´ Uvodem ´ Tento text vznik´ a jako podklad pro semin´aˇr “Uvod do stochastick´e anal´ yzy”, urˇcen´ y pˇredevˇs´ım (ale nejen) student˚ um Fakulty jadern´e a fyzik´alnˇe inˇzen´ yrsk´e ˇ CVUT v Praze. Pˇri sepisov´ an´ı textu kladu d˚ uraz pˇredevˇs´ım na v´ yznamn´e aspekty prob´ıran´e teorie, a to i za cenu jist´e slevy z rigorozity a obecnosti. Ta je vyˇz´ad´ana hned nˇekolika d˚ uvody: jednak “prerekvizitn´ı” kurzy nekladou dostateˇcn´ y d˚ uraz na souvisej´ıc´ı teorii, zejm´ena na souˇcinov´e prostory, Radonovu-Nikod´ ymovu derivaci atd. Zadruh´e, a to pˇredevˇs´ım, c´ılem semin´aˇre je relativnˇe rychl´e sezn´amen´ı s problematikou stochastick´e anal´ yzy a stochastick´ ych diferenci´aln´ıch rovnic s t´ım, ˇze pˇr´ıpadn´ı z´ ajemci si dalˇs´ı apar´at dopln´ı bud’ samostudiem, nebo, v pˇr´ıpadˇe ˇsirˇs´ıho z´ ajmu, nˇejak´ ym navazuj´ıc´ım, plnˇe rigorozn´ım kurzem. S ohledem na v´ yˇse zm´ınˇen´e bude tento text pojedn´avat zejm´ena o stochastick´e integraci ve vztahu k Wienerovˇe procesu. Tyto pozn´ amky, stejnˇe jako pr˚ ubˇeh semin´aˇre, op´ıraj´ı se o zdaˇrilou knihu profesora Øksendala [2003]. Jej´ı v´ yklad vˇsak nen´ı sledov´an doslova. Tam, kde jsem uznal za vhodn´e, Øksendalovo pojet´ı rozˇsiˇruji nebo jinak upravuji. Student, kter´ y by si chtˇel rozˇs´ıˇrit zde prob´ıranou problematiku, je tedy odk´az´an na dalˇs´ı (vˇetˇsinou n´ aroˇcnˇejˇs´ı) literaturu, jej´ıˇz seznam je na konci. Pˇri rozvaˇzov´ an´ı, zda text pojmout “Landau stylem” (striktnˇe definice–vˇeta– d˚ ukaz) nebo sp´ıˇse v´ ykladov´ ym stylem Halmosov´ ym, pˇriklonil jsem se v´ıce na stranu druhou. D˚ uvod˚ u je opˇet cel´a ˇrada, dominuje mezi nimi d˚ usledek v´ yˇse zm´ınˇen´eho u ´stupku z rigorozity. Nen´ı, dle m´eho soudu, moˇzn´e, napsat “Landau stylem” text zm´ınˇen´eho charakteru. Autor bude vdˇeˇcn´ y za jak´ekoliv pozn´amky, pˇripom´ınky a korektury textu, nebot’ ten z podstaty geneze nese nem´alo nedokonalost´ı. Kamil Dedecius
1
1
´ Uvodn´ ı definice
Nejprve letmo zopakujeme nˇekolik z´akladn´ıch definic z teorie m´ıry a pravdˇepodobnosti. Z´ ajemce o ˇsirˇs´ı popis a souvislosti najde zevrubn´ y v´ yklad teorie v libovoln´e uˇcebnici pravdˇepodobnosti. Definice 1. Syst´em F podmnoˇzin Ω naz´yv´ ame σ-algebrou na Ω, pokud (i) ∅ ∈ F, (ii) F ∈ F ⇒ F C ∈ F kde F C = Ω \ F je doplnˇek mnoˇziny F v Ω, S∞ (iii) A1 , A2 , . . . ∈ F, pak i i=1 Ai ∈ F. Dvojice (Ω, F) se naz´ yv´ a mˇeˇriteln´ym prostorem. Zavedeme na nˇem zobrazen´ı P : F → [0, 1], splˇ nuj´ıc´ı (i) P (∅) = 0, P (Ω) = 1, (ii) pokud A1 , A2 , . . . ∈ F jsou po dvou disjunkn´ı mnoˇziny, potom ! ∞ ∞ [ X P Ai = P (Ai ). i=1
i=1
P potom nazveme pravdˇepodobnostn´ı m´ırou (pravdˇepodobnost´ı) na (Ω, F) a trojici (Ω, F, P ) pravdˇepodobnostn´ım prostorem. Tento prostor zˇrejmˇe nen´ı u ´pln´ y, lze jej ovˇsem z´ uplnit doplnˇen´ım vˇsech mnoˇzin G s nulovou vnˇejˇs´ı m´ırou, tedy P ∗ (G) := inf {P (F ); F ∈ F, G ⊆ F } = 0. σ-algebra nemus´ı b´ yt d´ ana a priori, k jej´ı konstrukci ovˇsem postaˇc´ı i libovoln´ y syst´em A podmnoˇzin Ω. P´ıˇseme potom σ(A) a mluv´ıme o σ-algebˇre generovan´e A. Je jednoduch´e uk´azat, ˇze takov´a algebra je nejmenˇs´ı ze vˇsech σ-algeber, kter´e A obsahuj´ı (cviˇcen´ı). Vhodn´ ym pˇr´ıkladem nejmenˇs´ı σ-algebry je borelovsk´ a σ-algebra, jeˇz je generov´ana vˇsemi otevˇren´ ymi (nebo ekvivalentnˇe uzavˇren´ ymi mnoˇzinami) na Rn . Mnoˇziny z libovoln´e σ-algebry naz´ yv´ame mˇeˇriteln´ymi mnoˇzinami, v pravdˇepodobnostn´ım prostoru ˇcastˇeji jevy. Pravdˇepodobnost P (F ) pro F ∈ F potom kvantifikuje tvrzen´ı, ˇze jev F nastal. P (F ) = 1 znaˇc´ı pravdˇepodobnost skoro jistˇe, ve zkratce s.j. Zat´ım co v klasick´e anal´ yze klademe d˚ uraz na p˚ uvodn´ı prostor, v pravdˇepodobnosti se prostor (Ω, F, P ) vˇetˇsinou nehod´ı, nebot’ m˚ uˇze obsahovat tak ˇr´ıkaj´ıc kde co. Je tedy vhodn´e (aˇz nutn´e) se posunout “o u ´roveˇ n v´ yˇse”, a sice prostˇrednictv´ım zobrazen´ı a zav´est n´ ahodnou veliˇcinu. Definice 2. Mˇeˇriteln´ ym zobrazen´ım X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) kde oba prostory jsou mˇeˇriteln´e naz´yv´ ame takov´e zobrazen´ı, pro nˇeˇz plat´ı X −1 (F2 ) ⊆ F1 ,
t.j.
