BAB III T 2 HOTELLING PADA DATA SUBGRUP

BAB III T2 HOTELLING PADA DATA SUBGRUP

Pada tahun 1924, Walter. A. Shewart di Bell Telephone Laboratories menciptakan suatu grafik kontrol statistika untuk mengontrol variabel-variabel penting pada proses produksi. Grafik ini diperkirakan sebagai cikal bakal dari permulaan Statistical Process Control ( SPC ). Ini adalah salah satu metode pertama quality assurance yang diperkenalkan pada industri modern yang ada saat ini. Grafik kontrol ini dirancang berdasarkan teori statistik yang relevan dan dirancang agar output dari proses operasional saat ini tidak banyak berbeda dengan output dari proses operasional normal. Statistik ini menghitung apakah output dari proses operasional saat ini tidak banyak berbeda dengan output dari proses operasional normal. Untuk menjamin suatu proses produksi berlangsung dengan baik dan stabil atau produk yang dihasilkan selalu dalam daerah standar, perlu dilakukan pemeriksaan terhadap titik origin ( titik asal ) dan hal-hal yang berhubungan dengan titik asal tersebut, dalam rangka meningkatkan dan memelihara kualitas produk agar sesuai dengan harapan. Hal ini yang disebut Statistical Process Control (SPC) atau pengendalian kualitas secara statistik ( Novyanto : 2007) SPC merupakan metode yang dapat digunakan untuk mengontrol dan memonitor suatu proses. Salah satu alat yang dapat digunakan adalah bagan kendali ( control chart ). Seperti yang sudah dijelaskan pada bab sebelumnya bahwa bagan kendali ini merupakan suatu alat yang secara grafis digunakan untuk memonitor apakah suatu proses dapat diterima sebagai suatu proses yang terkendali. Bagan kendali ini dikenal sebagai bagan Shewart univariat, karena bagan ini digunakan untuk memonitor serta mengontrol suatu proses yang hanya melibatkan satu variabel. 32

Mohamad Ilham Aliansyah, 2013 Statitika Pengendalian Buku Mutu Dengan Metode T2 Hotelling Data Subgroup Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

33

Dalam prakteknya, permasalahan yang sering ditemui terdiri dari bermacam variabel atau dikenal dengan istilah multivariat, sehingga bagan kendali Shewart univariat dirasa kurang cocok dan menghasilkan kesimpulan yang kurang tepat. Harold Hotelling pada tahun 1947 memperkenalkan suatu statistik yang dapat menggambarkan observasi multivariat, yang dikenal dengan T2 Hotelling. Statistical Process Control ( SPC ) pada dasarnya mempunyai tujuan utama yaitu dalam peningkatan dan pemeliharaan kualitas dengan menstabilkan proses dan mengurangi variabilitas. Dalam SPC juga dikenal adanya “seven tools” yakni

tujuh

alat

yang

menggunakan

metode

grafik

sederhana

untuk

menyelesaikan masalah, yang salah satu daiantaranya adalah bagan kendali ( control chart ) ( Smith : 1998 ). Bagan kendali adalah suatu alat yang secara grafis menilai karakteristik kualitas yang dimonitor, digambarkan sepanjang sumbu y, dan sumbu x menggambarkan sampel atau subgrup dari karakteristik kualitas tersebut. Seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya secara umum terdapat tiga garis pada grafik pengendali, yaitu garis tengah ( center line ) adalah garis yang menunjukkan nilai rata-rata dari karakteristik kualitas yang diplot pada grafik, selanjutnya batas pengendali atas ( upper limit control ) dan batas pengendali bawah ( lower limit control ) digunakan untuk membuat keputusan suatu proses. Apabila terdapat data yang berada di luar batas pengendali atas dan batas pengendali bawah serta pada pola data tidak acak, maka dapat disimpulkan bahwa data berada diluar kendali statistik. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa terdapat dua macam bagan kendali yaitu bagan kendali univariat dimana bagan kendali ini digunakan untuk mengontrol dan memonitor hanya untuk satu variabel atau karakteristik kualitas, sedangkan bagan kendali multivariat digunakan untuk mengontrol dan memonitor lebih dari satu variabel atau karakteristik kualitas yang dikenal dengan bagan kendali T2 Hotelling. Fokus kajian pada skripsi ini adalah bagan kendali T2 Hotelling.


