STRATEGI LINDUNG NILAI PINJAMAN DENGAN INTEREST RATE CAP
MUTIARA RAHMASARI G54104024
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
ABSTRACT MUTIARA RAHMASARI. Hedging Strategy for Loan with Interest Rate Cap. Supervised by ENDAR H. NUGRAHANI and DONNY CITRA LESMANA.
A bank usually charges a specific nominal interest for a loan, which is influenced by the market’s interest rate. When the market interest rates fluctuate, the customer will face financial loss with the growing burden. Interest rate cap is one of the solutions to anticipate any negative impacts of increasing interest rate, by limiting the maximum interest rate paid by customer to the bank. Thus, customer gets a guarantee against increase in interest rate. To obtain this guarantee, the customer is required to pay a premium. The aims of this paper are to analyze the form of a loan with the interest rate cap strategy, and to discuss Vasicek model approach to determine the amount of the premium. A numerical illustration is given to show the advantage of the interest rate cap strategy. The results show that the interest rate cap will provide protection to the customer as the market interest rates fluctuate. Vasicek model states that the price cap interest rate can be expressed as an expected value of a random variable that has bivariate normal distribution. Numerical results show that this strategy provides benefits in the form of lower amortization cost than that of a loan without interest rate cap.
ABSTRAK MUTIARA RAHMASARI. Strategi Lindung Nilai Pinjaman dengan Interest rate cap. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan DONNY CITRA LESMANA. Terhadap pinjaman bank, akan dikenakan suku bunga nominal yang besarnya dipengaruhi oleh suku bunga pasar. Saat suku bunga pasar ini berfluktuasi, nasabah akan mengalami kerugian dengan bertambahnya beban bunga. Interest rate cap merupakan salah satu solusi yang tepat untuk mengantisipasi segala dampak negatif kenaikan suku bunga, dengan membatasi maksimum suku bunga yang dibayarkan nasabah kepada pihak bank. Dengan demikian, nasabah memperoleh suatu jaminan yang melindungi pinjamannya dari kenaikan suku bunga. Untuk memperoleh jaminan ini, maka nasabah diwajibkan membayar premi. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk menganalisis bentuk pinjaman dengan strategi interest rate cap, serta membahas pendekatan model Vasicek untuk menentukan besarnya premi. Ilustrasi numerik diberikan untuk menunjukkan keuntungan strategi interest rate cap. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa interest rate cap akan memberikan perlindungan terhadap nasabah pada saat suku bunga pasar berfluktuasi. Model Vasicek menyatakan bahwa harga interest rate cap dapat dinyatakan sebagai nilai harapan dari suatu peubah acak yang memiliki sebaran normal ganda. Hasil ilustrasi numerik menunjukkan bahwa strategi ini memberikan keuntungan berupa biaya amortisasi yang lebih kecil daripada suatu pinjaman tanpa interest rate cap.
STRATEGI LINDUNG NILAI PINJAMAN DENGAN INTEREST RATE CAP
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh: MUTIARA RAHMASARI G54104024
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS METEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Judul Nama NRP
: : :
Strategi Lindung Nilai Pinjaman dengan Interest Rate Cap Mutiara Rahmasari G54104024
Menyetujui: Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. NIP. 131 842 411
Donny Citra Lesmana, M. Fin. Math. NIP. 132 311 927
Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada suri tauladan kita nabi besar Muhammad SAW, keluarga, sahabat, dan pengikutnya hingga akhir zaman. Berbagai kendala muncul selama penyusunan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku pembimbing I, dan Bpk. Donny Citra Lesmana, M. Fin. Math. selaku pembimbing II (terima kasih yang tak terhingga atas segala pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran serta kesabaran dalam membimbing penulis hingga penulisan karya ilmiah ini selesai), serta Ibu Ir. Retno Budiarti, MS ( terima kasih atas saran dan masukan serta kesediannya menjadi dosen penguji pada sidang tugas akhir). 2. Semua dosen Departemen Matematika (terimakasih atas segala ilmu yang telah diberikan), serta staf Departemen Matematika : Bu Susi, Bu Ade, Mas Yono, Mas Deny, Mas Hery, Mas Bono dan Bu Marisi (terima kasih atas segala bantuannya). 3. Ayah dan bundaku tersayang ( terima kasih banyak atas segala pengorbanan, doa restu, nasehat dan curahan kasih sayang yang terus mengalir hingga saat ini, semua itu terukir indah di hati). Kakak ku tercinta, Rahmat Hoirudin (Terima kasih untuk segala kasih sayang, motivasi, pengorbanan moril maupun materiil, semua itu kan selalu ku kenang), adikku tercinta Intan Firdausi Aprilian dan Ahmad Zaky Fauzan (terima kasih atas segala keceriaan yang telah diberikan, kalian adalah sumber inspirasiku). 4. Seseorang yang sangat kusayangi dan kurindukan, namun tak dapat kujumpai karena telah kembali pada-Nya (semua ini kupersembahkan untukmu juga). Segenap keluarga besarku di Sukabumi (Nenek, Paman, Bibi dan sepupu-sepupuku semua). 5. Teman-teman di Gazebo : Nene Febrina, Tupink Cantik, Ety Imut, Mput, Puji, Ochi, Na, Fitrie dan Tities (Terima kasih atas dukungan, kebaikan dan kebersamaannya selama ini). 6. Sahabat-sahabatku tercinta : Chika, Echa, Nayu (Semoga tali silaturahmi kita tetap kuat), Nanik (Kau teman terbaik yang pernah kumiliki). 7. Teman seperjuanganku Ika, Mahar, Kesha, Neng Ria, Elly, Mora (Terima kasih atas bantuan dan sarannya). 8. Teman-teman Matematika 41: Nurjanah (terima kasih atas dukungannnya), Dian (terima kasih atas bantuannya), Mukti, Riely, Enny, Iyank, Armi, Sita, Endit, Abank Penny, Mbak’e, Darwisah, Nidia, Roma, Eci, Rite, Roro, Eeph, Enyon, Kuren, Uwie, Ani, Didi, Liay, Ayu, Sifa, Liam, Kokom, Yaya, Dika, Iboy, Udin, Aji, Great, Racil, Jali, Yaya, Idris, Triyadi, Chuby, Mabox, Mazid, Muhtar, Mimin, Cumi, Deni, Amin, Hendri, dan Yos (kalian semua bagian dari kisah selama di Departemen Matematika). 9. Yuni Matematika 42 (terima kasih telah menjadi pembahas penulis pada seminar tugas akhir), Kak Sri Mulyati Matematika 40 (terima kasih atas bantuan dan motivasinya). 10. Seluruh civitas akademik matematika dan pihak yang telah membantu, yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Akhir kata, penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, penulis sangat berharap dan menghargai semua saran dan kritik yang diberikan. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pembacanya.
Bogor, Februari 2009
Mutiara Rahmasari
RIWAYAT HIDUP Mutiara Rahmasari dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 26 November 1985, sebagai anak kedua dari empat bersaudara. Orang tua penulis adalah Bapak Dadang Bahrudin dan Ibu Euis Sumiati . Penulis memulai pendidikan di Taman Kanak-kanak PGRI Bina Karya Sukabumi pada tahun 1991. Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SDN Baros 1 pada tahun 1998. Kemudian, melanjutkan pendidikan ke SLTPN 14 Sukabumi hingga tahun 2001. Tahun 2004, penulis berhasil menyelesaikan pendidikan di SMUN 1 Sukabumi dan di tahun yang sama diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Selama menjalani masa perkuliahan, penulis pernah mengikuti berbagai kegiatan seminar umum yang diselenggarakan oleh IPB. Selain itu, penulis juga pernah mengikuti lomba Art IPB Days dan berhasil menjadi juara.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................. viii PENDAHULUAN ......................................................................................................................... Latar Belakang ......................................................................................................................... Tujuan ...................................................................................................................................... Metode dan Sistematika Penulisan...........................................................................................
1 1 1 1
LANDASAN TEORI ..................................................................................................................... 2 Definisi istilah perbankan......................................................................................................... 2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ............................................................................................ 2 Proses Stokastik ..................................................................................................................... 3 PEMBAHASAN ............................................................................................................................ 4 Pinjaman dan Suku Bunga Pinjaman ....................................................................................... 4 Derivatif Suku Bunga .............................................................................................................. 6 Model Vasicek..........................................................................................................................
7
Ilustrasi......................................................................................................................................
8
KESIMPULAN............................................................................................................................... 11 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................... 11
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Bukti Persamaan (3.8) .............................................................................................. 13 Lampiran 2. Bukti Persamaan (3.11) ............................................................................................ 13 Lampiran 3. Bukti Persamaan (3.12)............................................................................................. 13 Lampiran 4. Bukti Persamaan (3.13)............................................................................................. 14 Lampiran 5. Bukti Persamaan (3.17) ............................................................................................ 15 Lampiran 6. Bukti Persamaan (3.22)............................................................................................. 16 Lampiran 7. Bukti Persamaan (3.23) ............................................................................................ 16 Lampiran 8. Bukti Persamaan (3.24)............................................................................................. 16 Lampiran 9. Bukti Persamaan (3.25)............................................................................................. 17 Lampiran 10. Bukti Persamaan (3.27)............................................................................................ 17 Lampiran 11. Bukti Persamaan (3.30)............................................................................................ 18 Lampiran 12. Bukti Persamaan (3.31)............................................................................................ 18 Lampiran 13. Bukti persamaan (3.32)............................................................................................ 21 Lampiran 14. Proses penghitungan besarnya interest rate cap...................................................... 21
viii
1
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perbankan merupakan suatu istilah dalam dunia keuangan dan mencakup segala sesuatu yang berkaitan dengan bank. Menurut Undang-undang Negara Republik Indonesia Nomor 10 Tahun 1998 tentang perbankan, yang dimaksud dengan bank adalah badan usaha yang menghimpun dana dari masyarakat dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya kepada masyarakat dalam bentuk kredit atau bentuk-bentuk lainnya dalam rangka meningkatkan taraf hidup rakyat banyak. Bank memberi pinjaman kepada nasabah dengan imbal jasa berupa bunga. Imbal jasa ini merupakan dana kompensasi untuk pihak bank atas manfaat ke depan dari uang pinjaman tersebut apabila diinvestasikan. Besarnya dana yang dipinjamkan pihak bank disebut dengan pokok pinjaman (principal). Persentase dari pokok pinjaman yang dibayarkan sebagai imbal jasa dalam suatu periode tertentu disebut suku bunga. Jenis suku bunga yang ditetapkan pihak bank dalam kontrak pinjaman merupakan suku bunga nominal yang dibuat tanpa penyesuaian terhadap akibat-akibat inflasi. Oleh karena itu, suku bunga nominal cenderung mengalami fluktuasi seiring dengan perkembangan suku bunga pasar. Kenaikan suku bunga pinjaman akan merugikan dan membebani nasabah, karena dana yang harus dikembalikan nasabah kepada pihak bank akan semakin besar. Dengan kondisi seperti ini, nasabah perlu melindungi pinjamannya dari kenaikan suku bunga. Sebagai solusi, bank menawarkan suatu produk yang dinamakan Interest rate cap. Interest rate cap adalah suatu kontrak bilateral yang merupakan bentuk khusus dari derivatif suku bunga yang diperdagangkan di dealing room suatu bank/lembaga keuangan atau dengan kata lain diperjualbelikan di luar bursa (over-the-counter) yang membatasi maksimum biaya bunga pada saat terjadi kenaikan suku bunga. Dalam kontrak ini, bank menetapkan batas tertinggi suku bunga yang dapat dikenakan pada pinjaman yang disebut cap rate. Apabila suku bunga pasar berada di atas cap rate, maka nasabah akan memperoleh payoff sebesar selisih antara suku bunga pasar dengan cap rate yang disesuaikan dengan besarnya pokok pinjaman. Atas perjanjian ini, nasabah diwajibkan membayar sejumlah dana kepada bank yang disebut premi. Dari kontrak ini nasabah akan memperoleh keuntungan
sedangkan pihak bank tidak serta-merta dirugikan karena telah menerima sejumlah premi dari nasabah. Selain itu, pihak bank berani memberikan jaminan ini dengan anggapan bahwa suku bunga tidak akan mengalami peningkatan selama kontrak pinjaman berlangsung. Dalam penelitian ini, besarnya premi atau harga interest rate cap akan digambarkan secara matematis dalam model Vasicek. Harga interest rate cap tersebut ditentukan dari nilai harapan suatu sebaran normal peubah ganda yang dihitung dengan menggunakan rumus umum fungsi pembangkit momen 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk menganalisis karakteristik pinjaman dan menentukan rumus harga interest rate cap melalui pendekatan model Vasicek. Selain dengan pendekatan tersebut, besarnya harga juga akan dihitung dengan menyubstitusi data numerik ke dalam suatu rumus umum interest rate cap. 1.3 Metode dan Sistematika Penulisan Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur dengan mengambil suatu jurnal bertema matematika keuangan yang berjudul Interest Guarantees in Banking karya Ragnar Norberg yang diterbitkan pada bulan Desember tahun 2005. Karya ilmiah ini terdiri atas empat bagian. Pada bab pertama dijelaskan latar belakang masalah, tujuan dan sistematika penulisan. Bab kedua menyajikan landasan teori yang terdiri atas teori keuangan dan teori matematis yang digunakan sebagai acuan dalam penyelesaian masalah yang terdapat pada bagian pembahasan. Bab ketiga menjelaskan tentang karakteristik umum pinjaman dan memodelkan interest rate cap dalam model Vasicek, serta memberikan ilustrasi dengan menyubstitusi data numerik ke dalam rumus harga interest rate cap. Bab keempat berupa kesimpulan dari topik masalah beserta solusi yang dibahas dalam karya ilmiah ini.
