STERRENKUNDE ASTROFYSICA (Stellar Structure and Evolution)

STERRENKUNDE ASTROFYSICA (Stellar Structure and Evolution) Conny Aerts Katholieke Universiteit Leuven Universiteit Hasselt Bachelor Wetenschappen Master Sterrenkunde

Inhoudsopgave

1

Ten geleide

xi

DEEL I: INLEIDING TOT DE STERRENKUNDE

1

Observationele omkadering van sterrenkunde

1

1.1

Magnituden en kleurindices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Spectrale typen en luminositeitsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

De vorming van spectraallijnen in het sterspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Spectrale typen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Luminositeitsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4

Steratmosfeermodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3

Het Hertzsprung-Russell diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4

Sterren in onze Melkweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5

Melkwegstelsels in het Heelal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6

Vervolg van de cursus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

DEEL II: STERSTRUCTUUR

25

iii

2

Een eenvoudige toestandsfunctie: het ideaal gas met straling 2.1

2.2

3

Inleiding tot de thermodynamica, toegepast op sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1

Thermodynamisch evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2

De eerste wet van de thermodynamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3

De entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.4

De soortelijke warmten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Het ideaal gas met straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1

Het klassiek ideaal gas in sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2

Het gemiddeld moleculair gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.3

De inwendige energie van een ideaal gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.4

De bijdrage van het fotonengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

De mechanische basisvergelijkingen die de sterstructuur beschrijven 3.1

25

39

Co¨ordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1

Euleriaanse beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2

Lagrangiaanse beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2

De vergelijking van Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3

Behoud van impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4

3.3.1

Hydrostatisch evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2

Eenvoudige oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.3

De bewegingsvergelijking in het geval van sferische symmetrie . . . . . . . . . . . 46

Behoud van energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.1

Het viriaaltheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4

5

Energiebehoud in sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.3

De verschillende tijdschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Additionele relevante toestandsfuncties

55

4.1

Polytropen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2

Het ontaard elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3

De limietmassa van Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4

Schematische weergave van de relevante toestandsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Energietransport 5.1

67

Transport door straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.1.1

Gemiddelde vrije weglengte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.2

De temperatuursgradi¨ent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.3

De diffusiebenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.4

Het Rosseland gemiddelde van de opaciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2

Transport door conductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3

Stabiliteitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4

6

3.4.2

5.3.1

Dynamische instabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3.2

Vibrationele instabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Transport door convectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

De chemische samenstelling van de materie

85

6.1

De relatieve massa abondanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2

Variaties van de chemische samenstelling van sterren tijdens hun leven . . . . . . . . . . . . 86

7

Variatie door kernreacties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2.2

Variatie ten gevolge van convectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3

Werkzame doorsneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.4

Verbrandingsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4.1

Basisbegrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4.2

Big Bang nucleosynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.4.3

Waterstofverbranding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4.4

Heliumverbranding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4.5

Verbranding van de zwaardere elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Numerieke bepaling van de sterstructuur

101

7.1

Het volledige stel basisvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2

Tijdschalen en vereenvoudigingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.3

Randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.4

8

6.2.1

7.3.1

Centrale randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.3.2

Randvoorwaarden voor het oppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Een numerieke oplossingsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

DEEL III: STEREVOLUTIE

115

Stervorming

115

8.1

Het interstellair medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2

Het Jeanscriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.3

Fragmentatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9

8.4

De vorming van een protoster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.5

Hayashisporen in het HR diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.6

Evolutie van de protoster naar de nulhoofdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

De hoofdreeks

131

9.1

De nulhoofdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.2

De massa-lichtkracht relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.3

Chemische evolutie op de hoofdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10 Evolutie van een ster met 9 M⊙

< ∼

M

< ∼

15 M⊙

145

10.1 De “Hertzsprung gap” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.2 Heliumverbranding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.3 Latere evolutiefasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.4 Verbrandingscycli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.5 Explosieve versus niet-explosieve evolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.6 Neutronensterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.6.1 Supernova explosie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.6.2 De neutrinoflux en het r-proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.6.3 Pulsars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11 Evolutie van een ster met M

< ∼

9 M⊙

163

11.1 Post-hoofdreeks evolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11.2 De heliumflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.3 Evolutie na de heliumflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

11.4 AGB sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.5 Thermische pulsen, Hot Bottom Burning en 3de dredge-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 11.6 Het s-proces in AGB sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.7 Post-AGB sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.8 Witte dwergen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

12 Evolutie van een ster met M

> ∼

15 M⊙

183

12.1 De spectra van hete zware sterren met massaverlies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.2 Basiseigenschappen van stralingsgedreven sterrenwinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 12.3 Massaverlies en terminale windsnelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.3.1 Thomsonverstrooiing in de sterrenwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.3.2 LBVs, WR sterren en de Eddington limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 12.3.3 Een realistische beschrijving van een lijngedreven sterrenwind: het CAK-model . . . 195 12.4 De gevolgen van massaverlies op de evolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.5 Voorbeeld: de evolutie van een ster met initi¨ele massa 60 M⊙ . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 12.6 Zwarte gaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 12.7 Chemische evolutie van melkwegstelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 12.7.1 Chemische verrijking door sterevolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 12.7.2 Initi¨ele massafunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 12.7.3 Globale verrijking van het Heelal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A De stralingswetten van Planck

211

B Energietransport door convectie

215

C Waarden van fysische en astronomische constanten

219

D Wetenschappelijke bronnen voor dit vakgebied

221

ix

x

Ten geleide In de studie van het Heelal spelen de sterren de hoofdrol. Zij sturen de evolutie van het Heelal. Zij zijn het immers die verantwoordelijk zijn voor de productie van zo goed als alle chemische elementen. Alle sterren dragen hun steentje bij tot de chemische verrijking van hun melkwegstelsel, en zodoende ook van het Heelal zelf. Zij doen dat tijdens hun leven dankzij hun sterrenwind, die de producten van de nucleosynthese tot bij het interstellair midden voert, en de zwaarsten onder hen ook aan het eind van hun leven wanneer ze als supernova exploderen. Het is dank zij deze chemische verrijking dat het leven op Aarde zich heeft kunnen ontwikkelen. De bepaling van afstanden in het Heelal steunt in eerste instantie evenzeer op onze kennis van de sterren. Dit geldt ook voor de leeftijdsbepalingen van het Heelal. We kunnen niet anders dan vaststellen dat de modellen van de sterstructuur en sterevolutie een sleutelrol spelen in de meeste onderwerpen van de moderne astrofysica. Het is dan ook gepast en gewenst om een inleidend college sterrenkunde te laten handelen over de individuele bouwstenen van het Heelal, nl. de sterren. Hierbij werd bewust gekozen om geen beschrijvend informatiecollege te geven dat alle deeltakken van de sterrenkunde bedekt, zoals de studie van planeten, van het interstellair midden, van melkwegen, van kosmologie. Dit zou slechts toelaten enkel tipjes van de sluiers op te lichten voor elk van deze vele deeltakken. De ge¨ınteresseerde Leuvense student kan voor zulk type overzicht terecht bij de keuzeleergang Wetenschap van de Kosmos. ⋆ ⋆

⋆

De berekeningen van sterevolutiemodellen steunen op kennis van de fysische eigenschappen van de materie in sterren. Door de berekende modellen te confronteren met de waarnemingen zijn we in staat om de gebruikte fysica te toetsen. Dit is de enige mogelijke toetsing, omdat de toestand in sterinwendigen zodanig extreme vormen aanneemt wat temperatuur, dichtheid en druk betreft, dat het onmogelijk is om laboratoriumtesten uit te voeren onder de gepaste omstandigheden. De structuur en evolutie van sterren worden vooral bepaald door de microscopische eigenschappen van het stermateriaal, meer bepaald de toestandsvergelijking van de materie, het energietransport en de kernreacties. De toestandsvergelijking bepaalt relaties tussen de verschillende thermodynamische eigenschappen zoals de temperatuur, de dichtheid en de druk van het gas waaruit de ster bestaat. Deze toestandsvergelijking is voor het sterinwendige uiterst eenvoudig vermits de hoge temperaturen die er heersen impliceren xi

dat de materie er veelal volledig ge¨ıoniseerd is. Er treden echter complicaties op, bijvoorbeeld omdat het stergas nog slechts partieel ge¨ıoniseerd is in de lagen nabij het steroppervlak. Hierdoor dienen we rekening te houden met de ionisatiegraad in deze regionen. Deze ionisatiegraad hangt af van de interactie tussen de verschillende gascomponenten. In de steratmosferen van koele sterren treden naast neutrale atomen ook moleculen op, en zij be¨ınvloeden de toestandsvergelijking. Anderzijds loopt de temperatuur in de kern van ge¨evolueerde massieve sterren zodanig hoog op dat energieverlies door de productie van neutrino’s in rekening dient gebracht te worden. Eveneens kan de dichtheid zodanig oplopen dat de eigenschappen van het gas gedomineerd zullen worden door ontaarde elektronen of neutronen waardoor de ideale gaswet niet meer van toepassing is. Een zeer gedetailleerde beschrijving van de fysische toestand van sterinwendigen vereist diepgaande studie. Gelukkig is het mogelijk om een goede beschrijving van de theorie van sterstructuur en sterevolutie op te stellen en te interpreteren zonder op al te veel details te moeten ingaan. De hier behandelde theorie is elegant, heeft een indrukwekkende sterkte en combineert vele takken van de wis-, natuur- en scheikunde. Bovendien is deze theorie in staat om te voorspellen hoe de complexe interne sterstructuur verandert tijdens het leven van de ster en wat het ultieme levenseinde van de ster zal zijn: een witte dwerg, een neutronenster of een zwart gat. ⋆ ⋆

⋆

Het huidig college Sterrenkunde / Astrofysica heeft als doel een stimulerende inleiding over de fysica van sterren te geven aan studenten in de Wetenschappen of Ingenieurswetenschappen, zodat zij leren begrijpen hoe sterren ontstaan, leven en sterven, en wat het gevolg van deze cyclus is voor de evolutie van melkwegstelsels en het Heelal. Daar waar de inleidende bachelorcolleges fysica misschien de indruk hebben gewekt dat dit studiedomein is opgebouwd uit verscheidene losstaande deeltakken, zoals mechanica, thermodynamica, kernfysica, quantummechanica, . . . , komen deze onderdelen mooi en op natuurlijke wijze samen in dit college sterrenkunde. Dit college is dan ook bedoeld voor studenten die reeds basiskennis in wis- en natuurkunde hebben verworven, maar niet noodzakelijk voorkennis in sterrenkunde hebben. Er werd daarom getracht om specifiek vakjargon tot een minimum te beperken en een college samen te stellen voor alle studenten Wetenschappen en Ingenieurswetenschappen, ook diegenen die niet noodzakelijk een diepgaande specialisatie in de astrofysica nastreven. Dit college vormt tegelijkertijd de ideale voorbereiding op de Leuvense Masteropleiding Sterrenkunde, en valt dan ook, op een toepassing van Hoofdstuk 7 na, samen met het mastervak “Stellar Structure and Evolution”. Conny Aerts, februari 2011.

xii

DEEL I: INLEIDING TOT DE STERRENKUNDE

xiii

Hoofdstuk 1

Observationele omkadering van sterrenkunde Alle informatie die we over de sterren en andere hemellichamen hebben vergaard, werd afgeleid uit waarnemingen van hun electromagnetisch spectrum. De hoeveelheid licht uitgestraald door een ster wordt vooral bepaald door de grootte van haar oppervlak, haar temperatuur en haar chemische samenstelling aan het oppervlak. Het komt er dan ook op aan dit sterlicht te decoderen om informatie af te leiden die niet direct waarneembaar is, zoals de stellaire massa, leeftijd, inwendige temperatuur, druk, chemische samenstelling, ... De helderheid of luminositeit L van een object is de hoeveelheid energie die het per seconde uitstraalt. Deze grootheid is een cruciale parameter voor het leven van een ster, evenals haar massa M . Geen van beide grootheden kunnen wij rechtstreeks meten. De hoeveelheid energie afkomstig van een ster die wij kunnen meten met een instrument, hangt nl. af van de afstand d tussen de ster en de waarnemer. Het is daarom duidelijk dat afstandsbepaling een belangrijk onderdeel is van de observationele sterrenkunde. Vaak zullen wij aannemen dat sterren in goede benadering zwarte stralers zijn, die voldoen aan de stralingswetten van Planck. Voor een korte beschrijving van deze wetten, en hun interpretatie, verwijzen we naar Bijlage A. Het verband tussen de temperatuur, de lichkracht en de straal wordt voor een zwarte straler gegeven door de wet van Stefan-Boltzman: L = 4πσR2 T 4 ,

(1.1)

met σ een constante gedefinieerd als 2π 5 k 4 /15c2 h3 met k de constante van Boltzman, h de constante van Planck en c de lichtsnelheid. De effectieve temperatuur van een ster wordt dan gedefinieerd door een ster met straal R en lichtkracht L te vergelijken met een bolvormige zwarte straler die een straal heeft gelijk aan 4 . De effectieve temperatuur is zodoende een maat voor de temperatuur die heerst in de R: L = 4πR2 σTeff fotosfeer van de ster. Dit is het gebied aan de buitenkant van de ster waaruit de straling ontsnapt. De Zon heeft een effectieve temperatuur van ≃ 5780 K. Een belangrijke eigenschap die we uit de stralingswetten van Planck kunnen afleiden is de verplaat1

singswet van Wien. Deze stelt dat de golflengte waarbij de maximale flux wordt uitgestraald volledig bepaald wordt door de temperatuur van het stralend lichaam, volgens λmax = (2.9/T )mm, waarbij de temperatuur in Kelvin dient uitgedrukt te worden. Hieruit volgt onmiddellijk dat de Zon maximaal straalt rond 500 nm. Mensen en planeten stralen in het infrarood bij golflengten rond 10µm, koud interstellair stof straalt vooral bij golflengten van submm en mm. De sterren hebben een bereik in effectieve temperatuur van ruwweg 3000 tot 50 000 K. Zij stralen zodoende vooral in het UV en visueel licht.

1.1 Magnituden en kleurindices Een systeem van magnituden is een logaritmische schaal verbonden met de hoeveelheid stralingsenergie die van een sterrenkundige bron ontvangen wordt. Wanneer we twee bronnen beschouwen dan wordt het verschil in magnitude van bron 2 t.o.v. die van bron 1 gegeven door m2 − m1 = −2.5 log

S2 , S1

(1.2)

waarbij S de hoeveelheid ontvangen stralingsenergie per eenheid van tijd is. Uit deze betrekking leiden we af dat, indien we van bron 2 meer energie ontvangen dan van bron 1, de magnitude van bron 2 lager is dan de magnitude van bron 1. Het invoeren van de magnitude stamt af van de Griekse sterrenkundige Hipparchos. In de 2de eeuw voor Christus heeft Hipparchos alle sterren die voor hem zichtbaar waren met het blote oog ingedeeld in zes klassen, waarbij hij de helderste sterren klasse 1 toekende en de zwakste sterren klasse 6. Pas vorige eeuw heeft men dan de meer wiskundige definitie (1.2) ingevoerd en ervoor gezorgd dat deze zo goed als mogelijk aansloot bij de classificatie van Hipparchos. Hiervoor diende men het nulpunt van de magnitudeschaal op een welbepaalde manier vast te leggen. Herschrijven we (1.2) als m = (m1 + 2.5 log S1 ) − 2.5 log S = C − 2.5 log S,

(1.3)

dan komt het vastleggen van de constante C neer op het bepalen van het nulpunt van de magnitudeschaal. Een ander aspect dat van belang is, is het golflengtegebied waarop het magnitudesysteem betrekking heeft. Een eerste extreme mogelijkheid is de bolometrische magnitude mbol . Deze is de magnitude van het object wanneer alle golflengten van het elektromagnetisch spectrum in rekening gebracht worden. Anderzijds is er de andere extreme mogelijkheid van monochromatische magnitude mλ waarbij men de magnitude bij slechts e´ e´ n bepaalde golflengte λ beschouwt. In de praktijk gebruiken we noch bolometrische noch monochromatische magnituden, maar magnituden die betrekking hebben op een beperkt gebied van golflengten. Dit gebied moet dan worden gespecifieerd. De hoeveelheid ontvangen stralingsenergie S die optreedt in definitie (1.3) kan als volgt omschreven worden. Definieer Sλ als de hoeveelheid stralingsenergie die een waarnemer ontvangt bij golflengte λ door continu¨umstraling (zie verder). Een fractie ηλ van de straling wordt opgeslorpt door de absorptielijnen. De ontvangen straling bij golflengte λ bedraagt dan Sλ (1 − ηλ ). Stel de gevoeligheid en de effici¨entie van het 2

meettoestel om de stralingsenergie te meten voor door de functie ϕ(λ). We kunnen dan de hoeveelheid ontvangen stralingsenergie voorstellen als S=

Z

∞

0

Sλ (1 − ηλ )ϕ(λ)dλ.

(1.4)

Als standaardsysteem voor het bepalen van magnituden gebruikt men het door Johnson en Morgan ontwikkelde U BV systeem. Het verloop van de functies ϕU (λ), ϕB (λ), ϕV (λ) wordt bepaald door de gebruikte golflengtefilters. De functies hebben een maximum bij respectievelijk de golflengten 365, 440 en 548 nm. De definitie voor de visuele magnitude kan nu als volgt voluit geschreven worden: mV = CV − 2.5 log

Z

∞

Sλ (1 − ηλ )ϕV (λ)dλ,

0

(1.5)

waarbij de constante CV zo bepaald wordt dat de visuele magnitude zo goed mogelijk aansluit met de magnitudeklassen ingevoerd door Hipparchos. Analoog aan (1.5) kan men de U − en B−magnituden defini¨eren. Het nulpunt van de magnitudeschaal werd zodanig gekozen dat mU = mB = mV = 0 voor de ster Wega. Zij heeft een spectraal type A0V (zie verder voor de definitie). Wanneer de magnituden gecorrigeerd zijn voor interstellaire absorptie en extinctie ten gevolge van de dampkring van de Aarde, dan wordt de magnitude bepaald door de hoeveelheid stralingsenergie die een bron per tijdseenheid uitzendt en de afstand van de bron tot de waarnemer. Om de invloed van de verschillen in afstand uit te schakelen plaatst men de bronnen fictief op een gelijke afstand van de Zon. Wanneer de bronnen zich op gelijke afstand bevinden zijn de verschillen in magnitude namelijk enkel bepaald door verschillen in de hoeveelheid stralingsenergie. Deze redenering ligt aan de basis van het invoeren van een absolute magnitudeschaal. Voor een bolvormige ster kan men het product Sλ (1 − ηλ ) in (1.4) als volgt verbinden met de buitenwaartse stralingsflux Fλ+ : 4πR2 Fλ+ = 4πd2 Sλ (1 − ηλ ),

(1.6)

waarbij d de afstand van de waarnemer voorstelt en R de sterstraal. Aldus hebben we Sλ (1 − ηλ ) =

µ

R d

¶2

Fλ+ .

(1.7)

De uitdrukking voor wat we vanaf nu de schijnbare magnitude noemen wordt dan m = C − 2.5 log

"µ

R d

¶2 Z

0

∞

Fλ+ ϕ(λ)dλ

#

.

(1.8)

De schijnbare magnitude wordt dus niet alleen bepaald door de hoeveelheid uitgestraalde energie maar evenzeer door de afstand van de ster tot de waarnemer. We voeren nu de absolute magnitude M van een ster in. Dit is de schijnbare magnitude die de ster zou hebben indien ze zich op een afstand van 10 parsec van de Zon zou bevinden. Het verschil tussen de absolute en schijnbare magnitude is dan 10pc M − m = 2.5 log d µ

3

¶2

.

(1.9)

Dit kunnen we ook schrijven als M = m + 5 − 5 log dpc ,

(1.10)

waarbij dpc de afstand in parsec voorstelt. Een parsec is ongeveer 3,26 lichtjaar, wat overeenkomt met 3 × 1013 km. Het verschil m − M noemt men de afstandsmodulus. Tenslotte voeren we het begrip kleurindex in. Kleurindices van sterren zijn verschillen tussen magnituden van dezelfde ster. Met de drie magnituden U, B, V worden twee veel gebruikte kleurindices geconstrueerd: U − B en B − V . Door betrekking (1.10) toe te passen op twee verschillende magnituden van eenzelfde ster en lid aan lid af te trekken bekomen we M2 − M1 = m2 − m1 .

(1.11)

Het verschil in schijnbare magnitude is een grootheid die gemakkelijk kan gemeten worden. De kleurindices zijn zodoende een maat voor een intrinsieke eigenschap van de ster. De index B − V is een goede maat voor de effectieve temperatuur van de ster.

1.2 Spectrale typen en luminositeitsklassen In figuur 1.1 tonen we de sterflux als functie van de golflengte λ voor verschillende soorten sterren. Deze werden geordend van koud bovenaan naar heet onderaan. De heetste sterren zijn blauw en hun spectrum vertoont absorptielijnen van ge¨ıoniseerde atomen. Koude sterren, daarentegen, stralen vooral sterk bij rode golflengten en vertonen absorptielijnen van neutrale atomen en moleculen.

1.2.1

De vorming van spectraallijnen in het sterspectrum

Spectra van astronomische objecten vertonen continua met daarop gesuperponeerd spectraallijnen. Deze laatsten kunnen zowel in absorptie als in emissie voorkomen ten opzichte van het lokale continu¨um. We bespreken nu kort de vorming van continua en spectraallijnen. Voor een uitgebreidere beschrijving ervan verwijzen we naar de cursussen Radiative Processes in Astronomy en Stellar Atmospheres gedoceerd in de Leuvense Master Sterrenkunde.

Spectraallijnen Spectraallijnen zijn het gevolg van discrete energieovergangen zoals de sprongen tussen gebonden niveaus van een electron in een atoom. Men spreekt van gebonden-gebonden overgangen of nog bb-overgangen (van “bound-bound”). Excitatie naar een bovenliggend niveau kan enerzijds geschieden door opname van kinetische energie (botsingsexcitatie) of anderzijds door de absorptie van een foton (stralingsexcitatie). Analoog kan de¨excitatie naar een lager gelegen niveau veroorzaakt worden door een botsing (botsingsde¨excitatie) of door emissie van een foton (stralingsde¨excitatie). 4

Figuur 1.1: Optische stellaire spectra van hoofdreekssterren met ongeveer dezelfde chemische samenstelling maar met stijgende effectieve temperatuur van boven naar onder.

5

De energieuitwisseling die hoort bij een bb-overgang houdt steeds verband met een energieverschil hν = △Emn , waarbij △Emn = Em − En het energieverschil is tussen de niveaus m en n (m > n). De betrokken fotonen hebben de bijhorende specifieke golflengte λ = hc/△Emn . Spectraallijnen hangen altijd samen met discrete bb-processen. Het is echter niet zo dat emissielijnen steeds het gevolg zijn van stralingsde¨excitatie of dat absorptielijnen altijd veroorzaakt worden door stralingsexcitatie. De oorzaak van de spectraallijn hangt steeds af van het stralingstransport doorheen het medium. Spectraallijnen zijn in het algemeen het gevolg van extra bb-processen die op de specifieke lijngolflengte in het medium kunnen optreden, naast de processen die het continue spectrum op die golflengte veroorzaken.

Continua Continua zijn het gevolg van niet-discrete processen waarbij fotonen worden geabsorbeerd of ge¨emitteerd. Men heeft allereerst gebonden-vrij overgangen (of ook bf-overgangen – van “bound-free”) van atomen en ionen. Een electron wordt bijvoorbeeld vrijgemaakt uit een gebonden toestand n, door de absorptie van een foton met een energie groter of gelijk aan de ionisatie-energie △E∞n = E∞ − En vanuit dat niveau. In dat geval spreekt men van stralingsionisatie. Invanging van een vrij electron kan leiden tot een gebonden toestand. Hierbij wordt dan een foton uitgezonden (emissie) met een energie groter of gelijk aan △E∞n . Men spreekt in dit geval van stralingsrecombinatie. Ionisatie en recombinatie kunnen tevens gebeuren door opname of afgifte van kinetische energie zonder dat er fotonen bij te pas komen. Men spreekt in deze gevallen van botsingsionisatie en botsingsrecombinatie. De vrije toestanden van de electronen boven de ionisatiegrens zijn niet discreet omdat het vrije electron een willekeurig grote kinetische energie me v 2 /2 kan hebben, m.a.w. hν = △E∞n + me v 2 /2. Gebonden-gebonden excitatie en de¨excitatie evenals gebonden-vrij ionisatie en recombinatie kunnen geschieden door zowel opnemen dan wel vrijmaken van stralingsenergie in de vorm van fotonen als door opnemen dan wel vrijmaken van kinetische energie door een deeltjesbotsing. Verder treden ook vrij-vrij overgangen (of ff van “free-free”) op. Men spreekt ook wel eens van remstraling. Dit is emissie of absorptie van fotonen ten gevolge van de versnelling of vertraging van een geladen deeltje in een Coulombveld, bijvoorbeeld bij een botsing tussen een ion en een electron.

Fotoncreatie, fotondestructie, fotonverstrooiing We kunnen de bb-processen in drie paren samennemen : 1. botsingsexcitatie gevolgd door stralingsde¨excitatie. Dit resulteert in de creatie van een foton. Er wordt in dit geval dus kinetische energie omgezet in straling. 2. stralingsexcitatie gevolgd door botsingde¨excitatie. Dit geeft aanleiding tot de destructie van een foton; straling wordt in dit geval omgezet in kinetische energie. 6

3. stralingsexcitatie gevolgd door stralingsde¨excitatie. Men spreekt van verstrooiing van het foton. Er gebeurt in dit geval enkel een herverdeling van straling. Bij fotonverstrooiing verandert minstens de richting tussen het inkomend en het verstrooid foton. Voor de lagere atomaire niveaus is fotonverstrooiing een belangrijk proces omdat de vervaltijd voor stralingsde¨excitatie bijzonder kort is voor deze lage niveaus (typisch 10−10 − 10−9 seconden). Wanneer er een lijnovergang door verstrooiing vanuit de grondtoestand optreedt, spreekt men van een resonantielijn. Het verstrooiingsproces wordt in dit geval aangeduid als resonante verstrooiing. Resonantielijnen representeren de laagst mogelijke energietransities vanuit de grondtoestand. Ze hebben bijgevolg een zeer korte levensduur, waardoor ze zeer veel kunnen voorkomen, zowel bij hoge als bij lage dichtheden (er bestaat altijd een zeer groot reservoir aan electronen in de grondtoestand die zitten wachten tot er een foton komt dat hen toelaat om een lijnovergang op basis van fotonverstrooiing te maken).

1.2.2

Spectrale typen

Sinds de opkomst van de spectrografie tijdens de tweede helft van de 19de eeuw, zijn sterrenkundigen de sterren gaan indelen in klassen volgens de sterkte van hun Balmerlijnen. Dit zijn de absorptielijnen van neutraal waterstof (HI, zie figuur 1.2) 1 . Zo definieerde men de A sterren als diegenen met de sterkste Balmerlijnen, B sterren komen op de 2de plaats wat de sterkte van deze lijnen betreft en zo verder. Aan het eind van de 19de eeuw besefte de astronome Antonia Maury te Harvard dat de sterkte van alle spectraallijnen, niet alleen de Balmerlijnen, een mooie sequens volgde wanneer zij de klassen ordende volgens O B A F G K M. Dit wordt ge¨ıllustreerd in figuur 1.3. Op basis hiervan werd de eerste grootschalige sterspectrumclassificatie doorgevoerd aan Harvard College Observatory. Dit gebeurde dankzij financi¨ele giften van Mw. Draper, die een mooie eeuwige herinnering wilde aan haar overleden echgenoot. Henry Draper was de eerste die ooit een sterspectrum fotografeerde. De classificatie werd doorgevoerd tussen 1886 en 1924 onder leiding van Annie Cannon2 . Bijna 240 000 sterren werden opgenomen in de Henry Draper Catalogue (in ruil voor 250 000 dollar van Mw. Draper). Tegenwoordig zijn dat er 400 000 als we ook het supplement van de cataloog beschouwen. Vandaag de dag weten we dat de sequens van Maury er e´ e´ n is van dalende effectieve temperatuur en dat de lijnsterkte in de spectra bepaald wordt door de ionisatiewet van Saha en de Boltzmann waarschijnlijkheidsverdeling. Deze uiterst belangrijke interpretatie werd gedaan door Cecilia Payne-Gaposhkin (1925)3 1 In de sterrenkunde schrijven we de ionen niet zoals in de fysica of in de scheikunde. Bijvoorbeeld, wanneer wij spreken van “ijzer vier”, dan bedoelen we het spectrum van een Fe3+ deeltje, en noteren dit als Fe IV. HI betekent dus het spectrum van neutraal waterstof. 2 Het valt op te merken dat vrouwen niet toegelaten werden om zich te verdiepen in sterrenkunde, tenzij als hobby. Dit totdat classificatie van tienduizenden sterren diende doorgevoerd te worden. De idee en het plan om deze classificatie door te voeren waren niet alleen het werk van vrouwen, maar de uitvoering ervan vergde tevens zulk geduldig werk, tegen zeer lage wedde, dat de directeur Edward Pickering van het Harvard College geen mannen vond die bereid waren deze taak op zich te nemen. Zodoende deden vrouwen hun intrede in de hedendaagse professionele sterrenkunde tijdens de eerste helft van de 20ste eeuw. 3 Cecilia volgde een opleiding sterrenkunde te Cambridge, UK, bij Sir Arthur Eddington. Eddington vond echter dat vrouwen niet geschikt waren voor onderzoek in de sterrenkunde. Gebeten als ze was door de sterrenkunde-microbe, en verontwaardigd door de houding van Eddington, vertrok Cecilia dan maar naar Harvard, waar ze wel welkom was om haar werk verder te zetten. Ze

7

Figuur 1.2: Energieniveaus voor het waterstofatoom. De gebonden niveaus benaderen de ionisatiegrens bij 13.598 eV. Voor elk van de vier eerste waterstofniveaus worden de gebonden toestanden aangeduid door verticale lijnen met hun naam en golflengte van de overeenkomende spectraallijn. De limiet van elke reeks is eveneens aangeduid. De Lyman lijnen bevinden zich in het UV, de Balmerlijnen in het visuele en de Paschen en Bracket lijnen in het infrarood.

8

Figuur 1.3: De spectrale sequens van Harvard. Deze voorbeeldspectra zijn afgedrukt zodanig dat de absorptielijnen donker zijn op de heldere achtergrond van de continuumstraling van de ster. De golflengtes worden, ˚ ˚ 0.1 nm = 10−8 cm). De helderste zoals de gewoonte is in de sterrenkunde, uitgedrukt in Angstrom (1 A= delen in het spectrum schuiven op van de vroeg-type sterren (O en B) naar de laat-type sterren (GKM).

9

in haar doctoraatswerk. Zij toonde tegelijkertijd aan dat de sterren vooral bestaan uit waterstof (∼ 70%), helium (∼ 28%) en verder slechts voor ∼ 2% uit zwaardere elementen (ook kortweg metalen genoemd)4 . Elk van de zeven klassen werd vervolgens nog ingedeeld in tien subklassen, van 0 voor de heetste tot 9 voor de koelste ster binnen een klasse. Dit schema is vandaag de dag nog steeds in gebruik (zodat Mw. Draper tevreden mag zijn). De Zon is een ster van spectraal type G2. Vrij recent werd nog een klasse L toegevoegd voor zeer koele sterren die ontdekt werden door infrarode waarnemingen. Men spreekt vaak van vroeg-type sterren voor de eerste paar klassen van hete sterren (OBA), en laat-type sterren voor klassen aan het eind van de classificatiereeks (GKML). De effectieve temperatuur van O sterren is hoger dan 30 000 K. Hun sterkste spectraallijnen zijn diegene van e´ e´ nmaal ge¨ıoniseerd helium (He II lijnen) en tweemaal ge¨ıoniseerd helium koolstof (CIII). Hun Balmerlijnen zijn zwak omdat bijna al het waterstof in de fotosfeer volledig ge¨ıoniseerd is bij zulke hoge temperatuur. De spectra van B sterren hebben wel sterke Balmerlijnen en tevens sterke lijnen van neutraal helium (HeI), hun temperatuur ligt tussen 12 000 en 25 000 K van B9 tot B0. De A sterren hebben temperaturen rond 10 000 K en zijn koud genoeg om het waterstof in hun fotosfeer neutraal te houden. Naast heel sterke Balmerlijnen hebben zij ook vele lijnen van e´ e´ nmaal ge¨ıoniseerde metalen, zoals calcium. Wat ook onmiddellijk opvalt in hun spectra is de zogenaamde Balmersprong bij ˚ zie figuur 1.2). 365 nm (3646A, F sterren hebben zwakkere Balmerlijnen dan A sterren. In hun spectrum beginnen zich lijnen van neutrale metalen te vertonen. In G sterren zoals de Zon trekken de e´ e´ nmaal ge¨ıoniseerde calciumlijnen ˚ de aandacht. Deze werden reeds in 1815 ontdekt door Fraunhofer. Hij gaf alle lijnen die (CaII) bij 4300A hij kon ontdekken in het zonnespectrum een label, van A tot K van rode tot blauwe golflengten. De sterkste calcium lijnen noemt men zodoende ook nu nog de H en K lijn. De D lijn van neutraal natrium (NaI) valt ook op in G sterren. In de spectra van K sterren zien we vooral lijnen van neutrale metalen en van moleculen zoals TiO (titanium-oxide). M sterren zijn doorgaans kouder dan 4 000 K aan hun oppervlak waardoor we diepe absorptiebanden van TiO en VO (vanadium oxide) zien, alsook lijnen van neutrale metalen. In de nog koelere L sterren vallen vooral de natrium D lijnen op, die er brede moleculaire banden veroorzaken.

1.2.3

Luminositeitsklassen

De lijnen in een sterspectrum geven ons niet alleen informatie over de effectieve temperatuur en chemische samenstelling, maar ook over de waarde van de oppervlaktegraviteit. Deze grootheid is niets anders dan de deed dit met glans. 4 Hoewel men in andere wetenschapstakken koolstof, zuurstof, stikstof, . . . niet zou groeperen onder de naam “metalen”, is dat in de sterrenkunde toch erg zinvol. Dat komt omdat waterstof en helium (en een beetje lithium) gevormd werden binnen het half uur na de Big Bang, terwijl alle andere elementen nadien pas ontstaan zijn door nucleosynthese in sterinwendigen.

10

Figuur 1.4: Optische stellaire spectra van drie sterren van spectraal type A, maar behorende tot een verschillende luminositeitsklasse. gravitatieversnelling aan het oppervlak van de ster, nl. g ≡ GM/R2 met M de stermassa5 . Meestal gebruikt men in de sterrenkunde de logaritme van de graviteit, en drukt men ze uit in cgs eenheden eerder dan SI eenheden6 . Dit levert waarden voor log g tussen 1 en 5 voor de meeste sterren, en log g van 6 tot 8 voor compacte stellaire resten. In figuur 1.4 tonen we de spectra van drie A sterren. De bovenste ster is een dwergster, zoals de Zon, de middelste ster is een reus en de onderste een superreus. Hun log g neemt dus af van boven naar onder omdat de straal fel toeneemt in die richting. Dus de dwergster is veel compacter dan de reus en superreus. Zodoende zitten de atomen in die ster veel meer opeengepakt dan in de reus en superreus. Dit heeft een effect op de spectraallijnen omdat zij onderhevig zijn aan het Stark drukverbredingseffect. Dit komt erop neer dat de breedte van een spectraallijn bij eenzelfde temperatuur vooral een functie is van de druk die de atomen, verantwoordelijk voor de lijn, ondervinden. Men deelt daarom de sterren niet alleen in in klassen volgens de temperatuur, maar evenzeer volgens hun graviteit. De meeste sterren zijn dwergsterren zoals de Zon. Dat men ze dwerg noemt, is nogal misleidend want de heetste dwergen zijn echt wel veel groter dan de Zon, met een straal van om en bij 10 R⊙ . Reuzen en superreuzen zijn veel groter, met stralen van respectievelijk een factor 10 tot 100, en een factor 5

Voor de massa en de absolute magnitude van een ster gebruikt men hetzelfde symbool. Uit de context is immers steeds duidelijk om welke grootheid het gaat. 6 In de sterrenkunde worden alle grootheden veelal nog uitgedrukt in het cgs stelsel, deels om historische redenen, deels omdat dit “handige getallen” oplevert voor enkele belangrijke observationele parameters die de sterren karakteriseren. We verwijzen naar Bijlage C voor de waarden van fysische en astronomische constanten, zowel in dit stelsel als in het SI stelsel.

11

100 tot 1000 groter dan die van de Zon. Zij hebben, volgens (1.1), een veel grotere lichkracht dan dwergsterren van dezelfde temperatuur. Bovendien bestaan er ook witte dwergen en dit zijn helemaal geen dwergen zoals de Zon. Het zijn eigenlijk geen sterren meer, maar wel compacte stellaire resten die overblijven aan het eind van de sterevolutie. Dit geldt ook voor neutronensterren. Zij hebben zo’n grote dichtheid dat hun graviteit kan oplopen tot log g tussen 7 en 8 (in cgs). Dat komt omdat hun straal erg klein is, typisch 0.01 R⊙ (i.e. ongeveer een aardstraal) voor een witte dwerg en slechts enkele tientallen km voor een neutronenster. In de praktijk deelt men de sterren in in vijf luminositeitsklassen: V voor dwergen, IV voor subreuzen, III voor normale reuzen, II voor heldere reuzen, I voor superreuzen. Deze laatsten deelt men dan nog op in Ia en Ib volgens hun lichtkracht (Ia grootste L, Ib minder lichtkrachtig). Men voegt dan nog vaak kleine letters toe aan de luminositeitsklasse, op basis van het voorkomen van specifieke kenmerken van de spectraallijnen. Zo worden sterren waarvoor de Balmer lijnen in emissie worden waargenomen aangeduid met de kleine letter “e” toegevoegd aan de luminositeitsklasse, en hete sterren met NIII and HeII lijnen in emissie krijgen een “f” toegevoegd, enz.

1.2.4

Steratmosfeermodellen

In de praktijk schat men de effectieve temperatuur en graviteit van een ster door haar spectrum te vergelijken met dat van andere sterren waarvan men deze grootheid reeds kent. Men maakt daarbij ook gebruik van zogenaamde modelatmosferen. Dit zijn computermodellen die uitrekenen hoe de straling zich voortplant doorheen een steratmosfeer met een gegeven effectieve temperatuur, log g en chemische samenstelling. Men calibreert dan de modelatmosferen aan de hand van sterren waarvan men hoge-kwaliteitsspectra heeft met een groot golflengtebereik, en waarvan men de effectieve temperatuur, graviteit en chemische samenstelling goed kent (zogenaamde standaardsterren of calibratiesterren). Bij wijze van de berekening van modelatmosferen kan men ook een abondantiebepaling doorvoeren. Dit heeft tot doel de hoeveelheid zware elementen af te leiden in de steratmosfeer. Men drukt deze hoeveelheid steeds uit t.o.v. diegene voor de Zon. Abondantiebepaling is van groot belang voor de interpretatie van sterspectra van ge¨evolueerde sterren, zoals duidelijk zal worden in Deel III van de cursus. De interpretatie van gemeten sterspectra komt uitvoerig aan bod in de Leuvense Master colleges Radiative Processes in Astronomy en Stellar Atmospheres.

1.3 Het Hertzsprung-Russell diagram Het Hertzsprung-Russell diagram (HR diagram, genoemd naar de Amerikaanse astronoom Henry Russell en de Deense astronoom Enjar Hertzsprung) geeft een belangrijke statistische relatie voor sterren in de vorm van een diagram. Het diagram wordt aanzien als de weergave van de evolutie van de sterren. Het diagram is daarom het basiskader voor de bespreking van sterevolutie. Een schematische voorstelling van het HR diagram volgens de spectrale types en luminositeitsklassen wordt gegeven in figuur 1.5.

12

Figuur 1.5: Schematische voorstelling van het HR diagram, waarin de absolute visuele magnitude MV wordt uitgezet t.o.v. de kleurindex B − V . De posities van de hoofdreeks, de rode reuzen, de superreuzen en de witte dwergen zijn aangeduid. De Zon is een hoofdreeksster van spectraal type G 2.

13

Russell bestudeerde voor het eerst de relatie tussen het spectraal type en de absolute magnitude MV van de sterren. Hij deed dit door een figuur te construeren waarin hij de absolute magnitude uitzette t.o.v. het spectraal type. Anderzijds merkte Hertzsprung een onderscheid op tussen dwergsterren en reuzensterren voor late spectrale types. Vaak wordt de kleurindex B − V in abscis uitgezet in plaats van het spectraal type. Men spreekt daarom soms ook van het kleur-helderheidsdiagram (zie figuur 1.5). Het gebruik van de kleurindex heeft het voordeel dat deze observabele op een continue manier varieert in tegenstelling tot het spectraal type. Bovendien kan men op die manier veel zwakkere sterren in het diagram plaatsen, vermits men fotometrisch veel zwakkere sterren kan waarnemen dan spectroscopisch. Beschouwen we nu het schematische HR diagram getoond in figuur 1.5. We bemerken dat de sterren niet willekeurig verspreid zijn in het diagram. Bepaalde combinaties van kleurindex en absolute visuele magnitude komen veel frequenter voor dan andere. De grote meerderheid van de sterren behoort tot e´ e´ n van de volgende drie groepen: de hoofdreeks, de groep van rode reuzen en superreuzen, de groep van witte dwergen. De meeste sterren behoren tot de hoofdreeks, die zich uitstrekt van sterren met negatieve absolute visuele magnitude en lage kleurindex (blauwe superreuzen) tot sterren met grote absolute visuele magnitude en hoge kleurindex (rode dwergen). De Zon is een hoofdreeksster van spectraal type G2V met een absolute visuele magnitude MV = 4.79. Vermits de absolute magnitude van een ster slechts gekend is als de visuele magnitude e´ n de afstand ervan gekend zijn, is het bepalen van nauwkeurige afstanden belangrijk om de posities van de sterren in het HR diagram te kunnen afleiden. De satellietmissie HIPPARCOS van de Europese ruimte-organisatie ESA heeft tussen 1989 en 1992 voor zo’n 120 000 sterren in de omgeving van de Zon nauwkeurige afstanden bepaald. Hierdoor hebben de leden van het HIPPARCOS consortium een bijzonder nauwkeurig observationeel HR diagram kunnen opstellen voor de omgeving van de Zon. Wanneer we alle sterren gemeten door HIPPARCOS met een relatieve precisie op een maat voor de afstand beneden 10% beschouwen, bekomen we het HR diagram getoond in figuur 1.6. Hierin valt onmiddellijk een welbepaalde verdeling van de sterren op. De hoofdreeks en de groep van rode reuzen springt in het oog. HIPPARCOS was niet in staat om de afstanden van een groot aantal witte dwergen nauwkeurig te meten. Vandaar dat deze groep sterren niet dicht bevolkt is in het observationeel HIPPARCOS HR diagram. Dit is nog meer het geval voor de OBtype sterren van alle luminositeitsklassen. Deze staan ver van ons weg en hun afstand kan niet nauwkeurig bepaald worden. Een derde vorm van het HR diagram wordt vooral voor overwegingen van sterevolutie gebruikt. Men zet dan de logaritme van de lichtkracht uit t.o.v. de effectieve temperatuur van de ster. In abscis doet men dan de temperatuur toenemen van rechts naar links, terwijl de logaritme van de lichtkracht toeneemt van onder naar boven. Dit diagram werd reeds getoond op de voorpagina van deze cursusnota’s. Het is dit diagram dat wij zullen gebruiken doorheen het college.

1.4 Sterren in onze Melkweg Onze Melkweg is een spiraalstelsel opgebouwd uit een centrale bult met een straal van enkele kpc en een uitgebreide platte schijf, met daarrond een halo van sterclusters (figuur 1.7). De Zon bevindt zich in de 14

Figuur 1.6: Observationeel HR diagram geconstrueerd aan de hand van metingen uitgevoerd door de satelliet HIPPARCOS. Alle sterren waarvan de afstand met een relatieve nauwkeurigheid beter dan 10% gemeten werd, worden getoond.

15

Figuur 1.7: Overzicht van de bestanddelen van onze Melkweg. Voor een verklaring: zie tekst.

16

schijf op zowat 8 kpc van de bult. In de buurt van de Zon vinden we ongeveer e´ e´ n ster per 10 pc3 , dus de ruimte is vrij leeg. Dit interstellair midden bevat veelal gas en stof, wat efficient de sterstraling absorbeert en weer terug uitstraalt. Deze straling leert ons dat het interstellair midden vooral uit H− , H en H2 bestaat. Complexere moleculen, zoals O, HCN en CS komen ook voor. De schijf van de melkweg bestaat uit een dun gedeelte (300 tot 400 pc) waarin zich donkere gas- en stof wolken bevinden en waarin voortdurend nieuwe sterren gevormd worden. Anderzijds is er ook de dikke schijf (1000 tot 1500 pc) waarin stervorming vroeger in de geschiedenis van de melkweg heeft plaatsgehad. De sterren die daar gevormd zijn bevatten beduidend minder metalen. De bult bevat een dichte kern van zware sterren en een zwart gat met een massa rond een miljoen zonsmassa’s. Zowel de schijf en de bult van de melkweg draaien rond. Sterren in de schijf bewegen op circulaire banen met een snelheid van 200 km/s, dus de Zon doet er zo’n 250 miljoen jaar over vooraleer ze een volledige baan heeft voltooid. De sterren in de bult bewegen lukraak met snelheden van enkele tientallen km/s. De sterren in de metaalarme bolvormige sterclusters ondergaan geen globale rotatiebeweging rond de bult in het melkwegcentrum. Hun bewegingen zijn lukraak en hun banen vaak zeer excentrisch zodat ze het grootste gedeelte van de tijd ver boven de schijf doorbrengen maar er af en toe dwars doorheen vliegen. Op dat ogenblik verliezen ze hun gas, wat achterblijft in de schijf. De sterren worden algemeen opgedeeld in twee verschillende populaties, enerzijds volgens hun metaalgehalte en anderzijds volgens hun plaats en beweging in de melkweg (zie figuur 1.7). Populatie I sterren hebben een relatief hoge metalliciteit en zijn geconcentreerd rond het galactisch vlak. Zij volgen de rotatiebeweging van de melkweg. Populatie II sterren, daarentegen, hebben bijzonder lage metalliciteit. Zij bevinden zich op grote afstand van het galactisch vlak en bewegen lukraak in de ruimte. De interpretatie van deze opdeling in populaties is dat populatie II sterren gevormd werden vooraleer het materiaal in de melkweg ingestort is tot een schijf en dat populatie I sterren nadien geboren werden in de schijf. Vermits er een dikke en dunne schijf is, is de opdeling van sterren gevormd in de dikke schijf in termen van slechts twee populaties niet zo eenvoudig. We komen hierop terug aan het eind van de cursus wanneer we de chemische verrijking in melkwegstelsels beschrijven. De totale massa die zich in de melkweg bevindt bedraagt ongeveer 60 × 109 M⊙ en de lichtkracht is ongeveer 20 × 109 L⊙ . De massa in de halo bedraagt slechts 109 M⊙ . Echter, uit de beweging van clusters en sterren ver weg van de melkweg volgt dat de totale massa in onze melkweg veel meer moet zijn dan deze die we vinden op basis van de sterpopulatie. Men spreekt daarom van donkere materie en veronderstelt zonder grondige argumentatie dat deze zich vooral in een donkere halo zou bevinden. De zoektocht naar de ontbrekende donkere materie is een actief onderzoeksgebied in de huidige sterrenkunde. Voor een uitgebreide studie van ons melkwegstelsel verwijzen we naar het Leuvense Mastercollege The Milky Way Galaxy.

17

Figuur 1.8: Classificatieschema van melkwegstelsels. Voor een verklaring: zie tekst.

18

1.5 Melkwegstelsels in het Heelal Melkwegstelsels worden waargenomen als lichtwolkjes aan de hemel. Zij werden ontdekt in de jaren 1920 als “nevels” maar naarmate de telescopen beter in kwaliteit werden kon Edwin Hubble al gauw besluiten dat deze nevels uit individuele sterren bestaan. De diameter van een melkweg bedraagt typisch enkele duizenden lichtjaren. Elke melkweg bevat ruwweg tussen een miljoen en 1012 sterren. Bijna al het licht dat we van melkwegstelsels ontvangen wordt uitgezonden door hun sterren. Daarnaast bevatten melkwegstelsels ook gas en stofwolken. Melkwegstelsels worden ingedeeld volgens hun vorm in optisch licht. In figuur 1.8 tonen we het bekende classificatieschema van Hubble (aangepaste versie). Hoewel de grote melkwegen het meeste licht uitstralen, zijn de kleine dwergstelsels veruit dominant aanwezig in het Heelal. Elliptische melkwegstelsels E zijn “egaal” van vorm en vertonen weinig of geen structuren. Zij bevatten weinig koud gas waardoor er zich geen jonge blauwe sterren meer kunnen vormen. Hun helderste sterpopulatie bestaat vooral uit rode reuzen en AGB sterren. Zij komen vooral voor in grote clusters van melkwegstelsels en de grootsten onder hen, de cD stelsels, bevinden zich dan in de kern van de cluster. Hun sterren vertonen geen georganiseerde beweging, zoals rotatie, maar bewegen kris-kras door het stelsel. In minder heldere elliptische stelsels, echter, volgen de sterren een gezamelijke rotatiebeweging. De zwaksten van zulke stelsels splitst men op in twee groepen: dwergstelsels dE en dwerg sphero¨ıden dSph. Lenticulaire stelsels vertonen naast een centrale bult ook een roterende schijf. Zij worden aangeduid als SO en ze vormen de overgang tussen elliptische stelsels en spiraalstelsels. SOs hebben geen gas en stof maar wel een dunne en snelroterende schijf zoals de spiraalstelsels. Spiraalstelsels zijn goed waarneembaar dankzij hun straling bij blauwe golflengten afkomstig vanuit de spiraalarmen waarin zich O en B sterren bevinden tussen het gas en stof. Dit zijn gebieden waar effici¨ent stervorming aan de gang is, nl. moleculaire wolken van H en H2 zoals we reeds besproken hebben. Zowat de helft van de lenticulaire stelsels hebben een centrale balk. Men spreekt dan ook van de sequens van gebalkte systemen SBa, . . . , SBd parallel aan diegenen zonder balk. Deze rangschikt men dan nog van Sa tot Sd naar gelang de centrale bult meer of minder uitgesproken is t.o.v. de snelroterende schijf. Onze melkweg is van type Sc. De Sm en SBm stelsels, tenslotte, worden Magellaanse stelsels genoemd naar hun prototype, de Grote Magellaanse Wolk (LMC). De Magellaanse wolk zelf roteert met een gemiddelde snelheid van 80 km/s wat drie keer trager is dan onze eigen melkweg. Verder bestaan er ook kleine blauwe melkwegen zonder enige structuur . De kleinsten hieronder worden dwerg irregulairen genoemd. Zij verschillen van de dwerg sphero¨ıden omdat ze jonge hete sterren en gas in zich hebben. In die zin zijn dwerg sphero¨ıden dwerg irregulairen die hun gas reeds verloren hebben. Nog een ander type zijn de zogenaamde “starburst” melkwegen, waarin recente stervorming heeft plaatsgehad nadat gas werd uitgespuwd door supernova explosies. Het gas wordt vaak naar het centrum van de melkweg gezogen, waar vervolgens vele jonge sterren geboren worden en opeengestapeld zitten op een korte afstand (enkele pc). Zo ontstaan meervoudige episodes van effici¨ente stervorming. Bij deze klasse beschouwt men ook de interagerende of samengesmolten melkwegen, waar de samenvoeging aanleiding kan zijn voor nieuwe stervormingsgebieden.

19

Het is duidelijk dat de melkwegen geen aparte eilandjes op zich zijn, maar dat ze elkaars evolutie be¨ınvloeden. De Lokale Groep, waartoe wij behoren, bestaat uit een veertigtal melkwegen gecentreerd rond de onze en Andromeda (onze dichtste zware buur) over een afstand van een megaparsec. Onze Melkweg heeft 11 gekende satellieten en Andromeda ongeveer evenveel. Verder bevinden er zich slechts e´ e´ n klein elliptisch stelsel en nog een aantal los bewegende stelsels in de Lokale Groep. De onderlinge gravitationele aantrekkingskracht binnen de Lokale Groep was duidelijk sterk genoeg om de globale expansie van het Heelal te overheersen. Zo naderen wij Andromeda met een snelheid van 120 km/s en bewegen de andere leden van de Groep met een snelheid die minder dan 60 km/s verschilt van de gezamelijke beweging van onze melkweg en Andromeda. Hierdoor hebben de melkwegen binnen de Lokale Groep een te lage kinetische energie om eruit te ontsnappen. Andere clusters van melkwegen in onze buurt zijn de Virgo en Coma clusters op respectievelijk 20 en 70 Mpc. Deze grote structuren vormen duidelijk grote complexen, terwijl het grootste gedeelte van het volume van het Heelal leeg is. Zowat de helft van alle stelsels bevinden zich in een cluster waarin de dichtheid groot genoeg is om de kosmologische expansie tegen te gaan. Het Heelal is inderdaad niet statisch maar expandeert: alle clusters van melkwegen bewegen weg van elkaar en dus ook weg van ons. Deze expansie is begonnen met de Big Bang. Deze vond vrij recent plaats, i.e. nog maar drie keer de leeftijd van de Aarde geleden. De classificatie van melkwegstelsels is op zich niet bijster interessant zonder daaraan een astrofysische studie te koppelen (net zoals sterclassficatie pas boeiend wordt wanneer blijkt dat deze classificaties een fysische betekenis hebben, zoals Cecilia Payne ze gevonden heeft). Wat de evolutie van melkwegstelsels betreft, is er enerzijds hun chemische evolutie, en anderzijds evolutie ten gevolge van hun dynamica. Wat het eerste betreft, de chemische evolutie wordt volledig gestuurd door de evolutie van de sterren die het stelsel uitmaken. Hier komen we uitvoerig op terug in Deel III van dit vak. Galactische dynamica van sterrenstelsels steunt op N -body simulaties en komt hier niet aan bod. We verwijzen hiervoor naar het Mastercollege Dynamics of Stellar Systems, wat gedoceerd wordt aan de Universiteit Gent en waartoe de Leuvense studenten uitgenodigd worden het daar te volgen in het kader van de Master in de Sterrenkunde van de K.U.Leuven.

1.6 Vervolg van de cursus Het hoofddoel van dit vak is om de evolutie van de objecten in het Heelal te begrijpen. We herhalen nogmaals dat deze evolutie vooral gestuurd wordt door de levensloop van de sterren. Daarom concentreren we ons in het vervolg van dit vak volledig op sterevolutie. Hierbij zullen we ons beperken tot enkelvoudige sterren. De evolutie van meervoudige sterren, in het bijzonder van dubbelsterren, verloopt anders wanneer het nauwe systemen betreft. Immers, getijdenkrachten beletten dan dat elk van de componenten evolueren alsof de begeleider er niet is en impliceren specifieke fenomenen zoals massa-overdracht tussen de componenten. Voor de beschrijving van de evolutie van meervoudige systemen moeten we voor vele fasen hoe dan ook teruggrijpen naar de evolutie van een enkelvoudige ster. De veralgemening van sterevolutie naar meervoudige systemen komt aan bod in het mastercollege Binary Stars.

20

Het theoretisch HR diagram wat de sterevolutie representeert werd reeds getoond op de voorpagina van de nota’s. In abscis staat de effectieve temperatuur en in ordinaat vinden we de logaritme van de lichtkracht. De evolutiesporen voor sterren van verschillende massa zijn aangeduid. Het doel van de cursus is om de positie van de sterren en de evolutiesporen ervan, zoals aangeduid op de voorpagina, te begrijpen. Hiertoe dienen we eerst in te gaan op de inwendige structuur van sterren, wat het onderwerp is van Deel II van deze cursus. Eens we de basisbegrippen en -vergelijkingen die de sterstructuur beschrijven, behandeld hebben, zijn we in staat om de levensloop van een ster, weergegeven door de evolutiesporen in het HR diagram, te bestuderen zoals gebeurt voor sterren van verschillende massa in Deel III.

21

Op het World-Wide-Web zijn vele illustraties en foto’s te vinden van sterren en melkwegstelsels in verschillende evolutiestadia. Deze illustraties verliezen veel van hun kwaliteit indien ze gecopieerd worden. Ik verwijs de lezer daarom naar het internet om deze illustraties op te zoeken en hun pracht te bewonderen. Enkele aanraders kan men vinden op : • http://hubblesite.org/gallery/showcase/text.shtml • http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ • http://imagelib.ncsa.uiuc.edu/ • http://www.vilspa.esa.es/astroweb/yp− pictures.html Sommigen onder de professionele sterrenkundigen worden ook wel eens “Archivaris van de Kosmos” genoemd. De sterrenkunde is immers een vakgebied waarin erg veel belang gehecht wordt aan het documenteren en verzamelen van informatie en data in electronische vorm (zowel bekomen met telescopen en instrumenten vanop Aardse laboratoria als vanuit de ruimte met satellieten). Een must voor sterrenkundigen zijn de twee astronomische databases beschikbaar op het World-Wide-Web, met adressen • http://adsabs.harvard.edu/abstract service.html • http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/ De eerste hiervan bevat alle internationaal gereviewde artikelen ooit gepubliceerd in de sterrenkunde en geeft links naar de tijdschriften. Men kan er zoeken op naam van een auteur, sternaam, tijdschrift, etc. De tweede is een database waarin men van elk gekend hemellichaam de bestaande gegevens kan raadplegen en eventueel opvragen. Wie zich verder wil specialiseren in de sterrenkunde, zal deze databases ongetwijfeld veel gaan gebruiken. Voor deze cursus is dat niet nodig, maar we willen de links toch al meegeven voor de nieuwsgierige student.

22

DEEL II : STERSTRUCTUUR

23

Hoofdstuk 2

Een eenvoudige toestandsfunctie: het ideaal gas met straling De beschrijving van de sterstructuur vereist de kennis over de eigenschappen van het stermateriaal. Dit hoofdstuk handelt over de thermodynamische eigenschappen van het stergas. De centrale onderstelling die we maken is dat in elk punt in de ster het gas zich in een toestand van thermodynamisch evenwicht bevindt. Het gevolg hiervan is dat we geen rekening hoeven te houden met de gedetailleerde reacties tussen de deeltjes, zoals de atomen, elektronen, ionen, fotonen, . . . welke de bouwstenen zijn van het gas. De gemiddelde eigenschappen van het gas kunnen hierdoor beschreven worden in termen van lokale toestandsvariabelen en de relaties tussen hen. Hierdoor zal het, bij gegeven temperatuur, dichtheid en chemische samenstelling, mogelijk zijn om alle andere toestandsvariabelen, zoals de druk en de inwendige energie, te bepalen. Het specifi¨eren van deze relaties omschrijft men als het bepalen van de toestandsfunctie van het gas. In dit hoofdstuk bespreken we e´ e´ n voorbeeld van een toestandsfunctie die bijzonder relevant is voor sterren. Andere realistische toestandsfuncties komen aan bod in Hoofdstuk 4. We halen nu eerst enkele basisbegrippen en basisrelaties van thermodynamica aan.

2.1 Inleiding tot de thermodynamica, toegepast op sterren De verandering van de toestand van het gas waaruit de ster is opgebouwd speelt een belangrijke rol tijdens de evolutie van de ster. De basisvergelijking die de verandering van de eigenschappen van het gas omschrijft is de eerste wet van de thermodynamica. We vatten nu de begrippen van de thermodynamica, die van belang zijn bij de bepaling van de inwendige structuur van sterren, samen.

25

2.1.1

Thermodynamisch evenwicht

De klassieke thermodynamica heeft betrekking op systemen die een e´ e´ nvormige temperatuur en scheikundige samenstelling hebben en die in mechanisch en thermodynamisch evenwicht zijn. Deze voorwaarden zijn over het algemeen niet voldaan in sterren. Onder mechanisch evenwicht verstaan we een toestand waarbij in elk punt de drukkracht gecompenseerd wordt door de som van alle agerende krachten. In de sterrenkunde spreken we in dit geval van hydrostatisch evenwicht. We beschouwen nu een volume bestaande uit straling en materie dat adiabatisch ingesloten is. Dit betekent dat er geen uitwisseling van warmte mogelijk is met de omgeving. Wanneer naast mechanisch evenwicht een e´ e´ nvormige temperatuur in het volume heerst, spreken we van mechanisch en thermisch evenwicht. In het algemeen bestaat het systeem uit reagerende elementen waarvan de concentratie kan veranderen in de loop van de tijd door het optreden van scheikundige reacties. Wanneer de dichtheid en de temperatuur constant blijven, streven de relatieve concentraties van de deeltjes naar een evenwichtswaarde. Men spreekt in dat geval van scheikundig evenwicht. Wanneer zowel scheikundig als thermisch evenwicht bereikt is, ondergaat het systeem geen veranderingen meer. Men spreekt dan van thermodynamisch evenwicht. Alhoewel de klassieke thermodynamica niet strikt geldig is in sterren, kan ze toch gebruikt worden voor de beschrijving van de sterstructuur. De reden is dat de ster kan opgedeeld worden in een groot aantal lagen, die elk dun genoeg genomen worden opdat voldaan is aan de eigenschappen van evenwicht in de zin van de klassieke thermodynamica. Men spreekt in de sterrenkunde in dit geval van een toestand van lokaal thermodynamisch evenwicht, of LTE. Indien LTE een goede benadering is, dan zijn de basiswetten van de klassieke thermodynamica van toepassing in elke sterlaag, ondanks het feit dat de ster in haar geheel niet in thermodynamisch evenwicht is.

2.1.2

De eerste wet van de thermodynamica

We beschouwen de arbeid die verbonden is met een volumeverandering van een systeem. Stel P gelijk aan de druk aan het oppervlak van het systeem. Het systeem ondergaat nu een oppervlaktevariatie. De arbeid verricht door de druk op een eenheidsoppervlak bedraagt dW = P dV . In de sterrenkunde gebruikt men de arbeid per eenheid van massa w, door invoering van het soortelijk volume v = 1/ρ. v is met andere woorden het volume ingenomen door e´ e´ n eenheidsmassa. We bekomen dan dw = P dv. We beschouwen nu een infinitesimale thermodynamische transformatie van het systeem. Hiermee bedoelen we een infinitesimale variatie van de druk, de dichtheid en de temperatuur. Definieer dq als de hoeveelheid warmte die per eenheidsmassa opgeslorpt wordt door het systeem en dw de arbeid verricht per eenheidsmassa door het systeem. De eerste wet van de thermodynamica stelt dat de differentiaal du ≡ dq − dw een totale differentiaal is. De eerste wet laat bijgevolg toe een functie u te defini¨eren, die we de 26

inwendige energie per eenheidsmassa van het systeem noemen. De inwendige energie van het systeem kan bijgevolg gewijzigd worden door arbeid te verrichten of door warmtetoevoer of -afvoer. Anders geformuleerd geeft de eerste wet van de thermodynamica het verband tussen de toegevoegde warmte dq, de inwendige energie u en het specifiek volume v = 1/ρ (elk gedefinieerd per eenheidsmassa): dq = du + P dv.

(2.1)

Een adiabatisch proces is een proces dat zodanig plaatsgrijpt dat er geen warmte het systeem binnendringt of verlaat: dq = 0. Voor een adiabatisch proces is de verandering van de inwendige energie dus tegengesteld aan de arbeid verricht door het systeem. Wanneer dw negatief is, zoals bij een samendrukking, dan neemt de inwendige energie toe, wat meestal gepaard gaat met een temperatuurstoename. Anderzijds impliceert dw > 0 een afname van de inwendige energie, gepaard gaand met een temperatuursdaling. Wanneer een proces zoals samendrukking of uitzetting vlug verloopt zal het ongeveer adiabatisch zijn omdat de warmtetoevoer of -afname zeer traag verloopt. Wanneer bij een adiabatisch proces tevens geen arbeid geleverd wordt, dan verandert de inwendige energie van het systeem niet. Het is echter best mogelijk dat er zich wel wijzigingen in P, ρ, T voordoen.

