Masarykova univerzita P°írodov¥decká fakulta
Bakalá°ská práce
Martin mérek
Reprezentace kone£ných grup
Vedoucí bakalá°ské práce doc. RNDr. Martin adek, CSc.
Studijní program: Studijní obor:
Matematika
Obecná matematika 2011
Pod¥kování
Rád bych pod¥koval vedoucímu své bakalá°ské práce doc. RNDr. Martinovi adkovi, CSc. za v¥novaný £as a velmi p°ínosné konzultace, které mi nez°ídka odhalily do té doby skrytá zákoutí nejen tohoto zajímavého tématu, ale i matematiky v·bec. Dále bych rád pod¥koval své snoubence Ir£e za trp¥livost, pochopení a lásku.
Prohlá²ení
Prohla²uji, ºe jsem svou bakalá°skou práci napsal samostatn¥ a výhradn¥ s pouºitím citovaných pramen·. V Brn¥, dne 31. kv¥tna 2011
Martin mérek
Abstrakt
Název práce: Reprezentace kone£ných grup Autor: Martin mérek
Ústav matematiky a statistiky P°írodov¥decké fakulty, MU Vedoucí bakalá°ské práce: doc. RNDr. Martin adek, CSc. Abstrakt: Tato práce se zabývá teorií reprezentací kone£ných grup. Reprezentací grupy rozumíme homomor smus grupy do grupy lineárních automor sm· vektorového prostoru. Cílem práce je poskytnout ucelený úvod do této oblasti s d·razem na reprezentace grup permutací kone£ných mnoºin. Jsou zde popsány základní pojmy pouºívané v této teorii, jako nap°íklad ireducibilní reprezentace, charakter reprezentace a Youngovy diagramy. Výklad je demonstrován na p°íkladech. Klí£ová slova: Reprezentace kone£ných grup, reprezentace grupy permutací kone£ných mnoºin, ireducibilní reprezentace, charakter, Young·v diagram
Title: Representation of nite groups Author: Martin mérek
Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: doc. RNDr. Martin adek, CSc. Abstract: The thesis deals with nite group representation theory. A group representation is a homomorphism between the group and the automorphism group of a vector space. The main goal is to give an introduction to this area with emphasis to representations of nite permutation groups. The thesis describes basic notions of the theory, such as irreducible representation, character of a representation and Young diagrams, and demonstrates them on examples. Keywords: Finite group representation, nite permutation group representation, irreducible representation, character, Young diagram
Obsah Úvod
2
1 Základní pojmy
3
2 Reprezentace kone£ných grup
6
2.1 2.2 2.3
Operace nad vektorovými prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ireducibilita a Schurovo lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permuta£ní a regulární reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 10 15
3 Charaktery reprezentací
19
4 Youngovy diagramy a Frobeniova formule
31
Literatura
42
3.1 3.2 3.3
4.1 4.2
Projekce a její d·sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Po£et ireducibilních reprezentací grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ireducibilní reprezentace grupy S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ireducibilní reprezentace grupy Sd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frobeniova formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
24 27 29 32 38
Úvod Algebra je odv¥tvím matematiky zabývajícím se vlastnostmi abstraktních struktur a jejich vzájemnými vztahy. Tato práce se zabývá teorií reprezentací kone£ných grup [2, 3] s d·razem na reprezentace grup permutací kone£ných mnoºin, které jsou práv¥ takovými strukturami. Z pohledu studenta matematiky je tato teorie sama o sob¥ elegantním a zajímavým spojením lineární algebry a teorie grup. Navíc m·ºe slouºit jako odrazový m·stek ke studiu pokro£ilej²ích algebraických struktur, jakými jsou nap°íklad Lieovy grupy a algebry. Cílem práce je poskytnout úvod do této oblasti zájemc·m, kte°í mají znalosti na úrovni p°edm¥t· algebra I a lineární algebra II vyu£ovaných na P°írodov¥decké fakult¥ Masarykovy univerzity. V první kapitole uvedeme, p°ípadn¥ stru£n¥ zopakujeme základní pojmy a v¥ty, které p°ímo nesouvisí s teorií reprezentací, ale které budeme v práci pouºívat. Následující kapitola popisuje základní pojmy teorie reprezentací kone£ných grup. Nejprve se tato kapitola podrobn¥ zabývá dv¥ma moºnými de nicemi reprezentace kone£né grupy G, která m·ºe být vnímána jako homomor smus grupy G do grupy v²ech lineárních automor sm· vektorového prostoru V nebo jako levá akce grupy G na prostoru V . Dále jsou popsány základní vlastnosti reprezentací kone£ných grup a ireducibilní reprezentace, ze kterých jsou sloºeny v²echny ostatní reprezentace grupy. V t°etí kapitole se zam¥°íme na charakter reprezentace a s pomocí tohoto elegantního nástroje odvodíme dal²í vlastnosti reprezentací, zejména pak po£et ireducibilních reprezentací grupy. tvrtá kapitola se jiº výhradn¥ zabývá reprezentacemi grupy Sd permutací kone£né mnoºiny. P°edstavíme zde kombinatorické struktury zvané Youngovy diagramy, jimiº lze pom¥rn¥ jednoduchým zp·sobem popsat a zkonstruovat v²echny ireducibilní reprezentace grupy Sd . Nakonec v této kapitole uvedeme Frobeniovu formuli, která popisuje charaktery ireducibilních reprezentací a s jejíº pomocí lze snadno odvodit dimenze v²ech ireducibilních reprezentací Sd . Jako hlavní zdroj p°i tvorb¥ této práce poslouºila první £ást knihy W. Fultona a J. Harrise Representation theory: a rst course [2]. Základní struktura druhé aº £tvrté kapitoly práce odráºí strukturu této knihy na n¥kolika místech je ale postupováno v zájmu lep²í srozumitelnosti a p°ístupnosti podrobn¥ji £i jiným zp·sobem, nap°íklad tvrzení a d·kazy 3.2 a 3.3, nebo 4.3 aº 4.7. Na kone£nou podobu práce mají vliv i ostatní uvedené zdroje. Sou£ástí práce jsou také °e²ení patnácti cvi£ení r·zné obtíºnosti z vý²e uvedené publikace. Tato cvi£ení, a´ uº v podob¥ p°íklad· nebo tvrzení, jsou v textu ozna£ena. Hlavním p°ínosem práce jsou tedy zejména podrobn¥ji a p°esn¥ji zpracované d·kazy a vy°e²ené úlohy z [2].
2
Kapitola 1
Základní pojmy V této kapitole uvedeme základní pojmy, které budeme ve zbytku práce pouºívat.
De nice 1.1
(Duální prostor). Nech´ U je vektorový prostor nad t¥lesem K. Vektorový prostor lineárních forem se nazývá duální vektorový prostor k prostoru U a ozna£ujeme jej
U ∗ = Hom(U, K). Zobrazení ( , ) : U × U ∗ → K de nované (u, f ) = f (u) je bilineární a nazývá se dualita.
De nice 1.2 (Tenzorový sou£in). Nech´ U1 , . . . , Un jsou vektorové prostory kone£né dimenze nad t¥lesem K. Jejich tenzorový sou£in de nujeme jako vektorový prostor v²ech n-lineárních zobrazení z U1∗ × . . . × Un∗ do K, tedy U1 ⊗ . . . ⊗ Un = Homn (U1∗ × . . . × Un∗ , K). Sou£asn¥ de nujeme zobrazení
t : U1 × . . . × Un → U1 ⊗ . . . ⊗ Un , t(u1 , . . . , un ) = u1 ⊗ . . . ⊗ un p°edpisem
u1 ⊗ . . . ⊗ un (f 1 , . . . , f n ) = (u1 , f 1 ) · · · · · (un , f n ),
kde f 1 ∈ U1∗ , . . . , f n ∈ Un∗ .
V¥ta 1.3 (Univerzální vlastnost tenzorového sou£inu). Nech´ U1 , . . . , Un , V jsou vektorové
prostory a Φ : U1 × . . . × Un → V je n-lineární zobrazení. Pak existuje práv¥ jedno lineární zobrazení ϕ : U1 ⊗ . . . ⊗ Un → V takové, ºe ϕ(u1 ⊗ . . . ⊗ un ) = Φ(u1 , . . . , un ),
tedy, ºe následující diagram komutuje U1 ⊗ . .O . ⊗ Un t
∃!ϕ
/5 V
Φ
U1 × . . . × Un D·kaz uvedené v¥ty lze nalézt nap°íklad v [1]. Pokud V je vektorový prostor a n ∈ N, pak z vlastnosti tenzorového sou£inu plyne, ºe pro kaºdou permutaci σ prvek Sn grupy permutací n-prvkové mnoºiny existuje izomor smus ρσ : U1 ⊗ . . . ⊗ Un → U1 ⊗ . . . ⊗ Un de novaný vztahem 3
1. Základní pojmy
ρσ (u1 ⊕ u2 ⊕ . . . ⊕ un ) = uσ(1) ⊕ uσ(2) ⊕ . . . ⊕ uσ(n) . Nech´ t ∈ U1 ⊗ . . . ⊗ Un . Tenzor t se nazývá symetrický, jestliºe ρσ (t) = t pro v²echny permutace σ ∈ Sn . Pokud platí ρσ (t) = sgn(σ)t pro v²echna σ ∈ Sn , pak t nazýváme antisymetrický. Prostor v²ech symetrických tenzor· zna£íme Symk V a prostor v²ech anVk tisymetrických tenzor· zna£íme V . Podrobnosti o vlastnostech t¥chto prostor· jsou uvedeny nap°íklad v [1].
De nice 1.4
(Stopa lineárního zobrazení). Nech´ V je vektorový prostor a ϕ : V → V je lineární zobrazení. Stopa lineárního zobrazení Tr(ϕ) je stopa (sou£et prvk· na hlavní diagonále) matice zobrazení ϕ v libovolné bázi.
Poznámka. Vý²e uvedená de nice je korektní, nebo´ pro libovolné £tvercové matice A a
B platí Tr(AB) = Tr(BA) a pro libovolné dv¥ matice A a A0 lineárního zobrazení ϕ platí A = P −1 A0 P , kde P je matice p°echodu od α k α0 , coº jsou báze p°íslu²né A a A0 . D·kaz následující v¥ty lze nalézt v [4].
V¥ta 1.5. Nech´ V je komplexní vektorový prostor dimenze n. Potom pro kaºdé ϕ : V → V
existuje báze α = (v1 , . . . , vn ) taková, ºe matice
(ϕ)α,α
λ1 a12 0 λ2 = .. .. . . 0 0
. . . a1n . . . a2n . . . .. . . . . λn
je v horním trojúhelníkovém tvaru.
De nice 1.6 (Projekce).
Nech´ W ⊆ V jeho vektorový podprostor prostoru V . ekneme, ºe zobrazení ϕ : V → W je projekcí na W , pokud platí ϕ2 = ϕ.
De nice 1.7 (Obecná lineární grupa).
Nech´ V je vektorový prostor. Grupu v²ech lineárních automor sm· vektorového prostoru V , tj. lineárních izomor sm· z V do V , nazýváme obecná lineární grupa a zna£íme ji GL(V ).
De nice 1.8 (T°ídy konjugace). Nech´ G je grupa. Prvky g1 , g2 ∈ G nazveme konjugované,
jestliºe existuje h ∈ G takové, ºe platí hg1 h−1 = g2 . Konjugace je relací ekvivalence a prvky jejího rozkladu G nazýváme t°ídy konjugace.
Tvrzení 1.9
(T°ídy konjugace grupy permutací). Nech´ π a σ jsou prvky Sn grupy permutací n-prvkové mnoºiny S . Pak π a σ jsou konjugované práv¥ tehdy, kdyº mají stejnou strukturu cykl·. Zd·vodn¥ní tohoto tvrzení spo£ívá ve faktu, ºe pokud
π = (i1 , i2 , . . . , il ) . . . (im , im+1 . . . , in ), 4
1. Základní pojmy
pak pro v²echna ρ ∈ Sn platí
ρπρ−1 = (ρ(i1 ), ρ(i2 ), . . . , ρ(il )) . . . (ρ(im ), ρ(im+1 ) . . . , ρ(in )). Odtud vidíme, ºe konjugované jsou práv¥ permutace se stejnou strukturou cykl·.
De nice 1.10P(Volný vektorový prostor).
Nech´ X je mnoºina a K t¥leso. Pak vektorový prostor V = { x∈X ax x|ax ∈ K pro v²echna x} v²ech lineárních kombinací prvk· X s bází (x1 , . . . , xn ), kde x1 , . . . , xn jsou v²echny prvky mnoºiny X , nazýváme volným vektorovým prostorem nad mnoºinou X a zna£íme jej K[X].
De nice 1.11
(Algebra grupy). Nech´ G je kone£ná grupa a K t¥leso. Volný vektorový prostor K[G] spolu s operací násobení de novanou na K[G] vztahem X X XX ( ag g)( bh h) = ag bh gh, g∈G
g∈G h∈G
h∈G
nazýváme algebrou grupy G a zna£íme ji KG.
5
Kapitola 2
Reprezentace kone£ných grup V této kapitole p°edstavíme základní pojmy, se kterými budeme dále pracovat. Pokud nebude °e£eno jinak, tak v²echny námi uvaºované grupy budou kone£né a v²echny vektorové prostory budou komplexní s kone£nou dimenzí. Úst°edním termínem teorie reprezentací je, jak jiº název napovídá, pojem reprezentace grupy G.
De nice 2.1 (Reprezentace jako homomor smus).
Reprezentace kone£né grupy G na kone£n¥ rozm¥rném komplexním vektorovém prostoru V je homomor smus ρ : G → GL(V ) grupy G do grupy v²ech lineárních automor sm· prostoru V .
P°íklad 2.2.
Uvaºme libovolnou grupu G a vektorový prostor C. Nejjednodu²²í reprezentací G je homomor smus ρ de novaný vztahem ρ(g) = id pro v²echna g ∈ G. Tuto reprezentaci nazýváme triviální reprezentace G. Existuje je²t¥ jeden zp·sob, jak de novat reprezentaci grupy G, a to pomocí levé akce G na vektorovém prostoru V .
De nice 2.3
(Levá akce). Nech´ G je kone£ná grupa a X mnoºina. Levou akcí grupy G na mnoºin¥ X nazveme zobrazení ϕ : G × X → X , zna£íme (g, x) 7→ gx, které spl¬uje následující podmínky: 1. g1 (g2 x) = (g1 g2 )x pro v²echna g1 , g2 ∈ G a x ∈ X 2. 1x = x, kde 1 je jednotkový prvek grupy G, pro v²echna x ∈ X
De nice 2.4
(Reprezentace jako levá akce). Nech´ G je kone£ná grupa a V kone£n¥ rozm¥rný komplexní vektorový prostor. Reprezentací G na V nazveme levou akci G na V takovou, ºe navíc platí: 1. g(v1 + v2 ) = gv1 + gv2 pro v²echna g ∈ G a v1 , v2 ∈ V 2. g(av) = agv pro v²echna a ∈ C, g ∈ G a v ∈ V
P°íklad 2.5.