2
II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas dua jenis teori yang digunakan sebagai acuan dalam menyelesaikan masalah yang dikemukakan pada bagian pembahasan. Kedua jenis teori yang dimaksud adalah teori keuangan yang berisikan istilah-istilah dalam dunia perbankan dan teori matematis yang berisikan konsep-konsep tentang peluang, sebaran normal dan proses stokastik. Semua istilah perbankan yang terangkum dalam bagian berikut diperoleh dari ‘Kamus Istilah Ekonomi Populer’ yang disusun oleh Ralona M. Tahun 2006. 2.1 Definisi Istilah Perbankan Definisi 2.1.1 (Amortisasi) Amortisasi adalah pengurangan utang dengan pembayaran pokok dan bunga secara teratur dengan jumlah tertentu sehingga pinjaman terbayar pada saat jatuh tempo. Definisi 2.1.2 (Interest Rate Cap) Interest rate cap adalah suatu perjanjian yang melindungi peminjam dari kenaikan suku bunga tertinggi tertentu sehingga peminjam tidak akan membayar lebih dari suku bunga tersebut. Atas perjanjian ini peminjam dikenai biaya. Definisi 2.1.3 (Risiko Suku Bunga) Risiko suku bunga adalah risiko penurunan nilai pendapatan bunga, misalnya bunga pinjaman bank akibat perubahan tingkat suku bunga pasar. Definisi 2.1.4 (Suku Bunga Mengambang) Suku bunga mengambang adalah suku bunga yang tidak ditetapkan dalam persentase yang tetap, tetapi berfluktuasi sesuai dengan suku bunga internasional (LIBOR, SIBOR) atau suku bunga pasar. Definisi 2.1.5 (Suku Bunga Nominal) Suku bunga nominal adalah suku bunga yang tercantum pada surat berharga, dihitung berdasarkan harga pembelian dan jatuh tempo kewajiban. Definisi 2.1.6 (Suku Bunga Pasar) Suku bunga pasar adalah suku bunga simpanan atau pinjaman yang besarnya didasarkan atas mekanisme pasar. Tingkat suku bunga pasar dapat diketahui melalui media massa.
Definisi 2.1.7 (Suku bunga pasar antar bank/IBOR/Interbank Market Offered Rate) Suku bunga pasar/IBOR/Interbank Market Offered Rate adalah acuan yang digunakan bank dalam menetapkan suku bunga pinjaman atau transaksi perbankan lain. Yang dijadikan acuan adalah rata-rata suku bunga bank tertentu. Secara internasional biasanya mengacu kepada suku bunga LIBOR atau SIBOR. Definisi 2.1.8 (Payoff) Payoff adalah selisih antara suku bunga pasar dan batas atas suku bunga yang tidak harus dibayarkan nasabah karena adanya kontrak interest rate cap. Definisi 2.1.9 (Present Value/Nilai Kini) Present value adalah nilai sejumlah uang yang akan diperoleh pada waktu yang akan datang dikurangi jumlah bunga yang dihitung sejak saat dilakukan penghitungan/saat ini sampai uang itu akan diperoleh kembali dengan tingkat suku bunga yang berlaku. 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.2.1 (Percobaan Acak) Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, dengan hasil yang tidak dapat diprediksi dengan tepat, tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasilnya. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi
2.2.2
(Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Himpunan bagian dari suatu ruang contoh disebut kejadian. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.3 (Medan- σ ) Medan- σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut: 1 ∅∈F . 2. Jika A1 , A2 ,....... ∈ F , maka
∞
∪A
i
∈F .
i =1
3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F , dengan Ac menyatakan komplemen dari himpunan A . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
3 Definisi 2.2.4 (Ukuran Peluang) Suatu ukuran peluang P pada ( Ω, F ) adalah
suatu fungsi P : F → [ 0,1] yang memenuhi syarat-syarat berikut: 1. P ( ∅ ) = 0 dan P ( Ω ) = 1 .
Definisi 2.2.9 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f , maka nilai harapan dari X adalah: ∞
E ( X ) = ∫ xf ( x ) dx ,
2. Jika A1 , A2 ,....... ∈ F adalah himpunanhimpunan yang saling lepas, yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk setiap pasangan i, j
asalkan integral tersebut ada. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
dengan i ≠ j maka:
Definisi
P
(∪ A ) = ∑ P ( A ) . ∞
∞
i =1
i
i =1
i
Pasangan ( Ω, F , P ) disebut ruang peluang. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 2.2.5 (Peubah Acak) Suatu peubah acak adalah suatu fungsi X : Ω → R dengan sifat bahwa untuk setiap x ∈ R , {ω ∈ Ω; X (ω ) ≤ x} ∈ F .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.6 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX : R → [ 0,1] yang diberikan
oleh FX ( x) = P ( X ≤ x ) . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.7 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai FX ( x ) = ∫
x
−∞
dengan
f:
f X ( u ) du, x ∈
→ [ 0, ∞ ) adalah fungsi yang
terintegralkan. Fungsi f X dikatakan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.8 (Sebaran Normal) Suatu peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran normal jika fungsi kepekatan peluangnya adalah: ⎡ 1 ⎛ x − μ ⎞2 ⎤ 1 f ( x) = exp ⎢ − ⎜ 2 ⎟ ⎥ σ 2π ⎢⎣ 2 ⎝ σ ⎠ ⎥⎦ untuk −∞ < x < ∞ . Parameter μ dan σ 2 masing-masing adalah rataan dan varian dari X . Hal ini sering ditulis X berdistribusi N ( μ , σ 2 ) . Jika X berdistribusi N ( 0,1)
maka dikatakan X peubah acak normal baku. [Hogg dan Craig, 1995]
−∞
2.2.10
(Fungsi pembangkit Momen) Untuk suatu peubah acak X , misalkan M X ( t ) = E ( etX ) .
Jika M X ( t ) terdefinisi untuk setiap nilai t dalam interval ( −δ , δ ) , δ > 0 , maka M X ( t ) dinamakan fungsi pembangkit momen dari X. [Ghahramani, 2000] 2.3 Proses Stokastik Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu kejadian atau peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu. (Septana, 2005) Definisi 2.3.1 (Ruang state/keadaan) Misalkan S merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state atau keadaan. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.3.2 (Proses Stokastik) Proses stokastik X = { X ( t ) , t ∈ H } adalah
suatu koleksi (gugus, himpunan, atau kumpulan) dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. [Ross, 1996] Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks H , X ( t ) adalah peubah acak. t sering diinterpretasikan sebagai waktu (meskipun dalam berbagai penerapannya t tidak selalu menyatakan waktu), dan X (t ) diinterpretasikan sebagai keadaan (state) dari proses pada waktu t . Definisi 2.3.3 (Proses Stokastik Waktu Diskret dan Kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu diskret (discrete-time stochastic process) jika gugus indeks H
4 adalah gugus tercacah (countable set), sedangkan X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu (continuous-time stochastic process) jika H adalah suatu interval. [Ross, 1996]
Definisi 2.3.5 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { X ( t ) , t ∈ H } disebut memiliki inkremen
Beberapa contoh dari proses stokastik dalam masalah finansial adalah sebagai berikut: 1. Banyaknya klaim yang diajukan pemegang polis pada waktu tertentu. 2. Suku bunga deposito pada selang waktu tertentu. 3. Harga saham pada selang waktu tertentu. (Suyono, 2008)
untuk semua nilai t .
Definisi 2.3.4 (Inkremen Bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { X ( t ) , t ∈ H } disebut memiliki inkremen
bebas (independent increments) jika untuk semua t0 < t1 < t2 < ..... < tn , peubah acak X ( t1 ) − X ( t0 ) , X ( t2 ) − X ( t1 ) ,....., X ( tn ) − X ( tn −1 )
adalah saling bebas (independent). [Ross, 1996]
stasioner (stationary increments) jika X ( t + s ) − X ( t ) memiliki sebaran yang sama [Ross, 1996] Definisi 2.3.6 (Proses Gerak Brown) Proses stokastik { X ( t ) , t ≥ 0} disebut proses
gerak Brown jika: 1. X ( 0 ) = 0 . 2. { X ( t ) , t ≥ 0} mempunyai inkremen bebas stasioner (stasionary independent increments). 3. Untuk setiap t > 0 , X ( t ) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian σ 2t . Proses gerak Brown sering juga disebut proses Wiener, dan jika σ = 1 disebut gerak Brown baku. [Ross, 1996]
III PEMBAHASAN 3.1 Pinjaman dan Suku Bunga Pinjaman
Berdasarkan hasil penelitian terhadap jurnal keuangan yang disusun oleh Ragnar Norberg ini, diperoleh bentuk umum pinjaman beserta suku bunga dari segi matematis yang terangkum sebagai berikut. 3.1.1 Pinjaman Di dalam dunia perbankan, pinjaman diartikan sebagai kontrak finansial dan bilateral (terjadi antara dua pihak), yaitu bank sebagai pemberi pinjaman dan nasabah sebagai penerima pinjaman. Pada awal kontrak, kedua belah pihak membuat berbagai kesepakatan mengenai besarnya pokok pinjaman S0 , suku bunga r , jangka waktu pinjaman T dan amortisasi A . Setelah menerima sejumlah pinjaman, nasabah diwajibkan melakukan amortisasi setiap periode secara teratur sampai dengan pokok pinjaman dan bunganya terbayar penuh. Jumlah amortisasi yang dibayar nasabah dalam waktu t ≥ 0 adalah At . Fungsi pembayaran amortisasi bernilai terbatas, kontinu kanan, tak turun dan A0 = 0 . Amortisasi yang dibayarkan nasabah berlangsung dalam jangka waktu:
T = inf {t ; At = A∞ } .
