Tilburg University
Een overzicht van tijdsvariërende parameter-modelspecificaties in regressieanalyse Donners, P.J.J.; Heuts, R.M.J.
Publication date: 1983 Link to publication
Citation for published version (APA): Donners, P. J. J., & Heuts, R. M. J. (1983). Een overzicht van tijdsvariërende parameter-modelspecificaties in regressieanalyse. (Ter discussie FEW; Vol. 83.22). Unknown Publisher.
General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. ? Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research ? You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain ? You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal Take down policy If you believe that this document breaches copyright, please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.
Download date: 25. jun. 2016
IIII ,I I IIINIIIIIII NIII IINnl l INI I II NI
.-
REEKS "TER DISCUSSIE"
No.
83. 22
Een overzicht van tijdsvariërende parametermodelspecificaties in regressieanalyse
P.J.J. Donners en R.M.J.
Heuts
~ P~r.
~~,;i .,~~ , ``
Í~~~~
SU13F'ACULTEIT
DER
ECONOMETRIE
`. `f` ,.
i~
~:3
U~OE1~~
I 5''.~ ~ ~ ~ ~
~~~~~: .s~~~. ~.~~
f ~~i{~'f
Inhoudsopgave
1.
Inleiding
2.
Overzicht van modellen met tijdsvariérende parameters
2
3.
"Switching regression"
6
4.
De Kalman-filter-methode
10
15
5. Conclusies
Bijlage
1.
Model van Cooley en Prescott
16
2.
Bewijs van vergelijking
16
3.
De
toets van Chow
Literatuurlijst
(2.4)
18
20
-
i.
1
-
Inleiding
Zn deze notitie wordt een globaal overzicht gegeven van regressiemodellen, waarbij de parameters niet constant, d.w.z. ondersteld
tijdsinvariant worden ver-
(zoals bij de gebruikelijke regressie-analyse), maar juist tijds-
variant. De veronderstelling van constante regressie-parameters is niet altijd gerechtvaardigd als zich in de
(economische)
anderend gedrag ten gevolge hebben: staat,
context wijzigingen voordoen die een ver-
alhoewel eenvoud
in modellering voorop
legt de veronderstelling van constante regressie-parameters dan grote
beperkingen op.
In paragraaf 2 wordt een globale indeling gegeven van modellen, waarbij de parameters tijdsvariant worden verondersteld. Twee van de in paragraaf 2 gepresenteerde modelvormen zullen nader worden besproken. In paragraaf 3 wordt nader ingegaan op de methode van "switching regression" en in paragraaf 4 volgt de zgn.
Kalman-filter-methode. Beide methoden lijken uitermate geschikt
om tijdsvariërende parameters te modelleren; de eerste sluit nauw aan bíj de gebruikelijke regressie-analyse,
de tweede is theoretischer maar moeilijk te
implementeren. In paragraaf 5 volgen in het kort de conclusies.
parameters 2. Overzicht van modellen met tijdsvariërende veronderIn de gebruikelijke regressie-analyse gaat men uit van de de gehele toetsdat de regressie-parameters constant zijn gedurende werkelijkheid niet constant. periode. In het algemeen zijn de parameters in te geven, zou men dus In principe, om de werkelijkheid zo goed mogelijk weer in waarde kunnen vaaltijd van modellen moeten uitgaan, waarbij de parameters stelling,
rièren.
altijd Het beschikbare aantal waarnemingen veroorlooft echter niet vrijheidsgraden. zo'n modellering, die steeds gepaard gaat met een verlies aan variatie in de waarBovendien is zo'n modellering niet altijd nodig; als de veronderstelling den van de parameters gering is, kan zonder veel bezwaar de van constante parameters worden gehanteerd.
(in de
parameters Een indeling van mogelijke modelvormen met tijdsvariërende literatuur veelal aangegeven met "varying parameter models") volgt aan
de hand van de volgende regressie-vergelijking:
(2.1)
yt - at t Rt.xt t E.t
waarin
yt
: waarneming op tijdstip t
xt
: regressor-waarde op tijdstip t
at,
St:
regresie-coêfficiënten op tijdstip t, die ofwel deterministisch ofwel stochastisch worden verondersteld
et
:
storingsterm op tijdstip t
De nu volgende indeling is volgens Raj en Ullah
A.
Systematísch veranderende coëfficiënten: deterministisch verondersteld. 1.
constante coëfficiênten: stelling bij
de coëfficiënten worden volledig
Onderscheiden worden:
at - a,st - B,~dt.
regressie-analyse.
waarden van de
(zie [14]):
De
gebruikelijke veronder-
Eenvoud of een geringe variatie
in de
regressie-coëfficiênten kunnen redenen zijn voor deze mo-
dellering.
2.
functionele coèfficiënten: at - f(pt),St - g(pt). De coëfficiënten veranderen t.g.v, veranderingen in een beleidsvariabele ("policy" variabele) pt. Bijvoorbeeld: at - a t Y.pt,
Bt - R t S.pt. Vergelijking (2.1)
wordt nu:
- 3 -
yt - a t Y.pt t
(2.2)
S.xt t 8.pt.xt t et
Zijn pt en et ongecorreleerd en zijn pt en xt niet lineair afhankelijk, dan zijn de OLS-schattingen voor a, Bij
R, Y en d eenvoudig te bepalen.
formulering wordt een interactie-effect tussen de variabelen
deze
pt en xt in de regressie-vergelijking opgenomen,
hetgeen niet het geval
is als pt als een normale regressor wordt beschouwd
(vergelijk xt).
"policy" variabele wordt nu expliciet in de regressie betrokken, additief als toetst:
interactief.
Overigens kan de
y- d- 0 betekent dat pt geen
De
zowel
invloed van pt worden ge-
invloed heeft op at,
st en dus
op yt. 3.
