Budapesti M¶szaki es Gazdaságtudományi Egyetem M¶szaki Mechanikai Tanszék
TDK Dolgozat Ortotróp rétegelt kompozit lemez lengéstani analízise
Szerz®:
Konzulensek:
Tóth Tamás Bence
Juhász Zoltán
Hallgató, BSc IV. evf.
Phd hallgató M¶szaki Mechanikai Tanszék Turcsán Tamás Phd hallgató Polimertechnika Tanszék
2015. október. 10.
Tartalomjegyzék
1. Bevezet®
4
2. A Rétegelt kompozitok elmélete
1
2.1.
Kirchho-féle klasszikus lemezelmélet
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.2.
Konstitutív egyenlet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3. Az ép lemez
4
3.1.
A lemez modell
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.
Lagrange függvény
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3.
Variáció számítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.4.
A Lévy-féle megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.5.
A leíró dierenciál egyenlet megoldása
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.6.
A megoldás ellen®rzése alternatív módszerrel . . . . . . . . . . . . . . .
12
4. A delaminált lemez
4
13
4.1.
A delaminált lemez modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2.
Elmozdulásmez®k
14
4.3.
Egzakt kinematikai feltételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.4.
A delaminált szakasz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.5.
Az ép szakaszok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.6.
A Lévy-féle megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.7.
Állapottér modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.8.
Perem és illesztési feltételek
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Az elmélethez kapcsolódó mérések bemutatása
22
5.1.
A próbatestek el®állítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5.2.
Az anyagjellemz®k számítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.3.
A befogó készülék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.4.
A sajátfrekvencia-unaxiális terhelés mérésének bemutatása
. . . . . . .
26
5.5.
A sajátfrekvencia-delamináció mérés bemutatása . . . . . . . . . . . . .
27
6. A mért és számított eredmények bemutatása
6.1.
Az ép lemez eredményei
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.
A delaminált lemez eredményei
6.3.
Az eredmények gyakorlati alkalmazása
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Irodalomjegyzék
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29 34 37 37
1
TARTALOMJEGYZÉK
2
Köszönetnyílvánítás
Ezúton szeretném megköszönni konzulenseimnek Juhász Zoltánnak és Turcsán Tamásnak, a dolgozat elkészítésében nyújtott segítséget, a hasznos tanácsokat. Külön köszönöm, hogy bármikor fordultam hozzájuk segítségért ®k mindig nyitottak és segít®készek voltak. Köszönöm Pápics Gábornak a segítséget, melyet a dolgozat elkészítésében nyújtott.
Absztrakt
Napjainkban a kompozit anyagok az élet szinte minden területén jelen vannak, legyen az a hadászatban életment® golyóállómellény, a nyári id®szakban örömet okozó óriáscsúszda, vagy a minket egyik kontinensr®l a másikra szállító repül®gép. Az ilyen anyagból készült szerkezetek pontos tervezésének el®segítése érdekében elengedhetetlen, a megfelel® mechanikai modellek fejlesztése. Dolgozatomban ép és delaminált lemezek lengéstani viselkedését vizsgálom a delamináció és további mechanikai paraméterek függvényében. A klasszikus Kirchho-féle lemez elmélet alapján elkészítettem mind az ép, mind a szélesség mentén átmen® delaminációt tartalmazó téglalap alakú lemez modelljét. Míg el®bbi a hossz és a vastagság mentén is egy összefügg® lemezként modellezhet®, addig utóbbit a delamináció miatt a hossz mentén két ép és egy delaminált szakaszra, kell bontanunk, és az egyes szakaszokra külön kell levezetni a leíró Parciális Dierenciál Egyenleteket (PDE), melyeket illesztési feltételekkel kapcsoltam össze. Az egyensúlyi egyenletet a Lagrange függvénnyel vezettem le. Ilyen lemezek esetén csak speciális peremfeltételek (PF) mellett létezik analitikus megoldás. Egy ilyen PF kombináció, ha a hossz menti két él mentén egyszer¶ megtámasztást írunk el®. Ilyenkor alkalmazható a Lévy-féle megoldási módszer melynek segítségével a leíró PDE rendszer közönséges dierenciálegyenlet (ODE) rendszerre vezethet® vissza. A leíró ODE rendszer megoldását az állapottér modell segítségével képeztem, melyb®l a rendszerre jellemz® sajátkörfrekvenciák és a hozzátartozó sajátalakok meghatározhatók. Az analitikus számításokat a Wolfram Mathematica 9 program segítségével végeztem. Munkámban rámutatok arra, hogy az ortrotróp rétegelt kompozit lemezek sajátkörfrekvenciájának változása, a lemezre ható nyomó vagy húzó er® hatására, az izotróp húzott nyomott rúdhoz hasonlóan lineáris a frekvenciák négyzetében. A kiszámított formulát általam tervezett egyedi, a peremfeltételeket biztosító befogókészülék segítségével próbálom igazolni, valamint görbeillesztés segítségével próbálok a mérés alapján a próbatest anyagjellemz®ire következtetni. A delamináció, a rétegelt kompozit lemezek egyik jellemz® tönkremeneteli formája, mely során az egymáshoz csatlakozó rétegek közötti kötések részlegesen vagy teljesen megsz¶nnek. Dolgozatomban megvizsgálom a sajátkörfrekvencia változását a delaminációs hossz függvényében, mely réteg hibák el®jelzésének alapja lehet. Az elméletet szintén méréssel próbálom alátámasztani.
3
Abstract
In my work I analyse the vibration response of delaminated and undelaminated rectangular plates as a function of delamination and other mechanical parameters. I created the mathematical model of these two types of plates based on the Kirchho 's plate theory. The undelaminated plate can be described with one system of partial dierential equation (PDE) using the in-plane-transverse displacements as variables. The delaminated plate consists of three regions: one delaminated and two non-delaminated. It is necessary to derive the PDE of each region. These regions can be combined with the continuity conditions. The governing equation can be derived from the Lagrange function. An analytical solution exists only, if we use special boundary conditions. Simply supported boundary conditions were used along the longitudinal edges. In this case we can apply the Lévy-type approach, which helps to transform the PDEs to a set of ordinary dierential equations (ODE). The system of ODEs can be solved with the state-space model. From the solution we can calculate the natural frequencies and the corresponding mode-shapes. In my work I also show that, the natural frequencies are varying with respect to the uniaxial compression or depression load linearly in the square of the frequencies. I search the reason of this phenomena both experimentally using a special measurement device and analytically. The delamination is one of the main failure type of the layered composite plates. In my work I also analyse the change of the natural frequencies as a function of the length of the delamination.
4
1. fejezet Bevezet®
A kompozitok a m¶szaki célú szerkezeti anyagok legkorszer¶bb családját képezik. Kialakításuk abból a felismerésb®l alakult ki, hogy az alkatrészek terhelése a legritkább esetben azonos a tér minden irányában. A legtöbb m¶szaki szerkezetben, gépben, gépalkatrészben, építményben vagy bármely használati eszközben a terhelésb®l adódó igénybevétel adott irányok mentén érvényesül. Ezen er®vonalak irányában gyakran nagyságrendekkel nagyobb szilárdságra, merevségre van szükség, mint a többiben. Ez indokolja a homogén szerkezeti anyagok meger®sítését nagyobb szilárdságú er®sít®anyagokkal, a teherviselés kitüntetett irányaiban. A kompozitok sokrét¶sége és a szerkezeti család relatív atalsága miatt a téma rengeteg kutatási lehet®séget rejt magában. Mivel az élet minden területén találkozunk ezen anyagok különféle felhasználásával, szükséges hogy megfelel® mélységben ismerjük ezek mechanikai viselkedését. Éppen ezért választottam témámnak a kompozitok lengéstani viselkedéseinek leírását, vizsgálatát. A dolgozat célja els®dlegesen mechanikai modellt készíteni rétegelt delaminált és ép kompozit lemezekre. Az elkészített modellek alapján az ép lemezre levezetésre kerül zárt alakban a sajátkörfrekvencia változása a húzó-nyomó er® függvényében. Delaminált lemeznél pedig elkészítésre kerül egy sajákörfrekvencia-lemezhossz diagram az egyes delaminációs hosszokhoz. Dolgozatomban, az elméleti eredményeket igyekszem mérésekkel alátámasztani. A soron következ® fejezetekben az ép és delaminált lemez modelljének felépítését részletezem. A kés®bbiekben az elméleti eredményeket illetve az ezeket alátámasztó méréseket mutatom be. A dolgozatban bemutatásra kerülnek a mérés során használt saját készítés¶ próbatestek, és az analitikus számítás során alkalmazott peremfeltételeket kielégít® befogó készülék.
5
2. fejezet A Rétegelt kompozitok elmélete
A rétegelt kompozit lemezek különböz® anyagparaméter¶ és száliránnyal rendelkez® rétegekb®l épülnek fel. Kompozit anyagból általában rúd, héj, vagy lemez szerkezeteket készítenek, dolgozatomban lemezeket vizsgálok, ezért síkfeszültségi állapotot feltételezhetünk. A megoldás során különféle lemezelméleteket használhatunk, én a Kirchhoféle klasszikus lemezelméletet használtam.
2.1. Kirchho-féle klasszikus lemezelmélet A Kircho-féle klasszikus lemezelelmélet azt feltételezi, hogy fennálnak a Kirchhofhipotézis megállapításai[1]: A deformáció el®tt a középfelületre mer®leges egyenes vonalak a deformáció után is egyenesek maradnak. A lemezre mer®leges irányban nem tapasztalható nyúlás. A lemezre mer®leges normálisok a deformáció után is mer®legesek maradnak a középsíkra. A rétegelt lemezelméletre további feltételezések és korlátozások vonatkoznak: A rétgek között tökéletes adhéziós kapcsolatot feltételezünk. Az egyes rétegek anyagai lineárisan rugalmasak. A nyúlások és elmozdulások kicsik. Az lemez alsó és fels® felületein a transzverzális nyíró feszültség zérus.
