TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ! HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

H7uj_1-8_4korr:Layout 1

2013.05.08.

17:35

Page 3

TARTALOMJEGYZÉK

ELŐSZÓ

............................................................

1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!

7

.............................

9

Mit tanultunk a számokról? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Hatványozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 A hatványozás azonosságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1-nél nagyobb számok normálalakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Számelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Osztó, többszörös, oszthatósági szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Törzsszámok, összetett számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Racionális számokkal végzett műveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Összevonás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Közös osztó, közös többszörös alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Szorzás, osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Mennyiségek törtrésze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Arány, arányos osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Százalékszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kamatos kamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Statisztikai számítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Valószínűségi kísérletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Gyakorló- és fejtörő feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Hozzárendelések vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Függvények értelmezése, vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Egyenes arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Lineáris függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A sorozat mint függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Fordított arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Gyakorló- és fejtörő feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3


2013.05.08.

17:35

Page 4

3. EGYBEVÁGÓSÁG

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Ismerkedés a pont-pont függvényekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Az elmozdulás megadása irányított szakasszal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Eltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Tengelyes tükrözés, tengelyesen szimmetrikus síkidomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Középpontos tükrözés, középpontosan szimmetrikus síkidomok . . . . . . . . . . . . 116 Szögpárok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Az elfordulás mértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Forgatás, forgásszimmetrikus síkidomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Gyakorló- és fejtörő feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4. ALGEBRA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Műveleti tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Ismerkedés az algebrai kifejezésekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Algebrai kifejezések helyettesítési értékének meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . 139 Egynemű, különnemű algebrai kifejezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Egynemű algebrai kifejezések összevonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Egytagú kifejezés szorzása, osztása egytagú kifejezéssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Többtagú kifejezés szorzása egytagú kifejezéssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Algebrai egészekkel végzett műveletek gyakorlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Egyenlet, egyenlőtlenség, azonosság, azonos egyenlőtlenség . . . . . . . . . . . . . . . 155 Egyenletek megoldása a két oldal egyenlő változtatásával . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Egyenlőtlenségek megoldása a két oldal egyenlő változtatásával . . . . . . . . . . . 162 Törtegyütthatós egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . 165 Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel . . . . . . . . . . . . . 171 Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásának gyakorlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5. SÍKIDOMOK, TESTEK

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Alapfogalmak, alaptételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Síkidomok, sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Háromszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 A háromszögek szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Négyszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 A trapéz szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Paralelogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 A paralelogramma szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4


2013.05.08.

17:35

Page 5

A sokszögek területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A négyszögek területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tetszőleges sokszög területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szabályos sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kör kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kör területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sokszöglapokkal határolt testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A hasáb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A hasáb származtatása, hálója, felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egyenes hasáb térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egyenes körhenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egyenes körhenger származtatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egyenes körhenger felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egyenes körhenger térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fejtörő feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feleletválasztásos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221 222 229 230 231 233 234 238 241 243 243 246 253 253 255 257 259 262 263

6. ÖSSZEFOGLALÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Számtan, számelmélet, algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Geometria, mérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7. KISLEXIKON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

A Wikipédiáról származnak a következő fotók (a szám az oldalszámot, a betű az oldalon belüli sorrendet jelöli, a kép után a szerző, majd zárójelben a licenc típusa látható, ahol nincs, az szabad felhasználású kép. Bővebben: http://commons.wikimedia.org/wiki/Commons/Copyright_tags): 9, 20, 23 Adam Jones (cc-by-sa 3.0), 24 Lodo27 (cc-by-sa 3.0), 47, 51 Ciar (cc-by-sa 3.0), 60, 64 Tigerente (cc-by-sa 3.0), 69 Richard Bartz (cc-by-sa 3.0), 81 Terence Ong (cc-by 2.5), 110 Fanny Schertzer (cc-by-sa 3.0), 121, 135 Georg Johann Lay (cc-by-sa 3.0), 147, 176, 256, 265

5


G 3.

2013.05.08.

16:24

Page 101

EGYBEVÁGÓSÁG

Korábban így értelmeztük az egybevágóságot: Egybevágó két alakzat, ha valamilyen mozgatással vagy tükrözéssel kölcsönösen fedésbe hozhatók egymással. Ez a meghatározás újabb öszszefüggések felismeréséhez vezethet.