34

Distribusi T2 Hotelling

3.1

T2 Hotelling merupakan suatu skalar yang mengkobinasikan informasi dari dispersi dan mean dari beberapa variabel, dapat pula dikatakan sebagai counterpart dari statistik t-Student. Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n adalah sampel acak dari populasi normal, nilai satistik t-Student didekati oleh t

X    0

s

n

dimana

1 n X  Xj n j 1

dan

1 n X j  X 2 s   n  1 j 1 2

Apabila nilai t-Student dikuadratkan akan menjadi

X    

2

t

2

0

2

s n

  X   

 n X   0  s 2

1

0

Secara umum untuk menghitung nilai T2, digunakan rumus sebagai berikut:

 Tk2  xk  ˆ  S 1 xk  ˆ  dimana

x k  Nilai observasi

ˆ  Nilai estimasi mean atau rata-rata dari observasi S 1  Nilai invers dari matriks varians kovarians

Dengan mengasumsikan normalitas multivariat, didapatkan sebaran probabilitas dari T2 Hotelling sebagai berikut Mohamad Ilham Aliansyah, 2013 Statitika Pengendalian Buku Mutu Dengan Metode T2 Hotelling Data Subgroup Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

35

 Tk2  xk  ˆ  S 1 xk  ˆ  ~ p(n  1)(n  1) / n(n  p)F( p ,n p ) F( p ,n  p ) mewakili distribusi F dengan derajat kebebasan p untuk numerator yang

didapat dari jumlah perlakuan dan n-p adalah denominator, dimana n adalah banyaknya sampel yang digunakan. 3.2

Bagan Kendali T2 Hotelling Data Subgrup Pada bagian ini akan dibahas mengenai pengendalian kualitas secara

statistik menggunakan statistik T2 Hotelling. Alat yang akan digunakan untuk mengontrol kualitas suatu proses adalah bagan kendali. Pada aplikasi nyata dari T2 Hotelling untuk multivariat process control, adalah jika data multivariat diambil dalam bentuk subgrup dan menggunakan dua fase perhitungan. Pada fase atau tahap satu dilakukan pengumpulan informasi dari sejumlah subgrup yang didapat dari hasil produksi yang berjalan pada saat operasional normal dan menghitung limit kontrol berdasarkan data yang telah diambil. Pada fase satu ini akan diperiksa data dari setiap subgrup. Apabila subgrup tersebut keluar dari kontrol limit, maka harus dilakukan penghapusan data subgrup tersebut dan kembali dilakukan penghitungan ulang. Pada akhirnya didapatlah himpunan data subgrup yang telah berada di dalam kontrol limit yang selanjutnya dapat digunakan sebagai data acuan. Fase selanjutnya yaitu fase dua. Fase kedua ini digunakan data hasil perhitungan pada fase satu yang telah berada dalam kontrol limit sebagai perbandingan dengan data dari produksi saat ini. Akan dilakukan pengamatan dari setiap subgrup data produksi saat ini, apakah data tersebut berada diluar kontrol limit atau tidak berdasarkan dari hasil perhitungan fase satu. Jika terdapat data dari salah satu subgrup yang berada di luar kontrol limit berarti terdapat keragaman atau variasi yang signifikan antara data produksi normal dengan data produksi saat ini. Hal ini disinyalir terdapat kemungkinan Mohamad Ilham Aliansyah, 2013 Statitika Pengendalian Buku Mutu Dengan Metode T2 Hotelling Data Subgroup Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

