Tóth Imre Bécstől Temesvárig: Bolyai János útja a nemeuklideszi forradalom felé

Tóth Imre

˝ Temesvárig: Bolyai János útja a Bécstol nemeuklideszi forradalom felé Surányi László

Szabadság és geometria: logosz és ananké harca a geometriában – Megjegyzések Tóth Imre Bolyai-értelmezéséhez

Tóth Imre

˝ Temesvárig: Bolyai János Bécstol útja a nemeuklideszi forradalom felé Surányi László

Szabadság és geometria: logosz és ananké harca a geometriában – Megjegyzések Tóth Imre Bolyai-értelmezéséhez

A mu˝ megjelenését támogatta a Nemzeti Kulturális Örökség Minisztériuma – Magyar Könyv Alapítvány

és a Bolyai János Matematikai Társulat

c Tóth Imre, Surányi László; Typotex 2002 c Hungarian translation Erdélyi Ágnes; Typotex 2002

ISBN 963 9326 44 5

TARTALOM

I. RÉSZ

T ÓTH I MRE :

Bécst˝ol Temesvárig: Bolyai János útja a nemeuklideszi forradalom felé

7

Bevezetés

9

Bolyai János Bécsben

15

Bolyai János Temesvárt

61

II. RÉSZ

S URÁNYI L ÁSZLÓ :

Szabadság és geometria: logosz és ananké harca a geometriában – Megjegyzések Tóth Imre Bolyai-értelmezéséhez Irodalom

79 121

R K

R PSfrag replacements

I. RÉSZ

Tóth Imre

Bécst˝ol Temesvárig: Bolyai János útja a nemeuklideszi forradalom felé Fordította: Erdélyi Ágnes

Grigori és Cristina Sturdza emlékének

A „szabadság [. . . ] a negatívnak roppant hatalma; [. . . ] a tiszta énnek energiája” (Hegel: A szellem fenomenológiája Budapest, Akadémiai Kiadó, 1961. 24. o.)

B EVEZETÉS A RISZTOTELÉSZ : A Z

EUKLIDESZI HÁROMSZÖG ÉS

E HÁROMSZÖG UNIVERZALITÁSA

A filozófiai irodalomban már több mint egy évezred óta ugyanazt a geometriai tételt idézik nem évül˝o példaként, ha egy önmagában véve szükségszer˝u, örök, abszolút – s ezért nem is megcáfolható – igazság létezésér˝ol kívánják meggy˝ozni az olvasót: „A háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenl o˝ ”. Több mint egy évezrede ismétlik a kommentátorok, hogy a háromszögnek ebben a tulajdonságában már Arisztotelész annak példáját látta, ami önmagában szükségszer˝u.1 A corpus aristotelicumban valóban ez a tétel áll a matematikai példatár élén. Az Arisztotelészre jellemzo˝ elliptikus megfogalmazásban – „háromszög két derék[-szög]” – az állítás több mint ötvenszer el˝ofordul. Ámde hagyományos értelmezésével ellentétben Arisztotelész nem a szükségszer˝uség, hanem a katholi citás, a a kivétel nélküli egyetemesség paradigmájaként idézi. Euklidész az Elemekben kifejezetten univerzális állításként fogalmazza meg a tételt: „Minden háromszög három belso˝ szöge két derékszöggel egyenl˝o” (elem. I. 32.2). Ugyanezt a megfogal1 Klasszikus példa „az abszolút szükségszer˝ u állításra az a tétel, hogy a háromszögben a szögek összege szükségképpen két derékszöggel egyenl o˝ [. . . ], azaz lehetetlen, hogy valami háromszög legyen, és szögeinek összege eltérjen két derékszögt˝ol” (G. Patzig: Die aristotelische Syllogistik. Göttingen, 1969. 33. o.) – Az az elképzelés, hogy ez a tétel egy önmagában szükségszer˝u igazságot mutat be, Afrodiziai Alexandrosz óta nyomon követheto˝ a kommentárokban (vö. Szimplikiosz, in de cælo, 323. 4–5)

10

˝ T EMESVÁRIG B ÉCST OL

mazást Arisztotelész minden bizonnyal már az Euklidész elo˝ tti Elemekben olvasta. A szükségszer˝uség modalitásának illusztrálására Arisztotelész egy másik geometriai tételt hoz fel: „a négyzet átlója nem összemérhet˝o az oldalakkal”. Ennek ellentéte – „az átló összemérheto˝ az oldalakkal” – abszolút lehetetlen, logikai ellentmondás (de cælo 281b12–14; metaph. 10l9b24–27). Elo˝ fordulásának gyakoriságát tekintve a négyzetátló inkommenzurabilitásának tétele a második helyen áll a listán: a tétel több mint negyven idézetben szerepel. Az univerzalitás nyilvánvalóan nem ugyanaz, mint a logikai szükségszer˝uség, és a két geometriai példának sem ugyanaz az ontológiai státusa Arisztotelésznél. Hiszen írásaiban az euklideszivel szembenálló, antieuklideszi állítás is elo˝ fordul: „a háromszög szögeinek összege nem egyenlo˝ két derékszöggel”. És a corpus aristotelicum szövegkörnyezetében az antieuklideszi állítás nemcsak heterodox tartalma miatt föltüno˝ : összesen tizenegy idézetben szerepel, s ez a szám még nagyobb, ha azt is figyelembe vesszük, hogy a vele tartalmilag ekvivalens, ám az euklidészi geometria szokásos teorémáival ellentétes antieuklideszi állításokat Arisztotelész további négy alkalommal említi.2 Matematikai példatárában a harmadik helyen ezek az euklideszi állításokkal formailag szembehelyezkedo˝ állítások szerepelnek, a negyedik helyen pedig a kör négyszögesítése, mely három, az összes többi matematikai példa viszont legfeljebb két, többnyire azonban csupán egyetlen idézetben fordul elo˝ . Ám ezek az antieuklideszi állítások soha nem valamilyen lehetetlenség példájaként szerepelnek a m˝uben, és végképp nem olyan feltevésként, 2 A megfelel˝o szöveghelyek, ahol ezek a heterodox, antieuklideszi állítások találhatók, a következo˝ k: (1) anal. prior. 66a10–15; (2) anal. post. 77a36–b15; (3) 90a13; (4) 90a33–34; (5) 93a32–35; (6) phys. 200a15–30; (7) de cælo 281b5–7; (8) problem. XXX. 7. 956a15–17; (9) metaph. 1052a6–7; (10) EN 1140b13–20; (11) MM 1187a29–b14; (12) EE 1222b15–42. Arra vonatkozóan, hogy miként ágyazódnak be ezek a helyek az arisztotelészi m˝ube, és hogyan értékelhet o˝ k a m˝u szövegkörnyezetében, lásd Hellmut Flashar, Aristoteles, in: Überwegs Philosphie der Antike. 3. kötet, Basel – Stuttgart, 1983. 420. o.

B EVEZETÉS

11

amelynek logikai ellentmondásra kellett volna vezetnie, vagy arra vezethetett volna. De az mégiscsak különös, hogy a lehetetlen mint modális predikátum mindössze egyszer fordul elo˝ a háromszög szögeinek összegével kapcsolatban. A de cælo 281b5–7, amely rendkívüli kifejez˝oereje folytán amúgy is szembet˝uno˝ , feltételesen a szögek összegének tulajdonítja a lehetetlen predikátumát, ámde ellentétben azzal, amit várnánk, itt nem az antieuklideszi, hanem – minden várakozásunkkal szemben – az euklideszi háromszög szögeinek összegér˝ol van szó. Arisztotelésznél nagyon gyakran fölbukkan az a szintetikus kijelentés, melynek alanya a háromszög, és amely ehhez a szubjektum-fogalomhoz egy nemeuklideszi szögösszeget rendel predikátumként, vagyis azt állítja, hogy a háromszög szögeinek öszszege nem egyenl˝o két derékszöggel. Ez a kijelentés egyszer sem úgy szerepel, mint a logikai inkonzisztencia példája, még csak célzás sincs arra, hogy valamilyen rejtett ellentmondást foglalhatna magában. Ilyen körülmények között teljesen értheto˝ , és valószín˝uleg nem is véletlen, hogy ahhoz az euklideszi tételhez, mely szerint a háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenl˝o, Arisztotelész soha nem rendeli hozzá a szükségszer˝uség vagy a másként-nem-lehetséges modális predikátumát. A számos premissza közül, mely az elem. I. 32.2-ben szerepl˝o tételb˝ol – ez állítja, hogy a háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenl˝o – levezethet˝o, kett˝onek van különös jelent˝osége. Az egyik az egyenes végtelenségét posztulálja, a másik pedig azt állítja, hogy ugyanabban a síkban két egyenes metszi egymást, ha egymás felé konvergál, azaz egymáshoz viszonyítva ferdén fut. Az utóbbi állítás explicit formában szerepel az Elemek posztulátumai között, s eleinte semleges kifejezéssel Ötödik Követelménynek nevezték (vö. Proclus, elem., Leipzig, 1873. 183. o. és passim), késo˝ bb azonban az euklideszi párhuzamos-posztulátum névvel illették. Az itt használt, minden további nélkül érthet˝o, köznapi nyelven megfogalmazott állítást a következ˝oképpen lehet lefordítani a kicsit titokzatosan csengo˝ geometriai szaknyelvre: „minden komplanáris, és nem koortogo-

12


nális3 egyenespár incidens egymással”. Rövidebben megfogalmazva: „a konvergencia incidenciát implikál”. A rövidség végett ezt a tételt több alkalommal az „E” kezdo˝ bet˝uvel fogom helyettesíteni. Ugyanezt az akroním szimbólumot fogom gyakran az euklideszi szó helyett is használni. Egy tétel a szó szigorú értelmében véve akkor euklideszi, vagyis E-tétel, ha vagy azonos ez E euklideszi axiómával, vagy E elengedhetetlen alkotóeleme a bel˝ole levezethet˝o tételeknek. Valamivel pontosabb megfogalmazásban: egy tétel tehát akkor euklideszi, ha E segítségével levezethet˝o, nélküle viszont nem. A háromszöget az elem. I. 32.2ben megfogalmazott tulajdonsága – az, hogy szögeinek összege két derékszöggel egyenl˝o – kitüntetetten euklideszivé teszi, a jellegzetes „E” predikátummal látja el. Az E formális negációját a „non-E” akroním szimbólummal fogom jelölni. Non-E explicit formája a következo˝ képpen hangzik: „nem minden nem koortogonális egyenespár incidens”. Ennek közvetlen folyománya non-E állító formája: „léteznek nem koortogonális, s ugyanakkor nem incidens egyenespárok”. Ebb o˝ l viszont közvetlenül következik, hogy ezen egyenesek aszimptotikusan konvergálnak egymáshoz, de soha nem metszik egymást. A non-E tétel állítja, Euklidész E posztulátuma viszont tagadja az egyenes aszimptoták létezését. A non-E tétel nyilvánvalóan nem fogalmaz meg univerzális állítást az univerzális E tétel formális negációjaként. A non-E segítségével elo˝ állított és a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel mégis univerzális állítás: „a szögek összege minden háromszögben kisebb két derékszögnél”. A szakirodalom a non-E tételeket mindig a nemeuklideszi terminussal jelöli. Én ett˝ol a bevett szóhasználattól eltér˝oen mégis 3 Két egyenes ortogonális, ha mero ˝ leges egymásra. Két egyenes koortogonális, ha legalább egy olyan harmadik egyenes – egy közös szel o˝ – megadható, amely mindkett˝ore ortogonális, vagy, ami ugyanazt jelenti, ha legalább egy egyenes húzható úgy, hogy a közös szelo˝ azonos oldalán lévo˝ két bels˝o szög együtt 2 derékszög legyen. Nem koortogonális két egyenes, ha nincs olyan harmadik egyenes, amely mindkett˝ore ortogonális. Két egyenes komplanáris, ha ugyanabban a síkban van.

B EVEZETÉS

13

mindenekel˝ott az antieuklideszi metanyelvi predikátummal fogom jelölni ezeket a tételeket. Ezzel már ehelyütt világossá teszem, hogy az antieuklideszit élesen meg kell különböztetni a nemeuklideszit˝ol. Tárgynyelvi kifejezésként az antieuklideszi non-E tétel szövegbeli megjelenése formálisan vagy pusztán tipográfiailag teljesen azonos azzal, ahogy a nemeuklideszi non-E tétel tipográfiailag megjelenik a szövegben. Az antieuklideszi és a nemeuklideszi non-E közti különbség az E és non-E viszonyának metamatematikai interpretációjában fellelhet˝o radikális különbségnek felel meg – egy olyan mély különbségnek, amely a geometriai gondolkodás metafizikai vonatkoztatási rendszerében rejlik, és amelynek magyarázata csak a kés˝obbiek során válik lehet˝ové.

