Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Oddělení celoživotního vzdělávání
Závěrečná práce
„Stavby z krychlí“ v MŠ
Vypracovala: Mgr. Lenka Kotková Vedoucí práce: Doc. PhDr. Alena Hošpesová, Ph.D. České Budějovice 2016
Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji závěrečnou práci vypracovala samostatně pouze s použitím pramenů a literatury uvedených v seznamu citované literatury. Prohlašuji, že v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb. v platném znění souhlasím se zveřejněním své závěrečné práce, a to v nezkrácené podobě elektronickou cestou ve veřejně přístupné části databáze STAG provozované Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích na jejích internetových stránkách, a to se zachováním mého autorského práva k odevzdanému textu této kvalifikační práce. Souhlasím dále s tím, aby toutéž elektronickou cestou byly v souladu s uvedeným ustanovením zákona č. 111/1998 Sb. zveřejněny posudky školitele a oponentů práce i záznam o průběhu a výsledku obhajoby kvalifikační práce. Rovněž souhlasím s porovnáním textu mé kvalifikační práce s databází kvalifikačních prací Theses.cz provozovanou Národním registrem vysokoškolských kvalifikačních prací a systémem na odhalování plagiátů.
V Českých Budějovicích dne 14. prosince 2015
2
Lenka Kotková
Anotace Závěrečná práce rozpracovává výukové prostředí „stavby z krychlí“ pro použití v předškolní edukaci. Cílem práce je vytvořit sadu úloh inspirovaných Hejného úlohami pro 1. st. ZŠ, ověřit je v praxi a připravit metodické materiály pro učitele. V teoretické části se zabývám předmatematickou výchovou, dovednostmi v mateřské škole a představením Hejného matematických prostředí. V praktické části ověřuji prostřednictvím řešení 15 úloh dětmi předškolního věku využití prostředí staveb z krychlí při předškolním vzdělávání. Závěr práce potvrzuje skutečnost, že v mateřské škole lze ve zjednodušené formě pracovat s Hejného matematickým prostředím „Krychlové stavby“.
Klíčová slova: Předmatematické představy, geometrická představivost, stavby z krychlí, půdorys stavby, pohledy na stavbu
Abstract The final thesis elaborates "the construction of cubes" learning environment to be used in preschool education. The goal of the thesis is to make a set of tasks inspired by Hejný´s primary school tasks, put it into practice and make methodical materials for teachers. In the theoretical part I deal with pre-maths education, nursery skills and presentation of Hejný´s maths environment. In the practical part I prove utilization of cubic construction environment in preschool education using 15 tasks solved by children of preschool age. The closing part proves that Hejný´s maths
environment
"Cubic
constructions"
can
be
in
simplified
form applied at nursery schools.
Key words: Pre-maths concepts, geometric imagination, construction of cubes, ground plan, construction perspectives
3
Poděkování Velmi děkuji paní doc. PhDr. Aleně Hošpesové, PhD. za cenné rady, připomínky a odbornou pomoc, kterou mi poskytla při zpracování mé závěrečné práce.
4
Obsah 1
Úvod .............................................................................................................. 7
2
Teoretická část .............................................................................................. 8
2.1
Dítě předškolního věku z pohledu vývojové psychologie ............................. 8
2.2
Předmatematická výchova .......................................................................... 10
2.2.1
Vymezení
pojmů
předmatematická
výchova,
předmatematická
gramotnost ......................................................................................................... 10 2.2.2
Předmatematické dovednosti.............................................................. 10
2.2.3
Historický vhled a současnost předmatematické výchovy .................. 11
2.3
Předmatematická výchova v MŠ dnes ........................................................ 15
2.4
Geometrie v mateřské škole ....................................................................... 17
2.4.1
Vymezení
pojmů
prostorová
představivost
a geometrická
představivost ...................................................................................................... 18 2.4.2 2.5
Možnosti geometrie v mateřské škole ................................................ 19
Milan Hejný a jeho matematická prostředí ................................................ 19
2.5.1
Autorský medailon ............................................................................... 19
2.5.2
Hejného metoda - 12 klíčových principů ............................................. 20
2.5.3
Matematická prostředí ........................................................................ 20
2.6
Zásady pro výuku aritmetiky a geometrie v konstruktivisticky pojatém
vyučování ............................................................................................................... 22 2.7
Prostředí „staveb z krychlí“ ......................................................................... 24
2.7.1
Vymezení pojmů .................................................................................. 24
2.7.2
Představení prostředí .......................................................................... 25
3
Praktická část .............................................................................................. 26
3.1
Cíl akčního výzkumu .................................................................................... 26
3.2
Výzkumný vzorek ........................................................................................ 26
3.3
Použité metody ........................................................................................... 26
3.4
Vlastní výzkumné šetření ............................................................................ 27
3.5
Sada sestavených úloh s komentáři a záznamy z realizace ........................ 29
3.6
Metodické materiály pro učitele MŠ........................................................... 42
4
Závěr ............................................................................................................ 57
5
Seznam použitých zdrojů ............................................................................ 58
6
Přílohy ......................................................................................................... 61
6
1 Úvod V poslední době nabývá otázka rozvíjení prostorové představivosti na důležitosti, a to i mezi rodiči dětí předškolního věku. Snad jde o módní záležitost, možná si společnost začíná uvědomovat, že díky dostatečnému množství zkušeností se daří navazovat na řešení složitějších a abstraktnějších problémů, a to ve všech oblastech, nejen v matematice a geometrii. Ať už je důvod jakýkoliv, pro učitele mateřské školy je mnohdy oblast předmatematické výchovy oblastí méně zabydlenou, často omezenou pouze na vědomé procvičování geometrických tvarů a vyjmenování řady čísel. Nevědomky se pak předmatematické výchově učitelé věnují nejrůznějšími hrami, jako např. u obyčejných „Co se změnilo“ nebo „Zajíček své jamce“. Myslím si, že učiteli chybí opora – a to jak v samotném rámcovém vzdělávacím programu, tak v metodických publikacích. Ve své práci se zabývám rozvojem prostorové představivosti u dětí předškolního věku pomocí jednoho z matematických prostředí prof. Hejného – prostředí Krychlových staveb. Toto zaměření jsem si zvolila především pro to, že jsou mi matematická prostředí, se kterými jsem se setkala při studiu učitelství 1. stupně ZŠ, blízká. Oblíbila jsem si je natolik, že jsem se je pokoušela aplikovat v mateřské škole, kam jsem nastoupila hned po studiu. Cílem mé práce je vytvořit sadu úloh inspirovaných Hejného úlohami pro 1. st. ZŠ, ověřit je v praxi a připravit metodické materiály pro učitele. V teoretické
části
se
zabývám
specifiky
předškolního
věku,
předmatematickou výchovou, představením Hejného matematických prostředí a prostředí „staveb z krychlí“. V praktické části jsem vytvořila sadu 15 úloh a prostřednictvím akčního výzkumu ověřuji jejich řešení dětmi předškolního věku. Na základě shrnutí zkušeností z akčního výzkumu sestavuji metodické materiály pro využití prostředí „staveb z krychlí“ v předškolním vzdělávání.
7
2 Teoretická část 2.1 Dítě předškolního věku z pohledu vývojové psychologie Dříve, než se budu zabývat předmatematickou výchovou, resp. činnostmi v prostředí „stavby z krychlí“ u dětí předškolního věku, je potřeba se pro bližší pochopení specifik podívat na dané vývojové období dítěte z pohledu psychologie. Čáp, Mareš (2007) a Vágnerová (2005) se shodují na věkovém vymezení předškolního období od 3 do 6 let. Langmeier, Krejčířová (1998) uvádí v širším pojetí předškolní období jako období v rozmezí 0-6 let, v užším pojetí jako období od 3 let do zahájení školní docházky. Ve své práci budu vymezovat a rozlišovat dva pojmy: 1.
„Předškolní období“ jako časový úsek 3-6(7) let věku dítěte (do zahájení
školní docházky) 2.
„Předškolák“ jako období 5-6(7) let věku dítěte (jako užší pojetí
„Předškolního období“, 1(2) roky před zahájením školní docházky V předškolním období je podle Čápa, Mareše (2007) znát výrazný pokrok oproti období batolecímu. Dochází ke zdokonalení a ladnosti pohybu, rozvoji řeči, velkému rozmachu her, hraní rolí, kooperaci. Normy chování si dítě osvojuje sociálním učením. V jednoduché formě se utváří svědomí. Vágnerová (2005) charakterizuje předškolní věk jako stabilizaci vlastní pozice ve světě a diferenciací vztahu ke světu. Jako typické znaky uvažování dítěte předškolního věku Vágnerová (2005) uvádí: 1. Způsob, jakým dítě nazírá na svět, jak a jaké informace si vybírá. (centrace, egocentrismus, fenomenismus, prezentismus) 2. Způsob, jakým tyto informace zpracovává a jak svá zjištění interpretuje
8
(magičnost,
animismus/resp.
antropomorfismus,
arteficialismus,
absolutismus) Čáp, Mareš (2007) toto období charakterizují jako období předoperačního myšlení. Tento termín vychází z Piageta, jedná se o dlouhé období mezi 2-7 rokem dítěte. Vyznačuje se výrazným rozvojem řeči, především slovní zásoby, a egocentrickým myšlením. Piaget (1997) toto období dále rozděluje na období symbolického a předpojmového myšlení (2-4 roky) a na období názorného myšlení (4-7 let). Mladší předškolní děti „Neberou v úvahu možnost, že nové uspořádání může být navráceno do původního stavu.“ (Vágnerová 2005, s. 176) Předškolní dítě „nechápe trvalost podstaty a její nezávislosti na změně vnější podoby“(Vágnerová 2005, s. 176) I ve vnímání prostoru převažuje u dětí předškolního věku egocentrická představa. Podle Vágnerové (2005) děti předškolního věku neumí dobře odhadovat prostorové vztahy. Přeceňují předměty, které jsou k nim blíže, vidí je jako velké. Naopak podceňují vzdálené předměty, jeví se jim jako malé. Dobře rozlišují nahoře – dole, ale určení vpravo – vlevo teprve dozrává. V klasifikaci a třídění (Vágnerová, 2005) dítě předškolního věku preferuje nápadné vlastnosti objektu nebo „podnětů, které jsou pro dítě atraktivní a mají význam pro uspokojování momentálních potřeb“ (Vágnerová 2005, s. 178). Podle Piageta a Inhelderové (2007) děti kolem tří let nejen třídí objekty, ale zároveň je řadí do obrazce (např. kruhu, řady apod.). Starší děti již třídí do neuspořádaných množin, které mohou dále rozdělit. Děti předškolního věku nejprve umí názvy čísel, dokážou odříkat číselnou řadu zpaměti, teprve později pochopí podstatu číselného pojmu, význam a řazení jednotlivých čísel. Rozumí pojmům „málo“, „hodně“, a „přidáme“, „ubereme“. Vágnerová (2005)
9
Paměť používají děti bezděčně, neuvědomují si, že existuje paměťové strategie k lepšímu zapamatování. V porozumění času, je pro dítě nejdůležitější přítomnost. Vztah k času se teprve vyvíjí, pro členění času užívá dnů v týdnu, delší jednotky umí často jen vyjmenovat. (Vágnerová, 2005)
2.2 Předmatematická výchova 2.2.1
Vymezení pojmů předmatematická výchova, předmatematická gramotnost Pro učení se matematice musí být dítě na úrovni tzv. rozvinutého operačního
myšlení, aby mohlo operovat s abstraktními pojmy. Proto Kaslová (2010) uvádí, že u dítěte předškolního věku lze hovořit pouze o předmatematických představách, předmatematické výchově a předmatematické gramotnosti. „Matematická gramotnost je schopnost jedince poznat a pochopit roli, kterou hraje matematika ve světě, dělat dobře podložené úsudky a proniknout do matematiky
tak,
aby
splňovala
jeho
životní
potřeby
jako
tvořivého,
zainteresovaného a přemýšlivého občana.“ (Altmanová 2010, str. 22). „Předmatematickou gramotností chápeme především soubor schopností na úrovni umožňující nástup školní matematiky. Znalostní složka je sice rozvíjena, avšak v poměru k nastartování některých procesů a ke stimulaci rozvoje specifických i komplexnějších schopností je v minoritě“ (Kaslová 2012, s .7).
2.2.2 Předmatematické dovednosti Bednářová, Šmardová (2011) uvádí, že předmatematické představy se utváří na základě mnoha předchozích schopností a dovedností, zejména motorických a zvláště
grafomotorických
dovedností.
„Úroveň
motorických
dovedností
poznamenává manipulaci s předměty, získávání zkušeností s množstvím, odhadem
10
velikosti, vzdálenosti, grafomotorické dovednosti ovlivní písemný projev, zápisy v matematice, rýsování.“ (Bednářová, Šmardová 2011, s. 88) Bednářová, Šmardová (2011) dále rozpracovávají, kterým oblastem základních matematických představ se konkrétně věnovat při přípravě na školní docházku: Jde především o zrakovou diferenciaci, analýzu a syntézu; prostorovou orientaci; orientaci v čase; rozvoj řeči (pojmy některé, alespoň jeden, žádné, nic, stejně, méně, více, o jeden méně, o jeden více, dohromady); zkušenosti s pravdivostí či nepravdivostí nejjednodušších tvrzení; třídění dle různých kritérií (barvy, tvary, velikosti apod.; jedno, nebo více kritérií), vedeme dítě i k vytváření vlastních kritérií, k tomu, že třídy nemusí mít shodný počet prvků; uspořádání a řazení souborů (dle velikosti, odstínu barvy, výkonu, stáří apod.); počítání v oboru do šesti, vzestupnou i sestupnou řadu, jde ale především o porozumění pojmu číslo, postupně chápat, co znamená číslo i bez opory; geometrické tvary (kruh, čtverec, trojúhelník, obdélník).
