Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás

2008.03.14.

Irányítástechnika – PE MI_BSc

1

Stabilitás • egyszerűsített szemlélet • példa • zavarás után a magára hagyott rendszer • visszatér a nyugalmi állapotába • kvázistacionárius állapotba kerül • „végtelenbe” tart • alapjelváltás Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/2

Stabilitás • definíciók • BIBO stabilitás – külső stabilitás a bementek – kimenetek viszonyára tesz megkötést • aszimptotikus stabilitás a kimenetek határértékére tesz megkötést


Stabilitás/3

BIBO stabilitás • BIBO stabilitás definíciója Egy rendszert BIBO stabilnak nevezünk, ha korlátos bemenet, azaz |u(t)| < M1, valamely -∞< t0 ≤ t < ∞ időintervallum esetén, a kimenete is korlátos: |y(t)| < M2, a t0 ≤ t < ∞ időintervallumon (ahol M1, M2 < ∞, és t0 a kezdőidőpont) .


Stabilitás/4

BIBO stabilitás • Tétel: Egy rendszer akkor és csak akkor BIBO stabil, ha ∞

∫ h(t ) dt < M < ∞ 0

azaz a súlyfüggvény abszolút integrálja korlátos.


Stabilitás/5

Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • Legyen n-ed rendű lineáris, időinvariáns rendszer bemenete zérus, a kimenete pedig a kezdeti értékek miatt y(t). Ekkor y(t) a következő módon fejezhető ki: n −1 y (t ) = ∑ g k (t ) ⋅ y (k ) (t0 ) k =0

ahol gk(t) jelöli az y(k)(t0) kezdeti értékek miatti, a nulla bemenetre adott válasz (k+1)-dik komponensét és k d y (t ) y (t0 ) = dt k t =0 (k )


Stabilitás/6

Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • Aszimptotikus stabilitás definíciója Egy lineáris időinvariáns rendszert tetszőleges, nem minden esetben zérus kezdeti feltételek esetén nulla bemeneti stabilitásúnak nevezzük, ha megválasztható egy M korlát ∃M(y(t0), y(1)(t0),…, y(n-1)(t0)) > 0, úgy, hogy |y(t)| ≤ M < ∞, ∀t ≥ t0 és

lim y (t ) = 0 t →∞


Stabilitás/7

Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • Másképpen: Ha egy rendszerben konstans nulla bemenet és adott, legalább egy esetben nemzérus kezdeti feltételek esetén a kimenet nullához tart tetszőlegesen nagy idő eltelte után, akkor ezt a rendszert nulla bemeneti stabilitásúnak (vagy aszimptotikusan stabilnak) nevezzük. Egyébként a rendszer instabil.


Stabilitás/8

Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • a stabilitás feltétele y (t ) =

n −1

∑

g k (t ) ⋅ y (k ) (t 0 ) ≤

k =0

n −1

∑ g k (t ) ⋅ y (k ) (t0 ) k =0

mivel a kezdeti feltételek végesek y(t0), y(1)(t0),…, y(n-1)(t0) < ∞ n −1

∑ g (t ) < ∞ , k

∀t ≥ t0

k =0


Stabilitás/9

Stabilitás – Általános feltétel • Induljunk ki

an y (n ) (t ) + an −1 y (n −1) (t ) + K + a0 y (t ) = bmu (m ) (t ) + K + b0u (t ) • inhomogén differenciálegyenlet megoldás: homogén általános megoldása + inhomogén partikuláris megoldása


Stabilitás/10

Stabilitás – Általános feltétel • homogén egyenlet: egyenlet bal oldala nullával egyenlővé téve an y (n ) (t ) + an −1 y (n −1) (t ) + K + a0 y (t ) = 0

bal oldalon kimenet és deriváltjai ennek megoldása a magára hagyott rendszer válasza nulla bemeneti stabilitás • inhomogén megoldás: új egyensúlyi állapot jellemzőinek meghatározása Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/11

