Frekvenciatartomány Irányítástechnika PE MI BSc 1

Frekvenciatartomány

2008.03.14.

Irányítástechnika – PE MI BSc

1

Frekvenciatartomány • bevezetésének indoka: • általában időtartománybeli válasz kell • alkalmazott tesztjelek is ezt indokolják • információs rendszerek esetében a jelek szinuszos komponenseket tartalmaznak • másodrendű rendszerek alapján látszik, hogy a paraméterek meghatározása lényeges és nem egyszerű feladat • frekvenciatartományban sokféle módszer segíti az analízist és a tervezést Irányítástechnika – PE MI BSc

Frekvenciatartomány/2

Frekvenciatartomány • lineáris rendszereknél szoros összefüggés van az időtartomány és a frekvenciatartomány között → a frekvenciatartománybeli adatokból következtetni lehet az időtartománybeli viselkedésre • alkalmazásának indoka összefoglalva: • meglévő eszközök alkalmazhatósága • jól kiegészíti az időtartománybeli vizsgálatokat • érdemes elvégezni olyan rendszereknél is, amelyek soha nem kapnak szinuszos gerjesztést Irányítástechnika – PE MI BSc


Frekvenciatartomány bevezetése • legyen a bemenet R amplitúdójú ω0 frekvenciájú szinuszos jel: u(t) = R sinω0t • az állandósult állapotbeli kimenet y(t) = C sin(ω0t +ϕ) ahol C a kimenet amplitúdója, a ϕ fázissietés vagy fáziskésés



Frekvenciatartomány bevezetése • Legyen G(s) a tag átviteli függvénye, ekkor: Y(s) = G(s)U(s) • Frekvenciatartományhoz vezessük be s = jω kifejezést: Y(jω) = G(jω)U(jω) • A frekvencia változók szokásos felírása: Y(jω) = |Y(jω)| ∠Y(jω) ahol |Y(jω)| a jel amplitúdója ∠Y(jω) a jel fázisa Irányítástechnika – PE MI BSc


Frekvenciatartomány bevezetése • Ennek alapján az amplitúdók közötti összefüggés: |Y(jω)| = |G(jω)| ⋅|U(jω)| • a fázisok közötti összefüggés ∠Y(jω) = ∠G(jω) + ∠U(jω)



Frekvenciatartomány bevezetése • Legyen az átviteli függvény Y (s ) K (s − z1 )(s − z 2 ) ⋅ K ⋅ (s − z m ) G (s ) = = U (s ) (s − p1 )(s − p 2 ) ⋅ K ⋅ (s − p n )

• legyen a bemenet u(t) = sinωt az amplitúdó 1, frekvencia ω rad/s • a bemenet Laplace transzformáltja: ω U (s ) = 2 s +ω2 Irányítástechnika – PE MI BSc


Frekvenciatartomány bevezetése • a kimenet: Y (s ) = G (s ) ⋅ U (s ) =

(s

Kω (s − z1 )(s − z 2 ) ⋅ K ⋅ (s − z m ) 2

)

+ ω 2 (s − p1 )(s − p2 ) ⋅ K ⋅ (s − pn )

• átírva parciális törtekre A1 A2 G (s ) ⋅ ω Y (s ) = = + s2 + ω2

s − jω

s + jω

+

Bn B1 +K+ s − p1 s − pn

• inverz Laplace-transzformálva y (t ) = A1e jωt + A2 e − jωt + B1e p1t + K + Bn e pnt

állandósult állapotbeli viselkedés Irányítástechnika – PE MI BSc

tranziens viselkedés (stabil esetben) Frekvenciatartomány/8

Frekvenciatartomány bevezetése • Ha p1,…, pn negatív valós részű pólusok, akkor lim y (t ) = A1e jω ⋅t + A2 e − jω ⋅t

t →∞

• Az együtthatók meghatározásához G (s ) ⋅ ω

A1 A2 = + 2 2 s − jω s + j ω s +ω

egyenletet szorozzuk meg (s-jω)-val és helyettesítsünk be s = jω -t

(s − jω )G(s ) ⋅ ω = A s2 + ω 2


1+

A2 (s − jω ) s + jω Frekvenciatartomány/9

Frekvenciatartomány bevezetése  G (s ) ⋅ ω  G ( jω ) 1 j∠G ( jω ) A1 =  = = G ( j ω ) e  ω s + j 2j 2j   s = jω

• A2 meghatározásához szorozzuk meg (s+jω)-val és helyettesítsünk be s=-jω -t : G (− jω ) 1  (s + jω )G (s ) ⋅ ω  − j∠G ( jω ) ( ) A2 =  = = − G j ω e  −2j 2j s2 + ω 2   s = − jω

• azaz [ y (t )]t →∞ =

(

)

1 G ( jω ) e jωt + j∠G ( jω ) − e − jωt − j∠G ( jω ) = 2j

= G ( jω ) sin(ωt + ∠G ( jω )) Irányítástechnika – PE MI BSc


Frekvenciatartomány bevezetése • A rendszer átviteli függvénye ismeretében, szinuszos bemenet esetén a kimenet a |G(jω)| amplitúdókarakterisztika és a ∠G(jω) fáziskarakterisztika alapján meghatározható.



