LARGE SCALE SYSTEM Course by Dr. Aris Triwiyatno, ST, MT Dept. of Electrical Engineering – Diponegoro University
BAB III KESTABILAN SISTEM
III.1. KESTABILAN BERDASARKAN POSISI EIGEN VALUE Dari persamaan sistem pada persamaan, dapat dicari eigen value. Eigen value sistem diperoleh dari persamaan karakteristik sistem. Persamaan tersebut adalah:
λI − A = 0
(3.1)
di mana λ adalah eigen value sistem. Banyaknya eigen value tergantung dari banyaknya state. Suatu sistem dikatakan stabil, jika dan hanya jika semua eigen value sistem tersebut berada pada bagian negatip bidang kompleks. Dengan dekomposisi pada bagian II.4., maka sistem dikatakan stabil jika dan hanya jika semua strongly coupled system-nya stabil,
Contoh 3.1.: Dari sistem pada contoh 2.1., apabila tiap subsistem adalah orde 1 dengan konstanta waktu (T) untuk tiap subsistem adalah 1, 0.5, 0.2, 0.2, 0.2, 1, 0.5, 1, 1, dan dengan dekomposisi seperti pada contoh 2.4., tentukan persamaan sistem tiap
LARGE SCALE SYSTEM Course by Dr. Aris Triwiyatno, ST, MT Dept. of Electrical Engineering – Diponegoro University
strongly coupled system., dan tentukan juga persamaan keseluruhan sistem model input-output.
Penyelesaian: Dengan konstanta waktu di atas, maka didaptkan persamaan sistem untuk tiap strongly coupled system sebagai berikut: SCS I (level 4)
x& 1
= -x1 + u1
y1
= x1
SCS 2 (level 3)
x& 2
= -2x2 + 2u2
y2
= x2
SCS 3 (level 2)
0 0 0 x& 3 − 5 1 1 0 x& 4 1 − 5 0 x& = 0 0 −5 1 0 5 1 1 −1 1 x& 6 0 x& 0 0 1 − 2 7 0 y3 1 0 y4 0 1 y = 0 0 5 y6 0 0 y 7 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
x3 x4 x 5 x6 x 7
x3 5 0 x4 0 5 x + 0 0 5 x6 0 0 x 7 0 0
0 0 5 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 2
u3 u4 u 5 u6 u 7
LARGE SCALE SYSTEM Course by Dr. Aris Triwiyatno, ST, MT Dept. of Electrical Engineering – Diponegoro University
SCS 4 (level 1)
1 x& 8 − 1 = x& 9 1 − 1
x8 1 0 u8 + x9 0 1 u 9
y8 1 0 x8 = y9 0 1 x9 (3.2) Sedangkan persamaan keseluruhan sistem model input-output adalah: x& 1 − 1 x& 2 1 x& 0 3 x& 4 0 & x5 = 0 x& 6 0 x& 7 0 x& 0 8 x& 9 0 y1 1 y2 0 y 0 3 y4 0 y5 = 0 y6 0 y7 0 y 0 8 y 0 9
0 −2
0 0
0 0
0 0
0 0
1
−5
1
0
0
0
0
0
1
−5
0
1
0
0
0 0
0 0
0 1
−5 1 0 1 −1 1
0 0
0
0
0
0
1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0
0 0
−2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
−1 1
0 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0 x6 0 x7 1 x8 − 1 x 9
+
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 u1 2 0 0 0 0 0 0 0 u 2 0 5 0 0 0 0 0 0 u3 0 0 5 0 0 0 0 0 u 4 0 0 0 5 0 0 0 0 u5 0 0 0 0 1 0 0 0 u6 0 0 0 0 0 2 0 0 u 7 0 0 0 0 0 0 1 0 u8 0 0 0 0 0 0 0 1 u 9
x1 x2 x 3 x4 x5 x6 x7 x 8 x 9
(3.3)
Contoh 3.2.: Dari sistem pada contoh 3.1., tentukan kestabilan sistemnya.
LARGE SCALE SYSTEM Course by Dr. Aris Triwiyatno, ST, MT Dept. of Electrical Engineering – Diponegoro University
Penyelesaian: Eigen value masing-masing strongly coupled system adalah sebagai berikut: SCS1, mempunyai eigen value pada λ1 = -1 SCS2, mempunyai eigen value pada λ2 = -2 SCS3, mempunyai eigen value pada λ3 = -4.1232; λ4 = -5,239; λ5 = -6.1325; λ6 = -2.4371; λ7 = -0.0681
SCS4, mempunyai eigen value pada λ8 = -2; λ9 = 0 Terdapat satu eigen value, yaitu λ9 yang bernilai 0, sehingga SCS4 tidak stabil, yang mengakibatkan sistem tidak stabil. Sistem yang tidak stabil dapat distabilkan dengan menggunakan pengendalian terdesentralisasi dengan syarat sistem tersebut tidak memiliki fixed mode terdesentralisasi.