Stabilitás – Általános feltétel • A homogén egyenlet általános megoldása: n

y (t ) = c1e p1t + c2 e p2t + K + cn e pnt = ∑ ck e pk t k =1

ahol p1, p2,…, pn a homogén egyenletnek megfelelő karakterisztikus egyenlet gyökei, ci konstansok • stabilitás:

lim y (t ) = 0 t →∞

• teljesül: ha ezek a gyökök negatív valósak, vagy negatív valós részű komplex gyökpárok: Re{pi} < 0, Irányítástechnika – PE MI_BSc

∀pi, i=1,…,n Stabilitás/12

Stabilitás – Általános feltétel • a homogén egyenlet y(t) megoldása tulajdonképpen a rendszer súlyfüggvénye (hiszen így, ha akkor

Y(s) = G(s)⋅U(s) u(t) = δ(t) Y(s) = G(s) ⇒ y(t) = h(t) )

azaz a stabilitás

lim h(t ) = 0 t →∞


Stabilitás/13

Stabilitás – Általános feltétel • Operátor tartományban • Átviteli függvény Y (s ) bm s m + K + b0 b0 (s − z1 ) ⋅ K ⋅ (s − z m ) G (s ) = = = ⋅ n U (s ) an s + K + a0 a0 (s − p1 ) ⋅ K ⋅ (s − pn )

ahol a p1, p2,…, pn gyökök a nevező polinomjának gyökei, azaz a pólusok, és megfelelnek a homogén differenciál- egyenlethez tartozó karakterisztikus egyenlet gyökeinek • Így a rendszer stabilitáshoz ezeknek a gyököknek az előjelét kell ellenőrizni ⇒ komplex sík baloldali félsíkjára esnek-e Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/14

Stabilitás – Általános feltétel • Inhomogén egyenlet an y (n ) (t ) + an −1 y (n −1) (t ) + K + a0 y (t ) = b0u (t )

• legyen u(t) = 1(t) ugrásjel • ekkor a megoldás általános alakja

(

y (t ) = K 1(t ) + c1e p1t + c2 e p2t + K + cn e pnt

)

ahol K = b0/a0 a rendszer erősítése • így stabil rendszer esetén

lim y (t ) = K t →∞


Stabilitás/15

Stabilitás definíciók összehasonlítása • BIBO stabilitás: korlátos bemenetre korlátos válasz • Aszimptotikus stabilitás: • nulla bemenet és nem zérus kezdeti feltételek esetén nullához tartó kimenet • ugrás jel bemenetre az erősítés által meghatározott végértékhez tartó válasz ⇓ • Aszimptotikusan stabil rendszer ⇒ BIBO stabil is • BIBO stabil rendszer nem feltétlenül aszimptotikusan stabil Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/16

Példák

G1 (s ) =

20 (s + 1)(s + 2)(s + 3)

p1 = −1, p2 = −2, p3 = −3

G2 (s ) =

20 (s − 1) s 2 + 2s + 1

p1 = 1, p2 ,3 = −1

G3 (s ) =

G4 (s ) =

(

)

20(s + 1) (s + 2) s 2 + 4

(

)

20 (s + 0,5) s 2 − 0,2s


(

p1 = −2 , p2 ,3 = ±2 j

)

p1 = −0 ,5, p2 = 0 , p2 = 0,2 Stabilitás/17

Stabilitásvizsgálati módszerek • szükségességük • fajtáik • algebrai: Routh-Hurwitz módszer • frekvenciatartomány: Nyquist-kritérium Bode-kritérium • geometriai: gyökhelygörbe módszer


Stabilitás/18

Routh-Hurwitz kritérium • módszercsalád • cél: az eredő átviteli függvény karakterisztikus egyenlete alapján a stabilitás meghatározása • legyen az eredő átviteli függvény: Ge (s ) =

G (s ) 1 + G (s )H (s )

• az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet: K (s ) = 1 + G (s )H (s )

• illetve polinom alakban: K (s ) = an s n + an −1s n −1 + K + a1s + a0 Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/19

