SUB GRUP/GRUP BAGIAN
Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:
[email protected] March 30, 2013
1
Daftar Isi 1 Tujuan
3
2 Sub Grup/Grup Bagian
3
3 Sifat-sifat Grup Bagian
4
4 Latihan
5
2
1
Tujuan
Dengan mempelajari materi sub grup ini mahasiswa diharapkan mampu: a. menjelaskan pengertian sub grup, b. memberikan contoh sub grup, c. membuktikan sebuah himpunan bagian grup merupakan sub grupnya atau bukan, d. membuktikan teorema berkenaan dengan subgrup, e. membuktikan sifat-sifat subgrup
2
Sub Grup/Grup Bagian
Pada modul terdahulu telah dilihat bahwa struktur (Z, +) merupakan grup. Himpunan bagian dari Z yaitu 2Z juga merupakan grup terhadap operasi +. Struktur (2Z, +) semacam ini dinamakan subgrup dari subgrup dari (Z, +). Secara tepat definisi dari subgrup disampaikan dalam definisi berikut ini. Definisi 1. Misal (G, ∗) sebuah grup. Himpunan H ⊆ G disebut subgrup jika struktur (H, ∗) juga merupakan grup. Dari definisi di atas jelas bahwa untuk membuktikan suatu himpunan H merupakan subgrup atau bukan dari grup (G, ∗) maka harus ditnukkan bahwa (i) H ⊆ G dan (ii) (H, ∗) merupakan grup. Untuk membuktikan grup atau bukan telah dibahas pada modul sebelumnya. Perhatikan contoh-contoh berikut ini untuk mendalami definisi yang diberikan. Contoh 1. Himpunan kZ, dengan k ∈ Z, dengan operasi penjumlahan merupakan subgrup dari (Z, +). Jelas bahwa kZ ⊆ Z. Selanjutnya telah dibahas juga bahwa struktur (kZ, +) merupakan grup. Dari dua langkah ini dapat disimpulkan bahwa kZ merupakan subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan. Contoh 2. Misal G adalah sebarang grup dengan unsur identitas iG . Dua himpunan bagian dari G yaitu H1 = {iG } dan H2 = G, keduanya merupakan sub grup. Sub grup H1 dikenal dengan subgrup trial dan subgrup H2 dinamakan subgrup sempurna.
3
3
Sifat-sifat Grup Bagian
Pada sub bab ini akan dikaji tentang teorema-teorema berkenaan dengan subgrup. Pada umumnya teorema-teorema disajikan dalam bentuk bi-implikasi namun untuk memudahkan pembaca akan dituliskan dalam bentuk implikasi. Tentunya bila digabungkan menjadi bi-implikasi. Teorema 1. Misal G sebuah grup dan H adalah subgrupnya. Buktikan bahwa: a. Jika eG identitas G dan eH identitas H maka eG = eH . b. Jika h1 , h2 unsur di H maka h1 h2 ∈ H. c. Jika h ∈ H maka h−1 ∈ H. Bukti. Pada teorema ini diketahui bahwa H adalah subgrup dan menurut definisi bahwa H merupakan grup. Dengan demikian semua persyaratan grup juga terpenuhi yaitu (0) tertutup, (i) asosiatif (ii) adanya unsur identitas di H yaitu eH dan (iii) setiap unsur di H memiliki invers. Dua dari tiga kesimpulan dalam teorema sudah terbukti dari definisi yaitu point b yang merupakan ketertutupan dan point c tentang eksistensi invers untuk setiap unsur. Eksistensi unsur identitas di H maupun di G telah terjamin karena G maupun H adalah grup. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa eG = eH . Berangkat dari eH unsur identitas maka eH eH = eH . Selain itu, karena eH ∈ H ⊆ G maka eG eH = eH . Dari dua persamaan ini diperoleh bahwa eH eH = eG eH . Menurut sifat penghapusan pada LKM 02 diperoleh bahwa eH = eG . Konvers dari Teorema 1 juga benar dan ditunjukkan pada teorema berikut ini. Konvers ini lebih banyak digunakan untuk menunjukkan apakah sebuah struktur merupakan grup atau bukan. Silahkan dituliskan sendiri untuk detailnya sesuai dengan definisi. Teorema 2. Diketahui H himpunan bagian dari grup G. Jika: a. identitas G juga identitas H b. berlaku sifat tertutup, h1 , h2 di H maka h1 h2 ∈ H, c. setiap unsur di H memiliki invers, maka H adalah subgrup dari G. Bukti. Kerjakan sebagai latihan dengan mengikuti persyaratan dalam definisi subgrup.
4
Teorema selanjutnya ini hampir sama dengan Teorema 2. Teorema berikut ini juga lebih diarahkan pada pemakaian untuk membuktikan apakah sebuah sub himpunan merupakan grup atau bukan. Secara lengkap teorema dituliskan dalam dua implikasi berikut ini. Teorema 3. Misal G sebuah grup dan H adalah himpunan bagian tak kosong dari G. Jika H adalah subgrup dari G maka gh−1 ∈ H untuk setiap g, h di H. Bukti. Dari definisi subgrup tuliskan bukti teorema ini. Teorema 4. Misal G sebuah grup dan H adalah himpunan bagian tak kosong dari G. Jika gh−1 ∈ H untuk setiap g, h di H maka H adalah subgrup dari G Bukti. Karena H 6= ∅ maka ada h ∈ H. Dengan demikian menurut premisnya diperoleh bahwa i = hh−1 ∈ H. Jadi identitas di H. Karena identitas maka ih−1 = h−1 ∈. Jadi untuk sebarang h inversnya juga di H. Ambil g, h di H. Harus ditunjukkan bahwa tertutup di H. Dari premis juga g(h−1 )−1 = gh ∈ H. Dari ketiga hasil tersebut maka H adalah subgrup dari G.
4
Latihan
Kerjakan semua latihan dberikut ini. 1. Telah dipahami dengan baik tentang himpunan bilangan bulat Z 2. Diketahui G adalah grup dan P, Q adalah dua buah subgrup dari G. Selidiki apakah: a. P ∪ Q merupakan grup atau bukan, b. P ∩ Q merupakan grup atau bukan, c. P Q = {pq|p ∈ P, q ∈ Q} merupakan grup atau bukan. 3. Misal G sebuah grup. Didefinisikan himpunan yang disebut pusat (center ) dari G yaitu Z(G) = {x ∈ G : gx = xg untuk semua g ∈ G}. Selidiki apakah himpunan tersebut merupakan subgrup dari G apa tidak. 4. Misal H adalah subgrup dari grup G. Didefinisikan C(H) = {g ∈ G : gh = hg untuk semua h ∈ H}. Selidiki apakah C(H) merupakan subgrup atau bukan. Himpunan ini dinamakan centralizer. 5. Misal H subgrup dari grup G. Jika g ∈ G tunjukkan bahwa gHg −1 merupakan subgrup dari G. 5
