Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal ................................ 1 1.1. Gyökök és hatványozás ................................................................ 1 1.1.1. Hatványozás............................................................................... 1 1.1.2. Gyökök ...................................................................................... 1 1.2. Azonosságok ................................................................................. 2 1.3. Egyenlőtlenségek .......................................................................... 3
2. Függvények .......................................................... 5 2.1. A függvény fogalma ..................................................................... 5 2.2. Injektív, szürjektív függvények .................................................... 6 2.3. Függvények összetétele ................................................................ 7 2.4. Inverz függvény ............................................................................ 7
3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek ........... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek ..................................................................... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke ........................................................ 10
4. Másodfokú függvény ......................................... 11 5. Komplex számok ............................................... 13 5.1. Algebrai alak............................................................................... 13 5.2. Az i hatványai ............................................................................. 14 5.3. A z konjugáltja............................................................................ 14 5.4. Komplex szám abszolút értéke ................................................... 15 5.5. Trigonometriai alak .................................................................... 16 5.6. Moivre-képlet ............................................................................. 17 5.7. Exponenciális alak ...................................................................... 17 5.8. Binom egyenlet ........................................................................... 18
6. Haladványok ...................................................... 18 6.1. Számtani sorozatok ..................................................................... 18 6.2. Mértani sorozatok ....................................................................... 19 6.2.1. Egy alkalmazás ........................................................................ 20
7. Logaritmusok..................................................... 21 7.1. Alap logaritmikus és exponenciális egyenletek ......................... 23 7.2. Alap logaritmikus és exponenciális egyenlőtlenségek ................... ........................................................................................................... 24
8. Mértan ................................................................ 24 8.1. Vektorok ..................................................................................... 24 8.1.1. Nevezetes helyzetvektorokkal kapcsolatos tételek ................. 30 8.2. Analitikus mértan térben, síkban ................................................ 34 8.2.1. Egy pont és két nem párhuzamos irány által meghatározott sík egyenlete. 35 8.2.2. Három nem kollineáris pont által meghatározott sík egyenlete . 36 8.2.3. A sík tengelymetszetes egyenlete ............................................ 37 8.2.4. A sík általános egyenlete ......................................................... 38 8.2.5. A koordináta-rendszerhez viszonyítva sajátos helyzetű síkok egyenletei .. 38
8.3. Egyenesek egyenletei ...................................... 39 8.3.1. Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete ... 41 8.3.2. Az egyenes általános egyenlete ............................................... 41 8.3.3. Síkbeli egyenesek egyenletei ................................................... 41 8.3.4. Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete ... 42 8.3.5. Két térbeli egyenes szöge ........................................................ 43 8.4. Pont távolsága egyenestől (síkban) ............................................ 44 8.4.1. Szögfelezők egyenletei (síkban) .............................................. 44 8.5. Pont távolsága egyenestől (térben) ............................................. 45 8.6. A kör ........................................................................................... 46 8.7. Az ellipszis ................................................................................. 46
9. A hiperbola ........................................................ 47 9.1. Parabola ...................................................................................... 48 9.2. Skaláris szorzat további alkalmazásai ........................................ 49
10. A matematikai indukció módszere ................. 50 10.1. A Peano-féle axiómák .............................................................. 50 10.2. A matematikai indukció módszere ........................................... 51 10.3. A matematikai indukció módszerének egy változata ............... 51
11. Kombinatorika ................................................ 52 11.1. Permutációk .............................................................................. 52
11.2. Variációk................................................................................... 52 11.3. Kombinációk ............................................................................ 53 11.4. Newton binomiális képlete ....................................................... 54 11.5. Azonos hatványösszegek .......................................................... 55
