B A B
K P
3.1
E
E
R
T S
PERSAMAAN Suatu
(Differential
I A
I
N
G
G
M
A
A
N
L
A
N
S O L U S I
P E R I O D I K
D I F F E R E N S I A L
T
U
N
D
A
A
N
DIFFERENSJALTINDAAN
persamaan Delay
A
I I I
differensial
Equations),
disebut
jika
Persamaan
pada
persamaan
Differensial
Tundaan
terdapat
hubungan
ketergantungan dari w a k t u sebelum dan w a k t u sekarang. Sebagai contob dengan
persamaan
:
v " ( t ) = y (t - / T ) meiiq)akan
Persamaan
Tundaan
I" > 0.
Suatu contoh dari Persamaan Differensial Tundaan dapat d i a m a t i dapat diamati dari fenomena berikut : Suatu jundali
larutan
air garam
6 liter / menit dan
yang m e n g a l i r kedalam
mengalii
keluar
dengan
sebuali
tanki
j u n d a l i 5 liter /
dengan menit.
T e n t u k a n l a l i konsentrasi dari larutan garam tersebut sebagai fungsi dari w a k t u . Solusi : Karena perbedaan antara larutan yang mengalir kedalam dan keluar t a n k i sebesar ( 6 - 5 ) liter / menit. niaka v o l u m e di dalani t a n k i setelali t menit adalah : 5.v(/)
(5 I / menit) iOOO + t
ki^l
iiieilit
1000 + /
O u t p u t perubahan dari masalah awal yang diberikan pada fenomena ter.sebut dapat d i m i s a l k a n dalani persamaan :
— = 6. dt 1000+ t
.\(0) = 0
/
.
(3,1.1)
Persamaan Differensial L i n i e r (3.1.1) dapat diselesaikan
dengan perluasan taktor
Integra si : H ( t ) = (1000 + t ) \ sehingga diperoleh ;
(1000 + t ) \ v J = 6 ( 1 0 0 0 + t ) ' dt (1000 + t ) \ v = (1000 + t ) " + c x ( t ) = (1000 + t ) + c ( 1 0 0 0 + t ) - ' Dengan menggunakan menggunakan syarat awal \ ( 0 )
0 diperoleh c = - (1000)^'
Jadi solusi ( 3 . 1 . 1 ) adalah : X ( t ) = (1000 + t) - ( 1 0 0 0 ) ' ' ( 1 0 0 0 + I ) Sehingga konsentrasi larutan garam dalam tanki |)ada w a k t u t adalah ;
-j^^l^ = /-f/00n/'(\000 Konsentrasi t
yang
diberikan
+ t/'
kg/I
dari persamaan ( 3 . 1 . 2 ) mendekati
(3.1.2)
I kg / 1 inituk
->oo.
B e n t u k Persamaan :
.v'(t) = 6 - ^ ^ x ( t - t „ ) ,
dengan x ( t ) = 0 untuk t e [-to. „]
disebut Differensial Persamaan Tundaan dengan positip to konstanta Suatu Persamaan Differensial L i n i e r Tundaan sederhana : //'(t)=a u(t-b)
(3.1.3)
dimana a dan b konstanta.
23
Persamaan ( 3 . 1 . 3 ) m e m p u n y a i solusi : // = c e" , u n t u k c konstanta . dan s m e m e n u h i Persamaan Transendental: s = a e-'' Solusi ( 3 . 1 . 3 ) untuk t > 0 dapat digunakan metode langkah-langkah ( M e t h o d o f Steps) dengan asumsi u ( t ) = f (t) u n t u k
~b < t < 0.
U n t u k 0 < t < b , persamaan ( 3 . 1 . 3 ) men jadi : //'(t)=a u(t-b) = a f (t-b). I
Jadi
II (t)
= \ a f ( v - h ) c / v +
Ki{0)
n Dengan u ( t ) dalam [ 0 , bj . prosedur dapat berulang sehingga.
Sedangkan u n t u k b < t < 2b, maka jirosedur beilanjut tak terbatas.
...
Dengan menggunakan metode banyak langkali, persamaan
pada
masalah
awal :
.
.
.
^
/ / ' ( t ) = u ( t - l ) , u ( t ) = 1 dalam [ - ! . 0] adalah :
!
" t - ( k - i) * //(t)=:^-^^ L,n-l
dengan n bilangan bulat non negati]). \
24
nilai
3.2
K E T I I N G G A L A N SOLIISI PERIODIK PERSAMAAN DIFFERENSIAL TUNDAAN Suatu Persamaan Differensial Tundaan dapat d i t u l i s k a n dalam bentuk : T'(t) = - / / x ( t ) - f ( x . t - « ) . ' . . . .
