Cvičení z NOFY031 2009/2010 1
Termodynamika
1
Cvičení 1.10.2008 – Totální diferenciál
1.1
Totální diferenciál 1.
Jsou zadány dva výrazy: df1 (x, y) = 6xy 3 dx + 9x2 y 2 dy, df2 (x, y) = 6xy 2 dx + 9x2 ydy. • Ověřte, zda výrazy na pravé straně představují totální diferenciály. • Spočtěte pro ně integrály po křivkách γ1 a γ2 a porovnejte získané hodnoty. Křivka γ1 sestává ze dvou částí. První část, na které se nemění proměnná x, vede z bodu (x1 , y1 ) do bodu (x1 , y2 ); druhá, na které se nemění proměnná y, vede z bodu (x1 , y2 ) do bodu (x2 , y2 ). Křivka γ2 sestává také ze dvou částí. Na první se nemění proměnná y a vede z bodu (x1 , y1 ) do bodu (x2 , y1 ); na druhé se nemění proměnná x a vede z bodu (x2 , y1 ) do bodu (x2 , y2 ). Obě křivky tak mají stejný počátek a konec, jinými slovy křivka γ = γ1 − γ2 je uzavřená.
1.2
Teplota a tlak pro ideální plyn
Mistrovská rovnice ideálního plynu je 2 V0 3 SS e 0. U (S, V ) = U0 V Spočtěte totální diferenciál tohoto výrazu. Ve výsledném výrazu využijte definici teploty a tlaku, které zní: ∂U (S, V ) , T (S, V ) = ∂S V ∂U (S, V ) −p(S, V ) = . ∂V S
1
1.3
Totální diferenciál 2.
Integrujte totální diferenciál vnitřní energie ideálního plynu dU , získaný v předchozím příkladu po křivkách γ1 a γ2 a porovnejte získané výsledky. Křivka γ1 sestává ze dvou částí. Na první se nemění objem V a vede z bodu (V0 , S0 ) do bodu (V0 , Sp ); na druhé se nemění entropie S a vede z bodu (V0 , Sp ) do bodu (Vp , Sp ). Křivka γ2 , která je definována vztahem 5 V ln +1 , S(V ) = S0 3 V0 vede z bodu (V0 , S0 ) do bodu (Vp , Sp ). Obě křivky tak mají stejný počátek a konec, jinými slovy křivka γ = γ1 − γ2 je uzavřená.
1.4
Grafy rovnovážných dějů pro ideální plyn
Využijte znalost rovnic charakterizujících ideální plyn z předchozích příkladů a určete rovnice 1. izotermy (T = Tc ) a adiabaty (đQ = 0 ⇔ S = Sc ) v p − V diagramu. Nalezněte tedy příslušné funkce p = p(V ). 2. izobary (p = pc ) a izochory (V = Vc ) v T − S diagramu. Nalezněte tedy příslušné funkce T = T (S). Jednotlivé funkce zakreslete do příslušných grafů. Které z nich rostou rychleji. Zkuste zdůvodnit proč (alespoň pro případ p − V diagramu). Co lze z grafů vyčíst o teplu a práci přijatých systémem během jednotlivých dějů?
2
Cvičení 8.10.2008 – Rovnovážné procesy a cykly
2.1
Negative slope process
Pro plyn byla nalezena rovnice pro vnitřní energii ve tvaru 5 U = P V + konstanta. 2 Spočtěte následující: • Systém prodělá cyklus A → B → C → A (jednotlivé body jsou v P-V diagramu spojeny přímkami, tj. dostaneme v něm trojúhelníkový cyklus); (pA = 2
0, 2M P a, VA = 10l), (pB = 0, 2M P a, VB = 30l), (pC = 0, 5M P a, VC = 10l). Pro jednotlivé větve cyklu vypočítejte teplo, práci a změnu vnitřní energie. Dále spočtěte celkové teplo, práci a celkovou změnu vnitřní energie plynu během cyklu. Prací a teplem myslíme práci a teplo dodané plynu. • Spočtěte teplo, práci a změnu vnitřní energie plynu podél paraboly vedené z bodu A do bodu B (viz výše) o rovnici P = P0 + A(V − V0 )2 . P0 = 105 P a, V0 = 20l, A = konstanta. • Nalezněte rovnici rovnovážné adiabaty (đQ = 0 → dS = 0) ve tvaru P = P (V ).