Uvaºme Sd grupu permutací d-prvkové mnoºiny a vektorový prostor C. Pak levá akce Sd de novaná na C jako
σc = sgn(σ)c, pro v²echna σ ∈ Sd a c ∈ C je reprezentací Sd . Tuto reprezentaci nazýváme alternující reprezentace Sd . Ob¥ práv¥ uvedené reprezentace jsou ekvivalentní, tedy nap°íklad vý²e uvedená triviální reprezentace grupy G odpovídá levé akci G na V de nované vztahem gv = v pro v²echna g ∈ G, v ∈ V . Formáln¥ dokáºeme ekvivalenci obou de nic následujícím tvrzením. 6
2. Reprezentace kone£ných grup
Tvrzení 2.6 (Ekvivalence de nic reprezentace). De nice 2.1 a 2.4 jsou ekvivalentní. D·kaz. Nech´ ρ : G → GL(V ) je homomor smus grup. Pak odpovídající levá akce G na
V je de nována pomocí p°edpisu (g, v) 7→ ρ(g)(v) pro v²echna g ∈ G a v ∈ V . Takto de nované zobrazení je vskutku levou akcí ob¥ podmínky z de nice 2.3 jsou spln¥ny, nebo´ ρ je homomor smus a tedy zachovává operaci a zobrazuje 1 na id. Platnost podmínek z de nice 2.4 plyne ze skute£nosti, ºe ρ(g) je lineární zobrazení. Na druhou stranu, pokud máme levou akci G na V , pak lze získat p°íslu²nou reprezentaci ρ : G → GL(V ) z de nice 2.1 p°edpisem ρ(g) = g· pro v²echna g ∈ G. Z podmínek de nice 2.4 plyne, ºe pro kaºdé g ∈ G je g· lineární zobrazení. My v²ak po g· navíc poºadujeme, aby se jednalo o izomor smus. Uváºíme-li v²ak, ºe ke kaºdému g· existuje inverzní zobrazení g −1 ·, je z°ejmé, ºe g· je izomor smus. Z podmínek de nice levé akce dále plyne, ºe automor smy indukované prvky g ∈ G tvo°í grupu a ºe pro v²echna g1 , g2 ∈ G a v ∈ V platí ρ(g1 g2 )(v) = (g1 g2 )v = g1 (g2 v) = ρ(g1 )(ρ(g2 )(v)) = ρ(g1 ) ◦ ρ(g2 )(v). Z tohoto vyplývá, ºe p°edpis ρ(g) = g· opravdu de nuje homomor smus z grupy G do GL(V ).
Poznámka. V dal²ím textu budeme pod obratem V je reprezentace G rozum¥t skute£-
nost, ºe vektorový prostor V je reprezentací grupy G podle de nice 2.1, resp. 2.4. Vyuºívat pak budeme de nici, která pro nás bude v dané situaci výhodn¥j²í. Pokud nem·ºe dojít k nedorozum¥ní, tj. z kontextu bude chování reprezentace jasné, nebudeme p°íslu²ný homomor smus, resp. odpovídající levou akci, speci kovat.
Pro studium r·zných reprezentací grupy G je uºite£né mít k dispozici pojem, kterým lze tyto reprezentace vzájemn¥ porovnávat. Z tohoto d·vodu zavádíme pojem homomor smu a izomor smu reprezentací.
De nice 2.7
(Homomor smus a izomor smus reprezentací). Nech´ V a W jsou reprezentace G a ϕ ∈ Hom(V, W ). ekneme, ºe ϕ je G-lineární (homomor smus reprezentací), pokud pro v²echna g ∈ G a v ∈ V platí
ϕ(gv) = gϕ(v), neboli diagram
V
ϕ
/
W
g
g
V
ϕ
/
W
komutuje pro v²echna g ∈ G. Pokud je ϕ navíc izomor smus, °íkáme, ºe se jedná o izomor smus reprezentací a reprezentace V a W jsou izomorfní. 7
2. Reprezentace kone£ných grup
2.1
Operace nad vektorovými prostory
P°i práci s vektorovými prostory existuje n¥kolik základních operací, kterými lze z vektorových prostor· vytvo°it nový vektorový prostor. V následující £ásti ukáºeme, ºe pro reprezentace grupy G lze pomocí t¥chto operací p°irozeným zp·sobem vytvo°it novou reprezentaci. Z tohoto pohledu je nejjednodu²²í operací direktní sou£et. Pokud jsou V a W reprezentace grupy G, pak V ⊕ W je op¥t reprezentace s levou akcí shodnou s p·vodní pro vektory pouze z V nebo W a pro g ∈ G, v ∈ V a w ∈ W de novanou jako g(v + w) = gv + gw. Následující de nice popisuje, jakým zp·sobem získáme reprezentaci tenzorovým sou£inem reprezentací.
De nice 2.8 (Reprezentace tenzorového sou£inu).
Nech´ jsou V a W reprezentace grupy G. Pak tenzorový sou£in V ⊗ W je reprezentací de novanou
g(v ⊗ w) = gv ⊗ gw. Skute£nost, ºe vý²e uvedená de nice spl¬uje poºadavky na reprezentaci, plyne z následující úvahy o univerzální vlastnosti tenzorového sou£inu. Nech´ g je libovolný prvek G a Φg : V × W → V ⊗ W je zobrazení de nované vztahem
Φg (v, w) = gv ⊗ gw. Toto Φg je z°ejm¥ bilineární. Z univerzální vlastnosti tenzorového sou£inu plyne, ºe existuje práv¥ jedno lineární zobrazení ϕg : V ⊗ W → V ⊗ W takové, ºe ϕg (v ⊗ w) = Φg (v, w) = gv ⊗ gw. Toto ϕg je navíc izomor smus a jeho chování lze pro libovolné báze (v1 , . . . , vk ) prostoru V a (w1 , . . . , wl ) prostoru W popsat vztahem X X ϕg ( aij vi ⊗ wj ) = aij gvi ⊗ gwj . i,j
i,j
Toto zobrazení ϕg odpovídá levé akci g na V ⊗ W .
De nice 2.9
(Duální prostor jako reprezentace). Nech´ V je reprezentací G. Pak V ∗ je také reprezentace G a p°íslu²ná levá akce je pro g ∈ G de novaná vztahem
(gf )(v) = f (g −1 v), pro v²echna v ∈ V , f ∈ V ∗ .
Tvrzení 2.10. P°edcházející de nice V ∗ jako reprezentace G je korektní. D·kaz. Nejprve se podívejme, jestli je vý²e de novaná opravdu levá akce ve smyslu de nice 2.3. Pro g1 , g2 ∈ G, f ∈ V ∗ a v ∈ V platí
((g1 g2 )f )(v) = f ((g1 g2 )−1 v) = f (g2−1 (g1−1 v)) = (g2 f )(g1−1 v) = (g1 (g2 f ))(v). 8
2. Reprezentace kone£ných grup
Druhý poºadavek z de nice 2.3 je z°ejm¥ také spln¥n. Linearitu této levé akce dokáºeme snadno, nebo´ pro libovolné g ∈ G, v ∈ V f1 , f2 ∈ V ∗ a a1 , a2 ∈ C platí
(g(a1 f1 + a2 f2 ))(v) = (a1 f1 + a2 f2 ))(g −1 v) = = a1 (f1 )(g −1 v) + a2 (f2 ))(g −1 v) = a1 (gf1 )(v) + a2 (gf2 )(v).
Podívejme se nyní, jak p·sobí akce g ∈ G na dualitu. Pro libovolné v ∈ V a f ∈ V ∗ platí (gv, gf ) = (gf )(gv) = f (g −1 (gv)) = f (v) = (v, f ). Lze tedy navíc °íct, ºe takto de novaná levá akce G na V ∗ spolu s p·vodní akcí na V zachovává dualitu (coº jsme m¥li dokázat ve cvi£ení 1.1 v [2]). K odvození de nice Hom(V, W ) jakoºto reprezentace vyuºijeme skute£nost, ºe prostor Hom(V, W ) je izomorfní V ∗ ⊗ W . Pro tento izomor smus platí, ºe pro f ∈ V ∗ , w ∈ W : f ⊗ w 7→ ϕ ∈ Hom(V, W ) takové, ºe ϕ(v) = f (v) · w. Pouºitím akce g ∈ G na ob¥ strany rovnosti a vyuºitím de nice akce G na tenzorovém sou£inu dostáváme
(gϕ)(v) = gf (v) · gw = f (g −1 v) · gw = g(f (g −1 v) · w) = gϕ(g −1 v), coº je vztah, který pouºijeme v následující de nici.
De nice 2.11 (Hom(V, W ) jako reprezentace).
Nech´ jsou V a W reprezentace grupy G. Pak Hom(V, W ) je také reprezentací G s levou akcí de novanou pro g ∈ G, ϕ ∈ Hom(V, W ) a v ∈ V vztahem (gϕ)(v) = gϕ(g −1 v). Pouºitím práv¥ uvedené de nice m·ºeme ukázat, jaká je struktura homomor sm· reprezentací.
Tvrzení 2.12
(cvi£ení 1.2 v [2]). Nech´ V a W jsou vektorové prostory nad t¥lesem K, které jsou zárove¬ reprezentacemi grupy G. Pak v²echny homomor smy t¥chto dvou reprezentací tvo°í práv¥ vektorový podprostor t¥ch prvk· Hom(V, W ), které jsou pevnými body pro v²echna g ∈ G.
D·kaz. Nech´ ϕ, ψ ∈ Hom(V, W ) jsou homomor smy reprezentací V a W . Ukáºeme, ºe i zobrazení aϕ + bψ pro libovolné a, b ∈ K je homomor smus. Pro libovolné v ∈ V a g ∈ G dostáváme
(aϕ + bψ)(gv) = aϕ(gv) + bψ(gv) = a(gϕ(v)) + b(gψ(v)) = = gaϕ(v) + gbψ(v) = g(aϕ(v) + bψ(v)), kde druhá rovnost plyne z G-linearity ϕ a ψ . Homomor smy reprezentací V a W tedy tvo°í podprostor Hom(V, W ). Z de nice levé akce G na Hom(V, W ) a z G-linearity ϕ pro v²echna v ∈ V plyne
(gϕ)(v) = gϕ(g −1 v) = g(g −1 ϕ(v)) = (gg −1 )ϕ(v) = ϕ(v), 9
2. Reprezentace kone£ných grup
a ϕ je tedy pevný bod pro v²echna g . Obrácen¥, pokud je zobrazení ρ zachováno v²emi g ∈ G, tedy pro v²echna v ∈ V platí (gρ)(v) = ρ(v). Pak zárove¬ i (g −1 ρ)(v) = ρ(v). Potom
ρ(gv) = (gg −1 )ρ(gv) = g(g −1 ρ(gv)) = g((g −1 ρ)(v)) = g(ρ(v)) = gρ(v), kde v t°etí rovnosti vyuºíváme de nici akce G na Hom(V, W ). Z dokázané rovnosti plyne, ºe ρ je G-lineární. Mnoºina G-lineárních zobrazení je tedy práv¥ mnoºina prvk· Hom(V, W ), které jsou pevnými body levé akce grupy G. Tato mnoºina zárove¬ tvo°í podprostor prostoru Hom(V, W ).
Poznámka. Vý²e uvedený podprostor homomor sm· reprezentací prostoru Hom(V, W ) je v¥t²inou zna£en HomG (V, W ). 2.2
Ireducibilita a Schurovo lemma
V této podkapitole zavedeme pojem ireducibilní reprezentace. Ukáºeme, ºe kaºdou reprezentaci, která tuto vlastnost nemá, lze rozloºit na direktní sou£et n¥kolika ve smyslu inkluze men²ích ireducibilních reprezentací a tedy ireducibilní reprezentace lze povaºovat za základní stavební kameny v²ech ostatních reprezentací. V p°ípad¥ mnohých algebraických struktur hovo°íme o podstrukturách majících stejné algebraické vlastnosti jako struktura p·vodní. Podobn¥ m·ºeme i v p°ípad¥ reprezentací uvaºovat pojem podreprezentace.
De nice 2.13
(Podreprezentace). Nech´ V je reprezentace G. Nech´ W je podprostor W ⊆ V takový, ºe pro v²echna g ∈ G a w ∈ W platí gw ∈ W , tedy ºe W je invariantní vzhledem k levé akci G, nebo zkrácen¥ G-invariantní. Pak W nazveme podreprezentací V . V²imn¥me si, ºe podreprezentace W ⊆ V je sama o sob¥ vektorovým prostorem s de novanou akcí G a je tedy i reprezentací G.
De nice 2.14 (Ireducibilní reprezentace). Reprezentace V
grupy G se nazývá ireducibilní, pokud nemá nenulovou vlastní podreprezentaci, tedy podreprezentaci r·znou od {0} a V .
Poznámka. V literatu°e [2, 3] se vlastní nenulová podreprezentace nazývá netriviální podreprezentací.
Nyní ukáºeme základní a o£ekávatelnou vlastnost homomor smu reprezentací, a to ºe obrazy a jádro homomor smu reprezentací jsou op¥t reprezentace, resp. podreprezentace.
Tvrzení 2.15. Nech´ V a W jsou vektorové prostory nad t¥lesem K a zárove¬ reprezentace grupy G a nech´ ϕ : V → W je homomor smus reprezentací. Pak Ker ϕ, resp. Im ϕ, je G-invariantní podprostor prostoru V , resp. prostoru W .
D·kaz. Z G-linearity ϕ pro v²echna v ∈ Ker ϕ a g ∈ G plyne ϕ(gv) = gϕ(v) = g0 = 0 a
tedy gv ∈ Ker ϕ. Odtud plyne, ºe Ker ϕ je G-invariantní podprostor V . Dále pro libovolné w ∈ Im ϕ existuje v ∈ V takové, ºe ϕ(v) = w. Dále platí gw = gϕ(v) = ϕ(gv) ∈ Im ϕ a Im ϕ je tedy G-invariantní podprostor W . 10
2. Reprezentace kone£ných grup
P°ímým d·sledkem práv¥ dokázaného tvrzení je následující v¥ta, která charakterizuje homomor smy mezi ireducibilními reprezentacemi.
V¥ta 2.16
(Schurovo lemma). Nech´ V a W jsou vektorové prostory nad t¥lesem K a zárove¬ ireducibilní reprezentace G. Dále nech´ ϕ : V → W je homomor smus reprezentací. Pak
1. ϕ je bu¤ izomor smus, nebo ϕ ≡ 0 2. pokud V = W a K = C, tak ϕ = λ · id pro n¥jaké λ ∈ C D·kaz. Protoºe je Im ϕ G-invariantní podprostor W , tak bu¤ Im ϕ = {0} nebo Im ϕ = W .
