SUBGRUP NORMAL
Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:
[email protected] May 4, 2013
1
Daftar Isi 1 Tujuan
3
2 Subgrup Normal
3
3 Sifat-sifat Subgrup Normal
4
4 Latihan
5
2
1
Tujuan
Pada modul ini akan membahas tentang subgrup normal yaitu subgrup yang koset kanan dan kirinya sama. Sifat-sifat berkaitan dengan subgrup juga menjadi bahasan dalam modul ini. Setelah mempelajari modul ini diharapkan mahasiswa mampu: 1. menjelaskan pengertian subgrup normal, 2. memberikan contoh subgrup normal dan subgrup yang tidak normal, 3. melakukan pengecekan sebuah subgrup merupakan subgrup normal atau bukan, 4. membuktikan teorema-teorema tentang subgrup normal.
2
Subgrup Normal
Pada kajian sebelumnya telah dibahas secara lengkap tentang koset, baik kanan maupun kiri. Dalam situasi tertentu koset kanan sama dengan koset kiri, namun dalam situasi tertentu koset kanan juga tidak sama dengan koset kiri. Subgrup normal merupakan kajian yang fokusnya pada situasi koset kanan sama dengan koset kiri. Definisi 1. Misal G sebuah grup dan H adalah subgrupnya. Subgrup H disebut subgrup normal jika dan hanya jika untuk semua g ∈ G berlaku gH = Hg. Mencermati hal tersebut terlihat bahwa subgrup normal mensyaratkan kondisi koset kiri sama dengan koset kanan. untuk memperjelas hal tersebut perhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh 1. Perhatikan grup (Z, +) dengan subgrupnya 5Z. Mudah dilihat bahwa untuk setiap k ∈ Z berlaku k + 5Z = Z + k. Hal ini berarti bahwa setiap subgrup 5Z merupakan subgrup normal dari Z. Jika diamati pada Contoh 1 bahwa subgrup tersebut normal dikarenakan berlakunya sifat komutatif pada subgrup atau grup itu sendiri. Lebih umum untuk sebarang grup komutatif maka semua subgrupnya merupakan subgrup normal. Hal ini dituangkan dalam teorema berikut ini. Teorema 1. Misal G sebuah grup abelian. Setiap subgrup H dari grup G merupakan subgrup normal. Bukti. Untuk setiap g ∈ G dan h ∈ H berlaku gh = hg. Hal ini tentunya mengakibatkan gH = Hg. Dengan demikian H merupakan subgrup normal.
3
Perhatikan kembali grup permutasi (S3 , ◦) yaitu S3 = {α, β, γ, δ, θ, } (lihat ModulSA-03-Pengantar Grup). Grup permutasi ini merupakan grup yang tidak komutatif. Perhatikan kembali subgrupnya H1 = {α, δ} dan subgrup H2 = {α, β, γ}. Dengan mudah dicek bahwa H1 bukan subgrup normal karena ◦ H1 6= H1 ◦ . Namun sebaliknya subgrup H2 merupakan subgrup normal karena semua koset kiri dan kanannya adalah sama.
