HOMOMORFISMA
Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:
[email protected] May 19, 2013
1
Daftar Isi 1 Tujuan
3
2 Homomorfisma
3
3 Sifat-sifat Homomorfisma
5
4 Latihan
7
2
1
Tujuan
Fungsi merupakan salah satu konsep yang sangat penting dalam mempelajari Matematika. Salah satu fungsi penting yang menjadi kajian kali ini dikenal dengan nama homomorfisma. Dengan mempelajari materi pada modul ini diharapkan mahasiswa mampu: 1. menuliskan definisi homomorfisma, 2. menjelaskan pengertian homomorfisma, 3. memberikan contoh homomorfisma yang tidak sama dengan contoh di modul ini, 4. menuliskan definisi isomorfisma, 5. menjelaskan pengertian isomorfisma, 6. memberikan contoh isomorfisma yang tidak sama dengan contoh di modul ini, 7. menjelaskan pengertian kernel, 8. menentukan kernel suatu homomorfisma, 9. membuktikan teorema-teorema tentang homomorfisma.
2
Homomorfisma
Kajian dalam sub bab ini difokuskan pada pembahasan tentang homomorfisma yaitu salah satu jenis fungsi yang mempunyai sifat mengawetkan operasi di dalam grupnya. Definisi 1. Misal (G, ∗) dan (H, ◦) merupakan dua buah grup. Sebuah fungsi φ:G→H disebut homomorfisma jika berlaku φ(x ∗ y) = φ(x) ◦ φ(y), untuk semua x, y di G. Sifat φ(x∗y) = φ(x)◦φ(y), dinamakan mengawetkan operasi artinya peta hasil operasi x∗y ∈ G sama dengan hasil operasi peta-petanya di H yaitu φ(x)◦φ(y). Untuk mendalami hal ini perhatikan kembali contoh-contoh berikut ini. Contoh 1. Misal G adalah sebarang grup dan g ∈ G serta grup bilangan bulat (Z, +). Didefinisikan suatu fungsi φ:Z→G 3
dengan φ(n) = g n setiap n ∈ Z. Fungsi φ ini merupakan homomorfisma karena setiap m, n di Z berlaku: φ(m + n) = g m+n = g m g n = φ(m)φ(n). Contoh 2. Misal G adalah himpunan matriks 2 × 2 dengan determinan tidak nol dan R∗ himpunan bilangan riil tidak nol. Didefinisikan sebuah fungsi α : G → R∗ dengan α(A) = |A| untuk setiap A ∈ G. Sifat determinan menunjukkan bahwa |AB| = |A||B|, hal ini berarti fungsi α ini merupakan homomorfisma. Contoh 3. Perhatikan grup pada (Z4 , +) dan grup (hii, ·) dengan hii = {1, −1, i, −i} serta i2 = −1. Didefinisikan fungsi β : Z4 → hii dengan β(n) = in untuk setiap n ∈ Z4 . Dengan memperhatikan sifat β(m + n) = im+n = im · in = β(m) · β(n) maka β merupakan homomorfisma. Jika dikaji lebih dalam Contoh 3 lebih spesifik dibanding Contoh 1 maupun Contoh 2 hal ini dikarenakan contoh yang ketiga mempunyai sifat satu-satu dan pada. Homomorfisma yang semacam ini dinamakan isomorfisma seperti diungkapkan dalam definisi berikut ini. Definisi 2. Misal (G, ∗) dan (H, ◦) dua buah grup. Sebuah fungsi φ : G → H disebut isomorfisma jika dan hanya jika φ merupakan homomorfisma dan bersifat satu-satu pada. Grup G dan H disebut isomorfik, dinotasikan dengan G ∼ = H. Selain Contoh 3 di atas perhatikan contoh-contoh berikut ini yang merupakan