Struktura a vlastnosti pevn´ych l´atek (test version, not revised) Petr Poˇsta
[email protected]
24. listopadu 2010
Obsah Krystalick´e a amorfn´ı l´atky Ide´aln´ı krystalov´a mˇr´ıˇzka Vazby v krystalech Deformace pevn´eho tˇelesa S´ıla pruˇznosti. Norm´alov´e napˇet´ı Teplotn´ı roztaˇznost
Krystalick´ e l´ atky Amorfn´ı l´ atky
Pevn´e l´atky Maj´ı st´al´y objem a st´al´y tvar. I krystalick´ e I amorfn´ ı
Krystalick´e l´atky I
Z´akladn´ı stavebn´ı jednotkou krystalick´ e l´ atky jsou ˇ monokrystaly. C´astice v monokrystalu jsou rozloˇ zeny pravidelnˇ e: z´aklad tvoˇr´ı tzv. krystalick´ a mˇr´ıˇ zka tvaru rovnobˇeˇznostˇenu, kter´a se st´ale periodicky opakuje (podobnˇe jako kdyˇz se z cihel stav´ı d˚ um). Protoˇze se st´ale stejnˇe opakuje v cel´em monokrystalu, mluv´ıme tak´e o dalekodosahov´ em uspoˇr´ ad´ an´ı.
Monokrystaly a polykrystaly I
I
Typick´ym znakem monokrystalu je anizotropie, totiˇz, ˇze monokrystal m´a v r˚ uzn´ych smˇerech r˚ uzn´e vlastnosti (napˇr´ıklad se l´epe l´ame v jednom smˇeru neˇz ve druh´em). Je to zapˇr´ıˇcinˇeno asymetrickou z´akladn´ı mˇr´ıˇzkou. Pˇr´ırodn´ı monokrystaly: kamenn´a s˚ ul NaCl, kˇremen (ametyst, r˚ uˇzen´ın) SiO2 , diamant Umˇele vyroben´e: rub´ın, kˇrem´ık, germanium Vˇetˇsina krystalick´ych l´atek jsou polykrystaly — tvoˇr´ı je velk´e mnoˇzstv´ı monokrystal˚ u, tzv. zrn. Protoˇze velikost i natoˇcen´ı tˇechto zrn v krystalu je n´ahodn´e, v pr˚ umˇeru se vlastnosti polykrystalu v r˚ uzn´ych smˇerech neliˇs´ı. Polykrystaly tedy b´yvaj´ı izotropn´ı.
Amorfn´ı l´atky I
I I
Narozd´ıl od (mono)krystalick´ych l´atek je v nich pravidelnost uspoˇr´ad´an´ı poruˇsena i na velmi mal´ych vzd´alenostech (10−8 m), proto se u nich mluv´ı o tzv. kr´ atkodosahov´ em uspoˇr´ ad´ an´ı. b´yvaj´ı izotropn´ı tvoˇr´ı pˇrechod mezi pevn´ymi l´atkami a kapalinami: lze je povaˇzovat i za ”velmi visk´ozn´ı” kapaliny
Pˇr´ıklady: sklo, pryskyˇrice, vosk, asfalt, saze, polymery (plasty), masti, gely
Krystalov´ a mˇr´ıˇ zka
Ide´aln´ı krystalov´a mˇr´ıˇzka I I
I
I
z´akladem je rovnobˇ eˇ znostˇ en jeho opakovan´ym posouv´an´ım ve smˇeru jednotliv´ych hran dostaneme prostorovou mˇr´ıˇzku u (mono)krystalick´ e l´ atky lze vˇ zdycky naj´ıt takovou mˇr´ıˇ zku, ˇ ze rozloˇ zen´ı ˇ c´ astic v kaˇ zd´ em rovnobˇ eˇ znostˇ enu je u ´plnˇ e stejn´ e potom nejmenˇs´ı takov´y rovnobˇeˇznostˇen a rozm´ıstˇen´ı ˇc´astic v nˇem naz´yv´ame element´ arn´ı buˇ nkou
7 z´akladn´ıch typ˚ u mˇr´ıˇz´ı V obecn´em rovnobˇeˇznostˇenu mohou b´yt strany r˚ uznˇe dlouh´e a stˇeny mohou sv´ırat navz´ajem r˚ uzn´e u´hly. Rozezn´av´ame celkem sedm typ˚ u z´akladn´ıch krystalick´ych soustav podle r˚ uzn´ych typ˚ u symetrie v pˇr´ısluˇsn´em rovnobˇeˇznostˇenu: I krychlov´ a (kubick´ a) (z´akladem je krychle) I jednoklonn´ a (monoklinick´a), trojklonn´a (triklinick´a), ˇsestereˇcn´a (hexagon´aln´ı), kosoˇctvereˇcn´a (ortorombick´a, rombick´a), klencov´a (romboedrick´a, trigon´aln´ı), ˇctvereˇcn´a (tetragon´aln´ı, tetraedrick´a)
