termodynamický zákon František SEIFRT 9. března 2006

´ Uvod

Model dopravn´ı z´ acpy, podm´ınka entropie

Model ˇr´ıˇ cn´ıho toku v 1D

Model ˇr´ıˇ cn´ıho toku ve 2D

Z´ avˇ er

ˇ ıˇcn´ı toky, dopravn´ı zácpy a druhý R´ termodynamický zákon Frantiˇsek SEIFRT

Semin´ aˇr Oddˇelen´ı Mikrostruktur 9. bˇrezna 2006 Plzeˇ n Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon

ˇ Fakulta aplikovan´ ych vˇ ed, ZCU

´ Uvod




Z´ avˇ er

´ 1 Uvod 2 Model dopravn´ı z´ acpy, podm´ınka entropie

Nelineárn´ı zákon zachov´ an´ı 3 Model ˇr´ıˇ cn´ıho toku v 1D

Saintovy-Venantovy rovnice Metody ˇreˇsen´ı Okrajové podm´ınky Systém ˇr´ıˇcn´ıch tok˚ u Numerické simulace 4 Model ˇr´ıˇ cn´ıho toku ve 2D

Saintovy-Venantovy rovnice Okrajové podm´ınky Model s promˇennou oblast´ı ˇreˇsen´ı Numerické simulace avˇer 5 Z´ Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er

´ Uvod

Poptávka po simulac´ıch ˇr´ıˇcn´ıch tok˚ u • vˇsudypˇr´ıtomn´ y pˇr´ırodn´ı fenomén • pˇredpovˇ editelnost chov´ an´ı ˇrek • syst´ em vˇcasného varov´ an´ı • anal´ yza zdroj˚ u zneˇciˇstˇen´ı • lodn´ı doprava

Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er

´ Uvod




´ Uvod




Z´ avˇ er

´ Uvod




´ Uvod




Z´ avˇ er

´ Uvod




´ Uvod




Z´ avˇ er

´ Uvod




´ Uvod




Z´ avˇ er

ˇ Sokov´ a vlna



´ Uvod




Z´ avˇ er

Neline´ arn´ı z´ akon zachov´ an´ı

Nelineárn´ı zákon zachován´ı

qt + f (q)x = 0

(2.1)

• f (q) = u ¯q - dostaneme obyˇcejnou rovnici advekce • f (q) = umax q(1 − q) - model ”toku aut”, nebo tak´ e stlaˇcitelné

tekutiny

o kvadratická funkce hustoty ”aut”, kapaliny o maximáln´ı tok aut pro q = 12



´ Uvod




Z´ avˇ er




´ Uvod




Z´ avˇ er


Definice Charakteristika X(t) je kˇrivka splˇ nuj´ıc´ı tuto ODR X ′ (t) = f ′ q X(t), t .

(2.2)

Hodnota q je podél této kˇrivky konstantn´ı d q (X(t), t) = X ′ (t)qx + qt , dt = 0.


(2.3) (2.4)


´ Uvod




Z´ avˇ er




´ Uvod




Z´ avˇ er


Rychlost ˇs´ıˇren´ı ˇsokové vlny Pouˇzijeme zákon zachov´ an´ı na ˇc´ ast roviny x − t Z x1 +∆x Z x1 +∆x q(x, t1 + ∆t) dx − q(x, t1 ) dx =

Z

x1 t1 +∆t

t1

f (q(x1 , t)) dt −

(2.5)

x1

Z

t1 +∆t

f (q(x1 + ∆x, t)) dt.

(2.6)

t1

s=

f (qr ) − f (ql ) qr − ql

(2.7)

Podobný vztah i pro systémy A(qr − ql ) = s(qr − ql ) (2.8) Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er


Nejednoznaˇcnost, pˇr´ıpustnost a podm´ınka entropie (1−a−b) ((1−2 b)2−(1−2 a)2)−2/3 (1−2 b)3 + 2/3 (1−2 a)3

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 1 0.9 0.8

1

0.7

0.9

0.6

0.8 0.7

0.5

0.6

0.4

0.5

0.3

0.4 0.3

0.2

0.2

0.1 0 qr

0.1 0 q

l

2 η(q) = (1 − 2q)2 , ψ(q) = (1 − 2q)3 umax 3 Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon

(2.9)