12. Polinomok ........................................................ 56 12.1. Egy polinom algebrai alakja ..................................................... 56 12.2. Polinomok oszthatósága ........................................................... 56 12.3. Irreducibilis polinomok ............................................................ 57 12.4. Polinomok gyökei ..................................................................... 58 12.5. Algebrai egyenletek .................................................................. 59 12.6. Polinomok melyek együtthatói R, Q, Z-ből vannak................. 59
13. Permutációk, mátrixok és determinánsok ..... 60 13.1. Permutációk .............................................................................. 60 13.2. Mátrixok ................................................................................... 61 13.3. Műveletek mátrixokkal ............................................................. 62 13.4. Determinánsok .......................................................................... 64 13.5. Mátrix inverse ........................................................................... 65 13.5.1. A mátrix nyoma, Tr(A).......................................................... 66 13.6. További képletek ...................................................................... 66
14. Lineáris rendszerek ......................................... 68 14.1. Jelölések.................................................................................... 68 14.2. Összeférhetőség ........................................................................ 68
15. Trigonometria .................................................. 69 15.1. Trigonometriai képletek ........................................................... 69 15.2. Trigonometria alkalmazása a mértanban .................................. 72
16. Matematikai analízis ....................................... 75 16.1. Rekurziók.................................................................................. 75 16.1.1. Elsőrendű rekurziók............................................................... 75 16.1.2. Másodrendű rekurziók ........................................................... 75 16.2. Sorozatok határértéke ............................................................... 75 16.2.1. Általános határértékek, konvergencia kritériumok ............... 77 16.3. Függvényhatárértékek .............................................................. 81 16.3.1. Műveletek függvényhatárértékekkel ..................................... 82 16.4. Alaphatárértékek ....................................................................... 82
16.5. Függvények folytonossága ....................................................... 84 16.5.1. Folytonosságra vonatkozó tételek ......................................... 85 16.6. Deriválható függvények ........................................................... 87 16.6.1. Derivált értelmezése egy pontban ......................................... 87 16.6.2. Deriválási szabályok .............................................................. 88 16.6.3. Néhány függvény deriváltja .................................................. 89 16.6.4. Összetett függvény deriváltja ................................................ 90 16.6.5. Magasabbrendű deriváltak..................................................... 91 16.6.6. Deriválható függvények tulajdonságai .................................. 92 16.7. Integrálok .................................................................................. 93 16.7.1. Határozatlan integrálok ......................................................... 93
17. Primitiválhatósága........................................... 93 17.1. Racionális függvények primitívje............................................. 93 17.2. Integrálok amelyek tartalmazzák az r = (x2 + a2)1/2 .................. 96 17.3. Integrálok amelyek tartalmazzák az s = (x2 – a2)1/2 .................. 98 17.4. Integrálok amelyek tartalmazzák a t = (a2 – x2)1/2 ..................... 99 17.5. Integrálok amelyek tartalmazzák az R = (ax2 + bx + c)1/2 ...... 100 17.6. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a sin-t tartalmazzák... 101 17.7. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a cos-t tartalmazzák .. 102 17.8. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a tan-t tartalmazzák... 103 17.9. Trigonometrikus integrálok, amelyek tartalmazzák a sin-t és cos-t .. 103 17.10. Logaritmikus integrálok ....................................................... 104 17.10.1. A határozott integrál tulajdonságai.................................... 105 17.10.2. Integrálok additivitása intervallumokon ............................ 106 17.10.3. Fundamentális tétel (Alaptétel) ......................................... 106 17.10.4. Egyenlőtlenségek ............................................................... 107 17.11. Más tételek ............................................................................ 110 17.11.1. Primitiválható függvények ................................................ 110 17.11.2. Integrálható függvények .................................................... 111
18. Algebrai struktúrák ...................................... 111 18.1. Csoportok................................................................................ 111 18.1.1. Tulajdonságok és nevezetes tételek ..................................... 112 18.2. Monoidok................................................................................ 114 18.3. Gyűrűk .................................................................................... 115 18.4. Testek...................................................................................... 117 18.5. Vektorterek ............................................................................. 118
1
Muveletek ˝ valós számokkal
1.1 1.1.1
Gyökök és hatványozás Hatványozás
m·n
m
n
1. a =a ·a m m m 2. a · b = (a · b) m
n
m−n
3. a : a = a m m m 4. a : b = (a : b) 1 −m 5. a = m a m n mn 6. (a ) = a . A valós számok hatványai kiterjeszthetőek racionális, irracionális, illetve valós hatványokkál is sorok segítségével. Ezek a hatványok is rendelkeznek azokkal a tulajdonságokkal amivel a természetes kitevöjű hayványok.