Bravaisovy mˇr´ıˇze U nˇekter´ych typ˚ u mˇr´ıˇze lze nav´ıc pˇridat dalˇs´ı, tzv. uzlov´ e body tak, aby nedoˇslo k poruˇsen´ı symetrie. Pˇrid´an´ım takov´ych bod˚ u se bud’ m˚ uˇze zmˇenit z´akladn´ı typ mˇr´ıˇze, anebo vzniknout typ u´plnˇe nov´y. Celkem lze takov´ym pˇrid´av´an´ım bod˚ u z´ıskat 14 mˇr´ıˇz´ı, ˇr´ık´a se Bravaisovy mˇr´ıˇ zky. Napˇr´ıklad krychlov´a mˇr´ıˇzka m˚ uˇze b´yt I prost´ a (ˇz´adn´y bod se nepˇrid´a) I prostorovˇ e centrovan´ a (pˇrid´a se jej´ı stˇred) I ploˇ snˇ e centrovan´ a (pˇridaj´ı se vˇsechny stˇredy stˇen) Napˇr. kosoˇctvereˇcn´a mˇr´ıˇzka m˚ uˇze b´yt prost´a, prostorovˇe i ploˇsnˇe centrovan´a a nav´ıc jeˇstˇe baz´alnˇe centrovan´a (pˇridaj´ı se pouze stˇredy kosoˇctvereˇcn´ych podstav). Naopak napˇr. trojklonn´a mˇr´ıˇzka m˚ uˇze b´yt pouze prost´a.
Upozornˇen´ı V jednotliv´ych bodech, kter´e tvoˇr´ı mˇr´ıˇzku krystalu, m˚ uˇze sedˇet pouze jedna ˇc´astice (jeden atom). Tak je tomu napˇr´ıklad u kov˚ u, kter´e obvykle krystaluj´ı v krychlov´e ploˇsnˇe nebo prostorovˇe centrovan´e soustavˇe (nˇekter´e v obou, v´yjimeˇcnˇe i v prost´e). ˇ e ale je, ˇze jednotliv´ym bod˚ Cast´ um krystalov´e mˇr´ıˇze pˇr´ısluˇs´ı skupina atom˚ u (ne nutnˇe molekula), tzv. b´ aze. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´yt diamant, krystal oxidu kˇremiˇcit´eho apod. obr´azky!
Bodov´e poruchy krystalov´e mˇr´ıˇze I I I
vakance (pr´azdn´e m´ısto v krystalov´e mˇr´ıˇzce) interstici´ aln´ı poloha ˇ c´ astice (mimo krystalovou mˇr´ıˇzku) pˇr´ımˇ es (ciz´ı ˇc´astice v mˇr´ıˇzce nebo mimo n´ı)
Vˇsechny tyto poruchy mohou v´yraznˇe ovlivnit vlastnosti krystal˚ u. (Mnoˇzstv´ı uhl´ıku v oceli mˇen´ı tvrdost a kˇrehkost, rub´ın vznik´a z ˇcist´eho krystalick´eho oxidu hlinit´eho pˇr´ımˇes´ı chromu.)
ˇ arov´e poruchy (dislokace) C´ Poruˇsen´ı pravideln´eho uspoˇr´ad´an´ı pod´el urˇcit´e ˇc´ary (tzv. dislokaˇcn´ı ˇc´ary) I hranov´ a (roztaˇzen´ı/smrˇstˇen´ı krystalu) I ˇ sroubov´ a (zkroucen´ı krystalu) Dislokace v´yraznˇe sniˇzuj´ı pevnost krystal˚ u (asi 1000x oproti ide´aln´ı mˇr´ıˇzce). (obr´azky)
Vazby v krystalech
Rozdˇelen´ı krystal˚ u podle typu vazby I
iontov´ e krystaly Iontov´e vazby jsou velmi siln´e. Iontov´e krystaly jsou tvrd´e, maj´ı vysokou teplotu t´an´ı, jsou kˇrehk´e (stlaˇcen´ım se znaˇcnˇe zvˇetˇs´ı odpudiv´e s´ıly mezi stejnˇe nabit´ymi ionty). V pevn´em stavu tepeln´e i elektrick´e izolanty, v roztoku ˇci taveninˇe dobr´e elektrick´e vodiˇce. alkalick´e kovy, kovy alkalick´ych zemi (NaCl, LiF, CaO, ...)