X −1 (F2 ) ∈ F1
pro kaˇzdou mnoˇzinu F2 ∈ F2 . Zobrazen´ı X : (Ω, F) → (Rn , B) se naz´yv´ a n´ ahodn´ a veliˇcina (pro n = 1) resp. n´ahodn´ y vektor (n > 1). 2
Podstatnou vlastnost´ı mˇeˇriteln´ ych zobrazen´ı a v naˇsem pˇr´ıpadˇe zejm´ena n´ ahodn´ ych veliˇcin je, ˇze rovnˇeˇz generuj´ı σ-algebry. σ-algebra F X generovan´a n´ ahodnou veliˇcinou X je nejmenˇs´ı σ-algebra na Ω obsahuj´ıc´ı vˇsechny mnoˇziny X −1 (B) kde B ∈ B jsou otevˇren´e. Definice 3. Bud’ X : (Ω, F) → (Rn , B) n´ ahodn´ a veliˇcina. Poloˇzme pro B ∈ B borelovskou mnoˇzinu µX (B) = P (X −1 (B)). Potom mnoˇzinovou funkci µX : B → R, jeˇz je obrazem P pˇri zobrazen´ı X, naz´yv´ ame rozdˇelen´ım (distribuc´ı) veliˇciny X na (Rn , B), struˇcnˇe rozdˇelen´ım X. Definice 4. Distribuˇcn´ı funkc´ı n´ ahodn´e veliˇciny X naz´yv´ ame funkci F (x) = P (X ≤ x) = µX (−∞, x). Vlastnostmi distribuc´ı a distribuˇcn´ıch funkc´ı se nebudeme d´ale zab´ yvat, nebot’ jsou obsahem u ´vodn´ıch kurz˚ u do teorie pravdˇepodobnosti. Je vˇsak vhodn´e si uvˇedomit, ˇze distribuˇcn´ı funkce charakterizuje distribuci. Pˇripomeˇ nme jen bez d˚ ukazu, ˇze distribuˇcn´ı funkce je neklesaj´ıc´ı zprava spojit´a funkce s limitami 0 resp. 1 v z´ aporn´em resp. kladn´em nekoneˇcnu. Definice 5. Hustotou n´ ahodn´e veliˇciny X : (Ω, F ) → (Rn , B) s distribuc´ı µX vzhledem k dominuj´ıc´ı (napˇr. Lebesgueovˇe) m´ıˇre Λx na (Rn , B), splˇ nuj´ıc´ı µx Λx je funkce dµx . (1) f= dΛx R R Plat´ı tedy P (X ∈ B) = X −1 (B) dP = B f dΛx , kde B ∈ B. Existence hustoty (kdy neexistuje? ) je zajiˇstˇena pˇri splnˇen´ı pˇredpoklad˚ u Radonovou–Nikod´ ymovou derivac´ı. R Pokud Ω |X(ω)|dP (ω) < ∞, potom zav´ad´ıme stˇredn´ı hodnotu veliˇciny X jako funkcion´ al Z Z E[X] = X(ω)dP (ω) = xdµX (x). (2) Rn
Ω
Pˇripomeˇ nme, ˇze stˇredn´ı hodnota nemus´ı existovat; pˇr´ıkladem budiˇz Cauchyho rozdˇelen´ı. σ-algebry F1 , F2 , . . . nazveme nez´ avisl´ymi, pokud P (Fi1 ∩ · · · ∩ Fin ) = P (Fi1 ) . . . P (Fin ) pro vˇsechny volby Fi ∈ Fi , i ∈ N a i1 , . . . , in jsou r˚ uzn´a. N´ ahodn´e veliˇciny X1 , X2 , . . . jsou nez´avisl´e, pokud jimi generovan´e σ-algebry σ(X1 ), σ(X2 ), . . . jsou nez´ avisl´e. Ekvivalentnˇe E[XY ] = E[X] · E[Y ], za pˇredpokladu, ˇze vˇsechny tyto stˇredn´ı hodnoty existuj´ı a jsou koneˇcn´e. Jevy F1 , F2 , . . . nazveme nez´ avisl´e, pokud σ-algebry {∅, Fi , FiC , Ω} jsou nez´avisl´e. Analogicky, Fi ∈ F pro i ∈ N jsou nez´avisl´e, pokud P (F1 ∩ . . . ∩ Fn ) = P (F1 ) . . . P (Fn ).
3
Definice 6. Bud’ T mnoˇzina a (Rn , B) mˇeˇriteln´y prostor. N´ ahodn´y proces, indexovan´y T a nab´yvaj´ıc´ı hodnot v (Rn , B) je tˇr´ıda mˇeˇriteln´ych zobrazen´ı Xt : (Ω, F) → (E, E), kde (E, E) je mˇeˇriteln´y prostor. Jin´ ymi slovy, n´ ahodn´ y (t´eˇz stochastick´ y) proces X je posloupnost n´ahodn´ ych veliˇcin {Xt }t∈T , definovan´ ych na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, F, P ). Nab´ yvat m˚ uˇze hodnot v libovoln´em mˇeˇriteln´em stavov´em prostoru, my vˇsak buˇ ıd´ıc´ı mnoˇzina T deme pˇredpokl´ adat pouze re´ aln´e n´ahodn´e procesy na Rn . R´ je obvykle totoˇzn´ a s intervalem [0, ∞) (tu budeme uvaˇzovat, nebude-li ˇreˇceno jinak), avˇsak m˚ uˇze j´ıt i o jin´e mnoˇziny, napˇr. o intervaly typu [a, b], mnoˇziny cel´ ych kladn´ ych ˇc´ısel ˇci dokonce podmnoˇziny Rn pro n ≥ 1. Na n´ ahodn´ y proces X = {Xt }t∈T m˚ uˇzeme nahl´ıˇzet tˇremi zp˚ usoby: • Jako na posloupnost n´ ahodn´ ych veliˇcin Xt , jednu pro kaˇzd´ y okamˇzik t ∈ T . • Jako na trajektorii t → Xt (ω) n
z T do R , jednu pro kaˇzd´e ω ∈ Ω. • Jako na funkci (t, ω) → Xt (ω), ze souˇcinov´eho prostoru T × Ω → Rn . Pro lepˇs´ı intuici je vhodn´e nahl´ıˇzet na parametr t jako na ˇcas, zat´ımco ω pˇredstavuje “ˇc´ astici”. Xt (ω) (t´eˇz X(t, ω)) vyjadˇruje pozici ˇc´astice ω v ˇcase t. Toto pojet´ı bude pozdˇeji velmi pˇrirozen´e pro Wiener˚ uv proces (t´eˇz Brown˚ uv pohyb). V´ yznamnou vlastnost´ı je spojitost n´ahodn´eho procesu. ˇ ık´ Definice 7. R´ ame, ˇze n´ ahodn´y proces X je spojit´y s.j., pokud pro vˇsechna ω je funkce t 7→ Xt (ω) spojit´ a. Jak b´ yv´ a v teorii pravdˇepodobnosti bˇeˇzn´e, n´aˇs z´ajem bude pˇredevˇs´ım o jevy s nenulovou pravdˇepodobnost´ı. Proto zavedeme dvˇe uˇziteˇcn´e definice, jeˇz n´am velmi ulehˇc´ı dalˇs´ı studium zejm´ena spojit´ ych n´ahodn´ ych proces˚ u. Definice 8. N´ ahodn´y proces X nazveme modifikac´ı (t´eˇz verz´ı1 ) procesu Y , pokud m´ a stejn´y pravdˇepodobnostn´ı prostor, stejn´y stavov´y prostor a mnoˇzinu T a plat´ı P (Xt = Yt ) = 1 pro vˇsechna t ∈ T. Pˇ r´ıklad 1. Uvaˇzujme nez´ apornou n´ ahodnou veliˇcinu ξ se spojit´ym rozdˇelen´ım a dva procesy Xt = 0, ( Yt =
(3) 0 1
pro ξ 6= t, pro ξ = t.