V druhém p°ípad¥, tedy pokud Im ϕ = W , sta£í uváºit, ºe Ker ϕ je G-invariantní podprostor V a Ker ϕ = V jen v p°ípad¥, ºe V = {0}. Odtud Ker ϕ = {0} a ϕ je izomor smus vektorových prostor·. Protoºe je t¥leso C algebraicky uzav°ené, má ϕ n¥jaké vlastní £íslo λ ∈ C, pro které má ϕ − λ · id neprázdné jádro. ϕ − λ · id je ov²em lineární zobrazení z V do V a podle p°ede²lého odstavce d·kazu tedy platí ϕ−λ·id ≡ 0. Odtud dostáváme poºadovanou rovnost ϕ = λ · id.
D·sledek 2.17. Nech´ V je ireducibilní reprezentace G, W reprezentace G a ϕ : V → W homomor smus reprezentací. Pak bu¤ ϕ(V ) = {0}, nebo ϕ(V ) ∼ = V.
D·kaz. Z tvrzení 2.15 víme, ºe ϕ(V ) je G-invariantní podreprezentací W . Pokud ϕ(V ) =
{0}, pak je dokazované tvrzení spln¥no. V opa£ném p°ípad¥, pokud by ϕ(V ) nebyla ireducibilní reprezentace, by existovala nenulová podreprezentace U , U ⊂ ϕ(V ). Vzor U by pak byl podle 2.15 nenulová vlastní podreprezentací reprezentace V , coº je spor s p°edpokladem, ºe V je ireducibilní. Protoºe V i ϕ(V ) jsou ireducibilní, z Schurova lemmatu plyne, ºe V ∼ = ϕ(V ). K tomu, abychom byli schopni dokázat, ºe kaºdou reprezentaci lze rozloºit na direktní sou£et ireducibilních reprezentací, pot°ebujeme nejprve vhodný nástroj, který nám poskytne následující tvrzení.
Tvrzení 2.18. Nech´ V je reprezentací G a W je podreprezentací V . Pak existuje Ginvariantní podprostor W 0 ⊆ V , pro který platí V ∼ = W ⊕ W 0.
D·kaz. Nech´ h , i je libovolný skalární sou£in na V . Zave¤me na V skalární sou£in hh , ii invariantní v·£i akci G následujícím zp·sobem X hhu, vii = hgu, gvi. g∈G
Nech´ je nyní W ⊥ ortogonálním dopl¬kem W v prostoru V se skalárním sou£inem hh , ii, tedy platí V ∼ = W ⊕ W ⊥ . Pak pro v²echny g ∈ G, w ∈ W a w0 ∈ W ⊥ platí
hhgw0 , wii = hhgw0 , gg −1 wii = hhw0 , g −1 wii = 0, kde g −1 w ∈ W a tedy je kolmý na w0 ∈ W ⊥ . Odtud plyne, ºe gw0 ∈ W ⊥ , pro v²echna g ∈ G a w0 ∈ W ⊥ , a W ⊥ je hledaným invariantním podprostorem. 11
2. Reprezentace kone£ných grup
Následující v¥ta bývá v literatu°e ozna£ována jako Maschkeho v¥ta [3].
V¥ta 2.19 (Dekompozice). Pro libovolnou reprezentaci V kone£né grupy G platí ⊕a V ∼ = V1⊕a1 ⊕ . . . ⊕ Vk k ,
kde Vi , 1 ≤ i ≤ k, k ∈ N, jsou vzájemn¥ r·zné ireducibilní reprezentace. Direktní sou£et je, ve smyslu hodnot násobk· výskyt· jednotlivých ireducibilních reprezentací, jednozna£ný. D·kaz. Existenci tohoto sou£tu dokáºeme indukcí vzhledem k n = dim V . Pokud n = 1,
tvrzení v¥ty platí triviáln¥, nebo´ V je ireducibilní. P°edpokládejme, ºe tvrzení platí pro v²echny reprezentace dimenze men²í neº n. Nech´ V je reprezentace dimenze n. V p°ípad¥, ºe je reprezentace V ireducibilní, platí v¥ta triviáln¥. Pokud V není ireducibilní, pak existuje nenulová vlastní podreprezentace W ⊂ V a z p°edcházejícího tvrzení plyne existence podreprezentace W 0 spl¬ující V ∼ = W ⊕ W 0 . Pro W a W 0 platí dim W < n a dim W 0 < n a podle induk£ního p°edpokladu lze reprezentace W a W 0 vyjád°it jako direktní sou£ty ireducibilních reprezentací G. Odtud plyne, ºe i V lze vyjád°it jako direktní sou£et ireducibilních reprezentací G. P°edpokládejme, ºe V lze vyjád°it jako dva direktní sou£ty ireducibilních reprezentací ⊕b Va = V1⊕a1 ⊕ . . . ⊕ Vk⊕ak ∼ =V ∼ = V1⊕b1 ⊕ . . . ⊕ Vk k = Vb ,
kde ai , bi ∈ N0 = {0, 1, 2, . . . }, pro 1 ≤ i ≤ n. Ozna£me ϕ lineární izomor smus mezi Va a Vb . P°edpokládejme, ºe pro n¥jaké i platí ai 6= bi . Bez újmy na obecnosti m·ºeme p°edpokládat, ºe ai > bi , nebo´ v opa£ném p°ípad¥ bychom za lineární izomor smus vzali ϕ−1 . Uvaºme nyní zúºení ϕ na jednotlivé s£ítance Vi⊕ai . Obraz kaºdého ze s£ítanc· musí být podle d·sledku 2.17 ireducibilní podreprezentací Vb a protoºe je ϕ izomor smus, je obraz nenulový a tedy izomorfní s Vi . Odtud plyne, ºe ai ≤ bi , coº je spor s p°edpokladem, ºe existuje i takové, ºe ai 6= bi .
Poznámka. V dal²ím textu budeme direktní sou£et V1⊕a1 ⊕ . . . ⊕ Vk⊕ak z p°edcházející v¥ty nazývat dekompozicí V .
Jak jsme jiº uvedli, studujeme reprezentace nad t¥lesem komplexních £ísel, které je algebraicky uzav°ené. D·sledkem této vlastnosti je skute£nost, ºe kaºdý lineární automor smus na V má sou£et násobností vlastních £ísel práv¥ dim V . Hodnoty vlastních £ísel lineárních automor sm· g·, pro g ∈ G, velice úzce souvisí se strukturou grupy G. Konkrétní poznatky shrnuje následující tvrzení.
Tvrzení 2.20
(Vlastní £ísla). Nech´ V je reprezentací G. Nech´ pro n¥jaké λ ∈ C, v ∈ V \ {0} a g ∈ G platí gv = λv a nech´ n je °ád prvku g v grup¥ G. Pak platí
1. λ je n-tá odmocnina 1 ∈ C, 2. g −1 v = λ−1 v . 12
2. Reprezentace kone£ných grup
D·kaz. Víme, ºe gv = λv . Pak v = 1v = (g n )v = g(g(. . . (gv) . . . )) = λn v, a tedy λn = 1 a λ je n-tou odmocninou jedni£ky. Dále platí
v = 1v = (g −1 g)v = g −1 (gv) = g −1 (λv) = λg −1 (v). Odtud vidíme, ºe λ−1 je vlastním £íslem g −1 s vlastním vektorem v . Pov²imn¥me si, ºe pro libovolnou komutativní grupu G platí
g(h(v)) = h(g(v)), pro v²echna g, h ∈ G a v ∈ V , kde V je libovolná reprezentace grupy G. Pro kaºdý prvek g ∈ G a reprezentaci V je tedy lineární izomor smus g· : V → V homomor smem reprezentací. Z Schurova lemmatu plyne, ºe pokud je V ireducibilní, pak kaºdé takové zobrazení je rovno násobku identity. Protoºe kaºdý podprostor tohoto prostoru V je invariantní, musí mít V dimenzi rovnu 1. Ireducibilní reprezentace komutativní grupy G jsou tedy homomor smy z G do prostoru C∗ v²ech komplexních lineárních forem na C. Podívejme se nyní na nejjednodu²²í p°ípad nekomutativní grupy, tedy grupy S3 permutací t°íprvkové mnoºiny. Jak jsme uvedli v p°íkladech 2.2 a 2.5, tato grupa má dv¥ jednorozm¥rné reprezentace, kterými jsou triviální reprezentace U s levou akcí de novanou gv = v a alternující reprezentace U 0 s levou akcí gv = sgn(g)v pro v²echna v ∈ C a g ∈ G. Protoºe se zabýváme grupou permutací, je p°irozené se podívat na reprezentaci C3 s levou akcí de novanou jako g(z1 , z2 , z3 ) = (zg−1 (1) , zg−1 (2) , zg−1 (3) ). Vidíme, ºe tato reprezentace obsahuje nenulovou vlastní podreprezentaci generovanou vektorem (1, 1, 1), která je izomorfní s triviální reprezentací U . Komplementární podprostor
V = {(z1 , z2 , z3 ) ∈ C3 |z1 + z2 + z3 = 0}, se nazývá standardní reprezentace. Tato dvoudimenzionální reprezentace je ireducibilní, protoºe existuje pouze jeden jednodimenzionální podprostor invariantní vzhledem k (1 2), a to podprostor generovaný vektorem (1, −1, 0), který v²ak není invariantní nap°íklad vzhledem k (1 3). Pokusme se nyní popsat v²echny reprezentace S3 . Jak víme z teorie kone£ných grup, tato grupa je generovaná mnoºinou prvk· {(1 2), (1 2 3)}. Ur£it chování akce σ = (1 2) je jednoduché, nebo´ víme, ºe σ 2 = 1 a vlastní £ísla této akce mohou být pouze 1 a −1. Pro τ = (1 2 3) platí τ 3 = 1 a vlastní £ísla tedy mohou být 1, ω a ω 2 , kde ω = e2πi/3 . Pokusme se nejprve uplatnit tyto znalosti p°i popsání standardní reprezentace.
P°íklad 2.21
(Cvi£ení 1.10 z [2]). Bázové vektory standardní reprezentace V jsou α = (ω, 1, ω ) a β = (1, ω, ω 2 ), kde ω = e2πi/3 . Oba vektory jsou z°ejm¥ lineárn¥ nezávislé, ov¥°me, ºe jsou prvky V . Tedy 2
2 4 4 2 ω+1+ω 2 = 1+ω+ω 2 = 1+e2πi/3 +e4πi/3 = 1+cos( π)+i sin( π)+cos( π)+i sin( π) = 0. 3 3 3 3 13
2. Reprezentace kone£ných grup
Z toho plyne, ºe α a β opravdu tvo°í bázi V . Dále se podívejme na to, jakým zp·sobem se chovají na t¥chto vektorech permutace, resp. akce, σ = (1 2) a τ = (1 2 3):
τ α =(ω 2 , ω, 1) = ωα, τ β =(ω 2 , 1, ω) = ω 2 β, σα =(1, ω, ω 2 ) = β, σβ =(ω, 1, ω 2 ) = α. Zde m·ºeme vid¥t, ºe τ má opravdu jako vlastní £ísla mocniny ω , konkrétn¥ ω pro α a ω 2 pro β . Dále vidíme, ºe τ (σ(α)) = ω 2 β = ω 2·1 σ(α) a τ (σ(β)) = ωα = ω 2·2 σ(β). Dále je v [2] podrobn¥ popsáno, jakým zp·sobem lze nalézt dekompozici reprezentace grupy S3 , £ili pro danou reprezentaci najít izomorfní reprezentaci tvaru
U ⊕a ⊕ U 0⊕b ⊕ V ⊕c . Oproti nástroj·m, které budeme mít k dispozici v následujících kapitolách, je tato technika pom¥rn¥ t¥ºkopádná a výpo£etn¥ náro£ná, a není proto ú£elné ji podrobn¥ popisovat. Ilustrujme si ji alespo¬ na následujícím p°íkladu.
P°íklad 2.22
(Cvi£ení 1.11 z [2]). Zkusme nalézt dekompozici vektorových prostor· Sym V a Sym V , kde V je standardní reprezentace S3 . Nejprve uvaºme prostor Sym2 V . Báze tohoto prostoru je tvo°ena tenzory α2 = α ⊗ α, αβ = 21 α ⊗ β + 12 β ⊗ α a β 2 = β ⊗ β . Pro permutaci τ = (123) a tyto tenzory platí 2
3
τ α2 = (ωα) ⊗ (ωα) = ω 2 α2 , 1 1 τ αβ = ωα ⊗ ω 2 β + ω 2 β ⊗ ωα = αβ, 2 2 2 2 2 τ β = (ω β) ⊗ (ω β) = ωβ 2 , z £ehoº vidíme, ºe vlastní £ísla pro τ jsou ω 2 , 1 a ω . Dále vidíme, ºe pro σ = (12) platí
σα2 = β 2 ,
σαβ = αβ
a
σβ 2 = α2 .
Odtud vidíme, ºe α2 a β 2 jsou bází podreprezentace izomorfní se standardní reprezentací V a tenzor αβ ur£uje podreprezentaci izomorfní s triviální reprezentací U . Celkem tedy dostáváme Sym2 V ∼ = U ⊕V. Báze prostoru Sym3 V je tvo°ena tenzory α3 , α2 β , αβ 2 a β 3 . Pro akci τ dostáváme
τ α3 = α3 ,
τ α2 β = ωα2 β,
a
τ αβ 2 = ω 2 αβ 2
τ β 3 = β 3.
Bázové tenzory jsou tedy vlastní vektory pro τ s vlastními £ísly 1, ω , ω 2 a 1. Pro permutaci σ dostáváme
σα3 = β 3 ,
σα2 β = αβ 2 ,
σαβ 2 = α2 β
a
σβ 3 = α3 .
Celkov¥ z chování permutací τ a σ na tenzorech vidíme, ºe α2 β a αβ 2 tvo°í bázi podreprezentace izomorfní se standardní reprezentací V , dále α3 + β 3 ur£ují podreprezentaci izomorfní triviální reprezentaci U a α3 − β 3 je báze podreprezentace izomorfní alternující reprezentaci U 0 . Celkem tedy dostáváme dekompozici Sym3 V ∼ = U ⊕ U0 ⊕ V . 14
2. Reprezentace kone£ných grup
P°i popisu ireducibilních reprezentací grupy S3 jsme narazili na pojem standardní reprezentace. Nyní si ukáºeme, ºe pro v²echna d > 1 je standardní reprezentace grupy Sd ireducibilní.
Tvrzení 2.23. Nech´ d ∈ N, d > 1. Pak je vektorový prostor V = {(x1 , . . . , xd ) ∈ Cd |x1 + · · · + xd = 0},
ireducibilní reprezentací grupy Sd s akcí de novanou g · (x1 , . . . , xd ) = (xg−1 (1) , . . . , xg−1 (d) ).