2.1.3

De entropie

Onderstel dat een systeem een opeenvolging van toestanden van thermodynamisch evenwicht doorloopt. Men spreekt dan van een quasi-statische transformatie. Zulk een quasi-statische transformatie noemt men een reversibele transformatie wanneer er gedurende de transformatie geen energie verloren gaat door effecten zoals wrijving. Een reversibele transformatie kan bijgevolg doorlopen worden in twee tegengestelde richtingen. We laten nu het systeem een reversibele cyclus doorlopen, eerst in de ene richting, dan in de tegengestelde richting. We kennen dan een toestandsfunctie s toe aan het systeem, gegeven door ds ≡ dq/T . s noemt men de entropie van het systeem, en is tevens gedefinieerd per eenheidsmassa. Uit de eerst wet volgt dat ds ook een totale differentiaal is, gegeven door du/T + P/T dv. De entropie van een systeem is slechts gedefinieerd voor toestanden van thermodynamisch evenwicht. We kunnen bovendien uit de eerste wet slechts de variatie van de entropie bepalen. We benadrukken dat de betrekking du = T ds − P dv geen variatie in scheikundige samenstelling onderstelt.

2.1.4

De soortelijke warmten

Vanuit wiskundig standpunt is het invoeren van algemene soortelijke warmten cα ≡

µ

∂q ∂T

27

¶

(2.2) α

zinvol. De betekenis van cα is de volgende: cα is de hoeveelheid warmte die een systeem moet opslorpen om de temperatuur e´ e´ n eenheid te doen stijgen. Vanuit fysisch standpunt werkt men slechts met twee soortelijke warmten:  µ µ ¶ ¶ ¶ µ   ∂u ∂v dq   = + P , c ≡  P dT P ∂T P ∂T P (2.3) µ µ ¶ ¶   ∂u dq   = .  cv ≡ dT v ∂T v We zoeken nu een verband tussen cP en cv . Hiertoe beschouwen we algemene toestandsfuncties ρ = ρ(P, T ) en u = u(ρ, T ). In het algemeen hangen ρ en u ook af van de chemische samenstelling, maar die veronderstellen we hier constant. We defini¨eren vervolgens de afgeleiden:  ¶ µ ¶ µ   P ∂v ∂ ln ρ   =− ,  α≡

∂ ln P

v ∂P T µ ¶ T ∂v = . v ∂T P

T

µ ¶   ∂ ln ρ    δ≡−

∂ ln T

P

(2.4)

De toestandsvergelijking kan dan geschreven worden als dρ dP dT =α −δ . ρ P T

(2.5)

We gebruiken nu (2.1) en du =

µ

∂u ∂v

¶

dv +

T

µ

∂u ∂T

¶

dT

(2.6)

v

om de verandering ds = dq/T van de specifieke entropie te bepalen: dq 1 ds = = T T

·µ

∂u ∂v

¶

T

1 + P dv + T ¸

µ

∂u ∂T

¶

dT.

(2.7)

v

Vermits ds een totale differentiaal is, geldt ∂ 2 s/∂T ∂v = ∂ 2 s/∂v∂T . We passen dit toe op de vorige vergelijking en bekomen zo · µ ¶ ¸ ∂ 1 ∂u P 1 ∂2u + = . (2.8) ∂T T ∂v T T T ∂T ∂v Na het uitvoeren van de differentiatie in het linkerlid bekomen we µ

∂u ∂v

¶

=T T

µ

∂P ∂T

¶

v

− P.

(2.9)

Deze relatie wordt de reciprociteitsrelatie genoemd. Om cP − cv te bekomen leiden we vervolgens eerst een uitdrukking af voor (∂u/∂T )P waarbij we P en T als onafhankelijk veranderlijken nemen. Uit (2.6) volgt dat du = dT

µ

∂u ∂T

¶

+ v

28

µ

∂u ∂v

¶

T

dv , dT

(2.10)

en zodoende µ

∂u ∂T

¶

= P

µ

∂u ∂T

¶

+ v

µ

∂u ∂v

¶ µ T

∂v ∂T

¶

µ

= P

∂u ∂T

¶

+ v

µ

∂v ∂T

¶ · µ

T

P

∂P ∂T

¶

v

¸

−P ,

(2.11)

waarbij we gebruik gemaakt hebben van (2.9). Dit laatste resultaat levert, samen met de definitie van de soortelijke warmten, volgend resultaat: cP − c v = T

∂v ∂T

µ

¶ µ P

∂P ∂T

¶

.

(2.12)

v

Anderzijds kunnen we uit de definitie van α en δ volgend resultaat afleiden: µ

∂P ∂T

¶

v

³

= −³

∂v ∂T ∂v ∂P

´

´P =

Pδ . Tα

(2.13)

T

Gebruik makend van T (∂v/∂T )P = vδ = δ/ρ bekomen we tenslotte de basisrelatie cP − c v =

P δ2 . T ρα

(2.14)

We stellen vast dat het verschil van de soortelijke warmten volledig te bepalen is uit afgeleiden van de toestandsfunctie. We wensen nu de eerste wet van de thermodynamica om te vormen in termen van de variatie van de druk en temperatuur. We schrijven daartoe eerst dq = du + P dv =

µ

∂u ∂T

¶

dT +

v

·µ

∂u ∂v

¶

¸

+ P dv. T

(2.15)

Gebruik makend van achtereenvolgens (2.9), de definitie van v en (2.13) vinden we dan dq =

µ

∂u ∂T

¶

v

dT + T

µ

∂P ∂T

¶

v

dv = cv dT − T

µ

∂P ∂T

¶

v

1 P δ dρ dρ = cv dT − , 2 ρ ρα ρ

(2.16)

wat op zijn beurt kan herschreven worden als Pδ dT dP dq = cv dT − −δ α ρα P T µ

We bekomen dan tenslotte, via (2.14)

¶

=

Ã

P δ2 cv + T ρα

δ dq = cP dT − dP. ρ

!

δ dT − dP. ρ

(2.17)

(2.18)

Voor adiabatische transformaties blijft de entropie constant ds = dq/T = 0. We defini¨eren nu de adiabatische temperatuursgradi¨ent ∇ad als volgt : ∇ad ≡

µ

∂ ln T ∂ ln P

29

¶

, s

(2.19)

waarbij de benedenindex s aanduidt dat de definitie geldt voor constante entropie. Uit (2.18) leiden we af dat (dT /dP )s = δ/ρcP . Hieruit volgt een uitdrukking voor ∇ad : ∇ad =

µ

P dT T dP

¶

= s

Pδ . T ρcP

(2.20)

∇ad omschrijft de temperatuursvariatie die de deeltjes in een massa-element van een systeem ondervinden wanneer dit element een drukvariatie ondergaat ten gevolge van adiabatische expansie. Dit is een expansie waarbij geen warmte-uitwisseling met de omgeving optreedt. Wat er gebeurt is het volgende: massaelementen die diep in de ster verhit worden stijgen op omdat ze, door hun lagere dichtheid, lichter zijn dan diegenen in hun omgeving. Door dit opstijgen komen de massa-elementen in hogere lagen waar de dichtheid kleiner is en daardoor zetten ze uit. Door het uitzetten van de massa-elementen daalt de temperatuur van het gas. ∇ad geeft weer wat de waarde is van deze temperatuursvariatie. Zowel de druk als de temperatuur nemen af naar buiten toe. De waarde van de afname van de druk volgt uit de vergelijking van hydrostatisch evenwicht (zie verder) en eens we die bepaald hebben kunnen we ∇ad bepalen.

2.2 Het ideaal gas met straling 2.2.1

Het klassiek ideaal gas in sterren

De onderstelling van thermodynamisch evenwicht onderstelt impliciet dat de condities in het gas niet merkelijk veranderen over een gemiddelde vrije weglengte en gedurende de gemiddelde tijd tussen twee botsingen van de gasdeeltjes. Hierbij bedoelen we met een gasdeeltje niet enkel de materiaaldeeltjes zoals de atomen of elektronen, maar evenzeer de fotonen. De voorwaarde van thermodynamisch evenwicht is zeer goed voldaan in sterinwendigen, waar de dichtheid groot is. Ze is niet meer geldig in the steratmosfeer. Een aanzienlijke vereenvoudiging ontstaat wanneer we de hoge temperaturen in de sterinwendigen in rekening brengen. Immers, in de meeste sterren kan het gas beschouwd worden als volledig ge¨ıoniseerd, m.a.w. enkel bestaande uit kernen en vrije elektronen zonder interne vrijheidsgraden die niet met elkaar reageren. Zulk een gas noemt men een ideaal gas. De welgekende vorm van de ideale gaswet voor de gasdeeltjes van e´ e´ n bepaald type in een tank luidt : P V = N kT,

(2.21)

met P de druk in de tank, V het volume van de tank, N het aantal gasdeeltjes in de tank, T de temperatuur in de tank en k de constante van Boltzmann (zie Bijlage B), gegeven door R/NA met R de gasconstante en NA = g/mu (waarbij mu uitgedrukt dient te worden in gram) het getal van Avogadro. Omdat we in stermiddens moeilijk de hoeveelheid deeltjes in de tank kunnen specifi¨eren, verkiezen we om te werken met dichtheden. Wanneer we het aantal deeltjes per eenheid van volume voorstellen door n = N/V , dan kunnen we de ideale gaswet ook schrijven als P =n

R T = nmu RT. NA 30

(2.22)

We defini¨eren nu het moleculair gewicht µ als de deeltjesmassa uitgedrukt in mu (dimensieloze grootheid). De dichtheid van het stermateriaal is niets anders dan het product van het aantal deeltjes per eenheid van volume, met de massa van de deeltjes. We vinden zo de betrekking nmu = ρ/µ. Uiteindelijk bekomen we dan voor de ideale gaswet: R (2.23) P = ρT. µ Dit is de gebruikelijke vorm van de toestandsfunctie van een ideaal gas bestaande uit e´ e´ n type deeltjes in de sterrenkunde.

2.2.2

Het gemiddeld moleculair gewicht

In het sterinwendige nabij de sterkern is alle materie ge¨ıoniseerd. Dit wil zeggen dat er per waterstofatoom e´ e´ n vrij elektron is en voor elk helium atoom twee vrije elektronen. We hebben dus in werkelijkheid een gasmengsel bestaande uit twee type deeltjes, de ionen (die op hun beurt bestaan uit verschillende componenten - protonen en neutronen) en de vrije elektronen. Dit mengsel is opnieuw een ideaal gas indien elk van de twee componenten voldoet aan de ideale gaswet. De samenstelling van sterren is uiterst eenvoudig in vergelijking met diegene van materialen op Aarde. Vanwege de hoge druk en temperatuur bestaat het sterinwendige bijna volledig uit ge¨ıoniseerde materie. In zulk een midden volstaat het om de verschillende typen kernen, die we voortaan deeltjes noemen, te beschrijven. Aan elk type deeltje kennen we een index i toe. Met Xi duiden we de relatieve massa-abondantie van deeltjes van type i aan, d.w.z. de fractie van e´ e´ n eenheid van massa die bestaat uit deeltjes van type i. Hieruit volgt dat X Xi = 1. (2.24) i

De chemische toestand van het gasmengsel bestaande uit volledig ge¨ıoniseerde kernen en vrije elektronen wordt beschreven door alle Xi te specifi¨eren, welke een moleculair gewicht µi en een lading Zi hebben. Voor ni deeltjes per volume met deeltjesdichtheid ρi hebben we Xi = ρi /ρ en ni =

ρi ρ Xi = . µi mu m u µi

(2.25)

We verwaarlozen de massa van de elektronen t.o.v. de massa van de ionen (consulteer Bijlage B voor de massa van beiden). De totale druk P van het gasmengsel is de som van de parti¨ele drukken: P = Pe +

X i

Pi =

Ã

ne +

X i

!

ni kT,

(2.26)

waarbij Pe de druk is van de vrije elektronen, Pi de parti¨ele druk is tengevolge van de deeltjes van type i en waarbij we gebruikten dat elk van de componenten een ideaal gas is. De bijdrage van e´ e´ n volledig

31

ge¨ıoniseerd atoom van type i tot het totaal aantal deeltjes (kern en Zi vrije elektronen) bedraagt 1 + Zi waaruit X X (1 + Zi )ni . (2.27) ni = n = ne + i

i

Deze uitdrukking geeft samen met (2.25) en (2.26) volgende nieuwe uitdrukking voor de totale druk P =R

X Xi (1 + Zi )

ρT.

µi

i

(2.28)

Dit resultaat kan in de eenvoudige vorm (2.23) gebracht worden wanneer we het gemiddeld moleculair gewicht à ! X Xi (1 + Zi ) −1 µ≡ (2.29) µi i

invoeren. Hierdoor kunnen we een gasmengsel bestaande uit componenten die zelf een ideaal gas zijn, behandelen als een uniform ideaal gas. We dienen hiervoor enkel het moleculair gewicht µ in (2.23) te vervangen door het gemiddeld moleculair gewicht µ. De definitie van het gemiddeld moleculair gewicht kan gemakkelijk aangepast worden voor een neutraal gas waarbij alle elektronen zich nog in de atomen bevinden. In dit geval vervangen we de factor 1 + Zi simpelweg door 1. We kunnen met onze beschrijving dus alle situaties met volledig ge¨ıoniseerde materie of met niet-ge¨ıoniseerde materie behandelen. Het gemiddeld moleculair gewicht is afhankelijk van de chemische samenstelling. Beschouwen we een chemische samenstelling bestaande uit een fractie X aan waterstof, Y aan helium en Z aan zware elementen zodat X +Y +Z = 1. De fractie aan zware elementen is algemeen afkomstig van j verschillende elementen: P Z = j Zj , welke massagetal Aj hebben. Het gemiddeld aantal vrije elektronen dat vrijkomt wanneer deze zware elementen met fractie Zj volledig ge¨ıoniseerd zijn bedraagt Aj /2. Wanneer alle atomen ge¨ıoniseerd zijn bekomen we voor het gemiddeld moleculair gewicht volgende uitdrukking: 

!−1

Ã

X(1 + 1) Y (1 + 2) X Zj (1 + Aj /2)  + + µ= 1 4 Aj j

.

(2.30)

In de praktijk laat men alle termen Zj /Aj wegvallen, omdat hun bijdrage verwaarloosbaar klein is (bedenk dat Z ≈ 2 − 3%). We bekomen dan µ

µ = 2X +

¶−1

1 3Y + (1 − X − Y ) 4 2

=

µ

3X Y 1 + + 2 4 2

¶−1

.

(2.31)

In de centrale lagen van een pasgeboren ster zoals de Zon (X = 0.717, Y = 0.270, Z = 0.013) vinden we dan µ = 0.61. In het geval van zuiver, volledig ge¨ıoniseerd waterstof vinden we µ = 1/2. Voor een volledig ge¨ıoniseerd heliumgas vinden we daarentegen µ = 4/3. Wanneer we te maken hebben met een neutraal gas, verkrijgen we −1



X Zj X Y  µ= + + 1 4 A j j

32

,

(2.32)

wat zich herleidt tot Y µ= X+ 4 µ

¶−1

(2.33)

wanneer opnieuw alle bijdragen Zj /Aj verwaarloosd worden. Voor de buitenste sterlagen van de Zon vinden we zo µ = 1.29. In de praktijk zal de buitenkant van de ster geen ge¨ıoniseerd gas bevatten. Anderzijds zullen alle atomen in de binnenlagen volledig ge¨ıoniseerd zijn. Er bestaat ergens in de ster een kritische laag waar zowel ge¨ıoniseerd als niet-ge¨ıoniseerd materiaal van een scheikundig element optreedt. Men spreekt van een parti¨ele ionisatielaag. Zo vereist de ionisatie van waterstof 13.6 eV. De eerste ionisatie van helium vereist 24.6 eV. Hieruit leiden we af dat de eerste parti¨ele ionisatielaag van helium dieper in de ster ligt dan de parti¨ele ionisatielaag van waterstof. Analoog ligt de tweede parti¨ele ionisatielaag van helium dieper in de ster dan de eerste parti¨ele ionisatielaag. Wanneer de temperatuur hoger is dan ruwweg 200 000 K is alle waterstof en helium volledig ge¨ıoniseerd. In het geval dat het stermateriaal partieel ge¨ıoniseerd is moeten we rekening houden met de verschillende ionisatiegraden bij de bepaling van µ en kunnen we deze grootheid niet meer analytisch uitrekenen. In het algemeen wordt de verhouding van het aantal deeltjes in de (r + 1)-de ionisatietoestand tot het aantal deeltjes in de r-de ionisatietoestand beschreven door de ionisatiewet van Saha: Nr+1 1 2Ur+1 = Nr N e Ur

µ

2πme kT h2

¶3/2

exp [−χr /kT ] ,

(2.34)

met Ne de elektronendichtheid, me the massa van het elektron, χr de energie nodig om een deeltje in toestand r te ioniseren tot toestand r + 1, en Ur+1 en Ur de zogenaamde toestandssommen van de ionisatietoestanden r + 1 en r. Deze laatsten vinden we uit de Boltzmann verdeling: nr,s gr,s = exp [−χr,s /kT ] , Nr Ur

(2.35)

met nr,s het aantal deeltjes per cm3 in niveau s van ionisatietoestand r, gr,s het statistisch gewicht van dat P niveau en χr,s de excitatie energie van dat niveau gemeten vanaf de grondtoestand (r, 1), Nr ≡ s nr,s de totale deeltjesdichtheid in alle niveaus van ionisatietoestand r, en Ur : Ur ≡

X

gr,s exp [−χr,s /kT ] .

(2.36)

s

De excitatie-energie χr,s is het energieverschil tussen het aangeslagen niveau (r, s) en de grondtoestand (r, 1). De statistische gewichten gr,s meten de ontaarding van de niveaus ten gevolge van magnetisch fijnsplitsing. Bij afwezigheid van een magneetveld zijn deze gelijk aan twee (spin “up” of “down” voor het proton of elektron). We merken nog op dat het gemiddeld moleculair gewicht verandert tijdens de evolutie van de ster, vermits de onderlinge fracties X, Y, Z veranderen ten gevolge van de kernreacties. Het gemiddeld moleculair gewicht verandert tijdens de evolutie laag per laag, omdat de snelheid van de kernreacties enorm temperatuursgevoelig is. Hierdoor bouwt de ster tijdens haar leven in haar diepste lagen een gradi¨ent van µ op. 33

We wensen tenslotte voor een latere toepassing het gemiddeld moleculair gewicht per vrij elektron µe te bepalen. Voor een volledig ge¨ıoniseerd gas draagt elke kern i, Zi vrije elektronen bij en krijgen we à X

µe =

Xi Zi /µi

i

!−1

.

(2.37)

Vermits voor alle elementen zwaarder dan helium de benadering µi /Zi ≈ 2 goed is vinden we ¶−1

1 1 µe = X + Y + (1 − X − Y ) 2 2 µ

2.2.3

=

2 . 1+X

(2.38)

De inwendige energie van een ideaal gas

Uitdrukking (2.14) reduceert zich voor een ideaal gas (α = δ = 1) tot het welgekende resultaat cP − cv = R/µ, waaruit we afleiden dat cP > cv . Merk op dat men in de klassieke thermodynamica voor een ideaal gas cP − cV = R vindt. Dat wij hier een factor 1/µ vinden is een gevolg van het feit dat we in de sterrenkunde werken per eenheid van massa. Uit de reciprociteitsrelatie vinden we dat µ

∂u ∂v

¶

= 0.

(2.39)

T

Hieruit leiden we af dat de inwendige energie van een ideaal gas alleen een functie van de temperatuur is. De verdeling van de snelheid v in een ideaal gas bestaande uit klassieke deeltjes (we verwaarlozen nu dus relativistische effecten) wordt gegeven door de Maxwell verdelingsfunctie : f (v) = 4πv

µ

2

m 2πkT

¶3/2

Ã

mv 2 exp − 2kT

!

,

(2.40)

met m de massa van het deeltje. Deze verdelingsfunctie is zodanig gedefinieerd dat f (v)dv de kans voorstelt dat het deeltje een snelheid heeft gelegen tussen v en v + dv. De functie f is genormeerd zodat Z

∞

f (v)dv = 1.

(2.41)

0

Het maximum van de verdeling, m.a.w. de meest waarschijnlijke snelheid, wordt gegeven door Daarentegen is de gemiddelde snelheid gelijk aan < v >=

Z

∞

vf (v)dv =

0

µ

8kT πm

¶1/2

p

2kT /m.

(2.42)

en de gemiddelde kwadratische snelheid wordt gegeven door 2

< v >=

Z

∞

v 2 f (v)dv =

0

34

3kT . m

(2.43)

Uit deze vergelijking leiden we af dat de gemiddelde kinetische energie per deeltje gelijk is aan 3kT /2. De gemiddelde kinetische energiedichtheid, welke de gemiddelde hoeveelheid kinetische energie per eenheid van massa is, wordt zodoende gevonden door 3kT /2 te delen door de gemiddelde massa van een deeltje. Deze gemiddelde massa is niets anders dan µmu , zodat we een gemiddelde kinetische energiedichtheid gelijk aan 3kT /2µmu bekomen. Vermits k/mu = R vinden we uiteindelijk 3RT /2µ voor de gemiddelde kinetische energiedichtheid per eenheidsmassa. De inwendige energie van het ideaal gas wordt algemeen gegeven door de som van de kinetische energie van thermische beweging en de ionisatie-energie. Een volledig ge¨ıoniseerd gas of een volledig neutraal gas hebben geen ionisatie-energie. In dit geval bekomen we uiteindelijk dat de inwendige energie van het gas gegeven wordt door 3RT u= . (2.44) 2µ De gemiddelde inwendige energie per eenheidsmassa is dan gelijk aan 3P/2ρ in de limiet van een klassiek ideaal gas bestaande uit e´ e´ nzelfde type deeltjes. Uit de uitdrukking voor u vinden we meteen cv = Vervolgens levert cP − cv = R/µ dan

µ

∂u ∂T

¶

=

v

cP =

3R . 2µ

(2.45)

5R , 2µ

(2.46)

waaruit we afleiden dat

cP 5 = . (2.47) cv 3 We vinden dan ∇ad = 2/5 voor een ideaal gas dat volledig bestaat uit hetzij volledig ge¨ıoniseerde materie hetzij neutrale atomen. Dit betekent dat de temperatuursvariatie van een ideaal gas dat adiabatische compressie ondergaat verloopt volgens T ∼ P 2/5 . γ≡

Voor een ideaal gas kunnen we de druk-, volume- en dichtheidsvariaties als volgt met elkaar verbinden: cP dv dv dρ dP =− = −γ =γ , P cv v v ρ

(2.48)

wat ook als volgt kan geschreven worden µ

∂ ln P ∂ ln ρ

¶

=γ; s

µ

∂ ln P ∂ ln T

¶

= s

γ ∂ ln T ; γ − 1 ∂ ln ρ µ

¶

s

= γ − 1.

(2.49)

Deze uitdrukkingen zijn enkel geldig wanneer de beweging van de gasdeeltjes de enige bijdrage tot de interne energie leveren, zoals het geval is voor een volledig ge¨ıoniseerd of volledig neutraal ideaal gas. De uitdrukkingen zijn niet geldig onder meer algemene omstandigheden. Toch blijft het voor zulke meer algemene condities nuttig om de adiabatische variaties door gelijkaardige vergelijkingen te defini¨eren. Men voert daarom de volgende algemene adiabatische exponenten in : Γ1 ≡

µ

d ln P d ln ρ

¶

, s

Γ2 ≡ Γ2 − 1

µ

d ln P d ln T

35

¶

s

, Γ3 ≡

µ

d ln T d ln ρ

¶

+ 1, s

(2.50)

welke voldoen aan de relatie

Γ1 Γ2 = . Γ3 − 1 Γ2 − 1

(2.51)

Deze definities steunen op geen enkele onderstelling wat de toestandsfunctie betreft. Voor een volledig ge¨ıoniseerd ideaal gas geldt uiteraard Γ1 = Γ2 = Γ3 = 5/3. We defini¨eren tenslotte de isotherme geluidssnelheid a door a2 ≡

R T. µ

(2.52)

In het geval van een isotherm ideaal gas kunnen we de ideale gaswet dus tevens als volgt formuleren: P = a2 ρ,

(2.53)

waarbij a constant is. We zullen van deze formulering gebruik maken bij de beschrijving van het stervormingsproces (zie Deel III van de cursus).

2.2.4

De bijdrage van het fotonengas

Tengevolge van de hoge temperaturen in sterinwendigen dragen de fotonen aanzienlijk bij tot de druk en de inwendige energie van het gas. De druk in een ster bestaat daarom niet enkel uit de gasdruk maar heeft ook een component te wijten aan de druk van het fotonengas. Deze stralingsdruk bedraagt in de sterkern van alle sterren, en ook in de fotosfeer van hete zware sterren, zelfs een aanzienlijke fractie van de totale druk. De straling kan zeer goed benaderd worden door diegene geldig voor een zwarte straler. De energiedichtheid van een zwarte straler wordt beschreven door de stralingswet van Planck (zie ook Bijlage A): uν (T ) =

2hν 3 (exp(hν/kT ) − 1)−1 . c2

(2.54)

Vermits de fotonen een impuls met zich meedragen, heerst er een druk die verbonden is met de straling. Deze stralingsdruk wordt gegeven door Prad = aT 4 /3 met a de stralingsconstante (zie Bijlage A). De energiedichtheid per eenheid van massa die overeenstemt met deze stralingsdruk bedraagt u = aT 4 /ρ = 3Prad /ρ. We stellen dus vast dat de energiedichtheid per eenheidsmassa 3P/2ρ bedraagt voor een nietrelativistisch ideaal gas en 3P/ρ voor een relativistisch fotonengas. Volgens de wet (2.1) volgt dat voor een adiabatische variatie van een fotonengas 1 0 = dq = du + P dv = du + P d ρ

µ ¶

P = 3d ρ µ

¶

1 + Pd ρ

µ ¶

= 4P d

1 ρ

µ ¶

4P 3 3 + dP = − 2 dρ + dP. ρ ρ ρ (2.55)

Hieruit volgt Γ1 = 4/3. Anderzijds vinden we Ã

aT 4 0 = dq = d ρ

!

1 1 + aT 4 d 3 ρ

µ ¶

36

=−

4aT 4 4aT 3 dρ + dT, 3ρ2 ρ

(2.56)

waaruit we afleiden dat Γ3 = 4/3. Uit (2.51) vinden we dan tevens Γ2 = 4/3. Wanneer het systeem bestaat uit een mengsel van deeltjes die zich gedragen als een ideaal gas en als straling, dan wordt de totale druk gegeven door P = Pgas + Prad =

R a ρT + T 4 . µ 3

(2.57)

Vaak definieert men een maat voor de bijdrage van de stralingsdruk door β ≡ Pgas /P in te voeren, wat equivalent is met 1 − β = Prad /P . Voor β = 0 is de gasdruk nul en voor β = 1 is de stralingsdruk nul. Het vastleggen van een waarde voor β komt dan overeen met het vastleggen van een onderling verband tussen de gas- en stralingsdruk. β verandert wanneer we van het sterinwendige naar het steroppervlak gaan. Voor sterren met M ≥ 10M⊙ is β 6= 0 in de gehele ster, zelfs nabij het steroppervlak. Voor heel zware sterren is Pgas zelfs te verwaarlozen ten opzichte van Prad . Anderzijds is Prad te verwaarlozen nabij het steroppervlak voor sterren zoals de Zon of koeler.

37

38

Hoofdstuk 3

De mechanische basisvergelijkingen die de sterstructuur beschrijven In dit hoofdstuk bespreken we de vergelijkingen die relevant zijn voor de kennis van de sterstructuur. Bij het afleiden en oplossen van deze vergelijkingen zullen we gebruik maken van enkele van de thermodynamische relaties besproken in het vorig hoofdstuk.

3.1 Co¨ordinaten 3.1.1

Euleriaanse beschrijving

Beschouw een gasvormige enkelvoudige ster die traag roteert en geen magneetveld heeft. De krachten die heersen op een massa-element zijn dan enkel afkomstig van de druk en van de gravitatie. Alle functies zijn in dit geval constant in concentrische sferen en e´ e´ n ruimtelijke variabele volstaat om deze functies te beschrijven. De afstand r, gemeten vanaf het stercentrum, is een natuurlijke keuze voor deze ruimtelijke co¨ordinaat. Deze afstand r kan vari¨eren van r = 0 tot r = R, waarbij R de totale straal van de ster is. De onderstelling dat de ster geen magneetveld heeft is volledig gerechtvaardigd voor de studie van de sterevolutie. Daar waar magneetvelden aanleiding kunnen geven tot spectaculaire fenomenen aan het zonsoppervlak, zoals zonnevlammen en coronale massa-ejecties, spelen deze effecten geen rol voor het leven van het gros van de sterren, omdat ze geheel beperkt blijven tot het steroppervlak, daar waar de sterevolutie gedirigeerd wordt door de inwendige processen. We kunnen dus gerust de Lorentzkracht verwaarlozen voor de beschrijving van sterevolutie, behalve dan voor enkele uitzonderlijke sterren met een erg sterk magnetisch veld. Daar waar magnetische velden een rol spelen in sterevolutie, zullen we dit expliciet vermelden. De onderstelling dat de ster traag roteert is helaas veel minder te rechtvaardigen, omdat metingen ons tonen dat sommige sterren aan hun oppervlak ronddraaien met een grote fractie van hun kritische snelheid. In zulke 39

situatie kunnen de effecten van de Coriolis- en centrifugaalkrachten aanzienlijk zijn. In eerste instantie zullen wij deze effecten toch verwaarlozen. Dit brengt nl. een grote mathematische vereenvoudiging met zich mee, omdat we dan stermodellen kunnen beschouwen die slechts afhangen van e´ e´ n ruimte-co¨ordinaat. Dit is niet langer het geval wanneer de sferische symmetrie van de ster niet meer bewaard blijft, i.e. wanneer de ster afgeplat is door rotatie. Een andere reden om rotatie in eerste instantie niet mee te nemen in de beschrijving van de sterstructuur, is dat we slechts heel geringe kennis hebben over de interne rotatiewet in sterren, terwijl het precies dat is wat van belang is voor het leven van de ster. Zoals aangetoond wordt in het college Asteroseismology is de onderstelling van starre rotatie in het diepste van de ster niet gerechtvaardigd voor alle sterren, maar wel voor de Zon. Vermits we geen goede stervormingstheorie voorhanden hebben die ons algemeen leert hoe het sterinwendige ronddraait bij de geboorte van een ster, verkiezen we om de rotatie niet in rekening te brengen, eerder dan dit te doen met een ad-hoc onderstelling. Voor de meeste sterren is deze benadering goed. De pientere student zal zich telkenmale de vraag stellen of een bekomen resultaat al dan niet robuust is t.o.v. de onderstelling van trage rotatie. Om de evolutie van de functies in de tijd te beschrijven roepen we de tijdco¨ordinaat t in. Maken we gebruik van de twee onafhankelijk veranderlijken r en t, dan gebruiken we de Euleriaanse beschrijvingswijze. Alle andere veranderlijken worden vervolgens bepaald in functie van r en t. Een voorbeeld is de dichtheid ρ = ρ(r, t). We wensen nu het effect van de massaverdeling in de ster op het gravitatieveld te beschrijven. Hiertoe defini¨eren we de functie m(r, t) als de massa bevat in een sfeer met straal r op tijdstip t. m varieert als volgt volgens r en t: dm = 4πr2 ρdr − 4πr2 ρvdt. (3.1) De eerste term in het rechterlid van vergelijking (3.1) is de massa bevat in een sferische schil met dikte dr (zie figuur 3.1). Deze term drukt de variatie van m(r, t) uit ten gevolge van een variatie van r bij constante t: ∂m = 4πr2 ρ. (3.2) ∂r Vergelijking (3.2) is de eerste van de basisvergelijkingen die de sterstructuur bepalen in de Euleriaanse beschrijving. De tweede term in het rechterlid van vergelijking (3.1) geeft de sferisch symmetrische massastroom doorheen de sfeer met constante straal r weer, ten gevolge van een buitenwaarts gerichte radiale snelheid v in het tijdsinterval dt: ∂m = −4πr2 ρv. (3.3) ∂t Leiden we nu uitdrukking (3.2) af naar t en uitdrukking (3.3) naar r, en stellen we beide uitdrukkingen gelijk aan elkaar, dan bekomen we de welbekende continu¨ıteitsvergelijking voor sferische symmetrie: 1 ∂(ρr2 v) ∂ρ =− 2 . ∂t r ∂r

40

(3.4)

Figuur 3.1: We gebruiken de massa binnen de sfeer met straal r als onafhankelijk veranderlijke bij de beschrijving van de vergelijkingen die de sterstructuur bepalen.

3.1.2

Lagrangiaanse beschrijving

Zoals later zal blijken is het voor een sferisch symmetrische ster vaak handiger om met een Lagrangiaanse co¨ordinaat te werken in plaats van de Euleriaanse co¨ordinaat r. Deze ruimtelijke co¨ordinaat is er dan e´ e´ n die verbonden is met een massa-element en die niet verandert in de loop van de tijd. We karakteriseren in deze beschrijving een massa-element door m, welke de massa is bevat in een concentrische sfeer op een gegeven ogenblik t0 . De nieuwe onafhankelijk veranderlijken zijn dan m en t en alle andere grootheden worden in termen van deze veranderlijken geschreven. Een voorbeeld is weerom de dichtheid ρ = ρ(m, t), en nu ook de afstand r van het massa-element tot het stercentrum: r = r(m, t). In het stercentrum hebben we m = 0 en aan het oppervlak m = M , de totale massa van de ster. Dit voorbeeld toont reeds een enorm voordeel van de Lagrangiaanse beschrijving: in tegenstelling tot de erg veranderende waarde van de straal R in de tijd tijdens het leven van de ster varieert de onafhankelijk veranderlijke m in goede benadering steeds over het constante interval [0, M ]. Er bestaat een e´ e´ nduidig verband tussen de co¨ordinaten r en m. Voor de parti¨ele afgeleiden naar beide veranderlijken bestaan de volgende formules:           

∂r ∂ ∂ = . , ∂m ∂m ∂r µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂ ∂r ∂ ∂ = . . + ∂t m ∂t m ∂r ∂t r

Passen we nu de eerste van deze afgeleiden toe op m, dan bekomen we 1=

∂m ∂r . , ∂r ∂m 41

(3.5)

wat door invullen van betrekking (3.2) de volgende vergelijking oplevert: ∂r 1 = . ∂m 4πr2 ρ

(3.6)

Deze differentiaalvergelijking beschrijft het ruimtelijk gedrag van de functie r(m, t). Ze vervangt vergelijking (3.2) en is de eerste basisvergelijking in de Lagrangiaanse beschrijving. Tevens vinden we door substitutie van deze vergelijking in de bovenste betrekking van (3.5) het verband tussen de twee operatoren: 1 ∂ ∂ = . ∂m 4πr2 ρ ∂r

(3.7)

De tweede vergelijking van (3.5) is de hoofdreden om een Lagrangiaanse beschrijving te gebruiken. De tijdsafgeleide in het linkerlid ervan beschrijft de verandering van een functie in de tijd tijdens het volgen van een bepaald massa-element. De behoudswetten voor tijdsafhankelijke sferische sterren zijn enkel en alleen eenvoudige uitdrukkingen voor deze tijdsafgeleide. Indien we zouden werken in termen van de lokale tijdsafgeleide (∂/∂t)r , dan zouden telkens termen met de snelheid (∂r/∂t)m expliciet optreden, wat niet het geval is in het Lagrangiaans formalisme.

3.2 De vergelijking van Poisson In een sferisch symmetrisch lichaam hangt de modulus van de gravitatieversnelling ~g op een afstand r van het centrum niet af van de massa-elementen die zich op een afstand groter dan r van het centrum bevinden. g = |~g | is enkel afhankelijk van r en van de massa bevat in de concentrische sfeer met straal r, welke we m gedefinieerd hebben en wel op de volgende wijze: g=

Gm , r2

(3.8)

met G = 6.673 × 10−11 m3 /kg.s2 de gravitatie constante. In het algemeen kan het gravitatieveld in een ster beschreven worden aan de hand van een gravitatiepotentiaal Φ, welke een oplossing is van de vergelijking van Poisson: ~ 2 Φ = 4πGρ, ∇

(3.9)

~ 2 de Laplace operator voorstelt. Voor sferisch symmetrische configuraties vereenvoudigt de verwaarbij ∇ gelijking van Poisson tot µ ¶ 1 ∂ 2 ∂Φ r = 4πGρ. (3.10) r2 ∂r ∂r De gravitationele versnellingsvector ~g is naar het stercentrum toe gericht en wordt in sferische co¨ordinaten geschreven als ~g = (−g, 0, 0) met g = |~g | > 0. De vector ~g = −g~er wordt afgeleid van de potentiaal Φ 42

Figuur 3.2: Het verloop van de gravitatiepotentiaal Φ vanaf het stercentrum. ~ volgens de betrekking ~g = −∇Φ. Voor een sferisch symmetrische ster is alleen de parti¨ele afgeleide naar r verschillend van nul en krijgen we ∂Φ g= . (3.11) ∂r Gebruik makend van uitdrukkingen (3.11) en (3.8) bekomen we Gm ∂Φ = 2 . ∂r r

(3.12)

Gm dr + constante. r2

(3.13)

Integratie van uitdrukking (3.12) levert Φ=

Z

0

r

De integratieconstante wordt zodanig gekozen dat Φ verdwijnt voor r → ∞. Verder is Φ minimaal in het stercentrum. Een schematische voorstelling van Φ wordt gegeven in figuur 3.2.

43

Figuur 3.3: Voorstelling van een toestand van hydrostatisch evenwicht: de buitenwaarts gerichte drukkracht moet precies de binnenwaarts gerichte gravitatiekracht compenseren. Dit kan alleen voldaan zijn wanneer de druk aan de binnenkant van de schil groter is dan aan de buitenkant ervan.

3.3 Behoud van impuls 3.3.1

Hydrostatisch evenwicht

We stellen vast dat we voor de meeste sterren geen evolutionaire veranderingen kunnen waarnemen. Dit impliceert dat het stermateriaal niet merkelijk versneld wordt, wat dan weer betekent dat alle krachten die inwerken op een massa-element elkaar moeten compenseren. Dit mechanisch evenwicht noemt men hydrostatisch evenwicht. In de onderstelling dat we te maken hebben met een gasvormige ster die niet roteert en geen magneetveld of een nauwe begeleider heeft, zijn de agerende krachten die optreden de gravitatiekracht en de drukkracht. Beschouw op een gegeven tijdstip t een dunne sferische massaschil met een infinitesimale dikte dr op een afstand r van het stercentrum. De massa per eenheidsoppervlak bedraagt ρdr en het gewicht van de schil is −gρdr, welke de gravitatiekracht voorstelt die gericht is naar het stercentrum. Opdat de massa-elementen van de schil niet versneld zouden worden in de richting van het centrum moeten zij een netto kracht ten gevolge van de druk ondervinden die precies even groot is als de gravitatiekracht, maar buitenwaarts gericht. Dit impliceert dat de schil onderhevig is aan een grotere druk aan de binnenkant (Pi ) dan aan haar buitenkant (Pe ). We verwijzen naar figuur 3.3. De totale kracht per eenheid van oppervlak die de schil ondervindt ten gevolge van deze verschillende drukkracht bedraagt: Pi − Pe = −

∂P dr. ∂r

(3.14)

De som van de krachten ten gevolge van gravitatie en druk moet nul zijn, m.a.w. ∂P + ρg = 0. ∂r 44

(3.15)

Deze vergelijking vormen we met behulp van uitdrukking (3.8) om tot de vergelijking van het hydrostatisch evenwicht: ∂P Gm = − 2 ρ. (3.16) ∂r r Het is de tweede basisvergelijking die de sterstructuur beschrijft in Euleriaanse vorm. Kiezen we echter m als onafhankelijk veranderlijke, dan bekomen we de Lagrangiaanse vorm van het hydrostatisch evenwicht door vergelijking (3.16) te vermenigvuldigen met ∂r/∂m = (4πr2 ρ)−1 volgens vergelijking (3.6) en gebruik te maken van de eerste betrekking van (3.5): Gm ∂P =− . ∂m 4πr4

3.3.2

(3.17)

Eenvoudige oplossingen

Tot nu toe hebben we ons enkel geconcentreerd op het mechanisch probleem verbonden met het gravitatieveld en de drukstratificatie in de ster en leidden we twee basisvergelijkingen af, welke in het Lagrangiaans formalisme de volgende vorm aannemen: ∂r 1 = , ∂m 4πr2 ρ

∂P Gm =− . ∂m 4πr4

(3.18)

We gaan nu na of we voorlopige oplossingen kunnen vinden voor dit systeem van differentiaalvergelijkingen. We zoeken een oplossing voor de drie onbekende functies r, P, ρ en dienen dus een verband tussen minstens twee van deze drie grootheden voorop te stellen. In sommige bijzondere situaties kunnen we de dichtheid ρ schrijven als een functie van r en P of van m en P . In dat geval hebben we te maken met gewone differentiaalvergelijkingen omdat de tijd niet expliciet optreedt. Een voorbeeld hiervan is een homogene sfeer waarvoor ρ = constante. Een fysisch realistischer voorbeeld wordt gegeven door de zogenaamde barotropische oplossingen waarvoor ρ = ρ(P ), bijvoorbeeld een ideaal gas bij constante temperatuur. Een klasse van eenvoudige barytropische oplossingen die belangrijk is voor de studie van de sterstructuur zijn de polytropen. We komen later uitvoerig terug op deze bijzondere klasse van toestandsfuncties. In het algemeen, echter, is de dichtheid niet enkel een functie van de druk, maar hangt ze ook af van de temperatuur: ρ = ρ(P, T ). Een welbekend voorbeeld is dat van een ideaal gas. Indien we te maken hebben met een toestandsvergelijking waarin de temperatuur optreedt wordt het veel moeilijker om de inwendige structuur van een zelfgraviterende gasbol te bepalen. De mechanische structuur is dan namelijk afhankelijk van de temperatuursstratificatie, welke op haar beurt gekoppeld is aan de productie en het transport van energie in de ster. Om deze situatie te beschrijven hebben we nood aan bijkomende vergelijkingen.

45

3.3.3

De bewegingsvergelijking in het geval van sferische symmetrie

De vergelijking van hydrostatisch evenwicht (3.16) is een bijzonder geval van behoud van impuls. Wanneer versnelde bewegingen optreden in de sferisch symmetrische ster moeten we de inertia van de massa elementen in rekening brengen. We beperken ons hier tot een Lagrangiaanse beschrijving. Beschouwen we opnieuw een dunne schil met massa dm op een afstand r van het stercentrum. Deze schil ondervindt een kracht per eenheidsoppervlak fP ten gevolge van de drukgradi¨ent welke gegeven wordt door (3.14). Deze vergelijking kunnen we ook schrijven als fP = −

∂P .dm ∂m

(3.19)

De gravitatiekracht per eenheid van oppervlak die inwerkt op de schil wordt gegeven door fg = −

Gm dm g dm =− 2 , 2 4πr r 4πr2

(3.20)

waarbij we gebruik gemaakt hebben van (3.8). Als de som van de drukkracht en de gravitatiekracht niet nul is, dan zal de schil versneld worden volgens dm ∂ 2 r = fP + fg . 4πr2 ∂t2

(3.21)

Hieruit bekomen we met behulp van (3.19) en (3.20) de bewegingsvergelijking: ∂P Gm 1 ∂2r =− − . 2 2 4πr ∂t ∂m 4πr4

(3.22)

Indien de drukgradi¨ent alleen actief zou zijn zou dit resulteren in een buitenwaartse versnelling (∂P/∂m), de gravitatie alleen zou daarentegen een binnenwaartse versnelling veroorzaken. De bewegingsvergelijking zou herleid worden tot de vergelijking van hydrostatisch evenwicht wanneer alle massa-elementen in rust zijn of radiaal bewegen met constante snelheid. Wanneer de twee termen in het rechterlid van de bewegingsvergelijking elkaar compenseren is de voorwaarde van hydrostatisch evenwicht een goede benadering en zal de ster opeenvolgende quasi-evenwichtstoestanden doorlopen. Veronderstel nu dat er een afwijking van hydrostatisch evenwicht optreedt ten gevolge van het plotseling “wegvallen” van de drukterm. De inertiaalterm in het linkerlid van de bewegingsvergelijking dient dan de gravitatieterm in het rechterlid te compenseren. We defini¨eren nu een karakteristieke tijdschaal τff verbonden met het ineenstorten van de ster ten gevolge van het plots wegvallen van de druk: ¯ ¯ ¯ ∂2r ¯ R ¯ ¯ ¯ 2 ¯ ≡ 2, ¯ ∂t ¯ τff

(3.23)

waarbij R de straal van de ster voorstelt. Gebruik makend van de bewegingsvergelijking (3.22) kunnen we τff ook als volgt schrijven: µ ¶1/2 R . (3.24) τff ≈ g 46

τff is als het ware een gemiddelde waarde van de tijdschaal van vrije val over een afstand van de orde van de sterstraal ten gevolge van het plots wegvallen van de druk. Analoog kunnen we een karakteristieke tijdschaal τexpl defini¨eren die de explosie van de ster beschrijft ten gevolge van het wegvallen van de gravitatie: ¯ ¯ ¯ ∂2r ¯ R ∂P 1 P ∂P ¯ ¯ = ≈ , ¯ 2 ¯ = 2 = 4πr 2 ¯ ∂t ¯ ∂m ∂r ρ ρR τexpl

(3.25)

waarbij we ∂P/∂r vervangen hebben door P/R. We bekomen dan τexpl

ρ ≈R P µ

¶1/2

.

(3.26)

p

Vermits P/ρ een maat is voor de gemiddelde geluidssnelheid in het sterinwendige kunnen we τexpl beschouwen als de gemiddelde tijd die een geluidsgolf nodig heeft om van het stercentrum naar het steroppervlak te reizen. Wanneer de ster zich in een toestand nabij hydrostatisch evenwicht bevindt zijn de twee termen in het rechterlid van de bewegingsvergelijking zo goed als gelijk aan elkaar en hebben we τff ≈ τexpl . We spreken dan van de hydrostatische tijdschaal τhydro welke de typische tijd is die de ster nodig heeft om na een kleine storing opnieuw het hydrostatisch evenwicht te herstellen. Gebruiken we g ≈ GM/R2 dan bekomen we uit (3.24) Ã !1/2 R3 1 (3.27) τhydro ≈ ≈ (Gρ)−1/2 . GM 2 De aangehaalde vergelijkingen die de sterstructuur beschrijven zijn tot nu toe slechts bijzondere gevallen van de vergelijkingen gekend uit de hydrodynamica en geldig voor een sferisch symmetrisch lichaam.

3.4 Behoud van energie 3.4.1

Het viriaaltheorema

Het viriaaltheorema speelt voor de behandeling van de meeste fysische problemen geen belangrijke rol. Nochtans is het voor de studie van de sterstructuur van groot belang, vermits het twee belangrijke energiereservoirs met mekaar verbindt en het toelaat voorspellingen en interpretaties af te leiden voor bepaalde evolutionaire fasen in het leven van de ster. Vermenigvuldigen we het linkerlid van de Lagrangiaanse vorm van het hydrostatisch evenwicht (3.17) met 4πr3 en integreren we over de massa in het interval [0, M ] van het centrum tot het steroppervlak, dan bekomen we Z M h iM Z M ∂r 3 ∂P 3 4πr − dm = 4πr P 12πr2 P dm. (3.28) 0 ∂m ∂m 0 0 47

De term tussen vierkante haken verdwijnt vermits r = 0 in het stercentrum en P = 0 aan het steroppervlak. Anderzijds kunnen we de integrand van de tweede term in het rechterlid met behulp van (3.6) reduceren tot 3P/ρ. Tenslotte bekomen we dan Z M Z M P Gm dm = 3 dm, (3.29) r ρ 0 0 waar we het linkerlid van (3.29) bekomen hebben door het linkerlid van (3.17) te vervangen door het rechterlid ervan. Beide leden in vergelijking (3.29) hebben de dimensie van een energie. We defini¨eren de gravitationele energie Eg door Z M Gm Eg ≡ − dm. (3.30) r 0 Beschouw nu een eenheidsmassa op een positie r. De potenti¨ele energie van deze eenheidsmassa ten gevolge van het gravitatieveld van de massa m die zich binnen een straal r bevindt, bedraagt −Gm/r. We zien dus dat Eg de potenti¨ele energie is van alle massa-elementen dm van de ster, welke genormeerd is als zijnde nul op oneindig. Een energie −Eg (> 0) is nodig om alle massa-elementen te expanderen tot het oneindige, terwijl dit bedrag aan energie vrijkomt wanneer er een samentrekking van een oneindige wolk tot een ster gebeurt. Wanneer alle massa-elementen binnenin de ster gezamelijk expanderen of contraheren, zal Eg toenemen respectievelijk dalen. Ditzelfde moet dan gelden voor de integraal in het rechterlid van (3.29). We benadrukken dat de samentrekking of expansie op een tijdschaal dient te gebeuren die veel langer is dan τhydr vermits vergelijking (3.29) anders niet opgaat. Om de betekenis van de term in het rechterlid van vergelijking (3.29) te achterhalen beschouwen we een ideaal gas: P R = T = (cP − cv )T = (γ − 1)cv T. (3.31) ρ µ Voor een mono-atomisch gas is γ = 5/3 en krijgen we P/ρ = 2/3 u met u = cv T de inwendige energie van het ideaal gas per eenheidsmassa. Defini¨eren we nu Ei ≡

Z

M

u dm

(3.32)

0

als de totale inwendige energie van de ster, dan bekomen we voor vergelijking (3.29) in het geval van een ideaal gas Eg = −2Ei . (3.33) Dit resultaat is het viriaaltheorema voor een mono-atomisch ideaal gas. Voor een algemene toestandsvergelijking defini¨eren we de grootheid ζ door middel van P ζu ≡ 3 . ρ

(3.34)

Voor een ideaal gas hebben we ζ = 3(γ − 1). In het mono-atomisch geval (γ = 5/3) geeft dit ζ = 2. Voor een gas enkel bestaande uit fotonen hebben we daarentegen γ = 4/3, P = aT 4 /3 en uρ = aT 4 met 48

a de stralingsdichtheidsconstante, wat leidt tot ζ = 1. Wanneer ζ constant is in de ster leidt (3.29) tot het algemenere resultaat dat ζEi + Eg = 0. (3.35) We defini¨eren nu de totale energie W van de ster als W ≡ Ei + Eg , waarvoor geldt dat W < 0 voor een gravitationeel gebonden systeem. Op basis van (3.35) krijgen we dan W = (1 − ζ)Ei =

ζ −1 Eg . ζ

(3.36)

Hieruit leiden we af dat de totale energie nul is voor het fotonengas. Als de ster expandeert of inkrimpt op zodanige wijze dat het hydrostatisch evenwicht bewaard blijft, dan zullen Eg en Ei vari¨eren en zal de totale energie veranderen. Het gas zal dan energie uitstralen. Defini¨eren we het totale energieverlies door straling per tijdseenheid als de lichtkracht L van de ster, dan volgt uit het behoud van energie dat (dW/dt) + L = 0, wat via (3.36) impliceert dat L = (ζ − 1)

dEi ζ − 1 dEg =− . dt ζ dt

(3.37)

Wanneer alle massaschillen simultaan contraheren, dan zal dEg /dt < 0 en krijgen we voor een monoatomisch ideaal gas L = dEi /dt = −0.5dEg /dt > 0. Dit betekent dat de helft van de energie die vrijkomt ten gevolge van de contractie uitgestraald wordt en de andere helft wordt gebruikt voor de opwarming van de ster. Vergelijking (3.37) toont dat L van de orde van |dEg /dt| is. Zodoende kunnen we een karakteristieke tijdschaal |Eg | Ei τHK ≡ ≈ (3.38) L L defini¨eren, welke de Helmholtz-Kelvin tijdschaal genoemd wordt (naar de twee fysici die deze afleidden als de evolutionaire tijdschaal voor een contraherende of afkoelende ster). Een ruwe afschatting van |Eg | is |Eg | ≈

Gm2 GM 2 ≈ , r 2R

(3.39)

waarbij m en r de gemiddelde waarden voor m en r over de ster voorstellen (welke we vervangen hebben door M/2 en R/2). We bekomen zo GM 2 τHK ≈ . (3.40) 2RL Gedurende bepaalde fasen in het leven van de ster is Eg de voornaamste energiebron en evolueert de ster op een tijdschaal τHK . Voor een gedetailleerde beschrijving van sterevolutie verwijzen we naar Deel III van de cursus, maar we halen nu toch reeds aan waarom het viriaaltheorema, samen met de energietransportvergelijking (zie Hoofdstuk 5), zo belangrijk is voor het leven van de ster. De ster heeft een temperatuursverloop waarbij de temperatuur van binnen naar buiten afneemt. Daardoor wordt er energie naar buiten getransporteerd en aan de rand van de ster uitgestraald. Dit betekent dat er aan het sterinwendige energie wordt onttrokken. Als er geen nucleaire bron meer is, bijvoorbeeld wanneer alle H in de sterkern is omgezet in He, dan kan de ster de energie alleen opleveren door te contraheren. De 49

contractie verloopt traag, zodat de ster op elk ogenblik in hydrostatisch evenwicht blijft. De ster trekt immers samen om, door krimpen, het energieverlies te dekken op een tijdschaal van Helmholtz-Kelvin. Daarentegen is de tijdschaal die nodig is om een drukverstoring te herstellen veel korter, nl. τhydro . Dit betekent dus dat tijdens het langzaam inkrimpen van de ster quasi-instantaan een nieuw drukevenwicht kan ingesteld worden: tijdens het krimpen blijft aan het viriaaltheorema voldaan. Als de ster krimpt wordt zodoende de helft van de gewonnen potenti¨ele energie uitgestraald, de andere helft wordt gebruikt voor verhitting. Door de temperatuursverhoging wordt de temperatuursgradi¨ent groter, waardoor er nog meer energie uitgestraald wordt en de ster nog meer moet krimpen. Door deze vicieuze cirkel blijft de kern van de ster krimpen en steeds heter worden totdat de temperatuur hoog genoeg geworden is voor een volgend fusieproces (bijvoorbeeld bij T=108 K kan heliumverbranding starten). Dan kan de ster weer een lange tijd zonder krimpen blijven stralen.

3.4.2

Energiebehoud in sterren

We defini¨eren l(r) als de netto hoeveelheid energie, ge¨ıntegreerd over alle frequenties, die per seconde doorheen een sfeer met straal r straalt. We onderstellen dat er zich geen oneindig grote energiebron in het centrum van de ster bevindt. Zodoende is de functie l nul in het stercentrum. Ze is bovendien gelijk aan de totale lichtkracht L van de ster aan het steroppervlak. Tussen r = 0 en r = R is l een gecompliceerde functie die afhangt van de verdeling van alle energiebronnen die in de sterlagen optreden. Zo omvat l de energie getransporteerd door zowel straling, conductie en convectie. In het volgende hoofdstuk gaan we uitvoerig in op deze wijzen van energietransport, welke allemaal een temperatuursgradi¨ent vereisen. We houden in de functie l geen rekening met een eventuele energieflux ten gevolge van neutrino’s. Deze hebben immers een verwaarloosbare interactie met het stermateriaal en we zullen de neutrinoflux, die geen temperatuursgradi¨ent vereist, steeds afzonderlijk behandelen.

Lokaal energiebehoud Beschouw een sferisch symmetrische massaschil met straal r, dikte dr en massa dm. Stel de energie die per seconde de binnenkant van de schil binnentreedt voor door l en diegene die per seconde langs de buitenkant de schil verlaat door l + dl (zie figuur 3.4). Het surplus dl kan voorzien worden door kernreacties, door koeling, of door samendrukking of uitzetting van de schil. In een stationaire situatie is dl enkel het gevolg van het vrijgeven van energie ten gevolge van kernreacties. Stel de nucleaire energie vrijgegeven per eenheidsmassa en per eenheidstijd voor door ε, dan krijgen we dl = 4πr2 ρεdr = ε dm of

(3.41)

∂l = ε. (3.42) ∂m De grootheid ε hangt in het algemeen af van de temperatuur, de dichtheid en de abondanties van de verschillende reagerende nucleaire deeltjes.

50

Figuur 3.4: Voorstelling van de grootheid l, welke de hoeveelheid energie die per seconde doorheen een sfeer met straal r straalt, voorstelt. Voor een niet-stationaire schil kan dl van nul verschillen, zelfs als er geen kernreacties plaatsgrijpen. Zulk een schil kan haar interne energie veranderen en ze kan bovendien mechanische arbeid uitwisselen met naburige schillen. In dit geval schrijven we in plaats van (3.42) ∂l dq = ε − dt, ∂m µ

¶

(3.43)

waarbij dq de warmte voorstelt die per eenheidsmassa wordt toegevoegd aan de schil. Vervangen we nu dq aan de hand van de eerste wet van de thermodynamica, dan verkrijgen we ∂l ∂u ∂v ∂u P ∂ρ =ε− −P =ε− + 2 . ∂m ∂t ∂t ∂t ρ ∂t

(3.44)

Met behulp van de thermodynamische relatie (2.18) kunnen we deze uitdrukking schrijven in termen van de druk en de temperatuur: ∂l ∂T δ ∂P = ε − cP + . (3.45) ∂m ∂t ρ ∂t Deze vergelijking is de derde vergelijking die de sterstructuur beschrijft. Vaak worden de termen die een tijdsafgeleide bevatten in vergelijking (3.45) samen genomen in een zogenaamde bronfunctie εg : εg ≡ −T

∂T δ ∂P ∂s = −cP + = −cP T ∂t ∂t ρ ∂t

µ

∇ad ∂P 1 ∂T − T ∂t P ∂t

¶

,

(3.46)

waar we gebruik gemaakt hebben van ds = dq/T en van uitdrukking (2.20) voor ∇ad . Beschouwen we nu de energieverandering ten gevolge van neutrino’s. Neutrino’s kunnen in grote aantallen voorkomen als bijproduct van kernreacties (zie verder, beschrijving van de verschillende verbrandingscycli). Anderzijds bedraagt de gemiddelde vrije weglengte van een neutrino in een typisch stermidden zo’n 100 parsec ! In de sterkern van een hoofdreeksster hebben ze zelfs nog een gemiddelde vrije weglengte 51

van om en bij de 3000 R⊙ . Het stermateriaal is dus duidelijk transparant voor neutrino’s en daardoor kunnen zij de energie die ze meedragen gemakkelijk tot aan het oppervlak transporteren (dit is niet meer waar in de laatste eindfasen van het leven van een ster !). Dit is de reden waarom we de invloed van neutrino’s apart behandelen en niet samen met de energiefluxen die een temperatuursgradi¨ent nodig hebben. De enige massa-elementen die be¨ınvloed worden door de neutrino’s zijn diegene waar de neutrino’s gevormd worden. De neutrino’s kunnen hier immers zorgen voor een daling van de energie. We defini¨eren εν (> 0) als de energie die per eenheid van massa en per tijdseenheid afgenomen wordt van het stermateriaal in de vorm van neutrino’s. De totale vergelijking voor lokaal energiebehoud wordt dan ∂l = ε − ε ν + εg . ∂m

(3.47)

De energie die per seconde weggevoerd wordt door neutrino’s wordt de neutrino lichtkracht genoemd en is gegeven door Lν ≡

Z

M

0

εν dm.

(3.48)

Zoals reeds vermeld is l = 0 in de kern en l = L aan het steroppervlak. Voor een tussenwaarde van r is l niet noodzakelijk monotoon stijgend en kan zelfs groter worden dan L of negatief. Een voorbeeld hiervan is een uitdijende ster waarvoor L kleiner is dan de energie geproduceerd door de kernreacties in de centrale delen ten gevolge van het uitdijen (εg < 0). Een sterk neutrinoverlies kan l < 0 induceren in sommige sterlagen. Vermits neutrino’s na hun creatie bij talrijke kernreacties ongehinderd de ster kunnen verlaten, leveren ze rechtstreeks informatie over deze reacties. Omwille van hun zeer grote vrije weglengte is het helaas zeer moeilijk om neutrino’s te detecteren. Het is wel mogelijk om neutrino’s geproduceerd door de waterstofverbranding in de Zon op te vangen. In e´ e´ n van de succesvolle detecties worden de neutrino’s ingevangen door de reactie νe + 37 Cl → e− + 37 Ar. (3.49) De detector bestaat in dit geval uit een tank met 380 000 liter C2 Cl4 (een standaard detergent). Ondanks deze gigantisch grote tank wordt slechts e´ e´ n neutrino om de twee dagen gedetecteerd. Dit is veel lager dan het aantal neutrino’s dat volgens de zonnemodellen voorspeld wordt. Dit probleem was dertig jaar lang gekend als het zonne-neutrino-probleem. Bij een tweede experiment werd de verstrooiing van neutrino’s aan elektronen in een tank van 680 ton water beschouwd. In tegenstelling tot het Cl experiment wordt hier de richting van de neutrino’s gemeten, waaruit meteen kan afgeleid worden dat ze effectief afkomstig zijn van de Zon. Ook hier waren de detecties veel te laag in vergelijking met de theoretische voorspellingen. Een oplossing voor het probleem kwam er na het besef dat de detectoren ongevoelig waren voor de zeldzamere types van neutrino’s. De Cl en elektronenexperimenten zijn inderdaad slechts gevoelig voor een kleine fractie van de totale neutrino produktie in de Zon, nl. enkel de hoog-energetische of ook elektronneutrino’s genoemd. Er bestaan echter ook nog mu- en tau-neutrino’s waar de bovenstaande experimenten niet gevoelig voor zijn. Twee additionele recentere experimenten zijn wel gevoelig voor een grotere meerderheid van de geproduceerde neutrino’s. Zij steunen op een reactie van het neutrino met 71 Ga. Deze 52

gallium experimenten leverden resultaten die nauwer aansluiten bij de theoretische verwachtingen, maar er bleven toch nog aanzienlijke verschillen tot 2001. De oplossing kwam er dankzij honderden onderzoekers van het Sudbury Neutrino Observatory in Canada, die de nieuwste generatie neutrino detectoren ontwikkelden. Zij konden bevestigen dat een deel van de zonneneutrino’s tegen de tijd dat ze op Aarde aankomen veranderd zijn van elektron-neutrino’s in mu- of tau-neutrino’s. Schattingen van de drie types neutrino’s samen komen vrij nauwkeurig overeen met de huidige stermodellen van de Zon. Dit leverde voor een team van wetenschappers de Nobelprijs voor Natuurkunde op. Gezien de moeilijkheid om neutrino’s afkomstig van de Zon op te vangen, is het quasi-onmogelijk om neutrino’s van andere sterren te detecteren. Een uitzondering hierop vormen de neutrino’s geproduceerd tijdens supernova explosies. Van SN 1987 A werden inderdaad 20 neutrino’s gedetecteerd in twee verschillende detectoren in het noordelijke halfrond. Dit leverde een erg precieze toetsing van kernreacties tijdens supernova explosies (zie verder).

