p11 – 1
11. Prostý tah a tlak 11.1. Definice Prostý tah(tlak) je namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže – jsou splněny prutové předpoklady, – příčné průřezy se vzájemně oddalují (přibližují) a následně izotropně deformují (tj. mění velikost, ale nemění tvar), – jedinou nenulovou složkou VVÚ je normálová síla N , – deformace jsou z hlediska statické rovnováhy prvku nepodstatné.
prostá pružnost prutové předpoklady
Na základě tohoto vymezení odvodíme vztahy pro napětí a deformace. Poznámka: jako prizmatický označujeme prut, jehož příčný průřez je v každém bodě střednice stejný a hlavní centrální osy mají stejný směr (nešroubovitý).
OBSAH
další
p11 – 2
11.2. Geometrické vztahy Jsou to vztahy mezi posuvy a přetvořeními. prvek Délková a úhlová přetvoření vyjádříme v závislosti na typu změny vzájemné polohy příčných průřezů při zatěžování. Při tahovém (tlakovém) zatížení prutu se průřezy ψ1 , ψ2 jednonásobně elementárního prvku Ω1 , vzdálené o dx, oddálí (přiblíží) o deformační posuv du, který je stejný pro všechny body ψ. Pravé úhly α, β se nezmění. Těmto deformacím odpovídají následující složky tenzoru přetvoření. (Poznámka: Neurčujeme všechny složky Tε , ale pouze ty, které mají některý index x. Tak je podle zavedené konvence označena normála příčného průřezu, takže εx , γxy a γxz definují jeho polohu a pomocí Hookova zákona z nich určíme odpovídající složky napětí. Ostatní složky Tσ jsou podle napjatostních prutových předpokladů nulové. Podobně tomu bude i u ostatních typů namáhání prutů.) εx = du dx γxy = γxz = 0 (řezy zůstanou kolmé ke střednici) Protože posuv du je stejný pro všechny body ψ (du(y, z) = konst.), du = konst. dx Přetvoření jsou tedy konstantní v celém příčném průřezu. εx (y, z) =
předchozí
OBSAH
další
p11 – 3 Totéž platí i pro délková přetvoření v příčných směrech εy a εz , která jsou rovněž nenulová, opačného znaménka než εx (εy = εz = −µεx ). εx 0 0 tenzor V prutu vzniká trojosý stav deformace. Tenzor přetvoření Tε = 0 εy 0 . 0 0 εz přetvoření
11.3. Rozložení napětí v příčném průřezu Pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) platí lineární závislost
Hookův zákon
σx (y, z) = Eεx (y, z). Protože εx (y, z) = konst., je i σx (y, z) = konst. = σ (v ψ rozloženo rovnoměrně). σy = σz = 0 - vyplývá z prutových předpokladů napjatostních (v ψ je prutová napjatost). prutové předpoklady E Pro smykové napětí platí vztah τij = γ = Gγij , (G je pro izotropní materiál 2(1 + µ) ij G konstanta závislá na E a µ). Protože γxy = γxz = 0, je i τxy = τxz = 0. Z prutových předpokladů plyne τyz = 0.
V prutu vzniká jednoosá napjatost. Tenzor napětí
předchozí
OBSAH
σx 0 0 Tσ = 0 0 0 . 0 0 0
Tσ
další
p11 – 4
11.4. Závislost mezi VVÚ a napětím Při známém rozložení napětí po průřezu již vnitřní síly nepředstavují nekonečný počet neznámých parametrů (pro σ = konst. dokonce pouze jediný) a je možné určit závislost normálového napětí σ na VVÚ. Použijeme k tomu podmínky statické ekvivalence mezi soustavou elementárních sil dN~i = σx dS ~i v příčném průřezu a jejich silovou výslednicí N~i působící v těžišti příčného průřezu. Sestavíme použitelné podmínky statické ekvivalence (3D soustava rovnoběžných sil ⇒ ν = 3): X ψ
Fx :
ZZ
statické podmínky
σx dS = N,
ψ
σx = konst.
⇒
ZZ ψ
σx dS = σx
ZZ
dS = N
⇒
σ=N S
ψ
Ve výsledném vztahu už obvykle index x u napětí vynecháváme, protože ostatní složky napětí jsou nulové. Podmínka statické ekvivalence, z níž jsme vztah odvodili, však platí statická pouze tehdy, jsou-li splněny všechny použitelné podmínky statické ekvivalence. Pro po- ekvivalence užitelnost vztahu je tedy nutné zkontrolovat splnění zbývajících dvou podmínek statické ekvivalence. předchozí
OBSAH
další
p11 – 5
X
My :
ψ
ZZ
zσx dS = Moy ,
X
Mz : −
ψ
ψ
ZZ
yσdS = Moz .
statické momenty
ψ
Z definice prostého tahu plyne Moy = Moz = 0. Pak lze obě podmínky upravit do tvaru ZZ
z σdS = σ
ψ
ZZ
z dS = σUy = 0,
ψ
ZZ ψ
yσdS = σ
ZZ
ydS = σUz = 0.
ψ
Podmínky SE jsou splněny, protože osy y a z procházejí těžištěm (Uy = 0, Uz = 0).
