PERANCANGAN PROGRAM APLIKASI PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR (GRUP PERIODIK, GRUP APERIODIK, GRUP CAMPURAN, GRUP FAKTOR, DAN SUBGRUP NORMAL) Ngarap Imanuel Manik, Drs., M.Kom.; Don Tasman, S.Mia., S.E., S.Si., M.M; Pretty Christyaningrum Turang
ABSTRAK Aljabar abstrak atau yang juga dikenal dengan aljabar moderen merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan kajian kuantitas, hubungan, dan struktur yang terbentuk. Lebih spesifik, aljabar abstrak mempelajari struktur aljabar seperti grup, gelanggang (ring), dan lapangan (fields). Ilmu aljabar abstrak berkembang dengan pesat karena penerapan karakteristik dari bentuk-bentuk struktur aljabar tersebut banyak bermanfaat dalam pengembangan metode penyelesaian masalah yang bersifat abstrak dan sulit direpresentasikan melalui operasi aljabar biasa. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, salah satu yang dipelajari dalam ilmu aljabar abstrak adalah teori grup. Ide dasar munculnya teori grup adalah penyelidikan permutasi dari himpunan berhingga di dalam teori persamaan. Selanjutnya ditemukan bahwa konsep dari suatu grup adalah universal dan konsep grup tersebut muncul dalam berbagai cabang ilmu matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. Kata Kunci:
Aljabar Abstrak, Aljabar Modern, Grup, Struktur aljabar, Grup Faktor, Grup Periodik, Grup Aperiodik, Grup Campuran, Subgrup Normal.
PENDAHULUAN Pada tahun sebelumnya telah dilakukan penelitian tentang teori grup dan merancang program aplikasi pengujian struktur grup khusus (abelian, siklik, dan homorfisma) dengan menggunakan bahasa pemrograman Delphi (Object Pascal). Karena sekarang ini penelitian mengenai teori grup masih kurang dan jarang ditemukan, maka tercetus keinginan untuk melanjutkan penelitian tersebut serta mengembangkan program aplikasi yang telah tercipta agar lebih efisien dan userfriendly yaitu dengan menambahkan beberapa fitur yang dapat menguji grup khusus lainnya (grup aperiodik, grup periodik, grup campuran, grup faktor, dan subgrup normal). Dalam pengembangan program aplikasi ini, digunakan bahasa pemrograman Java dengan tujuan selain dapat dijalankan pada beberapa platform sistem operasi berbeda, juga dapat dipublikasikan secara bebas alias gratis sehingga memungkinkan programmer atau peneliti lain mengembangkan program aplikasi ini dengan menambahkan fitur yang lebih bermanfaat.
PEMBAHASAN Struktur Aljabar Menurut Dr. Kusno Kromodihardjo (1988), yang dimaksud dengan suatu struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan suatu komposisi biner atau lebih. Misalkan S adalah suatu himpunan yang dilengkapi dengan dua komposisi biner + dan *, maka S menjadi satu struktur aljabar dan diberi notasi (S, +, *). Table Cayley Dibutuhkan suatu alat yang konkret untuk mendefinisikan komposisi biner dalam suatu himpunan khususnya himpunan terhingga yaitu Tabel Cayley. Dengan tabel Cayley, komposisi biner dapat didefinisikan secara analitik (deskriptif) atau secara geometrik. Tabel Cayley adalah daftar yang dirancang oleh Arthur Cayley pada abad ke-19. Tabel 1 Tabel Cayley untuk Operasi Penjumlahan Modulo 4
+4
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Dari tabel Cayley di atas, elemen yang dioperasikan adalah elemen di kolom abu-abu kiri 0 1 2 dengan operasi + 4 elemen di baris abu-abu atas 0 1 2. Kolom putih dan baris putih merupakan hasil biner antara masing-masing elemen pada himpunan. Terlihat bahwa 0 + 4 0 = 0, 0 + 4 1 = 1, 0 + 4 2 = 2, 1 + 4 0 = 1, 1 + 4 1 = 2, 1 + 4 2 = 0 dan seterusnya. Dalam sistem aljabar perlu diperhatikan bahwa operasi + 4 di atas belum tentu berarti operasi penjumlahan yang lazim digunakan dalam aritmatika, namun dapat berarti pengurangan, perkalian, atau lainnya sesuai dengan definisi yang diberikan pengguna. Tabel Cayley banyak digunakan dalam sistem aljabar karena penyusunannya dapat menggambarkan sifat-sifat grup. Sebagai contoh, operasi penjumlahan modulo 4 dari himpunan A = {0,1,2} merupakan grup abelian (komutatif) dengan melihat hasil bahwa hasil produk operasi pada Tabel 2.1 saling simetris terhadap sumbu diagonal utama tabel. Sifat-sifat Operasi Aljabar Menurut Connell (2004), operasi biner pada sistem aljabar memiliki sifat-sifat yang digunakan untuk mengklasifikasikan sistem tersebut.
1. Operasi Biner (tertutup) Misalkan A = {2,4,6,8,..} yaitu bilangan asli genap dan dipandang operasi +, yaitu operasi penjumlahan, maka operasi + merupakan operasi biner pada A karena jumlah dua bilangan asli genap selalu merupakan bilangan asli genap dalam A.
(∀a, b ∈ A) a+b ∈ A Ö + tertutup
2. Operasi Asosiatif Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat asosiatif jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c ∈ A berlaku (a*b)*c = a*(b*c).
