STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, BRNO, KOUNICOVA 16 PRO 3. ROČNÍK OBORU SLABOPROUDÁ ELEKTROTECHNIKA 1. ČÁST

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, BRNO, KOUNICOVA 16

AUTOMATIZACE PRO 3. ROČNÍK OBORU SLABOPROUDÁ ELEKTROTECHNIKA

1. ČÁST

ZPRACOVALA ING. MIROSLAVA ODSTRČILÍKOVÁ BRNO 2003

OBSAH

1. ÚVOD ......................................................................................................................... 4 1.1. KYBERNETIKA .........................................................................................................................4 1.1.1. Rozdělení kybernetiky..................................................................................................................4

1.2. SYSTÉMY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ............................................................................................5 1.2.1. Základní pojmy teorie systémů ....................................................................................................5 1.2.2. Třídění systémů ...........................................................................................................................6

1.3. ZÁKLADNÍ POJMY .....................................................................................................................7 1.3.1. Systémy pro ovládání .................................................................................................................7 1.3.2. Systémy automatické regulace ....................................................................................................8

2. STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI SYSTÉMŮ ......................................................... 11 2.1. STATICKÉ VLASTNOSTI .......................................................................................................... 11 2.2. DYNAMICKÉ VLASTNOSTI....................................................................................................... 12 2.2.1. Popis systému lineární diferenciální rovnicí ...............................................................................13 2.2.2. Přenos .......................................................................................................................................14 2.2.3. Operátorový přenos ...................................................................................................................14 2.2.4. Frekvenční přenos .....................................................................................................................14 2.2.5. Přechodová charakteristika........................................................................................................15 2.2.6. Impulsní charakteristika .............................................................................................................16 2.2.7. Frekvenční charakteristika .........................................................................................................16

3. ZÁKLADNÍ TYPOVÉ ČLENY ......................................................................................... 18 3.1. STATICKÉ SYSTÉMY .............................................................................................................. 18 3.1.1. Statický člen nultého řádu (článek proporcionální).....................................................................18 3.1.2. Statický člen 1. řádu (článek setrvačný).....................................................................................20 3.1.3. Statický člen 2. řádu (článek kmitavý)........................................................................................22

3.2. ASTATICKÉ (INTEGRAČNÍ) ČLENY ........................................................................................... 28 3.2.1. Astatický člen 1.řádu (ideální integrační článek) ........................................................................28 3.2.2. Astatický člen 2. řádu (reálný integrační článek)........................................................................30

3.3. DERIVAČNÍ SYSTÉMY ............................................................................................................ 32 3.3.1. Derivační člen 1. řádu (ideální derivační člen) ..........................................................................32 3.3.2. Derivační člen 1. řádu se setrvačností (reálný derivační člen) ...................................................34

3.4. ČLEN S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM ............................................................................................ 36

4. BLOKOVÁ ALGEBRA.................................................................................................. 38 4.1. SÉRIOVÉ SPOJENÍ................................................................................................................. 39 4.2. PARALELNÍ SPOJENÍ.............................................................................................................. 39 4.3. ZPĚTNOVAZEBNÍ (ANTIPARALELNÍ) SPOJENÍ ........................................................................... 40 4.4. ŘEŠENÍ PŘEKŘÍŽENÝCH VAZEB .............................................................................................. 41 4.4.1. Pravidlo na přemístění místa rozvětvení....................................................................................41 4.4.2. Pravidlo na přemístění místa sumace........................................................................................41

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 2 --------------

4.4.3. Komutativní a asociativní pravidlo..............................................................................................42 4.4.4. Příklad č. 1.................................................................................................................................42 4.4.5. Příklad č. 2.................................................................................................................................43 4.4.6. Příklad č. 3.................................................................................................................................43 4.4.7. Příklad č. 4.................................................................................................................................44

5. HLAVNÍ DRUHY PŘENOSŮ V REGULAČNÍM OBVODU ..................................................... 45 5.1. PŘENOS OTEVŘENÉHO OBVODU FO ........................................................................................ 45 5.2. PŘENOSY UZAVŘENÉ SMYČKY ............................................................................................... 46 5.2.1. Přenos řízení .............................................................................................................................46 5.2.2. Přenos odchylky.........................................................................................................................46 5.2.3. Přenos poruchy..........................................................................................................................46

6. REGULÁTORY ........................................................................................................... 47 6.1. LINEÁRNÍ ANALOGOVÉ REGULÁTORY ...................................................................................... 48 6.1.1. Proporcionální regulátor.............................................................................................................48 6.1.2. Integrační regulátor....................................................................................................................49 6.1.3. Derivační regulátor.....................................................................................................................50 6.1.4. Proporcionálně integrační regulátor ...........................................................................................51 6.1.5. Proporcionálně derivační regulátor ............................................................................................54 6.1.6. Proporcionálně integračně derivační regulátor...........................................................................56

6.2. REALIZACE REGULÁTORŮ...................................................................................................... 58 6.2.1. Regulátory pasivní .....................................................................................................................59 6.2.2. Regulátory aktivní ......................................................................................................................63

6.3. ZPĚTNOVAZEBNÍ REGULÁTORY .............................................................................................. 67

7. REGULOVANÉ SOUSTAVY .......................................................................................... 69 7.1. STATICKÉ REGULOVANÉ SOUSTAVY ....................................................................................... 70 7.1.1. Bezkapacitní statické RS ...........................................................................................................70 7.1.2. Jednokapacitní statické RS........................................................................................................71 7.1.3. Dvoukapacitní statické RS .........................................................................................................71 7.1.4. Vícekapacitní statické RS ..........................................................................................................71

7.2. ASTATICKÉ REGULOVANÉ SOUSTAVY ..................................................................................... 72 7.2.1. Jednokapacitní astatické RS......................................................................................................72 7.2.2. Dvoukapacitní astatické RS .......................................................................................................73

7.3. REGULOVANÉ SOUSTAVY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM ............................................................... 73 7.3.1. Statické soustavy s dopravním zpožděním................................................................................74 7.3.2. Astatické soustavy s dopravním zpožděním ..............................................................................74

7.4. IDENTIFIKACE REGULOVANÝCH SOUSTAV ............................................................................... 74 7.4.1. Metoda frekvenčních charakteristik............................................................................................75 7.4.2. Metoda přechodové charakteristiky ...........................................................................................77 7.4.3. Identifikace pomocí modelu .......................................................................................................79

POUŽITÁ LITERATURA ...................................................................................... 78

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 3 --------------

1.

ÚVOD Automatizace představuje významný prostředek pro zvýšení produktivity,

jakosti a konkurenční schopnosti výroby a služeb. Slovo automat je řeckého původu - autómatos - sám o sobě jednající. Velký přínos pro automatizaci znamenaly samostatné číslicové počítače a dále

nástup

mikroprocesorů

počátkem

80.

let.

Současná

nízká

cena

automatizačních prvků a prostředků dovoluje využít automatizace nejen v průmyslu, ale i v domácnostech (CD přehrávače, pračky, myčky nádobí apod.).

1.1. KYBERNETIKA Kybernetika je moderní věda, založená v roce 1948 americkým matematikem Norbertem

Wienerem

ve

spolupráci

s

mexickým

neurofyzikem

Arturem

Rosenbluethem. Název kybernetika pochází z řeckého kybernetés - kormidelník. Společně s dalšími spolupracovníky na základě analýzy pochodů v různých odvětvích vědy přišli na myšlenku analogie v činnosti strojů a živých organismů a uvědomělé činnosti člověka. Kybernetika jako obecná věda zavedla nový systémový přístup k problémům v mnoha speciálních oborech, jejichž předmětem studia jsou stroje, živé organismy a společnost, tj. takové objekty, ve kterých dochází k výměně informací, řízení a sdělování. Pro kybernetiku jsou charakteristická tři základní hlediska, z kterých nazírá na problémy a z kterých dané problémy řeší. Jsou to: hledisko systémové, hledisko informační a hledisko řízení. 1.1.1. ROZDĚLENÍ KYBERNETIKY V průběhu vývoje kybernetiky vznikla různá její odvětví. Teoretická kybernetika, která vytváří společný teoretický základ celé kybernetice. Zabývá se matematickým popisem chování systémů a procesy řízení. Patří sem matematická teorie systémů, teorie informací, matematická logika, teorie stochastického rozhodování, teorie her, teorie algoritmů, programování. Podle toho, na které oblasti se kybernetika zaměřuje, dělíme ji takto: Technická

kybernetika

-

řeší

otázky

řízení

strojů

a

mechanismů,

technologických procesů. Zahrnuje prostředky automatického řízení, prostředky na zpracování informací v technických soustavách.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 4 --------------

Biologická kybernetika - biokybernetika - se zabývá strukturou i chováním biologických regulací a přenosem informací v živých organismech (např. objasnění principů mozkové činnosti). Sociální kybernetika se zabývá řídícími a informačními procesy ve společnosti. Do této skupiny lze zařadit např. kybernetiku v ekonomii. Poznatky a výsledky jednotlivých kybernetických disciplín jsou využívány v ostatních disciplínách, ovlivňují rozvoj celé kybernetiky jako vědního oboru. Tyto vztahy jsou znázorněny na obrázku.

V kybernetice se vyskytuje další podskupina, aplikovaná kybernetika, která využívá výsledků obecné kybernetiky (teoreticky všech čtyř disciplín kybernetiky) v různých oborech, podle nichž se nazývá například lékařská kybernetika, pedagogická

kybernetika,

ekonomická

kybernetika,

organizační

kybernetika,

kybernetika ve vojenství apod.

1.2. SYSTÉMY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 1.2.1. ZÁKLADNÍ POJMY TEORIE SYSTÉMŮ Definice systému: Systém je soubor prvků, mezi nimiž existují funkční vztahy a který má jako celek vztah ke svému okolí. Systém v tomto pojetí je stroj složený ze součástek a částí, živý organismus, který sestává z jednotlivých orgánů, podnik, ve kterém se spojuje množství technologických procesů, strojů a zařízení, pracovních kolektivů apod. Systém neexistuje izolovaně, ale má určité vazby s prostředím, je ve vzájemném působení s tímto prostředím.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 5 --------------

1.2.2. TŘÍDĚNÍ SYSTÉMŮ Systémy můžeme klasifikovat a třídit podle různých kritérií a hledisek. Podle způsobu vzniku systému rozlišujeme systémy přirozené

a systémy umělé.

Systémy, vytvořené prací člověka jsou systémy umělé. Podle způsobu, jakým se projevuje hmota v charakteristice systému, lze hmotné systémy dělit na mechanické, hydraulické, elektrické, pneumatické, optické, biologické a jiné. Systém, který realizuje automatické řízení, je jeden z možných systémů vytvořených člověkem a nazývá se systém automatického řízení. Patří do kybernetických systémů. Podle toho, zda se veličiny mění v závislosti na čase spojitě anebo náhle nespojitě, rozlišujeme systémy automatického řízení spojité a nespojité. Stále většího významu nabývají diskrétní systémy. V diskrétních systémech se mění veličiny nespojitě tak, že nabývají určitých nenulových hodnot jen v určitých časových okamžicích. U statických

systémů (bez paměti) závisí okamžitá hodnota výstupních

veličin pouze na okamžitých hodnotách vstupních veličin. Jestliže kromě toho závisí okamžitá hodnota výstupních veličin též na hodnotách, kterých vstupní veličiny nabývaly v předcházejícím čase, pak systémy nazýváme dynamické (s pamětí). Příkladem statického systému může být odporový dělič (při zanedbání jeho parazitních kapacit a indukčností) nebo kombinační logický obvod. Příkladů dynamických systémů je mnoho, např. setrvačný článek a sekvenční logický obvod. Převážná část systémů je dynamická. Matematicky můžeme spojitý statický systém popsat algebraickou rovnicí nebo soustavou algebraických rovnic. Dynamický spojitý systém můžeme popsat buď diferenciální rovnicí nebo soustavou diferenciálních rovnic. Podle složitosti rozlišujeme systémy jednorozměrné (jednoparametrové) a vícerozměrné (víceparametrové). Jednorozměrné systémy mají pouze jednu vstupní veličinu a jednu výstupní veličinu. Hodnota výstupní veličiny bude záviset pouze na hodnotě vstupní veličiny a parametrech systému. Mnohoparametrové systémy jsou takové, kde počet vstupních a také i výstupních veličin je větší než jedna. U těchto systémů hodnota výstupních veličin je zpravidla závislá na hodnotách všech vstupních veličin a parametrech systému.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 6 --------------

Dalším kritériem třídění je statická charakteristika systému, což je závislost hodnoty výstupní

veličiny na hodnotě vstupní veličiny měřené v ustáleném stavu.