11.5. Extrémní napětí Pro posuzování mezních stavů je důležité znát místa a extrémní hodnoty napětí v příčném mezní stavy průřezu. Jak jsme odvodili, u prostého tahu (tlaku) je napětí po průřezu rozloženo rovnoměrně, tedy všechny body průřezu jsou stejně nebezpečné a extrémní napětí je proto přímo dáno odvozeným vztahem N σex = . S
předchozí
OBSAH
další
p11 – 6
11.6. Energie napjatosti V lineární pružnosti se celá deformační práce projeví zvýšením pružné energie napjatosti A = ∆W (práce vynaložená na trvalou deformaci AQ = 0). Na trojnásobně elementární prvek Ω3 působí vnitřní elementární síla σdS~i. Změnu délky dx tohoto prvku označíme du. Deformační práce vnitřní elementární síly (uvažujeme lineárně pružné těleso) AσdS = 1 (σdS)du. Po dosazení za du = εdx a ε = σ/E dostaneme vztah 2 pro energii napjatosti uvažovaného elementárního prvku ve tvaru
deformační práce
1 σ2 1 dSdx. WΩ3 = A(σdS) = (σdS)εdx = 2 2E Vztažením energie napjatosti na jednotku objemu dostáváme měrnou energii napjatosti (nazývanou také hustota energie napjatosti) Λ=
W Ω3 W Ω3 = VΩ3 dSdx
⇒
2 Λ = 12 σε = 21 σE
Tyto vztahy platí obecně pro jednoosou napjatost určenou napětím σ nezávisle na typu namáhání prutu.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 7 Pro prostý tah platí σ = N S a energie napjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω1 pak je ZZ ZZ N 2 dx ZZ N2 1 σ2 N2 W Ω1 = dxdS = dxdS = dS = dx. 2E 2ES 2 2ES 2 2ES ψ
ψ
ψ
V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti
Wl =
Zl 0
předchozí
W Ω1 =
Zl 0
N2 dx . 2ES
OBSAH
další
p11 – 8
11.7. Vyjádření deformační charakteristiky střednice Základní deformační charakteristikou u prostého tahu je posuv bodu střednice ve směru střednice. Délkové přetvoření střednice εx = du/dx. Protože jsou splněny prutové předpoklady, zůstává střednicespojitá a posuv u(x) je spojitou funkcí. Pro hookovský materiál prutové N (x ) R εx = σEx a prostý tah σx (xR ) = je posuv bodu střednice daného souřadnicí xR předpoklady S(xR ) hookovský materiál ZxR ZxR N (x) u(xR ) = εx dx = dx, σx (x) ES(x) x x m
m
kde xm je souřadnice bodu střednice, ve kterém je nulový posuv (obvykle vazba k základnímu tělesu). Příklad 432 Modul pružnosti E se také teoreticky může měnit po délce střednice (v příčném průřezu Příklad 433 však musí být konstantní, aby nedošlo k porušení předpokladů prostého tahu), ale v praxi předpoklady se může vyskytnout jedině skoková změna (různé materiály po délce prutu). Je-li v určitém úseku střednice N (x) = konst., E(x) = konst. a S(x) = konst. a umístíme-li bod střednice s nulovým posuvem do počátku souřadnicového systému (xm = 0), pak u(xR ) =
předchozí
N xR , ES
kde ES se označuje jako tuhost příčného průřezu v tahu.
OBSAH
další
p11 – 9
11.8. Deformace příčného průřezu Kromě podélných posuvů příčných průřezů při tahovém (tlakovém) namáhání prutu nastane i změna jejich příčných rozměrů. Poissonův součinitel udává poměr velikostí příčného přetvoření εy nebo εz k podélnému přetvoření εx , tedy εy = εz = −µεx Protože přetvoření v obou příčných směrech jsou stejná a konstantní po průřezu, tvar příčného průřezu se nezmění. Z definice přetvoření konstantních po průřezu plynou vztahy pro změnu rozměrů obdélníkového průřezu ∆a a ∆b: a − a0 = ∆a = εy a0 = −µεx a0 , b − b0 = ∆b = εz b0 = −µεx b0 .
11.9. Rozbor napjatosti prostého tahu Doposud jsme vyšetřovali napětí v příčném průřezu (s plochou S), tj. v řezu kolmém na střednici, tedy napětí v jediném řezu vedeném zvoleným bodem střednice. Napjatost napjatost jsme však definovali jako množinu napětí ve všech řezech, které lze vést daným bodem. Pro posouzení mezních stavů potřebujeme znát napjatost, tedy napětí v libovolném řezu ρ vedeném daným bodem. předchozí
OBSAH
další
p11 – 10 Pro určení napjatosti uvolníme prvek jedním příčným a jedním obecným řezem, jehož normála svírá se středS . V příčnicí prutu úhel α; jeho plocha bude Sρ = cos α ném průřezu uvolněného prvku působí napětí σ = p a v průřezu ρ působí soustava vnitřních elementárních plošných sil fρ dSρ rovnoběžných s osou x. f~ρ je obecné napětí a v důsledku homogenní napjatosti prutu můžeme předpokládat, že homogenní je po řezu ρ rozloženo rovnoměrně. Z podmínky statické rovnováhy plyne napjatost X
Fx = 0 :
−σS + fρ Sρ = 0
⇒
fρ =
S σ = σ cos α. Sρ
