STACIONARNI MATEMATIČKI MODEL TRANSPORTA TOPLOTE IZMEðU TOPLOTNE PUMPE I PODNIH PAKETA ZA GREJANJE-HLAðENJE
prof. Jožef Njerš Dr. Sci. Tera Term d.o.o.. Visoka Tehničla Škola Subotica, 24000 Subotica, Vojvodina, Serbia Tel: +381 63 84 777 99, +381 24 687175 E-mail:
[email protected] Kongres, Tata Hungary 1997.
ABSTRACT: Cilj ovog rada je postavljanje stacionalnog matemati~kog modela za transprort toplotne eneregije izme|u toplotne pumpe i grejnih tela, u stacionalnog re`imu rada. Fizi~ki sistem se sastoji od kompresora, cirkulacione pumpe, cevnog paketa podnog grejanja. Dobijeni matemati~ki model sistema se sastoji od sistema nelinearnih algebarskih i obi~nih linearnih jedna~ina. Za re{avanje diferencialnih jedna~ina primenjen numeri~ki prostupak Runge-Kutta IV a za implicitne nelinearne algebarske nejedna~ine iterativni numeri~ki postupak Newton sa Taylor-ovom linearizaciom. Rezultat rada je da pomo}u postavjenog modela i numeri~kog postupka mogu}e je izra~unavati sve potrebne parametere sistema ako znamo , stepene slobode sistema , temperaturu povratne vode i temperaturu pregrejane pare freona.
1º UVODNA RAZMATRANJA U slu~aju toplotne pumpe voda-voda na dinamiku odvo|enja toplotne energije velikoj meri uti~e protok cirkuli{u}e vode . Kod odre|ene koli~ine toplotne energije za grejanje, intenzitet protoka vode direktno odre|uje temperatursku razliku izme|u temperature polazne i povratne vode. Sa pove}anjem protoka temperaturska razlika se smanjuje a temperatura polazne i povratne vode te`i srednjoj vrednosti. Smanjenje temperature polazne vode prouzrokuje smanjenje pritiska u kondenzatoru a sa time se pove}ava energetski stepen dobrote toplotne pumpe. Intenzitet protoka cirkuli{u}e vode odre|uju strujni otpori i snaga cirkulacione pumpe . Smanjenje strujnh otpora mo`emo posti}i pogodnim geometrijskim oblikovanjem razvoda i izborom pre~nika cevi . Prvo pitanje izbor pre~nika svi cevi.Drugo pitanje dokle i}i sa pove}anjem snage cirkulacione pumpe . Sa aspekta kondenzacije i energetskog stepena dobrote samog rashladnog kruga je povoljnije izabrati {to ve}u snagu pumpe , me|utim zbog pove}ane potro{ne elektri~ne energije, od strane pumpe, ukupni energetski stepen dobrote grejnog sistema opada . Zadovoljavaju}e odgovore na gornja pitanja mo`emo dobiti iz dobro formiranog stacionoznog matemati~kog modela sistema, numeri~kom simulacijom.
2º POSMATRANI FIZI^KI SISTEM A datom slu~aju analiziramo uticaj protoka cirkuliraju}e vode za razvod toplotne energije na energetski stepen dobrote sistema . Komponente koje ~ine posmatrani podsistem su kondenzator cirulaciona pumpa i razvodni sistem . U posmatranom sistemu kondenzator je horizontalan sa tankim paralelnim bakarnim cevima u snopu . Cevi su savijene u obliku slova U i spojene su sa plo~ama za dr`anje i usmeravanje. Usmeriva~i slu`e za pove}anje brzine strujanja pregrejane pare medijuma , radi intenziviranja predaje toplotne energije . Donji deo omota~a kondenzatora slu`i za skupljanje kondenzatuma .
