Szárítási folyamatok matematikai modellezése irreverzibilis termodinamikai és perkolációelméleti módszerekkel

Szárítási folyamatok matematikai modellezése irreverzibilis termodinamikai és perkolációelméleti módszerekkel Mészáros Csaba1 – Bálint Ágnes2 – Klaus Gottschalk3 – Farkas István1 1

Szent István Egyetem Gödöllő, Fizika és Folyamatirányítási Tanszék Gödöllő, Páter K. u. 1., H-2103 Tel.: (06-28) 522055, Fax: (06-28) 410804, E-mail: [email protected] 2 Szent István Egyetem Gödöllő, Kémia és Biokémia Tanszék Gödöllő, Páter K .u. 1., H-2103 Hungary 3 Institut für Agrartechnik Bornim e.V. (ATB), Max - Eyth – Allee 100, Potsdam, Germany Összefoglaló A szárítási folyamatok disszipatív jellege folytán mind az irreverzibilis termodinamika, mind pedig a perkolációelmélet egyre jelentősebb szereppel bírnak a porózus közegeken keresztül történő egyidejű hő-, és anyagátvitel matematikai modellezésében. A terjedési sebességek véges értéke folytán a lokális egyensúly hipotézisét feladva dolgozunk ki egy olyan új szárítási modellt, amely megfelel a kiterjesztett irreverzibilis termodinamika és a statisztikus fizika legújabb követelményeinek is. Az átviteli folyamatokra jellemző relaxációs is időállandókat felhasználva egy új, sztochasztikus jellegű transzportelmélet alapjait vetjük meg a jelen munkában. 1. BEVEZETÉS A porózus közegeken keresztül zajló egyidejű hő-, és anyagátvitel jelenségeinek irreverzibilis jellege viszonylag régóta ismeretes pl. (Luikov és Mikhailov, 1965) és ez a tematika még mindig nyitott kutatási területet képvisel számos megválaszolatlan kérdéssel és sürgetően megoldandó feladattal – a szárítási folyamatokat is ideértve (Farkas et al., 2000). Mivel a makroszkopikus disszipatív kontinuumok következetes leírása csak a nemegyensúlyi termodinamika keretei között lehetséges (Gyarmati, 1967, Ván, 1996, Jou et al., 2001), kézenfekvő eljárásnak tűnik e diszciplína hatékony eszközeit a mérnöki gyakorlat olyan területein is alkalmazni, ahol ez eddig még nem történt meg. Az említett transzportfolyamatok szimulációjára is alkalmas számítógépes programcsomagok megjelenése és széleskörű elterjedése pl. (MAPLE 8, 2002) jelentős mértékben bővítheti és finomíthatja tovább a modellezési lehetőségeket. Figyelembe véve, hogy a szárítási folyamatokban mindig olyan csatolt hő-, és anyagátvitelről van szó, amely valamilyen adott kapilláris-porózus mikroszerkezetű közegen keresztül történik, eredményes és rendkívül hatékony új szimulációs stratégiához vezethet a nemegyensúlyi termodinamika és a perkolatív rendszerekben (Grimmett, 1999) zajló fázisátalakulások korszerű elméletének együttes alkalmazása (Luikov, 1966, Farkas et al., 2000, Prat, 2000, Mészáros et al., 2001, Huinink et al., 2002). A termodinamika legújabb eredményei szerint (Jou et al, 2001.) az irreverzibilis jelenségek klasszikus elméletében általánosan elfogadott lokális egyensúly hipotézise nem tartható, mivel e közelítésben parabolikus típusú parciális differenciálegyenletekkel (PDE-kel) dolgozunk, amelyek alkalmazásából az átviteli folyamatok végtelen terjedési – 115 –