(∀a, b, c ∈ A) (a*b)*c = a*(b*c) Ö * asosiatif 3. Komutatif Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a,b ∈ A berlaku sifat a*b = b*a. (∀a, b ∈ A) a*b = b*a Ö * komutatif 4. Memiliki Elemen Identitas (Unsur Kesatuan) Unsur kesatuan atau elemen identitas adalah suatu elemen yang jika dioperasikan terhadap sembarang elemen tunggal dari sebuah himpunan akan menghasilkan elemen itu sendiri. Pada operasi biner *, suatu elemen e1 ∈ A disebut identitas (unkes) kiri jika untuk semua elemen a ∈ A berlaku e1*a = a. Sedangkan suatu elemen e2 ∈ A disebut identitas (unkes) kanan jika untuk semua elemen a ∈ A berlaku a*e2 = a. Jika suatu elemen e ∈ A merupakan identitas kiri dan sekaligus identitas kanan, maka e disebut elemen identitas. Dalam simbol matematika: e1 ∈ A adalah identitas kiri Ù (∀a ∈ A) e1*a = a e2 ∈ A adalah identitas kanan Ù (∀a ∈ A) a*e2 = a (∀a ∈ A) e*a = a*e = a Ö * memiliki elemen identitas 5. Memiliki Invers Invers suatu elemen adalah elemen yang jika dioperasikan terhadap elemen pertama akan menghasilkan elemen identitas. Pada operasi biner *, suatu elemen e1 ∈ A disebut invers kiri a jika untuk semua elemen a ∈ A berlaku e1*a = e. Sedangkan suatu elemen e2 ∈ A disebut invers kanan a jika untuk semua elemen a ∈ A berlaku a* e2 = e Jika ada suatu anggota himpunan A yang merupakan invers kiri sekaligus invers kanan elemen a, maka anggota tersebut disebut invers a (simbol a-1). Dalam simbol matematika: a-1 ∈ A adalah invers kiri Ù (∀a ∈ A) a-1*a = e a-1 ∈ A adalah invers kanan Ù (∀a ∈ A) a*a-1 = e
(∀a ∈ A) a-1*a = a* a-1 = e Ö * memiliki invers dari a Klasifikasi Struktur Aljabar Umum 1. Grupoid
Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar dan akan disebut grupoid jika operasi * merupakan operasi biner (tertutup). 2. Semigrup Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut semigrup jika memenuhi kondisi-kondisi: 1. (A,*) merupakan operasi biner (tertutup) 2. (A,*) merupakan operasi asosiatif 3. Monoid Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut monoid jika memenuhi kondisi-kondisi: 1. (A,*) merupakan semigrup 2. (A,*) memiliki elemen identitas 4. Grup Misal (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut grup bila memenuhi kondisikondisi: 1. (A,*) merupakan monoid 2. Setiap elemen dalam A memiliki invers Bentuk-Bentuk Grup Khusus Kategori-kategori seperti yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan klasifikasi struktur aljabar secara umum. Kategori-kategori ini dapat dikelompokkan lagi ke dalam kategorikategori khusus berdasarkan sifat yang lebih spesifik. Untuk grup sendiri terdapat beberapa jenis grup khusus yang dapat dilihat dengan menganalisis sifat-sifat tambahan pada sistem aljabarnya. Bentuk-bentuk khusus ini adalah sebagai berikut. A. Grup Komutatif Misalkan (A,*) adalah suatu grup G, maka G disebut grup komutatif atau Abelian, jika ∀a, b ∈ G berlaku ab = ba atau dapat dikatakan memenuhi kondisi-kondisi: 1. (A,*) merupakan grup 2. (A,*) bersifat komutatif B. Grup Siklik Suatu grup G disebut siklik jika untuk sejumlah a ∈ G sedemikian hingga setiap elemen x ∈ G dapat dinyatakan sebagai hasil operasi a dengan dirinya sendiri sebanyak n kali (n berhingga). Elemen a yang bersifat seperti itu disebut sebagai generator. Jika G grup siklik dibangun oleh a, maka ditulis G=(a), elemen-elemen tersebut dapat ditulis sebagai a −2 , a −1 , a 0 = e, a 1 , a 2 ,... C. Grup Periodik, Aperiodik, dan Campuran Definisi C.1 (i) Tingkat a = minimum {a | a ∈ N , a x = e} jika himpunan ≠ 0 (ii) Tingkat a = 0 (tak hingga) jika himpunan = 0 Tingkat suatu unsur dari suatu grup adalah bilangan asli terkecil yang bila dipangkatkan kepada unsur tersebut menghasilkan unsur kesatuan bila bilangan itu ada seperti dijelaskan pada pterhinggernyataan (i). Pernyataan (ii) menunjukkan bila tidak ada satu