›

ISMERKEDÉS A PONT-PONT FÜGGVÉNYEKKEL

FELADATOK

1

Minden feladathoz másold le az ábrát, majd add meg a megjelölt pontok koordinátáit!

a) Tükrözd a „bódét” az y tengelyre, és add meg a tükrözéssel kapott „bódé” megfelelő pontjainak koordinátáit! Hasonlítsd össze az eredeti pontok és a tükrözéssel kapott képpontok koordinátáit! Mit tapasztalsz? Melyik jelzőszám változott, és hogyan? b) Told el jobbra 8 egységgel a megjelölt pontokat! Ábrázold az így kapott képpontokat, és rajzold meg a „bódé” eltolással kapott képét! Hasonlítsd össze az eredeti pontok és az eltolással kapott képpontok koordinátáit! Melyik jelzőszám változott, és hogyan? c) A megjelölt pontok második jelzőszámát szorozd meg 2-vel, az első jelzőszámot hagyd változatlanul! Ábrázold az így kapott pontokat! Az új alakzat szakaszait és szögeit hasonlítsd össze az eredeti alakzat megfelelő szakaszaival és szögeivel! d) A megjelölt pontok mindkét jelzőszámát szorozd meg −1-gyel! Ábrázold az így kapott pontokat, és rajzold meg az új alakzatot zöld színnel! Az új alakzat szakaszait és szögeit hasonlítsd össze az eredeti alakzat megfelelő szakaszaival és szögeivel!

2

Mely háromszögek hasonlók a kiszínezett háromszöghöz, vagyis melyek

a) nagyítások;

b) kicsinyítések;

c) egybevágók vele?

Az a), a b) és a d) fel-

adatban áttetsző papírra másold át az eredeti „bódét”! Próbáld ezt a papírlapot a füzetlap síkjában úgy elmozdítani, hogy a kapott képre illeszkedjék! Gyakorló 6.01−6.07.

Indokold, hogy miért hasonlók, illetve miért nem hasonlók az egyes három-

szögek egymással!

101


2013.05.08.

16:24

Page 102

› Ismerkedés a pont-pont függvényekkel 3. EGYBEVÁGÓSÁG G

1. példa A koordináta-rendszerben adott alakzat minden pontjához rendeljünk hozzá egyegy pontot az adott szabály szerint.

a) Cseréljük meg a pontok első és második koordinátáját. b) Szorozzuk meg a pontok mindkét koordinátáját (−1)-gyel. c) Cseréljük meg a pontok első és második koordinátáját, majd változtassuk meg a második koordináta előjelét.

d) Adjunk a pontok első koordinátájához 10-et, a második koordinátájához 2-t. e) Szorozzuk meg a pontok első koordinátáját (−1,5)-del, a második koordináta maradjon változatlan.

f) Szorozzuk meg a pontok mindkét koordinátáját (−1,5)-del. Az első négy hozzáren-

delés esetén minden szakasz képe egy ugyanolyan hosszú szakasz lett, bármely szög képe ugyanakkora, mint az eredeti szög. Ezért az alakzat képe ugyanolyan alakú és méretű, mint az eredeti alakzat. Pauszpapírral ellenőrizhető, hogy az alakzat a b), c), d) feladatban síkmozgással kölcsönösen fedésbe hozható a képével. Az a) feladatban át kell fordítanunk a pauszpapírt.

a

b

A t tengelyre tükröztük az alakzat minden pontját.

Az O pont körül 180°-kal elforgattuk az alakzat minden pontját.

c

Az O pont körül 90°-kal elforgattuk az alakzat minden pontját. Figyeld meg: az f ) leké-

pezésben az alakzat képe ugyanolyan alakú, de nem ugyanolyan méretű, mint az eredeti alakzat.

e

d

A nyíl irányában, adott távolságra eltoltuk az alakzat minden pontját.

f

Számold össze, hány kis

négyzet az egyik, hány kis négyzet a másik „kutyus” területe! Egyik irányban megnyújtottuk az alakzatot. Sem a kép alakja, sem a kép mérete nem egyezik meg az eredeti alakzatéval.

