AKAR PERSAMAAN NON LINEAR Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :
ax + bx + c = 0 2
2 − b ± b − 4ac Solusi : x12 = 2a
Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :
f ( x) = e
x3 + 2 x
− 3x = 0
Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode sebagai b berikut b k : 1. 2. 3. 4 4. 5. 6 6.
GRAFIS BISECTION REGULA FALSI SECANT NEWTON RHAPSON ITERASI FIXED POINT
1 GRAFIS 1. Merupakan metode mencari akar dengan cara menggambar fungsi yang bersangkutan Contoh C t h: Y = 2x2 – 3x -2 Berapa akar dari persamaan tsb ?
Jawab: ¾Dengan memasukkan harga “x” didapat nilai fungsi f( ) f(x) f(x)
-1.40 -1.20 -1.00 -0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.60 0.90 1.20 1.50 1.80 2 10 2.10 2.40 2.70
6.12 4.48 3.00 1.68 0.52 -0.48 -1.32 -2.00 -2.52 -3.08 -3.08 -2.72 -2.00 -0.92 0 2 0.52 2.32 4.48
8.00 6.00 4.00 f f(x)
x
2.00 0.00 -2.00 -4.00 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 X
2. 2 BISECTION • Metode ini melakukan pengamatan terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x, x yang mempunyai perbedaan tanda. • Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebut. tersebut
F(x)
x1
x4
x5 x3
x2
x
Algoritma : 1)) Pilih x1 bawah dan x2 p puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan :
f ( x1 ). f ( x2 ) < 0 2) Taksiran akar x, ditentukan oleh :
xr
x1 + x 2 = 2
3) Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda : * jika f(x1).f(x2) < 0 akan berada pada bagian interval bawah, maka x2 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika Jik f(x1).f(x2) f( 1) f( 2) > 0 akan k berada b d pada d bagian b i interval atas , maka x1 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) = 0, akar setara xr, perhitungan dihentikan, atau bisa juga :
f ( x1 ). f ( x2 ) < ε Dimana ε adalah harga toleransi yang dibuat.
Contoh : Carilah akar persamaan dari :
f ( x) = x 3 + x 2 − 3x − 3 = 0, dengan d ε = 0,001 Penyelesaian: Hitung nilai
f (x )
pada interval antara 2 titik untuk x=1, f ( x = 1) = (1) 3 + (1) 2 − 3(1) − 3 = −4 untuk x=2
f ( x = 2) = (2) 3 + (2) 2 − 3(2) − 3 = 3
Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan t d dari tanda d i fungsi f i antara t x=1 1 dan d x=2 2 akan k memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik perpotongan p p g antar sumbu x dan fungsi g merupakan akar-akar persamaan. hitung nilai
x r , kemudian hitung fungsi f ( xr )
x1 + x2 1 + 2 xr = = = 1,5 2 2
f ( xr = 1,5) = (1,5) + (1,5) − 3(1,5) − 3 = −1,875 3
2
Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel hasil perhitungan: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
f(x)
1.5 1.75 1.625 1.6875 1.71875 1 734375 1.734375 1.726563 1.730469 1 732422 1.732422 1.731445 1.731934 1 732178 1.732178 1.732056
-1.875 0.171875 -0.943359 -0.409424 -0.124786 0 02203 0.02203 -0.051755 -0.014957 0 003513 0.003513 -0.005728 -0.001109 0 001201 0.001201 4.6E-05
HOME WORK • Y = Sin X + 3x +2 • Y = X3 + 2x2 -x +2
3. Metode Regula Falsi (I t (Interpolasi l i Linier) Li i ) • Kekurangan metode bisection adalah membagi dua selang diantara x1 dengan x2 menjadi dua bagian yang sama, besaran f(x1) dan f(x2) diabaikan Misalnya diabaikan. Misalnya, jika f(x1) lebih dekat ke nol daripada f(x2), kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke x1 daripada ke x2.
y
f(x2)
x1
f(x1)
x2
x
Algoritma : 1)
2.
Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. interval Hal ini dapat diperiksa dengan: f(x1) . f(x2) < 0 Taksir akar xr, ditentukan oleh:
xr = x2 − f ( x2 ) a) b) c) d)
x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 )
Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar : Jika f ( x1 ). f ( x r ) < 0 , maka akar berada pada bagian interval bawah, bawah maka x2 = xr , kembali ke langkah 2. 2 Jika f ( x1 ). f ( xr ) > 0 maka akar berada pada bagian interval atas, maka x1 = x r , kembali ke langkah 2. Jika f ( x1 ). f ( xr ) = 0 , akar setara xr maka hentikan perhitungan.