bilangan asli pun yang dipangkatkan pada suatu unsur a menghasilkan unsur kesatuan maka dikatakan tingkat a tak hingga. Tingkat (atau ordo) dari a diberi notasi t (a). Bila ada suatu bilangan asli n ∋ a n = e, dapat dikatakan tingkat dari a atau tingkat a terhingga. Bila tidak demikian maka dikatakan tingkat a tak hingga. (Kusno, 1988) Definisi C.2 (Aperiodik, Periodik, dan Campuran) Suatu grup G dinamakan periodik atau berkala jika tingkat setiap unsurnya terhingga dan dinamakan aperiodik jika setiap unsurnya selain unsur kesatuan mempunyai tingkat tak hingga. Akan dinamakan campuran jika sedikitnya mempunyai satu unsur dengan tingkat tak hingga dan satu unsur ≠ e dengan tingkat terhingga. Akibat definisi di atas, terbentuk 2 pernyataan (i) Setiap grup terhingga adalah periodik (ii) Jika suatu grup aperiodik atau campuran maka grup tersebut tak hingga Berhadapan dengan itu, grup tak hingga tidak mesti aperiodik. Bisa saja aperiodik, bisa campuran, dan bisa pula periodik. Jadi tak hingga hanya merupakan syarat perlu agar suatu grup aperiodik atau campuran. Istilah aperiodik tidak berarti tidak periodik, bukan ingkaran dari periodik. Tidak periodik berarti bisa aperiodik tetapi bisa pula campuran. Sebaliknya, tidak aperiodik tidak mesti periodik, bisa periodik dan bisa pula campuran. Oleh karenanya istilah aperiodik tidak dapat diganti dengan tak berkala. (Kusno, 1988) D. Subgrup Normal Definisi D.1 (Koset) Di dalam suatu grup G terdapat subgrup H untuk a, b ∈ G , dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo H dan ditulis a ≡ b mod H, bila dan hanya bila ab −1 ∈H. Relasi a ≡ b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk Ha = {ah, h ∈ H } disebut koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan Ha = {ah, h ∈ H } disebut koset kiri terhadap subgrup H. Unsur a disebut generator dari koset tersebut. Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G terdapat himpunan koset kanan K = {Ha | a ∈ G} dan himpunan koset kiri L = {aH | a ∈ G}. Definisi D.2 (Subgrup) Himpunan bagian dari suatu grup yang merupakan grup terhadap operasi yang sama, yaitu operasi yang ada dalam grup tersebut dinamakan subgrup. Berikut adalah beberapa teorema mengenai subgrup. Teorema D.1 : Misalkan G adalah sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G. S dinamakan suatu subgrup dari G jika S merupakan suatu grup terhadap operasi yang ada dalam G. Teorema D.2 : G sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G yang tak kosong, maka S merupakan suatu grup dari G jika dan hanya jika (i) x dan y ∈ S (ii) x ∈ S → x −1 ∈ S Teorema D.3 : G suatu grup dan S ⊆ G dengan S ≠ 0. S suatu subgrup dari G jika dan hanya jika ∀x, y ∈ S berlaku xy −1 ∈ S . Dari ketiga teorema di atas, jika S adalah subgrup dari G maka dapat dinotasikan H ≤ G. Jika H adalah proper subgrup dari G, yaitu H ≠ G, maka dituliskan H < G.
Definisi D.3 (Subgrup Normal) Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G, subgrup H dikatakan subgrup normal dari G bila gH = Hg untuk semua g ∈ G maka dapat dibuktikan bahwa setiap koset kiri dari H dalam G sama dengan koset kanan dari H dalam G. Berikut adalah teorema yang berlaku pada subgrup normal. (i) Subgrup H adalah normal di grup G (ii) Untuk semua g ∈ G, g −1 Hg ⊂ H (iii) Untuk semua g ∈ G, g −1 Hg = H E. Grup Faktor (Grup Kuosien) Definisi E.1 (Lagrange) Bila G adalah suatu grup terhingga dan H subgrup dari G, maka G / H = [G : H ] yaitu order dari subgrup H membagi order dari G. Bukti: Misalkan n adalah order dari G dan k adalah order dari H. Maka setiap koset kanan dari H dalam G mempunyai order sebanyak k juga. Misal r adalah banyak koset kanan yang berlainan dari H dalam G. Koset kanan dari H dalam G membentuk partisi dari G, sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari koset-koset yang lepas (disjoint) yaitu G = a1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ... ∪ a r H . Oleh karena koset kanan merupakan partisi dari G maka G =| a1 H | + | a 2 H | +...+ | a r H |
= H + H + ... + H = k + k + ... + k = kr Diperoleh n = kr sehingga k membagi n. Definisi E.2 (Grup Faktor) Misalkan N adalah subgrup normal dari grup G, maka himpunan semua koset kanan dari N dalam G (dinotasikan dengan G / N ) terhadap operasi perkalian himpunan merupakan suatu grup dan G / N disebut grup faktor. G / N = {aN | a ∈ G}, didefinisikan operasi pada G / N , aN .bN = ab dengan unsur aN disebut koset-koset dari N. (Fraleigh, 1997) Teorema : Himpunan G / N adalah grup dan disebut grup faktor di bawah operasi perkalian. Operasi perkaliannya didefinisikan a.bN = ab.N Bukti : - Menurut definisi operasi, pada G / N tertutup di bawah operasi perkalian asosiatif (aN.bN ).cN = (ab) N .cN = ((ab)c) N = aN ((bc) N ) = aN (bN.cN ). - Unsur identitas adalah koset N sebab aN .N = aNeN = (ae) N = aN dan N = aN = eN .N = (ea) N = aN . - Invers dari aN adalah a −1 N sebab aN .a −1 N = (aa −1 ) N = eN = N Terbukti bahwa G / N adalah grup. F. Homomorfisma Grup Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Berikut akan dibahas homomorfisma grup beserta sifat-sifatnya.