2.2.3 Historický vhled a současnost předmatematické výchovy Pro historický vhled jsem zvolila jako hlavní opěrné body Informatorium (17. stol.) a Program výchovné práce pro jesle a mateřské školy spolu s metodickými příručkami (1980-1989). Jsem si vědoma, že zdaleka nepokrývám celé období od počátku předmatematické výchovy po dnešek. Historické srovnání není ani předmětem mé práce. Jde mi pouze o jakýsi náhled, možnost porovnání pohledu na předmatematickou výchovu, resp. geometrii v předškolním věku v minulosti a dnes. Informatorium školy mateřské J. A. Komenského (1592-1670) je prvním spisem ve světové literatuře týkajícím se předškolní výchovy. Navazuje na Didaktiku velkou, která představovala ucelenou soustavu vzdělávání. J. A. Komenský v Informatoriu klade na rodiče povinnost pěstovat u dětí základy všech věd, pobožnosti, mravů i umění. Zvláštní odstavec věnuje Aritmetice a zvláštní Geometrii:
11
„Činění některé se spravuje myslí a jazykem, jako dialektika, aritmetika, geometrie, muzika; jiné myslí a rukama, jako práce tělesné jakékoli.“ (Komenský 1964, s. 15) „Aritmetiky základ bude, když věděti bude, co jest mnoho a co málo; a uměti bude asi do dvaceti neb kopy napočítati; a rozuměti, co sudé, liché; a souditi, že více jest tři než dvě, a přidaje ke třem jednu, že bude čtyry atd.“ (Komenský 1964, s. 15) „Aritmetiky začátek sotva v třetím létě býti může, když začínají nejprv asi do pěti, potom asi do desíti počítat, aneb aspoň to jadrně vyslovovati, i kdyby pak nejprv, co tj., nerozuměli. Potom začnou sami od sebe, nač se to počítání děje, vyrozumívati. V čtvrtém, pátém, šestém létě naučí-li se asi do dvaceti pořádně počítati, a že sedm je víc než pět, patnáct víc než třináct atd. hbitě rozhodnouti, dosti bude. Co v počtu sudý a co lichý jest, ze hry, kteráž „sudá lichá“ slove, snadně vyrozumějí. Dále jich do aritmetiky vésti (sčítáním, odčítáním atd. obtěžovati chtěje) daremné jest a škodné; poněvadž nic naprosto v mysli naší tížeji se nepořádá jako počet.“ (Komenský, 1964, s. 29) „Geometrie fundament bude neškodný, naučí-li se rozuměti co jest veliké, malé; dlouhé, krátké; široké, úzké; tlusté, tenké; item co píď, co loket, co sáh.“ (Komenský 1964, s. 15) „Geometrie chápati začnou asi ve druhém roce, porozumíváním totiž, co veliké a co malé slove, a zatím potom, čemu se krátké neb dlouhé, široké neb úzké říká. V čtvrtém roku prospějí, budou-li některých figur rozdíly znáti, co totiž kolo slove, co linka nebo čára, co kříž atd. Naposledy jména měr vůbec známějších: dlaň, píď; loket, sáh, váha, pitna, žejdlík atd. a jestliže co víc samo jim v známost vejde, a oni sami měřiti, vážiti, přirovnávati jednoho k druhému pokoušeti se začnou.“ (Komenský 1964, s. 29) Mezi lety 1980 - 1989 byly vydány podrobné metodické příručky pro jednotlivé oblasti výchovy v MŠ a shrnující Program výchovné práce pro jesle a mateřské školy. Program výchovné práce pro jesle a mateřské školy (dále jen Program) obsahuje kapitolu Rozvíjení základních matematických představ. „Cílem rozvíjení základních matematických představ u dětí předškolního věku je získávat
12
zkušenosti a objevovat vztahy mezi objekty okolního světa; utvářet a rozvíjet počátky logického myšlení, podněcovat tvořivé myšlení a samostatnost při řešení problémů a formovat
základní matematické
operace;
rozvíjet specifické
matematické schopnosti.“ (Program 1984, s. 130) Již v tomto programu je dále uvedeno, že „vycházíme-li z cíle, je zřejmé, že podstatou činnosti v mateřské škole není ovládnutí určitého kvanta matematických pojmů.“ (Program 1984, s. 130) Naopak „Děti by měly získat zásobu takových zkušeností matematického charakteru, aby jim mohly být oporou při objasňování matematických poznatků v nejnižších ročnících 1. stupně základních školy.“ (Program 1984, s. 130) Základní matematické představy Program rozděluje do třech těsně spolu souvisejících okruhů: 1. Prostorová představivost; 2. Zkušenosti a představy související s pojmem množina; 3. První názorné představy o čísle a početních výkonech. Prostorová představivost zde „zahrnuje orientaci v prostoru, vztahy mezi objekty v prostoru, rovině a na přímce.“(Program 1984, s. 130) Obsah výchovné práce prostorové představivosti je zpracován v tabulce, rozdělen na věkovou skupiny 3-4 roky, 4-5let a 5-6 let. V metodické příručce základních matematických představ jsou všechny tři již zmiňované okruhy dále rozvíjeny. Dále jsou uvedeny metody a formy práce využité v jednotlivých organizačních formách, časové přípravy a měsíční plány, výběr a využití pomůcek. Zajímavou informaci podává Kaslová (2012) v časopise Poradce ředitelky mateřské školy. Uvádí, že dříve existoval místo matematiky na 1. stupni ZŠ předmět „Počty“, který lépe vystihoval náplň předmětu – „poznávání čísla v různých rolích, kontextech, poznávání toho, jak se číslo „chová“ v různých operacích, na které s rostoucí zkušeností a s obměnou kontextů dítě začalo pohlížet prohloubeněji (...). V obecnější rovině poznávání pravidel, která v ní fungují nezávisle na tom, v jakém číselném podoboru se pohybujeme (přirozená čísla do sta, tisíce...)“ Kaslová (2012, str. 9) „Modernizace“ školské matematiky přinesla podle Kaslové (2012) sice systematickou přípravu na školní matematiku, posílení stimulace počátků logického
13
myšlení a obohacení způsobů modelování situací, zároveň však přinesla nepochopení podstaty matematiky, přenesení obsahu neodpovídajícího věku dětí do nižších tříd základní školy a do školy mateřské. Vzhledem k velké potřebě aktualizovat se změnou režimu po roce 1989 předškolní výchovu a vzdělávání vznikl v České republice standard národního vzdělávání – Bílá kniha (2001), na který roku 2004 navázal Rámcový vzdělávací program pro předškolní vzdělávání (dále jen RVP PV). Na Rámcové programy dále navazují jednotlivé Školní vzdělávací programy, které si každá škola utváří sama, dle své lokace a zaměření. V RVP PV jsou výchovné a vzdělávací činnosti formulovány jako „Vzdělávací nabídka“, ta je rozdělena do pěti oblastí (biologická, psychologická, interpersonální,
sociálně
kulturní
a
environmentální).
Důraz je
kladen
na propojování „učiva“ do tematických bloků a logických celků. Předmatematická výchova je zakomponovaná zejména v oblasti psychologické: „Oblast psychologická Jazyk a řeč o Poznávací schopnosti a funkce, představivost, fantazie, myšlenkové operace - Vnímání - Pozornost, soustředění, paměť - Tvořivost, vynalézavost, fantazie - Rozlišování obrazných a grafických symbolů, grafické vyjadřování - Časoprostorová orientace - Základní matematické představy, početní a číselné pojmy a operace - Řešení problémů, učení“ (RVP PV 2004) Konkretizované výstupy pro Základní matematické představy, početní a číselné pojmy a operace: - „rozpoznat geometrické tvary - čtverec, kruh, trojúhelník, obdélník - rozumět a používat základní pojmy označující velikost (malý - velký, větší menší, nejmenší – největší, dlouhý- krátký, vysoký - nízký, stejný) 14
- rozumět a používat základní pojmy označující hmotnost (lehký – těžký, lehčí – těžší, nejlehčí – nejtěžší, stejně těžký) - porovnat a uspořádat předměty dle stanoveného pravidla (např. od nejmenšího k největšímu; poznat, co do skupiny nepatří), třídit předměty minimálně dle jednoho kritéria (např. roztřídit knoflíky na hromádky dle barvy, tvaru, velikosti) - orientovat se v číselné řadě 1 – 10, vyjmenovat ji, porovnat, že 5 je více než 4, chápat číslo jako počet prvků - posoudit početnost dvou souborů a určit počet do 6 (např. o kolik je více a o kolik je méně, kde je stejně) - chápat, že číslovka označuje počet (např. 5 je prstů na ruce, 5 je kuliček) - chápat jednoduché souvislosti, nacházet znaky společné a rozdílné, porovnat, dle společných či rozdílných znaků (např. vybrat všechny předměty vyrobené ze dřeva), zobecňovat vybrat ovoce, zeleninu, hračky, nábytek, dopravní prostředky atd.), řešit jednoduché labyrinty, rébusy a hádanky - řešit labyrinty (sledovat cestu)“ (RVP PV, Konkretizované očekávané výstupy, str. 10)
2.3 Předmatematická výchova v MŠ dnes Cílem předškolní výchovy před rokem 1989 byla především příprava pro budoucí školní docházku. Kaslová (2012) zmiňuje, že se tzv. „modernizací matematiky“ zapomnělo na cíle a směřování mateřské školy se omezilo pouze pro „vstup do školy“ nebo pouhý „akt zápisu dítěte do školy“. Dnešním cílem předškolní výchovy je položení základů pro učení celoživotní. Řekla bych však, že společnost si důležitost funkce mateřské školy neuvědomuje. V tomto názoru mě utvrzuje postavení mateřských škol a učitelů a věta, kterou slýchám dosti často: „Vždyť vy si tam s těmi dětmi jenom hrajete.“ Přitom málokdo si uvědomuje, že učitelé mateřských škol stojí před náročným úkolem: jejich činností se dá mnohé
15
vybudovat, ale také mnoho zkazit, že jim svěřujeme to nejdražší, co máme – naši budoucnost. Podle Tomáškové jde v předškolním vzdělávání o „harmonicky rozvinutou osobnost, jak po stránce fyzické, psychické, sociální, tak po stránce emoční. (Tomášková 2012, s. 37) V matematice, tedy aritmetice a geometrii, jde především o získání dostatečného množství zkušeností, na kterých lze „stavět“ školská matematika. Zkušeností prostřednictvím manipulace se stavebnicemi, materiály, objekty. Zastávám názor, že je důležité nezapomínat na motivaci a prostoupení všech tří cílů současné předškolní výchovy: 1. Rozvíjení dítěte, jeho učení a poznání; 2. Osvojení hodnot; 3. Získání osobnostních postojů. Tomášková (2012) hovoří o tématech předmatematické výchovy především z těchto oblastí: 1. Porovnávání; 2. Řazení; 3. Třídění; 4. Množství; 5. Tvary; 6. Pravolevá a prostorová orientace. Kaslová (2012) uvažuje v podrobnějším a širším záběru předmatematických dovedností a uvádí tyto matematické okruhy: 1. Kvantita neurčitá (množství – vyjádření, porovnání); 2. Kvantita určitá; 3. Číslo v různých rolích a různá jazyková vyjádření počtu; 4. Vztahy (vnímat, chápat, vyjadřovat, zpracovávat); 5. Metody řešení (hodnocení, porovnávání, usuzování, určování počtu, přiřazování atd.); 6. Tvary 2D a 3D, jejich polohová a velikostní transformace; 7. Pravidelnosti a závislosti; 8. Úvod k měření; 9. Konstrukce (na materiálu stavebnice, odpadovém materiálu apod.); 10. Prostor (vnímání, zaplňování, orientace v prostoru, prostorová paměť,
prostorová
představivost
apod.);
11.
Prvky
pravděpodobnosti
a kombinatoriky; 12. Modely a znaky; 13. Celek a jeho části. V prostředí „Krychlových staveb“, kterému se v této práci věnuji, lze procvičit mnohé z tematických okruhů, které Tomášková a Kaslová zmiňují. Jde především o porovnávání, řazení, třídění, množství, pravolevou prostorovou orientaci
16
(Tomášková) a kvantitu určitou, kvantitu neurčitou, vztahy, metody řešení, tvary 2D a 3D, pravidelnosti, konstrukce, prostor, modely a znaky(Kaslová).
