Számítógépes matematikai kísérletek: a kreatív és vizuális gondolkodás fejlesztése Karsai János, Szanyiné Forczek Erzsébet Szegedi Tudományegyetem, Általános Orvostudományi Kar, Orvosi Informatikai Intézet Absztrakt. Az előadásban vázoljuk a számítógépes matematikai kísérletek alkalmazására vonatkozó elgondolásainkat és tapasztalatainkat. Bemutatunk néhány a "Számítógéppel támogatott matematikai modellezés" kurzuson alkalmazott Mathematica projektet. Kulcsszavak. Számítógéppel segített oktatás, modellezés, vizualizáció, Mathematica.
1. Bevezetés A nagyteljesítményű, realisztikus grafikával rendelkező asztali számítástechnikai eszközök elterjedésével a számítógépes vizualizáció és szimuláció a tudományos kutatás és oktatás szerves részévé vált. A vizualizációs kutatási technikákat még az olyan absztrakt tudományágakban is alkalmazzák, mint a matematika. És mivel az alkalmazott területeken vizsgált jelenségek gyakran bonyolult matematikai modellekkel írhatók le, a számítógéppel támogatott matematika modellezés jelentősége és hatása minden területen egyre növekszik. Ezt a tényt felismerve, évekkel ezelőtt a Szegedi Tudományegyetem Orvos- és Gyógyszerésztudományi Karán bevezettük a "Számítógéppel támogatott matematikai modellezés" kurzust. Jelenleg, a kurzus hallgatóságát főként az élettudományi, matematika és fizika szakos hallgatók adják. Ezzel párhuzamosan, a gyógyszerészhallgatók matematika oktatása is számítógépes segédlettel - nem prezentációk segédletével! - folyik. A következő fejezetben a számítógéppel segített oktatási tevékenységünk legfontosabb elemeit vázoljuk, utána pedig illusztráció gyanánt bemutatunk néhány, a Mathematica rendszerben készített oktatási projektet.
2. Az oktatási elvek A tény, hogy a matematika "csupán" segédeszköz a mérnökök és az alkalmazott tudományok számára, általánosan elfogadott. A hallgatók matematikai modellekkel dolgoznak, és nehéz számításokat végeznek a modellek mögött álló matematikai elméletek mélyebb ismerete nélkül. A számítógépes programok képesek helyettesíteni a fárasztó kézi számolásokat, de csak akkor, ha a felhasználó érti a használt fogalmakat és módszereket. Ugyanakkor, a kísérletek, a vizualizációs technikák felgyorsítják a megértés folyamatát, minthogy gyakran meggyőzőbbek, mint a szigorú matematikai bizonyítások. Ezért a tradicionális tárgyalásmód, a manuális gyakorlás és a számítógépes kísérletezés megfelelő kombinációja mélyebb és alkalmazhatóbb matematikai tudást eredményez és javítja a kreatív gondolkodást. A fentiek alapján, számítógéppel segített matematika és modellezés kurzusaink célja hármas: − A számítógépes alkalmazások a matematika előadásokon és gyakorlatokon, mint demonstrációs anyagok az elmélet megértetését szolgálják.
A számítógépes kurzusokon a hallgatók alkalmazzák elméleti ismereteiket: − megtanulják a számítógép használatát a matematikai eljárások végrehajtására, mint például a grafikonok rajzolása, a kalkulus eszközei, görbeillesztés, sorfejtések, differenciálegyeletek megoldása, − és a szakmájukban felmerülő gyakorlati problémákat vizsgálnak a tanult számítógépesített matematikai eljárások segítségével. Kurzusunk főbb alapgondolatai az alábbiak: − Potenciális hallgatóink főként a fizika, biológia, kémia, orvostudomány és a gyógyszerészet valamely részterülete iránt érdeklődnek. − A számítógépes kísérletezést előnyben részesítjük a formális matematikai módszerekkel szemben. − A hallgatók maximális eredményt szeretnének elérni minimális matematikai és számítástechnikai erőfeszítéssel. Ezért felhasználóbarát modellezési sémakészletet és számos esettanulmányt készítettünk, amelyek az elméleti anyag illusztrációjaként és kísérleti eszközként is egyaránt felhasználhatók. − Az elméleti gyakorlatokon csupán az oktató dolgozik számítógépen, a számítógépes órákon az oktató és a hallgatók szimultán dolgoznak. − A hallgatók használják és továbbfejlesztik a kapott sémákat saját érdeklődésüknek megfelelően.
