Jurnal Matematika Volume 01 Nomor 01 Tahun 2014, 1 - 5
SUBGRUP NORMAL PADA Q-FUZZY Elly Anjar Sari Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail :
[email protected]
Dr.Raden Sulaiman M.Si. Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail :
[email protected]
Abstrak Kelas-kelas baru struktur aljabar diperkenalkan oleh K.H.Kim, yang difuzzykan. Dalam fuzzyfikasi ini, membahas tentang subgrup Q-fuzzy.Diberikan Q adalah sebarang himpunan, dan G adalah grup, Pemetaanπ: πΊ Γ π β 0,1 disebut himpunan Q-fuzzy di G. Tulisan ini akan menjelaskan konsep pada subgrup normal Q-fuzzy dan membahas beberapa sifat-sifatnya, karakterisasi pada subgrup Q-fuzzy dan subgrup normal Q-fuzzy yang diberikan. Kata kunci :Subgrup fuzzy, subgrup Q-fuzzy, grup normal Q-fuzzy, Q-fuzzy normalizer
Abstract The new classes of algebraic structures introduced by K.H.Kim, are defuzzified. In this fuzzification, the notion of Q-fuzzy subgroup.Let Q be any sets, and G be a group, A mapping π: πΊ Γ π β 0,1 is called a Q-fuzzy set in G. This thesis will explain the concept of Q-fuzzy normal subgroup and discusses some of its properties, Characterisation of Q-fuzzy subgroup and Q-fuzzy normal subgroup are given. Keywords : Fuzzy subgroup, Q-fuzzy subgroup, Q-fuzzy normal group, Q-fuzzy normalizer. neural network, dibidang kedokteran, bidang ekonomi, dll. Oleh karena itu teori himpunan fuzzy merupakan suatu bidang potensial untuk penelitian antar cabang ilmu pengetahuan. Sedangkan pada struktur aljabar abstrak mempunyai dua kegunaan yang mendasar. Kegunaan yang pertama adalah untuk menentukan pola-pola atau kesimetrisan dalam kehidupan sehari-hari dan dalam matematika. Misalnya pada suatu mesin automaton mempunyai dua kendali untuk memaksimumkan daya guna mesin tersebut. Sedangkan kegunaan yang kedua adalah perluasan sistem-sistem bilangan untuk digunakan dalam system lainnya. A.Solairaju dan R.Nagarajan mendefinisikan sebuah struktur aljabar baru padasubgrup Qfuzzy. Artikel ini merupakan hasil kajian dalam skripsi tentang struktur elemen-elemen Q-fuzzy dan sifat-sifatnya yang meliputi grup, subgrup, subgrup normal, Himpunan fuzzy, relasi fuzzy, subgrup fuzzy, subgrup Q-fuzzy, subgrup normal Q-fuzzy. Dari konsep-konsep dasar tersebut, penulis dapat mengaitkan konsep pada himpunan fuzzy dan aljabar abstrak. Sehingga dapat membentuk Subgrup normal pada Q-fuzzy dan sifat-sifatnya.
1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang sangat pesat, matematika menempatkan dirinya pada suatu ilmu dasar yang mempunyai peranan penting dalam penguasaan teknologi. Sehingga matematika perlu dipelajari dan dikuasai agar dapat menerapkan ilmu tersebut di berbagai bidang. Penelitian mengenai teori himpunan fuzzy berkembang dengan pesat baik dalam bidang matematika maupun aplikasinya. Teori himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotti A Zadehseorang guru besardi University of california, AmerikaSerikat. Lotfi Asker Zadeh mendefinisikan suatu himpunan fuzzy A dalam semesta pembicaraan π = {π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π } dengan fungsi keanggotaan π: π β 0,1 , yang mana π(π₯) mempresentasikan derajat keanggotaan π₯π, π = 1,2, β¦ , π. Dengan kata lain, suatu himpunan fuzzy A dapat didefinisikan secara umum sebagai pasangan berurutan π΄ = { π₯1 , ππ΄ π₯1 , (π₯2 , ππ΄ π₯2 ), β¦ , π₯π , ππ΄ π₯π }. Aplikasi dari teori himpunan fuzzy sangat luas seperti dalam operasi research, teori informasi, 42
MATHunesa (Volume 3 No 3)
2014
2. LANDASAN TEORI
π. π Relasi Fuzzy
2.1 GrupdanSubgrup
Definisi 2.3.1 Relasi fuzzy π
antara elemen-elemen pada himpunan π dan elemen-elemen pada himpunan π didefinisikan sebagai himpunan bagian fuzzy dari hasil kali cartesius π Γ π yaitu π
= {( π₯, π¦ , ππ
π₯, π¦ )|(π₯, π¦) β π Γ π Dimana :ππ
: π Γ π β [0,1] ππ
π₯, π¦ adalah derajat keanggotaan unsur (π₯, π¦) β π Γ π dalam relasi fuzzy π΄.