Podle průběhu této charakteristiky dělíme systémy na lineární a nelineární. U lineárních systémů lze použít Laplaceovy transformace. Jestliže parametry systému nezávisí na čase, pak nazýváme systémy stacionární, v případě že parametry systému jsou funkcemi času, pak systémy nazýváme nestacionární.

1.3. ZÁKLADNÍ POJMY Dnešní období rozvoje vědy a techniky je charakterizováno automatizací. Automatizace je proces, při němž je řídící funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. K zabezpečení automatizace je především nutno zvládnout problém řízení daného technologického procesu. Řízení je definováno jako cílevědomá činnost, při níž se hodnotí a zpracovávají informace o řízeném procesu nebo objektu a podle nich se ovládají příslušná zařízení tak, aby se dosáhlo určitého předepsaného cíle. V zásadě může být ruční nebo automatické. Řízení dělíme na ovládání a regulaci. Ovládání je řízení bez zpětné kontroly bez zpětné vazby. Regulace je řízení se zpětnou vazbou. Umožňuje udržování zvolené fyzikální veličiny na předem určené hodnotě. Systémy automatického řízení můžeme tedy rozdělit na systémy pro ovládání a systémy automatické regulace.

1.3.1. SYSTÉMY PRO

OVLÁDÁNÍ

Ovládání je řízení bez zpětné vazby. Je to nejjednodušší způsob řízení. Signál se v ovládacím obvodě pohybuje pouze jedním směrem, od vstupu k výstupu.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 7 --------------

Vlivem působení poruchových veličin se ovládaná veličina mění, takže přesnost řízení je malá. Struktura ovládacího obvodu:

Signalizace

O1

O2 x - ovládaná veličina

LO

AČ

OS

B1

B2

O1,O2,...On

zdroje ovládacích signálů, tj. vnější signály, které určují cíl ovládání.

B1,B2,...Bn

zdroje blokovacích signálů, tj. vnitřní signály, které určují, za jakých podmínek lze předepsaného stavu výstupu dosáhnout.

LO logický obvod - zařízení uskutečňující logické funkce. Jeho realizace může být kontaktní (relé) nebo bezkontaktní (IO). AČ akční člen - ovládá přítok energie do ovládané soustavy. OS ovládaná soustava - zařízení, jehož některá veličina je řízena. Signalizace - umožňuje kontrolu správné činnosti ovládaného zařízení. Podle účelu dělíme signalizaci na provozní a poruchovou. Podle provedení rozlišujeme optickou (světelnou) a akustickou signalizaci. 1.3.2. SYSTÉMY AUTOMATICKÉ REGULACE Regulační obvod = zpětnovazební řídící obvod. Regulace umožňuje nastavování regulované veličiny na libovolnou úroveň a současně udržování této veličiny na požadované úrovni bez ohledu na působení poruchových veličin.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 8 --------------

Potlačování vlivu poruchových veličin je zajištěno zpětnou vazbou. Zpětná vazba neustále kontroluje hodnotu regulované veličiny (např. vhodným snímačem). Kontrola umožňuje opravy velikosti regulované veličiny tak, aby se vždy rovnala požadované hodnotě. To vede k dosažení velké přesnosti řízení. Struktura regulačního obvodu

Energie

poruchy

Řídící člen

w

e

Ústřední člen

Akční člen

y

Regulovaná soustava

x - regulovaná velièina

x'

ZV člen

Řídící člen - je zdrojem signálu w - řídící veličina, který udává žádanou hodnotu regulované veličiny. Porovnávací člen - porovnává žádanou hodnotu regulované veličiny w s okamžitou hodnotou regulované veličiny, udávanou zpětnovazebním členem jako signál x’. Vytváří regulační odchylku

e = w - x’

Ústřední člen - základem je zesilovač a dále analogový obvod, který zpracuje požadovaným způsobem regulační odchylku. Je to v podstatě regulátor. Akční člen = výkonový člen - na základě signálu z regulátoru řídí přísun energie do regulované soustavy. Zpětnovazební člen = měřicí člen = snímač, měří neustále regulovanou veličinu, eventuálně ji převádí na signál srovnatelný s řídícím.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 9 --------------

Činnost regulačního obvodu: Zpětnovazební člen neustále snímá regulovanou veličinu a přivádí ji do porovnávacího členu. Tam porovnáním s požadovanou hodnotou vzniká regulační odchylka, která je přiváděna na vstup ústředního členu. Zde je zesílena, požadovaným způsobem zpracována a výsledný regulační signál uvede v činnost akční člen. Ten provede pomocí akční veličiny zásah do regulované soustavy. Tento zásah musí být takový, aby se vzápětí vyrovnala regulovaná veličina na požadovanou hodnotu. Potom regulační odchylka zanikne. Činnost regulačního obvodu od vzniku regulační odchylky po její odstranění se nazývá regulační pochod.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 10 --------------

2.

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI SYSTÉMŮ V této kapitole se budeme zabývat tzv. jednorozměrnými regulačními systémy,

neboli systémy s jednou vstupní a jednou výstupní veličinou.

Vlastnosti regulačního systému můžeme posuzovat buďto za podmínky, že se vstupní a výstupní veličiny nemění, obě jsou v ustáleném stavu, a to pak mluvíme o statických vlastnostech. Nebo vyšetřujeme vlastnosti systému při změnách obou veličin, a pak mluvíme o dynamických vlastnostech systému.

2.1. STATICKÉ VLASTNOSTI Statické vlastnosti systémů automatického řízení jsou vztahy mezi ustálenou hodnotou výstupní veličiny systému a ustálenou hodnotou vstupní veličiny systému. Tyto vztahy mohou být vyjádřeny algebraickou rovnicí y = f (x) nebo častěji graficky, tzv. statickou charakteristikou, což je závislost výstupní

Y

veličiny systému na vstupní veličině systému v ustáleném stavu. nelineární průběh lineární průběh

0 X

Statické charakteristiky mohou být lineární (přímkové) a nelineární (křivkové).

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 11 --------------

Statické charakteristiky se dále dělí na spojité a nespojité. Již uvedené charakteristiky na předchozím obrázku jsou obě spojité. Na dalších obrázcích

Y

Y

uvedeme příklady nespojitých charakteristik.

třípolohový (tříhodnotový) průběh

dvoupolohový (dvouhodnotový) průběh 1

1 0

0 X

X

-1

2.2. DYNAMICKÉ VLASTNOSTI Dynamické vlastnosti jsou důležitější než vlastnosti statické, poněvadž se týkají průběhu přechodného děje, o který jde v regulaci především (a ne ustáleného stavu). Dynamické vlastnosti systému lze popsat v podstatě dvěma různými, navzájem zcela odlišnými způsoby. Dynamické vlastnosti systému charakterizuje vnější a vnitřní popis systému. Vnější popis systému vyjadřuje dynamické vlastnosti pomocí vztahu mezi výstupní a vstupní veličinou. Přitom neznáme a nezajímají nás fyzikální děje, které uvnitř systému probíhají. Vnitřní popis systému uvažuje s pojmem stav systému. Je to vyjádření dynamických vlastností systému, uvažujeme vztahy mezi vstupem, stavem a výstupem systému. Pro zavedení vnitřního popisu systému musíme znát

jeho

strukturu a veškeré fyzikální nebo chemické pochody, které v něm probíhají. Z toho je zřejmé, že vnitřní popis je dokonalejší než popis vnější. Je vyjádřen stavovými rovnicemi ve stavovém prostoru (vysokoškolské studium).

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 12 --------------

Budeme se tedy zabývat popisem dynamických vlastností systému použitím vnějšího popisu. Jsou to klasické metody regulační techniky. Vnější popis - závislost mezi vstupem a výstupem systému - může být vyjádřen různými způsoby: - diferenciální rovnice - přenos - operátorový přenos - frekvenční přenos - přechodová charakteristika - impulsní charakteristika - frekvenční charakteristika v komplexní rovině - frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích Tyto druhy vnějšího popisu spolu těsně souvisejí a je možno převést jeden tvar na druhý. Dále budou popisovány jednotlivé druhy vnějšího popisu a vazby mezi nimi. 2.2.1. POPIS SYSTÉMU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICÍ Lineární spojitý systém se vstupem x(t) a výstupem y(t) je obecně popsán diferenciální rovnicí, která umožňuje prostřednictvím derivací zobrazit časově proměnný vstupní a výstupní signál.

an

d ny(t ) d n −1 y ( t ) dy ( t ) dx ( t ) d m x( t ) + a + ..... + a + a y ( t ) = b x ( t ) + b + ..... + b n −1 1 0 0 1 m dt dt dt n dt n − 1 dt m

kde ai , bi jsou konstantní koeficienty. V rovnici musí být vždy splněna podmínka fyzikální realizovatelnosti m ≤ n (stupeň nejvyšší derivace výstupní veličiny je vždy větší nebo roven stupni derivace vstupní veličiny. Řád diferenciální rovnice n udává řád systému. Chceme-li rovnici řešit a určit tak průběh výstupní veličiny y(t) daného systému, musíme znát tvar vstupního signálu a počáteční podmínky.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 13 --------------

2.2.2. PŘENOS Pro matematické vyjádření dynamických vlastností používáme poměr časově proměnné hodnoty výstupního signálu k časově proměnné hodnotě vstupního F(t ) =

signálu, nazývaný přenos

y(t ) x( t )

2.2.3. OPERÁTOROVÝ PŘENOS Je nejčastěji používaným popisem . Pro zjednodušení matematického řešení použijeme

Laplaceovu

transformaci,

pomocí

které

lze

převést

řešení

diferenciálních rovnic na řešení rovnic algebraických. V tomto případě místo časové změny vyjádřené diferenciálem d/dt uvedeme operátor p. Laplaceovou transformací přenosu F(t) získáme operátorový přenos, který definujeme jako poměr Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny. (Nazývá se proto také obrazový přenos.)

F( p ) =

Y( p) X( p)

2.2.4. FREKVENČNÍ PŘENOS Frekvenční přenos je poměr výstupních a vstupních harmonických kmitů systému. Frekvenční přenos získáme tak, že na vstup systému přivedeme harmonický signál. Typickým harmonickým signálem je sinusový průběh

x = X0 sinω t kde

X0

je amplituda vstupního signálu

ω

je úhlová frekvence

Přivedeme-li na vstup spojitého lineárního systému sinusový signál, dostaneme na výstupu po ustálení přechodových jevů opět sinusový signál, ovšem s jinou amplitudou a fázově posunutý proti vstupnímu signálu. Výstupní signál má stejnou frekvenci (a tedy i periodu T) jako signál vstupní.

y = Y0 sin(ω t + ϕ ) kde

Y0

je amplituda výstupního signálu

ϕ

fázové posunutí

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 14 --------------

Y0

y(jω)

x(jω) X0

t

Měřený člen

T

t

ϕ

T

Potom je frekvenční přenos vyjádřen takto:

nebo také

F ( jω ) =

y ( jω ) Y0 sin( ωt + ϕ ) = x ( jω ) X 0 sin ω .t

F ( jω ) =

y ( jω ) Y0 .e j ( ϖt +ϕ ) Y0 jϕ = = .e = F ( jϖ ) .e jϕ jϖt x ( jω ) X 0 .e X0

Frekvenční přenos je obecně komplexní číslo; můžeme jej tedy vyjádřit ve složkovém tvaru

F ( jω ) = Re( jω ) + Im( jω ) Potom platí F ( jω ) = Re 2 + Im 2

ϕ = arctg

Im Re

Frekvenční přenos můžeme vyjádřit také v decibelech: FdB = 20. log F ( jω )

2.2.5. PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA je

grafické

znázornění Jednotkový skok

přechodové funkce, tj. řešení DFR

při

jednotkové

vstupní

jednotkový skok. Používá se

x(t)

veličině. Je to tedy odezva na často. t

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 15 --------------

2.2.6. IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA je grafické zobrazení impulsní funkce, Jednotkový (Diracův) impuls

tj. řešení DFR při jednotkovém (Diracově) impulsu vstupní veličiny. Je to tedy odezva nekonečně velkou amplitudou, který trvá

y(t)

na jednotkový impuls. Je to impuls s nekonečně krátkou dobu a jeho plocha je rovna 1. Nelze ho přesně realizovat, a proto t

se tato charakteristika používá velmi málo.