1
A RÉTEGELT KOMPOZITOK ELMÉLETE
2
A Kirchho-hipotézis szerint az elmozdulásmez®k
(u, v, w)
a következ®ek:
∂w0 (x, y, τ ) ∂x ∂w0 (x, y, τ ) v(x, y, z, τ ) = v0 (x, y, τ ) − z ∂y w(x, y, z, τ ) = w0 (x, y, τ ) u(x, y, z, τ ) = u0 (x, y, τ ) − z
ahol
(u0 , v0 , w0 )
(2.1)
a középfelületen lév® anyagi pontok elmozdulásai az
A lemezben keletkez®
x
és
y
irányú nyúlások és
xy
xy -síkban.
síkbeli szögváltozás képezhet®, kis
elmozdulások esetén, az elmozdulásmez® megfelel® változó szerinti deriválásával:
∂u0 (x, y, τ ) ∂ 2 w0 (x, y, τ ) −z ∂x ∂x2 2 ∂v0 (x, y, τ ) ∂ w0 (x, y, τ ) = −z ∂y ∂y 2 ∂ 2 w0 (x, y, τ ) ∂u0 (x, y, τ ) ∂v0 (x, y, τ ) + − 2z = ∂y ∂x ∂xy
εx = εy γxy
(2.2) Az így kapott nyúlásmez®ket felbonthatjuk z-t®l függ® (1) és attól független (0) tagokra:
(0) εx εx (0) εy = εy γ (0) γxy xy ahol
(0)
(0)
(0)
(εx , εy , γxy )
(1) εx (1) + εx γ (1) xy
a fajlagos nyúlások illetve
(1)
(1)
z
(2.3)
(1)
(εx , εy , γxy )
pedig a görbületek.
2.2. Konstitutív egyenlet Ortotróp
anyagi
viselkedés
esetén
egy
rétegre
a
merevségi
mátrix
felépítése
a
következ®[1]:
C11 C12 0 C = C21 C22 0 0 0 C33
(2.4)
A mátrixban szerepl® mennyiségeket az egyes rétegekre jellemz® anyagparaméterek segítségével számíthatjuk ki:
C11 =
E1 E2 E1 , C22 = , C12 = ν21 , C21 = C12 , C33 = G12 1 − ν12 ν21 1 − ν12 ν21 1 − ν12 ν21
(2.5)
Az így kapott merevségi mátrix a szálirányokhoz kötött koordináta rendszerben érvényes. Ahhoz, hogy ez a mátrix lemezhez kötött koordináta rendszerben legyen értelmezve, egy transzformációt kell rajta elvégezni:
C = TT CT
(2.6)
A RÉTEGELT KOMPOZITOK ELMÉLETE ahol
(T )
3
a forgatási mátrix, melynek felépítése :
1 sin(2α) cos2 (α) sin2 (α) 2 − 21 sin(2α) T = sin2 (α) cos2 (α) 2 2 − sin(2α) sin(2α) cos (α) − sin (α)
(2.7)
2.1. ábra. A globális és lokális koordináta rendszer kapcsolata A vastagság mentén integrálva a feszültségtenzort az éler®ket és élnyomatékokat kapjuk. Az ered® éler® és élnyomaték kiadódik ha ezeket rétegenként szummázzuk a teljes lemezvastagságon[1]:
N Z X k=1
zk+1
σdz =
zk
N Z X k=1
zk+1
Cεdz
(2.8)
zk
A feszültség tenzor és a nyúlás vektor közötti kapcsolatot a merevségi mátrix teremti meg. Ezt kihasználva az integrálás során a konstitutív egyenletet kapjuk mely az éler®ket és élnyomatékokat fejezi ki a fajlagos nyúlás és a görbület függvényeként[1]:
A
{N } {M }
a húzómerevségi mátrix,
B
=
[A] [B] [B] [D]
(0) ε(1) ε
a kapcsoló merevségi mátrix és
(2.9)
D
a hajlító merevségi
mátrix:
A =
B =
C =
N X
k=1 N X
1 2 1 3
(k)
C (zk+1 − zk )
k=1 N X k=1
(k)
C (zk+1 2 − zk 2 ) (k)
C (zk+1 3 − zk 3 )
(2.10)
3. fejezet Az ép lemez
Az alábbi fejezetben egy ideálisan ortotróp lemez modelljét készítettem el. A modell leírása után, levezetem a lemez sajátkörfrekvencia és az egytengely¶ húzás/nyomás közötti összefüggést.
3.1. A lemez modell A modell egy ideálisan ortotróp lemez, mely három, üvegszállal (GF) er®sített telítetlen poliészter gyanta (UP) rétegb®l épül fel. A rétegek speciálisan ortotróp rétegek és ◦ ◦ ◦ unidirekcionálisak [0 ; 0 ; 0 ]. Az ép lemez modellje a 3.1. ábrán látható. A lemez két hossz menti éle (y
= 0, e) egyszer¶en alá van támasztva, míg a másik két élre (x = 0, a) befogás kényszert írtam el®. A lemez egyik oldalán (x = e) megoszló terhelés hat, mely a befogott lemezvég húzásával-nyomásával váltható ki.
3.1. ábra. Az ép lemez modell. A lemez terhelése az axiális kompresszió hatására alakul ki
A számítás során használt adatokat méréssel és a keverék szabály alkalmazásával határoztam meg. Az adatokat a 5.2. fejezetben található 5.4. táblázat tartalmazza.
4
AZ ÉP LEMEZ
5
3.2. Lagrange függvény A lemez mozgás egyenlete levezethet® a Hamilton-elv alkalmazásával, mely azt feltételezi, hogy a vizsgált rendszer jellemezhet® két energia típussal; a kinetikus energiával
T
és a teljes potenciális energiával
Z
Π. A Hamilton-elv rugalmas testekre a következ®[2]:
t2
[T − (V + U )]dt = 0
δ
(3.1)
t1 Ahol
T
a kinetikus energia,
U
az alakváltozási energia és
V
a küls® er®k munkája. A
Lagrange-függvény, melynek els® variációját vizsgáljuk a hamilton-elv segítségével:
L = T − (U + V )
(3.2)
Az alakváltozási energia kifejezhet® a feszültség és alakváltozási tenzorok tenzoriális szorzatának a térfogaton vett integráljával:
Z σ : ε dV
U=
(3.3)
(V ) Ahol a feszültség tenzor rétegenkénti integrálása után a potenciális energia kifejezhet® az éler®kkel, élnyomatékokkal, a nyúlásokkal és a szögelfordulásokkal:
Z Z
(Nx εx 0 + Ny εy 0 + Nxy γxy 0 + Mx εx 1 + My εy 1 + Mxy γxy 1 )dA
U=
(3.4)
(A)
3.2. ábra. Éler®k egyensúlya egytengely¶ nyomás esetén
Egytengely¶ nyomás esetén a terhelés munkája az alábbi módon számítható. Mivel az éler®k nem konzervatív er®k, hanem úgynevezett követ® er®k, emiatt ha a lemez deformálódik, egy z-irányú er® komponens ébred. A 3.2. ábrán egy deformált lemez dierenciálisan kis része látható, melyen feltüntettem az
Nx
éler® komponenseit.
AZ ÉP LEMEZ
6
A 3.2. ábra alapján felírható az egyensúlyi egyenlet, melyb®l levezethet® az
Nx
éler®
z-irányú komponense:
∂w ∂Nx ∂w ∂ 2 w ∂ 2w Nx dy − (Nx + dx)( + dx)dy = −(Nx 2 )dxdy ∂x ∂x ∂x ∂x2 ∂x
(3.5)
∂Nx zérus. ∂x
Mivel a küls® terhelés konstans, ezért
A z irányú er®komponensnek munkája általánosan a lemez teljes felületén:
Z Z (q(x, y)w)dA
V =
(3.6)
(A) Felhasználva a (3.5) és (3.6) egyenleteket a terhelés munkája az alábbi alakot ölti:
Z Z V =−
∂ 2 w(x, y, z, τ ) (Nx w(x, y, z, τ ) )dA ∂x2 (A)
(3.7)
A kinetikus energia általánosan:
1 T = 2 Ahol
v
Z
(ρv 2 )dV
(3.8)
(V )
a merev test szer¶ mozgásoktól mentes sebességmez®t jelöli.
A sebesség a (2.1) egyenletben szerepl® elmozdulások id® szerinti deriváltjaiból képezhet®, ezt visszaírva a (3.8) egyenletbe, képezhetjük a rétegelt kompozit lemezek kinetikus energiáját:
1 T = 2
Z
(ρ(u(x, ˙ y, z, τ ))2 + (v(x, ˙ y, z, τ ))2 + (w(x, ˙ y, z, τ ))2 )dV
(3.9)
(V )
A vastagság menti integrálást elvégezve és az elmozdulásokat behelyettesítve az integrandusban megjelennek tehetetlenségi nyomatékok.Melyek a keresztmetszet transzverzális elmozdulásából
I0 ,
az elfordulásából
I2
és a kétféle mozgás kapcsoltságából
I1
adódnak. Ezek a következ®képpen határozhatók meg:
I0 = I1 = I2 =
N X k=1 N X k=1 N X
ρ(zk+1 − zk ) ρ(zk+1 2 − zk 2 ) ρ(zk+1 3 − zk 3 )
(3.10)
k=1 Felhasználva a (2.2) egyenletben megfogalmazott elmozdulásmez® és nyúlások közötti kapcsolatot a Lagrange függvény már csak az elmozdulásoktól, azok id® szerinti deriváltjaitól, az éler®kt®l és élnyomatékoktól függ. A lemez modell elkészítésénél a globális
AZ ÉP LEMEZ
7
referencia síknak a lemez középsíkját választottam, így a választott rétegfelépítés esetén
I1 tehetetlenségi nyomaték zérus. Z Z 1 ∂ w˙0 (x, y, τ )2 ∂ w˙0 (x, y, τ )2 2 2 L= + I0 v˙0 (x, y, τ ) + I0 w(x, ˙ y, τ ) + I2 + 3 ∂y ∂x A 2 2 ∂ w0 (x, y, τ ) ∂ 2 w0 (x, y, τ ) 1 ∂ w0 (x, y, τ ) I0 u˙0 (x, y, τ )2 + Mx + M + + 2M y xy 3 ∂x2 ∂xy ∂y 2 ∂u0 (x, y, τ ) ∂u0 (x, y, τ ) ∂v0 (x, y, τ ) ∂v0 (x, y, τ ) − Nx − Nxy + − Ny ∂x ∂y ∂x ∂y 2 1 ∂ w0 (x, y, τ ) + Nxx w0 (x, y, τ ) dA (3.11) 2 ∂x2 az
3.3. Variáció számítás A leíró Parciális Dierenciál Egyenlet (PDE) rendszer levezethet® az Euler-Lagrange formula segítségével:
(−1)n+1
∂L ∂n =0 n n ∂x ∂q (x, . . . )
(3.12)
Elvégezve a variáció számítást a (3.11) egyenleten és a konstitutív (2.9) egyenletet behelyettesítve, a következ® PDE rendszert kapjuk:
∂ 2 u0 (x, y, τ ) ∂ 2 v0 (x, y, τ ) ∂ 2 u0 (x, y, τ ) ∂ 2 v0 (x, y, τ ) + + A − 2I0 u¨0 (x, y, τ ) = 0 A 3,3 + A 1,2 1,1 ∂y 2 ∂xy ∂x2 ∂xy 2 ∂ v0 (x, y, τ ) ∂ 2 u0 (x, y, τ ) ∂ 2 v0 (x, y, τ ) ∂ 2 u0 (x, y, τ ) A 3,3 + + A − 2I0 v¨0 (x, y, τ ) = 0 + A 2,1 2,2 ∂x2 ∂xy ∂y 2 ∂xy ∂ 4 w(x, y, τ ) ∂ 4 w(x, y, τ ) ∂ 4 w(x, y, τ ) ∂ 4 w(x, y, τ ) ∂ 4 w(x, y, τ ) −D2,2 − D − D − 4D − D 1,2 2,1 3,3 1,1 ∂y 4 ∂x2 y 2 ∂x2 y 2 ∂x2 y 2 ∂x4 2 ∂ 2 w(x,¨y, τ ) 2 ∂ 2 w(x,¨y, τ ) ∂ 2 w(x, y, τ ) − 2 I0 w(x,¨y, τ ) + I2 + I + N =0 (3.13) 2 xx 3 ∂y 2 3 ∂x2 ∂x2
A lemez modell elkészítésénél a globális referencia síknak a lemez középsíkját választottam, így a választott rétegrend esetén az
I1
tehetetlenségi nyomaték, és a
B
kapcsoló
merevségi mátrix zérus. Ezért a PDE rendszerben függetlenek egymástól a membrán és hajlító mozgások.