(3.2.1)
dimana |.i > 0 dan a > 0 merupakan konstanta dan f ;
R merupakan
fungsi
k o n t i n u yang m e m e n u h i f ( 0 ) = 0. Ketunggalan
solusi persamaan ( 3 . 2 . 1 ) da|)at d i t e l i t i dari o r b i t solusi p e r i o d i k
berorintasi lambat pada b i d a n g phase ( x ( t ) . .v' ( l ) ) .
O r b i t - o r b i t (dalam R ' ) sepanjang kurva teitutuj) sederhana n i e n g e l i l i n g i t i t i k
( l i n g k a r a n ) pada b i d a n g diatas.
Dengan
mengganti x dengan
O
persamaan
(3.2.1) dapat dituliskan sebagai: .Y'(t) = - / / \ ( t ) - A f [j- \(l-a
)] dengan a > 0
Ketunggalan solusi ( 3 . 2 . 2 )
dapat ditelusuri dari variasi o r b i t - o r b i t dari
Solusi P e r i o d i k Berosilasi L a m b a t ( S P O L ) dengan X dan a
(3.2.2)
beitambah
/ naik
(Inerease). M i s a l k a n r(a, X) nierupakan o r b i t S P O L dari ( 3 . 2 . 2 ) dalam R" y a n g d i t u n j u k k a n dengan a : < a i > 0 dan X2> X]> 0 sedeniikian hingga T ( a 2 , Xj) dan T ( a i . X\) ada, maka T ( a 2 , X2) berada dalam ekstensior T ( a i . X\). Definisi
.
1 : Suatu solusi p e r i o d i k x dari ( 3 . 2 . 1 ) dengan p e r i o d i k (/ solusi p e r i o d i k berosilasi
lambat
sedeniikian hingga 2 - p > a dan X ( t ) < 0 untuk t 6 ( p . q)
dikatakan
( S P O L ) jika terdapat p >
a
x ( t ) > 0 u n t u k t e ( o , p ) dan (3.2,3)
25
3.2
K E T I I N G G A L A N SOLIISI P E R I O D I K I'ERSAIVIAAN DIFFERENSIAL TUNDAAN Sualii Persamaan Differensial Tundaan dapat d i t u l i s k a n dalam b e n t u k : .v'(t) = - / / \ ( t ) - f ( \ . t - a )
(3.2.1)
dimana [.i > 0 dan a > 0 merupakan konstanta dan f :
R merupakan
fungsi
k o n t i n u y a n g m e m e n u h i f ( 0 ) = 0. Ketmiggalan
solusi persamaan ( 3 . 2 . 1 ) dapat d i t e l i t i dari orbit solusi p e r i o d i k
berorintasi lambat pada b i d a n g phase ( \ ( t ) . .v' ( t ) ) .
O r b i t - o r b i t (dalam R ' ) sepanjang kurva l e r l u t u p sederhana n i e n g e l i l i n g i t i t i k
( l i n g k a r a n ) pada bidang diatas.
Dengan
mengganti
\
dengan
O
, persamaan
(3.2.1) dapat dituliskan sebagai: .Y'(t) = - / / X (t)-A
f [ | \ ( t - o ' )] dengan a > 0
K e t u n g g a l a n solusi ( 3 . 2 . 2 )
(3.2.2)
dapat d i t e l u s i u i dari variasi o r b i t - o r b i t dari
Solusi Periodik Berosilasi L a m b a t ( S P O L ) dengan X dan o
beitambah
/ naik
(Inerease). M i s a l k a n r(a, X) merupakan orbit S P O L dari ( 3 . 2 . 2 ) dalani R'^ y a n g d i t u n j u k k a n dengan a ; < a i > 0 dan X2> X]> 0 sedeniikian hingga T ( a 2 , X2) dan ' f ( a i , A.|) ada, maka T ( a 2 , A,2) berada dalam ekstensior T ( a i , X\). Definisi
.
1 : Suatu solusi p e r i o d i k \ dari ( 3 . 2 . 1 ) dengan p e r i o d i k
lanibal
sedeniikian hingga 2 - p > a dan \ ( t ) < 0 untuk t e ( p . q)
( S P O L ) Jika terdapat p > .\ ( t ) > 0 u n t u k t e ( o , p) dan ;.'
25
a
(3.2.3)
Suatu statement ( H ) : misalkan f | 0 ) = 0 clan asumsikan
terclajiat
a > 0, l i > 0
(berliingga atau tak hingga ) sedeniikian hingga : (i)
f ( x ) adalah c' dan / ' ( x ) > 0 u n t u k setiap N g ( - a . b ) . / ' > n ^ 0
(ii)
/;(x)= ^ ^
< I , m o n o t o n turun dalani x e (a, b) dan m o n o t o n naik dalam
f (x) e (-a. 0).
