PENERAPAN GRAFIK HOTELLING T2 BIVARIAT PADA KARATERISTIK KUALITAS PARFUM REMAJA DARI PERUSAHAAN ”X” Fitria Puspitoningrum1), Adi Setiawan2) dan Hanna A.Parhusip2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711, e-mail:
[email protected] 2) Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52 – 60 Salatiga 50711 Abstrak Pengukuran karateristik kualitas produk parfum remaja dari perusahaan “X” digambarkan dengan gambaran grafik yang memenuhi batas spesifikasi yang telah ditetapkan oleh perusahaan. Dalam makalah ini pengukuran kualitas parfum remaja tersebut diusulkan dengan menerapkan grafik pengendali Hotelling T 2 yang menitik beratkan adanya korelasi signifikan antara karateristik yang satu dengan lainnya. Berdasarkan grafik tersebut kemudian digunakan untuk membuat perbandingan batas ellips antara daerah spesifikasi dan daerah proses. Perbandingan kedua batas ellips tersebut digunakan untuk menghitung indeks kemampuan proses multivariat dari karateristik kualitas produk parfum remaja dari perusahaan “X” sehingga diperoleh nilai indeks lebih dari 1 dan dapat dikatakan proses produksi sudah berjalan baik. Kata Kunci : Grafik Pengendali Hotelling T 2 , Batas Ellips, Koefisien Korelasi, Indeks Kemampuan Proses.
1. Pendahuluan Perkembangan sektor industri menuntut persaingan antar pelakunya dalam menjaga dan mengembangkan kualitas produk agar menarik minat konsumen untuk membelinya. Kualitas produk tinggi memiliki karateristik yang digambarkan dari ciri fisik, indera dan orientasi waktu. Oleh karena itu dibutuhkan proses pengendalian kualitas produk agar karateristik dari produk sesuai dengan harapan. Pengendalian kualitas produk yaitu aktivitas keteknikan dan manajemen untuk mengukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi dan mengambil tindakan penyehatan jika terdapat perbedaan antara penampilan sebenarnya dengan yang standar. Untuk mengendalikan kualitas produk diperlukan metode ststistik yang prosesnya dimulai dengan pengambilan sampel, pengujian serta evaluasi, sehingga informasi yang diperoleh dapat digunakan sebagai pengendali proses dan dapat meningkatkan kualitas proses produksi (Montgomery, 1990). Metode statistik ini disebut dengan grafik pengendali ( control chart ). Dalam makalah ini akan dijelaskan pengendalian terhadap 3 karateristik kualitas produk parfum remaja dari perusahaan “X” dengan menggunakan grafik pengendali 1
Hotelling T 2 yang menitik beratkan adanya korelasi yang signifikan antara karateristik satu dan karateristik yang lain. Ketiga karateristik kualitas produk tersebut dimisalkan sebagai x1 = pH dalam parfum remaja, x 2 = refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja
setelah dikemas dan x 3 = massa jenis parfum remaja. Selanjutnya akan dihitung nilai indeks kemampuan proses terhadap 2 variabel dari karateristik produk tersebut. 2. Metodologi Penelitian 2.1 Grafik Pengendali Hotelling T 2 Grafik pengendali Hotelling T 2 diperkenalkan oleh Harold Hotelling pada tahun 1947 dengan menggunakan data pembidik bom selama Perang Dunia II. Hotelling T2 merupakan generalisasi dari distribusi-t. Diketahui sampel berdistribusi normal yang terdiri dari q karakteristik kualitas, dengan m menggambarkan banyaknya sampel, dan masing – masing sampel berukuran n, rataan (mean) dan variansi (variance) sampel dihitung dari x jk =
1 n ∑ xijk n i =1
(1)
j = 1, 2, . . ., q dan k = 1, 2, . . ., n, S 2jk =
(
1 n ∑ xijk − x jk n − 1 i =1
2
)
(2)
j = 1, 2, . . ., q dan k= 1, 2, . . ., n. Dalam hal ini x jk adalah pengamatan ke–i pada karateristik kualitas ke-j dalam sampel ke-k. Kovariansi antara karateristik kualitas j dan karateristik kualitas h pada sample ke- k adalah S jhk =
(
)
1 n ∑ xijk − x jk (xihk − xhk ) n − 1 i =1
(3)
k= 1,2,…,m dan j ≠ h. Selanjutnya dari persamaan (1), (2) dan (3) dihitung meliputi seluruh m sampel untuk memperoleh xj =
1 m ∑ x jk m k =1
j = 1,2,...., q
(4)
S j2 =
1 m 2 ∑ S jk m k =1
j = 1,2,..., q
(5)
2
dan S jh =
1 m ∑ S jhk m k =1
j≠h.