D·kaz. D·kaz povedeme indukcí vzhledem k d. Pro d = 2 má V dimenzi 1 a je tedy
ireducibilní. P°edpokládejme, ºe tvrzení platí pro d−1. V m·ºeme zapsat jako reprezentaci grupy Sd−1 ve tvaru
V = {(x1 , . . . , xd−1 , 0) ∈ V } ⊕ {(−y, . . . , −y, (d − 1)y) ∈ V } ∼ = V 0 ⊕ T, kde V 0 je standardní reprezentace grupy Sd−1 a T je triviální reprezentace. Jestliºe tedy V jakoºto reprezentace grupy Sd má vlastní nenulovou podreprezentaci, musí být V ∼ = U ⊕W, kde dim U = d − 1 a dim W = 1. Pak pro libovolný nenulový v ∈ W platí, ºe pro kaºdé g ∈ Sd existuje λ 6= 0 takové, ºe gv = λv . Odtud v = (y, y, . . . , y) a protoºe v ∈ V , musí být v = 0, coº je spor a V je ireducibilní. 2.3
Permuta£ní a regulární reprezentace
Nyní si p°edstavíme jednu z nejd·leºit¥j²ích reprezentací kaºdé grupy, regulární reprezentaci, kterou m·ºeme vnímat jako konkrétní p°ípad obecn¥j²ího pojmu permuta£ní reprezentace.
De nice 2.24
(Permuta£ní reprezentace). Nech´ X je kone£ná mnoºina, S(X) mnoºina v²ech permutací X , G kone£ná grupa a σ : G → S(X) homomor smus grup. Reprezentaci de novanou na K[X] pro v²echna g ∈ G p°edpisem X X g ax x = ax σ(g)(x), x∈X
x∈X
nazveme permuta£ní reprezentací G pro mnoºinu X a homomor smus σ nad t¥lesem K.
De nice 2.25
(Regulární reprezentace). Nech´ G je grupa a σ : G → S(G) de novaným σ(g)(h) = gh pro v²echna g, h ∈ G. Permuta£ní reprezentaci grupy G pro mnoºinu G a homomor smem σ nad t¥lesem C nazveme regulární reprezentací. Tuto reprezentaci zna£íme RG . Poznamenejme, ºe práv¥ uvedená de nice °íká, ºe regulární reprezentace je levou akcí grupy G na algeb°e CG grupy G s akcí de novanou jako násobení na CG, resp. G. Tento pojem v²ak lze de novat i jiným zp·sobem. 15
2. Reprezentace kone£ných grup
De nice 2.26 (Alternativní de nice regulární reprezentace).
Nech´ G je grupa. Regulární reprezentace je prostor C komplexních funkcí na G, na kterých má prvek g ∈ G akci (gα)(h) = α(g −1 h) pro v²echna h ∈ G a α ∈ CG . G
Tvrzení 2.27
(Cvi£ení
1.4* (a) z [2]). De nice 2.25 a 2.26 jsou ekvivalentní.
D·kaz. Pro x, h ∈ G poloºme ( 1 pro h = x, ex (h) = 0 jinak. Pak charakteristické funkce ex tvo°í bázi vektorového prostoru komplexních funkcí na G a P G libovolnou funkci α ∈ C lze zapsat jako α = x∈G ax ex , kde ax ∈ C pro v²echna x ∈ G. Pro levou akci na t¥chto bázových vektorech pro v²echna g, h, x ∈ G platí
(gex )(h) = ex (g −1 h), a tedy (gex )(h) = 1 práv¥ tehdy, kdyº g −1 h = x, coº znamená h = gx. Odtud vidíme, ºe
gex = egx . Poºadovaný izomor smus reprezentací ϕ : C[G] → CG je pak na bázových vektorech zadán vztahem ϕ(x) = ex . Z°ejm¥ se jedná o izomor smus vektorových prostor·. Navíc platí X X X X ϕ(g ax x) = ϕ( ax gx) = ϕ( ag−1 y y) = ag−1 y ϕ(y) = x∈G
x∈G
=
X y∈G
y∈G
ag−1 y ey =
X
y∈G
ax egx = g
X
ax e x = g
x∈G
x∈G
X
X ax x), ax ϕ(x) = gϕ(
x∈G
x∈G
takºe ϕ je G-lineární a tedy izomor smus reprezentací. Podívejme se blíºe na odpovídající si prvky prostor· C[G] a CG . Prvku X ax x ∈ C[G], x∈G
podle de nice izomor smu reprezentací odpovídá komplexní funkce X α= ax ex . x∈G
Vy£íslení funkce α na prvku h ∈ G X X α(h) = ( ax ex )(h) = ax ex (h) = ah , x∈G
x∈G
G je rovno sou°adnici odpovídající prvku P h v p°ípad¥ C[G] P , resp. eh v p°ípad¥ C . Pouºitím levé akce g ∈ G se tyto prvky zm¥ní na x∈G ax gx a x∈G ax egx , coº jsou podle o£ekávání op¥t prvky, které si v izomor smu odpovídají.
16
2. Reprezentace kone£ných grup
Tvrzení 2.28 (Cvi£ení 1.4* (b) z [2]). Reprezentace CG grupy G s levou akcí de novanou
vztahem (gα)(h) = α(hg), pro v²echna g, h ∈ G a α ∈ CG , je izomorfní s regulární reprezentací. D·kaz. Nejprve uvaºme, ºe vý²e uvedená reprezentace je izomorfní s C[G] s levou akcí (pro p°ehlednost zna£enou ◦) de novanou jako X X g◦ ax x = ax xg −1 . x∈G
x∈G
Tento izomor smus je de novaný podobn¥ jako vý²e vztahem ϕ(x) = ex . Dále, pokud existuje izomor smus ϕ : C[G] → C[G] této a regulární reprezentace, pak na bázových vektorech musí spl¬ovat g · ϕ(x) = ϕ(g ◦ x) = ϕ(xg −1 ). Pokud de nujeme ϕ(x) = x−1 pro v²echna x ∈ G, pak je vý²e uvedená rovnice spln¥na a ϕ je poºadovaný izomor smus reprezentací.
Poznámka. Pov²imn¥me si, ºe izomor smus z p°ede²lého d·kazu lze de novat více zp·soby. Konkrétn¥ pro libovolné pevné nenulové λ ∈ C m·ºeme de novat ϕ(x) = λx−1 .
Regulární reprezentace nemusí být obecn¥ ireducibilní, jak se p°esv¥d£íme v následujícím tvrzení.
Tvrzení 2.29
(Cvi£ení
1.12 (a)
t°íprvkové mnoºiny platí RS3
z [2]). Pro regulární reprezentaci grupy S3 permutací ∼ = U ⊕ U 0 ⊕ V ⊕2 .
D·kaz. Nejprve se podívejme na chování akcí σ = (1 2) a τ = (1 2 3) na bázových vektorech C[S3 ], £ili vlastn¥ na prvcích S3 : σ τ
id (1 2) (1 2 3)
(1 2) (1 3) id (1 3 2) (1 3) (2 3)
(2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 2 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1 3 2) id
Na²í úlohou je nyní nalézt vlastní vektory a £ísla. Pro zjednodu²ení zápisu pouºijeme sou°adnice v bázi (id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)). Vidíme, ºe pro akci τ m·ºeme nalézt dva cykly délky 3. Z t¥ch lehce odvodíme vlastní vektory náleºící vlastnímu £íslu 1 a z t¥chto lehce dostaneme vektory pro vlastní £ísla ω a ω 2 :
1: ω: ω2:
(1, 0, 0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 0, 0) (1, 0, 0, 0, ω, ω 2 ), (0, 1, ω, ω 2 , 0, 0) (1, 0, 0, 0, ω 2 , ω), (0, 1, ω 2 , ω, 0, 0)
Akce σ se na vlastních vektorech τ chová následujícím zp·sobem:
17
2. Reprezentace kone£ných grup
v σv (1, 0, 0, 0, 1, 1) (0, 1, 1, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 1, 0, 0) (1, 0, 0, 0, 1, 1) 2 (1, 0, 0, 0, ω, ω ) (0, 1, ω 2 , ω, 0, 0) (0, 1, ω, ω 2 , 0, 0) (1, 0, 0, 0, ω 2 , ω) (1, 0, 0, 0, ω 2 , ω) (0, 1, ω, ω 2 , 0, 0) (0, 1, ω 2 , ω, 0, 0) (1, 0, 0, 0, ω, ω 2 ) Odtud dostáváme poºadovaný rozklad RS3 ∼ = U ⊕ U 0 ⊕ V ⊕2 , kde bází podreprezentace U je 0 vektor (1, 1, 1, 1, 1, 1), bázi U tvo°í (1, −1, −1, −1, 1, 1) a báze dvou standardních podreprezentací jsou dvojice ((1, 0, 0, 0, ω, ω 2 ), (0, 1, ω 2 , ω, 0, 0)) a ((0, 1, ω, ω 2 , 0, 0), (1, 0, 0, 0, ω 2 , ω)). Na záv¥r této kapitoly zmi¬me patrn¥ nejvýrazn¥j²í rozdíl v úvodu do problematiky mezi [2] a [3]. V [3] je zaveden pojem maticové reprezentace grupy G. Jedná se o homomor smus X : G → Matd z grupy G do grupy (Matd , ·) v²ech komplexních regulárních matic typu d × d s operací násobení. Uváºíme-li, ºe regulární matice odpovídá lineárnímu automor smu, získáváme jiº t°etí moºnou de nici reprezentace. Maticové reprezentace, resp. maticový zápis lineárních zobrazení, jsou v [3] hojn¥ pouºívány nejen jako p°íklady, ale i k získání dal²ího pohledu p°i de nování nových pojm·. Jako p°íklad uve¤me moºnou de nici reducibility reprezentace.
De nice 2.30
(Reducibilita reprezentace pomocí maticového zápisu). Reprezentace V grupy G je reducibilní, pokud existuje báze α prostoru V taková, ºe pro v²echna g ∈ G A(g) B(g) X(g) = (g· )α,α = , 0 C(g) kde A(g) jsou £tvercové matice typu k × k , kde k < dim V .
18
Kapitola 3
Charaktery reprezentací V této kapitole se budeme zabývat velice uºite£ným pojmem, kterým je charakter reprezentace. Z vlastností charakter· odvodíme, ºe po£et (aº na izomor smus) r·zných ireducibilních reprezentací kone£né grupy lze ur£it pouze na základ¥ algebraických vlastností této grupy. Jak se p°esv¥d£íme v záv¥ru kapitoly, charaktery nám poskytují i jednodu²²í zp·sob, jak ireducibilní reprezentace grupy nalézt. Stejn¥ jako v p°edcházející kapitole platí, ºe pokud nebude °e£eno jinak, tak v²echny námi uvaºované grupy budou kone£né a v²echny vektorové prostory budou komplexní s kone£nou dimenzí.
De nice 3.1
(Charakter reprezentace). Nech´ V je reprezentace grupy G. Komplexní funkci χV na grup¥ G de novanou pro v²echna g ∈ G jako stopa lineárního zobrazení g·, tedy χV (g) = Tr(g· ), nazýváme charakter reprezentace V . Z vlastností stopy vyplývá, ºe pro v²echna g, h ∈ G platí χV (g) = χV (hgh−1 ). To ov²em znamená, ºe charakter libovolné reprezentace G má na prvcích jedné t°ídy konjugace stejné hodnoty, tedy ºe pro reprezentaci V grupy G, v²echna g ∈ G a h ∈ [g] platí χV (g) = χ(h). Dal²í zajímavá vlastnost charakteru vychází z faktu, ºe 1 ∈ G p·sobí jako identita na V a tedy χV (1) = dim V . Uºite£nou vlastnost, kterou budeme v dal²ím textu vyuºívat, formuluje následující tvrzení.
Tvrzení 3.2. Nech´ V je reprezentace G a g prvek G. Dále nech´ (v1 , . . . , vn ) je libovolná
báze V taková, ºe zobrazení g· má v této bázi horní trojúhelníkovou matici A. Pak prvky na diagonále matice A leºí na jednotkové kruºnici. D·kaz. G je kone£ná grupa a tedy existuje k > 0, pro které platí g k = 1. Odtud tedy Ak
je jednotková matice a
k 0 ... 0 λ1 a1,2 . . . a1,n λk1 b1,2 . . . b1,n 0 λ2 . . . a2,n 0 λk . . . b2,n 1 . . . 0 2 k = A = = .. . . .. .. .. . . . . . . .. .. .. .. .. . .. . . . . k 0 0 ... 1 0 0 . . . λn 0 0 . . . λn
1 0 .. .
Vidíme, ºe λ1 , . . . λn jsou odmocniny jedni£ky a tedy leºí na jednotkové kruºnici. D·sledkem práv¥ dokázaného tvrzení je, ºe hodnoty charakteru lze zapsat jako sumu odmocnin £ísla 1. Ze znalosti charakter· reprezentací V a W m·ºeme snadno odvodit charakter reprezentací vzniklých pouºitím operací de novaných v podkapitole 2.1.
19
3. Charaktery reprezentací
Tvrzení 3.3. Nech´ V a W jsou reprezentace G. Pak platí χV ⊗W = χV · χW ,
χV ⊕W = χV + χW , χV ∗ = χV
1 2
a χV2 V (g) = [χV (g)2 − χV (g 2 )].
D·kaz. Uvaºme lineární zobrazení ϕV : V → V a ϕW : W → W , která odpovídají násobení prvkem g ∈ G na V , resp. W . Matice t¥chto zobrazení mají ve vhodných bázích (v1 , . . . , vn ), resp. (w1 , . . . , wm ), horní trojúhelníkový tvar λ01 a01,2 . . . a01,m λ1 a1,2 . . . a1,n 0 λ0 . . . a0 0 λ2 . . . a2,n 2,m 2 AϕV = .. .. .. , AϕW = .. .. .. . . . . . . . . . . . .
0
0
...
λn
0
0
...
λ0m
Matice zobrazení ϕV ⊕ ϕW v bázi ((v1 , 0), . . . , (vn , 0), (0, w1 ), . . . , (0, wm )) pak odpovídá AϕV 0 AϕV ⊕ϕW = 0 AϕW a Tr(ϕV ⊕ ϕW ) = Tr(ϕV ) + Tr(ϕW ), z £ehoº plyne první dokazovaný vztah. Obdobn¥ pro ϕV ⊗ ϕW má matice v bázi (v1 ⊗ w1 , . . . , v1 ⊗ wm , v2 ⊗ w1 , . . . , vn ⊗ wm ) tvar λ1 λ01 b1,2 . . . b1,m . . . b1,nm 0 λ1 λ02 . . . b2,m . . . b2,nm . .. .. .. .. .. . . . . . . . AϕV ⊗ϕW = 0 . . . λ1 λ0m . . . bm,nm 0 . .. .. .. .. .. .. . . . . . 0 0 ... 0 . . . λn λ0m a tedy platí Tr(ϕV ⊗ ϕW ) = Tr(ϕV ) · Tr(ϕW ), coº je druhý vztah. Podle de nice duální reprezentace 2.9 odpovídá zobrazení ϕV zobrazení ϕV ∗ takové, ºe ϕV ∗ (f ) = f ◦ ϕ−1 V a tedy matice zobrazení ϕV ∗ v duální bázi (f1 , . . . , fn ) vypadá takto −1 λ1 c1,2 . . . c1,n 0 λ−1 . . . c2,n 2 AϕV ∗ = .. .. .. . . . . . .
0
0
...