1.1.2
Gyökök
Az alábbi képletekben értelemszerűen az n, m ≥ 2, valamint az a, b, c számok olyan valós számok, amelyekre az adott kifejezéseknek van értelme: 1. 2. 3. 4. 5.
1 √ n a = a n , a > 0; r 1 n 1 −1 = √ = a n; n a a √ n ( n a) = a; √ √ √ n n n a· b= ab; r !n 1 n 1 = ; a a
1
6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
√ √ √ √ n n n a· b· nc= abc; r √ √ n n n a ; a: b= b √ √ √ nm m n a· a= an+m ; √ √ √ nm m a: na= an−m ; √ n nm m a =a ; √ n m an = a m ; √ √ mn n p mp a = a ; √ √ √ n q nm m p a · b = apn · bqm ; q √ √ m n nm a= a; √ a2 = |a|; √ √ 2n+1 −a = − 2n+1 a; r r q √ a+c a−c 2 2 a± b = ± ahol a c = a − b 2 2 egynlőségből határozzuk meg a c értékét.
Tekintsük a következő példát a 17 képletre. Hozzuk egyszq √ erűbb alakra 3 + 8 kifejezést. Ebben az esetben nehéz dolgunk van és nem igazán tudunk vele mit kezdeni, 2 2 ezért folyamodunk a fenti képlethez: c = 3 − 8 = 1, tehát q 3+
1.2
√ 8=
r
3+1 + 2
r
√ 3−1 = 2 + 1. 2
Azonosságok
Bármely x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R és n ∈ N esetén: 2
2
1. a − b = (a − b)(a + b) 2 2 2 2 2 2 2. (a + b )(x + y ) = (ax − by) + (ay + bx)
2
8.2.1
Egy pont és két nem párhuzamos irány által meghatározott sík egyenlete
Tekintjük az A(x0 , y0 , z0 ) ∈ S rögzített pontot és a d~1 (p1 , q1 , r1 ) d~2 (p2 , q2 , r2 ) ∈ V egymással nem párhuzamos vektorokat. Jelölje a és b a d~1 illetve a d~2 vektorok tartóegyene0 seit. Ekkor létezik egy és csakis egy a egyenes úgy, hogy 0 0 0 a k a , A ∈ a és létezik egy és csakis egy b egyenes úgy, 0 0 0 0 hogy b k b , A ∈ b . Ekkor dir a = dir d~1 és dir b = 0 0 0 0 ~ dir d2 . Mivel a ∩ b = {A} kapjuk, hogy az (a , b ) = α sík jól meghatározott. Tehát egy sík egyértelműen meghatározott egy pont és két nem párhuzamos irány által. Egy sík egyenlete meghatározott, ha bármely M pontjának ismerjük a helyzetvektorát. Legyen M egy tetszőleges pont az A pont valamint a d~1 , d~2 vektorok által −−→ meghatározott α síkban. Felírható, hogy ~ rM = ~ rA + AM . −−→ ~ ~ Mivel az AM vektor koplanáris a d1 , d2 vektorokkal, léteznek a λ, µ ∈ R valós számok úgy, hogy −−→ AM = λ · d~1 + µ · d~2 . Tehát a sík vektoriális egyenlete: ~ rM = ~ rA + λd~1 + µd~2 , λ, µ ∈ R.