36

penurunan kualitas dan harus segera dilakukan pengecekan pada setiap proses produksi. Dalam membangun bagan kendali ini terdapat tiga kasus yang mungkin, yaitu: 1. Ukuran subgrup dengan n = 1, atau bisa dikatakan ini adalah bagan kendali T2 Hotelling Individual 2. Ukuran subgrup yang sama dengan n > 1 3. Ukuran subgrup yang berbeda dengan

Fokus kajian skripsi ini berupa bagan kendali T2 Hotelling Data Subgrup dengan ukuran subgrup yang sama. Berikut adalah prosedur untuk membangun bagan kendali T2 Hotelling Data Subgrup 3.2.1

Tahap Start Up Stage ( Tahap Pertama) adalah sampel acak dari N p ( , ) dengan

Misalkan

banyaknya sugrup, dan dengan catatan antara subgrup yang satu dan lainnya saling bebas. Jika

X ik  ( X ik1 , X ik2 ,..., X ipk )

maka

setiap

subgrupnya

dinyatakan sebagai matriks-matriks berikut Subgrup-1 1  X 11  1  X 21    1  X n1

1 X 12 1 X 22

 X

1 n2

Subgrup-2

X 11p    X 21 p     1   X np  

 X 112  2  X 21    2  X n1

X 122 2 X 22

 X

2 n2

...

Subgrup-m

X 12p   X 11m   m  X 22p   X 21 ...       m 2   X np   X n1 

X 12m m X 22

 X nm2

X 1mp    X 2mp     m   X np  

Pada tahapan ini digunakan statistik



Tk2  n X ( k )  X

 (S ) X 1

(k )

X




dapat

37

Nilai tersebut berdistribusi Fisher dengan Tk2 ~

p(m  1)(n  1) Fp ,m( n1) p 1 atau m(n  1)  p  1

Tk2 ~

pmn  pm  pn  p Fp ,m( n1) p 1 mn  m  p  1

dengan X (k ) 

X 

1 m (k ) X m k 1

S (k ) 

S

1 n   (k ) X i , X (k ) ~ N p  ,   n i 1  n

 1 n  X ik  X ( k ) X ik  X ( k )   n  1 i 1

1 m (k ) S m k 1

Sedangkan batas-batas kendali untuk tahap awal ini adalah Upper Control Limit ( UCL) 

pmn  pm  pn  p F ; p ,mn m p 1 mn  m  p  1

Lower Control Limit ( LCL) = 0, karena T2≥0 ( tidak pernah negatif) Untuk lebih jelasnya, prosedur pembangunan bagan kendali tahap pertama dapat diringkas sebagai berikut : 1. Untuk setiap subgrup k = 1,2,...,m hitunglah rata-rata setiap subgrup X (k ) 

1 n (k ) Xi  n i 1


38

2. Hitung matriks varians kovarians subgrup S (k ) 

 1 n  X ik  X ( k ) X ik  X ( k )   n  1 i 1

3. Hitung rata-rata dari rata-rata subgrup ( the grand mean vector ) X 

1 m (k ) X m k 1

4. Hitung matriks varians kovarians gabungan ( the pooled covariance matrix ) S

1 m (k ) S m k 1

5. Untuk setiap subgrup k = 1,2,...,m hitung



Tk2  n X ( k )  X

 (S ) X 1

(k )

X



6. Untuk setiap subgrup k = 1,2,..., m bandingkan

dengan batas

atasnya UCL 

pmn  pm  pn  p F ; p ,mn m p 1 mn  m  p  1

Jika

> UCL , maka subgrup ke- k berada diluar limit kontrol atau

berada diluar kendali statistik ( out of control ), sehingga data pada subgrup ini tidak dapat digunakan untuk menghitung batas-batas kendali. 7. Hapuslah data subgrup yang berada diluar kendali statistik ( out of control ) 8. Hitung kembali X dan S dengan menggunakan data subgrup yang berada di dalam kendali statistik ( in control ) Setelah langkah-langkah tersebut dilakukan, dan proses yang dihasilkan adalah berada di dalam kendali statistik ( in control ), maka akan dihasilkan nilai X dan S yang kemudian akan digunakan dalam perhitungan tahap selanjutnya