2.2
Nanicovatý (zilch) cyklus
Uvažte rovnovážný cyklus A → B → C → D → A s ideálním plynem. Větev AB je izoterma o teplotě T2 = 600K, větev BC je izochora, větev CD je izoterma o teplotě T1 = 300K a větev DA je adiabata. Dále platí pA > pB , pC > pD – nyní již máte potřebné informace ke kvalitativnímu zakreslení cyklu do P-V diagramu. Zjistíte, že je tvořen dvěmi smyčkami dotýkajícími se v jediném bodě. Nechť jsou plochy těchto smyček stejné. Práce vykonaná na systému během větve AB je WAB = −2.296 103 J. Pro ideální 5 plyn je rovnice adiabaty dána vztahem pV 3 = konstanta, termická rovnice je pV = RT . • Spočtěte práci dodanou systému během větve DA. • Spočtěte teplo dodané systému a změnu vnitřní energie během větve BC. • Spočtěte změny entropie systému pro všechny větve cyklu. • Spočtěte entropii předanou chladné lázni (od teplé lázně je čerpáno teplo pouze ve větvi AB) v případě, že – izochorický proces je proveden vratně. – izochorický proces je proveden nevratně a to tak, že během chlazení je systém v kontaktu s chladnou lázní o teplotě T1 . • Překreslete cyklus do T-S diagramu.
3
2.3
Ottův cyklus
Uvažte rovnovážný cyklus A → B → C → D → A s ideálním plynem. Větve AB a CD jsou adiabaty, SC > SB . Větve BC a DA jsou izochory, VA > VB . Tepelné kapacity cV a cp plynu považujte podél cyklu za konstantní, rovnice adiabaty ideálního plynu je dána vztahem pV κ = konstanta, termická rovnice je pV = RT . • Zakreslete cyklus do P-V diagramu. • Spočtěte účinnost cyklu η = QWin (W ≡ práce vykonaná systémem během cyklu, Qin ≡ teplo dodané systému během cyklu) a vyjádřete ji pomocí objemů VA , VB a tepelných kapacit cV a cp .
3
Cvičení 15.10.2008 – Rovnovážné procesy a diagramy
3.1
Negative slope process – T-S diagram
Systém prodělá cyklus A → B → C → A (jednotlivé body jsou v P-V diagramu spojeny přímkami, tj. dostaneme v něm trojúhelníkový cyklus); (pA = 0, 2M P a, VA = 10l), (pB = 0, 2M P a, VB = 30l), (pC = 0, 5M P a, VC = 10l). Překreslete tento cyklus do T-S diagramu, tj. nelezněte rovnice izobary a izochory jako T = T(S), rovnici přímky CA (přímky se zápornou směrnicí) přesně počítat nemusíte, stačí ji zakreslit kvalitativně.