Rozdˇelen´ı krystal˚ u podle typu vazby I
kovalentn´ı (atomov´ e) krystaly Obvykle jednoatomov´e (kˇrem´ık, germanium, diamant, c´ın), ale mohou je vytv´aˇret i molekuly s kovalentn´ımi vazbami (ZnS, SiC). Vazby mezi atomy jsou vˇsechny stejnˇe siln´e, ne tak siln´e jako iontov´e, ale st´ale dost siln´e. Kovalentn´ı krystaly b´yvaj´ı tvrd´e (diamant je nejtvrdˇs´ı zn´am´y materi´al v˚ ubec), nerozpustn´e (v pol´arn´ıch rozpouˇstˇedlech), s vysokou teplotou t´an´ı.
Rozdˇelen´ı krystal˚ u podle typu vazby I
kovov´ e krystaly Atomy kovu jsou spojeny tzv. kovovou vazbou. V mˇr´ıˇzce jsou kladnˇe nabit´e ionty, kter´e navz´ajem odstiˇnuj´ı valenˇcn´ı elektrony. Tyto valenˇcn´ı elektrony jsou de fakto voln´e a vytv´aˇren´ı tzv. elektronov´ y plyn, ve kter´e se snadno mohou pˇresouvat z m´ısta na m´ısto. Kovy jsou kujn´e a taˇzn´e, protoˇze jednotliv´e buˇnky se mohou ve vrstv´ach pˇresouvat, aniˇz by se poruˇsila symetrie uspoˇr´ad´an´ı. (obr´azek) D´ıky elektronov´emu plynu jsou dobr´ymi vodiˇci tepla i elektrick´eho proudu.
Rozdˇelen´ı krystal˚ u podle typu vazby I
krystaly s vod´ıkovou vazbou Vod´ıkov´a vazba vznik´a tak, ˇze voln´y kysl´ıkov´y elektronov´y p´ar je pˇritahov´an parci´aln´ım kladn´ym n´abojem na vod´ıku (pokud je v´az´an k silnˇe elektronegativn´ımu prvku jako je F, O nebo N). Vod´ıkov´e vazby jsou cca 10x slabˇs´ı neˇz kovalentn´ı vazby, z ˇcehoˇz vypl´yv´a menˇs´ı pevnost pˇr´ısluˇsn´ych krystal˚ u. Napˇr. krystaly ledu.
Rozdˇelen´ı krystal˚ u podle typu vazby I
molekulov´ e krystaly (van der Waalsovy s´ıly) Vazba van der Waalsova je slab´a vazba mezi molekulami, kter´e maj´ı nenulov´y dip´olov´y moment. M˚ uˇze b´yt troj´ı povahy: coulombick´ a (u molekul s pevn´ymi dip´olov´ymi momenty), indukˇ cn´ı (molekula se siln´ym dip´olem polarizuje molekuly ve sv´em okol´ı) a disperzn´ı (u silnˇe kmitaj´ıc´ıch molekul s neust´ale vznikaj´ıc´ım a zanikaj´ım dip´olov´ym momentem). ˇ e molekulov´e krystaly vytv´aˇrej´ı vz´acn´e plyny za velmi Cistˇ n´ızk´ych teplot, takt´eˇz za n´ızk´ych teplot I, Cl, H, O, metan a jin´e organick´e slouˇceniny. V´yjimeˇcnˇe lze pozorovat ˇcistˇe molekulov´y krystal i za pokojov´e teploty (paraf´ın). Jsou mˇekk´e a maj´ı n´ızkou teplotu t´an´ı (energie potˇrebn´a na rozruˇsen´ı vazby je oproti kovalentn´ı ˇci iontov´e vazbˇe n´ızk´a).