Definisi F.1 (Homomorfisma) Diketahui (G,*) dan (G ' ,•) merupakan grup. Pemetaan ϕ : G → G ' disebut homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈ G berlaku ϕ ( a * b) = ϕ (a ) • ϕ (b). Definisi F.2 - Suatu homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma - Suatu homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma - Suatu homomorfisma yang bijektif disebut isomorfisma Definisi F.3 Suatu homorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu endomorfisma dan suatu endomorfisma yang dibjektif dinamakan automorfisma. Contoh: Ambil grup G1 = ( R + , x s ) yaitu grup multiplikatif dari himpunan semua bilangan nyata positif dan grup G2 = ( R + , x s ) yaitu grup aditif dari himpunan semua bilangan nyata. Bangun pemetaan ρ : G1 → G2 sebagai berikut: ρ ( x) = log x maka ∀x, y ∈ G1 = R + akan berlaku ρ ( xy ) = log( xy ) = log x + log y = ρ ( x) + ρ ( y ). Ini berarti bahwa ρ suatu homomorfisma; selanjutnya dan surjektif, ρ injektif sebab ρ ( x ) = ρ ( y ) ⇒ log x = log y ⇒ x = y; selain itu ∀x'∈ G2 ∃x ∈ G1 sedemikian hingga ρ ( x) = x' yaitu bila diambil x = 10 x. Jadi ρ suatu isomorfisma. Lemma F.1 Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup, maka keempat sifat berikut berlaku: (i) Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ϕ (e) merupkan elemen identitas e' di G’. (ii) Jika a ∈ G maka ϕ (a −1 ) = ϕ (a ) −1 (iii) Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ (H ) merupakan subgrup pada G’. (iv) Jika K’ merupakan subgrup pada G’, maka ϕ −1 ( K ' ) merupakan subgrup pada G. Definisi F.4 (Kernel) Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' homomorfisma grup. Himpunan {a ∈ G | ϕ ( a ) = e'} dinamakan kernel ϕ dari dan dinotasikan ker (ϕ ). Lemma F.2 Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ker (ϕ ) = {e}. Bukti ( ⇒ ) Menurut Lemma G.1 (i) berakitab ϕ (e) = e' dan karena ϕ merupakan pemetaan injektif maka hanya elemen e di G yang dipetakan ke elemen e’ di G’. Jadi ker (ϕ ) = {e}. ( ⇐ ) Diandaikan pemetaan ϕ bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat a, b ∈ G dengan ϕ (a ) = ϕ (b). Karena ϕ ( a ) = ϕ (b) maka a ≠ b dan
ϕ (a)ϕ (b) −1 = e −1 . Menurut
Lemma G.1 ϕ (a)ϕ (b) = ϕ (a)ϕ (b ) = ϕ (ab ) = e'. Karena −1
−1
(ii)
diperoleh
−1
diketahui −1 ( ϕ ) = { e } akibatnya ab = e dan dengan kata lain a = b. Muncul ker
kontradiksi dengan pengandaian bahwa a ≠ b. Jadi, pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif. Definisi F.5 (Monomorfisma) Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut monomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ suatu pemetaan satu-satu dari G ke G’. Dengan kata lain, jika ϕ ( x ) = ϕ (y) maka x = y untuk x, y ∈ G. Definisi F.6 (Epimorfisma) Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut epimorfisma grup apabila setiap g ∈ G ' ada g ∈ G sehingga ϕ ( g ) = g '. Dengan kata lain, setiap elemen G’ mempunyai kawan elemen G. Dapat pula dikatakan bahwa homomorfisma ϕ dari G onto G atau disingkat homomorfisma ϕ onto. Definisi F.7 (Isomorfisma) Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan injektif (satu-satu). Grup G dan G’ dikatakan isomorphic jika ada isomorfisma ϕ dari G ke G’ dan dinotasikan dengan G ≅ G '. Langkah-langkah untuk menunjukkan grup G dan G’ isomorphic adalah: 1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G’. 2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada. 3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorfisma. Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic, pada prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorfisma yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G’. Namun tidak mungkin dicoba setiap kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak dapat dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi kedua grup.
PENUTUPAN Kesimpulan Berdasarkan pengamatan dan pembelajaran terhadap hasil penulisan skripsi ini, dapat diambil beberapa kesimpulan mengenai keakuratan kinerja program, pengembangan, dan kemampuan program untuk memenuhi tujuannya dibuat sebagai berikut. a. Dari analisis dan pengujian terhadap beberapa sampel sistem aljabar, dapat disimpulkan bahwa program pengujian dapat memberikan hasil yang tepat, sesuai dengan sifat-sifat yang telah dideskripsikan pada Bab 2. b. Program aplikasi ini jauh lebih efisien dibandingkan dengan melakukan pengujian secara manual sehingga waktu pengerjaan yang ditempuh lebih singkat. c. Program ini dinilai dapat memenuhi tujuannya yaitu lebih user friendly bila dibandingkan dengan program sebelumnya yang pernah dibuat oleh Andrew Saputra (2010) karena memudahkan pengguna dalam memahami klasifikasi sistem aljabar beserta sifat-sifatnya. Program memberikan penjelasan hasil pengujian secara bertahap, detail, dan jelas.