(12)
Az alábbi egyenletrendszert tekintve (
x = x 0 + λ · p1 + µ · p2 y = y0 + λ · q1 + µ · q2 z = z0 + λ · r1 + µ · r2 ,
λ, µ ∈ R
35
megkapjuk sík paraméteres egyenleteit. ( λ · p1 + µ · p2 = x − x0 λ · q1 + µ · q2 = y − y0 . λ · r1 + µ · r2 = z − z0 Ennek az egyenletrendszernek a λ és µ ismeretlenekkel akkor van megoldása, ha: p1 p2 x − x0 q1 q2 y − y0 = 0, r1 r2 z − z0 vagy átírva x − x0 p1 p2
y − y0 q1 q2
z − z0 r1 r2
= 0.
(13)
Az így kapott egyenletet a sík algebrai vagy kanonikus egyenletének nevezzük. Ha a determinánst az első sora szerint kifejtjük, akkor az A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
(14)
egyenletet kapjuk, ahol
8.2.2
A=
q1 q2
r1 r2
B=
r1 r2
p1 p2
C=
p1 p2
q1 q2
Három nem kollineáris pont által meghatározott sík egyenlete
Legyen R = {O, ~ e1 , ~ e2 , ~ e3 } egy Descartes koordinátarendszer és M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) ∈ S három nem kollineáris pont. Ekkor az M1 , M2 , M3 pontok
36
egyértelműen meghatároznak egy (M1 M2 M3 ) = α síkot. Hasonlóan, mint a fentiekben, kapjuk, hogy (
x = (1 − λ − µ)x1 + λx2 + µx3 y = (1 − λ − µ)y1 + λy2 + µy3 z = (1 − λ − µ)z1 + λz2 + µz3 ,
ahol λ, µ ∈ R amelyet a sík parametrikus egyenletének nevezünk. Ha átrendezzük a fenti rendszert kapunk λ, µ -ben egy két ismeretlenes egyenletrendszert: (
x − x1 = λ(x2 − x1 ) + µ(x3 − x1 ) y − y1 = λ(y2 − y1 ) + µ(y3 − y1 ) z − z1 = λ(z2 − z1 ) + µ(z3 − z1 )
Rouché tételből következik, hogy az egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van megoldása, ha: x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 y2 − y1 y3 − y1
z − z1 z2 − z1 z3 − z1
= 0.
(15)
Ezt az egyenletet nevezzük a három nem kollineáris ponton áthaladó sík algebrai egyenletének. Ez az egyenlet még átírható a következő alakba:
8.2.3
x x1 x2 x3
y y1 y2 y3
z z1 z2 z3
1 1 1 1
= 0.
(16)
A sík tengelymetszetes egyenlete
Legyenek az A(a, 0, 0), B(0, b, 0) és a C(0, 0, c) pontok a térben. Ekkor az (ABC) sík egyenlete: x−a y z −a b 0 = 0. −a 0 c
37
Kiszámolva a determinánst és átrendezve az egyenletet megkapjuk a sík tengelymetszetes egyenletét : x y z + + = 1. a b c
8.2.4
(17)
A sík általános egyenlete
Tétel 8.5. A sík általános egyenlete Ax + By + Cz + D = 0
(18)
alakú, ahol A, B, C, D ∈ R úgy, hogy rang[A, B, C] = 1. Mivel rang[A, B, C] = 1 következik, hogy az Ax + By + Cz + D = 0 egyenletnek létezik legalább egy 3
(x0 , y0 , z0 ) ∈ R megoldása, vagyis
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.
(19)
Az A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) + D = 0, amely egy síkot ábrázol, amely áthalad az (x0 , y0 , z0 ) ponton. Adott ponton átmenő adott normálvektorú sík egyenlete.