2.2.7. FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA je grafické znázornění frekvenčního přenosu. Charakteristika může být zakreslena v komplexní (Gaussově) rovině nebo v logaritmických souřadnicích. 2.2.7.1.FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA V KOMPLEXNÍ ROVINĚ Je grafické znázornění frekvenčního přenosu pro úhlovou frekvenci měnící se od nuly do nekonečna. Pro sestrojení charakteristiky je nejlépe vycházet ze složkového tvaru frekvenčního přenosu. Charakteristiku, která znázorňuje jak amplitudy tak fázový posun, kreslíme do Gaussovy roviny. Tvary charakteristik jsou velmi rozmanité. Frekvenční Frekvenční

charakteristika pro

Im

charakteristika pro

přenos typu

přenos typu

F ( jω ) =

F1(j ω )

K jω ( 1 + jω .T

ω=0

ω=0 -Re

F ( jω ) = K + jω .Td

ω

0

Re

ω F2(j ω )

-Im

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 16 --------------

2.2.7.2.FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA V LOGARITMICKÝCH SOUŘADNICÍCH V tomto případě kreslíme dvě charakteristiky, z nichž jedna zobrazuje amplitudy a druhá charakteristika znázorňuje fázový posun. LAFCH - logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika = amplitudová charakteristika - tj. závislost přenosu v decibelech na úhlové frekvenci. LFFCH

-

logaritmická

fázová

frekvenční

charakteristika

=

fázová

charakteristika - tj. závislost fázového posunu na úhlové frekvenci. Frekvenci vynášíme na logaritmickou stupnici, fázi a přenos na lineární; charakteristiky kreslíme na semilogaritmický papír. Tyto charakteristiky se užívají velmi často pro snadné kreslení amplitudové charakteristiky pomocí asymptot. Je třeba, aby operátorový přenos byl upraven do F( p ) =

tvaru:

K . p.( 1 + pT1 ) p.( 1 + pT 2 )( 1 + pT 3 )

Potom platí pro absolutní hodnotu frekvenčního přenosu, přenos v decibelech a fázi následující vztahy: F ( jω ) =

K 1 + ω 2T12

ω . 1 + ω 2T 22 . 1 + ω 2T32

FdB = 20 log F ( jω )

ϕ = −90 0 + arctgω .T1 − arctgω .T 2 − arctgω .T 3 FdB 30

ϕ

20 10

ω

0 0.1

1

10

100

1000

-10 -20 -30

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 17 --------------

3.

ZÁKLADNÍ TYPOVÉ ČLENY Některé dynamické systémy vykazují vlastnosti, které se často vyskytují a jsou

v technické praxi typické. Systémy můžeme dělit na: 1) systémy statické 2) systémy astatické (integrační) 3) systémy derivační 4) systémy s dopravním zpožděním

3.1. STATICKÉ SYSTÉMY Diferenciální rovnice nabývá tvaru

an

dy ( t ) d n −1 y ( t ) d n y(t ) + + ..... + a 1 + a 0 y ( t ) = b0 x ( t ) a n −1 n n −1 dt dt dt

Charakteristické pro tyto systémy je, že přechodová charakteristika se ustálí po skončení přechodového děje na konstantní hodnotě. Uvnitř skupiny statických systémů rozeznáváme systémy ještě podle řádu rovnice. Typické jsou dynamické vlastnosti odpovídající nultému, prvnímu a druhému řádu rovnice. 3.1.1. STATICKÝ ČLEN NULTÉHO ŘÁDU (ČLÁNEK PROPORCIONÁLNÍ) Ustálená hodnota výstupního signálu je úměrná hodnotě vstupního signálu. DFR (diferenciální rovnice) - vlastně rovnice lineární (derivace jsou rovny 0):

a 0 y ( t ) = b0 x ( t ) y ( t ) b0 = = Kp x ( t ) a0

Přenos

F(t ) =

Operátorový přenos

F( p ) = Kp

Frekvenční přenos:

F ( jω ) = K p

Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru dostaneme, když určíme absolutní hodnotu přenosu a fázový posun (ten je v tomto případě roven 0): F ( jω ) = K p .e j 0

Přenos v decibelech:

FdB = 20 log K p

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 18 --------------

Přechodová charakteristika:

y Kp

0

t

Frekvenční charakteristika: - v komplexní rovině - bod na kladné reálné poloose.

Im

F(j ω ) -Re

0

Kp

Re

-Im - v logaritmických souřadnicích FdB 30 FdB

10

ϕ

20logK p

20

ω

0 0.1 -10 ϕ

1

10

100

90o

1000

0o -20

-90o

-30

Amplitudová charakteristika je rovnoběžná s osou frekvence ve vzdálenosti 20logKp. Fázová charakteristika je rovněž přímka rovnoběžná s osou frekvence v hodnotě 0o. --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 19 --------------

3.1.2. STATICKÝ ČLEN 1. ŘÁDU (ČLÁNEK SETRVAČNÝ) Proporcionální člen se setrvačností 1.řádu. DFR


a1

dy ( t ) + a 0 y ( t ) = b0 x ( t ) dt

F( p ) =

F( p ) = Frekvenční přenos:

b0 a0

b0 Y( p) = = X ( p ) a1 p + a0 a1 p+1 a0 K 1 + Tp

F ( jω ) =

K 1 + jω .T

Frekvenční přenos upravíme do složkového tvaru následujícím způsobem:

F ( jω ) = F ( jω ) =

1 − jω .T K . 1 + jω .T 1 − jω .T

K 1+ω T 2

2

+j

− ω .KT 1 + ω 2T 2

Absolutní hodnota frekvenčního přenosu: F ( jω ) = Re 2 + Im 2 =

Fázový posun:

ϕ = arctg

K

1 + ω 2T 2

Im = −arctgω .T Re

Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru je tedy určen takto: F ( jω ) =


K

1+ω T 2

2

.e − jarctgω .T

FdB = 20 log F ( jω ) = 20 log

K

1 + ω 2T 2

FdB = 20 log K − 20 log 1 + ω 2T 2 Přenos v decibelech se skládá ze dvou členů, první člen 20logK je konstanta nezávislá na kmitočtu a určuje rovnici první asymptoty, druhý člen je kmitočtově závislý. Důležitá je frekvence zlomu ωL=1/T (lomová frekvence). Pro frekvence ω<ωL určíme rovnici první asymptoty

FdB ≅ 20 log K

a pro ω>ωL určíme rovnici druhé asymptoty

FdB ≅ 20 log K − 20 log ω .T tj.sklon -20dB/dek

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 20 --------------


y K

0

T

t

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině

Im

K

ω=∞ 0

ω=0

-Re

Re

ω -Im

LAFCH a LFFCH: 1.asymptota FdB 30

2.asymptota FdB

10 ωL

0 0.1

1

-10 -20 -30

ϕ

-20 dB /de k

20

ω 10

100

1000

-90o -45o

ϕ

0o

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 21 --------------

3.1.3. STATICKÝ ČLEN 2. ŘÁDU (ČLÁNEK KMITAVÝ)

a2

DFR

dy ( t ) d 2 y(t ) + a1 + a 0 y ( t ) = b0 x ( t ) 2 dt dt

Úprava Laplaceovou transformací:

a 2 p 2Y ( p ) + a 1 pY ( p ) + a 0 Y ( p ) = b0 X ( p ) Odvodíme operátorový přenos:

b0 a0 b0 = F( p ) = 2 a 2 p + a1 p + a0 a 2 2 a1 p + p+1 a0 a0 Položme

[ ]

a2 =T 2 s2 a0

, kde T je časová konstanta,

a1 = 2ξ .T a0

, kde ξ =

b0 =K a0

, kde K je zesílení.

Operátorový přenos:

F( p ) =

a1 2 a0 a 2

je poměrné tlumení,

K T p + 2ξ .Tp + 1 2

2

Přechodová charakteristika Pro její průběh jsou rozhodující kořeny jmenovatele přenosu. Hodnota kořenů

p1, 2 = −

závisí na velikosti tlumení:

(

1 ξ m ξ2 −1 T

)

Z tohoto vztahu plyne, že vzhledem k velikosti ξ mohou nastat tyto případy:

ξ > 1 aperiodický průběh, přetlumený Kořeny jmenovatele jsou

p1 = −

1 T1

(

p1 = −

1 T2

)

1 1 = ξ − ξ2 −1 , T1 T

přičemž

(

1 1 = ξ + ξ2 −1 T2 T

)

Operátorový přenos pak lze pak napsat ve tvaru F( p ) =

K ( pT1 + 1 )( pT2 + 1 )

Přechodová charakteristika je aperiodická, přetlumená.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 22 --------------

ξ = 1 mez aperiodicity Kořeny jmenovatele jsou

p1, 2 = −

1 T

Operátorový přenos lze napsat ve tvaru

F( p ) =

K ( pT + 1 ) 2

Přechodová charakteristika je na mezi aperiodicity.

0< ξ< 1 tlumené harmonické kmity Kořeny jmenovatele přenosu jsou

p1, 2 = −

(

1 ξ m j 1 −ξ 2 T1

)

Kořeny jsou tedy dva, komplexně sdružené se zápornou reálnou částí. Operátorový přenos pak napíšeme ve tvaru

F( p ) =

K 1 1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ T 2 ⎢p + ξ − j 1 − ξ 2 ⎥⎢p + ξ + j 1 − ξ 2 ⎥ T T ⎣ ⎦⎣ ⎦

(

)

(

)

Přechodová charakteristika je kmitavá tlumená (tlumené harmonické kmity). Proto se často statický člen 2. řádu označuje jako kmitavý článek. Frekvence kmitů je ω v = ω 0 1 − ξ 2 kde ω 0 =

1 je tzv. přirozená frekvence kmitavého článku. T

ω v má fyzikální význam (kmitavý článek je schopen kmitat) jen pro 0<ξ<1. Pro ξ=1 je ω v =0. Pro ξ>1 je ω v vyjádřena imaginárním číslem - nemá fyzikální význam. Pro ξ=0 je ω v = ω 0 .

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 23 --------------

ξ = 0 harmonický netlumený průběh Kořeny jmenovatele přenosu jsou ryze imaginární, komplexně sdružené

p1, 2 = −

(

)

(

)

1 1 1 ξ m ξ2 −1 = − m −1 = ±j T T T

Operátorový přenos píšeme ve tvaru:

F( p ) =

K 1 + p 2T 2

Přechodová charakteristika je harmonický netlumený průběh o frekvenci

ω0 =

1 . Poněvadž u technických zařízení dochází v důsledku nežádoucích T

energetických ztrát vždy k většímu či menšímu tlumení, lze tento případ považovat spíše za matematickou abstrakci.

Průběhy přechodové charakteristiky v závislosti na tlumení ξ .

netlumené harmonické kmity

tlumené harmonické kmity

y(t)

K

mez aperiodicity

aperiodický prùbeh

t

Frekvenční přenos dostaneme úpravou z operátorového přenosu a jeho tvar je dán tlumením ξ. Řešení má opět čtyři možné varianty.

ξ > 1 aperiodický průběh, přetlumený --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 24 --------------

K ( 1 + pT1 )( 1 + pT2 )


F( p ) =

Frekvenční přenos

F ( jω ) =

K ( 1 + jω .T1 )( 1 + jω .T2 )

Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru: F ( jω ) =

K 1 + ω .T 2

2 1

1 + ω .T 2

2 2

.e − j ( arctgωT1 + arctgωT2 )

Frekvenční přenos v decibelech: FdB = 20 log

K 1 + ω 2T12 1 + ω 2T22

Dvě časové konstanty určují dva kmitočty lomu: ω L 1 =

1 1 ; ; ω L2 = T1 T2

Rovnice asymptot: 1. asymptota:

FdB = 20 log K

2. asymptota:

FdB = 20 log

K − 20 log ω T1

sklon -20dB/dek

3. asymptota:

FdB = 20 log

K − 40 log ω T1T2

sklon -40dB/dek

ξ = 1 mez aperiodicity K ( 1 + pT ) 2

Operátorový přenos má tvar

F( p ) =


F ( jω ) =

K ( 1 + jω .T ) 2

Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru

F ( jω ) = Při kmitočtu, který má hodnotu ω L =

K 1+ω T 2

2

.e − 2 jarctgωT

1 tj. při frekvenci lomu má frekvenční T

přenos amplitudu rovnu 0,5K. Frekvenční přenos v decibelech: FdB = 20 log

K 1 + ω 2T 2

Rovnice asymptot dostáváme v tomto tvaru:

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 25 --------------

1. asymptota:

FdB ≅ 20 log K

2. asymptota:

FdB = 20 log

tj. sklon 0dB/dek

K − 40 log ω .T T2

tj. sklon -40dB/dek

0< ξ< 1 tlumené harmonické kmity Operátorový přenos: F ( p ) =


K 1 1 ⎤ ⎡ ⎤⎡ T 2 ⎢p + ξ − j 1 − ξ 2 ⎥ ⎢p + ξ + j 1 − ξ 2 ⎥ T T ⎦ ⎣ ⎦⎣

)

(

F ( jω ) =

)

(

K 1 − ω T + + j 2ξ .Tω 2

2

Exponenciální tvar frekvenčního přenosu:

F ( jω ) =

K ( 1 − ω T ) + 4ξ T ω 2

2

2

2

2

2

.e

jarctg

1 −ξ 2

ξ

Přenos v decibelech má tvar

FdB = 20 log

K ( 1 − ω 2T 2 ) 2 + 4ξ 2T 2ω 2

Tato charakteristika má dvě asymptoty, které jsou stejné jako pro mez aperiodicity. Skutečný průběh amplitudové charakteristiky závisí na konkrétní hodnotě poměrného tlumení.