Obecné napětí fρ rozložíme do významných směrů průřezu ρ, a tím dostaneme jeho složky – normálovou: σρ = fρ cos α = σ cos2 α = σ 2 (1 + cos 2α), – smykovou: τρ = fρ sin α = σ sin α cos α = σ 2 sin 2α. Tyto vztahy vyjadřují závislost obecného napětí fρ a jeho složek σρ a τρ na napětí σ v příčném průřezu a na poloze řezu ρ vzhledem ke střednici prutu. Napjatost v prutu je tedy napětím σ určena, protože z něj lze určit napětí v libovolném řezu ρ. Z rozboru těchto vztahů vyplývá: a) α = 0o σρ = σ τρ = 0 o b) α = 90 σρ = 0 τρ = 0 σ c) α = 45o σρ = σ 2 τρ = 2 = τex zde je extrémní smykové napětí předchozí
OBSAH
další
p11 – 11 Je vidět, že existují 2 řezy, v nichž je smykové napětí rovno nule, tj. řezy svírající se střednicí úhel 0o a 90o . Pokud bychom řez otáčeli kolem všech os v prostoru, nalezli bychom ještě další roviny s nulovým smykovým napětím. Jednou z nich je přímo rovina nákresny na uvedených obrázcích. Je tedy zřejmé, že existují 3 vzájemně kolmé roviny, v nichž je smykové napětí rovno nule. Tyto roviny se nazývají hlavní roviny napjatosti. Normálová napětí v těchto rovinách se nazývají hlavní napětí, značíme je σ1 , σ2 , σ3 a řadíme podle velikosti tak, aby platilo σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 . Směry těchto napětí jsou dány průsečnicemi hlavních rovin a tvoří tzv. hlavní souřadnicový systém. Jeho předností je napjatost zjednodušení tenzoru napětí do tvaru
σ1 0 0 Tσ = 0 σ2 0 , 0 0 σ3
tenzor napětí
v němž je napjatost dána pouze třemi nezávislými složkami hlavních napětí. Zbývající tři složky tenzoru napětí definují polohu hlavního souřadnicového systému, která však u homogenního izotropního materiálu není podstatná. Pro vyšetřovanou jednoosou tahovou napjatost platí σ1 = σ = N S , σ2 = σ3 = 0, pro napjatost tlakovou je N σ1 = σ2 = 0, σ3 = σ = S < 0.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 12 11.9.1. Grafické znázornění napjatosti Umožňuje názornou představu o napjatosti a snadné určení extrémních hodnot složek obecného napětí. Pro jeho odvození využijeme vztahů pro napětí v řezu ρ, jehož normála svírá se střednicí prutu úhel α: σρ = σ cos2 α,
τρ =
σ sin 2α. 2
Rovnice upravíme σρ = σ
1 + cos 2α σ σ = + cos 2α 2 2 2
⇒
σρ −
σ σ = cos 2α, 2 2
τρ =
σ sin 2α 2
umocníme a sečteme: 2 2 + τρ2 = σ σρ − σ cos 2α + σ 2 2 2 sin 2α 2 2 2 σ 2 2 σρ − σ 2 2 + τρ = 2 2 (cos 2α + sin 2α) σ 2 σρ − σ 2 + τρ = 2
2
V této rovnici jsou jen dvě proměnné veličiny (σρ , τρ ), které můžeme použít jako základ souřadnicového systému, tvořícího Mohrovu rovinu napjatosti. Mohrova rovina napjatosti je rovina, na jejíž souřadné osy vynášíme napětí normálové σρ a smykové τρ působící v jistém řezu ρ vedeném vyšetřovaným bodem.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 13 Odvozená rovnice je rovnicí kružnice ((x − m)2 + (y − n)2 = r2 ) v Mohrově rovině σ napjatosti se středem na ose σρ ve vzdálenosti σ 2 od počátku a s poloměrem r = | 2 |. Nazývá se Mohrova kružnice napjatosti prostého tahu (σ > 0) resp. tlaku (σ < 0). Bod na Mohrově kružnici (se souřadnicemi σρ , τρ ) znázorňuje obecné napětí fρ v bodě rovinného řezu určeného úhlem α. Celá kružnice tedy znázorňuje napětí ve všech řezech, které můžeme vést určitým bodem prutu, tj. napjatost v tomto bodě při prostém tahu (tlaku). Je důležité si uvědomit, že průvodič bodu Mohrovy kružnice vedený z jejího středu opisuje dvojnásobný úhel (2α) než je úhel odklonu normály řezu α od střednice prutu (plyne z odvození, v němž figuruje úhel 2α). Z Mohrovy kružnice jasně vyplývá: – Průsečíky Mohrovy kružnice s vodorovnou osou určují velikosti hlavních napětí. V bodu C (2α = 0o , rovinný řez kolmý ke střednici) a v bodu D (2α = 180o , tj. rovinný řez rovnoběžný se střednicí) jsou smyková napětí nulová. – Maximální smykové napětí τmax je v řezu pod úhlem 45o (2α = 90o ) a má velikost τmax = σ 2. – Ve dvou protilehlých bodech A, B Mohrovy kružnice jsou smyková napětí stejně velká, ale s opačnými znaménky. Těmto bodům v prutu odpovídají složky napětí ve dvou vzájemně kolmých rovinných řezech ρ (dán úhlem α) a ρ0 (dán úhlem β) – viz následující obrázek. předchozí
OBSAH
další
p11 – 14 Stejný závěr získáme i analyticky. Bodem střednice vedeme řez ρ daný úhlem α a k němu kolmo řez ρ0 daný úhlem β. β=
π + α, 2
2β = π + 2α,
sin 2β = − sin 2α, σ σ τβ = sin 2β = − sin 2α = −τα 2 2 Tento vztah vyjadřuje větu o sdruženosti smykových napětí: Smyková napětí ve dvou vzájemně kolmých řezech vedených bodem tělesa jsou stejné velikosti a směřují buď obě do průsečnice řezů anebo od ní.
