Telaah Fundamental Neutrino Dirac dan Majorana dalam Gravitasi Einstein. Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo

Telaah Fundamental Neutrino Dirac dan Majorana dalam Gravitasi Einstein Rabiudin1, Muhammad Yusuf2, Mursalin3 Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji persamaan Dirac dan Majorana yang menerangkan keberadaan neutrino dan pengaruh gravitasi Einstein terhadap Neutrino. Beberapa parameter dimasukan untuk menunjang kemantapan teoritisnya mulai dari persamaan Langgrangian hingga sampai pada kasus relativitas, alternatif utama dalam penyelesaiannya dengan melibatkan keadaan momentum angular neutrino dan diagram Feyman hingga menghasilkan asumsi teoritis dalam kasus neutrino dalam penelitian ini mengkaji tentang kaitan antara neutrino Dirac-Majorana dengan gravitasi Einstein yang melibatkan faktor bentuk elektromagnetik dan fase gravitasi, hingga mengambil fokus penelitian ini dalam analisis teoritis perubahan panjang osilasi neutrino hingga didapatkan energi gangguan gravitasi dalam neutrino Dirac-Majorana. Kata kunci: Neutrino Dirac, Neutrino Majorana, Gravitasi Einstein. Latar Belakang Sesuai dengan Asumsi dari model standar bahwa partikel neutrino tidak bermassa, Partikel tersebut dianggap unik karena fermion

tergolong bermassa kecuali

neutrino yang memiliki anti neutrino sebagai pasangannya. Sifat utama neutrino selain tidak bermassa, juga tidak bermuatan, maka antipartikelnya (anti-neutrino) juga tidak bermuatan. Dengan kata lain partikel tersebut merupakan partikel Majorana, yang terjadi jika neutrino tidak bermassa dan tidak bermuatan atau netral. Dari berbagai pengkajian fisika partikel terkini hingga sampai pada munculnya persamaan Dirac dan Majorana sampai pada belum diketahuinya massa neutrino

secara pasti,

namun demikian para fisikawan seakan

menggambarkan bahwa neutrino tidak bermassa. Sementara itu gaya gravitasi masi menjadi misteri dalam kehidupan manusia, sehingga semua apa yang ada di bumi seakan tunduk dalam pengaruhnya. Di lain pihak peran dari neutrino dalam kosmologi dan fisika partikel tidak dapat diabaikan lagi, hal ini sesuai dengan

1.Rabiudin. Mahasiswa Jurusan Fisika, F MIPA Universitas Negeri Gorontalo 2.Muhammad Yusuf S.Si, M.Si. Dosen Jurusan Fisika, F MIPA Universitas Negeri Gorontalo 3.Dr. H. Mursalin, M.Si. Dosen Jurusan Fisika, F MIPA Universitas Negeri Gorontalo

gambaran pakar fisika Paul Dirac dan Etore Majorana, yang keduanya menjelaskan keberadaan neutrino dengan detail dalam makalah-makalah ilmiah. Suatu hal cukup menarik adalah ketika ingin mengaitkan antara neutrino dalam kajian Dirac dan Majorana dengan pengaruh dari gravitasi Einstein yang dikenal dengan pendekatan kurvaturnya, dimana topik ini jugalah yang menjadi perhatian para pengagum fisika teori terkini. Maka dari itu peneliti dengan fikiran terbuka ingin menelaah secara fundamental Neutrino Dirac-Majorana dalam gravitasi Einstein. Telaah Pustaka Ada banyak pengamatan yang menunjukkan bahwa neutrino merupakan partikel superluminal seperti dalam (Tsao Chang: 2013), meskipun Oscillation Project with Emulsion-t Racking Apparatus (OPERA) mengklaim adanya kesalahan dalam mengukur kecepatan neutrino. Dalam beberapa tahun terakhir, banyak bukti yang meyakinkan bahwa neutrino berasal dari matahari dan atmosfer (Rasulkhozha dan Sharafiddinov:2010). Kuadrat dari massa neutrino diukur dengan percobaan peluruhan beta pada tritium dengan memasangkan bentuk spektrum beta di dekat titik akhir dan dalam berbagai percobaan ia ditemukan negatif 1. Persamaan Dirac-Majorana Dalam (Abdukhakimov: 2011) disebutkan bahwa persamaan Dirac dan Majorana merupakan dua persamaan yang berbeda, meski demikian keduanya dapat digolongkan dalam kasus khusus utamanya

persamaan yang bersifat umum.