(3.1)
Apabila T = ∞ maka pinjaman dikatakan perpetual (anuitas dengan jangka waktu yang tidak terbatas). 3.1.2 Suku Bunga Pinjaman Bunga merupakan biaya yang harus dibayarkan nasabah sebagai kompensasi atas penundaan investasi pihak bank karena pemberian pinjaman. Dalam kontrak pinjaman, bank menetapkan suku bunga nominal rt∗ untuk suatu t ≥ 0 yang memiliki peluang 1, rt∗ ≥ 0, t ≥ 0 (3.2) dan ∞
∫ r du = ∞ . ∗ u
(3.3)
0
Jika suku bunga nominal tersebut tetap (fixed) berarti rt∗ merupakan konstanta r ∗ yang ditunjukkan di awal kontrak. Artinya, tidak terjadi kenaikan maupun penurunan suku bunga selama kontrak berlangsung. Namun, jika berubah-ubah berarti rt∗ beradaptasi dengan kondisi pasar saat ini. Serangkaian amortisasi yang dibayarkan nasabah kepada bank dibentuk sedemikian
5 sehingga present-value seluruh pembayaran sama dengan pokok pinjaman pada awal kontrak. Dengan menyatakan pokok pinjaman S0 dalam satuan moneter (principal) dan menentukan S0 = 1 diperoleh suatu fungsi amortisasi: τ
T
∫e
∫
− ru∗ du 0
dAτ = 1 .
(3.4)
0
Untuk meneliti proporsi pokok pinjaman dan bunga dalam suatu amortisasi, perlu dilakukan dekomposisi sehingga untuk setiap t ≥ 0 : At = Ft + I t , (3.5) F adalah fungsi repayment dengan (pembayaran pokok pinjaman) dan I adalah fungsi pembayaran bunga. Keduanya merupakan fungsi yang kontinu kanan, tak negatif dan tak turun ( F0 = I 0 = 0 ) . Akumulasi dari seluruh fungsi repayment akan membentuk pokok pinjaman yang berarti pinjaman dapat terbayar dalam waktu yang singkat ( Ft ≤ 1 , dan FT = 1 jika T < ∞ ). Dari persamaan (3.2) dan persamaan (3.4) dapat disimpulkan bahwa AT ≥ 1 dan kelebihan total amortisasi ( AT − 1 ) di luar pokok pinjaman adalah bunga. Dengan menyubstitusi persamaan (3.5) ke dalam persamaan (3.4), diperoleh: τ
T
∫e
∫
τ
− ru* du 0
0
T
dFτ + ∫ e
∫
− ru* du 0
dIτ = 1 .
(3.6)
0
τ
∫
− ru* du
e
0
t
(1 − Ft ) = 1 − ∫ e
∫
− ru* du 0
(1 − Fτ ) rτ∗ dτ
τ
−∫ e
∫
− ru∗ du
dFτ .
0
(3.7)
0
Untuk t = T yaitu pada saat pinjaman memasuki batas akhir jangka waktu kontrak, t
∫
− ru* du
maka
fungsi
e
0
(1 − Ft )
akan bernilai
nol, sehingga: τ
T
∫e 0
∫
− ru* du 0
τ
T
dFτ + ∫ e
∫
− ru* du 0
0
0
τ
T
dIτ = ∫ e
∫
− ru* du 0
(1 − Fτ ) rτ∗ dτ
.
0
(3.9) Hubungan ini dipenuhi secara trivial dengan asumsi bahwa suku bunga dasar (natural interest) dibayar secara kontinu dan didefinisikan oleh: (3.10) dI t = (1 − Ft ) rt∗ dt , dengan 1 − Ft merupakan hutang atau sisa pokok pinjaman pada waktu t , dan rt∗ menyatakan suku bunga nominal yang dihasilkan oleh hutang ini dalam interval waktu [t , t + dt ) . Akibatnya, persamaan (3.9) menyatakan bahwa nilai diskonto dari seluruh pembayaran bunga akan sama dengan nilai diskonto dari seluruh jumlah bunga yang muncul secara kontinu dari sisa hutang saat ini. Di samping mempengaruhi besarnya nilai diskonto bunga pinjaman, bentuk suku bunga dasar juga menyebabkan fungsi amortisasi berkorespondensi satu-satu dengan fungsi repayment, yang berarti: Untuk suatu fungsi repayment yang diberikan, t
dengan I t = ∫ (1 − Fτ )rτ∗ dτ
maka amortisasi
0
menjadi: At = Ft + ∫ (1 − Fτ )rτ∗ dτ .
(1 − Fτ ) rτ∗ dτ = 1 .
0
(3.8)
(3.11)
0
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2) Di sisi lain, untuk suatu fungsi amortisasi yang diberikan, fungsi repayment menjadi: ∗ ∗ ⎞ ∫ ru du ⎛ t − ∫ ru du 1 − Ft = e 0 ⎜1 − ∫ e 0 dAτ ⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ⎝ ⎠ (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)
τ
t
0
t
∫e
∫
− ru* du
t
Ruas kiri Persamaan (3.6) dapat dibentuk kembali dengan menggunakan konsep aturan rantai, dengan hasil: t
τ
T
(3.12)
Hubungan dalam persamaan (3.12) menyatakan bahwa sisa pokok pinjaman adalah nilai dari pokok pinjaman dikurangi amortisasi yang sudah dibayar. Dengan menggunakan persamaan (3.4), diperoleh hubungan lain dari persamaan (3.12): τ
T
1 − Ft = ∫ e
∫
− ru* du t
dAτ ,
(3.13)
t
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4)
Dengan membandingkan persamaan (3.6) dan persamaan (3.8), diperoleh:
yang berlaku untuk t ≤ T dan menyatakan bahwa sisa pokok pinjaman adalah nilai diskonto dari amortisasi yang akan datang.
6 Terdapat 2 bentuk pinjaman yang biasa digunakan dalam kehidupan sehari-hari, dan dapat dianalisis dalam konteks suku bunga dasar yang diberikan oleh persamaan (3.10): 1. Bentuk pinjaman paling sederhana, yaitu pinjaman yang dibayar dengan pembayaran tunggal (single instalment) pada jangka waktu tetap T (pada saat jatuh tempo): Ft = 1 [T , ∞ ) (t ) . (3.14) 2. Pinjaman dengan pembayaran bertahap yang dapat dibayar sebelum jatuh tempo T : t ∧T , Ft = T dengan t ∧ T ú min ( t , T ) .
Dengan meneliti konsep suku bunga dasar pada persamaan (3.10) dan meninjau kembali persamaan (3.15) diperoleh suatu turunan: dAt = dFt + (1 − Ft ) r ∗ (rt ) dt yang dapat diuraikan menjadi: dAt = dFt + (1 − Ft ) rt dt − (1 − Ft ) ( rt − r ∗ (rt ) ) dt .
Jika persamaan (3.8) dan fungsi turunan ini disubstitusikan pada persamaan (3.16) dengan rt di dalam fungsi rt∗ , diperoleh: ⎡ T − ∫ ru du ⎤ π = E ⎢ ∫ e 0 (1 − Fτ ) ( rτ − r ∗ ( rτ ) ) dτ ⎥ . ⎢0 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ (3.17) (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5) τ
3.2 Derivatif suku bunga Dalam dunia keuangan (finance), derivatif atau disebut juga produk turunan adalah sebuah kontrak bilateral atau perjanjian penukaran pembayaran yang nilainya diturunkan atau berasal dari produk yang menjadi acuan pokok (underlying product). Menurut jenis komoditi atau surat berharga yang menjadi acuan nilainya, derivatif diklasifikasikan menjadi derivatif suku bunga, derivatif komoditi, dan derivatif mata uang. Derivatif suku bunga merupakan produk sekuritas turunan (perangkat keuangan) dengan payoff yang bergantung pada tingkatan suku bunga yang berlaku pada waktu yang akan datang. Derivatif suku bunga digunakan oleh lembaga keuangan, investor dan perusahaan untuk mengelola posisi yang dimiliki masing-masing institusi terhadap risiko dari kenaikan suku bunga. Kontrak pinjaman yang diberikan oleh bank kepada nasabah merupakan bentuk derivatif suku bunga apabila suku bunga nominal yang dikenakan pada pinjaman merupakan fungsi spesifik dari suku bunga pasar: rt∗ = r ∗ (rt ) . (3.15) Harga derivatif suku bunga pada saat t = 0 adalah nilai harapan diskonto atau besarnya pengurangan dari total pemberian dana pinjaman bank kepada nasabah: τ ⎡ T − ∫ ru du ⎤ ⎢ π = 1 − E ∫ e 0 dAτ ⎥ . (3.16) ⎢0 ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ Nilai harapan ini berkaitan dengan besarnya harga yang berlaku di pasar, karenanya diasumsikan ada dan berhingga.