Globaal energiebehoud Bij de beschrijving van het viriaaltheorema hebben we ons beperkt tot het in rekening brengen van de interne energie Ei en de gravitationele energie Eg . We negeerden zowel de nucleaire energie als de energie van de neutrino’s en de kinetische energie van mogelijks op en neergaande beweging (vb. door steroscillaties). Herdefini¨eren we nu de totale energie van de ster als W = Ekin +Eg +Ei +En met En de nucleaire energieinhoud van de gehele ster, dan wordt de vergelijking die het globaal energiebehoud beschrijft gegeven door: d (Ekin + Eg + Ei + En ) + L + Lν = 0. dt

3.4.3

(3.50)

De verschillende tijdschalen

Onderstel dat de lichtkracht van de ster enkel veroorzaakt wordt door het vrijkomen van nucleaire energie. Indien L constant is, kan dit energieverlies plaatsgrijpen gedurende de nucleaire tijdschaal gedefini¨eerd door τn ≡

En . L

(3.51)

Hierbij stelt En het energiereservoir voor waaruit energie kan geput worden voor de gegeven omstandigheden, waarmee we bedoelen dat de kernreacties die de energie vrijgeven mogelijk moeten zijn. De belangrijkste reactie is de fusie van vier 1 H kernen in e´ e´ n 4 He kern. Deze waterstofverbranding geeft een energie van 6.3 × 1018 erg g−1 vrij en komt overeen met een massadefect van 0.71%. De nucleaire tijdschaal geeft weer hoelang de totale levensduur van een ster kan bedragen. We zullen later tonen dat de lichtkracht van een ster een sterk stijgende functie van de stermassa is. Hierdoor daalt de nucleaire tijdschaal zeer snel met stijgende massa. Een ster met initi¨ele massa van 30 M⊙ , bijvoorbeeld, kan slechts 5 miljoen jaar leven terwijl een ster met een halve zonsmassa nog nauwelijks tijd genoeg gekregen heeft om te evolueren in het huidige Heelal.

53

De relatie tussen de verschillende tijdschalen luidt voor de Zon (zie oefeningen) : τn >> τHK >> τhydr .

(3.52)

Deze relatie is geldig voor alle sterren waarvoor waterstof- of heliumverbranding de belangrijkste energiebron is. Het verband tussen deze tijdschalen laat toe om de vergelijking die het energiebehoud uitdrukt te vereenvoudigen. Beschouw hiertoe de vier termen die optreden in (3.45) voor een ster waarvan de eigenschappen aanzienlijk veranderen op een tijdschaal τ , welke klein of groot kan zijn t.o.v. τHK . Een oorzaak van die verandering is bijvoorbeeld de uitputting van een bepaalde nucleaire brandstof. Voor een ideaal gas kunnen we de termen in (3.45) gemakkelijk benaderen:                               

¯ ¯ ¯ ∂l ¯ Ei L ¯ ¯ ¯ ∂m ¯ ≈ M ≈ τ M , HK

L En Ei = ≈ , M M τn τHK M ¯ ¯ ¯ ∂T ¯ cP T ¯ ¯ cP ¯ ∂t ¯ ≈ τ , ¯ ¯ ¯ δ ∂P ¯ cP T Ei RT ¯ ¯ ¯ ρ ∂t ¯ ≈ µ τ ≈ τ ≈ τ M . ε≈

(3.53)

In het geval τ >> τHK zijn de waarden van de laatste twee uitdrukkingen gegeven in (3.53) veel kleiner dan de waarden van de twee eerste uitdrukkingen en kunnen we de tijdsafhankelijke termen in de energievergelijking verwaarlozen (|εg | << ε). De energievergelijking reduceert zich dan tot ∂l/∂m = ε zoals in (3.42). Deze benadering is goed wanneer de verbranding van waterstof of helium de sterevolutie stuurt (τ = τn ) en impliceert een enorme vereenvoudiging bij het berekenen van stermodellen. Men spreekt van modellen in volledig mechanisch en thermisch evenwicht. Is daarentegen τ << τHK , dan zijn de waarden van de rechterleden van de twee laatste vergelijkingen gegeven in (3.53) groot t.o.v. die van de eerste twee vergelijkingen. Dit betekent dat de tijdsafhankelijke termen in de energievergelijking elkaar in zeer goede benadering opheffen, wat impliceert dat dq/dt ≈ 0. In dit geval hebben we te maken met een quasi-adiabatische verandering. Een voorbeeld hiervan is een ster die pulseert op een tijdschaal τ << τHK . De variabele lichtkracht van een pulserende ster is het gevolg van variaties in εg en niet in ε. Voor een uitvoerige observationele studie van pulserende sterren verwijzen we naar de cursus Asteroseismology in de Leuvense Master Sterrenkunde. Zoals wellicht reeds duidelijk geworden is steunt de bepaling van de tijdschalen op enige willekeur. Immers, we konden bijvoorbeeld evengoed als gemiddelde afstand R of R/10 genomen hebben in plaats van R/2 en dezelfde opmerking geldt voor de gemiddelde massa. Het is echter niet de bedoeling om precieze waarden voor de tijdschalen te bekomen maar eerder een gevoel te krijgen voor de orden-van-grootte ervan. Bij het afleiden van de relatie tussen de verschillende tijdschalen hebben we bovendien steeds ondersteld dat de ster uniform verandert. Wanneer echter enkel sommige delen van de ster moeten beschouwd worden omwille van niet-uniforme variaties zijn bovenstaande redeneringen niet meer nauwkeurig omdat met lokale tijdschalen moet gewerkt worden.

54

Hoofdstuk 4

Additionele relevante toestandsfuncties De temperatuur treedt niet op in vergelijkingen (3.18). Dit laat voor bepaalde toestandsfuncties toe om deze twee vergelijkingen af te scheiden van de thermo-energetische vergelijkingen die tevens nodig zijn om de sterstructuur te bepalen. We bespreken nu nog twee van zulke toestandsfuncties die belangrijk zijn in het leven van een ster.

4.1 Polytropen We beschouwen een ster in hydrostatisch evenwicht en gebruiken de Euleriaanse beschrijvingswijze. Voor een tijdsonafhankelijk stermodel dient de gravitatiepotentiaal te voldoen aan de volgende twee vergelijkingen:     dΦ dP   = −ρ , 

dr

dr

(4.1)

 µ ¶   dΦ 1 d   r2 = 4πGρ.  2

r dr dr Wanneer ρ niet afhangt van T : ρ = ρ(P ), dan kan deze relatie ingevuld worden in (4.1), welke dan een systeem van twee vergelijkingen voor de twee onbekenden P en Φ vormt. Deze vergelijkingen kunnen opgelost worden zonder beroep te moeten doen op de vergelijking die het energietransport beschrijft (zie volgend hoofdstuk). We veronderstellen nu dat we een eenvoudige relatie hebben tussen de druk en de dichtheid die van volgende vorm is: 1 P = Kργ = Kρ1+ n , (4.2) waarbij K, γ en n constanten zijn. Een toestandsfunctie van de vorm (4.2) noemt men een polytroop. K is de polytropische constante en γ de polytropische exponent. In de plaats van γ gebruikt men ook vaak de polytropische index n, welke gedefinieerd is als n ≡ 1/(γ − 1). 55

In het algemeen is K constant voor e´ e´ n welbepaalde ster, maar ze neemt wel verschillende waarden voor verschillende sterren aan. Voor een isotherm ideaal gas kan de toestandsfunctie geschreven worden als P = (RT0 /µ)ρ zodat we in dit geval te maken hebben met een polytroop waarvoor K = RT0 /µ, γ = 1, n = ∞. Voor een ideaal mono-atomisch gas waarvoor de stralingsdruk kan verwaarloosd worden is ∇ad = 2/5, wat betekent dat T ∼ P 2/5 . Bovendien is in dit geval µ =constant, waardoor T ∼ P/ρ en bekomen we uiteindelijk P ∼ ρ5/3 . Dit is opnieuw een polytroop, dit keer met γ = 5/3, n = 3/2. Een homogene gasvormige sfeer kan eveneens aanzien worden als een speciaal geval van (4.2) voor γ = ∞, n = 0. We zien dus dat polytropen inderdaad kunnen optreden, zowel bij eenvoudige toestandsfuncties die reeds van de vorm (4.2) zijn als voor een ideaal gas wanneer er een extra relatie tussen de temperatuur en de druk kan afgeleid worden. De eerste vergelijking van het stelsel (4.1) kan voor een polytropische relatie (4.2) omgevormd worden tot

dΦ dρ = −γKργ−2 . dr dr Voor γ = 6 1 kan deze vergelijking ge¨ıntegreerd worden tot ρ=

µ

−Φ (n + 1)K

¶n

(4.3)

,

(4.4)

waarbij we de definitie van n gebruikt hebben en de integratieconstante zodanig gekozen werd dat Φ = 0 aan het steroppervlak. Wanneer we (4.4) invullen in de tweede vergelijking van (4.1), dan bekomen we een gewone differentiaalvergelijking voor Φ: −Φ d2 Φ 2 dΦ + = 4πG dr2 r dr (n + 1)K µ

¶n

.

(4.5)

We defini¨eren nu de dimensieloze veranderlijken z en w door      2   z = Ar met A =

n−1 4πG 4πG n−1 n (−Φ ) = ρ , c c (n + 1)n K n (n + 1)K

(4.6)

 µ ¶1/n   ρ Φ   = ,  w=

Φc

ρc

waar de benedenindex c het stercentrum aanduidt. In het centrum hebben we r = z = 0, Φ = Φc , ρ = ρc en dus w = 1. Met de ingevoerde veranderlijken wordt (4.5) d2 w 2 dw + + wn = 0, dz 2 z dz

(4.7)

wat vervolgens kan omgevormd worden tot 1 d dw z2 2 z dz dz µ

¶

+ wn = 0.

(4.8)

Vergelijking (4.8) is de Lane-Emden vergelijking. We wensen oplossingen van deze vergelijking te zoeken die eindig blijven in het stercentrum. Dit is voldaan wanneer dw/dz(0) = 0. In het algemeen moeten we 56

Figuur 4.1: De oplossingen van de Lane-Emden vergelijking (4.8) voor n = 3/2 en n = 3. oplossingen van de Lane-Emden vergelijking numeriek bepalen, vermits er enkel voor n = 0, 1, 5 analytische oplossingen bestaan. De functie w wordt in figuur 4.1 voorgesteld voor de twee gevallen n = 3 en n = 3/2. Stel dat we een oplossing w(z) gevonden hebben van de Lane-Emden vergelijking waarvoor w(0) = 1 en dw/dz(0) = 0. Volgens (4.6) wordt de radiale afhankelijkheid van de dichtheid dan gegeven door −Φc ρ(r) = (n + 1)K ·

¸n

wn (Ar).

(4.9)

Voor de druk vinden we dan, volgens (4.2) en de definitie van γ, P (r) = Pc wn+1 (Ar) met Pc = Kργc . Tenslotte leiden we een uitdrukking af voor de massa binnen de sfeer met straal r: m(r) =

Z

0

r

2

4πρr dr = 4πρc

Z

r

0

r3 w r dr = 4πρc 3 z n 2

Z

z

wn z 2 dz,

(4.10)

0

waar we gebruikt gemaakt hebben van (4.6). Volgens de Lane-Emden vergelijking is de integrand wn z 2 een afgeleide en deze kan bijgevolg onmiddellijk ge¨ıntegreerd worden met als resultaat −z 2 dw/dz. We bekomen dan voor de massa ¶ µ 1 dw . (4.11) m(r) = 4πρc r3 − z dz

4.2 Het ontaard elektronengas Als een gas een zeer hoge dichtheid bereikt, kan het niet meer met de ideale gaswet beschreven worden. Bij hoge dichtheden doen quantummechanische effecten zich gelden en we noemen een gas waarin dit merkbaar is een ontaard gas. Een schematische vergelijking tussen “gewone” en ontaarde materie in een neutraal gas 57

Figuur 4.2: Een schematische voorstelling van het verschil tussen gewone (a) en ontaarde (b) materie voor een neutraal gas. Bij gewone materie zijn de binnenste elektronenschillen nog intact. In ontaarde materie zitten de atoomkernen dichter bij elkaar dan de helft van de diameter van de kleinst mogelijke stabiele elektronenschil. De elektronen kunnen daarom geen schillen meer vormen maar bewegen zich vrij tussen de kernen door en vormen zo een “gas”. Dit elektronengas oefent een grote druk uit. wordt gegeven in figuur 4.2. In geval a bewegen de elektronen op normale wijze in hun schillen rondom de atoomkernen, in geval b is de onderlinge afstand tussen de atoomkernen zodanig klein dat de elektronen niet meer op hun schillen kunnen bewegen en een “gas” vormen dat tussen de atoomkernen beweegt. De quantummechanica gebiedt dan geen twee identieke deeltjes dezelfde plaats e´ n snelheid kunnen hebben, binnen de nauwkeurigheid waarmee deze volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg gemeten kunnen worden. Deze wet noemt men het uitsluitingsprincipe van Pauli. Met andere woorden: als twee elektronen zich heel dicht bij elkaar bevinden, kunnen ze niet precies dezelfde snelheid hebben. In een ijl gas wordt de gemiddelde snelheid van de deeltjes bepaald door de temperatuur. Als de temperatuur hoog is, is de gemiddelde snelheid van de deeltjes groot. De gasdruk hangt vervolgens van de snelheid van de deeltjes af. Omdat de afstand tussen de deeltjes groot is, is de beperking die het uitsluitingsprincipe oplegt aan de snelheden van de deeltjes niet merkbaar. Een gas waarvoor dit geldt noemt men dan een ideaal gas (zie Hoofdstuk 2). De situatie is anders voor een gas dat is samengeperst tot hoge dichtheid: dan zijn alle mogelijke lage snelheden bezet, zodat vele deeltjes gedwongen worden om hoge snelheden aan te nemen. Deze snelheden zijn veel hoger dan diegene die de deeltjes zouden hebben wanneer ze zich in een ijl gas met dezelfde temperatuur zouden bevinden. Als de dichtheid van een ontaard gas extreem hoog wordt, komen de snelheden waartoe de deeltjes gedwongen worden in de buurt van de lichtsnelheid. Zo’n gas noemen we een relativistisch ontaard gas. Doordat de onzekerheidsrelatie het product van de massa en de snelheid bevat, raken de lichtste deeltjes het eerst ontaard. In een normaal gas zijn dat de elektronen. 58

We beschouwen een gas met een voldoende hoge dichtheid zodat druk-ionisatie optreedt. Dit effect doet zich voor wanneer er geen gebonden atomen voorkomen doordat de orbitale straal a van de elektronen vergelijkbaar of groter wordt dan de helft van de afstand d tussen twee atomen. In het geval van neutraal waterstof worden a en d gegeven door a = a0 ν 2 , d ≈

µ

3 4πnH

¶1/3

,

(4.12)

met a0 = 5.3 × 10−9 cm de Bohrstraal, ν het hoofdkwantumgetal en nH het aantal waterstofdeeltjes per volume-eenheid. Een gas zal geen druk-ionisatie ondergaan zolang a < d/2, wat volgende voorwaarde voor het hoofdquantumgetal impliceert: ¶1/3 µ 1 3 2 . (4.13) ν < 4πnH 2a0 In het centrum van de Zon hebben we ρc ≈ 170 g/cm3 , nH ≈ 1026 cm−3 en dus wordt de voorwaarde opdat druk-ionisatie niet zou optreden gegeven door ν 2 < 0.13. Dit betekent dat de grondtoestand van het waterstofatoom niet kan optreden en dat alle waterstofatomen in het centrum van de Zon ge¨ıoniseerd moeten zijn. In stercentra hebben we steeds te maken met druk-ge¨ıoniseerde gassen. Hiervan raken de elektronen eerst ontaard en pas daarna de kernen. We bestuderen nu vrije elektronen die zich in een druk-ge¨ıoniseerd gas bevinden. In de lokale ruimte van impuls px , py , pz wordt elk elektron voorgesteld als een sferisch symmetrische “wolk” rond de oorsprong. Wanneer we de absolute waarde van de impuls voorstellen door p (met p2 = p2x + p2y + p2z ), dan wordt in termen van de klassieke mechanica de verdelingsfunctie van de impuls van de elektronen beschreven door de Maxwell-verdelingsfunctie (2.40), welke we nu beschouwen in termen van de impuls: Ã

4πp2 p2 f (p) = exp − 2me kT (2πme kT )3/2

!

.

(4.14)

Het maximum van deze verdelingsfunctie treedt op bij pmax = (2me kT )1/2 . Wanneer er een daling van de temperatuur T optreedt, dan verschuift het maximum naar kleinere p-waarde en de waarde van het maximum van f (p) wordt groter (zie figuur 4.3). Het aantal vrije elektronen met deeltjesdichtheid ne die zich in een volume dV van het druk-ge¨ıoniseerd gas bevinden en die een impuls hebben in het interval [p, p + dp], wordt bekomen door de waarschijnlijkheidsverdeling te vermenigvuldigen met ne dV en wordt dus gegeven door de zogenaamde Boltzmann verdelingsfunctie: ! Ã 4πp2 p2 ne f (p)dpdV = ne dpdV. (4.15) exp − 2me kT (2πme kT )3/2 Stappen we nu even af van de klassieke mechanica en beschouwen we de volgende quantummechanische overwegingen. Vermits de elektronen moeten voldoen aan het Pauli principe is er een beperking op het aantal elektronen die in een bepaalde toestand kunnen voorkomen. Elke quantumcel van de zes dimensionale faseruimte (x, y, z, px , py , pz ) kan slechts twee elektronen bevatten. Het volume van zulk een quantum cel bedraagt dpx dpy dpz dV = h3 , met h de constante van Planck. In de schil [p, p + dp] van de ruimte van impuls zijn er 4πp2 dpdV /h3 quantumcellen, die slechts 8πp2 dpdV /h3 elektronen kunnen bevatten. Deze quantummechanische overwegingen geven dus een bovenlimiet op het aantal elektronen: f (p)dpdV ≤ 8πp2 dpdV /h3 . 59

(4.16)

Figuur 4.3: Maxwell-verdelingsfuncties f (p) worden getoond in functie van de impuls p (dunne lijnen) voor een elektronengas met dichtheid ne = 1028 cm−3 (wat overeenkomt met een dichtheid ρ = 1.66×104 g cm−3 voor µe = 1) voor verschillende temperaturen. De dikke lijn duidt de bovenlimiet aan, opgelegd door het Pauli principe.

60

Deze bovenlimiet is aangeduid als de parabool in figuur 4.3 en levert een bovengrens voor f (p). We stellen vast dat de Boltzmann verdeling voor ne =constant in tegenspraak is met de quantummechanische bovenlimiet voor voldoende lage temperaturen. Hetzelfde resultaat geldt voor T =constant en voldoende hoge dichtheden vermits de Boltzmann verdeling evenredig is met ne . We moeten daarom afstappen van het klassieke beeld en quantummechanische effecten in rekening brengen wanneer de temperatuur van het gas te laag is of de elektronendichtheid te hoog. In dat geval overschrijdt de distributiefunctie namelijk haar bovenlimiet opgelegd door het Pauli principe. Beschouwen we nu een elektronengas waarvoor de elektronen de laagst mogelijke energie hebben (T = 0 K). De toestand waarin al deze elektronen een zo laag mogelijke energie hebben en nog voldoen aan het Pauli principe is diegene waarin alle fasecellen tot een zekere impuls pF bevolkt zijn met twee elektronen, terwijl alle andere cellen leeg zijn: 8πp2 h3 f (p) = 0 f (p) =

voor p ≤ pF ,

(4.17)

voor p > pF .

Deze verdelingsfunctie wordt getoond in figuur 4.4. Het totaal aantal elektronen in het volume dV wordt dan gegeven door Z pF 8π 8πp2 dp = 3 p3F dV. (4.18) ne dV = dV 3 h 3h 0 1/3

Voor gegeven elektronendichtheid vinden we zo de Fermi-impuls pF ∼ ne . Voor niet-relativistische 2/3 elektronen is de Fermi-energie EF = p2F /2me ∼ ne . We zien dat, hoewel de temperatuur van het elektronengas nul is, de elektronen een energie verschillend van nul hebben die kan oplopen tot EF . Wanneer de elektronendichtheid zeer hoog is, kunnen de snelheden van de snelste elektronen een aanzienlijke fractie van de lichtsnelheid bedragen. We dienen daarom de uitdrukkingen voor de totale energie en de impuls afgeleid volgens de speciale relativiteitstheorie te gebruiken:

p= p Etot

me v , 1 − v 2 /c2

s

(4.19)

me c2 p2 2 1 + , =p = m c e m2e c2 1 − v 2 /c2

met me de rustmassa van het elektron. De kinetische energie van het elektron is verbonden met de totale energie door E = Etot − me c2 . Om een toestandsfunctie voor het ontaard elektronengas af te leiden moeten we een uitdrukking zoeken voor de druk, welke per definitie de flux van impuls doorheen een eenheidsoppervlak per eenheid van tijd is. Beschouw hiertoe een eenheid van oppervlak dσ met normaalvector ~n (zie figuur 4.5). Een willekeurige vector ~s definieert dan de hoek θ ingesloten door ~n en ~s. We bepalen nu het aantal elektronen die per seconde doorheen dσ bewegen binnen de ruimtehoek dΩs omheen de richting ~s. We beperken ons tot elektronen met een impuls in het interval [p, p + dp]. Op de positie van het oppervlakte element zijn er f (p)dpdΩs /(4π) elektronen per eenheidsvolume en per eenheid van ruimtehoek die de gepaste impuls hebben. Er zullen dus f (p)dpdΩs v(p) cos θdσ/(4π) elektronen per seconde doorheen het oppervlak dσ binnen de ruimtehoek dΩs 61

Figuur 4.4: De verdelingsfunctie f (p) in functie van de impuls p voor een volledig ontaard elektronengas met temperatuur het absolute nulpunt en dichtheid ne = 1028 cm−3 . bewegen. Hierbij is v(p) de snelheid gedefinieerd door (4.19). Elk elektron draagt een impuls met absolute waarde p en met richting ~s. De component hiervan in de richting van ~n bedraagt p cos θ. We bekomen dan de totale flux van impuls in de richting ~n door te integreren over alle richtingen ~s van een sfeer en over alle absolute waarden p. We vinden zo een elektronendruk Pe Pe =

Z Z

∞

Ω 0

8π f (p)v(p)p cos θdpdΩs /(4π) = 3 3h 2

pF

Z

p3 v(p)dp,

(4.20)

0

waarbij we f (p) vervangen hebben door (4.17). Aan de hand van de uitdrukking voor p gegeven in (4.19) vinden we dan 8πc Pe = 3 3h

Z

0

pF

p/me c 8πc5 m4e p dp = 3h3 [1 + p2 /(m2e c2 )]1/2 3

Z

0

x

ξ 4 dξ , (1 + ξ 2 )1/2

(4.21)

waarbij we de nieuwe veranderlijken ξ ≡ p/(me c), x ≡ pF /(me c) ingevoerd hebben. Men kan tonen dat de integraal in het rechterlid van deze uitdrukking gegeven wordt door ´1/2 ´1/2 ³ ´³ ´³ ´1/2 3 1 x³ 2 1 ³ 2 x 2x − 3 1 + x2 2x − 3 x2 + 1 ≡ g(x) + 3 sinh−1 x = + ln x + 1 + x2 8 8 8 8 ·

·

¸

¸

zodat

πm4e c5 g(x). 3h3 Tenslotte schrijven we met behulp van de definitie van x het aantal elektronen als Pe =

ne =

ρ 8πm3e c3 3 = x . µe mu 3h3 62

(4.22)

(4.23)

Figuur 4.5: Een oppervlakte element dσ met normaalvector ~n en een willekeurige eenheidsvector ~s, welke de as is van de ruimtehoek dΩs . Deze laatste twee vergelijkingen defini¨eren de functie Pe (ne ). Om een uitdrukking voor de toestandsfunctie Pe (ρ) te vinden, leiden we eerst het asymptotisch gedrag van de functie g(x) af. Hiertoe schrijven we x als x=

vF2 vF /c x2 pF of = = , me c c2 1 + x2 (1 − vF2 /c2 )1/2

(4.24)

waarbij vF de snelheid van de elektronen met een impuls p = pF voorstelt. Wanneer x ≪ 1, dan is vF /c ≪ 1 en bewegen de elektronen merkelijk trager dan de lichtsnelheid (niet-relativistische limiet). Anderzijds impliceert x ≫ 1 dat vF /c → 1. Hoe groter x hoe meer elektronen relativistisch bewegen en voor heel grote x bewegen nagenoeg alle elektronen relativistisch. De functie g(x) heeft volgend asymptotisch gedrag: 8 x → 0 : g(x) → x5 , x → ∞ : g(x) → 2x4 . 5

(4.25)

Wanneer x ≪ 1 kunnen relativistische effecten verwaarloosd worden. (4.22) levert in deze limiet Pe =

8πm4e c5 5 x . 15h3

(4.26)

Substitueren we hierin de uitdrukking voor x gegeven in (4.23), dan bekomen we Pe =

1 20

µ ¶2/3

3 π

h2 5/3 1 ne = me 20

µ ¶2/3

3 π

h2 me

µ

ρ µe mu

¶5/3

,

(4.27)

waar we in de laatste stap gebruikt hebben dat ρ = ne µe mu . We merken op dat deze toestandsfunctie de vorm van een polytroop heeft met γ = 5/3, n = 3/2. Voor x ≫ 1 bevinden we ons in de extreem relativistische limiet en vinden we voor de elektronendruk Pe =

2πm4e c5 4 x . 3h3 63

(4.28)

Opnieuw x substitueren op basis van (4.23) levert in dit geval Pe =

µ ¶1/3

3 π

hc 4/3 n = 8 e

µ ¶1/3

3 π

hc 8

µ

ρ µe mu

¶4/3

.

(4.29)

We vinden dus opnieuw een polytroop, ditmaal met γ = 4/3, n = 3. Voor beide extremen van het volledig ontaard elektronengas vinden we een polytropische toestandsfunctie (waarvan het verloop van de functie w geschetst werd in figuur 4.1) waarbij de constante K enkel bepaald wordt door natuurconstanten. Dit is in tegenstelling met de voorbeelden in vorige sectie waar K een vrije constante was die voor elke ster kan verschillen. Wanneer de temperatuur niet nul is zullen niet alle elektronen dicht op mekaar gestapeld zijn in cellen met een zo laag mogelijke impuls. Voor voldoende hoge temperaturen zullen de elektronen wel voldoen aan de Boltzmann statistiek. Er bestaat een continue overgang van een toestand van volledige ontaarding naar een toestand van een niet-ontaard gas. Men spreekt dan van parti¨ele ontaarding. De verdeling van de fasecellen volgt dan een zogenaamde Fermi-Dirac statistiek, die een ontaardingsparameter ψ ∈ [−∞, ∞] bevat. Deze parameter geeft aan welke fractie van de cellen opgevuld is en is afhankelijk van ne en T . In dit geval kan de toestandsfunctie niet meer als een eenvoudige analytische relatie tussen de elektronendruk en de dichtheid geschreven worden. Voor ψ → −∞ vinden we in het geval van het niet-relativistische partieel ontaard elektronengas een elektronendruk die dezelfde is als diegene voor het ideaal gas: Pe = ne kT . Voor een niet-relativistisch partieel ontaard gas met ψ ≫ 1 (grote graad van ontaarding) vinden we de toestandsfunctie (4.27) terug. Voor de relativistische limiet van sterke ontaarding (ψ → +∞) vinden we de toestandsfunctie (4.29) terug. Een belangrijke grafiek is diegene waar men de temperatuur uitzet t.o.v. de dichtheid en vervolgens de gebieden waarin verschillende benaderingen voor de toestandsvergelijking geldig zijn aanduidt. Voor het opstellen van zulk een grafiek verwijzen we naar de oefeningen.

4.3 De limietmassa van Chandrasekhar We beschouwen nu een polytropisch model waarin de druk verbonden is met een niet-relativistisch ontaard elektronengas. De centrale dichtheid en gemiddelde dichtheid stijgt in zulk een medium met stijgende stermassa. Echter, wanneer de dichtheid stijgt wordt het elektronengas meer en meer relativistisch. We kunnen ons dan voorstellen dat we evolueren naar een ster met een relativistische kern waarin de druk beschreven wordt door een polytroop met n = 3 (zie 4.29) en een niet-relativistische enveloppe met een druk gegeven door een polytroop met n = 3/2 (zie 4.27). Er moet dan een overgangsgebied zijn waarin de druk continue varieert en een waarde aanneemt tussen beide uitdrukkingen (4.27) en (4.29). Het was de fysicus Chandrasekhar die voor het eerst zulke modellen beschouwde om de zogenaamde witte dwergen (zie voorlaatste hoofdstuk) te begrijpen. De vraag rijst dan hoe zulk een model varieert met stijgende massa. Bij kleine M blijft het hele model niet-relativistisch en geeft een polytroop met n = 3/2 een goede beschrijving. Wanneer de centrale 64

dichtheid hoog genoeg is zal een steeds groter gedeelte van de sterkern relativistisch worden. We verwachten dat de ster uiteindelijk evolueert naar een toestand waarbij alle deeltjes relativistisch bewegen en de druk wordt beschreven door een polytroop met polytropische index n = 3. Deze zienswijze stuit echter op het volgend probleem. Uit de definitie van de veranderlijke z vinden we 1−n

R ∼ ρc2n , waardoor uit M ∼ ρc R3 volgt dat

(4.30)

3−n

M ∼ ρc2n .

(4.31)

We stellen dus vast dat de massa van een polytroop met n = 3 niet afhangt van de centrale dichtheid: M =constante. Er is dus maar e´ e´ n toegestane massa voor een volledig ontaard relativistisch elektronengas die voldoet aan een polytroop met n = 3. Deze massa wordt volledig bepaald door natuurconstanten en de waarde van de functies z en w′ in het nulpunt van de polytroop met n = 3. De numerieke limietwaarde van de enige toegelaten massa bedraagt 5.836 M⊙ . (4.32) MCh = µ2e Oefening : Ga dit na door de centrale druk af te schatten. Men noemt (4.32) de limietmassa van Chandrasekhar. Ze duidt het eindpunt aan van het convergentieproces van modellen met stijgende centrale dichtheid. De limietmassa (4.32) is zeer laag als men bedenkt dat er zoveel sterren zijn die duidelijk veel zwaarder zijn. Echter, alle sterren die nog niet aan de ultieme eindfase van hun leven begonnen zijn, hebben een toestandsfunctie die ver afwijkt van een ontaard elektronengas en de beperking op de massa is voor hen dus absoluut niet van toepassing. Voor witte dwergen, echter, treedt effectief een ontaard elektronengas op zoals we zullen bespreken in het voorlaatste hoofdstuk. Voor deze sterren is µe = 2 een goede benadering en vinden we de voorwaarde M < MCh = 1.46 M⊙ . (4.33) Ondanks het feit dat we de limietmassa bepaald hebben aan de hand van een polytropisch model blijft het resultaat ook nagenoeg geldig voor een meer realistische toestandsfunctie, precies omdat voor extreem hoge dichtheden de druk van het elektronengas convergeert naar de polytropische druk met γ = 4/3, n = 3. Wanneer we werken met een meer realistisch, niet-polytropisch model vinden we MCh = 1.44 M⊙ . Er is tot nu toe inderdaad nog geen enkele witte dwerg gevonden met een massa die MCh overschrijdt. Voor zijn studie van witte dwergen heeft Chandrasekhar de Nobelprijs voor Natuurkunde gekregen.

4.4 Schematische weergave van de relevante toestandsfuncties In figuur 4.6 geven we een ruwe schets van de verschillende toestandsfuncties van het gas weer in een (temperatuur, dichtheid)-diagram. Boven de puntjeslijn overheerst de stralingsdruk. Onder de volle lijn zijn 65

Figuur 4.6: Toestand van het stergas als functie van de temperatuur (uitgedrukt in K) en de dichtheid (uitgedrukt in g/cm3 ). de elektronen ontaard, hetzij relativistisch (rechts van de streepjeslijn), hetzij niet relativistisch (links van de streepjeslijn). De dikke streepjeslijn duidt een model voor de Zon aan. Oefening : Verklaar figuur 4.6 aan de hand van de beschrijving van de verschillende toestandsfuncties die behandeld werden. Tot nu toe hebben we de interactie tussen de ionen verwaarloosd. Dit is niet langer gerechtvaardigd voor hoge dichtheden en lage temperaturen, omdat hun Coulomb interactie dan begint mee te spelen. Eerder dan vrij te bewegen zullen de ionen zich, in de gepaste omstandigheden, ordenen in een rooster zodat hun energie minimaal is. Men kan op basis van kristallisatietheorie uitrekenen voor welke combinaties van temperatuur en dichtheid deze effecten beginnen domineren. Dit kristallisatiedomein wordt aangegeven door de puntstreepjeslijn in figuur 4.6. In het inwendige van sterren zijn de dichtheden wel hoog, maar de temperatuur evenzeer. Voor sterren is het kristallisatiedomein daarom niet van belang. Afkoelende witte dwergen, echter, komen weldegelijk in dit domein terecht, vermits hun dichtheid essentieel gelijk blijft maar zij neerdalen in het HR diagram langs het koelingsspoor (zie verder). Zij verkrijgen op den duur een gekristalliseerde kern van koolstof en zuurstof. Koude witte dwergen zijn dus in feite reuzediamanten; ze zijn massaal aanwezig in het Heelal!

66

Hoofdstuk 5

Energietransport De energie die een ster straalt doorheen haar oppervlak is afkomstig van de hete centrale delen. Dit betekent dat er transport van energie plaatsgrijpt doorheen het stermateriaal. Dit energietransport is mogelijk dank zij het bestaan van een temperatuursgradi¨ent. Afhankelijk van de omstandigheden gebeurt het transport door straling, conductie of convectie. De deeltjes (fotonen, atomen, elektronen) worden continu uitgewisseld tussen warmere en koelere regionen. Hun reisweg en het temperatuursverschil met de omgeving bepalen hoe het energietransport gebeurt. In dit hoofdstuk bespreken we de vergelijking die het energietransport beschrijft. Deze vergelijking vormt de volgende basisvergelijking voor de sterstructuur.

5.1 Transport door straling We starten met enkele ruwe afschattingen van cruciale grootheden die het radiatief transport kenmerken. Deze zullen ons toelaten het formalisme enorm te vereenvoudigen.

5.1.1

Gemiddelde vrije weglengte

Een eerste afschatting betreft de gemiddelde vrije weglengte ℓf van een foton dat zich in een punt in een ster bevindt waar een dichtheid ρ heerst: 1 ℓf = , (5.1) κρ met κ de “gemiddelde” absorptieco¨effici¨ent of opaciteit, waarmee we de microscopische radiatieve werkzame doorsnede per eenheidsmassa, gemiddeld over alle frequenties, bedoelen. We lichten eerst de betekenis van een werkzame doorsnede en de gemiddelde vrije weglengte toe, welke begrippen zijn die ingevoerd worden in de algemene context van botsingswaarschijnlijkheden.

67

De vraag die we ons stellen is onder welke voorwaarde twee deeltjes een botsing zullen ondergaan. Wanneer we twee sferisch symmetrische deeltjes A en B beschouwen, met respectievelijke stralen ra en rb , dan botsen ze met elkaar als de onderlinge afstand d tussen hun centra kleiner of gelijk wordt aan de som van de stralen: d ≤ ra + rb . Deze voorwaarde kan eveneens uitgedrukt worden door te zeggen dat het centrum van het deeltje B (het projectiel) moet vallen binnen of op de cirkel met middelpunt A en straal r = ra + rb . Men kan bijgevolg de botsing opvatten als een botsing van een stationair deeltje met straal ra +rb en een puntvormig invallend deeltje. Het sferisch stationair deeltje kan verder nog vervangen worden door een cirkelvormige schietschijf loodrecht op de invalsrichting. De oppervlakte van deze schijf wordt de microscopische werkzame doorsnede κ genoemd en is gelijk aan κ = π(ra + rb )2 . We beschouwen nu een balkvormige planparallelle sterlaag met afmetingen l × l × dx, waarbij de dikte van de laag dx zodanig klein is dat in de richting evenwijdig met dx de schietschijven elkaar niet bedekken en waarbij de invalsrichting van de projectielen evenwijdig is met dx. We veronderstellen dat in de planparallelle laag een dichtheid ρ heerst. In totaal bevat de laag dan ρl2 dx schietschijfjes. Deze hebben een totale werkzame doorsnede gegeven door κρl2 dx. De waarschijnlijkheid dat een invallend deeltje een botsing zal ondergaan wordt gedefinieerd door de verhouding van de oppervlakte ingenomen door een eenheidsmassa van schietschijfjes tot de totale oppervlakte van de laag en is bijgevolg gelijk aan κρl2 dx/l2 = ρκdx. Het product κρ noemt men de macroscopische werkzame doorsnede per eenheidsmassa. Deze heeft de dimensie van een reciproke lengte. Indien de waarschijnlijkheid voor een botsing p is voor e´ e´ n invallend deeltje, dan betekent dit dat men gemiddeld 1/p deeltjes zal moeten afsturen op de planparallelle laag om e´ e´ n botsing te laten plaatsgrijpen. In het beschouwde geval moet men dus gemiddeld 1/ρκdx deeltjes in een eenheidsmassa van de planparallelle laag zenden om een botsing teweeg te brengen over de afstand dx. De gemiddelde afstand die het deeltje zal afleggen vooraleer een botsing te ondergaan is dan 1/ρκdx/dx = 1/ρκ per eenheidsmassa. Deze gemiddelde afstand noemt men de gemiddelde vrije weglengte. In het geval de projectielen fotonen zijn, noteren we de gemiddelde vrije weglengte als ℓf . De opaciteit hangt af van de interactie van straling en materie, met name van de gedetailleerde verdeling van de atomen in het gas, van de bezetting van de energieniveaus, van de ionisatiegraden en van de toestandsfunctie van het gas. Het weze duidelijk dat de berekening van κ een gigantisch werk is, waar wetenschappers van verschillende grote internationale teams aan werken. Het resultaat van zulke activiteit is het opstellen van zogenaamde opaciteitstabellen, waarin de waarden van κ beschreven staan in functie van de dichtheid, de temperatuur en de chemische samenstelling. Er bestaan enkele eenvoudige benaderingen voor de opaciteit, die een idee geven van de afhankelijkheid ervan van de thermodynamische toestand van het gas beschreven door ρ en T . De benadering van Kramers is de best gekende: κ = κ0 ρ T −3.5 , (5.2) waarbij κ0 een constante is die afhangt van de chemische samenstelling. Deze dichtheids- en temperatuursafhankelijkheid van de opaciteit is nauwkeurig in het sterinwendige van laagmassieve sterren, waar de temperatuur vrij laag blijft. In de stercentra van zware sterren domineert de verstrooiing aan vrije elektronen (Thomson verstrooiing) de opaciteit, welke hierdoor onafhankelijk van de dichtheid en de temperatuur wordt. Dit laatste geldt eveneens algemeen wanneer een gas volledig ge¨ıoniseerd is. In dat geval vormt 68

κe = 0.2(1 + X) ≈ 0.4 cm2 /g een goede benadering voor de opaciteit. Dit is meteen een benedenlimiet voor κ, vermits gebonden-gebonden overgangen in partieel ge¨ıoniseerde atomen veel bijdragen tot de opaciteit. Bij temperaturen beneden 6 – 10 000 K domineert de absorptie van fotonen door het negatief waterstofion (het waterstof atoom met een extra elektron) H− de opaciteit. Deze situatie treedt op in de atmosfeer van sterren met massa beneden e´ e´ n zonsmassa. De extra elektronen worden hier geleverd door de ionisatie van metalen. De opaciteit is in dit geval evenredig met de deeltjesdichtheid van H− en dus met de dichtheid van de elektronen. Anders gezegd: de opaciteit wordt volledig bepaald door de graad van ionisatie en zij stijgt met stijgende temperatuur, in tegenstelling tot in uitdrukking (5.2) welke geldig is in sterinwendigen. Als typische waarden voor κ in een ster kunnen we het geval van ge¨ıoniseerd waterstof in de sterkern beschouwen: κ ≈ 1 cm2 /g. 3 = 1.4 g/cm3 , bekomen we aan de Voor de gemiddelde dichtheid van de Zon, ρ⊙ = 3M⊙ /4πR⊙ hand van κe een bovenlimiet voor de gemiddelde vrije weglengte van de fotonen gegeven door ℓf ≈ 2 cm ! Fotonen ondergaan vele botsingen vooraleer ze van hun plaats van creatie (het stercentrum) het steroppervlak bereiken. Dit betekent dat stermateriaal in het algemeen zeer opaak is. Dit is niet meer geldig in de fotosfeer van een ster of in rode reuzen, waar de gemiddelde vrije weglengte van een foton veel groter is.

5.1.2

De temperatuursgradi¨ent

Een typische waarde voor de temperatuursgradi¨ent in een ster zoals de Zon kan bekomen worden door gemiddelden voor de temperatuur en de afstand tussen het stercentrum (TC ≈ 107 K) en het steroppervlak (TO ≈ 104 K) te nemen: △T TC − T O ≈ ≈ 1.4 × 10−4 Kcm−1 , (5.3) △r R⊙

m.a.w. 14 K per kilometer.

Het stralingsveld in een gegeven punt wordt bepaald door een klein, zo goed als isotherm gebied, dat het punt omgeeft. Immers, het verschil in temperatuur in dit gebied bedraagt ongeveer △T = ℓf (dT /dr) ≈ 3 × 10−4 K. De relatieve anisotropie van de straling in een punt met temperatuur T = 107 K wordt veroorzaakt door △T /T ∼ 3×10−11 . Deze getalwaarde toont dat de toestand in het sterinwendige van de Zon inderdaad zeer dicht bij thermisch evenwicht moet zijn en dat straling zeer goed kan benaderd worden door die van een zwarte straler, waarvoor de energiedichtheid ∼ T 4 en dus de relatieve anisotropie van de straling ∼ 10−10 bedraagt. Ondanks het feit dat de anisotropie zeer klein is, is ze toch verantwoordelijk voor de enorme lichtkracht van de ster. Een fractie van 10−10 van de flux uitgestraald door 1 cm2 van een zwarte straler met een temperatuur van 107 K is nog steeds 1000 keer groter dan de flux die we ontvangen van het zonsoppervlak !

5.1.3

De diffusiebenadering

Het radiatief energietransport in een ster treedt op omwille van een surplus aan buitenwaartse straling (gestraald vanuit heter materiaal dichter bij de kern) t.o.v. de binnenwaarts gerichte straling (gestraald vanuit 69

koelere buitenlagen). De afschattingen hierboven beschreven tonen dat de gemiddelde vrije weglengte van de “transporterende deeltjes” (fotonen) bijzonder klein is t.o.v. de karakteristieke lengte waarover het transport gebeurt (de sterstraal): ℓf /R⊙ ≈ 3 × 10−11 . In dit geval mogen we het energietransport behandelen als een diffusieproces, wat een enorme vereenvoudiging van het formalisme met zich meebrengt. We herhalen dat deze benadering niet goed is in de fotosfeer van de ster.

Algemene beschrijving We herhalen eerst de diffusievergelijking in algemene natuurkundige termen. In het algemeen wordt de diffusieve flux f~ van deeltjes per eenheid van oppervlak, per eenheid van tijd, gemiddeld over alle frequenties, tussen gebieden van verschillende deeltjesdichtheid n (uitgedrukt per eenheid van volume) gegeven door ~ f~ = −D∇n.

(5.4)

Hierbij wordt de diffusieco¨effici¨ent D bepaald door enerzijds de snelheid v van de deeltjes en anderzijds hun gemiddelde vrije weglengte ℓd : 1 (5.5) D = vℓd . 3 Deze vorm van de diffusievergelijking is algemeen. We geven even een korte toelichting hoe ze tot stand komt. Onderstel dat in een gaslaag de beweging van deeltjes in e´ e´ n richting gebeurt, nl. langs de x-as. Stel dat we de stroom van deeltjes doorheen een fictief oppervlak loodrecht op de x-as wensen te bepalen. Het aantal deeltjes per eenheid van volume links van het vlak noteren we als n− , die rechts van het vlak als n+ . Om in een tijdsinterval △ t doorheen het vlak te kunnen bewegen, mogen de deeltjes zich maximaal op een afstand vx △ t bevinden, waarbij vx hun snelheid in de x-richting is. De helft van de deeltjes op afstand vx △ t zal zich in de richting van het vlak verplaatsen, de andere helft beweegt weg van het vlak. De netto stroom van deeltjes doorheen het vlak per eenheid van tijd bedraagt dan: fx =

n − vx △ t n + vx △ t (n− − n+ ) vx − = . 2△ t 2△ t 2

(5.6)

Voor de betekenis van n− en n+ redeneren we als volgt: elk van de deeltjes kan zich maximaal over een afstand ℓx bewegen alvorens te interageren met een ander deeltje. We kunnen zodoende het verschil in deeltjesdichtheid links en rechts van het vlak verbinden met de gemiddelde vrije weglengte op volgende wijze: dn dn n+ − n − = △x = 2ℓx . (5.7) dx dx De flux in de x-richting wordt dan: dn fx = −ℓx vx . (5.8) dx We nemen aan dat er geen voorkeursrichting bestaat. Gemiddeld kunnen we dan de snelheid van de deeltjes in de 3 ruimtelijke richtingen even groot nemen. In dat geval schrijven we de snelheid in de x-richting als

70

√ √ vx ≃ v/ 3. Een analoge redenering geldt voor de gemiddelde vrije weglengte: ℓx = ℓ/ 3. We vinden zo uiteindelijk 1 dn (5.9) fx = − ℓv , 3 dx waarvan de veralgemening naar drie dimensies de vergelijkingen gegeven in (5.4) en (5.5) oplevert.

Toepassing op het stergas Om de overeenkomstige radiatieve energieflux in een ster, gemiddeld over alle frequenties, f~ te bekomen, vervangen we achtereenvolgens n door de energiedichtheid (ditmaal per eenheid van volume om de klassieke vorm van de diffusievergelijking handig te kunnen overnemen) van een zwarte straler u = aT 4 , v door de lichtsnelheid c en ℓd door ℓf gegeven in (5.1). Door de sferische symmetrie van de configuratie heeft f~ ~ zich tot de afgeleide in de radiale richting: slechts een radiale component fr = |f~| = f en reduceert ∇u ∂u ∂T = 4aT 3 . ∂r ∂r

(5.10)

Tot nu toe werkten we bij de afleiding van de sterstructuurvergelijkingen echter steeds per eenheid van massa en in dat geval krijgen we dus uiteindelijk: f =−

4ac T 3 ∂T . 3 κρ ∂r

(5.11)

We kunnen deze vergelijking formeel beschouwen als een vergelijking voor warmteconductie door ze te schrijven als ~ f~ = −krad ∇T, (5.12) met

4ac T 3 (5.13) 3 κρ de conductieco¨effici¨ent voor het radiatief transport. Wanneer we vergelijking (5.11) oplossen naar de temperatuursgradi¨ent en f vervangen door de lokale lichtkracht l = 4πr2 f bekomen we krad ≡

∂T κρl 3 =− . ∂r 16πac r2 T 3

(5.14)

Tenslotte bekomen we, na transformatie naar de onafhankelijk veranderlijke m, de basisvergelijking voor het radiatief energietransport: κl 3 ∂T =− . (5.15) 2 4 ∂m 64π ac r T 3 Deze vergelijking wordt de Eddington vergelijking voor het energietransport door straling genoemd. We benadrukken dat deze eenvoudige vergelijking niet geldig is dicht bij het steroppervlak omdat de gemiddelde vrije weglengte daar, ten gevolge van de kleine dichtheid, vergelijkbaar wordt met de nog resterende afstand tot het steroppervlak. Hierdoor geldt de diffusiebenadering niet meer in de steratmosfeer 71

en dient daar een veel gecompliceerdere differentiaalvergelijking opgelost te worden om het energietransport te beschrijven. We beperken ons in deze cursus tot het gebied in de ster waar de diffusiebenadering gerechtvaardigd is. Voor een beschrijving van het energietransport in de steratmosfeer verwijzen we naar de cursussen Radiative Processes in Astronomy en Stellar Atmospheres in de Leuvense Master Sterrenkunde.

5.1.4

Het Rosseland gemiddelde van de opaciteit

De bovenstaande vergelijkingen zijn onafhankelijk van de frequentie ν vermits f, l en κ gedefinieerd werden als “gemiddelden” over alle frequenties. We bespreken nu een handige en nauwkeurige methode om dit gemiddelde voor de opaciteit κ te bepalen. We noteren het feit dat κ afhangt van de frequentie ν door een benedenindex ν toe te voegen. We doen dit voor alle relevante grootheden die frequentie-afhankelijk zijn: κν , ℓν , Dν , uν en zo verder. Voor de diffusieve stralingsflux f~ν in het frequentie interval [ν, ν +dν] schrijven we nu ~ ν met Dν = 1 cℓν = c . f~ν = −Dν ∇u (5.16) 3 3κν ρ De energiedichtheid in het frequentie interval [ν, ν + dν] wordt gegeven door uν (T ) =

ν3 4π 8πh Bν (T ) = 3 , c c exp (hν/kT ) − 1

(5.17)

waarbij Bν (T ) en uν (t) de Planck functie voor respectievelijk de intensiteit en de energiedichtheid van een zwarte straler voorstellen (zie Bijlage A). We verkrijgen zo ~ ~ ν = 4π ∂B ∇T. ∇u c ∂T

(5.18)

Deze laatste uitdrukking levert, samen met (5.16), volgende uitdrukking voor de totale, over alle frequenties ge¨ıntegreerde flux f~: ¶ µ Z Z ∞ 4π ∞ 1 ∂B ~ dν ∇T. f~ν dν = − (5.19) f~ = 3ρ 0 κν ∂T 0 We bekomen zo terug een vergelijking van de vorm (5.12), maar nu met krad =

4π 3ρ

∞

Z

0

1 ∂B dν. κν ∂T

(5.20)

Als we deze uitdrukking voor krad vergelijken met deze gegeven in (5.13), dan bekomen we een goede methode voor het uitmiddelen van de absorptieco¨effici¨ent: 1 π ≡ κ acT 3

Z

∞

0

1 ∂B dν. κν ∂T

(5.21)

Dit is het zogenaamde Rosseland gemiddelde van de opaciteit. Vermits Z

0

∞

acT 3 ∂B dν = ∂T π

(5.22)

is het Rosseland gemiddelde een harmonisch gemiddelde met gewichtsfunctie ∂B/∂T . Het is eenvoudig te bepalen eens de functie κν gekend is in de vorm van de opaciteitstabellen hierboven besproken. 72

Om de fysische interpretatie van het Rosseland gemiddelde te achterhalen herschrijven we f~ν = ~ ν met behulp van uitdrukkingen (5.16), (5.17) en (5.18): −Dν ∇u f~ν = −

µ

1 ∂B κν ∂T

¶

4π ~ ∇T. 3ρ

(5.23)

~ ), de integrand in uitdrukking Dit resultaat toont dat, voor een gegeven punt in de ster (gegeven ρ en ∇T (5.21) voor alle frequenties evenredig is met de netto energieflux f~ν . Het Rosseland gemiddelde is dus zodanig geconstrueerd dat het grootste belang wordt gegeven aan de frequenties met maximale energieflux. In die zin kan men stellen dat een gemiddelde transparantie, eerder dan opaciteit, wordt berekend. Een nadeel van het ingevoerde Rosseland gemiddelde is dat de opaciteit κ van een mengsel van twee verschillende gassen met opaciteiten κ1 en κ2 , niet gelijk is aan de som van de opaciteiten: κ 6= κ1 + κ2 . Daarom is het niet voldoende om het Rosseland gemiddelde van twee verschillende gassen, die samen in een gasmengsel optreden, te kennen voor de bepaling van het Rosseland gemiddelde van het gasmensel. Indien het gas bijvoorbeeld bestaat uit een fractie X aan waterstof en een fractie Y aan helium, dan moet het Rosseland gemiddelde berekend worden voor κν = Xκν(H) + Y κν(He) . Telkens de abondantie X/Y verandert, zal eerst κν opnieuw moeten bepaald worden vooraleer het Rosseland gemiddelde met behulp van uitdrukking (5.21) kan berekend worden. Tot nu toe hebben we ondersteld dat de energieflux enkel een gevolg is van een diffusieproces waaraan de fotonen deelnemen. In de volgende secties zullen we echter nog twee andere wijzen van energietransport bespreken. Daarom duiden we van nu af aan alle grootheden die verband houden met het radiatief energietransport aan met subindex “rad”, bijvoorbeeld κrad , f~rad , enz.

5.2 Transport door conductie Energietransport door warmte conductie treedt op door botsingen ten gevolge van de thermische beweging van deeltjes zoals elektronen en kernen in ge¨ıoniseerde materie en atomen en moleculen in niet-ge¨ıoniseerde materie. In het “doorsnee” stermateriaal is warmte conductie geen belangrijke vorm van energietransport. De werkzame doorsnede voor botsingen van de deeltjes is wel vrij laag in het sterinwendige (ongeveer 10−20 cm2 per deeltje), maar de grote dichtheid zorgt ervoor dat de gemiddelde vrije weglengte verschillende grootte-orden kleiner is dan diegene voor de fotonen. Bovendien bedragen de snelheden van de deeltjes slechts een kleine fractie van de lichtsnelheid c. Hierdoor is de diffusieco¨effici¨ent D veel kleiner dan diegene voor radiatief transport door fotonen. Deze situatie verandert echter wanneer we te maken krijgen met de sterkernen van ge¨evolueerde sterren waarin het elektronengas ontaard is. De dichtheid in een ontaard elektronengas is enorm groot: 106 g cm−3 , maar anderzijds bereiken de elektronen snelheden die een grote fractie van c bedragen. De ontaarding doet bovendien de gemiddelde vrije weglengte aanzienlijk stijgen. Hierdoor wordt de diffusieco¨effici¨ent groot, wat resulteert in een belangrijk energietransport door warmteconductie. Deze vorm van energietransport overheerst dan het radiatief transport.

73

~ . De energieflux ten gevolge van warmteconductie f~cd kunnen we eveneens schrijven als f~cd = −kcd ∇T De som van de radiatieve en conductieve flux schrijven we dan als ~ f~ = f~rad + f~cd = − (krad + kcd ) ∇T.

(5.24)

Analoog als in (5.13) kunnen we de conductieco¨effici¨ent kcd formeel schrijven als kcd =

4ac T 3 , 3 κcd ρ

(5.25)

waarbij we de conductieve opaciteit κcd ingevoerd hebben. De totale energieflux wordt dan 3

4ac T f~ = − 3 ρ

µ

1 κrad

1 ~ + ∇T. κcd ¶

(5.26)

Deze vergelijking toont dat we formeel dezelfde vergelijking bekomen als in de zuivere radiatieve situatie (5.11), indien we 1/κ daar vervangen door 1/κrad + 1/κcd . Het transportmechanisme dat domineert (dat de grootste “transparantie” heeft) zal op deze wijze de som domineren. Vergelijking (5.15) met aangepaste κ geldt zowel voor radiatief als conductief transport. We zullen deze vergelijking nu herschrijven in een vorm die later handig zal blijken. In de onderstelling van hydrostatisch evenwicht delen we (5.15) door (3.17) en bekomen zo (∂T /∂m) κl 3 = . (∂P/∂m) 16πacG mT 3

(5.27)

We defini¨eren dan de verhouding van de parti¨ele afgeleiden in het linkerlid als (dT /dP )rad : de variatie van T met de diepte waarbij de diepte wordt uitgedrukt in termen van de druk, welke monotoon stijgt naar de sterkern toe. Voor een ster in hydrostatisch evenwicht die energie transporteert via straling en conductie heeft (dT /dP )rad de betekenis van een gradi¨ent die de temperatuursvariatie met de diepte beschrijft. Voeren we de gebruikelijke afkorting µ ¶ d ln T ∇rad ≡ (5.28) d ln P rad in, dan bekomen we voor (5.27)

κlP 3 , (5.29) 16πacG mT 4 waarbij κ steeds duidt op de gecombineerde opaciteit ten gevolge van zowel conductief als radiatief transport. ∇rad noemt men de radiatieve temperatuursgradi¨ent. Het is een lokale logaritmische afgeleide van de temperatuur naar de druk die nodig zou zijn indien de lichtkracht volledig zou moeten worden getransporteerd door straling. ∇rad =

We merken op dat ∇rad en ∇ad verschillend gedefinieerd zijn en naast een verschillende numerieke waarde ook een andere fysische betekenis hebben. ∇rad duidt op een lokale afgeleide die P en T verbindt in twee naburige massa-elementen terwijl ∇ad een thermodynamische afgeleide is, die de thermische variatie van e´ e´ n bepaald massa-element beschrijft gedurende zijn adiabatische compressie. Opnieuw kunnen we een karakteristieke tijdschaal defini¨eren aan de hand van vergelijking (5.29), namelijk de thermische tijdschaal of ook de tijdschaal van thermische aanpassing τth . Men kan tonen dat 74

τth ≈ τHK wanneer we een gemiddelde waarde van deze tijdschalen over de gehele ster beschouwen. Dit betekent dat de Helmholtz-Kelvin tijdschaal kan beschouwd worden als de tijd die een thermische fluctuatie nodig heeft om van de sterkern naar het steroppervlak te reizen. Ondanks de equivalentie tussen de twee tijdschalen is het best om ze apart te gebruiken. Het is immers zo dat de Helmholtz-Kelvin tijdschaal meestal gebruikt wordt voor de gehele ster terwijl de tijdschaal van thermische aanpassing vaak gebruikt wordt voor bepaalde lokale lagen in de ster en dat deze waarden fel verschillen van laag tot laag.

5.3 Stabiliteitsanalyse Tot nu toe hebben we onze behandeling gebaseerd op de onderstelling van strikte sferische symmetrie. We onderstellen dus dat alle functies constant zijn over concentrische sferen. In de praktijk treden er kleine fluctuaties op, bijvoorbeeld de thermische beweging van de gasdeeltjes. Zulke lokale storingen kunnen verwaarloosd worden, op voorwaarde dat ze nooit uitgroeien tot macroscopische niet-sferische lokale bewegingen. Dit betekent dat we de onderstelling van sferische symmetrie in de basisvergelijkingen mogen bewaren indien we de veranderlijken beschouwen als nauwkeurige gemiddelde waarden over de concentrische sferen. De microscopische bewegingen kunnen echter een grote invloed op de sterstructuur hebben. Zo kunnen ze het stermateriaal vermengen (“mixing”) en bovendien energie transporteren. Dit laatste omdat hete gasbellen zullen stijgen terwijl koelere gasbellen dieper zinken. We spreken dan van energietransport ten gevolge van convectie. Het feit of convectie al dan niet optreedt in bepaalde sterlagen hangt af van het antwoord op de vraag of kleine optredende fluctuaties klein blijven dan wel kunnen uitgroeien. We hebben hier dus te maken met een vraag van stabiliteit. Daarom zullen we eerst criteria afleiden voor de stabiliteit t.o.v. lokale niet-sferisch symmetrische storingen alvorens convectief energietransport te behandelen.

5.3.1

Dynamische instabiliteit

Het behandelen van dynamische instabiliteit steunt op de onderstelling dat de bewegende massa-elementen niet voldoende tijd hebben om een aanzienlijke fractie van hun warmte uit te wisselen met hun omgeving. Ze bewegen m.a.w. adiabatisch1 . Beschouw de situatie waarbij de fysische grootheden zoals temperatuur, dichtheid enz., de mogelijkheid hebben om niet exact constant te zijn aan de rand van een concentrische sfeer maar dat ze kleine fluctuaties kunnen ondergaan. Bij de behandeling van het globale probleem van de sterstructuur nemen we dan aan dat de functies die in vorige delen bepaald werden goede gemiddelden over de concentrische sferen zijn. Voor de lokale beschrijving zullen we een fluctuatie voorstellen door een massa-element (met benedenindex “e”) te beschouwen waarin de functies een lichtjes andere waarde aannemen dan diegenen in de 1

Wanneer de massa-elementen wel voldoende tijd hebben om een aanzienlijke fractie van hun warmte uit te wisselen, bewegen ze diabatisch; men spreekt in de sterrenkunde in dit geval echter van een niet-adiabatische beweging, wat dus een dubbele negatie is.

75

Figuur 5.1: Het element “e” met oorspronkelijke positie r wordt door een fluctuatie opgetild naar positie r + △r. naburige omgeving, aangeduid met benedenindex “o” (omgeving). Voor een grootheid A defini¨eren we het verschil DA tussen het element en de omgeving als DA ≡ Ae − Ao . Onderstel nu een kleine temperatuursfluctuatie, bijvoorbeeld het voorkomen van een iets heter element met DT > 0. We zouden dan in eerste instantie een exces aan druk DP kunnen verwachten. Wat er echter zal gebeuren is dat het element zal uitzetten tot het drukevenwicht met de omgeving hersteld is. Deze expansie zal optreden met de geluidssnelheid en is bijgevolg veel sneller dan eender welke beweging die het element kan ondergaan. Daarom kunnen we onderstellen dat het element altijd in evenwicht blijft met zijn omgeving wat de druk betreft: DP = 0. Voor een ideaal gas met ρ ∼ P/T heeft het exces aan temperatuur DT dus tot gevolg dat Dρ < 0, m.a.w. het element wordt lichter dan diegenen in zijn omgeving en daardoor zal de stuwkracht van Archimedes, gegeven door −g△ρ, ervoor zorgen dat het element opgetild wordt. Temperatuursfluctuaties gaan dus gepaard met bewegingen van elementen in de radiale richting. Voor het testen van de stabiliteit van de laag kunnen we dus evenzeer een radiale verplaatsing △r > 0 van de elementen als initi¨ele perturbatie nemen. Beschouw dus een element dat volledig in evenwicht was met zijn omgeving op zijn originele positie r maar dat door een fluctuatie wordt opgetild naar de positie r + △r (zie figuur 5.1). Het dichtheidsverschil tussen het element en zijn omgeving op positie r + △r bedraagt Dρ =

·µ

dρ dr

¶

e

−

µ

dρ dr

¶ ¸ o

△r,

(5.30)

waarbij (dρ/dr)e staat voor de verandering van de dichtheid van het element ten gevolge van het stijgen en de andere afgeleide een analoge betekenis heeft voor de dichtheid van de omgeving. Dρ geeft aanleiding tot ~ per eenheidsmassa. Men noemt deze de stuwkracht een radiale component Kr = −gDρ/ρ van een kracht K ~ is van Archimedes. Wanneer Dρ < 0 is het element lichter dan die in de omgeving en is Kr > 0, m.a.w. K opwaarts gericht. Deze toestand is onstabiel vermits het element nog verder zal opgetild worden. Anderzijds 76

~ dus neerwaarts gericht. Het element is dan zwaarder dan die in is Kr < 0 bij Dρ > 0. In dit geval is K de nieuwe omgeving waar het zich bevindt en als gevolg wordt het element terug naar beneden getrokken, wordt het evenwicht hersteld en blijft de laag stabiel. Als voorwaarde voor stabiliteit bekomen we dus µ

dρ dr

¶

e

−

µ

dρ dr

¶

> 0.

(5.31)

0

Dit criterium is jammer genoeg niet practisch toe te passen omdat het steunt op de kennis van de dichtheidsgradi¨ent, een grootheid die niet optreedt in de basisvergelijkingen van de sterstructuur. Het zou veel handiger zijn indien we een criterium konden afleiden dat gebaseerd is op de temperatuursgradi¨ent, vermits deze optreedt in de vergelijking die het (radiatief en conductief) energietransport beschrijft. Om (dρ/dr)e correct uit te rekenen moeten we in principe de energie uitwisseling tussen het element en zijn omgeving bepalen. We maken hier de benadering dat er geen warmte uitwisseling is, m.a.w. dat het element zich adiabatisch verplaatst. Voor gebieden niet te ver van het sterinwendige is dit een goede benadering. Om nu de afgeleide van de dichtheid om te zetten naar een afgeleide van de temperatuur beschouwen we de toestandsfunctie ρ = ρ(P, T, µ) in de volgende differentiaalvorm: dρ dP dT dµ =α −δ +ϕ . ρ P T µ

(5.32)

Definities van α en δ werden reeds ingevoerd. In betrekking (5.32) hebben we tevens een verandering in chemische samenstelling, welke gekenmerkt wordt door het moleculair gewicht µ, toegelaten. We onderstellen hierbij dat dµ = 0 voor het element dat zijn chemische samenstelling met zich meedraagt, maar dµ 6= 0 voor de omgeving indien het element terechtkomt in een laag met andere chemische samenstelling. Hiertoe voeren we naar analogie met α en δ, welke nu moeten ge¨evalueerd worden voor constante T, µ respectievelijk P, µ, de volgende afgeleide in: ϕ≡

µ

∂ ln ρ ∂ ln µ

¶

.