Dimulai dengan persamaan Dirac yang ditulis dengan aturan komponen spinor kiri   dan kanan     0  3    i 2  1   0  3    i 2  1

1  1  i 2  1   im   , 2  0   3  2    1  i 2    1       im  1  .   0   3   2   2   

(1)

(2)

Sekilar dapat ditinjau bahwa persamaan Majorana mempunyai kesamaan dengan persamaan Dirac, akan tetapi hanya terjadi penambahan keadaan invarian lorents (yang disebut dengan keadaan Majorana atau keadaan netral)

1   2

 2   1

(3)

 1   2

 2  1

(4)

Jika dimasukkan persamaan (3) dan (4) ke dalam persamaan (1) dan (2), maka didapatkan  0  3    i 2  1  0  3    i 2  1

1  1  i 2    1    im      0  3    1   2      2  1  i 2    1    im     1  0  3   2        

(5)

(6)

karenanya keadaan Majorana membuat dua buah persamaan Dirac yang sebanding dan hanya menyisahkan satu persamaan bebas (Czakon, et all. 1999). Dengan persamaan yang lebih umum dalam persamaaan Dirac maka matriks massa M

 M11 M   M12

M 21  , M 22 

(7)

 M 21  . 2   M 2 

(8)

 dan matriks kompleks konjugatnya M  M 1 M   1  M 2  1

Hasil dari modifikasi persamaannya menjadi

 0  3    i 2  1  0  3    i 2  1

1  i 2  1   M11    0  3   2   M 2  1  1  i 2    1   M 11    0   3   2   M 2    1

M 21    1    M 22   2   M 21  1   .    M 22  2 

(9)

(10)

Jika spinor kiri  menjadi vektor eigen pada matriks M dan spinor kanan   , maka kedua paduan ini akan memiliki merupakan vektor eigen pada matriks M

nilai eigen yang sama

M   im

(11)

M   im

(12)

Dalam (Palash, 2010), penyusunan struktur dari persamaan Dirac dengan jenis dari persamaan (Dirac, Majorana atau Weyl) tergantung pada pilihan khusus pada matriks M , untuk itu dimasukan M sebagai

 0 m M  ,  m 0  

(13)

 0 m M   , m 0 

(14)

dimana vektor eigen dipadukan dalam nilai eigen  im  hingga menjadi

1

D      x i 

(15)

1

D      x   i 

(16)

Persamaan ini hanya berlaku dalam kasus Fermion Dirac dan sebagai alternatif dipilihlah M sebagai im 0  M  ,  0 im 

(17)

 im 0  M   ,  0 im 

(18)

dan vektor eigen dipadukan dalam nilai eigen  im  hingga menjadi

0

M      x 1

1 

M      x  . 0 

(19)

Hal ini digunakan untuk memeriksa bahwa spinor M dan M memenuhi keadaan Majorana seperti halnya dalam (Singh, et.all: 2008).

Bentuk

yang

lebih umum untuk

matrik

massa

M dalam

generalisasi

persamaannya mengikuti  F3 M  F k k    F 1  iF 2

F 1  iF 2  , F 3 

(20)

dengan k  1, 2,3 dan nilai eigennya adalah

  

2

2

2

 F1    F 2    F 3  .

(21)

Matriks M memenuhi aljabar Lie dalam Group SL  2C  hal ini secara jelas diiterangkan dalam (Esposito dan Tancredi: 1998). 2. Gravitasi Einstein Ditinjau dari bentuk tensor Riemann-Christoffel dalam medan lemah melalui pendekatan tensor metrik dengan memasukan nilai lambang Christoffel

 

1   g  g g  g       2 x x  x

 1   h h h         x x  2  x

 . 

(21)

Jika nilai perkalian h diabaikan, nilai tensor Ricci untuk    bernilai R   0 0   00 1 h 1 h  h  h h   h     0      0          0  00  00   x x   x x    x  x 2 2 1     0  0 h     h00   0   h0   0  h0   . 2

(22)

Jika distribusi materi bersifat statis maka h bukan fungsi t atau  0 h  0,

(23)

sehingga persamaan (22) menjadi

1 1 R00      h00   1111   22 2 2  33 3 3h0   0  h00   2 h00 , 2 2

(24)

dengan 2 

2 2 2   x 2 y 2 z 2

(25)

sehingga didapatkan R00   2  4 G  ,

(26)

Dengan tensor energi-momentum fluida sempurna dirumuskan sebagai T     p  VV  g  p.