Routh-Hurwitz kritérium • A stabilitás szükséges és elégséges feltétele: • Minden együttható legyen pozitív ∀ai > 0, i = 1,…,n • A H Hurwitz-determináns valamennyi főátlóra támaszkodó aldeterminánsa legyen pozitív: ∆1 an −1 an 0 ∆= 0 M Irányítástechnika – PE MI_BSc 0

∆2

∆3

an − 3

an − 5

K

an − 2 an −1

an − 4 an − 3

K K

an

an − 2

K

M

M

O

0

K

K

∆n 0 0 0 0 M a0

∆i > 0, i = 1,…,n

Stabilitás/20

Nyquist-kritérium • a hurokátviteli függvényen alapuló geometria kritérium • elv: a felnyitott kör helygörbéjéből következtetünk a zárt rendszer stabilitási viszonyaira • kiindulás


Stabilitás/21

Nyquist-kritérium • Az átviteli függvény: Go (s ) Go (s ) G (s ) = = 1 + Go (s )Gm (s ) 1 + Ge (s )

• A karakterisztikus egyenlet: 1+Ge(s)=0 melyből a pólusokat megkapjuk • Áttérve frekvenciatartományba 1+Ge(jω)=0 Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/22

Nyquist-kritérium • Az 1+Ge(jω)=0 összefüggés fizikai értelme: • van-e a zárt rendszernek csillapítatlan szinuszos rezgésű állandósult megoldása ∃ω0 : Ge(jω0) = -1 • ha igen: akkor ezzel az ω0 frekvenciával gerjesztve a zárt rendszert csillapítatlan rezgéseket kapunk Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/23

Nyquist-kritérium • a kritérium: Ha a felnyitott kör Ge(jω0) amplitúdófázis görbéje – miközben frekvencia 0≤ ω < ∞ tartományon változik – éppen áthalad a komplex számsík -1 pontján, akkor a rendszer a stabilitás határán van Irányítástechnika – PE MI_BSc

Im

-1

Re

Stabilitás/24

Nyquist-kritérium • magyarázat Induljunk ki a visszacsatolt körből:

B K

• legyen w = 0 • vágjuk fel a kört a B-K pontok között • legyen a felnyitott kör Nyquist-diagramja olyan, hogy átmegy a -1 ponton Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/25

Nyquist-kritérium • gerjesszük a rendszert a B pontban ω0 frekvenciájú szinuszos yb jellel e = w-yb B K

yb

yk = Ge·e=yb

• a különbségképző után e = -yb • a K ponton pedig ismét yb jelenik meg: Ge(jω0)= Ge(jω0) Ge(jω0)= -1 Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/26

Nyquist-kritérium • összekötés után is fenn marad ez a jel, a gerjesztés megszűnése esetén is • valós rendszer – egységugrás gerjesztés


Stabilitás/27

Nyquist-kritérium • stabilitás kritérium • Ha a felnyitott kör Nyquist göbéje a valós tengelyt • a -1 ponttól jobbra metszi, akkor a zárt kör stabil; • pont a -1 pontban metszi, akkor a zárt kör a stabilitás határán van; • a -1 ponttól balra metszi, akkor a zárt kör instabil. Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/28

Nyquist-kritérium Im

-1


Re

Stabilitás/29

Nyquist-kritérium • fázis tartalék: ϕt = π - ϕ Im

• ha ϕ < π, ϕt > 0 ⇒ a rendszer stabil • ha ϕ = π, ϕt = 0 ⇒ a rendszer stabilitás határán

-1

t

Re

• ha ϕ > π, ϕt < 0 ⇒ a rendszer instabil • általában ϕt > π/6 legyen Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/30

Nyquist-kritérium • erősítési tartalék κ = az origó és a metszéspont közötti távolság • ha κ < 1 ⇒ a rendszer stabil

Im

-1

Re

• ha κ = 1 ⇒ a rendszer stabilitás határán • ha κ > 1 ⇒ a rendszer instabil Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/31

Bode-kritérium • Bode diagram: a frekvencia függvényében az amplitúdóviszony és fázisszög ábrázolása • Nyquist diagram egység sugarú kör ⇒ Bode diagram 0 dB tengely • Bode kritérium alapja: az amplitúdógörbe és a 0 dB tengely metszés pontjához milyen fázis szög érték tartozik