"switching regression":
at
-
f(Dt),
Rt - g(Dt),
Dt een dummy-variabele.
Systematische veranderingen in de regressie-coëfficiënten treden discontinu op.
Dummy Dt verdeelt de waarnemingen in 2 groepen:
gen vóór de verandering en waarnemingen na de verandering. groep worden de coëfficiènten constant verondersteld,
waarneminBinnen een
maar van groep tot
groep kunnen ze afwijken. Bijvoorbeeld: at
- a t y.Dt,
Rt - s t
(met n het aantal waarnemingen).
S.Dt met Dt -
Vergelijking
(2.1)
0,
i
1,
t~
~
t ~ tD ~ t ~
n
wordt nu:
yt - a t Y.Dt t R.xt t S.Dt.xt t et
(2.3)
Als
t~ bekend is,
is dit een meervoudig regressie-model met constante
coëfficiënten en dummy-variabelen. bepaald door die waarde
te nemen,
Is
t~ niet bekend,
dan kan t~ worden
welke de kwadratensom minimeert.
Rechtvaardiging van discontinu varièrende coëfficiènten kan worden gevonden in plotseling optredende, nomische)
context,
structurele veranderingen
in de
(eco-
die een drastisch gewijzigd gedrag ten gevolge heb-
ben.
Bijvoorbeeld oorlogen,
stakingen,
etc.
Een aantal varianten van "switching regression":
a.
"switch" op basis van tijdindex;
b.
"switch"
op basis van de waarde(n)
niet in het regressiemodel
seizoensinvloeden,
van een
oliecrisis
(gewogen som van meerdere)
zelf vóórkomende variabele(n):
bepaalde grenswaarde geldt Dt - 0,
beneden een
boven die grenswaarde Dt
-
1(zie
Goldfeld en Quandt [8]);
c.
de
"switch" wordt gemodelleerd m.b.v. een overgangsfunctie i.p.v.
een 0-1-variabele: een geleidelijk verlopende overgang wordt verkre-
- 4 -
gen aan de hand van een continue functie. len voor:
een verdelingsfunctie
Cauchy-verdeling of van een
d.
Goldfeld en Quandt [8]
van een normale verdeling,
logistische curve
stel-
van een
(zie ook paragraaf 3);
"segmented regression": de overgang tussen 2 te onderscheiden regressie-vergelijkingen moet continu verlopen: bij
schatting wordt geèist
dat beide regressie-vlakken elkaar in een overgangsgebied moeten snijden e.
(zie [11]);
"switch" met deterministische en stochastische component: matische component
("drift")
wordt beinvloed door
het model van Cooley en Prescott [5]
B.
(zie bijlage
een syste-
"random shocks"; 1).
Coèfficiènten die stochastisch variëren: de coëfficiënten zijn deels deterministisch en deels stochastisch van aard
(in feite valt variant A.3.e ook
hieronder). Te onderscheiden zijn: 1.
coëfficiènten,
A.2 worden stochastische
at - f (pt) 2,
aan de varianten A.1
die stochastisch van aard zijn;
en
(storings)termen toegevoegd: at - a f nt of
t nt.
sequentieel varièrende coèfficiënten: deze zijn van het zgn. Kalman-filter-type. Stel: at - Y.pt t
nt
Rt - d.zt t wt, met pt en zt economische variabelen, die de regressiecoëfficiënten beinvloeden. Als bovendien pt - pll'~t-1 Zt - p21'pt-1 dan
f
p12'Zt-1 } ~t
t p22.zt-1
t ~t,
pi j
"response"-coëfficiënten,
is:
at - ~11'at-1
} ~12'St-1 } ~t
St -~21'at-1
}~22'St-1
(2.4) t vt
(zie bijlage 2)
Het meest bekend zijn de volgende 2 varianten: a, adaptieve coëfficiënten:
b.
at at-1 } ~t
(~11 - 1'
~12 - g)
St - St-1 } ~t
(~21 - 0,
~`22 - 1)
stochastisch convergerende coéfficiënten:
at
-~l~at-1
}(1-~1)a } ~t
Rt - a2.Rt-1 }
(1-a2)a
} ~t
- S -
Op de schatting van de parameters volgens de Kalman-filter-methode wordt in paragraaf 4 nader ingegaan.
Verder wordt ook verwezen naar Ohnishi [12] en Sorenson [17].
Opmerking
Wordt op een bepaald moment de conclusie getrokken, dat het gehanteerde regressie-model met constante coëfficiënten niet voldoet, dan zal veelal eerst worden geprobeerd om het regressie-model te verbeteren door toevoeging van be"vergeten" regressoren, of door vervanging van reeds opgenomen regres-
paalde
soren. Mocht dit geen resultaat opleveren, dan zal vaak pas modellering van variërende parameters worden overwogen - bij een voldoende aantal waarnemingen en - op grond van
(drastische)
wijzigingen
in de
(economische)
context of op
grond van een bij OLS gebleken grote variatie in de regressie-coëfficiënten. Of wijzigingen
in de context significante wijzigingen ten gevolge hebben in de
waarden van de regressie-coëfficiènten kan getoetst worden met de
toets van
Show. De meest voor de hand liggende toepassing van modellen met tijdsvariërende parameters, immers, meer)
uitgaande van een
(OLS-)regressie-model,
is
de parameters worden constant verondersteld op (zie variant A.3).
discontinue wijziging na
gebruik van dummy-variabelen; Een elegante,
"switching regression"; "slechts"
ter-methode. Theoretisch biedt zij parameters in beeld te brengen.
de
toe
(min of
"Switching regression" maakt
dit gebruik zal in paragraaf 3
maar praktisch moeilijk
één
worden toegelicht.
te passen methode is de Kalman-fil-
beste mogelijkheden om tijdsvarièrende
Deze methode
komt in paragraaf 4 ter sprake.