2.4 Geometrie v mateřské škole „Aritmetické znalosti jsou pro praktický život člověka důležitější než znalosti geometrické. Geometrie však nabízí dítěti větší paletu možností kultivace jeho intelektu. Jedná se především o tvořivost.“
(Hejný, Jirotková 2004, s. 127)
Na geometrii v mateřské škole je potřeba nahlížet jako na průpravu myšlení. Hejný, Jirotková (1999) jsou přesvědčeni, že pro žáka základní školy je důležitější filosofické pojetí geometrie: aby výsledkem nebyla jen konkrétní znalost, ale aby šlo o celkový rozvoj žákovy osobnosti a to na základě vlastní experimentální činnosti. V mateřské škole by toto mělo platit dvojnásob. Pro učitele to na jednu stranu znamená náročnější průpravu, aby propojením do tematických bloků a logických celků obsáhl vzdělávací nabídku, kterou si vytyčil, na stranu druhou je žádoucí, aby v průběhu činností s dětmi vystupoval jako partner, dal jim prostor pro vlastní experimentaci a vzájemný dialog. Cachová (2013) ve svém článku uvádí čtyři Kuřinovy principy pro elementární geometrii na 1. stupni ZŠ 1. „dělení prostoru (postýlkou, pokojem, domem, zahradou, listem papíru 2. vyplňování prostoru (stavění z kostek, skládání věcí do krabice, dláždění atd.), 3. pohyb v prostoru (pohyb ruky, míče, osoby, pohyb tužky při kreslení aj.) 4. dimenze prostoru (bota a její otisk, člověk a jeho stín, obraz tělesa v rovině atd.).“
(Cachová 2013, s. 1-2)
Cachová dále doplňuje, že se dítě s těmito principy setkává již v předškolním věku – v rodině i v mateřské škole a je možné je považovat za cestu k práci s elementární geometrií u dětí.
17
„Stavby z krychlí“ jsou prostředkem uplatňování vyplňování prostoru, v některých úlohách mohou přispívat i k pohybu v prostoru (pokud je např. cílem vytvořit z jedné stavby jinou), případně souvisí i s dimenzí prostoru, pokud odhadujeme, jak bude vypadat stavba podle kótovaného půdorysu.
2.4.1 Vymezení pojmů prostorová představivost a geometrická představivost Vymezení pojmu představivost. Pojmem představivost v obecném významu rozumíme psychický proces. Jedná se o schopnost vytvářet paměťové představy potřebné pro řešení problémových situací a tvořivou činnost.
(Wikisofia, 2013)
Kuřina (1991) popisuje představivost jako předpoklad k tvořivosti ve všech oborech lidské činnosti. Součástí představivosti, neboli fantazie, je prostorová představivost. Částí prostorové představivosti je tzv. geometrická představivost. Vymezení pojmu prostorová představivost. Prostorová představivost (Jirotková, 2010) je pojmový komplex schopností a dovedností vybavit si dříve viděné, viděné dříve nebo v daném momentě v jiných vzájemných vztazích, objekt v prostoru na základě jeho rovinného obrazu, objekt na základě jeho slovního popisu. Geometrická prostorová představivost. Autoři Molnár, Perný a Stopenová (2006, str. 7) uvádí Molnárovu definici: „Geometrická prostorová představivost je soubor schopností týkajících se reprodukčních i anticipačních, statických i dynamických představ o tvarech, vlastnostech a vzájemných vztazích mezi geometrickými útvary v prostoru.“
18
2.4.2 Možnosti geometrie v mateřské škole Z poznatků od výše uvedených autorů, jako např. Hejný, Jirotková, Kuřina, vyplývá, že v mateřské škole (a nejen tam) lze rozvíjet geometrii skrze vlastní činnost dětí. Dítě získává zkušenosti prostřednictvím vlastního pohybu a vlastní manipulací. Jako materiál lze využít kostky, nejrůznější stavebnice typu Lego, Seva apod., papír, špejle, odpadový či přírodní materiál. Lze pracovat s vlastním tělem, rozvíjet zároveň pohybové dovednosti a hrubou a jemnou motoriku. Z Hejného matematických prostředí lze využít např. prostředí krychlových staveb; hřiště; bludiště; parkety. Učivo je třeba dětem předkládat v rámci vzdělávací nabídky a formou logických celků, tedy v souladu s RVP.
2.5 Milan Hejný a jeho matematická prostředí „Škola si myslí, že vím jen to, co jsem se naučil. Omyl. Umím to, co jsem zažil.“ Milan Hejný
2.5.1 Autorský medailon Profesor RNDr. Milan Hejný, CSc. se narodil 23. 5. 1936 v Martině na Slovensku. Absolvoval Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy v Praze, působil postupně v Praze na ČVUT, v Žilině na VŠD, v Bratislavě na MFF, v Bratislavě na ZŠ Košická, kde experimentálně vyučoval matematice žáky 5. - 8. třídy a následné čtyři roky výsledky experimentu zpracovával. Po dva semestry působil jako hostující profesor v Kanadě, semestr v USA. V roce 1991 začal působit v Praze na PedF UK, kde působí doposud. Zabývá se didaktikou matematiky pro 1. Stupeň ZŠ. V Kolláriková, Pupala (2001) o sobě Hejný píše, že ho nejvíce v matematice a pedagogice formovali jeho rodiče. Matčina láska mu dodala sebedůvěru a víru v dobro, otec mu otevřel cestu k matematice, didaktice a pedagogice. Studie jeho otce z oblasti dětské psychologie, pedagogiky a filosofie tvoří základ celého profesorova vědeckého bádání.
19
Hejný je autorem nebo spoluautorem 16 matematických publikací a přes 270 knih z didaktiky matematiky. Je čestným členem Jednoty českých matematiků a fyziků, Jednoty slovenských matematiků a fyziků, nositel zlaté plakety Komenského
univerzity
v Bratislavě,
medaile
MŠMT
1.
stupně,
ocenění
MathProf ONE a zvláštní ceny v rámci projektu „Matematika s chutí“.
2.5.2 Hejného metoda - 12 klíčových principů Tzv. Hejného metoda je založena na 12 klíčových principech: 1. Budování schémat 2. Práce v prostředích 3. Prolínání témat 4. Rozvoj osobnosti 5. Skutečná motivace 6. Reálné zkušenosti 7. Radost z matematiky 8. Vlastní poznatek 9. Role učitele 10. Práce s chybou 11. Přiměřené výzvy 12. Podpora spolupráce
2.5.3 Matematická prostředí Na práci v prostředích, jednoho z klíčových principů Hejného metody, je založena učebnicová řada „Matematika“ (Hejný, Jirotková, Slezáková-Kratochvílová, 2007) určená pro žáky prvního stupně základní školy. Z této řady vychází i Rozehnal (2014) při představování jednotlivých prostředí: „Sémantická aritmetická prostředí - Děda Lesoň, Krokování, Schody, Autobus, Rodina, Biland
20
Strukturální aritmetická prostředí – Sčítací trojúhelníky, Sousedé, Barevné trojce, Násobilkové čtverce, Šipkové grafy, Hadi, Pavučiny, T-100, Triády Prostředí založená na grafech – Cyklostezky, Autobusové linky, Výstaviště, Bludiště, Vývojové diagramy, Řady Prostředí 2D geometrie – Origamy, Dřívka, Parkety, Tangramy, Geoboardy, Čtverečkovaný papír, Osobnosti Prostředí 3D geometrie – Krychlové stavby a tělesa, Sítě krychle, Geometrická tělesa Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika – Hod hrací kostkou, Mince“ (Rozehnal, 2014, s. 7, 13, 23, 28, 33, 37) Podrobněji k prostředím, které lze například ve zjednodušené formě použít i v mateřské škole: Krokování – v tomto prostředí jde nejprve o propojení čísla a zvukového a pohybového rytmu, později porozumění číselné ose, záporným číslům a dalším pojmům aritmetiky. V mateřské škole lze procvičovat pochodový rytmus – soulad slova a pohybu za pomoci říkadel a básní, což pomáhá tvořit základ aritmetického myšlení. Krychlové stavby – pomocí manipulace s kostkami děti procvičují prostorovou představivost a seznamují se s vlastnostmi prostorové geometrie. Učí se postupovat podle zadaných podmínek, zaznamenávat i číst plán stavby. Autobus – číslo jako pořadí, číslo jako počet, změna stavu. Děti se učí pracovat s čísly, která musí uchovat v paměti a znovu si vybavit. Parkety – podporují analýzu a syntézu vyplňováním rovinného prostoru rovinnými útvary.
21
Děda Lesoň – jedná se o práci s ikonicky zapsanými veličinami (zvířátka dědy Lesoně). V mateřské škole lze pomocí manipulace s obrázky 2-3 druhů zvířátek hrát „na přetahovanou“.
2.6 Zásady pro výuku aritmetiky a geometrie v konstruktivisticky pojatém vyučování Hejný, Kuřina (2001) rozlišují dva typy přístupů ke vzdělávání - transmisivní a konstruktivistický. Transmisivní přístup by se dal zjednodušeně popsat jako „přenos hotových poznatků na žáka“. Autoři vyslovují názor, že transmisivní přístup k vyučování nerozvíjí dostatečně myšlení, nejde zde o porozumění. Může rozvíjet paměť, ale není zde dostatečný prostor pro rozvoj tvořivosti a je orientován pouze na fakta a výsledky. Konstruktivistický přístup je naopak založen na aktivitě žáka. Učitel předkládá žákovi problémy, ale je mu pouze průvodcem a partnerem na jeho cestě
za
hledáním
řešení.
Podle
Hejný,
Jirotková
(1999)
je
význam
konstruktivistického přístupu pro výchovu a vzdělání žáka mnohem hlubší než vlastní matematické poznání. Radost z nového objevu žákovi dodává intelektuální sebedůvěru, pomáhá strukturovat vlastní zkušenosti a poznatky, zároveň se orientovat, co je pro něj při studiu důležité a co ne. Stehlíková (2004) uvádí, že záleží na dobrém odhadu učitele, jaká míra konstruktivistického a transmisivního přístupu je pro danou chvíli vhodná. Podle Kuřiny u transmisivního přístupu hrozí nebezpečí formálního poznání, ale zároveň může tento přístup vyučovací proces vhodně doplňovat, např. k přijímání fakt, která potřebujeme přijmout bez konstrukce. Hejný, Kuřina (2001) shrnují pedagogické přesvědčení, které je mi také vlastní, do následných čtyř bodů: 1. „Matematické vzdělávání bude užitečné a smysluplné, bude-li rozvíjet a pěstovat schopnost samostatného a kritického myšlení. (...)
22
2. Matematika bude užitečná, bude-li součástí lidské kultury, bude-li účinně pomáhat řešit problémy každodenní praxe. (...) 3. Matematické vzdělání bude mít smysl, bude-li pěstovat zvídavost, klást otázky a přispívat ke kritickým postojům. (...) 4. Matematika bude užitečná, bude-li rozvíjet potřebné pracovní návyky žáků a studentů. Matematika může mít i ráz hry; neměla by být drezurou, ale tvořivou prací.“
(Hejný, Kuřina 2001, s. 162)
Troufnu si tvrdit, že pokud v pedagogickém přesvědčení nahradím slovo matematika a matematické slovem mateřská škola; slova žák/student slovem dítě, jsou shrnující body užitečné i pro práci v mateřské škole. Hejný, Jirotková a Slezáková-Kratochvílová (2007) vytvořili 5 zásad pro konstruktivní přístup ve vyučování matematice na 1. stupni ZŠ. Zásady považuji za důležité i pro svou práci s prostředím krychlových staveb v mateřské škole. Pokusím se jimi řídit ve svém experimentu v praktické části: 1. Hierarchie cílů.
Porozumění je nad dovedností, výchovné cíle
nad poznatkovými. 2. Klima výuky. Důležitá je vzájemná důvěra mezi učitelem a žáky a mezi žáky navzájem, která přináší radost z práce a tvořivost. Strach blokuje myšlení. Žádoucí je práce s chybou, chyba je nástrojem k nejúčinnějšímu nabývání znalostí. 3. Přiměřené možnosti pro každého žáka. Žáci přichází s různou úrovní znalostí a různými schopnostmi – přiměřené tempo pro podprůměrné žáky a náročnější úlohy pro žáky s vyspělejším matematickým myšlením. 4. Poznatek získaný vlastní úvahou je kvalitnější než poznatek převzatý. Vedení žáků k samostatnému hledání řešení vyžaduje od učitele více trpělivosti a více času, které se však mnohonásobně vyplatí. Výsledek je trvalý a velmi přínosný pro další rozvoj žáka.
23
5. Komunikace. Role učitele by měla být pouze organizační a motivační. Nejdůležitější je komunikace mezi žáky - badateli.
2.7 Prostředí „staveb z krychlí“ 2.7.1 Vymezení pojmů Pojem krychlová stavba. Jirotková (2010, s. 49, s. 50) ve své knize nabízí procesní i statické vymezení krychlové stavby: 1. Vymezení – intuitivní statické (konceptuální) „Prostorový útvar vytvořený z konečného počtu shodných krychlí nazveme stavbou krychlovou, jestliže: a. Každé dvě krychle mají společnou buď jednu stěnu, nebo jednu hranu, nebo jeden vrchol, nebo nemají společného nic; b. Žádná krychle „nevisí ve vzduchu“; c. Stavba je z jednoho kusu, tj. středy libovolných dvou krychlí stavby lze spojit lomenou čárou, která celá leží uvnitř stavby.“ 2. Vymezení – intuitivní procesní „Krychlovou stavbou rozumíme prostorový útvar postavený podle jistých pravidel z konečného počtu shodných krychlí. Pravidla pro vytvoření krychlové stavby jsou jednoduchá: a. Začínáme položením jedné krychle na „podlahu“; b. Přilepíme k ní druhou krychli tak, že přiložíme stěnu jedné krychle přesně na stěnu krychle druhé; c. Takto pokračujeme lepením dalších krychlí, vždy na jednu nebo více krychlí již rozestavěné stavby, až vyčerpáme všechny připravené krychle.“ Pojem portrét stavby. Portrét znamená, že stavba je zaznamenána „jako fotografie“ fyzického modelu.
24
Pojem plán stavby. Plán je vlastně půdorys stavby, s vyznačeným množstvím kostek v jednotlivých sloupcích.