(6)
x j merupakan elemen dari vektor rataan x dan matriks kovariansi S berdasarkan
persamaan (6) dapat disusun sebagai berikut L S1q ⎤ ⎥ L S 2q ⎥ . M M ⎥ ⎥ S q2 ⎥⎦
(7)
T j 2 = m(x − x )S −1 (x − x ) ,
(8)
⎡ S12 ⎢ ⎢ S=⎢ ⎢ ⎢⎣
S12 S 22
Nilai T2 untuk masing – masing sampel adalah '
dengan n adalah ukuran masing masing sampel dan S-1 merupakan invers dari matriks kovariansi S ( Montgomery, 2001).
Batas grafik pengendali dapat ditentukan dari
persamaan ⎛ q( m + 1)(m − 1) ⎞ ⎟⎟ Fα , q,( q , m − q ) , BPA = ⎜⎜ ⎝ m( m − q ) ⎠
(9)
dengan BPA adalah Batas Pengendali Atas, m menggambarkan banyak sampel, dan α adalah prosentase kesalahan proses yang diijinkan ( Montgomery, 2001). Jika nilai T2
untuk sampel ke-j, yaitu T j2 > BPA, hal ini menunjukkan sampel ke-j di luar kendali (Young, 1999). 2.2 Indeks Kemampuan Proses Multivariat Indeks Kemampuan Proses Multivariat (Multivariate Capability Process) adalah suatu indeks proses yang menunjukkan nilai rasio antara penyebaran (variabilitas) spesifikasi produk yang diijinkan dan penyebaran proses aktual yang melibatkan lebih dari satu variabel. Ada beberapa macam metode perhitungan indeks kemampuan proses, salah satunya adalah metode indeks kemampuan proses MCpm (Zahid, 2008). Perhitungan nilai indeks kemampuan proses MCpm ini didefinisikan sebagai rasio dari dua volume yaitu MC
pm
=
vol ( R ) 1 vol ( R ) 2
3
dengan R1 merupakan daerah ellips spesifikasi, sedangkan R2 merupakan daerah proses 100(1 − α ) % . Jika data berdistribusi normal multivariat maka R2 berbentuk ellipsoid
sedangkan R1 merupakan ellipsoid terbesar yang berada dalam daerah spesifikasi ditunjukkan pada Gambar 1 dan berpusat pada target dengan volume R1 adalah p 2∏ μ i π p/2 vol ( R ) = i = 1 1 p Γ( p / 2 )
dengan µi merupakan nilai tengah spesifikasi ke-i (i=1,2,3,...,p).
Gambar 1. Contoh Gambar Perbandingan Ellips Volume R2 dapat dituliskan dalam bentuk vol ( R ) = S 2
1/ 2
(πK ( p))
p/2
1/ 2
[Γ( p / 2 + 1)]− 1 × ⎡⎢1 + ( x − μ )S − 1 ( x − μ ) ' ⎤⎥ ⎣
⎦
dengan K(p) merupakan kuantil 100(1 − α )% dari distribusi χ 2 dengan derajat bebas p, S adalah matriks kovariansi dan x menyatakan vektor rata –rata data. Nilai estimasi indeks MCpm ditentukan dengan rumus MCˆ
pm
=
vol ( R ) 1 1 × / 2 p 1/ 2 [Γ( p / 2 + 1)]− 1 ⎡1 + m x − μ ' S − 1 x − μ (πK ( p )) S ⎢ m −1 ⎣
(
)
(
1/ 2
)⎤⎥ ⎦
atau
MCˆ pm = dengan
4
Cˆ p Dˆ
(10)
Cˆ p =
vol ( R1 )
S
1/ 2
(πK ( p)) p / 2 [Γ( p / 2 + 1)]−1
(
) (
)
1/ 2
m ⎡ ⎤ Dˆ = ⎢1 + x − μ ' S −1 x − μ ⎥ . ⎦ ⎣ m −1
Notasi yang ditunjukkan oleh Γ( • ) menyatakan fungsi gamma, notasi • menyatakan determinan (Pan & Lee, 2009). Menurut Zahid (Darmawan,2010), jika nilai indeks lebih dari 1 maka proses mempunyai variasi lebih kecil dibandingkan dengan batas spesifikasi sehingga dapat dikatakan proses produksi telah berjalan dengan baik. Sebaliknya, jika indeks bernilai kurang dari 1 hal tersebut menunjukkan variasi proses lebih besar daripada batas spesifikasi perusahaan, artinya proses tersebut banyak menghasilkan produk yang tidak sesuai dengan spesifikasi. Komputasi dilakukan dengan bantuan software Matlab 6.5 dan paket program R. Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder dari produk parfum remaja yang diproduksi pada perusahaan “X” selama periode April 2010 hingga Desember 2010. Data produk parfum remaja ini merupakan 3 macam karateristik kualitas yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas parfum remaja yaitu pH dengan batas spesifikasi perusahaan 4 – 8, refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas dengan batas spesifikasi perusahaan 1.349 – 1.369 dan masa jenis parfum remaja dengan batas spesifikasi perusahaan adalah 0.884 – 0.930.