- 6 -
3.
"Switching regression"
Aan de hand van een é én-regressor-model zal de methode van regression" worden toegelicht.
Stel dat
perioden kunnen worden onderscheiden,
yt - a t~.xt f et~l,
f
in een toetsperiode
waarbij
T1 t T2 - T en T1 (1 T2 -(d.
waarin de volgende deelmodellen gelden:
et~2,
D.m.v. dummy-variabele Dt, gegeven door Dt -
a0 - a, al - Y-a,
waarin
xtl
- xt' xt2 -
Aangetoond kan worden resp.
a3
geldt:
al
- c - a
a,
- d - b
, waarbij 3, b, Aan de
en
a2 - S.
1,
t E T2
(3.2) herschreven worden tot
a3 - d-R
(Kooyman [10]),
dat voor de OLS-schatters al
c en d de OLS-schatters voor resp. a,
R,
kan worden getoetst of
en a3
toets van Chow,
gen simultaan toetst
de
een significante ver-
tingen a2
situaties
en a3:
al
of
Dit betekent een uitbreiding van de
welke de significantie van alle parameter-veranderin-
(zie bijlage
OLS-schattingen a0 en al
kunnen vier
voor
Y en S.
in de waarde-schatting van een parameter heeft plaatsgevonden:
a3 heeft dan een voldoende grote t-waarde.
M.b.t.
t E T1
Dt.xt.
hand van de normale t-toets
andering
bekende
0,
yt - a0 t a1.Dt t a2.xt1 f a3.xt2 } r1t
(3.3)
al
2 deel-
t ~ T,
tET2
yt - Y t 8.xt
(3.1)
~
t E T1
(3.2)
kunnen de vergelijkingen
1
"switching
3).
resp.
zich vóórdoen.
a2 en a3 voor a0 en al
resp.
a2 en a3,
Dit wordt geillustreerd voor de OLS-schat-
-
7 -
1. a2 significant, a3 insignificant: de invloed van xt wijkt in de tweede periode niet significant af van die in de eerste periode, xt2 wordt als regressor weggelaten en de invloedsgrootte van xt blijft gedurende de gehele periode 2.
a2. a,rinsignificant:
a2 significant,
de
invloedsgrootte van xt wijkt in de
tweede periode significant af van die periode T1 T2 op a2
is geschat op a2
t a3
(- ~,
3. a2 insignificant,
(-
S,
de OLS-schatting voor S)
De invloed in en in periode
de OLS-schatting voor 8).
a; significant:
de invloed van xt is slechts in de twee-
de periode statistisch aantoonbaar. grootte 0,
in de eerste periode.
In de eerste periode is de invloeds-
in de tweede periode a3.
4. a2 insignificant, a~ insignificant:
triviaal; xt blijkt insignificant gedu-
rende de gehele toetsperiode en dient als regressor te worden weggelaten.
Situatie
1
sluit aan bij de
de
invloedsgrootte is gedurende
is
echter,
de
invloedsgrootte constant is.
gebruikelijke
de gehele periode gelijk.
dat niet op basis van veronderstelling,
Situaties 2
en 3 geven aan,
In situatie
coëfficiënt in de eerste periode
op nul geschat.
tweede periode een nieuwe
periode niet van invloed is. bele,
die
zal zijn,
Belangrijk verschil
maar op basis van toetsing
dat een verandering van de regressiecoëf-
ficiènt significant is gebleken.
om in de
(OLS-)regressie-analyse:
3
is de grootte
van de regressie-
Dit opent ook de mogelijkheid
regressor te introduceren,
die
in de
eerste
Denk bijvoorbeeld aan een kostenbeheersingsvaria-
in een situatie van voortdurende
economische groei niet van invloed
maar in een situatie van stagnatie zeker haar
invloed
zal doen gel-
den.
Situaties 1 en 2 worden in figuur 1 en 2 toegelicht.
In figuur lb en
2b komt duidelijk naar voren of de regressie-coëfficiënt verandert.
- 8 -
Figuur 1: géén verandering in de regressie-coëfficiënt.
regressie-coëfficiènt van xt
yt yt - a t ~. xt
t
fig.
la
fig.
ib
Figuur 2: verandering van regressie-coëfficiënt op tijdstip t0.
fig.
2a
fig.
2b
- 9 -
In abrupt:
figuur
2b blijkt de niveau-wijziging van de regressie-coèfficiënt
tot tijdstip t8 heeft de geschatte regressie-coèfficiënt de waarde
vanaf tijdstip t0 echter de waarde d.
maar meer geleide-
Een niet zo abrupt,
lijk veranderende regressie-coèfficiënt kan worden gemodelleerd m.b.v. Goldfeld en Quandt
leidelijk verlopende dummy-variabele. dummy-variabele d.m.v. (:
variabele(n),
een continue
functie van
(een)
([8])
Figuur ib zou bij
leidelijk veranderende dummy er als volgt uit kunnen zien:
ir
I i
benaderen zo'n
Zij
om de verdelingsfunctie te gebruiken van een normale verdeling,
~ regressie-coèfficiënt van xt
een ge-
externe variabele(n)
die niet in het regressie-model vóórkomen).
verdeling of van een logistische curve.
S,
stellen voor een Cauchy-
gebruik van een ge-
- 10 -
4. De Kalman-filter-methode
Het Kalman-filter-model, modell", "Gaussisch systeem" of cipe
ook wel
"state
space model",
schattingsmodel" genoemd,
"adaptief
dat via recursieve rekenprocedures
een algemeen raamwerk,
De aanpassing van de schattingen in de loop van de
nereert.