Rozdˇelen´ı krystal˚ u podle typu vazby I
re´ aln´ e krystaly U velk´eho mnoˇzstv´ı krystal˚ u najdeme v´ıce neˇz jeden typ vazby. Napˇr´ıklad u grafitu jsou jednotliv´e vrstvy atom˚ u uhl´ıku spojen´ych kovalentn´ımi vazbami do ˇsestereˇcn´e struktury propojeny van der Waalsov´ymi silami. Z grafitu se proto tak snadno st´ıraj´ı jednotliv´e vrstvy. Jin´ym pˇr´ıkladem jsou karbidy kov˚ u, kde se kombinuj´ı kovov´e a kovalentn´ı vazby. Jsou velmi tvrd´e a tˇeˇzko taviteln´e (karbid tantalu m´a teplotu t´an´ı t´emˇeˇr 4 000◦ C) a chemicky odoln´e.
Deformace pevn´ eho tˇ elesa
Deformace zmˇ ena rozmˇ er˚ u, tvaru nebo objemu tˇ elesa zp˚ usoben´ a vnˇ ejˇs´ımi silami I elastick´ a (pruˇzn´a) Pot´e, co vnˇejˇs´ı s´ıly pˇrestanou p˚ usobit, se tˇeleso vr´at´ı do p˚ uvodn´ıho tvaru Napˇr. pruˇziny tlumiˇc˚ u. I plastick´ a (tv´arn´a) Pot´e, co vnˇejˇs´ı s´ıly pˇrestanou p˚ usobit, se tˇeleso nevr´at´ı do p˚ uvodn´ıho tvaru Typick´a pro (mˇekk´e) plasty, napˇr. PET lahve, igelitov´e pytl´ıky, ... Rozliˇsujeme deformaci tahem, tlakem, ohybem, smykem a kroucen´ım
Deformace tahem a tlakem Na tˇeleso p˚ usob´ı dvˇe stejnˇe velk´e s´ıly stejn´eho smˇeru a opaˇcn´e orientace. Pokud m´ıˇr´ı ”od sebe”, mluv´ıme o deformaci tahem. Pokud m´ıˇr´ı k sobˇe, o deformaci tlakem. Deformaci tahem lze pozorovat u z´avˇesn´ych konstrukc´ı (napˇr. lana v´ytahu). Plastick´a deformace je typick´a pro (mˇekk´e) plasty. Deformaci tlakem u r˚ uzn´ych pil´ıˇr˚ u a podpˇer.
Deformace ohybem Napˇr. pro dlouhou tˇeˇzkou tyˇc podpˇrenou na kraj´ıch (uprostˇred se prohne). Fyzik´alnˇe jde o jev, kdy jedna vrstva tˇelesa je nam´ah´ana tlakem (zkr´at´ı se) a druh´a vrstva tahem (prodlouˇz´ı se). Tˇeleso se ve v´ysledku ohne do oblouku. Deformaci ohybem lze pozorovat u l´avek pˇres potoky a ˇreky podep´ıran´ych pouze na kraj´ıch.
Deformace smykem Fyzik´alnˇe jde o jev, kdy na dvˇe r˚ uzn´e vrstvy tˇelesa p˚ usob´ı s´ıly opaˇcn´e orientace – dojde tak k posunut´ı tˇechto vrstev v˚ uˇci sobˇe. Deformaci smykem lze pozorovat u spoj˚ u (ˇsroub˚ u, n´yt˚ u).
Deformace kroucen´ım (= torz´ı) Fyzik´alnˇe jde o jev, kdy na konce tˇelesa p˚ usob´ı dvojice sil, jejichˇz momenty maj´ı (stejnou velikost, ale) opaˇcnou orientaci – jedna se snaˇz´ı tˇeleso st´aˇcet opaˇcn´ym smˇerem neˇz druh´a. Deformaci kroucen´ım lze jednoduch´ym zp˚ usobem pouˇz´ıt na ruˇcn´ı ˇzd´ım´an´ı pr´adla, napˇr. mokr´eho hadru, ruˇcn´ıku, ... V technice jsou kroucen´ım nam´ahany ˇsroubov´aky, vrt´aky a jin´e ”rotaˇcn´ı” stroje po dobu sv´e pr´ace.