AZ ÉP LEMEZ
8
3.4. A Lévy-féle megoldás A Lévy-féle megoldás olyan esetben használható amikor a lemez két szemközti éle (y
= 0, e)
egyszer¶en van megtámasztva, a másik két élre (x
= 0, a)
pedig tetsz®leges
a peremfeltétel. A választott peremfeltételek miatt az elmozdulásmez® y irányban Fourier-sorba fejthet®, így az elmozdulásmez® megoldása kereshet® a középvonal amplitúdója, a megfelel® trigonometrikus együttható segítségével, valamint az id®ben másodrend¶ dierenciálegyenletek exponenciális próbafüggvényével[1]:
u0 (x, y, τ ) = eiωτ
∞ X
Un (x) sin(βy)
n=1
v0 (x, y, τ ) = eiωτ
∞ X
Vn (x) cos(βy)
n=1
w0 (x, y, τ ) = eiωτ
∞ X
Wn (x) sin(βy)
(3.14)
n=1 Ahol:
β= e:
a lemez szélessége;
n:
nπ e
Fourier együttható;
ω:
(3.15)
a lemez sajátkörfrekvenciája;
i=
√
−1
a képzetes tag. Az
(x, y, τ )-tól
függ® elmozdulások el®állnak tehát az id®t®l, az
x
és
y
elmozdulástól
függ® tagok szorzatából. Ezt visszahelyettesítve a PDE rendszerbe (3.13) és kigyüjtve az exponenciális és trigonometrikus tagokat, az amplitúdókra egy Közönséges Dierenciál Egyenletet kapunk (ODE):
A1,1 Un 00 (x) − β 2 A3,3 Un (x) − βA1,2 Vn 0 (x) − βA3,3 Vn 0 (x) + 2I0 ω 2 Un (x) = 0, (3.16) βA2,1 Un 0 (x) + βA3,3 Un 0 (x) + A3,3 Vn 00 (x) − β 2 A2,2 Vn (x) + 2I0 ω 2 Vn (x) = 0,
(3.17)
−D1,1 Wn (4) (x) + β 2 D1,2 Wn 00 (x) + β 2 D2,1 Wn 00 (x) + 4β 2 D3,3 Wn 00 (x) − β 4 D2,2 Wn (x) 2 2 (3.18) + 2 I0 ω 2 Wn (x) − I2 ω 2 Wn 00 (x) + β 2 I2 ω 2 Wn (x) + Nxx W n00 (x) = 0 3 3
AZ ÉP LEMEZ
9
3.5. A leíró dierenciál egyenlet megoldása Mivel ideálisan ortotróp esetet modellezünk, ezért a leíró dierenciál egyenletrendszerben szerepl® (3.18) egyenlet megoldása a szerkezet csillapítatlan sajátkörfrekvenciáit adja. A (3.18) egyenlet általános formája a következ®[1]:
pWn (4) (x) + qW n00 (x) − rWn (x) = 0
(3.19)
Ahol:
2 r=−β 4 D2,2 + 2I0 ω 2 + β 2 I2 ω 2 , 3 2 2 2 q=−2β D1,2 − 4β D3,3 + I2 ω 2 − Nx , 3 p=D1,1
(3.20)
A (3.19) egyenlet megoldása kereshet® a következ® próbafüggvény segítségével:
Wn (x) = keλx
(3.21)
A (3.21) egyenletben szerepl® próba függvényt visszahelyettesítve a (3.19) egyenletbe és az exponenciális tagokkal leosztva, mivel az sosem nulla, a következ® karakterisztikus egyenletet kapjuk:
kλ4 p + kλ2 q − kr = 0
(3.22)
A karakterisztikus egyenlet megoldásai a következ®ek:
λ1,2 = ±iλ λ3,4 = ±µ (3.23) Ahol:
sp 4pr + q 2 + q λ= 2p sp 4pr + q 2 − q µ= 2p
(3.24)
(3.25)
A (3.19) egyenlet általános megoldása a következ®:
W (x) = K1 eµx + K2 e−µx + K3 eiλx + K4 e−iλx
(3.26)
Ez trigonometrikus alakban:
W (x) = C1 cosh(µx) + C2 sinh(µx) + C3 cos(λx) + C4 sin(λx)
(3.27)
Ennek els® deriváltja szükséges a befogás peremfeltétel miatt:
W 0 (x) = C1 µ sinh(µx) + C2 µ cosh(µx) − λC3 sin(λx) + λC4 cos(λx)
(3.28)
AZ ÉP LEMEZ
10
A peremfeltételek:
W (0) = 0, W (a) = 0, W 0 (0) = 0, W 0 (a) = 0.
(3.29)
A (3.29)-ben szerepl® peremfeltételek és a (3.27) és (3.28) egyenletek alapján felírható mátrix egyenlet:
1 0 1 0 C1 cosh(aµ) sinh(aµ) cos(aλ) sin(aλ) C2 C3 0 µ 0 λ µ sinh(aµ) µ cosh(aµ) −λ sin(aλ) λ cos(aλ) C4
0 0 = 0 0
(3.30)
A (3.30) egyenletben szerepl® mátrix determinánsának zérust kell adnia, ez a Frekvencia egyenlet:
(λ − µ)(λ + µ) sin(aλ) sinh(aµ) + 2λµ(cos(aλ) cosh(aµ) − 1) = 0
(3.31)
A frekvencia egyenlet megoldása a trigonometrikus egyenlet komplexitása miatt nehézkes. Azonban ahogy az kés®bbiek során látható lesz a keresett paraméterek csak a terheletlen sajátfrekvenciát befolyásolják a görbe egyéb paramétereit nem. Emiatt a szükséges paramétereket egyszer¶bben meghatározhatjuk a terheletlen esetet vizsgálva. A (3.18) egyenletben a terhelést elhanyagolva valamint a (3.21) egyenletben megadott próbafüggvényt felhasználva és a konstansokat új ismeretlenekre rendezve az alábbi egyenletet kapjuk[3]:
e4 − µ λ e4 = 0
(3.32)
Az általános megoldás kereshet® a következ® alakban:
W (x) = C1 S(e µx) + C2 T (e µx) + C3 U (e µx) + C4 V (e µx)
(3.33)
Ahol a Rayleigh-Krülov függvények:
1 S(e µx)= (cos(e µx) + cosh(e µx)) 2 1 µx) + sinh(e µx)) T (e µx)= (sin(e 2 1 U (e µx)= (cosh(e µx) − cos(e µx)) 2 1 V (e µx)= (sinh(e µx) − sin(e µx)) 2
(3.34) (3.35) (3.36) (3.37)
A (3.29)-ben szerepl® peremfeltételek és a (3.33) egyenlet alapján felírható mátrix egyenlet:
1 0 0 0 C1 0 µ 0 0 C2 S(e µa) T (e µa) U (e µa) V (e µa) C3 0 0 0 0 S (e µa) T (e µa) U (e µa) V (e µa) C4
0 0 = 0 0
(3.38)
AZ ÉP LEMEZ
11
A (3.38) egyenletben szerepl® mátrix determinánsának zérust kell adnia, ez a Frekvencia egyenlet:
sin2 (e µa) + cos2 (e µa) − sinh2 (e µa) + cosh2 (e µa) − 2 cos(e µa) cosh(e µa) = 0
(3.39)
A (3.39) egyenletet numerikusan megoldva:
µ e=
3π 2a
(3.40)
2 Ezt felhasználva, majd a (3.22) egyenletet ω -re rendezve majd gyököt vonva és felπ használva, hogy β = (azaz a szélesség mentén egy fél hullámot feltételezve): e
v u 2 u 1 ( 3π )4 D + ( π )2 ( 3π )2 (D + 2D ) + 1 ( π )2 D + 12 ( 3π ) Nx 1,1 1,2 3,3 2,2 u 2 2a e 2a 2 e 2a ω=t 1 3π 2 ( ) I2 + I0 + 31 ( πe )2 I2 3 2a
(3.41)
Ha a terhelés zérus a (3.41) egyenletben,akkor az els® sajátkörfrekvencia:
v u u 1 ( 3π )4 D + ( π )2 ( 3π )2 (D + 2D ) + 1 ( π )2 D 1,1 1,2 3,3 2,2 u 2 2a e 2a 2 e ω0 = t 2 1 3π ( ) I2 + I0 + 31 ( πe )2 I2 3 2a ω(Nx ) kapcsolat a következ®: v u 2 u ( 3π ) Nx 2a t ω = ω0 +1 4 2 ( 3π ) D1,1 + ( πe )2 ( 3π ) (2D1,2 + 4D3,3 ) + ( πe )4 D2,2 2a 2a
(3.42)
Ezek alapján az
(3.43)
Az izotróp húzott-nyomott rúdra vonatkozó összefüggés:
r r
ω =
ω0r
1+
Nx l2 IE π 2
(3.43) és (3.44) egyenleteket, látható, hogy mindekett® hasonló felépítés¶ Továbbá, ha ω0 értéke és a geometria ismert, akkor (3.43) egyenlet alapján,
Összevetve a függvény.