sdruženost smykových napětí
Závěry i rovnice odvozené z Mohrova diagramu napjatosti jsou znaménkově v rozporu se závěry vycházejícími z rovnic statické rovnováhy elementárního prvku. Tento rozpor konvence je obsažen v samotném Mohrově zobrazení, protože sdružená smyková napětí v Mohrově diagramu mají rozdílná znaménka. To vyžaduje zavedení odlišné znaménkové konvence pro smyková napětí v Mohrově rovině: Smykové napětí považujeme za kladné, jestliže má smysl vnější normály řezu ~en pootočené o 90o ve smyslu pohybu hodinových ručiček.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 15
11.10. Oblasti použitelnosti prostého tahu prutů Prostá pružnost prutů vychází – z prutových předpokladů, – ze statické rovnováhy prvku v nedeformovaném stavu. Tyto dva základní výchozí předpoklady umožnily odvodit jednoduché vztahy pro popis napjatosti a deformace prutů. Při řešení praktických problémů s využitím teorie prosté pružnosti je důležité posouzení její použitelnosti. Toto hodnocení vyžaduje širší znalosti, protože téměř vždy dochází k určitému porušení výchozích předpokladů. Proto se v základním kurzu omezíme jen na kvalitativní posuzování použitelnosti, zejména z hlediska prutové splnění prutových předpokladů. předpoklady
předchozí
OBSAH
další
p11 – 16 11.10.1. Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu a) Spojitě proměnný příčný průřez Uvažujme přímý prut kruhového příčného průřezu, který se podél střednice spojitě mění. Kuželovitost prutu je dána úhlem α mezi površkou a osou kužele. Prut je zatížen na koncích silou F~ , tzn. jediným VVÚ po celé délce střednice je konstantní normálová síla o velikosti N = F a prut je namáhán tahem. Z prutu uvolníme dvěma limitně blízkými příčnými řezy jednonásobně elementární prvek Ω1 o délce dx. Z něj dále uvolníme prvek Ω2 válcovým řezem s osou na střednici prutu a s podstavou o ploše S1 . Na čelní stěně prvku Ω2 působí normálová napětí σ. Aby tento prvek byl ve statické rovnováze, musí na válcovém řezu působit smyková napětí τ . Podle věty o sdruženosti smykových napětí pak budou stejně velká smyková napětí působit i v příčných průřezech. Předpokládáme-li podobně jako u prizmatického prutu konstantní rozložení napětí σ v příčném průřezu S2 resp. dS, pak podmínka statické rovnováhy je X
Fx = 0 :
σdS − τ 2πrdx = 0
Plochu dS lze zjednodušeně vyjádřit jako dS = 2πrdr, čímž dostáváme σ2πrdr = τ 2πrdx
⇒
τ dr = σ dx
Smykové napětí je tedy přímo úměrné poměrné změně tloušťky prutu, vyjádřené pro kuželový prut poměrem dr/dx. předchozí
OBSAH
další
p11 – 17 Vlivem smykového napětí působícího v příčných průřezech je porušena jednoosost tahové napjatosti, následkem je jejich borcení (deplanace). Nezůstávají tedy rovinné a neplatí pak přesně prutové předpoklady. Odchylky jsou tím větší, čím větší jsou změny průměru prutové prutu. Aby smykové napětí bylo alespoň o řád menší než napětí normálové a odchylku od předpoklady prutových předpokladů bylo možné zanedbat, musí platit dr/dx < 0, 1, tedy kuželovitost prutu α musí být menší než 0,1 rad ≈ 6o . Tuto mezní hodnotu lze řádově brát i pro jiné tvary příčných průřezů. Pozor! Smyková napětí jsme odvodili za předpokladu, že v průběhu zatěžování zůstávají příčné průřezy rovinné. V důsledku působení τ však nezůstanou rovinné, takže ani smyková napětí neodpovídají přesně odvozenému vztahu.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 18 b) Náhlé změny příčného průřezu (vruby) ( konstrukční
vruby: defekty
- vytvářeny účelově, jsou funkční (drážky, zápichy, otvory, osazení) - důsledek reálné výroby (vměstky, bubliny, trhliny)
V místech vrubů vzniká většina provozních lomů. Bylo zjištěno a lze dnes snadno doložit výpočty s využitím MKP, že – vruby způsobují místní koncentraci přetvoření a tím i koncentraci napětí (v blízkém okolí vrubu není v příčném průřezu prutu napětí rozloženo rovnoměrmě); – lokálně se mění napjatost tělesa, v okolí vrubu vzniká obecná trojosá napjatost; – čím menší je poloměr zaoblení vrubu, tím je vyšší extrémní napětí v kořeni vrubu, – vrubový účinek má výrazně lokální charakter.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 19 Pro usnadnění pevnostního posuzování vrubů byla vypracována metodika založená na korekci prosté pružnosti prutů, která určuje extrémní hodnoty napětí v kořeni vrubu σex z nominálního napětí σn pomocí součinitele koncentrace napětí α = σex /σn . Nominální napětí σn = N/S je vypočteno ze vztahů prosté napětí pružnosti a pevnosti, tj. z předpokladu rovnoměrného rozlo- α grafy žení napětí po průřezu v místě vrubu. Hodnoty součinitelů koncentrace napětí α byly stanoveny výpočtem za využití MKP nebo fotoelasticimetrie pro různé tvary vrubů a různé způsoby namáhání a zpracovány do grafů. U každého grafu je obvykle uvedeno, v kterém průřezu se počítá nominální napětí σn , k němuž se vztahuje součinitel α. Při pevnostních výpočtech součástí s vruby je nutno důsledně rozlišovat, zda je materiál ve stavu křehkém nebo tvárném.