102

Minden vonalat 1,5-szeresére nagyítottunk. Az eredetihez hasonló alakzatot kaptunk.


2013.05.08.

16:24

Page 103

Értelmezések Geometriai transzformációnak nevezzük az olyan függvényt, amely egy alakzat minden pontjának egy-egy pontot feleltet meg. A feladatok megoldásakor vizsgálhatjuk például, hogy a transzformációban bármely folytonos vonal képe folytonos vonal-e;

bármely egyenes képe egyenes-e; van-e olyan pont, amelynek a képe saját maga; bármely szakasz képe ugyanolyan hosszú-e, mint az eredeti szakasz; bármely szakasz párhuzamos-e a képével; bármely szög képe ugyanakkora-e, mint az eredeti szög; az alakzat kölcsönösen fedésbe hozható-e a képével; az alakzatnak és a képének az alakja megegyezik-e; az alakzatnak és a képének az alakja is és a mérete is megegyezik-e. Egybevágóságnak nevezzük a geometriai transzformációt, ha bármely két pontot összekötő szakasz képe ugyanolyan hosszúságú, mint az eredeti szakasz. Az egybevágósági transzformációban az eredeti alakzat és a képe egybevágó, vagyis ugyanolyan alakú és méretű. Az egybevágóság jele: ≅ Az egybevágóságból következik a megfelelő szögek, a kerületek, a területek egyenlősége is (β = β’ = 97°; K = K ’; T = T’).

Ha két alakzat egybevágó, akkor az egyik alakzat bármely két pontját összekötő szakasz ugyanolyan hosszúságú, mint a másik alakzat megfelelő pontjait összekötő szakasz; PQ = P’Q’ Ha két alakzatra igaz, hogy az egyik alakzat bármely két pontját összekötő szakasz képe ugyanolyan hosszú, mint a másik alakzat megfelelő pontjait összekötő szakasz, akkor a két alakzat egybevágó. Az előző két mondatban 2-2 állítást kötöttünk össze, de a sorrendjüket felcseréltük. Megállapíthatjuk, hogy az egyik állítás igazságából következik a másik állítás igazsága, és viszont. A két állítás felcserélhető.

A kék óralapot balra a piros óralap körül görgetjük. A különböző helyzetekben írd be a kék óralapba a 3, 6, 9, 12 számokat!

103


2013.05.08.

16:24

Page 104


2. példa Kétféle deltoiddal parkettáztuk a síkot. Képzeljük el, hogy ez a minta minden irányban folytatódik a felismerhető szabály szerint. Figyeljünk meg különböző egybevágósági transzformációkat a mintán.

Például az ábra bal felső sarkában lévő deltoid különböző irányokban és távolságokra eltolva újra és újra megjelenik. Ez a megállapítás igaz a parkettaminta egyéb részleteire is. Az alakzat minden pontja ugyanakkora távolságra, ugyanolyan irányban mozdul el, ezért az alakzat alakja és mérete nem változik. A szakasz és a képe ugyanolyan hosszú és párhuzamos egymással. Eltolással az eredeti alakzattal egybevágó alakzatot kapunk.

Ha például az ábrán kékkel megrajzolt t tengelyre tükrözzük az egyes alakzatokat, akkor a minta részletei kölcsönösen fedik egymást. Bármely szakasznak és a képének a hossza megegyezik. Tengelyes tükrözéssel az eredeti alakzattal egybevágó alakzatot kapunk. Keress más tükörtengelyeket, amelyekre tükrözve a minta megfelelő részletei kölcsönösen fedik egymást! ›››

104


2013.05.08.

16:24

Page 105

››› Akkor is kölcsönösen fedésbe kerülnek az ábra megfelelő részletei, ha például az ábrát az O pont körül 180°-kal elforgatjuk. Bármely szakasz és a képe ugyanolyan hosszú, és párhuzamos egymással. Az elforgatással az alakzat alakja és mérete nem változik meg. Az O pont körüli 180°-os elforgatással az eredeti alakzattal egybevágó alakzatot kapunk. Keress más középpontokat, amelyek körül 180°-kal elforgatva a minta megfelelő részletei kölcsönösen fedik egymást! Ne feledd, a mintát minden irányban a végtelenségig folytatva képzeljük el!