(3.44)
a sajátkörfrekvencia nagysága csak a terhelést®l és a hajlítómerevségekt®l függ.
AZ ÉP LEMEZ
12
3.6. A megoldás ellen®rzése alternatív módszerrel A 3.3 fejezetben levezetett leíró dierenciál egyenletrendszerek 3.13 megoldására alternatív módszert használtam, ami az úgy nevezett állapottér modell. Sajnos a módszer nem képes zárt alakú képletet adni, viszont a (3.43) egyenlet ellen®rzésére tökéletes, továbbá a nyerhet® megoldás segítségével olyan esetek vizsgálatára is lehet®ség nyílik, ahol kapcsolt a hajlító és a membránmozgás. A módszer lényege, hogy a magasabb rend¶ közönséges dierenciál egyenlet rendszert Cauchy-átírással els®rend¶ alakra hozzuk, majd ezt mátrixos alakba rendezzük:
Z = TZ + F Ahol:
Z
az állapot vektor,
T
(3.45)
az állapot mátrix,
F
az inhomogenitást okozó tagok
vektora . A (3.45) összefüggés alapján felírható az ép lemez állapottér modellje[1]:
Un 0 (x) Un 00 (x) Vn 0 (x) Vn 00 (x) Wn 0 (x) = Wn 00 (x) Wn 000 (x) Wn (IV ) (x)
0 1 0 0 0 0 a1 0 0 a2 0 a3 0 0 0 1 0 0 0 b1 b1 0 b2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 c2 0 c3 0
0 0 Un (x) 0 0 a4 Un (x) 0. 0 Vn0(x) b4 0 Vn (x) + 0. 0 Wn0(x) 1 0 Wn (x) 00 0 1 Wn (x) c4 0 Wn 000 (x)
0 0 0 0 0 0 0 0
(3.46)
Az állapottér modell megoldása a következ®képpen számítható:
Z(x) = e
T
Z K+
x
e
−Tξ
F(ξ)dξ = G(x)K + H(x)
(3.47)
0 Ahol:
G(x)K
a homogén megoldás,
K
a konstansok vektora és
H(x)
a partikuláris
megoldás, mely itt zérus. A megoldást behelyettesítve a (3.29) egyenletbe, a homogén megoldás mátrix alakra rendezhet® homogén lineáris egyenletrendszerre vezet, ahol az együttható mátrix determinánsával kereshet® a nem triviális megoldás. Ami az egyes sajátkörfrekvenciákat adja, amik segítségével pedig a
K konstansok és így a sajátalakok is meghatározhatók.
4. fejezet A delaminált lemez
A következ® fejezetben a középsíkon átmen® delaminációt tartalmazó ideálisan ortotróp kompozit lemez mechanikai modelljét mutatom be. A modell bemutatása után levezetem a delaminált lemez sajátkörfrekvenciájára vonatkozó összefüggést.
4.1. A delaminált lemez modell A modellezett kompozit lemez 4 réteg¶ szimmetrikus rétegrend¶, unidirekcionális [0◦ ; 0◦ ; 0◦ ; 0◦ ]. Minden réteg üvegszállal (GF) er®sített telítetlen poliészter mátrixanyagból (UF) épül fel, az anyagtulajdonságok megegyeznek az ép lemezével . Az így adódó lemez speciálisan ortotróp. A lemez két hossz menti éle (y alá van támasztva, míg az egyik szélesség menti élre (x másikra (x
= l)
= 0)
= 0, e)
egyszer¶en
befogás kényszert, a
szabad vég kényszert írtam el®.
4.1. ábra. A delaminált lemez modell Az összetett geometria miatt a lemezt több részre kell bontani. A lemez hossz irányban felbontható két ép szakaszra
(1)
és
(3)
és egy delaminált részre
(2).
A delamináció
síkja a lemezt két egymással egyenérték¶ lemezfélre bontja: alsó lemezfélre (tb ) és a fels® lemezfélre (tt ).
13
A DELAMINÁLT LEMEZ
14
4.2. Elmozdulásmez®k A delaminált lemez általános elmozdulásmez®i a Kirchho-féle lemezelmélet alapján:
∂w0α (x, y, τ ) ∂x α ∂w (x, y, τ ) vαδ (x, y, z, τ ) = v0α (x, y, τ ) + v0αδ (x, y, τ ) − z 0 ∂y α wα (x, y, z, τ ) = w0 (x, y, τ )
uαδ (x, y, z, τ ) = uα0 (x, y, τ ) + uαδ 0 (x, y, τ ) − z
Ahol
uα0 (x, y, τ )
és
uα0 (x, y, τ )
(4.1)
a teljes lemezvastagság mentén érvényes konstansok,
ezek az alsó és a fels® rész illesztési kényszer kapcsolatából határozhatóak meg. A lemezszakaszokat a 4.1. ábrának megfelel®en
α
jelöli,
δ
"t" vagy "b" lehet, ezek az
alsó (bottom) és fels® (top) lemezrészeket jelölik. Az elmozdulásmez®k az ép lemezhez hasonlóan, az egyes lemezfelek saját koordináta rendszerében értend®ek. A megértést segít® 4.2. ábra az elmozdulásmez®ket mutatja be egy dierenciálisan kis lemez darabon.
4.2. ábra. Az elmozdulásmez®k a lemezben
A
w0α (x, y, τ )
z-irányú elmozdulásmez® az alsó és fels® részekben (1,3) ép szakaszokon
az együttdolgozás miatt, míg a delaminált szakaszon a kinematikailag nem lehetséges módusok megakadályozása végett egyezik meg. Az így kapott kényszerezett modellben nem alakulhatnak ki olyan módusok, ahol a két fél egymásba metsz, aminek következtében a helyes módusok frekvenciára is hibás értékek adódnának[4, 5, 6, 7, 8].
4.3. Egzakt kinematikai feltételek A delaminációt nem tartalmazó részekben a tökéletes adhéziós kapcsolat feltételezése miatt az alsó és fels® félnek együtt kell dolgoznia. Ezt az illesztési feltétel biztosítja az érintkez® felületeken[9]:
ut |z=−tt /2 = ub |z=tb /2 vt |z=−tt /2 = vb |z=tb /2
(4.2)
A DELAMINÁLT LEMEZ
15
A globális referencia síkon, mely most a lemez középsíkja az alsó és fels® elmozdulásmez®k értékei:
tt + tb 2
≤ tb : ub |z=tt /2 = u0 , vb |z=tt /2 = v0 ≥ tb : ut |z=−tb /2 = u0 , vt |z=−tb /2 = v0
(4.3)
A (4.2) és (4.3) egyenlet rendszerek alapján a nem delaminált szakaszok elmozdulásmezeje:
tt ∂w0 α (x, y, τ ) 2 ∂x α ∂w t 0 (x, y, τ ) b uαt (x, y, z, τ ) = u0 α (x, y, τ ) − 2 ∂x α t ∂w (x, y, τ ) t 0 vαb (x, y, z, τ ) = v0 α (x, y, τ ) + 2 ∂y α tb ∂w0 (x, y, τ ) vαt (x, y, z, τ ) = v0 α (x, y, τ ) − 2 ∂y uαb (x, y, z, τ ) = u0 α (x, y, τ ) +
∂w0 α (x, y, τ ) ∂x ∂w0 α (x, y, τ ) −z ∂x ∂w0 α (x, y, τ ) −z ∂y α ∂w0 (x, y, τ ) −z ∂y −z
(4.4)
A delaminált szakasz elmozdulásmezeje pedig megfelel® indexeléssel a (2.1)-ben részletezettel megegyezik.
4.4. A delaminált szakasz A delaminált szakaszon keletkez®
x
és
y
irányú nyúlások és
xy
síkbeli szögváltozás
el®állításának menete, bemutatásra került a 2.1. fejezet alábbi egyenleteiben: (2.1), (2.2), (2.3). Az alakváltozási energia a (3.3) összefüggés alapján a (3.4) egyenlethez hasonlóan felírható külön az alsó és fels® részekre, a delaminált szakaszon. A fels® részhez tartozó alakváltozási energia:
ZZ Ut =
Nxt εxt 0 + Nyt εyt 0 + Nxyt γxyt 0 + Mxt εxt 1 + Myt εyt 1 + Mxyt γxyt 1 dAt
(4.5)
(At ) Az alsó részhez tartozó alakváltozási energia:
ZZ Ub =
Nxb εxb 0 + Nyb εyb 0 + Nxyb γxyb 0 + Mxb εxb 1 + Myb εyb 1 + Mxyb γxyb 1 dAb
(4.6)
(Ab ) A kinetikus energia a (3.8) összefüggés alapján a (3.9) egyenlethez hasonlóan felírható külön az alsó és fels® részekre, a delaminált szakaszon. A fels® részhez tartozó kinetikus energia:
1 Tt = 2
Z
ρ(u˙t (x, y, z, τ )) + ρ(v˙t (x, y, z, τ )) + ρ(w(x, ˙ y, z, τ )) dVt 2
2
2
(4.7)
(Vt )
Az alsó részhez tartozó kinetikus energia:
1 Tb = 2
Z (Vb )
2 2 2 ρ(u˙b (x, y, z, τ )) + ρ(v˙b (x, y, z, τ )) + ρ(w(x, ˙ y, z, τ )) dVb
(4.8)
A DELAMINÁLT LEMEZ
16
Mivel a kompozit lemez szabad lengését vizsgáljuk, így a küls® terhelés munkája zérus:
V =0
(4.9)
A Lagrange-függvény el®állítható a (3.2) összefüggés alapján a delaminált szakaszra, a (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) egyenletek felhasználásával:
L = (Tt + Tb ) − (Ut + Ub )
(4.10)
Az Eluler-Lagrange deriválást elvégezve a (3.12) összefüggés alapján, a következ® változókra:
(u0b (x, y, τ ), v0b (x, y, τ ), u0t (x, y, τ ), v0t (x, y, τ ), w0 (x, y, τ ))
és a konstitutív (2.9)
egyenletet behelyettesítve, öt egyenletb®l álló PDE rendszert kapunk mely már csak az elmozdulásmez®k derivátjait és konstansokat tartalmaz.