"Zustandsraum-
tijdsvariërende coëfficiënten vindt hierbij
is
in prin-
schattingen ge-
tijd m.b.t.
de
adaptief plaats. Ook regressie-
in de algemene Kalman-model-formulering worden gegoten.
vergelijkingen kunnen
tweetal vergelijkingen.
Het Kalman-filter-model bestaat uit een
Voor
regressie zijn deze:
(4.1)
Sttl
(4.2)
yt
de vector van toestandsvergelijkingen - Ft'~t } Gt~wt, Et
- xt.Rt f
,
de waarnemingsvergelijking
de waarneming op tijdstip t;
waarbij: yt:
xt: de vector van regressorwaarden op tijdstip t; St:
de vector van regressie-coëfficiënten op tijdstip t;
Ft:
de zgn.
overgangsmatrix op
tijdstip t;
Gt :
~3c
wc~c3inc~:,matrix voor.
cic
zgn.
-;1.ori.nc3c~n
in clc~
rc~clrc~.:s,ic~-coèfl~i-
ciënten;
storingsterm m.b.t. de waarnemingsvergelijking
et:
wt: vector van storingstermen m.b.t.
("meetruis");
de regressie-coëfficiënten
("toe-
standsruis").
Vergelijking
(4.1)
geeft de dynamiek weer van de veranderingen in de
waarden van de regressie-coëfficiènten; vormt de
regressie-vergelijking met
vergelijk
(2.4).
Vergelijking
tijdsvarièrende regressie-coëfficiènten.
Statistische aannamen: 1.
Ft en Gt
2.
wt,
zijn deterministisch en bekend,
zijn witte-ruis-processen met
ct
E{~,,it}
-
0,
Cov{wt,
ws}
E{et}
-
0,
Cov{rrt,
es}
(4.2)
Vt;
gegeven
-
Qt~sts 2 - Qt.Sts;
3.
wt en et zijn niet onderling gecorreleerd;
4.
wt en et zijn niet gecorreleerd met Rt.
covarianties:
- 11 -
Het filter-proces bestaat uit twee fasen: 1. De predictie-fase Op basis van de waarnemingen {yl,...,yt} en de schatting bt voor S t worden twee éé n-staps-voorspellingen bepaald, te weten: - btfl~t' - Vtfl~t'
de é én-staps-voorspelling voor
Rtfl de covariantie-matrix van de voorspelfout
stfl
- bttl~t'
2. Fase van "updating" beschikbaar komt, worden bttl de Yttl covariantie-matrix van de schattingsfout Als
schatting voor
St}1,
en Vt,
de
bepaald. Beide worden Rttl - bttl' berekend aan de hand van met de voorspelfout Sttl - btfl~t gecorrigeerde
voorspellingen bttl
en Vttl
en Vttl~t' bttl~t dienen als basis voor de voorspellingen op tijdstip tfl.
Voordelen van het gebruik van de Kalman-filter-methode zijn de volgende: - het opsporen van parameterwijzigingen is vrij
de parameterveran-
eenvoudig:
deringen komen immers in een aparte vergelijking naar voren - eenvoudige berekeningen:
(zie verg.
(4.1));
matrix-inversies vinden niet plaats!
- op elk tijdstip is een oplossing van het schattingsprobleem voorhanden. De nadelen zijn tweeërlei van
aard:
- er moet veel a-priori-informatie beschikbaar zijn: - Ft en Gt moeten op elk tijdstip t bekend zijn;
- de covarianties Qt en ot van de witte-ruis-processen worden bekend verondersteld; - startwaarden b0 en VO moeten bekend zijn;
- een voldoende mate van convergentie wordt veelal pas na een groot aantal waarnemingen
(~ 100 )
bereikt.
Aan het eerste nadeel wordt vaak tegemoet gekomen door matrices te beschouwen:
slechts vereenvoudigde
ze worden vaak tijdsinvariant verondersteld en als dia-
gon~almatrix gedefinieerd. A~in bei~3c nadelen wordt minder gewicht toegekend als de Kalman-filter-methode niet als een op zichzelf staande methode wordt beschouwd, ging aan een reeds bestaand econometrisch model,
maar als een toevoe-
bijvoorbeeld om de constant-
heid van de regressie-coëfficiënten te bestuderen.
Hierdoor
is de noodzakelij-
ke a-priori-informatie aanwezig en convergentie
zal
sneller plaatsvinden,
dat men met een kleiner aantal waarnemingen toe
kan
(Athans [i]).
zo-
12 -
-
de
gegeven De Kalman-schatter b} is de beste lineaire schatter voor Rt, } miniwaarnemingen {y1,...,Yt}. "Best" houdt in dat E{ (bt - St) '(b,t - Bt) is.
maal Onder
statistische
eerder vermelde
de
aannamen kunnen de
volgende
rekenregels
worden opgesteld:
predictie
voorspelling van
btfl~t - Ft'bt,
Vtfl~t - Ft Vt Ft "updating"
t Gt Qt Gt,
~ttl
covariantie-matrix van de voorspelfout
bttl - btfl~t } Kttl(~tfl - xttl bttl~t)'
het zgn. "Kalman-gain". t ctfl)-1, zij is niet-lineair van vorm. In-
waarbij
Ktfl - Vttl~t'xttl(xtfl Vtfl~t xtfl Deze factor speelt een zeer belangrijke rol;
Zijn er wordt de men
het onderhavige systeem komen
tijdelijk grote veranderingen in deze
beperkt aangepast
in de data-vector xt naar voren. informatie
("signalen"), dan
st extra aangepast via de meer dan lineair toegeno-
schatting bt voor
"Kalman-gain".