2.7.2 Představení prostředí S matematickým prostředím krychlových staveb Hejný (2007) začíná v prvním ročníku základní školy. Vychází z myšlenky, že prostředí mají již děti „zabydlené“ z dřívější doby. „Vycházíme z toho, co dítě zná ze svého života. To, co dělá podstatu matematiky, je, hledání vztahů, příčin, klasifikace a organizace souborů. To jsou věci, které jsou přítomny v mnoha dětských hrách. Ty hry stačí upravit tak, aby přínos do vzdělávání dítěte byl optimální. O to se snažíme“. (Děti se seznamují s matematikou už ve školce díky takzvané Hejného metodě, 2015) Děti si často začínají s kostkami hrát již v batolecím věku. Starší kojenec nebo mladší batole nejprve pozorují, jak rodič, či starší sourozenec postaví z kostek „komín“. Poté ho s radostí zbourá, někdy ani nevydrží vyčkat, než bude „komín“ postavený. Později se naučí „komín“ stavět samo. V období předškolního věku již dítě z kostek skládá obrázek podle předtištěného vzoru a má-li kostek dostatečné množství, mohou vznikat první „stavby“. Zatím pravděpodobně ne „stavby“ dle definice, kterou uvádí Jirotková (2010). Vznikají díla dle dětské fantazie, kdy se kostky často dotýkají pouze hranou, nebo jen částí stěny. Ve své práci bych chtěla rozšířit tuto dětskou činnost o další podněty, které dětem pomohou nasbírat více zkušeností, jež děti mohou uplatnit v geometrii, matematice, v dalších předmětech základní školy i později v životě.
25
3 Praktická část 3.1 Cíl akčního výzkumu Cílem mé práce je vytvořit sadu úloh inspirovaných Hejného úlohami pro 1. st. ZŠ, ověřit v praxi a připravit metodické materiály pro učitele. V praktické části jsem vytvořila sadu 15 úloh a prostřednictvím akčního výzkumu ověřuji jejich řešení dětmi předškolního věku. Na základě shrnutí zkušeností z akčního výzkumu sestavuji metodické materiály pro využití prostředí „staveb z krychlí“ v předškolním vzdělávání.
3.2 Výzkumný vzorek Pro výzkumné šetření jsem zvolila předškolní třídu „Žluté rybičky“ Církevní mateřské školy Rybička v Táboře, kde je v tomto školním roce (2015/16) zapsaných 25 dětí ve věku 5-7 let. Ve třídě je 12 chlapců a 13 děvčat. Třída má k dispozici vlastní šatnu, sociální zařízení, jednu třídu s prostorem k pohybu a odpočinku, jednu hrací třídu a malou jídelnu. O děti se stará jedna učitelka a jedna asistentka učitele. Asistentka by se zde měla primárně věnovat třem dětem s obtížemi soustředění a řečovými vadami.
3.3 Použité metody Ověření úloh s dětmi probíhalo v rámci akčního výzkumu. Pavelková (2012) uvádí, že akční výzkum si klade za cíl ovlivnit a vylepšit praxi při řešení konkrétních reálných problémů v konkrétních reálných situacích. Akční výzkum je dlouhodobý proces, neustále vyvíjí. S každou jeho další realizací vznikají další a další problémy a
26
možnosti hledání cest ke změně. Sestává se ze tří částí: akce, vyhodnocení a reflexe a probíhá v jakési spirále.
3.4 Vlastní výzkumné šetření Pro vlastní výzkum jsem sestavila 15 úloh doplněných komentáři o daných úlohách a záznamy z realizace. Na základě zkušeností z vlastního výzkumu jsem se pokusila o sestavení metodických listů pro učitele mateřské školy. Úlohy jsou inspirované úlohami Milana Hejného, které uvádí v příručce pro učitele matematiky pro 1. ročník. Často jsou zjednodušené a rozmělněné (rozšířené o více úloh s obdobnými aktivitami). Komentáře k úlohám se týkají jednak doplnění informací o práci s úlohou, jednak upozornění na možná rizika, ke kterým by mohlo dojít. Každou z úloh jsem vyzkoušela se skupinou předškoláků, viz kap. 2.2 Výzkumný vzorek. Realizace jsem zaznamenala na základě vlastního pozorování, videozáznamu a fotografií. Provedla jsem celkem 6 realizací akčního výzkumu s větším počtem dětí (1x celá třída, 4x polovina třídy) a 18x jsem pracovala s jednotlivci. Do mateřské školy jsem docházela v průběhu dvou měsíců 1–2 týdně, dle příležitostí TVP dané třídy. Akční výzkum jsem s dětmi prováděla během řízených činností, některé úlohy jsem jednotlivcům předkládala při ranní a odpolední volné hře. Při každém setkání jsem dle náročnosti realizovala 2-4 úlohy. K dispozici jsem měla třídu opticky rozčleněnou na část se stolečky, část s kobercem a 2 hrací koutky. Při práci s polovinou třídy byla druhá část třídy s učitelkou ve třídě s lehátky a měli pohybovou a dramatickou chvilku. Po cca 20 minutách jsme poloviny vyměnili.
27
Během volné hry jsem měla k dispozici asistentku pedagoga. Ta se věnovala dětem, zatímco jsem pracovala s jednotlivci. Při tomto způsobu realizace by učitel mohl být i bez asistenta, ale pro realizaci výzkumu jsem potřebovala zajistit, aby má pozornost netěkala mezi přicházejícími dětmi, dotazy rodičů a pozorováním řešitelů úloh. V prvním pokusu o realizaci jsem pracovala s celou třídou. Děti nejprve pracovaly samostatně, dále potom ve dvojicích. S výsledkem první realizace jsem nebyla spokojená, děti nebyly zvyklé na tento typ činností, skupinovou práci a způsob mé organizace. Také jsem si uvědomila, že řešení dalších úloh nebude s celou třídou v tak velkém počtu možný. Vyhodnotila jsem, že některé úlohy bude lépe vypracovávat s polovinou třídy, jiné dokonce s jednotlivci nebo malými skupinkami o 3 až 5 členech. Tento typ práce je v dané třídě možný buď v průběhu ranního scházení a odpoledního rozcházení, nebo při řízené činnosti za přítomnosti druhé učitelky. V průběhu dalších realizací jsme se s dětmi vzájemně více poznali, odpadl počáteční ostych a práce se dařila lépe. Manipulace s kostkami, přemýšlení a hledání různých řešení děti bavilo, větší zapálenost však projevovaly při individuální práci. Motivovala je radost z vlastních úspěchů. Práce ve dvojicích některé děti rozptylovala a také domluva mezi nimi byla spíše překážkou, nebo lépe dalším náročným úkolem. To ale mohlo být dáno tím, že se jinak práce ve skupinách ve třídě nerealizuje. Na základě shrnutí poznatků z realizace 15 úloh jsem vytvořila metodické materiály k prostředí „stavby z krychlí“ pro učitele MŠ. Materiály obsahují stručné seznámení s prostředím, popis pomůcek a důležitých pojmů, hlavní zásady a přínos a sadu 15 úloh, doplněných obrázky. Materiál tvoří jakýsi vhled do problematiky „stavby z krychlí“, jistě by ho bylo možné rozšířit a doplnit o navazující úlohy. Bylo by zajímavé s prostředím „staveb z krychlí“ v MŠ dlouhodobě pracovat, více rozvinout, prohloubit a pozorovat, kam se až lze s dětmi posunout.
28
3.5 Sada sestavených úloh s komentáři a záznamy z realizace 1. Seznámení s kostkami - jednotlivec/dle zkušenosti dvojice Potřeby: 12 kostek pro každé dítě (event. dvojici), pohádka (viz příloha č. 1d – čte učitel Zadání úlohy: Stavba hradu podle čtené pohádky dle fantazie, od učitele pojmy stavba, stěna, podlaží, počet kostek; komunikační dovednosti – představení stavby Komentář 1a: Při stavbě hradu hrozí možnost, že nebudou kostky „přilepené“ stěna na stěnu. Nemusí se tedy jednat o stavby v pravém slova smyslu, takové, jaké bychom si představovali. Děti mohou kostky na sebe pokládat tak, že se mohou dotýkat pouze částí stěny, mohou být různě natočeny. Nejprve stavby hradů nechám volně na dětské fantazii, každý zkusí hrad slovně představit. Po této části se pokusím zavést pojem stěna podle experimentu Jirotková (2010). K utvoření pojmu stavba, tedy kde je „přilepená“ stěna na stěnu Jirotková (2010) se svými studenty zadala žákům 2. ročníku ZŠ úlohu „dá se postavená stavba přemístit z místa na místo?“ Žáci při přemísťování zavedli pojem „sloupečkové stavby“, to byly ty, které se daly přemístit po sloupečkách, tedy stavby v pravém slova smyslu, jak ji definuje Jirotková. Nemělo by být překážkou, pokud se zavedení pojmu „stavba“ v této úloze nezdaří. Pojem je dále utvářen v dalších úlohách. Realizace 1b: První realizace se účastnila celá třída. Přítomno bylo 21 z 25 dětí. Děti stavěly ve dvojicích (a jeden jednotlivec), na základě přečteného pohádkového úvodu (viz příloha 1d), hrad dle vlastní fantazie (ukázka některých způsobů řešení viz příloha 1c, obr. 1-7). Z 11 hradů 3 splnily podmínky pro pojem stavba (aniž bych předem pojem představila, šlo spíše o náhodu), dva z nich byly přímo typu „komín“. Po stavbě hradů všechny dvojice a jednotlivec představili své hrady před ostatními. Jako vodítko jim mohly posloužit 3 mnou uvedené příklady – jestli a kde má hrad dveře, jaké místnosti v hradu jsou a kde se nachází král. Dvojice si děti pro tuto aktivitu vybíraly samy, zřejmě právě pro to se sešly některé dvojice výřečné, kde chtěly mluvit oba z dvojice a dvě dvojice, kde při představení hradu nemluvil nikdo.
29
V těchto případech jsem zopakovala návodné příklady, co by na svém hradu mohly ukázat. Pouze u jedné dvojice jsem musela použít konkrétní otázky: Kde je král? Má váš hrad dveře? Kde? Apod. Odpovídali pouze pokyvováním hlavy a ukazováním prstem, nechtěli slovně odpovídat před skupinou. Zjištěné výsledky nemá smysl kvantifikovat. Při představování nezáleželo na typu a velikosti stavby. Druhy a počty hradních místností se odvíjely od toho, zda již předchozí dvojice nějaké místnosti představila, či nikoliv. Většina dvojic se předháněla v počtu zmíněných místností, proto se výpovědi postupně rozšiřovaly. Pojem stěna jsem dále nezaváděla, úlohu jsem představováním hradů zakončila. Bylo vidět, že další činnost s hradem by již byla na děti dlouhá, proto jsem zařadila „rozcvičku stavitelů“. Stavění hradů se dětem zalíbilo natolik, že pokračovaly další dny při volných hrách s vlastními pravidly. Postupně, jak jsme pracovali s pojmem stěna a podlaží, hrady začaly nabývat vlastností pojmu stavba (viz příloha č. 1c, obr. 8 a 9)
2. Stavba komínu – jednotlivec/dvojice/skupina Potřeby: 12 kostek pro každou stavební jednotku Zadání úlohy: Postavte co nejvyšší „komín“. Komentář
2a:
Úlohu bych chtěla doplnit otázkami podle úlohy Hejného
(2007, s. 23) – „Kdo postavil nejvyšší? Proč nám věže padají?“ A doplnit radou „Zkus přiložit stěnu na stěnu“ Hejný (2007, s. 23). Díky této úloze by se měl podařit lépe vyvodit termín „stěna“. Realizace 2b: Úloha byla realizována s dvojicemi a jednotlivcem, celkem 25 dětí (viz příloha č. 1c, obr. 10). Dvě dvojice dětí se pokusily hned od začátku stavět „komín“, který měl v každém podlaží po dvou kostkách (viz příloha č. 2c, obr. 12). V určité fázi stavění, když jim došly kostky, rozhlédly se kolem sebe. Zjistily, že ostatní staví komín s jednou kostkou v jednotlivých patrech a napodobily je (viz příloha č. 2c, obr. 11). Důvodem pravděpodobně mohla být touha postavit komín vyšší, nebo mít stavbu postavenou stejným způsobem jako ostatní děti. 30
Při stavbě „komíny“ několikrát dětem spadly. Použila jsem otázku Hejného, z komentáře 2a: „Proč nám „komíny“ padají?“ Kromě jedné odpovědi: „Protože on mi to shodil!“, děti odpovídaly: „Protože nejsou rovné!“, „Musejí se zarovnat!“. Při odpovědích si děti pomáhaly rukama – dlaněmi naznačily ve vzduchu svislé rovnoběžky, nebo prstem přejížděly přímo po „komínu“. Souhlasila jsem s jejich vyjádřením a doplnila, že musí být tedy postavená celá stěna na celou stěnu a ukázala přímo na kostkách. Většině dětí se podařilo postavit „komíny“ ze všech kostek, „komíny“ ale nevydržely dlouho stát, protože ve třídě pružila podlaha a děti nevydržely na jednom místě. Při otázce, kdo postavil nejvyšší „komín“, všechny děti označily sebe, nebylo to však možné dokázat – nestačily jsme kostky s dětmi spočítat, než jim „komíny“ spadly. Zeptala jsem se tedy, kdo postavil „komín“ takový, na který použil všechny kostky, že mu ani jedna v košíčku nezůstala - to byly všechny děti.