Zárt kör frekvenciatartománybeli válasza • Legyen az eredő átviteli függvény: Y (s ) G (s ) Ge (s ) = = U (s ) 1 + G (s )H (s )

• szinuszos bemenet esetén, állandósult állapotban s = jω behelyettesítéssel: Ge ( jω ) =

Y ( jω ) G ( jω ) = U ( jω ) 1 + G ( jω )H ( jω )

• bontsuk fel Ge-t: Ge(jω) = |Ge(jω)| ∠Ge(jω) Irányítástechnika – PE MI BSc


Zárt kör frekvenciatartománybeli válasza • ekkor a zárt kör eredő átviteli függvényének amplitúdója: G ( jω ) G ( jω ) Ge ( jω ) = = 1 + G ( jω )H ( jω ) 1 + G ( jω )H ( jω )

• fázisa: ∠Ge ( jω ) = ϕ ( jω ) = ∠G ( jω ) − ∠(1 + G ( jω )H ( jω ))



Frekvenciafüggvények ábrázolási módjai • Amplitúdó-fázis görbe, Nyquist-diagram • frekvenciát 0 ≤ ω < ∞ tartományban változtatva minden ω értékhez meghatározzuk és a komplex síkon ábrázoljuk a G (jω) = |G (jω)| ∠G (jω) = A(ω)e jϕ(ω) = = Re(G (jω)) + jIm(G (jω)) képletben szereplő A(ω) abszolút értéket és ϕ(ω) fáziseltolási szöget.



Frekvenciafüggvények ábrázolási módjai • Az így kapott pontokat összekötjük és jelöljük a növekvő frekvencia irányát • A jelleg görbe egyes pontja állandósult (kvázistacionárius) állapotot adnak meg. • Gyakorlati alkalmazása nehézkes: • egy pont meghatározása is sok munka • tag paramétere vagy rendszer elemeinek megváltozásakor újra kell szerkeszteni



Frekvenciafüggvények ábrázolási módjai • Bode-diagram • cél a Nyquist-diagram hátrányainak kiküszöbölése • G (jω) = A(ω) e jϕ(ω)= |G (jω)| e jϕ(ω) • lnG (jω) =ln|G (jω)| + jϕ(ω) • az amplitúdó logaritmusát és a fázisszöget a frekvencia függvényében ábrázolva kapjuk a Bode-diagramot • gyakorlatban az amplitúdóviszonyt decibelben adjuk meg: A(ω)[dB]= 20lg|G (jω)| Irányítástechnika – PE MI BSc


Frekvenciafüggvények ábrázolási módjai • előnyei: • könnyen szerkeszthető görbék • szorzat függvények (soros kapcsolás) összeadásra vezethetők vissza: 20lg(A1e jϕ1·A2e jϕ2)= 20lgA1+20lgA2+j(ϕ1+ϕ2)·20lge



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Nulladrendű tag • I/O modell: y=Ku • átviteli függvény: G(s)=K • frekvenciafüggvény: G(jω)=K • Nyquist diagram:

K



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Bode diagram:

20 lg K

azaz a nulladrendű tag sorba kapcsolás esetén az eredő amplitúdó görbéjét az erősítés logaritmusának megfelelően függőleges irányba eltolja, a fázis görbét változatlanul hagyja Irányítástechnika – PE MI BSc


Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Integráló tag • I/O modell: TI y (1) = u 1 • átviteli függvény: G (s ) = TI s

• frekvenciafüggvény: G (s ) =

1 TI jω

• Nyquist diagram:



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Bode diagram

ω

1 TI

azaz a integráló tag sorba kapcsolás esetén az eredő amplitúdó görbéjét -20 dB meredekségű egyenessel eltolja, a fázis görbét -90o-kal sietteti Irányítástechnika – PE MI BSc


Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Elsőrendű tag • I/O modell: τ ⋅ y (1) + y = Ku • átviteli függvény:

