Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 15 augustus 2011, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij volledige en juiste beantwoording elk ´e´en punt opleveren. Er zijn tenminste 8.25 punten nodig om een voldoende te behalen. Lees tekst en vragen goed door v´o´or aan de beantwoording te beginnen. Vermeld op elk antwoordblad deelopgavenummer, naam en collegekaartnummer. Formuleer bondig, motiveer altijd uw antwoord en vergeet niet alle gebruikte symbolen expliciet te defini¨ eren!
1
Opgave 1. Beschouw een zeer verdund gas van N ammoniak moleculen (NH3 ) in een rigide afgesloten roestvrijstalen vat. Het vat ligt in een zeer groot waterbad dat op een constante temperatuur T [K] gehouden wordt. De beweging van de moleculen kan klassiek worden beschouwd. a) [1pt] Wat is een faseruimte? En wat is een fasebaan? b) [1pt] Wat is in de statistische fysica een ensemble? En welk ensemble is van toepassing op het hierboven geschetste systeem? c) [1pt] Wanneer de warmtecapaciteit CV van het gas gemeten wordt dan blijkt dat deze groter is dan nul: CV > 0. Verklaar het feit dat CV > 0 op basis van een microscopische (statistisch fysische) en een macroscopische (thermodynamische) overweging. Een ammoniakmolecuul heeft een permanent elektrisch dipoolmoment µd [C m]. Voor de eenvoud nemen we aan dat in een elektrisch veld ξ [V/m] het dipoolmoment twee toestanden kan aannemen: parallel en anti-parallel aan het elektrisch veld. De energie van het gas kan dan beschreven worden met de volgende vergelijking: E=
N → X |− p i |2 i=1
2m
−
N X
µd Si ξ,
(1)
i=1
→ waarin − p i [kg m/s] de impuls is van ammoniakmolecuul i en m [kg] de massa van een ammoniakmolecuul. De variabele Si legt de ori¨entatie van het dipoolmoment van molecuul i t.o.v. het elektrische veld vast: parallelle (Si = +1) en anti-parallelle ori¨entatie (Si = −1). De toestandssom van het gas is te schrijven als Q (N, V, T, ξ) =
1 [qtrans (V, T ) qveld (ξ, T )]N , N!
(2)
waarin de bijdrage aan de toestandssom t.g.v. het elektrische veld wordt gegeven door X qveld (ξ, T ) = exp (βµd Sξ) . (3) S=±1
In deze vergelijking is β = (kB T )−1 . d) [1pt] Bespreek de achtergrond van de factor N ! en de macht N in de vergelijking voor de toestandssom Q. Hoe blijkt uit de uitdrukking voor de energie E bij voorbaat al dat de ´e´endeeltjestoestandssom te schrijven moet zijn als het product qtrans qveld . 2
P e) [1pt] De polarisatie P is gegeven door P = N i=1 µd Si . Leid een wiskundige uitdrukking af voor de verwachtingswaarde van de polarisatie hP i die alleen nog afhangt van ξ, µd , β en N . Opgave 2. Een manier om water te reinigen is door het langs een koolstoffilter te leiden. Een koolstoffilter is een buis volgepakt met koolstofdeeltjes. Wanneer vervuild water tussen de koolstofdeeltjes doorstroomt, dan binden de vervuilende stoffen zich aan het oppervlak van het koolstoffilter. Stel dat water is vervuild met benzeen en dat de fractie van de benzeenmoleculen in het water gelijk is aan ρ. Aangezien er steeds nieuw vervuild water wordt aangevoerd is de dichtheid en dus ook de chemische potentiaal µ [J] van het benzeen constant. Verder is de watertemperatuur T [K] ook constant. Om een model van het bindingsproces te construeren maken we de keuze om de watermoleculen