Contoh: f ( x) = x 6 − x − 1 ∈= 0.00001
dit t k ditentukan ;
x1 = 1 x2 = 1.2
subtitusikan pada persamaan ;
f (1) = 16 − x1 − 1 = −1 f (1,2) = (1,2) 6 − 1,2 − 1 = 0,78598 maka nilai
xr = 1,2 − 0,78598
(1,2 − 1) = 1,11198 (0,78598 − (−1))
f (1,1198) = 1,11198 6 − 1,11198 − 1 = −0,22146
Tabel hasil perhitungan: N No. 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f( ) f(x)
1 12 1.2 1.111983 1.131329 1.134228 1.134652 1 134714 1.134714 1.134723
-1 0 785984 0.785984 -0.221429 -0.034641 -0.005099 -0.000744 -0.000108 0 000108 -1.58E-05
4 Metode Secant 4. • Metode ini memerlukan dua taksiran awal akan tetapi karena f(x) tidak disyaratkan untuk berganti tanda diantara taksirantaksiran, maka metode ini tidak digolongkan sebagai metode pengurung. • Persamaan yang dipakai metode secant adalah
x n +1
f ( x n )( x n − x n −1 ) = xn − f ( x n ) − f ( x n −1 )
y
f(x1)
f(x2)
x3 x2 x1
x
Algoritma : • •
Pilih x1 bawah dan x2 (p (puncak)) untuk taksiran akar. Taksir akar xn+1, ditentukan oleh:
f ( xn )(xn − xn−1 ) xn+1 = xn − f ( xn ) − f ( xn−1 ) •
Perhitungan dihentikan jika f(x Є = yang ditentukan
n+1)
≈ 0 atau
Contoh: f ( x) = x 6 − x − 1 = 0 Ditentukan taksiran awalnya adalah : X1 = 1 X2 = 2
f (1) = 16 −1 −1 = −1 f (2) = 26 − 2 −1 = 61
61(2 −1) xn+1 = 2 − = 1,016129 61− (−1)
Tabel hasil perhitungan: N No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
f( ) f(x)
1 2 1.016129 1.030675 1.175689 1.123679 1.133671 1.134753 1.134724
-1 61 -0.915368 -0.831921 0.465227 -0.110633 -0.010806 0.000294 -7.48E-07
5. 5 Metode Newton Rhapson • Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan Jika perkiraan dari akar persamaan. adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi). ) Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar. akar
y
x2
x1
x
Algoritma : • Tentukan nilai x1 sebagai terkaan awal • Buat taksiran untuk x1+n dengan persamaan : f ((xxn ) xn +1 = xn − ' f ( xn )
• Perhitungan dihentikan jika f(x yang g ditentukan 0 atau Є = y
n+1)
≈
Contoh : f ( x) = x − x − 1 = 0 6
Ditentukan taksiran awal x1 = 2
f (2) = 2 − 2 −1 = 61 6
f ( x) = 6x −1 = 0 '
5
f (2) = 6(2) − 1 = 191 '
61 x2 = 2 − = 1,680628 191
5
Tabel hasil perhitungan: No. 1 2 3 4 5 6 7
x
f(x)
f'(x)
2 1.680628 1.430739 1.254971 1.161538 1.136353 1 134731 1.134731
61 19.85294 6.146795 1.651657 0.29431 0.016826 6 57E-05 6.57E-05
191 79.44695 34.97107 17.67754 11.68584 10.36889 10 28795 10.28795
6. Metode Iterasi Fixed Point Poi t • Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara membuat fungsi f(x) menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0 kemudian x=g(x), iterasi yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan; xn+1 = g(xn)
Algoritma : • Tentukan nilai taksiran awal xn • Lakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan persamaan; Xn+1=g(x ( n) • Perhitungan dihentikan jika; xn+1 − xn ≤ ε
Contoh: X2 - 3x + 1 = 0 3x = x2 + 1 X = 1/3
(x2
+1)
ε = 0,001 , Ditentukan x0 = 2 X= 1/3(22+1) = 1,667 Іx1 – x0І= 1,667 , – 2 = 0,333 ,
Tabel Hasil Perhitungan
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Xn 2 1.6667 1.2593 0 8619 0.8619 0.5810 0.4458 0 3996 0.3996 0.3866 0.3831 0 3823 0.3823
Іxn - x n+1І 0.3333 0.4074 0 3973 0.3973 0.2809 0.1351 0 0462 0.0462 0.0130 0.0034 0 0009 0.0009