Stfl
covariantie-matrix van de schattingsfout
Vttl - Vttl~t - Kttl xttl Vttl~t
vormatie m.b.t,
schatting van
Zijn de
signalen zwak,
dan wordt de
schatting bt slechts
(Bohlin [3]).
Keuze van de matrices
Vaak wordt
in vereenvoudigde matrices Ft,
het probleem, is.
dat a-priori-informatie wel noodzakelijk maar niet beschikbaar
De vereenvoudigingen zijn de volgende:
- Ft - F, Gt - G, `dt: -
Ft - F-
I,
Gt - G-
Ft en Gt worden tijdsinvariant verondersteld. I,
n~m~~n
(c;
-
l).
Qt
(F
D~~ kcuze b't
om parameterwijzigingen - diag(al,...,ak)
De regressie-coèfficiènten worden onderling on-
`dt.
afhankelijk veronderstel
-
Gt en Qt een oplossing gezocht voor
-
de storingstermen worden ongewogen meege-
I); f.'
-
i
blijkt
bovendicn de beste mogelijkheid
zo snel mogelijk tot uiting te brengen
(met
k:
aantal regressoren);
(Sarris
niet alleen vanwege
voud, maar ook vanwege identificeerbaarheidsproblemen
[16]). een-
(Cooley en Wall [6]),
wordt voor Qt de diagonaalvorm gekozen.
Het grootste probleem vormt nu de ties van de witte-ruis-termen.
De verschillende
ter richten zich dan ook hierop. varianten:
schatting van Qt en at,
de covarian-
varianten van het Kalman-fil-
Hieronder volgt een indeling van de filter-
- 13 -
A.
B.
De op de waarnemingen yt gerichte schatters 1,
schatters volgens Toyoda,
2.
schatters volgens Mehra,
Chen en
Inoue;
(Bunn [4]): zij
gebruiken eerste verschillen;
uitgaande van autocovarianties.
De op de innovaties yt gerichte schatters
(Bennett [2]). De innovatie yt is
gelijk aan het verschil van de gerealiseerde waarde yt en de voorspelde Te onderscheiden zijn: bt~t-1' 1. het Jazwinski-filter, gericht op de schatting van Qt;
waarde van yt,
zijnde xt
een zeer elegante, maar bewerkelijke,
2, het Mehra-filter;
iteratieve proce-
dure; het Sage~Husa-filter
3.
(Fahrmeir
[7],
Sage~t9elsa [15]);
recursieve ML-schatting wordt een vríj
via een benaderde,
eenvoudige berekeningswijze van
Qt en Qt verkregen; 4.
ML-schatters
(Harvey [9],
Bohlin [3]).
Opmerkingen
Bij
elk van bovengenoemde
filter-varianten zijn kanttekeningen te plaatsen.
Afhankelijk van de onderhavige ten worden gemaakt. bij 1.
de
situatie zal een keuze uit deze varianten moe-
Hieronder volgen
in het kort de belangrijkste opmerkingen
filter-varianten.
Een nadeel van de op de filter-model
innovaties yt gerichte schatters is,
van het proces nodig
van St gegenereerd worden, tuele modeldivergenties
is:
2.
op elk tijdstip moet een voorspelling
waarvoor Kt en
Vt~t-1 laten hun invloed gelden,
bij de op de waarnemingen yt gerichte
dat het Kalman-
bekend moeten zijn.
Even-
hetgeen niet het geval
is
schatters.
2 De op yt gerichte schatters gaan uit van in de tijd constante Q- en awaarden,
dit i.t.t.
de op yt gerichte schatters.
Dc ve~ronderstelling van
tijdsinvariante Q- en al-waarden is bezwaarlijk vanuit het oogpunt van toetsing van wijzigingen in het systeem, maar is vaak nodig om behoorlijke convergentie-eigenschappen van de algoritmen te verkrijgen
(zie [7]).
3. Simulatie-experimenten m.b.t. de op yt gerichte schatters tonen aan
(Bennett
[2]), dat: - het Jazwinski-filter goede convergentie-eigenschappen heeft m.b.t.
auto-
regressieve parameters in het toestandsproces; - het Mehra-filter vrij
instabiele schattingen levert:
slechte schattingen
van ot beinvloeden sterk de schattingen van Vt en Qt; - het Sage~Husa-filter
langzaam convergeert,
en parameterwijzigingen t.g.v.
data-variatie langzaam plaats vindt als convergentie al
is
gerealiseerd.
-
14 -
4. Het Mehra-filter lijkt moeilijk toepasbaar: bijsturing van Qt vereist op elk tijdstip een bewerkelijke iteratieve procedure S.
(Bunn [4]).
Hoewel de op yt gebaseerde schatters tijdsvariante schattingen van Qt en at leveren, blijken ze in praktijk toch steeds naar constante waarden te convergeren.
Een bijzondere toepassing van de Kalman-filter-methode m.b.t, als Qt gelijk wordt gesteld aan de nul-matrix O.
sie wordt verkregen, Vergelijking
regres-
(4.1) wordt nu:
~ttl
- Ft'~t
Sttl
-
St
en
indien Ft - F- I,
dt
( deterministisch!)
Dit wordt ook wel de "recursive least squares"
(RLS)
genoemd. De achtereenvol-
gens resulterende schattingen bt voor St bij voortschrijdende t geven aan hoe de regressie-coëfficiënten evolueren bij de veronderstelling van constante coëfficiënten. Vergelijkt men deze Kalman-schatter bt met constante parameters, met de OLS-schatter na t waarnemingen bt, dan - is de variantie van bt m.b.t. -
is de schatter bt niet zuiver,
- wordt de
"onzuiverheid"
steeds meer tot bt,
~t kleiner dan die van bt; maar bt wel;
steeds geringer,
zodat bt wel
een consistente schatter!).