λ−1 n
Protoºe ϕV = g·, pro n¥jaké g ∈ G, pak podle 3.2 leºí £ísla λi na jednotkové kruºnici. To znamená, ºe stopa této matice a tedy i p°íslu²ného zobrazení je
Tr ϕV = ∗
n X
λ−1 i
=
i=1
n X i=1
20
λi = Tr ϕV ,
3. Charaktery reprezentací
coº jsme m¥li dokázat. V Jako poslední nám zbývá dokázat vztah pro charakter 2 V . Op¥t uvaºme zobrazení ϕV sVbází (v1 , . . . , vn ), ve kteréVmá matice V zobrazení tvar. Zobrazení V ϕV horní trojúhelníkový V 2 ϕV je tedy pro bázi (v1 v2 , . . . , v1 vn , v2 v3 , . . . , vn−1 vn ) reprezentováno maticí λ1 λ2 d1,2 . . . d1,(n−1) . . . d1,(n) 2 λ1 λ3 . . . d2,(n−1) . . . d2,(n) 0 2 .. .. .. .. .. .. . . . . . AV2 ϕV = . 0 0 . . . λ1 λn . . . d(n−1),(n) 2 .. .. .. .. . . . . . . . . . . 0 0 ... 0 . . . λn−1 λn a stopu této matice lze vyjád°it jako
X i<j
λi λj =
1 h X 2 X 2 i λl − λl , 2 l l
z £ehoº plyne poºadovaný £tvrtý vzorec.
Tvrzení 3.4 1 [χ (g)2 2 V
(Cvi£ení + χV (g 2 )].
2.2 z [2]). Nech´ V a W jsou reprezentace G. Pak platí χSym2 V =
D·kaz. Obdobn¥ jako v p°edcházejícího d·kazu uvaºme zobrazení ϕV s bází (v1 , . . . , vn ), pro kterou má matice zobrazení ϕV horní trojúhelníkový tvar. Matice zobrazení Sym2 ϕV má tedy v bázi (v1 v1 , . . . , v1 vn , v2 v2 , v2 v3 , . . . , vn vn ) tvar λ1 λ1 d1,2 . . . d1,n . . . d1,(n+1) 2 λ1 λ2 . . . d2,n . . . d2,(n+1) 0 2 .. .. .. .. .. .. . . . . . ASym2 ϕV = . 0 0 . . . λ1 λn . . . dn,(n+1) 2 .. .. . . . . .. .. .. .. . . 0 0 ... 0 ... λn λn a stopa této matice je
X i≤j
λi λj =
X i<j
λi λj +
X l
λ2l =
1 h X 2 X 2 i X 2 1 h X 2 X 2 i λl − λl + λl = λl + λl . 2 2 l l l l l
Obdobným zp·sobem, tedy rozepsáním matic zobrazení ve vhodných bázích, dostaneme následující tvrzení, které je zobecn¥ním pro k -té symetrické a antisymetrické mocniny. 21
3. Charaktery reprezentací
Tvrzení 3.5
(Cvi£ení
χSymk V (g) =
X
2.3*
z [2]). Nech´ V je reprezentace G a λi ∈ C, pro 1 ≤ i ≤ n, jsou vlastní £ísla akce g na V . Pak platí
a
λi1 λi2 . . . λik
X
χVk V (g) =
1≤i1 ≤i2 ≤···≤ik ≤n
λi1 λi2 . . . λik .
1≤i1
Následující v¥ta popisuje, jak vypadá charakter permuta£ní reprezentace.
Tvrzení 3.6 (Cvi£ení 2.5 z [2]). Nech´ grupa G má levou akci na X a C[X] je odpovídající
permuta£ní reprezentace G. Pak pro v²echna g ∈ G platí, ºe χC[X] (g) je po£et prvk· X , které jsou pevnými body akce g . D·kaz. Nech´ g ∈ G je libovolné pevné. Akce g rozkládá X do n¥kolika cykl·. Nech´
C = (x1 , . . . xc ) je jeden takový cyklus. Z tohoto cyklu jsme schopni odvodit c lineárn¥ nezávislých vlastních vektor·, které jsou lineárními kombinacemi x1 , . . . , xc taková, ºe odpovídající vlastní £ísla budou c-té odmocniny 1 ∈ C . Pro kaºdou takovou odmocninu λ vytvo°íme lineární kombinaci x1 + λ · x2 + · · · + λ
c−1
· xc .
Takto vzniklé vektory jsou z°ejm¥ lineárn¥ nezávislé a po aplikaci akce g opravdu dostaneme λ-násobek p·vodního vektoru. Pokud takto vytvo°íme vlastní vektory pro v²echny cykly, získáme bázi C[X]. Podstatnou skute£ností je fakt, ºe pokud c > 1, pak sou£et odpovídajících vlastních £ísel je nulový. Proto sou£et v²ech vlastních £ísel g je roven po£tu cykl· délky 1 a tedy po£tu prvk· X , které jsou pevnými body g .
P°íklad 3.7. Konstrukci z prvního odstavce p°edchozího d·kazu demonstrujeme pro c = 4,
tedy pro cyklus C = (x1 , x2 , x3 , x4 ) délky 4. Vlastní £ísla budou £tvrté odmocniny 1, £ili 1, i, −1 a −i. Vlastní vektory odpovídající t¥mto £ísl·m jsou lineární kombinace
x1 + x2 + x3 + x4 ,
x1 − ix2 − x3 + ix4 ,
x1 − x2 + x3 − x4
a
x1 + ix2 − x3 − ix4 .
Vidíme, ºe takto vzniklé vektory jsou opravdu lineárn¥ nezávislé a po aplikaci akce g dostaneme
g(x1 − ix2 − x3 + ix4 ) = ix1 + x2 − ix3 − x4 ,
g(x1 + x2 + x3 + x4 ) = x1 + x2 + x3 + x4 , g(x1 − x2 + x3 − x4 ) = −x1 + x2 − x3 + x4
a
g(x1 + ix2 − x3 − ix4 ) = −ix1 + x2 + ix3 − x4 ,
tedy p°íslu²ný násobek p·vodního vektoru. Podívejme se na charaktery konkrétních reprezentací. Následující p°íklad ukazuje, jak vypadají charaktery reprezentací S3 , p°edev²ím pak ireducibilních reprezentací této grupy.
22
3. Charaktery reprezentací
P°íklad 3.8.
Z p°edcházející kapitoly podle v¥ty 2.19 víme, ºe libovolnou reprezentaci W grupy S3 je moºné pro vhodné a, b, c ∈ N0 rozloºit na sou£et ireducibilních reprezentací W ∼ = U ⊕a ⊕ U 0⊕b ⊕ V ⊕c , kde U je triviální, U 0 alternující a V standardní reprezentace. Z 3.3 vyplývá, ºe χW = aχU + bχU 0 + cχV . Navíc, jak jsme jiº uvedli, díky vlastnostem stopy obecn¥ platí, ºe χW (g) = χW (hgh−1 ) a sta£í se tedy zabývat hodnotami charakteru na reprezentantech jednotlivých t°íd konjugace v p°ípad¥ S3 jsou tyto t°ídy [id] = {id}, [(1 2)] = {(1 2), (1 3), (2 3)} a [(1 2 3)] = {(1 2 3)(1 3 2)}. Protoºe víme, ºe C3 ∼ = V ⊕ U, m·ºeme díky 3.3 získat charakter V jako χC3 − χU . Charakter C3 má podle 3.6, kdyº jako mnoºinu X uváºíme {e1 , e2 , e3 }, hodnoty (3, 1, 0) a tedy charakter V je dán (3, 1, 0) − (1, 1, 1) = (2, 0, −1). V²echny hodnoty charakter· jednotlivých ireducibilních reprezentací jsou spolu s po£tem prvk· jednotlivých t°íd uvedeny v tabulce 3.1. 1 [id] 1 1 2
χU χU 0 χV
3 [(1 2)] 1 -1 0
2 [(1 2 3)] 1 1 -1
Tabulka 3.1: Hodnoty charakter· ireducibilních reprezentací grupy S3
Dal²í p°íklad ilustruje, jak m·ºeme vyuºít znalostí charakter· ireducibilních reprezentací p°i hledání rozkladu na sou£et ireducibilních podreprezentací.
P°íklad 3.9
(Cvi£ení 2.7* z [2]). Na²ím úkolem je nalézt dekompozici reprezentace V ⊗n pro libovolné n ∈ N. Podle 3.3 platí, ºe χV ⊗n = χnV a tedy chování χV ⊗n je ur£eno trojicí (2n , 0, (−1)n ). Nejprve uvaºme situaci pro n sudé, kdy hodnoty charakteru pro jednotlivé t°ídy jsou n (2 , 0, 1). Odtud dostáváme soustavu rovnic
a+b+2c = 2n , a−b = 0, a+b− c = 1, n−1 2n −1 a a = b = c+1 = 2 3 +1 . Toto °e²ení 3 2 n/2 n/2 +1) 2n −1 = (2 −1)(2 a c je liché. Poºadovaná 3 3
která má °e²ení c =
je opravdu celo£íselné, nebo´
n je sudé, c =
dekompozice je tedy
n−1 +1
2 V ⊗n ∼ = U⊕
3
⊕ U 0⊕
2n−1 +1 3
Pokud je n liché, pak dostáváme soustavu rovnic
a+b+2c = 2n , a−b = 0, a+b− c = −1, 23
⊕V⊕
2n −1 3
.
3. Charaktery reprezentací
n
n−1
která má °e²ení c = 2 3+1 a a = b = c−1 = 2 3 −1 . Dokázat, ºe tato °e²ení jsou celo£íselná, 2 je moºno indukcí. Poºadovaná dekompozice je v tomto p°ípad¥ 2 V ⊗n ∼ = U⊕
3.1
n−1 −1 3
⊕ U 0⊕
2n−1 −1 3
⊕V⊕
2n +1 3
.
Projekce a její d·sledky
Pro libovolnou reprezentaci V grupy G platí, ºe V G = {v ∈ V |∀g ∈ G : gv = v} je podprostorem V a navíc V G je izomorfní direktnímu sou£tu jednodimenzionálních triviálních reprezentací G. Pro nalezení po£tu t¥chto podreprezentací lze pouºít zobrazení 1 X g, ϕV = |G| g∈G P P které je G-lineární, nebo´ pro kaºdé h ∈ G platí g∈G gh = g∈G hg . Navíc je ϕV podle následujícího tvrzení projekcí V na V G . P 1 Tvrzení 3.10. Nech´ V je reprezentace G. Pak je zobrazení ϕV = |G| g∈G g projekcí V G na V .
D·kaz. Nech´ v ∈ V je libovolné. Pak pro libovolné h ∈ G platí hϕV (v) = h(
1 X 1 X 1 X 1 X gv) = h(gv) = (hg)v = gv = ϕV (v), |G| g∈G |G| g∈G |G| g∈G |G| g∈G
a tedy ϕV (v) ∈ V G . Dále nech´ w ∈ V G . Pak
ϕV (w) =
1 X 1 X gw = w = w, |G| g∈G |G| g∈G
a tedy ϕV (v) = ϕ2V (v) pro libovolné v ∈ V . Díky zobrazení ϕV m·ºeme velice snadno dokázat následující tvrzení.
Tvrzení 3.11. Nech´ V je reprezentace G. Pak platí, ºe násobnost výskytu triviální reprezentace G ve V je rovna
1 X χV (g). |G| g∈G
D·kaz. Víme, ºe dim V G je rovno násobnosti triviálních reprezentací obsaºených ve V . P°i volb¥ báze V tak, ºe báze obsahuje m vektor· tvo°ících bázi V G a dim V − m vektor· tvo°ících bázi ker ϕV , obsahuje diagonála matice ϕV práv¥ m £ísel 1 a dim V − m £ísel 0. Odtud tedy vidíme, ºe 1 X 1 X dim V G = Tr(ϕV ) = Tr(g) = χV (g). (3.1) |G| g∈G |G| g∈G
24
3. Charaktery reprezentací
Poznámka. Za pov²imnutí zde stojí fakt, ºe speciáln¥ pro ireducibilní reprezentaci V jinou neº triviální platí, ºe sou£et hodnot χV p°es v²echny g ∈ G je roven nule.
Tyto poznatky nám umoº¬ují popsat vzájemné vztahy charakter· ireducibilních reprezentací libovolné grupy G. Pro libovolnou grupu G si zave¤me na t°íd¥ komplexních funkcí CG skalární sou£in vztahem 1 X α(g)β(g), pro v²echna α, β ∈ CG . (α, β) = |G| g∈G
V¥ta 3.12
(Ortonormalita charakter· ireducibilních reprezentací). Charaktery ireducibilních reprezentací grupy G jsou ortonormální, neboli pro libovolné V a W ireducibilní reprezentace G platí ( 1 pokud V ∼ = W, (χV , χW ) = 0 jinak.
D·kaz. Nech´ V a W jsou ireducibilní reprezentace G. Z Schurova lemmatu plyne, ºe kaºdé G-lineární zobrazení ϕ : V → W je bu¤ 0 nebo izomor smus. Pokud V a W nejsou izomorfní, pak Hom(V, W )G = {0} a dim Hom(V, W )G = 0. Naopak pokud V a W jsou izomorfní a ϕ je n¥jaký izomor smus, pak pro kaºdé ψ ∈ Hom(V, W )G je ϕ−1 ◦ ψ : V → V podle Schurova lemmatu λ idV pro n¥jaké λ ∈ C a tedy ψ = λϕ. Proto dim Hom(V, W )G = 1 a celkem dostáváme ( 1 pokud V ∼ = W, dim Hom(V, W )G = 0 jinak. Protoºe víme, ºe Hom(V, W ) ∼ = V ∗ ⊗ W , platí podle 3.3 pro v²echna g ∈ G rovnost
χHom(V,W ) (g) = χV (g)χW (g). Dosazením tohoto do vztahu 3.1 z tvrzení 3.11 dostáváme
(χV , χW ) =
1 X 1 X χV (g)χW (g) = χHom(V,W ) (g) = |G| g∈G |G| g∈G ( 1 pokud V ∼ = W, = dim Hom(V, W )G = 0 jinak.
Poznámka. Z práv¥ dokázané v¥ty p°ímo plyne, ºe charaktery ireducibilních reprezentací
grupy jsou lineárn¥ nezávislé.
P°íklad 3.13.
Ilustrujme p°edchozí v¥tu na grup¥ S3 . Jak jsme jiº uvedli, tak tato grupa má t°i t°ídy konjugace [id], [(1 2)] a [(1 2 3)] a pro prvky v jedné t°íd¥ je hodnota charakteru reprezentace stejná: 25
3. Charaktery reprezentací
χU χU 0 χV
1 [id] 1 1 2
3 2 [(1 2)] [(1 2 3)] 1 1 -1 1 0 -1
Skalární sou£iny charakter· tedy jsou
1 (χU , χU ) = (1 + 3 · 1 + 2 · 1) = 1, 6 1 (χU , χU 0 ) = (1 + 3(1 · (−1)) + 2 · 1) = 0, 6 1 (χU , χV ) = (2 + 3 · 0 + 2(1 · (−1))) = 0, 6 1 (χU 0 , χU 0 ) = (1 + 3(−1)2 + 2 · 1) = 1, 6 1 (χU 0 , χV ) = (2 + 3 · 0 + 2(1 · (−1))) = 0, 6 1 (χV , χV ) = (22 + 3 · 0 + 2 · 1) = 1, 6 a charaktery jsou ve smyslu vý²e de novaného skalárního sou£inu opravdu ortonormální. V¥ta 3.12 p°iná²í n¥kolik významných d·sledk·, které nám umoºní lépe pochopit strukturu reprezentací kone£né grupy.