K G (s ) = τs + 1

• az u(t) = Msinωt bemenetre adott válasz: K Mω Y (s ) = G (s )U (s ) = τs + 1 s 2 + ω 2 t 2   − ( ) MK sin t + τω ω ω ϕ  2 2  y (t ) = e τ + 2 2  ω τ ω + 1 1 + τ ω  


tranziens tag t→∞ tag→0

állandósult állapotot Frekvenciatartomány/22 leíró tag

Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • frekvenciafüggvény: K K Kjωτ G ( jω ) = = 2 2 − 2 2 τjω + 1 τ ω + 1 τ ω + 1 valós rész

• Nyquist diagram:

képzetes rész

Im

K Re

ω



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Bode diagram: 20 lg

1 = −20 lg 1 + ω 2τ 2 1 + jωτ

[dB]

• alacsony frekvenciánál ω << 1/τ − 20 lg 1 + ω 2τ 2 ≅ −20 lg 1 = 0 [dB ]

• magas frekvenciánál ω >> 1/τ − 20 lg 1 + ω 2τ 2 ≅ −20 lg ωτ [dB ]



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Bode diagram: ω

-20dB/dekád

1

τ ω

ϕ = −arctgωτ



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Másodrendű tag • I/O modell: T22 ⋅ y (2 ) + T1 ⋅ y (1) + y = Ku • átviteli függvény: G (s ) =

K

T 2 s 2 + 2ξTs + 1 K • frekvenciafüggvény: G ( jω ) = T 2 ( jω )2 + 2ξTjω + 1

• az esetek szétválogatása ξ értéke alapján, legyen K = 1 Irányítástechnika – PE MI BSc


Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • legyen ξ >1, ekkor a másodrendű tag két elsőrendű sorbakapcsolt tagnak felel meg: G ( jω ) =

1

⋅

1

Ta jω + 1 Tb jω + 1

= Ga ( jω ) ⋅ Gb ( jω )

• Nyquist diagram: K A(ω)



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Bode diagram: G [dB ] = 20 lg Ga ( jω ) ⋅ Gb ( jω ) = 20 lg Ga ( jω ) + 20 lg Gb ( jω ) = Ga [dB ]⋅ Ga [dB ]

ϕ e = ϕ a + ϕ b = − arctgωτ 1 − arctgωτ 2 -20dB/dekád

-40dB/dekád

1 Irányítástechnika – PE MI BSc Ta

1 Tb

1 Ta

1 Frekvenciatartomány /28 Tb

Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • legyen 0 <ξ <1, ekkor G [dB ] = 20 lg

1

( jω )2 T 2 + 2Tξjω + 1 ϕ (ω ) = − arctg


= −20 lg

(1 − ω T ) 2

2 2

+ (2Tξω )2

2ξTω 1 − ω 2T 2


Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Nyquist diagram

A(ω1) A(ω2)



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei G [dB ] = −20 lg

(1 − ω T ) 2

2 2

• Bode diagram: • alacsony frekvenciánál ω << 1/T az ωT elhanyagolható az 1 mellett, így |G|[dB] ≈ 0 • magas frekvenciánál ω >> 1/T az ω4T4 tag mellett a többi tag elhanyagolható, így

+ (2Tξω )2

G [dB ] ≈ −20 lg ω 4T 4 = −40 lg ωT

• legyen ω =1/T itt a pontos érték: G [dB ] = −20 lg 4ξ 2 = −20 lg 2ξ Irányítástechnika – PE MI BSc



1 T


1 T


Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Magasabb rendű tag T33 ⋅ y (3) + T22 ⋅ y (2 ) + T1 ⋅ y (1) + y = Ku • I/O modell: G (s ) =

• átviteli függvény:

K T33 s 3 + T22 s 2 + T1s + 1

• frekvenciafüggvény: G ( jω ) =


K T33 ( jω )3 + T22 ( jω )2 + T1 jω + 1


Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • átmeneti függvény:

• Nyquist diagram




−60dB / dekád − 270o



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Egytárolós integráló tag 1

1 1 G ( jω ) = 2 = ⋅ 2 T2 ( jω ) + T1 jω TI jω Tjω + 1

• Nyquist diagram • Bode diagram

1/T Irányítástechnika – PE MI BSc

1/TI Frekvenciatartomány/36

Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Deriváló tag • I/O modell:

y = TD u (1)

• átviteli függvény:

G (s ) = TD s

• frekvenciafüggvény: G ( jω ) = TD jω • Nyquist diagram: • Bode diagram:



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Egytárolós deriváló tag • I/O modell: T1 y (1) + y = TD u (1) TD s • átviteli függvény: G (s ) = T1s + 1

• frekvenciafüggvény: G ( jω ) = TD jω

T1 jω + 1



Dinamikus tagok frekvenciafüggvényei • Nyquist diagram:

TD T1




20 lg

TD T1

+20dB / dekád

ω

1/TD


1/T1

1/T1


Frekvenciatartomány Irányítástechnika PE MI BSc 1

Recommend Documents