ξ = 0 harmonický netlumený průběh K 1 + p 2T 2

Operátorový přenos má tvar

F( p ) =


F ( jω ) =

K 1 − ω 2T 2

Pro absolutní hodnotu a fázi frekvenčního přenosu platí:

K 1 −ω T 2

2

; ϕ = 0 o L proω <

1 T

F ( jω ) =

K 1 ; ϕ = −180 o L proω > 2 T ω T −1 2

Asymptoty pro amplitudovou charakteristiku jsou stejné jako ve dvou předchozích případech. Frekvenční charakteristiky v komplexní rovině:

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 26 --------------

ξ=0

ξ=0 Im

ω=

8

ω=>1/Τ

ω<1/Τ

K

0

-Re

ω=0

ξ>1 0.5K ωο=1/Τ

Re

ω

ξ=1 ω

0<ξ<1

-Im

Amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích

ξ=0 Rezonanční převýšení FdB 30

FdB

-20

10

20logK

20

ξ >1 ω1

0 0.1 -10

1

0<ξ<1 dB /de k

ω0

ω 10

ω2

100

1000

-20 0 -4 / dB

-30

k de --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 27 --------------

Fázové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích

FdB

ξ=0

30 180o

20

0<ξ<1

ξ >1

10 ω1

0 0.1 -10

ξ >1

ω0

1

ω 10

100

ω2

90o

1000

-20

ξ=0

-30

0o

3.2. ASTATICKÉ (INTEGRAČNÍ) ČLENY Diferenciální rovnice nemá na levé straně prostý člen (člen bez derivace) a nabývá tvaru

d n y(t ) d n −1 y ( t ) dy ( t ) an + a n −1 + ..... + a 1 = b0 x ( t ) n n −1 dt dt dt 3.2.1. ASTATICKÝ ČLEN 1.ŘÁDU (IDEÁLNÍ INTEGRAČNÍ ČLÁNEK)

a1

DFR

dy ( t ) = b0 x ( t ) dt a 1 pY ( p ) = b0 X ( p )

Úprava Laplaceovou transformací Operátorový přenos

F( p ) =

b Y( p) = 0 X ( p ) a1 p

F( p ) =

Ki P

nebo

1 Ti p

kde Ki (Ti) je integrační (rychlostní) konstanta

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 28 --------------

F ( jω ) =


Ki jω

Frekvenční přenos ve složkovém tvaru (reálná část je rovna 0):

F ( jω ) = − j

Ki

ω

Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru (fáze je rovna -90o):

F ( jω ) =

Ki

ω

FdB = 20 log


.e

−j

Ki

ω

π 2

= 20 log K i − 20 log ω

Charakteristika je tvořena jedinou asymptotou se sklonem -20dB/dek.

y


F1 F2

K i1 K i1 > K i2

K i2 t


Im

8

ω=

0

-Re

Re ω

ω=0

-Im

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 29 --------------

Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích FdB

FdB

30 -20

20logKi

20 10

dB /de

ϕ k

ω

0 0.1

1

10

-10 -20

100

0o

1000

ϕ

ϕ

-90o

-30

3.2.2. ASTATICKÝ ČLEN 2. ŘÁDU (REÁLNÝ INTEGRAČNÍ ČLÁNEK) DFR

d 2 y(t ) dy ( t ) a2 + a1 = b0 x ( t ) 2 dt dt

Úprava Laplaceovou transformací

a 2 p 2Y ( p ) + a 1 pY ( p ) = b0 X ( p ) Operátorový přenos získáme ve tvaru F( p ) =

b0 b0 Y( p) = = 2 X ( p ) a 2 p + a 1 p p( a 2 p + a 1 )

F( p ) =

Kr p( pT + 1 )


F ( jω ) =

Kr jω ( 1 + jω .T )

Frekvenční přenos ve složkovém tvaru: F ( jω ) =

− K rT − Kr +j 2 2 1+ω T ( 1 + ω 2T 2 )ω

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 30 --------------

Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru: F ( jω ) =

Kr

ω 1 + ω 2T 2

.e

− j(

π 2

+ arctgωT )

Frekvenční přenos v decibelech:

FdB = 20 log

Kr

ω 1+ω T 2

2

= 20 log K r − 20 log ω − 20 log 1 + ω 2T 2

Amplitudová frekvenční charakteristika má jeden zlom, který je roven hodnotě 1/T a rovnice asymptot jsou tyto: 1. asymptota:

FdB ≅ 20 log K r − 20 log ω

sklon -20dB/dek

2. asymptota:

FdB ≅ 20 log

Kr − 40 log ω T

sklon -40dB/dek

re ál ný

id eá

ln í

y


t

T

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině: Im 8

ω=

0

-Re

Re ω

ω=0

-Im

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 31 --------------

Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích FdB

FdB

30

-20

20

dB

ϕ

/de k

10

ω

0 0.1

1

-10

ωL=1/T

10

100

1000

-90o -135o

k de B/ 0d -4

-20 kmitočet lomu

-30

ϕ

-180o

3.3. DERIVAČNÍ SYSTÉMY Diferenciální rovnice nabývá tvaru

an

d n y(t ) d n −1 y ( t ) dy ( t ) dx ( t ) a + + ..... + a 1 + a 0 y ( t ) = b1 n −1 n −1 n dt dt dt dt

3.3.1. DERIVAČNÍ ČLEN 1.

ŘÁDU (IDEÁLNÍ DERIVAČNÍ ČLEN)

Výstupní signál je úměrný derivaci vstupního signál.

a 0 y ( t ) = b1

DFR

dx ( t ) dt

Úprava pomocí Laplaceovy transformace:

a 0Y ( p ) = b1 pX ( p ) Operátorový přenos odvodíme takto: F( p ) =

Y ( p ) b1 p = X( p) a0

F( p ) = Kd p kde Kd je derivační konstanta. Frekvenční přenos

F ( jω ) = K d jω

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 32 --------------

Jedná se vlastně o složkový tvar přenosu. Frekvenční přenos vyjádříme také v exponenciálním tvaru:

F ( jω ) = K d ω .e

j

π 2

Frekvenční přenos v decibelech:

FdB = 20 log K d ω = 20 log K d + 20 log ω Logaritmická amplitudová charakteristika je tvořena jedinou asymptotou se sklonem +20dB/dek. Přechodová charakteristika

y

Diracův impuls

t

0


8

ω=

Im ω

ω=0 -Re

0

Re -Im

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 33 --------------

Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích k /de B 0d +2

FdB 30

ϕ

20 10

FdB 0.1

ω

20logKd

0 1

10

100

1000

180o

-10 -20

90o

ϕ

-30

0o

3.3.2. DERIVAČNÍ ČLEN 1. ŘÁDU SE SETRVAČNOSTÍ (REÁLNÝ DERIVAČNÍ ČLEN) DFR

a1

dy ( t ) dx ( t ) + a 0 y ( t ) = b1 dt dt

Úprava pomocí Laplaceovy transformace:

a 1 pY ( p ) + a 0Y ( p ) = b1 pX ( p )

Operátorový přenos:

F( p ) =

F( p ) = Frekvenční přenos:

b1 p a0

b1 p Y( p) = = X ( p ) a1 p + a0 a1 p+1 a0 KD 1 + pT

F ( jω ) =

K D jω 1 + jω .T

Frekvenční přenos upravený do složkového tvaru:

ω 2 K DT ω .K D F ( jω ) = +j 2 2 1+ω T 1 + ω 2T 2 Frekvenční přenos upravený do exponenciálního tvaru: F ( jω ) =

K Dω 1 + ω 2T 2

.e

j(

π 2

− arctgωT )

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 34 --------------

Frekvenční přenos vyjádřený v decibelech:

Kdω

FdB = 20 log

1+ω T 2

2

= 20 log K D + 20 log ω − 20 log 1 + ω 2T 2

Amplitudová frekvenční charakteristika má jeden zlom, který je roven hodnotě

1/T, a je tvořena dvěma asymptotami. 1. asymptota:

FdB ≅ 20 log K D + 20 log ω

2. asymptota:

FdB ≅ 20 log

sklon +20dB/dek

KD T

sklon 0dB/dek

y

Přechodová charakteristika

KD/T

t

T

0


Im

ω

-Re

ω=

0

KD/T

8

ω=0

Re

-Im

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 35 --------------

Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích FdB 30

ϕ

FdB

20 /d dB 0 +2

10 0 0.1

1

ek

20logKD/T ωL

ω 10

100

1000

90o

-10 45o

-20 ϕ

-30

0o

3.4. ČLEN S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM Při posuzování dynamických vlastností typových prvků předpokládáme, že vstupní i výstupní veličina se začaly měnit ve stejném okamžiku t = 0. Jestliže se však vstupní veličina začíná měnit se zpožděním τ (tj. její změna započne v čase t = τ ), uvažujeme tzv. dopravní zpoždění. Chování tohoto členu popisuje rovnice

y ( t ) = x( t − τ ) Operátorový přenos:

F ( p ) = e − pτ


F ( jω ) = e − jωτ

Tento frekvenční přenos je vlastně v exponenciálním tvaru. Přenos v decibelech :

FdB = 20 log 1 = 0


--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 36 --------------

y 1

0

t

τ

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině: Im 1 0

-1

1 ω=0

-Re

Re

ω

-1 -Im

Frekvenční charakteristika má tvar jednotkové kružnice, začíná v bodě 1 na kladné reálné poloose. Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích:

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 37 --------------

FdB 30

ϕ

20 10 0

ω

FdB 0.1

1

10

100

1000

0o

-10 ϕ

-20 -30

-90o -180o

Dopravní zpoždění nemá vliv na amplitudu (FdB=0), působí pouze na fázový posun → fáze narůstá až do − ∞ .

4.

BLOKOVÁ ALGEBRA Pro vnější popis dynamického systému lze užít blokového schématu. V

kybernetice se však často setkáváme se složitými zařízeními, které se skládají z řady dynamických systémů, členů, určitým způsobem spojených a my potřebujeme znát přenosy (přenosové funkce) těchto zařízení (obvodů). Pravidla, podle nichž vytvoříme přenosy větších celků, nazýváme blokovou algebrou. V blokové algebře platí zákon komutativní a asociativní (při výpočtu můžeme zaměnit pořadí jednotlivých členů) a princip superpozice jen při dodržení těchto podmínek: - všechny členy v blokovém schématu jsou lineární - jednotlivé členy se nesmějí navzájem ovlivňovat, tzn. signál postupuje pouze ve směru šipek. Existují tři základní způsoby blokového spojení dynamických systémů: a) sériové spojení b) paralelní spojení --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 38 --------------

c) antiparalelní (zpětnovazební) spojení Probereme podrobně tyto jednotlivé způsoby spojení.