sebessége következne, és ez nyilvánvalóan nem felel meg a fizika általánosan elfogadott elveinek. Ezért a jelen munkában a klasszikus elmélet keretein túllépő, az úgynevezett kiterjesztett irreverzibilis termodinamika által támasztott követelményeknek megfelelően (Gyarmati, 1977, Jou et al., 2001) kidolgozott nemlokális elméletekből kiindulva állítunk fel egy új formalizmust és oldunk meg egy, a csatolt transzportfolyamatokra vonatkozó általános, alapvető fontosságú feladatot. Dolgozatunkban rámutatunk a hiperbolikus típusú PDE rendszerek alkalmazásának szükségességére és felvázoljuk egy igen általános sztochasztikus jellegű transzportelmélet kidolgozásának lehetőségeit is, amely a korábbiaknál részletesebb, kifinomultabb szimulációk elvégzéséhez biztosíthat alapokat. A nemegyensúlyi termodinamika alapvető elvei szerint (Jou et al., 2001), (Sobolev, 1997) a Ji fluxusok (i=1,..,f ) (ide tartoznak pl. a tömeg-, hő-, elektromos- stb. áramsűrűségek) a következőképpen függnek az Xk termodinamikai hajtóerőktől ( k=1,…,f ) (pl. hőmérséklet-, nyomás-, koncentrációgradiens stb., azaz az erők valamely Γk intenzív termodinamikai mennyiség gradienseként írhatók fel úgymint X k = ∇Γ k ): J i = ∑ Lik X k , ( i = 1,..., f ) , f

(1)

k =1

ahol f a termodinamikai szabadsági fokok száma, az Lik vezetési együtthatókból felépített matrix pedig az Onsager-féle reciprocitási összefüggéseknek tesz eleget, azaz Lik = Lki (i,k=1,…,f). A fluxusok és a termodinamikai erők nem feltétlenül skaláris mennyiségek: a belőlük képzett egyes (rendezett) halmazok vektor-, sőt tenzor jellegű mennyiségeket is alkothatnak. Az (1) egyenletek és a megmaradási törvényeket kifejező mérlegegyenletek együttes alkalmazásával írható fel egy adott nemegyensúlyi rendszert jellemző transzportegyenletek teljes rendszere (Gyarmati, 1967). Így pl. csatolt hő-, és anyagátvitel esetén a megfelelő rendszer: ∂M ∂2 M ∂ 2T − D 2 − K 2 = 0, ∂t ∂x ∂x (2) 2 2 ∂T ∂ M ∂T − L 2 − E 2 = 0, ∂t ∂x ∂x ahol D a normál diffúziós tényező, E a hővezetési tényező, K (Soret-együttható) és L (Duffour-együttható) szimbólumok a csatolási tényezők. 2. A PERKOLATÍV ÁLLAPOTVÁLTOZÁSOK SZEREPE A porózus-szemcsés rendszerekben zajló szivárgási jelenségek korszerű statisztikus fizikai elmélete az ún. perkolációelmélet, amely jelenleg az említett diszciplína talán leggyorsabban fejlődő ágazatának tekinthető (Stauffer és Aharony, 1994), (Grimmett, 1999). Az elmélet egyik alapvető fontosságú eredménye szerint szivárgás esetén a porózus közeg egyaránt tartalmazhat szigetelő és vezető tartományokat (ún. klasztereket), és amennyiben ez utóbbiak mind össze vannak kötve, a rendszer állapota ugrásszerűen megváltozott ahhoz az állapothoz képest, amikor még nem voltak közöttük összefüggő vezetési pályák, azaz fázisátmenet játszódott le. A rendszer aktuális állapotát jellemző mennyiség a vezetési valószínűség (p), amely kritikus (vagy: küszöb-) értékénél (pc) következhet be az átmenet a vezető-, és a nem vezető állapotok között. A ∆p=p-pc aktuális vezetési valószínűségkülönbség az ún. rendparameter, amely értéke egy ingadozó jellegű mennyiség és a kritikus küszöbérték környezetében ezek az