d. Waktu kerja yang dibutuhkan program dalam memberikan hasil pengujian sangat singkat, sehingga jauh lebih efisien dibandingkan pengujian secara manual. Program telah diuji dengan beberapa sistem aljabar yang memiliki jumlah elemen bervariasi, dan tidak ditemukan peningkatan waktu yang kasat mata dalam waktu proses program. Ukuran file program kecil dan algoritma program dirancang dengan algoritma-algoritma dasar yang tidak kompleks, sehingga tidak membutuhkan spesifikasi komputer yang tinggi untuk menjalankan program. e. Program ini dinilai dapat menjadi program aplikasi yang dapat dipakai seluruh pengguna dari segala Negara karena menggunakan bahasa Inggris. Saran Secara umum, program aplikasi pengujian struktur aljabar ini telah memenuhi tujuantujuan awal perancangannya. Namun masih terdapat banyak kemungkinan pengembangan dan penyempurnaan yang bisa dilakukan ke depannya. Adapun beberapa saran yang dapat diberikan adalah sebagai berikut. a. Pengembangan program aplikasi pengujian struktur aljabar secara utuh yang mengintegrasikan fitur-fitur pengujian grup pada program yang telah dibuat penulis pada skripsi ini dengan bentuk-bentuk klasifikasi lainnya yang belum terdapat di sini, seperti Ring dan Field khusus. b. Jika tampilan program aplikasi ini didesain lebih visual dengan beraneka ragam warna dan gambar, sebagai contoh menggunakan flash, maka program ini akan lebih menarik pengguna karena seperti diketahui bahwa topik struktur aljabar masih menjadi hal yang cukup kompleks untuk dijelaskan kepada orang awam atau pelajar yang baru pertama kali menyentuh topik ini. c. Pengembangan aplikasi lebih jauh dari pengujian, yakni aplikasi untuk implementasi struktur aljabar dalam melakukan fungsi aljabar yang lebih umum, misalnya kriptografi.
DAFTAR PUSTAKA
PERANCANGAN PROGRAM APLIKASI PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR (GRUP PERIODIK, GRUP APERIODIK, GRUP CAMPURAN, GRUP FAKTOR, DAN SUBGRUP NORMAL) Ngarap Imanuel Manik, Drs., M.Kom.; Don Tasman, S.Mia., S.E., S.Si., M.M; Pretty Christyaningrum Turang
ABSTRACT Abstract algebra, also known as modern algebra, is a branch of mathematic that studies quantitative study, relation, and structures. Specifically, the abstract algebra covers group, ring, and field algebraic structures. The development of abstract algebra has advanced rapidly due to its wide implementation in building abstract problem solving methods, which proves difficult to be represented in normal algebraic operations. As mentioned above, one of the primary topics of abstract algebra study is the group theory. The group theory originates from exploration of the finite set permutation in equation theory. This idea is then found to be universal, allowing the group concept to be accepted in different mathematical studies and even in other fields. Keyword:
Abstract Algebra, Modern Algebra, Group, Algebraic Structures, Factor Group, Periodic Group, Aperiodic Group, Mixed Group, Normal Subgroup.
INTRODUCTION In the previous year had done research on group theory and application testing program structure designing special group (abelian, cyclic, and homorfisma) using the Delphi programming language (Object Pascal). Because the current research on group theory is still lacking and rarely found, it sparked a desire to continue research and develop application programs that have been created to be more efficient and userfriendly by adding a few features that can test for other special groups (group aperiodic, periodic group, mixed group, the group factors, and normal subgroups). In this application program development, Java programming language used for purposes other than can be run on several different operating system platforms, also can be published freely or free thus allowing programmers or other researchers to develop an application program by adding more useful features.
DISCUSSION Algebraic Structure According to Dr. Kusno Kromodihardjo (1988), which is defined as an algebraic structure, namely a set of vacuum not equipped with a binary composition or more. Suppose S is a set equipped with two binary composition + and *, then S becomes an algebraic structure and given the notation (S, +, *).
Cayley Table It takes a concrete tool to define a binary composition in a particular set is a finite set of Cayley Table. With Cayley tables, binary composition defined analytically (descriptive) or geometrically. Cayley table is a list designed by Arthur Cayley in the 19th century. Tabel 1 Cayley Table for Addition Operation Modulo 4
+4
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Of the Cayley table above, the element is an element which operated in the left gray column 0 1 2 with operation + 4 elements in the gray bar above 0 1 2. White columns and white line is the result of a binary between each element in the set. seen that 0 + 4 0 = 0, 0 + 4 1 = 1, 0 + 4 2 = 2, 1 + 4 0 = 1, 1 + 4 1 = 2, 1 + 4 2 = 0 and so on. In algebra system to note that the above operation does not necessarily mean the sum of the commonly used operations in arithmetic, but it could mean subtraction, multiplication, or otherwise in accordance with the definition given user. Table Cayley algebra is widely used in the system because of its formulation to describe the properties of the group. For example, the addition operation modulo 4 of the set A = {0,1,2} is an abelian group (commutative) to see the results that the results of operations in Table 2.1 products each symmetrical about the axis of the main diagonal of the table. Algebraic properties of Operation According to Connell (2004), a binary operation on algebra systems have properties that are used to classify the system. 1. Binary operations (enclosed) Suppose that is an even natural numbers and the + operation is considered, namely the operations of addition, the operation + is a binary operation on A as the sum of two even natural numbers always a natural number is even in A.