X
T c o r e m a 1 : A s u m s i k a n ( H ) dipenuhi oleh a cos p = - ( / ' ( O ) In)"', p e
[f
0 dan b - 0 dan d e f i n i s i k a n
./r] dan
« „ = / ' , ' / " ' ( ( / ' ( 0 ) | , / / ) ' - I) '
"
(3.2.4)
dengan n > 0. maka u n t u k setiap a > a,, terdapat satu S P O L dari
•' • ' • r-;
(3.2.1) yang m e m e n u h i t i d a k terdapat S P O L
-a<x(t)
u n t u k .setiap (. U n t u k
dari (3.2.1). Selanjutnya
Jika
\
a > Oo
merupakan
S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) yang m e m e n u h i - a < x ( t ) < b u n t u k .setiap t dan r ( a ) = { . Y ( / ) , . Y ' ( t ) ; t e R ) merupakan T
adalah
T{a^)
kurva
teitutup
adalah ])enutup
sederhana
orbit dari x dalam R^. maka niengelilingi lingkaran
dan
(closure) dari e x t e n o r orbit / " ( a . , ) dengan
a 2 > a i sedeniikian hingga r ( 6 C | ) d a n T{a^)
ada.
Bukti Ketunggalan Tcorema 1 : Jika u n t u k beberapa a > 0. tersapat dua S P O L yang berbeda X | dan x : dari
( 3 . 2 . 1 ) dan misalkan
sedangkan
dan
7", dan
7", m e m p a k a n
orbit dari
X | dan
X2 dalam
R',
merupakan k u i v a teitutup sederhana n i e n g e l i l i n g i t i t i k awal
y a n g t i d a k identik. Terdapat
p
> 1 sedeniikian hingga orbit dari y i = p x i t i d a k
26
didalam exterior orbit X2 atau orbit dari v : = p x : tidak d i d a l a m exterior xi (atau keduaiiya). Jadi y i dan x ; atau y^ dan X | merujiakan S P O I , dari (3,2,2) untuk ( a , X) = ( a , p ) dan ( a . 1). U n t u k ketidaktunggalan dari ( H ) terdapat suatu biperkasi H o p f dari S P O L pada (3.2.1) pada a = ao.
Jadi terdapat suatu barisan
|a„ |
denaan
->cf„pada
//—>oodan S P O L y„
II = \
dari (3,2.1) untuk a = a „ dengan su]) v„ |/| —> 0 pada / / ^ o o .
M i s a l k a n terdapat S P O L dalam
K" merujiakan
x dari (3.2.1) untuk a
e ( 0 , . v „ ) . sedangkan orbit x
kui"va teitutup sederhana m e n g e l i l i n g i lingkaran . maka
terdapat suatu bilangan positip m sedeniikian hingga a , „ > a
dan orbit dari y,„
adalah d i d a l a m interior dari orbit .Y . Jadi t i d a k terdapat S P O L dari (3.2.1) untuk
a e (O.ai)).
A k i b a t Teorema 1
dengan ( H ) yang m e m e n u h i u n t u k suatu a > 0 dan b > 0, dengan asumsi n = i , dan didefmisikan F ( x ) = - f ( x ) u n t u k - b < x < a, dan asumsikan terdapat suatu sub
interval
-ajj
l i m sup
dari (-a, b) sedeniikian hingga F"{J)^[-a.h
untuk suatu sub i n t e i v a l k o m p a k I dari (-a.b) dengan F" merupakan ileiasi dari F. Jika X() terdefinisi pada (3.2.2), maka tidak terdapat S P O L dari (3.2.1) dengan a
dfilam (0. an) dan terdapat suatu solusi tunggal SPOI; dari (3,2,1) untuk setiap
a > Q d dan j i k a a ( a ) ( a > a ; ) , merupakan orhit dari (3.2. i ) dahuii R ' maka T ( a i ) adalali penutup(closure) dari exterior orbit T ( a : ) dimana 02 > a i > cxo. M i s a l k a n ( H ) dipenubi oleh a = b = + co dan f m e m p u n y a i batas bawah dan u n t u k |.i = 0
dan
a,) = - r / {2 f (0)) maka t i d a k terdapat S P O L dari ( 3 . 2 . 1 )
dengan
a dalam ( 0 . a n ) dan terdapat S i ' O L yang tunggal dari ( 3 . 2 . 1 ) untuk setiap a > 0, sehingga j i k a T ( a ) ( a > 0) merupakan
orbit dari S P O L ( 3 . 2 . 1 ) dalam R \
T ( a i ) berada dalam exterioi' dari orbit T ( a 2 ) dengan az > a\ > 0.