´ Uvod




Z´ avˇ er

Saintovy-Venantovy rovnice

Model v jedné dimenzi • hloubka

2.5

h = h(x, t)

2

u(x,t)

• rychlost

proudˇen´ı u = u(x, t)

h+B

1.5

h(x,t)

• v´ yˇska dna

1

B = B(x)

0.5 B(x)

0

2

4

6

8

10

12

14

x

Obrázek: Geometrická interpretace promˇenných v 1D rovnic´ıch. Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er


Saintovy-Venantovy rovnice • S-V rovnice v diferenci´ aln´ım tvaru

ht + (hu)x = 0, 1 2 2 (hu)t + hu + gh = −ghBx , 2 x

x ∈ h0, di

(3.1) (3.2) (3.3)

• poˇ cáteˇcn´ı podm´ınky

h(x, 0) = h0 (x), u(x, 0) = u0 (x)

(3.4)

• okrajov´ e podm´ınky

h(0, t) = hl (t), h(d, t) = hp (t), u(0, t) = ul (t), u(d, t) = up (t). Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon

(3.5) ˇ Fakulta aplikovan´ ych vˇ ed, ZCU

´ Uvod




Z´ avˇ er

Saintovy-Venantovy rovnice 2.5 ρh(x,t)dx 2

h+B

1.5

ρu(x1,t)h(x1,t)

ρu(x2,t)h(x2,t)

1 dx

0.5

0

2

x1

4

6

x

8

x2

10

12

14

Obrázek: Rovnice kontinuity.

d dt

Z

x2 x1

ρh(x, t) dx = ρu(x1 , t)h(x1 , t) − ρu(x2 , t)h(x2 , t), (3.6)



´ Uvod




Z´ avˇ er


Pohybové rovnice F − ma = 0, • v´ ysledn´ a s´ıla F o tlakové s´ıly T1 , T2 o s´ıla Fp zp˚ usobená zmˇenou pr˚ uˇrezu o t´ıhová s´ıla G

z

Fp T1

α

ma G

(3.7)

T2

• setrvaˇ cn´ a s´ıla ma x

T1 − T2 + Fp + G sin α − ma = 0, Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er


Pohybové rovnice F − ma = 0, • v´ ysledn´ a s´ıla F o tlakové s´ıly T1 , T2 o s´ıla Fp zp˚ usobená zmˇenou pr˚ uˇrezu o t´ıhová s´ıla G

z

Fp T1

α

ma G

(3.7)

T2

• setrvaˇ cn´ a s´ıla ma x

T1 − T2 + Fp + G sin α − ma = 0, Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er

Metody ˇreˇsen´ı

Metody ˇreˇsen´ı Zavedeme následuj´ıc´ı znaˇcen´ı hu h 0 q(x, t) = , f (q) = , S(x, q) = . hu hu2 + 12 gh2 −ghBx (3.9) Saintovy-Venantovy rovnice pak lze zapsat ve tvaru qt + f (q) x = S(x, q).


(3.10)


´ Uvod




Z´ avˇ er


Za pˇredpokladu spojité diferencovatelnosti funkce q si m˚ uˇzeme dovolit udˇelat dalˇs´ı u ´pravu rovnic (3.10) qt + f ′ (q)qx = S(x, q),

(3.11)

kde f ′ (q) je Jacobiova matice soustavy 0 1 ′ f (q) = . −u2 + gh 2u Vlastn´ı ˇc´ısla matice f ′ (q) jsou p λ1 = u − gh,


λ2 = u +

p

(3.12)

gh.

(3.13)


´ Uvod




Z´ avˇ er


• odvod´ıme numerick´ e rekurentn´ı schéma pro homogenn´ı

rovnice

qt + f (q)x = 0

(3.14)

• pr˚ umˇerná hodnota zachov´ avané veliˇciny

q ¯(x, t) =

1 ∆x

Z

q(ξ, t) dξ, Ix =

Ix

∆x ξ |ξ − x| ≤ , 2 (3.15)

• rovnice (3.14) zintegrujeme pˇres interval Ix , vydˇ el´ıme ∆x a

dosad´ıme pr˚ um. hodnotu Z Z ∂ 1 ∂ 1 q(ξ, t) dξ + f q(ξ, t) dξ = 0, ∂t ∆x Ix ∆x Ix ∂ξ ∆x 1 ∆x , t) − f q(x − , t) = 0. q ¯t (x, t) + f q(x + ∆x 2 2 (3.16)