– 116 –

ingadozások anomálisan nagy értékűek is lehetnek. Ilyenkor érvényes a rendparaméterre vonatkozó P(p) ∝ (p − p c ) β , (p − p c ) << 1, (3) skálatörvény, ahol β rendparaméterre vonatkozó kritikus skálakitevő. Újabban a Markov-láncok elméletének szellemében a véletlen gráfok eszközével sikerült a skálatörvényeket leszármaztatni (Mori és Odagaki, 2001), ami egyértelműen arra utal, hogy a fázisátalakulások fluktuációs elméletének ily módon történő matematikai megalapozása még befejezetlen. Az elmélet számos eredménye közül itt csak egyet idézünk. Eszerint egy négyzethálón véletlenszerűen bolyongó részecske origótól mért távolságnégyzetének átlagértéke: t −   2 2 τ < R ( t ) > = R ∞ 1 − ae  , (p c > p),   (4) t −   < R 2 ( t ) > = Dt 1 + be θ , (p > p c ),   ahol a és b állandó értékű együtthatók, míg a (4) képletekben szereplő többi paraméter az alábbi, ún. skálázási összefüggésnek tesz eleget: R ∞2 (p) ∝ ∆p −2 ν +β , τ(p) ∝ ∆p −2ν − t +β , (5) D(p) ∝ ∆p t , θ(p) ∝ ∆p −2ν − t +β . A (5) képletekben szereplő további skálakitevők a korrelációs hossz (ν), illetve a fajlagos vezetőképesség (t) kritikus indexei. Figyelembe véve, hogy a szárítási folyamatok újabb keletű szimulációi szerint gyakran elegendő a D diffúziós együttható perkolatív eredetű állapotváltozásait figyelembe venni (Prat, 2000), a jelen munkában mi is elfogadjuk ezt a feltételezést. Mivel a csatolt hő-, és anyagátvitelre vonatkozó csatolt PDE-rendszer közvetlenül megoldható az operációszámítás szokásos eszköztárával, a száradó anyagot jellemző belső hőmérséklet-, és nedvességtartalomeloszlások perkolatív állapotfüggése is közvetlenül modellezhető. Egy ilyen szimuláció eredményei láthatók az alábbi két ábrán, amelyeket közvetlenül kaptunk meg, egy Fourier-transzformációs számítás alapján (Mészáros et al., 2001).

1. ábra A nedvességtartalom függvény alakja ∆p=0,001 értéknél relatív egységekben

– 117 –

2. ábra A nedvességtartalom függvény alakja ∆p=0,002 értéknél relatív egységekben 3. A NEMEGYENSÚLYI TERMODINAMIKA FORMALIZMUSA HIPERBOLIKUS KÖZELÍTÉSBEN ÉS A RELAXÁCIÓS IDŐÁLLANDÓK ALKALMAZÁSA A kiterjesztett irreverzibilis termodinamika alapfeltevése szerint a diffúziós és/vagy hőhullámok megjelenése valamely disszipatív kontinuumban a lokális termodinamikai egyensúlyi állapot megszűnésével kapcsolatos. A vizsgált rendszer állapotának jellemzésében alapvető fontosságú entrópiafüggvény (az egyensúlyi állapotra vonatkozó r alakjához képest) ekkor egy olyan kinetikai járulékkal bővül, amely a J i termodinamikai fluxusoktól függ. A nemegyensúlyi termodinamika alapvető fontosságú képlete így (Gyarmati, 1977): f r r r r r r 1 f s = s a1 ,..., a f ; J 1 ,..., J f = seq ( a1 ,..., a f ) + skin J 1 ,..., J f ≡ ∑ Γi ai + ∑ mik J i ⋅ J k , (6) 2 i ,k =1 i =1 ahol mik egy nem-pozitív szimmetrikus mátrix, amely beépül az általánosított relaxációs időállandók képletébe:

(

)

(

)

τ ik = − ∑ Lil mlk , (1 ≤ i, k ≤ f ) , f

(7)