4.5. Az ép szakaszok Az ép szakaszokon keletkez®
x és y irányú nyúlások és xy síkbeli szögváltozás képezhet®
a szakaszra jellemz® elmozdulásmez®k (4.4) megfelel® változó szerinti deriválásával:
∂ 2 w0 α (x, y, τ ) ∂u0 α (x, y, τ ) tt ∂ 2 w0 α (x, y, τ ) + − z ∂x 2 ∂x2 ∂x2 2 α 2 α α ∂u0 (x, y, τ ) tb ∂ w0 (x, y, τ ) ∂ w0 (x, y, τ ) εx(αt) = − −z 2 ∂x 2 ∂x ∂x2 2 α α 2 α ∂ w0 (x, y, τ ) ∂v0 (x, y, τ ) tt ∂ w0 (x, y, τ ) + −z εy(αb) = 2 ∂y 2 ∂y ∂y 2 ∂v0 α (x, y, τ ) tb ∂ 2 w0 α (x, y, τ ) ∂ 2 w0 α (x, y, τ ) εy(αt) = − − z ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂ 2 w0 α (x, y, τ ) ∂ 2 w0 α (x, y, τ ) ∂u0 α (x, y, τ ) ∂v0 α (x, y, τ ) + + tt − 2z γxy(αb) = ∂y ∂x ∂xy ∂xy α α 2 α 2 α ∂u0 (x, y, τ ) ∂v0 (x, y, τ ) ∂ w0 (x, y, τ ) ∂ w0 (x, y, τ ) γxy(αt) = + + tb − 2z ∂y ∂x ∂xy ∂xy εx(αb) =
(4.11) Az így kapott nyúlásmez®ket (2.3) szerint felbonthatjuk z-t®l függ® (1) és attól független (0) tagokra. Az alakváltozási energia a (3.3) összefüggés alapján a (3.4) egyenlethez hasonlóan felírható külön az alsó és fels® részekre, az ép szakaszokon. A fels® részhez tartozó alakváltozási energia:
ZZ Ut =
Nxt εxt 0 + Nyt εyt 0 + Nxyt γxyt 0 + Mxt εxt 1 + Myt εyt 1 + Mxyt γxyt 1 dAt
(4.12)
(At ) Az alsó részhez tartozó alakváltozási energia:
ZZ Ub =
Nxb εxb 0 + Nyb εyb 0 + Nxyb γxyb 0 + Mxb εxb 1 + Myb εyb 1 + Mxyb γxyb 1 dAb(4.13) (Ab )
A DELAMINÁLT LEMEZ
17
A kinetikus energia a (3.8) összefüggés alapján a (3.9) egyenlethez hasonlóan felírható külön az alsó és fels® részekre, az ép szakaszokon. A fels® részhez tartozó kinetikus energia:
1 Tt = 2
Z
ρ(u˙t (x, y, z, τ )) + ρ(v˙t (x, y, z, τ )) + ρ(w(x, ˙ y, z, τ )) dVt 2
2
2
(4.14)
(Vt )
Az alsó részhez tartozó kinetikus energia:
1 Tb = 2
Z
2 2 2 ρ(u˙b (x, y, z, τ )) + ρ(v˙b (x, y, z, τ )) + ρ(w(x, ˙ y, z, τ )) dVb
(4.15)
(Vb )
Mivel a kompozit lemez szabad lengését vizsgáljuk terhelés nincs. A Lagrange-függvény el®állítható a (3.2) összefüggés alapján a delaminált szakaszra, a (4.12), (4.13), (4.14), (4.15) egyenletek felhasználásával:
L = (Tt + Tb ) − (Ut + Ub )
(4.16)
Az Euler-Lagrange deriválást elvégezve a (3.12) összefüggés alapján, a következ® változókra:
(u0 (x, y, τ ), v0 (x, y, τ ), w0 (x, y, τ )) és a konstitutív egyenletet (2.9) behelyettesít-
ve, három egyenletb®l álló PDE rendszert kapunk mely már csak az elmozdulásmez®k derivátjait és konstansokat tartalmaz.
4.6. A Lévy-féle megoldás Mivel a lemez két szemközti éle
(y = 0, e) egyszer¶en megtámasztott, ezért használható
a Lévy-féle megoldás. Az ép szakaszokon alkalmazott sorfejtés:
α
iωτ
u0 (x, y, τ ) = e
∞ X
Unα (x) sin(βy)
n=1
v0 α (x, y, τ ) = eiωτ w0 α (x, y, τ ) = eiωτ
∞ X n=1 ∞ X
Vnα (x) cos(βy) Wnα (x) sin(βy)
(4.17)
n=1 Ahol
α
az adott ép szakasz sorszáma: (1) és (3).
A delaminációt tartalmazó szakaszon alkalmazott sorfejtés:
u0δ α (x, y, τ ) = eiωτ
∞ X
Unαδ (x) sin(βy)
n=1
v0δ α (x, y, τ ) = eiωτ w0 α (x, y, τ ) = eiωτ
∞ X n=1 ∞ X n=1
Vnαδ (x) cos(βy) Wnα (x) sin(βy)
(4.18)
A DELAMINÁLT LEMEZ Ahol
δ
18
a t fels® vagy b alsó lemezfélre mutat. Az
α
az adott delaminált szakasz
sorszáma a 4.1. ábra alapján: (2).
4.7. Állapottér modell A 4.6 fejezetben levezetett leíró dierenciál egyenletrendszerek megoldására alternatív módszert használtam, melyet a 3.6 részben már használtam. Mivel szabadlengést vizsgálok, ezért a küls® terhelés zérus. Igy az egyes szakaszok megoldása el®áll:
Z0(α) = T(α) Z(α) Ahol:
(4.19)
Z az állapot vektor, T az állapot mátrix és α az egyes szakaszok jelölése (1, 2, 3)
a 4.1. ábra alapján. A (4.19) összefüggés alapján felírható az ép szakaszok állapottér modellje:
Unα 0 (x) Unα 00 (x) Vnα 0 (x) Vnα 00 (x) Wnα 0 (x) = Wnα 00 (x) Wnα 000 (x) Wnα (IV ) (x)
Ahol:
α
0 1 0 0 0 0 a1 0 0 a2 0 a3 0 0 0 1 0 0 0 b1 b1 0 b2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 c2 0 c3 0
0 0 Un1α (x) 0 0 a4 Unα (x) 0. 0 Vnα (x) Vnα 0 (x) b4 0 0. 0 Wnα0(x) 1 0 Wnα (x) 0 1 Wnα 00 (x) c4 0 Wnα 000 (x)
(4.20)
az ép szakaszok sorszáma: 1 és 3.
A (4.19) összefüggés alapján felírható a delaminációt tartalmazó szakasz állapottér modellje:
Un2t 0 (x) Un2t 00 (x) Vn2t 0 (x) Vn2t 00 (x) Un2b 0 (x) Un2b 00 (x) Vn2b 0 (x) = Vn2b 00 (x) Wn2 0 (x) Wn2 00 (x) Wn2 000 (x) Wn2 (IV ) (x)
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f1 0 0 0 0 f2 0 0 0 f3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g1 0 0 0 0 g2 0 g3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 h3 0 0 h1 0 0 0 h2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 i3 0 0 i1 0 i2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 j4 0 j5 j1 0 j2 0 j3 0 j6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Un2t (x) Un2t 0 (x) Vn2t (x) Vn2t 0 (x) Un2b (x) Un2b 0 (x) Vn2b (x) (4.21) Vn2b 0 (x) Wn2 (x) Wn2 0 (x) Wn2 00 (x) Wn2 000 (x)
Az állapottér modellek megoldása a (3.47) egyenlet alapján számítható.