39

3.2.2

Tahap Pengendalian ( Tahap Kedua ) Pada tahap Start Up Stage atau pada tahap pertama, dimulai dengan k

subgrup dan banyaknya sampel tiap subgrup adalah m. Hal tersebut sama dengan proses yang akan dilakukan pada tahap kedua, namun kontrol limit pada tahap kedua berbeda dengan kontrol limit pada tahap pertama. Hal ini dikarenakan data pada tahap kedua kembali dihitung independen. Misalkan X

dan S menyatakan vector grand mean dan matriks

varians kovarians yang telah didapat pada tahapan pertama. Misalkan pula subgrup berikutnya diperoleh vector mean sampel

, dimana X f bebas

terhadap X dan S . Maka setiap subgrup yang baru dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut :



T f2  n X f  X

 S  X 1

f

X



Dimana X f adalah vektor rata-rata dari pengamatan subgrup baru. Selanjutnya nilai kontrol limit untuk T f2 adalah



T f2  n X f  X

Jadi UCL =

 S  X 1



X ~

p(m  1)(n  1) Fp ,m( n1) p 1 m(n  1)  p  1

p(m  1)(n  1) F( ; p ,m( n1) p 1) m(n  1)  p  1

LCL = 0, karena 3.3

f

( tidak akan pernah negatif )

Analisis Kemampuan Proses ( Process Capability Analyze ) Langkah selanjutnya setelah proses berada dalam keadaan terkendali adalah melakukan analisis kemampuan proses ( Process Capability Analyze). Analisis kemampuan proses adalah suatu kemampuan proses


40

yang merefleksikan derajat keseragaman dalam memproduksi untuk menghasilkan output yang sesuai dengan spesifikasi yang telah ditetapkan. Analisis kemampuan proses merupakan prosedur yang digunakan untuk memprediksi kinerja jangka panjang yang berada dalam batas pengendali proses statistik ( Ariani, 2003 ). Suatu proses dikatakan memiliki kapabilitas yang baik apabila : a. Proses tersebut dalam kondisi terkendali b. Proses tersebut memenuhi spesifikasi c. Proses tersebut memiliki nilai presisi dan akurasi yang tinggi. Akurasi adalah kedekatan nilai amatan dengan nilai sasarannya, sedangkan presisi adalah kedekatan nilai amatan yang satu dengan nilai amatan lainnya ( Nindya, 2008 ) Dasar masalah statistis dalam proses pengendalian mutu adalah membuat suatu keadaan berada di bawah kendali selama proses pembuatan yaitu, penghapusan sebab-sebab keragaman khusus dan kemudian mempertahankan keadaan tersebut selamanya. Masalah yang kedua adalah batas-batas kemampuan analisis. Yaitu, suatu keadaan yang telah berada di dalam kendali dan output telah memenuhi spesifikasi yang diinginkan.( Eugene L. Grant & Richard S.Leavenworth, 1988 ). Tindakan-tindakan

yang

menghasilkan

perubahan

atau

penyesuaian dalam proses, menunjukkan penghapusan sebab-sebab umum, seringkali merupakan hasil dari beberapa bentuk analisis kemampuan. Perbandingan batas-batas toleransi alami dengan batas-batas spesifikasi dapat mengarah ke bentuk-bentuk tindakan sebagai berikut : 1. Tidak ada tindakan Jika batas-batas toleransi alami terjadi dalam batas-batas spesifikasi, biasanya tidak diperlukan tindakan apa-apa, atau proses sudah berada dalam kendali