B OLYAI JÁNOS B ÉCSBEN E UKLIDESZI BESZÉD , ANTIEUKLIDESZI ELLENBESZÉD . A GONOSZ DEMIURGOSZ ÉS AZ ESPRIT DE GÉOMÉTRIE BOLDOGTALAN TUDATA

Az ész a maga titkos dialektikáját [. . . ] egyetlen lehetséges esetben fedi fel akarata ellenére: ha általánosan elfogadott elvekre alapoz egy állítást, miközben egy másik, éppoly hitelesnek tekinthet˝o elvb˝ol – gondosan követve és pontosan alkalmazva a következtetés szabályát – ennek az állításnak az ellenkez˝ojét vezeti le. Kant: Prolegomena, 52. B §.

B OLYAI JÁNOS ABSZOLÚT

GEOMETRIÁJA

A Gauss körül csoportosuló sz˝ukebb tanítványi körben – ide tartozott a két Bolyai, Farkas és János is – már a voltaképpeni nemeuklideszi geometria megalapozása elo˝ tt használták alkalmi kifejezésként az antieuklideszi terminust, mégpedig az euklideszi tételeknek formálisan ellentmondó és igazságértéküket tekintve hamisnak nyilvánított tételek átmeneti jelölésére. A geometriai nyelvnek azonban nem minden állítása vagy euklideszi vagy antieuklideszi tétel. Így például az az axióma, mely szerint az egyenes végtelen, se nem euklideszi, se nem antieuklideszi állítás. Az egyenes végtelenségének axiómájával – nélküle viszont nem –, ugyanakkor E nélkül és non-E nélkül is igazolható például az elem. I. 27–28-ban található tétel igazsága: „a koortogonális egyenespárok nem incidensek”. Ez a tétel alapvet˝o jelent˝oség˝u a geometria – mind az euklideszi, mind a nemeuklideszi geometria – felépítése szempontjából, maga a tétel azonban se nem euklideszi, se nem antieuklideszi. Azok a teorémák, melyeknek igazsága E nélkül és non-E nélkül is bizonyítható, de az egyenes végtelenségének axiómája nél-

16


kül nem, összességükben önálló rendszert alkotnak, mely a Bolyai-féle abszolút geometria néven ismert. Eszerint a koortogonális, ám nem incidens egyenespárok létezése abszolút. Ilyen egyenespárok léteznek, függetlenül attól, hogy E-nek az igazság értékét tulajdonítjuk vagy sem, azaz függetlenül attól, hogy „minden nem koortogonális egyenespár incidens” vagy sem. Az Elemek els˝o könyvének utolsó definíciója – az elem. I. def. 23. – a párhuzamosság fogalmának definícióját tartalmazza: „Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban fekszik, és mindkét irányban végtelenül meghosszabbítva sem metszi egymást.” Látszatra itt egyszer˝u szemantikai szabályról van szó, amely csupán a párhuzamos szó és a nem-incidens kifejezés szinoním voltát szögezi le. Ebb˝ol pedig nyilvánvalóan következik, hogy akárcsak az incidencia és a nem-incidencia, a párhuzamosság is olyan reláció, amely a teljes, azaz a végtelenig meghosszabbított egyenespárokat kapcsolja össze egymással. A látszat azonban csal. Ez a szinonimitás csupán az euklideszi geometriában áll fönn. Csak az euklideszi geometriában párhuzamosak is a nem-incidens egyenesek, a párhuzamosság csak az euklideszi geometriában tulajdonsága a teljes egyenespároknak. Ez volt az egyik legdönt˝obb felfedezés, és erre Bolyai János már bécsi tanulóévei kezdetén rájött (P. Stäckel: Wolfgang und Johann Bolyai, Leipzig, 1923. 80. o.). A párhuzamosság – akárcsak a nem-incidencia – abszolút tulajdonság. De szemben a nem-incidenciával, ez a tulajdonság nem az ugyanabban a síkban fekv˝o egyeneseket, hanem csupán az ugyanabban a félsíkban fekv˝o félegyeneseket illetheti meg: ugyanabban a félsíkban két félegyenes párhuzamos, ha (1) nem incidens, és ha ezen túlmen o˝ en (2) a félsíkban húzható minden teljes egyenes, amely az egyik félegyenessel incidens, egyúttal a másik félegyenesen is átmegy. Az euklideszi párhuzamosok egyenl˝o távolságra vannak egymástól – a nemeuklideszi párhuzamosok viszont aszimptotikus egyenespárok. Ezt a „félegyenesek párhuzamosságának” bináris relációját megadó definíciót tartalmazta a Scientia spatii absolute vera elso˝

B OLYAI JÁNOS B ÉCSBEN

17

mondata. A m˝u el˝oször különlenyomatként jelent meg 1831 júniusában, majd 1832-ben az apa, Bolyai Farkas egyik m˝uvének függelékeként, a Typis Collegii Reformatorum per Josephum, et Simonem Kali de fels˝o Vist in Agropolis sive Maros-Vásárhelyini cím˝u írással együtt, éspedig – mint a kéziraton olvasható – de Auctore, Johanne Bolyai de Eadem, Geometrarum in Exercitu Caesareo Regio Austriaca Castrensium Capitaneo (vö. E. Sarlóska: Bolyai János – a katona. In: Magyar Tudományos Akadémia mat. fiz. Közl. 1965. 14. ábra). Az egyenesoldalú háromszög létezését kimondó állítás szintén az abszolút geometria tétele. S˝ot: azt, hogy ilyen háromszög létezik, az egyenes végtelenségének axiómája nélkül – éspedig egy elemi konstrukció segítségével – bizonyítani lehet. Abból ugyanis, hogy a háromszög feltétlenül létezik, már következik, hogy szögeinek meghatározott összege is van, ám sem az nem következik feltétlen létezéséb˝ol, hogy a szögek összege egyenl˝o, sem az, hogy nem egyenl˝o két derékszöggel. A háromszög lényegéhez feltétel nélkül csupán annyi tartozik, hogy szögeinek meghatározott összege van, több nem. A RISZTOTELÉSZ :

A HÁROMSZÖG EUKLIDESZI ÉS

ANTIEUKLIDESZI LÉNYEGE

Ezt minden bizonnyal már az Akadémia geométerei is tudták. Erre utal két figyelemre méltó hely az analytica posteriora II. 2ben, ahol Arisztotelész a háromszög mint háromszög létezése szempontjából a szögek összegét jelöli meg a lényeget meghatározó okként (90a9–10), a háromszög˝u idom abszolút szubsztanciájaként (90a12), ám ez az összeg lehet egyenl˝o két derékszöggel, de az is lehet, hogy nem egyenl˝o vele (90a12–13). A háromszög lényegi okát következésképpen akkor ismerjük meg, ha ismerjük szögeinek összegét, amely „vagy egyenlo˝ két derékszöggel, vagy nagyobb, vagypedig kisebb nála” (90a31–34). Valamivel kés˝obb, az anal. poster. II. 6-ban az euklidesziantieuklideszi alternatíva er˝osen kiélezett formában jelenik meg az olvasó el˝ott. Itt nem különböz˝o szögösszeg˝u háromszög-ido-

18


mok semleges egymás mellé helyezéséro˝ l van szó, hanem a rájuk vonatkozó állítások nyílt ütköztetéséro˝ l: az állítások ehelyütt kontradiktorikus oppozícióban állnak egymással. Az pedig – így kommentálja Arisztotelész – „a tudományos kutatás feladata” (93a32), „hogy megállapítsa, a két szembenálló tétel közül melyik alkotja a háromszög logoszát” (93a34), az-e, „amelyik azt állítja, hogy szögeinek összege egyenlo˝ , vagypedig az, amelyik azt állítja, hogy szögeinek összege nem egyenlo˝ két derékszöggel” (93a32–35). Az alternatíva elismerése itt explicit módon megfogalmazódik, ámde logosz – ez annyit jelent, hogy igazság, alap, ok, raison d’être – csak a két állítás egyikét illetheti meg: a háromszög létalapjának csak az adott kontextusban egyaránt lehetségesként megjelen˝o két szögösszeg egyikét tekinthetjük. De mégis melyiket? A kérdés nyitva marad. Választ sem itt, sem a többi olyan helyen nem kapunk – de még csak célzást sem találunk rá –, ahol szó van annak a két állításnak az ellentétéro˝ l, mely szerint a szögek összege egyenl˝o, illetve nem egyenl˝o két derékszöggel.4 4 Georges J. Kayas Aristote et le géométries non-éuclidiennes avant et après Euclide címmel három tanulmányt közölt, hogy cáfolja azt a tézist, „suivant laquelle des idées sur l’existence des géométries non-euclidiennes aurait été développées par les Grecs bien avant Euclide au courant de IVe siècle [mely szerint a nemeuklideszi geometriák létezésének eszméje a görögöknél már Euklidész el o˝ tt, a IV. század folyamán kialakult volna]” (126). A szerzo˝ véleménye szerint ezt a tézis képviseltem én Das Parallelenproblem im corpus aristotelicum cím˝u könyvemben (Berlin – Heidelberg – New York, 1967.) és egy cikkben, mely a Scientific American-ben jelent meg „Non-Euclidean Geometry before Euclid” címen (1969. nov.). Az anal. post. 90a33–34 helyet Kayas helyesen úgy fordítja, hogy „(la propriété du triangle) d’avoir pour somme des angles deux angles droits, ou bien plus ou bien moins (que deux droits)” [(a háromszög ama tulajdonsága), hogy szögeinek összege két derékszög, vagy több, vagy pedig kevesebb (két derégszögnél)]. Kayas ennek a mondatnak tagadhatatlanul elegáns és metodológiai szempontból eredeti interpretációt ad: „tout au plus” [mindent egybevetve] csak arra gondolhatunk, adja elo˝ , hogy Arisztotelész egyfajta „enquète dans la rue”-t végzett [közvéleménykutatást végzett az utcán] a háromszög szögeinek összegér˝ol, és „ recevrait les trois réponses possibles [. . . ] selon le degré de culture mathématique des personne interrogées” [és erre ezt a három lehetséges választ kapta attól függ˝oen, hogy milyen szint˝u volt a megkérdezettek matematikai kultúrája].


19

S˝ot, a Nikomakhoszi etikában Arisztotelész egyenest az erkölcsi gyakorlat körében a cselekvo˝ el˝ott álló alternatívák ellenpéldájaként hivatkozik az euklideszi és az antieuklideszi tétel ellentétére. Ám míg az etikai szférában az ítélo˝ képesség korrumpálható, addig annak a geometriai alternatívának az esetében, hogy „a szögek összege egyenl˝o vagy nem egyenl˝o két derékszöggel”, az ítéletalkotást „nem zavarja vagy korrumpálja olyasmi, ami örömet szerez vagy szenvedést okoz nekünk” (1140b13–15). A

HOLNAPI TENGERI CSATA A GEOMETRIÁBAN

Az egyik Problémában még élesebben és tömörebben tér vissza az euklideszi-antieuklideszi szembeállítás. Ennek a helynek a jelent˝osége nem utolsó sorban abban rejlik, hogy a viszonylag hosszú és részletes szöveget – a problem. XXX. 7 teljes szövegét – Arisztotelész egyetlen központi kérdésnek szentelte, nevezetesen annak a tételnek, hogy a geometriai alternatíva eldönthetetlen. A szerz˝o a mindennapi élet jólismert és jelento˝ s eseményeit idézi fel az öröm és szenvedés (956a27) okozta részrehajló elfogultságnak – az etikai ítélet megvesztegetheto˝ voltának – illusztrálására: „Ha reménykedve várjuk (956a20), hogy az olimpiai játékokon vagy a szalamiszi tengeri csatában gyo˝ zni fogunk, vagy ha a már kivívott gy˝ozelemre emlékezünk, azt mindig örömmel tesszük” – örülünk a magunk és csapatunk kivívott vagy remélt gy˝ozelmének –, „ám soha nem örülünk az ellenkezo˝ jének”, az ellenfél által elért vagy remélt gy˝ozelemnek. A felidézett események itt nyilvánvalóan ellenpéldaként szerepelnek. A problem. XXX. 7 ugyanis valójában a szöveg eleAz egyedüli helyes választ: „deux angles droits” [két derékszög] a „lycéens” [a líceumba járók] adták (189–190. o.). Az nem derül ki Kayas tanulmányából, hogy ezek a „lycéen”-ek az Apollótemplom melletti Lükeionba is jártak-e. Baglyokat nyilvánvalóan fölösleges volna Athénban vinni ahhoz, hogy értelmezését alátámasszuk, elegendo˝ volna a Gallup Intézetet oda telepíteni. (Az anal. post. 93a33–35-öt Kayas nem említi, azt a néhány helyet pedig, amelyet még idéz, az anal. post. 90a33–34-hez hasonló stílusban elemzi).