Definisi 2.1.1 Grup G adalahsebuahsistemaljabar yang terdiriatassuatuhimpunantakkosong G dansuatuoperasibiner (β) yang didefinisikan pada G serta memenuhi aksioma-aksioma berikut ini : 1. Untuksetiapπ, π β πΊ berlaku π β π β πΊ. 2. Operasi β bersifat assosiatif, yaitu a β π β π = (π β π) β π, untuk setiap π, π, π β πΊ 3. Terdapatelemen π disebut identitas π β πΊ sedemikian sehingga π β π = π β π = π, untuk setiap π β πΊ. 4. Untuksetiap π β πΊ , terdapat elemen π β1 β πΊ sedemikian sehingga π β π β1 = π β1 β π = π.
2.4 Subgrup Fuzzy Definisi 2.4.1 Misal X adalahhimpunantakkosong.himpunanbagian fuzzy π pada X dinyatakan sebagai fungsi π: π β 0,1 . Definisi 2.4.2 Diberikan G adalahgrup.Himpunanbagian fuzzy π di grup G disebut subgrup fuzzy jika π: πΊ β 0,1 memenuhi untuk semua π₯, π¦ β πΊ, (i) π(π₯π¦) β₯ minβ‘{π π₯ , π π¦ } untuk setiap π₯, π¦ β πΊ (ii) π(π₯ β1 )=π π₯ untuk setiap π₯ β πΊ
Definisi 2.1.2 Suatu subset H tidakkosongdarigrup G disebutsubgrupdari G jika H membentukgrupterhadapoperasi yang samapadagrup G. Definisi 2.1.3 Misalkan πΊ adalah suatu grup dan H adalah himpunan bagian dari G yang tidak kosong, H subgrup dari G jika dan hanya jikamemenuhi : (1) Untuksetiapπ, π β π», maka ππ β π». (2) Untuksetiapπ β π», maka πβ1 β π».
Definisi 2.4.3 Diberikan G adalahgrup.Himpunanbagian fuzzy di grup G disebut normaljikauntuksemua π₯, π¦ β πΊ, π π₯π¦π₯ β1 = π π¦ ππ‘ππ’π π₯π¦ = π π¦π₯
Teorema 2.1.2 Diketahui G grupdan HβG. H subgrup G jika dan hanya jika ππ β1 β π» untuk setiap π, π β π».
Definisi 2.4.4 Diberikan π adalah subgrup fuzzy di grup G. Untuk π‘ β 0,1 , level subset π‘ di π adalah himpunan ,π π‘ = π₯ β πΊ, π(π₯) β₯ π‘}.
2.2 HomomorfismedanEpimorfismeGrup 3. PEMBAHASAN
Definisi 2.2.1
3.1. Subgrup Normal Q-Fuzzy
Diberikangrup G dan H. SuatuHomomorfismegrupdari G ke H adalahsuatufungsi π: πΊ β π» sedemikian sehingga untuk sembarang π dan π di dalam G, berlaku π ππ = π π π(π) Definisi 2.2.2 Epimorfismeadalahsuatuhomomorfisme bersifatsurjektif.