A DELAMINÁLT LEMEZ
19
4.8. Perem és illesztési feltételek Látható, hogy a három állapottér modellb®l összesen 28 ismeretlen adódik. Ezeket a perem és illesztési feltételek segítségével számíthatjuk ki. A lemez egyik vége
y
(x = 0)
befogott. Ebben az esetben a befogott lemezvég
irányú elmozdulásai mellett a
z
x
és
irányú elmozdulás és szögelordulás is zérus. Igy a
peremfeltételek:
Wn1 (0) = 0 Wn1 0 (0) = 0 Un1 (0) = 0 Vn1 0 (0) = 0 A lemez másik vége
(x = l)
(4.22) (4.23) (4.24) (4.25)
szabad. Ebben az esetben a szabad élen a Poisson-féle
peremfeltételek:
Mx3t (l) + Mx3b (l) = 0 Mxy3t (l) + Mxy3b (l) = 0 Qx3t (l) + Qx3b (l) = 0 Nx3t (l) + Nx3b (l) = 0 Nxy3t (l) + Nxy3b (l) = 0
(4.26) (4.27) (4.28) (4.29) (4.30)
4.3. ábra. Élnyomatékok redukálása. A Kirchho-féle eektív nyíróer® számítása
A szabad vég peremfeltételeit redukálnunk kell, mivel peremenként csak négy feltétel adható meg. Összevont peremfeltételeket alkalmazunk a csavaró élnyomatékokra és a nyíró er®kre. A peremen ható élnyomatékot az alsó és a fels® félen is egy dy er®karú er®párral helyettesítjük. A 4.3 ábra segítségével a
z
irányú egyensúly alapján a
Kirchho-féle eektív nyíróer® az alsó és a fels® félre:
Vx3δ = Qx3δ +
∂Mxy3δ ∂y
(4.31)
A DELAMINÁLT LEMEZ
20
Ahol a nyíróer® a következ® összefüggés alapján számítható:
Qx3δ =
∂Mx3δ ∂Mxy3δ + ∂x ∂y
(4.32)
Tehát a szabad él redukált perem feltételei a (4.31) és 4.32 összefüggések alapján:
Mx3t (l) + Mx3b (l) = 0 Nx3t (l) + Nx3b (l) = 0 Nxy3t (l) + Nxy3b (l) = 0 ∂Mx3t (l) ∂Mx3b (l) − 2βMxy3t (l) + − 2βMxy3b (l) = 0 ∂x ∂x
(4.33) (4.34) (4.35) (4.36)
A delaminált és ép szakaszok csatlakozásainál a kontinuitást kielégít® illesztési feltételek megadása szükséges. Az illesztéshez felhasználjuk az éler®ket, élnyomatékokat, elmozdulásokat és azok deriváltjait. Az
x
és
y
(1, 3) (b, b + a):
irányú elmozdulások illesztései a delaminált (2) és a nem delaminált
lemezegységek között, ahol
η
az adott szakaszok érintkezéseinek helye
1 Un2b (η) = tt Wnα 0 (η) + Unα (η) 2 1 Vn2b (η) = βtt Wnα (η) + Vnα (η) 2 1 Un2t (η) = − tb Wnα 0 (η) + Unα (η) 2 1 Vn2t (η) = − βtb Wnα (η) + Vnα (η) 2 Az
z
(4.37) (4.38) (4.39) (4.40)
(1, 3) lemez(b, b + a):
irányú elmozdulások illesztései a delaminált (2) és a nem delaminált
egységek között, ahol
η
az adott szakaszok érintkezéseinek helye
Wn2 (η) = Wnα (η) Wn2 0 (η) = Wnα 0 (η)
(4.41) (4.42)
Az adott síkban értelmezett éler®k illesztései a delaminált (2) és a nem delaminált
(1, 3) lemezegységek között, ahol η
az adott szakaszok érintkezéseinek helye
Nx2b (η) + Nx2t (η) = Nxαb (η) + Nxαt (η) Nxy2b (η) + Nxy2t (η) = Nxyαb (η) + Nxyαt (η)
(b, b + a): (4.43) (4.44)
Mivel a szélesség mentén zárt a delamináció így az éler®k és a nyíróer®k nyomatékait is gyelembe kell vennünk. Az éler®k nyomatékai a delaminált (2) és a nem delaminált ahol
η
az adott szakaszok érintkezéseinek helye
(1, 3)
lemezegységeknél,
(b, b + a):
tt tb Mx2b (η) + Mx2t (η) − Nx2b (η) + Nx2t (η) 2 2 tt tb − Mxαb (η) + Mxαt (η) − Nxαb (η) + Nxαt (η) = 0 2 2
(4.45)
A DELAMINÁLT LEMEZ
21
A nyíróer®k nyomatékai a delaminált (2) és a nem delaminált ahol
η
az adott szakaszok érintkezéseinek helye
(1, 3) lemezegységeknél,
(b, b + a):
tt ∂Nx2b (η) ∂Mx2b (η) ∂Mx2t (η) + − 2βMxy2b (η) − 2βMxy2t (η) − + ∂x ∂x 2 ∂x tb ∂Nx2t (η) + + βtt Nxy2b (η) − βtb Nxy2t (η) − 2 ∂x ∂Mxαb (η) ∂Mxαt (η) tt ∂Nxαb (η) + + − 2βMxyαb (η) − 2βMxyαt (η) − + ∂x ∂x 2 ∂x tb ∂Nxαt (η) + + βtt Nxyαb (η) − βtb Nxyαt (η) = 0 (4.46) 2 ∂x A (4.46) és (4.45) illesztési feltételeket együttesen az úgynevezett Mujumdar-féle feltételeknek nevezzük[4].
5. fejezet Az elmélethez kapcsolódó mérések bemutatása
Ebben a fejezetben részletezem a mérés során felhasznált saját készítés¶ próbatestek el®állítását, ezen kompozit lemezekre vonatkozó anyagparaméterek meghatározását méréssel és számítással. Ismertetem az analitikus számítás során alkalmazott peremfeltételeket kielégít® befogó készülék tervezési követelményeit, m¶szaki paramétereit. Továbbá bemutatásra kerülnek a delaminált és az ép lemezekre elvégzett mérési kísérletek.
5.1. A próbatestek el®állítása A kompozit lemezek unidirekcionális üvegszálas er®sít®anyagból és h®re keményed® telítetlen poliészter gyantából készültek kézi laminálással. Az ép lemez 3 azonos orien◦ ◦ ◦ tációjú [0 ; 0 ; 0 ] rétegb®l épül fel. A delaminációt tartalmazó kompozit lemezek 4 ◦ ◦ ◦ ◦ szintén azonos elrendezés¶ rétegb®l állnak [0 ; 0 ; 0 ; 0 ] , a középs® rétegek közötti szimmetrikusan elhelyezett réteghibát formaleválasztóval bevont te on lapokkal idéztük el®.
5.1. ábra. Réteghibát tartalmazó kompozit lemezek gyártás közben
Az 5.1 ábrán delaminációt tartalmazó lemezek láthatóak gyártásuk közben. A térháló◦ sítás iniciátor hozzáadásával, légkeveréses kemencében történt 80 4 órán keresztül.
22
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA
23
5.1. táblázat. A mérések során felhasznált kompozit lemezek geometriai adatai Rétegek száma:
Szélesség:
Hossz:
Delamináció hossza:
[db]
[mm]
[mm]
[mm]
Ép lemez
3
230
300
0
Delaminált lemez 1
4
230
300
50
Delaminált lemez 2
4
230
300
5
-
Az 5.1. táblázat a lengéstani analízishez készített rétegelt kompozit lemezek f®bb geometriai adatait tartalmazza. A kompozit lemezek analitikus számításainál ezekkel az adatokkal dolgoztam.
5.2. Az anyagjellemz®k számítása Az analitikus számításhoz szükségesek a rétegelt kompozitokra jellemz® anyag paraméterek. Szakítógép segítségével méréssel meghatároztam a száliránnyal párhuzamos (E1 ) és arra mer®leges (E2 ) rugalmassági modulusokat, majd ezeket a keverék szabály segítségével ellen®riztem. A csúsztató rugalmassági modulus (G12 ), a Poisson-tényez®k (ν12 ,
ν21 )
és a s¶r¶ség (ρ) pedig csak a keverék szabály segítségével számolhatóak[1].
5.2. ábra. A szakítógéphez készített tabolt próbatest
A szakítógépen végzett méréshez 5-5 hosszirányra mer®leges és azzal párhuzamos szálirányú, három réteg¶, tabolt próbatestet használtam. Az 5.2 ábrán láthatóak a hossziránnyal párhuzamos szálirányú próbatestek. A "tabolás", azaz a keresztmetszet vastagítása a befogás mentén, elengedhetetlen a szakítógépes vizsgálatok során. Segítségükkel a tönkremenetel a minta hasznos hosszán történik meg, nem egyb®l a befogásnál, ami hibás értékeket produkálna a megnövekedett feszültség hatására [10]. A próbatestek tabolása kézi laminálással történt anyaga megegyezik a kompozit anyagával.
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA
24
5.2. táblázat. A mért rugalmassági modulusok Próbatest:
E2 [GPa]
1.
2.
3.
4.
5.
Átlag
5.24
5.19
4.74
4.83
3.79
4.76
6.
7.
8.
9.
10.
Átlag
9.19
9.16
11.6
9.9
11.7
10.3
Próbatest:
E1 [GPa]
Az egyes próbatestekre mérés alapján meghatározott er®-nyúlás görbék áttranszformálhatóak
mérnöki
feszültség-fajlagos
nyúlás
görbékké.
Ezen
görbék
lineáris
szakaszának meredekségei kis nyúlások esetén a keresett modulusoknak felelnek meg. Ezek az 5.2. táblázatban szerepelnek.
5.3. táblázat. A kompozit alkotóelmeinek anyagparaméterei a szakirodalom alapján E
G
ν
V
ρ
[Gpa]
[Gpa]
[-]
[-]
3 [g/cm ]
GF
72
33
0.12
1/3
2.6
UP
3
1
0.33
2/3
1.38
Anyag:
A méréssel nem kimérhet® anyagjellemz®ket (G12 , (E1 ,
E2 )
ν12 , ν21 ) és a már meghatározottakat
a keverék szabály alapján számítjuk. A 5.3 táblázatban a szakirodalomban
szerepl® anyagtulajdonságok és a kompozit alkotóegységeinek aránya található, melyeket grammpontos mérleggel gyártás közben mértem le. A paraméterek meghatározása tehát következ® módon történik: A száliránnyal megegyez® irányban értelmezett rugalmassági modulus:
E1 = Ef Vf + Em Vm
(5.1)
A szálirányra mer®leges irányban értelmezett rugalmassági modulus:
E2 = Ahol
Vf
Ef
az er®sít® anyagra és
az er®sít® anyag és
Vm
Em
Ef Em Em Vf + Ef Vm
(5.2)
a mátrixra jellemz® rugalmassági modulus, illetve
a mátrix anyag aránya a kompozitban.
A csúsztató rugalmassági modulus a következ® módon határozható meg:
G12 = Ahol
Gf Gm Gm Vf + Gf Vm
(5.3)
Gf az er®sít® anyagra és Gm a mátrixra jellemz® csúsztató rugalmassági modulus, Vf az er®sít® anyag és Vm a mátrix anyag aránya a kompozitban.
illetve
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA
25
A Poisson-tényez®k a következ® módon határozhatóak meg:
ν12 = νf Vf + νm Vm Ahol
νf
er®sít® anyag és
ν21
νm
az er®sít® anyagra és
Vm
(5.4)
a mátrixra jellemz® Poisson-tényez® , illetve
Vf
az
a mátrix anyag aránya a kompozitban.
számítható az (5.1) (5.2) (5.4) összefüggések alapján:
ν21 =
E2 ν12 E1
(5.5)
A keverék szabály felírható a kompozit lemez s¶r¶ségére is:
ρ = ρf Vf + ρm Vm Ahol
ρf
anyag és
az er®sít® anyagra és
Vm
ρm
(5.6)
a mátrixra jellemz® s¶r¶ség , illetve
Vf
az er®sít®
a mátrix anyag aránya a kompozitban.
5.4. táblázat. Az üvegszál/poliészter réteg anyagtulajdonsági a keverék szabály alapján:
E1
E2
G12
ν12
ν21
ρ
[GPa]
[GPa]
[GPa]
[-]
[-]
3 [g/cm ]
26
4.4
1.48
0.26
0.12
1.79
A keverék szabály alapján meghatározott anyagparamétereket az 5.4. táblázatban foglaltam össze. Látható, hogy
E1
esetében a mért és elméleti adatok nem egyeznek.
Ennek oka, hogy a tabok utólagosan lettek a lemezre laminálva, ezért ezek id® el®tt elengedték a lemezt szakítás közben.
E2 mérése közben a próbatest a mérési szempontból
hasznos részen ténylegesen elszakadt, itt az értékek közel egyeznek. Szakirodalmi adatok alapján a keverék szabály 5%-on belül becsli a kompozit anyagtulajdonságait, így a nem megfelel® tabolással kapott értékek helyett a keverékszabállyal kapott adatokat használtuk a számítások során.