maka
i ; . . ; J i. ;.•
,t
Suatu ( H ) yang dipenuhi oleh a dan b, j i k a x S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) dengan periode q dengan x ( t ) e (-a, b) untuk semua t. maka y ( t )
. v ' ( 0 berosilasi
lambat dengan
t 2 - t | > a dan t i + q + t2 > a. T e o r e m a 2 : M i s a l k a n m e m n u h i ( H ) untuk beberapa a > 0. b > 0 dan m i s a l k a n x merupakan SPOL, dari 93.2.20 untuk ( a , X) yang m e m e n u h i
-X<\ < x
( t ) <Xb untuk semua t dan misalkan T ( a | . X]) merupakan o r b i t dari x 02 ^ O i >0 dan X2 > X\ > 0, T ( o i . X\) dan T ( a 2 , ^2)
dalam R', j i k a
ada maka T ( a 2 , X2) berada dalam exterior dari T ( a i , X\). Bukti :
Untuk
membuktikan
kontradiksi.
Misalkan
•
x,
berkoresponden (3.2.2)
dalam
Teorema
=
1,2)
merupakan
dengan T | = R"
di
atas
ditunjukkan
dengan
•c.l.--.:-}i^nl\.ulhw-i-A
'
(i
2
adalah
SPOL
d a r i , (3.2.2)
yang
r(a. X). sedangkan orbit dari S P O L
kur\a
teitutup
sederhana
mengelilingi
l i n g k a r a n , j i k a T2 tidak .semuanya d i d a l a m exterior T i . maka terdapat bilangan p > 1.
2S
Sehingga
To = { ( p \ 2 ( t ) . p
exterior T u dan misalkan Xi, Xo(t) = p .ladi X() adalah S P O L
; (t) : t e pXz. a,,
R ) adalah
tidak didalam
a. dan
t e R
(3.2.5)
dari ( 3 . 2 . 2 ) untuk ( a . X) = ( a „ . X,,) dan orbit dari x„ adalah
To dan To m e m p u n y a i suatu t i t i k tangen (xo ( t " ) . x'(t")) = ( x i ( t ' ) . x' ( t ' ) )
(3.2.6)
K l a i m : x„'(t") = x , " (t') dalam (3.2.6) tidak n o l . Bukti :
A s u m s i k a n x,,' (t") = X | ' ( t ' ) = 0. maka x„ ( t ' ) = (xi ( t ) ^ 0. dan dapat ditulis x „ ( t " ) = x, (t') = c > 0
(3.2.7)
dengan x' ( t ) > 0 u n t u k t e [ t ' - a. t'] ; i - 0, 1 . . . . Dari persamaan (3.2.2). (3.2.6) dan (3.2.7) diperoleh : x i ( f - a i ) = d | <x ( I ' - a „ ) = d„ < 0
(3.2.8)
untuk d„. d i e R. Mi.satkan bcsar Q =
{ x , (t). x,'(t));
t e [t' - o,. t ' ] }
; i = 0.1 . . .
dalam bidang phase R^ M i s a l k a n H , , dan D.] merupakan setengah busur bahagian bawali dari D. di R^ dan n „ di bawah Q\ sedangkan T., d i luar Ti, maka Cl] dapat dinyatakan sebagai : n,-{(x.(p)(x) ;x e|d.cl} : i dengan
(p,(x) = X | ' ( t , ( x ) )
2^
0.1
(3.2.9)
t, (x)
dan dan
nierupakan
in\ers
dari x = x, ( t ) u n t u k t e [ t ' - a „ t ' ]
(p„(x) > (p,(x) > 0
V.....
(3.3.0)
u n t u k semua t e [ d i . c ] . Karena
Xj ( t ) dipenuhi
oleh persamaan differensial
x' = (p(x)
untuk t e [ t ' - Q J , t'J. Dari persamaan ( 3 . 2 . 1 0 ) : xi(t' -I-1) = x.,(t" + t ) untuk semua t e [- a , OJ. Dengan
ketunggalan
solusi persamaan ( 3 . 2 . 2 ) dan definisi
SPOL,
maka diperoleh : x i ( t ) = x.,(t) u n t u k setiap t . Konsekwensinya
( a i , X\) = ( a „ . ?t,,) dan f non linier, maka hal i n i
k o n t r a d i k s i dengan asumsi X,o> X2> X\_
30