´ Uvod




Z´ avˇ er


• ˇ casová diskretizace, integrujeme pˇres interval t ≤ τ ≤ t + ∆t

q ¯(x, t + ∆t) = q ¯(x, t)− −

1 ∆x

Z

t+∆t

∆x , τ ) dτ − 2

f q(x +

t

Z

t

t+∆t

f q(x −

∆x , τ ) dτ . 2 (3.17)

• q(·, t) nahrad´ıme po ˇ c´ astech polynomi´ aln´ı funkc´ı w(x, t) p

x

1

1

p

p

2

x

2

x

j−1

p

j

x

j

x

j+1

x

m−1

m

x

m

Obrázek: Aproximaˇcn´ı po ˇcástech polynomiáln´ı funkce. Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er


• po ˇ cástech konstantn´ı polynom ⇒ Laxovo-Friedrichsovo

schéma

∆t 1 n n+1 n n (w ¯j + w ¯ j+1 )− f (w ¯ j+1 ) − f (w ¯ jn ) . (3.18) w ¯ j+ 1 = 2 ∆x 2 • po ˇ cástech lineárn´ı polynom ⇒ Tadmorovo schéma • Kurganovo-Noellovo-Petrovov´ e schéma



´ Uvod




Z´ avˇ er

Okrajov´ e podm´ınky

Okrajové podm´ınky wn+1 wn+1 m+1/2 m

wn+1 j

wn+1 wn+1 1 1/2 n+1

t

tn wn(+,−) 1/2

wn(+,−) 3/2

wn(+,−) j−1/2

wn(+,−) j+1/2

wn(+,−) m−1/2

wn(+,−) m+1/2

Obrázek: Okrajové podm´ınky



´ Uvod




Z´ avˇ er


Riemannovy invarianty t

t n+1 ... t .. . ˜1 .. Γ √ . . R1 = u − 2 gh . .. . . . ξ1 z}|{ .... ϕ t t tn . xm− 1 xm+ 1 t

t

xm− 3

2

2

2

Riemannovy invarianty p p R1 = u − 2 gh, R2 = u + 2 gh, jsou konstantn´ı na charakteristik´ ach Γi : Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon

dx dt

(3.19)

= λi , i = 1, 2. ˇ Fakulta aplikovan´ ych vˇ ed, ZCU

´ Uvod




Z´ avˇ er

Syst´ em ˇr´ıˇ cn´ıch tok˚ u

Systém ˇr´ıˇcn´ıch tok˚ u x3p

x2l 2 3

x1p=x2p=x3l

1

x1l

• zachov´ an´ı pr˚ utoku h1 u1 + h2 u2 = h3 u3 • vzd´ alenost od referenˇcn´ı hladiny v m´ıstˇe soutoku je u vˇsech tˇr´ı

ˇrek stejná


h1 + B1 = h2 + B2 = h3 + B3


´ Uvod




Z´ avˇ er

Numerick´ e simulace

Simulace uvaˇzuj´ıc´ı nerovnosti dna



´ Uvod




Z´ avˇ er


Simulace soutoku tˇr´ı ˇrek



´ Uvod




Z´ avˇ er


Model ve dvou dimenz´ıch • hloubka

z

h = h(x, y, t)

v h(x,y)

• rychlosti proudˇ en´ı

u

B(x,y)

u = u(x, y, t) v = v(x, y, t)

• v´ yˇska dna x

B = B(x, y)

Ω y

Obrázek: Geometrická interpretace promˇenných v 2D rovnic´ıch. Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er


Ve dvou dimenz´ıch pˇribýv´ a jedna rovnice ht + (hu)x + (hv)y = 0, 1 2 2 + (huv)y = −ghBx , (hu)t + hu + gh 2 x 1 2 2 (hv)t + (huv)x + hv + gh = −ghBy , 2 y


(4.1)


´ Uvod




Z´ avˇ er


wn

1/2,N+1/2

wn

Ly

M+1/2,N+1/2

n

n

yk+1

wj+1,k+1

wj,k+1 n+1

wj+1/2,k+1/2 wn

wn

yk

j+1,k

j,k

wn

wn

1/2,1/2

M+1/2,1/2

0

x

j

x

j+1

L

x

Obrázek: Tadmorovo schéma. Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er