Definisi 3.1 Diberikan Q adalahsebaranghimpunan, dan G adalahgrup.Pemetaan π: πΊ Γ π β 0,1 disebut himpunan Q-fuzzy di grup G. Definisi 3.2 Himpunan Q-fuzzy π disebut subgrup Q-fuzzy di G, jika untuk setiap π₯, π¦ β πΊ, π β π, (i) π(π₯π¦, π) β₯ minβ‘ {π π₯, π , π π¦, π } (ii) π(π₯ β1 , π)=π(π₯, π)
yang
Definisi 2.2.3 SuatusubgrupNdariGdisebutsubgrup normal darigrupGjikadanhanyajikauntuksetiap π β πΊ dan π β π , πππβ1 β π.
Definisi 3.3 Diberikan G adalahgrup.Subgrup Q-fuzzy π dari grup G disebut normal jika untuk semua π₯, π¦ β πΊ, dan π β π, π π₯π¦π₯ β1 , π = π π¦, π ππ‘ππ’π π₯π¦, π β₯ π π¦π₯, π .
43
Jurnal Matematika Volume 01 Nomor 01 Tahun 2014, 1 - 5
i. π π adalah subgrup dari G. ii. πadalah normal Q-fuzzy dari G β π π = πΊ. iii. π adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup π π .
Definisi 3.4 Misalkanπ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G. Untuk π‘ β 0,1 , disebut level subset π sehingga π π‘ = π₯ β πΊ, π β π π(π₯, π) β₯ π‘}. Teorema3.1 : Diberikan G adalahgrupdanπ adalah himpunan bagian Q-fuzzy dari grup G. Maka π adalah subgrup Qfuzzy dari grup G jika dan hanya jika level subset ,π π‘ , π‘ β 0,1 , π‘ β€ π 0 , adalah subgrup dari grup G. Bukti : Misalkan π adalah subgrup Q-fuzzy pada grup G dan untuk π‘ β 0,1 , π π‘ = π₯ β πΊ, π β π π π₯, π β₯ π‘}. Misalkanπ₯, π¦ β π π‘ . Maka π π₯, π β₯ π‘dan π π¦, π β₯ π‘. Sehinggaπ π₯π¦ β1 , π β₯ min π π₯, π , π π¦ β1 , π β₯ min π π₯, π , π π¦, π β₯ minβ‘ {π‘, π‘} Jadi, π π₯π¦ β1 , π β₯ π‘ Sehinggadapatdinyatakanπ₯π¦ β1 β π π‘ . Sehinggaπ π‘ adalah subgrup pada grup G. Sebaliknya, asumsikanbahwa π π‘ adalahsubgruppadagrup G. Misalkanπ₯, π¦ β π π‘ . Maka π π₯, π β₯ π‘dan π π¦, π β₯ π‘. Begitujuga, π π₯π¦, π β₯ π‘ β₯ minβ‘{π‘, π‘} = min π π₯, π , π π¦, π π₯ β π π‘ , π π‘ subgrup pada G, jadi π₯ β1 β π π‘ π π₯ β1 , π β₯ t = π π₯, π Sehinggadiperoleh, π π₯π¦, π β₯ min π π₯, π , π π¦, π dan π π₯ β1 , π = π π₯, π . Jadiπ adalah subgrup Q-fuzzy pada grup G.
Bukti : i.
Diberikanπ, π β π π maka π ππ₯πβ1 , π = π π₯, π , untuk setiap π₯ β πΊ. π ππ₯π β1 , π = π π₯, π ,untuk setiap π₯ β πΊ. Sehingga π πππ₯(ππ)β1 , π = β1 β1 π πππ₯π π , π = π(ππ₯π β1 , π) = π(π₯, π) Sehinggadiperoleh, π πππ₯(ππ)β1 , π = π(π₯, π) Jadiπ β1 β π π , Maka ππ β π π , Jadi π π adalah subgrup pada grup G.
ii.
Jelas π π β πΊ, π adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup G. Diberikan π β πΊ, maka π ππ₯π β1 , π = π π₯, π , itu berarti a β π π MakaπΊ β π π . Jadiπ π = πΊ.
Sebaliknya, Diberikanπ π = πΊ. Jelas π ππ₯πβ1 , π = π π₯, π , untuk setiap π₯ β πΊ dan π β πΊ. Jadiπ adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup G. iii. Dari (ii), π adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup π π . Untuksetiap π π βΉ π π₯π¦π₯ β1 , π = π π¦, π .
