Kalman-féle rendszermodell Méréselmélet PE MIK MI, VI BSc 1

Kalman-féle rendszermodell

2012.04.10.

Méréselmélet – PE MIK MI, VI BSc

1

Kálmán Rudolf

Rudolf Emil Kalman was born in Budapest, Hungary, on May 19, 1930. He received the bachelor's degree (S.B.) and the master's degree (S.M.) in electrical engineering, from the Massachusetts Institute of Technology in 1953 and 1954 respectively. He received the doctorate degree (D. Sci.) from Columbia University in 1957. His major positions include that of Research Mathematician at R.I.A.S. (Research Institute for Advanced Study) in Baltimore, between 19581964, Professor at Stanford University between 1964-1971, and from 1971 to 1992 Graduate Research Professor, and Director, at the Center for Mathematical System Theory, University of Florida, Gainesville. Moreover, since 1973 he has also held the chair for Mathematical System Theory at the ETH (Swiss Federal Institute of Technology) Zurich. He is the recipient of numerous awards, including the IEEE Medal of Honor (1974), the IEEE Centennial Medal (1984), the Kyoto Prize in High Technology from the Inamori foundation, Japan (1985), the Steele Prize of the American Mathematical Society (1987), and the Bellman Prize (1997). He is a member of the National Academy of Sciences (USA), the National Academy of Engineering (USA), and the American Academy of Arts and Sciences (USA). He is a foreign member of the Hungarian, French, and Russian Academies of Science, and has received many honorary doctorates. He is married to Constantina nee Stavrou, and they have two children, Andrew and Elisabeth.

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/2

Kalman-féle rendszer definíció • „állapottér” definíciók

rendszer

…

…

(térbeli) bemenetek

(térbeli) kimenetek

(időbeli) bemenetek - kimenetek Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/3

Kalman-féle rendszer definíció Bevezető fogalmak 1. Idő • T - időhalmaz • folytonos – diszkrét • véges – végtelen (egyik vagy mindkét irányban)

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/4

Kalman-féle rendszer definíció 2. Adott a • a lehetséges bemeneti értékek halmaza U, u∈U •

a lehetséges kimeneti értékek halmaza Y, y∈Y

•

a lehetséges belső állapot értékek halmaza X, x∈X

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/5

Kalman-féle rendszer definíció 3. Adott • a lehetséges bemenet-időfüggvények halmaza Ω

Ω = {ω |ω : T → U } •

u (t ) ∼ ω

a lehetséges kimenet-időfüggvények halmaza Γ

Γ = {γ |γ : T → Y }

Méréselmélet MI, VI BSc

y (t ) ∼ γ

Kalman-modell/6

Kalman-féle rendszer definíció •

Axiómák 1. A bemenetek szétvághatósága • bemenetszegmens fogalma (t1, t2] ⊂ T időintervallum u(t )/ t ∈ (t1, t2] u (t )(t1, t2] • szétvághatóság t1
Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/7

Kalman-féle rendszer definíció 2. Az állapot-átmeneti függvény létezése

ϕ:T×T×X×Ω→X x(t2)= ϕ (t2, t1, x(t1), u (t )/ t ∈ (t1, t2] ) • tulajdonságok 1. t2 ≥ t1 -re igaz; 2. t2 = t1 esetén x(t2)= x(t1); konzisztencia Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/8

Kalman-féle rendszer definíció 3. ha t1 < t’
Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/9

Kalman-féle rendszer definíció 3. A kiolvasó- (kimenet) függvény létezése

η:T×X×U→Y y(t1)= η (t1, x(t1), u (t1))

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/10

Kalman-féle rendszer definíció • Rendszerdefiníció: Σ = (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) ahol T – az időhalmaz X – a lehetséges belső állapot értékek halmaza U – a lehetséges bemeneti értékek halmaza Y – a lehetséges kimeneti értékek halmaza Ω – a lehetséges bemenet időfüggvények h.-a Γ – a lehetséges kimenet időfüggvények h.-a ϕ – az állapotátmeneti függvény η – a kiolvasó függvény 11 Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/

Kalman-féle rendszer definíció • néhány elnevezés: • (t, xt) - esemény • T × X – eseménytér vagy fázistér • ϕ állapotátviteli függvény → trajektória, pálya, folyam, megoldás, megoldási görbe