4.1. SÉRIOVÉ SPOJENÍ Je to takové zapojení, při kterém výstupní veličina předcházejícího členu je vstupní veličinou následujícího - viz. obr. Hledáme výsledný přenos zapojení. Platí: x

y

F1

F1 ( p ) =

Y( p) X( p)

z

F2

x

z

Z ( p ) F2 ( p ).Y ( p ) = = F1 ( p ).F2 ( p ) Y( p) X( p) F1 ( p )

F2 ( p ) =

Z( p ) Y( p)

F( p ) =

Z( p ) = F1 ( p ).F2 ( p ) X( p)

F( p ) =

F

Přenos sériového zapojení je roven součinu přenosů jednotlivých členů. F ( p ) = F1 ( p ).F2 ( p )

4.2. PARALELNÍ SPOJENÍ Je to takové zapojení, při kterém máme jednu vstupní veličinu pro oba členy a výstupní veličiny jednotlivých bloků se sčítají. Opět hledáme výsledný přenos. x

F1

y1

x

x

z x

F2

F1 ( p ) =

F

z

y2

Y1 ( p ) X( p)

F2 ( p ) =

Y2 ( p ) X( p)

Z ( p ) = Y1 ( p ) + Y 2 ( p )

Z ( p ) = X ( p ).F1 ( p ) + X ( p ).F2 ( p ) ⇒ Z ( p ) = X ( p )[F1 ( p ) + F2 ( p )]

⇒ F( p ) =

Z( p ) = F1 ( p ) + F2 ( p ) X( p)

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 39 --------------

Přenos paralelního spojení je roven součtu přenosů jednotlivých členů. F ( p ) = F1 ( p ) + F2 ( p )

4.3. ZPĚTNOVAZEBNÍ (ANTIPARALELNÍ) SPOJENÍ Je to takové zapojení dvou členů, kdy se výstupní veličina zapojení vede zpět na vstup, kde se přičítá (nebo též odečítá) ke vstupnímu signálu. Kladná zpětná vazba - výstupní signál se ke vstupu přičítá y

z

F1

u

x

x

F

z

Pro veličiny na obr. platí: Z ( p ) = F1 ( p ).Y ( p ) U ( p ) = F2 ( p ).Z ( p ) Y ( p ) = X ( p ) + U( p )

F2

Y ( p ) X ( p ) U( p ) = + Z( p ) Z( p ) Z( p ) ⇒

1 1 = + F2 ( p ) ⇒ F1 ( p ) F ( p )

F( p ) =

F1 ( p ) 1 − F1 ( p )F2 ( p )

Záporná zpětná vazba - výstupní signál se od vstupu odečítá y

z

F1

x

F

z

u

x

Přenos odvodíme obdobně jako

F2

F( p ) =

pro kladnou zpětnou vazbu.

F1 ( p ) 1 + F1 ( p )F2 ( p )

Při zpětnovazebním zapojení je výsledný přenos dán zlomkem, kde v čitateli je tzv. přenos přímé větve a ve jmenovateli jedna plus (pro kladnou zpětnou vazbu minus) součin přenosu přímé větve a zpětné vazby. Z uvedených vztahů lze odvodit pravidlo: Celkový přenos přímé větve --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 40 --------------

celkový přenos zpětnovazebního spojení

1

- (kladná zpětná vazba)

součin celkového přenosu

+ (záporná zpětná vazba)

přímé větve a zpětné

4.4. ŘEŠENÍ PŘEKŘÍŽENÝCH VAZEB Znalost blokové algebry - tj. tří základních zapojení - nám umožní řešit přenosy složitých zapojení a stanovit výsledný přenos zapojení. Nestačí však při řešení případů s tzv. překříženými vazbami. Tam musíme použít pravidla na přemístění bodu rozvětvení a pravidla na přemístění místa sumace a komutativní a asociativní pravidlo. 4.4.1. PRAVIDLO NA PŘEMÍSTĚNÍ MÍSTA ROZVĚTVENÍ - přemístění rozvětvovacího místa před blok F(p)

F(p) y

y

F(p)

- přemístění rozvětvovacího místa za blok

F(p)

F(p)

y

y

1/F(p)

4.4.2. PRAVIDLO NA PŘEMÍSTĚNÍ MÍSTA SUMACE - přemístění součtového uzlu za blok

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 41 --------------

F(p)

F(p)

F(p)

- přemístění součtového uzlu před blok

F(p)

F(p)

1/F(p)

4.4.3. KOMUTATIVNÍ A ASOCIATIVNÍ PRAVIDLO

b

Při sumaci nezáleží na pořadí sumace a vstupy je možno sdružovat.

y

y

a

a

y c

b

a c

c

y b

a

c

b

4.4.4. PŘÍKLAD Č. 1 Určete výsledný přenos zapojení podle obr. na základě pravidel o sériovém, paralelním a zpětnovazebním zapojení.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 42 --------------

F1(p) x

F3(p)

y

F4(p)

F2(p) F5(p)

F6(p)

Řešení:

F( p ) =

[F1 ( p ) + F2 ( p )]F3 ( p ).F4 ( p ) 1 + [F1 ( p ) + F2 ( p )]F3 ( p )[F5 ( p ) + F6 ( p )]

4.4.5. PŘÍKLAD Č. 2 Určete výsledný přenos zapojení podle obr. za použití pravidel o přemístění místa rozvětvení a místa sumace.

F6(p) x

F2(p)

F1(p)

F3(p)

F4(p)

F7(p)

F5(p)

Řešení: F(p) =

F1 (p)F2 (p)F3 (p)F4 (p)F7 (p) 1 + F1 (p)F2 (p)F3 (p)F4 (p)F7 (p) + F2 (p)F3 (p)F5 (p) + F3 (p)F4 (p)F6 (p)

4.4.6. PŘÍKLAD Č. 3 Určete výsledný přenos zapojení podle obr.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 43 --------------

F4(p) y

x

F3(p)

F2(p)

F1(p)

F5(p)

F( p ) =

Řešení:

F1 ( p )F2 ( p )F3 ( p ) 1 + F1 ( p )F2 ( p )F5 ( p ) + F2 ( p )F3 ( p )F4 ( p )

4.4.7. PŘÍKLAD Č. 4 Vypočítejte ekvivalentní přenos blokového zapojení na obrázku.

F7(p)

x

F1(p) F5(p)

F2(p)

F3(p)

F4(p)

y

F6(p)

Řešení: F(p) =

F1 (p)F2 (p)F3 (p)F40 (p) 1 + F1 (p)F2 (p)F5 (p) + F3 (p)F4 (p)F6 (p) + F2 (p)F3 (p)F7 (p) + F1 (p)F2 (p)F3 (p)F4 (p)F5 (p)F6 (p)

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 44 --------------

5.

HLAVNÍ DRUHY PŘENOSŮ V REGULAČNÍM OBVODU Při posuzování chování regulačních obvodů používáme často zjednodušené

schéma regulačního obvodu:

u (poruchy) w

y

e = w-x


Regulátor

x - regulovaná veličina

x

V teorii automatického řízení mají velký význam základní přenosové funkce systému. Vyjdeme ze zjednodušeného

blokového schématu uvedeného na

předchozím obrázku (uvažujeme jednotkovou zápornou zpětnou vazbu). Přenos regulované soustavy: Fs ( p ) = Pro nulové poruchy U(p)=0 Přenos regulátoru: popřípadě

X( p) Y ( p ) + U( p )

Fs ( p ) =

X( p) Y( p)

FR ( p ) =

Y( p) E( p )

FR ( p ) =

Y( p) W( p) − X( p)

Ve spojitých lineárních systémech můžeme definovat tyto základní druhy přenosů:

- přenos otevřeného obvodu - přenos uzavřené smyčky

5.1. PŘENOS OTEVŘENÉHO OBVODU FO w

e

FR

y

FS

x

(ZV přerušena) - předpokládáme U(p)=0

F0 ( p ) =

X( p) X( p) = = FR ( p ).Fs ( p ) W ( p ) E( p )

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 45 --------------

5.2. PŘENOSY UZAVŘENÉ SMYČKY 5.2.1. PŘENOS ŘÍZENÍ Předpoklad: U(p)=0 Fw ( p ) =

FR ( p ).FS ( p ) X( p) = = W ( p ) 1 + FR ( p ).FS ( p )

Fw ( p ) =

F0 ( p ) 1 + F0 ( p )

5.2.2. PŘENOS ODCHYLKY Přenos regulační odchylky je definován rovněž pro U(p)=0: Schéma je vhodné si překreslit takto:

e

w

x

FE ( p ) =

FS

y

e

FR

1 1 E( p ) = = W ( p ) 1 + FR ( p ).FS ( p ) 1 + F0 ( p )

5.2.3. PŘENOS PORUCHY Přenos poruchy je definován pro W(p)=0: Schéma je vhodné si překreslit takto:

u

FS

x

y FR

Fu ( p ) =

Poznámka:

FS ( p ) FS ( p ) ∆X ( p ) = = U( p ) 1 + FR ( p ).FS ( p ) 1 + F0 ( p )

1+F0(p) = 0 je charakteristická rovnice systému, kde F0(p)

je přenos otevřené smyčky.

1+F0(p)

je charakteristický polynom

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 46 --------------

6.

REGULÁTORY Regulátor je řídícím systémem, kterým se uskutečňuje regulace, tj. řízení

regulované soustavy. Regulátory můžeme dělit podle různých hledisek. Podle dodávané energie k regulaci je dělíme na přímé (direktní) a nepřímé (indirektní). Přímé regulátory využívají ke své činnosti energie regulované soustavy. Přímé regulátory se dne využívají většinou jenom jako stabilizátory - příkladem je stabilizace neboli regulace výšky hladiny v nádrži podle obr. u (poruchová veličina) w (řídící veličina)

x regulovaná veličina (výška hladiny)

plová k y (akční veličina)

Naproti tomu nepřímé regulátory potřebují ke své činnosti přívod energie z pomocného zdroje. Dále se budeme zabývat pouze nepřímými regulátory, která zahrnují v současné spojité regulaci převážnou část regulace. Podle druhu energie, která je nositelem jak informace, tak je nutná k činnosti regulátoru, dělíme regulátory na elektrické, pneumatické, mechanické, hydraulické a kombinované. Podle toho, v jakém tvaru je signál zpracován, dělíme regulátory na analogové nebo číslicové. Je-li závislost regulované veličiny na řídící veličině lineární, jsou vlastnosti regulátoru popsány lineární diferenciální rovnicí, jde o lineární regulaci. Je-li tato závislost výstupu na vstupu nelineární, je diferenciální rovnice regulátoru nelineární, jde také o nelineární regulaci. V této příručce se budeme zabývat výhradně lineárními analogovými regulátory.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 47 --------------

6.1. LINEÁRNÍ ANALOGOVÉ REGULÁTORY Vstupní veličinou regulátoru je regulační odchylka e(t) a výstupní veličinou je akční veličina y(t). Výstupní veličina y působí spolu s poruchou u na regulovanou soustavu. e(t)

Regulátor FR(p)

E(p)

Přenos regulátoru je tedy určen FR ( p ) = Podle

toho,

jak

regulátor

y(t) Y(p)

Y( p) E( p )

zpracovává

vstupní

regulační

odchylku,

rozeznáváme tyto základní typy regulátoru: 1. proporcionální regulátory - P regulátory 2. integrační regulátory - I regulátory 3. derivační regulátory - D regulátory a dále kombinované (sdružené) regulátory 4. proporcionálně-integrační PI regulátory 5. proporcionálně-derivační PD regulátory 6. proporcionálně-integračně-derivační PID regulátory 6.1.1. PROPORCIONÁLNÍ REGULÁTOR Zkráceně P regulátor. Tento regulátor pouze zesiluje a má statický charakter výstupní veličiny. Akční veličina je úměrná regulační odchylce. Ideální P regulátor popisuje rovnice y ( t ) = K r .e( t )

Přenos získáme po úpravě pomocí Laplaceovy transformace:

FR ( p ) =

Y( p) = Kr E( p )

kde Kr označuje zesílení regulátoru Tento přenos odpovídá přenosu statického členu 0. řádu a rovněž tak charakteristiky odpovídají tomuto typovému členu.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 48 --------------

Skutečné regulátory mají vždy určité přístrojové zpoždění. Regulátory se setrvačností 1. a vyšších řádů jsou popsány takto: 1. řád:

FR ( p ) =

Kr 1 + pT1

2. řád:

FR ( p ) =

Kr ( 1 + pT1 )( 1 + pT2 )

3. řád:

FR ( p ) =

Kr ( 1 + pT1 )( 1 + pT2 )( 1 + pT3 )

Seřízení:

Jediným

parametrem,

jehož

atd.

nastavením

měníme

seřízení

proporcionálního regulátoru, je zesílení Kr. Proporcionální regulátor neodstraní zcela odchylku regulované veličiny, pouze ji sníží. Největší odchylka odpovídá největší změně akční veličiny. Přechodové a frekvenční charakteristiky

- viz. statické typové členy.