Definisi 3.5 Diberikan G adalahgrupdanπ adalah subgrup Qfuzzy dari grup G. Misalkan π π = π β πΊ π ππ₯πβ1 , π = π π₯, π , untuk setiap β πΊ, π β π}. Maka π π disebut normalizer Q-fuzzy di π.
Definisi 3.6 Diberikanπ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G, π β πΊ , πππβ1 didefinisikan sebagai πππβ1 π₯, π = π πβ1 π₯π, π β© π₯ β πΊ, π β π. Teorema3.4 : Jikaπ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G, maka πππβ1 adalah juga subgrup Q-fuzzy dari grup G, untuk semua π β πΊ. Bukti : Misalkan π adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G dan π β πΊ, Maka : (i). (πππβ1 ) π₯π¦, π = π(πβ1 π₯π¦ π, π) = π(πβ1 π₯ππβ1 π¦ π, π) = π((πβ1 π₯π)(πβ1 π¦π), π) β₯ minβ‘ {π πβ1 π₯π, π , π πβ1 π¦π, π } β₯ minβ‘ {πππβ1 π₯, π , πππβ1 π¦, π } Untuksemuaπ₯, π¦ β πΊ dan π β π. (ii). πππβ1 π₯, π = π(πβ1 π₯π, π) = π((πβ1 π₯π)β1 , π) = π(πβ1 π₯ β1 π, π) = πππβ1 π₯ β1 , π , Untuk semua π₯, π¦ β πΊ dan π β π. Jadiπππβ1 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G.
Teorema3.2 : Diberikan G adalahgrupdanπ adalah himpunan bagian Q-fuzzy dari grup G. Maka π adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G jika level subset π π‘ , π‘ β 0,1 , adalah subgrup normal dari grup G. Bukti : Misalkanπ adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup G dan level subset π π‘ , π‘ β 0,1 , adalah subgrup pada grup G. Diberikanπ₯ β πΊ dan π β π π‘ , maka π π, π β₯ π‘. Karenaπ adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup G, maka π π₯ππ₯ β1 , π = π π, π β₯ π‘. Sehinggadiperoleh, π π₯ππ₯ β1 , π β₯ π‘. Jadi, π₯ππ₯ β1 β π π‘ . Sehingga π π‘ adalah subgrup normal pada grup G. Teorema3.3 : Diberikanπ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G. Maka 44
MATHunesa (Volume 3 No 3) Teorema3.5 : Jikaπ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G, maka gΞΌg β1 juga merupakan subgrup normal Q-fuzzy dari grup G, untuk semua π β πΊ. Bukti : Misalkanπ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G. Maka gΞΌg β1 adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G. AdapungΞΌg β1 xyx β1 , q = π(πβ1 π₯π¦x β1 g, π) = π π₯π¦x β1 , π) = π(π¦, π) = π ππ¦g β1 , π) = gΞΌg β1 y, q
(ii)
2014
π βπ π2 π₯, π =: π2 (π π₯, π )untuk semua x di H.
Teorema3.8 : Misalkan f: G Γ Q β H Γ Q dikatakan grup Qhomomorfisma (a) JikaΞΌ adalah subgroup normal Q-fuzzy dari H, maka f β1 (ΞΌ) adalah subgroup normal Qfuzzy dari G. (b) Jika f adalah epimorfisma dan ΞΌ adalah subgroup normal Q-fuzzy dari G, maka f(ΞΌ) adalah subgroup normal Q-fuzzy dari H. Bukti : (a) Misalkan f: G Γ Q β H Γ Q adalah Qhomomorfisma dan misalkan ΞΌ adalah subgroup normal Q-fuzzy dari H.