és így a következőképpen felírható általánosított konstitutív egyenletekre vezet: r f f r ∂J k (8) J i = ∑ Lik ∇ Γ k − ∑ τ ik , (1 ≤ i ≤ f ) . ∂t k =1 k =1 Az alkalmazott új közelítésnek megfelelően a transzportegyenletek teljes rendszere ismét felírható és különösen egyszerű alakot ölt, ha elhanyagolható mértékűnek tekintjük a disszipatív transzportjellemzők és a rendszerre jellemző induktív jellemzők közötti csatolásokat, ami plauzibilis feltevést jelent a valóságos feladatok többségére (Gyarmati, 1977). A relaxációs időállandók mátrixa így átlós alakot ölt, és ennek megfelelően a konvekciómentes esetekben a következő hiperbolikus típusú PDE rendszerhez jutunk: f ∂ 2 Γ ∂Γ (9) τ i 2 i + i − ∑ κ ik ∇2 Γ k = 0, (1 ≤ i ≤ f ) , ∂t ∂t k =1 l =1

τ i∗

f ∂ 2 ai ∂a i Dik ∇ 2 a k = 0, (1 ≤ i ≤ f ) . + − ∑ 2 ∂t ∂t k =1

– 118 –

(10)

A Dik és κik mátrixok a vezetési együtthatók és csatolási állandók általánosított változatai. Így, a jelen munkában tanulmányozott csatolt hő-, és anyagátvitel esetén a kiterjesztett irreverzibilis termodinamika az alábbi egyenletrendszer alkalmazását követeli meg: ∂ 2 M ∂M τ1 2 + − D∇2 M − K ∇2T = 0, ∂t ∂t (11) 2 ∂ T ∂T 2 2 τ2 2 + − E ∇ T − L∇ M = 0. ∂t ∂t Ez az egyenletrendszer is lehetőséget nyújt a perkolatív állapotváltozások figyelembevételére a D diffúziós együttható már megismert kritikus állapotokra vonatkozó változásai által (Mészáros et al., 2003a). 4. CSATOLT TRANSZPORTFOLYAMATOK MODELLEZÉSE A RELAXÁCIÓS IDŐÁLLANDÓK EXPLICIT FIGYELEMBEVÉTELÉVEL Mivel a fentebb felírt (11) egyenletrendszer megoldása igen körülményes (pl. a Fouriertranszformációs eljárás is csak a komplex függvénytanban kidolgozott aszimptotikus sorfejtési módszer figyelmes alkalmazásával használható az inverz transzformációnak alávetendő transzform-függvény alakja miatt), most egy alkalmasabb eljárással vesszük figyelembe a relaxációs időállandókat, hogy elkerüljük a végtelenül gyors állapotváltozások problémáját. Eszerint (Landau és Lifsic, 1980) a nem egyenletesen melegített testekben lejátszódó kiegyenlítődési folyamatok leírására (miközben a testek felületét adott körülmények között tartjuk) célszerű a keresett megoldásfüggvények általános alakját a következőképpen felvenni (Mészáros et al., 2003b): T M T ( x, t ) = ∑ cmT Tm ( x ) ⋅ e − λm t , M ( x, t ) = ∑ cmM M m ( x ) ⋅ e − λm t , (12) m

m

tehát feltételezve, hogy a folyamatok időbeli lefolyása exponenciálisan lecsengő jellegű 1 1 (a relaxációs időállandók pedig értelemszerűen: τ mM = M ,τ mT = T ). Megemlítendő,