(∀a, b ∈ A) a+b ∈ A Ö + enclosed
2. Associative Operations Binary operation * on a set A is associative if and only if for every a, b, c ∈ A applies (a*b)*c = a*(b* c). (∀a, b, c ∈ A) (a*b)*c = a*(b*c) Ö * associative
3. Commutative Binary operation * on a set A is commutative if and only if for every a,b ∈ A true nature of a*b =b*a. (∀a, b ∈ A) a*b = b*a Ö * commutative 4. Have Element Identity (element Unity) The element of unity or identity element is an element which, when operated on any single element of a set will result in the element itself. In the binary operation *, an element e 1 ∈ A so-called identity (unkes) left if for all elements of a ∈ A valid e1*a = a. While an element e2 ∈ A so-called identity (unkes) right if for all elements of a ∈ A valid a*e2 = a. If an element e ∈ A is a left identity and right identity at the same time, then e is called the identity element. In mathematical symbols: e1 ∈ A is a left identity ó (∀a ∈ A) e1*a = a e2 ∈ A is a right identity ó (∀a ∈ A) a*e2 = a (∀a ∈ A) e*a = a*e = a Ö * has the identity element 5. Have Inverse Inverse of an element is the element which, when operated on the first element will produce the identity element. In the binary operation *, an element e1 ∈ A is called a left inverse if for all elements of a ∈ A valid e1*a = e. While an element e2 ∈ A is called a right inverse if for all elements of a ∈ A valid a* e2 = e If there is a member of the set A which is at once a left inverse right inverse element a, then the member is called the inverse of a (symbol a -1). In mathematical symbols: a-1 ∈ A is a left inverse of ó (∀a ∈ A) a-1*a = e a-1 ∈ A is a right inverse ó (∀a ∈ A) a*a-1 = e (∀a ∈ A) a-1*a = a* a-1 = e Ö * has an inverse of a General classification of algebraic structure 1. Groupoid Let (A, *) is an algebraic structure and will be called if the operation * groupoid is a binary operation (closed) 2. Semigroup Let (A, *) is an algebraic structure. (A, *) is called semigrup if it satisfies the conditions: 1. (A, *) is a binary operation (closed) 2. (A, *) is an associative operation 3. Monoid Let (A, *) is an algebraic structure. (A, *) is called a monoid if it satisfies the conditions: 1. (A, *) is semigroup 2. (A, *) has the identity element 4. Group
Suppose (A, *) is an algebraic structure. (A, *) is called a group if it fulfills the conditions: 1. (A, *) is a monoid 2. Each element in A has an inverse Forms of Special Groups Categories as described previously is the classification of algebraic structures in general. These categories can be further grouped into specific categories based on more specific properties. For the group itself, there are several types of special groups which can be seen by analyzing the properties of the system of algebraic addition. These special forms are as follows. A. Commutative Group Let (A, *) is a group G, then G is called commutative or Abelian group, if ∀a, b ∈ G apply ab = ba or it can be said to satisfy the conditions: 1. (A, *) is a group 2. (A, *) is commutative B. Cyclic Group A group G is called cyclic if for some a ∈ G such that every element x ∈ G can be expressed as a result of operations with itself n times (n finite). Elements of such a nature referred to as a generator. If G is built by a cyclic group, then it is written G = (a), these elements can be written as a −2 , a −1 , a 0 = e, a 1 , a 2 ,... C. Periodic, Aperiodic, and Mixed Group Definition C.1 (i) Level A = minimum {a | a ∈ N , a x = e} if the set ≠ 0 (ii) Level a = 0 (infinity) if the set = 0 The level of an element of a group is the smallest natural number which, when raised to the generating element of the element of unity when the number as described in (i). Statement (ii) indicate the absence of any natural numbers raised to an element of a generating element of unity is said not to level a degree. Levels (or orders) of a given notation t (a). If there is a natural number n ∋ a n = e, can be said of a level or a level of infinity. Otherwise it is said not to a degree. (Kusno, 1988) Definition C.2 (aperiodic, periodic, and Mixed) A group G is called periodic or regular if every element of the finite and is called aperiodic if every element except the element of unity has infinite degree. Will be called mixed if it has at least one element with infinite levels and an element ≠ e with the infinite. Due to the above definition, formed two statements (i) Setiap grup terhingga adalah periodik (ii) Jika suatu grup aperiodik atau campuran maka grup tersebut tak hingga Berhadapan dengan itu, grup tak hingga tidak mesti aperiodik. Bisa saja aperiodik, bisa campuran, dan bisa pula periodik. Jadi tak hingga hanya merupakan syarat perlu agar suatu grup aperiodik atau campuran. Istilah aperiodik tidak berarti tidak periodik, bukan ingkaran dari periodik. Tidak periodik berarti bisa aperiodik tetapi bisa pula campuran.