(5.33)

P,T

Voor een ideaal mono-atomische gas hebben we ρ ∼ P µ/T en dus α = δ = ϕ = 1. Het stabiliteitscriterium (5.31) kan nu met behulp van (5.32) geschreven worden in de vorm µ

α dP P dr

¶

e

−

µ

δ dT T dr

¶

e

−

µ

α dP P dr

¶

+ o

µ

δ dT T dr

¶

o

−

µ

ϕ dµ µ dr

¶

> 0.

(5.34)

o

De som van de twee termen die de drukgradi¨ent bevatten zijn nul omwille van de onderstelling DP = 0. We voeren nu een schaalhoogte van druk HP in: HP ≡ −

dr dr = −P . d ln P dP

(5.35)

Vermits P daalt met stijgende r is HP > 0. Geschreven in termen van HP is de voorwaarde voor hydrostatisch evenwicht: HP = P/ρg. HP heeft de dimensie van een lengte. Het is nl. de lengte die de radiale variatie van P karakteriseert. Typische waarden zijn HP = 1.4 × 107 cm in de fotosfeer van de Zon en ongeveer 5.2 × 109 cm op een diepte gelijk aan R⊙ /2. Dicht bij het stercentrum wordt HP oneindig lang. 77

Wanneer we nu alle termen van (5.34) vermenigvuldigen met HP > 0 en rekening houden met δ > 0 wordt de voorwaarde voor stabiliteit omgevormd tot µ

d ln T d ln P

¶

< o

µ

d ln T d ln P

¶

ϕ + δ e

µ

d ln µ d ln P

¶

.

(5.36)

o

Analoog aan de grootheden ∇rad en ∇ad defini¨eren we nu drie nieuwe afgeleiden: ∇≡

µ

d ln T d ln P

¶

o

, ∇e ≡

µ

d ln T d ln P

¶

e

, ∇µ ≡

µ

d ln µ d ln P

¶

.

(5.37)

o

∇ en ∇µ zijn ruimtelijke afgeleiden, die ge¨evalueerd dienen te worden in de nieuwe omgeving van het massa-element. In de gedefinieerde afgeleiden wordt de variatie van T en µ met de diepte beschouwd, waarbij P als een maat voor de diepte optreedt. ∇e beschrijft de variatie van T in het element tijdens zijn beweging, waarbij de positie van het element eveneens uitgedrukt wordt in termen van de druk P . ∇e en ∇ad zijn gelijkaardig gedefinieerd, vermits beiden de temperatuursvariatie van het gas in een massa-element, dat een drukverandering ondergaat, beschrijven. Daarentegen beschrijven ∇rad en ∇µ de ruimtelijke variatie van T en µ in de omgeving. Wanneer ∇ = ∇rad gebeurt al het energietransport door straling. Is daarentegen ∇ < ∇rad dan gebeurt een gedeelte van het energietransport door convectie. De voorwaarde voor stabiliteit wordt nu: ϕ ∇µ . (5.38) δ In een laag waarin het energietransport enkel gebeurt door straling hebben we ∇ = ∇rad . We onderzoeken nu de stabiliteit van zulk een laag in de onderstelling dat de elementen adiabatisch bewegen (∇e = ∇ad ). De voorwaarde voor stabiliteit luidt nu ϕ ∇rad < ∇ad + ∇µ . (5.39) δ Deze stabiliteitsvoorwaarde staat bekend als het criterium van Ledoux voor dynamische stabiliteit. ∇ < ∇e +

In een gebied met een homogene samenstelling bekomen we het Schwarzschild criterium voor dynamische stabiliteit: ∇rad < ∇ad . (5.40) Wanneer in de twee criteria het linkerlid groter is dan het rechterlid, is de laag dynamisch instabiel. Dit betekent dat het energietransport door straling een te grote temperatuursgradi¨ent zou opleggen, waardoor moet overgegaan worden tot convectie om de energie af te voeren. Wanneer beide leden gelijk zijn spreken we van marginale stabiliteit. Het verschil tussen de twee criteria is alleen van belang voor lagen waarin de chemische samenstelling verandert in de radiale richting. Dit treedt op in lagen dicht bij de kern van ge¨evolueerde sterren, waar de zwaardere elementen dieper in de ster geproduceerd worden dan de lichtere elementen zodat µ fel verandert naar binnen toe. De laatste term in het rechterlid van het Ledoux criterium heeft dan een stabiliserende werking vermits een element dan zwaarder materiaal zal doen optillen naar een omgeving met lichter materiaal. De stuwkracht van Archimedes zal het zwaardere element dan terug naar beneden brengen totdat het zijn oorspronkelijke plaats terug inneemt. Wanneer de criteria van Ledoux of Schwarzschild voldaan zijn, dan gebeurt het energietransport uitsluitend radiatief en hebben we ∇ = ∇rad . Er treden enkel convectieve bewegingen op in een ster wanneer de criteria van Ledoux of Schwarzschild niet voldaan zijn. Dit gebeurt wanneer : 78

• l(r)/m(r) groot is, m.a.w. wanneer de energieproductie binnen een straal r bijzonder groot is. Dit treedt op in zware sterren, waardoor deze een convectieve kern zullen hebben. • de opaciteit κ groot is. Dit treedt op in (de buitenste lagen van) sterren met lage (oppervlakte-) temperaturen. • ∇ad klein is. Dit treedt vooral op in de parti¨ele ionisatiezones van waterstof, in de buitenlagen van koele sterren omdat cP daar bijzonder groot wordt (de warmte die wordt opgeslorpt wordt vooral gebruikt om de materie verder te ioniseren, niet om ze op te warmen). In dat geval zullen kleine storingen uitgroeien tot een grote amplitude totdat het hele gebied “kookt” van convectieve bellen die een deel van de energieflux vervoeren. Het energietransport moet dan behandeld worden zoals beschreven in de volgende sectie. Hieruit voorspellen we dus dat convectie optreedt in de binnenste regionen van zware sterren en verder in de buitenlagen van koele sterren. De verschillende ingevoerde temperatuursgradi¨enten voor de huidige Zon worden voorgesteld in figuur 5.2. Zoals reeds aangehaald wordt ∇rad bijzonder groot in de buitenlagen van de Zon ten gevolge van de felle toename in de opaciteit. Verder daalt ∇ fel beneden 2/5 in de ionisatiezones van waterstof en helium. In het gebied dat convectief stabiel is geldt ∇ = ∇rad en wordt de energie uitsluitend door straling afgevoerd. In bijna de gehele convectieve zone is ∇ slechts een weinig groter dan ∇ad , behalve in een zeer dunne laag aan het bovenste gedeelte van de convectiezone. We merken nog op dat de criteria voor stabiliteit lokale criteria zijn. Hierdoor kunnen ze gemakkelijk ge¨evalueerd worden voor een bepaalde laag wanneer daar de lokale grootheden P, T en ρ gekend zijn, zonder dat we informatie over de andere delen van de ster nodig hebben. Anderzijds is het duidelijk dat de convectieve bewegingen niet enkel kunnen afhangen van lokale krachten (zoals ondersteld bij de afleiding van de criteria). Convectieve bewegingen kunnen een invloed hebben op de gehele sterstructuur, vermits ze in realiteit gekoppeld zijn aan alle naburige lagen via de basisvergelijkingen. Voor sommige doeleinden moet de reactie van de gehele ster t.o.v. convectie beschouwd worden. Een voorbeeld hiervan is de preciese bepaling van de grenzen van een convectieve zone, waar massa-elementen die elders versneld werden “overschieten” tot hun beweging gestopt wordt. Het is nog steeds niet duidelijk hoe belangrijk het overschieten is, terwijl dit effect van groot belang is bij het bepalen van evolutiemodellen. We komen hier verder op terug, maar dienen voor een gedetailleerde discussie eerst een bespreking te maken van convectief energietransport.

5.3.2

Vibrationele instabiliteit

In een dynamisch stabiele laag wordt een verplaatst massa-element teruggehaald ten gevolge van de stuwkracht van Archimedes. Hierdoor heeft het echter impuls gewonnen, zal het overschieten en zodoende beginnen oscilleren. Indien in zulk een laag ook nog bepaalde niet-adiabatische effecten optreden, waarbij het element warmte afgeeft aan zijn omgeving door straling bij het uitzetten en warmte opneemt bij het krimpen, en bovendien de laag niet homogeen is in chemische samenstelling, kan nog een andere soort in79

Figuur 5.2: De verschillende temperatuursgradi¨enten in de huidige Zon. De volle lijn toont de effectieve temperatuursgradi¨ent ∇. De puntjeslijn stelt de adiabatische temperatuursgradi¨ent ∇ad voor. De streepjeslijn, tenslotte, stelt de radiatieve temperatuursgradi¨ent ∇rad voor. Het bovenste paneel toont het gehele model en het onderste paneel slechts een zeer klein gebied nabij het zonsoppervlak. In het radiatieve gebied, wat zich ongeveer uitstrekt tot r ≤ 0.72R⊙ , geldt ∇ = ∇rad en vallen de volle en streepjeslijn samen. In de convectiezone is ∇ zo goed als gelijk aan ∇ad en vallen de volle en puntjeslijn samen, behalve uiterst dicht bij het oppervlak, waar de straling geen moeite meer heeft om snel te ontsnappen.

80

stabiliteit optreden. Dit gebeurt in een laag met een temperatuursgradi¨ent ∇ waarin enkel het criterium van Ledoux voldaan is, maar niet dat van Schwarzschild: ∇ad < ∇rad < ∇ad +

ϕ ∇µ . δ

(5.41)

In dit geval is de laag dynamisch stabiel maar kan er een vibrationele instabiliteit optreden. Zulke vibrationele instabiliteit is verantwoordelijk voor de pulsaties die in sterren optreden. We verwijzen naar de mastercolleges Asteroseismology en Theory of Stellar Oscillations voor een nauwkeurige omschrijving van de voorwaarden en gevolgen van het optreden en aangroeien van vibrationele instabiliteit.

5.4 Transport door convectie Wanneer de opaciteit of de hoeveelheid te transporteren energie te groot wordt, kan stralingstransport niet langer op een stabiele wijze instaan voor het effici¨ent afvoeren van de energie. Convectie neemt dan de taak van energie-afvoerder over. Onder convectief energietransport verstaan we een uitwisseling van energie tussen hetere en koelere lagen in een dynamisch instabiele laag door middel van het uitwisselen van macroscopische massa-elementen. Hierbij bewegen de hetere convectieve cellen naar boven terwijl de koelere dieper zinken. De bewegende cellen zullen oplossen in hun nieuwe omgeving en op die manier hun teveel of tekort aan warmte afstaan. Vermits de dichtheid nabij de sterkern zeer hoog is, kan convectie een enorm effici¨ente wijze zijn om energie te transporteren. Een gedetailleerde theoretische behandeling van convectieve bewegingen in sterren is uiterst moeilijk en daardoor nog niet voorhanden. Dit is niet verwonderlijk, want zelfs convectieve bewegingen in een ketel met kokend water geven aanleiding tot zulk een complexe hydrodynamische bewegingen dat zelfs deze laatsten niet begrepen zijn. Het oplossen van de hydrodynamische vergelijkingen voor sterren waarbij convectie in rekening gebracht wordt, is tot nu toe enkel gebeurd voor vereenvoudigde situaties die uitgetest konden worden in laboratoria. Convectie in sterren gebeurt echter in extreme omstandigheden waarbij turbulente bewegingen enorm grote hoeveelheden energie transporteren in een zeer samendrukbaar gas, welk op zijn beurt een druk, dichtheid, temperatuur en graviteit heeft die vele grootte-orden van elkaar verschillen in verschillende lagen. Er zijn vele pogingen ondernomen om convectie zo nauwkeurig mogelijk in rekening te brengen. We beperken ons hier tot de beschrijving van de reeds lang ontwikkelde en eenvoudigste methode: de “mixing length” theorie. Deze theorie staat toe om convectie lokaal te behandelen op een relatief eenvoudige wijze. Bovendien is deze benadering de beste die tot nu toe voorhanden is voor gebieden nabij het sterinwendige. We zullen bovendien alleen sterren in hydrostatisch evenwicht beschouwen en we onderstellen ook dat de convectie tijdsonafhankelijk is. De mixing length theorie onderstelt dat convectie kan vergeleken worden met warmtetransport door moleculen. De transporterende deeltjes zijn dan echter macroscopische “bellen” in plaats van moleculen en hun gemiddelde vrije weglengte (“mixing length”) is de afstand waarover de bellen bewegen alvorens ze “oplossen” in hun nieuwe omgeving. De totale energieflux l/4πr2 in een gegeven punt bestaat nu uit de

81

som van de radiatieve flux frad (waarin we de eventuele bijdrage van conductie opnemen) en de convectieve flux fcon . We hebben in (5.29) ∇rad gedefinieerd als de gradi¨ent die nodig zou zijn om de totale energieflux te transporteren met behulp van straling. Een gedeelte van de flux wordt nu echter getransporteerd door convectie, waardoor de onbekende eigenlijke radiatieve gradi¨ent ∇ van de laag kleiner zal zijn: frad + fcon =

4acG T 4 m ∇rad 3 κP r2

(5.42)

en

4acG T 4 m ∇. (5.43) 3 κP r2 Hierbij is ∇ een nieuwe te bepalen onbekende. Hiervoor hebben we een uitdrukking voor fcon nodig. Men onderstelt dan dat het convectief element zich radiaal beweegt over een afstand ℓm met een snelheid v en vervolgens terechtkomt in een omgeving waartegenover het een temperatuursexces DT heeft. Het lost daar op en geeft zijn surplus aan inwendige energie af. Omwille van de onderstelling dat het element in drukevenwicht blijft: DP = 0, bedraagt de afgegeven warmte cP DT . De lokale convectieve energieflux corresponderend met deze warmte-afgave bedraagt daarom fcon = ρvcP DT . frad =

Men maakt dan een hele reeks onderstellingen om fcon effectief uit te rekenen, o.a. over de hoeveelheid arbeid geleverd door de bel alvorens ze oplost in haar nieuwe omgeving, over de fractie van deze arbeid die wordt omgezet in kinetische energie van de bel en van de omringende massa-elementen, over het stralingsenergieverlies van de bel (doordat ze terechtkomt in een koelere omgeving), etc. Op die manier slaagt men erin ∇ te schatten. We laten hier deze complexe berekeningen achterwege, maar geven ze weer in Bijlage B. Het zwakke punt van de theorie van de mixing length (of eender welke variant ervan) is dat we geen fysische grondslag hebben die toelaat een waarde te berekenen voor ℓm . Daarom wordt de mixing length steeds als een vrije parameter genomen en uitgedrukt in schaalhoogte van druk: ℓm = αHP . Om een plausibele waarde te kiezen onderstelt men dat het belangrijkste gedeelte van het convectief energietransport gebeurt door de grootste bellen en dat deze geen merkelijk langere weg kunnen afleggen dan hun eigen diameter vooraleer ze hun identiteit verliezen. Voor de Zon vindt men α ≈ 1.75 omdat dit stermodellen oplevert die het best in overeenstemming zijn met waarnemingen van velerlei aard (o.a. de zonsoscillaties). Men neemt dan aan dat het energietransport in alle andere sterren ongeveer dezelfde eigenschappen heeft als voor de Zon en beschouwt daarom veelal α ∈ [1.5, 2.0] bij de berekening van het convectief transport in stermodellen. Bovendien, en dit is een veel grotere tekortkoming, is het zeer moeilijk om de precieze locatie te bepalen van de overgangslaag tussen een radiatieve en een convectieve zone. Dit komt omdat deze locatie afhangt van het zogenaamde fenomeen van “convectief overschieten”. Deze term wordt gebruikt om aan te duiden dat de convectieve bellen niet abrupt stoppen wanneer ze de radiatieve zone binnentreden, omwille van hun inertie. Hun beweging gaat nog “even” verder. In technische termen drukt men dit uit door nog een vrije parameter in te voeren, die men de overschiet-parameter αov noemt. Deze is evenzeer gedefinieerd als een dimensieloze parameter uitgedrukt in schaalhoogte van druk. De bellen bewegen dus nog verder over een afstand αov HP wanneer ze een radiatieve zone binnendringen. Een waarde voor αov is nauwelijks gekend, en zou best wel eens heel verschillend kunnen zijn voor de convectiezones in sterren van verschillende 82

massa. Men beschouwt meestal αov ∈ [0.0, 0.5] in moderne sterstructuurmodellen. Dit impliceert dan dat de convectieve zone “uitloopt” over een afstand αov HP in een gebied waarin ook reeds stralingstransport gebeurt. Het is tot op heden niet duidelijk hoe het energietransport in deze overgangszone gebeurt, i.e. of men er best ∇rad of ∇ad gebruikt. E´en van de grote doelstellingen in het onderzoek naar sterstructuur is een observationele bepaling realiseren van αov voor verschillende soorten sterren, met name diegenen met M > 2 M⊙ waarvoor de uitgebreidheid van de convectieve zone rondom de kern rechtstreeks de hoeveelheid stermateriaal bepaalt dat deelneemt aan de kernfusie. In die zin is de onbekende parameter αov een cruciale onbekende in de theorie van de sterstructuur. Onafhankelijke methodes om αov observationeel te bepalen worden behandeld in de cursussen Asteroseismology en Binary Stars. Naast het zopas besproken convectief energietransport heeft convectie nog een belangrijk effect voor het leven van de ster. Convectie is namelijk verantwoordelijk voor het vermengen van het stermateriaal en het doet dit op een tijdschaal die veel korter is dan de andere relevante tijdschalen die we tot nu toe behandelden. Daarom onderstelt men instantane vermenging in de hele convectieve zone. Hoe effici¨ent de vermenging in de overschiet-zone gebeurt, is momenteel niet duidelijk. Op die manier levert de convectie dus ook een belangrijke bijdrage tot de chemische geschiedenis van de ster. We komen hierop terug in het volgende hoofdstuk. Dan tenslotte nog een opmerking i.v.m. het verwaarlozen van de interne rotatie, en dus van de Coriolisen centrifugaalkracht bij de bepaling van de sterstructuur. Het voornaamste effect van niet-starre interne rotatie is dat het, evenals convectie, effici¨ente vermenging van het stermateriaal met zich meebrengt. In die zin is onze verwaarlozing van rotatie geen drama, omdat de vermenging van het stermateriaal algemeen wordt beschreven door αov mee te nemen in de berekeningen. Een gedeelte van de waarde van αov kan te wijten zijn aan convectief overschieten, een ander gedeelte aan rotationele vermenging. Het netto effect van beiden op sterevolutie valt niet te onderscheiden en in die zin hebben we het voornaamste effect van de interne rotatie in feite toch wel in rekening gebracht, zij het in geparametriseerde vorm.

83

84

Hoofdstuk 6

De chemische samenstelling van de materie 6.1 De relatieve massa abondanties De chemische samenstelling van het stermateriaal is uitermate belangrijk omdat het de basiseigenschappen zoals straling en energieproductie door kernreacties bepaalt. Deze reacties veranderen op hun beurt de chemische samenstelling. Het zijn de kernreacties die het leven van de ster vastleggen. De chemische samenstelling van de ster op het tijdstip t wordt beschreven door de functies Xi = Xi (m, t) met m ∈ [0, M ]. Om de chemische samenstelling te beschrijven is het voordelig om m als onafhankelijk veranderlijke te nemen. Immers, zouden we een beschrijving in termen van r voorstellen, dan zouden alle functies Xi (r, t), en tevens alle functies die afhangen van de chemische samenstelling, veranderen bij een kleine expansie of contractie met massabehoud. Vaak gebruikt men ook het deeltjesaantal per volume ni voor deeltjes met massa mi : Xi = mi ni /ρ. Meestal hoeft men niet veel verschillende Xi ’s te defini¨eren omdat de meeste deeltjes ofwel te zeldzaam zijn, ofwel een verwaarloosbare rol spelen, ofwel een constante abondantie in de loop van de tijd hebben. Voor de meeste doeleinden volstaat het om enkel de massafracties van waterstof, helium en “alle andere” elementen (ook de “zware” elementen genoemd) samen te specifi¨eren. We gebruiken hierdoor de notatie X ≡ XH , Y ≡ XHe , Z ≡ 1 − X − Y.

(6.1)

Voor een “gemiddelde” ster ligt X nu in het interval [0.70,0.73]. Anderzijds varieert de massaabondantie van de zware elementen sterk, van Z = 10−6 tot ongeveer Z = 0.04. Dit heeft belangrijke gevolgen voor onze kennis over de chemische evolutie van het Heelal. Tijdens de Big Bang werden vooral waterstof en helium, en zo goed als geen andere elementen (behalve een beetje lithium), gevormd (zie verder). Dit verklaart de relatief constante abondanties X, Y . Alle zwaardere elementen worden gevormd door de nucleosynthese in de sterren. Tijdens de late evolutiefasen van sterren verliezen deze een grote fractie van hun massa aan het interstellair medium, hetzij door een sterke sterrenwind op de asymptotische reuzentak, hetzij tijdens een supernova explosie (zie Deel III). Zodoende wordt het interstellair medium verrijkt 85

met zware elementen, welke dan vervolgens opgenomen worden in de nieuwe sterren die uit dit medium geboren worden. Hieruit volgt dat het brede gamma aan Z-waarden ge¨ınterpreteerd moet worden als een brede waaier aan leeftijden van sterren. De sterren met lage Z zijn eerste-generatie sterren welke gevormd zijn nog v´oo´ r er een significante chemische verrijking van het interstellair midden heeft plaatsgehad. De kernreacties zullen uiteraard de oorspronkelijke samenstelling X, Y, Z veranderen en dit eenvoudige beeld ingewikkelder maken. Voor sommige doeleinden, bijvoorbeeld als men verhoudingen van isotopen (zie verder) wil bestuderen, zal de beschrijving in termen van slechts drie typen Xi niet volstaan. Op de relatieve verdeling van de deeltjes binnen de Z groep, in het bijzonder de verdeling van C,N,O welke van belang zijn voor de waterstofverbranding, komen we later terug.

6.2 Variaties van de chemische samenstelling van sterren tijdens hun leven 6.2.1

Variatie door kernreacties

Veronderstel dat de Xi enkel kunnen veranderen door het optreden van kernreacties, welke kernen van type i veranderen binnen een massa-element. De frequentie van een bepaalde reactie wordt gegeven door de reactiesnelheid rlm . Deze is gelijk aan het aantal reacties per eenheidsmassa en per eenheid van tijd die deeltjes van type l omzet in deeltjes van type m. In het algemeen kan een deeltje van type i door verschillende reacties be¨ınvloed worden, waarvan sommigen het deeltje zullen vernietigen (rik ) en anderen het deeltje zullen cre¨eren (rji ). De reacties geven de verandering van ni per seconde. Vermits Xi = mi ni /ρ hebben we:   X X ∂Xi rik  , i = 1, . . . , I (6.2) = mi  rji − ∂t j k

voor alle elementen van type 1, . . . , I die betrokken zijn in de reacties. Wanneer meer dan e´ e´ n kerndeeltje van type i gevormd of vernietigd wordt per reactie, dan kan dit in rekening gebracht worden door de corresponderende term in de som te vermenigvuldigen met een factor die gelijk is aan het aantal deeltjes i die betrokken zijn bij de reactie.

De reactie p → q die een deeltje van type p transformeert is verbonden met een winst of verlies aan energie epq . In de vergelijking die het behoud van energie uitdrukt, hebben we de energieproductie ε per eenheidsmassa en per eenheid van tijd ingevoerd. ε bevat bijdragen van verschillende reacties en kan geschreven worden in termen van de reactiesnelheden: ε=

X

εpq =

p,q

X

rpq epq .

(6.3)

p,q

We voeren nu de energie in die gegenereerd wordt wanneer een eenheidsmassa van louter deeltjes van type p worden omgezet naar deeltjes van type q: qpq = epq /mp . Voor eenvoudige gevallen is het handig om (6.2) te herschrijven in termen van ε vermits deze grootheid reeds optreedt in de vergelijking van

86

energiebehoud. Wanneer alle reacties een positieve bijdrage leveren tot ε kunnen we (6.2) omvormen tot 



∂Xi X mi εji X εik  = − . ∂t mj qji qik j k

(6.4)

Wanneer I verschillende type deeltjes gelijktijdig deelnemen aan de kernreacties vormen (6.2) of (6.4) een stel van I differentiaalvergelijkingen. Vermits e´ e´ n daarvan kan vervangen worden met behulp van de normeringsvoorwaarde (2.24) hebben we nog I − 1 reactievergelijkingen nodig om het stel basisvergelijkingen die de sterstructuur bepalen te vervolledigen. In eenvoudige situaties kan het volstaan om slechts e´ e´ n reactievergelijking toe te voegen. Dit is het geval als waterstofverbranding de enige oorzaak van kernreacties is die relevant is voor de energieproductie. Stellen we de energieproductie van alle typen waterstofverbranding voor door εH , dan is de enige vergelijking die moet beschouwd worden ∂X εH =− , (6.5) ∂t qH met ∂Y /∂t = −∂X/∂t waarbij qH de energiewinst per eenheidsmassa is wanneer waterstof wordt omgezet in helium. We voerden eerder reeds een algemene nucleaire tijdschaal τn in gedefinieerd door τn = En /L. Voor elk type van verbranding kan men een nucleaire tijdschaal τn,i defini¨eren. Dit is de tijdsspanne waarop uitputting van een bepaald type deeltje i ten gevolge van verbranding optreedt.

6.2.2

Variatie ten gevolge van convectie

Het proces van vermenging van stermateriaal ten gevolge van turbulente convectieve bewegingen is een proces dat op zeer korte tijd actief is in vergelijking met de zeer trage variatie in chemische samenstelling veroorzaakt door kernreacties. Het is daarom een goede benadering om de chemische samenstelling van een convectieve laag als constant te beschouwen: ∂Xi /∂m = 0, m.a.w. de laag homogeen te onderstellen. Onderstel dat er zich een convectieve zone uitstrekt van massaschil m1 tot massaschil m2 (zie figuur 6.1). Binnen dat massa-interval zijn alle Xi = Xi constant. Aan de randen van de convectielaag kan in het algemeen een discontinu¨ıteit optreden: de “buitengrenzen” Xi1 en Xi2 zijn dan verschillend van de “binnenwaarde” Xi . Nu is het zo dat, naast de abondanties van de deeltjes van type i ook m1 en m2 kunnen veranderen in de loop van de tijd. De abondanties in een convectieve zone veranderen daarom volgens ∂Xi 1 = ∂t m2 − m1

µZ

m2

m1

´ ∂m ³ ´¶ ∂Xi ∂m2 ³ 1 Xi2 − Xi − Xi1 − Xi dm + ∂t ∂t ∂t

(6.6)

(bewijs wordt achterwege gelaten). Uitdrukking (6.6) toont dat de chemische samenstelling in een convectiezone gemakkelijk kan veranderen, zelfs indien er geen kernreacties plaatsvinden (∂Xi /∂t = 0) in deze zone. Dit gebeurt namelijk wanneer de grens van de convectieve zone binnendringt in een gebied met een andere, niet-homogene chemische samenstelling. Op deze manier kunnen de sporen van vroegere kernreacties naar het steroppervlak 87

Figuur 6.1: De chemische samenstelling in de convectieve zone, welke zich uitstrekt van massaschil m1 tot massaschil m2 , is constant. Aan de randen van de convectielaag treedt een discontinu¨ıteit in de Xi op. getransporteerd worden, kan verse brandstof binnengebracht worden in een zone waarin verbranding optreedt of kunnen discontinu¨ıteiten optreden die de sterevolutie drastisch veranderen.

6.3 Werkzame doorsneden De reactie tussen deeltjes wordt grotendeels veroorzaakt door de sterke wisselwerking, welke optreedt tussen de nucleonen (protonen en neutronen). Het bereik van de sterke wisselwerking wordt bepaald door de uitgebreidheid van het desbetreffende deeltje. De Coulomb potentiaal van het deeltje bepaalt of de nucleaire aantrekkingskracht of de Coulomb afstoting domineert. De overgang tussen beiden gebeurt nagenoeg op een afstand r0 gelijk aan de straal van het deeltje, welke typisch van de orde van 10−13 cm is (zie figuur 6.2). Opdat een reactie zou plaatsgrijpen moeten de verschillende deeltjes zodanig dicht bij elkaar gebracht worden dat de Coulomb afstoting overwonnen wordt. In de praktijk betekent dit dat de deeltjes elkaar nagenoeg moeten raken. Men kan gemakkelijk aantonen dat de diepte van de Coulomb-potentiaalput vooral bepaald wordt door de lading van de deeltjes en dat de waarde ervan van de orde van MeV is. Dit toont meteen aan hoe moeilijk het is om een reactie te laten plaatsgrijpen, vermits de gemiddelde kinetische energie van de deeltjes gegeven wordt door 3kT /2, wat typisch van de orde van 103 eV is. De gemiddelde kinetische energie is dus drie orden van grootte te klein om de Coulomb potentiaal te overbruggen en zodoende reacties te doen plaatsgrijpen. In termen van de klassieke mechanica vinden we dus dat kernreacties niet optreden. Dit verklaart waarom men er tijdens het eerste kwart van de 20ste eeuw van overtuigd was dat kernreacties niet de reden van de lichtkracht van sterren konden zijn. Waarom zijn kernreacties dan toch mogelijk ? Dit heeft alles te maken met quantummechanische effecten. Uit de quantummechanica weten we dat er een kans verschillend van nul is dat deeltjes de Coulomb potentiaal kunnen overwinnen en zodoende kunnen reageren. Omwille van de uitgebreidheid van de Coulomb 88

Figuur 6.2: Schematische voorstelling van de Coulomb potentiaal van een deeltje. Voor r < r0 domineert de nucleaire aantrekkingskracht; voor r > r0 overheerst de Coulomb afstoting. potentiaal (zie figuur 6.2) is deze kans klein en daarom is het optreden van kernreacties in sterinwendigen een traag proces. De zeer lage energie¨en zorgen ervoor dat het uiterst moeilijk is om de werkzame doorsnede van een reactie, m.a.w. de kans dat de reactie zal plaatsgrijpen, te bepalen in relevante condities die optreden in sterinwendigen. De werkzame doorsnede hangt af van de snelheid waarmee de deeltjes elkaar naderen. Deze snelheid wordt op haar beurt bepaald door de temperatuur en de relatieve energie van de kernen. Tevens is zij afhankelijk van de aanwezigheid van de andere deeltjes in het gas, die gedeeltijk de lading van de kernen kunnen afschermen en dus de reactiesnelheden kunnen be¨ınvloeden, afhankelijk van de thermodynamische toestand van het gas. In principe kunnen deze werkzame doorsneden experimenteel bepaald worden. Echter, de laboratoriumexperimenten gebeuren in omstandigheden die te verschillend zijn van sterinwendigen om de resultaten te extrapoleren. Gamow heeft pionierswerk verricht en voor het eerst uitdrukkingen afgeleid voor de werkzame doorsneden voor sterinwendigen. We gaan hier niet in detail op in, maar vermelden dat de werkzame doorsnede sterk afhankelijk is van de ladingen van de deeltjes die in de reactie betrokken zijn, omdat het deze ladingen zijn die de vorm van de Coulomb potentiaal bepalen. Anderzijds is er ook een sterke temperatuursafhankelijkheid, omdat deze vooral de kinetische energie van de deeltjes bepaalt. Gamov vond dat de werkzame doorsnede ∼ exp(−πZi Zj e2 /ε0 hν) exp(−mv 2 /2kT ), waarbij ε0 de permittiviteit voorstelt. De eerste exponent stijgt met stijgende snelheid v, terwijl de tweede daalt. Zodoende vinden we een maximale waarschijnlijkheid opdat de reactie zou plaatsvinden. Deze staat bekend als de Gamow piek en treedt op bij de snelheid v = (πZi Zj e2 kT /ε0 hm)1/3 . Om de reactiesnelheid te berekenen, moeten we deze werkzame

89

doorsnede integreren over alle mogelijke snelheden. Men kan echter tonen dat ze evenredig is met de waarde van de Gamow piek (we gaan hier niet op in). We leiden hieruit af dat reacties tussen deeltjes met kleinere ladingen sneller gebeuren en ook nog kunnen plaatsgrijpen bij lagere temperaturen. Bovendien vinden we dat reacties van zwaardere deeltjes hogere temperaturen vereist. Het bepalen van werkzame doorsneden is een actief domein binnen de nucleaire astrofysica. Stilaan slaagt men erin om experimenten uit te voeren voor temperaturen die in de buurt komen van diegenen die heersen in sterinwendigen. We verwijzen naar het college Nuclear Astrophysics gedoceerd aan de ULB en aangeboden aan de Leuvense studenten in de Masteropleiding Sterrenkunde, voor meer details en beperken ons hier verder tot de essenti¨ele resultaten.

6.4 Verbrandingsmechanismen Het leven van de sterren wordt gedirigeerd door thermonucleaire fusie, welke dus ge¨ınduceerd wordt door thermische beweging en quantummechanische effecten. Hierbij fuseren verschillende lichtere kerndeeltjes tot een zwaarder element. Bij de bespreking van de energieproductie in sterren ten gevolge van kernreacties beperken we ons tot een ruwe samenvatting van de belangrijkste reacties. In plaats van thermonucleaire fusie van een bepaald element spreekt men van de verbranding van dat element. De verschillende typen verbranding treden op bij aanzienlijk verschillende temperaturen. Wanneer de ster evolueert op een tijdschaal die vergelijkbaar is met de reactiesnelheden, dan moeten we een netwerk van kernreacties in rekening brengen om een nauwkeurige benadering van de energieproductie te kunnen afleiden. De totale ε is dan de som over alle mogelijke reacties en de “boekhouding” van alle veranderende abondanties moet strikt bijgehouden worden. Zeer vaak, echter, volstaat het om een veel eenvoudigere procedure te volgen om ε te bepalen. We bespreken in de volgende delen de voornaamste verbrandingsmechanismen die optreden in sterren, maar gaan eerst wat dieper in op enkele basisbegrippen.

6.4.1

Basisbegrippen

In figuur 6.3 tonen we verschillende vormen van de eenvoudigste elementen in de natuur, namelijk waterstof en helium. De bovenste rij geeft de verschillende ionisatietoestanden van de waterstof- en heliumatomen weer, terwijl de onderste rij de verschillende isotopen weergeeft. Dikke cirkels stellen protonen voor en dunne cirkels neutronen. Het waterstofatoom bestaat uit een proton en een elektron (zie figuur 6.4). Elke kern bestaat uit een aantal protonen, aangeduid door het atoomgetal Z, en een aantal neutronen N . Het massagetal A wordt gegeven door de som van beiden: A = N + Z. Niet alle (N, Z) combinaties zijn toegelaten in een kern. De stabiele (N, Z) combinaties beslaan een nauwe strook in een (N, Z) diagram, de stabiliteitsvallei genoemd. Dit drukt uit dat zowel neutronrijke als protonrijke kernen instabiel zijn. De reden hiervoor is dat neutronrijke kernen onderhevig zijn aan het β − verval, terwijl protonrijke kernen β + verval ondergaan. Het β + en β − verval zijn beiden manifestaties van de zwakke wisselwerking. Bij het β + verval verandert een proton in een neutron door het uitzenden van een neutrino en een positron (het positief geladen 90

Figuur 6.3: De opbouw van de atomen, ge¨ıllustreerd aan de hand van waterstof en helium. De cirkels met dikke randen stellen protonen voor en de dunne cirkels neutronen. De elektronen worden schematisch voorgesteld in hun baan en aangeduid met “e”. Waterstof heeft e´ e´ n mogelijk positief ion, H+ , wat ontstaat wanneer het elektron wordt weggehaald van het H atoom. Helium heeft twee mogelijke ionen. De onderste rij toont verschillende isotopen welke telkens een verschillend aantal neutronen hebben.

Figuur 6.4: Schematische opbouw van het waterstof- en het heliumatoom.

91

antideeltje van een elektron). Anderzijds geeft het β − verval aanleiding tot het omvormen van een neutron in een proton door het uitzenden van een antineutrino en een elektron. Een gegeven aantal protonen Z kan slechts combineren met een beperkt aantal verschillende neutronenaantallen N . Zo kunnen 12 protonen bijvoorbeeld enkel een stabiele kern vormen met 12, 13 of 14 neutronen. De kernen met eenzelfde aantal protonen, doch een verschillend aantal neutronen, noemt men de isotopen van een element. Een isotoop noteert men met A X, waarbij X het element is en A het massagetal. Kerndeeltjes kunnen, net zoals elektronen, slechts welbepaalde energieniveaus bezetten en vertonen een schilstructuur. Een kern is bijzonder stabiel wanneer er een protonen- of neutronenschil volledig bezet is (naar analogie van de edelgassen waarvoor de buitenste elektronenschillen volledig bezet is). Dit fenomeen doet zich voor bij de zogenaamde magische getallen van N of Z: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Deze aantallen zullen later van belang zijn bij de bespreking van het s-proces (zie voorlaatste Hoofdstuk). Bovendien zijn kernen met een even aantal protonen stabieler dan kernen met een oneven aantal. Hetzelfde geldt voor de neutronen. Dit komt omdat paren neutronen of protonen met tegengestelde spin stabieler zijn dan ongepaarde neutronen of protonen. We zullen de kernreacties als volgt voorstellen. Stel dat α een projectiel voorstelt (bijvoorbeeld een proton) en X het doel en dat deze beiden reageren om de uiteindelijke eindproducten β en Y op te leveren. We noteren deze reactie dan als volgt: α + X → Y + β, (6.7) of korter X(α, β)Y . De meeste kernreacties die in sterren optreden zijn exotherm. Dit wil zeggen dat ze energie vrijgeven. Voor de reactie beschreven in (6.7) hebben we een energiebalans mα c2 + mX c2 = mβ c2 + mY c2 + Q,

(6.8)

waarbij Q de geproduceerde energie voorstelt die per reactie toegevoegd wordt aan het systeem. Q is van de orde MeV. Voor het fusieproces hebben de betrokken deeltjes j een totale massa My van het product dat zal gevormd worden. Het massa defect bedraagt △M =

X j

Mj − M y

P

Mj , die verschilt van de massa (6.9)

en correspondeert met een energie gegeven door E = △M c2 . Deze energie wordt dus beschikbaar gesteld om de energiebalans van de ster te onderhouden. Een voorbeeld is de waterstofverbranding (zie verder) waarbij vier 1 H kernen met een totale massa van 4 × 1.0081mu worden omgezet in e´ e´ n 4 He kern met massa 4.0039 mu . E´en mu (“atomic mass unit”) is gelijk aan 1/12 van de massa van een 12 C isotoop. Voor de waarde ervan verwijzen we naar Bijlage A. Bij de verbranding van waterstof is dus per gevormde 4 He kern een massa van 2.85 × 10−2 mu “verdwenen”, wat overeenkomt met 0.7% van de oorspronkelijke massa. De energie die hiermee overeenstemt bedraagt zo’n 26.5 MeV (waarbij 1 eV = 1.6022 × 10−12 erg). De huidige lichtkracht van de Zon komt overeen met een massaverlies van L⊙ /c2 = 4.25 × 1012 g s−1 . Wanneer we onderstellen dat er in totaal 1 M⊙ waterstof zal omgezet worden in helium, dan wordt er 0.7% van M⊙ omgezet in energie. Met haar huidige waargenomen lichtkracht kan de Zon op die manier 3 × 1018 s, of ≈ 1011 jaar “leven”. In de praktijk, echter, komt slechts 10% van de totale massa van de Zon in aanmerking 92

Figuur 6.5: Het verloop van de fractionele bindingsenergie f = EB /A wordt getoond ten opzichte van het massagetal A. De kromme werd glad gemaakt doorheen de schommelingen die optreden ten gevolge van de schilstructuren van de kernen. voor kernfusie, dus duurt het leven van de Zon slechts ≈ 1010 jaar. Momenteel heeft de Zon zowat de helft van dit energiereservoir opgebruikt. Het massadefect is verbonden met het feit dat de betrokken kernen een verschillende bindingsenergie EB hebben. Deze bindingsenergie is de energie die nodig is om de kern op te delen in zijn protonen en neutronen. Anders uitgedrukt: EB is de energie die gewonnen wordt wanneer een bepaald aantal vrije protonen en neutronen vanop oneindig samengebracht worden om een kerndeeltje uit te maken. Beschouw een kern met massa Mk en massagetal A die bestaat uit Z protonen met massa mp en uit A − Z neutronen met massa mn . De bindingsenergie EB wordt dan gegeven door EB = [(A − Z) mn + Zmp − Mk ] c2 .

(6.10)

Wanneer we verschillende kernen met elkaar willen vergelijken is het beter om te werken met de gemiddelde bindingsenergie per kerndeeltje: f = EB /A, welke ook de bindingsfractie genoemd wordt. Met uitzondering van waterstof blijken alle elementen een bindingsfractie van ongeveer 8 MeV te hebben. Dit toont aan dat de nucleaire aantrekkingskrachten enkel de kernen in de onmiddellijke omgeving treft. Een ruwe schets van f in functie van A wordt getoond in figuur 6.5. We merken dat f scherp stijgt met stijgende A vanaf waterstof totdat er een maximum bereikt wordt van 8.5 MeV bij A = 56 (56 Fe). Daarna daalt f terug. 56 Fe is dus de sterkst gebonden, of meest stabiele, kern. Figuur 6.5 toont dat de kernfusie die lichtere elementen omzet in stabielere zwaardere elementen energie oplevert. Echter, elke kernreactie die 56 Fe zal omzetten in een zwaarder element is verlieslatend in energie. Op die manier is de creatie van 56 Fe een natuurlijk eindpunt van de kernfusie in sterren. In wat volgt zullen de grootheden ε en ρ uitgedrukt worden in respectievelijk de eenheden erg g−1 s−1 en g cm−3 en de temperatuur T zal in dimensieloze vorm Tn = T /10n K gegeven worden. 93

6.4.2

Big Bang nucleosynthese

Vooraleer we de voornaamste processen van nucleosynthese in sterren bespreken, is het interessant even stil te staan bij de productie van de elementen in het prilste begin van het Heelal. Het gros van de huidige hoeveelheid helium in het Heelal is ontstaan door nucleosynthese tijdens de eerste paar minuten na de Big Bang. Men spreekt dan ook van Big Bang nucleosynthese, hoewel dit ook de productie van enkele andere lichtere elementen naast helium betreft. We beschouwen het prille Heelal, op het ogenblik dat het is afgekoeld tot zowat 1010 K. De enige kernen die bestonden bij deze temperaturen waren protonen en neutronen. In normale omstandigheden ondergaat een neutron na 15 minuten een β − verval. Echter, bij de hoge temperaturen en dichtheden die heersten bij het prille begin van het Heelal transformeerden de protonen en neutronen zich voortdurend in elkaar: νe + n ⇀ ↽ e− + p

en

νe + p ⇀ ↽ e+ + n.

(6.11)

Omdat de neutronen zwaarder zijn dan protonen, vereiste het meer energie om een neutron te maken dan een proton. De verhouding van neutronen tot protonen volgt uit de Boltzmann factor: h i Nn = exp −∆m c2 /kT , Np

(6.12)

waarbij we hier met ∆m het massaverschil tussen een neutron en proton aangeven. Dit massaverschil komt overeen met 1.3 MeV/c2 . De Boltzmann factor in vergelijking (6.12) impliceert dat de verhouding neutronen tot protonen snel daalde wanneer de temperatuur afnam ten gevolge van de expansie van het Heelal. Zulke afname had tot gevolg dat de reacties in (6.11) minder frequent gebeurden, totdat ze simpelweg onmogelijk werden door een te felle temperatuursdaling met T < 1010 K. Op dat ogenblik was de verhouding van neutronen tot protonen ongeveer 1/5. Vijftien minuten later bedroeg ze 1/7 door β − verval en was het Heelal genoeg afgekoeld om reacties tussen twee deeltjes mogelijk te maken. Bij een temperatuur van 109 K werd primordiaal deuterium gevormd, alsook 3 He. Deze kernen werden vervolgens omgevormd tot alfa deeltjes. Vermits 4 He veruit de stabielste van deze verschillende kernen is, werden zo goed als alle neutronen die toen voorhanden waren in het Heelal ondergebracht in alfa deeltjes. Bovendien zorgde de afwezigheid van stabiele kernen met massagetal tussen 5 en 8 ervoor dat zwaardere kernen niet konden vormen, behalve dan 7 Li. Zodoende zorgde de Big Bang nucleosynthese voor een oersoep van deuterium, 3 He, 4 He en 7 Li waarin alle neutronen gevangen zaten, en daarbij nog een groot overschot aan protonen. We kunnen hieruit eenvoudig de hoeveelheid primordiaal helium schatten, omdat dit rechtstreeks volgt uit de neutron over proton verhouding van 1/7. Neem vb. 2 neutronen, dan komt dit overeen met 14 protonen. Dit geheel kan dan e´ e´ n 4 He kern vormen, waarbij er nog 12 protonen overblijven. Met andere woorden, 16 m aan protonen en u neutronen produceren e´ e´ n heliumkern met 4 mu . De fractie van de massa omgezet in helium bedraagt dan 4/16 of 25%. Big Bang nucleosynthese heeft dus gezorgd voor een Heelal waarin 25% van de massa vervat zit in helium en de overige 75% in waterstof. Dit was het materiaal waaruit de allereerste sterren gevormd werden.

94

6.4.3

Waterstofverbranding

Het resultaat van waterstofverbranding is de fusie van vier 1 H kernen in e´ e´ n 4 He kern. Het verschil in bindingsenergie bedraagt 26.731 MeV, wat overeenkomt met een relatief massadefect van 0.71%. De energie die op die manier vrijkomt is ruwweg een factor 10 groter dan bij elk ander fusieproces dat in de ster kan optreden. Er bestaan verschillende fusieketens, die in het algemeen tegelijk optreden in de ster. Voor de waterstofverbranding spreken we van de proton-proton keten (of pp keten) en de koolstof-stikstof-zuurstof cyclus of CNO cyclus . We gaan nu op elk ervan wat dieper in.

De proton-proton keten De pp keten dankt haar naam aan de eerste reactie in de keten waarbij twee protonen omgezet worden in een deuteriumkern 2 H (wat ook vaak als 2 D genoteerd wordt), welke op zijn beurt met een volgend proton reageert om 3 He te vormen: 1

H +1 H →2 H + e+ + νe ,

2

H +1 H →3 He + γ.

(6.13)

Hierbij stelt e+ een positron voor en νe een neutrino. De eerste van deze reacties (de pp reactie) is ongewoon in vergelijking met andere fusieprocessen omdat de protonen een β + verval moeten ondergaan bij hun dichtste nadering opdat een proton zou worden omgezet in een neutron. Het β + verval is een proces dat veroorzaakt wordt door de zwakke wisselwerking en is daarom weinig waarschijnlijk (het heeft m.a.w. een kleine werkzame doorsnede). Het is onmogelijk om deze reactie na te bootsen in een laboratorium. Het vervolledigen van de pp keten tot de vorming van een α deeltje of 4 He kern kan gebeuren d.m.v. drie takken pp1, pp2, pp3, welke allen starten met 3 He en als eindproduct 4 He hebben op basis van 4 protonen:  1 H +1 H → 2 H + e+ + ν   e  2 1 3 (6.14) pp1 : H + H → He + γ    3 He +3 He → 4 He +1 H +1 H,  3 4 7    He + He → Be + γ 7 Be

pp2 :

  

pp3 :

+ e− → 7 Li +1 H →

 7 1    Be + H →

+ νe (+γ) +4 He,

(6.15)

4 He

8B

+γ → + e+ + νe 8 Be → 4 He +4 He. 8B

  

7 Li

8 Be

(6.16)

Hierbij staat γ voor een foton en e− voor een elektron. De rangnummers 1,2 en 3 duiden het belang van de deelketen aan naarmate de temperatuur stijgt. Zo vereist pp1 dat T6 ≥ 5, pp2 dat T7 ≥ 1.5 en pp3 dat T7 ≥ 24. In de Zon gebeurt 69% van de pp keten via pp1, 31% via pp2 en 0.3% via pp3. De verschillende reacties in de pp keten gebeuren met een zeer verschillend tempo. De pp reactie zelf is veruit de traagste (ongeveer een factor 1018 trager dan de anderen). Opdat pp1 tot een goed einde zou komen moeten de twee 95

eerste reacties beschreven in (6.13) minstens twee keer plaatsgevonden hebben. De reactie 2 H(p, γ)3 He in de pp1 keten is zo snel dat de abondantie van deuterium zeer laag gehouden wordt. De laatste reactie van pp1 is weerom trager dan de tweede, maar nog steeds veel sneller dan de pp reactie zelf. Wanneer de temperatuur stijgt, dan daalt de abondantie van 3 He waardoor de eerste reactie van pp2 aan belang wint (vanaf T7 ≈ 1 − 2). De pp2 keten vervolgt met een elektronenvangst door 7 Be, welke in vergelijking met de protonenvangst in pp3 zo goed als onafhankelijk is van de temperatuur. De alternatieve reactie in pp3 is protonenvangst door 7 Be. 7 Be(p, γ)8 B krijgt de bovenhand over 7 Be(e− , ν)7 Li bij T6 ≈ 24. De 8 B kern geproduceerd door de protoninvanging is instabiel t.o.v. positronverval met een halfwaardetijd van 0.8 s. Zowel het overeenkomende neutrino als datgene wat vrijkomt bij de elektronenvangst door 7 Be worden gedetecteerd in zonne-neutrino experimenten. De laatste reactie in de pp3 keten is het verval van 8 Be in twee α deeltjes. Deze reactie is niet enkel van belang omdat ze de pp3 keten tot een goed einde brengt, maar ook omdat haar omgekeerde reactie overbepalend is voor He verbranding (zie verder). Omwille van de verschillende hoeveelheid energie weggevoerd in de vorm van neutrino’s is de vrijgegeven energie verschillend voor de drie deelketens. Hij bedraagt Q = 26.2, 25.7, 19.2 MeV per geproduceerd α deeltje voor respectievelijk pp1, pp2, pp3. We kunnen hieruit een “effectieve” Qeff bepalen die een goed gemiddelde voor de drie pp ketens voorstelt. Hieruit kan men dan ten slotte de vrijgegeven nucleaire energie ten gevolge van de pp ketens schatten: εpp =

´ ³ rpp Qeff 2.4 × 104 ρX 2 1/3 (in erg g−1 s−1 ). exp −3.380/(T ) ≈ 9 ρ (T9 )2/3

(6.17)

De temperatuursafhankelijkheid van de reactiesnelheid van de pp keten daalt van ∼ T 6 voor T6 = 5 tot ∼ T 3.5 voor T6 ≈ 20. De koolstof-stikstof-zuurstof cyclus De CNO cyclus omschrijft de tweede reeks reacties die kunnen optreden bij waterstofverbranding. Opdat deze cyclus kan werken is het nodig dat bepaalde isotopen van koolstof, stikstof en zuurstof aanwezig zijn. De reacties die optreden bij temperaturen typisch voor sterinwendigen zijn: 12

C +1 H 13

13 14

C+ H 1

N+ H 15

15

15 16

N

1

O

N +1 H 1

N+ H 1

O+ H 17

17

F

O +1 H

13

→

N+γ

13

C + e + νe

→

14

N+γ

15

O+γ

→

15

N + e+ + νe

→

12

C +4 He

→

16

O+γ

17

F+γ

17

O + e+ + νe

14

N +4 He

→

→

− of − →

→

→

96

(6.18)

+

(6.19)

De algemene structuur van de CNO cyclus bestaat uit een reeks protonenvangsten door isotopen van C, N of O, afgewisseld met β + verval welke ongeveer allemaal een vervaltijd hebben van 100 – 1000 s. De cyclus eindigt steeds met een protonvangst die aanleiding geeft tot de vorming van een α deeltje. Het eerste stel reacties gegeven in (6.18) noemt men de CN cyclus omdat enkel de isotopen van C en N optreden als catalysatoren. De volledige CNO cyclus treedt op wanneer 16 O reeds abondant aanwezig is of wanneer er al voldoende gereageerd is zodat de reactie 15 N(p, γ)16 O al de nodige zuurstofisotoop gecre¨eerd heeft. Het optreden van de volledige CNO cyclus is 1000 keer minder waarschijnlijk dan het voorkomen van de CN cyclus. Het eindproduct van de volledige CNO cyclus is niet alleen een α deeltje, maar ook een 14 N isotoop die de CN cyclus opnieuw kan voeden. Een nauwkeurige beschrijving van de verbranding door de CNO cyclus is uiterst moeilijk omdat er heel wat isotopen op cyclische wijze bij betrokken zijn. Zowel de energieproductie als de gedetailleerde abondanties van alle isotopen hangen af van de beginconcentraties van de catalysatoren, van de reactietijden, van de temperatuur en van de leeftijd van de ster. We zullen hier niet ingaan op een gedetailleerde beschrijving van alle reacties in de cycli. Eerder bespreken we de gevolgen van de belangrijkste schakel in de CNO cyclus. De sleutelreactie van de CNO cyclus is 14 N(p,γ)15 O. Deze reactie is namelijk relatief traag en steunt op de 14 N isotoop van stikstof die in beide cycli voorkomt. Zoals bij de pp keten is het de traagste reactie die de belangrijkste is. Wanneer de temperatuur hoog genoeg is om waterstofverbranding gedurende een aanzienlijke tijd via de CNO cyclus te activeren, m.a.w. wanneer de cyclus in evenwicht gebeurt, dan is e´ e´ n van de belangrijkste gevolgen hiervan dat zo goed als alle beschikbare C, N en O zal omgezet worden in de 14 N isotoop, zodat deze veruit de meest abondante kern zal worden. De energieproductie wordt eveneens bepaald door de traagste reactie 14 N(p, γ)15 O. εCNO wordt vooral bepaald door de energieproductie van deze reactie. Een goede schatting hiervan is 24.97 MeV. De vrijgegeven nucleaire energie ten gevolge van de gemiddelde Qeff , bepaald voor alle reacties die optreden in de CNO cyclus, kan als volgt berekend worden: εCNO ≈

´ ³ 4.4 × 1025 ρXZ 1/3 (in erg g−1 s−1 ). exp −15.228/(T ) 9 (T9 )2/3

(6.20)

De temperatuursafhankelijkheid van de reactiesnelheid van de CNO cyclus is veel groter dan diegene voor de pp keten en bedraagt ongeveer ∼ T 18 voor T6 ≈ 20. In figuur 6.6 tonen we de bijdrage van de CNO cyclus tot de totale energieproductie ten gevolge van waterstofverbranding voor sterren met een massa tussen 1 en 3 M⊙ als functie van de positie in de ster (weergegeven als l/L). Het is duidelijk dat de CNO cyclus de dominante energiebron is voor sterren zwaarder dan 2 M⊙ .

97

Figuur 6.6: De fractie van de totale energie geproduceerd door de CNO cyclus doorheen de ster voor sterren op de nulhoofdreeks (ZAMS – zie verder voor definitie) met massa tussen 1 en 3 M⊙ .

6.4.4

Heliumverbranding

De kernreacties waarbij helium verbrand wordt bestaat uit de graduele fusie van verscheidene α deeltjes met als resultaat de isotopen 12 C, 16 O,. . . . Deze reacties treden slechts op bij temperaturen die veel hoger zijn dan de temperaturen voor waterstofverbranding. Een typische voorwaarde is T8 > 1. De eerste en belangrijkste reactie is diegene waarbij 12 C gevormd wordt uit drie α deeltjes: de trippel alfa reactie. Deze reactie gebeurt in twee stappen, vermits een dichte nadering van drie deeltjes te onwaarschijnlijk is: 4

He +4 He ⇀ ↽ 8 4 Be + He →

8

Be

12

(6.21)

C + γ.

In de eerste stap wordt 8 Be tijdelijk gevormd ten koste van twee α deeltjes. De grondtoestand van dit isotoop heeft een energie die zowat 100 keV hoger is dan die van de twee α deeltjes en daarom vervalt de isotoop in de korte tijdsspanne van 10−16 s terug tot twee α deeltjes. Dit lijkt een zeer korte vervaltijd, maar de hoge dichtheid in het sterinwendige verzekert toch de mogelijkheid van een verdere α invanging om 12 C te vormen. De energieproductie per eenheidsmassa van de reacties gegeven in (6.21) is een factor 10 lager dan in het geval van de CNO cyclus. De reactie is tevens enorm temperatuursgevoelig: voor T8 = 1 bedraagt de exponent van de temperatuursfactor in de reactiesnelheid 40 ! Eens er voldoende 12 C gevormd zijn door de trippel α reactie kunnen verdere invangingen van α deeltjes gebeuren zodat kernen van 16 O, 20 Ne, enz. geproduceerd worden: 12 16

C +4 He → 4

O + He →

16

O+γ

20

Ne + γ

(6.22)

...

De energie die vrijkomt bij de reactie 12 C(α, γ)16 O bedraagt 7.16 MeV en die bij 16 O(α, γ)20 Ne 4.73 MeV. 98

Tijdens heliumverbranding treden de reacties beschreven in (6.21) en (6.22) simultaan op en de totale energieproductie εHe bestaat essentieel uit drie bijdragen.

6.4.5

Verbranding van de zwaardere elementen

Koolstofverbranding Na helium verbranding bestaat de centrale kern voornamelijk uit een mengsel van 12 C en 16 O. Indien de temperatuur op dat ogenblik hoog genoeg is, zeg van de orde T8 ≈ 5 − 10, dan start het proces van koolstofverbranding. Voor dit type van verbranding, net zoals alle volgende typen, is de situatie zo complex dat berekeningen steunen op zeer ruwe benaderingen. Een eerste moeilijkheid is dat de eerste reactie in de koolstofverbranding, 12 C+12 C, resulteert in een 24 Mg isotoop, welke op zeer veel verschillende wijzen terug vervalt: 12 C +12 C → 24 Mg + γ 13.93 23 Mg + n −2.61 23 Na + p (6.23) 2.24 20 Ne 16 O

+α + 2α

4.62 −0.11

waarbij we telkens Q in MeV gegeven hebben in de laatste kolom. Merk op dat de tweede en laatste reacties endotherm zijn. De relatieve frequentie van de verschillende vervalwijzen hangt af van de temperatuur en is zeer verschillend. De meest waarschijnlijke wijzen zijn diegenen die resulteren in 23 Na+p en 20 Ne+α. Deze treden ongeveer even frequent op voor niet te hoge temperaturen (T9 < 3). Een volgende moeilijkheid is dat de geproduceerde protonen en α deeltjes zulk een hoge temperaturen ondervinden dat waterstof- en heliumverbranding niet mogelijk zijn en daardoor ontstaan er heel ingewikkelde reactieketens. Een voorbeeld hiervan is 12 C(p, γ)13 N(e+ ν)13 C(α, n)16 O, welke o.a. een neutron oplevert. Alle details van zulke ketens moeten effectief in rekening gebracht worden indien het doel is een gemiddelde energieproductie te bepalen. Als ruwe schatting neemt men meestal een gemiddelde Q van ≈ 13 MeV per 12 C+12 C reactie met alle daaropvolgende ketens. De eindproducten van koolstofverbranding zijn vooral 16 O, 20 Ne, 24 Mg en 28 Si.

Zuurstofverbranding enz. Opdat de reactie 16 O+16 O zou kunnen plaatsgrijpen is reeds een temperatuur van T9 > 1 vereist. Omwille van de hoge temperaturen reageren de protonen en de α deeltjes met andere kernen in het gas. Tevens reageren de neutronen met andere deeltjes, vermits ze niet onderhevig zijn aan de Coulomb potentiaal. Net

99

zoals bij koolstofverbranding kunnen de reacties verdergezet worden via verschillende kanalen : 16 O

+16 O →

32 S

+γ +p 31 S + n 28 Si + α 24 Mg + 2α. 31 P

(6.24)

Er volgt tevens weer een heel gamma van kettingreacties die naast Al, Mg en Ne grote hoeveelheden vrije neutronen, protonen en α deeltjes opleveren. Deze zullen op hun beurt reageren met de 28 Si isotopen om geleidelijk aan zwaardere elementen te vormen. Wanneer zuurstof opgebrand is, start een nieuwe fase van contractie en verhitting. Men zou kunnen verwachten dat een volgende verbrandingscyclus, nl. de verbranding van magnesium, zal starten. Echter, vooraleer de temperatuur hoog genoeg is voor deze verbranding ontstaat een ander type reactie. Immers, met de stijgende temperatuur is de thermische energie van de fotonen ondertussen sterk toegenomen. Bij een temperatuur van ongeveer 109 K heeft een aanzienlijke fractie van de fotonen een energie van de grootteorde MeV. Zulke energetische fotonen kunnen foto-dissociatie veroorzaken in de kernen van het gas. Fotodissociatie is het proces waarbij straling wordt omgezet in massa (in tegenstelling tot de verbrandingscycli die we tot nu toe tegenkwamen en die allemaal massa wisten om te zetten in straling). Het proces ontstaat wanneer een hoog-energetisch foton omgezet wordt in een elektron-positron paar wanneer het een energie hν heeft die de energie van de rustmassa van een elektron-positron paar overschreidt: hν > 2me c2 . Een voorbeeld van het optreden van foto-dissociatie is 32

S+ γ ⇀ ↽

28

Si + 4 He.

(6.25)

Het optreden van de dubbele pijl ontstaat omdat, na de vorming van het α deeltje, dit opnieuw kan reageren met andere kernen, zoals 28 Si, waardoor tevens de inverse reactie kan plaatsgrijpen. Er zijn nog vele analoge reacties door foto-dissociatie die plaatsgrijpen en die opeenvolgende kernen betreffen, zoals 32 S, 36 Ar, 40 Ca, 52 Fe en 56 Ni. Aan al deze reacties dient men nog de absorptie van protonen en neutronen toe te voegen, en ook verval van onstabiele kernen. Op die manier ontstaan werkelijk zeer complexe reactieketens, welke uiteindelijk leiden tot de vorming van zwaardere kernen. Dit hele gebeuren duidt men een beetje misleidend aan met siliciumverbranding. Dit proces wordt verder gezet en wanneer er voldoende tijd voorhanden is zal de vorming van 56 Fe voltooid worden. Vermits de 56 Fe isotoop zo sterk gebonden is (zie figuur 6.5) is het de enige overlevende in de “kookpot”. Wanneer er echter niet voldoende tijd is om 56 Fe te vormen zal 56 Ni het meest abondante element zijn als resultaat van de siliciumverbranding. Deze situatie treedt op bij supernova-explosies (zie Deel III van de cursus).

100

Hoofdstuk 7

Numerieke bepaling van de sterstructuur We geven in dit hoofdstuk een samenvatting van het volledig stel basisvergelijkingen die we in de vorige hoofdstukken hebben afgeleid. Vervolgens bespreken we de randvoorwaarden waaraan een goed stermodel moet voldoen en geven we aan hoe de modellen kunnen opgebouwd worden. Op die manier kan de volledige sterstructuur bepaald worden.