III.2. KESTABILAN TERKONEKSI Hal penting dalam sistem skala besar adalah gangguan yang terjadi dalam strukturnya, baik secara intensif oleh desain maupun tidak intensif oleh kesalahan. Jadi hal yang mendasar adalah pengaruh gangguan sistem terhadap sistem. Kestabilan terkoneksi diperlukan untuk mengetahui stabil tidaknya hubungan antar sub sistem di dalam suatu sistem skala besar. Jika diketahui sub sistem: N
x& i = A i x i + ∑ E i x i , di mana i=1, . . ., N j=1 j≠ i
dengan asumsi, tiap subsistem
(3.4)
LARGE SCALE SYSTEM Course by Dr. Aris Triwiyatno, ST, MT Dept. of Electrical Engineering – Diponegoro University
x& i = A i x i
(3.5)
stabil. Dengan memilih matriks H yang semi definit positip, maka matriks positif definit P bisa diperoleh dengan menggunakan persamaan Lyapunov
A i Pi + Pi A i + H i = 0 T
(
(3.6)
Fungsi ν i (x i ) = x i Pi x i T
)
1
2
adalah fungsi Lyapunov yang memenuhi persamaan
λ m2 (Pi ) x i ≤ ν i (x i ) ≤ λ M2 (Pi ) x i 1
1
(3.7)
di mana λm dan λM adalah eigen value minimum dan maksimum. Fungsi Lyapunov adalah fungsi Lipschitz dengan persamaan:
ν i (x i ) − ν i ( y i ) ≤ L i x i − y i
(3.8)
Konstanta Lipschitz pada persamaan 3.8 di atas adalah
Li =
λM
1
λm
1
2
2
(Pi ) (Pi )
(3.9)
dan intekoneksinya memenuhi persamaan a ij x i ≤ ζ ij x j
(3.10)
sehingga, ζ ij = λ M
1
2
(a
T ij
* a ij
)
(3.11)
Matriks S mempunyai elemen:
,i = j −1 s ij = 1 −1 2 2L i λ M (Pj )λ m (H j )ζ ij , i ≠ j
(3.12)
Kriteria untuk menyatakan suatu sistem adalah stabil terkoneksi ~
~
diperkenalkan oleh S iljak (1978). S iljak menyatakan bahwa suatu sistem stabil terkoneksi adalah jika dan hanya jika quasi-dominancy,
LARGE SCALE SYSTEM Course by Dr. Aris Triwiyatno, ST, MT Dept. of Electrical Engineering – Diponegoro University
s11 s (− 1)k 21 M s k1
s 12 s 22 M s k2
L s 1k L s 2k >0 O M L s kk
(3.13)
untuk k = 1, 2, …, N
Contoh 3.3.: Dari sistem pada contoh 3.1., tentukan kestabilan terkoneksinya jika diberikan matriks H = diag(1,2,1,1,1,2,1,2,1).
Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan Lyapunov (3.6) diperoleh Pi yang merupakan matriks diagonal. Elemen-elemen matriks Pi adalah sebagai berikut: P1=0.5,
P2=0.5,
P3=0.1,
P4=0.1,
P5=0.1,
P6=1,
P7=0.25,
P8=1,
P9=0.5
(3.14)
Karena tiap sub sistem adalah orde satu, maka eigen value dari matriks Pi, yaitu λ(Pi) mempunyai nilai yang sama dengan Pi. Eigen value Pi yang diperoleh adalah sebagai berikut: λ(P1)=0.5,
λ(P2)=0.5,
λ(P3)=0.1,
λ(P4)=0.1,
λ(P5)=0.1,
λ(P6)=1,
λ(P7)=0.25,
λ(P8)=1,
λ(P9)=0.5
(3.15)
Li diperoleh dari persamaan konstanta Lipschitz (Persamaan 3.9). Dari perhitungan diperoleh:
LARGE SCALE SYSTEM Course by Dr. Aris Triwiyatno, ST, MT Dept. of Electrical Engineering – Diponegoro University
L1=0.7071,
L2=0.7071,
L3=0.3162,
L4=0.3162,
L5=0.3162,
L6=1,
L7=0.5,
L8=1,
L9=0.7071
(3.16)
