KOSET
Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:
[email protected] April 21, 2013
1
Daftar Isi 1 Tujuan
3
2 Koset
3
3 Sifat-sifat Koset
4
4 Latihan
5
2
1
Tujuan
2
Koset
Pada sub ini akan dikaji tentang himpunan bagian dari grup yang dikenal dengan nama koset. Secara tepat definisi koset dinyatakan dalam definisi berikut ini. Definisi 1. Misal G sebuah grup dan H adalah subgrupnya. Untuk g ∈ G, didefinisikan sebuah koset kiri dari dari H adalah gH = {gh : h ∈ H}, serta koset kanan adalah Hg = {hg : h ∈ H}. Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan contoh berikut ini. Contoh 1. Diketahui grup (Z, +) dengan subgrupnya (5Z, +), untuk 3 ∈ Z maka diperoleh: 3 + 5Z = {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . . } dan 5Z + 3 = {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . . }. Pada contoh di atas terlihat bahwa koset kiri sama dengan koset kanan. Hal ini sebagai dampak dari sifat komutatif di grup pembentuknya. Untuk contoh koset pada grup yang tidak komutatif bisa dilihat pada contoh berikut ini. Contoh 2. Untuk contoh lain perhatikan grup permutasi (S3 , ◦) dengan S3 = {α, β, γ, δ, , θ} (lihat pada modul pengantar grup) dengan tabel komposisinya adalah: ◦
α
β
γ
δ
θ
α β γ δ θ
α β γ δ θ
β γ α θ δ
γ α β θ δ
δ θ α γ β
δ θ β α γ
θ δ γ β α
Tabel 1. Komposisi permutasi di S3 . Dari tabel tersebut mudah diamati bahwa H = {α, δ} merupakan subgrup dari S3 . Dengan mengambil ∈ S3 maka koset kanan H ◦ dan koset kiri ◦ H adalah : H ◦ = {, β} 3
dan ◦ H = {, γ, }. Memperhatikan kedua contoh di atas terlihat bahwa koset kanan dan koset kiri belum tentu sama. Jika subgrupnya merupakan grup komutatif maka koset kanan dan kirinya adalah sama namun hal ini sangat berbeda pada grup yang tidak komutatif.
3
Sifat-sifat Koset
Pada bagian sebelumnya telah diberikan contoh bahwa tidak tentu koset kiri sama dengan koset kanan. Pada sub ini akan diberikan beberapa sifat-sifat yang berkaitan dengan koset. Teorema 1. Diketahui G adalah grup dan H subgrupnya. Misal p, q unsur di G. Kelima kondisi berikut adalah ekivalen. a. pH = qH, b. p−1 q ∈ H, c. q ∈ pH, d. pH ⊆ qH, e. Hp−1 = Hq −1 . Pengertian ekivalen dari teorema ini adalah jika salah satu bernilai benar maka yang lain juga bernilai benar. Untuk membuktikan teorema ini bisa dilakukan dengan langkah a→ b→ c→ d→ e→ a. Teorema ini hanya dibuktikan bagian pertama saja yaitu: a→ b. Untuk yang lain ditinggalkan sebagai latihan.
Bukti. Diketahui pH = qH, akan ditunjukkan bahwa benar p−1 q ∈ H. Ambil x ∈ pH maka x = ph1 suatu h1 ∈ H. Karena pH = qH maka a = ph1 = qh2 suatu h2 ∈ H. Dengan mengalikan kedua ruas dengan p−1 di kiri dan h−1 di kanan maka diperoleh 2 −1 −1 −1 p q = h1 h2 ∈ H. Jadi terbukti bahwa p q ∈ H.
Jika diamati pada koset-koset suatu grup terlihat bahwa koset akan mempartisi grup. Perlu diingat kembali jika himpunan A terpartisi oleh himpunan B, C dan D artinya A = B ∪ C ∪ D dan B ∩ C = ∅, B ∩ D = ∅ serta C ∩ D = ∅. Teorema 2. Misal G sebuah grup dan H subgrupnya. Himpunan koset-koset kiri (kanan) dari H mempartisi G.
4
Untuk pembuktian teorema ini diambil salah satu kasus untuk koset kiri sedangkan koset kanan dapat dibuktikan dengan cara serupa. Bukti. Misal pH dan qH merupakan dua koset kiri dari H. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa salah satu pH ∩ qH = ∅ atau pH = qH berlaku. Dimisalkan pH ∩ qH 6= ∅ dan dimisalkan a ∈ pH ∩ qH. Menurut definisi koset maka didapat bahwa a = ph1 = qh2 −1 untuk suatu h1 , h2 di H. Kedua ruas dikaliakan dengan h−1 1 diperoleh p = qh2 h1 . Dengan menggunakan p ∈ qH. Menurut Teorema 1 bagian d→a sehingga diperoleh pH = qH. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa sembarang koset di G selalu saling lepas. Selanjutnya mudah dijelaskan bahwa gabungan semua koset di G sama dengan G. Gabungan semua koset jelas himpunan bagian dari G selanjutnya akan ditunjukkan bahwa unsur di G selalu berada di salah satu koset di G. Ambil a ∈ G. Hal ini juga jelas bahwa a ∈ aH. Jadi semua unsur dari G selalu berada kosetnya. Dengan demikian Gabungan semua koset dari G sama dengan G sendiri. Misal G sebuah grup dan H adalah subgrupnya. Banyaknya koset dari H di G dinamakan indeks dari H di G dan dinotasikan dengan [G : H].
4
Latihan 1. Perhatikan grup (Z, +) dengan subrupnya 5Z. Tentukan semua koset kiri/kanan dari 5Z di Z. Dari hasil ini tentukan [Z : 5Z]. 2. Perhatikan kembali grup (Z8 , +) dengan subgrup H = {[0], [4]}. Tentukan semua koset kanan dan koset kiri dari subgrup H tersebut. Berapakah [Z8 , H]? 3. Perhatikan kembali grup permutasi (S3 , ◦). Bila ada, tentukan subgrup dari S3 yang memiliki dua unsur, tiga unsur, empat unsur, lima unsur. Selanjutnya tentukan semua koset sesuai dengan subgrupnya. Dari masing-masing subgrup tersebut tentukan indeksnya. 4. Buktikan Teorema 1.
5