(Otter [13]):
naarmate t toeneemt:
een consistente
schatter is
bt nadert (bt is immers
- 15 -
5.
Conclusies
Is er reden om tijdsvariante coëfficiënten de meest voor de hand liggende aanpassing, met constante coèfficiënten, steld worden systematisch
te veronderstellen,
uitgaande van een regressie-model
een modellering waarbij de coëfficiënten veronder(groep A van modelvarianten
te veranderen
De meest gebruikelijke toepassing is die van
graaf 2).
de toetsperiode wordt opgedeeld in homogene perioden, sie-coèfficiènten constant worden verondersteld, De aanpassing blijkt niet zo groot:
afwijken.
dan is
in para-
"switching regression": binnen welke de regres-
maar tussen welke deze mogen
een meervoudig regressie-model
met constante coëfficiënten en dummy-variabelen resulteert. Een geavanceerde methode om parameter-wijzigingen
grote aantal waarnemingen. Athans
economische context zelden voorhanden. methode
is
Nadelen vormen de benodigde a-priori-
die volgens de Kalman-filter-methode. informatie en het vereiste,
te modelleren,
Beide
zijn
zeker in een
(1] pleit er dan ook voor deze
supplementair aan de normale OLS-regressie
heid van de regressie-coëfficiënten te bestuderen:
te gebruiken om de constantde a-priori-informatie is
dan aanwezig, hetgeen ook de vereiste hoeveelheid waarnemingen reduceert. De diverse Kalman-filter-varianten onderscheiden zich van elkaar door een afwijkende manier van schatting van de covarianties in het toestands- en waarnemingsproces riant te
(zie paragraaf 3).
Deze schattingen blijken ofwel
zijn ofwel naar een constante waarde te convergeren.
sche context is dit niet altíjd gewenst: (oorlogen,
oliecrisis etc.),
In een economi-
doen zich grote veranderingen voor
dan kan dit vanwege de
te covarianties niet voldoende
(nagenoeg)
constant geschat-
in veranderende regressie-coëfficiènten tot uit-
drukking komen. Om dit probleem op te
lossen kan worden overwogen om de cova-
rianties op een alternatieve manier te
schatten,
of om de gebruikte matrices
binnen het intrinsieke Kalman-filter-model anders te definièren. ste kan gedacht worden aan het "dynamisch" Ft als functie van een in Bohlin [3]:
(aantal)
een t.g.v.
(economische)
endogene,
Bij
dit
laat-
definiëren van de overgangsmatrix
variabele(n).
matrix Ft kan gemodelleerd worden d.m.v. model vóórkomen of d.m.v,
tijdsinva-
Een aanzet hiertoe
is te vinden
omstandigheden veranderende overgangsvariabelen,
die niet in het regressie-
maar vertraagde variabelen.
- 16 -
Model van Cooley en Prescott
1.
Bijlage
In het model van Cooley en Prescott worden de regressie-coëfficiénten verondersteld te bestaan uit een systematische "drift",
die wordt beïnvloed door
Deze modellering ziet er als volgt uit
om shocks".
yi
(zie Raj
"rand-
en Ullah [14]):
- xi Ri
R. - RP t u. -i -i -i RP -
RP-1 }
,
i- 1,...,n
vi , i- 1,...,n met i: tijdsindex.
De regressie-coéfficiënt op tijdstip i bestaat uit een permanente De permanente component
en een tijdelijke component ui.
component
RP
is onderhevig aan
Rp wordt bepaald door de waarde van de permanente component op het vo-
"drift":
rig tijdstip
(RP-1)
en een storingsterm vi. Dit model geeft een langzaam ver-
anderende permanente factor te zien en niet een plotseling veranderende, zoals bij de meeste andere in het overzicht van opgenomen modellen. Cooley
en Prescott veronderstellen de volgende
E
waarbij
Cov(u.) -1
-
Cov(vi)
- A a2.E~
en E
u
v
(1 - e)Q2.E
u ,
0 ~ 0 ~ 1
bekend verondersteld worden.
Geschat moeten worden Q2, a en sP
Bijlage 2. Bewijs van vergelijking (2.4)
at St
-
Y
~
pt
0
d
zt
t
nt wt
Pt-1 ?tI
LP21
p22
?t-1
t
et
~t
covariantie-matrices
- 17 -
Welnu,
p12 St
0
d
Y
~
0
d
{
p21
p22
pll
p12
p21
t
Y
-1
0
p221
0 Y
at-1
- nt-1
St-1
- Wt-1
}
-1 dY
waarbij:
p21
- dY
p22
~11
~12
at-1
~21
~22
St-1
~`11
- pll
~12
- Yd
~21
- dY
nt wt
-1 - pllnt-1 -1
p12
Yd
}
~t
-1 pll
et
-1
}
- Yd
p12Wt-1
}
Y~t
df,t nt-1 - p22'wt-1 }
)
ut ~ ut
-1 p12 -1 p21
~22 - p22 f YEt - nt -~ilnt-1 -~12Wt-1 ut - nt - pllnt-1 - Yd-1p12'wt-1
} YEt
~ -1 w t d~ n - p u - w - d 22'-t-1 -t Y -t-1 -t -t
t d~ -t .
~ De ruistermen ut en ut zijn gecorreleerd. met:hode
- w -~ n - a w 21-t-1 22-t-1 -t
Voor toepassing van de Kalman-filter-
in deze situatie verwijzen we naar Ohnishi
[12].
- 18 -
Bijlage
toets van Chow
De
3.
coèfficiënten uit regressies voor De toets van Chow toetst op gelijkheid van van de volgende lineaire modellen: twee verschillende perioden. Chow gaat uit - X1R1 t ul
, t E T1
~2 - x2R2 t u2
, t E T2
yl
T1 t T2 - T
T1 (1 T2 - ~ X Stel y-
Als
R1
R,
X21
~1 ?'2
,
X-
en
s2 m.b.v.