Zˇrejmˇe Y je modifikac´ı X, avˇsak jejich trajektorie jsou odliˇsn´e! 1 Pozor,
napˇr. Revuz and Yor [1999] definuj´ı verzi a modifikaci r˚ uznˇ e!
4
(4)
Definice 9. Dva n´ ahodn´e procesy X a Y na stejn´em pravdˇepodobnostn´ım prostoru, se stejn´ym stavov´ym prostorem a mnoˇzinou T naz´yv´ ame nerozliˇsiteln´e (t´eˇz ekvivalentn´ı), pokud P (Xt = Yt
pro vˇsechna
t ∈ T ) = 1.
Striktnˇe vzato, mohli bychom uvaˇzovat rovnost proces˚ u X a Y , kter´a by platila pokud Xt (ω) = Yt (ω) Pro vˇetˇsinu u ´ˇcel˚ u lze na nerozliˇsiteln´e procesy nahl´ıˇzet jako na shodn´e (sobˇe rovn´e), coˇz by ovˇsem ve striktn´ım smyslu spr´avnˇe znamenalo Xt (ω) = Yt (ω) pro kaˇzd´e ω ∈ Ω a t ∈ T . Dalˇs´ı moˇznost´ı, jak pohl´ıˇzet na pˇr´ıpadnou shodnost dvou proces˚ u je rovnost v distribuci. Potom X = Y v distribuci znaˇc´ı P (X = A) = P (Y = A) pro vˇsechny mnoˇziny, pro nˇeˇz m´ a tento v´ yraz smysl. V rozumn´ ych pˇr´ıpadech je rovnost v distribuci zajiˇstˇena volnˇejˇs´ı definic´ı rovnosti koneˇcnˇerozmˇern´ ych distribuc´ı. Definice 10. Koneˇcnˇerozmˇern´a rozdˇelen´ı procesu X = {Xt }t∈T jsou m´ıry µt1 ,...,tk na (Rn )k , k = 1, 2, . . . takov´e, ˇze µt1 ,...,tk (F1 × F2 × · · · × Fk ) = P (Xt1 ∈ F1 , . . . , Xtk ∈ Fk ),
Ti ∈ T,
kde F1 , . . . , Fk jsou borelovsk´e mnoˇziny v Rn . Nen´ı tˇeˇzk´e nahl´ednout, ˇze je-li proces X modifikac´ı procesu Y , potom jejich koneˇcnˇerozmˇern´ a rozdˇelen´ı jsou stejn´a. N´ asleduj´ıc´ı vˇeta uk´ aˇze, ˇze koneˇcnˇerozmˇern´a rozdˇelen´ı postaˇcuj´ı ke konstrukci n´ ahodn´eho procesu. Vˇ eta 1 (Daniellova–Kolmogorovova). Necht’ pro kaˇzdou uspoˇr´ adanou k-tici t1 , . . . , tk ∈ T, k ∈ N jsou d´ any pravdˇepodobnostn´ı m´ıry νt1 ,...,tk na (Rn )k , splˇ nuj´ıc´ı n´ asleduj´ıc´ı dvˇe podm´ınky konzistence: (i) pro vˇsechny permutace π mnoˇziny {1, . . . , k} a borelovsk´e mnoˇziny F1 , . . . , Fk plat´ı νtπ(1) ,...,tπ(k) (Fπ(1) × · · · × Fπ(k) ) = νt1 ,...,tk (F1 × · · · × Fk ),
(5)
(ii) νt1 ,...,tk (F1 × · · · × Fk ) = νt1 ,...,tk+1 (F1 × · · · × Fk × Rn ). Potom existuje pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω, F, P ) a n´ ahodn´y proces X : T × Ω → Rn takov´y, ˇze νt1 ,...,tk (F1 × · · · × Fk ) = P (Xt1 ∈ F1 , . . . , Xtk ∈ Fk )
(6)
pro vˇsechna ti ∈ T, k ∈ N a Fi ∈ Rn borelovsk´e. V´ yznam podm´ınek konzistence je vcelku prost´ y. Prvn´ı z nich ˇr´ık´a, ˇze napˇr. pro libovolnou dvojici F a jej´ıho doplˇ nku F C = Ω \ F plat´ı ν1,2 (F, F C ) = ν2,1 (F C , F ) a toto plat´ı pro libovolnou koneˇcnou mnoˇzinu vybranou z T a libovoln´e mnoˇziny Fi z Rn . Podm´ınka druh´a trivi´alnˇe rozˇsiˇruje pojem koneˇcnˇerozmˇern´eho rozdˇelen´ı na dalˇs´ı rozmˇery, napˇr. ν1,2 (F, F C ) = ν1,2,3 (F, F C , Rn ), nebo opaˇcnˇe ˇreˇceno, umoˇzn ˇuje restrikci na m´enˇerozmˇern´a rozdˇelen´ı. D˚ ukaz t´eto vˇety je technicky n´ aroˇcn´ y, z´ ajemce jej nalezne napˇr. v [Billingsley, 2008, kap. 36], kde jsou k dispozici hned dvˇe varianty d˚ ukazu. Stoj´ı za povˇsimnut´ı, ˇze obˇe podm´ınky konzistence je moˇzn´e aplikovat na zobrazen´ı m´ıry v n´asleduj´ıc´ım smyslu: 5
• Definujme bijekci φπ : (Rn )k → (Rn )k , permutuj´ıc´ı souˇradnice ve smyslu φπ (x1 , . . . , xk ) = (xπ−1 (1) , . . . , xπ−1 (k) ). Pak zˇrejmˇe νtπ(1) ,...,tπ(k) φ−1 π (F1 × · · · × Fk ) = νt1 ,...,tk (F1 × · · · × Fk ), a tedy νt1 ,...,tk = νtπ(1) ,...,tπ(k) φ−1 π . • Podobnˇe m˚ uˇzeme definovat zobrazen´ı φ : (Rn )k+1 → (Rn )k , φ(x1 , . . . , xk , xk+1 ) = (x1 , . . . , xk ). Potom (6) je ekvivalentn´ı k νt1 ,...,tk = νt1 ,...,tk+1 φ−1 . Zcela pˇrirozenˇe je potom pro k < m moˇzn´e definovat funkci Φ : (Rn )m → (Rn )k , jeˇz je sloˇzenou funkc´ı φπ a φ a νt1 ,...,tk = νu1 ,...,um Φ−1 , kde {t1 , . . . , tk } ⊂ {u1 , . . . , um } ⊂ T . Funkce Φ tedy nejprve permutuje (uπ−1 (1) , . . . , uπ−1 (m) ) = (t1 , . . . , tk , tk+1 , . . . , tm ) a n´ aslednˇe vybere prvn´ıch k souˇradnic. S pojmem koneˇcnˇerozmˇern´ ych distribuc´ı nutnˇe souvis´ı pojem koneˇcnˇerozmˇern´ ych mnoˇzin, zvan´ ych v´ alce. Uvaˇzujme pro kaˇzd´e t ∈ T zobrazen´ı Zt : (Rn )T → Rn , definovan´e Zt (x) = xt , kde x ∈ Rn je vektor v (souˇcinov´em) stavov´em prostoru Rn . Zt (x) tedy vyb´ır´a pro kaˇzd´e t souˇradnici xt . Oznaˇcme B T = σ(Zt , t ∈ T ) σ-algebru generovanou vˇsemi funkcemi Zt , tj. mnoˇzinami typu {x ∈ (Rn )T ; Zt (x) ∈ F } = {x ∈ (Rn )T ; xt ∈ F }, kde F je prvkem borelovsk´e σ-algebry na Rn . Je-li T koneˇcn´a (k-rozmˇern´a), potom je B T identick´ a s pˇr´ısluˇsnou souˇcinovou borelovskou σ-algebrou B k . Definice 11. Bud’ k ∈ N, ti ∈ T pro i = 1, . . . , k. Koneˇcnˇerozmˇern´e mnoˇziny – v´ alce – jsou mnoˇziny typu A = {x ∈ (Rn )T ; (Zt1 (x), . . . , Ztk (x) ∈ F } = {x ∈ (Rn )T ; (xt1 , . . . , xtk ) ∈ F },
F ∈ Bk .
(7)
Je zˇrejm´e, ˇze v´ alcem je takov´a mnoˇzina, kter´a je tvoˇrena, aˇz na koneˇcnˇe mnoho prvk˚ u, κ kopiemi Rn , kde κ = card T je kardinalita ˇr´ıd´ıc´ı mnoˇziny T . Vˇ eta 2. Syst´em vˇsech v´ alc˚ u (oznaˇcme B0T ) je algebrou. 6
D˚ usledkem t´eto vˇety je, ˇze B0T generuje cylindrickou σ-algebru B T . Pˇripomeˇ nme, ˇze algebra se od σ-algebry liˇs´ı koneˇcnou aditivitou (ve smyslu uzavˇrenosti na koneˇcn´ a sjednocen´ı). D˚ ukaz. Jelikoˇz (Rn )T \ A = {x ∈ (Rn )T ; (xt1 , . . . , xtk ) ∈ (Rn )k \ A}, je syst´em uzavˇren´ y na doplˇ nky. Uvaˇzujme kromˇe mnoˇziny A, definovan´e (7), mnoˇzinu B = {x ∈ (Rn )T ; (xs1 , . . . , xsj ) ∈ G} kde G ∈ (Rn )j . Oznaˇcme {u1 , . . . , um } = {ti }i=1,...,k ∪ {si }i=1,...,j . Zˇrejmˇe, s vyuˇzit´ım podm´ınek konzistence (zvl. funkce Ψ), jsou A, B i jejich sjednocen´ı obsaˇzeny v nˇejak´ ych mnoˇzin´ach v B m . Konstrukce n´ ahodn´eho procesu X s pˇredepsan´ ymi koneˇcnˇerozmˇern´ ymi margin´ aln´ımi rozdˇelen´ımi a T nejv´ yˇse spoˇcetnou je Daniellovou–Kolmogorovovou vˇetou snadno zajiˇstˇena. Uvaˇzme (Ω, F, P ) = (X, B, P ) kde B je pˇr´ısluˇsn´a borelovsk´ a σ-algebra na X = Rn a ztotoˇznˇeme, jako v´ yˇse, pro ω = x = {xt }t∈T ∈ Ω n´ ahodnou promˇennou Xt (ω) = xt . Probl´em ovˇsem nastane pro nespoˇcetn´a T , napˇr´ıklad s mohutnost´ı kontinua. Jak bylo uk´az´ano, je proces sice charakterizov´ an v´ alci, jeˇz jsou v pˇr´ıpadˇe cylindrick´e σ-algebry i mˇeˇriteln´e2 , avˇsak samotn´a σ-algebra je znaˇcnˇe chud´ a. Kupˇr´ıkladu neobsahuje mnoˇzinu spojit´ ych funkc´ı C([0, ∞), Rn ) zobrazuj´ıc´ı [0, ∞) 7→ Rn (coˇz nˇekter´e d˚ uleˇzit´e procesy jsou). Pokud by totiˇz takov´ a funkce (napˇr. x ∈ C) mˇeˇriteln´a byla, musela by b´ yt v σ({Zt }t∈S ) pro nˇejakou spoˇcetnou indexovou mnoˇzinu S ⊂ [0, ∞). Jenˇze pak by pro y takov´e, ˇze Zt (x) = Zt (y) pro vˇsechna t ∈ S muselo b´ yt i y ∈ C. T´ım je dosaˇzeno sporu, nebot’ existuj´ı funkce y, shodn´e s x na libovoln´e spoˇcetn´e mnoˇzinˇe index˚ u, avˇsak s nespojitostmi mimo tuto mnoˇzinu. Probl´em spojitosti lze ˇreˇsit bud’ prostˇrednictv´ım separability, coˇz ovˇsem vyˇzaduje jistou znalost topologie a m´ıry, nebo si lze vystaˇcit s krit´eriem pro existenci spojit´e modifikace procesu. To zav´ad´ı n´asleduj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 3 (Kolmogorovova vˇeta o spojitosti). Necht’ n´ ahodn´y proces X = {Xt }t≥0 splˇ nuje n´ asleduj´ıc´ı podm´ınku: pro vˇsechna t, h > 0 existuj´ı kladn´ a ˇc´ısla α, β a D takov´ a, ˇze E [|Xt − Xt+h |α ] ≤ D · h1+β . Potom existuje modifikace procesu X, jeˇz je spojit´ a s.j. Pozorn´ y ˇcten´ aˇr si zajist´e povˇsimne (nen´ahodn´e) podobnosti s H¨olderovou nerovnost´ı. Rovnˇeˇz v´ yznam existence modifikace je v svouvislosti s dˇr´ıve zm´ınˇen´ ymi fakty oˇcividn´ y.