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA
26
5.3. A befogó készülék A rétegelt kompozit lemez analitikus megoldása csak speciális PF-ek mellett lehetséges. Ilyenek a 3.4, a 4.6 és a 4.8 fejezetekben tárgyalt peremfeltételek. Az alkalmazott peremfeltételek valóságba való átültetése, illetve a mérés során fellép® húzó-nyomó terhelés felvétele alapozta meg a szerkezet elkészült formáját, funkcióját.
5.3. ábra. A peremfeltételeket modellez® készülék A peremfeltételeket modellez® befogó készülék tervezése során több feltételt, követelményt gyelembe kellett vennem. Az ezek alapján tervezett készülék a 5.3 ábrán látható. A tervezés során gyelembe vett fontosabb követelmények: Mivel a Lévy-féle peremfeltételek a lemez oldalsó élein egyszer¶ támaszt feltételeznek, ezért a tervezés els® lépése ennek a kialakítása volt. Az egyszer¶ támaszt egy lazán illeszked® cs® és csap kapcsolata biztosítja, mely a szögelfordulásokat lehet®vé teszi, viszont az (x, y )-síkbeli elmozdulást gátolja. A lemez alsó és fels® végénél szabad vég vagy befogás peremfeltétel alakítható ki. A következ® elvárás, a szakítógép által kifejtett
±5000 N
terhelés elviselése volt.
Ehhez masszív vázszerkezet kialakítására volt szükség, melyet több menetes kapcsolat és hegesztés segítségével valósítottam meg. A szerkezet könny¶ szerelhet®ségének és gyors legyártásának érdekében, minden egyes alkatrész szabványos elemekb®l áll. - A szakítógéphez csatlakozó csapokat és a készülék befoglaló méreteit a gép méretei alapján készítettem. A készülék méreteit úgy alakítottam ki, hogy azzal többféle geometriájú lemezt lehessen mérni.
5.4. A sajátfrekvencia-unaxiális terhelés mérésének bemutatása Ezen mérés során egy kompozit lemez els® sajátfrekvenciáit mértem ki, egytengely¶ húzó-nyomó terhelés mellett.
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA
27
5.4. ábra. A terhelés-sajátfrekvencia próba mérés összeállítása
A mérési összeállítás az 5.4. ábrán látható. Az 5.3 fejezetben részletezett befogó készülékbe belehelyeztem a lemezt, majd az egészet a M¶szaki mechanikai tanszék INSTRON Így
a
3345
lemez
szakítógépének
élein
INSTRON
befogás-befogás,
egyszer¶
2519-107
mér®cellájához
rögzítettem.
támasz
peremfeltételek
keletkeznek.
Mivel els® sajátfrekvenciákat mértem, ezért a lemez hátsó felületének középpontjára helyeztem fel egy gyorsulásmér®t, mivel várhatóan ott lesz a legnagyobb az elmozdulás. A rendszer sajátfrekvenciáit a kísérleti modális analízis segítségével határoztam meg. A sajátfrekvenciák a bemen® jel és a válasz jel frekvencia átviteli függvényér®l olvashatóak le. A bemen® jel impulzus gerjesztés, ami modális kalapáccsal ütéssel állítható el®. A kalapácsban található szenzorok küldik a programnak az ütés id®jelét (dirac-delta), ezt Gyors Fourier Transzformálva (FFT) kapjuk a frekvenciatartományon értelmezett bemen® jelet. A gerjesztésre adott válasz id®jelét egy gyorsulásmér® szenzor méri. A mért gyorsulás kétszeres id® szerinti integrálját véve az FFT adódik, ahol a válasz jel a frekvenciatartományon van értelmezve. Az egyes lengésképekhez tartozó sajátfrekvenciák leolvashatóak a bemen® és kimen® jelhez tartozó frekvenciaátviteli függvényr®l. A mérés során a szakítógép segítségével lépésenként állítottam a terhelést. Az egyes terhelésekhez tartozó els® saját frekvenciát, a terhelés közben modális analízissel határoztam meg.
5.5. A sajátfrekvencia-delamináció mérés bemutatása A mérés során középsíkjában szimmetrikusan elhelyezett, szélesség mentén átmen® delaminációt tartalmazó kompozit lemezek els® sajátfrekvenciáit vizsgáltam a delaminációs szakasz hosszának függvényében.
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA
28
5.5. ábra. A sajátfrekvencia-delamináció hossz mérés összeállítása
A mérési összeállítás az 5.5. ábrán látható. Az 5.3. fejezetben részletezett befogó készülékbe belehelyeztem a lemezt úgy, hogy fels® éle szabadon maradjon. Mivel szabad lengést vizsgáltam, így nincs szükség terhelésre, ezért a készüléket satuba rögzítettem. Így a lemez élein befogás-szabad vég, egyszer¶ támasz peremfeltételek keletkeznek. A gyorsulásmér®t a lemez hátsó felületének közepére helyeztem. A mérés során két különböz® delaminációs hosszal (5 mm és 50 mm) rendelkez® kompozit lemez sajátfrekvenciáit mértem. A mérés közben a lemezek teljes hosszát 20 mmes léptékenként szimmetrikusan csökkentettem szalagf¶résszel, és az adott hosszokhoz tartozó els® sajátfrekvenciát modális analízis segítségével határoztam meg.
6. fejezet A mért és számított eredmények bemutatása
6.1. Az ép lemez eredményei A számítás során mind a két megoldási módszerrel kiszámolható a kritikus kihajlási er® és a terheletlen esetben értelmezett els® sajátkörfrekvencia. A mérés során ezeket csak becsülni tudjuk, mivel pontosan nem tudunk ezeken a jellemz® pontokon mérni. Mivel a szakítógép null pontja nehezen beállítható, illetve a kihajlást csak nehezen lehet megtalálni modál analízis során. 6.1. táblázat. A frekvencia változás húzás esetén F [N] f [Hz]
4200
2835
3420
3070
2850
2570
2250
1970
1550
1120
760
430
245
241.5
236
231
228
224.5
220.5
215.5
209.6
202.5
192.5
186
6.2. táblázat. A frekvencia változása nyomás esteén F [N] f [Hz]
-440
-780
-980
-1280
-1680
-2150
-2560
-3000
-3300
-3700
165.5
158
154
147
137.5
128
124
274
268
173
A mért eredmények húzásra a 6.1. táblázatban és nyomásra a 6.2. táblázatban találhatóak. Ezek közül néhány jellegzetes mérési sorozat frekvenciaátviteli függvénye kerül bemutatásra a következ® oldalakon. Ezek jól szemléltetik a mérés és a számítás során vizsgált összefüggést a terhelés és a sajátfrekvencia között.
29
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA
30
6.1. ábra. Csökken® frekvencia a nyomó terhelés hatására
A 6.1. ábrán látható a nyomó terhelés hatására bekövetkez® frekvencia csökkenés, az els® sajátfrekvenciák esetében ez nyíllal jelölve van. Látható, hogy növelve a nyomó terhelést a frekvenciák a tengely felé tolódnak.
6.2. ábra. Növekv® frekvencia a húzó terhelés hatására
A 6.2. ábrán látható a húzó terhelés hatására bekövetkez® frekvencia növekedés, az els® sajátfrekvenciák esetében ez nyíllal jelölve van. Látható, hogy növelve a húzó terhelést a frekvenciák a tengelyt®l távolodnak.
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA
31
6.3. ábra. Átviteli függvény a kritikus kihajlási er®t elérve. (Látható, hogy az els® sajátfrekvencia elt¶nik.)
Nyomásnak kitéve a lemez a transzverzális elmozdulás mindaddig kvázi zérusok marad, amíg a lemez el nem éri a kritikus kihajlási er®t. A klasszikus kihajlási elmélet szerint ekkor a lemez új egyensúlyi helyzetet vesz fel, melynek alakja megegyezik az els® módus alakjával. Ezen egyensúlyi útvonalak vannak I. és II.-vel jelölve az 6.4. ábrán. A valóságban természetesen a stabilitásvesztés nem hirtelen következik be,
6.4. ábra. Horpadási bifurkációs diagram a terhelés függvényében [11]
hanem a gyártási tökéletlenségek miatt már el®bb elkezd a lemez deformálódni, a kritikus kihajlási értéket átlépve pedig a deformáció nagyobb léptékkel növekszik [11].
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA
32
Ez az egyensúlyi útvonal van szemléltetve az V.-ös útvonallal. Ahogy a mérés során átléptük a kritikus kihajlási értéket a lemez deformációja szemmel láthatóan is az els® lengésképpel megegyez® kihajlási módus alakját vette fel, emiatt a modális analízissel az els® lengéskép nehezen mérhet®vé vált. Egy ilyen post-buckling helyzetbeli mérés átviteli függvényét mitatja a 6.3. ábra.
6.5. ábra. A frekvencia ismét mérhet® a kihajlás után
Növelve a kompressziót a lemez deformációja tovább halad az els® horpadási módus egyensúlyi útján egészen addig, amíg a felhalmozódó energia elég nagy nem lesz, hogy a lemez új egyensúlyi helyzetbe menjen át [11]. Ekkor a deformáció a második módus szerint alakul, így a modális analízis ütésgerjesztésével újra mérhet®vé válik az els® lengéskép által okozott gyorsulás. Vélhet®en ezt a jelenséget tapasztaltuk a lemez kritikus kihajlási er®n túli terhelésekor. Egy ilyen mérési pontot szemléltet a 6.5. ábra, ahol a megváltozott horpadási alak miatt a lemez az els® sajátfrekvencia újra mérhet®vé vált.