Cirkulacione pumpe su centrifugalne, sa razli~itim snagama i karakteristikama . Razvodni sistem toplotne energije mo`e da bude izveden sa razli~itim grejnim telima . Sa aspekta toplotne pumpe je potpuno svejedno dali su u pitanju konvektori , radijatori ili su u podu formirana grejna tela . Bitno je to , da grejna povr{ina bude {to ve}a a strujni otpor {to manji. Najbolje karakteristike u tom pogledu ima u podu formirana grejna tela . U podu je mogu}e najjeftinije formirati veliku povr{inu . Zatim grejne povr{ine su nevidljive, iznad njih formiran temperaturski profil vazduha najvi{e li~i na idealan profil od svih mogu}ih re{enja . Jedina mana podnog grejanja je da zbog du`ine cevi ima pove}an strujni otpor , me|utim sa dobrim izborom povr{ine paketa i du`ine civi mogu} je smanjiti .
3º STACIONARNI MATEMATI^KI MODEL SISTEMA 3º1 MATEMATI^KI OPIS CIRKULACIONE PUMPE Preko cirkulacione pumpe se uvodi energija za ostvarivanje odre|enog protoka cirkuliraju}e vode za transport toplotne energije . Veoma je bitno pitanje sa aspekta energetskog stepena dobrote sistema intenzitet ostvarenog protoka vode i potro{ena energija za to . Tri realne cirkulacione pumpe su uzete u posmatranje . Matemati~ki model za njih je napravljen na osnovu merenih podataka od strane proizvo|a~a . Nad tim podacima je postavljena jedna eksponencijalna algebarska funkcija koja dovoljno ta~no aproksimira karakteristiku cirkulacione pumpe . 4
∆p =
∑a G i =1
i
i v
Koeficijente a i odre|uje jedan numeri~ki matemati~ki postupak na bazi tabelarne vrednosti vrednostnih parova ∆p , G v . Posmatrane cirkulacione pumpe su proizvod SEVER-Wilo tri razli~itog tipa i snage sa slede}im karakteristikama: RS30 (130[W]) RS40 (210[W]) RS50 (250[W])
∆p = 4.423 − 0.401 ⋅ G v − 0.0768 ⋅ G v
2
∆p = 5.499 − 0.516 ⋅ G v + 0.0766 ⋅ G v − 0.0133 ⋅ G v + 0.00053 ⋅ G v 2
3
4
∆p = 6197 . − 0134 . ⋅ G v − 0.0318 ⋅ G v + 0.00264 ⋅ G v − 0.0000803 ⋅ G v 2
Grafi~ki prikaz karakteristika navedenih pumpi
3
4
3º3.1. 3º3.2. 3º3.3.
3º2 MATEMATI^KI OPIS KONDENZATORA U kondenzatoru se odvija kontinualna razmena toplotne energije izme|u rashladnog fluida i vode . Kontinualnost razmene obezbe|uje strujanje jednog i drugog fluida . Intenzitet razmene toplotne energije u velikoj meri zavisi od intenziteta strujanja oba fluida . Kod matemati~kog modeliranja kondenzatora posebno }emo posmatrati termi~ke i strujne procese . 3º2.1 TERMI^KI MATEMATI^KI OPIS KONDENZATORA Stacionarni termi~ki matemati~ki model kondenzatora je napravljen na bazi odr`avanja toplotne energije vode , cevi, freona uz slede}e predpostavke i obrazlo`enja: fluid koji transportuje toplotnu energiju je prakti~no nesti{ljiv kao i materijal od ~ega napravljena cev . Njihov termi~ki opis je mogu}e dati kori{}enjem zakona o odr`avanju toplotne energije . para radnog medijuma je sti{ljiva . Prolazi preko velikog popre~nog preseka sa malom brzinom , zato je , u stacionarnom re`imu , promenu pritiska usled srtujnih otpora mogu}e zanemariti . Po{to je pritisak stalan zato i kondenzaciona temperatura kao i gustina stalna . Na bazi gornjih obrazlo`enlja termi~ko pona{anje rashladnog medijuma tako|e je mogu}e opisati primenom zakona o odr`avanju toplotne energije . iz kompresora u kondenzator para freona ulazi u pregrejanom stanju , zato paru prvo treba ohladiti na temperaturu kondenzacije zatim je kondenzovati . Prakti~no kondenzator se sastoji od hladnjaka i kondenzatora pare. Ovu podelu mora da ima i matemati~ki model .
freon : G f , Tf 0
freon : G f , Tf Stacionarni matemati~ki model rashladnog dela kondenzatora : ∂Tv + C v ( Tv − Tc ) = 0 ∂z cev C cv (Tv − Tc ) − C cf (Tc − Tf ) = 0 ∂Tf − G f (Tc − Tf ) = 0 freon w f ⋅ ∂z
voda
3º1.1.
wv
3º1.2.