2
Wiener˚ uv proces
Naˇsi konstrukci Wienerova procesu Bt (ω) opˇreme o Daniellovu–Kolmogorovovu vˇetu. Pro pevn´e x ∈ Rn definujme pro kaˇzd´e y ∈ Rn a t > 0 hustotu (x − y)2 −n 2 exp − . p(t, x, y) = (2πt) 2t 2 Pojem
mˇ eˇritelnosti v´ alc˚ u ovˇsem nen´ı trivi´ aln´ı!
7
Pro 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tk zavedeme m´ıru νt1 ,...,tk na (Rn )k Z νt1 ,...,tk (F1 × · · · × Fk ) = p(t1 , x0 , x1 ) . . . p(tk − tk−1 , xk−1 , xk )dx1 . . . dxk , F1 ×···×Fk
kde dx1 . . . dxk reprezentuje Lebesgueovu m´ıru a p(0, x, y)dy = δx (y) je Diracova m´ıra soustˇredˇen´ a v bodu x. Poˇzadujme d´ale platnost podm´ınek konzistence (viz DK vˇeta 1) 3 . Podle vˇety potom existuje pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω, F, P x ) a n´ ahodn´ y proces {Bt }t≥0 na Ω, jehoˇz koneˇcnˇerozmˇern´a rozdˇelen´ı jsou d´ana pˇredpisem P x (Bt1 ∈ F1 , . . . , Btk ∈ Fk ) Z = p(t1 , x0 , x1 ) . . . p(tk − tk−1 , xk−1 , xk )dx1 . . . dxk . F1 ×···×Fk
Takov´ y proces je verz´ı Wienerova procesu zaˇc´ınaj´ıc´ıho v bodˇe x0 . Povˇsimnˇeme si, ˇze P x (B0 = x) = 1. Obvykle x0 = 0, viz definice d´ale. Definice 12. N´ ahodn´y proces {Bt }t≥0 naz´yv´ ame Wiener˚ uv, pokud plat´ı (i) B0 = 0 s.j., (ii) zobrazen´ı t 7→ Bt (ω) je spojit´ a funkce t ≥ 0 pro skoro vˇsechna ω, (iii) pˇr´ır˚ ustky (Bt+h − Bt ) ∼ N (0, h) pro vˇsechna t, h ≥ 0, a jsou nez´ avisl´e. Obecnˇe plat´ı, ˇze proces je spojit´ y s.j., pokud zobrazen´ı t 7→ Xt (ω) je spojit´e pro skoro vˇsechna ω. Zat´ımco vlastnosti (ii) a (iii) jsou z´akladn´ı, z vlastnosti (i) lze slevit bez u ´jmy na obecnosti. Prvn´ı dvˇe vlastnosti totiˇz definuj´ı koneˇcnˇerozmˇern´e rozdˇelen´ı, k nimˇz lze naj´ıt spojitou modifikaci, jej´ıˇz existence je zajiˇstˇena vˇetou 3 volbou α = 4, β = 1 a D = n(n + 2). Pokud budeme poˇzadovat platnost (i), potom mluv´ıme o standardn´ım Wienerovˇe procesu. Velmi v´ yznamnou vlastnost´ı je vz´ajemn´a nez´avislost Wienerova procesu v (1) (n) jednotliv´ ych dimenz´ıch. Je-li Bt = (Bt , . . . , Bt ) ∈ Rn , potom kaˇzd´ y z proym Wienerov´ ym procesem na R1 . ces˚ u {Bti }t≥0 , i ∈ {1, . . . , n} je samostatn´ Nˇekter´e z v´ yznamn´ ych vlastnost´ı Wienerova procesu, kter´e jej ˇcin´ı obzvl´aˇstˇe zaj´ımav´ ym pro studium a aplikaci, jsou: (i) Velk´ a vˇetˇsina tˇr´ıd zaj´ımav´ ych proces˚ u obsahuje Wiener˚ uv proces. Tento proces je martingal, norm´aln´ı proces, Markovsk´ y proces, difuze, L´evyho proces atd. (ii) Wiener˚ uv proces m´ a dostateˇcnˇe dobr´e vlastnosti, umoˇzn ˇuj´ıc´ı prov´adˇet vˇetˇsinu u ´prav relativnˇe snadno analyticky. (iii) Pˇrechod ke sloˇzitˇejˇs´ım proces˚ um je snazˇs´ı a ˇcasto jej lze prov´est posloupnost´ı transformac´ı. 3 Uvˇ edomme
si proˇ c plat´ı podm´ınka druh´ a.