8.2.5
A koordináta-rendszerhez viszonyítva sajátos helyzetu˝ síkok egyenletei
Azt vizsgáljuk, hogy amennyiben a sík Ax + By + Cz + D = 0
38
8.5
Pont távolsága egyenest˝ol (térben)
Legyen R{O,~i, ~j, ~ k} egy descartes féle koordináta-rendszer, M0 (x0 , y0 , z0 ) egy rögzített pont és e:
y − y1 z − z1 x − x1 = = p q r
egy egyenes. Legyen pre (M0 ) = M . Ekkor az M0 pont e egyenestől való távolságán az alábbi számot értjük −−−→ d(M0 , e) =k M0 M k . Legyen M1 (x1 , y1 , z1 ) és A két pont az e egyenesről úgy, − −− → ~ q, r), ahol d~ vektorral az e egyenes hogy M1 A = d(p, irányvektorát jelöltük. Ekkor az M1 M0 A háromszög területét kétféleképpen felírva a következő egyenlőséghez jutunk: σ(M0 M1 A) =
=
1 −−−→ − −− → k M0 M k · k M1 A k= 2
1 −−−−→ k M1 M0 × d~ k . 2
Ha ebből a képletből kifejezzük az −−−→ k M0 M k= d(M0 , e) számot kapjuk, hogy:
d(M0 , e) =
−−−−→ k M1 M0 × d~ k , k d~ k
(34)
45
8.6
A kör
Legyen M0 egy rögzített pont a P síkban és legyen r > 0 egy rögzített szám. Értelmezés 8.11. Az M0 középpontú és r sugarú C kör azon M pontok mértani helye a síkból, amelyeknek az M0 ponttól vett távolsága állandó és egyenl˝o r-rel, vagyis C(M0 , r) = {M ∈ P : |M M0 | = r.}
(35)
Tétel 8.7. Az M (x, y) pont akkor és csakis akkor van az M0 (x0 , y0 ) középpontú, r sugarú körön, ha 2
2
2
(x − x0 ) + (y − y0 ) = r . 2
2
(36)
2
Tétel 8.8. Az (x − x0 ) + (y − y0 ) = r egyenlet˝u kör M1 (x1 , y1 ) pontjában szerkesztett érint˝o egyenlete: 2
(x − x0 )(x1 − x0 ) + (y − y0 )(y1 − y0 ) = r , amelyet még a kör duplázott egyenletének is nevezünk az M1 (x1 , y1 ) pontban.
8.7
Az ellipszis
Értelmezés 8.12. Azon pontok mértani helyét a síkból, amelyeknek két rögzített ponttól mért távolságuk összege állandó, ellipszisnek nevezzük. 0
Legyen c > 0 és F, F két rögzített pont a síkban 0 úgy, hogy |F F | = 2c és legyen a > c. A sík azon M 0 pontjainak mértani helyét, amelyre |M F | + |M F | = 2a, ellipszisnek nevezzük: 0
E = {M ∈ P : |M F | + |M F | = 2a}.
46
vagy lim
h→0,x0 +h∈A
f (x0 + h) − f (x0 ) . h
Ekkor értelmezhető 0
fs (x0 ) = x→x lim
0 x<x0
és 0
fd (x0 ) = x→x lim
0 x>x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
f (x) − f (x0 ) . x − x0
0
Ekkor f (x0 ) létezik ha 0
0
fs (x0 ) = fd (x0 ), és
0
0
0
f (x0 ) = fs (x0 ) = fd (x0 ).
16.6.2
Deriválási szabályok
Tétel 16.24. Legyenek f, g : A → R f, g deriválhatóak az x ∈ A pontban. Ekkor 1. 2. 3. 4.
0
0
0
(f + g) (x) = f (x) + g (x); 0 0 (cf ) (x) = cf (x) 0 0 0 (f · g) (x) = f (x) · g(x) + g (x) · f (x) Ha g(x) 6= 0, f (x) 0 (x) g(x) =
88
f 0 (x)g(x) − g 0 (x)f (x) g 2 (x)
5. Ha f : I → J, g : J → R, f deriválható az x0 ∈ I-ben és g deriválható y0 = f (x0 ), akkor 0
0
0
(g ◦ f ) (x0 ) = g (y0 )f (x0 ) 6. Ha f : I → J folytonos, bijektív, deriválható x0 pontban úgy, 0 hogy f (x0 ) 6= 0, akkor f
−1
:J →I
deriválható az y0 pontban, y0 = f (x0 ) és
f
−1
0
(y0 ) =
1 f 0 (x0 )
.