3. Stavba komínů Potřeby: 12 kostek Zadání úlohy: Postavte více „komínů“. Postavte „komíny“ tak, aby vám ani jedna kostka nezbyla. Najdete ještě jiné/jiná řešení? Komentář 3a: Předpokládala jsem, že děti budou úlohu řešit metodou pokus omyl, protože nemají předchozí zkušenosti s rozdělením čísla 12. Možná bude úloha pro některé děti náročnější, zadání jim může připadat neúplné. U této úlohy již bude zapotřebí pracovat s pojmem podlaží, abychom mohli výšku „komínů“ porovnávat. Hejný (2007) upozorňuje na možné riziko nejednotnosti při označení patro – je zde nejasné, zda brát v úvahu i přízemí. Termín „podlaží“ označuje i přízemí jako první podlaží. Realizace 3b: Úlohy se zúčastnilo 23 dětí, jednotlivců. Všem dětem se podařilo splnit zadání úlohy. Šest dětí postavilo 2 „komíny“ po šesti kostkách, dvě děti 3 „komíny“ po čtyřech kostkách, deset dětí 4 „komíny“ po třech kostkách, jeden 31
postavil 6 „komínů“ po dvou kostkách, pouze 4 děti postavily různě vysoké „komíny“. Po splnění úlohy měl pak každý za úkol své „komíny“ představit – počet „komínů“, počet podlaží u jednotlivých „komínů“. Některým dětem dělalo problém zkoordinovat říkání číselné řady a ukazování prstem na jednotlivá podlaží. Při představování bylo pro velký počet dětí pro děti náročné vydržet naslouchat ostatním.
4. Stavba stejně vysokých komínů – jednotlivci/dvojice Potřeby: 12 kostek Zadání úlohy: Postavte komíny ze všech kostek tak, aby všechny komíny byly stejně vysoké. (Po splnění úlohy učitel vyzve děti k posouzení, zda všechny skupiny splnily zadání, i když nevypadají řešení všech skupin stejně. Existují ještě další možnosti řešení?) Postavte pouze 4/3/2 stejně vysoké komíny. Postavte co nejvíce komínů. Komentář 4a: Tato úloha je již náročnější, zároveň vybízí k hledání více možností řešení. Je možné, že se některým řešitelům úloha nepodaří vyřešit. V úloze se pracuje s předpojmy dělení. Je možné ji řešit tak, že dítě vyjde z nějaké „výšky komína“ a zkouší, zda mu po postavení několika „komínů“ zbudou nebo nezbudou kostky. Pokud je zadán počet „komínů“, jde o úlohu na spravedlivé dělení, kterou většina dětí umí na základě svých praktických zkušeností vyřešit tzv. rozpočítáváním (každému dá jeden prvek, pokračuje druhém, třetím,... dalšími prvky, dokud má co rozdělovat). Realizace 4b: Realizace se zúčastnilo 11 dvojic a jeden jednotlivec. Ke zdařilému splnění zadané úlohy přispěla realizace přípravné úlohy „3. Stavba komínů“. Aby dvojice splnily zadání úlohy, musely se na počátku dohodnout, jak vysoké „komíny“ budou stavět. Několik dvojic tento problém řešilo tak, že stavěly „komíny“ a až po vyčerpání všech kostek dorovnávaly výšku komínů. Pouze 2 dvojice měly ze začátku problém řešit úlohu dohromady a každý si stavěl své „komíny“. Šest dvojic postavilo 6 komínů po dvou „kostkách“, čtyři dvojice 4 komíny po třech kostkách. 32
Jedna dvojice a jednotlivec postavily 2 komíny po šesti kostkách. Následně každá dvojice představila své „komíny“ – počet „komínů“, počet podlaží jednotlivých „komínů“, případně nějaké nesnáze při stavění. Ostatní dávali pozor, aby mohli ohodnotit, zda dvojice splnila zadání úlohy. Zadání další části úlohy již neumožňovalo různé způsoby řešení. Děti postupně stavěly 2 stejně vysoké „komíny“, dále 3 a 4. Poté jsem zkusila zadat „Postavte pět stejně vysokých „komínů“tak, aby vám zase ani jedna kostka nezůstala v košíku.“ Děti si chvíli lámaly hlavy, až přinesl Davídek řešení: „Jde to jen, když dvě kostky schovám.“ Davídek v rámci svých pokusů postavili s Vojtou 6 komínů po dvou kostkách, a tak ho napadlo kostky posledního „komínu“ schovat, aby splnil zadání úlohy – „Nesmí ani jedna kostka zůstat v košíku“. Řekla jsem dětem, že tato úloha opravdu za daných podmínek nemá řešení, byl to ode mě „chyták“ na který se nedali nachytat. Dodala jsem, že bychom museli upravit počet kostek - třeba tak, jak navrhuje Davídek. Poslední částí úlohy bylo zadání: „postavte 6 stejně vysokých „komínů““ a nakonec „postavte co nejvíce stejně vysokých „komínů““. Jednu dvojici napadlo postavit „komíny“ o jedné kostce, vytvořili tedy 12 „komínů“. Ostatním se řešení líbilo, a spontánně je napodobili, když se mi dvojice chlubila s řešením.
5. Stavba kostek dle postaveného vzoru – „Dvojčata“- jednotlivci Potřeby: 9 kostek pro jednotlivce, více kostek pro vzor Zadání úlohy: Učitel postaví několik vzorových staveb. Společně s dětmi staví ke stavbám „Dvojčata“, pozorují počet kostek, kolik kostek je v jakém podlaží, kolik má stavba podlaží. Komentář 5a: Je dobré začít stavbami z menšího počtu kostek, stavby nebourat, aby bylo možné je mezi sebou porovnávat. Při opakování úlohy se lze u staveb s menším počtem kostek jednoduchým způsobem pokusit o jakousi evidenci počtu kostek staveb – první náznak zápisu (k obrázku stavby připojit odpovídající počet kamínků, dřívek apod.). 33
Realizace 5b: Stavby „dvojčat“ jsem realizovala s polovinami tříd ve dvou etapách. V první, seznamovací etapě, jsem postavila jednoduchou stavbu a vyzvala děti, aby stavbu napodobily. Každý měl k dispozici vlastní košík s dvanácti kostkami. Poté jsem se dětí zeptala na počet kostek, které ke stavbě použily a na počet podlaží u dané stavby. Tímto způsobem jsme společně každý postavili 3 stavby a na závěr jsme je porovnali mezi sebou. V další etapě jsme pokračovali obdobným způsobem druhý den. Stavby byly tvořeny 3 - 6 kostkami, maximálně třemi podlažími (příloha č. 5c, obr. 19-24). Při zjišťování počtu kostek děti počítaly s oporou ukazováním si prstem, počet podlaží určily pohledem. Tímto způsobem jsme postavili tři stavby, porovnali mezi sebou, zbourali a stavěli nové. Zkusila jsem dětem zadat těžší variantu úlohy (viz příloha 5c, obr. 25-34). Jako nejnáročnější se pro děti jevily stavby přílohy 5c, obr. 33 a 34. Všechny stavby děti zvládly napodobit.
6. Postav stavbu, která je na obrázku -jednotlivci Potřeby: Portréty staveb, 5 kostek pro jednotlivce Zadání úlohy: Postav stavbu, kterou vidíš na obrázku. Komentář 6a: Tato úloha má několik úrovní. Lze začínat např. s jednopodlažními stavbami, s malým počtem kostek, postupně počet kostek a počet podlaží zvyšovat. Realizace 6b: Úlohu jsem řešila s polovinami tříd. Po okraji třídy jsem umístila košíky s kostkami, u každého košíku jsem zanechala 1-2 portréty staveb. Děti postupně chodily po těchto stanovištích a stavěly podle portrétů skutečné stavby. Při tomto počtu dětí byla, i přes pomoc třídní učitelky dětí, náročná kontrola postavených staveb. Bylo by lepší úlohu řešit v rámci volné hry, učitel by se tak mohl věnovat aktivně 1-2 dětem. Ukázky portrétů viz příloha č. 6c, obr. 35-39. Dětem se stavby dařily – nebylo žádného problému k řešení, všechny děti stavby postavily přesně podle portrétu. Při větších časových možnostech by se dalo v úloze pokračovat se stupňující se obtížností v počtu kostek a členitosti staveb jednotlivých portrétů.
34
7. Postav stavbu ze tří kostek - jednotlivci Potřeby: 12 kostek pro jednotlivce Zadání úlohy: Postav stavbu ze tří kostek. Postav další, jinou stavbu ze tří kostek. Lze postavit ještě další, jiné stavby? Kolik rozdílných staveb lze ze 3 kostek postavit? Komentář 7a: Možná bude dětem ještě potřeba připomenout kritérium „stěna na stěnu“. Dalším úskalím by mohl být způsob řešení počtu staveb typu„růžek“, je důležité se s dětmi domluvit, že by se mohlo jednat o jedno řešení. V diskuzi by mohlo pomoci otočení růžku do stejné polohy jako jiná stavba. Děti mají k řešení úlohy dostatečný počet kostek na to, aby mohly mít všechna vytvořená řešení před sebou a mohly je mezi sebou porovnávat. Úlohu lze opět postupně rozšiřovat o počet kostek. Realizace 7b: Po předchozích zkušenostech s realizací úloh jsem se rozhodla, že je potřeba tuto úlohu řešit s malým počtem dětí tak, aby zde byl větší prostor pro diskuzi. Úlohu jsem tedy postupně nabídla 4 dětem při ranní volné hře – dvě dívky a dva chlapci. Úloha má 4 řešení. Dvě děti nalezly všechna čtyři řešení, dvě děti tři řešení. Všechny děti přišly na možnost „komín“ a „housenka“ (3 kostky v jedné přímce), 3 děti objevily možnost „růžek“ (jednopodlažní stavba), 3 děti nalezly řešení „růžek“ (dvoupodlažní stavba). Žádné z dětí nedokázalo odpovědět, jestli už nalezlo všechna řešení, zda již úkol dokončilo. Stavěly tak dlouho, dokud je to bavilo. Záznam možného způsobu řešení viz příloha č. 7c, obr. 40-41, kdy chlapec hledal 4. možnost (obr. 40) a postavil nejprve stavbu, kde se kostky nedotýkaly celými stěnami. Následně 4. způsob řešení nalezl (obr. 41). Hledal ještě další řešení, ale po chvíli pronesl, že už ho to nebaví.
8. Vyplň prostor – jednotlivci/dvojice Potřeby: Kostky, papíry s vyznačenými prostory, krabičky
35
Zadání úlohy: Vyplň kostkami krabičku. Vejde se do krabičky více podlaží? Dokážeš odhadnout, kolik kostek jsi spotřeboval? Spočítáš, kolik kostek jsi použil? Vezmi kostky a zkus s nimi vyplnit vyznačená místa na papíře. Kolik kostek jsi potřeboval? Komentář 8a: Krabičky je vhodné mít takové, aby do nich kostky přesně pasovaly, ideálně alespoň na dvě podlaží kostek. Lze je případně i vyrobit. Úloha je přípravou k záznamu plánu stavby. Realizace 8b: Pro nedostatečný počet krabiček jsem úlohu realizovala pouze s papíry s vyznačenými prostory. Měla jsem připravené dva listy papíru. Na prvním listu papíru měly děti vyznačený pouze tvary bez rozdělení polí pro jednotlivé kostky (viz příloha č. 8c, obr. 42). Jejich úkolem bylo tvary vyplnit kostkami. Zadání úloha se mi jevilo jako jednoduché, na dětech ale bylo vidět při řešení, že musí vynaložit určité úsilí – právě proto, že tvar nebyl rozdělen na místa pro jednotlivé kostky. Všechny děti zadání úlohy splnily. Druhý list (viz příloha č. 8c, obr. 43) obsahoval celkem 5 tvarů. Děti ani nečekaly na můj pokyn a doslova se vrhly na vyplnění tvarů kostkami. Každý tvar byl pro snadnější orientaci znázorněn jinou barvou. Úlohu jsem doplnila otázkami: „Na tvar které barvy jste použili pouze 2/3/4/5 kostek?“, „Jsou zde nějaké tvary, na které jste použili stejně (stejný počet) kostek?“, „Na tvar které barvy jste použili nejméně/nejvíce kostek?“. Doplňující otázky jsem kladla frontálně a společně jsme pomocí ukazování prstem kontrolovali řešení.