20


jén megfogalmazott kérdésre kíván válaszolni, amely a következ˝oképpen hangzik: „Miért nem érzünk örömet, amikor azt a teorémát vesszük szemügyre, mely szerint a háromszög bels o˝ szögeinek összege egyenl˝o két derékszöggel, vagy amikor ezt reménykedve várjuk” (956a15)? A „reménykedve várjuk” fordulat már a kérdésfeltevésben magára vonja a figyelmet. A vizsgálat tárgyára – a háromszög szögeinek összegér˝ol megfogalmazott euklideszi teorémára, az elem. I. 32. 2-re – alkalmazva a reménykedve várni kifejezés meglep˝oen, s˝ot meghökkent˝oen hangzik. Éppen Arisztotelész ne ismerte volna a teoréma bizonyítását? Tán nem o˝ maga idézte rá nem jellemz˝o részletességgel Metafizikájában (1051a21–29)? Ám a „reménykedve várni” kifejezés mégiscsak arra utal, hogy a háromszög szögeinek összegére vonatkozó euklideszi tétel és a neki ellentmondó nemeuklideszi tétel között éppen egyfajta geometriai tengeri csata dúlt. De ma még nyilvánvalóan eldöntetlen, hogy ez a geometriai naumakhia holnap az euklideszi teoréma csatahajóinak vagy az ellenséges hajóknak, az antieuklideszi teoréma flottájának gy˝ozelmével fog-e végz˝odni – kés˝obb, 1733-ban ezt nevezte Saccheri inimica hypothesisnek. A kérdésre adott válasz azonban még meglepo˝ bb. Az euklideszi és az antieuklideszi háromszög esetében egészen más a helyzet, mint a mindennapi életben – az olimpiai versenyfutásban vagy a perzsa flottával vívott tengeri csatában –, hiszen ilyenkor nem vagyunk elfogultak, és – amíg az alternatíva eldöntetlen – nem részesítjük el˝onyben egyik lehet˝oséget sem. Nyilvánvalóan lehetne teljesen közömbös is, hogyan fog eld o˝ lni a naumakhia a geometriai Szalamisznál vagy az atlétika Olümpiában. A probléma felvetésekor éles retorikával megfogalmazott „miért” (956a15) kérdésre ugyanis a következo˝ , békés, igazi olimpiai hangulatot tükröz˝o választ kapjuk: „azért, mert akkor is egy és ugyanazon örömöt (956a17–18) éreznénk, ha a szögek összege nem két, hanem – mondjuk – három vagy még több derékszöggel volna egyenl˝o”. Tartalma szerint ez a válasz egyenérték˝u a Nikomakhoszi etikának a geometriai ítélet megvesztegethetetlenségéro˝ l szóló téte-


21

lével. A közvetlenül hozzá kapcsolódó, kicsit rejtélyesen megfogalmazott, ám tartalmilag világos kommentár itt mégis tágabb megvilágításba helyezi a választ, s így az jelento˝ ségteli és mélyebb értelm˝u magyarázatot kap: (mert) „azokban a dolgokban, amelyek megfelelnek a saját természetüknek” – vagy: „a természetnek” –, „csak akkor leljük örömünket, ha valódi létük és igazságuk szerint vizsgáljuk o˝ ket” (956a22–23). Ahelyett, hogy megütköznénk, csodálkoznánk vagy felháborodnánk – mint a metaph. 983a15–20 vagy az EN 1112a20–23 láttán, ahol a kommenzurábilis négyzetátló hipotézisével találjuk szembe magunkat –, itt teljesen részrehajlás nélkül várjuk az igaz tétel gy˝ozelmét, és ez akár az antieuklideszi tétel is lehet, hiszen az alternatíva még nem d˝olt el. Netán Arisztotelész itt úrhatnám polgárként szólal meg, és egy nemeuklideszi nyelven, trianguláris prózában beszél, anélkül, hogy tudna róla? Nem. S˝ot, az sem lehet, hogy tudtán kívül az antieuklideszi irodalom prózáját m˝uvelte, hiszen annak poétikus nyelve csak itt – Arisztotelész imént idézett mondataiban – született meg. Ezen a helyen, a problem. XXX. 7-ben elo˝ ször fogalmazódik meg egy óriási és ugyanakkor hihetetlenül merész gondolat: a priori minden további nélkül feltételezhetünk egy olyan geometriát, amely ellentétes az euklideszivel, és abban a geometriai rendszerben fogjuk örömünket lelni, amelyro˝ l bebizonyosodik, hogy megfelel az igazságnak és a dolgok természetének, még akkor is, ha az történetesen az antieuklideszi. Gauss, Bolyai és Lobacsevszkij elo˝ tt aligha akadt geométer vagy filozófus, aki ugyanolyan jóindulatúan és elo˝ zékenyen vette volna szemügyre az euklideszivel ellentétes geometria leheto˝ ségét, mint Arisztotelész – vagy a problem. XXX. 7 szerzo˝ je, bárki lett légyen is az. Ám azt még a nemeuklideszi geometria megalapozói sem sejtették – még Bolyai sem sejtette –, hogy a hosszú utat, melynek utolsó állomását az o˝ m˝uvük jelentette, az Akadémia azon geométerei nyitották meg a gondolkodás elo˝ tt, akiknek eredményeit

22


az arisztoteleszi írások corpusa élo˝ fosszíliaként meg˝orizte a jöv˝o számára. A problem. XXX. 7 a viadalok körébo˝ l vett metafora kíséretében adja el˝o a geometriai alternatívát. Arisztotelész itt úgy szemléli az ellentétes geometriai rendszerek versenyét, mint egy pártatlan bíró, akit nem veszteget meg a szép Helénaként tündökl˝o (cp. EN 1109b7–11) euklideszi háromszög, ám az antieuklideszi háromszöget sem zárja ki eleve a viadalból visszataszító alakja miatt, hanem – éppen ellenkezo˝ leg – a priori neki is megadja ugyanazt az esélyt, hogy elnyerje az igazság pálmaágát (EE 1219b9–10), melyet az euklideszi idom megkap. A sportversenyen hozott igazságos ítélet esetében Arisztotelész ugyanazt a kifejezést használja a Magna Moraliaban (MM 1196b2) – az igazságnak és a természetnek megfelelo˝ en ítélni –, mint a problem. XXX. 7-ben (956a22–23): a dialektikus fair play szabályai az ellentétes rendszerek geometriai viadalában is kötelez˝ok. A problem. XXX. 7-ben azonban – az arisztoteleszi corpus kontextusába ágyazva – a metafora polemikus vonása különös jelent˝oséget kap. A tengeri csata mint példa a problem. XXX. 7-en kívül csupán egyetlen alkalommal jelenik meg a de interpret. 9-ben (18b18– 20) – ott olyan jövend˝o események paradigmatikus példája, melyek kimenetelét a világ jelenlegi állapota nem egyértelm˝u szükségszer˝uséggel határozza meg. Ma a két állítás egyikének sem lehet az igazság értékét tulajdonítani. Ma nem áll a kizárt harmadik axiómája. Az etikai-politikai események azonban az id o˝ folyamába ágyazódnak, és az ido˝ haladásával a kizárt harmadik kényszerít˝o erej˝uvé válik: holnap vagy az egyik vagy a másik esemény szükségszer˝uen bekövetkezik. Itt utalnunk kell arra, hogy a holnapi zivatar és a holnapi tengeri csata között alapvet˝o különbség van. Az, hogy lesz-e holnap zivatar, nem egy hadvezér döntéséto˝ l függ. Az viszont, hogy lesze tengeri csata Szalamisznál, kizárólag a cselekvo˝ szubjektum szabad döntésén múlik. Ám a szabadság birodalmát, ahol holnap a tengeri csata lejátszódik, éles határvonallal rajzolja körbe


23

a kizárt harmadik. Az id˝o feltartóztathatatlanul megy el˝ore, az admirálisnak nem áll módjában fellázadni a kizárt harmadik ellen, kénytelen döntést hozni. Szabadsága csupán a két ellentétes lehet˝oség közti választásra terjed ki. De vajon mi a helyzet az euklideszi, illetve antieuklideszi flotta közti tengeri csatával, mely Arisztotelész jelenidejében – noha valahol Szalamisz közelében már gyülekeztek a hajók – egyel o˝ re még nem d˝olt el? A flották egyforma er˝osek voltak, a priori úgy festett, egyforma eséllyel pályáznak az igazságra. Egyformán reménykedve várták a holnapot, mely meghozza nekik a szerencsét, s az igazság birtokosait gy˝ozelmi koszorúval ékesíti. Csakhogy még nem d˝olt el, melyik félé a gy˝ozelem, még láthatólag nyitott kérdés – éppen a problem. XXX. 7-ben feltett kérdés –, hogy melyik oldal kerekedik felül, hogy E vagy non-E hódítja-e meg az igazságot. Ám a geometria birodalma – szemben a politikáéval – nincs alávetve az id˝o zsarnokságának. A geometria ido˝ tlen. Nincs jelent˝osége, hogy ma vagy holnap, E és non-E ellentétét nem érinti a kizárt harmadik imperatívusza. A kizárt harmadik axiómája valóban azt írja el˝o, hogy két egymással ellentétes állítás közül legalább az egyiket meg kell illetnie az igazság értékének – de azt nem, hogy melyiket a kett˝o közül. A geometriai naumachia az örök eldöntetlenség állapotában leledzik: a geometria ido˝ tlen jöv˝oje kontingens.5 A geometriai praxis cselekv˝o szubjektuma nem az euklideszi vagy a vele szembenálló antieuklideszi flotta admirálisa, hanem egy transzcendens szubjektum, aki nem áll az id˝o folyásának kényszere alatt. Ilyen körülmények között az a kérdés, mi bírhatja rá a geometrizáló Istent, hogy olyan döntést hozzon, mely szerint a két állítás közül legfeljebb az egyiket megilleti igazság, más szavakkal: hogyan lehet Isten szabadságának birodalmát körülhatárolni? 5 Az a hatalmas irodalom, amelyet utolsó néhány száz évben a kontingens jöv o ˝ arisztoteleszi problémájának szenteltek – amennyire én át tudom tekinteni –, nem említi a problem. XXX. 7-et: ez a hely – legalábbis az általam ismert munkákban – nem szerepel.

24

AZ


EUKLIDESZI HIPOTÉZIS , AZ ANTIEUKLIDESZI

HIPOTÉZIS ÉS

B OLYAI

ABSZOLÚT GEOMETRIÁJA

Mivel logikailag sem az „euklideszi”, sem az „antieuklideszi” háromszög nem lehetetlen, és mivel az igaz kijelentéspredikátum az E és non-E állítások egyikét sem illeti meg, ezeket a tételeket – legalábbis amíg az abszolút geometria igazsága fennáll – kényszer˝uségb˝ol a hipotézis predikátummal kell ellátnunk. Ámde nyilvánvalóan nem a hipotézis terminus szokásos tárgynyelvi értelmében, hanem metamatematikai értelemben – mint egy se nem igaz, se nem hamis alaptételt, melyet a következtetési lánc elejére helyeztünk. Ilyen se nem igaz, se nem hamis hipotézis formájában jelent meg Arisztotelésznél a korábban idézett helyen – az anal. post. 90a33–34-ben – a következo˝ három állítás: a háromszög szögeinek összege (1) egyenl˝o, (2) kisebb, (3) nagyobb, mint 2 derékszög. Ebb˝ol a három esetb˝ol indultak ki az itáliai jezsuita pater, Gerolamo Saccheri S. J. vizsgálódásai, melyeknek eredményeit 1733-ban mutatta be híres m˝uvében, az Euclides ab omni naevo vindicatusban. Az általa bevezetett és azóta meggyökeresedett terminológiában a három esetet a derékszög, a hegyesszög, illetve a tompaszög hipotézisének nevezik. Saccheri ugyan ezeket a hipotéziseket egy négyszög esetében fogalmazta meg, de ez nem jelent különbséget. Saccheri egyáltalán nem ismerte az arisztoteleszi Analitika antieuklideszi szöveghelyeit. Vizsgálataiban mégis az a nagy eszmeáramlat öltött testet, melynek rejtett forrása az Akadémia kertjében fakadt. A Minden folttól megtisztított Euclidesében Saccheri bizonyította, hogy a (3)-as számú, a tompaszög hipotézise (mely szerint a háromszög szögeinek összege nagyobb két derékszögnél), az abszolút geometria axiómáival inkonzisztens. Ezt a hipotézist tehát ki lehetett küszöbölni, ám Saccherinek továbbra is szembe kellett néznie a hegyesszög hipotézisével: az inimica hypothesi anguli acuti megdönthetetlenül maradt a helyén.