7.1 Het volledige stel basisvergelijkingen Wanneer we alle relevante afgeleide vergelijkingen voor een sferisch symmetrische ster samenvoegen, verkrijgen we het volgend stelsel differentiaalvergelijkingen :                                                 

∂r 1 = , ∂m 4πr2 ρ Gm 1 ∂2r ∂P =− − , ∂m 4πr4 4πr2 ∂t2 ∂l ∂T δ ∂P = εn − ε ν − c P + , ∂m ∂t ρ ∂t

(7.1)

GmT ∂T =− ∇, ∂m 4πr4 P 



X X ∂Xi rik  , i = 1, . . . , I. = mi  rji − ∂t j k

De laatste vergelijking is in feite een stelsel van I vergelijkingen waarvan er een kan vervangen worden P door de normeringsvoorwaarde i Xi = 1. Deze vergelijkingen beschrijven de variatie van de massa fracties Xi van de relevante deeltjes i = 1, . . . , I met massa mi . De extra vergelijking (6.6) beschrijft 101

de vermenging van de chemische samenstelling ten gevolge van convectieve bewegingen. In het algemeen staat ∇ voor d ln T /d ln P , maar wanneer het energietransport enkel gebeurt door straling (en conductie) wordt ∇ vervangen door ∇rad , welke gedefinieerd werd in (5.29). Wanneer convectief energietransport belangrijk is moet ∇ in de vierde vergelijking vervangen worden door een waarde afgeleid van een goede (nog niet beschikbare) theorie van convectie. In het sterinwendige kunnen we hiervoor ∇ad nemen. De vierde vergelijking onderstelt dat de ster in hydrostatisch evenwicht is. In het stelsel (7.1) van differentiaalvergelijkingen kunnen we deelstelsels opmerken. Zo beschrijven de eerste twee vergelijkingen het mechanisch gedeelte, welk enkel via de dichtheid, die op haar beurt afhangt van de temperatuur, gekoppeld is aan het thermonucleaire gedeelte. Wanneer de dichtheid niet gekoppeld is aan de temperatuur, dan kunnen we de eerste twee vergelijkingen oplossen zonder rekening te houden met de andere drie. We bekomen dan de mechanische structuur uitgedrukt als r(m) en P (m). Een voorbeeld hiervan zijn de polytropische oplossingen. Het laatste stel vergelijkingen in (7.1) beschrijft het chemisch aspect van het probleem. Zij kunnen ontkoppeld worden van de andere vier vergelijkingen die de structuur van de ster geven voor een gegeven tijdstip en een gegeven chemische samenstelling Xi (m). Deze opsplitsing is enkel toegestaan wanneer de chemische samenstelling verandert op een tijdschaal die veel langer is dan diegene die de variatie van de druk en temperatuur beschrijft. De vergelijkingen in het stelsel (7.1) bevatten functies die de eigenschappen van het stermateriaal beschrijven, zoals ρ, εn , εν , κ, cP , ∇ad , δ en de reactiesnelheden rij . We gaan ervan uit dat deze “materiaalfuncties” gekend zijn in functie van P, T en de chemische samenstelling beschreven door de functies Xi (m, t). We onderstellen m.a.w. dat we de toestandsfunctie kennen, net zoals het Rosseland gemiddelde van de opaciteit, de vergelijkingen voor de andere thermodynamische eigenschappen van het stermateriaal, de nucleaire reactiesnelheden, de energieproductie en het energieverlies door neutrino’s : ρ = ρ(P, T, Xi )

κ = κ(P, T, Xi )

cP = cP (P, T, Xi )

δ = δ(P, T, Xi )

(7.2) ∇ad = ∇ad (P, T, Xi )

rjk = rjk (P, T, Xi ) εn = εn (P, T, Xi ) εν = εν (P, T, Xi )

Definities voor cP , δ en ∇ad werden gegeven in Hoofdstuk 2. Om deze effectief uit te rekenen hebben we meer informatie nodig, nl. de gebruikte toestandsfunctie. Hiervan hebben we drie voorbeelden besproken. Zoals reeds vermeld is het Rosseland gemiddelde κ een goede benadering voor de opaciteit, behalve voor de buitenste sterlagen. Dat de atmosfeer een bijzondere aanpak van het energietransport vraagt, komt omdat de gemiddelde vrije weglengte van de fotonen niet meer voldoet aan de voorwaarde die wij hier gesteld hebben, nl. dat deze weglengte aanzienlijk korter is dan de af te leggen weg. We herhalen dat de diffusiebenadering dan niet geldig is. Hierdoor moet men in de steratmosfeer een veel gecompliceerdere energietransportvergelijking oplossen. Hierop ingaan in deze cursus zou ons te ver leiden. We verwijzen naar de cursus Stellar Atmospheres in de Leuvense Master Sterrenkunde. We maken nu een balans op van het aantal vergelijkingen en het aantal onbekenden, rekening houdend met (7.2). Alle “materiaalfuncties” beschreven in (7.2) kunnen dus vervangen worden door functies van P, T en Xi . Voor I verschillende type deeltjes vormen (7.1) dan een stel van I + 4 differentiaalvergelijkingen 102

voor de I + 4 onbekenden r, P, T, l, X1 , . . . , XI . De onafhankelijk veranderlijken zijn m en t. Indien we onderstellen dat de totale massa van de ster niet verandert in de tijd (dus we veronderstellen dat er geen massaverlies optreedt), en als we het begintijdstip van het leven van de ster aanduiden met t0 , dan zoeken we oplossingen in de intervallen 0 ≤ m ≤ M, t ≥ t0 . We dienen nu een stelsel van niet-lineaire parti¨ele differentiaalvergelijkingen op te lossen. We zullen enkel fysisch relevante oplossingen bekomen indien we de nodige randvoorwaarden opleggen voor m = 0 en m = M en indien we beginwaarden voor de ongekende functies kennen. Om in te zien voor welke functies we beginwaarden moeten kennen vervangen we in de derde vergelijking van (7.1) de tijdsafgeleiden van P en T door de tijdsafgeleide van de entropie s, −T ∂s/∂t, steunende op vergelijking (3.46). We stellen dan vast dat we het volledig stelsel (7.1) kunnen oplossen indien we beginwaarden hebben voor de functies r(m, t0 ), r(m, ˙ t0 ), s(m, t0 ) en Xi (m, t0 ). Nadat geschikte beginwaarden gevonden zijn en fysisch verantwoorde randvoorwaarden geformuleerd werden komt het erop aan het stelsel (7.1), voor gegeven materiaalfuncties, op te lossen. Een oplossing r(m), P (m), T (m), l(m), Xi (m) voor een gegeven tijdstip t noemt men een stermodel.

7.2 Tijdschalen en vereenvoudigingen Er treden drie typen tijdsafgeleiden op in het stelsel (7.1). Elk van hen is verbonden met een karakteristieke tijdschaal. De term met ∂ 2 r/∂t2 werd gebruikt om de hydrostatische tijdschaal τhydr in te voeren, de tijdsafgeleiden in de derde vergelijking gaven aanleiding tot de definitie van de Helmholtz-Kelvin tijdschaal τHK en de tijdsafgeleiden in de laatste vergelijking leidden tot de nucleaire tijdschaal τn . We hebben reeds vroeger getoond dat de inertieterm in de tweede vergelijking van (7.1) kan verwaarloosd worden als de ster traag evolueert t.o.v. de hydrostatische tijdschaal. We kunnen daarom, wanneer de evolutie van de ster geregeerd wordt door thermische aanpassing van kernreacties, deze tweede vergelijking vervangen door de vergelijking van hydrostatisch evenwicht vermits zowel de Helmholtz-Kelvin tijdschaal als de nucleaire tijdschaal veel langer zijn dan de hydrostatische tijdschaal. We dienen in dit geval enkel initi¨ele waarden voor de functies s(m, t0 ) en Xi (m, t0 ) te kennen om het probleem op te lossen. Wanneer de ster bovendien evolueert op een nucleaire tijdschaal die veel langer is dan de HelmholtzKelvin tijdschaal is de ster in volledig mechanisch en thermisch evenwicht (zie sectie 3.4.3). In volledig evenwicht splits het stelsel (7.1) zich in twee delen. De eerste vier vergelijkingen zijn de “structuurvergelijkingen” die enkel ruimtelijke afgeleiden bevatten in hun vereenvoudigde vorm. De laatste vergelijking staat voor het stel “chemische vergelijkingen”, welke nu enkel nog tijdsafhankelijk zijn en waarvoor dus nog initi¨ele waarden nodig zijn: Xi (m, t0 ). De structuurvergelijkingen vormen nu een stelsel van vier gewone differentiaalvergelijkingen. Volledig evenwicht is een goede onderstelling voor hoofdreekssterren (voor een beschrijving van de hoofdreeks, zie deel III).

103

7.3 Randvoorwaarden De randvoorwaarden opstellen voor het stelsel vergelijkingen (7.1) vormt een belangrijk onderdeel van het totale probleem. Dit is te meer zo omdat de invloed van de gekozen randvoorwaarden op de oplossingen moeilijk te achterhalen is. De reden hiervoor is dat de randvoorwaarden voor de sterstructuur niet beperkt kunnen worden tot e´ e´ n uiteinde van het massa interval [0, M ], maar moeten opgesplitst worden in voorwaarden voor het stercentrum en voor het steroppervlak. De randvoorwaarden in het stercentrum zijn vrij eenvoudig in tegenstelling tot diegenen voor het steroppervlak. Deze laatsten moeten immers gerelateerd zijn met observationele grootheden en steunen op een veel ingewikkeldere energietransfertvergelijking. We beperken ons hier tot een ster in volledig evenwicht.

7.3.1

Centrale randvoorwaarden

We gaan op zoek naar centrale waarden voor de onbekenden r, l, P, T . We kunnen onmiddellijk twee randvoorwaarden voor het stercentrum (m = 0) opstellen. Vermits de dichtheid eindig moet blijven moet r = 0 en vermits de energiebronnen ook eindig blijven moet tevens l = 0. Er zijn echter geen voorwaarden die we kunnen opleggen om waarden voor de centrale druk PC en de centrale temperatuur TC te achterhalen. We hebben dus maar twee randvoorwaarden en moeten telkens met een twee-parameter oplossing voor een gegeven TC en PC werken. Het is daarom nuttig om het gedrag van de vier functies nabij het stercentrum m → 0 te kennen op een bepaald tijdstip t = t0 . De eerste vergelijking van het stelstel (7.1) kunnen we schrijven als ³ ´ 3 d r3 = dm. (7.3) 4πρ Voor een constante dichtheid ρ = ρc (dus voor kleine waarden van m) kunnen we deze vergelijking integreren. Dit resulteert in µ ¶1/3 3 r= m1/3 , (7.4) 4πρC

waarbij de integratieconstante nul genomen werd om te voldoen aan de eis r(m = 0) = 0. We kunnen dit resultaat beschouwen als de eerste term van een reeksontwikkeling voor r rond m = 0. Een gelijkaardige integratie van de energievergelijking met als voorwaarde l(m = 0) = 0 levert l = (εn − εν + εg )C m.

(7.5)

Wanneer we nu (7.4) substitueren in de vergelijking van het hydrostatisch evenwicht bekomen we voor kleine waarden van m: µ ¶ G 4πρC 4/3 −1/3 dP =− m , (7.6) dm 4π 3 wat opnieuw kan ge¨ıntegreerd worden tot 3G P − PC = − 8π

µ

4πρC 3

104

¶4/3

m2/3 .

(7.7)

Verder moet de drukgradi¨ent verdwijnen in het stercentrum zoals volgt uit de vergelijking van hydrostatisch evenwicht dP/dr ∼ m/r2 ∼ r3 /r2 → 0. Voor de variatie van de temperatuur dicht bij het centrum beperken we ons tot het radiatieve geval, waarvoor κl 3 dT =− . (7.8) 2 4 dm 64π ac r T 3 Voor P → PC en T → TC zal de opaciteit convergeren naar een welbepaalde waarde κC . Wanneer we dan l vervangen door (7.5) en r door (7.4) dan kunnen we (7.8) voor kleine m-waarden integreren. We bekomen zo µ ¶2/3 1 3 4/3 4 4 T − TC = − κC (εn − εν + εg )C ρC m2/3 (7.9) 2ac 4π wanneer het energietransport in de kern radiatief gebeurt.

7.3.2

Randvoorwaarden voor het oppervlak

Nauwkeurige randvoorwaarden voor het oppervlak afleiden is uiterst gecompliceerd. Als zeer ruwe benadering zouden we dus in eerste instantie de na¨ıeve voorwaarden P → 0 en T → 0 voor m → M kunnen nemen. Deze drukken inderdaad uit dat P en T aan het steroppervlak zeer kleine waarden aannemen t.o.v. de waarden in het sterinwendige, maar uiteindelijk zijn de temperatuur en de druk op het steroppervlak niet nul. De volgende stap is overgaan naar de sfeer die we het oppervlak van de ster kunnen noemen en die de sterstraal r = R definieert. In de studie van de steratmosfeer maakt men gebruik van de fotosfeer, welke men definieert als die sfeer waar de optische diepte, gedefinieerd als τ≡

Z

∞

R

κρdr = κfot

Z

∞

ρdr,

(7.10)

R

gelijk is aan 2/3. Hierbij stelt κfot een gemiddelde opaciteit voor de fotosfeer voor. In hydrostatisch evenwicht wordt de druk in die fotosfeer bepaald door het gewicht van de materie erboven. De graviteit kunnen we in dit gebied constant g = GM/R2 nemen, omdat de fotosfeer een dunne schil is die weinig materie bevat. We bekomen dan met behulp van (3.15) en (7.10) voor τ = 2/3 Pr=R =

Z

∞

R

gρdr =

GM R2

Z

∞

R

ρdr =

GM 2 1 . R2 3 κfot

(7.11)

De temperatuur in de fotosfeer wordt in goede benadering gegeven door de effectieve temperatuur van de ster. De fotosferische randvoorwaarden afgeleid voor Tr=R en Pr=R geven twee verbanden tussen de oppervlaktewaarden voor de functies P, T, l, r die zeker een verbetering zijn t.o.v. de na¨ıve randvoorwaarden P → 0 en T → 0. Het zwakste punt bij hun gebruik is dat de ster op basis van de randvoorwaarden reikt tot een gebied waar de basisonderstelling voor het energietransport, nl. dat de gemiddelde vrije weglengte van een foton veel kleiner is dan de af te leggen weg, niet meer opgaat. In feite moet men in de fotosfeer 105

een veel gecompliceerdere energietransportvergelijking gebruiken. We verwijzen hiervoor opniew naar de cursus Steratmosferen. In de praktijk zal de overgang van de oplossingen die gelden aan de “binnenkant” van de atmosfeer naar diegenen die gelden aan de “buitenkant” ervan gebeuren door een fitpunt mf te kiezen waarin beide oplossingen aan mekaar zullen gekoppeld worden. mf dient ver genoeg in het sterinwendige te liggen opdat de afgeleide vergelijkingen er nog zouden gelden. We bekomen dan oplossingen van deze vergelijkingen in het fitpunt: rfin , Pfin , Tfin , lfin . Anderzijds moet mf ook dicht genoeg bij M liggen zodat we de vereenvoudiging van een buitenlaag in thermisch evenwicht waarin l = L kan genomen worden mogen gebruiken. Hoe kleiner M − mf , hoe minder energie er in de buitenlaag kan opgestapeld of vrijgegeven worden. In de studie van steratmosferen berekent men oplossingen voor de vier onbekende functies rfuit , Pfuit , Tfuit , lfuit . Men kan tonen dat deze oplossingen functies zijn van de parameters R en L. Als randvoorwaarden eisen we dan dat de vier oplossingen die geconstrueerd worden voor de binnenkant moeten gelijk zijn aan diegenen die berekend worden voor de atmosfeer: rfin = rfuit , Pfin = Pfuit , Tfin = Tfuit , lfin = lfuit .

(7.12)

Deze vier voorwaarden kunnen in principe vervuld worden omdat we genoeg vrijheidsgraden hebben: TC en PC voor de inwendige oplossingen en R en L voor de uitwendige oplossingen. Voor numerieke toepassingen (zie volgende sectie) gebruikt men de volgende werkwijze. In het punt mf bekomen we oplossingen voor de buitenkant van de atmosfeer: rfuit (R, L), Pfuit (R, L), Tfuit (R, L), lfuit (R, L) door numerieke integratie van de vergelijkingen die relevant zijn in de atmosfeer. De laatste functie is zeer eenvoudig: lfuit = L. De eerste kan zonder problemen ge¨ınverteerd worden wat leidt tot R = R(rfuit , L). Deze uitdrukking wordt nu gebruikt om de R-afhankelijkheid van de andere twee functies uit te drukken: Pfuit (R(rfuit , L), L) ≡ π(rfuit , L) en Tfuit (R(rfuit , L), L) ≡ θ(rfuit , L), waarbij π en θ nu gekende functies zijn van rfuit en lfuit = L. We vervangen nu de variabelen voor de buitenkant door hun equivalenten aan de binnenkant, rekening houdend met de fitvoorwaarden (7.12): Pfin = π(rfin , L), Tfin = θ(rfin , L).

(7.13)

Dit zijn nu de twee randvoorwaarden voor de inwendige oplossingen. Ze werden zodanig geconstrueerd dat, wanneer er een goede inwendige oplossing gevonden wordt, deze steeds op een continue wijze kan gekoppeld worden aan een uitwendige oplossing.

7.4 Een numerieke oplossingsmethode Voor realistische materiaalfuncties is een analytische oplossing van het stelsel (7.1) niet mogelijk. We zijn dus aangewezen op het zoeken van numerieke oplossingen voor het probleem. Omwille van de computationele eisen is het berekenen van oplossingen voor het volledig stelsel slechts kunnen op gang komen in de laatste 30 jaar. Voorheen diende men gebruik te maken van eenvoudige stermodellen, zoals polytropen. E´en van de numerieke methode die gebruikt wordt om het stelsel (7.1) op te lossen is de Henyey methode, welke we nu zullen bespreken. 106

De Henyey methode is een zeer practische methode om randvoorwaardenproblemen met randvoorwaarden aan beide uiteinden van het oplossingsinterval op te lossen. Een eerste ruwe startoplossing wordt voorgesteld en ge¨evalueerd. Bij wijze van een iteratieproces wordt de startoplossing gradueel verbeterd tot een geschikte oplossing bereikt wordt die voldoet aan een vooraf bepaalde nauwkeurigheid. Bij elke iteratiestap worden correcties aangebracht aan alle variabelen en in alle gridpunten zodat het effect van deze variaties op de gehele oplossing, inclusief op de randvoorwaarden, in rekening gebracht wordt. Voor sferische sterren in hydrostatisch evenwicht moeten we het stelsel (7.1) oplossen, waarbij de tweede vergelijking vervangen wordt door ∂P/∂m = −Gm/4πr4 , met de bijbehorende randvoorwaarden besproken in de vorige sectie. De algemene structuur van de vergelijkingen is zodanig dat we twee gescheiden deelsystemen kunnen oplossen. Eerst lossen we het “ruimtelijk” systeem op voor gegeven Xi (m) en vervolgens passen we het laatste stel vergelijkingen van (7.1) toe voor een kleine tijdstap △t. Hierna lossen we weer het eerste deelstelsel op voor de nieuwe Xi (m), enzoverder. We beschrijven nu in detail het oplossen van het ruimtelijk systeem. We beperken ons tot het oplossen van modellen in volledig evenwicht: r¨ = P˙ = T˙ = 0. We dienen dan enkel initi¨ele waarden te geven voor Xi (m), welke we als gekende parameters kunnen beschouwen voor elk punt. De materiaalfuncties gegeven in (7.2) kunnen in het op te lossen stelsel vervangen worden door hun afhankelijkheden van P en T . We dienen dan vier gewone differentiaalvergelijkingen op te lossen voor de vier onbekende functies r, P, T, l in het interval [0, M ] waarbij M verondersteld wordt gegeven te zijn. We schrijven deze vier vergelijkingen symbolisch als dyi = fi (y1 , . . . , y4 ), i = 1, . . . , 4, dm

(7.14)

waarbij we de afkortingen y1 = r, y2 = P, y3 = T, y4 = l ingevoerd hebben. De volgende stap is discretisatie van de vergelijkingen (7.14), door deze te vervangen door differentievergelijkingen voor een eindig massa-interval [mj , mj+1 ]. We duiden de waarden van de variabelen aan elk uiteinde van het massa-interval [mj , mj+1 ] aan met bovenindices: y1j , y1j+1 , . . . , y4j , y4j+1 . De functies fi in het rechterlid van (7.14) moeten nu ge¨evalueerd worden in een gemiddeld argument, wat we aanduij+1/2 den met yi . Een logische keuze voor deze argumenten is bijvoorbeeld het rekenkundig of geometrisch gemiddelde van yij en yij+1 . Defini¨eren we nu de vier functies Aji

³ ´ yij − yij+1 j+1/2 j+1/2 ≡ j y , . . . , y − f , i = 1, . . . , 4, i 1 4 m − mj+1

(7.15)

dan vervangen de differentievergelijkingen Aji = 0, i = 1, . . . , 4

(7.16)

de differentiaalvergelijkingen (7.14) die we dienen op te lossen. De twee randvoorwaarden aan de buitenkant van de atmosfeer afgeleid in vorige sectie worden opgelegd in een fitpunt mf . We kiezen dit punt als datgene met bovenindex j = 1. Deze twee randvoorwaarden geven een verband tussen de vier veranderlijken y11 , . . . , y41 in het punt m1 = mf . Met de definities B1 ≡ y21 − π(y11 , y41 ), B2 ≡ y31 − θ(y11 , y41 ) 107

(7.17)

worden de randvoorwaarden (7.13) gegeven door Bi = 0, i = 1, 2.

(7.18)

We beschouwen nu het gehele interval in m, gaande van mK = 0 tot aan het fitpunt m1 = mf . We verdelen dit gebied in K − 1 deelintervallen door K gridpunten te kiezen, welke niet equidistant hoeven te zijn. In het binnenste interval voor m, tussen het centrale punt mK = 0 en mK−1 gebruiken we de reeksontwikkelingen (7.4), (7.5), (7.7) en (7.9) voor de vier veranderlijken. Deze vier vergelijkingen zijn van de vorm ³ ´ Ci y1K−1 , . . . , y4K−1 , y2K , y3K = 0, i = 1, . . . , 4, (7.19) waarin de eis y1K = y4K = 0 (r = l = 0 in het centrum) reeds verwerkt is.

In de K gridpunten hebben we 4K − 2 onbekende veranderlijken, vermits y1K = y4K = 0. Deze onbekenden moeten voldoen aan (7.18) voor het eerste punt, aan (7.16) voor alle intervallen behalve het laatste (j = 1, . . . , K − 2) en aan (7.19) voor het laatste interval. In totaal hebben we dus 2 + 4(K − 2) + 4 vergelijkingen, die we schematisch kunnen schrijven als    Bi = 0,   

i = 1, 2

j

Ai = 0, i = 1, . . . , 4, j = 1, . . . , K − 2      C = 0, i = 1, . . . , 4. i

(7.20)

We zoeken een oplossing voor gegeven M en Xi (m), welke als parameters optreden in de vergelijkin³ ´ gen. Wat we eveneens nodig hebben is een eerste ruwe gok voor de waarde van de onbekenden: yij voor ³

i = 1, . . . , 4; j = 1, . . . , K. Vermits de yij

´

1

1

slechts benaderingen zijn, zullen ze niet voldoen aan (7.20):

Bi (1) 6= 0, Aji (1) 6= 0, Ci (1) 6= 0,

(7.21)

waar we met (1) de eerste benadering als argumenten bedoelen. We gaan nu op³ zoek δyij voor alle veranderlijken in alle gridpunten zodanig dat de ´ naar ´ ³ correcties tweede benadering yij = yij + δyij van de argumenten de functies Bi , Aji en Ci weldegelijk doet 2

1

verdwijnen. De correcties δyij van de argumenten veroorzaken correcties δBi , δAji , δCi van de functies. We eisen dus dat (7.22) Bi (1) + δBi = 0, Aji (1) + δAji = 0, Ci (1) + δCi = 0. Voor correcties die klein genoeg zijn mogen we δBi , δAji , δCi in reeks ontwikkelen voor toenemende machten van δyij en enkel de lineaire termen van deze reeks behouden. Voor B1 wordt dit bijvoorbeeld δB1 ≈

∂B1 1 ∂B1 1 ∂B1 1 ∂B1 1 δy + δy + δy + δy . ∂y11 1 ∂y21 2 ∂y31 3 ∂y41 4 108

(7.23)

Dank zij deze linearisatieprocedure worden de voorwaarden gegeven in (7.22) nu :      ∂Bi 1 ∂Bi   δy1 + . . . + 1 δy41 = −Bi ,  1   ∂y1 ∂y4      j j j

∂A

j

∂A

∂A

j

∂Aj

j+1

j+1

j

i i i i + . . . + j+1 δy4 = −Ai ,  j δy1 + . . . + j δy4 + j+1 δy1   ∂y ∂y ∂y ∂y  1 4 1 4       ∂Ci ∂Ci ∂Ci ∂Ci    δy1K−1 + . . . + K−1 δy4K−1 + K δy2K + K δy3K = −Ci ,  K−1

∂y1

∂y2

∂y4

(7.24)

∂y3

waarbij de indices i en j dezelfde waarden kunnen aannemen als in (7.20). We beschikken dus opnieuw over 4K − 2 (lineaire inhomogene) vergelijkingen voor evenveel onbekende correcties δyij (vermits δy1K = δy4K = 0 omwille van de randvoorwaarden). Bij het berekenen van (7.22) moeten³alle´functies Bi , Aji , Ci en al hun afgeleiden berekend worden met als argumenten de eerste benaderingen yij . Het op te lossen 1 schema (7.24) kan veel korter in matrixvorm genoteerd worden: 

      H      

δy11 . . . δy3K







  B1       .            = − . .         .       

(7.25)

C4

Hierbij staat H voor de Henyey matrix, wiens elementen de afgeleiden in het linkerlid van (7.24) zijn. Wanneer H een determinant verschillend van nul heeft kunnen we het stelsel lineaire vergelijkingen oplossen en de correcties³δyij´berekenen. Deze geven op hun beurt aanleiding tot een betere, tweede benadering van de onbekenden yij . Wanneer we deze als argumenten voor de op te lossen vergelijkingen (7.20) 2 doorgeven zullen we nog steeds vinden dat Bi (2) 6= 0, Aji (2) 6= 0, Ci (2) 6= 0,

(7.26)

vermits we enkel in de lineaire benadering gewerkt hebben en er bovendien numerieke onnauwkeurigheden in het spel zijn. Daarom voeren we een tweede iteratiestap door ³we ´op dezelfde wijze nieuwe ´ ³ waarin j = yij + δyij . We zetten deze correcties bepalen waarmee we een derde benadering bepalen: yi 2 3 iteratieprocedure verder totdat de benaderende oplossing voldoende dicht bij de gezochte oplossing ligt volgens een vooraf bepaald nauwkeurigheidscriterium. Op deze wijze hebben we de gehele sterstructuur, gegeven de massa en de chemische samenstelling in de verschillende lagen, bepaald voor een ster in volledig evenwicht. In de figuren 7.1 – 7.5 tonen we het verloop van de functies m(r), P (r), ρ(r), T (r) en l(r) (logaritmische schaal), bekomen op basis van de Henyey methode hierboven beschreven, voor een ster met een initi¨ele massa 1 M⊙ (linkse panelen) en met 15 M⊙ (rechtse panelen) die zopas op de hoofdreeks is aangekomen. 109

Figuur 7.1: Het verloop van de massa m(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M⊙ (links) en met 15 M⊙ (rechts) De chemische samenstelling die ondersteld werd in de gehele ster bedraagt X = 0.74, Y = 0.24, Z = 0.02. Verder onderstelden we een ideaal gas met straling waarin ionisatie-effecten verrekend werden. Voor de energieproductie werden de pp keten en de CNO cyclus gebruikt. Convectief energietransport werd eveneens in rekening gebracht d.m.v. de mixing-length theorie zoals beschreven in de tekst. Uit figuur 7.1 leiden we af dat de massa sterk geconcentreerd is nabij het stercentrum: ongeveer 80% van de massa van de Zon bevindt zich binnen een bol met r = 0.4 R⊙ , dus binnen een fractie 0.064 van het totale volume van de Zon ! Voor een ster met 15 M⊙ bevindt 80% van de massa zich in een straal van 0.5 de sterstraal, wat overeenkomt met een fractie van 0.125 van het totale volume. We stellen dus vast dat de massa meer naar het sterinwendige geconcentreerd is naarmate de ster lichter is. De buitenste lagen van de ster hebben bijna geen invloed op de totale stermassa. De lichtkracht is nog meer geconcentreerd dan de massa (zie figuur 7.5): 90% van de lichtkracht wordt opgewekt binnen r = 0.2 R, dus binnen een fractie 0.008 van het volume van de ster. Het is in die centrale kern dat de kernfusie optreedt. In alle lagen daaromheen wordt de energie alleen maar naar buiten getransporteerd; daar is l(r) = L =constant. Voor de Zon is de dichtheid zeer sterk gepiekt in het centrum en ze is op r = 0.5 R⊙ al een factor 100 gedaald. Het verloop van de druk volgt het verloop van de dichtheid. Voor een zware ster is de afname van de dichtheid en druk veel geleidelijker. De temperatuur in de Zon verloopt vrij geleidelijk en is op r = 0.5 R⊙ met “slechts” een factor 3 gedaald. De temperatuur valt plotseling zeer sterk af aan de rand van de ster, omdat de straling daar vlot kan ontsnappen. De modellen voor de huidige Zon (leeftijd ongeveer 5 × 109 jaar) worden gekenmerkt door een chemische samenstelling X ≈ 0.35, Y ≈ 0.63, Z = 0.013 in de sterkern, terwijl de oorspronkelijke chemische samenstelling X = 0.717, Y = 0.270, Z = 0.013 nog steeds geldt voor de gebieden met r > 0.2 R⊙ . Het verloop van de massa, dichtheid, druk, temperatuur en lichtkracht zijn nauwelijks veranderd.

110

Figuur 7.2: Het verloop van de druk P (r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M⊙ (links) en met 15 M⊙ (rechts)

Figuur 7.3: Het verloop van de dichtheid ρ(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M⊙ (links) en met 15 M⊙ (rechts)

111

Figuur 7.4: Het verloop van de temperatuur T (r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M⊙ (links) en met 15 M⊙ (rechts)

Figuur 7.5: Het verloop van de lichtkracht l(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M⊙ (links) en met 15 M⊙ (rechts)

112

DEEL III: STEREVOLUTIE

113

Hoofdstuk 8

Stervorming 8.1 Het interstellair medium Het bestaan van interstellaire materie werd zowat een eeuw geleden voor het eerst aangetoond aan de hand van de dubbelster δ Orionis. Ten gevolge van de beweging van twee componenten in een dubbelstersysteem zien we de spectraallijnen van elk van de sterren heen en weer bewegen in golflengte volgens de baanbeweging. Metingen van de spectraallijnen van δ Orionis vertoonden een absorptielijn van Calcium die niet met de andere lijnen meebeweegt. Hieruit concludeerde Hartman in 1904 terecht dat deze absorptielijn veroorzaakt moet worden door materiaal dat zich tussen δ Orionis en de Aarde bevindt. Een andere aanwijzing voor het bestaan van materie tussen de sterren leveren de donkere gebieden in de Melkweg. Aanvankelijk dacht men dat deze gebieden, waar we veel minder sterrren zien, ster-arme omgevingen waren. Maar in werkelijkheid gaat het om gebieden waar concentraties van stof het sterlicht tegenhouden. In de richting van zulke donkere wolken kunnen we alleen de sterren zien die v´oo´ r de wolk staan, waardoor we er in die richting minder in aantal zien. Interstellair stof heeft een typische temperatuur tussen 10 en 100 K. Naast interstellair stof treedt overal in de ruimte ook interstellair gas op. Het wordt waargenomen in de vorm van zeer smalle absorptielijnen in de spectra van sterren. Het gas heeft dezelfde samenstelling als deze van jonge sterren. De gemiddelde dichtheid van het gas is uiterst gering, ongeveer 1 atoom per cm3 en de temperatuur bedraagt ongeveer 1000 K. Het bestaat dan ook voornamelijk uit neutrale atomen, overwegend H. In de buurt van hete sterren is het gas door de UV straling ge¨ıoniseerd en kan het verhitten tot ongeveer 10 000 K. Immers, de neutrale H atomen kunnen de UV fotonen absorberen. Diegenen met een energie E > 13.6 eV geven zo een energieverschil E − 13.6 eV mee als kinetische energie met het elektron dat vrijkomt. Door de botsingen met andere elektronen en protonen wordt deze kinetische energie verdeeld over het gas. De interstellaire materie is niet homogeen verdeeld in de ruimte, maar is geconcentreerd in het melk-

115

wegvlak, meer bepaald in de spiraalarmen. Bovendien komen lokale concentraties voor: interstellaire wolken. Deze hebben een diameter van enkele tientallen parsec, een temperatuur tussen 10 en 200 K en een dichtheid van ruwweg 10 tot 1000 atomen per kubieke cm. De interstellaire wolken zijn kouder dan het ijle gas omdat de straling die voor verhitting zorgt er niet in kan doordringen. In dichte interstellaire wolken kunnen eveneens moleculen voorkomen, vooral H2 en in veel mindere mate ook complexere moleculen zoals CH3 OH en H2 CO. Men spreekt dan van moleculaire wolken. Uit gedetailleerde studies van de absorptie-eigenschappen van het interstellair stof blijkt dat dit bestaat uit minuscule koolstofkorreltjes (roet) of silicaatkorrels (zand) met een diameter van ongeveer 1 µm en omgeven door een dun laagje ijs (H2 O). De massa van de interstellaire wolken ligt tussen 100 en 105 M⊙ , maar de stofdeeltjes maken daar slechts een kleine fractie van uit (slechts 1%). De andere 99% bestaat uit neutraal H of H2 moleculen en He atomen. Sterren worden gevormd op basis van materiaal in moleculaire wolken. Dit gebeurt wanneer zulk een wolk gravitationeel instabiel wordt en ineenstort. Deze wolken zijn ondoorzichtig voor visuele straling. Daarom is het precieze verloop van de vorming van jonge sterren slecht gekend. In de nabije toekomst zullen steeds betere infrarood- en mm-detectoren in gebruik genomen worden. Wellicht zal hierdoor onze kennis over stervorming snel toenemen. We leiden nu eerst een criterium af waaraan moet voldaan zijn opdat zulk een ineenstorting kan plaatsgrijpen. Vervolgens bespreken we de verschillende stadia tussen de ineenstorting en de geboorte van een nieuwe ster.

8.2 Het Jeanscriterium Beschouwen we in eerste instantie een oneindig uitgestrekt homogeen gas in rust. De dichtheid, temperatuur en gravitatiepotentiaal zijn dan overal constant. Dit is echter geen stabiele evenwichtstoestand omdat de ~ 2 Φ = 4πGρ dan oplegt dat ρ = 0. Toch beschouwen we voorlopig deze evenvergelijking van Poisson, ∇ wichtstoestand met een dichtheid die verschilt van nul. Zelfs voor een realistischere evenwichtsconfiguratie wijkt het resultaat niet af van hetgeen we hier bekomen. Passen we nu een storing toe op het medium in rust. Deze storing kan bijvoorbeeld veroorzaakt worden door een supernova explosie in de buurt of door de passage van een dichtheidsgolf, welke de spiraalarmen in de melkweg veroorzaken. Het gas moet dan voldoen aan de bewegingsvergelijking van de hydrodynamica d~v ∂~v ~ − ∇Φ ~ ~ v = − 1 ∇P = + (~v .∇)~ dt ∂t ρ

(8.1)

en aan de continu¨ıteitsvergelijking ∂ρ ~ + ρ∇.~ ~ v = 0. + ~v .∇ρ (8.2) ∂t Bovendien moet voldaan zijn aan de vergelijking van Poisson en onderstellen we dat de toestandsvergelijking voor een ideaal isotherm gas geldig is : P = a2 ρ, 116

(8.3)

met a de isotherme geluidssnelheid, zie uitdrukkingen (2.52) en (2.53). In evenwicht hebben we ρ = ~ 2 Φ0 = 4πGρ0 . ρ0 =constant, T = T0 =constant en ~v0 = ~0. Φ0 wordt bepaald uit de voorwaarde ∇ We verstoren nu het evenwicht en bepalen het effect van deze storing op de grootheden. Hierbij beschouwen we enkel een kleine storing zodat we niet-lineaire effecten van de storing mogen verwaarlozen. De grootheden worden nu geschreven als ρ = ρ0 + ρ1 , P = P0 + P1 , Φ = Φ0 + Φ1 , ~v = ~v1 ,

(8.4)

waarbij de functies met benedenindex 1 nu een ruimtelijke en tijdsafhankelijkheid hebben. Vervangen we nu (8.4) in de vergelijkingen waaraan moet voldaan blijven, dan vinden we het volgend stelsel differentiaalvergelijkingen:  ¶ µ   ∂~v1 ρ1 2  ~  , = −∇ Φ1 + a    ρ0  ∂t  ∂ρ1 (8.5) ~ v1 = 0, + ρ0 ∇.~   ∂t       ~ 2 Φ1 = 4πGρ1 .  ∇

Hierbij hebben we ondersteld dat de verstoring isotherm gebeurt. Deze benadering is goed zolang de wolk in staat is om de vrijgekomen gravitationele energie effici¨ent uit te stralen. Het stelsel (8.5) is een stelsel van lineaire homogene parti¨ele differentiaalvergelijkingen met constante co¨effici¨enten. We kunnen daarom oplossingen vinden die evenredig zijn met exp[i(kx + ωt)] zodat ∂ ∂ ∂ ∂ = ik, = = 0, = iω. ∂x ∂y ∂z ∂t

(8.6)

Met v1x = v1 , v1y = v1z = 0 vinden we op basis van het stelsel (8.5) de volgende vergelijkingen:  ka2    ρ1 + kΦ1 = 0, ωv + 1   ρ0 

kρ0 v1 + ωρ1 = 0,       4πGρ + k 2 Φ = 0. 1

(8.7)

1

Dit homogeen lineair stelsel van drie vergelijkingen voor de drie onbekenden v1 , ρ1 , Φ1 heeft enkel oplossingen verschillend van nul indien de determinant ¯ ¯ ¯ ω ¯ ¯ ¯ ¯ kρ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 0

ka2 ρ0 ω 4πG

nul is. Voor k 6= 0 impliceert dit de voorwaarde

¯ ¯ k ¯¯ ¯ ¯ 0 ¯¯ ¯ ¯ k2 ¯

ω 2 = k 2 a2 − 4πGρ0 .

(8.8)

Voor voldoende grote golfgetallen k is het rechterlid van deze vergelijking positief zodat we storingen hebben die periodiek vari¨eren in de tijd (re¨ele eigenwaarde ω). Vermits de amplitude niet toeneemt is de 117

evenwichtstoestand stabiel t.o.v. deze storingen. In de limiet voor oneindig grote k is de tweede term in het rechterlid van (8.8) te verwaarlozen, zodat ω 2 = k 2 a2 , welke de dispersievergelijking voor isotherme geluidsgolven is. Het is inderdaad zo dat voor zeer korte golven de invloed van de gravitatie kan verwaarloosd worden. Elke vorm van samendrukking zal in dit geval hersteld worden door een verhoogde druk en de storingen reizen met de geluidssnelheid door het medium. Wanneer k 2 < 4πGρ0 /a2 is de waarde ω van de vorm ±iξ met ξ een re¨eel getal. Er treden dan storingen op ∼ exp(±ξt) die exponentieel groeien of uitdoven in de tijd zodat het evenwicht verbroken wordt. We defini¨eren nu een karakteristiek golfgetal kJ en een karakteristieke golflengte λJ : kJ2 ≡

4πGρ0 2π , λJ ≡ . 2 a kJ

(8.9)

De storingen met golfgetal k < kJ (of golflengte λ > λJ ) veroorzaken een instabiliteit. Er treedt dus een instabiliteit op wanneer ¶ µ π 1/2 a. (8.10) λ > λJ met λJ = Gρ0 Voorwaarde (8.10) noemt men het Jeans criterium, genoemd naar J. Jeans die dit criterium afleidde in 1902. Fysisch gebeurt het volgende: na een kleine samendrukking van een stel plan-parallelle lagen overwint de gravitatie de invloed van de druk en worden de lagen samengedrukt tot zeer dunne zones. Het tempo waarmee deze samendrukking gebeurt kunnen we schatten door in (8.8) enkel rekening te houden met de √ op dat ogenblik overheersende invloed van de gravitatie. We hebben dan iω ≈ Gρ0 en de overeenko√ mende tijdschaal bedraagt τ ≈ 1/ Gρ0 . Deze komt overeen met de vroeger gedefinieerde tijdschaal voor vrije val (3.24). Daarentegen is de tijdschaal voor thermische aanpassing veel korter, op voorwaarde dat er effici¨ente “cooling agents” aanwezig zijn in de wolk. Water- en koolstofmonoxide moleculen, waarin op verschillende wijzen rotationele en vibrationele overgangen kunnen plaatsgrijpen, slagen er inderdaad in voldoende warmte afvoeren en zorgen zo voor een snelle koeling. Deze bedraagt enkele honderden jaren voor interstellaire wolken. Dit betekent dat bij goede benadering de ineenstorting isotherm gebeurt zolang deze moleculen aanwezig zijn. Men kan tonen dat het Jeans criterium nog steeds geldt voor realistischere configuraties, zoals een sferisch symmetrische gaswolk. Afhankelijk van de veronderstelde geometrie zullen de factoren in de uitdrukking (8.9) van λJ dan een weinig veranderen. Voor een gegeven evenwichtstoestand bestaat er een kritische massa, de Jeans massa. Gaswolken met massa groter dan de Jeans massa zijn gravitationeel instabiel en zullen bij een kleine samendrukking

118

instorten. We kunnen de Jeans massa als volgt afschatten:

MJ =

4π ρ0 λ3J 3

=

π 4π ρ0 3 Gρ0

=

4π 3

µ

µ

Rπ Gµ

¶3/2 µ

¶3/2

≈ 5 × 105 M⊙

µ

RT µ

¶3/2

(8.11)

−1/2

T 3/2 ρ0 T 100K

¶3/2 µ

ρ0 −24 10 gcm−3

¶−1/2

µ−3/2 ,

waarbij we gebruikt hebben dat a2 = RT /µ. Typische waarden voor interstellaire wolken bestaande uit neutraal waterstof zijn: ρ0 = 10−24 g cm−3 , T = 100 K, en µ = 1. Hiermee bekomen we voor de Jeans massa MJ ≈ 5 × 105 M⊙ . Dit betekent dat enkel massa’s die aanzienlijk groter zijn dan stellaire massa’s kunnen ineenstorten ten gevolge van het Jeans criterium.

8.3 Fragmentatie Hoe worden nu sterren gevormd uit een gaswolk die gravitationeel ineenstort ? Men neemt aan dat een wolk met massa groter dan de Jeans massa die ineenstort onderhevig is aan een proces van fragmentatie. Hiermee bedoelen we dat er tijdens de ineenstorting fragmenten ontstaan die zelf instabiel worden en die aan een hoger tempo dan de wolk zelf in mekaar storten. Indien dit proces inderdaad optreedt, impliceert dit dat kleinere deelmassa’s uit de wolk kunnen condenseren. Zoals reeds eerder opgemerkt gebeurt de ineenstorting isotherm. Hieruit volgt dat de Jeans massa daalt als ρ−1/2 tijdens de samentrekking, m.a.w. de Jeans massa wordt kleiner dan de oorspronkelijke massa van de gaswolk. Wanneer de Jeans massa dan kleiner geworden is dan de helft van de oorspronkelijke massa, kan de wolk zich fragmenteren in twee deelwolken die elk ineenstorten. Zulke fragmentatie kan zich verder zetten zolang de ineenstorting isotherm blijft verlopen. We merken wel op dat het Jeans criterium afgeleid werd voor een medium in evenwicht en de theorie dus niet strikt toepasbaar is voor een wolk die reeds aan het samentrekken is. Vraag is nu wat de eindproducten zijn van het fragmentatieproces ? Een oplossing zoeken op basis van de vergelijkingen van de hydrodynamica en thermodynamica voor zulk een samentrekkende wolk zou ons veel te ver leiden. We beperken onze redenering daarom tot het uitzoeken op welk ogenblik de tijdschaal van thermische aanpassing vergelijkbaar wordt met de tijdschaal van vrije val. Op dat ogenblik zal de ineenstorting niet meer isotherm, maar wel adiabatisch gebeuren. Voor een mono-atomisch ideaal gas hebben we dat ∇ad = 2/5, zodat T ∼ P 2/5 en vermits P ∼ ρT verandert de temperatuur dan als T ∼ ρ2/3 . De Jeans massa is dan evenredig met T 3/2 ρ−1/2 ∼ ρ1/2 . We vinden dus dat de Jeans massa toeneemt tijdens een adiabatische ineenstorting. Hierdoor zullen de reeds ontstane deelwolken niet verder opsplitsen en zal de fragmentatie stoppen. 119

De karakteristieke tijdschaal voor vrije val van een fragment bedraagt (Gρ)−1/2 . Anderzijds is de totale energie die dient uitgestraald te worden om een constante temperatuur te kunnen bewaren van de orde van de gravitationele potenti¨ele energie Eg ≈ GM 2 /R, waarbij M en R de massa en de “straal” van het fragment zijn. Er dient dus een energie A van de orde A≡

GM 2 (Gρ)1/2 = R

µ

3 4π

¶1/2

G3/2 M 5/2 R5/2

(8.12)

per tijdseenheid uitgestraald te worden opdat de fragmentatie isotherm zou verlopen. Onderstellen we nu thermisch evenwicht, wat een goede benadering is aan het eind van het fragmentatieproces omdat de materie dan opaak begint te worden. Dan echter, kan het fragment niet meer energie uitstralen dan een zwarte straler met dezelfde temperatuur. Het fragment straalt dus een energie uit gegeven door B = 4πf σT 4 R2 , met σ de constante van Stefan-Boltzmann (zie Bijlage A) en f een getal tussen 0 en 1 waarmee we in rekening brengen dat er minder energie wordt uitgestraald dan voor een zwarte straler. De voorwaarde voor isotherme ineenstorting is A ≪ B en de overgang naar adiabatische samentrekking zal gebeuren bij A ≈ B. Deze laatste voorwaarde is voldaan bij 64π 3 σ 2 f 2 T 8 R9 M5 = . (8.13) 3 G3 We kunnen dus aannemen dan de fragmentatie stopt wanneer de Jeans massa gelijk is aan de massa gegeven in (8.13). We vervangen daarom M in (8.13) door MJ , R door (3MJ /4πρ)1/3 en elimineren ρ met behulp van uitdrukking (8.11). We bekomen zo de Jeans massa op het eind van de fragmentatie: MJ,einde =

Ã

46 π 15 38

!1/4

1 (σG3 )1/2

µ

R µ

¶9/4

f −1/2 T 1/4 = 0.17 M⊙

T 1/4 , f 1/2

(8.14)

waarbij we µ = 1 genomen hebben. Nemen we nu een typische temperatuur van 1 000 K voor de temperatuur van de kleinste fragmenten. Veronderstellen we vervolgens dat afwijkingen van een isotherme toestand optreden voor f = 0.1, dus wanneer het energieverlies 10% bedraagt van het maximaal mogelijke energieverlies. We bekomen dan een Jeans massa aan het eind van het fragmentatieproces die gelijk is aan 3 M⊙ . Dit resultaat verandert niet veel wanneer we de temperatuur en f -waarde laten vari¨eren binnen de toegelaten grenzen. We besluiten dus dat fragmentatie ophoudt op het ogenblik dat de fragmenten een massa hebben van de orde van e´ e´ n zonsmassa, niet van de orde van een planeet en ook niet van de orde van een stercluster.

8.4 De vorming van een protoster Het Jeans criterium dat we hebben afgeleid is gebaseerd op een eerste-orde storingsmethode en geeft de voorwaarden waaronder een storing van een evenwichtstoestand exponentieel groeit. Deze theorie geeft echter geen informatie over het eindproduct van de ineenstorting. We overlopen nu de verschillende stadia vanaf de ineenstorting tot de geboorte van de ster. Wanneer het fragmentatieproces be¨eindigd wordt blijven de verschillende fragmenten verder gravitationeel ineenstorten. De gravitatie heeft nog steeds de bovenhand en de drukgradi¨ent kan in eerste instantie verwaarloosd worden. We kunnen deze ineenstorting dan benaderen als een vrije val van een homogene 120

sfeer. De tijdschaal waarop de vrije val plaatsvindt is zeer vergelijkbaar met de tijdschaal die men vindt wanneer we het plots wegvallen van de drukkracht beschouwen in de bewegingsvergelijking en bedraagt ongeveer 107 jaar. Deze tijdschaal is niet meer nauwkeurig nabij het centrum van het fragment, vermits de druk daar belangrijk wordt, waardoor de ineenstorting stopt. Volgen we nu het proces van ineenstorting voor een homogene wolk met een massa van 1 M⊙ nadat het fragmentatieproces be¨eindigd werd. In goede benadering houdt de instabiliteit de buitenlagen van de sfeer op een quasi-constante straal terwijl de binnenste materie een vrije val kan ondergaan. Hierdoor stijgt de dichtheid in de centrale gedeelten enorm snel, terwijl de dichtheid nauwelijks varieert in de buitenste regionen van het fragment. Eens een kleine centrale concentratie ontstaan is zal ze onherroepelijk aangroeien en is een irreversibel proces gestart. De vrije-val tijd voor de sfeer binnen straal r is van de orde [Gρ(r)]−1/2 waarbij ρ staat voor de gemiddelde dichtheid binnen de sfeer met straal r. Wanneer ρ toeneemt naar het centrum toe daalt de vrije-val tijd in die richting. Daarom zullen de binnenste sferen veel sneller invallen dan de buitenste lagen en wordt het dichtheidsverschil nog meer uitgesproken. Uiteindelijk zal het fragment evolueren van een dichtheidsverdeling ρ =constant naar ρ ∼ r−2 . De ineenstorting van het centrale deel gebeurt in vrije val zolang het materiaal de gravitationele energie kan kwijtspelen. Een deel van deze energie wordt uitgestraald in het infrarood. Een ander gedeelte wordt opgeslagen onder de vorm van differenti¨ele rotatie. Materiaal met een klein impulsmoment zal een dynamische ineenstorting blijven ondergaan op de tijdschaal van vrije val. Daarentegen zal de materie aan de buitenkant van het fragment een veel groter impulsmoment hebben. Het kan hierdoor niet invallen en begeeft zich in een schijf omheen de ster in wording (zie figuur 8.1). Een verdere toename van de dichtheid zal een adiabatische stijging van de temperatuur veroorzaken. Hierdoor zal de druk stijgen totdat de vrije val gestopt wordt. Hierdoor ontstaat een centrale kern in hydrostatisch evenwicht omgeven door een nog steeds ineenstortende enveloppe. Op dit moment bedraagt de massa van de kern ongeveer 1/200 M⊙ , de straal is ongeveer 1000 R⊙ . Typische waarden voor de centrale dichtheid en temperatuur zijn ρc = 2×10−10 g cm−3 , Tc = 170 K. De snelheid van vrije val aan de rand van de kern bedraagt zo’n 75 km/s. Wanneer de massa van de kern blijft stijgen en de straal ervan dalen, dan zal deze snelheid de geluidssnelheid in de kern overstijgen. Er zal zodoende een schokgolf gevormd worden die het hydrostatisch “inwendige” scheidt van de supersonische “regen” op de kern. In dit schokfront komt het invallend materiaal tot stilstand en geeft het zijn kinetische energie af aan de kern. Op die manier verwarmt de accreterende kern. In de kern bestaat het gas hoofdzakelijk uit waterstof in moleculaire vorm. Wanneer, echter, de temperatuur stijgt tot zo’n 2 000 K, zullen de H2 moleculen dissoci¨eren. We krijgen dan een mengsel van atomair en moleculair waterstof, waarin de opaciteit zeer groot is en het afkoelingsmechanisme aan effici¨entie inboet. Bij de aanvang van dit dissociatieproces zal het grootste gedeelte van de energie die via de schokgolf ge¨ınjecteerd wordt in de kern gebruikt worden om alle waterstof verder te dissoci¨eren. De schokgolf sterft hierdoor snel uit, vooraleer de buitenste lagen van het fragment te bereiken. Op het ogenblik van sterke dissociatie wordt vervolgens het hydrostatisch evenwicht in de kern verbroken, waardoor deze laatste opnieuw begint te contraheren. Dit gebeurt op het ogenblik dat de massa van de kern ongeveer verdubbeld is en de straal ervan gehalveerd. Deze tweede ineenstorting duurt verder zolang het gas partieel gedissocieerd is. Wanneer alle waterstof omgevormd is tot atomaire vorm heeft er zich een dynamisch stabiele deelkern 121

Log ν F ν

CLASS 0

5000 AU

-7 Core

-8 -9 500 AU

Log ν F ν

CLASS I -7

Active disk

-8 -9

Protostar zZ

50 AU

Log ν F ν

CLASS II -7 -8

Passive disk

-9

Star

Log ν F ν

CLASS III

5 AU

-7 -8 Remnant disk

-9 11

Star

12 13 14 Log ν (Hz)

15

Figuur 8.1: De verschillende fasen van het stervormingsproces in een plaatje (rechts) en de spectrale energieverdeling die we erbij verwachten (links). Voor details: zie tekst.

122

in de ster-in-wording gevormd. Deze deelkern heeft een massa van ongeveer 1.5 × 10−3 M⊙ en een straal van 1.3 R⊙ . De centrale dichtheid is nu gestegen tot ongeveer 2 × 10−2 g cm−3 en de centrale temperatuur bedraagt zo’n 2 × 104 K. Opnieuw vormt zich aan de rand van de deelkern een schokfront. Dit front is veel energetischer dan het eerste en reikt nu wel tot het oppervlak van het fragment: de vroege protoster vertoont nu een lichtkracht. Een schematische voorstelling van het ontstaan van de twee schokfronten is gegeven in figuur 8.2. De evolutie van de kern van een fragment met massa 1 M⊙ , startende van de originele Jeans instabiliteit, wordt schematisch weergegeven in figuur 8.3. De evolutie start links met een isotherme ineenstorting. Nadat het materiaal opaak wordt, stijgt de temperatuur adiabatisch. De temperatuursstijging wordt afgevlakt door de dissociatie van H2 . De centrale compressie verloopt adiabatisch zolang de accretietijdschaal van de kern (of van de deelkern indien die reeds bestaat) kort blijft in vergelijking met de tijdschaal van Helmholtz-Kelvin. Hoe meer uitputting van moleculair waterstof er optreedt in de enveloppe, hoe langer de accretietijdschaal wordt. Op een gegeven moment zal deze de Helmholtz-Kelvin tijdschaal overschrijden en zal de accretie stilaan ophouden: een protoster is geboren en deze heeft nu een zo goed als constante massa.

We maken eerst even een zijsprong om te kunnen antwoorden op de vraag wat er met een protoster zal gebeuren alvorens ze aanleiding zal geven tot de geboorte van een ster.

8.5 Hayashisporen in het HR diagram We beschouwen nu even het limietgeval van volledig convectieve sterren. Dit zijn sterren waarvoor de convectieve zone zich uitstrekt van de sterkern tot aan de fotosfeer terwijl enkel de steratmosfeer radiatief blijft. Het Hayashi spoor is die plaats in het HR diagram waar volledig convectieve sterren voor een gegeven massa en chemische samenstelling voorkomen. Er bestaat een apart Hayashi spoor voor elke massa en chemische samenstelling. De Hayashisporen zijn rechts in het HR diagram gesitueerd, bij effectieve temperaturen tussen 3 000 en 5 000 K. Een goede benadering voor de Hayashi sporen in het HR diagram is log Teff = 0.05 log L + 0.2 log M + constante.

(8.15)

De helling van een Hayashi spoor is ∂ log L/∂ log Teff = 20. Dit toont dat alle Hayashi sporen een zeer steile helling hebben. De waarde van ∂ log Teff /∂ log M = 0.2 impliceert dat een Hayashi spoor voor bepaalde massa naar links in het HR diagram verschuift wanneer de massa stijgt. De exacte bepaling van de Hayashi sporen hangt niet alleen af van de massa en chemische samenstelling van de ster, maar evenzeer van de details van de gebruikte convectietheorie. We tonen in figuur 8.4 Hayashi sporen voor stermassa’s gaande van 0.5 tot 10M⊙ . We stellen vast dat de sporen inderdaad een steile helling hebben. Hun preciese lokatie hangt af van de lichtkracht van de ster. De Hayashi sporen zijn zeer ver van de hoofdreeks gelegen voor hoge stellaire massa’s en naderen de hoofdreeks bij lage massa’s. Voor massa’s beneden 0.25 M⊙ treden volledig convectieve hoofdreekssterren op. Voor deze lage massa’s snijdt het Hayashispoor inderdaad de hoofdreeks.

123

Figuur 8.2: De ineenstorting van een gaswolk met massa 1 M⊙ . (a) Na zo’n 1.3 × 1013 seconden heeft de wolk een dichte opake kern gevormd. De ineenstorting stopt aan de rand van die kern en er ontwikkelt zich een schokfront tussen de kern, welke in hydrostatisch evenwicht is, en de enveloppe die nog steeds vrije val ondergaat. (b) Wanneer de kern dynamisch instabiel wordt door H2 dissociatie ontstaat een tweede ineenstorting van de kern, waardoor ook een tweede schokfront zich ontwikkelt, maar nu bij veel kleinere r. (c) Het verloop van de snelheidsmodulus |v| (in cm s−1 ) en de dichtheid ρ (in g cm−3 ) t.o.v. r (in cm). De gebieden van de schokgolven worden gekarakteriseerd door grote variaties in het verloop van de snelheidskromme.

124

Figuur 8.3: De centrale evolutie van een wolk met massa 1 M⊙ vanaf de isotherme ineenstorting tot de ontbranding van waterstof. De centrale temperatuur Tc (in Kelvin) wordt getoond als functie van de centrale dichtheid ρc (in g cm−3 ). De puntjeslijn is een extrapolatie welke aanduidt dat de fase van thermische aanpassing, die volgt na de adiabatische samendrukking, uitmondt in de ontbranding van waterstof in de kern. Het Hayashi spoor duidt een grens aan tussen een toegelaten en verboden gebied in het HR diagram. Posities rechts van het Hayashi spoor kunnen niet voorkomen voor een ster in hydrostatisch evenwicht die tevens in convectief evenwicht is. Met dit laatste bedoelen we dat de variaties van grootheden verbonden met convectieve cellen zo traag verlopen dat de convectie voldoende tijd heeft gehad om zich aan te passen aan de nieuwe situatie. Vermits hydrostatisch en convectief evenwicht zich zeer snel herstelt, kunnen sterren zich slechts gedurende zeer korte tijd rechts van het Hayashi spoor bevinden. Tijdens sommige fasen van de sterevolutie kunnen de sterren zeer dicht naderen tot, of zelfs samenvallen met het Hayashi spoor. De ligging van de Hayashisporen be¨ınvloedt dan ook de sterevolutie.

8.6 Evolutie van de protoster naar de nulhoofdreeks Na de dynamische instortingsfase beschreven in sectie 8.4 bereikt de protoster een quasi-hydrostatisch evenwicht. Zolang de protoster nog een centrale temperatuur heeft beneden diegene nodig voor het initi¨eren van waterstofverbranding, kan ze alleen contractie aanroepen als energiebron om de gravitationele aantrekkingskracht tegen te gaan en is ze nog niet in thermisch evenwicht. Ze contraheert nu traag op de tijdschaal van Helmholtz-Kelvin terwijl ze nog de laatste resten materie blijft accreteren. Men kan tonen dat in deze levensfase, τHK ≈ M −2.5 een goede benadering is voor deze contractietijdschaal. Uit het viriaaltheorema weten we dat een gedeelte van de gravitationele contractie-energie wordt omgezet naar inwendige energie en dat een ander gedeelte verantwoordelijk is voor de lichtkracht van de ster. De opaciteit binnenin de protoster blijft ontzettend groot zolang de materie niet ge¨ıoniseerd is, zodat convectie de enige manier is om de 125

Figuur 8.4: De positie van de Hayashisporen voor sterren met massa tussen 0.5 en 10 M⊙ , voor een chemische samenstelling X = 0.739, Y = 0.24, Z = 0.021. De hoofdreeks is eveneens aangeduid ter vergelijking.

126

energie af te voeren. De protoster bevindt zich dan ook op haar Hayashi spoor. Tijdens haar contractie behoudt de protoster nagenoeg haar effectieve temperatuur, maar daalt haar straal, en dus ook haar lichtkracht (volgens 1/R2 ). Zodoende beweegt ze zo goed als verticaal neerwaarts op haar Hayashispoor in het HR diagram. Vermits de interne temperatuur in de kern van de protoster gestaag blijft stijgen, bereikt het gas daar een ge¨ıoniseerde toestand. Hierdoor daalt de opaciteit in de kern en begint de convectieve zone daar weg te trekken vanuit de kern naar buiten toe. Dit impliceert dat de protoster haar Hayashi spoor zal verlaten, omdat ze dan niet meer volledig convectief is. Ze zal haar weg vervolgen met een radiatieve contractie van de kern en beweegt op de zogenaamde Henyey sporen verder naar links in het HR diagram. Vermits de contractie in de protosterkern in een steeds transparanter milieu gebeurt door de stijgende temperatuur, buigt de protoster haar neerwaartse trend in het HR diagram (door de dalende lichtkracht) om in een stijgende, waarbij haar lichtkracht begint toe te nemen. De ster is nu een pre-hoofdreeksster geworden. Terwijl de pre-hoofdreeksster haar weg vervolgt langsheen het Henyey spoor naar links in het HR diagram, bereikt haar centrale temperatuur op een gegeven moment diegene nodig voor het initi¨eren van de proton-proton reactie (ongeveer een miljoen graden). We herhalen dat deze reactie H omzet in 2 H (deuterium). Deze verse deuterium wordt onmiddellijk verder verbrand tot 3 He. Hoe lichter de protoster, hoe groter de temperatuursstijging in haar centrum en dus hoe dichter ze zich nog tegen het Hayashispoor bevindt wanneer deze eerste kernreacties plaatsvinden (de primordiale deuterium en 3 He branden ook mee op). De volledige pp ketens kunnen echter nog niet doorlopen worden, omdat de verbranding van 3 He tot een alfa deeltje een iets hogere temperatuur vereist (typisch 5 × 106 K). Hierdoor kan de 3 He niet tot zijn evenwichtsconcentratie komen die er zou moeten zijn om de volledige waterstofverbranding in evenwicht te laten gebeuren. De temperatuursgevoeligheid van de kernreacties is hierdoor veel hoger (typische een factor drie) dan wanneer de pp ketens wel in evenwicht zouden gebeuren. Dit impliceert dat de pre-hoofdreeksster een convectieve kern ontwikkelt. In pre-hoofdreekssterren met een massa kleiner dan ongeveer 1.1 M ⊙ zal deze convectieve kern verdwijnen van zodra de pp ketens, met al hun bijhorende chemische tussenstappen, in evenwicht kunnen gebeuren. Zwaardere sterren zullen echter zeer snel overstappen op waterstofverbranding via de CNO cyclus. Deze vorm van verbranding is echter veel temperatuursgevoeliger dan de pp ketens. Zodoende zullen deze sterren hun convectieve kern behouden tijdens de gehele centrale waterstofverbrandingsfase. De accretie is ondertussen blijven verder gaan gedurende nagenoeg de hele pre-hoofdreeksfase, en wel op een tijdschaal van Helmholtz-Kelvin. Protosterren met een massa boven een 9-tal M⊙ bewegen zodanig snel van hun Hayashispoor naar de ZAMS dat ze onzichtbaar blijven tijdens hun pre-hoofdreeksfase, vermits ze ingebed blijven in een dikke circumstellaire enveloppe van invallend materiaal. De zwaarste sterren lichten zodoende pas op in het HR diagram als ze de ZAMS al bereikt hebben. De inval van materie stopt dan door de felle buitenwaartse straling. Hierdoor geven ze niet veel informatie prijs over hun vormingsproces. Pre-hoofdreekssterren met massa’s tussen ∼1.6 en 9 M ⊙ be¨eindigen hun accretie reeds voor ze aan de ZAMS zijn. Zulke pre-hoofdreekssterren worden Herbig Ae/Be sterren genoemd. Pre-hoofdreekssterren met massa beneden ∼1.6 M⊙ worden T Tauri sterren genoemd. Vanuit observationeel standpunt is het inderdaad zo dat het HR diagram van jonge sterclusters (bijvoorbeeld de Pleiaden of h en χ Persei) toont dat de zware sterren reeds op de hoofdreeks beland zijn, terwijl de lichtere sterren zich nog in hun contractiefase bevinden, vermits ze duidelijk rechts van de hoofdreeks gele127

gen zijn. Vele van deze sterren blijken inderdaad T Tauri sterren te zijn. Waarnemingen van Herbig Ae/Be sterren en T Tauri sterren tonen aan dat beide groepen onderhevig zijn aan actieve oppervlaktefenomenen en differenti¨ele rotatie. De combinatie van deze rotatie met de convectie in de buitenlagen, wekt wellicht een chaotisch magneetveld op. Dit zorgt voor de afvoer van het beschikbare impulsmoment via een sterrenwind. Deze wind ontsnapt langs de poolas omwille van de gevormde schijf in het equatorvlak. Zo ontstaat een bipolaire uitstroom die het accretieproces doet stoppen alvorens de ZAMS bereikt wordt (figuur 8.1). De stofschijf omheen de T Tauri en Herbig Ae/Be sterren verdwijnt tijdens hun pre-hoofdreeksfase. Het is vooralsnog niet helemaal duidelijk op welke manier dit gebeurt. De vorming van een planetenstelsel is e´ e´ n van de mogelijke scenario’s. Het is ook nog niet geweten of de vorming van een planetensysteem in dergelijke schijven een normaal dan wel een uitzonderlijk fenomeen is. Voor meer details omtrent planeetvorming verwijs ik naar het mastercollege Star and Planetary System Formation. Eens de waterstofverbranding in evenwicht kan gebeuren, en volledig de energieproductie domineert, bereikt de ster een toestand van thermisch evenwicht en stopt de contractie. Op dat ogenblik is de ster aangekomen op de zogenaamde nulhoofdreeks (ZAMS: zero-age main-sequence). Men zegt dat de ster nu “geboren” is. Het ogenblik waarop de energie geput uit contractie niet meer dan slechts enkele procenten bijdraagt is inderdaad een belangrijk moment in het leven van de ster, aangezien de inwendige structuur van het object op dat moment een reorganisatie vereist. Dit is het gevolg van het feit dat er nu twee energiebronnen in belang omgewisseld worden, nl. de gravitationele en nucleaire energie, met elk een totaal verschillende impact op de sterstructuur. Zo is de gravitationele energieproductie εg ∼ T terwijl de processen van waterstofverbranding veel meer geconcentreerd zijn naar het stercentrum toe met temperatuursafhankelijkheden gegeven door εpp ∼ T 5 en εCNO ∼ T 18 . De nucleaire energie neemt dus al gauw de bovenhand en de evolutie van de ster wordt vanaf dat moment helemaal geregeerd door de waterstofverbranding. Op dat ogenblik doet de voorgeschiedenis van de ster er niet meer toe. De sterstructuur zal zich aanpassen en thermisch evenwicht bereiken na een Helmholtz-Kelvin tijd. Vermits de tijdsduur die de ster zal doorbrengen op de hoofdreeks vele orden van grootte langer is, vestigt de ster zich vrij onafhankelijk van haar verleden op de nulhoofdreeks. In figuur 8.5 tonen we de evolutiesterren van protosterren tot aan de nulhoofdreeks voor verschillende massa’s. Tabel 8.1 geeft de overeenkomstige evolutionaire leeftijden van de modellen, volgens de labels aangeduid in figuur 8.5. Het starttijdstip van de berekening komt overeen met het instellen van hydrostatisch evenwicht in de protoster. We merken tenslotte nog op dat een contraherende sfeer met een massa beneden een bepaalde limietmassa nooit een centrale temperatuur van waterstofverbranding zal bereiken. Protosterren met een massa beneden 0.08 M⊙ ontsteken nooit waterstof en geraken dus nooit op de nulhoofdreeks. De reden hiervoor is dat deze sterren volledig convectief worden tijdens de contractiefase. Immers, de contractie moet zorgen voor de te produceren lichtkracht zolang er geen kernreacties plaatsgrijpen. Er ontstaat zo een alsmaar stijgende dichtheid, die bij een ster met initi¨ele massa beneden 0.08 M⊙ leidt tot ontaarding alvorens waterstof ontsteekt. Deze ontaarding belet een verdere toename van de temperatuur, zodat deze laatste nooit hoog genoeg kan worden opdat waterstofverbranding plaats kan grijpen. Zulke objecten noemt men bruine dwergen. Een ster in wording is dus gedoemd om een bruine dwerg te worden wanneer haar massa niet hoog genoeg is om waterstofverbranding te ontsteken vooraleer ontaarding optreedt. Bruine dwergen worden soms verantwoordelijk geacht voor de zogenaamde “ontbrekende massa” in het 128

Figuur 8.5: Evolutiesporen van pre-hoofdreekssterren in het HR diagram voor stermodellen met massa tussen 0.5 en 15 M⊙ . De onderstelde chemische samenstelling bedraagt X = 0.708, Z = 0.02. De tijdsduur om de aangeduide punten te bereiken wordt voor sommige modellen gegeven in Tabel 8.1.