(27)

Karena distribusi materi bersifat statik, materi tersebut tidak memiliki tekanan internal sehingga persamaan (27) tereduksi ke bentuk T   VV .

(28)

Selain itu vektor 4 kecepatan adalah  V  1, 0 ,





(29)

sehingga seluruh komponen T lenyap kecuali T00   . Skalar T dapat dihitung dengan perkalian dalam, antara tensor metrik kontravarian dengan tensor energimomentum kovarian (Zee, 2013). untuk debu memenuhi T  g  T  g 00T00  

 1  2

,

(30)

Dengan menggunakan persamaan (30), maka nilai R00 adalah

1   1 1  R00    g00T  T00      1  2         . 1  2 2 2  2 

(31)

Ketika dihubungkan dengan persamaan (30), maka diperoleh

   G,

(32)

sehingga persamaan gravitasi Einstein menjadi

1 R  g  R  8 GT , 2

(33)

persamaan gravitasi Einstein dengan tetapan kosmologi dirumuskan sebagai

1 R  g  R  g    8 GT . 2

(34)

Persamaan ini merupakan persamaan medan Einstein yang menerangkan unsur kurvatur ruang dalam kajian kosmologi (Capozziello dan Faraoni: 2010). Metode Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian teoritis yang menggunakan kajian pustaka, dimana peneliti mengkolaborasikan buku-buku yang relevan dan sumber dari internet. Studi pustaka dilakukan untuk memahami konsep dasar dari persamaan Dirac dan persamaan Majorana, kemudian dikaitkan dengan keberadaan neutrino dalam fisika partikel, serta relasinya terhadap pengaruh gravitasi Einsein, parameter kajian utamanya

adalah dengan meninjau paket gelombang neutrino dan

gravitasi, relasi antara keduanya, momentum angular neutrino dan kesimetrian puncak serta efek energi gangguan gravitasi terhadap osilasi neutrino. Hasil dan Pembahasan Energi Gangguan Gravitasi Ketika telah didapatkan kaitan antara neutrino Dirac-Majorana dalam gravitasi Einstein yang melibatkan faktor bentuk gravitasi dan elektrmagnetik, maka untuk lebih menadalami masalah ini bisa ditinjau keadaaan energi gangguan gravitasi terhadap osilasi neutrino dengan mengacu pada elemen matriks Dirac dan Majorana yang meliputi   r  H   r  G

Dirac

M  M R2  2   2 sin D0  Dm 2   k0   C0  C1m  C2m 1  D2 m  (54) r r 

Untuk neutrino Dirac dan  1 2  r  H  1 2  r  G

Majorana

M   k0   C0  C1m  C2 m 2   sin  sin  r

yˆ xˆ M   M R 2    C0 yˆ  C1 yˆ m  C2 yˆ m 2       D0 xˆ  D1xˆ m  D2 xˆ m 2     2 r r  

(55)

Untuk neutrino Majorana, rumusan ini dibutuhkan untuk mengetahui energi gangguan gravitasi terhadap osilasi neutrino, untuk dapat mengemukakan hal ini maka perlu untuk meninjau metode Brillouin-Wigner (BW) tentang teori gangguan bebas waktu yang sering digunakan dalam materi terkondensasi. Dari ini maka nilai eigen energi gangguan yaitu

E  E0  n H int n  

E  E0 m 

mn





2

m H int n

 n

n H int m1 m1 H int m2 m2 H int n

 E  E     E  E   m1

m1 , m2 ,  n

m2

0

(56)  ...

0

Dengan H int merupakan interaksi Hamiltonian, n adalah keadaan eigen tanpa gangguan dan E0 n  merupakan gabungan energi nilai eigen dalam mengkaji pembenaran terhadap panjang osilasi neutrino kaitannya dengan gravitasi. Langkah awal dengan medefinisikan nilai eigen energi tanpa gangguan E0   dari bagian orde nol Hamiltonian H 0 , yang dimulai dengan persamaan M 4 MR2 zˆ 1 M R2  3z  2M   2M   H0  1   p  m 1    i   r  L r  zˆ  (57)      3 3 3 2   r  r  2r 5 r 5 r   r 

hingga sampai pada persamaan H 0  0  r   E0   0  r 

(58)

dengan E0   

 k 0  2  m 2 

 2 M   k 0    1  r 

2M 4 M R 2  zˆ    k 0   L   r 5 r3  2

(59)