Zrcadlové“ okrajové podm´ınky ” Lze pˇripodobnit pohybu vody v bazénu • voda se odr´ aˇz´ı od stˇen

• hladina u stˇ eny je stejn´ a jako u nejbliˇzˇs´ıch vnitˇrn´ıch hodnot • tok kolm´ y na stˇenu m´ a opaˇcné znaménko • tok rovnobˇ eˇzný se stˇenou z˚ ust´ av´ a stejný

Pro levou hranici konkrétnˇe poloˇz´ıme  n+1 := h hn+1  3 1 1 1  ,k+ 2 ,k+ 2  2 2 n+1 n+1 (hu) 1 ,k+ 1 := −(hu) 3 ,k+ 1 pro k = 1 . . . N. 2 2 2 2   n+1 n+1 (hv) 1 1 := (hv) 3 1  2

,k+ 2

2

(4.2)

,k+ 2



´ Uvod




Z´ avˇ er

Model s promˇ ennou oblast´ı ˇreˇsen´ı

Obrázek: Zmˇena oblasti platnosti Saintových-Venantových rovnic.

• platnost S-V rovnice na oblasti (x, y) ∈ Ω |h(x) > 0 • vznik a zaplavov´ an´ı ostr˚ uvk˚ u • vylit´ı ˇreky ze bˇreh˚ u



´ Uvod




Z´ avˇ er

Model s promˇ ennou oblast´ı ˇreˇsen´ı

Stefanova u ´loha • oblast platnosti par. dif. rovnic z´ avis´ı na samotném ˇreˇsen´ı • zp˚ usoby ˇreˇsen´ı o pevná s´ıt’, logická promˇenná pro kaˇzdou buˇ nku (indikátor minimáln´ı hladiny) o promˇenná s´ıt’ - v kaˇzdém ˇcasovém kroku • tˇreba urˇ cit o kdy se voda rozleje na suché buˇ nky - zaplaven´ı bˇrehu (ostr˚ uvku) o kdy se voda vrát´ı zpˇet - odkryt´ı bˇrehu (ostr˚ uvku)



´ Uvod




Z´ avˇ er


Rovné dno, model bez uvaˇzován´ı tˇren´ı o dno



´ Uvod




Z´ avˇ er


Dno s nerovnostmi, vˇcetnˇe tˇren´ı o podklad



´ Uvod




Z´ avˇ er

Závˇer C´ılem této práce bylo • pojmout problematiku ˇr´ıˇ cn´ıch tok˚ u v ˇsirˇs´ım kontextu • fyzik´ aln´ı p˚ uvod rovnic popisuj´ıc´ıch ˇr´ıˇcn´ı toky • numerick´ e metody

• poˇ c´ıtaˇcové simulace

Vlastn´ı pˇr´ınos • okrajov´ e podm´ınky v jedné dimenzi - aplikace Riemannových invariant˚ u • ”zrcadlov´ e” okrajové podm´ınky ve dvou dimenz´ıch

• implementace prav´ e strany do Tadmorova schématu - ˇclenité

dno

• numerick´ e simulace v jedné i ve dvou dimenz´ıch Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


´ Uvod




Z´ avˇ er

Moˇzná rozˇs´ıˇren´ı • v 1D - inundaˇ cn´ı kan´ aly, z´ aplavov´ an´ı u ´zem´ı • ve 2D - model s promˇ ennou oblast´ı platnosti Saintových-Venantových rovnic o vylit´ı ze bˇreh˚ u o simulace v´ıce ˇrek • v obou dimenz´ıch - ˇ casovˇe promˇenné dno, o vym´ılán´ı koryta



´ Uvod




Z´ avˇ er

Literatura A. Kurganov, D. Levy: Central-upwind schemes for the Saint-Venant system, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Vol. 36 (2002), pages 397-425. A. Kurganov, G. Petrova: Central schemes and contact discontinuities, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Vol. 34 (2002), pages 1259-1275. G. Steinebach, S. Rademacher, P. Rentrop, M. Schulz: Mechanisms of coupling in river flow simulation systems, Journal of Computational and Applied Mathematics, www.elsevier.com/locate/cam R. J. Leveque: Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press Frantiˇsek SEIFRT ˇ ıˇ R´ cn´ı toky, dopravn´ı z´ acpy a druh´ y termodynamick´ y z´ akon


termodynamický zákon František SEIFRT 9. března 2006

Recommend Documents