3. A projektek fejlesztéséről Számos könyv és számítógépes fejlesztés készült a matematikai programcsomagokkal kapcsolatosan. A legtöbbjük azonban vagy technikai részletekkel foglalkozik, vagy a matematikai elmélet megértetéséhez használja őket. Van közülük, amelyik modellezési problémákat tekint, de csak kevés ad általános bevezetést és a gyakorlatban is jól használható "recept-gyűjteményt". Ezért, felhasználva a már létező publikációk tapasztalatait, projekteket, "recepteket" fejlesztettünk kurzusaink számára, amelyek reményeink szerint teljesen illeszkednek a fentiekben vázolt elveinkhez. Ezek a projektek az alábbi csoportokba oszthatók. − Rövid bevezetés a technikai eszközök használatába, ide véve a grafikus módszereket is. − Matematikai fogalmak és eljárások, modellezési lépések és ezek számítógépes megvalósításaik. − Elemi modellek vizsgálata. − Bonyolultabb, differenciál- és differencia-egyenletekkel, impulzív rendszerekkel leírható, modellek vizsgálata. − Az interaktív modellezés módszerei A projektek felépítése és stílusa lényegében azonos. A fejlesztés során az alábbi elveket vettük figyelembe: − Hiper-média struktúra, hiperhivatkozásokkal. − Rövid matematikai bevezető és technikai összefoglaló. − Az elméleti módszerek felhasználóbarát implementációja. − Grafikus magyarázatok és érvelések, a vizualizációs módszerek hangsúlyozása, mint például az animáció, színezés és interaktív módszerek. − Kísérletezés: konstruktív módszerek a dedukcióval szemben. A kísérletek eredményeiben való bizodalom korlátait és veszélyeit tárgyaljuk.
− A modellegyenletek numerikus megoldását részesítjük előnyben a formális megoldások helyett. A módszerek korlátaira felhívjuk a figyelmet. − Jól előkészített parancsok, utasítások a gépelési és szintaktikus nehézségek elkerülésére. − Egyszerű és összetettebb modellezési sémák, esettanulmányok bemutatása. Gyakorlatok, problémák (némelyik még nyitott). Természetesen, a kísérleti projektek nem helyettesíthetik a formális számolásokat, a sokat segítenek a vizsgált jelenségek kvantitatív és kvalitatív tulajdonságainak a megértésében. Hisszük, hogy projektjeink fejlesztik hallgatóink kreativitását és tudományos gondolkodását.
4. Példák Nem lehetséges a projektek részletes bemutatása, és az animációk sem mutathatók be. Ezért az ábrák mellett, az adott témakörökre vonatkozó legfontosabb célkitűzéseket és a projektek lehetőségeit vázoljuk. 1. Példa. A függvények grafikus ábrázolása számítógépen A hallgatók megtanulják az alapvető rajzoló utasításokat, a számítógépes ábrázolásban rejlő lehetőségeket, ugyanakkor tapasztalják a számítógépes ábrázolás veszélyeit is. Néhány figyelemre méltó "trükk": a tengelyek skálázási arányából lehet következtetni a változás mértékére; a mintapontok számának növelése realisztikusabb ábrát eredményez, de néha egyáltalán nem realisztikus idő alatt. Kevés pont felhasználásával nem valós grafikont kaphatunk. Figyelni kell a lehetséges szingularitásokra, a különösen nagy változási mértékre, és olvassuk el a hibaüzeneteket.