σRt
Je-li materiál prutu s vrubem ve stavu křehkém, pak v okamžiku, kdy σex = σRt , vzniká v místě koncentrace napětí křehká trhlina. Ta zvyšuje koncentraci napětí, protože má menší poloměr zaoblení svého kořene než konstrukční vrub. Při zatížení se pak trhlina nekontrolovaně šíří až do porušení křehkým lomem. Proto nelze připustit, aby špička napětí dosáhla meze křehké pevnosti.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 20 Je-li materiál prutu s vrubem ve stavu houževnatém, pak v okamžiku, kdy je splněno σex = σK , dochází v místě koncentrace napětí ke vzniku plastických deformací. Ty sníží koncentraci napětí (napětí nemůže výrazně překročit mez kluzu) a zvýší koncentraci přetvoření - dojde k otupení špičky vrubu.
σK
Vliv vrubu je tedy nutno vždy zhodnotit z hlediska možnosti křehkého chování. Vznik trojosé napjatosti v okolí kořene vrubu může vést ke vzniku křehkého lomu i u materiálu, který se v případě hladké zkušební tyče choval jako houževnatý! Pokud se na základě rozborů a zkušeností vyloučí možnost křehkého porušení, je možné volit bezpečnosti nízké (např. 1,5), protože další záloha únosnosti prutu je v plastické ob- bezpečnost lasti. Protože však zatížení většiny strojních součástí není statické, ale časově proměnné, může tato opakovaná plastická deformace vést k únavovému porušení. Posouzení rizika únavového lomu však vyžaduje použití jiných postupů, které nejsou součástí tohoto kurzu. V případě křehkého materiálu bývá volena bezpečnost vůči meznímu stavu křehké pevnosti až kR ∈ (10; 15). Vrub jako náhlá změna příčného průřezu – je podstatný z hlediska napjatosti a porušování, – je většinou nepodstatný z hlediska deformačních charakteristik prutu.
předchozí
OBSAH
deformační charakteristiky
další
p11 – 21 11.10.2. Vliv šroubovitosti prutu Prut považujeme za šroubovitý, jestliže hlavní centrální osy příčných průřezů nejsou vzájemně rovnoběžné. Šroubovitý prut lze vytvořit tak, že neměnný průřez se kolem střednice posouvá a zároveň rotuje. Šroubovitost prutu můžeme kvantitativně vyjádřit veličinou dϕ/dx, kde ϕ je úhel natočení hlavních centrálních os vzhledem k osám výchozího hlavní osy průřezu. Šroubovitost, podobně jako kuželovitost, způsobuje vznik smykových napětí v příčných průřezech. Bude-li změna polohy sousedních průřezů (charakterizovaná poměrem dϕ/dx) dostatečně malá, bude i smykové napětí oproti normálovému zanedbatelné (τ σ). Pak můžeme použít vztahů pro prostý tah.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 22 11.10.3. Proměnnost VVÚ podél střednice přímého prutu Proměnnost normálové síly může být způsobena buď působením osamělých sil nebo spojitého zatížení (objemových sil). a) zatížení v izolovaných řezech Pokud v ose prutu působí osamělé síly, je použitelnost modelu omezena následovně: – prutové předpoklady jsou splněny až v dostatečné vzdálenosti (ve smyslu Saint Venantova principu) od náhlých změn zatížení, v jejichž okolí je vždy nehomogenní napjatost, – osamělé síly v praxi nelze zavést, aniž by vznikl vrub (otvor, osazení, drážka) nebo porušení předpokladu o prutové napjatosti (sevření do kleštin - tlak v příčném směru nelze do teorie prutů zahrnout).
předchozí
OBSAH
Saint Venantův princip prutové předpoklady
další
p11 – 23 b) zatížení objemovými silami Uvažujme prizmatický prut v silovém poli s intenzitou rovnoběžnou s osou prutu. Praktická aplikace: a) prut svislý ⇒ tíhové pole, b) prut rotující okolo osy kolmé na střednici⇒ pole odstředivých sil. Priklad 402 Priklad 404
Normálová síla a napětí jsou podél střednice proměnné, ale napětí je v průřezech rozloženo rovnoměrně. Je tedy použitelná prostá pružnost prutů (smykové napětí není podstatné). Napětí, posuv v bodě R střednice a energii napjatosti prutu délky l počítáme podle vztahů, respektujících proměnnost normálové síly: N (xR ) σ(xR ) = , S předchozí
u(xR ) =
ZxR 0
N (x) dx, ES OBSAH
W (l) =
Zl 0
N 2 (x) dx. 2ES další
p11 – 24 11.10.4. Zakřivení střednice prutu Budeme uvažovat prut, jehož střednice je spojitá a hladká křivka. Charakter namáhání prutů se zakřivenou střednicí závisí na – tvaru střednice prutu (typ křivky, rovinnost, prostorovost, otevřenost, uzavřenost), – vztahu velikosti poloměru křivosti střednice k charakteristickému rozměru příčného průřezu (slabě a silně zakřivené pruty), – typu silové soustavy působící na prut. U zakřiveného prutu nemůže nastat prostý tah, ale vždy nastane kombinované namáhání.
zakřivené pruty kombinované namáhání
Existuje však zakřivený prut, který lze přibližně řešit jako prut zatížený prostým tahem – rovinný tenkostěnný kroužek (prstenec), rotačně symetricky zatížený. Zatížení může být dvojího typu: a) rovnoměrným tlakem na vnitřní nebo vnější povrch, např. nalisovaný kroužek (kroužek nasazen na jiné rotačně symetrické těleso s přesahem), Příklad 405 b) odstředivými silami, tj. rotující kroužek. Příklad 413 Příklad 412
předchozí
OBSAH
další
p11 – 25 Jde tedy o rotačně symetrickou úlohu. Na základní prvek Ω1 uvolněný z kroužku budou působit rotačně symetrické složky napětí: – v příčných průřezech obvodová napětí σt , – na válcových řezech radiální napětí σr . U tenkostěnných kroužků (h R) lze napětí σr vzhledem k napětí σt zanedbat, takže jediným významným napětím pak je napětí σt , které bude po průřezu přibližně konstantní a vzniká zde přibližně jednoosá homogenní napjatost jako u prostého tahu.