41

2. Tindakan untuk menyesuaikan pemusatan Bila rentangan toleransi alami kira-kira sama seperti rentangan spesifikasi, penyesuaian yang relatif sederhana terhadap pemusatan proses diperlukan untuk membawa proses ke dalam batas spesifikasi 3. Tindakan untuk mengurangi keragaman Biasanya ini merupakan tindakan yang paling rumit.dalam sebuah kasus suatu analisis yang rumit mengenai sumber keragaman mungkin diperlukan yang menghasilkan perubahan-perubahan dalam metode, peralatan,bahan dan atau perlengkapan. 4. Tindakan-tindakan untuk mengubah spesifikasi Ini merupakan keputusan rancangan yang seharusnya tidak diabaikan oleh seseorang di bagian pengendalian mutu. Hanya karena spesifikasi ditetapkan secara tertulis tidak berarti bahwa spesifikasi tersebut dapat dilanggar. 5. Penghentian kerugian Bila semuanya gagal, manajemen harus merasa puas akan kerugian yang besar. Dalam hal ini, perhatian dipusatkan pada biaya sisa dan pekerjaan ulang,tingkat pengendalian secara ekonomis yang seharusnya dilakukan terhadap proses produksi, dan biaya yang berkaitan dengan penyaringan semua produk dengan kesadaran bahwa beberapa produk yang tak sesuai mungkin masih dapat diterima.

Tujuan dari analisis kemampuan proses ialah untuk mencegah dihasilkannya produk cacat yang lebih banyak ( Mayaranie, 2009 ). Menurut Montgomery ( 2001), kegunaan analisis kapabilitas proses antara lain :


42

1. Memprediksi seberapa baik proses dalam memenuhi spesifikasi yang telah ditetapkan 2. Membantu dalam memilih maupun memodifikasi sebuah proses produksi 3. Menentukan syarat perfomansiperalatan yang baru 4. Membantu dalam memilih pemasok 5. Merencanakan tahapan proses 6. Mengurangi variabilitas dalam proses manufaktur. Hasil analisis ini dinyatakan dengan indeks kapabilitas proses. Seperti telah disebutkan sebelumnya bahwa dalam menganalisis kemampuan proses dikenal istilah indeks kapabilitas proses yang berguna untuk mengurangi variabilitas dalam proses manufaktur. Capability index merupakan pengukuran terhadap kemampuan proses dalam menghasilkan suatu produk yang memenuhi spesifikasi ( Montgomery, 2001 ). Selain itu Capability index dapat didefinisikan pula sebagai suatu indeks proses yang menunjukkan nilai rasio antara penyebaran ( variabilitas ) yang diijinkan terhadap spesifikasi produk yang diperbolehkan atau penyebaran proses aktual yang melibatkan lebih dari satu variabel. Dengan mengetahui capability index tentunya akan sangat membantu dalam memfokuskan pada target value, yaitu value

yang

paling diinginkan oleh konsumen. Untuk menghitung nilai indeks kemampuan proses multivariat terdapat berbagai cara. Misalnya indeks kemampuan proses multivariat vektor, indeks kemampuan proses multivariat MCpm, dan indeks kemampuan proses MCp. Fokus pada skripsi ini untuk menghitung niali indeks kemampuan proses multivariat menggunakan metode indeks kemampuan proses MCpm. Metode ini diperkenalkan pertama kali oleh Taam, Subbaiah, dan Liddy pada tahun 1993. Perhitungan indeks kemampuan proses dengna metode Mohamad Ilham Aliansyah, 2013 Statitika Pengendalian Buku Mutu Dengan Metode T2 Hotelling Data Subgroup Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

43

indeks kemampuan MCpm dinilai lebih sensitif dan lebih mudah untuk diterapkan. Kelebihan lain dari metode ini juga dapat mengindikasikan variability, centeredness, dan keduanya ( Scagliarini & Vermiglio : 2007 ). Scagliarini & Vermiglio (2007)

menjelaskan bahwa perhitungan

indeks kemampuan proses MCpm ini didefinisikan sebagai rasio dari dua buah volume, yaitu sebagai berikut :

MC pm 

vol( R1 ) vol( R2 )

(3.1)

dimana R1 merupakan daerah toleransi modifikasi, sedangkan R2 merupakan daerah proses 99,72 % yang merupakan daerah yang terletak pada daerah