∆p = 0
Tf ( z ) ≠ const.
Stacionarni matemati~ki model kondenzacionog dela kondenzatora : ∂T voda w v v + C v ( Tv − Tc ) = 0 ∂z cev C cv (Tv − Tc ) − C cf (Tc − Tf ) = 0
3º1.3.
3º1.4. 3º1.5.
freon
q = αf
Fc (T − Tf ) = ∆i Gf c
∆p = 0
Tf ( z ) = const.
3º1.6.
Gde su koeficijenti iz gornjih jedna~ina : C v = α v ⋅ 4 / ( C pv ⋅ ρ v ⋅ d u )
3º1.7.
C cv = α v ⋅ 4 ⋅ d u / ( C c ⋅ ρ c ⋅ (d s − d u ))
3º1.8.
C cf = α fg ⋅ 4 ⋅ d s / (C c ⋅ ρ c ⋅ (d s − d u ))
3º1.9.
2
2
2
2
Brzine w v = G v / (A v ⋅ ρ v ) = G v / ( d u 2 ⋅ n ⋅
π ⋅ρ ) 4 v
w f = G f / (A f ⋅ ρ fg ) = G f / (( D 2 − n ⋅ n jár ⋅ d s 2 ) ⋅
3º1.11.
π ⋅ρ ) 4 fg
3º1.12.
3º2 KOMPRESOR Realan kompresor lj uzet u posmatranje. Matemeti~ki model kompresora je ra|en na osnovu merenih podataka sa strane proizvo|a~a. Kao kod cirkulacione pumpe o ovde primenjena ista metodologija naime nad podacima postavljena jedna eksponencijalna funkcija. Za posmatrani kompresor ( MK 19.1 od Copelanda ) uzeti su podaci za rashladni u~in pri temperaturi isparavanja 0C i za komdenzacijone temperature 30C, 55C, 85C. Na osnovu tih podataka je napravljena funkcija koja opisuje rashladni karakteristiku kompresora : Qo(Te,Tk) Qo(0C, 30C,55C,85C) Q 0 (Te , Tk ) 4
Tk =
Q 0 (Te ) = ∑ a i Te
i
i =1
az a i - együtthatók meghatározása egy numerikus eljárás alapján írt számítógépes program segítségével történik . Be kell vinni Q 0i , Tei adatpárokat az MK 18.2-es kompresszorra, az eljárás kiszámítja az a i értéket. a 1 =1732.0 a 2 = 527.45 a 3 = -15.65 a 4 = 0.3533 A kompresszor álltal szállított hûtõközeg gõzmennyiség a hûtési teljesítmény és az entalpia alapján számítható ki :
Gf =
Q 0 ( Te ; Tk ) ∆i( Tf )
3º2.2.
4º MATEMATI^KI MODEL STRUJNIH GUBITAKA U VODENOM CIRKULACIONOM KRUGU 4º1 PAD PRITISKA U CEVIMA KONDENZATORA Untar kondenzatora su postavljene horizontalne bakarne cevi , preko njih struji voda za transport toplotne energije .
Po{to su cevi pribli`no iste du`ine , pre~nika i geometrijskog oblika , zato je realno predpostaviti da su protok i brzina vode u svim paralelnim cevima prakti~no isti: G v1 ≅ G v 2 ≅........... ≅ G vi G G vi ≅ v n Gv w vi = Ai ⋅ n ⋅ρ
4º2.2.