isomorfisma. Contoh 4. Perhatikan grup (Z, +) dan fungsi τ : Z → Z dengan τ (n) = 2n. Selidiki apakah fungsi τ merupakan isomorfisma atau bukan. Ambil m, n di Z. Menurut definisi: τ (m + n) = 2(m + n) = 2m + 2n = τ (m) + τ (n). Dari sini dapat disimpulkan bahwa τ merupakan homomorfisma. Selanjutnya dapat disimpulkan juga bahwa τ merupakan fungsi satu-satu karena: τ (m) = τ (n) berakibat m = n. Pada sisi lain jika diambil 3 ∈ Z tidak n ∈ Z sehingga 2n = 3. Hal ini mengatakan bahwa τ bukan fungsi pada. Dari ketiga hal tersebut dapat disimpulkan bahwa τ bukan suatu isomorfisma. 4
Contoh 5. Perhatikan dua buah grup (R, +) dan (R+ , ·). Selanjutnya didefinisikan fungsi ϕ : R → R+ dengan ϕ(x) = 2x . Untuk menunjukkan fungsi pada Contoh 3 suatu isomorfisma harus ditunjukkan tiga hal yaitu i) homomorfisma, ii) bersifat satu-satu, dan iii) bersifat pada. Ambil x, y di R. Dari definisi fungsi diperoleh hubungan ϕ(x + y) = 2x+y = 2x · 2y = ϕ(x) · ϕ(y). Hal ini menunjukkan bahwa ϕ merupakan homomorfisma. Selanjutnya dimisalkan bahwa ϕ(x) = ϕ(y) maka 2x = 2y yang berakibat x = y. Hal ini berarti ϕ merupakan fungsi satu-satu. Tinggal membuktikan ϕ fungsi pada. Ambil y ∈ R+ dan pilih x = log2 (y). Dengan demikian ϕ(x) = 2x = y dan ini berarti ϕ merupakan fungsi pada. Dari ketiga hal tersebut dapat disimpulkan bahwa fungsi ϕ merupakan isomorfisma. Definisi 3. Misal φ : G → H suatu homomorfisma. Kernel dari φ dinotasikan dengan Ker(φ) adalah himpunan: Ker(φ) = {x ∈ G : φ(x) = iH }, dengan iH merupakan identitas H. Contoh 6. Perhatikan kembali Contoh 1-5, diperoleh kernel masing-masing fungsi adalah Ker(φ) = {n ∈ Z : g n = iG }, Ker(α) = {A ∈ G : |A| = 1}, Ker(β) = {[0]}, Ker(τ ) = {0}, Ker(ϕ) = {0}.
3
Sifat-sifat Homomorfisma
Pada pokok bahasan ini akan dikaji tentang sifat-sifat berkenaan dengan homomorfisma/isomorfisma. Untuk pembahasan selanjutnya penulisan operasi pada masing-masing grup sudah dianggap tahu dan tidak dituliskan lagi. Teorema 1. Misal G, H dua buah grup dan φ : G → H sebuah homomorfisma. Hal berikut ini benar. a. Jika iG , iH masing-masing identitas di G dan H maka φ(iG ) = iH , b. Untuk sebarang g ∈ G maka φ(g −1 ) = (φ(g))−1 , c. Jika A subgrup dari G maka φ(A) subgrup dari H. d. Jika B subgrup dari H maka φ−1 (B) merupakan subgrup dari G e. Kernel dari φ merupakan subgrup dari G. 5
f. Sebarang x ∈ Ker(φ) dan g ∈ G maka gxg −1 ∈ Ker(φ). Bukti. Pembuktian akan diberikan untuk bagian [a.] dan [b.] saja dan yang lainnya ditinggalkan sebagai latihan. a. Ingat kembali sifat identitas yaitu iG = iG iG . Karena φ homomorfisma maka φ(iG ) = φ(iG )φ(iG ). Hal ini hanya bisa terjadi untuk φ(iG ) = iH . b. Telah diketahui bahwa iG = gg −1 . Karena φ homomorfisma maka φ(iG ) = φ(g)φ(g −1 ). Dari bagian [a.] didapat iH = φ(g)φ(g −1 ). Dari persamaan terakhir ini diperoleh φ(g −1 ) = (φ(g))−1 .