S´ıla pruˇ znosti. Norm´ alov´ e napˇ et´ı
S´ıly pruˇznosti Pˇri pruˇzn´e deformaci tahem I dojde ke zvˇ etˇsen´ı vzd´alenost´ı mezi ˇc´asticemi I v tˇ elese tak zaˇcnou pˇrevl´adat pˇritaˇzliv´e s´ıly (s´ıla mezi ˇc´asticemi ve vˇetˇs´ı vzd´alenosti, neˇz odpov´ıd´a rovnov´aˇzn´e poloze, je pˇritaˇzliv´a) I tˇ emto sil´am ˇr´ık´ame s´ıly pruˇ znosti. Obdobnˇe pˇri pruˇzn´e deformaci tlakem I dojde ke zmenˇ sen´ı vzd´alenost´ı mezi ˇc´asticemi I v tˇ elese tak zaˇcnou pˇrevl´adat odpudiv´e s´ıly (s´ıla mezi ˇc´asticemi v menˇs´ı vzd´alenosti, neˇz odpov´ıd´a rovnov´aˇzn´e poloze, je odpudiv´a) I tˇ emto sil´am t´eˇz ˇr´ık´ame s´ıly pruˇ znosti. Pˇri deformaci ohybem, smykem a kroucen´ım jsou tyto u ´vahy podobn´e. V z´asadˇe lze ˇr´ıci, ˇze s´ıly pruˇ znosti jsou s´ıly, kter´e vzniknou jako reakce na deformaci a snaˇz´ı se tˇeleso vr´atit do p˚ uvodn´ıho stavu.
S´ıla pruˇznosti pˇri deformaci tahem (tlakem) Ve chv´ıli, kdy se deformovan´e tˇeleso uˇz d´ale nemˇen´ı, s´ıly pruˇznosti vyrovn´avaj´ı p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ıch sil. V pˇr´ıpadˇe, ˇze tˇeleso je deformov´ano tahem nebo tlakem, p˚ usob´ı na kaˇzd´y pˇr´ıˇcn´y ˇrez (kolm´y na smˇer tahu nebo tlaku) z obou stran stejnˇe velk´e s´ıly pruˇznosti, kter´e jsou tedy v klidov´em stavu stejnˇe velk´e jako vnˇejˇs´ı s´ıly zp˚ usobuj´ıc´ı deformaci tahem nebo tlakem.
Norm´alov´e napˇet´ı znaˇcka: σn (pascal)
jednotka: Pa
je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina definov´ana jako pod´ıl celkov´e s´ıly pruˇznosti p˚ usob´ıc´ı kolmo na pˇr´ıˇcn´y pr˚ uˇrez tˇelesa a plochy tohoto pr˚ uˇrezu Fp σn = . S
Pˇr´ıklad Jak´e norm´alov´e napˇet´ı p˚ usob´ı na z´avˇesn´e lano v´ytahu o pr˚ uˇrezu 0,1 dm2 a) tˇesnˇe nad v´ytahem, b) na horn´ım konci, jestliˇze v´ytah i s lidmi v´aˇz´ı 1 tunu, lano je od v´ytahu k horn´ımu konci dvacet metr˚ u dlouh´e a m´a hmotnost 2 kg na jeden metr d´elky ? ˇ sen´ı: 0,1 dm2 = 0,001 m2 . Reˇ a) σn = FS = mg = 1000·10 Pa = 107 Pa. S 0,001 b) Lano v´aˇz´ı 20 · 2 = 40 kg. (m +m )g σn = FS = vytah S lana = 1040·10 Pa = 1, 04 · 107 Pa. 0,001
Mez pruˇznosti Nejvyˇsˇs´ı norm´alov´e napˇet´ı, pro kter´e je deformace (tahem ˇci tlakem) jeˇstˇe pruˇzn´a.
Mez pevnosti Nejvyˇsˇs´ı norm´alov´e napˇet´ı, pro kter´e nedojde k poruˇsen´ı soudrˇznosti materi´alu (tj. tˇeleso se neroztrhne ˇci nerozpadne na v´ıce kus˚ u).
Hook˚ uv z´akon (pro pruˇznou deformaci tahem) I Pro jednoduchost pˇredpokl´adejme, ˇze deformujeme tahem homogenn´ı tyˇc se st´ale stejn´ym pr˚ uˇrezem. Pokud oznaˇc´ıme l0 jej´ı d´elku pˇred deformac´ı a l jej´ı d´elku pˇri deformaci, pak veliˇcinu ∆l = l − l0 naz´yv´ame prodlouˇzen´ım tyˇce a veliˇcinu ε=
∆l l0
relativn´ım prodlouˇ zen´ım tyˇce. (Je to bezrozmˇern´a veliˇcina.)