3
Sifat-sifat Subgrup Normal
Persoalan mendasar dalam mempelajari subgrup normal adalah pengujian tentang sebuah subgrup yaitu merupakan subgrup normal atau bukan. Teorema berikut merupakan salah satu teorema yang mendasar untuk pengujian sebuah subgrup merupakan subgrup normal atau bukan. Teorema 2. Misal G sebuah grup dan N adalah subgrupnya. Pernyataan berikut merupakan pernyataan yang ekivalen. a. N merupakan subgrup normal dari G. b. Untuk semua g ∈ G berlaku gN g −1 ⊂ N . c. Untuk semua g ∈ G berlaku gN g −1 = N . Untuk membuktikan Teorema 2 digunakan langkah-langkah (i) a ⇒ b, (ii) b Rightarrow c, dan (iii) c Rightarrow a. Bukti. (a)⇒ (b). Karena N merupakan subgrup normal maka berlaku N g = gN untuk semua g ∈ G. Dengan demikian untuk setiap g ∈ G dan n ∈ N berlaku gn = n1 g suatu n1 ∈ N . Dengan demikian gng −1 = n1 ∈ N . Jadi gN g −1 ⊂ N . (b)⇒ (c). Untuk membuktikan bahwa gN g −1 = N tinggal dibuktikan N ⊂ gN g −1 karena gN g −1 ⊂ N sudah diketahui. Ambil n ∈ N dan sebarang g ∈ G g −1 n(g −1 )−1 ∈ N . Dengan demikian g −1 ng = n1 suatu n1 ∈ N . Dengan kata lain n = gn1 g −1 ∈ gN g −1 . Jadi N ⊂ gN g −1 . Terbukti bahwa gN g −1 = N . (c)⇒ (a). Untuk membuktikan N subgrup normal maka harus ditunjukkan bahwa N g = gN untuk semua g ∈ G dan n ∈ N . Untuk membuktikan N g = gN maka harus dintukkan gN ⊂ N g dan sebaliknya N g ⊂ gN . Diketahui gN g −1 = N . Dengan demikian untuk semua g ∈ G dan n ∈ N berlaku gng −1 ∈ N . Berarti ada n1 ∈ N sehingga gng −1 = n1 . Dengan mengalikan kedua ruas dengan g di sebelah kanan maka diperoleh gn = n1 g. Hal ini berarti gN ⊂ N g. Dengan cara yang sama diperoleh N g ⊂ gN . Misal G sebuah grup dan N merupakan subgrup normalnya. Dengan memperhatikan teorema-teorema sebelumnya jelas bahwa grup tersebut terpartisi oleh koset-kosetnya.
4
Karena N merupakan subgrup normal maka koset kiri sama dengan koset kanan. Himpunan semua koset-koset di G dengan subgrup normal N dinotasikan dengan G/N . Selanjutnya didefinisikan suatu operasi, sebut dengan ” ∗ ”, yaitu ∗ : G/N × G/N → G/N dengan (aN ) ∗ (bN ) = abN . Mengamati teorema koset terdahulu dapat disimpulkan bahwa operasi tersebut merupakan operasi biner. Teorema 3. Struktur (G/N, ∗) membentuk grup dengan order [G : N ]. Grup tersebut dinamakan grup faktor. Bukti. Ditinggalkan sebagai latihan. Untuk mendalami materi tersebut perhatikan kembali grup bilangan bulat Z (tentunya terhadap operasi penjumlahan). Karena grup tersebut merupakan grup komutatif maka semua subgrupnya merupakan subgrup normal. Sekarang, fokuskan pada subgrup normal 3Z. Koset-kosetnya adalah: 0 + 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z, 3 + 3Z. Dari tabel di bawah ini mudah dilihat bahwa Z/3Z merupakan grup. +
0 + 3Z 1 + 3Z
2 + 3Z 3 + 3Z
0 + 3Z 0 + 3Z 1 + 3Z 1 + 3Z 1 + 3Z 2 + 3Z 2 + 3Z 2 + 3Z 3 + 3Z 3 + 3Z 3 + 3Z 0 + 3Z Tabel 1. Operasi +
2 + 3Z 3 + 3Z 3 + 3Z 4 + 3Z 0 + 3Z 1 + 3Z 1 + 3Z 2 + 3Z pada Z/3Z.
Hasil di atas dapat diperumum untuk grup bilangan bulat Z dengan subgrupnya kZ, k ∈ Z. Grup faktornya adalah Z/kZ. Contoh lain juga bisa dilihat kembali pada grup S3 = {α, β, γ, δ, , θ} dengan subgrup normalnya N = {α, β, γ}. Grup faktornya yaitu S3 /N .
4
Latihan
Kerjakan latihan berikut untuk menguatkan pemahaman tentangh subgrup normal serta meningkatkan ketrampilan dalam pengerjaan teorema atau soal tentang subgrup normal atau grup faktor. 1. Tunjukkan bahwa subgrup kZ merupakan subgrup normal dari Z. 2. Lihat kembali pada LKM-SA-03-Grup tentang Grup Quaternion Q8 . Selidiki apakah ada subgrupnya yang merupakan subgrup normal. 3. Buktikan Teorema 3. 5