niet expliciet in onze beschouwingen mee te nemen. We beschouwen nu een koolstofoppervlak met een oppervlakte A [m2 ], waarop zich L bindingsplekken bevinden. Aan elke bindingsplek i kunnen zich clusters van benzeenmoleculen hechten, die kunnen vari¨eren in het aantal ni van aangehechte moleculen. Voor het gemak nemen we aan dat dit aantal onbeperkt is: ni = 0, 1, 2, ..., ∞. Verder heeft een cluster gebonden aan een bindingsplek i een energie Ei = ni ² [J] met ² < 0. De grootkanonieke toestandssom Ξ (µ, A, T ) voor dit systeem van benzeenmoleculen wordt gegeven door Ξ (µ, A, T ) =
1 (1 − exp (−β[² − µ]))L
,
(4)
waarin β ≡ (kB T )−1 . a) [1pt] Het in deze opgave beschreven systeem wordt wel een ideaal systeem genoemd. Wat in dit systeem gedraagt zich ideaal? Hoe is dat terug zien in de gevonden uitdrukking voor de toestandssom? b) [1pt] Leid de bovenstaande uitdrukking voor de toestandssom af. Hierbij worden van de volgende geometrische reeks: P∞magk gebruik gemaakt −1 λ = (1 − λ) voor λ < 1. k=0 M.b.v. het gegeven dat de chemische potentiaal gelijk is aan µ = µ? +kB T ln ρ (µ? is een constante) kan worden aangetoond dat de oppervlaktedichtheid geadsorbeerde benzeenmoleculen Γ ≡ hN i/A gelijk is aan µ ¶ L ρ exp (−β (² − µ? )) . (5) Γ= A 1 − ρ exp (−β (² − µ? )) 3
c) [1pt] Laat zien dat Γ inderdaad door deze vergelijking beschreven wordt. d) [1pt] Leg uit wat de overeenkomst is tussen het systeem van geadsorbeerde benzeenmoleculen en een gas van bosonen? e) [1pt] Wat verstaan we onder de thermodynamische limiet? Laat zien dat de relatieve grootte q van de fluctuaties van het aantal geadsorbeerde benzeenmoleculen, sche limiet.
h(δN )2 i/hN i, naar nul gaat in de thermodynami-
Opgave 3. We beschouwen een systeem van N spins si (i = 1, . . . , N ) die langs de z-richting omhoog (si = 1) of omlaag (si = −1) kunnen staan. De spins bevinden zich in een magneetveld H langs de z-richting en hebben een onderlinge nabuurinteractie J [J] met z naburen. Een toestand ν van dit systeem is bepaald door een bepaalde spinconfiguratie {si }. In de gemiddelde-veld benadering is de energie van een toestand ν gegeven door N
X 1 Eν = E ({si }) = JN z hsi2 − Hmol µB si , 2 i=1
(6)
met hsi de gemiddelde spin, µB het Bohr-magneton en Hmol = H + Jz hsi µ−1 B .
(7)
a) [1pt] Beargumenteer of de gemiddelde-veld benadering beter of slechter wordt met toenemende dimensie van het spin-systeem? b) [1pt] Laat zien dat in de gemiddelde-veld benadering de volgende uitdrukking afgeleid kan worden voor de vrije energie: 1 βF = βN Jz hsi2 − N ln [2 cosh(βHmol µB )] , 2
(8)
met β = (kB T )−1 . Stel nu H = 0 zodat Hmol = Jz hsi µ−1 B . Uit bovenstaande uitdrukking voor de vrije energie kan nu de volgende vergelijking afgeleid worden voor hsi: hsi = tanh(βJz hsi),
(9)
c) [1pt] Met behulp van welke conditie kan deze vergelijking uit de uitdrukking voor de vrije energie worden afgeleid? Leid deze vergelijking ook zelf af. 4
d) [1pt] Schets in ´e´en grafiek zowel hsi als tanh(βJz hsi) als functie van hsi voor het geval dat βJz hsi < 1 en βJz hsi > 1. Wat is het fysische verschil tussen beide situaties? e) [1pt] Bereken ∂ 2 F/∂ hsi2 voor hsi = 0. Geef een fysische verklaring voor het gedrag van het teken van ∂ 2 F/∂ hsi2 als functie van de temperatuur.
5