25

Minthogy fejtegetéseink a továbbiakban Bolyai abszolút geometriájára fognak korlátozódni, amely a tompaszög hipotézisével összeegyeztethetetlen, az antieuklideszi és a nemeuklideszi terminussal – hacsak nem állítjuk explicit módon ennek ellenkezo˝ jét – hallgatólagosan mindenkor a hegyesszög hipotézisét fogjuk jelölni. Az euklideszi E posztulátum formális tagadása, a non-E úgyis csupán a hegyesszög hipotézisét jelenti, a tompaszög hipotézisét pedig a priori automatikusan kizárja. Ez teljesen megfelel a szakterminológiai történeti alakulásának: a nemeuklideszi terminussal eredetileg csak azt a geometriát jelölték, amelyben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 2 derékszög. S ACCHERI ÉS B OLYAI : AZ EUKLIDESZISÉG ÉS A ˝ NEMEUKLIDESZISÉG MINT EGY- EGY UNIVERZUM JELLEMZ O ATTRIBÚTUMA

Már az Analitika korábban idézett szöveghelyeibo˝ l (90a12–13, 31–34, 93a31–35) is kiolvasható, hogy Arisztotelész az euklideszit és az antieuklideszit két önálló lényegnek tekintette, és mint önálló esszenciákat állította szembe o˝ ket egymással. A Metafizika egyik helyén azonban rá lehet jönni, hogy a lényegnek mindenkor megfelel egy egész mindenség, egy univerzum extenzív tartománya. A háromszög lényege – az, hogy szögeinek összege egyenl˝o vagy nem egyenl˝o két derékszöggel – az adott univerzumban változatlan, invariáns (metaph. 10525-7); az euklideszi háromszögek extenzív mindensége itt irreducibilis módon áll szemben a nemeuklideszi háromszögek mindenségével. Ilyen körülmények között értheto˝ az is, miért olyan óvatos és el˝ovigyázatos Arisztotelész, hogy a szögek összegének mindig az invariábilis egyetemesség ontikus predikátumát tulajdonítja – azt mondja róla, hogy kiterjedése megegyezik a világegyetemével –, de soha nem tulajdonítja neki az abszolút szükségszer˝uség modális predikátumát. Saccherinek viszont sikerült a szögek összegének univerzalitására kizárólag az abszolút geometria axiómáinak segítségével szigorú bizonyítást adnia. Teorémája a következo˝ képpen hangzik:

26


(1) Ha egy bizonyos háromszögben a szögek összege két derékszöggel egyenl˝o, akkor a szögek összege minden háromszögben egyenl˝o két derékszöggel; és (2) ha egy bizonyos háromszögben a szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor a szögek összege minden háromszögben kisebb két derékszögnél. A két tétel egyetlen teorémát alkot, amelyet egy konjunkció formájában – „(1)&(2)” – lehet megfogalmazni: „si uno casu – az egyik a két hipotézis közül – est vera, semper in omni casu illa sola est vera”. A teoréma premisszája egy tisztán geometriai kijelentés, melyet a bizonyítás során sem az igaz, sem a hamis kijelentéspredikátum nem illet meg. A bizonyítás tárgya – id quod demonstrandum est – nem a premisszában definiált sajátos geometriai tulajdonság, hanem egyfajta teljességgel nem-geometriai tulajdonság, s˝ot, valójában nem is tulajdonság: az univerzalitás. Ami dictum de uno, az szükségképpen dictum de omne. Amit az egyik figura mond, azt mondja mindegyik. Saccheri tétele a lokálisról a globálisra, az egyesr˝ol és végesr˝ol az aktuálisan végtelenre és a világegyetemre következtet: nihil est in infinitu quod prius non fuerit in finitu (A. Bloch, Les fonctions holomorphes. Paris, 1926. 2. o.) A tétel fennállása független az E és a non-E állítások igazságától vagy hamisságától. A teoréma igazsága abszolút. A Saccheriféle univerzalitás egyfajta ontikus szükségszer˝uséget jelent. A szögek összegének értéke – függetlenül attól, hogy egyenl o˝ vagy nem egyenl˝o két derékszöggel – abszolút értelemben univerzális tulajdonság. Ennek felismerése volt Saccheri egyik legragyogóbb teljesítménye. Már az abszolút geometriában bizonyítható tehát, hogy az E és a non-E predikátumok mindenkor egy univerzumot illetnek meg, és csakis valamennyi geometriai objektumhoz, a geometriai objektumok mindenségéhez rendelheto˝ k. A „minden” univerzális kvantor ezzel f˝onévi rangra emelkedik: elnyeri a „világmindenség” méltóságát. Saccheri tételének ereményeképpen kénytelenek vagyunk felvenni az univerzum szót a geometriai tárgynyelv szótárába.


27

Itt a szó – az „univerzum” szó is, éppúgy, mint a háromszög – egy individuális tárgyat jelöl, melyhez ugyanolyan módon szabad és lehet is az E vagy a non-E predikátumot hozzárendelni, ahogy a végtelen univerzumon belül bármely véges geometriai tárgyhoz. Függetlenül attól, hogy a háromszög az ortodox euklideszi hitet vallja, vagy a nemeuklideszi eretnekség híve, a világmindenség az itáliai jezsuita páter, G. Saccheri abszolút megdönthetetlen teorémája alapján csakis katholikus lehet. Ennélfogva az euklidesziség, az E és ellentéte, az antieuklidesziség, a non-E mint olyan tulajdonságok jelennek meg elo˝ ttünk, amelyek mindenkor az abszolút világmindenség egy-egy példányát mint geometriai objektumot jellemzik, és mint különálló dologi tárgyakat állítják szembe o˝ ket egymással. Minden geometria egyben kozmológia. Az euklideszi kozmosz ugyanolyan viszonyban áll a minden antieuklideszi tárgyat magában foglaló kozmosszal – és azzal a kozmosszal is, amely valamennyi nemeuklideszi tárgyat foglalja magában –, mint az E és a non-E állítás: kontradiktorikus ellentétei egymásnak. Az E és a non-E tulajdonságok vonatkozásában a világmindenséget bizonyíthatóan nem lehet besorolni komplementer osztályokba. Ugyanazon az univerzumon belül abszolút kizárt dolog a geometriai promiszkuitás az euklideszi és a nemeuklideszi idomok között. A XVIII. és a XIX. században egymástól függetlenül több matematikus újra felfedezte és bizonyította Saccheri tételét. Fölöttébb valószín˝u, hogy Bolyai János már 1820 körül – erre engednek következtetni önéletrajzi feljegyzései (Stäckel, i. m. 83, 236) – felfedezte és bizonyította a tételt: ekkoriban a bécsi mérnökakadémia növendéke volt, és már itt elkészült késo˝ bb befejezett munkájának els˝o huszonnégy paragrafusával. Scientia spatii-jának 13. és 14. paragrafusában ez szerepel: „Ha egy félegyenespár párhuzamos és egyúttal koortogonalis, azaz euklideszi, akkor minden félegyenes-pár euklideszi; és ha egy párhuzamos félegyenes-pár nem koortogonális, azaz nemeuklideszi, akkor minden félegyenes-pár nemeuklideszi.”

28


A párhuzamos félegyeneseknek a végtelenben van egy közös pontjuk, melyet David Hilbert az „Ende” – a félegyenes végtelenben fekv˝o vége – terminussal jelölt. Ez a tulajdonság abszolút, és csupán a párhuzamosság abszolút definíciójának tömörebb megfogalmazását jelenti. Két egyenesnek a végtelenben mindig van legalább egy, ám legfeljebb két Hilbert-féle „vége”. Ez az állítás ugyanazt jelenti, amit az az – Euklidész Elemeiben már explicit módon megfogalmazott – abszolút-geometriai axióma, amely azt állítja, hogy „minden egyenes szakasz mindkét irányban végtelenül meghoszszabbítható”. Ha egy pár párhuzamos félegyenes euklideszi, akkor két párhuzamos félegyenes, amelyet egy adott egyeneshez egy közös pontból a két ellenkez˝o irányba húzunk, egybeesik és egyetlen teljes egyenest alkot. Nyilvánvaló, hogy a Hilbert-féle végük is egybeesik, egyetlen végük van, Ω. Másképpen kifejezve: egy adott egyeneshez egy adott – az egyenessel nem-incidens – ponton keresztül pontosan egy párhuzamos húzható. Ha két párhuzamos félegyenes nemeuklideszi, akkor aszimptotikusak is, és nyilvánvalóan nem-ortogonálisak. Ezért, ha egy közös egyenessel párhuzamosan egy másik félegyenest is húzunk ugyanabból a végpontból, de ellentétes irányba, mint az els o˝ t, akkor ez az els˝o félegyenessel nem alkot egyetlen teljes egyenest: a két félegyenes két különbözo˝ Hilbert-féle végen, Ω-án és Ω on találkozik a vele párhuzamos teljes egyenessel. Ez azt jelenti, hogy egy adott egyenessel egy ponton keresztül mindenkor két párhuzamos húzható. Ebb˝ol pedig az következik, hogy az euklideszi és a nemeuklideszi predikátum nemcsak az önmagukban zárt idomokhoz – például a háromszöghöz, a négyszöghöz, a sokszöghöz vagy a körhöz – rendelhet˝o hozzá, hanem a teljes egyenesekhez is hozzárendelhet˝o. Euklideszi egy teljes, végtelen egyenes, ha csak egy, nemeuklideszi viszont, ha két Hilbert-féle „vége” van. Valamennyi egyenes végének összessége alkotja a kétdimenziós univerzum peremét, melyet a nagy angol matematikus, Arthur Cayley 1856-


29

ban sokatmondó kefejezéssel az Abszolút terminussal jelölt. Az euklidesziség és nemeuklidesziség tulajdonsága tehát az egyenes és az Abszolút viszonyát érinti: ha az egyenes egyetlen ponton, a hilberti végén, Ω-nál találkozik az Abszolúttal, akkor euklideszi; ha a két diametrálisan ellentétes hilberti végén találkozik az Abszolúttal, Ω-nál ás Ω -nál, akkor nemeuklideszi. Ebben az utóbbi esetben az Abszolút egy önmagába záródó, a szokásos körkerülethez hasonló vonal. A végtelenben, a sík peremén elhelyezked˝o Abszolút úgy jelenik meg a szemlélo˝ számára, mint világának látható horizontja. Minden egyenes olyan, mint egy átló, amely mindkét irányba fut, és mindkét végén egyetlen pontban találkozik az abszolút vonalával. Mivel a két egymással ellentétes iránynak két különbözo˝ Hilbert-féle vég felel meg, az egyetlen teljes egyenesnek is két különbözo˝ tájolást kell tulajdonítanunk. A szemlél˝o megállapíthatja, hogy két egyenes északi irányba tart, ha balról jobbra futja be o˝ ket a tekintete; ám e két egyenes közül az egyik kelet, a másik pedig nyugat irányába tart, ha tekintete az ellenkez˝o irányban, jobbról balra futja be o˝ ket. Euklideszi egyenesek esetén az Abszolút két átlósan ellentétes vége egybeesik, egyetlen végpontjuk van. Az euklideszi univerzum Abszolútja – a kifejezés eredeti, geometriai értemében – circulus vitiosus-t alkot: diametrálisan ellentétes pontjai „össze vannak ragadva”. De ezzel még egyáltalán nem merültek ki a geometriai b˝unök. Hiszen még azzal is számolni kell, hogy két tetsz˝oleges hely közti távolság az Abszolúton mindig végtelen: ezek minden esetben két, egymással diametrálisan ellentétes hilberti végpontot jelenítenek meg. Az Abszolúton nincs hosszúság, és az Abszolútnak nincsenek metrikus tulajdonságai: az abszolútnak csakis topológiai – a topost és annak situs-át érinto˝ – tulajdonságai vannak. Az, hogy egy idom euklideszi vagy nemeuklideszi, már a véges tartományban közvetlenül leolvasható az idomról, a háromszög esetében például a szögek összegének metrikus értékér o˝ l. A valós – a véges tartományban lévo˝ – egyenes azonban olyan vonal, amelynek csupán abszolút-geometriai tulajdonságai vannak: egy egyenest mind az euklideszi, mind a nemeuklideszi sík-