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/12

Kalman-féle rendszer definíció • az ω / u(t) bemenet vagy beavatkozás a rendszer x(t1) állapotát átviszi vagy áttranszformálja a ϕ(t2, t1, x(t1), u (t )(t1, t2] ) állapotba, azaz a rendszer működik • ha Ω -nak egyetlen eleme van, akkor Σ-t szabadnak nevezzük • reverzibilis rendszer, ha az állapot-átmeneti függvény tetszőleges t1, t2 értékekre teljesül

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/13

Rendszerek osztályozása • A T időhalmaz alapján: folytonos idejű – diszkrét idejű • Az X, U, Y halmazok értékei alapján: számszerűek – nemszámszerűek • Az X állapothalmaz alapján: véges állapotú – végtelen állapotú Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/14

Rendszerek osztályozása • Az X, U, Y, Ω, Γ halmazok alapján: lineárisak – nemlineárisak • A ϕ függvény alapján: időinvariáns – idővariáns • A ϕ, u(t), y(t) függvények alapján: determinisztikus - sztochasztikus Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/15

Rendszerek osztályozása • A ϕ függvény értékeinek a helytől való függése alapján: véges dimenziós – végtelen dimenziós (koncentrált paraméterű – elosztott paraméterű) Véges állapotú, diszkrét idejű, időinvariáns rendszerek → automaták

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/16

Állapottér modell • Az állapottér modell alakjai: • az állapot-átmeneti függvény: ϕ:T×T×X×Ω→X x(t2)= ϕ (t2, t1, x(t1), u (t )/ t ∈ (t1, t2] ) • a kiolvasó függvény: η:T×X×U→Y y(t1)= η (t1, x(t1), u (t1)) Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/17

Állapottér modell • Nemlineáris, idővariáns, folytonos idejű rendszer: x& (t ) = f (t , x(t ),u (t )) y (t ) = g (t , x(t ),u (t ))

• Nemlineáris, időinvariáns, folytonos idejű rendszer: x& (t ) = f (x(t ),u (t )) y (t ) = g (x(t ),u (t )) Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/18

Állapottér modell • Lineáris, idővariáns, folytonos idejű állapottér modell: x& (t ) = A(t )x(t ) + B(t )u (t ) y (t ) = C (t )x(t ) + D(t )u (t )

az együttható mátrixok (A, B, C, D) időfüggők!

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/19

Állapottér modell • Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell: x& (t ) = A x(t ) + Bu (t ) y (t ) = C x(t ) + Du (t ) ahol x – a belső állapotok vektora u – a bemeneti vektor y – a kimeneti vektor A – az állapotátmeneti mátrix B – a bemeneti mátrix C – a kimeneti mátrix D – a segédmátrix Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/20

Állapottér modell • A modell elemeinek dimenziója dim(x) dim(u) dim(y) dim(A) dim(B) dim(C) dim(D)

Méréselmélet MI, VI BSc

SISO n 1 1 n×n n×1 1×n 1×1 x& = Ax + bu

MIMO n p r n×n n×p r×n r×p x& = Ax + Bu

y = cT x + du

y = C x + Du

x& = Ax + Bu y = C x + Du

Kalman-modell/21

Állapottér modell • az állapottér modell blokkdiagramja D x(t0) u

B

+

integral(x)

x

C

+

+

y

+

A

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/22

Állapottér modell • Lineáris, időinvariáns diszkrét idejű állapottér modell: x((k + 1)T0 ) = Φ x(kT0 ) + Γ u (kT0 ) y (kT0 ) = C x(kT0 ) ahol x – a belső állapotok vektora u – a bemeneti vektor y – a kimeneti vektor

Φ – az állapotátmeneti mátrix Γ – a bemeneti mátrix

T0 – mintavételezési idő k – mintavételezés sorszáma

Φ = eAT0 Γ =A-1(eAT0-I)B

C – a kimeneti mátrix Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/23

Állapottér modell - példa • Példa

Fi

h1

Kv1

Kv2 h2

A1

A2 F1

Fo

ahol A1, A2 – az 1. ill. 2. tartály alapterülete h1, h2 – az 1. ill. 2. tartálybeli szintmagasság Kv1, Kv2– a szelep ellenállási tényezők Fi, F1, Fo – belépő, átfolyó, kilépő vízáram Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/24