129

punt

15

9

5

3

1

1

6.74 × 102

1.44 × 103

2.94 × 104

3.42 × 104

1.19 × 105

2 3 4 5 6 7 8

3.77 × 103

9.35 × 103

2.20 × 104

2.66 × 104

3.98 × 104

4.59 × 104

6.17 × 104

1.47 × 104

3.65 × 104

6.99 × 104

7.92 × 104

1.02 × 105

1.20 × 105

1.51 × 105

1.07 × 105

2.00 × 105

2.86 × 105

3.14 × 105

3.88 × 105

4.56 × 105

5.76 × 105

2.08 × 105

7.63 × 105

1.14 × 106

1.25 × 106

1.47 × 106

1.74 × 106

2.51 × 106

1.06 × 106

8.91 × 106

1.82 × 107

2.53 × 107

3.42 × 107

5.02 × 107 –

Tabel 8.1: Evolutionaire leeftijden (in jaren uitgedrukt) voor sommige van de modellen met aangegeven massa’s getoond in figuur 8.5. De tabel geeft de tijdsduur die nodig is om de aangeduide punten te bereiken, vanaf het ogenblik dat hydrostatisch evenwicht zich instelt in de protoster tot aan de aankomst op de nulhoofdreeks. Heelal. Omwille van hun lage lichtkracht is het zeer moeilijk om zulke objecten waar te nemen. Zodoende zou een aanzienlijke fractie van de massa in het Heelal aan de waarnemingen kunnen ontsnappen. Een nauwkeurige schatting van de massa die aanwezig is in het Heelal is van groot belang voor het opstellen van kosmologische modellen (zie Leuvense Mastercollege Introduction to Cosmology). In die zin is de zoektocht naar bruine dwergen zeer actueel.

130

Hoofdstuk 9

De hoofdreeks 9.1 De nulhoofdreeks We beschouwen nu een reeks van stermodellen in mechanisch en thermisch evenwicht met dezelfde chemische samenstelling maar met verschillende massa. De sterren zijn aangekomen op de nulhoofdreeks zoals geschetst in vorig hoofdstuk en ondergaan waterstofverbranding in hun kern. Deze waterstofverbranding is hun energiebron gedurende zeer lange tijd en de sterren veranderen bijgevolg slechts op de tijdschaal τn . In de veel kortere tijdspanne τHK “vergeet” de ster haar vormingsgeschiedenis. De consumptie van waterstof in de kern gebeurt zodanig traag dat de ster bijna haar gehele levensloop doorbrengt op de hoofdreeks. Daarom dat we de meeste sterren vinden tijdens hun hoofdreeksfase. De leeftijd van de ster wordt steeds weergegeven t.o.v. de nulhoofdreeks (i.e. t = 0 komt overeen met de ZAMS). We herhalen nogmaals dat deze gedefinieerd wordt als het ogenblik waarop de centrale waterstofverbranding volledig in evenwicht gebeurt en daardoor veruit de dominante energiebron is (i.e. wanneer de contractie-energie nog slechts enkele procenten van de totale energieproductie op zich neemt). Evenwichtsmodellen van hoofdreekssterren in de fase van centrale waterstofverbranding kunnen bepaald worden aan de hand van het schema besproken in Hoofdstuk 7. In figuur 9.1 tonen we de positie van de sterren in het HR diagram voor een reeks in massa gaande van 0.1M⊙ tot 22M⊙ voor een chemische samenstelling X = 0.685, Y = 0.294. De lichtkracht en effectieve temperatuur stijgt met stijgende massa. We verkrijgen zo de gehele ZAMS. Zoals reeds blijkt uit figuur 9.1 bestaan er welbepaalde verbanden tussen de oppervlaktewaarden voor de massa, de straal, de effectieve temperatuur en de lichtkracht voor de berekende modellen. We gaan hier nu wat dieper op in.

131

Figuur 9.1: De nulhoofdreeks (ZAMS) in het Hertzsprung-Russell diagram voor stermodellen met X = 0.685 en Y = 0.294. De posities van de modellen voor verschillende massa’s tussen 0.1 en 22 M⊙ worden aangeduid onderaan de ZAMS.

132

Figuur 9.2: De volle lijn duidt de massa-lichtkracht relatie aan voor de hoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1. Een vergelijking wordt gemaakt met componenten van dubbelsterren waarvan de massa’s nauwkeurig bepaald werden. Driehoekjes: visuele dubbelsterren, puntjes: gescheiden dubbelsterren.

9.2 De massa-lichtkracht relatie De massa-lichtkracht relatie voor de nulhoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1 wordt weergegeven als een volle lijn in figuur 9.2. We stellen vast dat de lichtkracht fel toeneemt voor stijgende massa’s. Met het oog op een interpolatie over een beperkt massa-interval kunnen we de massa-lichtkracht relatie schrijven in de vorm L ∼ M η. (9.1) De waarde van η hangt af van het beschouwde massa-interval. Wanneer we het gehele massa-interval beschouwen vinden we als beste benadering η ≈ 3.2. De helling van de volle lijn in figuur 9.2 verandert echter in functie van de massa. Zo vinden we bijvoorbeeld als beste waarde voor het massa-interval M ∈ [1, 10]M⊙ η ≈ 3.35. Vraag is nu hoe de theoretisch bepaalde massa-lichtkracht relatie aansluit bij de observationele versie van deze relatie. Om deze vraag te kunnen beantwoorden moeten we beschikken over een reeks sterren waarvan de massa en de lichtkracht (en dus de straal en de effectieve temperatuur) goed gekend zijn. De meest nauwkeurige massa- en straalbepaling die voorhanden is, gebeurt aan de hand van dubbelsterren. Onder een dubbelster verstaan we een systeem van twee sterren die fysisch met elkaar verbonden zijn. Beide componenten bevinden zich dus op dezelfde afstand van ons. Verscheidene studies tonen aan dat minstens de helft van alle sterren behoren tot een meervoudig systeem. De binariteit heeft voor nauwe dubbelsterren belangrijke gevolgen voor de evolutie van de componenten. De invloed van deze binariteit op de evolutie en het bepalen van massa’s wordt bestudeerd in het Leuvense Mastercollege Binary Stars. We bespreken nu de confrontatie van de theoretisch voorspelde en de waargenomen massa-lichtkracht relatie voor hoofdreekssterren. In de literatuur vinden we overzichten van de dubbelsterren op de hoofdreeks waarvan de massa’s het nauwkeurigst afgeleid konden worden. Deze lijsten werd gebruikt om de theore133

Figuur 9.3: De volle lijn duidt de massa-straal relatie aan voor de hoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1. Een vergelijking wordt gemaakt met componenten van dubbelsterren waarvan de massa’s nauwkeurig bepaald werden. De symbolen hebben dezelfde betekenis als in figuur 9.2. tisch geconstrueerde massa-lichtkracht relatie te toetsen. De observationeel vastgestelde massa-lichtkracht relatie wordt eveneens weergegeven in figuur 9.2. De driehoekjes verwijzen naar visuele (lage-massa) dubbelsterren terwijl de bolletjes de zwaardere dubbelsterren met duidelijk gescheiden componenten (“detached binaries”) aanduiden. We zien een zeer goede overeenkomst tussen de waargenomen dubbelsterren en de theoretisch gevonden relatie. Vermits we hier een vergelijking maken tussen ZAMS modellen en echte sterren die reeds lang op de hoofdreeks kunnen verblijven is de overeenkomst bijzonder goed, zeker als men de bedenking maakt dat we te maken hebben met een bijzonder grote interval waarbinnen de massa en lichtkracht kunnen vari¨eren: een factor van om en bij de 200 in massa en zowat 108 in lichtkracht ! Een ander verband dat we kunnen beschouwen is de massa-straal relatie voor nulhoofdreekssterren. We kunnen daarom een soortgelijk verband R ∼ Mξ (9.2) beschouwen. Voor de sterren met massa’s lager dan die van de Zon vinden we ruwweg ξ ≈ 0.8 terwijl voor de zwaardere sterren ξ ≈ 0.57. De massa-straal relatie wordt voor de theoretisch berekende modellen opnieuw voorgesteld als een volle lijn in figuur 9.3. De confrontatie met de straal bepaald voor de dubbelsterren toont weerom een goede overeenkomst. De waarnemingen zijn opnieuw weergegeven door middel van dezelfde symbolen als in figuur 9.2. Er is een duidelijke “knik” in de massa-straal relatie rond M = 1 M⊙ . De reden is dat sterren met een effectieve temperatuur lager dan die van de Zon plots een veel uitgebreidere convectiezone hebben nabij het steroppervlak, welke ondermeer voor een stijging van de straal zorgt, waardoor de massa-straal relatie plots steiler wordt.

134

9.3 Chemische evolutie op de hoofdreeks Tijdens de hoofdreeksfase wordt het energieverlies aan het steroppervlak gecompenseerd door de energieproductie ten gevolge van waterstofverbranding. Deze chemische evolutie van de ster heeft vooral betrekking op het gebied in de onmiddellijke omgeving van de sterkern vermits de energieproductie sterk afhankelijk is van de temperatuur. Het centrale deel van de ster waarin de waterstoffusie plaatsvindt beslaat 20 tot 30% van de stermassa. Wanneer convectie optreedt, echter, zorgen de turbulente bewegingen voor een effici¨ente vermenging van het stermateriaal en wordt een groter volume be¨ınvloed. In figuur 9.4 tonen we de situering van de convectiezones in functie van de stermassa. We zien dat er geen convectieve gebieden optreden rond de sterkern voor massa’s beneden een zonsmassa en dat de uitgebreidheid van de centrale convectieve kern toeneemt met stijgende massa. Een andere, ruwere verdeling van de situering van de convectiezones volgens de stermassa wordt gegeven in figuur 9.5, waarbij de linkse schets geldt voor sterren < < < met M > ∼ 2 M⊙ , de middelste voor 1 M⊙ ∼ M ∼ 2 M⊙ en de rechtse voor M ∼ 1 M⊙ . Voor sterren met massa tussen 0.1 en 1 M⊙ met een radiatieve kern is de verandering van de waterstofinhoud ten gevolge van de waterstofverbranding vrij gemakkelijk te bepalen. De variatie van X voor een bepaald massa element is evenredig met de lokale waarde van εH wanneer er geen vermenging optreedt. Dit betekent dat de verandering van de waterstofconcentratie na een tijdsinterval △t gegeven wordt door △X ∼ εH △t. Op die manier is de chemische evolutie eenvoudig te volgen gedurende de waterstofverbranding. Aan het eind van de hoofdreeksfase gaat X → 0 in het stercentrum. De effectieve temperatuur van deze sterren verandert nauwelijks tijdens de hoofdreeks. Voor zwaardere sterren is de heliumproductie veel meer geconcentreerd naar het centrum toe vermits er een veel grotere temperatuursafhankelijkheid optreedt. Echter, de convectie in de centrale delen is daar zo effici¨ent en snel dat de kern op elk tijdstip als homogeen kan beschouwd worden. Binnenin de kern krijgen we dus △X ∼ εH △t, waarbij εH een gemiddelde waarde voor de energieproductiesnelheid over de gehele sterkern voorstelt. De evolutie van de grootte van de convectieve kern tijdens de hoofdreeks voor sterren met M > 1 M⊙ hangt af van de stermassa. Voor sterren met M > ∼ 1.6 M⊙ verandert ∇rad vooral door de variatie in opaciteit, en in de kern is κ ∼ (1 + X) waardoor de opaciteit er daalt. Daarom zal voor deze sterren de convectieve kern krimpen wanneer ze evolueren van de ZAMS naar het eind van de hoofdreeks. Hierdoor blijft er een gebied achter rond de convectieve kern waarin de producten van de nucleosynthese aanwezig zijn. Zij krijgen hierdoor tevens een iets grotere radiatieve buitenzone, waarin de temperatuur sneller afneemt dan in een convectieve zone, en dus wordt de ster een weinig koeler aan haar buitenzijde, wat een beweging naar rechts in het HR diagram tot gevolg heeft. Voor M < ∼ 1.6 M⊙ , echter, verandert ∇rad vooral door de bijdrage 2 ℓ(r)/m(r) = ε. Vermits εpp ∼ X en εCNO ∼ XZ stijgt het relatieve belang van de CNO cyclus in de energieproductie t.o.v. de pp ketens. Deze ketens hebben het hierdoor moeilijk om in evenwicht te blijven verlopen, en zijn uit evenwicht veel temperatuursgevoeliger. Vermits de CNO verbranding veel meer geconcentreerd is in een kleinere kernomgeving, stijgt ℓ(r)/m(r). Deze stijging overheerst over de daling van de opaciteit, waardoor de radiatieve temperatuursgradi¨ent stijgt wanneer de ster evolueert tijdens de hoofdreeks. Hierdoor groeit de convectieve kern. In werkelijkheid veranderen de opaciteit en energieproductie natuurlijk samen en moet hun gecombineerd effect op ∇rad beschouwd worden. In sterren met M < 1.3 M⊙ blijven de pp ketens dominant als energiebron. Hun effectieve temperatuur wordt vooral bepaald door de 135

Figuur 9.4: De waarden van de massaverdeling m/M van het centrum tot het oppervlak wordt getekend t.o.v. de totale stermassa voor de ZAMS modellen getoond in figuur 9.1. Gebieden aangeduid door “wolkjes” zijn de zones in de ster waarin het energietransport door convectie gebeurt. De twee volle lijnen geven de m-waarden aan waarvoor r gelijk is aan 1/4 en 1/2 van de totale straal R. De streepjeslijnen duiden de massaschillen aan waarbinnen 50% en 90% van de totale lichtkracht L wordt geproduceerd.

136

Figuur 9.5: Ruwe indeling van de ZAMS sterren naargelang hun convectieve zones. Links: sterren met massa groter dan 2 M⊙ , midden: sterren met massa tussen 1 en 2 M⊙ , rechts: sterren met massa kleiner dan 1 M⊙ . grote buitenste convectieve zone en verandert nauwelijks door de iets grotere convectieve kern. In sterren met 1.3 M⊙ < M < 1.6 M⊙ was de CNO cyclus hoe dan ook al dominant in de kern (zie figuur 6.6), en is de buitenste convectielaag zeer dun. Zij bewegen daardoor ook naar rechts tijdens de hoofdreeksevolutie. De tijd die een ster doorbrengt op de hoofdreeks hangt af van haar massa vermits de lichtkracht enorm afhankelijk van de massa is. Stellen we de energievoorraad die beschikbaar is door waterstofverbranding voor door EH , dan kan de ster gedurende τH ≡ EH /L op de hoofdreeks blijven. Als ruwe benadering kunnen we aannemen dat e´ e´ n vaste fractie van de voorhanden massa van waterstof MH beschikbaar is voor de waterstofverbranding. In deze onderstelling is EH ∼ MH ∼ M . De lichtkracht L verandert nauwelijks tijdens de hoofdreeksfase en we kunnen dus de massa-lichtkracht relatie voor ZAMS modellen gebruiken om τH af te schatten. We vinden zo de volgende afhankelijkheid van de hoofdreekstijdsduur als functie van de stermassa: M τH (M ) ∼ ∼ M 1−η . (9.3) L Voor de gemiddelde exponent η = 3.5 van de massa-lichtkracht relatie vinden we dan dat τH (M ) ∼ M −2.5 : de hoofdreeksleeftijd neemt snel af met toenemende massa. Een typische waarde is 5 × 107 jaar voor een ster met massa 5 M⊙ en 1011 jaar voor de Zon. De snellere hoofdreeksevolutie voor zwaardere sterren wordt mooi bevestigd door de observationele studie van het HR diagram van sterclusters, welke concentraties van sterren aan de hemel zijn die zich zo dicht bij elkaar bevinden dat ze fysisch verbonden moeten zijn. Er zijn twee types sterclusters. Galactische of open clusters bestaan uit sterren van populatie I en zijn geconcentreerd in de schijf van de melkweg. Zij bevatten typisch enkele honderden sterren. Daarentegen bestaan bolvormige sterrenhopen (“globular clusters”) uit miljoenen sterren van populatie II. Zij worden op grote afstand van het galactisch vlak gevonden. Alle sterren van een cluster bevinden zich ongeveer op dezelfde afstand, waardoor het verschil tussen de 137

absolute en schijnbare magnitude steeds dezelfde is voor alle leden – zie vergelijking (1.10). Hierdoor vertoont een grafiek van de schijnbare magnitude t.o.v. de kleur dezelfde vorm als een grafiek van de absolute magnitude t.o.v. de kleur. Alle sterren die zich in een cluster bevinden zijn min of meer tegelijk “geboren” en hebben dus dezelfde leeftijd τcluster . Hierdoor zullen alle sterren met massa groter dan een bepaalde limietmassa Mlimiet de hoofdreeks reeds verlaten hebben, terwijl sterren met een kleinere massa M < Mlimiet zich nog steeds in de fase van waterstofverbranding in de kern bevinden. Waarnemingen van sterren in clusters bevestigen dit scenario. In figuur 9.6 tonen we het contrast in HR diagram van een jonge cluster en een oude cluster. In het onderste paneel tonen we het HR diagram van de jonge dubbelcluster h en χ Persei, waarvan de minder zware sterren nog naar de ZAMS toe aan het bewegen zijn terwijl de zwaardere sterren al op de ZAMS verblijven en de allerzwaarste sterren al in het super-reus stadium zijn. Bovenaan zien we het HR diagram van de oude stercluster M 5 waarin de zwaarste sterren al duidelijk van de hoofdreeks zijn wegge¨evolueerd, terwijl de sterren met lage massa nog op de hoofdreeks leven. De horizontale tak (zie verder) is zeer goed zichtbaar voor de oude cluster. In figuur 9.7 is de evolutie van galactische clusters weergegeven als zwarte stroken. Het verschil in hoofdreeksleeftijd in functie van de oorspronkelijke massa heeft volgende belangrijke toepassing voor sterclusters. De limietmassa die aangeeft of een ster uit een cluster zich al dan niet nog op de hoofdreeks bevindt wordt gegeven door de voorwaarde τcluster = τH (Mlimiet ). Deze voorwaarde vormt de basis van de leeftijdsbepaling van sterclusters. Het keerpunt (“turn-off point”) bepaalt de leeftijd van de cluster, welke rechts op de figuur aangegeven wordt. Hoe ouder de cluster, hoe lager het snijpunt tussen de hoofdreeks en de reuzentak van de cluster (zie figuur 9.7). Het voorbeeld van h en χ Persei (zie figuur 9.6) toont dat de lage-massa sterren in extreem jonge clusters de hoofdreeks nog niet bereikt hebben. De studie van zulke sterren is op haar beurt enorm belangrijk om de details van de evolutie van protosterren naar de hoofdreeks toe beter te begrijpen. We merken hier terloops ook het belang op van de scheikundige samenstelling wat de sterevolutie betreft. In figuur 9.7 zien we dat het snijpunt van de hoofdreeks en de reuzentak voor de bolvormige sterrenhoop M 3 (weergegeven als stippellijn) hoger ligt dan voor de galactische cluster M 67 die veel jonger is. Dit is schijnbaar in tegenspraak met de zopas afgeleide conclusie over de ligging van het keerpunt. De reden hiervoor is dat bolvormige sterrenhopen enkel sterren van populatie II bevatten, welke veel metaalarmer zijn en dus een lagere opaciteit hebben dan de populatie I sterren in het galactisch vlak. Hierdoor zijn de sterren in een bolvormige sterrenhoop heter en helderder. De scheikundige samenstelling heeft dus weldegelijk een invloed op de positie van een ster in het HR diagram. De leeftijdsbepaling van bolvormige sterrenhopen wordt gebruikt als leeftijdslimiet van het Heelal en is daarom van groot kosmologisch belang. De positievariatie van een hoofdreeksster in het HR diagram wordt voor een ster met massa 7 M⊙ weergegeven in het linkse paneel van figuur 9.8. Vanuit het punt A op de hoofdreeks beweegt de ster zich naar rechts en naar boven, op weg naar het punt B. De stijging van de lichtkracht is toe te schrijven aan de toename van het gemiddeld moleculair gewicht door de omzetting van waterstof naar helium – zie uitdrukking (2.31). Immers, P ∼ T /µ en L ∼ T 4 . Wanneer alle waterstof bijna opgebruikt is (X = 5%) wordt een minimale effectieve temperatuur vastgesteld (punt B). Men duidt deze fase aan als de terminal age main sequence of TAMS. De ster wordt zich bewust dat ze weldra zal terechtkomen in een energiecrisis en wil hier iets aan doen. Vermits de centale temperatuur veel te laag is om heliumverbranding op gang te brengen, 138

Figuur 9.6: Het kleur-magnitude diagram voor een typische bolvormige sterrenhoop (M 5) bestaande uit populatie II (oude) sterren (bovenaan), en een jonge galactische dubbele sterrencluster h&χ Persei bestaande uit populatie I sterren (onderaan).

139

Figuur 9.7: Een schematische voorstelling van de kleur-magnitude diagrammen van verschillende galactische sterrenclusters. De leeftijdsschaal aan de rechterzijde is gebaseerd op evolutieberekeningen. Het keerpunt van elke cluster duidt de leeftijd ervan aan. De streepjeslijn duidt de oude bolvormige sterrenhoop M 3 met Populatie II sterren aan.

140

Figuur 9.8: Hertzsprung-Russell diagrammen met evolutiesporen voor populatie I sterren gedurende centrale waterstofverbranding. De ZAMS is aangeduid als streepjeslijn. (a) Voor een stermassa gelijk aan 7 M⊙ . De punten A,B,C komen overeen met het tijdstip van respectievelijk geboorte, minimale Teff en uitputting van centrale waterstof. De puntjeslijn duidt het vervolg van de sterevolutie aan na de centrale waterstofverbranding. (b) Voor sterren met massa tussen 4 en 8 M⊙ . (c) Voor sterren met massa tussen 1 en 3 M⊙ . tracht ze een oplossing te zoeken door te contraheren: ze evolueert naar links in het HR diagram. De evolutie komt dan in een stroomversnelling vermits het laatste deeltje waterstof aan een zeer snel tempo geconsumeerd wordt. Aan het eind van de waterstofverbranding (punt C) heeft de ster een kern bestaande uit helium overgehouden. Deze kern is niet in staat om de nodige energie te produceren, vermits de temperatuur nog steeds te laag is om heliumverbranding te starten. De heliumkern is echter omgeven door een waterstofrijke enveloppe. Door de temperatuursstijging die opgetreden is tussen de punten B en C is de temperatuur aan de bodem van de enveloppe hoog genoeg om de waterstofverbranding daar op gang te brengen en zodoende de nodige energie te produceren. Op die manier vangt een fase van waterstofschilverbranding aan. Het evolutiespoor weergegeven in het linkse paneel van figuur 9.8 is tevens representatief voor alle sterren met een aanzienlijke convectieve kern. Dit wordt ge¨ıllustreerd in het middelste paneel van figuur 9.8. De toename van de lichtkracht tussen de punten A en B stijgt voor sterren met stijgende massa, terwijl de variatie in effectieve temperatuur nagenoeg hetzelfde blijft. Voor sterren met een massa lager dan die van de zon, verlopen de evolutiesporen anders. Dit wordt weergegeven in het rechtse paneel van figuur 9.8. Deze sterren hebben immers geen convectieve kern. Hierdoor treedt er geen vermenging op in de sterkern en krijgen we een veel continuere overgang van centrale naar waterstofschilverbranding waarbij de massa van 141

Figuur 9.9: Schematisch temperatuursprofiel in een evenwichtsmodel met een isotherme inerte heliumkern van massa q0 M < MSC . Er treedt waterstofschilverbranding op in het gearceerde gebied, wat gesitueerd is aan de bodem van de sterenveloppe. de heliumkern werkelijk begint in het stercentrum en geleidelijk aan wordt opgebouwd. De aanvang van waterstofverbranding in een schil heeft een belangrijk gevolg voor de inwendige sterstructuur. Vermits de nucleaire tijdschaal voor kernwaterstofverbranding zoveel langer is dan de HelmholtzKelvin tijdschaal zijn sterren op de hoofdreeks in goede benadering in volledig evenwicht. Dit is in het algemeen niet meer geldig voor de evolutiefasen na de hoofdreeks. De structuur en verandering van de heliumkern hangen af van de massa en de chemische samenstelling van de ster. Een kern in thermisch en hydrostatisch evenwicht zonder energiebron draagt niet aanzienlijk bij tot de lichtkracht en moet daarom isotherm zijn (vermits l ∼ dT /dr). Echter, de tegendruk geleverd door de kern moet voldoende zijn om de gravitationele aantrekkingskracht op de bovenliggende enveloppe te compenseren. Dit is enkel voldaan wanneer de massa van de heliumkern beneden de zogenaamde Sch¨onberg-Chandrasekhar limiet (MSC ) blijft. Deze limiet in massa van de heliumkern ligt ruwweg tussen 7% en 15% van de totale stermassa, afhankelijk van de massa en chemische samenstelling van de ster. De heliumkern kan dus slechts isotherm blijven tot de massa ervan MSC bereikt, waarna de kern niet meer de nodige tegendruk kan bieden om de aantrekkingkracht die de enveloppe ondervindt tegen te gaan en begint te krimpen. Men kan tonen dat, in de benadering van een isotherm ideaal gas, MSC ≈ 0, 37 ×

µ

µenv µkern

¶2

M.

(9.4)

Sterren met geboortemassa boven 2 a` 3 M⊙ hebben, omwille van hun convectieve kern die alles homogeen vermengt en brandstof naar de centrale delen vervoert, aan de TAMS reeds een heliumkern wiens massa hoger ligt dan hun Sch¨onberg-Chandrasekhar limiet. De kern begint daardoor onmiddellijk na de TAMS te contraheren en is niet meer in thermisch evenwicht. Sterren die hun Sch¨onberg-Chandrasekhar limiet nog niet bereikt hebben bij de TAMS behouden een inerte heliumkern in hydrostatisch en thermisch evenwicht die niet bijdraagt tot de lichtkracht. Voor deze sterren moeten we de structuur van de ster opsplitsen in de inerte heliumkern met kernmassa Mk = q0 M die omgeven is door een waterstofrijke enveloppe met massa (1 − q0 )M , waarbij q0 M < MSC . Dit wordt weergegeven in figuur 9.9. De lichtkracht wordt voor deze sterren enkel gevoed door waterstofschilverbranding aan de bodem van de enveloppe. De functies die de sterstructuur beschrijven moeten nu apart bepaald 142

worden voor de inerte isotherme heliumkern en de enveloppe errond, en ze moeten in het grensgebied aan elkaar gekoppeld worden.

143

144

Hoofdstuk 10

Evolutie van een ster met <M ∼ < 15 M 9 M⊙ ∼ ⊙ 10.1 De “Hertzsprung gap” We beschouwen nu de verdere evolutie van een zware ster die bestaat uit een krimpende heliumkern met massa boven de Sch¨onberg-Chandrasekhar limiet die omgeven is door een waterstofenveloppe met waterstofverbranding in een schil. In figuur 10.1 tonen we de evolutie van de inwendige structuur en het evolutiespoor in het HR diagram van een ster met 5 M⊙ . In de abscis van de bovenste figuur wordt de tijd na het ontsteken van waterstof gegeven in eenheden van 107 jaar. De verschillende lagen in de ster worden gekenmerkt door hun m/M waarde. Gebieden aangeduid met “wolkjes” zijn convectieve zones. De gearceerde delen geven de hoofdenergiebron aan die verantwoordelijk is voor de lichtkracht. De gebieden met puntjes aangeduid zijn zones waarin de chemische samenstelling fel verandert. De overgang van centrale naar schilwaterstofverbranding gebeurt in het punt C. Op dat ogenblik treedt er uitputting van 1 H op in de kern waardoor de verbranding en de convectie daar plots ophouden. De waterstofschilverbranding treedt vervolgens in werking in een vrij brede schil rond de kern. Deze schil wordt dunner naarmate de evolutie vordert, terwijl de heliumkern toeneemt in massa en daardoor steeds sneller krimpt. Na punt C is de evolutie door het krimpen van de heliumkern zo snel dat de abscis uitgerokken werd om de figuur duidelijk te houden. Door de kerncontractie is de kern niet meer in thermisch evenwicht, wat betekent dat de tijdsafgeleide in de energievergelijking beschreven in Hoofdstuk 7 niet meer te verwaarlozen is. Deze stijging in centrale temperatuur gaat gepaard met een stijging van de lokale energieproductie (viriaal theorema!) en dus van de lokale lichtkracht. Er treedt als reactie op het krimpen van de kern een expansie op van de lagen boven de schil met verbranding. De materiedichtheid blijft echter relatief laag zodat er geen ontaarding optreedt voor sterren met initi¨ele massa boven 2.3 M⊙ (zie ook volgend hoofdstuk). Voor zulke sterren leidt de contractie van de kern dus lokaal tot een temperatuursverhoging. 145

Figuur 10.1: (a) De evolutie van de inwendige structuur van een populatie I ster van 5 M⊙ . De abscis geeft de leeftijd in eenheden van 107 jaar. De verschillende lagen worden aangeduid door hun m/M -waarde. Gebieden aangeduid met wolkjes zijn convectieve lagen. De gearceerde domeinen zijn de gebieden waarin energie geproduceerd wordt door verbranding van een bepaald element. De gebieden aangeduid met puntjes zijn regionen waarin de chemische samenstelling snel wijzigt. De letters A,. . . ,K bovenaan de abscis duiden de overeenkomende punten aan in paneel (b). 146

Figuur 10.2: Het Hertzsprung-Russell diagram met evolutiesporen vanaf de ZAMS tot aan het startpunt van centrale heliumverbranding voor sterren met massa van 4 tot 8 M⊙ . De initi¨ele samenstelling is X = 0.602, Y = 0.352. Wanneer een temperatuur van 108 K bereikt wordt, start centrale heliumverbranding (punt D). Hiermee heeft de ster een nieuwe energiebron weten te vinden in de kern waardoor de contractie daar ophoudt. Er treedt opnieuw een toestand van thermisch en hydrostatisch evenwicht op in de kern. De contractie van de kern tussen de punten C en D neemt ongeveer een tijdschaal van Helmholtz-Kelvin in beslag (3 × 106 jaar voor een ster met 5 M⊙ ). Gedurende dit tijdsinterval zijn de buitenste lagen uitgezet en is de sterstraal aanzienlijk toegenomen met ongeveer een factor 25 ! De ster is een rode reus geworden in punt D van het HR diagram. De expansie naar een rode reus gebeurt zodanig snel dat de kans klein is dat we sterren kunnen waarnemen tijdens hun overgang van C naar D. Men spreekt van de Hertzsprung gap in het HR diagram: het is het gebied tussen de hoofdreeks en de rode reuzen met een grote defici¨entie aan waargenomen sterren. De evolutie van een ster die hierboven geschetst werd en getoond werd in figuur 10.1 blijft kwalitatief hetzelfde voor alle zware sterren wiens heliumkern een massa heeft boven de Sch¨onberg-Chandrasekhar limiet, waarin heliumverbranding start alvorens ontaarding optreedt (M > ∼ 2.3 M⊙ ) en die in deze fase van hun leven niet onderhevig zijn aan een sterke sterrenwind (M < ∼ 15 M⊙ ). Deze sterren begeven zich allemaal in zeer korte tijd naar het gebied dicht tegen hun Hayashispoor in het HR diagram. Een stel evolutiesporen voor zware sterren met verschillende massa wordt getoond in figuur 10.2. Een opmerkelijk feit is dat de expansie van de enveloppe een reductie van de uitgestraalde energie tot gevolg heeft (viriaaltheorema!), waardoor de sterren een “dip” vertonen in lichtkracht bij een temperatuur rond log Teff ≃ 3.7 in figuur 10.2. Er is geen e´ e´ nduidig fysische verklaring voor het ontstaan van een reuzenster eens schilverbranding ge¨ınitieerd is. De sterevolutiemodellen bekomen door numerieke integratie van het stelsel differentiaalver147

gelijkingen besproken in Hoofdstuk 7 leiden allen tot dit resultaat. Intu¨ıtief kunnen we wel begrijpen dat de ster moet opzwellen, omdat de buitenste sterlagen die zich boven de schilbron bevinden fel convectief moeten worden. Dit komt omdat, naast de waterstofschilverbranding, ook de contractie van de heliumkern energie levert, waarvan de helft extra dient uitgestraald te worden (viriaaltheorema). Nu is de temperatuursgradi¨ent bij convectief energietransport kleiner dan bij radiatief transport, waardoor de temperatuur trager daalt naar buiten toe in convectieve zones in vergelijking met radiatieve zones. Om genoeg te kunnen afkoelen tot aan het steroppervlak, moet de ster dus uitzetten en wordt haar straal aanzienlijk groter. Deze expansie levert in de enveloppe een daling van de temperatuur (via het viriaaltheorema: helft van de expansie-energie wordt ontnomen van de lichtkracht en helft dient om afkoeling te veroorzaken). Zodoende neemt de inwendige energie in de enveloppe af, alsook de lichtkracht van de ster, spijts de toenemende straal.

10.2 Heliumverbranding Vermits de ster zich bij de aanvang van centrale heliumverbranding nabij haar Hayashispoor bevindt, heeft ze een uitgebreide uitwendige convectieve zone die tot een diepte m/M ≈ 0.46 reikt voor het voorbeeld van de ster met 5 M⊙ (zie figuur 10.1). Hoe groter de massa, hoe dieper de convectiezone reikt. Vanaf 7 M⊙ reikt ze reeds dieper dan m/M = 0.3, waardoor ze de lagen met veranderde chemische samenstelling door de verbranding aantast. Hierdoor kunnen de convectieve bewegingen de producten van de kernreacties tot aan het oppervlak brengen en in de enveloppe verspreiden. Men spreekt van eerste dredge-up. De dominante reactie bij de centrale heliumverbranding is 3α →12 C. Met toenemende 12 C abondantie zal de reactie 12 C + α →16 O de vaandel geleidelijk overnemen. In het stadium dat 4 He al uitgeput geraakt zal de uitputting van 12 C ten voordele van 16 O groter zijn dan de productie van 12 C door de 3α reactie. Zodoende zal de abondantie van 12 C terug beginnen dalen na een maximum bereikt te hebben. De fase van centrale heliumverbranding duurt ongeveer 107 jaar, wat zo’n 20% is van de duur van de hoofdreeksfase. Deze fase lijkt verrassend lang als men bedenkt dat de lichtkracht groter is, dat de centrale kern waarin verbranding optreedt veel kleiner is dan bij waterstofverbranding en dat de energiewinst beneden 10% van die bij de waterstofverbranding ligt. De reden voor deze lange duur is dat het grootste gedeelte van de energie uitvoer tijdens deze fase niet geleverd wordt door de heliumverbranding, maar wel door de waterstofschilverbranding. In het punt E draagt de heliumverbranding slechts 6% bij tot de totale energieproductie. Blijkbaar is deze kleine energieproductie in de kern voldoende om contractie tegen te gaan en om de gehele ster in thermisch evenwicht te houden. Na het punt E beweegt de ster even naar beneden langs haar Hayashispoor om zich vervolgens naar links te begeven in het HR diagram. Het blauwste punt F komt overeen met het tijdstip dat 75% van de centrale heliumverbrandingsfase voorbij is. Op dat ogenblik bedraagt de heliumconcentratie zo’n Y ≈ 0.25. De ster keert dan terug naar haar Hayashispoor (punt G).

148

10.3 Latere evolutiefasen In de centrale kern stopt de heliumverbranding wanneer alle voorraad 4 He uitgeput is en omgezet werd naar 12 C, 16 O en 20 Ne. De preciese verhoudingen van de abondanties van deze geproduceerde elementen hangt af van de temperatuur, de massa en de oorspronkelijke chemische samenstelling. De verbranding wordt nu verder gezet in een concentrische schil die de CO kern omringt. Terwijl de heliumschil verder uitbrandt, verzwaart de CO kern en contraheert hij. De toestand is nu zeer gelijkaardig aan diegene vlak v´oo´ r de centrale heliumverbranding gestart werd. In deze fase van haar leven heeft de ster twee types van schilverbranding die de nodige energie produceren: waterstofschilverbranding in een schil die zich aan de onderkant van de enveloppe bevindt en heliumschilverbranding in de schil vlak boven de CO kern. De CO kern contraheert, het heliumgebied tussen de twee schillen zet uit en de enveloppe contraheert. In het HR diagram beweegt de ster van punt G naar links op weg naar het punt H. De temperatuur in de waterstofschil daalt steeds en wordt op een gegeven moment lager dan diegene nodig om waterstofverbranding op gang te houden (punt H). Op dat ogenblik behouden we dus enkel een contraherende CO kern omgeven door een gebied boven de heliumschil waarin alle lagen uitzetten. De ster beweegt nu in het HR diagram van het punt H naar het punt K. Daarna stijgt de lichtkracht zeer fel ten gevolge van de snel stijgende massa van de CO kern. Het al dan niet optreden van een tweede lus G → H → K hangt af van de massa, de verbrandingstempo’s, de opaciteiten, etc. In figuur 10.1 merken we dat de buitenste convectiezone steeds dieper reikt naarmate de evolutie vordert. Deze zone bevat op een gegeven moment zowat 80% van de massa en haar benedengrens interfereert duidelijk met het gebied waar de waterstofschilverbranding in de 107 jaar ervoor heeft plaatsgevonden. In dit gebied is alle 1 H omgezet in 4 He en bijna alle 12 C in 16 O en 14 N. Deze kernen worden dan ook naar het oppervlak gebracht door de convectieve cellen tijdens de late evolutiestadia. Men spreekt van de fase van de tweede dredge-up. Sterren met 2.3 < M/M⊙ < 7 ondergaan dus enkel de tweede dredge-up, en niet de eerste.

10.4 Verbrandingscycli Het evolutiescenario hierboven beschreven is vrij ingewikkeld, vooral wat de positie in het HR diagram betreft. Het evolutieproces is echter veel eenvoudiger wanneer we enkel de evolutie van de sterkern beschrijven. Wanneer we de fasen van centrale waterstof- en heliumverbranding extrapoleren, dan ondergaat de centrale kern verschillende cycli van energieproducties die we door het volgende schema kunnen voorstellen:

149

verbranding verhitting kern

ր

ց uitputting brandstof տ ւ contractie kern

De verbranding op een bepaald ogenblik zal geleidelijk aan alle brandstof die voorhanden is in de convectieve kern opgebruiken. De uitgeputte kern trekt vervolgens samen zodat de centrale temperatuur stijgt totdat hij hoog genoeg is opdat de volgende verbrandingscyclus kan aangevat worden. Zolang dit schema gevolgd wordt, krijgen we de productie van steeds zwaardere kernen in het stercentrum. Deze nieuwe zwaardere elementen worden door de convectie homogeen verspreid in de convectieve kern, welke bij de aanvang van elke nieuwe cyclus kleiner wordt: na centrale waterstofverbranding krijgen we een uitgebreide heliumkern, waarbinnen zich een kleinere CO kern vormt door heliumverbranding en zo verder. Telkens als de centrale verbranding uitgeput is zal de volgende cyclus in de kern niet onmiddellijk starten maar zal er een overgangsperiode van schilverbranding aanvangen. Deze schilverbranding treedt op in de heetste laag waar er op dat ogenblik nog brandstof voorhanden is. Schilverbranding kan verschillende opeenvolgende centrale verbrandingscycli, welke op hun beurt een nieuwe schil cre¨eren, overleven. Er kunnen dus verscheidene schilverbrandingen tegelijk actief zijn. Ze worden telkens gescheiden door massaschillen met een verschillende chemische samenstelling, waarbij de elementen die voorkomen gradueel zwaarder zijn naarmate de schil dieper in de ster gesitueerd is. Men spreekt van het uienmodel, zoals voorgesteld in figuur 10.3. Afhankelijk van de temperatuursverandering in de kern die optreedt bij elke nieuwe cyclus kan een bepaalde schilverbranding terug geactiveerd worden in een schil die reeds voordien uitgeblust was. De verbrandingscycli na de waterstof- en heliumverbranding in de kern hebben allen zulk een korte tijdsduur dat de kans om een ster in deze fase van haar leven waar te nemen bijzonder gering is.

10.5 Explosieve versus niet-explosieve evolutie Het schema hierboven geschetst kan tijdelijk of voorgoed onderbroken worden. Enerzijds kan een tijdelijke onderbreking optreden wanneer de dichtheid in de centrale kern zo groot wordt dat ontaarding haar intrede doet. Wanneer de ontaardingsparameter ψ begint te stijgen zal een contractie niet langer een centrale temperatuursstijgging tot gevolg hebben en wordt de cyclus van verbrandingen onderbroken tot de ontaarding wordt opgeheven. In de praktijk zal de centrale kern van een ster met initi¨ele massa kleiner dan 5 M⊙ nooit koolstofverbranding kunnen starten. Bij de bespreking van de verbrandingsmechanismen hebben we anderzijds opgemerkt dat 56 Fe de meest stabiele kern is. Daarom wordt het voorgestelde schema noodzakerlijkerwijze definitief gestopt wanneer de binnenste kern volledig bestaat uit 56 Fe kernen en exotherme fusie niet meer mogelijk is. Het is duidelijk dat we nu een onderscheid dienen te maken voor de verdere evolutie van de ster. Dit onderscheid gebeurt volledig op basis van de initi¨ele stermassa. Wanneer we het massaverlies dat de ster ondergaat tijdens haar evolutie verwaarlozen, leren de evolutieberekeningen ons het volgende:

150

Figuur 10.3: Schematische illustratie (niet op schaal !) van de “uienstructuur” in het inwendige van een verge¨evolueerde zware ster. Enkele typische waarden van de massa, de temperatuur en de dichtheid zijn aangegeven in cgs-eenheden.

151

• Na centrale waterstofverbranding hebben sterren met M < ∼ 2.3 M⊙ , waarbij de preciese grensmassa afhangt van de metalliciteit, een ontaarde He kern. Zij starten de heliumverbranding op explosieve wijze (“heliumflits” – zie verder). Zij eindigen als witte dwerg. < • Na centrale heliumverbranding hebben sterren met intermediaire massa 2.3 M⊙ < ∼ M ∼ 9 M⊙ een < ontaarde CO kern. De centrale temperatuur van de sterren met 2.3 M⊙ < ∼ M ∼ 6 M⊙ reikt nooit tot 8 8 × 10 K en deze sterren kunnen daardoor geen koolstofverbranding starten. Zij leven verder op hun waterstof- en heliumschilverbranding. Ze eindigen als koolstofrijke witte dwerg. < Sterren met 6 M⊙ < ∼ M ∼ 9 M⊙ kunnen eventueel enkele reacties van koolstofverbranding doorlopen en eindigen als een O, Ne, Mg witte dwerg.

• In sterren met massa M > ∼ 9 M⊙ blijft de kern steeds bestaan uit niet-ontaarde materie en hun centrale temperatuur blijft dan ook stijgen bij elke contractiecyclus. Zij doorlopen alle opeenvolgende verbrandingscycli en eindigen als supernova met een neutronenster of een zwart gat als restant. Of de massa van een ster al dan niet in de buurt komt van de grensmassa’s (2.3, 6 en 9 M⊙ ) hangt sterk af van het massaverlies dat ze tijdens haar evolutie ondergaat. Tot nu toe hebben we geen rekening gehouden met de effecten van massaverlies, maar er treedt weldegelijk een groot massaverlies in de vorm van een sterke stofgedreven sterrenwind op aan het eind van de sterevolutie voor sterren met M < ∼ 9 M⊙ . De invloed van massaverlies op de sterevolutie is een gecompliceerd probleem wat theoretisch nog niet volledig onderbouwd is. Men neemt aan dat het massaverlies in een ster met initi¨ele massa boven 9 M⊙ zodanig is dat een uiteindelijke kernmassa boven de Chandrasekhar limiet van 1.46 M⊙ overgehouden wordt. In ieder geval is het duidelijk dat we nu een onderscheid moeten maken tussen sterren die zwaarder zijn dan 9 M⊙ en sterren met lagere massa, wat de verdere evolutie betreft. In dit hoofdstuk bespreken we de verdere evolutie van een ster met initi¨ele massa hoger dan 9 M⊙ maar lager dan 15 M⊙ die een kernmassa hoger dan 1.46 M⊙ overhoudt aan het eind van de verschillende verbrandingscycli. De evolutie van sterren > met M < ∼ 9 M⊙ en M ∼ 15 M⊙ komen aan bod in de volgende hoofdstukken.

10.6 Neutronensterren 10.6.1

Supernova explosie

< Voor sterren met 9 M⊙ < ∼ M ∼ 15 M⊙ is de CO kern na heliumverbranding niet ontaard. Tijdens de contractie na de centrale heliumverbranding stijgt de centrale temperatuur genoeg om achtereenvolgens koolstof-, zuurstof- en siliciumverbranding op gang te brengen. Deze uiteindelijke cycli verlopen zeer snel. Voor een ster met 15 M⊙ produceert koolstofverbranding genoeg energie gedurende zowat 5 000 jaar, zuurstofverbranding tijdens zo’n 1.7 jaar en siliciumverbranding duurt nog slechts enkele dagen ! Het eind van de siliciumverbrandingsfase, welke vooral 56 Ni produceert, betekent voor de ster een ernstig probleem: ze is niet meer in staat om uit kernreacties energie te genereren in de kern en de gravitatiekracht te balanceren.

Deze sterren vervolledigen dus de hele verbrandingscyclus totdat ze een Fe kern opgebouwd hebben. 152

Zoals reeds vermeld komt er nu noodzakelijkerwijze een eind aan de stabiele toestand: gravitatie is de grote winnaar en de kern stort zeer snel in elkaar. Bij de instorting van de kern bereikt het materiaal een valsnelheid die de helft van de lichtsnelheid bedraagt. Dit is het gevolg van de enorm sterke gravitatiekracht waarmee de deeltjes van de instortende kern elkaar aantrekken. Deze deeltjes komen plots tot stilstand als ze op de zeer compacte sterkern botsen: hun kinetische energie wordt omgezet in warmte, waardoor er felle verhitting ontstaat (viriaaltheorema). De temperatuur van de sterkern loopt op tot T > 1010 K. De toegenomen energie leidt deze keer echter niet tot het starten van een nieuwe verbrandingscyclus. Integendeel, de stijging van de temperatuur impliceert dat de fotonen hogere energie krijgen en daardoor overheerst foto-dissociatie van de kernen. Hierdoor worden de zware kernen die tijdens de afgelopen verbrandingscycli gevormd zijn afgebroken. Eerst worden de elementen van de ijzergroep opgebroken in α deeltjes : 56 Ni

+ γ → 14 4 He, 54 Fe + γ → 13 4 He + 2n, 56 Fe + γ → 13 4 He + 4n, . . .

(10.1)

Vermits energie gegenereerd werd bij de opbouw van deze zware isotopen, vereist het proces van afbouw nu energie. Dit zijn m.a.w. endotherme reacties. De nodige energie wordt geleverd door de contractie van de kern, die daardoor nog versneld wordt. De resulterende hoge temperatuur impliceert vervolgens ook foto-dissociatie van elk α deeltje: 4 He + γ → 2 1 H + 2n, (10.2) wat opnieuw energie vergt en dus weerom de contractie versnelt. Op dit ogenblik is de gehele sequens van nucleosynthese voor het materiaal dat zich nu nog in de ster bevindt ongedaan gemaakt in minder dan een seconde ! De foto-dissociatie resulteert in een mengsel van protonen, elektronen en neutronen. Dit levert een drastische stijging van de dichtheid op, waardoor de elektronen en protonen gedwongen worden om te recombineren tot neutronen. De dichtheid wordt zodanig hoog dat de neutronen vervolgens met elkaar in aanraking komen. Deze drastische toename van de druk geeft aanleiding tot een schokgolf die zich voortplant doorheen de buitenlagen van de ster, welke de neutronenkern omgeven. Een gedeelte van de energie van de schokgolf wordt gedumpt in het overblijfsel van de sterkern, een ander gedeelte wordt afgevoerd in de vorm van neutrino’s. Omwille van de hoge dichtheden worden toch grote hoeveelheden neutrino’s ingevangen door de buitenste sterlagen. Het resultaat van het dumpen van deze neutrino-energie is dat de lagen rondom de neutronenkern worden uitgestoten: de ster ontploft als een supernova en wordt tijdelijk even helder als een melkwegstelstel ! In figuur 10.4 wordt de evolutie van een zware ster weergegeven van bij de geboorte tot en met de supernova explosie. De productie van de voornaamste chemische elementen wordt voor elk evolutiestadium aangegeven, evenals de tijdsduur van een bepaald stadium. Supernovae worden ingedeeld in Type I en Type II volgens observationele kenmerken. Men spreekt van Type II wanneer er waterstoflijnen in het spectrum voorkomen en van Type I wanneer zulke lijnen afwezig zijn. Elke supernova heeft echter zijn eigen specifieke vorm van lichtkromme, en vele subklassen werden ondertussen ingevoerd. Type II supernovae worden niet waargenomen in oude sterpopulaties, zoals elliptische melkwegstelsels, maar wel in melkwegstelsels met spiraalarmen die rijk zijn aan gas en stof. Type I supernovae worden overal waargenomen. Algemeen worden Type II supernovae geassocieerd met 153

Figuur 10.4: Scenario dat de vorming van een neutronenster weergeeft.

Figuur 10.5: Lichtkromme van de supernova die in 1987 ontplofte in de Grote Magelhaanse Wolk. Deze supernova was in het Zuidelijk Halfrond gemakkelijk met het oog zichtbaar. Opvallend is de lange, bijna lineaire afname van de helderheid tijdens de maanden na de explosie. Dit komt overeen met de energieproductie geleverd door het verval van 56 Co. 154

het ineenstorten van een ijzerkern van een zware ster (core collapse supernova). Deze sterren hebben op dat ogenblik nog waterstofrijke enveloppes wat de waterstoflijnen in het spectrum verklaart. Vermits zware sterren veel sneller evolueren dan lichte sterren, hebben de elliptische melkwegstelsels reeds hun Type II supernovae achter de rug. Type I supernovae ontstaan wanneer een ster de limietmassa van Chandrasekhar overschrijdt. Dit gebeurt vooral door accretie in een binair systeem, waar massaoverdracht van een ster naar een witte dwerg gebeurt (zie college Binary Stars). Vermits witte dwergen en nauwe dubbelsterren zich voortdurend vormen in een gegeven populatie, zien we Type I supernova zowel in jonge als oude populaties. De observationele indeling in type-I en II supernovae komt niet altijd overeenkom met het strikte onderscheid tussen het al dan niet ontploffen van een ijzerkern. Zo zijn er supernovae van type-I die toch afkomstig zijn van het ontploffen van een massieve ster. Het betreft dan meestal Wolf-Rayet sterren die al hun waterstof verloren hebben door een zeer sterke stralingsgedreven sterrenwind (zie laatste hoofdstuk). Het spectrum van hun ontploffende kern vertoont dan nauwelijks waterstoflijnen, terwijl het toch om een ineenstortende ijzerkern gaat. Zulke supernovae worden toch ingedeeld als type-I.

10.6.2

De neutrinoflux en het r-proces

Bij de zeer hoge dichtheden die bereikt worden tijdens de instorting van de sterkern bereiken de elektronen zulke hoge energie dat ze op een zeer effici¨ente wijze dicht genoeg bij de kernen komen, waar ze protonen kunnen omvormen tot neutronen. Daar waar neutronen onstabiele elementen zijn en al na 7 minuten vervallen in gewone materie, vervallen ze niet meer in ontaarde materie: de sterkern wordt hierdoor een neutronenster. In figuur 6.4 toonden we reeds schematisch hoe neutronen ontstaan uit protonen. De druk wordt nu zo hoog dat het neutronengas in een toestand van ontaarding komt. Dit ontaard neutronengas zal verdere gravitationele instorting kunnen voorkomen. De preciese toestandsfunctie voor een ontaard neutronengas is nog niet gekend. Hierdoor is men ook niet in staat om een bovenlimiet voor de massa van een neutronenster af te leiden. Huidige schattingen voor de bovenlimiet liggen om en bij 2 M⊙ . Dit is dus slechts een weinig groter dan de limietmassa voor een ontaard elektronengas. Een observationele nauwkeurige massabepaling van een neutronenster is niet gemakkelijk en gebeurt opnieuw op basis van dubbelsterren waarvan e´ e´ n van de componenten een neutronenster is. Tot nu toe vindt men zo steeds massa’s die, rekening houdend met de foutenmarges, compatibel zijn met een bovenlimiet van 2 M⊙ . Een neutronenster heeft een straal van enkele tientallen km. Een gedetailleerder beeld van de preciese vorming van een neutronenster is niet voorhanden. De modellen voor de toestandsfunctie bevatten zeer veel fysische parameters waarvan de waarden niet goed gekend zijn. Wat de huidige modellen voorspellen, is dat de inwendige temperatuur na de vorming daalt tot 108 K in een tijdsspanne van zowat 100 jaar. Deze koeling treedt op ten gevolge van een sterke neutrinoflux. Deze wordt onder andere geproduceerd door elektronenvangst. Immers, de 56 Ni isotopen die gevormd werden tijdens de siliciumverbranding zijn instabiel ten opzichte van elektronenvangst. Hierdoor vervalt deze isotoop tot de 56 Fe isotoop op volgende wijze : 56 Ni 56 Co

+ e− → + e− → 155

56 Co

+ νe ,

56 Fe

+ νe .

(10.3)

Figuur 10.6: Schematische voorstelling van het r- en s-proces in een (N, Z) diagram. Aangegeven zijn reactieketens die neutronenvangst voorstellen, gevolgd door β − −verval, waardoor zware stabiele isotopen ontstaan. De kernen aangeduid met s, r, of s, r ontstaan door respectievelijk het s-proces, het r-proces en beide processen.

156

Figuur 10.7: Bovenaan: de diameter van witte dwergen met oplopende massa. Hoe groter de massa van de witte dwerg, hoe sterker hij door de zwaartekracht wordt samengeperst, dus hoe kleiner de diameter. Boven een massa gelijk aan de Chandrasekhar limiet wint de zwaartekracht het van de tegendruk die het ontaard elektronengas kan leveren en de witte dwerg stort ineen. Onderaan: Diameters van neutronensterren met stijgende massa. Neutronensterren zijn als het ware reusachtige atoomkernen die worden bijeengehouden door de zwaartekracht. Bij een massa groter dan ongeveer 2 M⊙ storten ze onherroepelijk in elkaar tot een zwart gat.

157

De eerste reactie heeft een halfwaardetijd van 6.1 dagen en de tweede 77 dagen. Dit radioactief verval verzorgt een groot deel van de energie die de maanden na de explosie wordt waargenomen. Alle (beperkte) theoretische modellen van neutronenstervorming voorspellen dat hoge neutrinofluxen de ster reeds verlaten vooraleer de explosie optisch zichtbaar wordt. Van supernova 1987A (voor de lichtkromme van SN 1987 A, zie figuur 10.5) in de Grote Magelhaanse Wolk werden inderdaad, zowat 6 uren v´oo´ r de ontdekking van de optische flits, 20 neutrino’s bij de juiste energie gemeten, en dit in twee neutrino detectoren in het Noordelijk Halfrond (Japan en USA). Dit aantal is compatibel met de voorspelde neutrino-productie op basis van de hierboven geschetste kernreacties. Opmerkelijk is dat deze neutrino’s dus eerst door de Aarde gevlogen zijn v´oo´ r hun detectie, vermits de supernova ontplofte in het Zuidelijk Halfrond. Deze tijdens een supernova geproduceerde neutrino’s waren de allereersten die rechtstreeks gemeten werden. Ze leverden dan ook een zeer belangrijke en geslaagde test voor de tot dan toe onzekere berekeningen van de kernreacties hierboven beschreven tijdens de ultieme eindfase van een zware ster. Een 56 Fe kern is, zoals reeds aangehaald, de meest stabiele isotoop in de natuur. Toch bestaan er processen die instaan voor de productie van elementen zwaarder dan deze isotoop, met name het s- en r-proces, wat afkortingen zijn voor “slow” en “rapid neutron capture”. Hierbij worden neutronen ingevangen door kerndeeltjes. Ze treden dan ook enkel op wanneer er productie van neutronen is. Een vrij neutron is immers niet stabiel en vervalt met een halfwaardetijd van slechts 7 minuten. Omdat het neutron geen elektrische lading heeft kan het gemakkelijk tot bij een kern komen (geen Coulombafstoting). De waarschijnlijkheid dat een kern een neutron invangt hangt af van de neutronendichtheid, de onderlinge snelheid van de kern en het neutron en het massagetal. Wat dit laatste betreft zal een kern met een magisch neutronenaantal, dit wil zeggen een isotoop met een gesloten neutronenschil, veel minder geneigd zijn om een extra neutron op te nemen. Het s-proces treedt vooral op in AGB sterren (“Asymptotic Giant Branch”, zie volgend hoofdstuk), terwijl het r-proces voorkomt tijdens supernova explosies. De thermonucleaire reacties die vlak voor en tijdens de supernova-explosie plaatsgrijpen produceren inderdaad elementen zwaarder dan ijzer omdat de productie van neutronen tijdens de explosie effici¨ent genoeg is om op een stabiele wijze elementen na de ijzerpiek te vormen. Neutronenvangst kunnen we als volgt voorstellen : (Z, A) + n → (Z, A + 1) + γ, (Z, A + 1) + n → (Z, A + 2) + γ,

(10.4)

... Indien de opeenvolgende kernen onstabiel zijn vervallen ze zeer snel door een β − verval: (Z, A) → (Z + 1, A) + e− + νe ,

(10.5)

waarbij νe een antineutrino voorstelt. Zulk een verval treedt echter niet op wanneer er ondertussen reeds een nieuw neutron werd ingevangen. Op die manier kunnen zeer zware kernen ontstaan vooraleer deze de tijd krijgen om te vervallen. Bij het r-proces (“r” van “rapid”: de neutronenvangst verloopt zeer snel ten opzichte van het β − −verval) moet de neutronendichtheid van de orde van 1022 cm−3 zijn. Het pad van de r-proces elementen in het (N, Z) diagram (zie figuur 10.6) ligt dan ook diep in het neutronrijke gebied, ver van de stabiliteitsvallei. Zulke grote dichtheden worden enkel tijdens een supernova-explosie gerealiseerd. 158

Figuur 10.8: Een neutronenstermodel van een pulsar. De radiogolven van een pulsar worden uitgezonden in twee bundels, die uitgaan van de twee magnetische polen van de neutronenster. De ster roteert om een as, die een hoek maakt met de magnetische as. De bundels radiostraling draaien in het rond, zoals de lichtbundels van een vuurtoren. Als de bundel over de Aarde zwaait, nemen we een puls van radiostraling waar. De materie in de sterkern bestaat vlak voor en na de supernova-explosie inderdaad uit een aanzienlijk aantal neutronen, waardoor het r-proces kan plaatsvinden tijdens de afkoelingsfase na de explosie. Het netto effect van deze productie van zware elementen is de hoofdbron van de zware elementen die vandaag de dag in de natuur optreden.