λm

λm

hogy az egyszerű hővezetés feladatát vizsgálva Starknak (Stark, 1974) ugyanilyen alakú próbafüggvény alkalmazása révén sikerült igazolnia, hogy a stacionárius folyamatok modellezésére kidolgozott irreverzibilis termodinamikai variációs elvek közvetlenül átvezethetők a numerikus matematika leghatékonyabb eszközei közé sorolható direkt variációs módszerekbe (mint amilyen pl. a Ritz-, vagy a Ritz-Galjorkin módszer). A (12) kifejezéseket közvetlenül a (2) rendszerbe helyettesítve nyerjük, hogy:  T d 2Tm ( x ) T  c E − K + λmT ⋅ Tm ( x ) ⋅ e − λm t = ( ) ∑ m  2 dx m   (13) 2   M d M x ( ) m cmM  ( D − L ) + λmM ⋅ M m ( x ) ⋅ e − λm t , ∑ 2 dx m   azaz feltételezhetjük, hogy a nedvességtartalom-, és a hőmérsékletfüggvény megfelelő rendű térbeli felharmonikusai hasonlóan viselkednek (e feltevés a kiindulási (2) PDE rendszer szimmetriája miatt tekinthető plauzibilisnek). Ennek megfelelően felírhatjuk a következő közönséges differenciálegyenleteket: d 2Tm ( x ) d 2M m ( x ) λmT λmM + Tm ( x ) = + M m ( x ) = ψ m ( x ). (14) dx 2 E−K dx 2 D−L

– 119 –

Az említett feltevés szerint ez az egyenlőség legalább egy lényegtelen numerikus együttható erejéig igaz, amely egyszerűen belefoglalható a cmM és cmT sorfejtési együtthatókba. A teljes megoldásfüggvények ily módon történő felírásához szigorúbb feltételeket is kiszabva a ψ m ( x ) függvényt egy adott rendű polinomként is felfoghatjuk, amely együtthatói a kísérleti adatok alapján határozhatók meg. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a (14) közönséges másodrendű inhomogén differenciálegyenletek jobb oldalán álló függvény egyszerűen x n -nel azonos. A differenciálegyenletek ekkor már közvetlenül megoldhatók és a MAPLE 8 számítógépes programcsomag alkalmazásával (MAPLE 8, 2002) közvetlenül nyerjük, hogy (Mészáros et al., 2003c): x1+n 1 y ( x ) = a ⋅ cos cx + b ⋅ sin cx − (− (n + n x c c ( 3n + n 2 + 2 ) ( x c )

(

)

(

)

+2)(n + 1) cos( x c )( x1+n c cos( x c ) − x n sin( x c ) LommelS1( n + 1/ 2,1/ 2, x c ) + 1 + (n + 2) LommelS1 n + 3/ 2,1/ 2, x c ( x1+n c sin x c cos x c − n x c

(

(

)

(

)

− x n + x n cos2 x c ) + x1+ n c (

)

n

(x c )

(

) (

(n + 2)(cos( x c ) − 1)(cos( x c − n

(

) (

)

(15)

)

−1) LommelS1(n + 1/ 2,3 / 2, x c ) − cos x c sin x c ( x c + + LommelS1(n + 3 / 2, 3/ 2, x c )(1 + + n )

1+ n

(x c )

n

))),

 λmT λmM  ahol y ( x ) ∈ {Tm ( x ) , M m ( x )} és c ∈  ,  , és az általános megoldás  E − K D − L felírásához nyilvánvalóan szükség van a speciális függvények elméletében tanulmányozott ún. Lommel-féle függvények (Luke, 1969) alkalmazására is. A nedvességtartalom-, és a hőmérsékleteloszlás-függvényeknek a teljes megoldásához nyilvánvalóan a különböző rendű (15) függvények megfelelő lineáris kombinációit kell a (12) képletekbe beépíteni. Ez utóbbiak legegyszerűbb alakját véve (tehát csak az n=m=1 értékekre szorítkozva és ennek megfelelően a cmM=1 ≡ c1M , cnT=1 ≡ c1T jelöléseket alkalmazva a sorok csonkolásánál megtartott sorfejtési együtthatóknál), az eredeti (2) PDE rendszer az alábbi közönséges differenciálegyenletekből álló csatolt rendszerré egyszerűsödik: d 2 M 1 ( x) d 2T1 ( x) B1M 1 ( x) = D1 + K , (16) 1 dx 2 dx 2

d 2 M 1 ( x) d 2T1 ( x) + E , 1 dx 2 dx 2 ahol a következő rövidítéseket alkalmaztuk: B2T1 ( x) = L1