homogenní napjatost tah
předchozí
OBSAH
další
p11 – 26 Oba případy zatížení lze řešit stejným postupem, pouze u zatížení odstředivými silami je zahrneme v duchu d’Alembertova principu do rovnice statické rovnováhy prvku Ω1 v radiálním směru:
dF − 2N sin
předchozí
dϕ =0 2
sin
dϕ . dϕ dF ⇒N = = 2 2 dϕ
zatížení tlakem p~
rotující kroužek
dFp = pdS = pbRdϕ dF Np = dϕp = pbR N N σtp = Sp = bhp = pR h
dFo = dmaω = ρRdϕbhω 2 R 2 2 o No = dF dϕ = ρR bhω No 2 o σto = N S = bh = ρ(Rω)
OBSAH
další
p11 – 27 Změnu poloměru střednice R (posuv v radiálním směru) určíme z obvodového přetvoření (je homogenní z důvodu osové symetrie):
εt =
2π(R + ∆R) − 2πR ∆R = 2πR R
Protože napjatost je jednoosá, platí zjednodušený tvar Hookova zákona εt =
předchozí
σt E
⇒
∆R = R
OBSAH
σt E
další
p11 – 28
11.11. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných prostým tahem (tlakem) 11.11.1. Volný prut Odvodili jsme vztahy pro výpočet napětí, energie napjatosti a deformačních posuvů prutu prutové namáhaného prostým tahem (tlakem) při splnění prutových předpokladů: předpoklady ZxR Zl 2 N (xR ) N (x) N (x) σ(xR ) = , u(xR ) = dx, W (l) = dx. S(xR ) ES(x) 2ES(x) 0
0
Jsou-li veličiny N (x) a S(x) a tedy i σ(x) konstantní podél střednice, je integrace triviální.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 29 Jsou-li N (x) a S(x) proměnné (ovšem tak, že namáhání lze považovat za prosté), pak musíme obecně střednici prutu rozdělit na intervaly, v nichž každá veličina je vyjádřena jediným funkčním vztahem. Hranice těchto intervalů jsou pak v těch bodech střednice, v nichž dochází ke změně funkce popisující zatížení nebo příčný průřez. Posuv určitého bodu střednice je algebraickým součtem prodloužení jednotlivých úseků, na které jsme rozdělili střednici prutu od vztažného bodu. Tato prodloužení mohou být od silového působení u(xR ) =
ZxR 0
N (x) dx. ES(x)
V případě teplotního zatížení se k nim přičítá teplotní dilatace uT (xR ) = α∆T xR , kde α je součinitel teplotní roztažnosti.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 30 Ze všech možných mezních stavů se v tomto kurzu omezíme na – mezní stav deformace - funkčně přípustná deformace se mění na funkčně nepřípustnou, mezními hodnotami jsou mezní posuvy bodů střednice ev. mezní úhly natočení v těchto bodech. Bezpečnost vůči meznímu stavu deformace je dána poměrem mezní ku provozní hodnotě deformačního parametru kD = uuM resp. kD = ϕϕM . – mezní stav pružnosti - po překročení vznikají makroplastické deformace, mezní hodnotou je mez kluzu σK , která se určuje experimentálně. Bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti kK = σK . |σ|
MS deformace
MS pružnosti bezpečnost
Bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti kK se vztahuje k jednomu bodu prutu. Proto obecně v každém bodě prutu bude její hodnota různá, tedy kK = kK (x, y, z),
(x, y, z) ∈ Ω.
Pro posuzování spolehlivosti prutu je třeba nalézt bod, kde je kK minimální, a příčný průřez, který obsahuje tento bod. Pro ně se používají názvy: nebezpečný bod prutu - bod prutu, v němž je kK nejmenší, nebezpečný průřez prutu - příčný průřez, který obsahuje nebezpečný bod. Bezpečnost kK prutu je pak bezpečnost určená v jeho nebezpečném bodě. Jelikož u prostého tahu (tlaku) jsou napětí σ po průřezu rozdělena rovnoměrně, nebezpečnými body jsou všechny body nebezpečného příčného průřezu.
předchozí
OBSAH
další
p11 – 31 11.11.2. Vázaný prut V blízkém okolí vazby existuje oblast, kde není prut namáhán prostým tahem, protože se nepodaří realizovat vazbu tak, aby nebyly porušeny v jejím okolí prutové předpoklady. V této oblasti jsou extrémní napětí vyšší než vypočtené teorií prostého tahu. Pokud je potřebujeme znát přesněji, použijeme např. MKP.
prutové předpoklady MKP
Postup při řešení vázaných prutů 1. Prut úplně uvolníme a v místě odstraněných vazeb zavedeme stykové výslednice. 2. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy. Jedinou netriviální podmínkou P statické rovnováhy je silová podmínka v ose x ( Fx = 0). 3. Určíme stupeň statické neurčitosti s = µ − ν. Mohou nastat tyto případy: a) s = 0 – prut je uložen staticky určitě – pokračujeme bodem 7, body 4 – 6 vynecháme. b) s ≥ 1 – prut je uložen staticky neurčitě – pokračujeme bodem 4.
