Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Faluközy Tamás Vitéz Ildikó Ibolya Konzulens: Dr. Arató Miklós ELTE-TTK, Budapest
IBNR, kifutási háromszög • IBNR: incurred but not reported • Inkrementális: Ci,j – Kumulált: Di,j= Kifutási háromszög
j
åC
i ,k
k =1
Bejelentés/Kifizetés késése (+1) 1 2 ... ... n Bekövet- 1 D1,1 D1,2 ... ... D1,n kezés idő- 2 D D2,2 ... ... 2,1 periódusa ... ... ... ... ... ... ... n Dn,1
Tartalékolási technikák • Determinisztikus módszerek – alsó háromszög kitöltése – pontbecslés a tartalékra
• Lánc-létra (kumulált károk) lj(i ) =
lj =
Di , j +1 Di , j
ráták függetlenek i-től
D1, j +1 + D2 , j +1 + ... + Dn - j , j +1 D1, j + D2 , j + ... + Dn - j , j
, j = 1,...,n - 1
Adatok • Két adatsor (két különböző magyar biztosítótól) • Lakásbiztosítási (7 éves) – rövidebb kifutás • KGFB (4 éves) – hosszabb kifutás • Kifutási háromszög (ált. kumulált): – napi/havi/negyedéves/éves – kárszámok/károk – károk: kifizetési/bejelentési (kifizetés/bejelentés késése szerint) Különböző eredmények
Célok • Müncheni lánc-létra módszer tesztelése (kifizetési/bejelentési háromszög által adott eredmények közti különbség csökkentése) • A tartalék időperiódustól való függésének vizsgálata • Sztochasztikus tartalékolási módszerek tartalék kvantiliseinek meghatározásához
Müncheni lánc-létra (MCL) • Kárnagyságok (kumulált kifutási háromszög): – kifizetési, csak kifizetések (PP) – bejelentési, csak kifizetések (IP) – bejelentési, kifizetések + tételes függőkártartalék (IPO) • MCL: – PP és IP háromszögek közti eltérés csökkentése – Mindkét háromszöget használja, az lj ráták az aktuális (P / I )i, j = Pi, j hányadosoktól függnek I i, j
• PP – IP arányok a sorok utolsó elemeire (kisebb különbség) • Probléma: PP és IPO összemérhetők • PP – IPO ráták (ugyanakkora különbség) • Ok: különböző input adatok 0 2003.10.
2003.07.
2003.04.
2003.01.
2002.10.
2002.07.
2002.04.
2002.01.
2001.10.
2001.07.
2001.04.
2001.01.
2000.10.
2000.07.
2000.04.
2003.10.
2003.07.
2003.04.
2003.01.
2002.10.
2002.07.
2002.04.
2002.01.
2001.10.
2001.07.
2001.04.
2001.01.
2000.10.
2000.07.
2000.04.
2000.01.
0.9000
2000.01.
MCL eredmények 1.2000
1.1500
1.1000
1.0500 SCL
MCL
1.0000
0.9500
1.2 1
0.8
0.6 SCL
MCL
0.4
0.2
Determinisztikus/Sztochasztikus • Sokféle determinisztikus módszer • Különböző eredmények (pontbecslések) • Cél: kvantilisek, konfidenciaintervallumok – ehhez sztochasztikus módszerek • Naiv sztochasztikus technikák – lj: i.i.d. valószínűségi változók (Lj) – Tapasztalati eloszlás: diszkrét egyenletes az ismert l j ( i ) = Di , j +1 értékeken Di , j
Egyenletes-normális (UN) modell • Lj változó: diszkrét egyenletes eloszlás a ìï X i , j +1 d ( i ) = : i = 1,K , n í j X i,j ïî
• Várható érték:
üï jý ïþ
halmazon
1 n - j Di , j +1 E (L j ) = å t - j i =1 Di , j
az alsó háromszög kitöltése n æ æ n -1 öö ç ç a teljes tartalék D n - j + 1 , j ç Õ E (L k ) - 1 ÷÷ ÷ å ç ÷ j =1 è è k= j øø várható értéke a szórásnégyzet: n æç D 2 æç n-1 E (L2 ) - n -1 E 2 (L )ö÷ ö÷
åç j =1
è
n - j +1 , j
çÕ è k= j
j
Õ k= j
j
÷÷ øø
normális közelítés (várható érték, szórásnégyzet) kvantilisek – a szórásnégyzet segítségével