– 120 –

(17)

L1 ≡ Lc1M ⋅ e

λm=1 ≡ λ = M 1

(

) , E ≡ EcT , D ≡ Dc M , K ≡ KcT ⋅ e −( λ 1 1 1 1 1 1

− λ1M − λ1T t

1

τ 1M

T 1

, λn =1 ≡ λ = T 1

1

τ 1T

M

T

) , − c1 = B , − c1 = B , 1 2 τ 1M τ 1T

− λ1M t

(18)

.

A (16-17) rendszer viszonylag könnyen megoldható, mivel a hőmérséklet lokális egyensúlya általában sokkal gyorsabban beáll, mint a nedvességtartalomé (azaz τM >>τT) (Sobolev, 1997) és emiatt jó közelítéssel írhatjuk, hogy B1 → 0 . A (16-17) rendszer megoldása ekkor (Mészáros et al., 2003b):

 

M ( x, t ) ≡ M 1 ( x ) = c1 + c2 x + c3 sin 

τ1T





D

 



 + c cos  4

DE − KL   

D







τ1T

 

x

 ,

DE − KL  



(19)



 τ τ D c τ1T   . T ( x, t ) ≡ T1 ( x ) = − ⋅ ⋅ e c3 sin + c4 cos (20)  K c DE − KL DE − KL      Ez a közelítés gyakran realisztikus, mivel úgy tekinthetjük, hogy az első relaxációs időállandóval jellemezhető, időben lecsengő jellegű változás a domináns a teljes átviteli folyamatban (Landau és Lifsic, 1980). A megoldásokból az következne a (19) képlet alapján, hogy a nedvességtartalom nem időfüggő mennyiség a szárításnak alávetett porózus test belsejében, ami fizikailag nyilvánvalóan nem lehetséges. Mégis, mivel mind a (19), mind pedig a (20) megoldási képletekben a szinusz-, és a koszinuszfüggvények argumentumában szereplő együtthatók expliciten függnek a D diffúziós együtthatótól, a mindig jelen lévő perkolatív állapotváltozások révén ez a formális hiányosság is kiküszöbölhető. A megoldásfüggvényekben felismerhető oszcillatorikus jelleget így éppen a rendszer aktuális perkolatív állapota határozza meg, tehát a porózus-kapilláris mikroszerkezet alapvető tulajdonságai közvetlenül is megjelennek a megoldásokban. A (3-5) összefüggések alapján nyilvánvaló, hogy a megoldásfüggvényeknek ez a modulációja a perkolatív kritikus állapotok környezetében változhat a legnagyobb mértékben. A (19-20) képletek alapján az adott konkrét szárítási feladatokban vizsgált csatolt hő-, és anyagátvitel folytán bekövetkező felületi állapotváltozások is jól modellezhetők, ha kivizsgáljuk pl. a Dirichlet-, és a Neumanntípusú peremfeltételeket. Jelöljék M1(0,0) és T1(0,0), a felületi hőmérséklet-, és nedvességtartalom-értékeket a szárítási folyamat kezdeti időpillanatában. A Dirichlettípusú peremfeltételek alkalmazásával a c1 és c4 integrációs állandók értékei közvetlenül megkaphatók úgymint KcT KcT c4 = −T1 (0, 0) 1M , c1 = M 1 (0, 0) + T1 (0,0) 1M . (21) Dc1 Dc1 M 1 T 1

t









x

D T 1

x

D T 1

x

A fennmaradó két integrációs állandó pedig a Neumann-típusú peremfeltételekből kaphatók meg, azaz a