předchozí
OBSAH
uvolnění podmínky SR statický rozbor Priklad 403
další
p11 – 32 4. Prut částečně uvolníme a sestavíme vazbové deformační podmínky, které jsou u prutů namáhaných tahem (tlakem) určeny posuvem tolika bodů střednice, kolikrát je uložení staticky neurčité. 5. Vazbové deformační podmínky vyjádříme pomocí silového a teplotního působení se zohledněním výrobních nepřesností (přesahy nebo vůle). Deformační podmínky mohou být a) homogenní – kinematický vazbový parametr má nulovou hodnotu, b) nehomogenní – kinematický vazbový parametr má nenulovou hodnotu v důsledku výrobních nepřesností (např. montážní přesah nebo vůle vymezené před svařením) nebo teplotní dilatace, c) podmíněné – podle velikosti posuvu může prut zůstat buď staticky určitý nebo se stát staticky neurčitým (např. montážní vůle způsobí nefunkčnost vazby). Musíme určit, který z těchto možných stavů se uskuteční. Poznámka: v případě kombinace tuhých a pružných vazeb je třeba při částečném uvolnění zachovat tuhou vazbu (těleso zůstává jako celek vázáno nepohyblivě) a pro sestavení nehomogenních deformačních podmínek uvolňovat vazby pružné; jinak by těleso nebylo vázáno nepohyblivě a nastal by problém s odlišením deformačních posuvů od pohybu tělesa jako celku. 6. Sestavíme soustavu rovnic, tvořenou podmínkami statické rovnováhy úplně uvolněného prutu a vazbovými deformačními podmínkami částečně uvolněného prutu. Deformace je nutno vyjádřit jako funkce silových účinků pomocí vztahů pro posuv bodu střednice nebo Castiglianovy věty. 7. Řešíme sestavenou soustavu rovnic – určíme všechny silové vazbové parametry. 8. Řešíme napjatost a deformaci stejně jako u volného prutu. předchozí
OBSAH
částečné uvolnění
Příklad 414 Příklad 417 Příklad 418 Příklad 437 Příklad 408
deformace
posuv Castiglianova věta
další
p11 – 33 11.11.3. Soustavy s pruty namáhanými prostým tahem (tlakem) Modelové soustavy s pruty můžeme rozdělit do 3 skupin: a) soustavy sestavené pouze z prutů, z nichž každý je vázán rotační vazbou k základnímu vazby tělesu, b) soustavy tvořené pruty vázanými rotační vazbou s tuhými tělesy (jejichž deformace jsou oproti deformacím prutů zanedbatelné), c) prutové soustavy, které jsou výpočtovým modelem příhradové konstrukce (konstrukce prutová železničních mostů, jeřábové věže, atd.). soustava
Tyto soustavy bývají v praxi provedeny s nepohyblivými vazbami, nikoliv rotačními. vazby Výpočtový model s rotačními vazbami lze pro tyto soustavy použít jen tehdy, jestliže momenty ve vazbách jsou zanedbatelné, k čemuž je nutné splnění těchto podmínek: – pruty jsou přímé a štíhlé (tj. délka nejméně o řád větší než tloušťka), – pruty jsou zatíženy pouze silami ve styčnících nebo na tuhém tělese (aby nenastal významný ohyb), – soustava zůstane po zavedení rotačních vazeb nepohyblivá (tj. staticky určitá nebo neurčitá). předchozí
OBSAH
další
p11 – 34 Za uvedených podmínek představuje každý prut binární nezatížený člen (člen pouze se dvěma vazbami k okolí), jehož vazby k ostatním prutům, resp. fiktivním styčníkovým tělesům (styčníkům) i k základnímu tělesu jsou rotačními kinematickými dvojicemi (u prostorových úloh sférickými). Z rovnováhy každého takového prutu potom plyne, že obě vazebné síly působící na prut musejí být stejně velké a jejich nositelky totožné se střednicí prutu. Těmto dvěma silám budeme říkat prutové síly. Vzhledem ke stejné velikosti představují tyto dvě síly společně jediný neznámý parametr. Na základě uvedených skutečností lze pojem prutová síla“ vymezit takto: ” Prutová síla je označení pro každou ze dvou stejně velkých vnějších vazebných sil působících na přímý prut a ležících na společné nositelce totožné se střednicí prutu, jestliže další vnější zatížení prutu je zanedbatelné. Prutová síla (vnější) vyvolává v prutu stejně velkou normálovou sílu N (vnitřní), takže prut je namáhán pouze tahem (je-li N kladná) nebo tlakem (je-li N záporná).