π diartikan pula sebagai jaminan yang diberikan pada suatu pinjaman agar terhindar dari risiko kenaikan suku bunga, dan π menutupi kekurangan suku bunga nominal dari suku bunga pasar selama masa kontrak. Suku bunga nominal yang dikenakan pada pinjaman, dibuat tanpa penyesuaian terhadap akibat-akibat inflasi sehingga cenderung berfluktuasi mengikuti perkembangan suku bunga pasar. Jika suku bunga nominal merupakan suku bunga pasar (r ∗ (rt ) = rt ) , maka π bernilai nol yang menggambarkan kasus pinjaman tanpa disertai jaminan pelindung nasabah dari risiko kenaikan suku bunga pada waktu yang akan datang. Secara matematis, bentuk jaminan adalah: r ∗ (rt ) = rt ∧ r , dengan rt ∧ r ú min ( rt , r ) dan r merupakan
konstanta positif. Maka, suku bunga nominal adalah suku bunga pasar yang terpotong pada suatu batas atas r yaitu: rt − r ∗ (rt ) = (rt − r ) + dengan ( rt − r ) + ú max ( (rt − r ), 0 ) ,
sehingga persamaan (3.17) menjadi: τ ⎡ T − ∫ ru du ⎤ π = E ⎢ ∫ e 0 ( rτ − r )+ (1 − Fτ ) dτ ⎥ . (3.18) ⎢0 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ Jika F tetap, T tak-acak, maka persamaan (3.18) disederhanakan menjadi: ⎡T ⎤ π = E ⎢ ∫ π τc (1 − Fτ )dτ ⎥ (3.19) ⎣0 ⎦ dengan ⎡ − ∫ ru du ⎤ π tc = E ⎢ e 0 ( rt − r )+ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ t
(3.20)
7 merupakan harga derivatif suku bunga dengan payoff ( rt − r )+ pada waktu t . Derivatif suku bunga ini berhubungan erat dengan interest rate caplet dengan payoff rt ∧ r = rt − ( rt − r )+ . 3.2.1 Interest rate cap Interest rate cap adalah bentuk khusus dari derivatif suku bunga yang diperdagangkan di dealing room suatu bank/lembaga keuangan atau dengan kata lain diperjualbelikan di luar bursa (over-the-counter). Interest rate cap digunakan oleh nasabah untuk melindungi pinjamannya dari risiko kenaikan suku bunga. Untuk mendapatkan interest rate cap ini, nasabah diwajibkan membayar sejumlah dana di muka (pada saat kontrak dibuat). Interest rate cap dibentuk dengan mekanisme bahwa pihak bank menetapkan suatu batas tertinggi suku bunga yang dapat dikenakan pada pinjaman, yaitu cap rate r . Apabila suku bunga pasar berada di atas cap rate, maka nasabah akan mendapat payoff sebesar selisih antara suku bunga pasar dengan cap rate. (Sitompul,1999) 3.3 Model Vasicek
Dalam dunia keuangan, model Vasicek dikenal sebagai salah satu model matematika yang menjelaskan tentang perubahan suku bunga. Model ini menggambarkan bahwa suku bunga yang diterapkan dalam kontrak pinjaman tidak diasumsikan konstan, namun merupakan suatu fungsi acak rt terhadap waktu. Karena rt dapat mengalami perubahan setiap saat, maka rt disebut instantaneous interest rate yaitu suku bunga yang dapat berubah seketika. Model Vasicek menggunakan suku bunga nominal rt sebagai solusi dari suatu persamaan diferensial stokastik: drt = α ( ρ − rt ) dt + σ dWt , (3.21) dengan α , ρ dan σ adalah konstanta positif, sedangkan W adalah gerak Brown baku atau proses Wiener. ρ adalah nilai tengah stasioner dari proses atau rataan suku bunga nominal jangka panjang, α adalah parameter mean reversion positif atau faktor-faktor ekonomi yang akan menekan suku bunga kembali pada rataan dan mengukur lamanya proses rt kembali pada ρ . Parameter ketiga yaitu σ adalah volatility konstan atau standar deviasi suku bunga
nominal. Ide pokok model Vasicek adalah rt berfluktuasi di sekitar ρ , ketika rt mengalami penyimpangan maka dengan segera mean reversion menariknya kembali ke rataan. Mean reversion diperlukan sebagai pendekatan terhadap kondisi ekonomi. Mean reversion adalah kondisi ketika suku bunga yang ada akan ditarik kembali ke rataan pada waktu yang lama. Saat rt tinggi, mean reversion cenderung menyebabkan drift α ( ρ − rt ) bernilai negatif. Saat rt rendah, mean reversion cenderung menyebabkan drift bernilai positif. Artinya, saat suku bunga tinggi, ekonomi bergerak lambat dan permintaan dana oleh peminjam sedikit, sehingga suku bunga bergerak turun. Saat suku bunga rendah, kecenderungan permintaan dana oleh peminjam meningkat, sehingga suku bunga bergerak naik. (Suryaningtyastuti, 2006) Di dalam model Vasicek, rt memiliki sebaran marjinal normal, sehingga dapat bernilai negatif dengan peluang positif. Untuk suatu nilai awal r0 tetap, maka solusi persamaan (3.21) adalah: t
rt = ρ + e −α t ( r0 − ρ ) + σ ∫ e −α ( t − s ) dWs . (3.22) 0
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 6) Dengan pengintegralan, diperoleh: t 1− e−αt σt ( r0 − ρ ) + ∫ 1− e−α(t −s) dWs . ∫ ru du = ρt +
(
)
α α0 Dari kedua persamaan tersebut, disimpulkan 0
t
bahwa peubah acak X = rt dan Y = ∫ ru du 0
menyebar normal ganda, ⎛ ⎛ μ X ⎞ ⎛ σ XX σ XY ⎞ ⎞ ⎛X⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ∼ N ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟ ⎝Y ⎠ ⎝ ⎝ μY ⎠ ⎝ σ XY σ YY ⎠ ⎠ dengan μ X = ρ + e −α t ( r0 − ρ ) (3.23) (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7) 1 − e −α t
(3.24) ( r0 − ρ ) α (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 8)
μY = ρ t +
1 − e −2α t 2α (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 9)
σ XX = σ 2
(3.25)
8
σ XY =
σ 2 ⎛ 1 − e −α t ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ α ⎠
2
(3.26)
σ 2 ⎛ 1 − e −α t 1 − e−2α t ⎞ (3.27) + ⎜t − ⎟. 2α ⎠ α α2 ⎝ (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 10) σ YY =
Fungsi kepekatan peluang dan fungsi sebaran kumulatif dari sebaran normal baku peubah tunggal, masing-masing dinotasikan dengan: x 1 − 12 x2 φ ( x) = e dan Φ ( x ) = ∫ φ ( y ) dy . 2π −∞ Dari sebaran tersebut, diperoleh harga derivatif suku bunga sederhana yaitu interest rate cap. Dalam konteks sebaran normal ( X , Y ) , harga caplet dalam persamaan (3.20) adalah:
(
)
E ⎡⎣( X − r )+ e−Y ⎤⎦ = E ⎡( X − r )+ E e−Y X ⎤ , ⎣ ⎦ (3.28) yang merupakan suatu nilai harapan bersyarat. Besarnya nilai harapan bersyarat ini kemudian dihitung dengan menggunakan
rumus umum fungsi pembangkit momen yang berhubungan dengan hasil baku: ⎛ σ σ2 ⎞ Y X ∼ N ⎜ μY + XY ( X − μ X ) , σ YY − XY ⎟ . σ XX σ XX ⎠ ⎝ Dari sebaran tersebut, diperoleh: ⎛ σ σ 2 ⎞⎞ 1⎛ E e−Y X = exp⎜⎜ −μY − XY ( X − μX ) + ⎜σYY − XY ⎟⎟⎟ 2⎝ σXX σXX ⎠⎠ ⎝ (3.29) Sehingga persamaan (3.28) menjadi: E ⎡⎣( X − r )+ e −Y ⎤⎦
(
)
⎛ ⎛σ σ2 = E ⎜⎜ ( X − r )+ exp − ⎜ XY ( X − μ X ) − XY 2σ XX ⎝ σ XX ⎝
⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠
σ ⎞ ⎛ exp ⎜ − μY + YY ⎟ . (3.30) 2 ⎠ ⎝ (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 11) Besarnya nilai harapan pada ruas kanan persamaan (3.30) kemudian dihitung dengan menggunakan rumus umum fungsi pembangkit momen dengan hasil:
⎛ ⎛σ σ2 E ⎜⎜ ( X − r )+ exp− ⎜ XY ( X − μ X ) − XY 2σ XX ⎝ σ XX ⎝
2⎞ ⎛ 1 ⎛ μ − σ XY − r ⎞ ⎟ exp ⎜⎜ − ⎜ X ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 2π σ XX ⎜ 2⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ μ − σ XY − r ⎞ + ( μ X − σ XY − r ) Φ ⎜ X ⎟ . ⎜ ⎟ σ XX ⎝ ⎠
⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ = σ XX ⎠⎠
1
(3.31)
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 12)
Dengan menyubstitusi persamaan (3.31) ke persamaan (3.30) , diperoleh: ⎛ ⎛ μ − σ XY − r ⎞ π tc = ⎜ σ XX φ ⎜ X ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ σ XX ⎝ ⎠ ⎝
Perbandingan antara rumus harga caplet pada persamaan (3.20) dengan persamaan (3.32) memberikan gambaran bahwa rumus harga caplet dalam model Vasicek lebih kompleks.
⎛ μ − σ XY − r ⎞ ⎞ − μY + σ YY 2 + ( μ X − σ XY − r ) Φ ⎜ X ⎟⎟e ⎜ ⎟⎟ σ XX ⎝ ⎠⎠ (3.32) (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 13)
3.4 Ilustrasi
Dengan mengambil t = 0 , diperoleh rumus harga caplet dengan payoff ( rt − r )+ pada saat t . Dari rumus harga caplet tersebut, akan diperoleh pula harga jaminan interest rate cap pada suatu pinjaman dengan fungsi repayment tetap, yaitu: T
π = ∫ π τc (1 − Fτ ) dτ . 0
(3.33)
Untuk memahami karakteristik pinjaman beserta jaminan suku bunga yang disebut interest rate cap, maka dibuat suatu ilustrasi dengan menyubstitusi data numerik ke dalam rumus umum pinjaman dan jaminan yang diuraikan pada bagian pembahasan. Dimisalkan bank memberikan suatu pinjaman dengan jangka waktu 10 tahun. Besarnya suku bunga nominal yang pertama kali dikenakan pada nasabah adalah sebesar 6% atau 0.060. Karena suku bunga nominal merupakan fungsi spesifik dari suku bunga pasar, maka besarnya suku bunga untuk periode selanjutnya diambangkan sesuai dengan kondisi pasar.
9 Jika kondisi pasar baik, maka suku bunga cenderung stabil. Namun, apabila terjadi krisis atau gejolak ekonomi, maka suku bunga cenderung mengalami peningkatan. Sebagai bentuk antisipasi, dibentuklah interest rate cap dengan batas atas suku bunga r 8%. Besarnya cicilan pokok pinjaman untuk setiap periode adalah tetap. Dari keseluruhan informasi tersebut, dapat diperoleh perkiraan harga premi interest rate cap yang harus dibayarkan nasabah kepada pihak bank untuk melindungi kontrak pinjamannya.
Besarnya harga interest rate cap dihitung dengan menyubstitusi data numerik ke dalam T
π = ∑ π tc (1 − Ft )
persamaan
yang
t =1
merupakan bentuk diskret dari persamaan (3.19). Fungsi
π =e c t
−
t
∑ rτ τ =1
( rt − r )+
adalah
harga caplet yang memberikan payoff ( rt − r )+ . Hasil penghitungan caplet dan interest rate cap diberikan pada Tabel 1 dan Tabel 2, dengan proses penghitungan terdapat pada Lampiran 14.