3. Hasil dan Pembahasan 3.1 Penerapan Grafik Hotelling T 2
Dalam makalah ini penerapan grafik pengendali Hotelling T 2 lebih menitik beratkan adanya korelasi signifikan antara karateristik kualitas yang satu dengan karateristik kualitas parfum remaja lainnya yaitu dimisalkan sebagai variabel x1 = pH dalam parfum remaja, x 2 = refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas dan x 3 = massa jenis parfum remaja. Untuk mengetahui adanya korelasi antara karateristik kualitas parfum remaja yang satu dengan karateristik kualitas parfum remaja lainnya diperlukan uji korelasi. Diperoleh hasil terdapat korelasi yang signifikan dari setiap pasangan karateristik kualitas parfum remaja, untuk variabel x1 dan x 2 koefisien korelasi 5
sebesar 0.168, untuk variabel x1 dan x 3 koefisien korelasinya adalah -0.155 sedangkan untuk variabel x 2 dan x 3 adalah -0.658 ( tingkat signifikan α = 0.01). Penerapan grafik pada tiga variabel dan dipilih α = 0.0027
Hotelling T 2 berdasarkan persamaan (8)
diperoleh tabel hasil dari pengamatan 2 variabel yang ditunjukkan pada Tabel 1. Tabel 1. Hasil Pengamatan 2 Variabel dari Ketiga Karateristik Kualitas Parfum Remaja Pengamatan
Vektor Rata - rata
Matriks Kovariansi
BPA
0.0001 ⎡0.1269 ⎤ S=⎢ −3 ⎥ ⎢⎣0.0001 0.0019 × 10 ⎥⎦
12.1274
⎡0.0188 - 0.0885 ⎤ −4 S=⎢ ⎥ × 10 0.0885 0 . 9611 ⎣ ⎦
12.1274
2 Variabel
x1 dan x 2
x 2 dan x 3
x1 dan x 3
x = [6.8297
1.3626 ]
x = [1.3626 0.9131]
x = [6.8297
⎡ 0.1269 S =⎢ ⎣ - 0.0005
0.9131]
- 0.0005⎤ 0.0001⎥⎦
12.1274
Untuk lebih jelas penggunaan persamaan (8) berikut ini contoh perhitungan sampel ke-1 dari pengamatan dua variabel x1 dan x 2 yaitu x1 = [6.80 1.364] , sehingga nilai untuk x1 − x = [6.80 1.364 ] − [6.8297
1.3626 ] = [− 0.0297 0.0014 ] .