Ha például az O pont körül 90°-kal elforgatjuk az ábrát, akkor bármely szakasznak és a képének megegyezik a hosszúsága. Az elforgatással az alakzat alakja és mérete most sem változik meg. Az O pont körüli bármekkora szöggel történő elforgatással az eredeti alakzattal egybevágó alakzatot kapunk. Keress más középpontokat, amelyek körül 90°-kal elforgatva a minta megfelelő részletei kölcsönösen fedik egymást! A mintát minden irányban a végtelenségig folytatva képzeljük el.

FELADATOK

Színezd különböző színnel a sárga deltoid képét, ha a mintát 180°-kal elforgatjuk az A pont körül; a B pont körül; a C pont körül; a D pont körül!

3 a) b) c) d)

Melyik deltoid lesz a sárgára színezett deltoid képe, ha a 3. feladatban adott forgatásokat egymás után úgy hajtjuk végre, hogy mindig az előző forgatásban kapott képet forgatjuk tovább 180°-kal az adott pont körül?

105


2013.05.08.

16:24

Page 106


4

Egybevágó négyszögekkel parkettáztuk a síkot. Sorold föl, milyen egybevágósági transzformációkat figyelhetsz meg az egyes parkettamintákon!

5

Milyen geometriai transzformációkkal kerülhet az 1 rombusz a a 2 rombusz; a 3 rombusz; a 4 rombusz; az 5 rombusz; az A rombusz; a B rombusz; a C rombusz; a D rombusz; az E rombusz; az F rombusz; helyére? Minden esetben keress több megoldást!

Szerkessz ABC szabályos háromszöget, amelynek oldalai 3,2 cm-esek! Szerkeszd meg az ma magasságát, ennek talppontja legyen T! Szerkeszd meg az ABC-nek az egyes transzformációkban kapott képét, ha az AB nyíl irányában és hosszával eltolod a háromszöget; az AT nyíl irányában és hosszával eltolod a háromszöget; a BC oldalegyenesre tükrözöd a háromszöget; az AT magasságvonalra tükrözöd a háromszöget; az A pont körül 180°-kal elforgatod a háromszöget; a T pont körül 180°-kal elforgatod a háromszöget; az A pont körül balra 60°-kal elforgatod a háromszöget!

6 a) b) c) d) e) f) g)

Kísérletezz!

106

Ödömér szerint az 5. feladatban egyetlen elforgatással az 1 rombusz a D rombusz helyére kerülhet. Ha igaza van Ödömérnek, akkor hol van az elforgatás középpontja, és hány fokkal történik az elforgatás?


›

2013.05.08.

16:24

Page 107

AZ ELMOZDULÁS MEGADÁSA IRÁNYÍTOTT SZAKASSZAL

1. példa Egy helikopter pilótája azt a feladatot kapja, hogy egy terepről készítsen légi felvételt. A következő információk közül melyik szükséges ahhoz, hogy végrehajthassa az utasítást? A: A terep az állomástól 20 km távolságra van. B: A terep az állomástól északnyugatra fekszik. Ha a pilóta csak azt az utasítást kapja, hogy repüljön el 20 km távolságra és készítsen egy légi felvételt, akkor nem tudja egyértelműen elvégezni a feladatot. Az ábrán A-val jelöltük az állomás helyét.

Akkor sem tudhatja, hogy mit kell lefényképeznie, ha a parancs úgy szól, hogy az állomástól északnyugati irányban lévő terepről készítsen felvételt.

Egyértelművé akkor válik az utasítás, ha az irányt és a távolságot egyaránt megjelölik benne. Ebben az esetben a helikopter útját egy irányított szakasszal jellemezhetjük.

Értelmezések Az AB irányított szakaszt vektornak nevezzük. Írásban ezt így jelöljük: AB

(olvasd: AB vektor).

Két vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha egyirányúak és a hosszúságuk is egyenlő.

Ezek a vektorpárok nem egyenlők, mert nem egyirányúak.

Ezek a vektorpárok sem egyenlők, mert nem egyenlő a hosszuk.

107


2013.05.08.