. Apabila data pengamatan berdistribusi normal

multivariat, maka daerah R2 berbentuk ellips, sedangkan R1 ( daerah toleransi modifikasi ) adalah ellipsoid terbesar yang berpusat pada target yang berada di dalam daerah toleransi yang asli. Dalam

kasus umum p-variat, R1 berbentuk hiperellipsoid dengan

volume R1 ( Kendall, 1961)( dalam Nindya, 2008) sebagai berikut : p

vol( R1 ) 

dimana

2 ai 

p 2

i 1

p p   2

merupakan nilai toleransi spesifikasi ke-i dengan i = 1,2,...,p.

Indeks kemampuan proses Multivariat ( Multivariate Capability index ) ini dituliskan sebagai berikut :

MC pm 



vol( R1 )



vol ( X   ) ( X   )  K ( p) 1 0

(3.2)

Dengan X adalah vektor acak berukuran (p x 1) yang berdistribusi normal multivariat dengan vektor rata-rata µ dan matriks kovarians


44

 . Sedangkan  0  E  X   0  X   0    

mean square error dari proses,

adalah matriks

adalah suatu vektor yang menyatakan

nilai target, dan K(p) adalah 99,73 persentil dari

dengan derajat

kebebasan p. Penyebut dari indeks kemampuan proses MCpm juga dapat dinyatakan sebagai hasil dari dua persamaan vol( R2 )  

12

K  p 

p

1

  p   1   2    2  1  1     0      0    

  vol( R3 )  1     0   1    0   

1

2

1

2

(3.3)

Dengan R3 adalah daerah dimana 99,73% dari suatu proses berada dalam wilayah tersebut. Oleh karena itu berdasarkan persamaan (3.1) dan persamaan (3.3) MCpm dapat dinyatakan sebagai berikut MC pm 



MC pm 

vol( R1 )  vol( R3 )  1     0   1    0   

vol( R1 ) 1 vol( R3 ) 1  (    ) 1 (    ) 0 0



Cp

1

2

2

(3.4)

D

Berdasarkan



1

persamaan

(3.4)

indeks

kemampuan

proses

multivariat MCpm terdiri dari dua komponen yaitu Cp dan D. Dimana Cp merupakan variabilitas proses untuk daerah toleransi modifikasi, sedangkan D merupakan deviasi proses dari target. Misalkan X1,X2,...,Xn


45

adalah sampel acak berukuran n, masing-masing berdimensi p, maka perkiraan atau taksiran dari indeks Cpm adalah sebagai berikut vol( R1 )

Mˆ C pm  S

Mˆ C pm 

1

2

K 

p 2

  p   2  1   

1



1 n  1   1  n  1 X   0  S X   0   

1

2

Cˆ p Dˆ

dengan ̂

| |

⁄

⁄

(

)

dan

n  X   0  S 1 X   0  Dˆ  1   n 1 

1

2

dimana K adalah quantil 99,73 dari distribusi chi-square Ketika vektor rata-rata proses sama dengan vektor target dan indeksnya bernilai satu, maka 99,73% nilai proses terletak di dalam daerah toleransi modifikasi. Perkiraan indeks Cˆ p analog dengan indeks Cp pada kasus univariat, yaitu jika indeks bernilai lebih dari satu maka proses mempunyai variansi yang lebih kecil dibandingkan dengan batas spesifikasi, sedangkan jika indeks bernilai kurang dari satu maka proses mempunyai variansi yang lebih besar dibandingkan dengan batas spesifikasi. Untuk 0  1 ˆ  1 menunjukkan kedekatan antara rataD rata proses dengan target, sehingga semakin besar nilai 1 ˆ maka rata-rata D semakin dekat dengan target. Mohamad Ilham Aliansyah, 2013 Statitika Pengendalian Buku Mutu Dengan Metode T2 Hotelling Data Subgroup Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB III T 2 HOTELLING PADA DATA SUBGRUP

Recommend Documents