6.1.2. INTEGRAČNÍ REGULÁTOR Tento regulátor označujeme zkráceně jako I regulátor. U ideálního integračního regulátoru je výstupní (tj. akční) veličina úměrná integrálu vstupní veličiny (tj. regulační odchylky). Můžeme také říci, že výstupní veličina se mění rychlostí úměrnou velikosti regulační odchylky. Chování integračního regulátoru popisuje rovnice:

y ( t ) = K i .∫ e( t )dt Po úpravě Laplaceovou transformací získáme přenos I regulátoru:

FR ( p ) =

Ki p

kde Ki je integrační (rychlostní) konstanta. Tento přenos odpovídá přenosu astatického členu 1. řádu a rovněž tak charakteristiky odpovídají tomuto typovému členu.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 49 --------------

Skutečné regulátory mají vždy určité přístrojové zpoždění. Akční veličina se nerozbíhá

konstantní rychlostí již v počátku, ale teprve po určité době. Regulátory

se setrvačností 1. a vyšších řádů jsou popsány takto: 1. řád:

FR ( p ) =

Ki p( 1 + pT )

2. řád:

FR ( p ) =

Ki p( 1 + pT1 )( 1 + pT2 )

Seřízení:

Jediným

parametrem,

tj. reálný integrační člen

jehož

atd. nastavením

měníme

seřízení

integračního regulátoru, je integrační (rychlostní) konstanta Ki. Je to rychlost akční veličiny při jednotkové regulační odchylce. V praxi se vyskytují integrační regulátory 1. popřípadě 2. řádu. Integrační regulátor zcela odstraní regulační odchylku, je však s většinou regulovaných soustav (s astatickými soustavami vždy) nestabilní. Přechodové a frekvenční charakteristiky - viz. astatické typové členy. 6.1.3. DERIVAČNÍ REGULÁTOR Derivační regulátory se dají použít samostatně pouze jako zpětnovazební regulátory v tzv. vnitřní zpětné vazbě regulačního obvodu. V přímé větvi regulačního obvodu derivační regulátor samostatně nelze použít, neboť výstupní veličina regulátoru je nenulová jen tehdy, když se vstupní veličina e(t) mění. Pro konstantní regulační odchylku e(t) = konst. je derivace této veličiny nulová a tedy akční veličina

y(t)=0 a nedochází k regulačnímu pochodu. Je však možné přidávat derivační složku k jiným typům regulátorů - tím vznikají kombinované regulátory. Ideální D regulátor je popsán rovnicí

y ( t ) = Kd

de( t ) dt

Výstupní veličina je úměrná derivaci veličiny vstupní; akční veličina je úměrná rychlosti změny regulační odchylky. Po úpravě Laplaceovou transformací získáme přenos I regulátoru:

FR ( p ) = K d . p

kde Kd je derivační konstanta.

Tento přenos odpovídá přenosu derivačního ideálního členu a rovněž tak charakteristiky odpovídají tomuto typovému členu.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 50 --------------

Skutečné regulátory mají vždy určité přístrojové zpoždění. Regulátory se setrvačností 1. a vyšších řádů jsou popsány takto: 1. řád:

FR ( p ) =

K d .p 1 + pT

tj. reálný derivační člen

2. řád:

FR ( p ) =

K d .p ( 1 + pT1 )( 1 + pT2 )

atd.

Seřízení:

Jediným

parametrem,

jehož

nastavením

měníme

seřízení

derivačního regulátoru, je derivační konstanta Kd. Přechodové a frekvenční charakteristiky - viz. derivační členy.

6.1.4. PROPORCIONÁLNĚ INTEGRAČNÍ REGULÁTOR Proporcionálně integrační neboli PI regulátory vznikají paralelním spojení P a I regulátoru. P

e

y I

Přenos ideálního PI regulátoru obdržíme podle pravidla paralelního zapojení v blokové algebře sečtením přenosu ideálního proporcionálního a přenosu ideálního integračního regulátoru jako

FR ( p ) = K R +

Ki p

Tento vztah můžeme upravit následovně: FR ( p ) = K R ( 1 +

Ki 1 + Ti . p 1 ) = KR (1 + ) = KR KR p Ti p Ti . p

kde Ti =

KR Ki

Přechodová charakteristika: --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 51 --------------

y(t)

KR

Ti

t

Im

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině:

ω= ∞

Re

Kr

0

ω


FdB = 20 log K i − 20 log Ti ω + 20 log 1 + ω 2T 2 Fázový posun:

ϕ = −90 0 + arctgωTi

LAFCH:

- kmitočet zlomu

ωL =

1 Ti

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 52 --------------

FdB ≅ 20 log K i − 20 log Ti ω = 20 log

1. asymptota:

Pro

ω=1

platí

FdB = 20 log

Ki − 20 log ω Ti

-20dB/dek

Ki Ti

2. asymptota:

FdB = 20 log K i − 20 log Ti ω + 20 log ωTi = 20 log K i

LFFCH:

ϕ = −90 0 + arctgωTi

0dB/dek

Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích: FdB 30

FdB -20

20

ϕ

dB /de k

10 ωL

0 0.1

ϕ

1

10

ω 100

-10

1000

-90o -45o

-20 0o

-30

PI regulátor v sobě spojuje výhody rychlé odezvy na změny regulační odchylky (v P složce) s možností regulovat statické soustavy přesně, tedy s nulovou regulační odchylkou (I složka). Seřízení: U těchto regulátorů se nastavují dva parametry, a to zesílení a integrační konstanta. Interakce: U kombinovaných regulátorů, kde můžeme nastavovat při seřizování více parametrů, se může vyskytovat tzv. interakce. Jestliže při změně nastavení jednoho parametru se ostatní parametry nezmění, jedná se o regulátor bez interakce, v opačném případě má regulátor interakci, která stěžuje správné seřízení. Regulátory s interakcí bývají konstrukčně jednodušší. PI regulátor se setrvačností 1. řádu má přenos ve tvaru

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 53 --------------

FR ( p ) = K R

1 + Ti . p Ti . p( 1 + pT )

Ti > T

kde

6.1.5. PROPORCIONÁLNĚ DERIVAČNÍ REGULÁTOR Proporcionálně derivační neboli PD regulátor je tvořen paralelní kombinací P a D regulátoru: e

P

y D

Přenos ideálního PD regulátoru obdržíme podle pravidla paralelního zapojení v blokové algebře sečtením přenosu ideálního proporcionálního a přenosu ideálního derivačního regulátoru jako

FR ( p ) = K R + Td p Tento vztah upravíme následovně: FR ( p ) = K R ( 1 + TD p )

kde

TD =

Td KR

y(t)


KR t

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině:

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 54 --------------

Im

ω

ω=0 0

KR

Re


FdB = 20 log K R + 20 log 1 + ω 2TD2 ϕ = arctgωTD

Fázový posun: LAFCH:

1 TD

Kmitočet zlomu:

ωL =

1. asymptota:

FdB ≅ 20 log K R

2. asymptota:

FdB ≅ 20 log K R + 20 log ωTD = 20 log K R .TD + 20 log ω

LFFCH:

ϕ = arctgωTD

Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích:

FdB 30

+2

FdB

B 0d

/de

k

ϕ

20

20logKR

10 0 0.1

1

ωL

ω 10

100

0o

1000

-10

45o

-20 -30

ϕ

90o

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 55 --------------

Seřízení: U těchto regulátorů se nastavují dva parametry, a to zesílení a derivační konstanta. Stejně jako PI mohou být i tyto regulátory s interakcí nebo bez interakce. Skutečný PD regulátor se setrvačností prvého řádu má přenos ve tvaru:

FR ( p ) =

K R ( 1 + TD . p ) 1 + pT

kde T je setrvačná (časová ) konstanta, (TD>T)

6.1.6. PROPORCIONÁLNĚ INTEGRAČNĚ DERIVAČNÍ REGULÁTOR Proporcionálně integroderivační neboli PID regulátory obsahují všechny tři složky, tedy proporcionální, integrační a derivační. PID regulátor je vytvořen paralelním spojením P, I a D složek. P

e

y

I

D

Použijeme-li ideální P, I, D složky v paralelní zapojení, obdržíme ideální PID regulátor, jehož přenos je

FR ( p ) = K R + Td . p +

Ki p

Přenos můžeme upravit například do tvaru:

FR ( p ) = K R ( 1 +

1 + TD . p ) Ti . p

y(t)


KR Ti 0

t

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 56 --------------

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině: Im

ω

Re

Kr

0

ω=0

Pro kreslení charakteristik LAFCH a LFFCH v logaritmických souřadnicích je vhodné přenos přepočítat do tvaru FR ( p ) =

K R ( l + pT1 )( 1 + pT2 ) Ti p

Odtud můžeme určit přenos v decibelech:

FdB = 20 log K R − 20 log ωTi + 20 log 1 + ω 2T12 + 20 log 1 + ω 2T22 Fázový posun:

ϕ = −90 0 + arctgωT1 + arctgωT2

LAFCH: Kmitočty zlomu mají hodnoty: ω L1 =

1 T1

a

ωL 2 =

1 T2

volíme T1 > T2 ⇒ωL1 < ωL2

1. asymptota:

FdB = 20 log

KR − 20 log ω Ti

2. asymptota:

FdB = 20 log

K RT1 Ti

3. asymptota:

FdB = 20 log

K RT1T2 + 20 log ω Ti

LFFCH:

ϕ = −90 0 + arctgωT1 + arctgωT2

pokles -20db/dek

sklon +20dB/dek

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 57 --------------

Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích:

FdB

FdB

30

- 20

dB

20

/de

+2

k

0

k / de B d

ϕ

10

ω

0 0.1

ϕ

-10

ω L1

1

10

ω L2

100

1000

-90o 0o

-20 -30

90o

Seřízení: U těchto regulátorů se nastavují tři parametry, a to zesílení, derivační a integrační konstanta. Stejně jako ostatní složené regulátory mohou být i tyto regulátory s interakcí nebo bez interakce. V praxi realizujeme PID regulátor se setrvačností. Skutečný PID regulátor se setrvačností prvého řádu má přenos např. ve tvaru:

1 + TD p ) Ti p 1 + pT

KR ( 1 + FR ( p ) =

6.2. REALIZACE REGULÁTORŮ Hlavní pozornost budeme věnovat realizacím elektrickým (realizují se např. i regulátory pneumatické). Elektrické regulátory můžeme realizovat jako: - pasivní - aktivní

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 58 --------------

6.2.1. REGULÁTORY PASIVNÍ Pasivní regulátory jsou sestaveny z pasivních součástek - odporů a kondenzátorů. Vyhoví v méně náročných aplikacích. Tyto členy, nazývané také korekční, jsou svou jednoduchostí velmi výhodné. 6.2.1.1.PASIVNÍ P REGULÁTOR R1

F( p ) =

U1

R2

U2

U2( p ) R2 = = KR U 1 ( p ) R1 + R 2

Pokuste se nakreslit charakteristiky pro tento typ regulátoru. Přechodová charakteristika

Frekvenční charakteristika

y

Im

0 -Re t

0

-Im

LAFCH a LFFCH

FdB 20

ϕ

10

ω

0 0.1

1

10

100

1000

0o

-10 -20

6.2.1.2.PASIVNÍ I REGULÁTOR R U1

C

U2

1 U ( p) 1 1 pC F( p ) = 2 = = = 1 U1 ( p ) 1 + pCR 1 + pT R+ pC

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 59 --------------



y

Im

0 -Re t

0

-Im

LAFCH a LFFCH

FdB 20

ϕ

10

ω

0 0.1

1

10

100

1000

0o

-10 -20

6.2.1.3.PASIVNÍ D REGULÁTOR

U1

C

F( p ) = R

U2

U2( p ) = U1 ( p )

kde


R R+

1 pC

=

pCR pK = 1 + pCR 1 + pT

K = T = RC


y

Im

0 Re

-Re 0

t

-Im

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 60 --------------

LAFCH a LFFCH

FdB 20

ϕ

10

ω

0

0.1

1

10

100

1000

0o

-10 -20

6.2.1.4.PASIVNÍ PI REGULÁTOR R1 U1

C

R2

F( p ) = U2

U 2 ( p ) 1 + pT1 = U 1 ( p ) 1 + pT2

kde T1 = CR2 a


T2=(R1+R2)C


y

Im

0 Re

-Re 0

t

-Im

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 61 --------------

LAFCH a LFFCH

FdB 20

ϕ

10

ω

0 0.1

1

10

100

1000

-10 -20

6.2.1.5.PASIVNÍ PD REGULÁTOR F( p ) =

C

R1

U1

R2

U2


U 2 ( p ) K ( 1 + pT ) = U1 ( p ) 1 + pT1

R2 R1 + R 2

kde

K=

a

T=CR1

a

T1=KT


y

Im

0 Re

-Re t

0

-Im

LAFCH a LFFCH

FdB 20

ϕ

10

ω

0

0.1

1

10

100

1000

-10 -20

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 62 --------------

6.2.1.6.PASIVNÍ PID REGULÁTOR

C1 F( p ) =

R1

U 2 ( p ) ( 1 + pT1 )( 1 + pT2 ) = U 1 ( p ) ( 1 + pT3 )( 1 + pT4 )

kde T1T2 = T3T4

C2

T1

U1

R2

=

R1C1 T2

U2 T3 ,4 =

T1 + aT2 2

=

⎛ ⎜ 1 ± 1 − 4T1T2 ⎜ (T1 + aT2 )2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