Berdasarkan persamaan (8) diperoleh 0.0001 ⎡0.1269 ⎤ ⎡− 0.0297 ⎤ T12 = [− 0.0297 0.0014] × ⎢ × = 1.0984 , −3 ⎥ ⎢ 0.0014 ⎥ ⎢⎣0.0001 0.0019 × 10 ⎥⎦ ⎣ ⎦
dan menurut persamaan (9) diperoleh BPA = 12.1274 . Hal itu berarti bahwa sampel ke-1 dari dua variabel tersebut berada di bawah BPA . Pengamatan tersebut diperoleh sampel yang berada di atas Batas Pengendali Atas (BPA) yaitu sampel ke-155, 192, 283 dengan nilai T 2 dari masing – masing sampel adalah 14.7937, 24.2063, 24.2521. Jika dibandingkan dengan batas spesifikasi perusahaan ketiga sampel dari variabel x1 atau pH dan x 2 atau refractive index parfum remaja masih berada dalam batas spesifikasi perusahaan. Namun, ketiga sampel dari variabel x1 atau pH parfum remaja menunjukkan nilai minimum pH dari semua sampel yang tercatat pada saat perusahaan melakukan penelitian. Hal serupa juga terjadi pada pengamatan variabel 6
x 2 dan x 3 serta x1 dan x 3 , untuk pengamatan pada dua variabel x 2 dan x 3 diperoleh 7
sampel yang berada di atas BPA. Sedangkan untuk pengamatan pada dua variabel x1 dan x 3 diperoleh 3 sampel yang berada di atas BPA. Untuk lebih jelas hasil dari pengamatan
terhadap dua variabel akan ditunjukkan pada Tabel 2 dan Gambar 2. Pengamatan tersebut menghasilkan kesamaan urutan tiga sampel yang berada di atas BPA pada pengamatan variabel x1 dan x 2 serta variabel x1 dan x 3 . Berdasarkan gambar boxplot pada Lampiran 1, ketiga sampel tersebut merupakan titik ekstrim. Hal ini menunjukkan bahwa variabel x1 atau pH dalam parfum remaja berperan sebagai penyebab sampel berada di atas BPA. Sedangkan pengamatan pada variabel x 2 dan x 3 nilai data pada masing – masing variabel tidak menunjukkan nilai minimum, sehingga dapat diasumsikan bahwa nilai T 2 yang berada di atas BPA merupakan akumulasi dari nilai kedua sampel ( sesuai dengan gambar boxplot pada Lampiran 1, kedua variabel tersebut tidak mempunyai titik ekstrim). Tabel 2. Nilai Sampel dari Masing – Masing Pengamatan yang Berada di Atas BPA x1 dan x 2
x 2 dan x3
x1 dan x 3
Sampel
Nilai
Sampel
Nilai
Sampel
Nilai
Ke-
T2
Ke-
T2
Ke-
T2
155
14.7937
23
13.6314
155
14.0449
192
24.2063
39
13.7251
192
25.4430
283
24.2521
233
12.4668
283
24.1327
238
14.9590
254
12.9571
263
22.0083
264
20.5327
7
25
20
20
15
15
10
10
5
5
T2
25
50
100
150 Sampel Ke−
200
250
300
a. Karateristik pH dan refractive index
50
100
150 Sampel Ke−
200
250
300
b. Karateristik refractive index dan massa jenis
30
25
T2
20
15
10
5
50
100
150 Sampel Ke−
200
250
300
c. Karateristik pH dan massa jenis
Gambar 2. Penerapan Grafik Pengendali Hotelling T 2 pada Pengamatan Dua Karateristik Kualitas Parfum Remaja
3.2 Indeks Kemampuan Proses
Bagian ini menjelaskan perbandingan batas ellips antara spesifikasi perusahaan dengan daerah proses yang sebenarnya dengan dipilih α = 0.0027 , kemudian perbandingan batas tersebut digunakan untuk menghitung indeks kemampuan proses. Setiap pengamatan dilakukan terhadap dua variabel yang mempunyai korelasi signifikan. Berdasarkan penerapan Grafik Hotelling T 2 dapat ditunjukkan perbandingan batas ellips antara daerah proses dan daerah spesifikasi perusahaan dari dua pengamatan karateristik kualitas parfum remaja pada Gambar 3. Penghilangan sampel yang berada di atas Batas Pengendali Atas mengawali perhitungan indeks kemampuan proses berdasarkan persamaan (10). Pengamatan pada variabel x1 atau pH parfum remaja dan x 2 atau refractive index Persamaan ellips terbesar ( R1 ) adalah 8
( RI )
R1 ≡
(x − 6)2 + ( y − 0.907)2 5.29 × 10 -4
4
= 1.
Persamaan ellips untuk daerah proses ( R2 ) (Sumber: Web 1) adalah R2 ≡
⎡ (x1 − μ1 )2 (x 2 − μ 2 )2 2r (x1 − μ1 )( x 2 − μ 2 ) ⎤ + − ⎢ ⎥ =T2 S1 S 2 1 − r 2 ⎢⎣ S12 S 22 ⎥⎦ 1
(17)
r adalah koefisien korelasi Pearson.