Uvolnění prutů za těchto podmínek již není třeba provádět a uvolňujeme pouze styčníky. uvolnění prutu
předchozí
OBSAH
další
p11 – 35 a) Soustavy prutů vázaných k základnímu tělesu Graficky znázorníme pouze uvolnění styčníku. Protože orientaci kladné prutové síly volíme vždy tak, že je orientována ven z prutového tělesa (v prutu předpokládáme tah), budou kladné prutové síly orientovány ven ze styčníku (podle zákona akce a reakce). i) Soustava staticky určitá Z rovnic statické rovnováhy styčníku určíme stykové síly, které jsou rovny normálovým silám v jednotlivých prutech. Příklad 422 Příklad 415 ii) Soustava staticky neurčitá Postupujeme podle obecného algoritmu řešení staticky neurčitých úloh, uvedePříklad 426 ného pro jeden prut v předchozí kapitole. Příklad 427 Příklad 430 Příklad 409
předchozí
OBSAH
další
p11 – 36 Známe-li normálové síly v prutech můžeme určit napětí v prutech, energii napjatosti napětí soustavy, posuvy styčníku. Pro posuvy styčníku je nutno téměř vždy použít Castigenergie lianovu větu. Energie napjatosti však musí být určena pro celou soustavu. napjatosti Energie napjatosti i-tého prutu délky li zatíženého prostým tahem je W
(i)
=
Zli 0
Ni2 (x) dx. 2Ei Si (x)
posuv Castiglianova věta
Tedy posuv uJ působiště síly F~J , působící na prut o délce li , ve směru této síly je li
Z N (x) ∂N (x) ∂W = dx. uJ = ∂FJ ES(x) ∂FJ 0
Protože u soustav s pruty je N (x), E(x) i S(x) po celé délce jednotlivých prutů konstantní, bude energie napjatosti soustavy tvořené n pruty W =
n X i=1
W (i) =
n X Ni2 li i=1
2Ei Si
a posuv uJ působiště osamělé síly F~J ve směru této síly je uJ =
předchozí
n X ∂W Ni li ∂Ni = . ∂FJ i=1 Ei Si ∂FJ
OBSAH
další
p11 – 37 b) Soustavy prutů s tuhými tělesy i) Soustava staticky určitá Z rovnic statické rovnováhy tuhých těles (jejichž deformace je proti deformaci prutů nepodstatná) určíme stykové síly, které jsou rovny normálovým silám v jednotlivých prutech. ii) Soustava staticky neurčitá Úplné uvolnění provádíme uvolněním tuhého tělesa. Částečné uvolnění pro formulaci vazbových deformačních podmínek může být libovolné, ale nejvhodnější je uvolnění prutů ve vazbách se základním tělesem, jehož deformaci neuvažujeme, takže příslušné kinematické vazbové parametry jsou nulové. Deformační podmínky mohou být homogenní, nehomogenní a podmíněné. Známe-li normálové síly v prutech můžeme určit napětí v prutech, energii napjatosti soustavy, posuvy kteréhokoliv bodu soustavy.
Příklad 434
Příklad 435 Příklad 410 deformační podmínky napětí energie napjatosti
c) Prutové soustavy
i) Soustava staticky určitá posuv U prutové soustavy, která je vně i vnitřně staticky určitá, vyřešíme normálové prutová síly v prutech postupnou styčníkovou metodou ev. obecnou styčníkovou metosoustava dou, tj. z rovnic statické rovnováhy styčníků. Příklad 308 Příklad 416 Příklad 420 Příklad 421 předchozí
OBSAH
částečnédalší
p11 – 38 ii) Soustava staticky neurčitá Pro určení normálových sil v prutech potřebujeme navíc s deformačních podmínek, které vycházejí z částečného uvolnění. a) vně staticky neurčitá
Příklad 424
Statický rozbor: µex = 4, ν = 3 sex = µex − ν = 4 − 3 = 1 sin = p − (2k − 3) = 5 − (2 · 4 − 3) = 0 Úloha je vně 1x staticky neurčitá a vnitřně staticky určitá Úplné uvolnění provádíme uvolněním prutové soustavy od základního tělesa.
Příklad 431
Prutovou soustavu (tvořící při vzájemné nepohyblivosti prutů tzv. prutové těleso) částečně uvolníme (na úroveň staticky určitého uložení vůči základnímu tělesu) a sestavíme deformační podmínky (homogenní, nehomogenní, podmíněné).
částečné uvolnění
předchozí
OBSAH
Příklad 428 Příklad 429 Příklad 425
statický rozbor Příklad 302
další
p11 – 39 b) vnitřně staticky neurčitá Statický rozbor: µex = 3, ν = 3 sex = µex − ν = 3 − 3 = 0 sin = p − (2k − 3) = 6 − (2 · 4 − 3) = 1 Úloha je vně staticky určitá a vnitřně 1x staticky neurčitá. Částečné uvolnění pak znamená – uvolnění sin prutů ve styčníku, – zavedení normálové síly na konci uvolněného prutu a síly stejně velké, opačně orientované do styčníku, s nímž byl prut spojen (princip akce a reakce), – sestavení vazbové deformační podmínky v místě uvolnění prutu, která vyjadřuje vzájemný posuv obou rozpojených bodů.
deformační podmínky Příklad 423
c) vně i vnitřně staticky neurčitá je kombinací předchozích dvou typů statické Příklad 303 neurčitosti, musíme sestavit oba typy deformačních podmínek. Příklad 436 Nyní nezávisle na typu statické neurčitosti vyřešíme z rovnic statické rov- napětí nováhy styčníků a deformačních podmínek normálové síly v prutech, z nich Castiglianova určíme napětí v prutech. Posuvy styčníků určíme Castiglianovou větou z ener- věta gie napjatosti celé soustavy. předchozí
OBSAH
další
p11 – 40
11.12. Příklady k procvičování látky Řešené příklady Příklad 404
Příklad 414
Příklad 417
Příklad 418
Příklad 419
Příklad 422
Příklad 426
Příklad 427
Příklad 430
Příklad 432
Příklad 433
Příklad 434
Příklad 435
Příklad 436
Příklad 437
Příklad 401
Příklad 402
Příklad 403
Příklad 405
Příklad 406
Příklad 407
Příklad 408
Příklad 409
Příklad 410
Příklad 411
Příklad 412
Příklad 413
Příklad 415
Příklad 416
Příklad 420
Příklad 421
Příklad 423
Příklad 424
Příklad 425
Příklad 428
Příklad 429
Příklad 431
Neřešené příklady
předchozí
OBSAH
následující kapitola