ζij diperoleh dengan menggunakan persamaan 3.11. ζij yang diperoleh adalah: ζ21 = λM1/2 (G21T * G21) ζ21 = λM1/2((1)*(1)) ζ21 = λM1/2(1) ζ21 = 1 ζ32 = λM1/2 (G32T * G32) ζ32 = λM1/2((1)*(1)) ζ32 = λM1/2(1) ζ32 = 1 ζ34 = λM1/2 (G34T * G34) ζ34 = λM1/2((1)*(1)) ζ34 = λM1/2(1) ζ34 = 1 ζ43 = λM1/2 (G43T * G43) ζ43 = λM1/2((1)*(1)) ζ43 = λM1/2(1) ζ43 = 1 ζ46 = λM1/2 (G46T * G46) ζ46 = λM1/2((1)*(1)) ζ46 = λM1/2(1) ζ46 = 1 ζ56 = λM1/2 (G56T * G56) ζ56 = λM1/2((1)*(1)) ζ56 = λM1/2(1) ζ56 = 1 ζ64 = λM1/2 (G64T * G64) ζ64 = λM1/2((1)*(1)) ζ64 = λM1/2(1) ζ64 = 1 ζ65 = λM1/2 (G65T * G65) ζ65 = λM1/2((1)*(1)) ζ65 = λM1/2(1) ζ65 = 1 ζ67 = λM1/2 (G67T * G67) ζ67 = λM1/2((1)*(1)) ζ67 = λM1/2(1) ζ67 = 1 ζ76= λM1/2 (G76T * G76) ζ76 = λM1/2((1)*(1)) ζ76 = λM1/2(1) ζ76 = 1 ζ78 = λM1/2 (G78T * G78) ζ78 = λM1/2((1)*(1)) ζ78 = λM1/2(1) ζ78 = 1 ζ79 = λM1/2 (G79T * G79) ζ79 = λM1/2((1)*(1)) ζ79 = λM1/2(1) ζ79 = 1 ζ89 = λM1/2 (G89T * G89) ζ89 = λM1/2((1)*(1)) ζ89 = λM1/2(1) ζ89 = 1 ζ98 = λM1/2 (G98T * G98) ζ98 = λM1/2((1)*(1)) ζ98 = λM1/2(1) ζ98 = 1 (3.17) Elemen-elemen matriks S diperoleh dari persamaan 3.12. Elemenelemennya adalah sebagai berikut: S11 = S22 = S33 = S44 = S55 = S66 = S77 = S88 = S99 = -1
LARGE SCALE SYSTEM Course by Dr. Aris Triwiyatno, ST, MT Dept. of Electrical Engineering – Diponegoro University
S21 = 2 L2 λM1/2(P1) λm-1(Q1) ζ21 = 2 0.7071 0.7071 1 1 = 1 Dengan cara yang sama dengan cara mendapatkan S21, diperoleh S32, S34, S43, S46, S56, S64, S65, S67, S76, S78, S79, S89, S98, sehingga 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 .1 − 1 0 .2 0 0 0 0 0 0 0 .2 −1 0 0.3162 0 0 0 0 S = 0 0 0 0 −1 0.3162 0 0 0 (3.18) 0 0 0 0.6325I 0.6325 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 .5 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 1.4142 − 1 0 0 0 0 0 0.7071 0.7071 0
Quasy dominancy matriks S di atas adalah sebagai berikut: k=1 (− 1 )1
−1 = 1
k=2 (− 1 )2
−1
0
1
−1
k=3 (− 1 )3
>0 =1
−1 0 1 −1 0
k=5 (− 1 )5
0 0
>0
0 0
0 0
0 .1 − 1 0 . 2 0 0 .2 − 1
−1 0 1 −1 0 0 0
0 0 =1
0. 1 − 1
−1 0 −1 4 1
k=4 (− 1 )
>0
0 0
0 0
= 0.96
>0
0 0
0.1 − 1 0.2 0 = 0.96 0 0 .2 − 1 0 0 0 0 −1
>0
LARGE SCALE SYSTEM Course by Dr. Aris Triwiyatno, ST, MT Dept. of Electrical Engineering – Diponegoro University
0 −1 0 1 −1 0 6 0 0.1 − 1
k=6 (− 1 ) 0
−1 0 1 −1
k=7 (− 1 )7
0 0
0. 1 − 1 0 0. 2
0 0
k=8 (− 1 )
0 0
0 0
0 0
0 .2 −1
0 0
0 0.3162
= 0.568
0 0 = 0.088
0 0.3162 −1 0.6325 0.6325 −1
0 0
0
0
0
0
0
0. 5
−1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0. 2 −1
0 0
0 0.3162
0 0
0 0
0 0.3162 −1 0.6325 0.6325 −1
0 1
0 0
0 .1 − 1 0 0 .2
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 .1 − 1 0 0 0 .2 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
>0
0 0
0 0
−1 0 1 −1
k=9 (− 1 )9
0 0 0
0 0
−1 0 1 −1 8
0 0 0
0.2 0 0.3162 −1 0 0 0.3162 −1 0 0.6325 0.6325 −1
0 0 0
0 0
0 0 0.2
>0
0 1
= 0.088
−1 0 1 −1
0 .5 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 .2 −1
0 0
0 0.3162
0 0
0 0
0 0
0 1 −1
0 0 0
0 0 0
0 0.3162 −1 0.6325 0.6325 −1 0 0 0 .5 0 0
0 0
0 0
>0
= 1.688.10
-3
>0
1 − 1 1.4142 0.7071 0.7071 −1
(3.19) Dari perhitungan di atas, maka terlihat quasy dominancy matriks S di atas positip. Karena sistem stabil terkoneksi jika quasy dominancy positip, maka sistem di atas adalah stabil terkoneksi.