10.6.3

Pulsars

Neutronensterren moeten erg snel om hun as draaien. Dit is een gevolg van het behoud van impulsmoment. Bij de instorting ondergaat de ster een enorme verkleining van haar afmetingen: de straal krimpt van enkele miljoenen kilometer tot een twintigtal kilometer (zie figuur 10.7). Hierdoor zal de rotatiesnelheid een factor 1010 toenemen. De bijhorende rotatiefrequentie bedraagt enkele tientallen keren per seconde. Door de sterke toename van de rotatiesnelheid neemt de sterkte van het magneetveld van de ster eveneens met nagenoeg dezelfde factor toe. Sterren met een oorspronkelijk zwak magneetveld van enkele Gauss krijgen nu plots een magneetveld van zowat 1010 − 1012 Gauss. Reeds in 1934, 2 jaar na de ontdekking van het neutron, hadden de astronomen W. Baade en F. Zwicky het bestaan van neutronensterren als uitgebrande kern van een supernova-explosie voorspeld op grond van theoretische beschouwingen. Het heeft echter tot in 1967 geduurd vooraleer de eerste neutronenster ontdekt werd. Het was de studente Jocelyn Bell uit Cambridge (UK) die in dat jaar voor het eerst aan de hemel een bron van radiostraling vond, die met zeer regelmatige korte tussenpozen van om en bij een seconde, sterke pulsen radiogolven uitzond. Zulk een object noemt men een pulsar. De enige sterren die men in 159

Figuur 10.9: Pulsprofielen van 45 pulsars. Elk pulsprofiel geeft weer hoe de intensiteit van de radiostraling, die we van de pulsar ontvangen, varieert gedurende e´ e´ n pulsperiode. Sommige pulsars hebben een puls bestaande uit slechts e´ e´ n piek, anderen hebben twee of soms zelfs drie pieken. De perioden vari¨eren tussen 0.1 en enkele seconden.

160

1967 kende en die in staat waren om in een seconde om hun as te draaien waren witte dwergen (zie volgend hoofdstuk) en dat was dan ook de verklaring die men aan de pulsar gaf. Echter, in november 1968 werd in de Krabnevel in het sterrenbeeld de Stier een pulsar ontdekt die dertig pulsen per seconde uitzendt (de Krabpulsar). Men wist toen dat de Krabnevel het snel uitdijende restant van een supernova-explosie was, want op die plaats was op 4 juli 1054 een verblindend heldere ster tevoorschijn gekomen die zelfs gedurende enkele weken lang overdag zichtbaar was. In Japanse, Chinese en Koreaanse kronieken is het verschijnen van deze “superheldere nieuwe” (super-nova) ster uitvoerig opgetekend en is het verloop van de helderheid getabelleerd. De zeer korte pulsperiode van de Krabnevel maakt het onmogelijk dat dit object een witte dwerg is, want de rotatiesnelheid aan het oppervlak van de ster zou dan zo’n grote centrifugaalkracht veroorzaken dat deze de gravitatiekracht zou overheersen. Het werd snel duidelijk dat het hier om een snel om haar as draaiende neutronenster moest gaan. De radiogolven worden opgewekt boven de sterke magnetische polen van de ster in de vorm van zoeklichtachtige bundels (zie figuur 10.8). Door het rondwentelen van de neutronenster om een as die ge¨ınclineerd is ten opzichte van de magnetische as strijken de bundels met regelmatige tussenpozen over de Aarde. Net als bij de ronddraaiende lichtbundel van een vuurtoren nemen we de radiostraling waar als regelmatige pulsen. De ontdekking van de Krabpulsar was enorm belangrijk: men had gevonden dat pulsars neutronensterren zijn en bovendien dat neutronensterren het eindproduct zijn van type-II supernovae. De promotor van Jocelyn Bell kreeg hiervoor de Nobelprijs voor Natuurkunde1 . Ondertussen zijn er nog veel meer pulsars gevonden. In figuur 10.9 tonen we de pulsprofielen van een vijftigtal pulsars. We merken verschillende vormen op, gaande van smal en symmetrisch tot breed en asymmetrisch. De vorm van het pulsprofiel hangt onder andere af van de preciese geometrie van het magnetisch veld en de inclinatie van de rotatie as t.o.v. de waarnemer.

1

Tot vandaag de dag wordt het nog steeds schandalig gevonden dat de (vrouwelijke) PhD student niet betrokken was bij deze prestigieuze erkenning, zij was het immers die de ontdekking deed. Het heeft Jocelyn niet belet een mooie carri`ere uit te bouwen in de sterrenkunde in de UK; tot voor kort was ze Decaan Wetenschappen (en nu bijzonder actieve Emeritus).

161

162

Hoofdstuk 11 < 9M Evolutie van een ster met M ∼ ⊙ 11.1 Post-hoofdreeks evolutie In tegenstelling tot de sterren met M > ∼ 2.3 M⊙ evolueren sterren met een lagere massa op een kwalitatief andere wijze na de uitputting van waterstof in de centrale delen. Er zijn hiervoor verschillende redenen. Ten eerste hebben deze lage-massa sterren geen of zeer kleine convectieve kernen. Voor een ster met massa kleiner dan de Zon is er geen convectieve kern en daardoor produceren deze objecten een heliumkern met zeer lage massa waarin geen vermenging plaatsvindt. Hierdoor zal er een zeer geleidelijke overgang van centrale naar schilwaterstofverbranding gebeuren, veel minder drastisch dan wanneer convectie zorgt voor een vermenging van een zware heliumkern. Ten tweede is ontaarding belangrijk op of onmiddellijk na de hoofdreeks. De druk in de centrale gedeelten van de ster wordt niet enkel geleverd door de ionen die voldoen aan de ideale gaswet, maar evenzeer gedeeltelijk door het ontaarde elektronengas. Hierdoor is de benadering voor de Sch¨onberg-Chandrasekhar limiet gegeven in (9.4) niet meer geldig en kunnen deze sterren een grotere fractionele heliummassa aan vooraleer contractie van de kern zich instelt. Hun MSC bedraagt typisch 10 tot 15% van de geboortemassa, al naargelang de chemische samenstelling en de graad van ontaarding in de kern. De sterren kunnen daarom gemakkelijk in thermisch evenwicht blijven door de (gedeeltelijk) ontaarde inerte heliumkern. Zij hebben dus geen behoefte aan een snelle contractie van de kern voor het starten van de heliumverbranding en er is geen analogon van de Hertzsprung gap voor lage-massa sterren, ook al omdat de sterren voor hun verdere evolutie veel dichter bij hun Hayashi spoor vertrekken. Tijdens de eerste fase na waterstofverbranding in de kern start waterstofschilverbranding en groeit de massa van de kern aan een zeer traag tempo. De temperatuur van de kern blijft constant en ver beneden diegene nodig voor heliumverbranding. Voor deze sterren is de schilverbranding tussen de fasen van centrale waterstof- en heliumverbranding daarom een fase op nucleaire tijdschaal, zolang ze zich nog ver van hun Sch¨onberg-Chandrasekhar limiet bevinden. Door deze trage fase verwachten we dan ook vele lage-massa sterren in een fase van waterstofschilverbranding waar te nemen.

163

De waterstofschilverbranding zorgt voor een toename van de massa van de heliumkern, waardoor de lichtkracht langzaam stijgt, terwijl de waterstofrijke enveloppe die zich boven de waterstofschilbron bevindt expandeert. In eerste instantie verandert de lichtkracht slechts weinig terwijl de ster naar rechts beweegt in het HR diagram. Deze beweging kan echter niet lang aanhouden omdat de ster zich al relatief dicht tegen haar Hayashi spoor bevindt. De ster wil echter een verdere expansie van de enveloppe bewerkstelligen, wat noodzakelijk gepaard moet gaan met een relatief sterke toename van de lichtkracht door de toenemende straal. Het is inderdaad zo dat de lichtkracht in deze fase een factor 100 zal toenemen terwijl Mk blijft groeien. De ster beweegt zich op de stijgende reuzentak (zie figuren 11.1 en 11.2). We bespreken nu in detail de evolutie van een ster met initi¨ele massa 1.3 M⊙ . Het evolutiespoor en de inwendige structuur worden voorgesteld in figuren 11.1 en 11.2. Gedurende de centrale waterstofverbranding beweegt de ster naar boven om nadien naar rechts in het HR diagram te evolueren. In het punt D stopt de centrale waterstofverbranding en start de schilverbranding. Haar spoor bevindt zich nu zeer dicht tegen het Hayashi spoor, wat er zoals reeds vermeld voor zorgt dat de ster zich noodzakelijkerwijze langs de stijgende reuzentak moet begeven. De straal van de ster, en dus haar lichtkracht nemen toe. Het feit dat de ster dicht tegen het Hayashi spoor beweegt kan ook gezien worden aan de inwendige structuur, waaruit duidelijk wordt dat de buitenste convectieve zone zowat 70% van de totale massa bevat. De convectiezone bereikt lagen waarin de producten van de kernreacties al aanwezig zijn en de turbulente convectieve bewegingen zorgen ervoor dat dit geproduceerde materiaal naar het steroppervlak getransporteerd wordt. De ster ondergaat een eerste dredge-up. Het monotoon stijgend karakter van de lichtkracht wordt onderbroken wanneer de buitenste convectiezone binnendringt in de schil waarin waterstof verbrand wordt. Het proces van vermenging door de buitenste convectiezone heeft er immers voor gezorgd dat deze laatste enerzijds, en het gebied van waterstofschilverbranding anderzijds, een verschillend moleculair gewicht hebben. De homogene waterstofrijke buitenlaag wordt geconfronteerd met de heliumrijke lagen omheen de sterkern en wanneer de verbrandingsschil onderworpen wordt aan deze discontinu¨ıteit in het moleculair gewicht, zal haar eigen moleculair gewicht beginnen dalen. Deze daling veroorzaakt een afname van de lichtkracht bij L ≈ 100 L⊙ . Deze afname wordt in figuur 11.1 aangegeven door de horizontale stippellijnen. De evolutieberekeningen voor sterren met een andere massa leiden naar gelijkaardige resultaten. Nabij de hoofdreeks schuiven de evolutiesporen gewoon op naargelang de startmassa op de hoofdreeks. Nabij hun (lichtjes verschillende) Hayashisporen komen de evolutiesporen tesamen. Op dat ogenblik zijn de centrale delen van de sterren dicht genoeg geworden zodat deze delen nagenoeg niet meer afhankelijk zijn van de sterenveloppe (en dus van de totale massa). Sterren met verschillende massa maar dezelfde kernmassa Mk zullen dezelfde lichtkracht vertonen en dezelfde positie innemen in het HR diagram. Wanneer MSC bereikt wordt, zal de heliumkern snel beginnen contraheren, en de bovenliggende sterlagen zullen uitzetten. De ster bereikt de tip van de rode reuzentak. Numerieke berekeningen tonen dat de temperatuur in de kern fel stijgt (viriaaltheorema!). Zo wordt uiteindelijk de temperatuur van 108 K bereikt, waardoor heliumverbranding gestart wordt. Dit gebeurt wanneer de kernmassa Mk ≈ 0.45 – 0.50 M⊙ , vrij onafhankelijk van de waarde van M op de ZAMS. Maar het stermateriaal in de kern bevindt zich al in een zeer ver gevorderde toestand van ontaarding en de heliumverbranding is niet stabiel in zulk een midden. Immers, de energieproductie gaat niet gepaard met een toenemende buitenwaartse druk, waardoor de contractie verder gezet wordt. De thermische ontsporing die hierdoor plaatsgrijpt, be¨eindigt op die manier de 164

Figuur 11.1: Het evolutiespoor van een ster met initi¨ele massa 1.3 M⊙ en chemische samenstelling X = 0.9, Y = 0.099, Z = 0.001. De letters A,. . . ,D corresponderen met de overeenkomende posities in figuur 11.2. De pijlen duiden de richting van de evolutie in de loop van de tijd aan. Deze richting wordt omgekeerd gedurende een korte periode, aangeduid door de horizontale puntjeslijnen.

165

Figuur 11.2: De evolutie van de inwendige structuur van een ster van 1.3 M⊙ in de loop van de tijd. Voor een verklaring van de symboliek verwijzen we naar figuur 10.1. rustige evolutie van de ster op de stijgende reuzentak.

11.2 De heliumflits De thermische ontsporing die ontstaat door de ontsteking van heliumverbranding in de ontaarde kern heeft een tijdsspanne van de orde van de thermische tijdschaal van het gebied van heliumverbranding. De centrale temperatuur stijgt, terwijl de materie niet expandeert noch contraheert (de druk is niet gerelateerd met de temperatuur). Er wordt dus geen arbeid geleverd en daardoor is er een enorme overproductie aan nucleaire energie. De lokale lichtkracht l bereikt gedurende enkele seconden een maximum van zowat 1011 L⊙ (de lichtkracht van een heel sterrenstelsel): de ster ondergaat een heliumflits. In figuur 11.3 tonen we het verloop van de temperatuur als functie van de dichtheid tijdens de flits. De stijging van de temperatuur bij constante dichtheid zorgt er eerst voor dat de ontaarding opgeheven wordt en nadien dat de kern begint te expanderen. Door het opheffen van de ontaarding wordt de heliumverbranding stabiel, te meer daar de expansie ervoor zorgt dat de temperatuur niet meer stijgt. Stabiliteit wordt eerst bereikt voor heliumverbranding in een schil, later voor centrale heliumverbranding. Immers, de overproductie aan energie in de centrale delen wordt nu geleidelijk aan weggevoerd door koeling totdat de temperatuur opnieuw de waarde bereikt voor stabiele heliumverbranding. De weg die de ster in het HR diagram aflegt ten gevolge van de heliumflits is de volgende. Juist v´oo´ r de flits werd de lichtkracht uitsluitend veroorzaakt door de schilverbranding van waterstof. Tijdens de 166

Figuur 11.3: Schema dat de verandering van de temperatuur en dichtheid aangeeft gedurende de heliumflits. Nadat de ontbrandingstemperatuur van helium is bereikt in het ontaard kerncentrum verhoogt de temperatuur zonder dat de dichtheid varieert, totdat de ontaarding is opgeheven (nabij de streepjeslijn). Dan volgt een fase van isotherme expansie en vervolgens een fase van stabiele centrale heliumverbranding in een nietontaard regime. heliumflits wordt het gebied van waterstofschilverbranding zo smal dat de schil verdwijnt op een tijdschaal van ≈ 10−3 jaar. De geproduceerde energie onmiddellijk na de heliumflits door de heliumverbranding (eerst in een schil en later centraal) is veel lager dan die door waterstofschil verbranding v´oo´ r de flits. Hierdoor zal de lichtkracht aanzienlijk gedaald zijn na de heliumflits, zoals duidelijk wordt aangegeven met de neerwaarts gerichte beweging in figuur 11.1.

11.3 Evolutie na de heliumflits Na de gewelddadige fase van de heliumflits volgt er een rustige fase van heliumverbranding in een nietontaard midden. De ster heeft nu opnieuw een lichtkracht van om en bij 100 L⊙ en bevindt zich weerom dicht bij haar Hayashi spoor. De ster is nu aangekomen op de horizontale tak (zie figuur 11.4). De aankomstpositie van de ster op de horizontale tak hangt af van haar massa en haar chemische samenstelling op dat ogenblik. Verschillen in waargenomen posities reflecteren m.a.w. een verschil in massaverlies dat moet zijn opgetreden v´oo´ r de heliumflits en/of een verschil in opaciteit. Naar analogie met de nulhoofdreeks (ZAMS) spreken we van de ZAHB: “zero-age horizontal branch”. Op de ZAHB krijgen we dus, zelfs voor eenzelfde chemische samenstelling, sterren met ongeveer dezelfde kernmassa maar een duidelijk verschillende enveloppe massa. De sterren die het grootste massaverlies hebben geleden bevinden zich aan de linkse kant van de ZAHB, terwijl diegenen met een kleiner massaverlies rechts de ZAHB bezetten. In de praktijk is dit onderscheid niet zo gemakkelijk te maken, want de verschillende waargenomen posities van de sterren op de horizontale tak reflecteren eveneens de evolutie van de ster tijdens haar verblijf op de horizontale tak en een verschillende chemische samenstelling. De ster maakt lusbewegingen van links naar rechts en terug doordat de kernmassa groeit ten gevolge van de waterstofschilverbranding terwijl helium opgebrand wordt. Een verschillende positie op de horizontale tak 167

reflecteert dus zowel een verschillende chemische samenstelling bij aankomst op de ZAHB en als e´ e´ n verkregen door evolutie sinds de aankomst op de ZAHB, alsook een verschil in enveloppemassa. Deze situaties worden apart schematisch voorgesteld in figuur 11.4. Bij haar aankomst op de ZAHB heeft de ster een homogene niet-ontaarde heliumkern met massa Mk ≈ 0.45 M⊙ . Deze kern wordt omgeven door een waterstofrijke enveloppe met massa M − Mk . De totale lichtkracht bestaat uit een bijdrage van trage centrale heliumverbranding en van waterstofschilverbranding, die na de flits terug op gang gekomen is. Hierdoor stijgt de massa van de heliumkern, terwijl de heliumverbranding een centrale convectieve CO-kern vormt binnenin de heliumkern. Vanaf dat ogenblik treedt er schilverbranding op in twee schillen en de massa’s van deze schillen zullen groeien tijdens de volgende fase. De lichtkracht neemt zodoende traag toe tijdens de evolutie op de horizontale tak waardoor deze een niet te verwaarlozen dikte krijgt met de ZAHB als benedengrens. Clustersterren, welke samen geboren werden en dezelfde chemische samenstelling hebben, gaan samenklonteren op de horizontale tak. Wanneer het metaalrijke sterren (jonge clusters) betreft zullen zij zich aan de rode (koele) kant van de horizontale tak bevinden en bij lagere lichtkracht, omwille van hun grotere opaciteit (in vergelijking met metaalarme sterren). Men spreekt van de “red clump”. Dit fenomeen is ook zichtbaar voor de sterren in de omgeving van de Zon (zie het rechtste paneel in figuur 1.6). De horizontale tak van de bolhoop M5 getoond in figuur 9.6 ziet er daarentegen geheel anders uit dan de red clump voor sterren uit onze omgeving. Deze tak bevindt zich bij hogere temperatuur en lichtkracht en is uitgestrekt over een veel groter temperatuursinterval. Dit is enerzijds een gevolg van de lagere metalliciteit van de sterren in M5 in vergelijking met deze in onze nabijheid en komt anderzijds door de ouderdom van de cluster, waardoor de horizontale-tak evolutie al langer duurde. In het algemeen vinden we dat hoe metaalarmer de cluster is, hoe heter en lichtkrachtiger zijn horizontale-tak-sterren zijn. Theoretisch bepaalde evolutiesporen voor de horizontale tak zijn om aangehaalde redenen bijzonder moeilijk in detail te vergelijken met waarnemingen. Enkele zulke theoretische evolutiesporen worden weergegeven in figuur 11.5. In ieder geval starten de sporen steeds op de ZAHB en arriveert de ster na enige lusbewegingen vlak bij haar Hayashi spoor, op het moment dat de centrale helium uitgeput is. Men zegt dat de ster is aangekomen op de asymptotische reuzentak (AGB, zie figuur 11.6). De post-horizontale-tak evolutiesporen bevinden zich allemaal boven de horizontale-tak sporen (zie figuur 11.5). Tijdens de evolutie op de horizontale tak kruisen de sterren, zoals aangegeven in figuur 11.6, de instabiliteitsstrook, waarin zich de Cephe¨ıden (aangeduide door “W”) en de RR Lyrae (RR) sterren bevinden. Deze sterren ondergaan radiale stertrillingen gedreven door vibrationele instabiliteit. Hierdoor krimpen ze en zetten ze uit op ritmische wijze terwijl de sferische symmetrie bewaard blijft. Voor een gedetailleerde beschrijving van de observationele kenmerken van deze sterren verwijzen we naar de cursus Asteroseismology.

168

Figuur 11.4: De positie van stermodellen met eenzelfde heliumkern maar voor verschillende waarden van de totale massa en van de abondantie XCNO . Alle modellen hebben X = 0.65 in de enveloppe en de abondantie van de elementen zwaarder dan helium werd gelijk genomen aan 2XCNO . De volle lijn geeft een reeks van modellen voor constante XCNO = 0.01 maar voor verschillende massa, gaande van 0.6 tot 1.25 M⊙ . De puntjeslijn duidt een reeks van modellen aan met constante massa 1.25 M⊙ maar met vari¨erende chemische samenstelling XCNO gaande van 10−5 tot 0.01. De streepjeslijn links is de hoofdreeks en die rechts is de Hayashilijn voor 1.25 M⊙ .

169

Figuur 11.5: De ZAHB in het HR diagram en de evolutiesporen daarna. De dikke volle lijn is de ZAHB voor modellen met een heliumkern van massa 0.475 M⊙ en een waterstofrijke enveloppe met X = 0.699, Y = 0.3 van verschillende massa M −Mkern . De totale stermassa wordt aangegeven voor enkele modellen (dikke stippen). De verdere evolutie wordt voor drie modellen voorgesteld door de dunne volle lijn (trage evolutie) en door de streepjeslijn (snelle evolutie). De trage evolutiefasen zijn diegene van centrale heliumverbranding in combinatie met waterstofschilverbranding (107 jaar) en waterstof- en heliumschilverbranding. Daartussen treedt een snelle fase op waarbij de centrale heliumverbranding overgaat naar heliumschilverbranding.

170

Figuur 11.6: Schets van de evolutie van een ster van lage massa in het HR diagram. De evolutiesporen voor drie verschillende massa’s komen samen op de stijgende reuzentak. Na de heliumflits belanden de sterren op de horizontale tak. Vervolgens evolueren ze naar rechts boven en vervoegen zich op de asymptotische reuzentak. De streepjeslijn duidt de klassieke instabiliteitsstrook aan, waarin zich de RR Lyrae (RR) sterren en Cephe¨ıden (W) bevinden.

171

11.4 AGB sterren Tot nu toe behandelden we in dit hoofdstuk de evolutie van een ster met massa beneden 2.3 M⊙ . We nemen nu voor het beschrijven van de verdere evolutie weer de draad op bij het uienmodel beschreven in vorig hoofdstuk en beschouwen nu de latere evolutiefasen voor alle sterren met een massa beneden 9 M⊙ . Deze sterren zijn na de centrale heliumverbranding namelijk allemaal aangekomen op de asymptotische reuzentak, waar ze de tweede dredge-up ondergaan tijdens de schilverbrandingfase. Ze volgen nu een gemeenschappelijke evolutie. Tijdens deze fase van haar leven is de ster onderhevig aan fel massaverlies ten gevolge van een stofgedreven sterrenwind. Hoewel het nog niet geweten is wanneer het massaverlies precies start, en hoe fel het varieert tijdens de AGB, is het wel duidelijk dat het mede veroorzaakt wordt door de radiale pulsaties met grote amplitude die de ster ondergaat. Uiteindelijk blijft er een waterstofrijke enveloppe over die een uitgebreide straal maar een zeer beperkte massa heeft. Deze enveloppe doet de ster er als een rode superreus uitzien. Sterren op de asymptotische reuzentak hebben stralen tussen 200 en 600 R⊙ en een effectieve temperatuur tussen 2 200 en 3 500 K. AGB sterren bestaan dus uit een kleine hete kern die sterk gravitationeel gebonden is en een enorm grote koele mantel waarvan de buitenste lagen slechts zeer zwak gravitationeel gebonden zijn. Alleen al hierdoor kunnen AGB sterren gemakkelijk substantieel massaverlies ondergaan. Door de pulsaties vormen zich uitgebreide circumstellaire enveloppes van gas en stof. Deze enveloppe kan aanzien worden als het derde gedeelte van de ster. De temperatuur van de ster daalt typisch van 3 500 K in de mantel tot slechts 10 K aan de buitenkant van de circumstellaire enveloppe. Bij zulke lage temperaturen kunnen (complexe) moleculen (waaronder de OH en de CO molecule) en stofkorrels vormen. Deze laatsten bepalen niet alleen de spectrale kenmerken van de AGB ster in het infrarood, maar tevens de verdere evolutie van de ster. Immers, het stof in de enveloppe zorgt daar voor een grote opaciteit omdat het effici¨ent de sterstraling kan absorberen en veroorzaakt zo nog veel feller massaverlies onder de vorm van een voortdurende trage sterrenwind met een uitstroomsnelheid, of ook terminale windsnelheid genoemd, die typisch v∞ ∼ 15 km/s bedraagt. De stofgedreven sterrenwind wordt in ruwe benadering beschreven door de redenering te maken dat een fractie van de sterstraling wordt omgezet in impuls van de stofdeeltjes die zich dan van de ster kunnen verwijderen. Het massaverlies is dan evenredig met de lichtkracht van de ster en omgekeerd evenredig met de ontsnappingssnelheid. Op die manier werd een empirisch verband afgeleid dat geijkt werd aan waarnemingen van massaverlies in het infrarood. Dit formalisme werd voor het eerst voorgesteld door Reimers. Men spreekt daarom van een Reimers wind. Het massaverlies dat hierdoor wordt veroorzaakt bedraagt in goede benadering L R M⊙ M˙ Reimers = 10−13 M⊙ yr−1 . L⊙ R⊙ M

(11.1)

Men neemt hierbij de conventie aan dat het massaverlies een positieve grootheid is die uitgedrukt wordt in zonsmassa’s per jaar. Typische waarden gaan van 10−9 M⊙ yr−1 tot 10−4 M⊙ yr−1 . Het betreft dus een mechanisme dat de sterstraling weet om te zetten in windimpuls. Dat komt omdat de stofdeeltjes in de koele circumstellaire enveloppe zulke goede absorbeerders zijn. 172

Inmiddels zijn er verscheidene varianten op de Reimers benadering voor een stofgedreven sterrenwind voorgesteld. We hebben momenteel geen redenen om aan e´ e´ n van de varianten de voorkeur te geven t.o.v. de Reimers benadering. Bovendien werd de benadering van Reimers afgeleid voor Populatie I sterren en zijn aanpassingen voor metaalarme sterren wellicht nodig. Om die reden is het niet mogelijk om sterevolutieberekeningen consistent te maken voor een stofgedreven sterrenwind, terwijl we anderzijds het massaverlies op de AGB niet kunnen verwaarlozen om een adekwate evolutietheorie te bekomen. Omdat men geen consistente afleiding van het massaverliesmechanisme voorhanden heeft, gaat men dan als volgt te werk. Voor twee opeenvolgende tijdstappen waarop de berekening van het stermodel moet gebeuren voor de AGB, rekent men de Reimersformule (of een variant) uit, bepaalt men op die manier het totale massaverlies tussen de twee tijdstappen (in de onderstelling van constant massaverlies), en trekt men deze hoeveelheid massa af van de enveloppe massa die de ster tijdens de vorige stap had. Men onderstelt m.a.w. nog steeds dat het hydrostatisch evenwicht en behoud van massa van toepassing is voor elk van de tijdstippen waarop de structuurmodellen worden uitgerekend, maar men vermindert telkenmale de enveloppemassa. Omdat de AGB fase zo kort duurt t.o.v. de totale levensduur (typisch slechts een miljoen jaar), gaat men ervan uit dat deze werkwijze een vrij goede benadering levert om de verdere levensloop van de ster te voorspellen. De laatste jaren zijn nauwkeurige waarnemingen van heldere AGB sterren in het infrarood, met een hoog ruimtelijk en spectraal oplossend vermogen, beschikbaar gekomen. Deze hebben het duidelijk gemaakt dat de empirisch bepaalde formalismen van een stofgedreven wind onvoldoende zijn om de materieuitstroom goed te benaderen. Een betere aanpak van de beschrijving van het massaverlies, met name de tijdsafhankelijkheid ervan, inbrengen in de evolutieberekeningen vereist de volledige koppeling tussen het stofgedreven windmechanisme en de steroscillaties, waarbij men ook nog moet rekening houden met de details van het stralingstransport doorheen de ijle koele circumstellaire enveloppe, waarin moleculen en stofkorrels van verschillende aard aanwezig zijn. Bovendien moet men dan afstappen van de onderstelling van behoud van massa, en dient deze basisvergelijking vervangen te worden door behoud van massastroom (in de onderstelling dat de sterrenwind stationair is). De onzekerheden in de fysica van zulk complex systeem waarin geen scheikundig evenwicht heerst is zo groot, dat men voorlopig toch nog eerder opteert voor een simpele beschrijving in termen van een Reimers benadering. De verbetering hiervan is een actief onderzoeksdomein in de stellaire astrofysica, waarbinnen vele leden aan het Instituut voor Sterrenkunde van de K.U.Leuven actief zijn aan de hand van moderne infrarood waarnemingen vanuit de ruimte.

11.5 Thermische pulsen, Hot Bottom Burning en 3de dredge-up De twee schillen die branden en de energie leveren tijdens de AGB worden gescheiden door een heliumlaag. De buitenste schil, aan de bodem van de waterstofenveloppe, verbrandt waterstof en doet de heliumlaag in massa toenemen. Wanneer de binnenste schil, die zich bovenop de CO kern bevindt, heet genoeg is verbrandt ze helium waardoor ze de CO kern doet verzwaren en de heliumlaag doet afnemen. In principe zouden beide schilverbrandingen voortdurend tegelijkerijd kunnen doorgaan op stabiele wijze, op voorwaarde dat beide schillen aan hetzelfde tempo zouden groeien naar buiten toe. In de praktijk gebeurt dit echter niet omwille van het grote verschil in omstandigheid (temperatuur!) waarin waterstof- en heliumverbranding optreden. Hierdoor leveren beide schillen op cyclische wijze energie en verandert de massa van de helium tussenlaag op quasi-periodieke wijze.

173

Tijdens het grootste deel van deze cycli brandt de waterstofschil, terwijl de binnenste heliumschil niet heet genoeg is voor verbranding. Hierdoor neemt de massa van de tussenlaag bestaande uit helium toe. Wanneer er zich geen energiebron onder deze heliumlaag bevindt, zal deze beginnen krimpen. Hierdoor verhit ze, tot haar onderkant heet genoeg is om heliumverbranding te ontsteken. De heliumverbranding in deze dunne schil is echter niet stabiel omdat de materie op die plaats al een grote graad van ontaarding heeft. Er ontstaat een thermische ontsporing die typisch een energieproductie rond 108 L⊙ oplevert. Deze energie wordt geabsorbeerd door de bovenliggende lagen, die erdoor expanderen en afkoelen. Vermits deze lagen de waterstofschilverbrandingslaag bevat, valt deze laatste stil. Gedurende korte tijd zorgt de heliumschilverbranding voor het verzwaren van de CO kern en voor de creatie van een convectieve zone in de heliumlaag die nodig is om de geproduceerde energie effici¨ent genoeg af te voeren. Tijdens deze heliumschilverbranding verplaatst de schil zich naar buiten en komt ze alsmaar dichter bij het gebied waar de waterstofschilverbranding was uitgevallen. Door de verhitting naar buiten toe ontsteekt de waterstofschilverbrandingslaag opnieuw. Omdat waterstofverbranding veel minder temperatuursgevoelig is, en meer energie oplevert, kan de waterstof nu weer op stabiele wijze verder branden. Terzelfder tijd dooft de heliumverbranding uit, omdat deze schil door de buitenwaartse beweging te veel is afkoeld. Aldus begint weer een nieuwe cyclus. Op die manier ontstaan cycli van thermische pulsen, die zowat om de 103 −105 jaar optreden naargelang de massa van de ster. Men zegt dat de ster is aangekomen op de TP-AGB: “thermally pulsing AGB”. Naarmate de sterevolutie vordert nemen de thermische pulsen in sterkte toe, terwijl de tijdspanne ertussen afneemt. Het aantal thermische pulsen dat optreedt hangt af van de initi¨ele massa, van de metalliciteit en vooral van het massaverlies dat de ster ondergaat in deze fase. Het is inderdaad zo dat ze doorgaan zolang er voldoende waterstof in de buitenste enveloppe aanwezig is om de waterstofverbranding telkenmale weer terug te starten. De lichtkracht en oppervlaktetemperatuur kan aanzienlijk veranderen bij elke thermische puls. Dit is des te meer een uitgesproken verschil naarmate er zich minder massa boven de twee verbrandingsschillen bevindt. Door de grote wijzigingen in de lichtkracht en temperatuur maakt de ster felle bewegingen in het HR diagram. In figuur 11.7 tonen we het evolutiespoor van een ster met 0.6 M⊙ die 11 pulsen ondergaat. Men vindt tegenwoordig met interferometische waarnemingen in het infrarood aanwijzingen dat het massaverlies van de ster inderdaad cyclisch verandert, met perioden die overeenkomen met het optreden van thermische pulsen (maar ook met nog niet begrepen kortere perioden van enkele honderden jaren). De heliumschilverbranding die start tijdens een thermische puls transformeert 4 He in 12 C en 16 O. Door de energieproductie van deze verbranding ontstaat er een convectiezone tussen de twee verbrandingsschillen. Deze convectielaag brengt de 12 C en 16 O tot bij de waterstofschilverbrandingszone. Bij de volgende cyclus van waterstofschilverbranding, die start wanneer de bodem van de waterstoflaag heet genoeg is door de opschuivende brandende heliumschil, worden de 12 C en 16 O deeltjes dan omgevormd tot 14 N. Men spreekt van hot-bottom-burning (HBB). Deze HBB belet op die manier dat de AGB sterren koolstofsterren kunnen worden. De lichtkracht van de AGB ster wordt geheel bepaald door haar kernmassa en is onafhankelijk van de massa van de enveloppe. In goede benadering hebben we L Mkern 1 . = 6 × 104 − L⊙ M⊙ 2 µ

174

¶

(11.2)

Figuur 11.7: Het evolutiespoor na centrale heliumverbranding van een ster met kernmassa 0.6 M⊙ en met chemische samenstelling X = 0.749, Y = 0.25. Het spoor stijgt langs de AGB totdat thermische pulsen (aangeduid door dikke stippen) optreden. De verandering van de positie in het HR diagram tijdens een puls wordt voor de duidelijkheid enkel getoond voor pulsen 9 en 10. V´oo´ r de laatste puls heeft het spoor het domein van de witte dwergen bereikt. De hoofdreeks, de horizontale tak en de lijn van constante straal voor witte dwergen zijn eveneens voorgesteld. Om deze lichtkracht effici¨ent af te voeren, heeft de ster een grote convectieve enveloppe, zoals steeds het geval is boven een laag met schilverbranding. Deze buitenste convectiezone reikt voor sterren met een relatief hoge geboortemassa, zeg boven ≈ 4 M⊙ , diep genoeg om de producten van de waterstof- en heliumschilverbranding naar het steroppervlak te brengen. Deze sterren ondergaan dan ook een derde dredge-up. Sterren met M < ∼ 4 M⊙ klimmen nooit hoog genoeg de AGB op omwille van hun relatief lage kernmassa en hebben dan ook geen nood aan zulke uitgebreide convectieve enveloppe. Zij zullen daarom geen effici¨ente 3de dredge-up ondergaan. Hierdoor zullen deze sterren hun producten van nucleosynthese gevormd tijdens de schilverbrandingen niet vrijgeven aan hun oppervlak.

11.6 Het s-proces in AGB sterren Tussen twee thermische pulsen wordt 14 N aangemaakt door de waterstofschilverbranding, en de convectieve laag tussen de twee schillen transporteert deze 14 N isotopen naar de heliumverbrandingsschil tijdens de volgende puls. Daar grijpt dan vervolgens de volgende reactieketen plaats: 14 N(α, γ)18 F(β + ν)18 O(α, γ)22 Ne. Voor een puls in een vrij zware ster bereikt de temperatuur een waarde die hoog genoeg is om ook de 22 Ne isotopen te verbranden in de reactie 22 Ne(α, n)25 Mg. Deze reactie bewerkstelligt de productie van een neutron. Een andere, veel effici¨entere neutronenbron werd reeds aangehaald bij de bespreking van koolstofverbranding, maar opdat deze werkzaam zou kunnen zijn moet er een voldoende aantal 13 C isotopen in de heliumverbrandingsschil kunnen gebracht worden. Het betreft 12 C(p, γ)13 N(e+ ν)13 C(α, n)16 O. Deze 175

Figuur 11.8: De interne structuur van een gedeelte van een AGB ster die thermische pulsen ondergaat wordt weergegeven ten tijde van de eerste en de zesde puls (zie ook figuur 11.7). De creatie van een convectiezone bij het starten van de heliumschilverbranding wordt schematisch weergegeven, alsook de dunne zone van waterstofschilverbranding en de buitenste diepe convectiezone (OCZ).

176

laatste reactie is veel sneller dan 22 Ne(α, n)25 Mg maar ze vereist wel een welbepaalde protonconcentratie van om en bij 10−4 . Dit kan voldaan zijn wanneer waterstofrijk materiaal naar 12 C-rijke gebieden getransporteerd wordt tijdens de pulsen, waardoor 13 C dan kan gevormd worden. De aangehaalde neutronenbronnen kunnen sterk genoeg zijn om op een stabiele wijze elementen na de ijzerpiek te vormen door het s-proces. Neutronenvangst werd reeds beschreven bij de behandeling van het r-proces. In het s-proces gaat de neutronenvangst door tot er teveel neutronen zijn opgenomen en het element buiten de stabiliteitsvallei in het (N, Z) domein valt. De kern is dan onderhevig aan een β − verval: (Z, A) → (Z + 1, A) + e− + νe ,

(11.3)

Het pad van het s-proces bevindt zich zodoende langs de neutronrijke grens van de stabiliteitsvallei in het (N, Z) diagram, maar minder diep dan bij het r-proces (zie figuur 10.6). De naam “s-proces” slaat hier op het feit dat invanging van neutronen traag verloopt ten opzichte van het β − verval, in tegenstelling tot bij het r-proces. Het s-proces grijpt plaats bij neutronendichtheden van de orde 108 − 1012 cm−3 en is sterk afhankelijk van de metalliciteit van de ster. Door de twee neutronenbronnen hierboven besproken grijpt het s-proces plaats in AGB sterren die thermische pulsen ondergaan. Typische s-proces elementen zijn enerzijds diegenen van de lichte s-proces elementen groep, namelijk deze van de strontiumpiek. Dit zijn de elementen met magisch neutronenaantal N = 50: Strontium (Sr, Z = 38), Ytrium (Y, Z = 39), Zirkonium (Zr, Z = 40), Technetium (Tc, Z = 43). Anderzijds zijn er de talrijke zware s-proces elementen van de bariumpiek met magisch neutronenaantal N = 82, waarvan Barium (Ba, Z = 56) het voornaamste voorbeeld is. Het s-process product Tc is belangrijk, omdat de isotoop ervan al vervalt na 105 jaar. Dit impliceert dat de detectie van spectraallijnen van Tc de meest directe diagnostiek is om het AGB karakter van een ster te bewijzen. Preciese details van het transport van s-proces elementen naar het oppervlak van AGB sterren door dredge-up zijn niet goed gekend. Een effici¨ente derde dredge-up treedt enkel op voor de zwaardere AGB sterren omdat dit sterk afhangt van de preciese uitgebreidheid en locatie van de buitenste convectieve laag.

11.7 Post-AGB sterren Zoals reeds vermeld is het aantal thermische pulsen die een AGB ster ondergaat tijdens de TP-AGB fase afhankelijk van de geboortemassa, het massaverlies en de metalliciteit van de ster. De sterren blijven de AGB opklimmen naarmate hun CO kern zwaarder wordt — zie uitdrukking (11.2). Ondertussen verliezen de sterren een alsmaar grotere fractie van hun enveloppe door de koppeling tussen de pulsaties en de stofgedreven sterrenwind. De thermische pulsen blijven terugkeren zolang de waterstoflaag een massa van > ∼ 0.1 M⊙ heeft. Wanneer ze minder zwaar wordt, kan de waterstofverbranding niet meer doorgaan en wordt de heliumlaag en de sterkern dus niet meer zwaarder. Dan breekt weldra de tijd aan voor de laatste thermische puls wanneer de heliumlaag nog e´ e´ n keer samentrekt totdat ze heet genoeg is om de laatste cyclus van heliumschilverbranding door te voeren. 177

Wanneer de massa van de waterstofenveloppe gereduceerd is tot < ∼ 0.03 M⊙ vallen ook de pulsaties stil waardoor het massaverlies snel vermindert en stilvalt. De effectieve temperatuur van de ster begint te stijgen wanneer het massaverlies ophoudt. Dat komt omdat de buitenste enveloppe verdwijnt en we de hetere krimpende sterkern zien verschijnen. De ster verlaat de asymptotische reuzentak en start haar post-AGB fase. Deze duurt zowat 10 000 jaar. Tijdens deze fase blijft de lichtkracht van de ster nagenoeg constant, omdat ze louter bepaald wordt door de kernmassa – zie (11.2). De effectieve temperatuur daarentegen, blijft stijgen door de contractie van de kern. De laatste thermische puls kan zich nog voordoen tijdens de post-AGB fase, en zelfs ook wat later tijdens het hete stuk van het koelingsspoor van witte dwergen. Dit komt omdat de post-AGB fase zo kort duurt en de kerncontractie nog verdergezet wordt, waardoor de heliumverbranding nog e´ e´ n keer kan gestart worden. Dit laatste gebeurt in zowat 25% van de post-AGB sterren. In dat geval keert de ster snel terug naar de AGB. Men spreekt van een born-again scenario, waarbij de ster zeer snel het Hertzsprung-Russell diagram doorkruist. Ze keert vervolgens terug naar de witte-dwerg fase in een tijdspanne van typisch 200 jaar. Afhankelijk van de kernmassa ondergaat de ster hierbij al dan niet een stralingsgedreven sterrenwind (zie volgend hoofdstuk) en wordt ze een waterstof-deffici¨ente helium-verbrandingsster bestaande uit een CO kern omgeven door oppervlaktelagen verrijkt met helium, koolstof en zuurstof. Afhankelijk van het stadium waarin de laatste puls plaatsvindt is de vermenging van de buitenste lagen zeer of minder effectief, en blijft er geen of nog een dunne waterstoflaag over op het steroppervlak van de post-AGB ster. Spijts de post-AGB fase van zulke korte duur is, blijkt ze toch geschikt om observationele testen uit te voeren over de 3de dredge-up. Het is inderdaad zo dat met de pulsaties, ook de stofenveloppe verdwijnt, waardoor de producten van de nucleosynthese aan het steroppervlak beter kunnen bestudeerd worden. De chemische analyse van post-AGB sterren aan de hand van hoge-resolutie spectroscopie is een actief domein in de stellaire astrofysica waarin leden van het Instituut voor Sterrenkunde een voortrekkersrol vervullen. Dit onderwerp komt aan bod in het Leuvense Mastercollege Stellar Atmospheres. Als de effectieve temperatuur een waarde van om en bij de 30 000 K bereikt heeft, kan het circumstellair materiaal ge¨ıoniseerd worden. De ster is nu een planetaire nevel geworden. Wellicht wordt niet elke postAGB ster een planetaire nevel omdat de circumstellaire stofschil in sommige gevallen al te ver van de ster zal verwijderd zijn vooraleer de temperatuursgrens van 30 000 K overschreden wordt en/of te weinig massa bevat, dit laatste als de laatste thermische puls pas na de AGB is opgetreden. De thermische pulsen die de ster ondergaan heeft, zijn een enveloppe fenomeen en hebben de CO-kern niet aangetast. Deze laatste krijgt meer en meer de kenmerken van een witte dwerg. Uit het feit dat er veel meer witte dwergen zijn dan planetaire nevels leiden we af dat het planetaire-nevel stadium veel korter moet zijn, zelfs als we ermee rekening houden dat niet elke post-AGB ster als een planetaire nevel oplicht. De planetaire nevelfase duurt ongeveer 105 jaar. Bij het stilvallen van de pulsaties ligt de massa van de CO kern tussen 0.6 en 1.1 M⊙ , waarbij de hogere massa’s voortkomen van sterren met geboortemassa tussen 6 en 9 M⊙ . Omdat er veel meer sterren met lage dan met hoge massa geboren worden, verwachten we dan dat de massa’s van de CO kernen veelal rond 0.6 M⊙ liggen. Dit is in overeenstemming met de massaverdeling van witte dwergen.

178

11.8 Witte dwergen Zoals reeds aangehaald in het vorig hoofdstuk ontwikkelen sterren met intermediaire massa van 2.3 M⊙ < ∼ ∼ 9 M⊙ uiteindelijk na de fase van heliumverbranding een ontaarde CO kern. De preciese massa van deze M< kern hangt af van het (tot nu toe niet volledig begrepen mechanisme van) massaverlies op de asymptotische reuzentak. Wanneer de kernmassa van de post-AGB ster met initi¨ele massa M < ∼ 9 M⊙ beneden de limietmassa van Chandrasekhar ligt, blijft een volledig ontaarde ster over aan het eind van de evolutie: een witte dwerg ∼ 6 M⊙ inderdaad kunnen is ontstaan. De studie van sterclusters bevestigt dat sterren met initi¨ele massa > eindigen als witte dwerg. Er zijn namelijk al een klein aantal witte dwergen gevonden in sterrenhopen waarvan het keerpunt van de hoofdreeks onder sterren met 6 M⊙ geboortemassa ligt. In die sterclusters bevinden sterren met M < ∼ 6 M⊙ zich nog op de hoofdreeks, dus moeten die enkele witte dwergen eindproducten zijn ∼ 6 M⊙ . Deze sterren hebben dus duidelijk veel massa verloren als AGB van sterren met initi¨ele massa M > ster. Witte dwergen hebben afmetingen die vergelijkbaar zijn met die van de Aarde (zie figuur 10.7), maar hun massa is wel zo’n 3 × 105 keer groter dan die van de Aarde. De witte dwergen zijn een homogene klasse van stellaire restanten. Ze vormen een welgedefinieerde reeks in het B − V , MV diagram. De koelst gedetecteerde objecten hebben een lichtkracht van om en bij 3 × 10−5 L⊙ . De strakke correlatie tussen de lichtkracht (of MV ) en de effectieve temperatuur (of B − V ) toont dat de stralen van de witte dwergen nagenoeg dezelfde moeten zijn, nl. R ≈ 0.01 R⊙ . Uit bepalingen van de graviteit kan men afleiden dat ook de massa’s van enkelvoudige witte dwergen nagenoeg dezelfde zijn, met een sterke piek rond M ≈ 0.6 M⊙ . Voor witte dwergen die zich in een binair systeem bevinden heeft men een veel groter bereik in massa vastgesteld. De witte dwergen bestaan vooral uit C en He. De verhoudingen zijn afhankelijk van de effici¨entie van de heliumverbranding. Algemeen zijn de zwaardere witte dwergen koolstofrijker. Uit spectroscopische waarnemingen leidt men af dat de samenstelling van de steratmosfeer vrij verschillend kan zijn. Het meest voorkomend zijn witte dwergen waarvan de atmosfeer hoofdzakelijk bestaat uit waterstof. Men spreekt van DA witte dwergen. 80% van de gekende witte dwergen zijn van het type DA. Er bestaat tevens een groep van witte dwergen wiens atmosfeer vooral bestaat uit helium. Men noemt ze DB witte dwergen. Hun percentage bedraagt zo’n 20%. Een zeer klein aantal witte dwergen heeft een atmosfeer met een speciale chemische samenstelling en hoort niet tot de twee hoofdklassen. Men deelt deze dan nog in in andere klassen naargelang de waargenomen spectrale lijnen van bepaalde chemische elementen. De effectieve temperatuur van witte dwergen doorloopt een groot interval: gaande van 50 000 K tot 4 000 K. De meerderheid van deze sterren hebben dus een temperatuur hoger dan die van de zon, en daarom is ooit de term “witte” dwerg ingevoerd. Het ontaard elektronengas is in een ster met massa kleiner dan 1.46 M⊙ in staat om de enorme gravitationele aantrekkingskracht tegen te gaan. Hoe minder zwaar de witte dwerg, hoe meer niet-ontaarde materie blijft bestaan in de buitenste lagen. Zoals karakteristiek is voor configuraties bestaande uit ontaarde materie zijn de mechanische en thermische eigenschappen ontkoppeld van mekaar. De mechanische structuur wordt 179

Figuur 11.9: Schematische voorstelling van de massa-straal relatie horende bij een “klassieke” witte-dwerg structuur volgens de theorie van Chandrasekhar, waarbij ondersteld wordt dat de druk enkel geleverd wordt door een ontaard elektronengas. Correcties op deze klassieke structuur zijn nodig aan beide uiteinden van het massa interval. enerzijds goed beschreven door een elektronendruk die hoort bij een gas bestaande uit ontaarde elektronen. Hiervoor werden uitdrukkingen afgeleid in Hoofdstuk 4. De niet-ontaarde ionen, daarentegen, zijn verantwoordelijk voor de massa van de witte dwerg. Het is gemakkelijk aan te tonen dat witte dwergen voldoen aan een massa-straal relatie, i.e. de straal van een witte dwerg hangt enkel af van de massa en niet van de temperatuur. Bovendien leidt men uit de massa-straal relatie af dat de straal kleiner is naarmate de massa groter is, m.a.w. de massa is omgekeerd evenredig met het volume. Deze “klassieke witte-dwerg structuur” wordt getoond in figuur 11.9. Aan beide uiteinden van het massa interval zijn correcties nodig omdat deze klassieke theorie afgeleid door Chandrasekhar er niet meer opgaat. In die zin bedraagt de nauwkeuriger bepaalde limietmassa slechts 1.44 M⊙ . De thermische eigenschappen zijn verantwoordelijk voor de straling en de verdere evolutie van de witte dwerg. In het diepe inwendige van de witte dwerg is de materie ontaard en gebeurt het energietransport zeer effici¨ent door conductie, waarbij het de kernen zelf zijn die de energie transporteren, en niet de fotonen. In de buitenste lagen gebeurt het energietransport anders. Daar bevinden zich gebieden die steeds minder ontaarde materie bevatten en het energietransport gebeurt er door straling of convectie, die veel minder effici¨ent zijn. De buitenste laag bestaat uit normaal gas dat dienst doet als een bijzonder effici¨ente isolatielaag, waardoor de witte dwerg slechts zeer langzaam afkoelt. We hebben dus een niet-ontaarde buitenlaag waarin de temperatuur aanzienlijk lager is en die de ontaarde isotherme kern isoleert. Hierdoor is de witte dwerg optisch zwak. Vermits er geen kernreacties meer plaatsvinden moet de straling die de witte dwerg uitzendt energie putten uit een ander energiereservoir. Bij een witte dwerg wordt de nodige energie om de lichtkracht te verklaren geleverd door koeling van de ionen: L ∼ T˙ . Er treedt een uiterst kleine gravitationele samentrekking op door de afkoeling vermits enkel de ionendruk daalt en niet de elektronendruk die veruit de belangrijkste

180

is van beiden. De helft van de gravitationele energie die door contractie vrijkomt levert de lichtkracht, de andere helft wordt gebruikt om de Fermi-energie van de elektronen te doen stijgen. Uiteindelijk heeft dit koelingsmechanisme voor gevolg dat de witte dwerg evolueert naar het vormen van een “zwarte dwerg”: de contractie stopt volledig en alle energie bevindt zich op dat ogenblik in de vorm van Fermi-energie. De typische koelingstijd voor een witte dwerg van 1 M⊙ en L/L⊙ = 10−3 bedraagt 109 jaar. De oudste waargenomen witte dwergen hebben een leeftijd die vergelijkbaar is met de leeftijd van onze Melkweg zelf.

181

182

Hoofdstuk 12 > 15 M Evolutie van een ster met M ∼ ⊙ Sterren die geboren worden met een massa boven ∼ 15 M⊙ evolueren anders dan diegenen die minder zwaar zijn. Dat komt omdat zij van bij hun geboorte onderhevig zijn aan een sterrenwind. Deze continue uitstroom van het hete stergas be¨ınvloedt de levenscyclus van de allerzwaarste sterren, omdat ze erdoor meer dan de helft van hun oorspronkelijke massa verliezen alvorens te exploderen als een supernova. Een voorbeeld van zulke ster wordt getoond in figuur 12.1: het is duidelijk dat we de evolutie van deze ster niet goed beschrijven wanneer we haar massaverlies niet in rekening brengen. De basisonderstelling van behoud van massa is niet gerechtvaardigd voor zulke sterren.

12.1 De spectra van hete zware sterren met massaverlies De ontdekking van de expansie van de atmosfeer en het massaverlies van zware sterren door een sterrenwind is vooral tot stand gekomen sinds de “International Ultraviolet Explorer”, gelanceerd in 1979, zulke sterren intensief heeft waargenomen. V´oo´ r het ultra-violet (UV) spectrum toegankelijk was nam men aan dat er bij goede benadering tijdens de hoofdreeksfase massabehoud gold. Uit de spectraallijnen in het UV deel van zulke sterren is echter gebleken dat zij een snel expanderende atmosfeer hebben en voortdurend massaverlies ondergaan. De continu¨umstraling in de sterrenwind van hete sterren wordt gedomineerd door verstrooiingsprocessen, omdat de dichtheden in de wind veelal laag zijn. Het betreft dan meer specifiek de verstrooiing van fotonen door vrije electronen. Dit komt omdat de ionen en atomen zeer effici¨ent zijn in het verstrooien van fotonen om lijnovergangen te maken. Hierdoor zijn het hoofdzakelijk alleen de vrije electronen die voor de continu¨umstraling zorgen. De spectraallijnen die in de sterrenwind gevormd worden kunnen gemakkelijk onderscheiden worden van diegenen gevormd in de fotosfeer omwille van hun grote verbreding en grote verschuiving t.o.v. de rustgolflengte. Welke vorm precies wordt aangenomen hangt af van de effici¨entie van de creatie, verstrooiing 183

Figuur 12.1: Beeld gemaakt met de Hubble Space Telescope van de Luminous Blue Variable η Car. en vernietiging van fotonen in de sterrenwind. Windlijnen kunnen zodoende optreden als absorptielijnen, emissielijnen of als combinatie van beiden. Wanneer een ion in een sterrenwind een botsing ondergaat met een electron, kan het dit electron gebruiken om te recombineren. De meest waarschijnlijke botsingsrecombinatie is deze naar de grondtoestand van het ion. Het ion kan echter ook recombineren naar een ge¨exciteerde toestand en vervolgens neerwaarts dalen in het energie-niveau-diagram door een opeenvolging van stralingsde¨excitaties. Elke de¨excitatie gaat in dit geval gepaard met het uitzenden van een foton. Dit proces veroorzaakt dus aanzienlijke fotoncreaties in de sterrenwind. Lijnen horende bij specifieke electronenovergangen, die een hoge kans hebben om gevoed te worden door botsingsrecombinatie met opeenvolgende stralingsde¨excitatie, kunnen op deze wijze een duidelijk surplus aan straling vertonen: ze treden op in emissie. Dit proces van fotoncreatie is verantwoordelijk voor de Hα emissie en de infra-rode emissielijnen in de wind van hete sterren. Fotoncreatie vereist veel grotere dichtheden dan fotonverstrooiing. Het treedt dus alleen op in de dichtste gebieden van de sterrenwind, niet ver van de sterfotosfeer. Fotondestructie treedt niet of nauwelijks op in de sterrenwind. Dit komt omdat de meeste atomen zich in de grondtoestand bevinden. Na stralingsexcitatie is de vervaltijd voor stralingsde¨excitatie erg kort. Bovendien is de deeltjesdichtheid in de sterrenwind erg laag. Hierdoor zal het ion niet tijdig een botsingsde¨excitatie kunnen ondergaan. Het opgenomen foton zal hierdoor fotonverstrooiing ondergaan en niet vernietigd worden door fotondestructie. Wanneer de spectraallijn zowel een absorptie- als een emissiecomponent heeft, spreekt men van een P Cygni profiel, zoals eerst waargenomen voor de superreus P Cygni. De meeste P Cygni profielen worden gevormd door resonante verstrooiing. Voorbeelden van P Cygni profielen zijn weergegeven in figuur 12.2 voor de sterren ζ Pup en τ Sco. Vergelijk deze spectraallijnen met diegenen van sterren zonder aanzienlijk massaverlies, zoals getoond in figuren 1.1 en 1.4. Het is duidelijk dat de profielen van de lijnen in figuur 12.2 er anders uitzien. 184

Figuur 12.2: De waargenomen P Cygni profielen van het N V doublet (boven) en het O VI doublet (onder) in het UV spectrum van de zware sterren ζ Pup (O4 superreus) en τ Sco (B0 hoofdreeksster). De rustgolflengten worden aangeduid door de pijltjes. De doublet lijnen smelten samen in e´ e´ n sterk P Cygni profiel in het geval van ζ Pup. Ze worden gescheiden waargenomen in het geval van τ Sco. Het spectrum van τ Sco vertoont tevens vele smalle fotosferische absorptielijnen. De profielen van beide sterren reiken tot grote negatieve snelheden, wat duidt op materie-uitstroom in de richting van de waarnemer.

185

Figuur 12.3: Bovenste paneel: de geometrie van een sferisch symmetrische sterrenwind met toenemende buitenwaartse snelheid. De waarnemer onderscheidt vier gebieden: S, F, O, H (zie tekst voor verklaring). Onderste paneel: de bijdrage van de ster (het continu¨um), de absorptie door F en de emissie van H. Het P Cygni profiel is de som van deze drie bijdragen.

186

De vorming en interpretatie van een P Cygni profiel kan kwalitatief als volgt begrepen worden. We beschouwen een eenvoudig model van een sferisch symmetrische wind waarin de snelheid toeneemt met de afstand tot de ster (zie figuur 12.3). Een waarnemer herkent vier gebieden die bijdragen leveren tot de vorming van een spectraallijn : 1. de ster S die continu¨umstraling uitzendt met een mogelijke fotosferische absorptiecomponent bij golflengte λ0 van de spectraallijn, 2. de cylinder F v´oo´ r de sterschijf. Het gas in F beweegt naar de waarnemer toe met een snelheid tussen v ≃ 0 en v∞ , 3. de cylinder O die zich achter de ster bevindt en door deze laatste geocculteerd wordt. Het gas in O beweegt zich weg van de waarnemer, maar de straling vanuit dit gebied bereikt de waarnemer niet, 4. de gebieden H rondom de ster, die de waarnemer zou zien als een “halo” rondom de ster indien de wind ruimtelijk opgelost zou kunnen worden. Het gas in H heeft zowel positieve als negatieve snelheidscomponenten t.o.v. de waarnemer. In het onderste paneel van figuur 12.3 worden de bijdragen van de vier verschillende regio’s tot de vorming van de spectraallijn geschetst. De ster S levert continu¨umstraling met een fotosferische absorptielijn. Het gebied F v´oo´ r de ster verstrooit fotonen van de ster waardoor deze uit de gezichtslijn verdwijnen. Deze fotonen zouden de waarnemer wel bereiken indien er geen sterrenwind optrad. Deze verwijdering van sterfotonen door de versnelde winddeeltjes geeft aanleiding tot een blauwverschoven absorptiecomponent met een Doppler verschuiving tussen −v∞ en 0 km/s. De absorptiecomponent reikt voor optisch dunne materie niet tot een flux gelijk aan 0 omdat er ook verstrooiing in de gezichtslijn optreedt in de richting van de waarnemer vanuit het gebied F. Voor optisch dikke lijnen kan de flux wel volledig verstrooid worden. De halo H verstrooit straling afkomstig van de sterfotosfeer in alle richtingen. Een gedeelte van die straling gebeurt in de richting van de waarnemer. Dit gedeelte geeft aanleiding tot een emissiecomponent met een Doppler verschuiving tussen −v∞ en v∞ , maar met een duidelijke grootste bijdrage bij snelheid 0 km/s. Het netto resultaat van al deze bijdragen wordt eenvoudig bekomen door ze te sommeren. Een alternatieve wijze om de vorm van een P Cygni profiel te begrijpen levert een meer kwalitatief inzicht in het vormingsproces. Deze wijze wordt voorgesteld in figuren 12.4 en 12.5. Onderstel dat isotrope verstrooiing van sterfotonen gebeurt in een geometrische, optisch dunne schil rondom de ster op een afstand tussen r en r + △r, die zich beweegt met een expansiesnelheid tussen v en v + △v. Deze verstrooiing geeft aanleiding tot een lijnprofiel dat bestaat uit een smalle blauwverschoven absorptiecomponent en een vlakke emissiecomponent (zie figuur 12.4). De absorptiecomponent reikt van Doppler snelheid −v tot −v cos θ⋆ , waarbij de hoek θ⋆ gedefinieerd wordt door sin θ⋆ ≡ R⋆ /r met R⋆ de sterstraal. De sterkte van de absorptiecomponent hangt af van de hoeveelheid absorberende ionen in de schil. De emissie daarentegen reikt van −v tot +v cos θ⋆ . Immers, de totale emissie door de schil uitgestraald dient verminderd te worden met de emissie gestraald door de deeltjes met Doppler snelheid tussen +v en +v cos θ⋆ , welke deeltjes zijn die door de ster geocculteerd worden. In het onderste paneel van figuur 12.4 wordt het resulterende profiel van de emitterende schil in de sterrenwind voorgesteld. Een P Cygni profiel kan aanzien worden als de som van vele bijdragen van schillen met verschillende snelheden in de sterrenwind. Deze bijdragen worden voorgesteld in figuur 12.5. Het bovenste paneel van deze figuur toont de bijdragen van elk van de schillen. Elke 187

Figuur 12.4: Het profiel van een dunne sferische schil die straling verstrooit. Het bovenste paneel stelt de geometrie van de schil voor, terwijl het onderste paneel de resulterende absorptiecomponent A(v) en de vlakke emissiecomponent E(v) weergeeft. Een gedeelte van de emissie wordt geocculteerd door de ster. Het resulterend profiel van de schil is de som van de absorptie- en emissiecomponent.

188

Figuur 12.5: Het profiel van een spectraallijn gevormd in een sterrenwind met buitenwaarts toenemende windsnelheid. Het bovenste paneel schetst de individuele contributies van de verschillende schillen omheen de ster. Deze contributies bestaan uit smalle absorptiecomponenten en vlakke brede emissiecomponenten. In het onderste paneel wordt het P Cygni profiel getoond, welk de som is van alle verschillende bijdragen van alle schillen.

189

schil draagt volgens haar Doppler snelheid een smalle blauwverschoven absorptiecomponent en een brede vlakke emissiecomponent bij tot het totale P Cygni profiel, wat wordt voorgesteld in het onderste paneel. De P Cygni profielen van resonantielijnen treden voor hete sterren op in het UV gedeelte van het spectrum. Vandaar dat de vaststelling van uitstroom bij wijze van een sterrenwind heeft moeten wachten totdat dit gedeelte kon gemeten worden, waarvoor een ruimtemissie nodig is. De detectie van P Cygni profielen laat meteen toe om de uitstroomsnelheid van de wind, v∞ , af te leiden.