 ∂T1   ∂M 1  = q(t ),  = r (t ),     ∂x  x = 0  ∂x  x = 0

– 121 –

(22)

képletek alapján, ahol feltételezzük, hogy mind q(t), mind pedig r(t) ismert függvényei az időnek. Innen közvetlenül nyerjük, hogy: cT K cT K c3 ≡ −q ( t = 0 ) ⋅ 1M ⋅ 3/ 2 τ 1T ( DE − KL ) , c2 = r (t = 0) + q ( t = 0 ) ⋅ 1M ⋅ , (23) c1 D c1 D tehát mindegyik állandó tulajdonképpen perkolatívan állapotfüggő mennyiségnek tekinthető (a D diffúziós együttható révén) és a nedvességtartalom-, valamint a hőmérséklet kezdeti értékeitől függnek a szárított porózus anyagtömb felületén. 5. KÖVETKEZTETÉSEK Jelen munkában egy olyan modellezési stratégia alapjait vetettük meg a szárítási folyamatok számítógépes szimulációja céljából, amely egyaránt támaszkodik a korszerű nemegyensúlyi termodinamika és a perkolatív rendszerekben lejátszódó fázisátmenetekre vonatkozó statisztikus fizikai elmélet legújabb eredményeire. A klasszikus irreverzibilis termodinamika alapjául szolgáló lokális egyensúly hipotézisén túllépő új termodinamikai elméletek érvényességét elfogadva a csatolt transzportfolyamatokat is a relaxációs időállandók bevezetésével modelleztük és ezáltal egy teljesen új megoldási képletet vezettünk be a hőmérséklet-, és nedvességtartalomfüggvények térfüggő tényezőire, amelyeket a speciális függvények osztályába sorolható Lommel-függvények révén sikerült felírni. Javasolt módszerünk összhangban áll az irreverzibilis termodinamika viszonylag régóta ismeretes követelményével, miszerint a csatolt transzportfolyamatoknál bekövetkező felületi változásokat is nemegyensúlyi szempontból kell vizsgálni (Kirschner, 1959). Megmutattuk, hogy a perkolatív állapotváltozások befolyása a végleges megoldási függvényekre expliciten figyelembe vehető, és ez a hibrid modellezési eljárás megvetheti egy, az eddigiektől különböző, sztochasztikus jellegű transzportelmélet alapjait is. Számítási eljárásunk szorosan kapcsolódhat továbbá a porózus közegeken történő transzportfolyamatokra vonatkozó, a vezetési és csatolási együtthatók meghatározására kidolgozott inverz modellezési stratégiákkal is (Bitterlich és Knabner, 2003), ami különösen gyümölcsöző lehet a továbbiak folyamán az inverz módszerekre kidolgozott igen hatékony kísérleti ellenőrzési módszerek sokrétűsége miatt. A felsorolt eredményeken túlmenően a javasolt formalizmus egy új kutatási tematikát alapozhat meg a matematikai fizikában is, a parabolikus-, és a hiperbolikus típusú csatolt parciális differenciálegyenletekkel felírható megoldások viszonyának tanulmányozása szempontjából, döntően a folytonos csoportok ábrázolás elméletének szemszögéből. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Köszönetünket fejezzük ki az OTKA-nak (T035189), és a TÉT Alapítványnak (D-9/00, CHN-12/02), hogy támogatta munkánkat. Mészáros Csaba külön kifejezi köszönetét az Eötvös Ösztöndíj adományozóinak, hogy támogatták kutatómunka végzését az ATB Intézetben Bornimban (Potsdam, Németország), valamint az Oktatási Minisztériumnak, “Békésy György” posztdoktori Ösztöndíj adományozását (148/2002.). Bálint Ágnes kifejezi köszönetét az Oktatási Minisztériumnak a “Széchenyi István” ösztöndíj adományozásáért.