30


ban mindenkor a véges tartományban fekvo˝ két pontja határoz meg. Az euklidesziség és a nemeuklidesziség viszont olyan tulajdonságok, melyek a transzfinit tartományban jellemzik az egyenes vonal viselkedését. Az euklidesziség vagy a nemeuklidesziség csakis a végtelenben fekv˝o topos-on illeti meg az egyenest, ott pedig kizárólag a situs-a határozza meg, hogy euklideszi vagy nemeuklideszi. Az viszont, hogy a valós egyenes, amely teljes egészében a véges tartományban van, euklideszi vagypedig nemeuklideszi, egyedül attól függ, hogy tisztán topológiai szempontból milyen jelleg˝u a világ Abszolútja. A valós világ határterületén, az aktuális végtelenen túl fekvo˝ Abszolút határozza meg, hogy a véges tartományban mindenütt euklideszi avagy mindenütt nemeuklideszi a sík geometriai struktúrája: Nihil est in finitu quod prius non fuerit in infinitu. Bolyai teorémájának folyományaként tehát a következo˝ képpen lehet átfogalmazni Saccheri tételét: ha egy egyenes euklideszi, illetve nemeuklideszi, akkor az Abszolút is euklideszi, illetve nemeuklideszi. Az Abszolút pedig olyan konkrét geometriai tulajdonság, amely egy egyedülálló dolgot – a Mindenséget és csakis a Mindenséget – jellemzi. Ennélfogva mind az az állítás, hogy „a Mindenség euklideszi”, mind pedig az az állítás, hogy „a Mindenség nem euklideszi”, pontosan definiálható, konkrét és sajátosan geometriai értelmet nyer. Ám a Cayley által bevezetett kifejezés, „az Abszolút” egy obskurantista metafizika poklának kénköves b˝uzét árasztja. Ez azért furcsa, mert Cayley kifejezetten pozitívista szellem˝u gondolkodó volt. Élete végéig elutasította, hogy létezhet nemeuklideszi geometria. Az Abszolút titokzatos bája, melyben a b˝unös bécsi társasági körbe betagozódott polgárság – a vitiousus circulus Vindobonensis etablírozott burzsoáziája – soha nem lelte örömét, az Abszolút ontológiájában rejlik, amely minden pozitívista és analitikus filozófia számára elviselhetetlen: az Abszolútot nyilvánvalóan megilleti a kategorikus nemlét ontikus értéke. „Az Abszolút” megjelölés mégis teljesen jogosult. Az Abszolút ugyanis a világot akkor is – a szó etimológiai értelmében vett


31

– horizontjaként definiálja, ha az euklideszi és/vagy nemeuklideszi univerzumhoz a kategorikus lét ontikus értékét rendeljük. Az Abszolút, melynek toposát a nemlétezo˝ tartományába helyezzük, ontikus prioritással rendelkezik a világ azon léttartományának vonatkozásában, melynek peremét alkotja. A létezo˝ geometriai struktúráját a nemlétez˝on túli transzcendencia határozza meg. B OLYAI

ABSZOLÚT GEOMETRIÁJA : AZ EUKLIDESZI ÉS

NEMEUKLIDESZI PREDIKÁTUMOK MEGALAPOZÁSA

Az euklidesziség és antieuklidesziség abszolút egyetemes voltának felfedezése és bizonyítása jelentette Bolyai János számára a dönt˝o lépést, amely E és non-E dialitikus elágazásához, valamint a geometriai teorémák két, egymásnak formálisan ellentmondó rendszeréhez, illetve e rendszerek önálló létezésének tudatosításához vezette. Bolyai ezeket rendkívül elvontan és mero˝ ben formálisan a – nyilvánvalóan Euklidész görög rendszerére utaló – „Σ”, valamint az S bet˝uvel jelölte, mely utóbbi az általa latin nyelven kifejtett systema rövidítése, azé a rendszeré, melyet apja, Bolyai Farkas elfogadott, de lekicsínyl˝oen „nem igaz anti-euklideszi rendszer”nek nevezett (Paul Stäckel, i. m., 238. o.). A kettéágazást a Scientia spatii absolute vera cím˝u írás 15. paragrafusában mint a 13. és 14. paragrafusban bizonyított Saccheri-tétel közvetlen következményét mutatja be: „Systema Geometriae, hypothesi veritatis Axiomatis Euclidei XI insistens dicatur Σ; ac hypothesi contrariae superstructum sit S”. Mivel munkájának els˝o huszonnégy tételét a bécsi tanulóévek alatt fejtette ki, feltételezhet˝o, hogy a két tételrendszer, Σ és S önállóságát Bolyai János már ekkor felismerte. Ezzel azonban a voltaképpeni nemeuklideszi geometriát – melyre önéletrajzi feljegyzéseiben ismételten utalt – még egyáltalán nem alapozta meg. Az {E, non-E} állításpárt az ellentmondás formális, tisztán lingvisztikai relációja kapcsolja egymáshoz. Ha a párra mindkét

32


kijelentéslogikai axióma, a kizárt harmadik és az ellentmondásmentesség axiómája szimultán érvényes, akkor E és non-E között még a kizárólagos alternatíva relációja is fennáll: a két állítás közül legalább az egyiknek az igazság értékét kell, de legfeljebb az egyiknek lehet az igazság értékét tulajdonítani. Az igazság Egy! Ahogy Egy a lét is, amelyet leír. Az alternatíva azonban nyitott: „vagy E, vagy non-E”. Eldöntetlen, mi az igazság. A spontán bevezetett szakkifejezés – az eldöntetlen – arra utal, hogy igazságot tulajdonítani csakis választás és döntés eredményeként lehet, egy olyan m˝uvelet eredményeként tehát, melyet a logikai következtetés semmiképpen nem tud teljesíteni. A választás és döntés aktusát végrehajtó cselekvo˝ csak egy szubjektum lehet. Csakis egy szubjektum tudatában jelenik meg az E és non-E közti logikai alternatíva konfliktusként: önmagával szembeni drámai konfliktusként, melyet csak az önálló választás és a szabad döntés oldhat fel. A választás és a döntés pedig etikaipolitikai tett. Forrása a szabadság, mely a szubjektum és csakis a szubjektum sajátja. Az a politikai dimenzió, melybe a metageometriai háttér beágyazódik, és amely a geometriai igazság eldöntésének természetes helye, Arisztotelész etikai írásaiban körvonalazódik. Már a korábban idézett helyek is megero˝ sítik azt a feltevést, miszerint Arisztotelész nemigen számíthatott arra, hogy az „E vagy non-E” közti alternatíva logikai bizonyítás alapján fog eld˝olni. Etikai írásaiban váratlanul új néz˝opontból veszi szemügyre az „E vagy non-E” alternatívát, amely itt központi helyet foglal el fejtegetéseiben. G EOMETRIA

MORE ETHICO ˝ SZEMSZÖGÉB OL

– A RISZTOTELÉSZ

Ezeknek a passzusoknak az a voltaképpeni célja Arisztotelész etikájában, hogy a szabadságot mint az etikai-politikai praxis forrását definiálják.


33

Maga az elképzelés teljesen új volt, és a régi görög nyelvnek nem is volt szava a kifejezésére. Arisztotelész az akkoriban már el˝oforduló „prohairezisz” terminust használta, amely preferenciális választást jelent két egymással szembenálló, egyformán lehetséges eset között. A szabadság arisztotelészi fogalmát úgy lehetne definiálni, hogy egy nyitott alternatíva esetében megfontolás alapján két ellentétes lehet˝oség közül az egyik mellett döntünk: az arisztoteleszi szabadság (MM 1187b35) kényszer nélküli preferenciális választás (liberum arbitrum). A két korai etikai m˝uben a szabad választásnak szentelt fejezet (MM I. 10–11, EE II. 6) a politkai gondolkodás szent szövegének tekinthet˝o. Hiszen ezen a helyen ég˝o csipkebokorból hangzott el – el˝oször az emberi szellem történetében – az explicit kinyilatkoztatása annak, hogy az embert az összes többi élo˝ lény között az tünteti ki, hogy lényege szabadságában rejlik. Arisztotelész a következ˝oképpen fejti ki felfogását: valamenynyi él˝olény közül egyedül az emberre jellemzo˝ k erkölcsi-politikai cselekedetek: ezek bel˝ole fakadnak és t˝ole erednek; az arché forrása az Én belsejében van. A szubjektum cselekedetei a benne m˝uköd˝o arché folyományai, és ha a cselekedetek változnak, azok az archék is átalakulnak, melyekbo˝ l fakadnak. A cselekedet archéja az eredeti, semmiféle bizonyítékkal nem megalapozható, mégis érett megfontoláson alapuló preferenciális választás és döntés (MM 1189b14–15; vö. továbbá metaph. 101310– 13). A szabad választást kifejezni hivatott szó híján Arisztotelész jobbnak látta olyan példára hagyatkozni, mellyel elképzelése szerint ez az új gondolat jobban hozzáférheto˝ vé és érthet˝ové tehet˝o. Különös azonban, hogy az erkölcsi-politikai praxis köréb o˝ l nem hoz példát. Váratlan, s˝ot meghökkent˝o, hogy egyetlen példája a geometria köréb˝ol származik. A gyakorlat terén ugyanis Arisztotelész szerint a cselekvésnek ugyanaz az absztrakt struktúrája, mint a bizonyító m˝uveletnek a geometriában: az erkölcsi döntések a bizonyítatlan és bizonyíthatatlan geometriai archéknak felelnek meg, az egyes cselekede-

34


tek pedig azoknak a szükségszer˝u következtetéseknek, melyeket mint teorémákat az archékból levezetünk (MM 1187b11–19; EE 1222b29–31). A

GEOMETRIAI ARCHÉK ÁTVÁLTOZÁSA

Arisztotelész az Eudemoszi Etika hosszú geometriai szövegrészének bevezet˝o mondataiban utal arra, hogy a matematika területén „a megváltoztathatatlan arkhai kifejezést nem a szó voltaképpeni értelmében, hanem analógiaként és metaforaként használja”. Az arkhai kifejezés itt csak átvitt értelemben használható, mivel az arché másképp is – ahogy ezt az Eudemoszi Etika szöveghelyének zárómondata pontosan megfogalmazza – „szembeállítható”. Ki van téve annak, hogy lényege radikálisan átalakul: „és ha” – a geometria ontikus tartományában – „az arché átváltozik, még sokkal inkább átalakul mindaz, ami belo˝ le következik” (1222b21–26). A geometriai példát, a háromszög jellegzetes arché-mivoltát, melyet a konklúzió kommentál, néhány sorral korábban idézi: „ha ugyanis a háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenl˝o, akkor a négyszög szögeinek összege szükségképpen négy derékszöggel egyenl˝o”. Az, hogy a háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlo˝ , nyilvánvalóan „oka és alapja” a következménynek. „Ám ha a háromszög átváltozik, akkor szükségképpen átváltozik a négyszög is”. Hogy mire vonatkozik ez az átalakulás, azt a közvetlenül utána következo˝ konkrét esetb˝ol tudjuk meg: „így például, ha a háromszög szögeinek összege három derékszöggel egyenlo˝ , akkor a négyszög szögeinek összege hattal, ha pedig az elo˝ bbi néggyel, akkor az utóbbi nyolc derékszöggel egyenl˝o” (EE 1222b31–36). A példa a tompaszög hipotézisének körébe tartozik, és arra utal, hogy az Akadémia geométerei már ismerték ennek a hipotézisnek a logikai konzekvenciáit. A példában idézett négyszög, melynek szögösszege nyolc derékszöggel egyenl˝o, egy egészen egyedülálló idom: a maximális négyszög, melynek négy oldalból álló kerülete egyetlen ön-


35

magába záródó végtelen egyenes, és amely nyilvánvalóan egybevágó a másik, ugyancsak egyedülálló idommal, a maximális körrel – a maximális négyszög egy négyszöglet˝u kör. A Magna Moralia párhuzamos helyén ugyanez a példa szerepel: „akármilyen maga az arché – az is olyan lesz, ami belo˝ le következik”. A példa, amely ezt a rendkivül kifejezo˝ matematikai tételt alátámasztja, így hangzik: ha archéként adva van egy euklideszi háromszög, melyben a szögek összege két derékszöggel egyenl˝o, és ezt mint hüpo-thesziszt – mint egy bizonyítási eljárás tézisét – alapul vesszük, akkor ebbo˝ l következik, hogy „a négyszög szögeinek összege négy derékszöggel egyenl o˝ ”. Másképpen kifejezve: ha a szabadon választott arché egy euklideszi háromszög, akkor abból következik, hogy a négyszögnek is euklideszinek kell lennie. „Ám ha a háromszög átalakul, akkor vele együtt a négyszög is átalakul, mégpedig úgy, hogy szögeinek összege már nem lesz egyenlo˝ négy derékszöggel, ahogy a háromszögé sem lesz egyenlo˝ többé két derékszöggel” (MM 1187a36–b4). Az átalakulás egyértelm˝uen az archénak választott háromszög lényegét érinti: az euklideszi lényeg alakul át nemeuklideszi lényeggé. Az etikai és a geometriai közti párhuzamból, melyet Arisztotelész ismételten hangsúlyoz (MM 1187b14, vö. továbbá 1187a35–36), egyértelm˝uen következik, hogy az arché geometriai lényegének ilyen gyökeres és hirtelen átalakulása csak more ethico, a szubjektum szabad döntése következtében következhet be. Arisztotelész a következ˝o személyes megjegyzéssel zárja fejtegetését: „jelen pillanatban nem lehet pontosabbat mondani” err˝ol a dologról, „mint ami az imént elhangzott; ámde ezt nem szabad elhallgatni sem” (EE 1222b38–39). Tárgyszer˝u helyzetjelentés a kutatás állásáról, mely egyúttal szubjektív vallomás is: újabb bizonyítéka Arisztotelész megvesztegethetetlen tudományos becsületességének. Az etika és a geometria között javasolt szerkezeti analógia ugyanis olyan perspektívába helyezi a geometriai archékat, mely nemigen egyeztethet o˝ össze ugyanannak az Arisztotelésznek jólismert matematikai filozófiájával.