9. Záznam plánu jednopodlažní stavby - jednotlivci Potřeby: papíry velikosti A4, tužku; 4 kostky pro jednotlivce Zadání úlohy: Obkreslete kostku na papír. Co vzniklo – víte, jak se vzniklý útvar jmenuje? Postavte si na volné místo na papíru stejnou stavbu, jako mám já (učitel má jednopodlažní stavbu o 2 kostkách). Dalo by se odhadnout, jak bude vypadat na papíře tato stavba? (jednopodlažní stavba o třech kostkách – „had“)
36
Komentář 9a: Je velice pravděpodobné, že při obkreslování jednopodlažní stavby o dvou kostkách bude výsledný obrázek vypadat jako obdélník. Musím děti pobídnout k tomu, aby se na stavbu podívaly ze shora, navést je na fakt, že výsledný plán na papíře je vlastně pohled na stavbu shora. Realizace 9b: Úlohu jsem řešila nejprve s jednou, poté s druhou částí třídy (10 a 11 přítomných dětí). Děti dostaly list papíru o velikosti A4, pastelku, kostku a zadání, že mají kostku obkreslit. Pro některé děti bylo obtížnější zkoordinovat přidržování si kostky jednou rukou a obkreslování druhou. Zeptala jsem se dětí, jaký vznikl na papíru tvar, když kostku odstraní. Potom jsme zkoumali, jak vypadá kostka, když ji položíme na zem a díváme se na kostku ze stoje, ze židličky. Zda vypadá podobně, jako tvar, který nám vznikl jejím obkreslením. Šlo mi o to, aby si děti co nejvíce prožily rozdíl mezi skutečností a plánem. Na závěr si děti vyzkoušely obkreslit řadu 4 kostek. To byl pro některé velmi náročný úkol, kostky se dětem posouvaly. Některé děti kostky obkreslily tak, že jim vznikl obdélník (viz příloha 9c, obr. 44), některé děti obdélník ještě rozčlenily na jednotlivé kostky. Jeden chlapec úlohu řešil tak, že obkresloval kostky po jedné (viz příloha 9c, obr. 45). Nebyl si ale potom jistý, kterou kostku již obkreslil a obkreslil jednu dvakrát. Způsob řešení jsem ponechala na dětech, na závěr jsme si jejich způsoby představili.
10. Přiřazování plánu jednopodlažních staveb ke stavbám - jednotlivci Potřeby: kartičky s plány jednopodlažních staveb, stavby Zadání úlohy: Vezmi si kartičku s plánem stavby a přiřaď ji ke správné stavbě Komentář 10a: Úlohu je možné řešit buď tak, že každé z dětí má svou sadu plánů staveb, stavby obchází a kartičky umísťuje, na konci úlohy se tedy bude nacházet u každé stavby několik kartiček. Stavby můžeme po skončení této části úlohy společně obcházet a posuzovat správnost řešení. Nebo může být umístěna volně přístupná hromádka kartiček s plány a každé z dětí si vezme kartičku, tu umístí a jde si vyzvednout a umístit další kartičku. Další variantou je mít počet kartiček totožný s počtem dětí a každé dítě má jednu příležitost umístit kartičku (toto řešení mi připadá nejméně vhodné, ale je časově méně náročné). Během řešení úlohy mohou
37
mít děti možnost konzultace svých nápadů s ostatními. Otvírá se tak možnost zajímavých diskuzí a výměny zkušeností. Realizace 10b: Úlohu jsem realizovala při volné hře. Postavila jsem na stolek několik jednopodlažních staveb a zvala si děti po jednom. Děti měly za úkol přiřadit vždy jeden plán ke správné stavbě (viz příloha č. 10, obr. 46). Pro děti, které se účastnily přípravné úlohy č. 9, nebyla úloha obtížná. Náročnější bylo pouze přiřadit plán ke stavbě s větším počtem kostek. Zde si pomáhaly počítáním s ukazováním. Dvě děti se přípravné úlohy č. 9 neúčastnily, pravděpodobně proto nevěděly, kam první kartičku s plánem stavby přiřadit. Poradila jsem, aby se na stavby podívaly „jako z letadla“, že plán byl kreslen zrovna tak. Tento jednoduchý návod jim postačil, aby pochopily princip přiřazování a zbylé kartičky správně přiřadily.
11. Stavba jednopodlažních staveb dle plánu - jednotlivci Potřeby: plány staveb podle náročnosti, 6 kostek pro jednotlivce Zadání úlohy: Postav stavbu, jako je na plánu před tebou. Komentář 11a: Opět lze u této úlohy stupňovat náročnost. Učitel může vytvořit řadu úloh rozložených po třídě a děti se přemístí k náročnější variantě vždy po splnění předchozí úlohy, jejíž řešení mají zkontrolované učitelem. Řešení úlohy se také může nacházet hned vedle plánu, přikryté (např. krabicí) a učitel je zde pouze v pozici rádce, když si dítě neví rady. Dítě tak má možnost sebekontroly, samostatnosti a odpovědnosti za svá řešení. Realizace 11b: Úlohu jsem na základě předchozích zkušeností opět realizovala s každým při volné hře. Před řešitele jsem položila plán stavby a košík s kostkami. Postavit menší, jednopodlažní stavbu dle plánu nečinilo nikomu potíže (viz příloha č. 11c, obr. 47-48). Problém nastal při řešení úlohy v příloze č. 11c, obr. 51. S touto úlohou mělo větší či menší potíže přibližně polovina dětí. Zajímavá situace se přihodila na obr. 49-50. Řešící dívka si nejprve spočítala jednu řadu kostek, následně druhou a řady připojila. S jejím řešením nebyli spokojeni přihlížející chlapci. Jeden z nich dívce ukázal na vzniklý čtverec na plánu, který se dívce nevytvořil – při své
38
stavbě postupoval opačným způsobem než dívka. Nejprve si postavil čtverec a k němu připojil dle jeho slov „vykukující kostky“. Dívka pozorovala jeho komentář a posunula své dvě řady kostek tak, aby vytvořila správné řešení. Obecně by se dalo shrnout, že čím větší počet kostek, tím byla úloha pro děti náročnější (viz příloha č. 11c,
obr.
52-53),
ale
zároveň
tím
vznikal
větší
počet
příležitostí
pro „předmatematické“ diskuze.
12. Kresba plánu dle postavených staveb (pouze stavby s jedním podlažím) Potřeby: Jednopodlažní stavby z kostek označené značkou, papíry se značkami a tužku k záznamu plánů, řešení – plány označené značkami Zadání úlohy: Po třídě připravena místa – papíry označené v rohu značkou, na nich postavená jednopodlažní stavba. Prohlédni si stavbu na papíru, zakresli plán stavby na tvůj papír, na místo označené stejnou značkou jako je značka u stavby. Komentář 12a: Je dobré začínat s menším počtem míst se stavbami, např. 3-4. Děti si postupně zvykají na delší práci, nevydrží se soustředit tak dlouho. Menší počet staveb jim též usnadní orientaci na vlastním papíře. Místa staveb považuji za výhodnější, než stavby na jednom místě. Děti mají mezi jednotlivými stavbami alespoň minimální pohyb, tempo zakreslování plánů si určují samy a učí se zorientovat v tom, co již mají a co ještě potřebují zakreslit. Realizace 12b: Po třídě jsem rozmístila 4 stanoviště (podob stanovišť viz příloha č. 12c, obr. 54-57). Na každém stanovišti byl papír označený značkou (kytička, lístek, mráček, domeček), na každém z papíru postavena jednopodlažní stavba. Každé z dětí dostalo papír rozdělený do čtyř částí označených přesně stejnými značkami jako stanoviště. Jejich úkolem bylo projít všechna stanoviště a zakreslit plány staveb k příslušným značkám. Úkol jsem realizovala s polovinami tříd. První polovině jsem zřejmě nevysvětlila dostatečně zadání úlohy, mnohé z dětí začaly do příslušných míst na papíře obkreslovat na stanovišti značku. Řešení úlohy jsem proto zastavila a ještě jednou, s důrazem na to, že značka už nakreslená je, zopakovala postup. Při práci s druhou skupinou jsem si dala na podání zadání záležet a děti pochopily
39
zadání lépe. Většině dětí nečinilo zaznamenávání plánu 4-5 kostkových jednopodlažních staveb potíže. Některé z prací jsou ofoceny v příloze č. 12c, obr. 58-73).
13. Třídění staveb – jednotlivci i skupiny Potřeby: Portréty staveb na kartičkách – pro jednotlivce nebo skupiny, 12 kostek pro jednotlivce Zadání úlohy: Rozděl kartičky podle počtu podlaží vyobrazených staveb. Rozděl kartičky podle počtu kostek na vyobrazených stavbách. Rozděl kartičky podle vlastního kritéria, své rozdělení zdůvodni. Komentář 13a: Úlohu lze plnit s jednotlivci, v menších skupinách ale úloha získává další rozměr. Pro skupinu ale zřejmě bude řešení bez předchozích zkušeností skupinové práce značně obtížné. Realizace 13b: Úlohu jsem předkládala jednotlivě, při ranní volné hře. Nejprve jsem začala úlohami s jedním kritériem: „Vyber z hromádky stavby jednopodlažní /dvoupodlažní /třípodlažní /čtyřpodlažní“, „Vyber z hromádky stavby, které jsou postaveny pouze ze tří/čtyř/pěti/šesti kostek. Následně jsem zadala „Rozděl hromádku do skupin podle počtu kostek /podle počtu podlaží“. Pro zajímavost uvádím situaci řešení chlapce viz příloha č. 13c, obr. 74-76, zadání úlohy: „Rozděl stavby na kartičkách do skupin podle počtu podlaží“. Chlapec rozdělil hromádku na tři skupiny – stavby dvoupodlažní, jednopodlažní a třípodlažní. Zbyly mu dvě kartičky, se kterými si nevěděl rady (obr. 76) – dvoupodlažní stavba, která ho mátla svým vzhledem a počtem čtyř kostek a stavba čtyřpodlažní, která se mu nehodila do žádné předem vytvořené skupiny.
14. Barevný rytmus - jednotlivci Potřeby: barevné kostky Zadání úlohy: Pokračuj v barevném plotu.
40
Komentář 14a: Úlohu lze řešit například postavením několika „plotů“ a nechat děti, aby přidávaly další kostky. Následně se pokusím se děti vyzvat, aby postavily vlastní plot. Realizace 14b: Úlohu jsme řešili s polovinou třídy (10 přítomných dětí). Nejprve jsem postavila několik plotů a vyzvala děti, aby jedno po druhém ve stavbě pokračovaly (viz příloha 14c, obr. 77-80). Všechny děti odhalily princip rytmů a vhodně ve stavbě plotu pokračovaly. V tomto počtu se nám nedařilo tak pečlivě rozebírat odůvodnění dětí, proč pokračovaly ve stavbě plotu právě oním způsobem. Bylo by vhodnější na úloze pracovat např. se 2-4 dětmi, v rámci ranní volné hry. Následně jsem děti vyzvala, aby zkusily vytvořit vlastní ploty. Některé děti se nedokázaly oprostit od mnou vytvořených plotů a přesně je napodobily. Většina dětí vytvořila střídavý rytmus 2 barev.
15. Geometrický rytmus - jednotlivci Potřeby: barevné kostky Zadání úlohy: Pokračuj v barevných stavbách. Komentář 15a: Úlohu lze zadat dvěma různými způsoby. První možností je stavět stavby před dětmi, tento způsob se mi zdá pro děti jednodušší. Nevidí pouze výsledek, ale mohou si povšimnout procesu stavění, které jim může usnadnit orientaci. Druhou, dle mého názoru těžší variantou, je odhalit dětem „hotovou“ stavbu, ve které mají pokračovat. Realizace 15b: Úlohu jsem realizovala se skupinkami 5 dětí, aby byl větší prostor pro jejich řešení. V každé skupince se našly 1-2 děti, kterým déle trvalo objevit zákonitosti rytmu, většinou se jim podařilo doplnit stavbu až po té, co po mně ve stavbě pokračovalo jiné z dětí. Ukázky některých staveb viz příloha č. 15c, 81-84. Při stavbě jsme zohledňovali i hledisko barev, děti si na barvy dávaly pozor na základě zkušeností z úlohy na barevný rytmus. Úlohy děti velmi zaujaly, protože si následující dny při volné hře vzaly kostky a samy stavěly (viz příloha č. 15c, obr. 85-87). 41
3.6 Metodické materiály pro učitele MŠ „Stavby z krychlí“ v MŠ Původ. „Stavby z krychlí“ vychází z Hejného matematického prostředí Krychlových staveb. Jednotlivé úlohy jsou převzaty a rozmělněny tak, aby odpovídaly dětem předškolního věku. Materiál. K úlohám je zapotřebí velkého počtu kostek - krychlí. Minimální variantou je pro každé řešící dítě 12 ks. V naší MŠ jsme nedostatek kostek řešili následovně: uspořádali jsme sbírku starých dětských obrázkových kostek neúplných sad, zbavili je natištěných obrázků a natřeli. Ale lze je i zakoupit. Důležité pojmy. Stavba. Podlaží. Stěna. Portrét. Plán. Stavba z krychlí – „Krychlové stavby jsou objekty, které jsou postaveny z volných stejně velkých krychlí, krychle se dotýkají celou stěnou, stavba se dá přenést po sloupečcích (stavba stojí na podložce).“ (Slezáková, Šubrtová 2015, str. 38) Podlaží – stavba je členěna na jednotlivá podlaží (dle Hejného 2007 by označení patro bylo zavádějící). Stěna – stěna krychle, resp. kostky. Portrét - stavba je zaznamenána „jako fotografie“ fyzického modelu. Plán -nárys stavby, s vyznačeným množstvím kostek v jednotlivých sloupcích. Zásady. Jelikož úlohy vychází z Hejného matematických prostředí, zásady pro práci s nimi se téměř ztotožňují. Úlohy by měly být součástí tzv. vzdělávací nabídky, není nutné děti do úloh nutit. Manipulací s kostkami získávají děti reálné zkušenosti. Je však potřeba, aby role učitele byla spíše rolí průvodce a učitel nechal děti řešením úloh získat vlastní poznatky a dopřát jim radost z vlastního objevování, což je pro ně zároveň motivací k další činnosti. Důležitá je příjemná a klidná atmosféra. Ve strachu a stresu z nedostatku času, či v obavách z příliš náročné úlohy, se tvořit nedá.