3.2
Metoda reprezentujícího procesu
Absolutně černé těleso (systém, který je v tepelné rovnováze s okolím, přičemž neodráží žádné záření, pouze tepelně vyzařuje podle planckova zákona) splňuje následující stavové rovnice: Kalorická stavová rovnice: Termická stavová rovnice:
U (T, V ) = σV T 4 , 1 p(T, V ) = σT 4 . 3 (1.1)
• Určete rovnici rovnovážné adiabaty a izotermy v proměnných p, V. • Uvažujte nerovnovážný adiabatický proces (systém během procesu nepřijme žádné teplo, jeho entropie se však měnit může! - takovým procesem je např. volná expanze do vakua) při němž přejde systém ze stavu A do stavu B (pA , VA < pB , VB ). Spočtěte změnu vnitřní energie a entropie systému během procesu. K výpočtu použijte metodu reprezentujícího procesu. 4
3.3
Polytropický proces
Polytropický proces je definován rovnicí đQ = cdT (tj. během jeho průběhu je konstantní tepelná kapacita systému c). (cp a cV • Dokažte, že rovnice polytropy pro ideální plyn je P V N = const., N = ccVp −c −c jsou teplené kapacity ideálního plynu při konstantním tlaku resp. při konstantním objemu). • Uvažte dva polytropické procesy E a D. Polytropa E klesá pomaleji než izoterma (ale stále má záporný sklon), polytropa D klesá rychleji než izoterma, ale pomaleji než adiabata. Dokažte, že pro tepelné kapacity ideálního plynu při těchto procesech platí cE > 0, cD < 0.
4 4.1
Cvičení 22.10.2008 – U -formulace Vyjádření experimentu U -formulaci 1.
Adiabaticky izolovaný válec je rozdělen na dvě časti nepropustnou přepážkou. V první části válce je uzavřen plyn, druhá část je vakuovaná. Po odstranění přepážky dojde k volné expanzi plynu do celého válce. Měříme teplotu plynu před expanzí a po ní. Uvažte, že změna objemu plynu je diferenciálně malá (tj. přepážka jeblízko konci válce) a zapište ). Tuto parciální derivaci tento experiment jako parciální derivaci (tj. ve tvaru dX dY Z následně vyjádřete v U -formulaci.
4.2
Vyjádření experimentu U -formulaci 2.
Vyjádřete v U -formulaci termodynamické koeficienty βV , κS , αS , lV , κT , αp a cp . Připomeňme, že 1 dV 1 dV dS 1 dp , κS = − , αS = , lV = T , βV = p dT V V dp S V dT S dp V 1 dV 1 dV dS αp = , κT = − , cp = T . V dT p V dp T dT p
5
4.3
Termodynamická identita 1. (90% termodynamiky)
Pomocí U -formulace dokažte termodynamickou identitu dU dp +p=T . dV T dT V
4.4
Termodynamická identita 2. (Mayerův vztah)
V U -formulaci dokažte, že pro rozdíl tepelných kapacit cp − cV platí v případě ideálního plynu vztah cp − cV = R n.
5 5.1
Cvičení 29.10.2008 – Tepelné kapacity, Integrace stavových rovnic Rozdíl tepelných kapacit pro van der Waalsův plyn
Spočtěte rozdíl tepelných kapacit cp −cv pro van der Waalsův plyn. Tento splňuje stavovou rovnici A p + 2 (V − B) = RN T, V kde A a B jsou empirické konstanty.
5.2
Integrace stavových rovnic 1. (Ideální plyn)
Nalezněte mistrovské rovnice ideálního plynu U = U (S, V, N ) a S = U (U, V, N ) znáte li rovnice RN T . U (T, V, N ) = cv RN T, P (T, V, N ) = V Všimněte si, že díky absenci třetí stavové rovnice (N = N (S, V, N )) nelze mistrovské rovnice určit jednoznačně, tj. že v nich bude vystupovat neurčená konstanta či funkce (počtu molů plynu N ). Platí Nernstův teorém (tj. je entropie konstantní v limitě T → 0)?
5.3
Integrace stavových rovnic 2. (N V U )
Jsou dány stavové rovnice plynu: T (s, v) =
3As2 , v
P (T, V, N ) = 6
As3 , v2
kde A je konstanta. Nalezněte mistrovské rovnice tohoto plynu U = U (S, V, N ) a S = U (U, V, N ). Platí Nernstův teorém (tj. je entropie konstantní v limitě T → 0)?