36


Arisztotelész etikai m˝uveinek nemcsak az kölcsönöz különös történeti jelent˝oséget, hogy az emberi szabadság itt jelenik meg el˝oször mint filozófiai reflexió tárgya, hanem hogy itt a geometria is olyan léttartománynak bizonyul, amelyben az emberi szabadság kibontakozhat. Maga a szabadság még az arisztotelészi: az egyetlen igazság preferenciális választása, melyet nem befolyásol semmilyen sajátosan geometriai kényszer. Euklidész egy transzcendens szubjektumot hiposztazált, s ezzel a geometriai praxis cselekv˝o ágenseként lépett föl. Proclus mindig úgy beszél róla, mint a Geométerro˝ l. Neki nem az volt a feladata, hogy a mez˝ogazdasági földmérésnél használatos háromszögeléssel meghatározza a Nílus deltájában a háromszögek szögeinek összegét, hanem hogy az egymásnak ellentmondó háromszögek geometriai ellentétében bírói ítéletet hozzon. Szabadon döntött, mégis a servitude volontaire-t választotta: elfogadta a már fennállót, ami pedig ellentétes volt vele, azt elutasította és kizárta. A kialakulófélben lévo˝ konfliktust Euklidész követelménye elsimította. Imperatívusza: megköveteltetik – eitesztho –, hogy az egymással konvergáló egyenespárok a közös sík egy pontján találkozzanak egymással. Az egyenespárok pedig minden tiltakozás nélkül alávetik magukat parancsának, és – valahol – találkoznak. A SZIMPTOTÁK KIHÍ VÁSA :

A PÁRHUZAMOSOK PROBLÉMÁJA

Mindegy, hogy a szabad döntés Euklidészé, vagy a mindenható Istené, aki „örökké geometrizál” – Euklidész életének történetét éppúgy nem ismerjük, mint Istenét –, ha egyszer szabad döntéssel, minden további bizonyíték nélkül tulajdonítottuk az igazság értékét az E tételnek, akkor ezzel még egyáltalán nem cáfoltuk meg az antieuklideszi non-E állítást, mely szerint léteznek egyenes aszimptoták: egymáshoz konvergáló, ám egymást nem metsz˝o egyenesek. Geminos, a Krisztus el˝otti els˝o században él˝o csillagász és geométer (Germaine Aujac, Geminos. Páris, 1975.) felismerte,


37

hogy a konvergenciát állító premisszából nem szabad incidenciára következtetni, hiszen két hiperbolaszár konvergál egymáshoz, de nem metszi egymást. Geminos ezt a relációt a geometria legeslegmeglep˝obb tételének nevezte: egészen hihetetlen paradoxonnak tartotta, mivel ez igazolja annak a kérdésnek a jogosságát, hogy „miért ne lehetne ugyanaz igaz az egyenesre, ami a hiperbolára az” (Proclus, in elem. Leipzig, 1873. 192. o.). Geminos kérdése teljesen jogos volt. Visszatekintve úgy látszik, mintha ellenpéldája egészen rendkívüli matematikai intuí˝ maga ugyan ezt még nem sejthette, de cióról tanúskodnék. O minden síkban – az euklideszi, so˝ t már az abszolút síkban is – megadható egy olyan egyszer˝u ismerteto˝ jegyekkel kitüntetett hiperbolacsalád, amely a nemeuklideszi antivilág izomorf modelljét vagy térképét jelenti az euklideszi és már az abszolút világban is. Ebben az esetben viszont elméletileg lehetetlennek látszik az egyenes aszimptoták cáfolata. Geminos érvének történeti és teoretikus szempontból különös jelent˝osége van. Ameddig nincs logikailag kifogástalan cáfolatunk arra az állításra, mely szerint léteznek egyenes aszimptoták – konvergens, ám nem-incidens komplanáris egyenesek –, addig jogos, s˝ot helyénvaló a kétely az euklideszi geometria igazságát illet˝oen. Így született meg az úgynevezett párhuzamosprobléma. A probléma látszatra mer˝oben geometriai feladatot jelentett: az egyenes aszimptoták létezésének abszolút geometriai bizonyítás segítségével történ˝o cáfolatát. A kérdésföltevés mögött azonban az az explicit módon artikulált és a priori téves elképzelés állt, mely szerint az euklideszi posztulátum logikailag függ a Bolyai-féle abszolút geometria axiómáitól. A párhuzamosok problémája mögött tehát az a teljességgel korrekt, tisztán metamatematikai kérdés húzódott meg, hogy az euklideszi posztulátum levezetheto˝ -e az axiómákból vagy logikailag független t˝olük. És erre a kérdésre már az Akadémián megtalálták a korrekt választ: az euklideszi posztulátum logikailag független az abszolút geometria axiómáitól, mivel az antieuklideszi állítás akkor is konzisztens – logikailag teljesen összeegyez-

38


tethet˝o – az abszolút geometria axiómáival, ha a hamis logikai értékét tulajdonítjuk neki.6 A

GEOMETRIZÁLÓ I STEN ÉS ENNEK AZ I STENNEK A

SZABADSÁGA

Az axiomatikus alapokra felépített geometria már kezdetben – en arkhé, Arisztotelész etikáiban – a szabadság horizontján jelenik meg. Ez a hatalmas eszme azonban eleinte nemigen tudott kibontakozni. Az euklideszi realitás nyomasztó jelenléte olykor érthet o˝ módon – mind az egészséges emberi értelem, mind a tudományos racionalizmus szempontjából – egyformán félresiklottnak láttatja a szabadságra mint a geometria poiésziszének konstitutív elvére irányuló kérdést. Az emberi cselekvo˝ re vonatkoztatva még az is feleslegesnek látszik, hogy egyáltalán feltegyük ezt a kérdést. De nem látszik feleslegesnek a kérdés az Ótestamentum mindenható Istenének vonatkozásában. Az ótestamentumi Isten szabadsága, szemben a már adott két leheto˝ ség között választó emberi cselekv˝o véges cselekvési szabadságával – de még az olümposzi istenekével is, akik semmit nem képesek teremteni – Isten mindenhatóságát jelenti: annyit jelent, hogy Istennek hatalmában áll a semmib˝ol egy világot, egy univerzumot teremteni. Azzal, hogy az emberi individuum helyett magát Istent tesszük meg a geometriai megismerés szubjektumának, megno˝ a geometriai ágens szabadságára vonatkozó kérdés relevanciája, hiszen te6 Vittorio Höslének egyik ragyogó elemzésében (Platons Grundlegung der Euklidizität der Geometrie, in: Philologus 1982, 184–197. o.) sikerült bizonyítania, hogy Platón Kratülosza egy helyütt (436 D) már céloz az antieuklideszi hipotézis konzisztenciájára. Platón gondolatmenetét – s így Hösle vizsgálódásának eredményét – a következo˝ képpen lehet összefoglalni: ha a geometriai nyelv gonosz demiurgosza (431 E) tévesen egy hamis tételt vesz alapul a geometriai bizonyításhoz (436 D), akkor – akárcsak egy törvényhozónak, egy nomothétésznek (431 CE) – neki is sikerülni fog a hamis alaptételbo˝ l egy önmagában konzisztens tételrendszert levezetni. A tételek mindkét esetben – Platón szép és kifejez o˝ megfogalmazásában – „harmonikusan egybecsengenek” (436 E), geometriai tartalmuk teljesen összhangban van egymással (436 D).


39

matizálása az isteni cselekvés vonatkozásában elkerülhetetlennek látszik. Els˝oként Moses Maimonidész jött rá a XII. században, hogy szükségképpen fel kell tenni a geometria isteni poiésziszének szabadságára vonatkozó kérdést. Isten ugyan mindenható és abszolút szabad – állítja Maimoni˝ sem tudott és nem is dész (Dux perplexorum: I. 73) –, de még O tud olyasmit teremteni, ami az arisztoteleszi logika vagy az euklideszi geometria törvényeibe ütközik. Így például Isten sem tud olyan – nemeuklideszi – négyzetet teremteni, amelyben az átló az egyik oldallal volna egyenl˝o. A példánál fontosabb azonban a kérdésfeltevés, amely a geometriai alkotás szabadságára vonatkozik. A kérdést Maimonidész nyilvánvalóan Arisztotelész Etikáiból vette át, s ez nemcsak az eredetileg az emberre vonatkozó szabadságproblematikának kölcsönöz új, teológiai dimenziót, hanem egy ellenkezo˝ irányú változást is eredményez: a geometria teológiai megalapozása maga után vonja, hogy a geometria szubjektumának olyan szabadságot kell tulajdonítani, amely automatikusan kitüntetett szerepet biztosít neki, a kozmosz poiésziszének transzcendens cselekv o˝ jévé teszi. Aquinói Tamás ismerte Maimonidész írásait. Valószín˝uleg Maimonidész ösztönzésére érezte kötelezo˝ nek, hogy az ex nihilo teremtéssel kapcsolatban megvizsgálja egy antieuklideszi világ lehet˝oségét. Biztosan elolvasta Arisztotelésznél az idevágó helyeket, mert az antieuklideszi példa nála sokkal világosabban artikulált, és minden tekintetben közelebb van a corpus aristotelicumban kifejtettek szó szerinti értelméhez, mint Maimonidésznél. A geometriai szabadság problémája a summa contra gentilesben egy vitás kérdés formájában – és jóval világosabban – jelenik meg, mint a Tévelyg˝ok útmutatójában: „Qualiter omnipotens dicatur quaedam non posse: [. . . ] Deus facere non possit sicut [. . . ] quod triangulus non habeat tres angulos aequales duobus rectis” (lib. II. cap. 25). A Teológia summajában pedig azt olvassuk, hogy Istennek nem áll szabadságában olyan csodát tenni,

40


hogy létrehozza az antieuklideszi háromszöget: „Non potest fieri per miraculum [. . . ]: sicut quod triangulum non habeat tres angulos aequales duobus rectis” (summa theol. 3-ae suppl. Qu. 83, art. 3, ob. 2). Dante Paradicsomában (XIII. 91–105) egyébként Szent Tamás elmeséli, hogy amikor Isten egyszer megengedte Salamon királynak, hogy megkérdezze t˝ole, amit tudni szeretne, Istent nem arról kérdezte, hogy a félkörbe beírt háromszög derékszög˝u-e, vagy sem (más szavakkal: hogy euklideszi-e, vagy sem) – egyikr o˝ l sem: „Sem, si est dare primum motum esse; / sem, hogy félkörbe háromszöget írván / az mindenképpen derékszög˝u lesz-e” (Babits Mihály fordítása) –, hanem arról, hogy o˝ , Salamon miként tudna király-módon élni (Par. XIII. 96), és miként tudná a jót a rossztól megkülönböztetni. Tamás után a háromszög szögeinek összegéro˝ l szóló teoréma elt˝unt az isteni szabadságról folytatott viták példatárából. Az o˝ hatására a következ˝o évszázadokban az euklideszi tétel az örök és szükségszer˝u igazság paradigmatikus példája lett. Nem-euklideszi világot teremteni még Isten számára is lehetetlen. Voltaire – legalábbis ami a geometriát illeti – egyetértett Tamással: Isten éppúgy nem tudja megmásítani annak a geometriai teorémának az igazságát, mely szerint a háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlo˝ , ahogy azt sem tudja megakadályozni, hogy a gonosz jelen legyen a világban (Oeuvres, Paris, 1880. XXX. 474.). Isten abszolút szabadságáról folytatott vita a következo˝ századokban a világok pluralitásának kérdése körül bontakozott ki. A kérdés a XIII. és a XV. század között a teológiai disputák kötelez o˝ gyakorlatává vált. A skolasztikus qoudlibetek szellemében dialektikus distinguokat és responsiokat fogalmazó – legalább olyan vehemens, mint szorgalmas – szerzo˝ knek sejtelmük sem lehetett róla, hogy az unicitás-pluralitás ellentét mögött kimondatlanul az euklideszi és nemeuklideszi kozmológia szembenállása rejtezik.