– 122 –

IRODALOMJEGYZÉK Bitterlich, S., Knabner, P.: Experimental design for outflow experiments based on a multi-level identification method for material laws, Inverse Problems 19 (2003) pp. 1011-1030 Farkas, I., Mészáros, Cs., Bálint, Á. (2000) Mathematical and Physical Foundations of Drying Theories, Drying Technology Vol. 18. No.3. pp. 541-549. Grimmett, G. (1999) Percolation (2nd edition), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York Gyarmati, I. Nemegyensúlyi termodinamika, Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1967) Gyarmati, I. (1977) On the Wave approach of Thermodynamics and some Problems of Non-Linear Theories. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics Vol. 2. pp. 233-260. Huinink, H.P., Pel, L., Michels, M.A.J., Prat, M.: Drying processes in the presence of temperature gradients- Pore-scale modelling, Eur. Phys. J. E 56 (2002) pp. 487 498 Jou, D., Casas-Vazquez, J., Lebon, G. (2001) Extended Irreversible Thermodynamics (3rd revised edition), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York Kirschner, I.: Irreversible Thermodynamics of the Volta-Effect, Acta Phys. Hung. 10 (1959) pp. 351 - 358 Landau, L.D., Lifsic, E.M.: Hidrodinamika (Elméleti Fizika VI.), Budapest: Tankönyvkiadó (1980) Luikov, A.V., Mikhailov, Yu.A. (1965) Theory of Energy and Mass Transfer, Pergamon Press, Oxford Luikov, A.V. (1966) Heat and Mass Transfer in Capillary-Porous Bodies, Pergamon Press, Oxford Luke, Y.L.(1969): The Special Functions and Their Approximations, Vol.1., Academic Press, New York Mészáros, Cs., Farkas, I. Bálint, Á. (2001) A new application of percolation theory for coupled transport phenomena through porous media. Mathematics and Computers in Simulation Vol. 56. pp. 395-404. Mészáros, Cs., Bálint, Á., Farkas, I., Buzás, J. (2003a) Modelling of the coupled heat and mass transfer through porous media on the base of the wave approach of the non-equilibrium thermodynamics Drying Technology (megjelenés alatt) Mészáros, Cs., Bálint, Á., Kirschner, I., Gottschalk,K., Farkas, I.: Surface Changes of Temperature and Moisture Level at Coupled Heat and Mass Transfer through Porous Media According to the Wave Approach of the Irreversible Thermodynamics, in Proceedings of the European Drying Symposium (EUDrying 03), 4.-5. September 2003b, Hersonissos-Heraklion, Crete, Greece Mészáros, Cs., Buzás, J., Bálint, Á., Gottschalk, K., Farkas, I.: Surface Changes of the Temperature and Moisture Level at Coupled Transport Processes through Porous Media according to the Wave Approach of the Irreversible Thermodynamics, in: Gy. Tátrai and Zs. Vinczeffy (eds.), Proceedings of the 3rd Research and Development Conference of Central-, and Eastern European Institutes of Agricultural Engineering (CEEAgEng), 11.-13. September 2003c, Gödöllő, Hungary MAPLE 8, a Symbolic Computation System, Waterloo Maple Inc. (2002) Mori, F., Odagaki, T. (2001) Percolation Analysis of Clusters in Random Graphs. Journal of the Physical Society of Japan Vol. 70. No. 8. pp. 2485-2489.

– 123 –

Prat, M. (2000) Recent advances in pore-scale models for drying of porous media, in: P.J.A.M. Kerkhof, W.J.Coumans, G.D.Mooiver (eds.), Proceedings of the 12th International Drying Symposium IDS 2000, Noordwijkerhout, The Netherlands, 28-31 August Sobolev, S.L.: Local Non-Equilibrium Transport Models, UFN 167(10) (1997) pp. 1095-1106 Stark, A.: Approximation Methods for the Solution of Heat Conduction Problem using Gyarmati’s Principle, Ann. Phys. (Leipzig) 7(31) (1974) pp. 53-75 Stauffer, D., Aharony, A. (1994) Introduction to Percolation Theory (2nd revised edition), Taylor & Francis, London Ván, P. (1996) On the structure of the governing principle of dissipative processes. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics Vol. 21. pp. 17-29.

– 124 –