16:24

Page 108

› Az elmozdulás megadása irányított szakasszal 3. EGYBEVÁGÓSÁG G

Értelmezések Ezek a vektorpárok egyenlő hosszúak, de ellentétes irányúak. Az egyenlő

hosszú, de ellentétes irányú vektorokat ellentett vektoroknak nevezzük. Ha a vektort a-val jelöljük, akkor az ellentettjét –a-val. Az AB és a BA ellentettjei egymásnak.

FELADATOK

7

Térkép alapján állapítsd meg, hogy milyen irányban és mekkora távolságra van Hatvantól

a) Szeged;

8

b) Győr;

tünk egyenlőnek?

Gyakorló 7.05−7.11.; Feladatgyűjtemény 4.1.01−03. A vektorok megrajzolása

nélkül hogyan határoztad volna meg ezeknek a vektoroknak a végpontját?

108

9

d) Mezőtúr;

e) Békéscsaba!

Mekkora szöget zárnak be az ábrán a vektorok? Melyik vektor hosszabb?

a) AB vagy AC ;

Két vektort mikor tekin-

c) Debrecen;

b) PQ vagy PR ;

c) a vagy b;

d) u vagy v

Melyek azok a vektorok az ábrán, amelyek egyenlők? Melyek azok, amelyek ellentettjei egymásnak?

Rajzold meg a derékszögű koordináta-rendszerben az AB -t, ha az A(0; −2), 10 B(−3; 0)! a) Rajzolj olyan vektorokat, amelyek egyenlők az AB -ral, és kezdőpontjuk rendre C(−2; 0), E(5; −2), F(0; −4), O(0; 0)! b) Rajzolj olyan vektorokat, amelyek ellentettjei az AB -nak, és amelyek kezdőpontja rendre G(−2; −2), A(0; −2), B(−3; 0), O(0; 0)! c) Határozd meg az S pont koordinátáit, ha RS = AB és R(56; −75)! d) Határozd meg a T pont koordinátáit, ha RT = BA és R(56; −75)!

›

bővített szint

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


B1 a) b) c) d) e) f)

2013.05.08.

16:24

Page 109

Milyen irányban és mekkora távolságra jut a helikopter az A állomástól,

ha kelet felé repül 3 km-t, majd nyugat felé 5 km-t; ha kelet felé repül 4 km-t, majd nyugat felé 4 km-t; ha kelet felé repül 5 km-t, majd nyugat felé 3 km-t; ha észak felé repül 5 km-t, majd kelet felé 3 km-t; ha észak felé repül 5 km-t, majd délkelet felé 3 km-t; ha észak felé repül 3 km-t, majd délkelet felé 5 km-t?

Minden esetben rajzold

meg (egy A pontból) a helikopter útvonalát! Ami a valóságban 1 km, az a rajzban 1 cm legyen. A helikopter mozgását nyíllal ábrázold!

Egy téglatest adott A csúcsából kiinduló élvektorai a, b, c az ábra szerint. Sorold fel és jelöld a kezdő- és a végpontjukkal azokat az élvektorokat, amelyek az a-ral egyenlők! Sorold fel és jelöld a kezdő- és a végpontjukkal azokat az élvektorokat, amelyek a b ellentettjei! Mi mondható az AF és GD vektorpárról? Mi mondható az AG és FD vektorpárról?

B2 a) b) c) d)

B3

Egy téglatest adott A csúcsából kiinduló élvektorai a, b, c a B2. feladat ábrája szerint.

Az a, b, c segítségével írd le a mozgást!

a) Egy katicabogár az A pontból kiindulva elmozdul először a, majd b vektorral. Melyik pontba jut? Mely vektorral elmozdulva jutott volna ide legrövidebb úton? b) Egy katicabogár az A pontból kiindulva elmozdul először a, majd b, végül c vektorral. Melyik pontba jut? Mely vektor mentén repülhetett volna ugyanide? c) Egy katicabogár a A pontból kiindulva elmozdul először c, majd b, végül a vektorral. Melyik pontba jut? d) Egy katicabogár a B pontból kiindulva elrepül a BH mentén. Melyik pontba jut? Az élek mentén mely vektorral elmozdulva jutott volna ugyanoda? Egy katicabogár P pontból kelet (K) felé megy 2 cm-t, majd elfordul ÉK felé, és további 2 cm-es utat tesz meg. Ezután folytatja az útját, mindig 2 cm-t megtéve, É, ÉNy, Ny, DNy, D, végül DK felé. a) Az útvonala milyen alakzatot ír le? b) A nyolc elmozdulás után hová kerül? c) Alkalmanként mekkora szöggel fordult el? d) Mennyi az elfordulás szögeinek összege? Egy szafari vezetője kisrepülőgéppel terepszemlét tart, és a mutatós óra számlapjának segítségével határozza meg a repülés irányát: A repülő pillanatnyi iránya mindig 12 óra, ha ettől az iránytól például jobbra 60°-kal el kíván fordulni, akkor 2 óra irányt jelöl meg. Az indulástól számítva ötpercenként a következő utasításokat adja a pilótának: forduljunk 11 óra; 3 óra; 4 óra; 11 óra, végül 1 óra irányába. 5 perc eltelte után milyen irányú elfordulással és hány perces repüléssel érhetnek vissza a támaszpontra?