Stabilitás/32

Bode-kritérium


Stabilitás/33

Bode-kritérium • Stabilitási kritérium: Ha az amplitúdógörbe és a 0 dB-es tengely metszéspontjához tartozó ϕ fázisszög • nagyobb -180o-nál, akkor a rendszer stabil; • egyenlő -180o-kal, akkor a rendszer a stabilitás határán van; • ha kisebb -180o-nál, akkor instabil. Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/34

Bode-kritérium A [dB]

• Fázistartalék • ϕt

• erősítési tartalék • |κ| [dB] • fizikai értelmezés

{

-90o t -180o

-270o


Stabilitás/35

Gyökhelygörbe • módszer célja: • stabilitásvizsgálat • minőségi jellemzők hozzávetőleges meghatározása • Evans, 1948 • alkalmazható SISO és MIMO rendszerekre • Def.: A gyökhelygörbe a zárt rendszer pólusainak mértani helye a komplex síkon, miközben a rendszer valamely paraméterét zérus és végtelen között változtatjuk. 36 Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/

Gyökhelygörbe • kiindulás

• legyen

K (s + z1 )(s + z 2 ) ⋅ K ⋅ (s + z m ) Go (s ) = (s + p1 )(s + p2 ) ⋅K ⋅ (s + pn )

ahol K - erősítés, -z1,…, -zm – zérushelyek, -p1,…, -pn - pólusok Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/37

Gyökhelygörbe • a visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Go (s ) K (s + z1 ) ⋅K ⋅ (s + z m ) G (s ) = = 1 + Go (s ) (s + p1 ) ⋅ K ⋅ (s + pn ) + k (s + z1 ) ⋅K ⋅ (s + zm )

• a karakterisztikus egyenlet:

(s + p1 )⋅K ⋅ (s + pn ) + K (s + z1 ) ⋅K ⋅ (s + zm ) = 0 azaz a gyökhelygörbe most a karakterisztikus egyenlet gyökeinek mértani helye a komplex síkon, midőn az erősítést 0 és ∞ között változtatjuk Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/38

Gyökhelygörbe • a karakterisztikus egyenletet átalakítva: K (s + z1 ) ⋅K ⋅ (s + z m ) = −1 (s + p1 ) ⋅K ⋅ (s + pn )

• azaz

Go(s)= -1

• miután általános esetben a gyökök komplexek, és a komplex számok felírhatók z = A·e jϕ alakban, így -1 = e ±jlπ ahol l = 1, 3, 5,… vagy -1 = 1∠±l·180o Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/39

Gyökhelygörbe • Összefoglalva: A gyökhelygörbe bármely pontjának két feltételt kell kielégítenie: a valós és a képzetes részeknek a K (s + z1 ) ⋅ K ⋅ (s + z m ) = −1 (s + p1 ) ⋅K ⋅ (s + pn )

egyenlet mindkét oldalán külön-külön meg kell egyezniük • szögfeltétel • abszolútérték feltétel Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/40

Gyökhelygörbe • legyen a k-dik zérushely: s + zk = Ck e jγk = Ck ∠γk • legyen a i-dik pólus: s + pi = Di e jδi = Di ∠δi • ekkor a szögfeltétel: m

n

k =1

i =1

∠γ 1 + K + ∠γ m − ∠δ1 − K − ∠δ n = ∑ ∠γ k − ∑ ∠δ i = ±l180 o

azaz egy s pont akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből kiinduló és az s-be mutató vektorok szögének összegéből levonva a pólusokból kiinduló és az s-be mutató o vektorok szögeinek összegét, akkor ±l ·180 -t kapunk. 41


Stabilitás/

Gyökhelygörbe • az abszolútérték feltétel: s + z1 ⋅ s + z 2 ⋅K ⋅ s + z m

Π km=1Ck 1 1 = n = = s + p1 ⋅ s + p2 ⋅ K ⋅ s + pn Π i =1 Di K K

azaz egy s pont akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből az s-be mutató vektorok abszolút értékeinek szorzatát elosztva a pólusokból az s-be mutató vektorok abszolút értékeinek szorzatával az erősítés reciprokát kapjuk meg. Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/42