5.4
Integrace stavových rovnic 3. (Absolutně černé těleso)
Jsou dány stavové rovnice plynu: U (V, T, N ) = bV T 4 ,
P (V, T, N ) =
U , 3V
kde b je konstanta. Nalezněte mistrovskou rovnice S = U (U, V, N ). Platí Nernstův teorém (tj. je entropie konstantní v limitě T → 0)?
6
Cvičení 5.11.2008 – Volná energie, Enthalpie
6.1
Volná energie ideálního plynu
Nalezněte volnou energii ideálního plynu, tj. určete funkci F = F (T, V, N ).
6.2
Aplikace volné energie
Válec je rozdělen na dvě části oddělené pístem. V první části (řekněme levé) se nachází jeden mol ideálního plynu. Ve druhé části válce je k pístu připojena pružina, která jej spojuje s protější (pravou) stěnou válce (tj. která tlačí na píst), tato část válce je evakuovaná. Tuhost pružiny je κ(T ), pružina působí na píst nulovou silou právě tehdy, pokud je vzdálenost pístu od levé stěny válce x rovna hodnotě x0 . Celý válec je umístěn v tepelném rezervoáru o teplotě Tc . Uvažme, že vzdálenost pístu od levé stěny válce je na počátku děje rovna hodnotě x0 . Necháme-li píst, aby se volně pohyboval, přejde po nějaké době do nové vzdálenosti (např. xf inal ). Určete (jako systém uvažujte válec bez tepelného rezervoáru): • jaký termodynamický potenciál systému se při ekvilibraci minimalizuje? • jaká bude rovnovážná poloha válce xf inal = xeq ? • jakou práci vykoná systém na závaží, připojíme-li je k pístu pomocí kladky tak, že se píst přesune rovnovážně ze stavu o x = x0 do stavu o x = 2x0 ?
7
6.3
Joule – Thompsonův proces, enthalpie
• Dokažte, že se při Joule – Thompsonově procesu nemění enthalpie plynu, který proces prodělává. • Odvoďte vztah pro inverzní teplotu TI . • Spočtěte tuto inverzní teplotu pro případ van der Waalsova plynu.
7
Cvičení 12.11.2008 – Gibbsova energie, Guma, Tepelné čerpadlo
7.1
Gibbsova energie ideálního plynu
Nalezněte gibbsovu energii ideálního plynu, tj. určete funkci G = G(T, p, N ). Všimněte si, že určením gibbsovy energie jste určili i chemický potenciál ideálního plynu (na jeden mol).
7.2
Guma
Předpokládejte, že napětí v gumovém pásku splňuje rovnici l02 l + , τ = AT l0 l2 kde l je okamžitá délka pásku, l0 je klidová délka pásku (τ = 0) a A je konstanta. Práce vykonaná na gumovém pásku je τ dl, tj. du = T ds + τ dl. • Dokažte, že vnitřní energie gumičky závisí pouze na teplotě (tj. U = U (T )). • Dokažte, že pokud gumičku adiabaticky rotzáhneme, vzroste její teplota. • Jak se změní entropie gumičky natáhnemeli ji izotermicky. • Jak se změní vnitřní energie gumičky natáhnemeli ji adiabaticky. „Natažením“ zde rozumíme vzrůst délky gumičky z klidové délky l0 . Natažená gumička tak má délku l > l0 a tedy při natažení platí τ > 0.
8
7.3
Tepelné čerpadlo
Vnitřek domu o teplotě Td = 22.85 ◦ C je vytápěn pomocí tepelného čerpadla, které vysává teplo z jezera o teplotě Tj = 2.85 ◦ C. Èerpadlo je napájeno energií z elektrárny. Spočtěte účinnost tohoto tepelného čerpadla definovanou jako (kladné jsou veličiny dodané) ηhp =
7.4
∆Qdum . −∆Welektrarna
Entropie ideálního plynu 2
Spočtěte entropii ideálního plynu za předpokladu, že se počet částic tohoto plynu může měnit. K výpočtu použijte výše zmíněné stavové rovnice ideálního plynu.