D·sledek 3.14
(Horní odhad po£tu ireducibilních reprezentací grupy). Po£et ireducibilních reprezentací grupy G je men²í nebo roven po£tu t°íd konjugace.
D·kaz. Charakter reprezentace má na prvcích jedné t°ídy konjugace shodné hodnoty a tedy platí
1 X 1 χV (g)χW (g) = |G| g∈G |G|
X
|[g]|χV (g)χW (g),
[g]∈konj G
kde konj G je mnoºina t°íd konjugace grupy G. Pro dimenzi prostoru komplexních funkcí respektujících t°ídy konjugace platí dim Ckonj G = | konj G| a z lineární nezávislosti charakter· tedy plyne, ºe jejich po£et nem·ºe být vy²²í, neº je práv¥ t°íd konjugace.
D·sledek 3.15 (Jednozna£né ur£ení reprezentace charakterem). Nech´ G je grupa. Libovolná reprezentace G je ur£ena svým charakterem jednozna£n¥ aº na izomor smus.
⊕a D·kaz. Nech´ V je reprezentace G. Pak V ∼ = V1⊕a1 ⊕. . .⊕Vk k , kde V1 , . . . , Vk jsou navzájem
r·zné ireducibilní reprezentace G s charaktery χV1 , . . . , χVk . Pro charakter V tedy platí X χV = ai χVi . 1≤i≤k
Z v¥ty 3.12 ale víme, ºe tyto charaktery jsou lineárn¥ nezávislé a χV tedy jednozna£n¥ ur£uje koe cienty ai a tedy i dekompozici V na ireducibilní reprezentace grupy G. 26
3. Charaktery reprezentací
D·sledek 3.16
(Nutná a posta£ující podmínka ireducibility). Reprezentace V je ireducibilní práv¥ tehdy, kdyº (χV , χV ) = 1.
D·kaz. Pokud je V ireducibilní, pak podle 3.12 platí (χV , χV ) = 1. Obrácen¥, nech´
⊕a (χV , χV ) = 1. Jako v p°edchozím d·kazu poloºme V ∼ = V1⊕a1 ⊕ . . . ⊕ Vk k , kde ak ∈ N0 . Pak X X X 1 = (χV , χV ) = ( ai χ V i , ai χVi ) = a2i , 1≤i≤k
1≤i≤k
1≤i≤k
= 1 práv¥ tehdy, kdyº práv¥ jeden z koe cient· je 1 a ostatní jsou 0 a tedy a ∼ V = Vi pro n¥jaké i, 1 ≤ i ≤ k . P
2 1≤i≤k ai
⊕a D·sledek 3.17. Nech´ V je reprezentací G a V ∼ = V1⊕a1 ⊕ . . . ⊕ Vk k , kde V1 , . . . , Vk jsou
navzájem r·zné ireducibilní reprezentace G. Pak pro v²echna i, 1 ≤ i ≤ k , platí ai = (χV , χVi ).
D·kaz. Z ortonormality charakter· ireducibilních reprezentací G plyne (χV , χVi ) = (
X
aj χVj , χVi ) = ai .
1≤j≤k
D·sledek 3.18
(Struktura RG ). Kaºdá ireducibilní reprezentace V grupy G je obsaºena v regulární reprezentaci RG práv¥ dim V -krát.
D·kaz. Podle 3.6 je charakter regulární reprezentace RG pro g ∈ G roven ( |G| pokud g = 1, χRG (g) = 0 jinak. ⊕a Z tohoto je z°ejmé, ºe RG není pro G 6= {1} ireducibilní. Nech´ tedy RG ∼ = V1⊕a1 ⊕. . .⊕Vk k , kde ak ∈ N0 a Vk jsou ireducibilní a navzájem r·zné reprezentace G. Pak podle p°edchozího d·sledku a z de nice skalárního sou£inu komplexních funkcí na G platí 1 1 X χRG (g)χVi (g) = χR (1)χVi (1) = χVi (1) = dim Vi , ai = (χRG , χVi ) = |G| g∈G |G|
£ímº jsme dokázali poºadované. Co jsme tedy na základ¥ v¥ty 3.12 o ireducibilních a tedy i o v²ech ostatních reprezentacích grupy G zjistili? Patrn¥ nejd·leºit¥j²ím poznatkem je, ºe po£et ireducibilních reprezentací je kone£ný a je nejvý²e roven po£tu t°íd konjugace G. Dále jsme zjistili, ºe charaktery ireducibilních reprezentací G nám sta£í k tomu, abychom na základ¥ charakteru libovolné reprezentace V grupy G p°esn¥ popsali strukturu V , tedy dekompozici V na direktní sou£et ireducibilních reprezentací. V neposlední °ad¥ se nám také poda°ilo popsat strukturu regulární reprezentace RG . 27
3. Charaktery reprezentací
3.2
Po£et ireducibilních reprezentací grupy
D·sledek 3.14 ohrani£il seshora po£et ireducibilních reprezentací grupy G po£tem t°íd konjugace grupy G. V¥ta opírající se o následující tvrzení nám s kone£nou platností zodpovídá otázku, kolik p°esn¥ je t¥chto reprezentací.
Tvrzení 3.19
(Cvi£ení
2.29* z [2]). Nech´ α : G → C je komplexní funkce na grup¥ G.
Pro libovolnou reprezentaci V grupy G de nujeme ϕα,V : V → V p°edpisem ϕα,V (v) =
X
α(g)gv.
g∈G
Pak platí: Funkce ϕα,V je G-lineární pro v²echny reprezentace V grupy G práv¥ tehdy, kdyº pro v²echna g, h ∈ G platí α(hgh−1 ) = α(g),
tedy α respektuje t°ídy konjugace grupy G. D·kaz. Pokud α respektuje t°ídy konjugace, pak pro libovolné h ∈ G a v ∈ V platí ϕα,V (hv) =
X
α(g) · g(hv) =
X
α(hgh−1 ) · hgh−1 (hv) =
g∈G
g∈G
X X = h( α(hgh−1 ) · g(v)) = h( α(g) · g(v)) = h(ϕα,V (v)), g∈G
g∈G
£ímº jsme dokázali první sm¥r. Obrácen¥ p°edpokládejme, ºe ϕα,V je G-lineární pro v²echny reprezentace V . Speciáln¥ pro regulární reprezentaci RG pak platí X X X α(g) · hg, α(hgh−1 ) · hg a zárove¬ h(ϕα,RG (1)) = ϕα,RG (h1) = α(g) · gh = g∈G
g∈G
g∈G
pro v²echna g, h ∈ G. Protoºe ϕα,RG je G-lineární, musí platit X X α(hgh−1 ) · hg = α(g) · hg, g∈G
g∈G
odkud α(hgh−1 ) = α(g).
V¥ta 3.20
(Po£et ireducibilních reprezentací grupy). Po£et ireducibilních reprezentací grupy G je roven po£tu t°íd konjugace grupy G, neboli charaktery ireducibilních reprezentací tvo°í ortonormální bázi prostoru komplexních funkcí na G respektujících t°ídy konjugace.
28
3. Charaktery reprezentací
D·kaz. Dimenze prostoru v²ech komplexních funkcí na G, které respektují t°ídy konjugace
G, je rovna po£tu t°íd konjugace. Sta£í proto dokázat, ºe jestliºe pro n¥jakou funkci α : G → C respektující t°ídy konjugace platí (α, χV ) = 0 pro v²echny ireducibilní reprezentace V , pak α ≡ 0. Pak totiº budou charaktery ireducibilních reprezentací tvo°it bázi tohoto prostoru. Nech´ tedy α : G → C je funkce respektující t°ídy konjugace a pro v²echny ireducibilní reprezentace V platí (α, χV ) = 0. Pro ireducibilní reprezentaci V uvaºme zobrazení ϕα,V = P α(g) · g z p°ede²lého tvrzení. Toto zobrazení je G-lineární a podle Schurova lemmatu g∈G ϕα,V = λ id a tedy platí λ=
1 X |G| 1 Tr(ϕα,V ) = α(g) · χV (g) = (α, χV ∗ ) = 0, dim V dim V g∈G dim V
kde v první rovnosti vyuºíváme faktu, ºe ϕα,V je násobkem identity, v druhé de nice charakteru a ve t°etí de nice skalárního sou£inu spolu s rovností χV ∗ = χV z tvrzení 3.3. Protoºe kaºdá reprezentace G je direktním sou£tem ireducibilních reprezentací G, platí ϕα,V ≡ 0 pro v²echny reprezentace G. Z toho ale vyplývá, ºe pro regulární reprezentaci RG platí X 0 = ϕα,RG (1) = α(g) · g, g∈G
coº m·ºe nastat pouze pokud α(g) = 0 pro v²echna g ∈ G. 3.3
Ireducibilní reprezentace grupy
S4
Vyzkou²ejme si nyní nov¥ nabyté znalosti o charakterech reprezentací p°i studiu struktury reprezentací grupy S4 .
P°íklad 3.21
(Cvi£ení 2.22 a 2.23 z [2]). T°ídy konjugace S4 jsou podle 1.9 tvo°eny prvky se stejnou strukturou cykl·. T°ída [id] tedy obsahuje jediný element, t°ída [(1 2)] obsahuje 6 prvk·, [(1 2 3)] obsahuje 8, [(1 2 3 4)] op¥t 6 a t°ída [(1 2)(3 4)] obsahuje 3 prvky. Jako v p°ípad¥ S3 m·ºeme vyjít z triviální a alternující reprezentace U a U 0 . Standardní reprezentaci V = {(a1 , a2 , a3 , a4 )|a1 +a2 +a3 +a4 = 0)} op¥t získáme z reprezentace C4 , kde levá akce odpovídá permutaci sou°adnic, ode£tením triviální reprezentace. Charakter V m·ºeme díky tvrzení 3.3 vyjád°it jako χV = χC4 − χU , pot°ebujeme tedy nalézt charakter C4 . Na²t¥stí chování levých akcí je v tomto p°ípad¥ jednoduché a snadno m·ºeme nalézt vlastní vektory a p°íslu²ná vlastní £ísla pro jednotlivé akce. Hodnoty χC4 jsou tedy (4, 2, 1, 0, 0) a charaktery reprezentací U , U 0 a V shrnuje následující tabulka.
χU χU 0 χV
1 [id] 1 1 3
6 [(1 2)] 1 -1 1
8 [(1 2 3)] 1 1 0 29
6 [(1 2 3 4)] 1 -1 -1
3 [(1 2)(3 4)] 1 1 -1
3. Charaktery reprezentací
Zde vidíme, ºe podle 3.16 je V opravdu ireducibilní, nebo´ (χV , χV ) = 1. Vý£et ireducibilních reprezentací ov²em je²t¥ zdaleka není kompletní zbývá nám nalézt je²t¥ dv¥ dal²í reprezentace. Regulární reprezentace RS4 má dimenzi |S4 | = 24 a z d·sledku 3.18 víme, ºe druhé mocniny dimenzí zbývajících dvou reprezentací musí dát v sou£tu hodnotu 24 − 1 − 1 − 33 = 13. Jedinou moºností jsou tedy dimenze 2 a 3. Trojdimenzionální ireducibilní reprezentaci V 0 m·ºeme získat jako tenzorový sou£in V a U 0 a její charakter je χV 0 = χV · χU 0 . O charakteru poslední ireducibilní reprezentace W víme, ºe spolu s ostatními charaktery tvo°í ortonormální bázi. Jeho hodnoty (a, b, c, d, e) tedy m·ºeme vypo£ítat normalizací °e²ení soustavy rovnic
a+6b+8c+6d+3e = 0, a−6b+8c−6d+3e = 0, 3a+6b −6d−3e = 0, 3a−6b +6d−3e = 0. Charaktery v²ech ireducibilních reprezentací m·ºeme vid¥t v tabulce 3.2.
χV 0
χU χU 0 χV = χV · χU 0 χW
1 [id] 1 1 3 3 2
6 [(1 2)] 1 -1 1 -1 0
8 [(1 2 3)] 1 1 0 0 -1
6 [(1 2 3 4)] 1 -1 -1 1 0
3 [(1 2)(3 4)] 1 1 -1 -1 2
Tabulka 3.2: Hodnoty charakter· ireducibilních reprezentací grupy S4 Podle posledního sloupce pro zatím neznámou reprezentaci W vidíme, ºe násobení prvkem (1 2)(3 4) na dvoudimenzionálním prostoru W odpovídá zobrazení ϕ se stopou 2, pro které platí ϕ2 = id. Protoºe ob¥ vlastní £ísla λ1 a λ2 zobrazení ϕ jsou odmocniny 1 a λ1 +λ2 = 2, musí být λ1 = λ2 = 1 a ϕ = id. Vidíme tedy, ºe akce prvk· (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) a (1 4)(2 3) je na W rovna identit¥. Proto je W ireducibilní reprezentaci faktorgrupy S4 /N , kde N = {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}. Lze snadno ukázat, ºe tato grupa je izomorfní s S3 . Homomor smus f , který je sloºením vloºení S3 do S4 a projekce S4 na S4 /N , má jednoprvkové jádro a je tedy injektivní. Protoºe ob¥ grupy S3 a S4 /N mají 6 prvk·, je f surjektivní a tedy i poºadovaný izomor smus. W tedy odpovídá standardní reprezentaci grupy S3 .
30
Kapitola 4
Youngovy diagramy a Frobeniova formule V p°edchozí kapitole jsme ukázali, ºe po£et ireducibilních reprezentací grupy G je roven po£tu t°íd konjugace této grupy. Tyto t°ídy jsou v p°ípad¥ grupy permutací Sd tvo°eny prvky se stejnou strukturou cykl·. V této kapitole ukáºeme, jak lze získat v²echny ireducibilní reprezentace grupy Sd pomocí struktur zvaných Youngovy diagramy. Nejprve formalizujme jednozna£nou identi kaci ireducibilní reprezentace Sd pomocí rozkladu £ísla d.
De nice 4.1.