8
2.1
Wiener˚ uv proces je norm´ aln´ı proces
Spojit´ y proces {Xt }t∈T s hodnotami v R je norm´ aln´ı (gaussovsk´ y), pokud pro libovoln´e indexy t1 , . . . , tk ∈ T je rozdˇelen´ı vektoru (Xt1 , . . . , Xtk ) k-rozmˇern´a norm´ aln´ı se stˇredn´ı hodnotou µt = E[Xt ] a kovarianc´ı cov(Xs , Xt ). Obvykle pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze µ = 0, ˇcehoˇz lze ale dos´ahnout posunut´ım Xt − µt . Uk´ azat, ˇze {Bt }t≥0 je norm´aln´ı proces s nulovou stˇredn´ı hodnotou a kovarianc´ı cov(Bs , Bt ) = s ∧ t je snadn´e (proved’te!), stejnˇe jako uk´azat platnost opaˇcn´eho tvrzen´ı. To m˚ uˇze b´ yt v´ yhodn´e napˇr. pro d˚ ukazy. Na ˇcten´ aˇri ponech´ ame d˚ ukaz n´asleduj´ıc´ıch v´ yznamn´ ych vlastnost´ı Wienerova procesu, s v´ yjimkou posledn´ı: • (symetrie) Proces {−Bt }t≥0 je rovnˇeˇz Wiener˚ uv. • (posunut´ı) Pro libovoln´e a ≥ 0 je proces {Bt+a − Bt }t≥0 Wiener˚ uv. uv proces. • (zmˇena mˇeˇr´ıtka) Pro libovoln´e c 6= 0 je {cBt/c2 }t≥0 Wiener˚ ˜t }t≥0 s vlastnostmi B ˜0 = 0 a B ˜t = tB1/t pro • (ˇcasov´ a inverze) Proces {B t > 0 je Wiener˚ uv. ˜t }t≥0 byl norm´aln´ı D˚ ukaz. D˚ ukaz platnosti ˇcasov´e inverze: Poˇzadujeme, aby {B ˜s , B ˜t ) = s ∧ t. Zcela jistˇe je B1/t je norm´aln´ı proces stˇredovan´ y proces s cov(B s nulovou stˇredn´ı hodnotou (koneˇcnˇerozmˇern´a rozdˇelen´ı jsou norm´aln´ı), tedy i tB1/t splˇ nuje tento poˇzadavek. D´ale plat´ı h i ˜s B ˜t ) = E B ˜s B ˜t = st( 1 ∧ 1 ) = s ∧ t. cov(B s t
2.2
Nepˇ ekn´ e vlastnosti Wienerova procesu
Wiener˚ uv proces m´ a ˇradu ,,nepˇekn´ ych” vlastnost´ı, jde o pˇr´ıˇseru re´aln´e anal´ yzy (angl. monster of real analysis)4 . Navzdory spojitosti nem´a nikde derivaci, pˇresnˇeji ˇreˇceno, kaˇzd´e t je bodem kde neexistuje derivace s.j. Zmˇena mˇeˇr´ıtka potom zajiˇst’uje ,,zubatost” v kaˇzd´em bodˇe, narozd´ıl od diferencovateln´ ych funkc´ı, kter´e se pˇribl´ıˇzen´ım prakticky st´avaj´ı line´arn´ımi. Definice 13. Bud’ Xt : Ω → R spojit´y n´ ahodn´y proces a p > 0. Potom p-tou variac´ı tohoto procesu naz´yv´ ame X (p) p hX, Xit (ω) = lim |Xtk +1 (ω) − Xtk (ω)| , ∆tk →0
tk
kde 0 = t1 < t2 < · · · < tn = t a ∆tk = tk+1 − tk . Speci´ aln´ımi pˇr´ıpady jsou p = 1 – tot´ aln´ı variace, 4 Autor
textu bude vdˇ eˇ cn´ y za informaci, existuje-li jin´ y, bˇ eˇ znˇ e pouˇ z´ıvan´ y pˇreklad.
9
p = 2 – kvadratick´ a variace. Wiener˚ uv proces m´ a v d˚ usledku sv´e nediferencovatelnosti nekoneˇcnou tot´aln´ı variaci na kaˇzd´em netrivi´ aln´ım intervalu [t0 , t1 ], tedy nelze pˇr´ımo ˇreˇsit RiemannovyStieltjesovy integr´ aly typu Z T f (t)dBt . 0
M´ısto toho je nutn´e uch´ ylit se ke stochastick´emu integr´alu. Dalˇs´ı zvl´aˇstnost´ı je rekurence Wienerova procesu – vrac´ı se do sv´eho v´ ychoz´ıho bodu. Mnoˇzina {t ≥ 0 : Bt = a} je Cantorovou mnoˇzinou, tedy nepr´azdnou uzavˇrenou mnoˇzinou neobsahuj´ıc´ı izolovan´e body ani netrivi´aln´ı mnoˇziny. Kvadratick´a variace je pro Wiener˚ uv proces dobˇre definov´ana, (2)
hB, Bit (ω) = t
s.j.
Dok´ aˇzeme si n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 4.
P
sup Bt = +∞,
inf Bt = −∞ = 1. t
t
(8)
D˚ ukaz. Oznaˇcme Z = supt Bt a povˇsimnˇeme si, ˇze ˇsk´alov´an´ı pro libovoln´e c > 0 zachov´ av´ a distribuci (dokaˇzte). Plat´ı tedy, ˇze rozdˇelen´ı veliˇciny Z je definov´ano na bodech 0 a +∞. Potom P (Z = 0) ≤ P (B1 ≤ 0 a souˇcasnˇe Bτ ≤ 0 ∀τ ≥ 1) = P B1 ≤ 0 a souˇcasnˇe sup{B1+t − B1 } = 0 . t≥0
Podle dˇr´ıve uveden´ ych vlastnost´ı je proces {B1+t − B1 }t≥0 rovnˇeˇz Wiener˚ uv a pro jeho supremum mus´ı platit stejn´e tvrzen´ı. Z nez´avislosti {Bτ }τ ≤1 a {B1+t − B1 }t≥0 plyne P (Z = 0) ≤ P (B1 ≤ 0) · P (Z = 0) =
P (Z = 0) , 2
tedy P (Z = 0) = 0. Vyuˇzit´ım Wienerovsk´e vlastnosti procesu {−Bt }t≥0 je tvrzen´ı dok´ az´ ano.
3
Konstrukce stochastick´ eho integr´ alu
Pˇredpokl´ adejme, ˇze m´ ame ˇreˇsit diferenci´aln´ı rovnici typu dX = b(t, Xt ) + σ(t, Xt ) · Wt , dt kde b a σ jsou zn´ am´e funkce a veliˇcina W reprezentuje nedeterministick´ y ˇsum. Jednou z moˇznost´ı, jak se k probl´emu postavit, je diskretizace na s´ıti 0 = t0 < t1 < · · · < tm = t, Xtk+1 − Xtk = b(t, Xt )∆tk + σ(t, Xt ) · Wtk ∆tk ,
∆tk = tk+1 − tk .
Pˇredpokl´ adejme d´ ale, ˇze na W budeme kl´ast n´asleduj´ıc´ı poˇzadavky: 10
1. Wti ⊥Wtj pro i 6= j; 2. W je stacion´ arn´ı proces stˇredovan´ y v 0, E[Wt ] = 0 pro vˇsechna t s.j. Potom Wtk ∆tk je n´ ahodn´ y proces s nez´avisl´ ymi pˇr´ır˚ ustky s nulovou stˇredn´ı hodnotou a je moˇzn´e uk´ azat, ˇze jedin´ ym spojit´ ym procesem s touto vlastnost´ı je proces Wiener˚ uv B. Jednoduchou u ´pravou dost´av´ame Xtk = Xt0 +
k−1 X
b(ti , Xi )∆ti +
i=0
k−1 X
σ(ti , Xi )∆Bi .