7.5
Entropie směsi plynů
Spočtěte entropii směsi ideálních plynů obsahující NA částic typu A a NB částic typu B, která se nachází v nádobě o objemu V v tepelném rezervoáru o teplotě T . Jak se liší tato entropie od pouhého součtu entropií jednotlivých ideálních plynů, pokud by tyto byly v dané nádobě za dané teploty uzavřeny samy?
7.6
Chemická rovnováha
Uvažte chemickou reakci 2H2 + O2 2H2 O . Jakou podmínku musí splňovat chemické potenciály jednotlivých částic, aby byl systém o teplotě T a objemu V v němž tyto (tam a zpět) reakce probíhají v rovnováze?
2 8 8.1
Statistická fyzika Cvičení 25.11.2008 – Lagrangeovy multiplikátory, vázané extrémy Příklad z matematiky
Nalezněte extrémy funkce W (x, y, z) = x2 y 2 z 2 na množině S(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 = c2 . 9
8.2
Termodynamický triangl
Uvažte třístavový systém. Nechť jsou jednotlivé stavy označeny jako 0, 1, 2. Energie jednotlivých stavů jsou 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2. Degenerace jednotlivých stavů jsou g0 = 1, g1 = 4, g2 = 4. Nalezněte pravděpodobnostní rozdělení výskytu částice v systému pi , i = 1, . . . , 9 maximalizující entropii, definovanou jako S = −kB
9 X
pi ln pi ,
i=1
kde kB je Boltzmannova konstanta, za předpokladu, že střední hodnota vnitřní energie systému je U . Připomínám, že střední hodnota vnitřní energie je definována vztahem U=
9 X
i pi .
i=1
Dále vykreslete grafy funkcí S(U ), U (S), β(U ), U (β), S(β), β(S), c(T ), kde β je dU kladně braný Lagrangeův multiplikátor příslušející energetické vazbě a c = dT je tepelná kapacita systému.
9
Cvičení 3.12.2008 – Kanonické rozdělení diskrétně I.
9.1
Dvouhladinový systém
Uvažte dvouhladinový systém. Energie jednotlivých hladin jsou 0 = 0 a 1 = 1, degenerace jednotlivých hladin jsou g0 a g1 . Uvažte systém N nezávislých, rozlišitelných atomů, které se chovají jako výše popsané dvouhladinové systémy. • Za předpokladu velkého počtu atomů N určete, kolik atomů bude v základním stavu (energie 0 ) a kolik jich bude excitovaných (energie 1 ). . • Určete tepelnou kapacitu systému c = dU dT • Spočtěte volnou energii systému F (T ), tedy jeho mistrovskou funkci. Dále určete entropii systému S(T ).
10
9.2
LHO – kvantově
Mějme systém N nezávislých, rozlišitelných kvantových oscilátorů s energiemi danými vztahem (n = 0, 1, . . . ) 1 n = ~ω +n . 2 Určete: • partiční funkci Z(T ) a z ní termodynamické funkce U (T ), F (T ), S(T ). • limitní chování vnitřní energie systému v případech, kdy T → 0, kB T ~ω. • pravděpodobnost nalezení oscilátoru ve stavu s energií n . • tepelnou kapacitu systému c(T ).
10 10.1
Cvičení 10.12.2008 – Kanonické rozdělení diskrétně II. Kvantový plyn v nekonečně hluboké potenciálové jámě
Mějme systém N nezávislých, rozlišitelných částic uzavřených v krabici (nekonečně hluboké potenciálové jámě) s energiemi danými vztahem (n = 1, 2, . . . ) n =
π~ L
2
1 2 n. 2m
2 1 π~ 2 1 V limitách π~ β 1 a β 1 určete přibližným sečtením partiční sumy L 2m L 2m termodynamické funkce U (T ), F (T ), S(T ), c(T ).