Gyökhelygörbe • a gyökhelygörbe előállítása • karakterisztikus egyenlet megoldásával • grafikus úton próbálgatással • szerkesztési módszerek • számítógépes programok • tulajdonságok alapján közelítve


Stabilitás/43

Gyökhelygörbe •

a gyökhelygörbe tulajdonságai 1. A gyökhelygörbének annyi ága van, amennyi a zárt rendszer pólusainak a száma. 2. A gyökhelygörbe mindig szimmetrikus a valós tengelyre nézve.


Stabilitás/44

Gyökhelygörbe 3. Legyen n a pólusok száma, m a zérushelyek száma a felnyitott körben • ha n > m, akkor a gyökhelygörbe a felnyitott kör pólusaiból indul ki, és m számú ág a felnyitott kör zérushelyeibe, n - m számú ág a végtelenbe tart; • ha n = m, akkor a gyökhelygörbe teljesen a végesben van; • ha n < m, akkor m - n számú ág a végtelenből indul ki (nem reális eset). Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/45

Gyökhelygörbe 4. A valós tengelyen akkor és csak akkor lehetnek gyökhelygörbe szakaszok, ha a vizsgált ponttól jobbra a pólusok és a zérushelyek együttes száma páratlan. 5. A gyökhelygörbe aszimptótáinak irányát az ± l ⋅180o α= n−m összefüggés adja meg.


Stabilitás/46

Gyökhelygörbe - példák • példák csoportosítása • nevező fokszáma n (n = 1, 2, 3) • számláló fokszáma m (m = 0, 1) • vizsgált kör

• az eredő átviteli függvény: G (s ) Ge (s ) = 1 + G (s ) Irányítástechnika – PE MI_BSc

Stabilitás/47

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 1, m = 0 • ha

K G (s ) = s

K ⇒ Ge (s ) = s+K

Im

Re


Stabilitás/48

Gyökhelygörbe - példák • ha K K ⇒ Ge (s ) = G (s ) = τs + 1 τs + 1 + K


Stabilitás/49

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 1, m = 1 G (s ) =

K (Ts + 1) K (Ts + 1) ⇒ Ge (s ) = (τ + KT )s + 1 + K τs + 1

ha τ > T


Stabilitás/50

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 0 és ξ > 1 G (s ) =

K K ⇒ Ge (s ) = (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) τ 1 ⋅τ 2 s 2 + (τ 1 + τ 2 )s + 1 + K


Stabilitás/51

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 0 és 0 < ξ < 1 K K G (s ) = 2 2 ⇒ Ge (s ) = 2 2 T s + 2ξTs + 1 T s + 2ξTs + 1 + K Im

Re


Stabilitás/52

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 1 és ξ > 1 K (Ts + 1) K (Ts + 1) G (s ) = ⇒ Ge (s ) = (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) τ 1 ⋅τ 2 s 2 + (τ 1 + τ 2 + KT )s + 1 + K

• ha τ1> T > τ2


Stabilitás/53

Gyökhelygörbe - példák • ha τ1> τ2> T


Stabilitás/54

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 1 és 0 < ξ < 1 G (s ) =

K (Ts + 1)

τ 2 s 2 + 2ξτs + 1


⇒ Ge (s ) =

K (Ts + 1)

τ 2 s 2 + (2ξτ + KT )s + 1 + K

Stabilitás/55

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 3, m = 0 G (s ) =

K (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)(τ 3 s + 1)

ha τ1> τ2 > τ3


Stabilitás/56

Gyökhelygörbe - példák

G (s ) =

(T

K

)

s + 2ξTs + 1 (τs + 1)

2 2


Stabilitás/57

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 3, m = 1 K (Ts + 1) G (s ) = (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)(τ 3 s + 1)

ha τ1> τ2 > τ3 > T


Stabilitás/58

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Recommend Documents