A

41

KARTEZIÁNUS FORDULAT

Descartes-tal azonban dönt˝o fordulat következett be. Montaigne tanítványa és a dauphin nevelo˝ je, François La Mothe Le Vayer már Descartes el˝ott megfogalmazta (Oeuvres, Paris, 1585. XV. 102–103) azt a merész állítást, hogy Istenre nézve, akinek szabadsága abszolút, „sem Euklidész axiómái, sem Arisztotelész logikai törvényei nem kötelez˝ok”. Descartes-nál ez az elképzelés a filozófia axiomatikus alaptételévé válik. Nincs örök igazság. Mind a geometriai, mind az erkölcsi igazságot az isteni teremtés abszolút szabad aktusa hozza létre. Az igazság nem korlátozza a szabadságot, hanem – éppen ellenkez˝oleg – Isten szabadsága az igazság forrása: Deus – fons veritatis (Meditatio I., in: Meditationes De Prima Philosophia, Amsterdam, 1642. 13. o.). A karteziánus felfogás Franciaország határain belül és kívül heves vitákat váltott ki. Ellenfelei – például Arnauld, Gassendi és mások – egyebek közt azt vetették Descartes szemére, hogy számukra teljesen elképzelhetetlen, hogyan lehetne védekezni az ellen, ha egy fondorlatos és gonosz Isten úgy akarna félrevezetni bennünket, hogy éppoly világosnak és elkülönítettnek tüntetné föl számunkra az antieuklideszi geometriát, mint amilyen az igaz geometria. The True Intellectual System of the Universe (London, 1678) cím˝u vitairatában Ralph Cudworth élesen polemizált Descartestal. Cudworthnak az a véleménye, hogy Descartes-ot – bármilyen élesesz˝u filozófus volt is – gyermetegnek kell neveznünk, mivel azt állítja, hogy a jó és a rossz természete – akárcsak az igazé és a hamisé – Isten mindenható önkényéto˝ l függ. Ez viszont azt jelentené, hogy a háromszög szögeinek összege eltérhet két derékszögt˝ol, ha Istennek úgy tetszik (1678. 646–652. o.; vö. még Cudworth, A Treatise Concerning Eternal and Immutable Morality. London, 1731. 33. és 232–248. o.). Az isteni kozmopoiészisz szabadsága körül folyó vita – teológiai terminusokban megfogalmazva – nyilvánvalóan az emberi lény szabadságának kérdését feszegette. Az ido˝ k folyamán azon-

42


ban mind világosabban kirajzolódott a teológiai-politikai összecsapás geometriai dimenziója. Itt azonban – szemben a párhuzamosok klasszikus problémájával – csakis a geometrizáló avatkozó Isten szabadságába vetett hit igazsága volt a vita tárgya. „U N

CERTAIN MAUVAIS GÉNIE ”

–

ÉS AZ ANTIEUKLIDESZI

GEOMETRIA KÍ SÉRTÉSE

1621-ben, Oxforban közzétett Praelectiones cím˝u m˝uvében Sir Henry Savile – o˝ alapította a Savilian Geometria Tanszéket az Oxfordi Egyetemen – úgy beszélt az egyenes aszimptoták megoldatlan problémájáról, mint a makulátlan geometriát elcsúfító szepl˝or˝ol: naevus – in pulcherrimo Geometriae corpore (Prae˝ maga Geminos ellenpéldájálect., 140) Euklidész Elemeiben. O val indokolta a probléma megoldására irányuló kísérletek szükségességét (i. m. 125. és 142. o.). Szepl˝o? Miféle szepl˝o? És kit érdekelhetett ez? Savile Praelectiones cím˝u m˝uvének megjelenésével egyido˝ ben új korszak kezd˝odött a matematikai kutatásban, melyet korábban soha nem tapasztalt termékenység, valamint az új eszmék, módszerek és eredmények hallatlan gazdagsága jellemzett. A nagy korszakra, a végtelen korszakára, a negatív, imaginárius és transzcendens számokéra olyan nevek nyomták rá bélyegüket, mint Fermat, Pascal, Descartes, Cavalieri, Kepler, Cardano, del Ferro, Wallis, Newton, a Bernoulliak, Euler, Mac Laurin, hogy csak néhányat említsünk. Habozás nélkül kijelenthetjük, hogy a végtelen aritmetikáját és geometriáját, valamint a negatív és imaginárius számok algebráját – Euklidész Elemeivel összehasonlítva – szinte elborítják a szepl˝ok: botrányosan hiányosak a bizonyítások és egymást követik a hajmereszto˝ gondolatmenetek. Ezek többnyire nem is maradtak észrevétlenek: folyamatosan bírálták o˝ ket, sok felzúdulást és heves vitát váltottak ki. De kit zavarnak a gyakran fekete mágiára, asztrológiára és teozófiára emlékeztet˝o igazolások? Az ilyesmi senkit nem ijeszt el az új elméletekt˝ol! Ett˝ol még azok nagyon is termékenyek és hatá-


43

sosak voltak. Ami pedig az elméletek corpusát alkotta, az – ha talán nem is pulcherrimum – mégiscsak élt és virult. Ilyen körülmények között ugyan kit zavarna, hogy a régi Elemek immáron holttá dermedt, ámde csodaszép testén is akad egyetlen szepl o˝ ? Volt egyáltalán valami értelme ezeknek a próbálkozásoknak? Ezt a kérdést az ismert író, Lichtenberg tette fel, aki a göttingai egyetem fizikaprofesszora volt. „A szkeptikusokat meggy o˝ zni? Ugyan ki gy˝ozhetne meg olyan valakit, aki mindenáron képtelenségekben akar hinni?” (Ausgewählte Schriften: 52.) A párhuzamosok problémájának megoldására irányuló kísérleteket a XVII. és a XVIII. század matematikusai szinte kivétel nélkül a skolasztikus kommentátorok meddo˝ sz˝orszálhasogatásának tekintették, és leplezetlen megvetéssel kezelték. A probléma számukra matematikai szempontból irreleváns, triviális és terméketlen volt: lehetetlen, hogy a matematika bármit is nyerjen azzal, ha egy eddig még soha senki által kétségbe nem vont igazságot kifogástalan, ámde tökéletesen fölösleges gondolatmenettel bizonyítanak. És ha az elenyész˝o számú kivételt˝ol eltekintünk, azon a névsoron – a celeberrimi és illustrissimi viri listáján –, amelyre a párhuzamosok problémáját megoldani igyekvo˝ , ámde rendre kudarcot valló h˝osök vállalkozásuk fontosságát igazolandó hivatkoztak, csupa más, ugyanolyan celebris és illusztris iskolamester neve szerepel az eldugott, Isten háta mögötti provinciáról. A XVIII. század közepét˝ol kezdve azonban mintha megfordulna a hangulat. Az antieuklideszi aszimptoták cáfolata iránti érdekl˝odés már nem korlátozódik a didaktika és a kommentátori munka területére, kialakul a téma független, saját célokat kit˝uz o˝ kutatási terepe. Az els˝o önálló munkát, amely már azt hirdette, hogy megszabadítja Euklidészt minden szepl˝ot˝ol, P. Gerolamo Saccheri tette közzé. Egy fecske ugyan nem csinál nyarat, de nem is jelenik meg, ha a nyár még nincs itt. Saccheri nem tette makulátlanná Euklidészt, mivelhogy a m˝u, az Elemek szepl˝otelen volt. Jól látható szepl˝o diszeleg viszont Sacheri m˝uvén, az Euclides ab omni naevo vindicatus-on. Állítása, mely szerint az általa kidolgozott non-E rendszerben el-

44


lentmondást mutatott volna ki, mero˝ tévedés volt. Az el˝otte hever˝o, felütött könyvben az antieuklideszi makrokozmosz hibátlan jele állt, de ez a makrokozmosz rejtélyes és ellenszenves alakban mutatkozott meg neki. Saccheri makulátlanná tett Euklidésze voltaképpen az antieuklideszi tételeknek azt a szeplo˝ telen rendszerét foglalja magában, mellyel un certain mauvais génie, non moins rusé et trompeur que puissant megtévesztette, hogy teorémájának egyetemes szellemét, a katholikus esprit de géométrie-t megkísértse. „Lieber singularis” – kommentálta Georg Simon Klügel 1763-ban Saccheri könyvét híres göttingai értekezésében, melyben Saccheri könyvének hibáját is felfedte (Conatum præcipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio, quam publico examini submittent Abraham Gotthelf Kaestner et auctor respondens Georgius Simon Klügel). Saccheri azzal a szándékkal idézte meg az antieuklideszi univerzum szellemét, hogy kísértetként u˝ zze ki: reductio ad absurdum segítségével szabadítsa meg to˝ le a geometriát. Azt a célt t˝uzte maga elé, hogy az antieuklideszi non-E rendszer szétzúzásával bizonyítsa, csakis az euklideszi rendszert illetheti meg az igazság és egyedül e rendszernek tulajdoníthatunk létet. Vállalkozása kudarcba fulladt. Ez volt a szerencséje! Ha ugyanis sikerült volna az antieuklideszi világot megsemmisítenie, kénytelen lett volna belátni, hogy ezzel nem meger o˝ sítette az euklideszi világ létezését, hanem könyörtelenül elo˝ idézte annak pusztulását is. A két szembenálló rendszer, mint azt Eugenio Beltrami 1868-ban bizonyította, valóban különös kapcsolatban áll egymással: az abszurdig felfokozott logikai szolidaritás relációja – egy igazi Mutual Assured Destruction, a valahai nukleáris stratégia o˝ rületes „MAD”-ja – köti o˝ ket egymáshoz. Ha az egyik összeomlik, az maga után vonja, hogy logikai értelemben a másik is megsemmisül. További lényegi el˝orelépést jelentett az antieuklideszi rendszer kibontakozásában három évtizeddel Sacchieri után Johann Heinrich Lambert munkája, melyb˝ol világosan kivehet˝o, hogy o˝ nem döntött: ingadozott az „igen” és a „nem” között.


45

Az o˝ t megtéveszt˝o genius malignus cselének eredményeként elébe táruló antieuklideszi tételek eleganciája és bizarr szépsége csábítóan hatott: „a következményekben van valami izgató, ami könnyen ráveszi az embert, hogy azt kívánja, bárcsak a harmadik hipotézis (ti. a non-E) volna igaz” – írta. Ámde sikerült ellenállnia a kísértésnek: „Csakhogy eme fortélyos kívánság dacára, mégsem vágytam erre”, hangsúlyozta, mivel „számtalan egyéb kényelmetlenség” adódnék a non-E-bo˝ l, és itt arra hivatkozik, hogy további bonyodalmak jelentkeznének a logaritmusok kiszámításakor, ami nyilvánvalóan nem túl meggyo˝ z˝o érv, s ráadásul teljesen méltatlan is egy olyan filozófushoz és matematikushoz, mint amilyen Lambert volt. Nyíltan beismerte azt is, hogy mindez csupán argumenta ab amore et individia ducta, és lemondott arról, hogy eredményeit közzétegye. Mi ez? Bizonytalanság? Reménytelenség? Rezignáció? Lambert nem kételkedett abban, hogy csak az E axiómának szabad igazságot tulajdonítani, hogy az az elképzelés, mely szerint vannak aszimptotikus egyenespárok, „nem állhat meg” – ámde nyíltan bevallotta: „Csakhogy nem vagyok képes megtalálni rá a bizonyítást.”

V ESZÉLYBEN AZ IGAZSÁG :

A PÁRHUZAMOSOK

PROBLÉMÁJÁNAK METAFIZIKAI DIMENZIÓI

A század végén megfordult a széljárás. Az egyenes aszimptoták problémája el˝otérbe került, és általános érdeklo˝ dés vette körül. Újonnan kivívott méltóságát bizonyítja egy 1799-bo˝ l fennmaradt híres levél, melyben az ifjú Gauss leereszkedo˝ hangon azt írja meghitt barátjának, Bolyai Farkasnak, hogy „egyeseket ügyes matematikusnak tartanak”, holott a probléma „nehézségeit sem megítélni, sem megérteni nem képesek”. És még hozzáf˝uzi: „a geometriához igazán ért˝ok száma rendkívül csekély” (Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Wolfgang Bolyai. Leipzig, 1899: 85–86).