Állapottér modell - példa • a leíró egyenletek: tartálybeli belépő mennyiség = áram megváltozása

kilépő - áram

• 1. tartály

1 & (h1 − h2 ) A1h1 = Fi − K v1

• 2. tartály

1 1 & (h1 − h2 ) − h2 A2 h2 = K v1 Kv2

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/25

Állapottér modell - példa • legyen a két állapotváltozó h1 és h2 ∼ x vektor elemei a bemenő változó Fi ∼ u (egy bemenet) a kimenő változó F1 ∼ y (egy kimenet) • az egyenletek átalakítása után: h&1 = −

Méréselmélet MI, VI BSc

1 (h1 − h2 ) + 1 Fi A1 K v1 A1

h&2 =

 1 1 1 h1 −  + A2 K v1  A2 K v1 A2 K v 2

F1 =

1 (h1 − h2 ) K v1

 h2  

Kalman-modell/26

Állapottér modell - példa • ebből az állapottér modell: 1  − &  h1  A1 K v1  = &  h2   A21K v1

−

x& =  1 F1 =   K v1

y Méréselmélet MI, VI BSc

=

1 A1K v 2 K v1 + K v 2 A2 K v1K v 2

 h   1   ⋅  1  +  A1  ⋅ Fi  h2   0  

⋅

x + B

A

⋅

u

1   h1  −   K v1  h2 

C

⋅x

+ D

⋅

u Kalman-modell/27

I/O modell • Rendszerdefiníció:

Σ = (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) • hagyjuk el az állapotra vonatkozó elemeket • vezessük be az A indexhalmazt és az F függvénycsaládot: F = {fα| fα : T × Ω → Y, α∈A} • F egyes tagjai: y(t) = f α (t, u(t)) ahol az y(t) az u(t) bemenetből a t időpillanatban kapott eredmény az α kísérlet esetében Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/28

I/O modell • az függvényeket input/output (bemenet/kimenet) függvényeknek nevezzük, melyekre igaz: • (az idő iránya) létezik az ι: A → T leképezés úgy, hogy fα(t, u(t)) definiált ∀t ≥ ι(α) -ra • (okozatiság) Legyen τ, t∈T és τ < t. Ha u(t),u’(t) ∈ Ω és u(t)(τ, t] = u’(t)(τ, t] akkor fα(t, u(t)) = fα(t, u’ (t)) ∀α-ra úgy, hogy τ = ι(α) Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/29

I/O modell • Bemenet-kimenet modell definíciója

Σ I/O= (T, U, Y, Ω, Γ , F) • a dinamikus bemenet/kimenet modellek a kísérleti adatok összefoglalásai • az α absztrakt paraméterrel megcímkézett kísérletek egy alkalmazott bemenetből (ω vagy u(t)) és egy megfigyelt kimenetből (y(t)) állnak.

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/30

I/O modell • A bemenet-kimenet modell alakjai: • általános alak: y(t) = F(u(τ), t0≤ τ ≤t) + y(t0) • dinamikus rendszerek esetén ez az általános alak átírható differenciálegyenletté:

f (y(t), y(t)(1),…, y(t)(n), u(t), u(t)(1),…, u(t)(m), t) = 0

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/31

I/O modell • Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű bemenetkimenet modell:

an y (n ) + an −1 y (n −1) + K + a1 y (1) + a0 y = bmu (m ) + K + b0u ahol u – a bemenő jel y – a kimenő jel an,…,a0,bm,…,b0 – paraméterek

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/32

I/O modell • Lineáris, idővariáns, folytonos idejű bemenetkimenet modell: an (t ) y (n ) (t ) + an −1 (t ) y (n −1) (t ) + K + a1 (t ) y (1) (t ) + a0 (t ) y (t ) = = bm (t )u (m ) (t ) + K + b0 (t )u (t )

az együtthatók (an,…,a0,bm,…,b0) időfüggők!

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/33

I/O modell • Diszkrét időtartomány – differenciaegyenlet modell • előrefelé vett differenciák cn y ((k + n )T0 ) + cn −1 y ((k + n − 1)T0 ) + K + c1 y ((k + 1)T0 ) + c0 y (kT0 ) = = d m u ((k + m )T0 ) + K + d 0 u (kT0 )

• visszafelé vett differenciák c0 y (kT0 ) + c1 y ((k − 1)T0 ) + K + cn −1 y ((k − n + 1)T0 ) + cn y ((k − n )T0 ) = = d 0 u ((k − d )T0 ) + d1u ((k − d − 1)T0 ) + K + d m u ((k − d − m )T0 )

Méréselmélet MI, VI BSc

Kalman-modell/34