Ai = d u2 ⋅
π 4
Pad pritiska u vodi za jednu cev :
∆p k i
li G v2 = ξ k l i + ∑ ξ k lok i ⋅ di 2A i 2 ⋅ ρ ⋅ n 2
∆p k i = k k ⋅ G v 2 ξ k l i (Re ; ∆d d ) ξ k lok i ( R d )
i = 1... n
4º2.4
4º2.6 4º2.7
Svi cevi polaze iz iste komore gde je pritisak p0 a skupljaju se u istu komoru gde je pritisak p tada raspolo`ivi pad pritiska za sve cevi isti . ∆p k = p 0 − p
∆p 1 = ∆p 2 =........... = ∆p k i
4º 2 PAD PRITISKA U CEVIMA PODNOG GREJANJA U podu se podstavljaju cevni paketi za razvod i predaju toplotne energije . Cevi u paketima se formiraju u obliku kvadrati~nih spirala . Paketi se priklju~uju na zajedni~ke polazne i povratne kolektore , zato je raspolo~ivi pad pritiska za svaku cev isti
∆p p = p 0 − p
4º1.1.
∆p 1 = ∆p 2 =........... = ∆p i
Zavisnost pada pritiska od ostalih geometrijskih veli~na i od protoka , u stacionarnom re`imu strujanja , mo`emo opisati pomo}u dobro poznate empirijske veze : w li ∆p pi = ξ l ⋅ + ∑ ξ lok ⋅ ρ ⋅ i di 2
2
wi =
4º1.2. G vi Ai ⋅ρ
4º1.3.
l G vi 2 ∆p pi = ξ l i + ∑ ξ lok ⋅ di 2A i 2 ⋅ ρ l 1 k pi = ξ l i + ∑ ξ lok ⋅ di 2A i 2 ⋅ ρ ∆p pi = k pi ⋅ G vi
2
4º1.4. 4º1.5
Cevi u paketima imaju isti unutra{nji pre~nik ali druga~ija im je du`ina i broj kolena. Za svaki paket postoji poseban ventil za regulaciju protoka. Pomo}u protoka se reguli~e koli~ina predate toplote preko paketa. G v = ∑ G vi
4º1.7.
G v = G v1 + G v 2 +...+ G vi
∆p p1 G v = k p1
0.5
∆p p 2 + k p2
4º1.8. 0.5
∆p pi +...+ k pi
0.5
4º1.9.
n 1 1 1 1 0.5 G v = ∆p 0.5 0.5 + + ... + = ∆ p ∑ 0.5 0.5 0.5 k p2 k pi i =1 k pi k p1
4º1.10.
∆p p = k p sum ⋅ G v
4º1.11.
2
k p sum =
1 n 1 ∑ 0.5 i =1 k pi
2
4º1.12.
4º3 MATEMATI^KI MODEL VODENOG CIRKULACIONOG KRUGA Elementi vodenog cirkulacionog kruga su cirkulaciona pumpa, kondenzator i cevni paket podnog grejanje. U ovom sklopu cirkulaciona pumpa izvor strujne energije a potro{a~i te energije su kondenzator i cevni paket podnog grejanja. Pira{taj pritiska od strane pumpe se tro{i na savla|ivanje otpora u kondenzatoru i paketima. ∆p pumpa − ∆p p − ∆p k = 0
4º3.1
4
∑a G i =1
i
i v
− k p ( Gv ) ⋅ G v 2 − k k ( Gv ) ⋅ G v 2 = 0
4º3.2
Kondenzator se sastoji od hladnjaka za pregrejanu i kondenziraju}u paru. Na deonici sa pregrejanom parom u stacoinarnom re`imu, temperatur pare freona i temperatura vode u cevima samo uzdu`no se menjaju, popre{ne promene mo`emo zanemariti. Za promene temperature dobilismo obi~ne diferencialne jedna~ine sa jednostranim grani~nim uslovima (po~etnim uslovima).