Tabel 1. Proses pembentukan caplet
(tahun)
rt
r
rt ∧ r
rt − r
( rt − r )+
π tc
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.060 0.065 0.080 0.085 0.090 0.085 0.070 0.075 0.090 0.095
0.080 0.080 0.080 0.080 0.080 0.080 0.080 0.080 0.080 0.080
0.060 0.065 0.080 0.080 0.080 0.080 0.070 0.075 0.080 0.080
-0.020 -0.015 0 0.005 0.010 0.005 -0.010 -0.005 0.010 0.015
0 0 0 0.005 0.010 0.005 0 0 0.010 0.015
0 0 0 0.003741318 0.006838614 0.003140676 0 0 0.004965853 0.006773719
t
Tabel 2. Perbandingan amortisasi tanpa caplet dan amortisasi dengan caplet, serta proses pembentukan interest rate cap. Amortisasi tanpa caplet t (tahun)
0
ft
Ft
1 − Ft
rt∗
0
0
1.000
-
It
At
Amortisasi dengan caplet
rt∗
It
At
π tc (1 − Ft )
-
-
-
-
-
-
1
0.100 0.100 0.900 0.060
0.060
0.160
0.060
0.060
0.160
0
2
0.100 0.200 0.800 0.065
0.119
0.319
0.065
0.119
0.319
0
3
0.100 0.300 0.700 0.080
0.183
0.483
0.080
0.183
0.483
0
4
0.100 0.400 0.600 0.085
0.242
0.642
0.080
0.239
0.639
0.002245
5
0.100 0.500 0.500 0.090
0.296
0.796
0.080
0.287
0.787
0.003419
6
0.100 0.600 0.400 0.085
0.339
0.939
0.080
0.327
0.927
0.001256
7
0.100 0.700 0.300 0.070
0.367
1.067
0.070
0.355
1.055
0
8
0.100 0.800 0.200 0.075
0.389
1.189
0.075
0.377
1.177
0
9
0.100 0.900 0.100 0.090
0.407
1.307
0.080
0.393
1.293
0.000497
10
0.100 1.000
0.417
1.417
0.080
0.401
1.401
0
0
0.095
Interest rate cap
0.007417
10 Keterangan:
t rt r
: cap rate (batas atas suku bunga)
π tc
: caplet
: periode pembayaran : suku bunga pasar
ft Ft
: fungsi repayment (pembayaran pinjaman pokok)
1 − Ft
: sisa utang (pokok pinjaman)
∗
rt It At
: cicilan pokok pinjaman
: suku bunga nominal : fungsi pembayaran bunga : amortisasi
Dari Tabel 1 yang menjelaskan tentang pembentukan harga caplet, terlihat bahwa pada saat suku bunga pasar rt berada di bawah cap rate r , maka harga caplet adalah nol, yang berarti pada saat tersebut tidak diperlukan adanya jaminan. Namun, pada saat suku bunga pasar rt melampaui r , maka terbentuk harga caplet yang menyatakan bahwa pada saat tersebut nasabah perlu melindungi pinjamannya dengan jaminan agar terhindar dari kerugian akibat naiknya beban bunga. Pengamatan terhadap karakteristik pinjaman pada Tabel 2 membuktikan beberapa hal penting, yaitu besarnya nilai fungsi repayment (pembayaran pinjaman pokok) pada akhir kontrak adalah satu ( FT = 1) , sedangkan sisa pokok pinjaman adalah nol. Untuk pinjaman tanpa caplet, suku bunga nominal yang akan dikenakan pada pinjaman bergantung pada besarnya suku bunga pasar (r ∗ ( rt ) = rt ) . Sedangkan pada pinjaman dengan caplet, suku bunga yang berlaku adalah sebesar minimum antara suku bunga pasar rt dengan cap rate.
Amortisasi yang terbentuk pada pinjaman tanpa caplet lebih besar dari pinjaman dengan caplet. Hal ini dikarenakan oleh perbedaan besarnya suku bunga yang dibebankan pada masing-masing pinjaman. Untuk melihat besarnya kesenjangan amortisasi pada kedua jenis pinjaman tersebut, dimisalkan bank memberikan pinjaman kepada nasabah sebesar Rp.1milyar. Dalam kasus pinjaman tanpa caplet, pengeluaran amortisasi sebesar Rp.1.417.000.000. Sedangkan untuk pinjaman dengan cap, pengeluarkan amortisasi nasabah sebesar Rp.1.401.000.000. Biaya ini kemudian ditambah dengan pembelian caplet sebesar Rp.7.417.000, sehingga total pengeluaran nasabah sebesar Rp.1.408.417.000. Maka, besarnya selisih amortisasi pada kedua pinjaman tersebut Rp.8.583.000. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa kontrak interest rate cap seharga Rp.7.417.000 dengan batas suku bunga yang diinginkan 8%, memberikan penghematan untuk nasabah sebesar Rp.8.583.000 atau 0.8583% dari pokok pinjaman (principal) sebesar Rp.1Milyar.
11
IV KESIMPULAN Dalam model Vasicek, harga interest rate cap digambarkan melalui suatu nilai harapan sebaran normal ganda yang dihitung dengan menggunakan rumus umum fungsi pembangkit momen. Pada bagian ilustrasi, dapat dilihat bahwa pengeluaran amortisasi pada pinjaman dengan caplet lebih kecil dibandingkan pinjaman tanpa caplet. Selisih amortisasi yang terbentuk adalah 0.016 atau 1.6% dari jumlah pokok pinjaman (principal), dan harga interest rate cap adalah 0.007417 atau sekitar 0.7%. Semakin besar perubahan suku bunga pasar, semakin besar pula harga cap dan selisih amortisasi.
Ketidakstabilan kondisi pasar dapat menimbulkan dampak negatif bagi nasabah. Kondisi ini mendorong peningkatan suku bunga, sehingga besarnya beban bunga yang harus dikeluarkan nasabah bertambah besar. Karenanya, dibuat suatu kontrak interest rate cap yang akan membatasi maksimum suku bunga yang dibayarkan nasabah setiap periode. Apabila suku bunga pasar melampaui batas atas ini, maka nasabah akan memperoleh keuntungan berupa payoff. Sedangkan, ketika suku bunga pasar berada di bawah batas atas, maka nasabah cukup membayar sebesar minimum kedua suku bunga tersebut. Untuk mendapatkan kontrak ini, nasabah diwajibkan membayar premi pada saat kontrak dibuat.
DAFTAR PUSTAKA Septana 2005. Penilaian Opsi Put Amerika. [skripsi]. Bogor: Departemen Matematika FMIPA, IPB.
Ghahramani S. 2000. Fundamentals of Probability. New Jersey: Prentice Hall. Grimmet GR dan Strizaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Edisi Ke-2. New York: Clarendon Press Oxford.
Suryaningtyastuti, E. 2006. Model Kesetimbangan Vasicek untuk Struktur Waktu Suku Bunga. [skripsi]. Bogor: Departemen Matematika FMIPA, IPB.
Hogg RV dan Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Edisi Ke-5. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
Suyono, E. 2008. Pemodelan Nilai Opsi Tipe Eropa. [tesis]. Bogor: Departemen Matematika FMIPA, IPB.
Norberg R. 2005. Interest Guarantees in Banking. Journal of applied mathematical finance 4(12):351-370. Ralona .2006. Kamus Istilah Populer. Jakarta: Gorga Media
Sitompul, A. 1999. Pengelolaan risiko perubahan kurs dan suku bunga: Studi kasus PT. Multi Bintang Indonesia. [tesis]. Jakarta: Program Pascasarjana, Universitas Indonesia.
Ekonomi
Ross SM. 1996. Stochastic Process. New York: John Wiley &Sons Inc.
12
LAMPIRAN
13 Lampiran 1. Bukti persamaan (3.8) τ
t
∫
− ru* du
Dari persamaan (3.7) diketahui e
t
(1 − Ft ) = 1 − ∫ e
0
τ
∫
− ru* du
t
(1 − Fτ ) rτ dτ − ∫ e ∗
0
∫
− ru∗ du 0
dFτ ,
0
0
Untuk t = T yaitu pada saat pinjaman telah memasuki batas akhir jangka waktu yang telah ditentukan, maka persamaan (3.7) menjadi: τ
T
∫
− ru∗ du
e
0
T
(1 − FT ) = 1 − ∫ e
∫
− ru∗ du 0
0
τ
T
(1 − Fτ ) rτ dτ − ∫ e ∗
∫
− ru∗ du
dFτ .
0
0
Digunakan persamaan (3.3) untuk T = ∞ , dan nilai FT = 1 untuk T < ∞ sehingga: τ
T
∫
− ru∗ du
e
0
T
(1 − 1) = 1 − ∫ e
∫
− ru∗ du 0
0
τ
T
(1 − Fτ ) rτ dτ − ∫ e ∗
∫
− ru∗ du
0
τ
T
⇔ 1− ∫ e
∫
− ru∗ du 0
0
τ
T
(1 − Fτ ) rτ∗ dτ − ∫ e
⇔
∫e
∫
− ru∗ du 0
dFτ = 0
0
τ
T
dFτ
0
∫
− ru∗ du 0
0
τ
T
dFτ + ∫ e
∫
− ru∗ du 0
(1 − Fτ ) rτ∗ dτ
= 1.