16.6.3
Néhány függvény deriváltja 0
1) f (x) = c ⇒ f (x) = 0; 0
n
2) f (x) = x , n ∈ N ⇒ f (x) = nx
n−1
0
r
; r−1
3) f (x) = x , r ∈ R, x > 0 ⇒ f (x) = rx √ 0 4) f (x) = x, x > 0 ⇒ f (x) = 0
;
1 √ ; 2 x
5) f (x) = ln(x), x > 0 ⇒ f (x) =
1 ; x 0
x
x
6) f (x) = a , a 6= 1, a > 0, x > 0 ⇒ f (x) = a ln(a); x
0
x
7) f (x) = e ⇒ f (x) = e ; 0
8) f (x) = sin(x) ⇒ f (x) = cos(x);
89
0
9) f (x) = cos(x) ⇒ f (x) = − sin(x); 10) f (x) = tan(x), x 6= (2k + 1) 1 ; cos2 (x)
π ,k 2
0
∈ Z ⇒ f (x) =
0
11) f (x) = cot(x), x 6= kπ, k ∈ Z ⇒ f (x) =
−1 ; sin2 (x)
12) f (x) = arcsin(x), x ∈ [0, 1] ⇒ 1 0 f (x) = √ ; 1 − x2 13) f (x) = arccos(x), x ∈ [0, 1] ⇒ −1 0 ; f (x) = √ 1 − x2 0
14) f (x) = arctan(x) ⇒ f (x) =
16.6.4
1 . 1 + x2
Összetett függvény deriváltja 0
1) f (u) = c ⇒ f (u) = 0; 0
n
n−1
2) f (u) = u , n ∈ N ⇒ f (u) = nu 0
r
0
·u ; r−1
3) f (u) = u , r ∈ R, u > 0 ⇒ f (u) = ru 4) f (u) =
√ 0 u, u > 0 ⇒ f (u) = 0
1 0 √ ·u ; 2 u
5) f (u) = ln(u), u > 0 ⇒ f (u) =
1 0 ·u u 0
u
0
·u ;
u
0
6) f (u) = a , a 6= 1, a > 0, u > 0 ⇒ f (u) = a ln(a)·u ; 7) f (u) = e
90
u
0
u
0
⇒ f (u) = e · u ;
0
0
8) f (u) = sin(u) ⇒ f (u) = cos(u) · u ; 0
0
9) f (u) = cos(u) ⇒ f (u) = − sin(u) · u ; 10) f (u) = tan(u), cos(u) 6= 0, ⇒ 1 0 0 ·u ; cos2 (u)
f (u) =
11) f (u) = cot(u), sin(u) 6= 0 ⇒ −1 0 0 ·u ; sin2 (u)
f (u) =
12) f (u) = arcsin(u), u ∈ [0, 1] ⇒ 1 0 0 f (u) = √ ·u ; 1 − u2 13) f (u) = arccos(u), u ∈ [0, 1] ⇒ −1 0 0 ·u ; f (u) = √ 1 − u2 14) f (u) = arctan(u) 0
f (u) =
16.6.5
1 0 ·u . 1 + u2
Magasabb rendu˝ deriváltak m
1) f (x) = x , m ∈ N, m ≥ n ⇒ f
(n)
(x)
= m(m − 1)(m − 2)...(m − n + 1)x
x
2) f (x) = e ⇒ f x
3) f (x) = a , f
(n)
(n)
m−n
;
x
(x) = e ; n x
(x) = (ln(a)) a ;
4) f (x) = ln(x) ⇒
91