5º MATEMATI^KI POSTUPAK ZA RE[AVANJE MATEMATI^KOG MODELA Za re{avanje sistema obi~nim diferencalnim jedna~ima primenljiv rekurziv numeri~ki prostupak Runge-Kutta IV. Kriterium za odre|ivanje du`ine hladnjaka je temperatura kondenzacije. Ako je temperatura pare hladnjenjem opala na temperaturu kondenzacije tada se prelazi na matemati~ki model za kondenzaciju. U prvoj iteraciji se procenjuje temperatura kondenzacije Tk=Te+10C° , a dalje iteracije je pribli`avaju ta~noj vrednosti. Pojavom kondenzacije fizi~ke osobine rashladnog mediuma se menjaju a to prouzrokuje promenu matemati~kog modela. Termi~ki matemati~ki model pri kondenzaciji se sastojo jedne obi~ne diferencialne jedna~ine i o algebarskih jedna~ina. Diferencijalne jedna~ine re{avamo pomo}u Runga-Kutta IV , a algebarske jedna~ine mogu}e je svesti na explicitni oblik. Matemati~kog odre|ivanje protoka vode u vodenom krugu iz izvedene jedna~ina je mogu}e jedino iterativnim putem. U jedna~ini, protok se pojavljuje i u koeficijentima Kk,Kp i na exponentu od 1 do 4. 4
f (G v ) ≡ ∑ a i G v i − k p ( Gv ) ⋅ G v 2 − k k ( Gv ) ⋅ G v 2 = 0
5º1
i =1
Gornja algebarska jedna~ina je implicitna i nelinearna. Re{iva je primenom Newton-ovog iterativnog numeri~kog podstupka. Linearizaciju je mogu}e uraditi razvijanjem jedna~ine u Taylor-ov red. ∂f (G v ) f ( G v + ∆G v ) = f ( G v ) + ∆G v + 0 ∆2 = 0 5º2 ∂G v
( )
∆G v =
f ( G + ∆G ) − f ( G v ) f (G v ) = 0− ∂f (G v ) ∂f ( G v ) ∂G v
Gv = Gv i
i −1
∂G v
+ ∆G v
ε = Gv − Gv i
5º3
i −1
5º4 5º5
Iteracije treba ponoviti sve dok apsolultna vrednost izra~unate vrednost nije manja od predvi|ene ε.
6º PODACI ZA NUMER^KU SIMULACIJU Podaci za numeri~ku simulaciju su uzete na osnovu vrednosti izvedenog sistema sa realnim komponentima. Kondenzator toplotne pumpe je napravljen od bakarnih cevi pre~nika φ8/φ6 du`ine l=2[m] . Minimalan radijus saviljanja cevih Rmin=0.01[m] a prira{talj radiusa ∆R=0.01[m]. U jednom prolazu ima n=30 kom. cevi. Unutra{nji pre~nik omota~a kondenzatora je Du=1.1[m]. Radni medium je freon R 134a, temperatura pregrejane pare Tf=55 C stepeni. Masani protok freona se izra~unava na osnovu karakteristike ugra|enog kompresora Qo(Te,Tk), i deo latentne toplote isparavanja ∆i pri temperaturi Te=0C° . Karakteristike cirkulacionih pumpi su definisane funkcijom ∆p(Gv). Cevni paketi podnog grejanje su izra|eni od PE cevi pre~nika φ20/φ16 du`ine l=100[m]. Cevi su vezani na ~eli{nu mre`u 0.15x0.15[m] zato im je radius savijanja R=0.15[m]. U svakom spiralnom kvadratu ima 4 radiusa. U paketu nr redova ukupan broj radiusa u paketu 2nr. Posmatrani sistem ima 2 stepena slobode, temperaturu pregrejane pare freona i temperaturu vode. Temperature treba unapred definisati ostale podatke matemati~kih postupak posrestvom modela izra~unava.
7º REZULTATI NUMER^KE SIMULACIJE Na osnovu izlo`enog motemati~kog modela, numeri~kog postupka i podataka ura|ena je simulacija za tri cirkulacione pumpe razli~ite snage. Ulazni podatak je temperatura povratne vode Tv0=40C. Za prezentacijuizabrali smo slede}e va`nije podatke:
8º ZAKLJU^AK Iz navedenih rezultata se vidi da za datu fizi~ku stuktura i geometrijsku konfiguraciju zadovoljava i cirkulaciona pumpa najmanjeg kapaciteta. Sa pove}anjem snage cirkulacione pumpe pove}ali bi investicione tro{kove potro{enu energiju za cirkulaciju vode., a zanemarij}i prira{taj bi postigli kod grejne snage toplotne pumpe. Ovaj navedeni primer je samo jedna mogu}nost od primene matemati~kog modela i postupka . Postupak je izvanredno primenljiv i kod izbora i verifikacije geometrijskih dimenzija kondenzatora i razvodnog sistema. Pre vega se misli na izbor popre~nih preseka cevih .