0
Lampiran 2. Bukti persamaan (3.11)
Dalam konteks suku bunga dasar, A dan F berkorespondensi satu-satu. Artinya, untuk suatu rencana repayment F yang diberikan, akan dibuktikan fungsi amortisasinya adalah: t
At = Ft + ∫ (1 − Fτ )rτ∗ dτ . 0
At = Ft + I t , sedangkan dari persamaan (3.10) diketahui
Dari persamaan (3.5) diketahui
dI t = (1 − Ft ) rt∗ dt . Pengintegralan terhadap persamaan (3.10) dengan batas integral dari 0 sampai t
t , menghasilkan I t = ∫ (1 − Fτ )rτ∗ dτ .....(*). 0
Penyubstitusian langsung persamaan (*) terhadap persamaan (3.5) menghasilkan: t
At = Ft + ∫ (1 − Fτ )rτ∗ dτ . 0
Lampiran 3. Bukti persamaan (3.12)
Di sisi lain, untuk suatu rencana repaymentnya adalah:
amortisasi A yang diberikan, akan dibuktikan fungsi
∫ ru du ⎛ t − ∫ ru du 1 − Ft = e 0 ⎜ 1 − ∫ e 0 dAτ ⎜⎜ 0 ⎝ Dari persamaan (3.5) diketahui At = Ft + I t . t
τ
∗
∗
⎞ ⎟. ⎟⎟ ⎠
Menurut sifat turunan dAt = dFt + dI t , dan dari persamaan (3.10) diketahui dI t = (1 − Ft ) rt∗ dt sehingga :
dAt = dFt + (1 − Ft ) rt∗ dt . t
∫
− ru∗ du
Pengalian kedua ruas dengan e menghasilkan: τ
t
∫e 0
∫
− ru∗ du 0
dan pengintegralan dengan batas dari 0 sampai t
0
τ
t
dAτ = ∫ e 0
∫
− ru∗ du 0
τ
t
dFτ + ∫ e 0
∫
− ru∗ du 0
(1 − Fτ ) rτ∗ dτ .....(**)
14 τ
t
∫
− ru* du
Sebelumnya, dari persamaan (3.7) diketahui e
0
t
(1 − Ft ) = 1 − ∫ e
τ
∫
− ru* du 0
τ
∫e
⇔
∫
− ru∗ du 0
0
τ
t
dFτ = 1 − ∫ e
∫
− ru∗ du
dFτ
0
0
0
t
t
(1 − Fτ ) rτ dτ − ∫ e ∗
t
∫
− ru* du 0
(1 − Fτ ) rτ dτ − e ∗
∫
− ru* du 0
(1 − Ft )
0
Dengan menyubstitusikan persamaan (3.7) ke persamaan (**), diperoleh: τ τ t τ ⎛ t − ∫ ru*du ⎞ t − ∫ ru∗ du t − ru∗ du − ∫ ru* du ∫ ∗ ∗ ⎜ ⎟ ∫0 e 0 dAτ = ⎜⎜1 − ∫0 e 0 (1 − Fτ ) rτ dτ − e 0 (1 − Ft ) ⎟⎟ + ∫0 e 0 (1 − Fτ ) rτ dτ ⎝ ⎠ τ
t
⇔
∫e
∫
− ru∗ du 0
0
τ
t
⇔
∫e
∫
⎛ ⎞ ⎛ t − ∫ ru∗ du ⎞ t − ru∗ du − ∫ ru* du ∫ dAτ = ⎜ 1 − e 0 (1 − Ft ) ⎟ + ⎜ − ∫ e 0 (1 − Fτ ) rτ∗ dτ + ∫ e 0 (1 − Fτ ) rτ∗ dτ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− ru∗ du 0
0
τ
t
⎛ ⎞ − ∫ ru* du ⎜ dAτ = 1 − e 0 (1 − Ft ) ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ t
τ
t
⇔ e
∫
− ru∗ du 0
τ
t
(1 − Ft ) = 1 − ∫ e
∫
− ru* du
dAτ
0
0
∫ ru du ⎛ t − ∫ ru du ⇔ (1 − Ft ) = e 0 ⎜ 1 − ∫ e 0 dAτ ⎜⎜ 0 ⎝ t
∗
τ
*
⎞ ⎟. ⎟⎟ ⎠
Lampiran 4. Bukti persamaan (3.13) ∗ * ⎞ ∫ ru du ⎛⎜ t − ∫ ru du 0 0 Dari persamaan (3.12) diketahui (1 − Ft ) = e 1− ∫ e dAτ ⎟ yang menyatakan bahwa sisa ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ⎝ ⎠ pokok pinjaman adalah nilai dari pokok pinjaman dikurangi serangkaian amortisasi yang telah
τ
t
τ
T
dibayarkan. Dengan menggunakan persamaan (3.4) yaitu
∫e
∫
− ru∗ du 0
dAτ = 1 , akan diperoleh bentuk
0
t − ru du ∫ ru du ⎛ T − ∫ ru du ∫ lain dari persamaan (3.12), yaitu: (1 − Ft ) = e 0 ⎜ ∫ e 0 dAτ − ∫ e 0 dAτ ⎜⎜ 0 0 ⎝ t
t
⇔ (1 − Ft ) = e
τ
∗
∫ ru du T ∗
∫e
0
τ
∗
*
τ
∫
− ru∗ du 0
t
dAτ − e
∗
∫e
0
t
τ
∫ ru du t 0
⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠
∫
− ru* du
dAτ
0
0
τ
t
τ
t ∫ ru du − ∫ ru du ∫ ru du − ∫ ru du ⇔ (1 − Ft ) = ∫ e 0 e 0 dAτ − ∫ e 0 e 0 dAτ T
∗
∗
0
∗
*
0
Dengan menggunakan beberapa sifat integral, diperoleh: τ
0
T
(1 − Ft ) = ∫ e
∫
∫
− ru∗ du − ru∗ du t
e
0
0
τ
0
t
dAτ − ∫ e
∫
∫
− ru∗ du − ru* du
e
t
0
dAτ
0
T
⇔ (1 − Ft ) = ∫ e 0
τ ⎛0 ⎞ − ⎜ ru∗ du + ru∗ du ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝t ⎠
∫
∫
t
dAτ − ∫ e 0
τ ⎛0 ⎞ − ⎜ ru∗ du + ru* du ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝t ⎠
∫
∫
dAτ
15
T
⇔ (1 − Ft ) = ∫ e
⎛τ ⎞ − ⎜ ru∗ du ⎟ ⎜ ⎟ ⎝t ⎠
∫
0
T
⇔ (1 − Ft ) = ∫ e
⇔ (1 − Ft ) = ∫ e
⇔ (1 − Ft ) = ∫ e
∫
dAτ
⎛τ ⎞ − ⎜ ru∗ du ⎟ ⎜ ⎟ ⎝t ⎠
⎛ 0 − ⎛⎜ τ ru*du ⎞⎟ ⎜∫ ⎟ ⎜ dAτ − ⎜ − ∫ e ⎝ t ⎠ dAτ ⎜ t ⎝
⎛τ ⎞ − ⎜ ru∗ du ⎟ ⎜ ⎟ ⎝t ⎠
⎛ 0 −⎛⎜ τ ru*du ⎞⎟ ⎜∫ ⎟ ⎜ dAτ + ⎜ ∫ e ⎝ t ⎠ dAτ ⎜t ⎝
∫
∫
0
T
dAτ − ∫ e
⎛τ ⎞ − ⎜ ru* du ⎟ ⎜ ⎟ ⎝t ⎠
0
0
T
t
⎛τ ⎞ − ⎜ ru∗ du ⎟ ⎜ ⎟ ⎝t ⎠
∫
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
dAτ ,
t
yang berlaku untuk t ≤ T dan menyatakan bahwa sisa pokok pinjaman adalah nilai diskonto dari amortisasi yang akan datang. Lampiran 5. Bukti persamaan (3.17)
Kontrak pinjaman adalah suatu bentuk derivatif suku bunga apabila suku bunga nominal merupakan suku bunga pasar, dengan harga pada saat t = 0 digambarkan dengan suatu nilai harapan diskonto total pemberian pinjaman dari bank kepada nasabah, τ ⎡ T − ∫ ru du ⎤ π = 1 − E ⎢ ∫ e 0 dAτ ⎥ . (3.16) ⎢0 ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ Diketahui suatu fungsi turunan dAt = dFt + (1 − Ft ) rt dt − (1 − Ft ) ( rt − r ∗ (rt ) ) dt .
Apabila turunan tersebut disubstitusikan ke persamaan (3.16), akan dihasilkan: τ τ τ ⎡ T − ∫ ru du ⎤ T − ru du T − ru du ∫ ∫ ⎢ 0 0 π = 1− E ∫ e dFτ + ∫ e 1 − Fτ ) rτ dτ − ∫ e 0 (1 − Fτ ) ( rτ − r ∗ ( rτ ) )dτ ⎥ ( ⎢0 ⎥ 0 0 ⎣⎢ ⎦⎥ τ
T
Sebelumnya, dari persamaan (3.8) diketahui : ∫ e 0
∫
− ru* du 0
τ
T
dFτ + ∫ e
∫
− ru* du 0
(1 − Fτ ) rτ∗ dτ = 1 , maka:
0
⎡ T − ∫ ru du ⎤ π = 1 − E ⎢1 − ∫ e 0 (1 − Fτ ) ( rτ − r ∗ ( rτ ) )dτ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ Berdasarkan sifat nilai harapan: τ ⎡ T − ∫ ru du ⎤ π = 1 − E (1) − E ⎢ ∫ e 0 (1 − Fτ ) ( rτ − r ∗ ( rτ ) )dτ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ τ
⎡ T − ∫ ru du ⎤ ⇔ π = 1 − 1 − E ⎢ ∫ e 0 (1 − Fτ ) ( rτ − r ∗ ( rτ ) )dτ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ τ
⎡ T − ∫ ru du ⎤ ⇔ π = E ⎢ ∫ e 0 (1 − Fτ ) ( rτ − r ∗ ( rτ ) )dτ ⎥ , ⎢0 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ yang menutupi kekurangan suku bunga nominal dari suku bunga pasar selama kontrak berlangsung. τ
16 Lampiran 6. Bukti persamaan (3.22)
Diketahui suatu persamaan diferensial stokastik: drt = α ( ρ − rt ) dt + σ dWt . Persamaan ini dapat diselesaikan dengan variasi parameter dan menggunakan lema Ito ke dalam fungsi f ( rt , t ) = rt eα t , karena suku bunga diasumsikan bergerak secara eksponensial. Kemudian diperoleh turunannya:
df ( rt , t ) = α rt eα t dt + eα t drt = eα tαρ dt + σ eα t dWt .
Dengan mengintegralkan turunan tersebut dengan batas integral dari 0 sampai t , diperoleh: t
t
0
0
rt eα t = r0 + ∫ eα sαρ ds + ∫ σ eα s dWs t t ⎛ ⎞ rt = e −α t ⎜ r0 + ∫ eα sαρ ds + ∫ σ eα s dWs ⎟ 0 0 ⎝ ⎠
t
t
= r0 e −α t + e −α t ∫ eα sαρ ds + e −α t ∫ σ eα s dWs 0
= r0 e
−α t
+e
−α t
0
( ρe
αt
− ρ)+e
−α t
t
∫σ e
αs
dWs
0
t
= r0 e −α t + ρ e0 − ρ e−α t + ∫ σ e
−α ( t − s )
dWs
0
t
= ρ + e −α t ( r0 − ρ ) + σ ∫ e
−α ( t − s )
dWs .