10.2
Magnetický triangl
Uvažte triangl s vrcholy označenými čísly 1, 2 a 3 v nichž jsou umístěny spiny m1 , m2 a m3 , kde mi ∈ {−1, 1}. Síla interakce mezi těmito spiny je dána konstantou J > 0, přičemž spiny m2, m3 interagují antiferomagneticky (snaží se natočit se do opačného směru) a ostatní spiny interagují feromagneticky (snaží se natočit se do stejného směru). Celý triangl je ještě umístěn v magnetickém poli intenzity B > 0, do jehož směru se spiny natáčejí.
11
• Napište hamiltonián tohoto systému. • Spočtěte střední magnetizaci M = hmi, m = m1 + m2 + m3 . • Spočtěte střední kvadratickou odchylku magnetizace (∆M )2 = hm2 i − hi2 . Vyjádřete obě tyto veličiny v limitách vysokých a nízkých teplot (tedy v případech, kdy T → 0 a T → ∞). Diskutujte získané výsledky.
11 11.1
Cvičení 17.12.2008 – Kanonické rozdělení spojitě Barometrická formule
V homogenním gravitačním poli intenzity g je energie částice hmotnosti m ve výšce h dána vztahem = mgh. Nalezněte hustotu částic ve výšce h za předpokladu, že systém obsahuje N 1 částic.
11.2
Boltzmannovo a Maxwellovo rozdělení
Ve volném neinteragujícím ideálním plynu jsou energie jednotlivých částic hmotnosti m a hybnosti p dány vztahem (x, y, z jsou kartézské souřadnice) p2x + p2y + p2z p2 = . = 2m 2m Určete • hustotu pravděpodobnosti ρ(px ) (px ) nalezení částice s x-sovou složkou hybnosti velikosti px a hustotu pravděpodobnosti ρ(vx ) (vx ) nalezení částice s x-sovou složkou rychlost velikosti vx (Boltzmannovo rozdělení). • hustotu pravděpodobnosti ρ(p) (p) nalezení částice s velikostí hybnosti p a hustotu pravděpodobnosti ρ(v) (v) nalezení částice s velikostí rychlosti v (Maxwellovo rozdělení).
12
11.3
Ideální plyn
Spočtěte termodynamické vlastnosti (tj. funkce F (T, V ), S(T, V ), p(T, V ), U (T, V )) plynu volných neinteragujících částic hmotnosti m (ideálního plynu). Energie takového plynu je dána vztahem X p2 a = , 2m a kde sčítáme přez jednotlivé částice a pa určuje velikost hybnosti a-té částice.
12 12.1
Cvičení 7.1.2009 – Kanonické rozdělení spojitě i nespojitě Entropie polymeru
Mějme jednodimenzionální model polymeru, ve kterém je polymer tvořen spojenými neinteragujícími částicemi. Tyto částice se mohou nacházet ve dvou různých stavech, řekněme ve stavech a a b. Energie částic v těchto stavech nechť jsou a a b , přičemž platí a = + b , kde je nějaká kladná konstanta. Určete • entropii polymeru o N částicích. • střední délku polymeru.
12.2
Olej ve vodě
Èástice oleje berme jako neinteragující kuličky o poloměru r a hustotě ρ0 (ρ0 < ρvody ). Určete • koncentraci částic oleje v hloubce h znáte-li hodnotu jeho koncentrace na hladině c0 . • typickou hloubku, ve které je již koncentrace částic oleje malá.
12.3
Vlákno z dipólů
Mějme vlákno, umístěné v kartézské rovině x − y, složené z dipólů, které mohou být natočeny pouze takto ↑, ↓, →. Tyto dipóly interagují pouze s vnějším magnetickým polem
13
a to tak, že energie jednotlivých konfigurací jsou ↑ = ↓ = , → = /2, kde je nějaká kladná konstanta. Spočtěte střední délky vlákna ve směrech x a y.