Nech´ d ∈ N. Rozkladem £ísla d nazveme libovolnou k -tici (λ1 , . . . , λk ), Pk λi ∈ N, λi ≥ λj pro v²echna 1 ≤ i < j ≤ k , spl¬ující i=1 λi = d. Ke kaºdému λ = (λ1 , . . . , λk ) rozkladu £ísla d m·ºeme p°i°adit Young·v diagram, coº je vlevo zarovnaná tabulka mající k °ádk·, z nichº i-tý obsahuje λi polí. Pro rozklad λ = (3, 2, 2, 1) £ísla d = 8 je odpovídající Young·v diagram tvaru
Jednotlivá pole Youngova diagramu m·ºeme o£íslovat hodnotami 1, . . . , d, £ímº vznikne tzv. tablo. Tablo se standardním o£íslováním, kdy o£íslujeme shora postupn¥ jednotlivé °ádky zleva doprava, tedy nap°. 1 2 3 4 5 6 7 8 zna£íme Tλ . Pokud ne°ekneme jinak, budeme dále pracovat s tably v tomto standardním tvaru. Na tablech zavádíme levou akci grupy Sd p°irozeným zp·sobem tak, ºe pro g ∈ Sd hodnotu i ve výsledném tablu nahradíme g(i). Pro Tλ a g = (1 5 9) tedy dostáváme
1 2 3 (1 5 9) 4 5 7 8 9
=
5 2 3 4 9 7 8 1
Chování g ∈ Sd na tablu T lze vnímat i tak, ºe se jedná o p°esun jednotlivých hodnot mezi jednotlivými pozicemi. Pro dané tablo Tλ m·ºeme de novat dv¥ významné podgrupy grupy Sd Pλ = {g ∈ Sd |g zachovává v²echny °ádky tabla Tλ } a
Qλ = {g ∈ Sd |g zachovává v²echny sloupce tabla Tλ }. 31
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
Poznámka. Pov²imn¥me si, ºe konkrétní podoba Pλ a Qλ závisí na konkrétním o£íslování, nicmén¥ jejich struktura závisí pouze na Youngov¥ diagramu jako takovém. V algeb°e CSd zavádíme prvky X aλ = p
a
X
bλ =
p∈Pλ
sgn(q)q.
q∈Qλ
Sou£in t¥chto dvou prvk·
c λ = aλ · b λ se nazývá Young·v symetrizátor. Toto cλ pak ur£uje vektorový podprostor Vλ prostoru CSd vynásobením CSd zprava, tj.
Vλ = CSd · cλ . Vλ je vektorovým prostorem s levou akcí Sd a je tedy reprezentací grupy Sd .
P°íklad 4.2. Nejjednodu²²ím p°íkladem ireducibilních reprezentací grupy Sd jsou triviální a alternující reprezentace. Triviální reprezentaci odpovídá rozklad (d), nebo´ v tomto P p°ípad¥ c(d) = a(d) = g∈Sd g a tedy V(d) = CSd ·
X
g =C·
X
g.
g∈Sd
g∈Sd
Vidíme, ºe libovolné g zachovává c(d) a i v²echny jeho násobky. Na druhou stranu alternující reprezentaci odpovídá rozklad (1, . . . , 1). Opravdu X X V(1,...,1) = CSd · sgn(g)g = C · sgn(g)g. g∈Sd
g∈Sd
Pokud c(1,...,1) vynásobíme g , pro které platí sgn(g) = 1, tak se c(1,...,1) nezm¥ní, v opa£ném p°ípad¥ se znaménka u v²ech £len· zm¥ní na opa£ná. Jak uvidíme v následující podkapitole, tak práv¥ prvky cλ jsou klí£em k popisu v²ech ireducibilních reprezentací Sd , nebo´ Vλ jsou práv¥ tyto ireducibilní reprezentace. 4.1
Ireducibilní reprezentace grupy
Sd
Na²ím cílem v této podkapitole je dokázat, ºe pro kaºdou ireducibilní reprezentaci V grupy Sd existuje práv¥ jeden λ rozklad d, takový, ºe Vλ ∼ = V . D·kaz je rozd¥len do °ady tvrzení, která popisují vztahy mezi jednotlivými rozklady £ísla d, resp. strukturami z nich odvozenými. První dv¥ pomocná tvrzení hovo°í o tom, jakým zp·sobem se zm¥ní vlastnosti tabla Tλ pouºijeme-li na n¥j g ∈ Sd .
Tvrzení 4.3. Nech´ λ je rozklad £ísla d, g ∈ Sd a T 0 = gTλ . Pak Q0 = gQλ g−1 ⊆ Sd je
podgrupa prvk· zachovávajících sloupce tabla T 0 . 32
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
D·kaz. Nech´ q ∈ Qλ a i, 1 ≤ i ≤ d, jsou libovolné. Pak q(g −1 (i)) leºí ve stejném sloupci
tabla Tλ jako g −1 (i), nebo´ q zachovává sloupce Tλ . Odtud plyne, ºe g(q(g −1 (i))) leºí ve stejném sloupci tabla T 0 jako g(g −1 (i)) = i a tedy g ◦ q ◦ g −1 zachovává sloupce T 0 . Zárove¬ Q0 je z°ejm¥ podgrupa Sd a obsahuje v²echny prvky s touto vlastností.
Tvrzení 4.4. Nech´ λ je rozklad £ísla d, g ∈ Sd a T 0 = gTλ . Jestliºe g 6∈ Pλ Qλ , pak
existuje dvojice £ísel i, j ∈ N, 1 ≤ i < j ≤ d takových, ºe se v Tλ nachází ve stejném °ádku a v T 0 ve stejném sloupci. D·kaz. Budeme dokazovat obm¥nu tvrzení p°edpokládejme tedy, ºe ºádná dvojice tako-
vých £ísel neexistuje. Ozna£me Q0 podgrupu Sd prvk· zachovávajících sloupce T 0 . V ºádném sloupci T 0 nejsou £ísla ze stejného °ádku v Tλ , musí tedy existovat q10 ∈ Q0 , které p°euspo°ádá T 0 tak, aby kaºdá hodnota z prvního °ádku Tλ byla v prvním °ádku v q10 T 0 . Dále m·ºeme induktivn¥ zkonstruovat qi0 ∈ Q0 , které nem¥ní °ádky 1, . . . , i − 1 a zárove¬ 0 . . . q10 T 0 tak, aby kaºdá hodnota z i-tém °ádku Tλ byla i v i-tém °ádku p°euspo°ádá qi−1 0 výsledného tabla qi0 qi−1 . . . q10 T 0 . Poloºme q 0 = qk0 . . . q10 , kde k je po£et °ádk· tabla Tλ . Podle p°edchozího tvrzení q 0 = gqg −1 pro n¥jaké q ∈ Qλ . Z konstrukce q 0 plyne, ºe existuje p ∈ Pλ takové, ºe pTλ = q 0 T 0 . Pak pTλ = q 0 gTλ = gqTλ . Odtud g = pq −1 ∈ Pλ Qλ , coº jsme m¥li dokázat. Následující tvrzení hovo°í o vlastnostech aλ , bλ a Youngova symetrizátoru cλ .
Tvrzení 4.5. Nech´ λ je rozklad £ísla d. Pro libovolná p ∈ Pλ , q ∈ Qλ platí • p · aλ = aλ · p = aλ , • sgn(q)q · bλ = bλ · sgn(q)q = bλ , • p · cλ · sgn(q)q = cλ a cλ je aº na násobek jediný prvek CSd s touto vlastností.
D·kaz. První dv¥ odráºky tvrzení plynou ze skute£nosti, ºe Pλ a Qλ jsou podgrupy Sd .
Zabývejme se tedy nyní t°etí £ástí, ze které sta£í dokázat jednozna£nost aº na skalární P násobek. Pokud n¥jaký prvek g∈Sd ng g , kde ng ∈ C pro g ∈ Sd , spl¬uje poºadovanou podmínku, pak to znamená, ºe npgq = sgn(q)ng pro v²echna p ∈ Pλ , q ∈ Qλ , g ∈ Sd . Pro g = id tedy platí npq = sgn(q)nid . Sta£í nám tedy dokázat, ºe ng = 0 pro g 6∈ Pλ Qλ . Nech´ T 0 = gTλ . Podle tvrzení 4.4 existuje dvojice £ísel 1 ≤ i < j ≤ d, které se vyskytují v jednom °ádku v Tλ a v jednom sloupci v T 0 . Dále nech´ t = (i j) je transpozice t¥chto dvou £ísel. Pak t ∈ Pλ a protoºe Tλ se od g −1 tgTλ li²í pouze prohozením hodnot g −1 (i) a g −1 (j), které leºí ve stejném sloupci, pak i q = g −1 tg ∈ Qλ . Z podmínky sgn(q)ng = ntgq a z rovnosti tgq = tgg −1 tg = g plyne, ºe ng = −ng = 0. V dal²ím textu uvaºujeme lexikogra cké uspo°ádání rozklad·, tj. λ > µ pokud první nenulový prvek λi − µi je kladný.
Tvrzení 4.6. Nech´ λ a µ jsou rozklady £ísla d, pro které platí λ > µ, a g ∈ Sd . Pak
existují 1 ≤ i < j ≤ d taková, ºe v tablu Tλ leºí ob¥ £ísla na stejném °ádku, zatímco v gTµ leºí ve stejném sloupci. 33
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
D·kaz. Z p°edpokladu λ > µ plyne existence indexu k nejmen²ího takového, ºe λk > µk .
Pokud neexistují ºádné dv¥ hodnoty z °ádk· 1, . . . , k − 1 z Tλ , které by v gTµ byly ve stejném sloupci, pak nutn¥ musí být hodnotami z t¥chto °ádk· zapln¥ny sloupce s indexem vy²²ím neº µk v gTµ . Pak ale máme k dispozici pouze µk sloupc·, do kterých lze umístit λk hodnot a tedy nutn¥ n¥jaké dv¥ hodnoty musí být umíst¥ny do stejného sloupce.
Tvrzení 4.7. Nech´ λ a µ jsou rozklady £ísla d, pak • pokud λ > µ, pak pro v²echna x ∈ CSd platí aλ · x · bµ = 0, zejména cλ · cµ = 0, • pro v²echna x ∈ CSd je cλ · x · cλ je skalární násobek cλ , zejména cλ · cλ = nλ cλ pro n¥jaké nλ ∈ C.
D·kaz. Pro d·kaz první odráºky sta£í jako x uvaºovat prvky g , kde g ∈ Sd . S£ítance prvku b0µ = g · bµ · g −1 zachovávají sloupce tabla gTµ . Posta£í nám tedy ukázat, ºe aλ · b0µ = 0, protoºe tato rovnost m·ºe platit pouze v p°ípad¥, ºe aµ ·g ·bµ = 0. Z p°edcházejícího tvrzení a p°edpokladu λ > µ plyne, ºe existují 1 ≤ i < j ≤ d taková, ºe v tablu Tλ leºí ob¥ £ísla na stejném °ádku, zatímco v gTµ leºí ve stejném sloupci. Nech´ t = (i j). Pak aλ · t = aλ a t · b0µ = −b0µ a odtud plyne aλ · b0µ = aλ · t · t · b0µ = −aλ · b0µ = 0. Druhou £ást lze dokázat následujícím zp·sobem. Nech´ p ∈ Pλ a q ∈ Qλ jsou libovolné. Pak p · cλ · x · cλ · sgn(q)q = p · aλ · bλ · x · aλ · bλ · sgn(q)q = cλ · x · cλ , kde druhá rovnost plyne z prvních dvou odráºek tvrzení 4.5. Poºadované pak plyne ze skute£nosti, ºe podle t°etí £ásti téhoº tvrzení je cλ aº na skalární násobek jediným prvkem s touto vlastností.
Tvrzení 4.8
(Cvi£ení cλ · CSd · cµ = {0}.
4.24*
v [2]). Nech´ λ a µ jsou dva r·zné rozklady £ísla d, pak
D·kaz. P°edpokládejme, ºe λ > µ. Pak pro v²echna x ∈ CSd pouºitím p°edchozí v¥ty v posledním kroku platí
cλ · x · cµ = (aλ · bλ ) · x · (aµ · bµ ) = aλ · (bλ · x · aµ ) · bµ = aλ · y · bµ = 0, kde y = bλ · x · aµ . Naopak p°edpokládejme, ºe λ < µ. Podle p°edcházející v¥ty pro kaºdé g ∈ Sd platí aµ · g −1 · bλ = 0. Sou£et X X X X 0 = aµ · g −1 · bλ = p · g −1 · sgn(q)q = p · g −1 · sgn(q)q, p∈Pµ
q∈Qλ
p∈Pµ q∈Qλ
lze rozd¥lit na dvojice s£ítanc· takových, ºe
p1 · g −1 · q1 = p2 · g −1 · q2 ,
34
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
kde p1 , p2 ∈ Pµ a q1 , q2 ∈ Qλ . Pro kaºdou takovou £tve°ici prvk· Sd platí −1 −1 q1−1 · g · p−1 1 = q 2 · g · p2 ,
z £ehoº plyne
0=
X X
sgn(q −1 )q −1 · g · p−1 = bλ · g · aµ = 0,
p∈Pµ q∈Qλ
a tedy bλ · x · aµ = 0 pro kaºdý prvek x ∈ CSd . Vyuºitím tohoto vztahu dostáváme
cλ · x · cµ = (aλ · bλ ) · x · (aµ · bµ ) = aλ · (bλ · x · aµ ) · bµ = 0.
Následující v¥ta, respektive její d·sledek, korunuje na²í snahu popsat ireducibilní reprezentace Sd pomocí Youngových diagram·.
V¥ta 4.9. Nech´ λ a µ jsou rozklady £ísla d, pak • Vλ je ireducibilní reprezentace Sd , • pokud λ 6= µ, pak Vλ a Vµ nejsou izomorfní.
D·kaz. Podle 4.7 platí, ºe cλ · Vλ ⊆ Ccλ . Pokud W je podreprezentace Vλ , pak cλ W je bu¤ Ccλ , pokud cλ xcλ 6= 0 pro n¥jaké x ∈ W , nebo {0} jinak. V prvním p°ípad¥ z invariantnosti W plyne Ccλ = cλ W ⊆ W, a platí
Vλ = CSd cλ ⊆ CSd Ccλ = CSd cλ W ⊆ W. V druhém p°ípad¥ platí
W · W ⊆ Vλ · W = (CSd · cλ ) · W = CSd · (cλ W ) = {0}, a tedy W = {0}. Platnost druhé odráºky plyne ze skute£nosti, ºe podle tvrzení 4.7 platí
cλ · Vλ = cλ · CSd · cλ 6= {0}, zatímco podle p°edchozího tvrzení
cλ · Vµ = cλ · CSd · cµ = {0}. Reprezentace Vλ a Vµ tedy nemohou být izomorfní.
Poznámka. V²imn¥me si, ºe z postupu pouºitého v d·kazu vyplývá, ºe cλ Vλ 6= {0} a tedy i koe cient nλ v cλ · cλ = nλ cλ je nenulový. Platí totiº
{0} = 6 Vλ · Vλ = (CSd · cλ ) · Vλ = CSd · (cλ Vλ ). 35
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
D·sledek 4.10. Pro kaºdý λ rozklad £ísla d je Vλ = CSd · cλ ireducibilní reprezentací Sd
a zárove¬ kaºdou ireducibilní reprezentaci grupy Sd lze takto získat pro jednozna£n¥ ur£ený rozklad £ísla d. D·kaz. Podle 3.20 je po£et ireducibilních reprezentací Sd roven po£tu t°íd konjugace, který
je roven po£tu vzájemn¥ r·zných rozklad· £ísla d. Tvrzení je tedy p°ímým d·sledkem p°edcházející v¥ty.