,
zodat y- XR t v
OLS
geschat worden door b,
e - y - ~3
( , met y - Xb )
el - yl - Y1
(. met yl - Xlbl)
e2 - y2 -
(, met Y2
~2
bl
en b2 en we definiëren
X2b2)
verschil is tussen de redan is de nulhypothese van de Chow-toets dat er geen gressie-coèfficiënten uit beide perioden:
H0:
R1 - R2 tegen H1:
De toetsgrootheid (e'e F
waarin:
M.b.v. geven
-
B1 í~ R2 .
is: -
elel -
e2e2)~k
(eiel t e2e2)~(T - 2k)
k
FT-2k
( kolommen in X,
k:
het aantal
regressoren
T:
het totaal
aantal waarnemingen.
X1
of X2)
weergedummy-variabelen kan de regressie-vergelijking als volgt worden (zie Kooyman [10]):
- 19 -
Y1
-
Y -
X1
~-
R1
(~
X2
R2
Í'2
-
X1
~
R1
X2
X2
}
t
ul
u2
ul
Y
u2
waarin Y - R2 - R1. Aangetoond kan worden
(Kooyman [10]),
b2 de OLS-schatters zijn voor R1,
(, waarin bl,
c- b2 - bl
dat voor de OLS-schatter c voor Y geldt:
Onder de
HO-hypothese van de Chow-toets,
van y:
- 0.
Y
nl.
R1
- R2
- R0,
R2). geldt nu in termen
In dit geval geldt:
X1
~
~X 2
R
} 0
ul u2
Definieer:
e10
yl
yl
e20
y2
y2
.
Voor de toetsgrootheid van Chow geldt nu:
F-
[(e' e t e' e)-(e'e 1 1 10 10 20 20 (eiel f e2e2)~(T - 2k)
f e'e )]~k 2 2 E Fk T-2k
~
De Chow-toets toetst de significantie van de elementen van Y simultaan. De uitbreiding, die geboden wordt door het werken met dummies, bestaat uit de mogelijkheid om elke coèfficiènt uit y afzonderlijk op significantie te toetsen. De
significantie van elke coèfficiënt is eenvoudig te bepalen aan de hand van
de hekende
t-toets.
- 20 -
Literatuuroverzicht
[
1]
Athans
[d. ,"The
tems",
Annals
Economic and Social Measurement,
of
3,
p.
49-63.
International Journal of Systems
tuations: A comparison of inethods", 7, p. 257-275.
1976,
[ 3] Bohlin T.,
1974,
"Non-stationary parameter estimation for small sample si-
[ 2] Bennett R.J.,
Science,
`or econornic sys-
importance of KaL:ian `iltering raethoás
"Four cases of identification of changing systems",
in:
System
identification advances and case studies, R.K. Mehra and D.G. Lainiotis (eds.), Academic Press, New York, p.
[
4] Bunn D.W.,
"Recursive estimation of the observation and process noise co-
variances
in online
Research,
198U,
6,
[ 5] Cooley T.F., E.C.
6] Cooley T.F.,
p.
7]
Ruprecht,
[
"Estimation in the presence of stochastic pa1976, 44, p.
Econometrica,
K.D. Wall,
Fahrmeir L.,
127,
167-184.
"Identification of time-varying parameters", NBER 1976. fur Zeitreihenmodelle, Vandenhoeck und
Rekursive Algorithmen
Góttingen,
European Journal of Operational
302-308.
Prescott,
Working paper, no.
[
filtering",
Kalman
rameter variation",
[
441-518.
1981.
8] Goldfeld S.M., R.E. Quandt,
"The estimation of structural shifts by
switching regression", Annals
Economic and Social Measurement,
of
1973,
2, p. 475-485.
[
9]
Harvey A.C., Annales
"The estimation of
de L' INSEf,
1978,
30~31,
time-varying parameters p.
[11]
data",
203-226.
[10] Kooyman M.A., Dummy variables in econometrics, 1976, p.
from panel
Tilburg University Press,
141-143.
A.H.G.
Rinnooy Kan,
Lenstra A.K.,
J.K. Lenstra,
least squares
(niet gepubliceerd artikel).
T.J.
Wansbeek
,
Two lines
- 21 -
[12] Ohnishi K.,
"Direct recursive estimation of noise statistics",
in: Control
and dynamic systems; Advances in theory and application, C.T. Leondes 16,
1980, p.
[13] Otter P.W., dels;
Raj
B.,
Helm,
249-297. "The discrete Kalman filter applied to linear regression mo-
statistical considerations and an application", Statistica Neer-
landica,
[14]
(ed.),
1978,
32, p.
Ullah A.,
London,
41-56.
Econometrics,
a varying coefficients
approach,
Croom
1981.
[15] Sage A.P., Melsa J.L., Estimation theory with applications to communications and control, McGraw-Hill, New York,
[16]
Sarris A.H.,
"Kalman filter models:
a Bayesian approach to estimation of
time-varyíng regression coefficients", Measurement,
1973,
[17] Sorenson H.W., systems;
2, p.
1971.
Annals of
Economic and Social
501-523.
"Kalman filtering techniques",
theory and applications,
C.T.
Leondes
in: Advances in control (ed.),
3,
1966,
p.
219-289.
- I
-
IN 1982 REEDS VERSCEiENEN:
O1.
W.
van Groenendaal
Building and analyzing an econometric model with the use of a hybrid computer; part I.
jan.
.