12.4
Spiny na mříži
Na tuhé mříži mějme atomy se spinem 1/2. Díky interakci s vnějším magnetickým polem H jsou energie jenotlivých konfigurací atomu ↑ = −µ0 H, ↓ = µ0 H. Atomů je na mříži N = N↑ + N↓ . Určete • partiční sumu systému Z. • celkový magnetický moment systému M = hµi = µ0 (N↑ − N↓ ). • entropii systému.
12.5
LHO – klasicky
Mějme systém N nezávislých, rozlišitelných lineárních harmonických oscilátorů s energiemi danými vztahem p2 1 = mω 2 x2 + . 2 2m Určete partiční funkci Z(T ) a z ní termodynamické funkce U (T ), F (T ), S(T ), c(T ).
14
Obsah 1 Termodynamika 1 Cvičení 1.10.2008 – Totální diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Totální diferenciál 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Teplota a tlak pro ideální plyn . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Totální diferenciál 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Grafy rovnovážných dějů pro ideální plyn . . . . . . . . . . 2 Cvičení 8.10.2008 – Rovnovážné procesy a cykly . . . . . . . . . . 2.1 Negative slope process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nanicovatý (zilch) cyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ottův cyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Cvičení 15.10.2008 – Rovnovážné procesy a diagramy . . . . . . . 3.1 Negative slope process – T-S diagram . . . . . . . . . . . . 3.2 Metoda reprezentujícího procesu . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Polytropický proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Cvičení 22.10.2008 – U -formulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Vyjádření experimentu U -formulaci 1. . . . . . . . . . . . . 4.2 Vyjádření experimentu U -formulaci 2. . . . . . . . . . . . . 4.3 Termodynamická identita 1. (90% termodynamiky) . . . . 4.4 Termodynamická identita 2. (Mayerův vztah) . . . . . . . 5 Cvičení 29.10.2008 – Tepelné kapacity, Integrace stavových rovnic 5.1 Rozdíl tepelných kapacit pro van der Waalsův plyn . . . . 5.2 Integrace stavových rovnic 1. (Ideální plyn) . . . . . . . . 5.3 Integrace stavových rovnic 2. (N V U ) . . . . . . . . . . . . 5.4 Integrace stavových rovnic 3. (Absolutně černé těleso) . . . 6 Cvičení 5.11.2008 – Volná energie, Enthalpie . . . . . . . . . . . . 6.1 Volná energie ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Aplikace volné energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Joule – Thompsonův proces, enthalpie . . . . . . . . . . . 7 Cvičení 12.11.2008 – Gibbsova energie, Guma, Tepelné čerpadlo . 7.1 Gibbsova energie ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Guma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Tepelné čerpadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Entropie ideálního plynu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Entropie směsi plynů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9
7.6
Chemická rovnováha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Statistická fyzika 8 Cvičení 25.11.2008 – Lagrangeovy multiplikátory, vázané extrémy 8.1 Příklad z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Termodynamický triangl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Cvičení 3.12.2008 – Kanonické rozdělení diskrétně I. . . . . . . . . 9.1 Dvouhladinový systém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 LHO – kvantově . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Cvičení 10.12.2008 – Kanonické rozdělení diskrétně II. . . . . . . . 10.1 Kvantový plyn v nekonečně hluboké potenciálové jámě . . 10.2 Magnetický triangl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Cvičení 17.12.2008 – Kanonické rozdělení spojitě . . . . . . . . . . 11.1 Barometrická formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Boltzmanovo a Maxwellovo rozdělení . . . . . . . . . . . . 11.3 Ideální plyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Cvičení 7.1.2009 – Kanonické rozdělení spojitě i nespojitě . . . . . 12.1 Entropie polymeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Olej ve vodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Vlákno z dipólů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Spiny na mříži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 LHO – klasicky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 9 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 13 14