Hook˚ uv z´akon (pro pruˇznou deformaci tahem) II Experiment´alnˇe lze ovˇeˇrit, ˇze pˇri pruˇzn´e deformaci je norm´ alov´ e napˇ et´ı pˇr´ımo u ´mˇ ern´ e relativn´ımu prodlouˇ zen´ı σn ∼ ε Konstantˇe u´mˇernosti se ˇr´ık´a (Young˚ uv) modul pruˇ znosti v tahu a znaˇc´ı se E . Plat´ı tedy vztah σn = E ε. Po dosazen´ı za norm´alov´e napˇet´ı a relativn´ı prodlouˇzen´ı F ∆l =E , S l0 kde F je s´ıla, kterou se tyˇc nap´ın´a, S plocha jej´ıho pr˚ uˇrezu, ∆l prodlouˇzen´ı tyˇce a l0 jej´ı p˚ uvodn´ı d´elka.
Hook˚ uv z´akon (pozn´amky) I I I
ryze experiment´aln´ı z´akon m´a sv´e v´yjimky (beton, litina, ˇzula, ...) plat´ı jenom pro pruˇznou deformaci, pro plastickou nikoliv – tam lze n´ızk´ym zv´yˇsen´ım napˇet´ı doc´ılit velk´eho zvˇetˇsen´ı deformace (viz napˇr. roztahov´an´ı igelitov´ych pytl´ık˚ u). Graf z´avislosti relativn´ıho prodlouˇzen´ı na norm´alov´em napˇet´ı, tzv. kˇrivka deformace
Teplotn´ı roztaˇ znost
Teplotn´ı roztaˇznost Rozmˇery pevn´ych l´atek (i kapalin) se s rostouc´ı teplotou zvˇetˇsuj´ı. Jev si m˚ uˇzeme pˇredstavit tak, ˇze ˇc´astice v l´atce jsou rychlejˇs´ı, v´ıce a d´ale kmitaj´ı kolem rovnov´aˇzn´ych poloh, a tud´ıˇz kolem sebe potˇrebuj´ı ”v´ıce m´ısta”, kv˚ uli ˇcemuˇz se cel´a l´atka m´ırnˇe rozt´ahne.
D´elkov´a teplotn´ı roztaˇznost Relativn´ı prodlouˇzen´ı tyˇce ∆l je (podobnˇe jako u Hookova l0 z´akona) pˇr´ımo u´mˇern´e pˇr´ır˚ ustku teploty ∆t. Koeficient pˇr´ım´e u´mˇernosti α se naz´yv´a teplotn´ı souˇ cinitel d´ elkov´ e roztaˇ znosti. Plat´ı tedy ∆l = α∆t. l0 Jestliˇze l0 je d´elka tyˇce pˇri teplotˇe t0 (p˚ uvodn´ı) a l je d´elka tyˇce pˇri teplotˇe t (nov´e), pak lze tento vztah upravit na tvar l − l0 = α∆t l0 l = l0 (1 + α∆t) kde ∆t = t − t0 .
Objemov´a teplotn´ı roztaˇznost ˇ ıd´ı se podobn´ym vztahem jako d´elkov´a teplotn´ı roztaˇznost, tj. R´ V = V0 (1 + β∆t) kde V0 je objem tˇelesa pˇri p˚ uvodn´ı teplotˇe t0 a V je objem tˇelesa pˇri nov´e teplotˇe t. Koeficient β se naz´yv´a teplotn´ı souˇ cinitel objemov´ e roztaˇ znosti. Pro pevn´e l´atky plat´ı, ˇze . β = 3α.
Objemov´a teplotn´ı roztaˇznost
. Odvozen´ı β = 3α: Uvaˇzme zahˇr´ıv´an´ı krychle. T´ım se kaˇzd´a z jejich hran prodlouˇz´ı na d´elku l = l0 (1 + α∆t) a nov´y objem V tedy bude V = l 3 = l03 (1 + α∆t)3 . Oznaˇcme V0 = l03 p˚ uvodn´ı objem krychle. Rozn´asoben´ım z´avorky dostaneme V = V0 (1 + 3α∆t + 3α2 (∆t)2 + α3 (∆t)3 ). Protoˇze koeficient α je velmi mal´y, m˚ uˇzeme ˇcleny obsahuj´ıc´ı α2 a α3 zanedbat. Dostaneme . V = V0 (1 + 3α∆t). Porovn´an´ım se vztahem V0 (1 + β∆t) zjiˇst’ujeme, ˇze aby oba byly stejn´e, mus´ı b´yt β = 3α.