(9)
i=0
Vr´ at´ıme-li se k integr´ aln´ımu z´ apisu s ∆ti → 0, vyvst´av´a ot´azka, zda v nˇejak´em smyslu existuje v´ yraz Z t Z t Xt = Xt0 + b(s, Xs )ds + σ(s, Xs )dBs , Xt = Xt (ω). 0
0
Zamˇeˇr´ıme se nyn´ı na posledn´ı ˇclen, tedy Z t f (s, ω)dBs ,
(10)
0
kde Bt (ω) je jednorozmˇern´ y Wiener˚ uv proces a f : [0, ∞) × Ω → R. Ukaˇzme nejprve, ˇze riemannovsk´ y pˇr´ıstup k integraci nevede k jednoznaˇcn´emu v´ ysledku. Pˇ r´ıklad 2. Bud’ u ∈ [0, 1] a π = {0 = t0 < t1 < · · · < tm = t} dˇelen´ı intervalu [0, t]. D´ ale oznaˇcme si = (1 − u)ti + uti+1 a definujme S(π) =
m−1 X
Bsi Bti+1 − Bti .
(11)
i=0
Potom plat´ı lim S(π) = λ(π)→0
1 2 1 B − t + ut 2 t 2
v L2 (P ),
kde λ(π) = maxi (ti+1 − ti ) je norma dˇelen´ı π. D˚ ukaz. Vyuˇzijeme identity b(a − c) =
a2 c2 (a − c)2 − − + (b − c)2 + (a − b)(b − c). 2 2 2
Souˇcet (11) (v L2 smyslu) je tedy S(π) = =
X X 1 2 1X Bt − (Bti+1 − Bti )2 + (Bsi − Bti )2 + (Bti+1 − Bsi )(Bsi − Bti ) 2 2 i i i 1 2 1 B − t + ut + 0, 2 t 2
kde jsme vyuˇzili vlastnosti Wienerova procesu, zejm´ena nez´avislost a varianci pˇr´ır˚ ustk˚ u. 11
Za povˇsimnut´ı stoj´ı dva mezn´ı pˇr´ıpady a jeden mezilehl´ y pˇr´ıpad: • u = 0, vedouc´ı na lim S(π) = 12 Bt2 − 12 t a tedy E[lim S(π)] = − 12 t, • u = 1, z kter´eho plyne lim S(π) = 12 Bt2 + 12 t a tedy E[lim S(π)] = 12 t, • u = 12 , z kter´eho plyne lim S(π) = 21 Bt2 a tedy E[lim S(π)] = 0. Pokus o integraci v Riemannovˇe–Stieltjesovˇe smyslu prostˇrednictv´ım souˇct˚ u tedy selh´ av´ a na z´ avislosti na volbˇe bod˚ u v r´amci dˇelen´ı. Definice 14. Filtrac´ı na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, F, P ) rozum´ıme neklesaj´ıc´ı syst´em {Ft }t∈T sub-σ-algeber F takovou, pro niˇz plat´ı
D´ ale definujeme F∞
Fs ⊆ Ft ⊆ F, S = σ t∈T Ft .
0 ≤ s < t < ∞.
(12)
Plat´ı, ˇze F∞ je rovnˇeˇz v F, avˇsak m˚ uˇze b´ yt striktnˇe menˇs´ı. Nejjednoduˇsˇs´ı volba filtrace je ta, kterou generuje pˇr´ımo proces. Je-li X n´ahodn´ y proces, potom z´ısk´ av´ ame kanonickou (t´eˇz pˇrirozenou) filtraci jako FtX = σ(Xs ; 0 ≤ s ≤ t). Pˇripomeˇ nme, ˇze σ-algebry je v´ yhodn´e z´ uplnit. Tot´eˇz se t´ yk´a filtrac´ı. Z´ uplnˇen´ a filtrace {F¯t } obsahuje vˇsechny podmnoˇziny F-mˇeˇriteln´ ych mnoˇzin nulov´e m´ıry. ˇ ık´ Definice 15. R´ ame, ˇze n´ ahodn´y proces X je adaptovan´ y na filtraci {Ft }t∈T , pokud Xt je Ft -mˇeˇriteln´ a n´ ahodn´ a veliˇcina pro kaˇzd´e t ∈ T . Definice 16. Definujme tˇr´ıdu V = V(S, T ) funkc´ı f (t, ω) : [0, ∞) × Ω → R, splˇ nuj´ıc´ıch tyto vlastnosti: (i) (t, ω) → f (t, ω) je B × F-mˇeˇriteln´e zobrazen´ı a B = B([0, ∞)) je Borelova σ-algebra; (ii) f (t, ω) je Ft -adaptovan´e zobrazen´ı; hR i T (iii) E S f (t, ω)2 dt < ∞.
4
Ito˚ uv integr´ al
Naˇse konstrukce Itoova integr´ alu Z T f (t, ω)dBt (ω) S
(tedy vzhledem k Wienerovˇe procesu Bt ) bude tˇesnˇe sledovat Øksendal˚ uv postup [Øksendal, 2003]. To umoˇzn ˇuje se v zaˇc´atc´ıch vyhnout bohat´e teorii martingal˚ u. Samotn´ y postup je n´ asleduj´ıc´ı: nejprve zavedeme integr´al pro jednoduch´e funkce (to je obdobn´e k zaveden´ı Lebesgueova integr´alu). N´aslednˇe s pomoc´ı Itoovy izometrie zobecn´ıme na funkce omezen´e a spojit´e a koneˇcnˇe slev´ıme z poˇzadavku spojitosti. Posl´eze ubereme poˇzadavky na integrovatelnou tˇr´ıdu funkc´ı, j´ıˇz bude pro zaˇc´ atek V. 12
Definice 17. Funkce φ ∈ V se naz´yv´ a jednoduchou, pokud plat´ı φ(t, ω) =
n X
ej (ω)1tj ,tj+1 (t).
(13)
j=1
Z vlastnosti φ ∈ V zˇrejmˇe plyne ej ∈ V. Integr´al jednoduch´e funkce pak m´a tvar Z T n X φ(t, ω)dBt (ω) = ej (ω) Btj+1 − Btj (ω). (14) S
j=1
kde tk =
(n) tk
−n k · 2 = S T
pro k · 2−n ∈ [S, T ], pro k · 2−n < S, pro k · 2−n > T .
(15)
Vˇ eta 5 (Itoova izometrie pro jednoduch´e funkce). Necht’ φ(t, ω) je jednoduch´ a omezen´ a funkce. Potom plat´ı !2 "Z # Z T T 2 E φ(t, ω)dBt (ω) =E φ(t, ω) dt (16) S
S
D˚ ukaz. Bud’ ∆Bj = Btj+1 − Btj . Potom ( 0 E [ei ej ∆Bi ∆Bj ] = E[e2j ](tj+1 − tj )
pro i 6= j, pro i = j.