R + R2 kde a = 1 Frekvenční charakteristika R2

Přechodová charakteristika y

Im

0 Re

-Re t

0

-Im

LAFCH a LFFCH

FdB 20

ϕ

10

ω

0

0.1

1

10

100

1000

-10 -20

6.2.2. REGULÁTORY AKTIVNÍ Jádrem regulátoru je stejnosměrný zesilovač s velmi vysokým napěťovým zesílením, s velmi vysokým vstupním odporem a s nízkým výstupním odporem. Jeho zesílení navíc nesmí záviset na frekvenci. Zesilovače s těmito vlastnostmi se nazývají operační a vyrábí se výhradně jako integrované obvody a jejich vlastnosti můžeme považovat za ideální, tj. --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 63 --------------

nekonečně velké napěťové zesílení, nekonečně velký vstupní odpor a nulový výstupní odpor. Pro realizaci regulátorů je používáme v invertujícím zapojení. 6.2.2.1.AKTIVNÍ P REGULÁTOR

R2 R1

FR ( p ) =

U1

U2( p ) R =− 2 U1 ( p ) R1

U2

6.2.2.2.AKTIVNÍ I REGULÁTOR C

R

FR ( p ) =

U1

U2( p ) 1 1 =− = U1 ( p ) pCR pTi

U2

6.2.2.3.AKTIVNÍ D REGULÁTOR

R C

U1

FR ( p ) =

U2

U2( p ) R =− = − pCR = − pK D 1 U1 ( p ) pC

6.2.2.4.SUMÁTOR

R0 Ui i =1 R i n

U V ( p ) = −∑

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 64 --------------

R0

U1 U2

R1

R2

Uv

Un Rn

Často volíme stejné hodnoty odporů sumátoru:

R1 = R2 =...Rn= R0.

6.2.2.5.AKTIVNÍ PI REGULÁTOR

R2 U1

R1 Ra

C R0

R3

Rb

U2

FR ( p ) =

R2R0 R0 1 + = KR + R1R a pCR 3 R b pTi

Volíme-li stejné hodnoty odporů sumátoru FR ( p ) =

Ra = Rb = R0 dostane:

R2 1 1 + = KR + R1 pCR 3 pTi

6.2.2.6.AKTIVNÍ PD REGULÁTOR

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 65 --------------

R2 R1

U1

Ra

R3

R0

C

Rb U2

FR ( p ) =

Volíme-li

R 2 R 0 pCR 3 R 0 + = K R + pTD R1 R a Rb

Ra = Rb = R0

FR ( p ) =

dostaneme přenos ve tvaru:

R2 + pCR 3 = K R + pTD R1

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 66 --------------

6.2.2.7.AKTIVNÍ PID REGULÁTOR R2 R1

U1

Ra

C1 R0

R3

Rb

U2 R4

C2

Rc

FR ( p ) =

R 2R0 R0 pC 2 R 4 R 0 1 + + = KR + + pTD R1 R a pC1R 3 R b Rc pTi

Volíme-li stejné hodnoty odporů Ra = Rb = R0 dostaneme přenos:

FR ( p ) =

R2 1 1 + + pC 2 R 4 = K R + + pTD R1 pC1 R 3 pTi

6.3. ZPĚTNOVAZEBNÍ REGULÁTORY Dle umístění v regulačním obvodu rozeznáváme dva druhy zpětných vazeb: - hlavní (vnější) zpětná vazba (přivádí signál z výstupu regulačního obvodu zpět na vstup regulačního obvodu - vnitřní zpětná vazba

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 67 --------------

REGULÁTOR FR(p)

w(t)

e(t)

y(t)

F(p)

x


x(t) - regulovaná veličina

Fz (p)

Vnější ZV

Vnitřní ZV

Dle vlastností rozeznáváme dva druhy zpětných vazeb: - tuhá ZV - frekvenčně nezávislá (tj. zpětnovazební přenos proporcionální) - poddajná ZV - frekvenčně závislá (používají se výhradně derivační členy, případně členy se setrvačností, NIKDY nepoužívají se integrační členy) Z uvedeného schématu můžeme odvodit přenos regulátoru FR(p): FR ( p ) =

F( p ) 1 + F ( p )Fz ( p )

Použijeme-li jako člen v přímé větvi F(p) operační zesilovač, jehož zesílení (přenos) se blíží nekonečnu, pak platí: FR ( p ) =

1 Fz ( p )

Celkový přenos regulátoru e tedy určen převrácenou hodnotou přenosu zpětnovazebního členu. Na základě tohoto poznatku můžeme realizovat tzv. zpětnovazební regulátory, jejichž dynamické

jsou dány (generovány) vnitřní

zápornou zpětnou vazbou.

Realizace regulátoru je určena dle údajů v následující tabulce. Generovaný

Celkový přenos Přenosový člen v záporné

Charakter členu ve

regulátor typu

regulátoru FR(P)

zpětné vazbě Fz(p)

zpětné vazbě

P

KR

KR-1

proporcionální

I

1/pTi

pTi

derivační

PI

KR(1+1/pTi)

pTi/[KR(1+pTi)]

derivační se setrv.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 68 --------------

PD

KR(1+pTD)

1/[KR(1+pTD)]

setrvačný

PID

KR(1+1/pTi+pTD)

pTi/[KR(1+pTi+p2TiTD)]

derivační se setrv. 2.ř.

Z této tabulky je zřejmé: - integrační složka se realizuje pomocí derivační záporné ZV - proporcionálně-derivační složka se získá pomocí setrvační záporné ZV - proporcionálně-integrační složka se získá pomocí derivační setrvační ZZV - proporcionálně-integračně-derivační účinek získáme derivační ZZV se setrvačností 2. řádu. Ve zpětnovazebních regulátorech se tedy využívají derivační regulátory, které v přímé větvi regulační obvodu nelze použít (viz. kapitola 6.1.3).

7.

REGULOVANÉ SOUSTAVY Regulovaná soustava je z kybernetického hlediska řízeným objektem. Na jejím

vstupu působí akční veličina a veličina poruchová, což můžeme zakreslit takto: y(t) Y(p)

u(t) U(p)

Regulovaná soustava FS(p)

x(t) X(p)

Podle počtu regulovaných veličin dělíme regulované soustavy na - jednorozměrné (1 regulovaná veličina)

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 69 --------------

- mnohorozměrné (více regulovaných veličin) Podle dynamických vlastností regulované soustavy dělíme na - statické soustavy - astatické soustavy - soustavy s dopravním zpožděním

7.1. STATICKÉ REGULOVANÉ SOUSTAVY Statické regulované soustavy jsou charakteristické tím, že po skokové změně vstupní veličiny (tj. akční nebo poruchové veličiny)) přejde regulovaná veličina do nového ustáleného stavu (tj. regulační veličina se sama ustálí na nové hodnotě) tzv.

autoregulace. (Uvažujeme regulovanou soustavu samotnou, vyjmutou z regulačního obvodu). Pro statické soustavy je charakteristické, že v ustáleném stavu platí mezi vstupní a výstupní veličinou úměra, vyjádřená koeficientem zesílení soustavy (součinitel přenosu Ks). 7.1.1. BEZKAPACITNÍ STATICKÉ RS Nazývají se také ideální, neobsahují žádnou energetickou kapacitu, nemají proto schopnost hromadit hmotu ani energii a výstupní veličina je v každém okamžiku úměrná veličině vstupní, reaguje tedy na každou její změnu ihned, bez zpoždění nebo setrvačnosti.

Soustava je popsána rovnicí

a 0 x ( t ) = b0 y ( t )

a z ní vyplývá přenos

FS ( p ) =

X ( p ) b0 = = KS Y ( p ) a0

kde KS - zesílení soustavy (součinitel přenosu statické soustavy) (Pozn.:

1 je tzv. součinitel autoregulace) KS

V praxi se s tímto typem soustav setkáváme jen zřídka. Za tento typ je možné považovat operační zesilovač, odporový dělič.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 70 --------------

7.1.2. JEDNOKAPACITNÍ STATICKÉ RS Tyto soustavy mají jednu energetickou kapacitu, která umožňuje hromadit energii nebo hmotu. Výstupní veličina reaguje na změny vstupní veličiny pomaleji, se setrvačností. Vlastnosti uvedené soustavy lze vyjádřit matematicky pomocí lineární diferenciální rovnice 1. řádu:

a1

dx ( t ) + a 0 x ( t ) = b0 y ( t ) dt

Lze odvodit operátorový přenos (prostřednictvím Laplaceovy transformace): FS ( p ) =

kde

b0 KS = a 0 + a1 p 1 + pTs

Ks - součinitel přenosu soustavy (zesílení) Ts - setrvačná časová konstanta

7.1.3. DVOUKAPACITNÍ STATICKÉ RS Vlastnosti uvedené soustavy lze vyjádřit matematicky pomocí lineární diferenciální rovnice 2. řádu: a2

Přenos:

d 2 x( t ) dx ( t ) + a1 + a 0 x ( t ) = b0 y ( t ) d(t ) dt

FS ( p ) =

b0 KS = 2 a 0 + a1 p + a 2 p 1 + pTs 2 + p 2Ts21

Soustava má dvě časové konstanty, obsahuje dvě energetické kapacity. Přechodová charakteristika může mít kmitavý průběh. 7.1.4. VÍCEKAPACITNÍ STATICKÉ RS Tyto soustavy obsahují více než dvě energetické kapacity. Přechodová charakteristika může mít kmitavý průběh. S rostoucím počtem energetických kapacit obsažených v soustavě roste řád diferenciální rovnice a zmenšuje se rychlost odezvy výstupní veličiny x(t) na změny vstupní veličiny y(t). Řádu soustavy odpovídá stupeň jmenovatele přenosu Fs(p). Fs ( p ) =

Ks ( 1 + pT1 )( 1 + pT2 )...( 1 + pTn )

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 71 --------------

Frekvenční charakteristiky statických soustav v komplexní rovině začínají na kladné reálné poloose v bodě KS a probíhají tolika kvadranty, kolikátého je soustava řádu (v záporném smyslu). LAFCH začíná asymptotou s nulovým sklonem ve vzdálenosti 20logKs od osy frekvence, poslední asymptota má sklon n(-20dB/dek), je-li n řád soustavy. LFFCH začíná z hodnoty 00 a končí v hodnotě n(-900). Mezi statické regulované soustavy patří pece, generátory, motory, tlakové nádoby, výměníky tepla apod. Tvoří v technické praxi většinu.

7.2. ASTATICKÉ REGULOVANÉ SOUSTAVY Astatické regulované soustavy jsou charakteristické tím, že po skokové změně vstupní (tj. akční nebo poruchové) veličiny se regulovaná veličina trvale mění (roste nebo klesá), pokud neuvažujeme její omezení dané konstrukcí soustavy. Astatické soustavy tedy po vyvedení z původního ustáleného stavu nezaujmou samy nový ustálený stav - jsou samy o sobě nestabilní (nemají autoregulaci) - provozní stabilita se zajišťuje regulací. U těchto soustav se tedy regulovaná veličina samovolně neustálí na nové hodnotě, jak tomu bylo u statických soustav, ale odchylka od původního rovnovážného stavu se neustále zvětšuje. Z toho vyplývá, že následky vzniklé poruchou lze odstranit pouze pomocí regulátoru. 7.2.1. JEDNOKAPACITNÍ ASTATICKÉ RS Mají jednu energetickou kapacitu. Regulovaná veličina se u těchto soustavy při skokové změně akční veličiny mění ihned a roste úměrně s časem. Vlastnosti jednokapacitní astatické soustavy lze popsat pomocí diferenciální rovnice:

a1 Přenos kde

Ki =

dx ( t ) = b0 y ( t ) (na levé straně rovnice chybí prostý člen) dt

Fs ( p ) = b0 a1

b0 K = I a1 p p

je rychlostní - integrační konstanta (součinitel přenosu)

Astatická soustava 1. řádu se chová jako ideální integrátor. --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 72 --------------

7.2.2. DVOUKAPACITNÍ ASTATICKÉ RS Tyto soustavy jsou popsány diferenciální rovnicí:

a2 Přenos: kde

d 2 x( t ) dx ( t ) + a1 = b0 y ( t ) dt dt

Fs ( p ) =

b0 KI = 2 p( 1 + pTs ) a1 p + a 2 p

Ts - setrvačná časová) konstanta.