Teorema 2. Misal G, H dua buah grup dan φ : G → H suatu isomorfisma. Pernyataan berikut bernilai benar: a. φ−1 : H → G merupakan sebuah isomorfisma. b. |G| = |H|. c. Jika G grup abelian maka H juga grup abelian. d. Jika G grup siklis maka H juga grup siklis. e. Jika G memiliki subgrup beroder n maka H juga memiliki subgrup yang berorder n juga. Bukti. Pernyataan [a.] dan [b.] bernilai benar sebagai konsekuensi logis dari φ isomorfisma (homomorfisma yang satu-satu dan pada). Untuk membuktian bagian [c.] ambil h1 , h2 di H. Karena φ bersifat onto maka ada g1 , g2 di G sehingga φ(g1 ) = h1 dan φ(g2 ) = h2 . Dari hubungan ini h1 h2 = φ(g1 )φ(g2 ) = φ(g1 g2 ) = φ(g2 g1 ) = φ(g2 )φ(g1 ) = h2 h1 .
Untuk membuktikan bagian [d.] perlu diingat kembali bahwa G = hgi suatu g ∈ G. Selanjutnya tunjukkan bahwa H = hφ(g)i. Selanjutnya dimanfaatkan sifat isomorfismanya. Bagian [e.] dilakukan dengan cara yang hampir sama dengan [d.]. Pembuktian yang yang lengkap ditinggalkan sebagai latihan. Salah satu ciri grup siklis adalah adanya unsur pembangkit. Berikut ini diberikan beberapa sifat berkenaan dengan grup siklis. Teorema 3. Grup siklis berorder takhingga isomorfik dengan Z. 6
Bukti. Misal G = hgi dengan g ∈ G. Ide dasar dari pembuktian ini adalah dibentuknya fungsi φ : Z → G dengan φ(n) = g n . Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa φ merupakan isomorfisma. Ditinggalkan untuk latihan Untuk grup yang unsurnya berhingga, isomorfismanya disampaikan dalam teorema berikut ini. Teorema 4. Jika G grup siklis beroder n maka G isomorfik dengan Zn Ide bukti Teorema 4 yaitu dengan membentuk fungsi dengan domain Zn dan kodomain G selanjutnya tunjukkan fungsi yang dibentuk tersebut merupakan isomorfisma. Lebih spesifik jika grup berhingga dengan ordernya merupakan bilangan prima dinyatakan dalam teorema akibat berikut ini. Teorema akibat 1. Jika G grup beroder p dengan p merupakan bilangan prima maka G isomorfik dengan Zp . Untuk membuktikan Teorema Akibat 1 gunakan sifat sebarang unsur g ∈ G yang bukan identitas merupakan pembangkit dari G. Selanjutnya gunakan Teorema 4. Teorema 5. Isomorfisma grup merupakan relasi ekivalen pada kelas semua grup. Perlu diingat kembali bahwa suatu relasi dikatakan relasi ekivalen jika bersifat refleksif, simetris dan transitif. Dengan menunjukkan ketiga sifat tersebut pada isomorfisma grup berarti telah membuktikan Teorema 5.
4
Latihan 1. Selidiki apakah untuk Z isomorfik dengan 3Z. 2. Untuk n 6= 0 selidiki apakah Z isomorfik dengan nZ. 3. Didefinisikan himpunan G = R − {−1} dengan operasinya a ∗ b = a + b + ab. Tunjukkan apakah (G, ∗) merupakan grup apa bukan. Selanjutnya, jika merupakan grup selidiki apakah isomorfik dengan grup bilangan riil yang tidak nol dengan operasi perkalian. ! 1 0 4. Didefinisikan fungsi α : R∗ → M∗2 (R) dengan α(a) = , Selidiki apakah 0 a fungsi α tersebut merupakan isomorfisma atau bukan. Jika ya tentukan kernel-nya.
7