Tedy Z
!2
T
φ(t, ω)dBt (ω)
E
"Z
T
= E [ei ej ∆Bi ∆Bj ] = E
S
# φ(t, ω)2 dt .
S
Pˇrechod od integrace jednoduch´ ych funkc´ı k funkc´ım spojit´ ym a omezen´ ym z V je zajiˇstˇen n´ asleduj´ıc´ı vˇetou. Vˇ eta 6. Bud’ g ∈ V omezen´ a funkce spojit´ a pro kaˇzd´e ω. Potom existuje posloupnost jednoduch´ych funkc´ı φn ∈ V takov´e, ˇze pro n → ∞ "Z # T E (g − φn )2 dt → 0. S
P D˚ ukaz. Bud’ θn (t, ω) = j g(tj , ω)1[tj ,tj+1 ) (t). Potom φn jsou element´arn´ı (nebot’ g ∈ V) a vzhledem ke spojitosti funkc´ı g(·, ω) pro vˇsechna ω plat´ı Z T (g − φn )2 dt → 0. S
Konvergence ve stˇredn´ı hodnotˇe je d˚ usledkem Lebesgueovy vˇety o omezen´e konvergenci (bounded convergence theorem). 13
Vˇ eta 7. Bud’ h ∈ V omezen´ a funkce. Potom existuje posloupnost omezen´ych funkc´ı gn ∈ V, spojit´ych v t pro vˇsechna ω a n a splˇ nuj´ıc´ıch "Z # T E (h − gn )2 dt → 0. S
D˚ ukaz. Pˇredpokl´ adejme, ˇze |h(t, ω)| ≤ M pro vˇsechny dvojice (t, ω). Pro kaˇzd´e n definujeme na R spojitou nez´apornou funkci ψn s vlastnostmi: Z 1 a ψn (x)dx = 1. ψn (x) = 0 pro x ∈ / (− , 0) n R Bud’ d´ ale Z
t
ψn (s − t)h(s, ω)ds.
gn (t, ω) = 0
gn (·, ω) jsou tedy spojit´e pro vˇsechna ω a |gn (t, ω)| ≤ M . Z h ∈ V plyne jejich Ft -adaptovanost. Pro kaˇzd´e ω d´ale plat´ı Z T 2 (h(s, ω) − gn (s, ω)) ds → 0 pro n → ∞. (17) S
Omezenou konvergenc´ı dost´ av´ame "Z # T 2 E (h(t, ω) − gn (t, ω)) ds → 0
n → 0.
(18)
S
Vˇ eta 8. Bud’ f ∈ V. Potom existuje posloupnost omezen´ych funkc´ı hn ∈ V takov´ych, ˇze "Z # T 2 E (f − hn ) dt → 0 pro n → ∞. S
D˚ ukaz. Vˇetˇe zˇrejmˇe vyhovuj´ı funkce pro f (t, ω) < −n, −n hn (t, ω) = f (t, ω) pro f (t, ω) ∈ [−n, n], n pro f (t, ω) > n.
S vyuˇzit´ım uveden´ ych vˇet m˚ uˇzeme koneˇcnˇe zadefinovat Ito˚ uv integr´al. Definice 18. Bud’ f ∈ V. Itoov´ ym stochastick´ ym integr´alem naz´yv´ ame integr´ al splˇ nuj´ıc´ı Z T Z T f (t, ω)dBt (ω) = lim φn (t, ω)dBt (ω) (19) n→∞
S 2
S
kde konvergence je ve smyslu L (P ), {φn } je posloupnost jednoduch´ych funkc´ı splˇ nuj´ıc´ıch pro n → ∞ "Z # T 2 E (f (t, ω) − ψn (t, ω)) ds → 0. (20) S
14
D˚ usledkem v´ yˇse uveden´eho je obecnˇejˇs´ı podoba Itoovy izometrie, "Z # !2 Z T T 2 f (t, ω) dt E f (t, ω)dBt =E f ∈ V.
(21)
S
S
Za pˇredpokladu f, fn ∈ V takov´a, ˇze "Z
#
T
2
(fn (t, ω) − f (t, ω)) dt → 0,
E
(n → ∞)
S
plat´ı v d˚ usledku definice 18 pro n → ∞ Z
T
Z
T
fn (t, ω)dBt (ω) →
v L2 (P ).
f (t, ω)dBt (ω)
S
(22)
S
Pˇ r´ıklad 3. Stejnˇe jako v pˇr´ıkladu 2 uk´ aˇzeme, ˇze Z t 1 1 Bs dBs = Bt2 − t. 2 2 0
(23)
D˚ ukaz. Nejprve ovˇeˇrme konvergenci ve stˇredn´ı hodnotˇe, rov. (20). Bud’ φn (s, ω) = P j Btj (ω) · 1[tj ,tj+1 ) (s). Potom Z
t
E
XZ 2 (φn − Bs ) ds = E
0
j
=
X1 2
j
tj+1
Btj − Bts
2
ds =
tj
XZ j
(tj+1 − tj )2 → 0
tj+1
(s − tj )ds
tj
pro ∆tj → 0.
V d˚ usledku (22) dost´ av´ ame Z
t
Z
t
Bs dBs = lim
∆tj →0
0
φn dBs = lim
∆tj →0
0
X
Bj ∆Btj .
j
Jelikoˇz ∆Bt2j = Bt2j+1 − Bt2j = (Btj+1 − Btj )2 + 2Btj (Btj+1 − Btj ) = (∆Btj )2 + 2Btj ∆Btj , a tedy X
Btj ∆Btj =
j
Z konvergence
2 j (∆Bj )
P
1 2 1X B − (∆Btj )2 . 2 t 2 j
→ t v L2 (P ) pro ∆tj → 0 plyne (23).
Uved’me nˇekter´e vlastnosti Itoova integr´alu. Jejich d˚ ukaz je jednoduch´ y. Vˇ eta 9. Bud’te f, g ∈ V, c ∈ R a 0 ≤ S < U < T . Potom plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı:
15
(i)
RT
RT f dBt + U f dBt ; RT RT RT (ii) S (cf + g)dBt = c S f dBt + S gdBt ; hR i T (iii) E S f dBt = 0; (iv)
RT
S
S
f dBt =
RU S
dBt je Ft -adaptovan´y proces.
Reference Patrick Billingsley. Probability and measure. John Wiley & Sons, 2008. Bernt Øksendal. Stochastic differential equations. Universitext. Springer, Berlin ; Heidelberg [u.a.], 6. ed. edition, 2003. Philip Protter. Stochastic Integration and Differential Equations, volume 21. Springer, 2004. Daniel Revuz and Marc Yor. Continuous martingales and Brownian motion, volume 293. Springer, 1999. ˇ ep´ Josef Stˇ an. Teorie pravdˇepodobnosti. 1987.
16