46


A XIX. század els˝o két évtizedében megszállottan és kényszeresen kutatta boldog-boldogtalan az antieuklideszi rendszer cáfolatának lehet˝oségét: a kutatás valósággal mániává vált, s ez a mánia egyformán vonzotta az elhivatottakat és a hozzá nem ért˝oket, a hivatásos matematikusokat és az amato˝ röket: „igazi betegség, egyfajta o˝ rület, zsarnoki eszme” – írta Bolyai Farkas Gaussnak (Stäckel, i. m. 42.). Az utrechti és a königsbergi egyetem (Annal. Accad. Rheno-Traiectinae, 1816–1817, IX; ill. K. L. Struve: Theorie der Parallellinien. Königsberg–Leipzig, 1820.) díjat t˝uz ki annak, aki megoldja a problémát. A tudományos értekezések hangja egyre drámaibb, szenvedélyesebb, elbizakodottabb – retorikájuk pedig terjengo˝ s, érzelg˝os, dagályos. Savile ebben az összefüggésben még igazi teátrumot és közd˝oteret emlegetett, ahol magna exercerent ingenia (1621: 143). Száz évvel kés˝obb, 1733-ban, Saccheri már arról beszél, hogy diuturnum proelium – hosszú, elkeseredett harc folyik – adversus hypothesis anguli acuti, Bolyai Farkas pedig „bevehetetlen sziklavárról” tudósít Gaussnak írott levelében, olyan „félelmetes csatatérr˝ol” beszél, ahol o˝ „mindenkor vereséget szenvedett” (Briefwechsel: 193–194). A geometriai lemmákról és teorémákról folyó szigorú diskurzust kísér˝o polemizáló retorikában dagályos metaforák t˝unnek fel: er˝oditmény, csata, támadás, harc, áttörés, hódítás, kihívás, gy˝ozelem és vereség, h˝ostettek, bátorság, kétségbeesés és reménykedés – ezek a visszatéro˝ , sztereotíp kifejezések adják meg az alaphangot a tudós értekezésekben. Az esprit de géométrie tragikus – és komikus – ho˝ sei között rábukkanhatunk a Verdi operák elo˝ futáraira. Még a kimért, szófukar, h˝uvös – és a patetikus, teátrális gesztusoktól iszonyodó – Gauss is kicsit érzelgo˝ ssé vált, amikor az aszimptotákról beszélt: a párhuzamosok elmélete a matematika partie honteuse-e, egy botrányko˝ – panaszolta tanítványának, Heinrich Christian Schumachernek. Bolyai Farkasnak pedig arról írt, hogy hiába próbálta ezt a gordiusi csomót megoldani, drámai módon megfeneklettek a kísérletei – de hangot adott a reménynek is, hogy egyszer majd mégis megadatik, hogy átjusson ezen a veszélyes sziklazátonyon (Werke, VIII. 166, 160).


47

Nyilvánvalóvá vált, hogy nem az a jellegzetesen geometriai kérdés húzódik meg a látszólag jelentéktelen párhuzamos-probléma mögött, hogy létezik-e incidencia-pont, hanem az igazság megalapozását és forrását firtató tisztán spekulatív, metafizikai kérdés. Nem egy bizonyos geometriai állítás igazságát, hanem az Igazságot, magát az abszolút, egyetlen, szükségszer˝u, id o˝ tlen, örök igazságot veszélyeztette az antieuklidesziro˝ l való tudás. „Az igazságot kutatom”: ez a mondat olvasható Joh. Schultz – Kant követ˝oje és beszélget˝o társa – 1784-ben, Königsbergben megjelent Entdeckten Theorie der Parallelen cím˝u m˝uvének el o˝ szavában. Ellentmondást nem t˝uro˝ rövidségével ez a mondat kifejezésre juttatja, mekkora ösztönzést jelentett az újra felfedezett indíték: milyen alapon tulajdonítunk igazságot az euklideszi E posztulátumnak? „Ilyen er˝os az igazság hatalma, ha teljesen tisztán, eredeti – kend˝ozetlen, nem cicomázott – sz˝uzies szépségében mutatkozik meg” – írta C. F. Hindenburg, a Leipziger Magazin zur Naturkunde Mathematik kiadója Über die Schwierigkeit bzgl. der Lehre von den Parallellinien cím˝u tanulmányában (1781. 159.). Még Bolyai Farkas számára is – aki pedig, mint feljegyzéseiben fia a szemére hányta, különösen gyengének mutatkozott a gyengébbik nem irányában – „felfoghatatlannak” látszott, hogy „a sz˝uz igazságot ez a szepl˝o” csúfítja (Stäckel, i. m. 77.). Igen, az igazság, a szép, az ártatlan, a sz˝uzi igazság – akkor is, ha mezítelenül mutatkozik, mint egy „földöntúli istenno˝ ”, és akkor is, ha „minden lepel nélkül” jelenik meg, mint „a költo˝ által megénekelt szublunáris hajadon” –, igen, csak ez a sz˝uzi igazság volt képes lángra lobbantani mindeme celeberrimi és summi viri (köztük Kaestner, Klügel, Karsten, Hindenburg, Schultz, Eichler és mások) szenvedélyét, és csak ez tudta igazolni törekvéseiket a történelem színe el˝ott. „Én feltettem volt magamba, hogy föláldozzam magamat az igazságért” – Bolyai Farkas is ezzel a céllal indokolta vállalkozását egy 1820-ban, az akkoriban a bécsi mérnök-akadémián tanuló fiához, Jánoshoz intézett levelében. Én magam kész lettem

48


„volna martyr lenni” – folytatta – „csakhogy a Geometriát megtisztítva ett˝ol a mocsoktól adhassam át az emberi nemnek”. Nyilván e tapasztalatok alapján érezte magát Bolyai Farkas arra indíttatva, hogy fiát – akiért a Bécsbo˝ l Erdélybe eljutó hírek alapján igencsak aggódott – óvja a három legnagyobb veszélyt˝ol: az asszonyoktól, a párbajtól és a párhuzamosoktól (Stäckel, i. m. 68). A fenségest azonban csak egyetlen hajszál választja el a nevetségest˝ol: a „cél, amelyet” elérni „kívánunk” – még maga Gauss is ezt írta barátjának, Bolyai Farkasnak 1797-ben – nem más, mint hogy „az egész geometriát szigorúan bizonyítsuk”, és ezzel megakadályozzuk, hogy „a geometria igazságát megkérdo˝ jelezzék”. Csak ha ezt a „valóban magasztos célt” elértük – írta August Leopold Crelle, a tekintélyes Journal für reine und angewandte Mathematik alapítója és kiadója –, akkor fogja a matematika „valóban kiérdemelni, hogy a fennkölt és magasztos [. . . ]” predikátumokkal illessék (Über Parallelen-Theorien und das System der Geometrie. Berlin, 1816: 23). Bolyai Farkas, a marosvásárhelyi kálvinista kollégium frusztrált matematikatanára és fia, az emelkedo˝ csillag, aki matematikai lángelméjével és excentrikus ügyeivel keltett feltünést a birodalmi f˝ovárosban, ugyanarra jött rá, mint Max Frisch Don Juan-ja: a geometria iránt érzett szerelmüket az az átszellemített erotika motiválta, hogy megmentsék a makulátlan abszolút igazság becsületét: „két f˝o, uralkodó alapvonal volt egész életemben: az igazságnak (tanilag és erkölcsileg . . . ), és a némbereknek határtalan szeretete” – írta Bolyai János önéletrajzi feljegyzéseiben (lásd: Benk˝o, Bolyai János vallomásai. Bukarest, 1968. 31.). Bolyai Farkas rendkívül tehetséges matematikus volt, a maga korában a csúcsot jelentette. Gausshoz f˝uzo˝ d˝o barátsága azon alapult, hogy nézeteik közel álltak egymáshoz, és mindkett o˝ jüket érdekelte a párhuzamosok problémája. Négy évtizeden belül legalább nyolcszor tett kísérletet az antieuklideszi rendszer cáfolatára. De nyilvánvalóan nem a próbálkozások száma, hanem a min˝osége a lényeg. És Bolyai Farkas kísérletei eleget tettek a bizonyítással szemben támasztható legmagasabb igények-


49

nek: tele voltak ötletekkel, kifinomultak és körültekinto˝ ek voltak; nem volt könnyü feladat meglelni a hibájukat. Személyes tragédiáját könyörtelen kritikai szelleme okozta, az, amit annyira hiányolunk a többieknél, akik ugyancsak hajótörést szenvedtek ˝ maga volt az, aki a saját szemében még a a aszimptotáknál. O többnyire láthatatlan szálkákat is észrevette. Ez magyarázza a kísérletek nagy számát, valamint azt is, hogy mindig másképpen próbálkozott. Kétségbeesésbe kergette, hogy újra és újra tudatosítania kellett a sikertelenséget, s arra a meggyo˝ z˝odésre jutott, hogy a probléma gyakorlatilag megoldhatatlan, „meghaladja az ember erejét”. Az irodalomban keresett vígaszt: könnyeibe mártotta tollát, amikor az Öt szomorújáték (Írta egy Hazafi) Szeben, 1817. c. m˝uvet, a magyar giccsirodalom egyik klasszikus darabját papírra vetette. Az „olvasók csodálják és szeretik” ezeket a „keleti gyöngyszemeket” – tudjuk meg a kortárs kritikusoktól. Ahogy elviselhetetlen szindarabjainak rajongó ho˝ sei, Bolyai Farkas maga is patetikussá vált, ha a színen megjelentek a párhuzamosok: „Az Istenért kérlek!” – könyörgött fiának – haggy békét a paralleláknak! – úgy irtózz to˝ le, mint akármicsoda feslett társalkodástól”. Elháríthatatlan homály, örök napfogyatkozás, ez a mocsok a geometrián, ez az örök felleg a sz˝uz tiszta igazságon: „Az a feneketlen sötétség talám ezernyi newtoni óriás tornyokat is elnyél – sohasem világosodik a földön, s sohasem lesz a szegény emberi nemnek semmije tökéletes tiszta, még a geometria se.” Az els˝o szomorújáték h˝ose, Pausanias, a nagyravágyás áldozata az eldugott erdélyi tartomány színpadán (ahol egykor Fatzir, az ifjú indus szerepében ripacskodott) deklamálta dagályos sirámait semmi mással nem összemérheto˝ , ámde igen nemes ambícióknak feláldozott élete miatt: „Irtóztató óriási munkákat tettem; talám mindent elpróbáltam; sokkal jobbat csináltam, mint addig, de tökéletes megelégedést nem találtam”. Amikor megtudta, hogy fia, aki akkoriban – 1820-ban – a császári-királyi mérnök-akadémia növendéke volt, ugyanazon az – aszimptotikus párhuzamosok szabdalta – pályán indult el, melyen egykor o˝ is megpróbált fölkapaszkodni, keser˝uen figyelmez-

50


tette a párhuzamosok körül kialakult mitoszokra: „A parallelákat azon az úton ne próbáld, soha meg nem mutatod, [. . . ] egy örökké magába vissza forgató circulus van ebbe a matériába, szüntelen becsaló labirintus, mint a kincsásó elszegényül, aki ebbe elegyedik s tudatlan marad. Tanulj te az én példámon; én a parallelákat akarva megtudni, tudatlan maradtam, életem és ido˝ m virágát mind ez vette el. Higgy nekem! S tanulj most; ezeken a tájakon vannak Hercules columnái; egy lépést se menj tovább, különben elveszett ember vagy”; (Stäckel, i. m. 77–79.). A figyelmeztetés hiábavaló volt. Már el˝ore sejtette, hogy azt a katasztrófát fogja örökül hagyni fiának, melyre egész élete munkája ráment: „Sajnállak. Már látom, hogy az én szerencsétlen életemet éled újra!” Attól félt, hogy fia élete a második szomorújáték, a Mohamed, vagy a dics˝oség gy˝ozelme a szerelmen repríze lesz. Bolyai János becsvágyó volt. Atyjának „nagyon nyomatékos és er˝oteljes intelmei”, melyek „alkalmasnak látszottak arra, hogy még legmerészebb férfiúnak is örökre elvegyék a bátorságát”, nála ellenkez˝o hatást értek el: „a helyett, hogy elriasztattam volna, érdekl˝odésem csak még élénkült, s a leghevesebbre fokozódott vágyam és energiám, hogy a leheto˝ ség szerint minden áron keresztül hatoljak rajta”; (Stäckel, i. m. 79.). A kit˝uzött cél – mint kés˝obb írta – ekkor még csupán arra „korlátozódott, hogy az euklideszi axióma igazságát” bizonyítsa, egy ett˝ol független geometria ekkoriban még „álmában sem ötlött fel” benne. Az antieuklideszi rendszer alapveto˝ tételei azonban már akkor megvoltak: Bécsb˝ol származó feljegyzései, melyeket most Marosvásárhelyen o˝ riznek, már tartalmaznak egy meglehet˝osen zavarba ejt˝o antieuklideszi idomot, a maximális nyolcszöget, melynek oldalai páronként párhuzamos, végtelen egyenesek. A

NAGY

KONJUNKCIÓ : K ANT ÉS

A TISZTA ÉSZ KRITIKÁJA

Óhatatlanul fölmerül a kérdés: mivel magyarázható, az hogy a XVIII. század második felében egyszer csak érdeklo˝ dés támad – s˝ot: a mérvadó szakemberek megvetése dacára állandóan n o˝ az

Tóth Imre Bécstől Temesvárig: Bolyai János útja a nemeuklideszi forradalom felé

Recommend Documents