Sebaliknya, tidak aperiodik tidak mesti periodik, bisa periodik dan bisa pula campuran. Oleh karenanya istilah aperiodik tidak dapat diganti dengan tak berkala. (Kusno, 1988) D. Subgrup Normal Definisi D.1 (Koset) Di dalam suatu grup G terdapat subgrup H untuk a, b ∈ G , dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo H dan ditulis a ≡ b mod H, bila dan hanya bila ab −1 ∈H. Relasi a ≡ b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk Ha = {ah, h ∈ H } disebut koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan Ha = {ah, h ∈ H } disebut koset kiri terhadap subgrup H. Unsur a disebut generator dari koset tersebut. Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G terdapat himpunan koset kanan K = {Ha | a ∈ G} dan himpunan koset kiri L = {aH | a ∈ G}. Definisi D.2 (Subgrup) Himpunan bagian dari suatu grup yang merupakan grup terhadap operasi yang sama, yaitu operasi yang ada dalam grup tersebut dinamakan subgrup. Berikut adalah beberapa teorema mengenai subgrup. Teorema D.1 : Misalkan G adalah sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G. S dinamakan suatu subgrup dari G jika S merupakan suatu grup terhadap operasi yang ada dalam G. Teorema D.2 : G sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G yang tak kosong, maka S merupakan suatu grup dari G jika dan hanya jika (i) x dan y ∈ S (ii) x ∈ S → x −1 ∈ S Teorema D.3 : G suatu grup dan S ⊆ G dengan S ≠ 0. S suatu subgrup dari G jika dan hanya jika ∀x, y ∈ S berlaku xy −1 ∈ S . Dari ketiga teorema di atas, jika S adalah subgrup dari G maka dapat dinotasikan H ≤ G. Jika H adalah proper subgrup dari G, yaitu H ≠ G, maka dituliskan H < G. Definisi D.3 (Subgrup Normal) Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G, subgrup H dikatakan subgrup normal dari G bila gH = Hg untuk semua g ∈ G maka dapat dibuktikan bahwa setiap koset kiri dari H dalam G sama dengan koset kanan dari H dalam G. Berikut adalah teorema yang berlaku pada subgrup normal. (i) Subgrup H adalah normal di grup G (ii) Untuk semua g ∈ G, g −1 Hg ⊂ H (iii) Untuk semua g ∈ G, g −1 Hg = H E. Grup Faktor (Grup Kuosien) Definisi E.1 (Lagrange) Bila G adalah suatu grup terhingga dan H subgrup dari G, maka G / H = [G : H ] yaitu order dari subgrup H membagi order dari G. Bukti: Misalkan n adalah order dari G dan k adalah order dari H. Maka setiap koset kanan dari H dalam G mempunyai order sebanyak k juga. Misal r adalah banyak koset kanan yang berlainan dari H dalam G. Koset kanan dari H dalam G membentuk partisi dari G,
sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari koset-koset yang lepas (disjoint) yaitu G = a1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ... ∪ a r H . Oleh karena koset kanan merupakan partisi dari G maka G =| a1 H | + | a 2 H | +...+ | a r H |
= H + H + ... + H = k + k + ... + k = kr Diperoleh n = kr sehingga k membagi n. Definisi E.2 (Grup Faktor) Misalkan N adalah subgrup normal dari grup G, maka himpunan semua koset kanan dari N dalam G (dinotasikan dengan G / N ) terhadap operasi perkalian himpunan merupakan suatu grup dan G / N disebut grup faktor. G / N = {aN | a ∈ G}, didefinisikan operasi pada G / N , aN .bN = ab dengan unsur aN disebut koset-koset dari N. (Fraleigh, 1997) Teorema : Himpunan G / N adalah grup dan disebut grup faktor di bawah operasi perkalian. Operasi perkaliannya didefinisikan a.bN = ab.N Bukti : - Menurut definisi operasi, pada G / N tertutup di bawah operasi perkalian asosiatif (aN.bN ).cN = (ab) N .cN = ((ab)c) N = aN ((bc) N ) = aN (bN.cN ). - Unsur identitas adalah koset N sebab aN .N = aNeN = (ae) N = aN dan N = aN = eN .N = (ea) N = aN . - Invers dari aN adalah a −1 N sebab aN .a −1 N = (aa −1 ) N = eN = N Terbukti bahwa G / N adalah grup. F. Homomorfisma Grup Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Berikut akan dibahas homomorfisma grup beserta sifat-sifatnya. Definisi F.1 (Homomorfisma) Diketahui (G,*) dan (G ' ,•) merupakan grup. Pemetaan ϕ : G → G ' disebut homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈ G berlaku ϕ ( a * b) = ϕ (a ) • ϕ (b). Definisi F.2 - Suatu homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma - Suatu homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma - Suatu homomorfisma yang bijektif disebut isomorfisma Definisi F.3 Suatu homorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu endomorfisma dan suatu endomorfisma yang dibjektif dinamakan automorfisma. Contoh: Ambil grup G1 = ( R + , x s ) yaitu grup multiplikatif dari himpunan semua bilangan nyata positif dan grup G2 = ( R + , x s ) yaitu grup aditif dari himpunan semua bilangan nyata. Bangun pemetaan ρ : G1 → G2 sebagai berikut: ρ ( x) = log x maka ∀x, y ∈ G1 = R + akan berlaku ρ ( xy ) = log( xy ) = log x + log y = ρ ( x) + ρ ( y ). Ini berarti bahwa ρ suatu
homomorfisma; selanjutnya dan surjektif, ρ injektif sebab ρ ( x ) = ρ ( y ) ⇒ log x = log y ⇒ x = y; selain itu ∀x'∈ G2 ∃x ∈ G1 sedemikian hingga ρ ( x) = x' yaitu bila diambil x = 10 x. Jadi ρ suatu isomorfisma. Lemma F.1 Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup, maka keempat sifat berikut berlaku: (i) Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ϕ (e) merupkan elemen identitas e' di G’. (ii) Jika a ∈ G maka ϕ (a −1 ) = ϕ (a ) −1 (iii) Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ (H ) merupakan subgrup pada G’. (iv) Jika K’ merupakan subgrup pada G’, maka ϕ −1 ( K ' ) merupakan subgrup pada G. Definisi F.4 (Kernel) Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' homomorfisma grup. Himpunan {a ∈ G | ϕ ( a ) = e'} dinamakan kernel ϕ dari dan dinotasikan ker (ϕ ). Lemma F.2 Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ker (ϕ ) = {e}. Bukti ( ⇒ ) Menurut Lemma G.1 (i) berakitab ϕ (e) = e' dan karena ϕ merupakan pemetaan injektif maka hanya elemen e di G yang dipetakan ke elemen e’ di G’. Jadi ker (ϕ ) = {e}. ( ⇐ ) Diandaikan pemetaan ϕ bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat a, b ∈ G dengan ϕ (a ) = ϕ (b). Karena ϕ ( a ) = ϕ (b) maka a ≠ b dan