Frekvenční charakteristiky astatických soustav v komplexní rovině začínají na záporné imaginární poloose v bodě -∞ a probíhají (n-1) kvadranty (n je řád soustavy). LAFCH začíná asymptotou s poklesem -20dB/dek, poslední asymptota má sklon n(-20dB/dek), je-li n řád soustavy. LFFCH začíná z hodnoty -900 a končí v hodnotě n(-900). Astatických soustav je v technické praxi ve srovnání s počtem soustav statických méně. Astatické soustavy vyšších řádů se velmi obtížně řídí, zejména proto, že regulační obvody, v nichž jsou obsaženy, mají sklon k nestabilitě. (Vyskytují se v oboru raketové techniky). Typickým příkladem astatických soustav jsou turbiny, servomotory, motory a elektromotory, jejichž výstupem je poloha nebo úhlové natočení (a nikoli otáčky), nádrže s nuceným přítokem a odtokem kapaliny při regulaci výšky hladiny, stranové řízení

vozidel, lodí, letadel apod. Astatické soustavy vyšších řádů mohou být

přetlumené či kmitavé.

Poznámka: Totéž zařízení může být statickou i astatickou soustavou. Záleží jen na tom, která veličina se považuje za veličinu regulovanou. Tytéž motory považujeme za statické soustavy, jestliže regulovanou veličinou je rychlost (otáčky) a za soustavu astatickou, bereme-li jako regulovanou veličinu úhel natočení hřídele.

7.3. REGULOVANÉ SOUSTAVY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM Dosud uvažované soustavy měly všechny tu vlastnost, že regulovaná veličina

x se začínala měnit ve stejném okamžiku, kdy nastala změna akční veličiny y. Tyto soustavy nemají žádné dopravní zpoždění. --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 73 --------------

V technické praxi se však u regulovaných soustav setkáme také s případy, kdy mezi okamžikem změny akční veličiny y a okamžikem, kdy se začne měnit regulovaná veličina x, uplyne časový interval, během něhož soustava nereaguje, Tuto dobu nazýváme dopravní zpoždění a označujeme τ . Dopravní zpoždění

nemá vliv na amplitudu. Změní se charakteristiky v

komplexní rovině a logaritmická fázově frekvenční charakteristika. Nezmění se logaritmická amplitudově frekvenční charakteristika. Dopravní zpoždění vždy ztěžuje řízení soustavy; snažíme se je, kde to jde, potlačit. Příkladem regulačních obvodů, u kterých se vyskytuje dopravní zpoždění, je řízení vesmírných sond, kdy regulátor zůstává na zemi a regulovaná soustava je ve vesmíru. Dopravní zpoždění je způsobeno konečnou rychlostí šíření signálu na dlouhé spojovací cestě. 7.3.1. STATICKÉ SOUSTAVY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM Považujeme v podstatě za sériové spojení statické soustavy a členu dopravního zpoždění. Přenos soustavy s dopravním zpožděním získáme tedy tak, když základní přenos stejné soustavy násobíme činitelem e-pτ, kde τ je dopravní zpoždění. Například přenos statické soustavy 0. řádu s dopravním zpožděním je:

Fs ( p ) = K s .e − pτ 7.3.2. ASTATICKÉ SOUSTAVY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM Výsledné přenosy těchto soustavy získáme stejným způsobem jako u statických soustav s dopravním zpožděním.

7.4. IDENTIFIKACE REGULOVANÝCH SOUSTAV Identifikace - určení vlastností a parametrů systému, v našem případě regulované soustavy. Dynamickou identifikací rozumíme určení dynamických vlastností, a to většinou ve formě diferenciálních rovnic nebo operátorového přenosu. V zásadě můžeme metody identifikace rozdělit na: - analytické - experimentální Při analytické identifikaci vycházíme z konstrukčních údajů daného objektu a podle fyzikálních a chemických zákonů sestavíme rovnice popisující vztahy mezi

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 74 --------------

veličinami v objektu (je to tzv. identifikace systému matematickofyzikální analýzou objektu). Nevýhodou tohoto přístupu je, že vyžaduje důkladné znalosti příslušného oboru, do kterého zkoumaný objekt patří, a získané výsledky jsou složité. Při

experimentální

identifikaci

systému

určujeme

vlastnosti

objektu

rozborem průběhu vstupních a výstupních veličin objektu. Mezi experimentální metody patří - metoda frekvenčních charakteristik - metoda přechodové charakteristiky - identifikace pomocí modelů 7.4.1. METODA FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK Metoda frekvenčních charakteristik je jednou z nejstarších metod identifikace a je vhodná pro soustavy, jejich časové konstanty nejsou příliš velké (řádově do 101s), u kterých jsme schopni realizovat harmonický signál v požadovaném pásmu frekvencí. Při měření přivádíme na vstup sinusovou veličinu a měříme za ustáleného stavu poměr amplitudy výstupní a vstupní sinusovky a rozdíl jejich fází. Používáme charakteristiky v logaritmických souřadnicích a při identifikaci vycházíme z průběhu logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky (LAFCH). K

amplitudové

charakteristice

nakreslíme

nejprve

asymptoty.

Přitom

postupujeme tak, že nejprve nakreslíme asymptoty pro ω→0, jejichž sklon je 0dB/dek, -20dB/dek, -40dB/dek podle řádu astatismu soustavy, pak asymptotu pro ω→∞. Potom dokreslíme ostatní asymptoty se sklony 0dB/dek, ±20dB/dek,

±40dB/dek, ..., tak, aby na zlomech asymptot byla chyba od naměřené charakteristiky při zlomu o 20 dB kolem 3dB, při zlomu o 40 dB kolem 6dB. Zlomy asymptot určují převratné hodnoty časových konstant, a to při kladném zlomu v polynomu čitatele přenosu, při záporném zlomu v polynomu jmenovatele. První asymptota při ω=1 určuje hodnotu zesílení v decibelech. Podle asymptot amplitudové charakteristiky napíšeme operátorový přenos ve tvaru zlomku (v čitateli i ve jmenovateli se vyskytují polynomy 1+pTn a operátor p), tedy např.: F( p ) =

K .( 1 + pT1 ) p .( 1 + pT2 ).( 1 + pT3 )

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 75 --------------

Z operátorového přenosu sestavíme přenos frekvenční, který upravíme na exponenciální tvar. Nakonec překontrolujeme vypočtenou amplitudovou a fázovou charakteristiku s charakteristikami změřenými. Podle případných rozdílů opravíme hodnotu zesílení, frekvence zlomů asymptot, eventuálně při narůstající fázové chybě stanovíme hodnotu dopravního zpoždění. Příklad: Určete operátorový přenos soustavy, jejíž LAFCH (máme zakresleny přímo asymptoty) a LFFCH jsou na obrázku: 3.as. FdB

k de / B 0d 2 + 2.as.

30

FdB

1.as.

10 0 0.1

1

ω L1

10

-10 -20

ϕ

20logK

20

ω L2

ω 100

90o

1000

45o ϕ 0o

-30

Amplitudová charakteristika je rozdělena do tří asymptot → musíme tedy určit dva kmitočty lomu ωL1 a ωL2 a z nich dvě časové konstanty T1= 1/ωL1 a T2 = 1/ωL2. První zlom je kladný → T1 bude tedy v polynomu v čitateli, druhý zlom je záporný → T2 bude v polynomu ve jmenovateli. Z první asymptoty určíme ještě hodnotu zesílení K. V našem případě je tedy výsledný přenos F( p ) =

K .( 1 + pT1 ) ( 1 + pT3 )

Pokuste se sestavit operátorové přenosy dle amplitudových charakteristik 1. až 4.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 76 --------------

FdB 3

60

1

40 34

2

20 0 1

-20

-20d B/de k -20d -20d

B/ +20d

B 0d +4

B/de k

-40

B/de k

dek

10

20

dB /de

k /de

k

50 100

4

ω 600 1000 -6 0d B/

-40

ϕ

k B/ d e +20d

10000

de k

-60

1.

F1(p) =

2.

F2(p) =

3.

F3(p) =

4.

F4(p) =

7.4.2. METODA PŘECHODOVÉ CHARAKTERISTIKY Tato metoda je poměrně jednoduchá. K získání přechodové charakteristiky stačí zdroj skokové funkce a zapisovač průběhu. Metoda je vhodná i pro soustavy s velkými časovými konstantami (jednotky sekund a více), u kterých nemůžeme změřit charakteristiky frekvenční. Přechodové charakteristiky mají velmi rozdílené tvary, které závisí zejména na řádu soustavy. K vyhodnocování statických systémů byla --------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 77 --------------

vyvinuta celá řada metod identifikace

od jednoduchých (méně přesných) až po

složité metody pro soustavy vyšších řádů. Nejjednodušší je aproximace statickou soustavou 1. řádu, případně statickou soustavou 1. řádu s dopravním zpožděním, přesnějších výsledků dosáhneme aproximací statickou soustavou vyššího řádu s dopravním zpožděním. Příklad 1.: Aproximace statickou soustavou 1. řádu s dopravním zpožděním y

T

K

Tu- doba průtahu Tn - doba náběhu

A

0

Tu

Tp - doba přechodu

t

Tn

Tp

Přechodová charakteristika neznámé soustavy je v obrázku plně vytažena. V inflexním bodě A vedeme tečnu a určíme časové úseky Tu, Tn a Tp. Aproximovaná charakteristika je vyznačena čárkovaně a její přenos můžeme psát ve tvaru F( p ) =

K . e − pτ 1 + pTn

Z obrázku je vidět, že tato aproximovaná charakteristika začíná v bodě t=Tu, takže objekt má dopravní zpoždění τ = Tu. Časová konstanta T odpovídá době náběhu Tn. Zesílení určuje ustálená hodnota přechodové charakteristika K pro jednotkový vstupní signál, nebo výraz K/K1, pokud vstupní signál měl hodnotu K1.

y

Příklad 2.: Aproximace astatického systému prvního řádu

K

0

1

t

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 78 --------------

Určit přenos astatického členu prvního řádu, jehož přechodová charakteristika je na obrázku, je velmi jednoduché, neboť jeho přenos

F( p ) =

K P

7.4.3. IDENTIFIKACE POMOCÍ MODELU Princip identifikace pomocí modelu spočívá v postupné změně parametrů modelu tak, že reakce na vstupní signál jsou stejné jako reakce identifikovaného objektu. Potom je zřejmé, že přenos uvedeného modelu je roven přenosu identifikovaného systému. Pro identifikaci můžeme použít libovolný vstupní signál. Jako modelu můžeme použít např. analogového počítače. Existují různé způsoby spojení modelu s identifikovaným objektem. Nejjednodušší a nejnázornější je paralelní spojení modelu a identifikovaného objektu.

x


y1

x

e

x

Model soustavy

y2

Bude-li rozdílový signál e roven nule pro libovolný vstupní signál, je přenos soustavy roven přenosu modelu.

POUŽITÁ LITERATURA: [1]

BERNARD, J.M., HUGON ,.,LE CORVEC,R.: OD

LOGICKÝCH OBVODŮ K

MIKROPROCESORŮM, SNTL,1982, PRAHA

[2]

MARŠÍK A.: AUTOMATIZAČNÍ TECHNIKA, SNTL PRAHA, 1986

[3]

MIKULA, V., VRBA, K.,: ČÍSLICOVÁ A IMPULSOVÁ TECHNIKA, VUT BRNO, 1992

[4] [5]

ŠVÁBENSKÝ Z., VORLÍČEK J., JIRSÍK V.:KYBERNETIKA, VUT BRNO, 1989 ŠVÁBENSKÝ, Z.,: KYBERNETIKA, VUT BRNO, 1989

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 79 --------------

[6]

ŠVARC I.:KYBERNETIKA, VUT BRNO, 1989

[7]

VAVŘÍN, P. A KOL.: AUTOMATIZAČNÍ TECHNIKA, SNTL,PRAHA 1983

Tato příručka neprošla jazykovou úpravou a je určena jako učební text pro studenty 3. ročníku oboru slaboproudá elektrotechnika SPŠE Brno, Kounicova 16,, jako doplněk výkladu učitele.

--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 80 --------------

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, BRNO, KOUNICOVA 16 PRO 3. ROČNÍK OBORU SLABOPROUDÁ ELEKTROTECHNIKA 1. ČÁST

Recommend Documents