02. M.D. Merbis
System properties of the interplay model
03. F.
Decentralisatie en regionaal sociaal-economisch beleid
maart
Een monetaristisch model voor de Nederlandse economie
maart
Morfologie van de "Wolstad", Over het ontstaan en de ontwikkeling van de ruimtelijke
april
Boekema
04. P.T.W.M.
Veugelers
05. F. Boekema
geleding en struktuur van Tilburg. 06. P. van Geel 07.
08.
09.
J.H.M. F.A.M,
Donaers, van der Reep
R.M.J.
Aeuts
B.B.
van der Genugten
Over de (on)mogelijkheden van het model van Knoester.
mei
De betekenis van het monetaire beleid voor de Nederlandse economie, presentatie van een analyse aan de hand van een eenvoudig model mei
The
use of non-linear transformation in ARIMA-Models when the data are non-Gaussian distributed
juni
Asymptotic normality of least squares estimators in autoregressive linear regression mode 1 s .
j ~i
10.
J. Roemen
Van koetjes en kalfjes I
juli
11.
J. Roemen
Van koetjes en kalfjes II
juli
12.
M.D.
On the compensator Part I
Merbis
Problem formulation and preliminaries juli 13.
P.
14.
M.D.
Slangen
Merbis
Bepaling van de optimale beleidsparameters voor een stochastisch kasbeheersprobleem met continue controle aug.
Linear - Quadratic - Gaussian Dynamic Games
aug.
-
15.
16.
17.
1B.
19.
-
Een kasbeheermodel onder onzekerheid
sept.
A. Hendriks en T, van der Bij-Veenstra
"Van Bedrijfsverzamelgebouw naar Bedrijvencentrum"
okt.
F.W.M. Boekema A.J. Hendriks L.H.J. Verhoef
Industriepolitiek, Regionaal beleid en Innovatie
okt.
B.
Stability of a discrete-time, macroeconomic disequilibrium model.
okt.
Over de toepasbaarheid van het Amerikaanse 'Diagnosis Related Group'-systeem in Nederland
no~- .
Auditing and Bayes'
Estimation
nov.
An Econometric Quantity Rationing Model for the Labour Market.
nov.
Theorieën van de werkloosheid.
nov.
P. J. J.
Hinssen Kriens Tn. van Lieshout
Kaper
P.F.P.M.
2C.
J.J.A.
21.
J. H.
22.
II
J. H.
Nederstigt
tioors
Plasmans Meersman
Plasmans Meersman
23.
B.B.
van der Genugten
Een model ter beschrijving van de ontwikkelina van de veestapel in Nederland. nov.
24.
F.A.
Kense
De omzet~artikel concentratie-
25.
26.
R.T.P.
J.A.M.
Wiche
Oonincx
curve als beleidsinstrument
nov.
Populaire wetten~specificatieve wetten, oftewel Over het ethisch en maatschappelijk belang van een korrekte interpretatie van generische uitspraken
dec.
.Micro-computers, standaardpakketten, administratieve gegevensverwerking en informatieverzorging
dec.
-
IN
O1.
19ó~
F. L.
III -
RïrEDS VERSCHENEN
Boekema Verhoef
Enterprise Zones. Vormen Dereguleringszones een adequaat instrument van regionaal sociaal-economisch beleid?
0"l.
R.H. Veenstra J . f"siens
Statistical Sampling in Internal Control Systems by Using the A.O.Q.L.-System.
03.
J.
Management Accounting and Operational Research
Kriens
J.Th. van Lieshout J. Roemen
P.
Verheyen
jan.
jan.
04 .
P . ríeys
Het autoritair etatisme
O5.
H.J.
De klassieke politíeke economie geherwaarneerd
febr.
Unemployment benefits and Goodwin's growth cycle model
febr.
06.
07.
J. M.
xlok
Glombowski Kruger
G.J.C.TH. van Schijndel
08. F. L.
09. M.
Boekema Verhoef
Merbis
~
Inkomstenbelasting in een dynamisch model van de onderneming
jan.
febr.
Local initiatives: local enterprise agency~trust, business in the community
febr.
On the ccmpensator, Part II, Corrections and Extensions
febr.
10.
J.W. Velthuijsen P.H.M. Ruys
Profit-non-profit: een wiskundigeconomisch model febr.
11.
Arie Kapteyn Huib vab de Stadt Sara van de Geer
The Relativity of Utility: Evidence from Panel Data.
mrt.
W.J.
Economische interpretaties van de statistische resultaten van Lydia E. Pinkham
mrt.
The impact of weather on the income and consumption of farm householàs in Zndia: A new test of the permanent income hypothesis?
april
Wordt het milieu nu echt ontregeld?
april
12.
13.
14.
Oomens
A. Kapteyn J.B. Nugent
F. Boekema J. van der Straaten
- IV -
IN
1983
15.
REEDS VERSCHENEN
H. Gremmen Th. van Bergen
16. M.D. Merbis
(vervolg):
De universitaire economen
over het regeringsbeleid
april
On the compensator Part III, Stochastic Nash and Team Problems
april
Overheidstekort, rentestand en groeivoet; terug naar een klassieke norm voor de overheidsfinanciën?
mei
18. Diane Colasanto Arie Kapteyn Jacques van der Gaag
Two Subjective Definitions of Poverty: Results from the Wisconsin Basis Needs Study
mei
19.
Is investeren onder slechte omstandigheden en ondanks slechte vooruitzichten zinvol?
mei
Een Markovmodel ter beschrijving van de ontwikkeling van de rundveestapel in Nederland
juni
Enige fiscale-, juridischeen bedrijfseconomische asp~ecten van goodwill
juni
17.
H.J.
Klok
R.C.D. Berndsen H.P. Coenders
20.
B.B. v.d. Genugten J.L.M.J. Klijnen
21.
M.F.C.M.
Wijn
~i~N~w~~~ i~~~~i~~~i~