Ve tvrzení 4.7 jsme dokázali, ºe druhá mocnina prvku cλ je rovna n¥jakému jeho nenulovému skalárnímu násobku. V následujícím tvrzení up°esníme hodnotu tohoto násobku. Nejd°íve se v²ak podívejme na zobrazení ϕ : CSd → CSd odpovídající násobení cλ na CSd zprava, £ili ϕ(x) = x · cλ . Víme, ºe pro kaºdé x ∈ CSd platí
ϕ2 (x) = x · cλ · cλ = nλ (x · cλ ) = nλ ϕ(x), pro n¥jaké nλ 6= 0 a ºe Im ϕ = Vλ . Chceme ukázat, ºe
CSd = Vλ ⊕ ker ϕ = Im ϕ ⊕ ker ϕ. Kaºdé x ∈ CSd lze zapsat jako
x= kde
1 ϕ(x) nλ
1 1 ϕ(x) + x − ϕ(x), nλ nλ
∈ Im ϕ a ϕ(x −
1 1 1 ϕ(x)) = ϕ(x) − ϕ2 (x) = ϕ(x) − nλ ϕ(x) = 0, nλ nλ nλ
tedy x − n1λ ϕ(x) ∈ ker ϕ. Navíc pokud v ∈ Im ϕ ∩ ker ϕ, pak v = ϕ(x) pro n¥jaké x a platí nλ v = nλ ϕ(x) = ϕ2 (x) = ϕ(v) = 0, z £ehoº plyne, ºe v = 0. Odtud dostáváme, ºe CSd = Vλ ⊕ ker ϕ.
Tvrzení 4.11. Nech´ λ je rozklad £ísla d. Pak cλ · cλ = nλ cλ , kde nλ =
d! dim Vλ
.
D·kaz. Uvaºme zobrazení ϕ odpovídající násobení cλ na CSd zprava. Protoºe platí x · cλ ·
cλ = nλ (x · cλ ), tak se na Vλ toto zobrazení chová jako násobení nλ a jako nulové zobrazení na ker ϕ. Stopa zobrazení ϕ je tedy nλ · dim Vλ . Ov²em koe cient u kaºdého prvku g ∈ Sd má ve výrazu g · cλ hodnotu 1, protoºe £len id má v cλ koe cient 1. Odtud stopa ϕ na CSd je dim Sd = d!.
V p°íkladu 4.2 jsme ukázali, ºe triviální, resp. alternující, reprezentace Sd odpovídá V(d) , resp. V(1,...,1) . P°irozenou otázkou je, jakému Youngovu diagramu odpovídá standardní reprezentace.
36
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
P°íklad 4.12
(Cvi£ení 4.6* v [2]). Ukaºme, ºe pro libovolné d > 1 odpovídá standardní reprezentace V grupy Sd reprezentaci V(d−1,1) . Dokáºeme, ºe V(d−1,1) je podprostor CSd generovaný nenulovými prvky s1 , . . . , sd , pro které platí vztahy
(j k)si = si (i k)si = sk
pro i 6= j, i 6= k a j 6= k, pro i = 6 k.
(4.1)
Vzhledem k tomu, ºe v²echny prvky Sd m·ºeme rozloºit na sou£in transpozic a ºe V(d−1,1) je ireducibilní, popisují nám vý²e uvedené vztahy pln¥ akci grupy Sd na V(d−1,1) . Dokáºeme-li dále, ºe X si = 0 (4.2) 1≤i≤d
m·ºeme de novat lineární zobrazení ϕ : V → V(d−1,1) s p°edpisem daným pro 1 ≤ i ≤ d vztahem ϕ(vi ) = si , kde
( 1 pro k 6= i, vi = (x1 , . . . , xd ), kde xk = −d + 1 jinak.
Toto zobrazení je homomor smus mezi dv¥ma ireducibilními reprezentacemi, který není identicky roven 0 a tedy z Schurova lemmatu plyne, ºe se jedná o izomor smus reprezentací a V(d−1,1) ∼ = V. Pro λ = (d − 1, 1) je tablo Tλ tvaru d−1
z
}|
{
a tedy P = Pλ = {g|g ∈ Sd−1 }, kde Sd−1 je podgrupa Sd , a Q = Qλ = {id, (1 d)}. Platí X X X cλ = ( p)(id −(1 d)) = p− p(1 d). p∈P
Pro i, 1 ≤ i ≤ d poloºme
p∈P
( (i d)cλ si = cλ
p∈P
pro i 6= d, pro i = d.
V²imn¥me si, ºe prvky s1 , . . . , sd jsou opravdu nenulové a pat°í do Vλ . Podívejme se nyní, jakým zp·sobem se prvek si , i < d zm¥ní po vynásobení transpozicí t = (j k). Pokud t = (i k), kde i 6= k 6= d 6= i, pak
(i k)si = (k i)(i d)cλ = (k i d)cλ = (d k)(k i)cλ = (d k)cλ = sk . Pokud t = (i d), pak
(i d)si = cλ = sd . 37
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
Pro t = (j d), i 6= j 6= d 6= i, platí
(j d)si = (j d)(d i)cλ = (j d i)cλ = (d i)(i j)cλ = (i d)cλ = si , a kone£n¥ pro {j, k} ∩ {i, d} = ∅ platí
(j k)si = (i d)(j k)cλ = si . Nakonec si pov²imn¥me, ºe pro kaºdé p ∈ P platí X X p si = si , 1≤i
a dále
X
1≤i
si (−(1 d)) =
1≤i
coº podle tvrzení 4.5 znamená, ºe zleva na tuto rovnost dostáváme
X
si ,
1≤i
P
si = ncλ pro n¥jaké n ∈ C. Po aplikaci (1 d)
1≤i
(1 d)(
X
si ) = (1 d)ncλ
1≤i
X
(1 d)(−cλ + cλ +
si ) = ns1
1≤i
−s1 + s1 +
X
(1 d)si = ns1
1≤i
s 1 + cλ +
X
si = (n + 1)s1
1
(n + 1)cλ = (n + 1)s1 a tedy n = −1. Vidíme, ºe prvky s1 , . . . , sd opravdu spl¬ují 4.1 a 4.2, coº vzhledem k dokázanému vý²e znamená V(d−1,1) ∼ = V. 4.2
Frobeniova formule
V p°edcházející kapitole jsme ukázali, jak vypadá charakter ireducibilních reprezentací S4 . Pro vy²²í d by v²ak hledání charakteru tímto zp·sobem bylo stále velice pracné a otázkou tedy je, zda je moºné charakter ireducibilní odvodit obecným zp·sobem. Odpov¥¤ nám poskytne Frobeniova formule, k jejímuº zápisu je t°eba zavést n¥kolik nových ozna£ení. Nech´ Ci ozna£uje t°ídu konjugace grupy Sd ur£enou sekvencí X i = (i1 , . . . , id ), jij = d, 1≤j≤d
38
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
kde Ci obsahuje práv¥ ij cykl· délky j . Nech´ x = (x1 , . . . , xk ) je vektor k prom¥nných, kde k je po£et °ádk· Youngova diagramu pro λ. Pro tento vektor de nujme pro j , 1 ≤ j ≤ k , sou£et j -tých mocnin
Pj (x) = xj1 + · · · + xjk , a diskriminant
Y
∆(x) =
(xm − xn ).
1≤m
Nech´ f (x) je polynom k prom¥nných a (l1 , . . . , lk ) je k -tice nezáporných celých £ísel. Pak [f (x)](l1 ,...,lk ) = koe cient £lenu xl11 . . . xlkk polynomu f . Pro rozklad λ = (λ1 , . . . , λk ) £ísla d poloºme
l1 = λ1 + k − 1,
l2 = λ2 + k − 2,
...
,
lk = λk .
V¥ta 4.13 (Frobeniova formule). Nech´ λ = (λ1 , . . . , λk ) je rozklad £ísla d. Pak je hodnota
charakteru Vλ pro g ∈ Ci rovna
h i Y ij χVλ (Ci ) = ∆(x) · Pj (x) j
. (l1 ,...,lk )
D·kaz lze nalézt v [2].
P°íklad 4.14.
Nech´ d = 5, λ = (3, 2) a Ci = [(1 2)(3 4 5)], £ili i = (0, 1, 1, 0, 0). Pak
χV(3,2) (Ci ) = [(x1 − x2 ) · (x21 + x22 )(x31 + x32 )](4,2) = 1. Charakter reprezentace V je pro g ∈ G roven stop¥ lineárního zobrazení odpovídajícímu g , speciáln¥ hodnota charakteru pro id je rovna dimenzi V . Vyuºitím této znalosti a s pomocí Frobeniovy formule nyní odvodíme dimenzi libovolného Vλ . T°íd¥ konjugace [id] odpovídá i = (d, 0, . . . , 0), tedy
dim Vλ = χVλ (C(d) ) = [∆(x) · (x1 + · · · + xk )d ](l1 ,...,lk ) . První £initel je roven Vandermondeovu determinantu 1 xk . . . xk−1 k .. = X sgn(σ)xσ(1)−1 · · · xσ(k)−1 . ∆(x) = ... ... . . . . 1 k k−1 1 x1 . . . x1 σ∈Sk Druhý £initel je roven
(x1 + · · · + xk )d =
X 39
d! xr11 · · · xrkk , r1 ! · · · rk !
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
kde sou£et vpravo je p°es v²echny k -tice (r1 , . . . , rk ), 0 ≤ r1 , . . . , rk ≤ d, r1 + · · · + rk = d. Koe cient £lenu xl11 · · · · · xlkk ve výsledném sou£inu dostaneme spárováním dopl¬ujících se £len· t¥chto dvou sou£t·. Výsledkem je
X
sgn(σ)
d! , (l1 − σ(k) + 1)! . . . (lk − σ(1) + 1)!
kde sou£et je p°es v²echny σ ∈ Sd takové, ºe lk−i+1 − σ(i) + 1 ≥ 0 pro v²echna 1 ≤ i ≤ k . Tento sou£et lze ekvivalentn¥ zapsat jako k X Y d! sgn(σ) lj · (lj − 1) · · · (lj − σ(k − j + 1) + 2) = l1 ! . . . lk ! σ∈S j=1 d
1 lk lk (lk − 1) . . . d! .. .. .. .. . = . . . . l1 ! . . . lk ! 1 l1 l1 (l1 − 1) . . . Poznamenejme, ºe suma uvedená na levé stran¥ obsahuje nulové £leny pro σ ∈ Sd nespl¬ující lk−i+1 − σ(i) + 1 ≥ 0, j -tý £initel v sou£inu je pro σ(k − j + 1) roven 1 a £initel·. Ekvivalentními sloupcovými maticovými úpravami lze determinant na pravé stran¥ p°evézt na Vandermonde·v determinant a dimenze reprezentace Vλ je tedy rovna
dim Vλ =
Y d! (li − lj ), l1 ! . . . lk ! 1≤i<j≤k
(4.3)
kde li = λi + k − i. Youngovy diagramy nabízí je²t¥ jednu moºnost, jak vyjád°it dimenzi Vλ p°ímo ze struktury diagramu pomocí délek takzvaných hokejek. Délka hokejky pole a Youngova diagramu je po£et polí p°ímo pod a p°ímo napravo od pole a se zapo£tením samotného pole a jedenkrát. Tedy nap°íklad
a→ ↓ ↓ Úplné ohodnocení polí tohoto diagramu délkami hokejek je následující 6 4 1 4 2 3 1 1
Tvrzení 4.15
(Cvi£ení
4.13* z [2]). Nech´ λ = (λ1 , . . . , λk ) je rozklad £ísla d. Pak platí dim Vλ = Q
d! (délky hokejek Tλ ) 40
.
4. Youngovy diagramy a Frobeniova formule
D·kaz. Délku hokejky na j -tém poli i-tého °ádku ozna£me Hij . Vzhledem k rovnici (4.3) posta£í, kdyº ukáºeme, ºe pro libovolné i, 1 ≤ i ≤ k , platí Y li ! . Hij = Q i<j (li − lj )
(4.4)
1≤j≤λi
Pro £ísla Hij platí
Hi1 = li > Hi2 > · · · > Hiλi . V²echna tato £ísla se vyskytují jako £initelé v li !. Dokáºeme, ºe v²echna ostatní £ísla men²í neº li jsou práv¥ £initelé ve jmenovateli pravé strany (4.4). íslo li se v tomto sou£inu z°ejm¥ nevyskytuje. Dále pro j , 2 ≤ j ≤ λi , uvaºme pole na j − 1 a j -té pozici. Nech´ pod (j − 1)-ním polem je a polí a pod j -tým polem je b polí. j-1 j
a
) b
Pak vyuºitím faktu, ºe °ádky i + b + 1 aº i + a mají délku práv¥ j − 1 dostáváme
(li − li+a ) . . . (li − li+b−1 ) = = (li − (j − 1 + k − i − a)) . . . (li − (j − 1 + k − i − b − 1)) = = (λi + k − i − j + 1 − k + i + a) . . . (λi + k − i − j + 1 − k + i + b + 1) = = (λi − j + 1 + a) . . . (λi − j + b + 2). Délky hokejek na polích (j − 1) a j jsou
Hi(j−1) = λi − j + 2 + a
a
Hij = λi − j + 1 + b,
a tedy sou£in ve jmenovateli zlomku na pravé stran¥ (4.4) obsahuje v²echny £ísla leºící mezi hodnotami hokejek libovolných dvou sousedních polí. Nakonec uvaºme poslední, tedy λi -té, pole i-tého °ádku. Nech´ p°ímo pod tímto polem leºí a polí. Pak platí Hiλi = a + 1 a déle
(li − li+a ) . . . (li − li+1 ) = (λi + k − i − λi − k + i + a) . . . (λi + k − i − λi − k + i + 1) = a! £ímº jsme dokázali vzorec (4.4). Zopakujme nyní hlavní poznatky o reprezentacích grup permutací kone£ných mnoºin, které p°inesla tato kapitola. Pomocí Youngových diagram· se nám poda°ilo p°esn¥ popsat v²echny ireducibilní reprezentace libovolné Sd . Navíc pouºitím Frobeniovy formule jsme byli schopni nalézt charakter t¥chto reprezentací a ur£it jejich dimenzi. Nakonec jsme si ukázali, ºe dimenzi ireducibilní reprezentace lze spo£ítat p°ímo ze struktury odpovídajícího Youngova diagramu. 41
Literatura [1] adek, M.: Lineární algebra a geometrie III, 2003. URL
[2] Fulton, W.; Harris, J.: Representation theory: a rst course. New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97495-4, 551 s. [3] Sagan, B. E.: The symmetric group: representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-950679, 238 s. [4] Slovák, J.: Lineární algebra, 1998. URL
42