ϕ (a)ϕ (b) −1 = e −1 . Menurut
Lemma
G.1
(ii)
diperoleh
ϕ (a)ϕ (b) −1 = ϕ (a)ϕ (b −1 ) = ϕ (ab −1 ) = e'. Karena diketahui −1 ( ϕ ) = { e } ker akibatnya ab = e dan dengan kata lain a = b. Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa a ≠ b. Jadi, pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif. Definisi F.5 (Monomorfisma) Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut monomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ suatu pemetaan satu-satu dari G ke G’. Dengan kata lain, jika ϕ ( x ) = ϕ (y) maka x = y untuk x, y ∈ G. Definisi F.6 (Epimorfisma) Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut epimorfisma grup apabila setiap g ∈ G ' ada g ∈ G sehingga ϕ ( g ) = g '. Dengan kata lain, setiap elemen G’ mempunyai kawan elemen G. Dapat pula dikatakan bahwa homomorfisma ϕ dari G onto G atau disingkat homomorfisma ϕ onto. Definisi F.7 (Isomorfisma) Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan injektif (satu-satu). Grup G dan G’ dikatakan isomorphic jika ada isomorfisma ϕ dari G ke G’ dan
dinotasikan dengan G ≅ G '. Langkah-langkah untuk menunjukkan grup G dan G’ isomorphic adalah: 1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G’. 2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada. 3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorfisma. Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic, pada prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorfisma yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G’. Namun tidak mungkin dicoba setiap kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak dapat dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi kedua grup.
CLOSURE Conclusion Based on observations and studies of the writing of this thesis, several conclusions can be drawn regarding the accuracy of program performance, development, and ability to meet program objectives are made as follows. a. From the analysis and testing against some sample system algebra, can concluded that the testing program can provide exact results, in accordance with properties that have been described on Chapter 2. b. Application program this far more efficient than with do testing manually so that time workmanship to be taken more brief. c. The program assessed can meet goal that is more user friendly when than with the previous program that had be made by Andrew Saputra (2010) as facilitate users in understand classification system algebra along its properties. The program provides explanation result testing in Gradually, detail, and clear. d. Time work required in the program provide result testing very short, so far more efficient than testing manually. The program has been tested with some system algebra which has number element varied, and not found enhancement a visible eye in time the program. Size small program file and program algorithm is designed with algorithms base that is not complex, so not require specification high computer to run the program. e. The program assessed can application program that can be used all users of all countries because of use language England. Suggestion In general, the algebraic structure of the test application program has met its design goals early. But still there are many possibilities of development and refinement that can be done in the future. As for some suggestions that can be given is as follows. a. Development of application program testing structure algebra in that integrates the whole features testing group the program has be made author on thesis this with forms classification others who have not there in Here, as Ring and Field special. b. If appearance of the application program this designed more visual with the a wide range color and images, as example use flash, then this program will more interesting users because
as unknown that topic structure algebra still be it is quite complex to explain to the layman or the student who ru ba first touched this topic. c. Development application more far of testing, namely application to implementation structure algebra in do function algebra is more common, for example cryptography.
REFERENCES Anonymous. (2004). Guide to The Software Engineering Body of Knowledge (SWEBOK). The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. Beachy, John A. (2000). Abstract Algebra: A Study Guide for Beginners. Northern Illinois University. www.ime.usp.br/~aholguin/LIVROS/Beachy.pdf
Clart, W.Edwin. (2001). Elementary Abstract Algebra. Department of Mathematics University of South Florida. www.math.usf.edu/~eclark/Elem_abs_alg.pdf Connell, E. H. (2004). Elements of Abstract and Linear Algebra. University of Miami. http://www.math.miami.edu/~ec/book/book.pdf. Durbin, John R. (2002). Modern Algebra : An Introduction 3rd ed. Singapore; John Wiley & Sons, Inc. Gosling, James and Joy, Bill and Steele, Guy and Bracha, Gillad. (2005). The Java Language Specification Third Edition. Addison Wesley. java.sun.com/docs/books/jls/download/langspec-3.0.pdf
IEEE Xplore - Software Engineering, IEEE Transactions on. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/RecentIssue.jsp?punumber=32. Judson, Thomas W. (2010). Abstract Algebra : Theory and Applications. USA : Stephen F. Austin State University. http://abstract.ups.edu/download/aata-20100827.pdf.
Kromodihardjo, Dr. Kusno. (1988). Struktur Aljabar. Jakarta; Penerbit Karunika, Universitas Terbuka. Lang, S. (1993). Algebra. USA; Wesley Publishing Company. M.P, Drs. Sukirman. (1999). Aljabar Abstrak. Jakarta; Universitas Terbuka, Depdikbud.
