannya, sehingga pada saat t = 0, didapatkan rangkaian pengganti

Maka pada saat t = 0 ss, tegangan pada gerbang masukan masukan, sesuai dengan aturan pembagian tegangan, menjadi

Zo 100 Vin (t = 0) = Vo = ⋅ 2V = 1,67 V Zi + Zo 120


Presentasi 9

24

Dan untuk kondisi ‘steady-state’ t → ∞, pengaruh saluran transmisi terhadap kondisi sinyal sudah tak ada lagi, impedansi beban langsung terlihat oleh generator, sehingga didapatkan rangkaian

Dengan aturan pembagi tegangan:

ZL 200 Vin (t → ∞) = Vout (t → ∞) = Vo = ⋅ 2V = 1,82 V 220 Zi + Z L


Presentasi 9

25

Sekarang, bagaimana untuk 0 < t < ∞ ? Andaikan gelombang g g membutuhkan waktu ts untuk menempuh p jjarak dari awal ke akhir saluran. Sehingga gerbang keluaran baru kedatangan gelombang setelah waktu di atas tertempuh. tertempuh Tegangannya merupakan superposisi dari tegangan datang dan tegangan pantul. Tegangan pantul diakibatkan adanya kondisi ‚unmatched’ di gerbang keluaran dengan faktor refleksi

rout

ZL − Zo 1 = = ZL + Zo 3

Jadi pada gerbang keluaran, pada saat t = ts, terdapat dua gelombang tegangan, tegangan datang (Vo) dan tegangan pantul (routVo) dan tegangan totalnya menjadi:


(1 + rout) V0

Presentasi 9

26

Sinyal pantul ini akan merambat kembali ke arah gerbang masukan, dan tiba di sana setelah waktu 2ts tertempuh. Gelombang ini akan kembali terpantulkan karena kondisi input dilihat Gelombang ini akan kembali terpantulkan, karena kondisi input dilihat dari saluran transmisi juga ‚unmatched’, dengan faktor refleksi

Z in − Z o − 80 2 rin = = =− Z in + Z o 120 3 Jadi pada saat t = 2 ts di gerbang masukan (z = 0) terdapat tiga buah gelombang tegangan: Tegangan eksitasi (Vo) T Tegangan datang dari beban (r d d i b b ( outVo) dan )d Tegangan datang dari beban yang dipantulkan pada input (rin rout Vo)

Dan tegangan totalnya menjadi :


(1+rout + rin rout) Vo

Presentasi 9

27

Proses di atas bisa divisualisasikan dengan diagram berikut ini:


Presentasi 9

28

V(z=0) V(z=L) V asimtot 2.2

2

18 1.8

1.6

1.4

1.2

0

1

2


3

4

5 Presentasi 9

6

7

8

9

10 29

Contoh 2: Pada rangkaian di bawah ini sebuah gelombang tegangan konstan yang merambat pada saluran transmisi dan mengenai sambungan berupa merambat pada saluran transmisi dan mengenai sambungan berupa percabangan dua buah saluran transmisi, bagaimana daya listrik terbagi pada masing‐masing saluran transmisi tersebut ?

Vo

Z2 = 3Zo Z1 = Zo Z3 = 5Zo


Presentasi 9

30

Gelombang datang mempunyai daya

Vo2 Ph = Zo

Pada sambungan di akhir saluran transmisi 1, dipasangkan saluran transmisi 2 dan 3 secara seri, sehingga di sana terlihat impedansi beban sebesar 3Zo+5Zo = 8Zo, sehingga faktor refleksinya menjadi

8Z o − Z o 7 7 r= = ⇒ Vr = Vo 8Z o + Z o 9 9 dan faktor transmisinya y

2 ⋅ 8Z o 16 16 t= = ⇒ Vt = Vo 8Z o + Z o 9 9


Presentasi 9

31

Karena beban merupakan rangkaian seri dari dua impedansi, maka berlaku hukum pembagian tegangan:

3Z o 2 Vt1 = Vt = Vo 8Z o 3 5Z o 10 Vt 2 = Vt = Vo 8Z o 9 Maka kita dapatkan, daya datang akan terdistribusi ke gelombang berikut

Vr2 49 Vo2 Pr = = Z o 81 Z o Vt ,21

4 Vo2 12 Vo2 Pt ,1 = = = 3Z o 27 Z o 81 Z o

Vt ,22

20 Vo2 Pt , 2 = = 5Z o 81 Z o Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008

Presentasi 9

32

Transien 1. Solusi umum persamaan gelombang. Contoh contoh Switch on kondisi unmatched. Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 Presentasi 9 1

Recommend Documents