Teorema3.6 : Misalkan Ξ» dan ΞΌ adalah dua subgrup Q-fuzzy dari grup G. Maka Ξ» β© ΞΌ merupakan subgrup Q-fuzzy dari grup G. Bukti : Diberikan Ξ» dan ΞΌ adalah dua subgrup Q-fuzzy dari grup G. (i) (Ξ» β© ΞΌ) π₯π¦ β1 , π = minβ‘ (Ξ» π₯π¦ β1 , π , ΞΌ π₯π¦ β1 , π ) β₯ minβ‘ {min Ξ» π₯, π , Ξ» π¦, π , min ΞΌ π₯, π , ΞΌ π¦, π } β₯ minβ‘{min Ξ» π₯, π , ΞΌ π₯, π , min Ξ» π¦, π , ΞΌ π¦, π } = minβ‘ {(Ξ» β© ΞΌ) x, q , (Ξ» β© ΞΌ) (π¦, π)} Jadi (Ξ» β© ΞΌ) π₯π¦ β1 , π β₯ minβ‘{(Ξ» β© ΞΌ) x, q , (Ξ» β© ΞΌ) (π¦, π)} (ii) (Ξ» β© ΞΌ) x, q = { Ξ» x, q , ΞΌ x, q } = { Ξ» π₯ β1 , q , ΞΌ π₯ β1 , q } = {(Ξ» β© ΞΌ) (π₯ β1 , π)}. JadiΞ» β© ΞΌ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G.
Jadiuntuksemuax, y β G,diperoleh : π β1 (ΞΌ) xyx β1 , q = ΞΌ(f xyx β1 , q ) = ΞΌ(f x)f y f(x β1 ), q = ΞΌ(f y , q) = π β1 ΞΌ (π¦, π) Jadiπ β1 ΞΌ adalah subgrup normal Q-fuzzy dariG. (b) Misalkanπ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari G. maka π(π) adalah subgrup normal Q-fuzzy dari H. Untuksetiapu,v di H, diperoleh : π π uvuβ1 , q = sup ΞΌ y, q f y =uv u β1
=
Teorema3.7 : Irisansebarangduasubgrup normal Q-fuzzy darigrup G jugamerupakansubgrup normal Q-fuzzy darigrup G. Bukti : Diberikan Ξ» dan ΞΌ adalah dua subgrup normal Q-fuzzy dari grup G. BerdasarkanTeorema 3.6, Ξ» β© ΞΌ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G. Adapununtuksetiapx,y di G, kitaperoleh : (Ξ» β© ΞΌ)( xyx β1 , q = min Ξ» xyx β1 , q , ΞΌ xyx β1 , q = minβ‘( Ξ» y, q , ΞΌ y, q ) = (Ξ» β© ΞΌ)(π¦, π) JadiΞ» β© ΞΌ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G.
sup
f x =u;f y =v
ΞΌ xyx β1 , q
(f: epimorfisma) = sup ΞΌ y, q f y =v
= f ΞΌ (v, q) Jadif ΞΌ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G. Definisi 3.9 MisalkanΞ» dan ΞΌ dua subset Q-fuzzy pada G. Hasil kali dari Ξ» dan ΞΌ didefinisikan sebagai λμ a, q = sup minβ‘ ( Ξ» y, q , ΞΌ(z, q)), a β G. yz =a
Teorema3.9 : JikaΞ» dan ΞΌ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G, maka λμ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G. Bukti : Diberikan Ξ» dan ΞΌ adalah dua subgrup normal Q-fuzzy pada G. (i). λμ xy, q = supx 1 y 1 =x minβ‘{ Ξ» x1 y1 , q , ΞΌ(x2 y2 , q)}
Definisi 3.7 Diberikan G dan H adalahgrup, dan Q adalahsebaranghimpunan.Pemetaan f: G Γ Q β H Γ Q dikatakan grup Q-homomorfisma jika : (i) f: G β H adalah grup homomorfisma (ii) f xy, q = f x f y , q , untuk semua x, y β G dan q β Q.
x 2 y 2 =y
β₯ sup minβ‘{minβ‘ { Ξ» x1 , q , ΞΌ(y1 , q)}, minβ‘ {Ξ» x2 , q , ΞΌ(y2 , q)}} x 1 y 1 =x x 2 y 2 =y
Definisi 3.8 Diberikanfungsi f: G Γ Q β H Γ Q . Misalkan π1 adalah subgrup fuzzy dari G, dan π2 adalah subgrup fuzzy dari H, maka : (i) π(π1 ) π¦, π =: Supf z =y ΞΌ1 β‘(π§, π) untuk semua y di G.