42
Úlohy je možné řešit individuálně, ve dvojicích či skupinově, ale záleží na zkušenostech dětí při skupinové práci. Nejprve je potřeba se skupinami pracovat na jim známých úlohách. Přínos. Řešení úloh může přispívat k rozvoji prostorové představivosti, řešení problémových situací, spolupráci a zlepšování komunikačních dovedností, k získávání zkušeností a dovedností důležitých pro navazující matematiku na základní škole a k uplatnění v praktickém životě. Úlohy. Celkem 15 úloh je sestaveno do 13 karet, které obsahují zadání úlohy, cíl úlohy, jakým způsobem budou děti úlohy řešit a na co se můžme dětí zeptat.
43
Karta č. 1 1. Seznámení s kostkami, stavba hradu (Potřeby: 12 kostek pro každého řešitele)
Zadání úlohy: Postav z kostek hrad pro krále. Hrad představ ostatním – můžeš například ukázat, kde má král komnatu, kde je kuchyně, hladomorna apod. (stavbu lze motivovat přečtenou pohádkou). Cíl: Seznámit se s prostředím „stavby z kostek“, s pomocí kostek i verbálně vyjádřit své fantazijní představy. Jak děti budou úlohu řešit: Děti staví hrad z 12 kostek dle své fantazie. Pravděpodobně se zatím nebude jednat o „stavbu“, tento termín děti ještě neznají. Při představování hradu může některým dětem činit potíže mluvit před ostatními, nebo verbalizovat své představy. Na co se můžeme ptát: Co vše můžeme ve tvém hradu najít? Kudy se do hradu vchází? Jaké místnosti zde můžeme najít? Kdo hrad obývá? Kolik má podlaží?
44
Karta č. 2 2. Stavba „komínu“ (Potřeby: 12 kostek pro každého řešitele)
Zadání úlohy: Postav co nevyšší „komín“. Co ti pomáhá, aby „komín“ nepadal? (zavedení pojmu stěna - polož kostky stěna na stěnu) Cíl: Prostřednictvím vlastní manipulace si osvojit pojem stěna. Jak děti budou úlohu řešit: Většině dětí se podaří postavit „komín“ ze všech kostek. „Komín“ však může po chvíli spadnout – to pomůže učiteli zavést pojem stěna. Zeptá se dětí, co můžeme udělat pro to, aby „komíny“ nepadaly. Na co se můžeme ptát: Proč nám „komíny“ padají? Kdo postavil nejvyšší?
3. Stavba „komínů“ (Potřeby 12 kostek pro každého řešitele)
Zadání úlohy: Postav více „komínů“. Postav „komíny“ tak, aby ti ani jedna kostka nezbyla. Najdeš ještě několik řešení? Představ své „komíny“ ostatním. Cíl: Upevnit si pojem stěna a seznámit se s pojmem podlaží. Procvičit si práci s číslem jako počtem. Jak děti budou úlohu řešit: Děti budou úlohu pravděpodobně řešit metodou pokus – omyl, nemají předchozí zkušenosti s rozdělením čísla 12. Zavedení pojmu podlaží může učitel ukázat na svém způsobu řešení – představí jako první své „komíny“ – jejich počet a počet podlaží u jednotlivých z nich. Pozn. Zvídavé děti mohou oponovat, že „komín“ nemá podlaží. Mají pravdu, je potřeba dovysvětlit, že nám pojem podlaží pomáhá zorientovat se při popisu stavby z kostek a ta nemusí vypadat jen jako „komín“. Na co se můžeme ptát: Kolik jsi postavil „komínů“? Kolik podlaží má který „komín“?
45
Karta č. 3 4. Stavba stejně vysokých „komínů“ (Potřeby: 12 kostek pro řešitele) Zadání úlohy: Postav „komíny“ ze všech kostek tak, aby všechny „komíny“ byly stejně vysoké. Cíl: Pomocí manipulace s kostkami získávat první zkušenosti s dělením čísla 12. Jak děti budou úlohu řešit: Úloha pracuje s předpojmy dělení. Pro některé děti může být náročná. Jedním ze způsobů, jak ji děti budou řešit, může být, že postaví „komíny“ určité výšky a budou zkoušet, podle toho kolik kostek jim zbude, dorovnat jejich výšky či změnit počet „komínů“. Někdo může úlohu řešit způsobem, že si určí počet „komínů“ a postupně spravedlivě přidává po kostce ke každému „komínu“. Ve třídě se pravděpodobně najde více způsobů řešení, po splnění úlohy může učitel vyzvat děti k posouzení, zda splnily všichni zadání i přesto, že výsledky nevypadají stejně. Na co se můžeme ptát: Kolik jsi postavil „komínů“? Kolik má každý z „komínů“ podlaží? Podařilo se ti splnit zadání úlohy?
46
Karta č. 4 5. Stavba kostek dle postaveného vzoru - „dvojčata“ (Potřeby: postavené stavby a k nim odpovídající počet kostek k postavení „dvojčat“)
Zadání úlohy: Zkus postavit k těmto stavbám „dvojčata“. Kolik mají jednotlivé stavby podlaží? Z kolika jsou postaveny kostek? (Učitel postaví několik vzorových staveb. Společně s dětmi staví ke stavbám „Dvojčata“, pozorují počet kostek, kolik kostek je v jakém podlaží, kolik má stavba podlaží) Cíl: Učit se napodobovat stavbu z kostek (počet i umístění kostek v prostoru) a seznámit se s vlastnostmi pojmu stavba. Jak děti budou úlohu řešit: Učitel postaví stavby z kostek a děti se je snaží napodobit. Učitel může svou stavbu na začátku představit, uvést vlastnosti, pro které nazývá stavbu stavbou. Je dobré začít jednoduššími typy staveb s menším počtem kostek a podlaží. K sebekontrole dětem poslouží návodné otázky na počet podlaží a kostek v každém podlaží u jejich stavby i stavebního vzoru. Na co se můžeme ptát: Z kolika kostek je stavba postavena? Kolik má stavba podlaží? Kolik kostek je v prvním/druhém/šestém podlaží?
47
Karta č. 5 6. Postav stavbu, která je na obrázku – portréty (Potřeby: portréty staveb, odpovídající počet kostek)
Zadání úlohy: Postav z kostek stavbu, kterou vidíš na obrázku. Cíl: Snažit se postavit stavbu podle portrétu. Jak děti budou úlohu řešit: Děti dostanou portrét stavby a jejich úkolem bude postavit stavbu skutečnou. Portréty je vhodné předkládat nejprve s menším počtem kostek (3-5ks v různých variantách), poté množství kostek a počet podlaží zvyšovat. Je možné, že zvídavé děti otevřou otázku tzv. „schovaných kostek“, kostek, které na portrétu nejsou vidět, ale přesto mohou být součástí stavby. Úlohu lze poté rozšířit o otázku, kolik může mít stavba „schovaných kostek“- řešení otázky je vhodné vyzkoušet prakticky přímo se stavbou. Na co se můžeme ptát: Jak se ti stavby dařily? Bylo obtížné vytvořit skutečnou stavbu jen s pomocí obrázku? Z kolika kostek je stavba postavena?
48
Karta č. 6 7. Postav stavbu ze tří kostek (Potřeby: minimálně 12 kostek, raději však více, pro každého řešitele)
Zadání úlohy: Postav stavbu ze tří kostek. Postav další, jinou stavbu ze tří kostek. Lze postavit ještě další, jiné stavby? Kolik rozdílných staveb lze ze tří kostek postavit? Cíl: Procvičit si vlastnosti pojmu stavba a snažit se udržet pozornost při delším soustředění u hledání dalších variant řešení. Jak děti budou úlohu řešit: Před stavěním staveb je potřeba si s dětmi připomenout kritérium pro pojem stavba – „stěna na stěnu“. Děti nejprve postaví jednu stavbu ze tří kostek, poté se pokusí vytvořit další varianty. Většina dětí po delší chvíli dokáže najít všechna 4 řešení. Dětem, kterým činí potíže úlohu dokončit, je vhodné nabídnout, že si úlohu mohou dokončit později. Na co se můžeme ptát: Kolik se ti podařilo postavit staveb? Lze ještě postavit další, jiné stavby? Které je jednopodlažní/dvoupodlažní...?
49
Karta č. 7 8. Vyplň tvar kostkami (Potřeby: pro každého řešitele papír s tvary z obkreslených kostek, odpovídající počet kostek)
Zadání úlohy: Vyplň kostkami tvar/y na papíře. Kolik kostek jsi spotřeboval? Na který tvar jsi spotřeboval nejméně/nejvíce/právě pět kostek. Cíl: Učit se pracovat s vyplňováním prostoru na papíře, získávat zkušenosti s odhadem velikosti kostek. Jak děti budou úlohu řešit: Úloha může mít dvě podoby. V první variantě děti dostanou předkreslený větší tvar na papíru a snaží se ho vyplnit kostkami. Zadání se jeví jako velmi jednoduché, pro děti může být překážkou fakt, že tvar není rozčleněn na místa pro jednotlivé kostky. Druhou variantou může být několik tvarů (již podobných plánům staveb), zakreslených na papír a rozčleněných/nebo nerozčleněných na místa pro jednotlivé kostky. Děti vyplňují tvary kostkami. Na co se můžeme ptát: Kde jsi k vyplnění tvaru použil jen dvě/tři... kostky? Kde jsi použil nejvíce/nejméně kostek?
50
Karta č. 8 9. Záznam plánu jednopodlažní stavby (Potřeby: 3 kostky, papír a pastelku pro každého řešitele)
Zadání úlohy: Obkresli kostku na papír. Co vzniklo – víte, jak se vzniklý útvar jmenuje? Postav si na volné místo na papíru stejnou stavbu, jako mám já (učitel má jednopodlažní stavbu „had“o 3 kostkách). Dalo by se odhadnout, jak bude vypadat na papíře tato stavba? Odstraň kostky z papíru a podívej se na papír z výšky, jako z letadla, poté se podívej „z letadla“ na stavbu z kostek. Porovnej. Cíl: Seznámit se se záznamem stavby na papír – tvořit plán stavby. Jak děti budou úlohu řešit: Pro děti může být obtížné zkoordinovat přidržování a obkreslování kostek. Co se týká způsobu řešení, některé děti si při větším počtu kostek výsledný tvar rozdělí na jednotlivá políčka pro kostky, jiné si tvar ponechají v celku, může se stát, že některé děti budou obkreslovat stavbu přikládáním a obkreslováním jednotlivých kostek. Vše je správné řešení. Důležité je, aby se děti se záznamem plánu seznámily a našly si svůj způsob, který jim bude k záznamu plánu vyhovovat. Na co se můžeme ptát: Jak se jmenuje útvar, který ti vznikl po obkreslení kostek?
51
Karta č. 9 10. Přiřazování plánu jednopodlažních staveb ke stavbám (Potřeby: kartičky s plány staveb, postavené stavby)
Zadání úlohy: Vezmi si kartičku s plánem stavby a přiřaď ji ke správné stavbě. Cíl: Porovnávat plány se skutečnými stavbami a přiřazovat plány k odpovídajícím stavbám. Jak děti budou úlohu řešit: Děti mohou dostávat kartičky po jedné (jednodušší varianta), nebo všechny kartičky najednou. Pokud se činnosti účastní více dětí najednou, může mít každý svou sadu kartiček. Ve výsledku se bude u každé stavby nacházet tolik kartiček, kolik se úlohy účastní dětí. Na konci můžeme stavby s kartičkami společně obcházet a posuzovat správnost řešení. Je dobré začínat s menším počtem kostek a úroveň postupně zvyšovat. Na co se můžeme ptát: Zejména při společném posuzování správnosti řešení u jednotlivých staveb se otvírá možnost zajímavých diskuzí a výměny zkušeností, co dětem pomáhá při přiřazování staveb. Jak jsi poznal, že jde o plán k této stavbě?
52
Karta č. 10 11. Stavba jednopodlažních staveb dle plánu (Potřeby: plány jednopodlažních staveb, odpovídající počet kostek)
Zadání úlohy: Postav stavbu, jako je na plánu před tebou. Cíl: Postavit jednopodlažní stavbu dle plánu. Jak děti budou úlohu řešit: Úlohu je dobré řešit s menším počtem dětí, nebo jednotlivě, aby byla možnost zpětné vazby od učitele. Děti dostanou plán stavby a větší množství kostek. Je dobré, když stavby i s plány zůstávají postavené k závěrečnému porovnání. Pokud úlohu řeší větší počet dětí, nebo učitel nemůže řešení úlohy pozorovat, nabízí se varianta tzv. skrytého řešení – výsledná stavba může být ukrytá pod šátkem a dítě si s ní vlastní stavbu zkontroluje. I přes sebekontrolu dítěte je dobré, když se v závěru naskytne příležitost rozhovoru nad postavenými stavbami. Na co se můžeme ptát: Na kterou stavbu jsi použil nejvíce kostek? Jak poznáš, že jsi postavil stavbu k tomuto plánu?
53
Karta č. 11 12. Kresba plánu dle postavených staveb (Potřeby: čtyři stavby postavené na označených papírech v různých částech třídy, pro každého řešitele papír rozdělený na čtyři části a označený příslušnými značkami)
Zadání úlohy: Po třídě jsou připravena místa – papíry označené v rohu značkou, na nich je postavená jednopodlažní stavba. Prohlédni si stavbu na papíru, zakresli plán stavby na tvůj papír, na místo označené stejnou značkou jako je značka u stavby. Cíl: Zakreslit plán jednopodlažní stavby. Jak děti budou úlohu řešit: Děti mohou chodit volně po třídě a vybírat si libovolnou stavbu k zakreslení. Pro jednodušší organizaci úlohy můžeme začít s menším počtem staveb, děti si na styl práce navyknou a při opakování úlohy lze počet staveb zvyšovat. Závěrečným stanovištěm, po zakreslení všech plánů, může být rozhovor s učitelem. Na co se můžeme ptát: Který plán stavby bylo nejtěžší/nejlehčí zakreslit? Kolik bylo použito na kterou stavbu kostek?