Tételezzük fel, hogy tel-

jes szélcsend van, és a repülőgép egyenletes sebességgel halad. Szerkeszd meg az útvonalat!

109


2013.05.08.

16:24

Page 110

a) a folyó folyásának irányában evez; b) a folyó folyásával ellentétes irányban evez? A kajak elmozdulása álló vízben:

1 s alatt 2,5 m 30 s alatt 75 m A folyóvíz sodrása: 1 s alatt 1,5 m 30 s alatt 45 m Az elmozdulás vektormennyiség, amelyet a nagysága nem jellemez egyértelműen. Figyelembe kell vennünk az elmozdulások irányát is.

a A két elmozdulásvektor párhuzamos és egyirányú. A folyó sodrása

Elmozdulás az evezés hatására

A tényleges elmozdulás így szerkeszthető meg.

Tényleges elmozdulás


Ami a valóságban 1 m, az a rajzon legyen 1 mm.

A folyó sodrása

Vagy így.

Tényleges elmozdulás A kajak tényleges elmozdulása a rajzon 120 mm, a valóságban 120 m. Az elmozdulás iránya megegyezik a folyó sodrásának irányával.

b A két elmozdulásvektor párhuzamos, de ellenkező irányú. Tényleges elmozdulás

A folyó sodrása

Ami a valóságban 1 m, az a rajzon legyen 1 mm. A tényleges elmozdulás így szerkeszthető meg.


A folyó sodrása

Tényleges elmozdulás

Vagy így.


›

A kajak tényleges elmozdulása a rajzon 30 mm, a valóságban 30 m. Az elmozdulás ellenkező irányú, mint a folyó sodrásának iránya.

bővített szint

2. példa Egy kajakozó álló vízben evezve másodpercenként 2,5 m-t tenne meg. A folyó vize másodpercenként 1,5 m-t folyik előre. Mekkora utat tesz meg ténylegesen a kajakozó a folyóban 30 s (másodperc) alatt, és milyen irányban mozdul el, ha

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

› Az elmozdulás megadása irányított szakasszal 3. EGYBEVÁGÓSÁG G

110


›

2013.05.08.

16:24

Page 111

ELTOLÁS

Egyenes lejtőn úgy csúszik le egy szánkó, hogy minden pontja egyenes vonalon halad (a szánkó nem borul fel, nem fordul el). Egy adott időtartam alatt a szánkó az helyzetből a helyzetbe jut, az A pontja az AA′-ral elmozdulva az A′ pontba kerül.

Mivel a szánkó alakja és nagysága a mozgás során nem változik, akármelyik P pontja ugyanolyan irányban mozdul el, és ugyanak′ kora utat tesz meg, mint az A pontja: PP = AA′ = a.

Már korábban is rajzoltunk párhuzamos egyeneseket eltolással.

FELADATOK

11

Színezd ki egyforma

Keresd meg azokat az alakzatokat, amelyeket egymásból eltolással kaphatunk!

a) Rajzolj egy háromszöget! Told el az egyik szögfelezője irányában 5 cm-rel! Sorold fel a párhuzamos eltolás tulajdonságait az ábra segítségével! b) Szerkessz ABCD négyzetet, amelynek oldalai 3 cm-esek! Told el a BD -ral!

12

színnel!

Gyakorló 6.08−6.13.; Feladatgyűjtemény 4.2.06.

111

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ! HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

Recommend Documents