6.3. táblázat. A mérési és számítási eredmények Sajátfrekvencia [Hz] Kihajlási terhelés [N]
Próbafüggvényes megoldás
Mérés
136.8
175.4
-2970
-4136
Mint az látható a 6.3. táblázatban és a 6.6. ábrán a számítás során használt módszer a sajátkörfrekvenciát alul becsüli a méréshez képest. Jól látható viszont, hogy egymáshoz képest nagyon kicsi az eltérés. Az állapottér modellel számított sajátkörfrekvencia 136.8 Hz -re adódott. Az eltérés adódhat abból, hogy az állapottér modell gyelembe
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA
33
6.6. ábra. A frekvencia-terhelés görbék számítás és mérés esetén
(a) Az els® lengés-
(b) A második len-
(c)
kép
géskép
lengéskép
A
harmadik
6.7. ábra. Lengésképek
veszi a membrán mozgásokat is, az azonban látszik, hogy a számított értékek hasonló nagyságrendbe esnek, így a zárt alakú képlet levezetésnél a szabadlengésb®l számított paraméter alkalmazható a terhelt esetben is. A
25 %-os relatív eltérés a mért frekvenciá-
hoz képest vélhet®en, az analitikus modell során alkalmazott közelít® Kirchho elmélet közelítéseib®l és az egyéb elhanyagolásokból fakad. Továbbá a mérések során adódó bizonytalanságok is torzíthatnak a kapott eredmények viszonyán. A mérések során, felhasználtuk az állapottér modell segítségével meghatározott lengésképeket a gyorsulás érzékel® ideális helyének meghatározásához. A számított értékek a 6.4. táblázatban a hozzájuk tartozó alakok pedig a 6.7. ábrán láthatóak. 6.4. táblázat. A lemez sajátfrekvenciái: Sajátfrekvencia [Hz]
I.
II.
III.
136.8
701.9
1153.2
Összességében elmondhatjuk, hogy a mért és a számított értékek nagyon jó egyezést mutatnak, így a levezetett zárt alakú képlet alkalmas lehet a kompozit lemezek hajlítómerevségeinek a visszaszámítására amennyiben további információk állnak rendelkezésünkre a próbatestr®l. Továbbá a mérés és a számítás egyezése jelen esetben igazolja a saját tervezés¶ szakirodalomban eddig nem közölt befogókészülék m¶ködésének helyességét, mely alkalmas az analitikus eredmények mérés útján történ® validálására.
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA
34
6.2. A delaminált lemez eredményei A mérés célja a lemezhossz és a delamináció arányában megmutatni a sajátfrekvenciák változását, ami alkalmas lehet a rétegelt kompozitokban kialakuló réteghibák detektálására. A mérés az 5.5. fejezetben leírtak szerint két próbatest hosszának szimmetrikus csökkentésével lett elvégezve. A mérés során a befogás, szabad vég peremfeltételek mellett végzett, 50 mm hosszú delaminációval rendelkez® kompozit lemez mérési eredményei a 6.5 táblázatban, az 5 mm hosszú delaminációval rendelkez® kompozit lemez mérési eredményei a 6.6 táblázatban találhatóak. 6.5. táblázat. Az 50 mm hosszú delaminációt tartalmazó lemez sajátfrekvenciái Lemezhossz: [mm] Frekvencia [Hz]
300
280
260
240
220
200
180
195
220
246
288
340
420
480
6.6. táblázat. Az 5 mm hosszú delaminációt tartalmazó lemez sajáfrekvenciái Lemezhossz: [mm] Frekvencia [Hz]
300
280
260
240
220
200
180
197
221
252
279
305
375
452
A 6.8 ábrán látható, hogy a lemez hosszához képest kis delamináció nem befolyásolja jelent®sen a sajátkörfrekvenciát. Azonban ahogy lemez mérete csökken és így a delamináció és a hossz aránya változik a két görbe fokozatosan eltér egymástól. Érdekes jelenség, amit a mérés során tapasztaltunk, ugyanis ahogy azt a 6.8. ábra is mutatja a nagyobb delaminációval rendelkez® próbatest merevebben viselkedik ugyanakkora lemezhossznál.
6.8. ábra. A delaminált lemezek mért sajátkörfrekvenciái A jelenség oka lehet mérési hiba, mivel minden egyes méréshez a mér®rendszert újra szét és össze kellett szerelni, és így a változó hossz miatt nehéz biztosítani ugyanazokat
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA
35
a peremfeltételeket és ugyanazt az ütésgerjesztést a modális analízis során. Másik ok lehet, hogy a delamináció az 5.1. fejezetben leírtak szerint lett kialakítva, azonban a beiktatott te on lapokat utólag nem tudtuk kiszedni a próbatestb®l, így nem biztos, a delamináció hatása megfelel®en tudott érvényesülni a mérések során. Továbbá fontos megjegyezni, hogy bár a mérés során a gyorsulásmér® és az ütés gejesztés helyét az analitikusan számolt lengésképek alapján határoztam meg a mérések során nem az els® sajátfrekvenciát mértük, hanem magasabb módust, mivel ebben tartományban sikerült jó impulzus jelleg¶ gerjesztést el®állítanunk. Ezzel szemben a számítások során kapott eredmények követik a zikai érzékünknek megfelel® trendet és a nagyobb delaminációt tartalmazó modell lágyabban viselkedik. A számított értékek a 6.6. és 6.5. táblázatokban találhatók. Meg gyelhet®, hogy a delamináció okozta eltérés a frekvenciában a magasabb harmadik módusban szigni kánsabban jelentkezik. Ennek oka lehet, a modellben a delaminált szakaszon el®írt közös elmozdulásmez®, mely merevíti egyrészt a rendszert másrészt csökkenti a delamináció hatását. 6.7. táblázat. A kompozit lemez számolt sajátkörfrekvenciái 5 mm delaminációs hossz esetében Lemezhossz [mm] Sajátfrekvencia II. [Hz] Sajátfrekvencia III. [Hz]
300
280
260
240
220
200
180
98.2
108.9
124.6
143.1
167.1
198.7
241.5
242.2
275.6
317.3
369.9
437.5
526.3
646.2
6.8. táblázat. A kompozit lemez számolt sajátkörfrekvenciái 50 mm delaminációs hossz esetében Lemezhossz [mm] Sajátfrekvencia II. [Hz] Sajátfrekvencia III. [Hz]
300
280
260
240
220
200
180
99.4
111.1
125.6
143.9
167.6
198.7
240.7
228.6
256.9
290.9
332.1
382.3
444.5
523.1
A 6.9. és 6.10. ábrákon jól látható, hogy számítás során kapott trendek egyeznek a mérés alapján felvett görbék trendjeivel. A harmadik sajátfrekvencia esetében a számításokat minden lemezhosszúságra kiszámoltam, ábrázolni viszont a szemléletes ábra érdekében nem ábrázoltam. Ugyan a fentebb említett okok miatt a valós méréshez a jelenleg rendelkezésünkre álló adatok alapján nem tudjuk felvenni a kívánt görbét a 6.11. ábrán bemutatásra kerül a számított adatok alapján elkészített normált delamináció frekvencia függés görbe. A görbén jól látható, hogy a delamináció növekedésével a frekvenciák aránya egyre inkább eltolódik, így a kapott összefüggés alkalmas lehet delaminációk detektálására.
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA
36
6.9. ábra. Az 5 mm hosszú delaminációt tartalmazó lemezek mért és számított sajátkörfrekvenciái
6.10. ábra. Az 50 mm hosszú delaminációt tartalmazó lemezek mért és számított sajátkörfrekvenciái
6.11. ábra. A számított eredményekb®l készített normált delaminációs hossz sajátkörfrekvencia diagram
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA
37
6.3. Az eredmények gyakorlati alkalmazása Összességében elmondható, hogy munkám során sikerrel vezettem le a rétegelt ideálisan ortotróp lemezek sajátkörfrekvencia-uniaxiális terhelés zárt alakú formuláját, mely a szakirodalomban a karakterisztikus egyenlet bonyolultsága miatt legjobb ismereteink szerint nem fellelhet®. A kapott formula alapján sikerrel validáltam az általam tervezett speciális befogókészüléket, mely képes változatos peremfeltételek el®állítására, melyekre a Lévy-féle megoldási módszer segítségével analitikus megoldások is léteznek, így lehet®ségünk nyílt az analitikus eredmények méréssel való egzakt összevetésére. A mérés és a számítás jó egyezése lehet®séget nyit arra is, hogy a próbatestekr®l rendelkezésünkre álló további információk esetén a próbatest hajlítómerevségeit visszaszámítsuk, így az elvégzett munka alapja lehet új roncsolásmentes anyagvizsgálati eljárásnak. Ezen gondolat alapján levezettem a delaminált lemez sajátkörfrekvenciáinak analitikus modelljét. A kapott modell eredményei alapján egyértelm¶ összefüggés mutatkozik a delaminációs hossz és a sajátkörfrekvenciák között, így megfelel®en normált görbék esetén a módszer alkalmas lehet változatos méret¶ és anyagú próbatestek réteghiba vizsgálatára. A levezetett formulát igyekeztem méréssel is igazolni azonban az el®z® fejezetben taglalt mérési bizonytalanságok miatt a jelenleg rendelkezésünkre álló információk alapján nem sikerült a kapott elméleti görbét méréssel is alátámasztani. Ezen kutatási terület azonban jelent®s potenciált rejt magában, így a szakdolgozatomig mindenképp szeretnék további méréseket végezni, olyan próbatesteken ahol a lemezhossz konstans és a delaminációs hosszot változtatom, hogy a mérések során a peremfeltételek és a modális kalapácsos gerjesztés jobban reprodukálható legyen.
Irodalomjegyzék
[1] J N Reddy, Mechanics of laminated composite plates and shells - Theory and analysis, CRC Press, Boca Raton, London, New York, Washington D.C., 2004.
[2] Lászlo P. Kollár, Buckling of rectangular composite plates with restrained edges subjected to axial loads, Journal of Reinforced Plastics and Composites, 33(23):21742182, 2014. [3] Gábor Stépán, Mechanika jegyzet. [4] P.M. Mujumdar and S. Suryanarayan, Flexural vibration of beams with delaminations, Journal of Sound and Vibration, 125(3):441461, 1988. [5] D Shu and C N Della, Vibration of delaminated multilayer beams, Composites Part B - Engineering, 37:227236, 2006.
[6] M. Kharazi and H.R. Ovesy and M. Asghari Mooneghi, Buckling analysis of delaminated composite plates using a novel layerwise theory, Thin-Walled Structures, 74(0):246 254, 2014.
[7] Yujie Guo and Martin Ruess and Zafer Gürdal, A contact extended isogeometric layerwise approach for the buckling analysis of delaminated composites, Composite Structures, 116(0):55 66, 2014.
[8] J Wang and L Tong, A study of the vibration of delaminated beams using a nonlinear anti-interpenetration constraint model, Composite Structures, 57(14):483488, 2002. [9] A Szekrényes, The system of exact kinematic conditions and application to delaminated rst-order shear deformable composite plates, International Journal of Mechanical Sciences, 77:1729, 2013.
[10] Don Adams, Tabbing composite test specimens: When and why, 2011. [11] Hui-Shen Shen, A two-step perturbation method in nonlinear analysis of beams, plates and shells, volume 11, Wiley, 2013.
38