2  1 2  4 M R  zˆ     m   L    3 2  2  5 r 

dimana Lzˆ merupakan momentum angular orbital rotasi sepanjang sumbu sumber gravitasi. Dari persamaan di atas maka nampak jelas bahwa bagian bebas gangguan dari persamaan Dirac Hamiltonian tidak dapat dihasilkan dari koreksi gravitasi terhadap panjang osilasi neutrino. Mengikuti persamaan (56) dan pengenalan mengenai keadaan nilai eigen massa tanpa gangguan, dengan   L   R    c   L   L







 Dirac 





 Majorana 

(60)

dan ditunjukan bahwa energi gangguan orde ke dua 



Em  E0   H G  

 H G  

Em   Em  

2

(61)

Maka persamaan ini dapat diselesaikan dengan tepat untuk Em menjadi Em  

1    E0  E0     H G    2 





(62)

2    E0   E0     H G    4  E0    H G  E0     H  G      





yang direduksi ke E0   dalam batas H   0 G

Untuk kasus neutrino Dirac, elemen matriksnnya dihitung dengan menggunakan persamaan (62) hingga menghasilkan M C0  C1m  C2 m 2  r M R 2    k0  sin   D0  D1m  D2 m 2  2 r

 H G    k0   H G

(63)

Dengan Mengsubtitusikan persamaan (63) ke dalam persamaan (62) hingga didapatkan energi gangguan gravitasi adalah Em   

4 M R 2 zˆ  2M L   k0   1  3 5 r r 

 1 2 Dirac Dirac Dirac   m    k0   F0    F1  F2  m  (64) 2  

Dalam (Fukugita dan Yanagida, 2003) serta dalam (Giunti dan Kim, 2007)



persamaan akhir panjang osilasi neutrino menjadi Losc  2 Em  Em  2

1



hingga

didapatkan perubahan energi  1     Em 2   Em 1    k0    F1Dirac   m 2  m 1    F1Dirac    m 22  m 12  2   

(64)

Dengan batasan M r  1 dan M R 2 r 2  1 untuk semua analisis numerik, hal ini digunakan dalam menentukan kontribusi perbedaan energi yang bergantung massa yang ditunjukan oleh Em   

4 M R 2 zˆ  2 M  1 2  M  Dirac Dirac Dirac 2 L    k 0   1    m    k0   G0    G1   m  G2   m  3 5 r r  2  r  (65)

+  k 0 

dan



M R 2  K 0Dirac    K1Dirac  m   K 2Dirac  m 2   r2 

 

 



1 M  M R 2   Em 2   Em 1    k0    m 22  m 12    G1Dirac  K1Dirac    m 2  m 1   2   r  r  2 2   M Dirac  M R  G2    K 2Dirac    m 22  m 12    2 r  r  









(66)

Sementara itu bila menghitung Hamiltoniam fase gravitasi untuk neutrino Majorana didapatkan M  H G    k0  sin  sin      C0 yˆ  C1 yˆ m  C2 yˆ m 2  r  

 M R 2 xˆ     D0 xˆ  D1 xˆ m  D2 xˆ m 2   2 r 

  M  H G     k0  sin  sin  cos  sin    r    M R 2  cos   2  r

(67)

 2  C0 yˆ  C1 yˆ m  C2 yˆ m  

   2   D0 xˆ  D1 xˆ m  D2 xˆ m      

  M R2   M  2    HG   i cos   C0 yˆ  C1yˆ m  C2 yˆ m 2   sin  2   D0 xˆ  D1xˆ m  D2 xˆ m  r    r  

(68)

(69)

Seperti yang disajikan dalam neutrino Dirac, neutrino Majorana juga memiliki energi gangguan gravitasi, dengan Em   

4 M R 2 zˆ  2M L   k0  1  5 r3 r 

 1 2 Maj Maj Maj 3   m    k0   F0    F1  m   F2  m  2   (70)

Ketika dikaitkan dengan perubahan panjang osilasi neutrino maka didapatkan  1     Em 2   Em1    k0   F1Maj   m 2  m 1    F1Maj    m 22  m 12   2    

(71)

Dengan energi gangguan totalnya adalah Em 

4 M R2 zˆ  2M  1 2  M Maj Maj     k0   G0Maj  2 L   k0  1   m 3    G1  m  G2  m   5 r r  2  r 

+ k0 

     

M R2  Maj  K0    K1Maj  m   K2Maj  m 2  r2 

(72)