Diperoleh persamaan ellips untuk karateristik kualitas pH dan refractive index adalah 12.1274 =
⎡ (x − 6.8297 )2 (x − 1.3626 )2 2 × 0.1867(x − 6.8297 )(x − 1.3626 ) ⎤ 2 1 2 ⎢ 1 ⎥. + − −3 0.0001 0.1269 1 − 0.1867 ⎢ ⎥⎦ × 0 . 0019 10 ⎣ 1
Sehingga dapat dihitung indeks kemampuan proses dari kedua karateristik tersebut yaitu MC pm =
Cˆ p D
=
7.767185 = 2.429636. 3.196851
Dengan cara yang sama untuk pengamatan pada karateristik refractive index dan massa jenis diperoleh
R1 ≡
(x − 1.3626)2 + ( y − 0.9131)2 2.5 × 10 −5
5.29 × 10 -4
= 1 dan indeks kemampuan proses
dari kedua karateristik tersebut adalah MC pm =
Cˆ p D
=
4.64619 = 3.147214. 1.476287
Sedangkan untuk pengamatan pada karateristik pH dan massa jenis diperoleh R1 ≡
(x − 6)2 + ( y − 0.9131)2 2.5 × 10 −5
4
=1.
Indeks kemampuan proses dari kedua karateristik ini adalah MC pm =
Cˆ p D
=
4.990975 = 1.659847 . 3.006888
Dari perhitungan indeks kemampuan proses terhadap pengamatan dua variabel dapat dikatakan bahwa proses produksi sudah baik, karena hasil perhitungan menunjukkan angka lebih besar dari 1. Hal ini sesuai dengan gambar perbandingan batas ellips dimana daerah ellips R 2 ( ditunjukkan dengan ellips berwarna hijau ) sebagian besar terletak di dalam batas ellips R1 (ditunjukkan dengan ellips berwarna biru ).
9
a.
b.
Karateristik pH dan refractive index
Karateristik refractive index dan massa jenis
c. Karateristik pH dan massa jenis Gambar 3. Perbandingan Batas Ellips Spesifikasi dengan Batas Ellips Proses 99.73% 4. Simpulan
Dari hasil dan pembahasan pada bagian sebelumnya dapat disimpulkan bahwa ketiga karateristik kualitas parfum remaja dari perusahaan “X” dapat dikatakan baik, karena telah memenuhi spesifikasi baik dari perusahaan maupun berdasarkan teori. Hal ini juga diperkuat dengan perhitungan indeks kemampuan proses dari masing – masing pengamatan pada dua variabel dimana nilainya > 1 yang menyatakan bahwa proses telah berjalan baik. 5. Daftar Pustaka
Darmawan, Lellie S. 2011. Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling T2 Univariat Dan Multivariat. FSM – UKSW : Salatiga, hal. : 14. Montgomery, D.C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Alih Bahasa: Zanzawi Soejoeti.Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada, hal. : 3 120.
10
----------------------. 2001. Introduction to Statistical Quality Control 4th Edition. John Wiley & Sons, Inc: USA, page: 515-516. Pan, Jeh-Nan dan Lee, Chun Yi. 2009. New Capability Indices for Evaluating the Perfomance of Multivariate Manufacturing Process. Journal of Quality and Reability Engenering Internasional. Vol. 26 : 3 –15. Pearn, W.L., Wang, F.K., Yen, C.H. 2007. Multivariate Capability Indices: Dristributional and Inferential Properties. Journals of Applied Statistic.Vol. 34: 941-962. Young, Timothy. 1999. Multivariate Control Chart of MDF and OSB Vertical Density Profile Attributes. Forest Product Journal. Vol 49: 79-86 Zahid, Abu. Arifa Sultana. 2008. Assesment and Comparison Of Multivariate Process Capability Indices in Ceramic Industry. Journal of Mechanical Engeneering Vol. ME39: 18 – 25. Web
1:
http://ebookbrowse.com/module-6-outlier-detection-for-two-sample-case-ppt-
d110303491 .
11
Lampiran 1: Gambar Boxplot Karateristik Kualitas Parfum Remaja
Keterangan: Gambar boxplot karateristik pH terdapat 3 titik ekstrim yaitu pada sampel ke 155, 192 dan 283 yang nilainya diantara 5 – 5.5, sedangkan gambar boxplot karateristik refractive index dan massa jenis tidak ada. Sehingga karateristik pH merupakan karateristik dominan yang menyebabkan sampel out of control.
12