54
Karta č. 12 13. Třídění staveb (Potřeby: portréty staveb na kartičkách, příp. lze třídit i plány staveb)
Zadání úlohy: Vyber z hromádky stavby čtyřpodlažní/třípodlažní apod. Rozděl kartičky podle počtu podlaží vyobrazených staveb. Rozděl kartičky podle počtu kostek na vyobrazených stavbách. Cíl: Porovnávat a třídit portréty staveb dle zadaných kritérií. Jak děti budou úlohu řešit: Pro děti bude jednodušší začínat přesně zadaným
kritériem
–
vyber
z hromádky
stavby,
které
jsou
třípodlažní/čtyřpodlažní atd. Náročnější variantou je kritérium rozděl kartičky podle počtu podlaží/kostek. Nejtěžším stupněm úlohy je rozdělit kartičky podle vlastního kritéria. Na co se můžeme ptát: Proč si zařadil kartičky do společné skupiny? Kolik jsi vytvořil skupin?
55
Karta č. 13 14. Barevný rytmus (Potřeby: větší množství více barev jednobarevných kostek)
Zadání úlohy: Pokračuj v barevném plotu. Zkus vytvořit vlastní plot. Cíl: Odhalit zákonitosti barevného rytmu, popsat jej a dokázat v něm pokračovat. Jak děti budou úlohu řešit: Děti mohou přidávat další kostky k několika již postaveným plotům. Na co se můžeme ptát: Dokážete pokračovat v postaveném plotu (na jedné i druhé straně)? Kterých kostek jsme použili více/méně?
15. Geometrický rytmus (Potřeby: větší množství více barev jednobarevných kostek)
Zadání úlohy: Pokračuj v barevné hradbě/plotu. Cíl: Odhalit zákonitosti geometrického rytmu, popsat jej a dokázat v něm pokračovat. Na základě zkušeností vytvořit vlastní rytmus. Jak děti budou úlohu řešit: Děti mohou pozorovat, jak učitel stavbu staví a poté v ní pokračovat (jednodušší varianta), nebo mohou přijít k hotové stavbě a doplnit další kostky. Na co se můžeme ptát: Jak bude stavba hradby/plotu pokračovat? (Možno vyzkoušet na jedné i druhé straně). Zkusíte vytvořit vaši vlastní hradbu? Kolik má stavba podlaží? Kterých kostek se spotřebovalo více/nejvíce/méně?
56
4 Závěr Cílem závěrečné práce, k němuž jsem směřovala, bylo vytvořit sadu úloh inspirovaných Hejného úlohami pro 1. st. ZŠ, ověřit je v praxi a připravit metodické materiály pro učitele. Cíl práce byl naplněn, sadu mnou vytvořených úloh jsem ověřila při práci s předškolní třídou a pomocí výsledků jsem sestavila metodický materiál. Na základě pozorování dětí při řešení úloh jsem vytvořila zjednodušené představení prostředí „staveb z krychlí“ pro práci v mateřské škole a stručné zadání 15 úloh, které by mohly být užitečné při práci učitelům MŠ. Úloha č. 1 tvořila motivační úvod k prostředí „stavby z krychlí“. Ve 2.-4. úloze se děti seznamovaly s pojmy stěna, podlaží, stavba. V úloze 5. si děti pojmy upevnily. V úloze č. 6 pracovaly s pojmem portrét stavby. Úloha č. 7 byla zaměřena na hledání více způsobů řešení. V úlohách 8.-12. se děti postupně seznámily s pojmem plán stavby a naučily se jej zakreslit. Úloha č. 13 se věnovala třídění portrétů, úloha č. 14 a 15. procvičovala pomocí kostek barevné a geometrické rytmy. Děti jsou schopné pracovat v prostředí „stavby z krychlí“ na základě předchozích zkušeností a nových informací. Dokáží stavět stavby, porovnávat, třídit, vlastními slovy popisovat své postupy řešení, ke stavbám přiřazovat a tvořit plány, odhalit zákonitost řazení barevných kostek a pokračovat v začaté řadě. Práce s kostkami děti baví, rády objevují řešení úloh. Činnost přispívá k rozvoji prostorové představivosti, předmatematických dovedností a argumentaci vlastního postupu řešení.
57
5 Seznam použitých zdrojů ALTMANOVÁ, Jitka. Gramotnosti ve vzdělávání: *příručka pro učitele. Vyd. 1. v Praze: Výzkumný ústav pedagogický, 2010, 64 s. ISBN 978-80-87000-41-0. BEDNÁŘOVÁ, Jiřina a Vlasta ŠMARDOVÁ. Diagnostika dítěte předškolního věku: co by dítě mělo umět ve věku od 3 do 6 let. Vyd. 1. Brno: Computer Press, 2011, iv, 212 s. Dětská naučná edice. ISBN 978-80-251-1829-0. HEJNÝ, Milan, Darina JIROTKOVÁ a Jana SLEZÁKOVÁ-KRATOCHVÍLOVÁ. Matematika 1: Příručka učitele. 1. vyd. Plzeň: Fraus, 2007. ISBN 978-80-7238-628-4. JIROTKOVÁ, Darina. Cesty ke zkvalitňování výuky geometrie. Vyd. 1. V Praze: Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta, 2010, 330 s. ISBN 978-80-7290-399-3. KASLOVÁ, Michaela. Předmatematické činnosti v předškolním vzdělávání. Praha: Raabe, c2010, 206 s. ISBN 978-80-86307-96-1. KASLOVÁ, Michaela. Předmatematická gramotnost v mateřské škole. Poradce ředitelky mateřské školy. 2012, 1(8): 64 s. ISSN 1804-9745. KOLLÁRIKOVÁ, Zuzana a Branislav PUPALA. Předškolní a primární pedagogika. Vyd. 1. Praha: Portál, 2001, 456 s. ISBN 80-717-8585-7. KOMENSKÝ, Jan Ámos. Informatorium školy mateřské. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1975, 52 s. KŘÍŽOVÁ, Jitka a Lydia MRUŠKOVIČOVÁ. Rozvíjení základních matematických představ v mateřské škole. Praha: Naše vojsko, n.p., 1988. LANGMEIER, Josef a Dana KREJČÍŘOVÁ. Vývojová psychologie. Vyd. 3., přeprac. a dopl., v Grada Publishing vyd. 1. Praha: Grada, 1998, 343 s. Psyché (Grada). ISBN 80716-9195-X. MALOTOVÁ, Martina. Rozvoj předmatematických představ a program 344. Poradce ředitelky mateřské školy. 2012, 2(3): 64 s. ISSN 1804-9745.
58
SKALKOVÁ, Jarmila. Úvod do metodologie a metod pedagogického výzkumu. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1983, 208 s. STEHLÍKOVÁ, Naďa (ed.), (ed.) a (ed.). Konstruktivistické přístupy k vyučování matematice. In: HEJNÝ, Milan, Jarmila NOVOTNÁ a Naďa STEHLÍKOVÁ. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha: Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta, 2004, s. 11-21 s. ISBN 80-7290-189-3. TOMÁŠKOVÁ, Iva. Matematické činnosti v práci předškolních pedagogů. Poradce ředitelky mateřské školy. 2012, 1(8): 64 s. ISSN 1804-9745. VÁGNEROVÁ, Marie. Vývojová psychologie I.: dětství a dospívání. Vyd. 1. Praha: Karolinum, 2005, 467 s. ISBN 80-246-0956-8. Program výchovné práce pro jesle a mateřské školy. 1. vyd. Praha: SPN, 1984, 220 s.
Internetové zdroje: CACHOVÁ, Jana. Využití apletů ve vyučování geometrie v primární škole [online]. Hradec Králové, 2013 *cit. 2015-11-11]. Dostupné z: http://lide.uhk.cz/prf/ucitel/cachoja1/Odkazy/cachova_2013.pdf MOLNÁR, Josef, Jaroslav PERNÝ a Anna STOPENOVÁ. Prostorová představivost a prostředky k jejímu rozvoji *online+. JČMF, 2006 *cit. 2015-10-10+. Dostupné z: http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=100 PAVELKOVÁ, Adéla. Akční výzkum v pedagogickém prostředí [online]. Brno, 2012 [cit. 2015-12-06+. Dostupné z: http://is.muni.cz/th/261283/ff_m/. Diplomová práce. ROZEHNAL, Jiří. Matematika podle prof. Hejného [online]. Praha, 2014 [cit. 2015-1111]. Dostupné z: http://deti.mensa.cz/res/f/rozehnal-jiri-matematika-podle-profhejneho.pdf
59
SLEZÁKOVÁ, Jana a Eva ŠUBRTOVÁ. Matematika všemi smysly aneb Hejného metoda v MŠ: pokus o malou příručku pro kreativní pedagogy [online]. Praha: Step by step ČR, o.p.s., 2015 *cit. 2015-11-13+. Dostupné z: http://www.h-mat.cz/sites/default/files/kestazeni/Brozura_Hejneho_metodaweb.pdf ABZ.cz: Slovník cizích slov [online]. 2015 [cit. 2015-11-13+. Dostupné z: http://slovnik-cizich-slov.abz.cz/web.php/slovo/predoperacni-stadium-mysleni Děti se seznamují s matematikou už ve školce díky takzvané Hejného metodě. Český rozhlas [online]. 2015 [cit. 2015-10-10+. Dostupné z: http://www.rozhlas.cz/zpravy/politika/_zprava/deti-se-seznamuji-s-matematikouuz-ve-skolce-diky-takzvane-hejneho-metode--1501392 Konkretizované očekávané výstupy RVP PV [online]. Praha, 2013 [cit. 2015-12-06]. Dostupné z: http://www.nuv.cz/file/443 Geometrické modelovanie a priestorová představivosť [online]. [cit. 2015-11-11]. Dostupné z: http://pdf.truni.sk/e-ucebnice/gmpp/ Prof. RNDr. Milan Hejný, CSc. H-mat: Zasloužená radost z poznávání [online]. 2015 [cit. 2015-11-11+. Dostupné z: http://www.h-mat.cz/prof-milan-hejny Představivost - Wikisofia. Wikisofia [online]. Wikimedia Foundation, 2013 [cit. 201511-11+. Dostupné z: https://wikisofia.cz/index.php/Představivost Rámcový vzdělávací program pro předškolní vzdělávání. 1. vydání. *online+. Praha: Výzkumný ústav pedagogický, 2006. 48 s. *cit. 2015-12-06]. ISBN 80-87000-00-5. Dostupné z: http://www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVP_PV-2004.pdf 12 klíčových principů/ H-mat. H-mat: Zasloužená radost z poznávání [online]. 2015 [cit. 2015-11-11+. Dostupné z: http://www.h-mat.cz/principy
60
6 Přílohy Příloha č. 1c: Obr. 1-7 „Hrady“
61
Příloha č. 1c: Obr. 8
Obr. 9
62
Příloha č. 1d: Úryvek pohádky O králi Z devatero horami a devatero řekami žil byl jednou jeden král ve starém hradě. Podoba hradu ho velmi rmoutila. Hrad nevypadal tak, jak by si představoval. Proto povolal všechny zkušené stavitele, tesaře, zedníky, kameníky i kováře, aby jim řekl: „Milí poddaní, přál bych si postavit hrad, který by mi více vyhovoval. Můj současný hrad nemá žádnou věž, ze které by se dalo dívat do dáli, ani věž, ze které bych mohl pozorovat, kdo k hradu přijíždí. Nuže, postavte mi hrad, který by mi mohl vyhovovat.“ Dořekl a poddaní začali stavět.
63
Příloha č. 2c: Obr. 10 „Komíny“
Obr. 11 „Komín“
Obr. 12 „Dvojitý komín“
64
Příloha č. 3c a 4c: Obr. 13-18
65
Příloha 5c: Obr. 19-24
66
Příloha č. 5c: Obr. 25-32
67
Příloha č. 5c: Obr. 33-34
68
Příloha č. 6c: Obr. 35-39
69
Příloha č. 7c: Obr. 40
Obr. 41
70
Příloha č. 8c: 0br. 42
Obr. 43
71
Příloha č. 9c: Obr. 44
Obr. 45
72
Příloha č. 10c: Obr. 46
73
Příloha č. 11c: Obr. 47-48
Obr. 49-51
74
Obr. 52
Obr. 53
75
Příloha č. 12c: Obr. 54-57
76
Příloha č. 12c: Obr. 58
Obr. 59
Obr. 60
Obr. 61
77
Příloha č. 12: Obr. 62
Obr.63
Obr. 64
Obr. 65
78
Příloha č. 12c: Obr. 66
Obr. 67
Obr. 68
Obr. 69
79
Příloha č. 12c: Obr. 70
Obr. 71
Obr. 72
Obr. 73
80
Příloha č. 13c: Obr. 74
Obr. 75
Obr. 76
81
Příloha č. 14c: Obr. 77
Obr. 78
Obr. 79
Obr. 80
82
Příloha č. 15c: Obr. 81
Obr. 82
Obr. 83
Obr. 84
83
Příloha č. 15c: Obr. 85
Obr. 86
Obr. 87
84