Hingga didapatkan energi gangguan terhadap perubahan panjang osilasi neutrino Majorana adalah 1 M  M R 2 E m2   E m1     k 0    m 22  m 12    G1Maj  K1Maj    m 2  m 1     2 r  r  2





 M  M R 2  G2Maj K 2Maj    m 22  m 12       2 r  r  



(73)



Dari uraian di atas maka dengan jelas dalam penelitian ini didapatkan efek gravitasi Einstein terhadap osilasi neutrino di alam semesta, yaitu berupa keadaan osilasi neutrino ketika berada di bawa pengaruh energi gangguan gravitasi Einstein, seperti yang terlihat pada persamaan (72) dan (73). Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat dikatakan terdapat perbedaan teoritis dalam kajian neutrino Dirac dan neutrino Majorana ketika dikaitkan dengan gravitas Einstein, hal ini bisa dilihat ketika ditinjau dari perubahan osilasi dan energi gangguan gravitasi, Dengan energi gangguan gravitasi untuk neutrino Dirac 4 M R 2 zˆ  2 M  1 2  M  Dirac Dirac Dirac 2 L    k 0   1    m    k0   G0    G1   m  G2   m  3 5 r r  2  r 



Em   

+  k 0 

 

 



M R 2  K 0Dirac    K1Dirac  m   K 2Dirac  m 2   r2 

sementara itu energi gangguan gravitasi terhadap neutrino Majorana Em  

4 M R 2 zˆ  2 M L   k0  1  5 r3 r 

+  k0 

M  1 2 Maj Maj Maj 2   m    k0   G0    G1   m  G2   m  2 r  



 

 



M R 2  Maj  K 0    K1Maj  m   K 2Maj  m 2  r2 

Dari dua persamaan energi gangguan gravitasi terhadap osilasi neutrino di atas dengan jelas terlihat adanya perbedaan kesamaan pola akan tetapi fase gravitasi yang bekerja dalam masing-masing osilasi disusun oleh struktur yang berbeda.

Referensi Claude Itzykson dan Jean B. Zuber. 1980. Quantum Field Theory. Mc GrawCzakon M, et al. 1999. Are Neutrinos Dirac or Majorana Dinesh Singh, et al. 2008. Can Gravity Distinguish arXiv:gr-qc/0605153v3.

Hill

Particles?arXiv:hep-ph/9910357v3

between Dirac and Majorana Neutrinos.

Dinesh Singh, et al. 2013. The Distinction Between Dirac and Majorana Neutrino Wave Packets Due to Gravity and Its Impact on Neutrino Oscillations. arXiv:gr-qc/0606134v1 Masataka Fukugita dan Tsutomu Yanagida. 2003. Physics of Neutrinos and Astrophysics. Springer-Verlag

Application

Menon A dan Arun M. Thalapilill. 2008. Interaction of Dirac and Majorana Weak Gravitational Field. arXiv: 0804.3833v2.

Neutrinos

Michele Maggiore. 2005. A Modern Introduction to Quantum Field Theory. University Press

Oxford

to

with

Murod Abdukhakimov. 2011. How Dirac and Majorana Equations are Related. Palash B. Pal. 2010. Dirac, Majorana and Weyl fermions. arXiv:1006.1718v2. Rasulkhozha dan Sharafiddinov. 2010. On the Compound Structures of the and Charge. arXiv:Physics/0305008v2.

Neutrino

Mass

Sabin Stoica. 2013. Neutrino Properties Probed by Lepton Number Violating Scientific Research.

Processes.

Salvotare Capozziello dan Valerio Faraoni. 2010. Beyong Einstein Gravity, a Survey of Gravitational Theories for Cosmology and Astrophysics. Universitas Di Napoli Federico. Salvatore Capozziello, et al. 2013. Weak Forces and Neutrino Oscillations under the standards of Hybrid Gravity with Torsion. arXiv:1309.3856v3. Salvatore Esposito dan Nicola Tancredi. 1998. Flavour Transitions of DiracNeutrinos. arXiv:hep-ph/9803471v1

Majorana

Samoil Bilenky. 2010. Introduction to the Physics of Massive and Mixed Springer Heidelberg . New York.

Neutrinos.

Suzuki dan Totsuka. 1998. Neutrino Physics and Astrophysics. Proceedings of the XVIII International Conference on Neutrino Physics and Astrophysics, Japan . Zee. 2013. Einstein Gravity in Nutshell. Princeton University Press Zhi Zhong Xing dan Shun Zhou. 2010. Neutrinos in Particle Physics, Astronomy Cosmology. Zhejiang University Press.

and