UN – megjegyzések Egyenletes-generálás (UG) • UN: – Várható érték: egyik determinisztikus módszer pontbecslése („láncszemhányados átlagokkal”) – UN: kvantilisek is adhatók • UG: – Lj valószínűségi változók, mint fent – i. sor tartaléka: Di ,n-i +1 × (Ln-i +1 × Ln -i + 2 × ... × Ln-1 - 1) – teljes tartalék: (n-1)!(n-2)!...1! lehetséges érték – 1000 lehetséges kimenetel generálása, tapasztalati kvantilisek
MCMC modell
Ci,j: e i: X i: Y i:
Y1 Y2 Yn-1 Yn e 1 X1 C1,1 C1,2 … C1,n-1 C1,n e 2 X2 C2,1 C2,2 … C1,n-1 … … … e n Xn Cn,1 i. periódusban bekövetkezett, (j-1) periódussal később bejelentett károk száma ~Poisson(eiXiYj) i. periódusban élő szerződések száma egy szerződésre jutó kárszámintenzitás az i. periódusban ~ iid, gamma j-1 periódusnyi késéssel bejelentett károk aránya j -1 ~Beta(a,b) eloszlás a éê 0 ,1 - å Y k ùú intervallumon ë
k =1
û
MCMC-tartalékolás a posteriori eloszlások Bayes-tétellel: n
n - i +1
[x | c , y ] ~ Õ [x ]× Õ [c i
i =1
i, j
| xi , y j
]
j =1
n
[x | c , y ] µ Õ
x
n - i +1 æ çç a + å c i , j j =1 è i
ö ÷÷ - 1 ø
×e
n - i +1 æ - x i çç l + e i å y j =1 è
j
ö ÷÷ ø
i =1
n - j +1
n
[y | c, x ] ~ Õ [y ]× Õ [c j
j =1
i, j
| xi , y j
]
i =1
n
[ y | c, x ] µ y na + b -1 × Õ e i =1
n -i +1 æ çç - yi å e j x j j =1 è
ö ÷÷ ø
n -i +1
a -1+
× yi
å ci , j j =1
×
1 æ ö ç1 - å y j ÷ ç ÷ j =1 è ø i -1
a
Markov Chain Monte Carlo mintavétel Metropolis-Hastings módszer; q (. | x) ~ N ( x,0.0001) javaslati eloszlás: z ~ q (. | xt ) 1. mintagenerálás 2. ì Z x [t + 1] = í î x [t ] a = min
a 1-a
vszg . vszg .
æ f ( z ) q ( x [t ] | z ) ö çç 1 , ÷÷ f ( x [t ]) q ( z | x [t ]) ø è
MCMC-tartalékolás • Minden lépésben – 1 minta x-re, 1 minta y-ra – tartalék: Poisson-minta generálása az aktuális X és Y segítségével számolt paraméterrel: n
n
å åe x y i i i =1 j =n-i +2
j
• Várható érték és kvantilisek meghatározása a kapott értékek alapján
Eredmények: pontbecslések Household (monthly)
MTPL (monthly) 650
1150
600
950
550 500
750
450
550
400 350
350 CL
UN
UG
CL
MCMC
UN
UG
MCMC
UG
MCMC
MTPL (quaterly)
Household (quaterly) 650
1150
600 550
950
500
750
450
550
400
350
350
CL
UN
UG
MCMC
CL
UN
Eredmények: kvantilisek Household (monthly)
MPTL (monthly)
1900 1700
800 700
1500 1300 1100 900
UN
UN
600
UG MCMC
700 500 300
UG 500
MCMC
400 300 50%
75%
90%
95%
50%
75%
Household (quaterly)
90%
95%
MTPL (quaterly)
1900 1700
800 700
1500 1300 1100 900
UN
UN
600
UG MCMC
700 500 300
UG 500
MCMC
400 300 50%
75%
90%
95%
50%
75%
90%
95%
Tartalékolási módszerek tesztelése • Olyan intervallumot választunk, hogy minden információ ismert legyen: alsó háromszög is első három év (lakásbiztosítási adatok) • Becsült értékek összehasonlítása a tényleges értékkel C1,1 C1,2 C1,3 C1,4 C1,5 C2,1 C2,2 C2,3 C2,4 C2,5 C3,1 C3,2 C3,3 C3,4 C3,5 C4,1 C4,2 C4,3 C4,4 C4,5 C5,1 C5,2 C5,3 C5,4 C5,5
Teszt-eredmények • Valódi érték: 1788, Lánc-létra: 990 Quantiles of the reserve 2 500 2 000 1 500
50%
1 000 500
90%
75% 95%
0 UN
UG
MCMC
Real
Konklúziók • Pontbecslések nem megbízhatók • Sztochasztikus módszerek nagyon különböző eredményeket adhatnak • Módszer és periódus választása: – adatoktól is függően (hosszú/rövid kifutás) – teszteléssel
• Bootstrap, cross-validation módszerek
Köszönöm a figyelmet!