0
Lampiran 7. Bukti persamaan (3.23)
Di dalam model Vasicek, perubahan suku bunga digambarkan melalui suatu sebaran normal peubah ganda dan memisalkan suku bunga nominal menjadi suatu peubah acak X , sehingga: μ X = E ( X ) = E ( rt ) t ⎛ ⎞ −α t − s = E ⎜ ρ + e −α t ( r0 − ρ ) + σ ∫ e ( ) dWs ⎟ 0 ⎝ ⎠ t ⎛ ⎞ −α t − s = E ( ρ + e−α t ( r0 − ρ ) ) + E ⎜ σ ∫ e ( ) dWs ⎟ ⎝ 0 ⎠
= E ( ρ + e −α t ( r0 − ρ ) ) + 0 ( karena rataan dari proses Wiener adalah nol) = ρ + e −α t ( r0 − ρ )
Lampiran 8. Bukti persamaan (3.24)
Selain memisalkan suku bunga nominal menjadi peubah acak X , dimisalkan pula suatu pangkat eksponensial menjadi peubah acak Y , sehingga: ⎛t ⎞ μY = E (Y ) = E ⎜ ∫ ru du ⎟ ⎝0 ⎠
⎛ 1 − e −α t σ = E ⎜ ρt + ( r0 − ρ ) + α α ⎝
∫ (1 − e t
0
−α ( t − s )
⎞
) dWs ⎟ ⎠
17 ⎛σ ⎛ ⎞ 1 − e −α t = E ⎜ ρt + ( r0 − ρ ) ⎟ + E ⎜ α ⎝ ⎠ ⎝α
∫ (1 − e t
−α ( t − s )
⎞
) dWs ⎟ ⎠
0
⎛ ⎞ 1 − e −α t = E ⎜ ρt + ( r0 − ρ ) ⎟ + 0 (karena rataan proses wiener adalah nol) α ⎝ ⎠ = ρt +
1 − e −α t
α
( r0 − ρ )
Lampiran 9. Bukti persamaan (3.25)
Kovarian dari peubah acak X dapat dihitung dengan menggunakan rumus umum : σ XX = cov ( X , X ) = Var ( X ) Sehingga: 2 σ XX = E ⎡( X − E ( X ) ) ⎤
⎣ ⎦ 2⎤ ⎡ t ⎛ ⎞ = E ⎢⎜ ρ + e −α t ( r0 − ρ ) + σ ∫ e −α ( t − s ) dWs − ( ρ + e −α t ( r0 − ρ ) ) ⎟ ⎥ ⎢⎝ 0 ⎠ ⎥⎥ ⎢⎣ ⎦ 2 ⎡ t ⎤ ⎛ ⎞ = E ⎢⎜ σ ∫ e −α (t − s ) dWs ⎟ ⎥ ⎢⎝ 0 ⎠ ⎥⎥ ⎣⎢ ⎦ t
(
= σ 2 ∫ E e −α ( t − s )
)
2
ds
0 t
(
=σ2∫E e
−2α ( t − s )
) ds
0 t
=σ2∫e
−2α ( t − s )
ds
0
t
= σ 2 e −2α t ∫ e2α s ds 0
2 −2α t
=σ e
( 21α ( e
2α t
− 1)
)
⎛ 1 − e −2α t ⎞ =σ2 ⎜ ⎟. ⎝ 2α ⎠
Lampiran 10. Bukti persamaan (3.27)
Kovarian dari peubah acak Y dapat dihitung dengan menggunakan rumus umum : σ YY = cov (Y , Y ) = Var (Y ) Sehingga: 2 σ YY = E ⎡(Y − E (Y ) ) ⎤
⎣ ⎦ ⎡ ⎛⎛ 1 − e −α t σ = E ⎢⎜ ⎜ ρ t + ( r0 − ρ ) + ⎢⎜ α α ⎢⎣⎝ ⎝ 2⎤ ⎡ ⎛σ t ⎞ −α t − s = E ⎢⎜ ∫ 1 − e ( ) dWs ⎟ ⎥ ⎢⎝ α 0 ⎠ ⎥⎥ ⎢⎣ ⎦
(
)
∫ (1 − e t
0
−α ( t − s )
)
2⎤ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎥ 1 − e −α t dWs ⎟ − ⎜ ρ t + ( r0 − ρ ) ⎟ ⎟⎟ ⎥ α ⎠⎠ ⎥ ⎠ ⎝ ⎦
18
=
σ2 ⎛ t −α ( t − s ) ⎜ E 1− e α 2 ⎝ ∫0
=
σ2 α2
(
∫ (1 − 2e t
−α ( t − s )
)
2
+e
⎞ ds ⎟ ⎠
−2α ( t − s )
) ds
0
σ 2 ⎛ 2 1 2 −α t 1 −2α t ⎞ t− + e ⎟ + e − 2α α 2 ⎜⎝ α 2α α ⎠ σ2 ⎛ 2 1 = 2 ⎜ t − (1 − e −α t ) + (1 − e−2α t ) ⎞⎟⎠ 2α α ⎝ α
=
=
⎛ 1 − e −α t σ2 ⎛ t − 2⎜ 2 ⎜ ⎜ α ⎝ ⎝ α
⎞ ⎛ 1 − e −2α t ⎟+⎜ ⎠ ⎝ 2α
⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ . ⎠⎠
Lampiran 11. Bukti persamaan (3.30)
Untuk memperoleh bentuk lain dari rumus harga caplet, maka rumus tersebut dimodelkan dalam bentuk sebaran normal peubah ganda, dengan suatu nilai harapan: ⎛ ⎛σ σ 2 ⎞⎞ σ ⎞ ⎛ E ⎡⎣( X − r )+ e −Y ⎤⎦ = E ⎜⎜ ( X − r )+ exp− ⎜ XY ( X − μ X ) − XY ⎟ ⎟⎟ exp ⎜ − μY + YY ⎟ . σ σ 2 2 ⎠ ⎝ XX ⎠ ⎠ ⎝ XX ⎝ Dari persamaan (3.28) diketahui bahwa E ⎡⎣( X − r )+ e −Y ⎤⎦ = E ⎡( X − r )+ E e −Y X ⎤ , ⎣ ⎦ dan diketahui pula dari persamaan (3.29) bahwa: ⎛ σ σ 2 ⎞⎞ 1⎛ E e −Y X = exp ⎜⎜ − μY − XY ( X − μ X ) + ⎜ σ YY − XY ⎟ ⎟⎟ σ XX σ XX ⎠ ⎠ 2⎝ ⎝
(
(
)
)
⎡ ⎛ σ σ2 1⎛ maka E ⎡⎣( X − r )+ e −Y ⎤⎦ = E ⎢( X − r )+ exp ⎜⎜ − μY − XY ( X − μ X ) + ⎜ σ YY − XY 2⎝ σ XX σ XX ⎝ ⎣⎢
⎞ ⎞⎤ ⎟ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎠ ⎥⎦
⎡ ⎛ σ σ2 ⎞ σ ⎛ = E ⎢( X − r )+ exp ⎜ − XY ( X − μ X ) − XY ⎟ exp ⎜ − μY + YY 2σ XX ⎠ 2 ⎝ ⎢⎣ ⎝ σ XX ⎡ ⎛ σ σ2 = E ⎢( X − r )+ exp ⎜ − XY ( X − μ X ) − XY 2σ XX ⎝ σ XX ⎣⎢
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠ ⎥⎦
⎞⎤ ⎡ σ YY ⎞ ⎤ ⎛ ⎟ ⎥ E ⎢ exp ⎜ − μY + 2 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎥ ⎣ ⎠⎦
⎡ ⎛ σ σ 2 ⎞⎤ σ ⎞ ⎛ = E ⎢( X − r )+ exp ⎜ − XY ( X − μ X ) − XY ⎟ ⎥ exp ⎜ − μY + YY ⎟ . 2σ XX ⎠ ⎥⎦ 2 ⎠ ⎝ ⎝ σ XX ⎣⎢
Lampiran 12. Bukti persamaan (3.31)
Besarnya nilai harapan yang terdapat dalam persamaan (3.30) dapat dihitung dengan menggunakan rumus umum fungsi pembangkit momen berikut: M X ( t ) = E ( etx ) = ∫ etx f ( x ) dx . ∞
−∞
⎛ σ σ2 ⎞ Y X ∼ N ⎜ μY + XY ( X − μ X ) , σ YY − XY ⎟ merupakan suatu sebaran normal peubah ganda, σ XX σ XX ⎠ ⎝
dengan fungsi kepekatan peluang f ( x ) =
1
σ XX
⎛ ( X − μ X )2 exp ⎜ − ⎜ 2σ XX 2π ⎝
⎞ ⎟ , maka: ⎟ ⎠
19 ⎛ ⎛ σ σ2 E ⎜⎜ ( X − r )+ exp ⎜ − XY ( X − μ X ) − XY 2σ XX ⎝ σ XX ⎝
⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠
∞ ⎛ ( x − μ X )2 ⎛ σ σ2 ⎞ 1 exp ⎜ − = ∫ ( x − r ) exp ⎜ − XY ( x − μ X ) − XY ⎟ ⎜ 2σ XX ⎠ σ XX 2π 2σ XX ⎝ σ XX r ⎝ 2 ∞ ⎛ σ ( x − μ X ) ⎞⎟ σ2 1 dx exp ⎜ − XY ( x − μ X ) − XY − = ∫(x − r ) ⎜ σ XX 2σ XX 2σ XX ⎟⎠ 2πσ XX r ⎝ 2 ∞ 2 ⎛ σ ( x − μ X ) ⎞⎟ σ XY 1 XY ⎜ = − − − − − x r x dx exp μ ( ) ( ) X ∫ ⎜ σ XX 2σ XX 2σ XX ⎟⎠ 2πσ XX r ⎝ 2 2 ∞ ⎛ −2σ XY ( x − μ X ) − σ XY − ( x − μX ) ⎞ 1 ⎜ ⎟ dx x r = − exp ( ) ∫ ⎜ ⎟ 2σ XX 2πσ XX r ⎝ ⎠
=
=
=
=
=
+
=
(
⎛ − ( x − μ )2 + 2 ( x − μ ) σ + σ 2 X X XY XY ⎜ − x r exp ∫r ( ) ⎜⎜ 2σ XX ⎝
∞
1 2πσ XX
∞
1 2πσ XX
⎛
1 ∫ ( x − r ) exp ⎜⎝ − 2σ ( ( x − μ ) + σ ) X
XX
r
⎛ 1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY ∫r ( x − r ) exp ⎜⎜ − 2 ⎜⎜ σ XX ⎝ ⎝
2πσ XX 1 2πσ XX
1 2πσ XX 1 2πσ XX 1 2πσ XX
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠
2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ − 1 ⎜ ( x − μ X ) + σ XY ⎟ ⎟ exp d − ∫ ⎟ ⎟ ⎜ 2⎜ 2π r σ XX ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ ∞ ⎛ 1 ⎜ − 1 ⎜ ( x − μ X ) + σ XY + ( μ X − σ XY − r ) exp ∫ ⎜ 2⎜ σ XX 2πσ XX r ⎝ ⎝ 2 ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 1 ⎛ ( r − μ X ) + σ XY ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ = σ XX exp − − ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ 2 ⎜ σ XX 2π ⎝ ⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠
+ ( μ X − σ XY − r )
σ XX
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎟ dx ⎠
⎛ 1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY exp ∫r ⎜⎜ − 2 ⎜⎜ σ XX ⎝ ⎝
=
) ⎞⎟ dx
⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠ ⎛ ∞ ⎛ ⎜ − 1 ⎜ ( x − μ X ) + σ XY μ σ μ σ x r exp − + + − − ( ) ( ) ( ) X XY X XY ∫r ⎜ 2⎜ σ XX ⎝ ⎝ 2 ⎛ ⎞ ∞ 1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY ⎞ ⎟ ⎜ − + − x dx μ σ exp ⎜ ⎟ ( ) X XY ∫r ⎟ ⎟ ⎜ 2⎜ σ XX ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 2 ⎛ ⎞ ∞ 1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY ⎞ ⎟ ⎜ μ σ r − − − exp ⎟ dx ∫r ( X XY ) ⎜ 2 ⎜⎜ ⎟ ⎟ σ XX ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 2 ⎛ ∞ ⎛ ( x − μ X ) + σ XY ⎞ ⎞ 1 ⎟ ⎟ dx ∫r ( x − μ X + σ XY ) exp ⎜⎜ − 2 ⎜⎜ ⎟ ⎟ σ XX ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ∞
1
XY
⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠
1 2πσ XX
∞
∞
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠
20
+ ( μ X − σ XY − r )
⎛ 1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY exp ∫r ⎜⎜ − 2 ⎜⎜ σ XX ⎝ ⎝
∞
1 2πσ XX
⎛ 1⎛μ exp ⎜ − ⎜ X ⎜ 2⎜ 2π ⎝ ⎝ ⎛ 1 1⎛μ exp ⎜ − ⎜ X ⎜ 2⎜ 2π ⎝ ⎝ 1
= σ XX
= σ XX
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠
2 ⎛ ⎛ r − μ X + σ XY − σ XY − r ⎞ ⎞⎟ ⎟ + ( μ X − σ XY − r ) ⎜ 1 − Φ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ σ XX σ XX ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎛ μ − σ XY − r ⎞ − σ XY − r ⎞ ⎞⎟ ⎟ + ( μ X − σ XY − r ) Φ ⎜ X ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ σ XX σ XX ⎠ ⎠ ⎝ ⎠
⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠
Catatan :Misal f ( g ( x ) ) = exp ( g ( x ) ) 1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY ⎞ g ( x) = − ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ σ XX ⎠ ⎛ ( x − μ X ) + σ XY ⎞ 1 Maka g ' ( x ) = − ⎜ ⎟. ⎜ ⎟ σ σ XX XX ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY ∫ f ( g ( x ) )g ' ( x ) dx = ∫ exp ⎜⎜ − 2 ⎜⎜ σ XX ⎝ ⎝ 2
⎛
∞
1
=
2πσ XX
∫ ( x − μ X + σ XY ) exp ⎜⎜ − r
⎛ 1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY = ∫ exp ⎜ − ⎜ ⎜ 2⎜ σ XX r ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
∞
2
⎝ ⎞ ⎛ (x − μ ) +σ X XY ⎟−⎜ ⎟ ⎜ σ XX ⎠ ⎝
∞
Diketahui 1 − Φ ( t ) =
1 2π
∫
∞
t
e
−
x2 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
∞
⎛ r − μ X + σ XY = 1− Φ ⎜ ⎜ σ XX ⎝ ⎛ μ − σ XY − r ⎞ = Φ⎜ X ⎟. ⎜ ⎟ σ XX ⎝ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎛ (x − μ ) +σ X XY ⎟ .⎜ ⎟⎜ σ XX ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠
⎞ 1 dx ⎟ ⎟ σ XX ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
dx dan 1 − Φ ( t ) = Φ ( t ) , maka:
2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ − 1 ⎜ ( x − μ X ) + σ XY ⎟ ⎟ dx exp ∫ ⎜ 2⎜ ⎟ ⎟ σ XX 2πσ XX r ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 2 ⎛ ∞ ⎛ ⎞ ⎞ 1 ⎜ − 1 ⎜ ( x − μ X ) + σ XY ⎟ ⎟ 1 dx = exp ∫ ⎜ 2⎜ ⎟ ⎟ σ σ XX 2π r XX ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
1
2
1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY ⎜ 2 ⎜⎝ σ XX
⎛ 1 ⎛ ( x − μ X ) + σ XY = − d exp ⎜ − ⎜ ∫ ⎜ 2 ⎜⎝ 2π r σ XX ⎝ 2 ⎛ ⎞ σ XX 1 ⎛ μ − σ XY − r ⎞ ⎟ exp ⎜ − ⎜ X = ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 2⎜ 2π σ XX ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
σ XX
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ 1 dx ⎟. ⎟ σ XX ⎠
21 Lampiran 13. Bukti persamaan (3.32)
Setelah melakukan penghitungan besarnya nilai harapan pada persamaan (3.30) diperoleh: ⎡ ⎛ σ σ 2 ⎞⎤ E ⎢( X − r )+ exp ⎜ − XY ( X − μ X ) − XY ⎟ ⎥ 2σ XX ⎠ ⎦⎥ ⎝ σ XX ⎣⎢ 2 ⎛ ⎞ ⎛ μ − σ XY − r ⎞ 1 ⎛ μ − σ XY − r ⎞ ⎟ exp ⎜ − ⎜ X ⎟ + ( μ X − σ XY − r ) Φ ⎜ X ⎟, ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎜ σ XX σ XX 2π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
= σ xx
(3.31) 2 ⎛ ⎞ 1 ⎛ μ X − σ XY − r ⎞ ⎟ ⎜ dapat diketahui bahwa exp − ⎜ ⎟ merupakan bentuk dari fungsi kepekatan ⎟ ⎟ ⎜ 2⎜ σ XX 2π ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 1 1 − 2 x2 peluang dari sebaran normal peubah tunggal yaitu φ ( x ) = e , maka bentuk sederhana dari 2π persamaan (3.31) adalah: ⎛ μ − σ XY − r ⎞ ⎛ μ − σ XY − r ⎞ σ XX φ ⎜ X ⎟ + ( μ X − σ XY − r ) Φ ⎜ X ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ XX σ XX ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dengan menyubstitusikan persamaan tersebut ke dalam persamaan (3.30), akan diperoleh hasil: ⎛ ⎛ μ − σ XY − r ⎞ ⎛ μ − σ XY − r ⎞ ⎞ − μY + σ YY 2 ⎜ σ XX φ ⎜ X , ⎟ + ( μ X − σ XY − r ) Φ ⎜ X ⎟⎟e ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ σ σ XX XX ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ yang merupakan rumus harga caplet pada saat t=0 dengan payoff ( rt − r )+ pada waktu t yang
1
dinotasikan dengan π tc . ⎛ ⎛ μ − σ XY − r ⎞ ⎛ μ − σ XY − r ⎞ ⎞ − μY + σ YY 2 . Jadi, π tc = ⎜ σ XX φ ⎜ X ⎟ + ( μ X − σ XY − r ) Φ ⎜ X ⎟⎟e ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ σ σ XX XX ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ Lampiran 14. Proses penghitungan besarnya interest rate cap
Misalkan bank memberikan pinjaman dengan suku bunga nominal 6%, jangka waktu peminjaman 10 tahun, dan pengembalian pinjaman dilakukan dengan 10 kali pembayaran. Nasabah berkeinginan mengambil kontrak interest rate cap dengan batas atas suku bunga sebesar 8% agar kontrak pinjamannya terbebas dari risiko kenaikan suku bunga akibat fluktuasi pasar. Solusi: Pokok pinjaman S0 = 1 Suku bunga nominal rt∗ = 6% = 0.06 Jangka waktu pinjaman T = 10 Batas atas suku bunga r = 8% = 0.08 Pembayaran pinjaman f t tetap sehingga f t =
1 1 = = 0.100 T 10
Fungsi repayment (pembayaran pinjaman pokok) adalah: Ft =
t ∧T dengan t ∧ T ú min ( t , T ) T
22 1 ∧ 10 ; t ∧ T ú min (1,10 ) 10 1 4 F1 = F4 = 10 10 2 5 F2 = F5 = 10 10 3 6 F3 = F6 = 10 10
Maka: F1 =
7 10 8 F8 = 10 9 F9 = 10 F7 =
Misalkan suku bunga pasar rt : r1 = 0.060
r6 = 0.085
r2 = 0.065
r7 = 0.070
r3 = 0.080
r8 = 0.075
r4 = 0.085
r9 = 0.090
r5 = 0.090
r10 = 0.095
Minimum rt dan r adalah:
r1 ∧ r ú min(r1 , r ) = min(0.060, 0.080) = 0.060
r6 ∧ r = 0.080
r2 ∧ r = 0.065
r7 ∧ r = 0.070
r3 ∧ r = 0.080
r8 ∧ r = 0.075
r4 ∧ r = 0.080
r9 ∧ r = 0.080
r5 ∧ r = 0.080
r10 ∧ r = 0.080
Maksimum selisih rt dan r ( rt − r ) + ú max ( (rt − r ), 0 )
( r1 − r ) + ú max ( (r1 − r ), 0 ) = 0 ( r2 − r ) + ú max ( (r2 − r ), 0 ) = 0 ( r3 − r ) + ú max ( (r3 − r ), 0 ) = 0 ( r4 − r ) + ú max ( ( r4 − r ), 0 ) = 0.005 ( r5 − r ) + ú max ( (r5 − r ), 0 ) = 0.010
F10 =
10 =1 10
23 ( r6 − r ) + ú max ( (r6 − r ), 0 ) = 0.005 ( r7 − r ) + ú max ( (r7 − r ), 0 ) = 0 ( r8 − r ) + ú max ( (r8 − r ), 0 ) = 0 ( r9 − r ) + ú max ( ( r9 − r ), 0 ) = 0.010 ( r10 − r ) + ú max ( ( r10 − r ), 0 ) = 0.015 t
Fungsi pembayaran bunga I t = ∑ (1 − Fτ −1 )rτ∗ τ =1
• Untuk pinjaman tanpa interest rate cap Pada pinjaman tanpa interest rate cap, maka suku bunga nominal atau suku bunga yang dikenakan pada pinjaman adalah sebesar suku bunga pasar. 1
I1 = ∑ (1 − Fτ −1 )rτ∗ τ =1
= (1 − F0 ) r1∗ = (1 − 0 )( 0.060 ) = 0.060 2
I 5 = 0.296 I 6 = 0.339
I 2 = ∑ (1 − Fτ −1 )rτ∗ = (1 − F0 ) r1∗ + (1 − F1 ) r2∗
I 7 = 0.367
= 0.060 + (1 − 0.100 )( 0.065 ) = 0.1185
I 8 = 0.389
τ =1
I 3 = 0.183
I 9 = 0.407
I 4 = 0.242
I10 = ∑ (1 − Fτ )rτ∗ = 0.417
10
τ =1
• Untuk pinjaman dengan interest rate cap Pada pinjaman ini, maka suku bunga nominal yang dikenakan pada pinjaman adalah sebesar minimum suku bunga pasar dan batas atas r , sehingga ketika suku bunga pasar mengalami kenaikan, maka nasabah hanya cukup membayar sebesar batas atas r . 1
I1 = ∑ (1 − Fτ −1 )rτ∗ τ =1
= (1 − F0 ) r1∗ = (1 − 0 )( 0.060 ) = 0.060 2
I 2 = ∑ (1 − Fτ −1 )rτ∗ = (1 − F0 ) r1∗ + (1 − F1 ) r2∗ τ =1
= 0.060 + (1 − 0.100 )( 0.065 ) = 0.119 I 3 = 0.183
24 I 4 = 0.239
I 7 = 0.355
I 5 = 0.287
I 8 = 0.377
I 6 = 0.327
I 9 = 0.393
• Penghitungan caplet t t ⎡ − ∫ ru du ⎤ − ∑ rt c ⎢ ⎥ 0 τ =1 πt = E e ( rt − r )+ ⎥ = e ( rt − r )+ ⎢ ⎣⎢ ⎦⎥
π =e c 1
−
10
I10 = ∑ (1 − Fτ −1 )rτ∗ = 0.401 τ =1
π 5c = e − ( 0.380) ( 0.010 ) = 0.006838614
1
∑ rt
( rt − r )+ = e− r ( r1 − r )+
τ =1
1
= e − r1 ( r1 − r )+ = e −0.060 ( 0 ) = 0
π 6c = e −( 0.465) ( 0.005 ) = 0.003140676 π 7c = e −( 0.535) ( 0 ) = 0
π 2c = e −( r + r ) ( r2 − r )+ = e − ( 0.060 + 0.065) ( 0 ) = 0
π 8c = e − ( 0.610) ( 0 ) = 0
π 3c = e −( 0.205) ( 0 ) = 0
π 9c = e −( 0.700) ( 0.010 ) = 0.004965853
1
2
π 4c = e − ( 0.290) ( 0.005 ) = 0.003741318
π 10c = e − ( 0.795) ( 0.015 ) = 0.006773719
Maka interest rate cap: 10
π = ∑ π tc (1 − Ft ) t =1
= π 1c (1 − F1 ) + π 2c (1 − F2 ) + .......... + π 10c (1 − F10 ) = 0 (1 − 0.100 ) + 0 (1 − 0.200 ) + 0 (1 − 0.300 ) + 0.003741318 (1 − 0.400 ) + 0.006838614 (1 − 0.500 )
+0.003140676 (1 − 0.600 ) + 0 (1 − 0.700 ) + 0(1 − 0.800) + 0.004965853 (1 − 0.900 ) + 0.006773719 (1 − 1.000 ) = 0.007417
.
Bila dinyatakan dalam persen, maka besarnya harga interest rate cap adalah sebesar 0.7417% dari besarnya dana yang dipinjam .