β₯ minβ‘ {sup minβ‘{ Ξ» x1 , q , ΞΌ(y1 , q)}, sup minβ‘{ Ξ» x2 , q , ΞΌ(y2 , q)} β₯ minβ‘ {λμ x, q , λμ y, q } (ii). λμ x β1 , q = sup(yz )β1 =x β1 minβ‘ { ΞΌ z β1 , q , Ξ»(y β1 , q)}
45
Jurnal Matematika Volume 01 Nomor 01 Tahun 2014, 1 - 5
= sup minβ‘ { ΞΌ z, q , Ξ»(y, q)}
Solairaju, A. Nagarajan, R. 2009. βA New Structure and Construction of Q-fuzzy Groupβ.Advances in Fuzzy mathematics. Vol. 4: Hal. 23-29. Vasntha-Kandasamy, W.B. 2003.Smaradanche Fuzzy Algebra.American Research Press Zadeh, L.A. 1965.β Fuzzy setsβ. Information and Control. Vol. 8: Hal. 338-353. Priya, T. Ramachandran, T. Nagalakshmi, KT. 2013. βOn Q-Fuzzy Normal Subgroupsβ. International Journal of Computer and Organization Trends.Vol. 3. Sukandardan Kusrini.2001.StrukturAljabar I. Surabaya:Unesa University Press. Fraleigh,John B. 1982. A First Course in Abstract Algebra. Publishing Company: Addison-Wesley
x=yz
= sup minβ‘{ Ξ» y, q , ΞΌ(z, q)} x=yz
= λμ x, q Untukmenunjukkanλμ adalah subgrup normal Q-fuzzy : λμ xyx β1 , q = sup minβ‘ (Ξ» xyx β1 , q , ΞΌ xyx β1 , q ) = sup minβ‘ (Ξ» y, q , ΞΌ y, q ) = λμ y, q Jadiλμ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari G. 4. PENUTUP 4.1 Kesimpulan Daripembahasan diatas diperoleh simpulan sebagai berikut : 1. Diberikan Q adalah sebarang himpunan, dan G adalah grup. Pemetaan π: πΊ Γ π β 0,1 disebut himpunan Q-fuzzy di grup G. 2. Diberikan G adalahgrupdan π adalah himpunan bagian Q-fuzzy dari grup G. Maka π adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G jika level subset π π‘ , π‘ β 0,1 , adalah subgrup normal dari grup G. 3. Jikaπ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G, maka πππβ1 adalah juga subgrup Q-fuzzy dari grup G, untuk semua π β πΊ. 4. MisalkanΞ» dan ΞΌ adalah dua subgrup Q-fuzzy dari grup G. Maka Ξ» β© ΞΌ merupakan subgrup Q-fuzzy dari grup G. 5. JikaΞ» dan ΞΌ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G, maka λμ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G. 4.1 Saran Dalam skripsi ini hanya dicari karakteristik subgrup normal pada Q-fuzzy. Oleh karena itu, penulis memberikan saran kepada pembaca yang tertarik pada permasalahan ini untuk mengembangkan dengan mencari karakteristik pada struktur aljabar baru yang lain.
DAFTAR PUSTAKA Choudhury, F.P. and chakraborty, A.B. and Khare, S.S. 1980.βA note on fuzzy subgroups and fuzzy homomorphismβ.Journal of mathematical analysis and applications. Vol. 131: hal. 537-553. Das, P.S. 1981.βFuzzy groups and level subgroupsβ. β. Journal of mathematical analysis and applications. Vol. 84: hal. 264-269. Prabir Bhattacharya. 1987. βFuzzy Subgroupsβ. β. Journal of mathematical analysis and applications. Vol. 128: hal. 241-252. Rajesh Kumar. 1991. βHomomorphism and fuzzy (fuzzy normal) subgroupsβ. Fuzzy sets and Systems. Vol. 44: Hal. 165-168.
46