-3
-2
3
3
2
2
1
1
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
2
3
1. ábra. Az 1/x függvény "lehetséges" grafikonjai 2. példa. Számítógéppel segített ("fordított") függvényvizsgálat. A tekintett függvényre vonatkozó grafikus vizsgálatok után a hallgatók analitikus és numerikus módszerekkel meghatározzák a speciális pontokat (zéróhelyek, szélsőérték-helyek, stb.). A kezdő közelítések megadásának fontosságát hangsúlyozzuk. 1
1
0.5
0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
0.5
3
- 0.5
- 0.5
-1
-1
1 1.5
2 2.5
2. ábra. Newton iteráció különböző kezdőértékekkel
3
3. példa. Trajektóriák megjelenítése. Ezt az egyszerű, de hasznos projektet a hallgatók már a harmadik órán elkészítik. Lényegében egy paraméteres görbét, és a görbe mentén mozgó pontra vonatkozó animációt tartalmaz. A hallgatók megtanulják, hogyan lehet a negyedik dimenziót (az időt) 3D ábrán színekkel, animációval, vagy stroboszkopikus ábrázolással megjeleníteni. Később a görbe helyett differenciálegyenletek megoldásaival helyettesítve ez a projekt, valós problémák elemzését is segíti. 0 - 0.5 -1 1 0.5 0 - 0.5 -1 -1 - 0.5
1 0.5 4 3 2 1 1 0 0.5
2
3
4
1
3. ábra. Stroboszkópikus ábrák
4. példa. Görbeillesztések. A hallgatók az adott adathalmazt ábrázolják, transzformációkat, szűréseket alkalmaznak, ha szükséges, hogy az illeszkedő függvénycsaládra vonatkozó kezdeti sejtéshez. Majd, megoldják az illesztési problémát, és megpróbálják javítani az illesztést. 6 5 4 3 2 1 5
10
15
20
4. ábra. Egy inhomogén adathalmaz 5. példa. 1D differenciálegyenletek A hallgatók megismerik az 1D differenciálegyenletek vizsgálatának legegyszerűbb lépéseit (iránymező, egyensúlyi helyzetek, stabilitási tulajdonságok, megoldások kezdeti értékektől való függése) és a használt számítógépes eszközöket. 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5
1
1.5
2
2.5
3
5. ábra. A megoldások függése a kezdeti értékektől
6. példa. Kísérletek impulzív rendszerekkel Minthogy az impulzív rendszerek formális leírása és néha viselkedése egészen bonyolult lehet, csak ritkán részei a szokásos egyetemi kurzusoknak. Projektjeink néhány egyszerű modellt vizsgálnak és segítenek ezen fontos rendszerek természetének a megértésében. Ilyen például az ismételt gyógyszeradagolás, amelynél a dózisok közt eltelt időnek és a dózisok nagyságának az optimális beállítása alapvető fontosságú az alul- és túladagolás elkerülése és gazdasági szempontokból egyaránt. 2.5 2 1.5 1 0.5
2
4
6
8
10
6. ábra. Az első dózistól való függés
7. Példa. Egy kis pihenő, számítógépes grafika és függvényábrázolás A komoly modellezési problémák között aktív relaxáció a felületek ábrázolása. Ábrázoljuk ugyanazt a függvényt a Descartes-féle koordinátarendszerben, henger-, polár-, toroid-, vagy valami egészen más koordinátarendszerben. Kellemes élményben lehet részünk. Mindemellett, fejlődik hallgatóink térlátása is.
7. ábra. Hullámok különböző terekben
Hivatkozások [1] [2] [3] [4] [5] [6]
[7]
[8] [9]
[10]
[11]
[12]
Beltrami, E.: Mathematics for Dynamic Modeling, Academic Press, 1998. Giordano, F. R., Weir, M. D., Fox W. P.: A First Course in Mathematical Modeling, Brooks/Cole Publishing Company, 1997. Gaylord, R. J., Wellin, P. R.: Computer Simulations with Mathematica, Telos-Springer, 1995. Dreyer, T. P.: Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press, 1993. Hege, H. C., Polthier, K. (Eds.): Visualization and Mathematics, Experiments, Simulations and Environments, Springer, 1997. Forczek E., Karsai J., Computer visualization in the Mathematics Classroom, Proceedings of the M/SET 2000-International Conference on Mathematics / Science Education and Technology, San Diego CA, February 5-12, 2000. Karsai J., Forczek E., Computer visualization in teaching Mathematics (in Hungarian), Proceedings of the Workshop on Multimedia in Higher Education, Keszthely, 1995, 54-60. Karsai, J.: Mathematics for Pharmacy Students (in Hungarian), A. Szent-Györgyi Med. Univ., 1996. Karsai J., Hantos Z.: Computer curricula at Albert Szent-Györgyi Medical University: infrastructure, programmes and development, Medical Informatics Europe '96, Technology and Informatics 34, IOS Press, 1996, 838-842. Karsai J., Forczek E., Nyári T.: Computer Visualization in Teaching Mathematics: Tools, Developments and Experiences (in Hungarian), Proceedings of the 2nd Conference on Informatics in Higher Education, Debrecen, 1996, 592-597. Karsai J. et al, Computer labs to improve the visual thinking and intuition, Proceedings of the 10th SEFI MWG European Seminar on Mathematics in Engineering Education, June 14-16, 2000. Miskolc, 73-79. Wolfram, S.: Mathematica, A System for Doing Mathematics by Computer, AddisonWesley Publishing Company, 1994.
Karsai János, Ph.D. Szegedi Tudományegyetem, Orvosi Informatikai Intézet 6720 Szeged Korányi fasor 9. E-mail:
[email protected] www: http://silver.szote.u-szeged.hu Szanyiné Forczek Erzsébet Szegedi Tudományegyetem, Orvosi Informatikai Intézet 6720 Szeged Korányi fasor 9. E-mail:
[email protected] www: http://web.szote.u-szeged.hu/dmi/