12.2 Basiseigenschappen van stralingsgedreven sterrenwinden De sterrenwind van zware sterren wordt veroorzaakt door een geheel ander mechanisme dan de stofgedreven winden tijdens de AGB. Bij zware sterren betreft het een stralingsgedreven of ook lijngedreven sterrenwind. Het mechanisme van zulke sterrenwind is goed begrepen en kan mooi wiskundig worden afgeleid. Dit laatste valt buiten het tijdsbestek van deze cursus en we vatten hier enkel de resultaten samen. De twee belangrijkste parameters die de sterrenwind van zware sterren beschrijven en die afgeleid kunnen worden uit waarnemingen zijn het massaverlies M˙ en de terminale snelheid van de sterrenwind: v∞ . De terminale windsnelheden van hete sterren hebben waarden tot 3000 km/s (dit is 1% van de lichtsnelheid !) en zijn dus van een geheel andere orde-grootte dan voor stofgedreven winden. Voor hete sterren is het massaverlies van bij de geboorte belangrijk omdat het de sterevolutie beinvloedt (denk aan de massa-lichtkracht relatie en de hoofdreeksduurtijd). Elk van de fotonen die in de sterkern geproduceerd wordt door de kernreacties draagt een energie hν met zich mee en heeft een impuls hν/c. Het totale impulsverlies dat de ster leidt door het uitzenden van fotonen aan haar oppervlak wordt gegeven door L/c = 4πR2 F/c met F de sterflux. Het overeenkomstige massaverlies bedraagt L/c2 . Daarentegen is het impulsverlies van de sterrenwind gegeven door M˙ v∞ . Het blijkt nu dat M˙ v∞ ≃ L/c. Dit betekent dat er een effici¨ent mechanisme aan het werk is in de sterrenwind dat er blijkbaar in slaagt om zo goed als alle fotonen die de ster verlaten te absorberen en om te zetten in beweging van de winddeeltjes. Het gas dat ontsnapt vanuit de ster naar het interstellair medium toe, draagt kinetische energie met zich mee. De hoeveelheid kinetische energie die de sterrenwind overdraagt op het interstellair medium per 2 . Om het effect van de sterrenwind op de omgeving te kennen moeten eenheid van tijd bedraagt 12 M˙ v∞ we dus waarden afleiden voor M˙ en v∞ . Deze grootheden hebben we ook nodig om het effect van de sterrenwind op de sterevolutie te evalueren. Voor een ster die een stationaire sferisch symmetrische wind ondergaat is het massaverlies in een bepaald punt in de wind gerelateerd aan de dichtheid en de snelheid in dat punt. Deze relatie wordt beschreven door de vergelijking die het behoud van massastroom uitdrukt : M˙ = 4πr2 ρ(r)v(r),

(12.1)

waarbij r de afstand van het punt in de wind is tot het centrum van de ster, en ρ en v respectievelijk de 190

dichtheid en de snelheid zijn van de wind op de plaats van het beschouwde punt. Vergelijking (12.1) drukt uit dat er geen materiaal vernield of gecre¨eerd wordt in de wind, zodat steeds dezelfde hoeveelheid gas doorheen een sfeer op een afstand r van de ster stroomt. Deze vergelijking vervangt de vergelijking van het massabehoud in the stelsel (7.1) van de sterstructuurvergelijkingen. Het gas dat ontsnapt vanuit de buitenste sterlagen wordt versneld. Het heeft een lage radiale snelheid, typisch kleiner dan 1 km/s, aan de sterfotosfeer en wordt versneld tot een hoge snelheid op een grote afstand van de ster. Op zeer grote afstand van het stercentrum benadert de snelheid die een deeltje in de sterrenwind ondervindt asymptotisch de terminale snelheid: v∞ = v(r → ∞). De verdeling van de snelheid in de sterrenwind als een functie van de radiale afstand r tot het stercentrum noemt men de snelheidswet v(r). De waarnemingen van sterrenwinden geven aanleiding tot een snelheidsverloop beschreven door een βwind wet : µ ¶ R βwind v(r) ≃ v0 + (v∞ − v0 ) 1 − . (12.2) r Deze snelheidswet beschrijft een algemene toename van v met de radiale afstand van v0 aan de fotosfeer r = R tot v∞ op grote afstand, waarbij v0 ≪ v∞ . De parameter βwind beschrijft hoe steil de snelheidswet is. Hete sterren hebben bijvoorbeeld een snelheidswet die vrij goed beschreven wordt door βwind = 0.8. Deeltjes in deze winden ondervinden dan ook een grote versnelling en bereiken reeds een snelheid gelijk aan 80% van de terminale snelheid op een afstand ≃ 4 R, m.a.w. op slechts ≃ 3 R boven het steroppervlak.

12.3 Massaverlies en terminale windsnelheid We bestuderen nu de hydrodynamica van de sterrenwind, met als doel uitdrukkingen af te leiden voor het massaverlies en de terminale snelheid van de wind. De onderstelling van hydrostatisch evenwicht is nu niet meer gerechtvaardigd. De bewegingsvergelijking van de hydrodynamica voor een sferisch symmetrische configuratie heeft de algemene vorm (3.22) die we hier herhalen : 1 ∂2r ∂P Gm =− − . 2 2 4πr ∂t ∂m 4πr4 Hierbij stelt P de totale druk voor: P = Pgas + Prad . De buitenwaarts gerichte kracht afkomstig van de stralingsdruk vermindert dus het effect van de binnenwaarts gerichte gravitatiekracht. We kunnen de balans van de krachten in het rechterlid van bovenstaande vergelijking ook anders schrijven : ∂Pgas (ggrav + grad ) 1 ∂2r =− + , 2 2 4πr ∂t ∂m 4πr2

(12.3)

waarbij ggrav staat voor de gravitatieversnelling en grad voor de radiatieve versnelling. Het komt er dus op neer grad te bepalen en de vergelijking op te lossen. De sterrenwind van zware hete sterren wordt gedreven door de verstrooiing van fotonen door ionen. Deze ionen zijn verantwoordelijk voor de spectraallijnen en men spreekt daarom van een lijngedreven of ook een stralingsgedreven wind. We dienen dus grad uit te rekenen voor een lijngedreven wind. Dit vereist een studie van het stralingstransport in de buitenste steratmosfeer, waarvan we hier enkel het resultaat 191

beschouwen (de afleiding vereist de berekening van een gecompliceerde integraal van de stralingsdruk, wat de stralingsflux per eenheid van oppervlak is). Analoog aan de kracht uitgeoefend door een gradi¨ent van de gasdruk vinden we de kracht uitgeoefend door een gradi¨ent van de stralingsdruk op positie r in de sterrenwind: Z 1 ∞ grad (r) = κν (r)Fν (r)dν. (12.4) c 0 Hete sterren stralen het grootste deel van hun energie uit in het ultraviolet (figuur 12.6). In dit golflengtegebied hebben de atmosferen van zulke sterren zeer talrijke absorptielijnen. De opaciteit van de absorptielijnen is er dan ook veel groter dan diegene van de continu¨umstraling. De opaciteit van e´ e´ n sterke ˚ kan gemakkelijk een miljoen keer groter zijn absorptielijn, bijvoorbeeld de C IV resonantielijn bij 1550A, dan de opaciteit van elektronenverstrooiing. De grote stralingsdruk die de ionen ondervinden omwille van hun absorptielijnen zou geen effici¨ent aandrijvingsmechanisme voor massaverlies zijn, indien het Doppler effect niet bestond. In een statische atmosfeer met sterke lijnabsorptie zal het stralingsveld van de fotosfeer geabsorbeerd of verstrooid worden in de diepere lagen van de atmosfeer. De buitenste lagen ontvangen zo zeer weinig straling bij de golflengte van de lijn en dus de radiatieve versnelling grad in de buitenste lagen van de atmosfeer ten gevolge van lijnabsorptie wordt zeer beperkt gehouden. Wanneer de buitenste atmosfeer echter dynamisch is, treedt een snelheidsgradi¨ent op, waardoor de ionen in de buitenlagen de straling roodverschoven zien. Als gevolg hiervan kunnen deze ionen de straling afkomstig van de fotosfeer absorberen. Dit blijkt een zeer effici¨ent aandrijvingsmechanisme voor een uitstromende sterrenwind te zijn in hete sterren.

12.3.1

Thomsonverstrooiing in de sterrenwind

In eerste instantie beschouwen we enkel de radiatieve versnelling grad ten gevolge van de continu¨umopaciteit door een puntbron van straling. Voor de continu¨umstraling gaat het dan om fotonen die door de vrije elektronen in de sterrenwind verstrooid worden. Men spreekt van Thomson verstrooiing en deze is onafhankelijk van de frequentie van de straling. De frequentie-onafhankelijke werkzame doorsnede van e´ e´ n elektron bedraagt 8π e2 κT = , (12.5) 3 me c2 waarbij me de massa van een elektron voorstelt en e de lading ervan. De opaciteit ten gevolge van elektronenverstrooiing wordt gegeven door ne κe = κT , (12.6) ρ met ne het aantal elektronen per cm3 . Dit aantal hangt af van de massafracties X, Y, Z en de ionisatiegraad in de wind. De opaciteit voor elektronenverstrooiing is enkel onafhankelijk van de afstand tot de ster wanneer de ionisatiegraad constant is doorheen de gehele wind. De radiatieve versnelling bedraagt in dit geval κe F/c. Op een afstand r in de sterrenwind wordt de radiatieve versnelling volgens vergelijking (12.4) dus gegeven door GM κe L = 2 Γe , (12.7) ge (r) = 2 4πr c r 192

Figuur 12.6: De fractie van de sterstraling van hete sterren die in het UV geabsorbeerd wordt in de sterrenwind wordt aangegeven door de gearceerde delen in de figuur voor sterren met verschillende effectieve temperatuur. 193

met

κe L . (12.8) 4πcGM De opaciteit tengevolge elektronenverstrooiing, κe , hangt af van de chemische samenstelling van de wind en van de ionisatiegraad. Voor vroeg-type zware sterren van populatie I ligt deze opaciteit steeds tussen 0.28 < κe < 0.35 cm2 /g. Voor hoofdreekssterren met M < ∼ 15 M⊙ is Γe ≃ 0 en kunnen we de sterrenwind veroorzaakt door continu¨umstraling zondermeer verwaarlozen. Voor zwaardere hoofdreekssterren en hete reuzen en superreuzen, is Γe significant verschillend van nul. Γe ≡

We stellen vast dat de radiatieve versnelling ten gevolge van de continu¨umstraling dezelfde r-afhankelijkheid heeft als de gravitatieversnelling. De overeenkomende kracht is echter tegengesteld aan de gravitatiekracht, en zal het effect van deze laatste verminderen. We kunnen beide termen daarom bundelen en spreken van de effectieve gravitatieversnelling: geff (r) ≡ −

GM [1 − Γe ] . r2

(12.9)

De stralingsdruk ten gevolge van de continu¨umstraling kan de gravitatie overwinnen wanneer Γe > 1. In de praktijk, echter, is Γe < 1. De continu¨umopaciteit alleen kan dus niet de oorzaak van de sterrenwind zijn.

12.3.2

LBVs, WR sterren en de Eddington limiet

Γe is een functie van L/M . We beschouwen nu even de totale opaciteit κ ten gevolge van alle processen. We vinden dan de volgende bovenlimiet voor de lichtkracht van een ster, opdat de gravitatie in staat zou zijn om de gasbol samen te houden: 4πcGM L< . (12.10) κ Wanneer niet voldaan is aan deze voorwaarde, kan de ster niet in evenwicht zijn. Er bestaat dus een kritische lichtkracht die niet kan overschreden worden. Men noemt deze de Eddington lichtkracht: LEdd ≡

4πcGM , κ

(12.11)

en de overeenkomende voorwaarde op L/M de Eddington limiet. Sterren kunnen dicht bij hun Eddington limiet komen wanneer ze een zeer grote energieflux hebben en/of wanneer de opaciteit zeer groot wordt. Ze kunnen dan niet erg stabiel zijn en de minste storing die dan de straling een beetje helpt om de gravitatie te overwinnen resulteert in fel massaverlies. Dit is het geval voor lichtkrachtige OB superreuzen en zogenaamde Luminous Blue Variables (LBVs) en Wolf-Rayet (WR) sterren. LBVs zijn zeer zware sterren die een instabiele toestand in hun evolutie doormaken. De buitenwaarts gerichte kracht ten gevolge van de felle stralingsdruk is in LBVs zodanig groot dat ze bij de minste storing de tegengestelde gravitatiekracht kan overwinnen. Hierdoor ontstaat plots een instabiele toestand die aanleiding geeft tot fel massaverlies. De uitbarstingen van een LBV kunnen soms decennia duren en zeer onregelmatig 194

van aard zijn, met lange perioden van rust en stilte tussendoor. De ster η Carina, wiens geometrie getoond werd in figuur 12.1, is een LBV. Men spreekt van een Wolf-Rayet (WR) ster wanneer een hete heliumkern overblijft na de evolutie van een zware ster die haar buitenste enveloppe verloren heeft omwille van een uiterst sterke stralingsdruk. WR sterren zijn dus de opvolgers van LBVs. In het spectrum van zulk een WR ster vinden we vooral emissielijnen die veroorzaakt worden door de snel expanderende enveloppe. Door de aanwezigheid van deze enveloppe is het zeer moeilijk om de sterfotosfeer te defini¨eren. De effectieve temperatuur van een Wolf-Rayet ster bedraagt zo’n 30 000 tot 50 000 K. Het zijn sterren die een oorspronkelijke massa hoger dan 40 M⊙ hadden en die tijdens hun evolutie op de hoofdreeks zodanig veel massa verloren hebben in de vorm van een sterrenwind dat ze in deze fase van hun evolutie nog slechts een massa van om en bij de 4 M⊙ hebben. Men deelt de WR sterren op in twee groepen: de koolstofrijke WC sterren en de stikstofrijke WN sterren. Deze klassen worden nog eens onderverdeeld in WC5 – WC9 en WN3 – WN8 naargelang de aanwezigheid van bepaalde spectrale lijnen in het spectrum. De WN en WC vari¨eteiten representeren wellicht verschillende evolutiestadia. Men neemt aan dat WN sterren evolueren naar WC sterren naarmate er meer stermateriaal verloren wordt door de sterrenwind. Zowel LBVs als WR sterren bevinden zich dicht tegen hun Eddington limiet. De toepassing van de massa-lichtkracht relatie levert tevens een bovenlimiet voor de massa van een ster opdat de gravitatie de gasbol bij elkaar kan houden. We vinden dus dat de hoofdreeks een bovengrens in massa moet hebben. Wanneer we alleen de continu¨umopaciteit door verstrooiing in rekening brengen vinden we zo een bovenlimiet voor de massa van ongeveer 120 M⊙ . In de praktijk weten we dat sterren met veel lagere massa reeds fel massaverlies ondergaan. Dit komt door de grote lijnopaciteit van zware sterren.

12.3.3

Een realistische beschrijving van een lijngedreven sterrenwind: het CAK-model

De radiatieve versnelling veroorzaakt door spectraallijnen is niet meer van de vorm 1/r2 , waardoor ze niet op een eenvoudige wijze te combineren is met de gravitatieversnelling. We dienen alle spectraallijnen in rekening te brengen om een nauwkeurige beschrijving van grad te vinden, m.a.w. het “gecombineerd effect” van alle lijnen moet op een handige manier beschouwd worden om een nauwkeurige uitdrukking voor grad te bepalen. Dit vereist het bepalen van de ionisatiegraden en excitatietoestanden van een zeer groot aantal energieniveaus voor een groot aantal elementen. Bij wijze van illustratie tonen we in figuur 12.7 gedeelten van het spectrum van de B1III ster ξ 1 CMa van het verre ultra violette tot en met het visuele. De diepte en breedte van al deze spectraallijnen wordt beschreven door de lijnabsorptieco¨effici¨ent. Deze hangt af van de temperatuur van het gas, de dichtheid, de druk, de abondantie van het betreffende element, de ionisatietoestand van het gas, de botsingswaarschijnlijkheden, de lijnovergangswaarschijnlijkheden, enz. Het aantal spectraallijnen dat men in rekening dient te brengen om de radiatieve versnelling ten gevolge van lijnstraling te berekenen, reduceert al drastisch (met een factor 105 ) wanneer men zich beperkt tot resonantielijnen, wat een goede benadering is omwille van de lage dichtheden in de sterrenwind. Dit werd voor het eerst gerealiseerd en uitgevoerd door de astronomen Castor, Abbott & Klein (CAK) in 1975 en men spreekt daarom nu nog steeds van de CAK-theorie.

195

Figuur 12.7: Gedeelten van het spectrum van de ster ξ 1 CMa (B1III). De bepaling van grad (r) vereist de nauwkeurige bepaling van de absorptieco¨effici¨ent van alle spectraallijnen.

196

De verspreiding van (resonantie)lijnen over de golflengten is niet homogeen, zoals blijkt uit figuren 12.6 en 12.7. Er zijn gebieden in het spectrum waar ze nauwelijks optreden terwijl andere gebieden zodanig veel (resonantie)lijnen bevatten dat ze elkaar overlappen. Eens de radiatieve kracht van alle lijnen uitgerekend en getabelleerd is, kan men de overeenkomstige radiatieve versnelling parametriseren. Dit heeft als bedoeling de bewegingsvergelijking op te lossen en uitdrukkingen af te leiden voor het massaverlies en het snelheidsverloop van de wind. Het cumulatief effect van een ensemble van niet-overlappende absorptielijnen werd door Castor, Abbott & Klein geparametriseerd volgens een machtswet van de lijnopaciteit: N (κℓν ) ∼ κℓν

³

κℓν

´αCAK −2

met

0 < αCAK < 1 en de opaciteit van de spectraallijn ℓ bij frequentie ν (of golflengte λ = hc/ν). In deze empirische wet bepaalt de macht αCAK hoe optisch dun (waarde beneden 0.4) of optisch dik (waarde dicht bij 1) de lijn ℓ bij frequentie ν is. Zij vonden dit resultaat empirisch uit de lijst van enkele honderden koolstoflijnen die ze gebruikten uit waarnemingen. Aan elke lijn gaven ze een gewicht volgens de waarde νℓ Fν /F (zie figuur 12.6), zodat groter belang wordt gehecht aan de sterkere lijnen dan aan de zwakkere. De evenredigheidsconstante werd zodanig gekozen dat κ0 N (κ0 ) = 1 met κ0 de opaciteit van de allersterkste lijn in het sterspectrum. Na deze eerste empirische resultaten en met de opkomst van alsmaar krachtigere computers werd al gauw een veel grotere lijnlijst gebruikt. In werkelijkheid zijn inderdaad veel meer spectraallijnen van belang voor de bepaling van grad . In figuur 12.6 werd grafisch voorgesteld welk gedeelte van de sterflux in het UV gebruikt wordt door de spectraallijnen om de sterrenwind te drijven. Het gaat om zeer aanzienlijke fracties van de geproduceerde flux, wat verklaart waarom de lijngedreven sterrenwind zulk een effici¨ent massaverlies-mechanisme kan zijn: een groot gedeelte van de sterflux wordt omgezet naar windimpuls. De parametrisatie van CAK leidt tot: CAK grad (r)

KL = 2 r

µ

1 dv ρ dr

¶αCAK

,

(12.12)

met K een constante. Hierbij bepaalt de waarde van αCAK wat de relatieve verhouding is van het aantal optisch dunne (lees: zwakke) en optisch dikke (lees: sterke) absorptielijnen in het spectrum. CAK op de beweging van de deeltjes in de wind bepalen door Vervolgens kunnen we het effect van grad de uitdrukking ervoor te substitueren in de bewegingsvergelijking en deze, gebruik makend van de massastroomvergelijking, (numeriek) op te lossen. Men maakt hierbij gebruik van de uitdrukking voor een ideaal gas voor de gasdruk en vindt dan, in de benadering van een puntbron voor de ster, de oplossingen:

M˙ CAK = en

µ

κe 4πc

¶1/αCAK

4π αCAK (0.32)1/αCAK κe vth s

µ

1 − αCAK GM (1 − Γe )

αCAK R vCAK (r) = v∞ 1 − = r 1 − αCAK In deze benadering vinden we dus βwind = 1/2. r

s

¶(1−αCAK )/αCAK

2(1 − Γe )GM R

s

1−

L1/αCAK

R . r

(12.13)

(12.14)

In werkelijkheid is de ster geen puntbron, en deze benadering dient dan ook gecorrigeerd te worden, vooral voor de winddeeltjes die zich dicht bij het steroppervlak bevinden. Men corrigeert hiervoor door de 197

berekening opnieuw te doen in de benadering dat het steroppervlak weldegelijk concrete afmetingen heeft en spreekt van eindige schijf correctie FD (van “finite disc”). De resultaten van numerieke integratie van de bewegingsvergelijking die heerst in de sterrenwind worden voorgesteld in figuur 12.8 voor sterren met een effectieve temperatuur van respectievelijk 20 000 K en 40 000 K. Het massaverlies veroorzaakt door lijngedreven sterrenwinden heeft een groot gevolg voor de evolutie van sterren met initi¨ele massa groter dan om en bij 25 M⊙ . Deze sterren ondergaan tijdens hun gehele le< vensloop een aanzienlijk massaverlies. Sterren met 15 M⊙ < ∼ M ∼ 25 M⊙ ondergaan een sterke sterrenwind bij het verlaten van de hoofdreeks. Al deze sterren spelen dan ook een cruciale rol in de chemische verrijking van het interstellair medium, van bij hun geboorte tot en met hun ontploffing als Type-II supernova.

12.4 De gevolgen van massaverlies op de evolutie In figuur 12.9 tonen we het resultaat van stermodelberekeningen tijdens waterstof en heliumverbranding waarbij rekening werd gehouden met het massaverlies ten gevolge van een stralingsgedreven sterrenwind. Hierbij dient opgemerkt te worden dat verscheidene benaderingen gemaakt worden om zulke evolutiesporen te bepalen. In principe zou men een volledig zelf-consistente integratie van het stelsel differentiaalvergelijkingen (7.1) moeten doorvoeren, waarbij men het behoud van massa vervangt door de vergelijking van behoud van massastroom (12.1) en de bewegingsvergelijking door (12.3) met grad gegeven door (12.12). Echter, vermits de vrije parameter αCAK een niet-geheel getal is, impliceert dit een zeer ernstige mathematische complicatie van het stelsel differentiaalvergelijkingen (tracht maar eens de bewegingsvergelijking apart op te lossen, zelfs met de hulp van Maple of Mathematica is dit een grote uitdaging!). Bovendien moet men dan de randvoorwaarden aanpassen, omdat het hydrostatisch evenwicht niet meer geldig is in een dynamische atmosfeer waar de deeltjes een versnelde beweging ondergaan. Herinner ook dat de energietransportvergelijking in het stelsel (7.1) steunde op de onderstelling van hydrostatisch evenwicht . . . Om deze redenen volgt men een andere weg voor de berekening van de evolutiesporen, net zoals dat tijdens de AGB gebeurt (alleen hebben we hier een veel betere theorie voor de bepaling van M˙ ). Men vermindert simpelweg de massa tijdens elke tijdstap met een bedrag M˙ CAK vermenigvuldigd met de duur van het tijdsinterval, en lost toch het stelsel (7.1) op. Het is duidelijk dat deze werkwijze niet noodzakelijk volledige consistentie oplevert tussen het gebruikte massaverlies en het evolutiestadium waarvoor het model wordt uitgerekend. Bovendien is het sterstructuurmodel dat men zo bekomt in de loop van de tijd erg afhankelijk van de voorgeschiedenis van het massaverlies. Een volledig consistente integratie van het stelsel differentiaalvergelijkingen is niet voorhanden. Sterren met een geboortemassa M > 60 M⊙ ondergaan zulke sterke sterrenwind tijdens hun hoofdreeks en hun waterstofschilverbrandingsfase dat hun gehele waterstofenveloppe wordt weggeblazen. Zij blijven na deze fasen over met een naakte heliumkern, waardoor ze steeds in het blauwe gedeelte van het HR diagram verblijven. < De sterrenwind van sterren met 25 M⊙ < ∼ M ∼ 60 M⊙ is niet fel genoeg om de gehele waterstofenveloppe weg te blazen tijdens de hoofdreeks. Deze sterren worden na de TAMS zeer snel rode superreus. Uiteindelijk blaast de sterrenwind toch de gehele enveloppe weg wanneer ze rode superreus zijn. Wanneer

198

Figuur 12.8: Massaverliezen en terminale windsnelheden voor sterren met effectieve temperatuur 40 000 K en 20 000 K. Gevulde en open symbolen refereren respectievelijk naar windmodellen met (FD) en zonder (CAK) eindige schijf correctie. Een windmodel met αCAK = 0.52 werd beschouwd. Het massaverlies wordt logaritmisch uitgezet t.o.v. de lichtkracht, terwijl v∞ getekend wordt in functie van vesc .

199

Figuur 12.9: Evolutiesporen van zware sterren met initi¨ele samenstelling X = 0.73 en Z = 0.02 waarbij rekening werd gehouden met massaverlies zoals beschreven in de tekst. De sporen aangeduid in volle lijn onderstellen dat het Schwarzschild criterium voor convectie geldt, gebruiken de mixing-length theorie en zijn geldig voor αov = 0.0. Ter vergelijking worden stukjes spoor in streepjeslijn gegeven; deze zijn gebaseerd op een variant van de mixing-length theorie. De gearceerde gebieden duiden de hoofdreeks en de start van de heliumverbranding aan. De eerste dikke stip is het ogenblik waarop de eerste trippel α reactie start, de tweede stip (indien aanwezig) duidt het ogenblik aan waarop koolstofverbranding start.

200

Figuur 12.10: Het bovenste gedeelte van het HR diagram. De dunne lijnen stellen evolutiesporen voor. De oorspronkelijke Humphreys-Davidson limiet is aangeduid door de dikke punt-stip-lijn, terwijl de stippellijn een verfijning ervan voorstelt. Het grijze gebied bevat rode superreuzen, die voor de duidelijkheid van de figuur niet apart getekend werden. de massa van de waterstofrijke enveloppe zeer is afgenomen door massaverlies, kan in deze enveloppe het convectief energietransport niet meer in evenwicht gebeuren. Hierdoor contraheert de buitenste enveloppe totdat hij in radiatief evenwicht is, m.a.w. de straal krimpt. Deze sterren kunnen zodoende nooit rode superreuzen blijven omwille van hun massaverlies en moeten dus terug naar de blauwe kant van het HR diagram. In de praktijk ontbreken rode superreuzen voor L > 5 × 105 L⊙ (of in termen van de absolute bolometrische magnitude: Mbol < −9.5). Deze waargenomen bovenlimiet voor de verdeling van sterren in het HR diagram noemt men de Humphreys-Davidson limiet, genoemd naar de ontdekkers ervan. Deze limiet is een schuine rechte met negatieve helling voor effectieve temperaturen van 50 000 tot 10 000 K en een horizontale voor koelere temperaturen. In figuur 12.10 tonen we het bovenste gedeelte van het HR diagram met de waargenomen Humphreys-Davidson limiet. < Sterren met 15 M⊙ < ∼ M ∼ 25 M⊙ , tenslotte, ondergaan wel massaverlies maar dit blijft zodanig beperkt dat ze nooit hun buitenste waterstofenveloppe kwijtspelen. Hierdoor slagen zij er wel in om over te steken naar het rode deel van het HR diagram en daar hun evolutie verder te zetten, zoals de sterren besproken in de vorige twee hoofdstukken. Zij zullen hun leven wellicht eindigen als neutronenster.

Zoals kan worden vastgesteld in figuur 12.9, verbreedt de hoofdreeks aanzienlijk t.o.v. van deze voor sterren met M < ∼ 15 M⊙ , omdat massaverlies het verblijf op de hoofdreeks verlengt. Vermits het massaverlies de massa van de ster verlaagt, zal ook de lichtkracht erdoor afnemen (massa-lichtkracht relatie). Zware sterren die massaverlies ondergaan, hebben dus een lagere lichtkracht dan sterren die met dezelfde massa geboren worden maar geen sterrenwind zouden hebben. Het massaverlies verlengt dus inderdaad

201

Figuur 12.11: Evolutiesporen voor een ster met initi¨ele massa 30 M⊙ voor verschillende massaverliezen tijdens de hoofdreeksfase. Het massaverlies wordt uitgedrukt als M˙ = N L/c2 . de levensduur op de hoofdreeks. In figuur 12.11 worden beide effecten, lagere lichtkracht en lagere massa, schematisch voorgesteld voor een ster met initi¨ele massa 30 M⊙ . De drie evolutiesporen zijn diegenen waarbij de ster telkens een verschillend massaverlies ondergaat. Dit massaverlies is gecalibreerd in eenheden M˙ = N L/c2 , waarbij N het aantal resonantielijnen in het UV aanduidt die instaan voor de lijnstraling. In de praktijk bedraagt N ≃ 100. De lichtkracht van de ster daalt naarmate het massaverlies stijgt. De massa aan het eind van de hoofdreeksfase en de duur van deze fase zijn eveneens aangeduid. Het effect van een langer durende hoofdreeks wordt nog versterkt wanneer men modellen berekent die wel convectief overschieten rondom de kern hebben. Immers, door het overschieten wordt er meer waterstof in de kern gebracht, waardoor de hoofdreeksfase nog langer duurt. Bovendien start de heliumverbranding bij hogere effectieve temperatuur voor deze sterren (figuur 12.9), omdat we door een minder dikke waterstofenveloppe kijken. Tenslotte komen de sterren met M > ∼ 25 M⊙ ook weer heel snel naar de blauwe kant van het HR diagram. Dit alles impliceert dat er geen analogon is van de Hertzsprung gap voor M > ∼ 15 M⊙ . Waarnemingen bevestigen dat, zoals te zien is in figuur 12.10. Waarnemingen tonen ook aan dat het gedeelte tussen de TAMS en het starten van de heliumverbrandingsfase bevolkt wordt door sterren met een verschillende chemische samenstelling aan hun oppervlak. Dit reflecteert dat hier zowel sterren die naar rechts als naar links bewegen aanwezig zijn. De zware sterren verbranden waterstof via de CNO cyclus en produceren vooral stikstof ten nadele van koolstof wanneer ze de TAMS bereikt hebben. Het massaverlies zorgt er tevens voor dat de buitenste waterstoflagen verdwijnen tijdens de korte rode superreus fase en op die manier komen de producten van de kernreacties aan het steroppervlak, terwijl de sterren terug naar het blauwe gedeelte van het HR diagram bewegen. Dit verklaart het bestaan van blauwe • ON sterren. Dit zijn zware sterren met een zeer hoge stikstofabondantie en een zeer lage koolstof202

abondantie; • WR sterren, die een hoge He abondantie en een zeer lage H abondantie vertonen aan hun oppervlak. De WN sterren hebben een hoge stikstofabondantie door de waterstofverbranding via de CN cyclus terwijl de WC sterren een hoge koolstofabondantie hebben ten gevolge van de trippel α reactie.

12.5 Voorbeeld: de evolutie van een ster met initi¨ele massa 60 M⊙ We tonen de evolutie van een ster met initi¨ele massa 60 M⊙ in figuur 12.12. De bovengrens in het onderste paneel duidt de dalende massa door het massaverlies aan. Tijdens de fase van centrale waterstofverbranding (van A tot C) wordt H in He omgezet via de CN cyclus. Deze fase duurt slechts 3.7 × 106 jaar. Deze fase veroorzaakt een toename in He en 14 N en een afname van H en 12 C in de uitgebreide convectieve kern. Ondertussen daalt de stermassa aanzienlijk door het massaverlies. Dit laatste stijgt van 1.4 × 10−6 M⊙ /jaar op de ZAMS tot 7.0 × 10−6 M⊙ /jaar aan het eind van de hoofdreeksfase. In fase B, wanneer de hoofdreeksfase bijna ten einde is, worden de producten van de waterstofverbranding door de CN-cyclus in de kern naar het oppervlak van de ster getransporteerd door de uitgebreide convectieve zone. De ster bereikt dan de fase waarin de verticale lijnen optreden bij het punt B onderaan in figuur 12.12. Op dat ogenblik nemen de abondanties van N en He toe aan het steroppervlak terwijl de H en C abondanties afnemen: de ster wordt een N-rijke ON ster. Wanneer de waterstofvoorraad helemaal op is in de sterkern, begint de kern te contraheren, waardoor de ster even naar links beweegt in het HR diagram. Deze beweging gaat door tot de temperatuur in het gebied rondom de kern hoog genoeg is om waterstofschilverbranding op gang te brengen. Dit gebeurt in fase C. Op dat ogenblik heeft de ster reeds een 15-tal M⊙ verloren en de verbrandingsschil omgeeft een kern die zowat 30 M⊙ bevat. Door het starten van waterstofverbranding in een schil expanderen de buitenste lagen van de ster en deze begeeft zich naar rechts in het HR diagram. Kort daarna wordt de ster instabiel en wordt een LBV (fasen E → F). Ze leidt erg fel massaverlies, van de orde van 5 × 10−4 M⊙ /jaar. In totaal verliest ze tijdens deze LBV fase, die zowat 10 000 jaar duurt, ongeveer 5 M⊙ . Omwille van het felle massaverlies komen de He-verrijkte lagen tot aan het steroppervlak. De He/H verhouding bedraagt dan ongeveer 0.4 op het oppervlak van de ster. Terwijl de ster bezig is met haar post-hoofdreeksevolutie en rechtse beweging in het HR diagram verliest ze zoveel massa tijdens de LBV fase dat haar expansie wordt stopgezet. Ze bereikt m.a.w. de Humphreys-Davidson limiet, waardoor de enveloppe weer terug samentrekt. De beweging is nu naar links in het HR diagram (na fase E). De ster is nu omgevormd tot een lichtsterke, relatief kleine hete ster met een He-rijke en N-rijke fotosfeer. De ster wordt nu een WR ster van type WN gedurende de fasen F → G. Ze verliest verder haar waterstofenveloppe en put haar energie uit de combinatie van He-verbranding in de kern en van waterstofschilverbranding, zolang er nog voldoende waterstof aanwezig is in de buitenste enveloppe. Het massaverlies tijdens de WR fase blijft aanzienlijk, zo’n 3 × 10−5 M⊙ /jaar. Na ongeveer 4 × 106 jaar (fase G) werden de buitenste lagen zodanig verloren dat de koolstof-rijke lagen aan het steroppervlak verschijnen. Dit C203

Figuur 12.12: Bovenste paneel: het evolutiespoor van een ster met initi¨ele massa 60 M⊙ in het HR diagram. Onderste paneel: de interne sterstructuur als functie van de tijd. De fasen van verschillende spectrale klassen zijn aangeduid. In de gebieden met wolkjes gebeurt het energietransport door convectie. Gebieden met diagonale lijnen duiden aan waar de nucleaire verbranding doorgaat. In gebieden met dunne vertikale lijnen verandert de oorspronkelijke chemische samenstelling aanzienlijk. De tijdsas is opgesplitst in drie gebieden. De hoofdletters in elk van de panelen duiden op specifieke fasen in het leven van de ster die besproken worden in de tekst. 204

rijk materiaal werd gevormd door de trippel-α reactie en wordt door de convectieve bewegingen naar het oppervlak gebracht. De ster wordt nu een WR ster van type WC met een C-rijke en He-rijke enveloppe. Ondertussen blijft de ster contraheren (G → H). De lichtkracht blijft nagenoeg constant totdat ze een straal van ongeveer 0.8 R⊙ en een effectieve temperatuur van zowat 200 000 K bereikt. De waarnemer “ziet” echter deze temperatuur niet omwille van het circumstellair materiaal. Het grote massaverlies zorgt nl. voor een optisch dikke wind. De straling die ontsnapt naar de waarnemer is dan ook afkomstig van de wind, waar een temperatuur heerst van om en bij de 30 000 K. De straal van het gebied waar de wind optisch dik is bedraagt ongeveer 10 R⊙ . Deze straling wordt dus waargenomen van het nabije UV tot het IR. Waargenomen WR sterren hebben dus een veel lagere effectieve temperatuur en een veel grotere straal dan diegenen die volgen uit sterevolutieberekeningen. De optisch dikke wind maakt het schatten van de observationele parameters van de WR sterren erg moeilijk. De fase van centrale He-verbranding (D → H) duurt ongeveer 6 × 105 jaar en wordt gevolgd door een fase van C-verbranding. Deze neemt nog slechts 2 000 jaar in beslag. De volgende fasen van verbranding van alsmaar zwaardere elementen lopen af in minder dan een jaar. De ster zal ontploffen als een supernova van Type-II en er blijft een zwart gat over. Tijdens haar evolutie v´oo´ r de supernova explosie heeft de ster 38 M⊙ van haar materiaal uitgestoten en overgedragen aan het interstellair medium: 29 M⊙ aan waterstof wat gedeeltelijk verrijkt werd met 14 N, 8 M⊙ aan helium en 1 M⊙ aan koolstof en zuurstof. De interactie van dit uitgestoten materiaal met het omringende interstellair medium veroorzaakt vaak een WR (ring)nevel.

12.6 Zwarte gaten Eens een ster met M > ∼ 25 M⊙ haar verschillende verbrandingscycli heeft doorlopen in het blauwe gedeelte van het HR diagram, inclusief de LBV en WR fase, is er geen weg meer terug: de ster zal haar leven weldra be¨eindigen als een supernova. De (nog zeer onzekere) huidige theoretische toestandsfuncties voor neutronensterren leggen een bovenlimiet van om en bij 2 M⊙ op voor de massa van zulke restant. Voor compacte objecten die zwaarder zijn kent men momenteel geen enkel mechanisme dat in staat is om de gravitatiekracht tegen te gaan. Men verwacht dus dat dergelijke objecten ineenstorten tot, wat men noemt, een zwarte gat (zie figuur 10.7). Daar waar neutronensterren reeds extreem waren wat hun dichtheid, rotatie en magneetveld betreft, zijn zwarte gaten d´e ultieme vorm van compactheid waarnaar een zware ster kan evolueren. Per definitie zal de ineenstortende ster niet meer rechtstreeks waar te nemen zijn. Er blijft enkel een sterk gravitatieveld over. De beschrijving van een zwart gat, en zelfs het gehele concept van zulk object, is volledig gebaseerd op de algemene relativiteitstheorie. Dit valt zeker buiten het bestek van dit vak en komt aan bod in het college Relativiteitstheorie. Echter, zelfs eenvoudige argumenten zijn voldoende om af te leiden dat er een bizarre 205

situatie ontstaat wanneer de straal van een ster met gegeven massa zo klein wordt, dat de ontsnappingssnelheid de lichtsnelheid benadert. Deze limietstraal staat bekend als de Schwarzschildstraal en wordt gegeven door M 2GM ≃ 3 km. (12.15) RSch = 2 c M⊙ De klassieke mechanica kan nooit resulteren in een gravitatieveld voor r ≤ RSch waaruit fotonen niet meer kunnen ontsnappen, omdat fotonen massaloos zijn. Maar het concept van de Schwarzschildstraal geeft wel een intu¨ıtieve verklaring voor het “zwart zijn” van een zwart gat. Het is dan ook zeer moeilijk om zwarte gaten te observeren. Een mogelijke manier om dit te doen is door de X-stralen die invallende materie op het zwart gat uitzendt, te detecteren. Een andere, gemakkelijkere methode is door de beweging van een visuele component in een dubbelster, waarvan de andere component een zwart gat is, waar te nemen. Op deze manier kan men het bewijs leveren van het werkelijke bestaan van zwarte gaten. Momenteel zijn er reeds vele zwarte gaten in dubbelsterren gekend. Hiervan is Cygnus X-1 het bekendste en eerst-gevonden voorbeeld. Dit object was de eerste r¨ontgenbron waarvan men het binair karakter kon aantonen. De begeleider is een zware 0-type superreus en voor de huidige schatting van de massa van deze component en de inclinatie van het baanvlak schat men de massa van de onzichtbare compacte ster op 6 M⊙ . Ondertussen zijn er nog vele andere, duidelijkere voorbeelden gevonden van binaire systemen, zogenaamde “X-ray binaries” waarvan de onzichtbare begeleider een massa moet hebben groter dan de bovenlimiet van een neutronenster. Zwarte gaten in binaire systemen worden eveneens besproken in de cursus Binary Stars.

Samenvatting We vatten nu nog even de resultaten die we tot nu toe in dit hoofdstuk beschreven hebben samen. Massaverlies ten gevolge van een stralingsgedreven sterrenwind heeft een aanzienlijk effect op de levensloop van sterren met een geboortemassa boven 15 M⊙ , en daardoor ook op die van melkwegen die zulke sterren bevatten. Dit massaverlies : 1. verandert de chemische samenstelling aan het steroppervlak, 2. verandert fel de levensduur van de ster tijdens bepaalde evolutiefasen, 3. verklaart het voorkomen van circumstellair materiaal rondom zware sterren, 4. verandert aanzienlijk de post-hoofdreeks evolutiesporen in het HR diagram, 5. verklaart het ontbreken van zeer lichtkrachtige rode superreuzen, 6. verklaart het bestaan van LBVs en WR sterren, die de voorlopers zijn van zwarte gaten, 7. en, last but not least, zorgt voor een aanzienlijke verrijking van zware elementen in het interstellair medium, en bepaalt zodoende de chemische evolutie van melkwegstelsels.

206

Figuur 12.13: Massafractie van helium en zwaardere elementen die worden uitgestoten door de stralingsgedreven sterrenwind en tijdens de supernova explosie als functie van de totale stermassa. De fractionele massa die achterblijft in de vorm van een witte dwerg, een neutronenster of een zwart gat is eveneens aangeduid (“remnant”).

12.7 Chemische evolutie van melkwegstelsels 12.7.1

Chemische verrijking door sterevolutie

In figuur 12.13 geven we een schematische representatie van de chemische verrijking van het interstellair midden door het massaverlies van zware sterren. De figuur toont de procentuele massa’s aan helium en zwaardere elementen die worden uitgestoten door de stralingsgedreven sterrenwind en tijdens de supernova explosie van zware sterren. Er werd een opsplitsing gemaakt voor helium, koolstof, zuurstof en elementen van de silicium-ijzer groep. Voor helium merken we een duidelijke toename in belang van de sterrenwind met stijgende massa. Rond 35 M⊙ is de bijdrage van de wind en de explosie ongeveer gelijk. Naarmate de massa stijgt, is de chemische verrijking van helium door de sterrenwind veel belangrijker dan die tijdens

207

de explosie. Deze laatste wordt geheel onbelangrijk voor sterren zwaarder dan 60 M⊙ . De verrijking aan elementen zwaarder dan waterstof en helium door de sterrenwind wordt pas belangrijk voor massa’s boven 50 M⊙ , en wel tijdens hun WC fase. Zelfs voor deze sterren is de verrijking tijdens de supernova explosie veruit dominant over deze ten gevolge van de sterrenwind. Ter vergelijking wordt in figuur 12.13 eveneens de fractionele massa aan helium en koolstof uitgestoten door AGB sterren aangeduid. Evenzeer wordt de fractionele massa van het restant van de ster, ofwel de witte dwerg ofwel de neutronenster of het zwart gat, aangeduid.

12.7.2

Initi¨ele massafunctie

Voortdurende stervorming resulteert in een gestadige afname van de populatie zware sterren. Zulke sterren leven nl. zodanig kort op galactische tijdschaal dat hun relatief aantal bepaald wordt door de fractionele hoeveelheid gas in een melkweg. Dus zelfs indien zware sterren met dezelfde waarschijnlijkheid zouden geboren worden als lichte sterren, dan nog worden ze zeldzamer naarmate de melkweg evolueert. Dit effect versterkt nog omdat we weten dat de waarschijnlijkheid om zware sterren te vormen veel en veel kleiner is dan diegene om lichte sterren te maken. Onderstel dat stervorming onafhankelijk is van de plaats in de melkweg en van de leeftijd ervan. Het aantal sterren dat zich vormt op een gegeven ogenblik en binnen een bepaald volume is dan enkel een functie van de massa. Noteer het aantal sterren dat geboren wordt met massa in het interval [M, M + dM ] als dN = Φ(M ) dM.

(12.16)

Men noemt Φ(M ) de geboortefunctie. Zij werd empirisch geschat op basis van waarnemingen van hoofdreekssterren in de omgeving van de Zon door Salpeter in 1955. Hierbij maakte Salpeter een histogram van de sterren volgens lichtkracht aan de hand van de massa-lichtkracht-relatie en onderstelde hij dat de hoofdreeksduurtijd evenredig was met M/L. Ondertussen zijn de waarnemingen natuurlijk fel verbeterd, alsook de schatting van de duur op de hoofdreeks aan de hand van sterevolutiemodellen. Een aangepaste versie van de Salpeter verdeling luidt: Φ(M ) ∼ M (−2.5±0.3) . (12.17) Men definieert dan de initi¨ele massafunctie (IMF), ξ(M ), als volgt. We stellen de hoeveelheid massa die zich op een gegeven ogenblik en op een gegeven plaats in sterren met massa in het interval [M, M +dM ] bevindt als M dN = ξ(M ) dM. (12.18) Wanneer we dan relaties (12.16), (12.17), en (12.18) combineren, verkrijgen we voor de IMF: ξ(M ) ∼

µ

M M⊙

¶(−1.5±0.3)

.

(12.19)

Voor de omgeving van de Zon vindt men afwijkingen van deze benadering voor lage massa’s. Dat is niet verwonderlijk, omdat het bijzonder moeilijk is om de sterren met de laagste massa’s, inclusief bruine dwergen, te vinden en zodoende is er een vertekening naar hoge massa’s, waardoor de beschrijving van de IMF in 208

termen van e´ e´ n exponent moeilijk is. De verdelingsfunctie (12.19) is en blijft een semi-empirisch resultaat, en er is niet echt een goede sluitende theorie die dit resultaat als uitkomst geeft, wellicht door de complexiteit van het geheel van evolutionaire aspecten die men ervoor in rekening zou moeten brengen. Het verbeteren van de IMF op basis van de theorie van sterevolutie is een gehele onderzoekstak op zich geworden.

12.7.3

Globale verrijking van het Heelal

Wanneer we de chemische verrijking die in figuur 12.13 in termen van de fractionele massa werd uitgezet, wegen volgens de IMF (12.19), geeft dit ons niet alleen de fractionele massa die een generatie sterren teruggeeft aan het interstellair midden en het aantal compacte restanten resulterend uit die generatie (witte dwergen, neutronensterren, zwarte gaten), maar evenzeer de chemische verrijking per generatie. Het is deze verrijking die men vervolgens hanteert in chemische evolutiemodellen van melkwegen. We vinden dan dat de helium verrijking vooral te danken is aan sterren met een massa beneden 30 M⊙ . Alle zwaardere elementen worden geleverd door sterren met M > 30 M⊙ , met uitzondering van koolstof en stikstof. Vermits er veel meer lichte dan zware sterren zijn, wordt het grootste gedeelte van de koolstofproductie in het Heelal geleverd door de AGB sterren. Dit scenario impliceert dat latere generaties van sterren telkens geboren zullen worden met hogere metalliciteit Z. De overheersers van deze gehele galactische evolutie zijn de compacte restanten, alsook de bruine dwergen en de lage-massa hoofdreekssterren die nog niet genoeg tijd hebben gehad sinds de Big Bang om van de hoofdreeks weg te evolueren. Aan het eind van de galactische evolutie, wanneer al het beschikbare gas zal opgesloten zitten in deze overheersers, stopt de stervorming volledig. Op galactische schaal kunnen we dus de evolutieprocessen als volgt samenvatten: 1. de hoeveelheid beschikbaar gas daalt voortdurend. Het aantal gas- en stofwolken vermindert dus gestaag; 2. de lichtkracht van een melkweg, geleverd door de lichtkrachten van de individuele sterren, neemt af, omdat het relatief aantal zware sterren sterk daalt ten voordele van het aantal compacte restanten en lage massa sterren; 3. de melkweg wordt alsmaar metaalrijker. De chemische verrijking gebeurt vooral in het vroege leven van de melkweg, i.e. de verrijkingsgraad daalt aanzienlijk met de tijd. Neem als voorbeeld de Zon. Haar leeftijd is ongeveer 1/3 van de leeftijd van onze Melkweg en haar metalliciteit Z bedraagt ongeveer 0.012. De metalliciteit van de jongste sterren in de melkweg is 0.04, terwijl die van de oudste sterren zo’n 0.0003 bedraagt. Dit betekent dus dat Z een factor ∼ 70 is toegenomen tijdens de eerste 2/3 van het leven van de melkweg, en nadien nog slechts een factor 3. Het is nu duidelijk dat de opsplitsing van de sterren in twee populaties, zoals aangehaald in het eerste hoofdstuk, te simpel is. Deze opdeling is historisch gegroeid, vooral op basis van de positie van sterren in en rond het melkwegvlak. In de praktijk kan men de sterren niet in een discrete verdeling van populaties indelen, maar hebben we een continue variatie in Z. Zo zijn er oude populatie I sterren die zich vormden 209

tussen populaties I en II en zo zijn er tevens extreme populatie II sterren wiens metalliciteit nog lager is dan de gemiddelde populatie II ster omdat ze ontstaan zijn tijdens het allerprilste begin van de melkweg. Deze laatsten noemt men soms Populatie III sterren. In ieder geval komen we tot het besluit dat de massafractie aan zware elementen zelfs in de jongste sterren slechts zeer klein is. De absolute massa aan zware elementen waarmee een ster heden ten dage geboren wordt, echter, is aanzienlijk als we dat met de massa’s van de planeten rondom sterren vergelijken. Voor de Zon, bijvoorbeeld, vinden we dat haar massa aan zware elementen veruit diegene overschrijdt van alle planeten van ons zonnestelsel. Alleen de gasplaneten bevatten nog een gedeelte primordiaal gas, maar alle andere lichamen in het zonnestelsel bestaan uit zware elementen die reeds aanwezig waren in de protosolaire stofwolk waaruit de Zon ontstaan is. De bron van deze zware elementen is nucleosynthese. We moeten dus vaststellen dat de meeste atomen in ons lichaam eens tot een ster behoord hebben en dat de meesten onder hen ooit een dramatische explosie hebben meegemaakt.

210

Bijlage A

De stralingswetten van Planck Het grootste deel van de electromagnetische straling die voorkomt in het Heelal is van thermische oorsprong. Elke bron met temperatuur T vertoont een karakteristiek spectrum waarvan de intensiteit Bν (T ) en de energiedichtheid uν (T ) in goede benadering geschreven kunnen worden als functie van de stralingswet van Planck: ν3 8πh 4π Bν (T )dν = 3 dν. (A.1) uν (T )dν = c c exp (hν/kT ) − 1 Hierbij staat k voor de constante van Boltzmann (zie Bijlage C). De afleiding van deze wet komt aan bod in het collega Natuurkunde III en laten we hier achterwege. Een object dat straalt volgens de wet (A.1) noemt men een zwarte straler. Men kan de wet van Planck evenzeer als functie van de golflengte schrijven, wat praktischer is om met waarnemingen van sterren te vergelijken: Bλ (T )dλ =

1 2hc2 dλ. 5 λ exp (hc/λkT ) − 1

(A.2)

In Figuur A.1 tonen we Bλ (T ) voor verschillende temperaturen. Het is duidelijk dat de intensiteit naar nul streeft in de limiet van hele kleine en hele grote golflengte. De effectieve temperaturen van de sterren ligt ruwweg tussen 3 000 K en 30 000 K zodat zij stralen in het zogenaamde optisch venster van de electromagnetische straling. Bemerk ook hoe sterk de intensiteit verandert bij blauwe golflengten voor temperaturen die relevant zijn voor sterren. De krommen in Figuur A.1 bereiken een maximum waarvan de positie afhangt van de temperatuur: λmax T = 2898µm K.

(A.3)

Men noemt dit de verplaatsingswet van Wien. De temperatuur aan de buitenkant van de zon bedraagt nagenoeg 5 800 K. Zodoende is de intensiteit van de zonnestraling maximaal rond 500 nm. Planeten en warm stof hebben temperaturen ruwweg rond 290 K, en stralen daarom maximaal in het infrarood, om en 211

Figuur A.1: Zwarte lichaamstraling voor verschillende temperatuur. Bovenste paneel: T varieert van 5000 K (laagste curve) tot 9000 K (bovenste curve) in stappen van 1000 K; onderste paneel: T varieert van 9000 K (laagste curve) tot 25000 K (bovenste curve) in stappen van 4000 K.

212

bij 10 µm. Koude modeculaire wolken met een temperatuur van 10 K stralen in het verre infrarood tot het mm gebied. De totale energiedichtheid, ge¨ıntegreerd over alle frequenties, wordt gegeven door u(T ) =

Z

0

∞

uν (T )dν = aT 4 ,

(A.4)

met a de stralingsconstante (zie Bijlage C). Hieruit besluiten we dat de energie van thermische straling zeer sterk afhankelijk is van de temperatuur van het object dat de straling uitzendt. De energieflux per eenheid van oppervlak van een zwarte straler wordt gegeven door de Wet van Stefan-Boltzmann: B(T ) = σT 4

(A.5)

met σ de constante van Stefan-Boltzmann (zie Bijlage C). De wet van Planck is doorgaans een goede eerste benadering voor de beschrijving van de stralingsintensiteit van sterren. Echter, de straling die we van sterren ontvangen is niet afkomstig van e´ e´ n enkele laag in de steratmosfeer, dus kan ze niet gekenmerkt worden door e´ e´ n unieke temperatuur. Bovendien treden in de intensiteitsspectra van sterren absorptie- en soms ook emissielijnen op. Deze kunnen dankzij de kwamtumfysica ge¨ınterpreteerd worden in termen van overgangen in atoomkernen (voor de γ- en X-stralen), in elektronenschillen (voor UV, visuele en infrarode golflengten) en in moleculen (infrarode en mm golflengten). Een gedetailleerde analyse van het sterspectrum laat dan ook toe om de fysische toestand en chemische samenstelling in de buitenste lagen van de ster te interpreteren.

213

214

Bijlage B

Energietransport door convectie We nemen hier de draad weer op bij Sectie 5.4 en gaan nu wat dieper in op de afleiding die het convectief energietransport beschrijft. Even herhalen dat we veronderstelden dat het convectief element zich radiaal beweegt over een afstand ℓm met een snelheid v en vervolgens terechtkomt in een omgeving waartegenover het een temperatuursexces DT heeft. Het lost daar op en geeft zijn surplus aan inwendige energie af. Vermits we onderstellen dat het element in drukevenwicht blijft: DP = 0, bedraagt de afgegeven warmte cP DT . De lokale convectieve energieflux corresponderend met deze warmte-afgave bedraagt fcon = ρvcP DT . Voor alle elementen veronderstellen we dat hun beweging begonnen is als slechts een zeer kleine storing. Dan kunnen we de initi¨ele waarden DT0 en v0 gelijk aan nul nemen. Omwille van verschillen in de temperatuursgradi¨ent en in de stuwkracht van Archimedes zullen DT en v veranderen als het element stijgt of zinkt. Dit zal gebeuren totdat het element, na het afleggen van een afstand ℓm (de “mixing length”), oplost in zijn nieuwe omgeving en daarbij zijn identiteit verliest. De elementen die op een gegeven ogenblik binnentreden in een concentrische sfeer met straal r hebben een verschillende v en DT , vermits ze hun beweging vanop een andere afstand, gelegen tussen 0 en ℓm , gestart zijn. We onderstellen daarom dat het “gemiddelde” element een afstand ℓm /2 afgelegd heeft wanneer het de concentrische sfeer binnendringt. We hebben dan DT 1 ∂(DT ) ℓm ℓm 1 = = (∇ − ∇e ) . (B.1) T T ∂r 2 2 HP Het dichtheidsverschil is omwille van de onderstelling DP = 0 en Dµ = 0 eenvoudigweg Dρ/ρ = −δDT /T en de stuwkracht van Archimedes bedraagt kr = −g(Dρ/ρ). We veronderstellen dat de helft van deze waarde ingewerkt heeft op het element wanneer dit zijn voorgaande beweging over een afstand ℓm /2 uitvoerde. De geleverde arbeid bedraagt dan: ℓ2 1 ℓm kr = gδ(∇ − ∇e ) m . 2 2 8HP

(B.2)

We veronderstellen vervolgens dat de helft van deze arbeid omgezet wordt naar kinetische energie van het element (v 2 /2 per eenheidsmassa) en dat de andere helft getransfereerd wordt naar de elementen in de omgeving die “opzij geduwd werden”. We bekomen zo de gemiddelde snelheid v van de elementen die 215

doorheen de sfeer passeren: v 2 = gδ(∇ − ∇e )

ℓ2m . 8HP

(B.3)

Wanneer we dit resultaat en (B.1) invullen in de uitdrukking voor de gemiddelde convectieve flux bekomen we p ℓ2m −3/2 H (∇ − ∇e )3/2 ρ. (B.4) fcon = cP T gδ √ 4 2 P We dienen nu nog een uitdrukking te bepalen voor ∇ − ∇e .

We beschouwen de temperatuursvariatie Te binnenin het element met diameter d, oppervlak S en volume V wanneer het met snelheid v beweegt. Deze temperatuursvariatie heeft twee mogelijke oorzaken: adiabatische compressie of expansie enerzijds en uitwisseling van warmte door straling met de omgeving anderzijds. Eerst leiden we het totale energieverlies λ per tijdseenheid van een bel af. We beschouwen een massaelement met een exces aan temperatuur DT > 0, waardoor het element straalt in zijn nieuwe omgeving. Naast de radiale energieflux f~, welke energie vervoert van het stercentrum naar het steroppervlak, zal er een lokale niet-radiale flux f~ optreden die het teveel aan energie van het element aan zijn omgeving afgeeft. Volgens (5.12) en (5.13) is ¯ ¯ 4acT 3 ¯¯ ∂T ¯¯ ~ f = |f | = , (B.5) 3κρ ¯ ∂n ¯ waarbij ∂/∂n de betekenis heeft van een differentiatie loodrecht op de wand van de bel. Veronderstel nu dat het element een sferische bel is met diameter d. We stellen dan 2DT ∂T ≈ . ∂n d

(B.6)

Het radiatief fluxverlies λ per tijdseenheid en per eenheid van massa doorheen het oppervlak S van de bel is dan 8acT 3 S λ = Sf = DT . (B.7) 3κρ d De grootheid λ is een soort “lichtkracht” van de bel die de verandering van de thermische energie ervan weergeeft. Het energieverlies λ per tijdseenheid resulteert in een temperatuursdaling omdat warmte wordt doorgegeven aan de omgeving door straling. Deze temperatuursdaling wordt bij drukevenwicht gegeven door λ/ρV cP v. De totale temperatuursvariatie per eenheidslengte ten gevolge van de twee effecten, nl. adiabatische compressie of expansie en uitwisseling van warmte door straling met de omgeving, is dan µ

dT dr

¶

= e

µ

dT dr

¶

ad

−

λ . ρV cP v

(B.8)

Wanneer we dit vermenigvuldigen met HP /T bekomen we ∇e − ∇ad = 216

λHP , ρV cP vT

(B.9)

waarin we λ nu kunnen vervangen door (B.7) met een gemiddelde voor DT gegeven in (B.1). De resulterende vergelijking heeft dan een voorfactor ℓm S/V d, welke we gelijk nemen aan 6/ℓm (de waarde voor een sfeer met diameter ℓm ). We bekomen zo tenslotte volgend resultaat ∇e − ∇ad 8acT 3 1 ≡ = . Γ ∇ − ∇e ℓm vκρ2 cP

(B.10)

Afgezien van een ontbrekende waarde van ℓm hebben we vijf vergelijkingen bekomen, nl. (5.42), (5.43), (B.3), (B.4) en (B.10), voor vijf onbekenden frad , fcon , v, ∇e en ∇, waarbij de lokale grootheden P , T , ρ, l, m, cP , ∇ad , ∇rad en g gekend zijn. Men kan tonen dat deze vijf vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot e´ e´ n derdegraadsvergelijking met als onbekende een ingewikkelde combinatie van alle onbekenden. We laten hier de bespreking van de volledige oplossingsruimte van het probleem buiten beschouwing. Eerder hebben we willen tonen hoe moeilijk het is om convectief transport nauwkeurig in rekening te brengen en dat de huidige theorie gebaseerd is op vele onderstellingen, waarvan de ene al aannemelijker is dan de andere. We beperken ons hier tot het bespreken van enkele belangrijke relevante limietgevallen: • Γ → ∞: men kan tonen dat dit geval impliceert dat ∇e → ∇ad en ∇ → ∇ad . Een verwaarloosbaar exces van ∇ t.o.v. de adiabatische waarde is blijkbaar voldoende om de totale lichtkracht te transporteren. Dit limietgeval treedt op in de gebieden nabij de sterkern van massieve sterren waar de dichtheid zeer groot is en in de lagen van de fotosfeer van lichte sterren waarin de opaciteit zeer groot is. In dit geval hoeven we dus de vergelijking van de mixing length theorie niet op te lossen vermits ∇ ≈ ∇ad een goede benadering is (zie figuur 5.2 voor de zon). Zodoende zijn we voor dit gebied ook niet het slachtoffer van de onzekerheden en beperkingen van deze theorie. • Γ → 0: dit limietgeval komt overeen met de eis dat ∇ → ∇rad . Dit betekent dat convectief transport ineffici¨ent is en absoluut geen aanzienlijke fractie van de lichtkracht kan vervoeren. We vinden in dit geval F → Frad en opnieuw is ∇ gekend zonder te moeten beroep doen op de mixing length theorie. Dit limietgeval treedt op in de fotosfeer van massieve sterren en in de sterkern van lichte sterren (zie figuur 5.2). De situatie is veel gecompliceerder wanneer we ons tussen deze twee limietgevallen bevinden. De vergelijkingen van de mixing length theorie moeten dan effectief opgelost worden en zullen een ∇ opleveren met een waarde ∇ad < ∇ < ∇rad . Men zegt dat de convectie dan superadiabatisch is.

217

218

Bijlage C

Waarden van fysische en astronomische constanten In de sterrenkunde worden alle grootheden meestal nog steeds uitgedrukt in cgs eenheden. Echter, studenten zijn (terecht !) meer vertrouwd met het SI stelsel. Ik laat aan eenieder de keuze in het gebruik van de eenheden en heb ze zelf gemengd gebruikt in dit vak. Hieronder volgen enkele waarden van fysische en astronomische constanten en andere veel gebruikte grootheden in zowel het cgs als het SI stelsel. We geven tevens nog enkele omzettingsformules naar andere eenheden.

Fysische constanten : Constante

Symbool cgs eenheden

Lichtsnelheid c= Gravitatie G= Atomic Mass Unit mu = Massa elektron me = Massa proton mp = Massa neutron mn = Lading elektron e= Planck h = 2πh = Boltzmann k= Gas R= Straling a= Stefan-Boltzmann σ=

SI eenheden 1010

s−1

2.99792458 × cm −8 3 6.67259 × 10 cm g−1 s−2 1.6605402 ×10−24 g 9.1093897 ×10−28 g 1.6726231 ×10−24 g 1.6749286 × 10−24 g 1.60217733 ×10−20 c esu 6.6260755 ×10−27 erg s 1.380658 ×10−16 erg K−1 8.314510 ×107 erg K−1 mol−1 7.5646 ×10−15 erg cm−3 K−4 5.67051 ×10−5 erg cm−2 s−1 K−4

219

2.99792458 × 108 m s−1 6.67259 × 10−11 m3 kg−1 s−2 1.6605402 ×10−27 kg 9.1093897 ×10−31 kg 1.6726231 ×10−27 kg 1.6749286 × 10−27 kg 1.60217733 ×10−19 Coulomb 6.6260755 ×10−34 J s 1.380658 ×10−23 J K−1 8.314510 J K−1 mol−1 7.5646 ×10−16 J m−3 K−4 5.67051 ×10−8 J m−2 s−1 K−4

Astronomische constanten :

Constante Straal Zon Massa Zon Lichtkracht Zon Astronomische eenheid Parsec Lichtjaar

Symbool cgs eenheden R⊙ = M⊙ = L⊙ = AE = pc = lj =

×1010

6.9598 cm 33 1.9891 ×10 g 3.8515 ×1033 erg s−1 1.49598 × 1013 cm 3.08568 × 1018 cm 9.463 × 1017 cm

SI eenheden 6.9598 ×108 m 1.9891 ×1030 kg 3.8515 ×1026 J s−1 1.49598 × 1011 m 3.08568 × 1016 m 9.463 × 1015 m

Omzettingen : ˚ ˚ = Van Angstr¨ om naar cm : 1A Van Newton naar dyne : 1N= Van Joule naar erg : 1J= Van elektronvolt naar erg : 1 eV = −2 Van atmosfeer naar dyne cm : 1 atm =

10−8 cm 105 dyne 107 erg 1.60217733 × 10−12 erg 1.01325 × 106 dyne cm−2

220

Bijlage D

Wetenschappelijke bronnen voor dit vakgebied De collegenota’s voor dit vak zijn gebaseerd op de volgende standaardwerken, waaruit ook de vele illustraties genomen werden: Chiosi, C., Maeder, A., 1986, “The Evolution of Massive Stars with Mass Loss”, Annual Review of Astronomy & Astrophyscis, Volume 24, p.329 Cox, J.P., Guili, R.T., 1968, “Principles of Stellar Structure”, Volume I & II, Gordon & Breech, New York Hansen, C.J., Kawaler, S.D., Trimble, V., 2004, “Stellar Interiors: Physical Principles, Structure, and Evolution”, Second Edition, Springer-Verlag Iben, I. Jr., 1967, “Stellar Evolution Within and off the Main Sequence”, Annual Review of Astronomy & Astrophyscis, Volume 5, p.571 Kippenhahn, R., Weigert, A., 1994, “Stellar Structure and Evolution”, Springer-Verlag Lamers, H.J.G.L.M, Cassinelli, J.P., 1999, “Introduction to Stellar Winds”, Cambridge University Press Prialnik, D., 2000, “An Introduction to the Theory of Stellar Structure and Evolution”, Cambridge University Press Tassoul, J.-L., Tassoul, M., 2004, “A concise history of solar and stellar physics”, Princeton University Press Weiss, A., Hillebrandt, W., Thomas, H.-C., Ritter, H., 2004, “Cox & Giuli’s principles of stellar structure: Extended Second Edition”, Cambridge Scientific Publishers

221

222